Ein Portfolio von inhomogenen Markov-Ketten mit Abhängigkeitsstruktur

Fo schung am i wKöln
Band 2/2022
Ein Po olio on inhomogenen Ma ko -Ke en
mi Abhängigkei ss uk u
Ral Knobloch
Fo schung am i wKöln, Band 2/2022
Ral Knobloch
Fo schungss elle FaRis
Ein Po olio on inhomogenen Ma ko -Ke en mi
Abhängigkei ss uk u
Zusammen assung
Ma ko -Ke en haben bei de Modellie ung on ökonomischen Sach e hal en eine Vielzahl on
Anwendungen. In den Wi scha swissenscha en s eh o ein Po olio on Ma ko
-Ke en im
Mi elpunk des In e esses, z.B. das K edi po olio eine Bank ode das Ve agspo olio eine
Ve siche ung. In den meis en Modellen wi d dabei die s ochas ische
Unabhängigkei de
un e schiedlichen Ma ko
-Ke en o ausgese z . In de o liegenden A bei wi d ein Modell zu
Be ücksich igung eine Abhäng
igkei ss uk u in einem solchen Po olio o ges ell . Die
Abhängigkei en we den dabei mi eine Familie on C
opulas modellie und we den bei den
Übe gangsma izen be ücksich ig .
Abs ac
Ma ko chains ha e a a ie y o applica ions in he modeling o economic ac s. In economics, he
ocus is o en on a po olio o Ma ko chains, e.g. a
bank’s loan po olio o an insu ance con ac
po olio. In mos models, he s ochas ic independence o he di e en Ma ko chains is assumed.
This pape p esen s a model o aking in o accoun a dependency s uc u e in such a po olio. The
dependencies a e gi en wi h a amily o copulas and a e aken in o accoun in he ansi ion
ma ices
.
Schlagwö e
:
Ma ko
-Ke e, Bewe e e Ma ko -Ke e, Copula
Keywo ds
:
Ma ko Chain, P iced Ma ko Chain, Copula
1
Inhal s e zeichnis
1. EINLEITUNG ................................................................................................................................. 2
2. COPULAS ..................................................................................................................................... 3
3. DAS MODELL ............................................................................................................................... 5
4. DER FALL DER STOCHASTISCHEN UNABHÄNGIGKEIT ....................................................... 8
5. BEWERTETE MARKOV-KETTEN ............................................................................................... 9
6. BEISPIEL 1: ZWEI HOMOGENE MARKOV-KETTEN MIT EINEM ABSORBIERENDEN
ZUSTAND ................................................................................................................................... 11
7. BEISPIEL 2: BETRIEBLICHE ALTERSVERSORGUNG ........................................................... 18
8. BEISPIEL 3: EINE VERALLGEMEINERUNG DER BINOMIALVERTEILUNG ......................... 22
9. FAZIT UND AUSBLICK .............................................................................................................. 25
ANHANG ............................................................................................................................................. 26
LITERATURVERZEICHNIS ................................................................................................................ 30
2
1. Einlei ung
In den Wi scha swissenscha en wi d die zei liche En wicklung on ökonomischen
G ößen häu ig als s ochas ische P ozess modellie . Eine wich ige Klasse on
s ochas ischen P ozessen sind Ma ko -Ke en. Dabei handel es sich um
s ochas ische P ozesse mi eine disk e en Zei achse und bei
wi scha swissenscha lichen Modellen i.d.R. mi einem endlichen Zus ands aum.
Bei ökonomischen F ages ellungen s ehen häu ig nich nu einzelne Objek e, sonde n
ein Po olio, d.h. eine Zusammens ellung on Objek en, im Mi elpunk des In e esses.
Beispiele hie ü sind de Pe sonenbes and eine Lebens e siche ung und das
K edi po olio eine Bank. Wi d ü jedes Objek die En wicklung eine ökonomischen
G öße mi eine eigenen Ma ko -Ke e modellie , so s ell sich die F age, wie diese
einzelnen s ochas ischen P ozesse zusammenge ass bzw. wie Abhängigkei en
be ücksich ig we den können.
Zu Modellie ung de Abhängigkei on Zu allsg ößen im Allgemeinen gib es meh e e
Konzep e. So können Abhängigkei en mi els beding e Wah scheinlichkei en bzw.
mi els beding e Ve eilungen modellie we den. Eine klassische Vo gehensweise is
die Modellie ung de Abhängigkei en mi hil e on Ko ela ionskoe izien en. Dies
unk ionie abe bei einem Po olio on s ochas ischen P ozessen i.d.R. nu bei au
No mal e eilungen basie enden Modellen (z.B. B ownsche Bewegung und
geome ische B ownsche Bewegung). Eine solche Ve eilungsannahme is bei eine
Ma ko -Ke e abe seh häu ig nich gegeben.
Eine wei e e Möglichkei zu Modellie ung on Abhängigkei en on Zu allsg ößen
e gib sich aus de Anwendung eine Copula. Ve wende man dieses
Abhängigkei smodell ü eine Menge on Zu alls a iablen, so können de Ein luss de
einzelnen Ve eilungen und de Ein luss de Abhängigkei im Modell o mal ge enn
we den.
In de o liegenden A bei wi d mi hil e eine Familie on Copulas aus einem Po olio
on inhomogenen Ma ko -Ke en eine neue inhomogene Ma ko -Ke e kons uie .
Die Abhängigkei en beziehen sich dabei au die gegebene An angskons ella ion und
die Zus andsübe gänge zu den einzelnen Zei punk en.
3
2. Copulas
Gegeben seien ݊ au dem In e all [0,1] gleich e eil e Zu alls a iablen ܷଵ,ܷଶ,…,ܷ௡.
Die gemeinsame Ve eilungs unk ion
ܥ:[0,1]
௡՜[0,1]
heiß Copula, d.h. es gil :
ܥ(ݑଵ,ݑଶ,…,ݑ௡)= ܲ(ܷଵ൑ݑଵ,ܷଶ൑ݑଶ,…,ܷ௡൑ݑ௡),ݑଵ,ݑଶ,…,ݑ௡א[0,1]
( gl. [8] S.4 )
Da es sich bei eine Copula um eine meh dimensionale Ve eilungs unk ion handel
und die eindimensionalen Rand e eilungen du ch die Gleich e eilung au dem
In e all [0,1] gegeben sind, e geben sich u.a. die olgenden Eigenscha en ( gl. [8]
S.7 und [9] S.293 ):
1. ܥ(1, … ,1, ݑ௞,1,…,1
)=ݑ௞ ü alle ݇=1,2,…,݊ und ݑ௞א[0,1]
2. ܥ(ݑଵ,ݑଶ,…,ݑ௡)=0, alls es ein ݇א{1,2, … , ݊} gib mi ݑ௞=0
3. ܥ is ech ecksmono on, d.h.
οܥ(ݑ,ݒ]=෍(െ1)௝෍ܥ൫ݓ
ଵ,(௨,௩],ெ,ݓଶ,(௨,௩],ெ,…,ݓ௡,(௨,௩],ெ൯
ெؿ{ଵ,ଶ,…,௡}
|ெ|ୀ௝
௡
௝ୀ଴ ൒0
ü alle (ݑ,ݒ]=(ݑଵ,ݒଵ]×(ݑଶ,ݒଶ]×…×(ݑ௡,ݒ௡]ؿ[0,1]௡, wobei
ݓ௞,(௨,௩],ெ=൜ݑ௞, ݇אܯ
ݒ௞, ݇בܯ
Umkeh kann man zeigen, dass jede Funk ion
ܥ:[0,1]
௡՜[0,1]
mi diesen d ei Eigenscha en eine Copula is ( gl. [8] S.8 ).
Fe ne gil οܥ(ݑ,ݒ]=ܲ(ݑଵ<ܷଵ൑ݒଵ,ݑଶ<ܷଶ൑ݒଶ,…,ݑ௡<ܷ௡൑ݒ௡)
( gl. [8] S.8). Da es sich bei ܷଵ,ܷଶ,…,ܷ௡ um s e ige Zu alls a iablen handel kann
hie bei "<" du ch "൑" e se z we den und umgekeh .
Ein wich iges E gebnis is de Sa z on Skla ([8] S.14 ). E besag eine sei s, dass
bei Vo gabe on ݊ eell-we igen Zu alls a iablen mi den Ve eilungs unk ionen
ܨଵ,ܨଶ,…,ܨ௡ und eine Copula ܥ du ch
ܨ(ݔଵ,ݔଶ,…,ݔ௡)׷= ܥ(ܨଵ(ݔଵ),ܨଶ(ݔଶ),…,ܨ௡(ݔ௡)) , ݔଵ,ݔଶ,…,ݔ௡אܫܴ
eine meh dimensionale Ve eilungs unk ion de inie wi d. Umgekeh gib es zu jede
meh dimensionalen Ve eilungs unk ion
ܨ:ܫܴ௡՜[0,1]

4
eine Copula ܥ, sodass gil :
ܨ(ݔଵ,ݔଶ,…,ݔ௡)= ܥ(ܨଵ(ݔଵ),ܨଶ(ݔଶ),…,ܨ௡(ݔ௡)) , ݔଵ,ݔଶ,…,ݔ௡אܫܴ
Dabei sind ܨଵ,ܨଶ,…,ܨ௡ die Ve eilungs unk ionen de eindimensionalen
Rand e eilungen. Is ܨ s e ig, dann is ܥ eindeu ig. Insbesonde e is die Eindeu igkei
bei disk e en Ve eilungen nich gegeben.
5
3. Das Modell
Gegeben sei ein Po olio on ݊ inhomogenen Ma ko -Ke en
ቀܺ௧(ଵ)ቁ௧אூேబ,ቀܺ௧(ଶ)ቁ௧אூேబ,…,ቀܺ௧(௡)ቁ௧אூேబ
jeweils mi dem Zus ands aum ܵ={0,1,2, … , ܰ}. Dabei sind die Übe gangsma izen
gegeben du ch: ܳ(௞)(ݐ)=ቀݍ௜௝
(௞)(ݐ)ቁ௜,௝אௌ , ݐאܫܰ,݇=1,2,…,݊
D.h. es gil ܲቀܺ௧(௞)=݆ቚܺ௧ିଵ
(௞)=݅ቁ=ݍ௜௝
(௞)(ݐ)
ü alle ݐאܫܰ ,݇=1,2,…,݊ und ݅,݆אܵ.
Zu jede Ma ko -Ke e gehö e ne eine An angs e eilung, die du ch den
Zeilen ek o ܲ଴(௞)=ቀ݌଴,௝
(௞)ቁ௝אௌ gegeben is , d.h.
ܲቀܺ଴(௞)=݆ቁ=݌଴,௝
(௞)
ü ݆אܵ und ݇=1,2,…,݊.
Die Ve eilung de Zu alls a iablen ܺ௧(௞) e gib sich dann ü ݇=1,2,…,݊ und ݐאܫܰ
du ch den Zeilen ek o :
ܲ௧(௞)=ܲ଴(௞)ήෑܳ(௞)(ݑ)
௧
௨ୀଵ
( gl. [2], [3], [4], [5], [7])
Die Ve eilungs unk ion, die sich zum Zei punk ݐאܫܰ ü die ݇- e Ma ko -Ke e aus
den Übe gangswah scheinlichkei en ausgehend om Zus and ݅אܵ e gib , sei
gegeben du ch:
ܨ௜,௧,௞(ݔ)ؔܲቀܺ௧(௞)൑ݔቚܺ௧ିଵ
(௞)=݅ቁ= ෍ݍ௜௝
(௞)(ݐ)
[௫]
௝ୀଵ ,ݔאܫܴ
Zu Kons uk ion eine gemeinsamen Ma ko -Ke e ü das Po olio benö igen wi
zunächs den gemeinsamen Zus ands aum:
ܵ௡=ܵ×ܵ×…×ܵᇣ
ᇧ
ᇧ
ᇧ
ᇤ
ᇧ
ᇧ
ᇧ
ᇥ
௡ି௠௔௟
Gegeben sei e ne eine Familie on Copulas ܥ௥,௧, ݎאܵ௡ , ݐאܫܰ und eine einzelne
Copula ܥ଴. Dami wi d zum einen eine abzählba e Menge on Übe gangsma izen und
zum ande en eine An angs e eilung ü die inhomogene Ma ko -Ke e mi
Zus ands aum ܵ௡ kons uie .
6
Zunächs wi d dazu ü jedes ݐאܫܰ eine (ܰ+1
)௡×(ܰ+1
)௡-Ma ix
ܳ(ݐ)=(ݍ௥௦(ݐ))௥,௦אௌ೙
wie olg de inie : Fü ݐאܫܰ und ݎ,ݏאܵ௡ mi ݎ=(ݎଵ,ݎଶ,…,ݎ௡) und ݏ=(ݏଵ,ݏଶ,…,ݏ௡)
sei ݍ௥௦(ݐ)ؔοܥ௥,௧൫ܨ௥భ,௧,ଵ(ݏଵെ1),ܨ௥భ,௧,ଵ(ݏଵ)൧×…×൫ܨ௥೙,௧,௡(ݏ௡െ1),ܨ௥೙,௧,௡(ݏ௡)൧.
Dabei lieg den Ma izen eine geeigne e Ano dnung de (ܰ+1
)௡ Elemen e des
Zus ands aums ܵ௡ wie olg zug unde. Einem Elemen aus de Menge ܵ௡ wi d eine
na ü liche Zahl ݆ zwischen 0 und (ܰ+1
)௡െ1 zuzuo dne :
ݏ=(ݏଵ,ݏଶ,…,ݏ௡)אܵ௡՜݆=෍ݏ௞ାଵή(ܰ+1
)௞
௡ିଵ
௞ୀ଴
Diese Zuo dnung ݏ՜݆ is eineindeu ig und die na ü liche Zahl ݆ ko espondie dann
mi Zeilen- bzw. Spal ennumme in de jeweiligen (ܰ+1
)௡×(ܰ+1
)௡-Ma ix. Zu
beach en is alle dings, dass analog zu de Numme ie ung bei den Zus änden de
einzelnen Ma ko -Ke en de e s e Zus and de Zus and Numme 0 is .
Da eine Copula ech ecksmono on is , gil ݍ௥௦(ݐ)൒0.
Wegen de disjunk en Ze legung
ራ൫ܨ௥భ,௧,ଵ(ݏଵെ1),ܨ௥భ,௧,ଵ(ݏଵ)൧×…×൫ܨ௥೙,௧,௡(ݏ௡െ1),ܨ௥೙,௧,௡(ݏ௡)൧
(௦భ,௦మ,…,௦೙)אௌ೙= (0,1]௡
e gib sich ü alle ü ݎ=(ݎଵ,ݎଶ,…,ݎ௡)אܵ௡
෍ݍ
௥௦(ݐ)
(௦భ,௦మ,…,௦೙)אௌ೙=
=෍οܥ
௥,௧൫ܨ௥భ,௧,ଵ(ݏଵെ1),ܨ௥భ,௧,ଵ(ݏଵ)൧×…×൫ܨ௥೙,௧,௡(ݏ௡െ1),ܨ௥೙,௧,௡(ݏ௡)൧
(௦భ,௦మ,…,௦೙)אௌ೙=
=෍ܲቀܨ
௥భ,௧,ଵ(ݏଵെ1)<ܷଵ൑ܨ௥భ,௧,ଵ(ݏଵ),…,ܨ௥೙,௧,௡(ݏ௡െ1)<ܷ௡൑ܨ௥೙,௧,௡(ݏ௡)ቁ
(௦భ,௦మ,…,௦೙)אௌ೙=
=ܲ(0<ܷଵ൑1, … ,0 < ܷ௡൑1)=ܲ൫(ܷଵ,ܷଶ,…,ܷ௡)א(0,1]௡൯=
=ܲ൫(ܷଵ,ܷଶ,…,ܷ௡)א[0,1]௡൯െܲ(ܷ௞= 0 ü mindes ens ein ݇א{1,2, … , ݊}) =
=ܲ൫(ܷଵ,ܷଶ,…,ܷ௡)א[0,1]௡൯=1,
dabei sind ܷଵ,ܷଶ,…,ܷ௡ die gemäß Kapi el 2 zu Copula gehö enden au dem In e all
[0,1] gleich e eil en Zu alls a iablen.
Somi handel es sich bei de Ma ix
ܳ(ݐ)=(ݍ௥௦(ݐ))௥,௦אௌ೙
um eine s ochas ische Ma ix.
7
Die An angs e eilung ܲ଴=൫݌଴,௦൯௦אௌ೙ de gemeinsamen Ma ko -Ke e au dem
Zus ands aum ܵ௡ e gib sich mi hil e des Sa zes on Skla aus den
An angs e eilungen de einzelnen Ma ko -Ke en und de gegebenen Copula ܥ଴, d.h.
ü ݏ=(ݏଵ,ݏଶ,…,ݏ௡)אܵ௡ gil :
݌଴,௦ؔοܥ଴൫ܨ଴,ଵ(ݏଵെ1),ܨ଴,ଵ(ݏଵ)൧×…×൫ܨ଴,௡(ݏ௡െ1),ܨ଴,௡(ݏ௡)൧
Dabei sei anlog zu oben:
ܨ଴,௞(ݔ)ؔܲቀܺ଴(௞)൑ݔቁ= ෍݌଴,௝
(௞)
[௫]
௝ୀଵ ,ݔאܫܴ
Aus de An angs e eilung ܲ଴ und den Übe gangsma izen ܳ(ݐ), ݐאܫܰ, läss sich nun
die en sp echende inhomogene Ma ko -Ke e mi Zus ands aum ܵ௡ wie üblich
kons uie en.
Im Folgenden wi d diese inhomogene Ma ko -Ke e mi
(ܺ௧)௧אூேబ
bezeichne . Dami gil ü ݎ=(ݎଵ,ݎଶ,…,ݎ௡),ݏ=(ݏଵ,ݏଶ,…,ݏ௡)אܵ௡ und ݐאܫܰ:
ݍ௥௦(ݐ)=ܲ(ܺ௧=ݏ|ܺ௧ିଵ=ݎ)=ܲቀܺ௧(ଵ)=ݏଵ,…,ܺ௧(௡)=ݏ௡ቚܺ௧ିଵ
(ଵ)=ݎଵ,…,ܺ௧ିଵ
(௡)=ݎ௡ቁ
und ݌଴,௦=ܲ(ܺ଴=ݏ)=ܲቀܺ଴(ଵ)=ݏଵ,…,ܺ଴(௡)=ݏ௡ቁ
14
Als ݐ- e Po enz diese s ochas ischen Ma ix e gib sich nun
൮1000
1െݍ௧ݍ௧00
1െݍ௧0ݍ௧0
1െ2ݍ௧+(ݍെܽ)௧ݍ௧െ(ݍെܽ)௧ݍ௧െ(ݍെܽ)௧(ݍെܽ)௧൲
Beweis mi olls ändige Induk ion:
ݐ=1: i ial
ݐ՜ݐ+1:
Zu zeigen is , dass sich die ݐ+1- e Po enz mi
൮1000
1െݍ௧ାଵ ݍ௧ାଵ 00
1െݍ௧ାଵ 0ݍ௧ାଵ 0
1െ2ݍ௧ାଵ+(ݍെܽ)௧ାଵ ݍ௧ାଵെ(ݍെܽ)௧ାଵ ݍ௧ାଵെ(ݍെܽ)௧ାଵ (ݍെܽ)௧ାଵ൲
e gib . Die e s en d ei Zeilen olgen aus ein achen Be echnungen, die ie e Zeile wie
olg .
E s e Spal e:
(1െݍെܽ)ή1+ܽή(1െݍ௧)+ܽή(1െݍ௧)+(ݍെܽ)ή(1െ2ݍ௧+(ݍെܽ)௧)=
=1െݍെܽ+2ܽെ2ܽݍ௧+ݍെ2ݍ௧ାଵെܽ+2ܽݍ௧+(ݍെܽ)௧ାଵ=
=1െ2ݍ௧ାଵ+(ݍെܽ)௧ାଵ
Zwei e und d i e Spal e:
ܽήݍ௧+(ݍെܽ)ή(ݍ௧െ(ݍെܽ)௧)=ܽήݍ௧+ݍ௧ାଵെܽήݍ௧െ(ݍെܽ)௧ାଵ=
=ݍ௧ାଵെ(ݍെܽ)௧ାଵ
Vie e Spal e:
(ݍെܽ)ή(ݍെܽ)௧=(ݍെܽ)௧ାଵ
Ƒ
Dami e gib sich die Ve eilung de gemeinsamen Ma ko -Ke e zum Zei punk ݐאܫܰ
du ch Mul iplika ion de An angs e eilung
(0001
)
mi de Ma ix
൮1000
1െݍ௧ݍ௧00
1െݍ௧0ݍ௧0
1െ2ݍ௧+(ݍെܽ)௧ݍ௧െ(ݍെܽ)௧ݍ௧െ(ݍെܽ)௧(ݍെܽ)௧൲
wie olg :

15
ܲቀܺ௧(ଵ)=0,ܺ௧(ଶ)=0ቁ=1െ2ݍ௧+(ݍെܽ)௧
ܲቀܺ௧(ଵ)=1,ܺ௧(ଶ)=0ቁ=ܲቀܺ௧(ଵ)=0,ܺ௧(ଶ)=1ቁ=ݍ௧െ(ݍെܽ)௧
ܲቀܺ௧(ଵ)=1,ܺ௧(ଶ)=1ቁ=(ݍെܽ)௧
Wi be ach en nun die Zu alls a iable
ܺ௧(ଵ)+ܺ௧(ଶ)
und ih e Momen e. Fü den E wa ungswe gil
ܧቀܺ௧(ଵ)+ܺ௧(ଶ)ቁ=1ή(ݍ௧െ(ݍെܽ)௧)+1ή(ݍ௧െ(ݍെܽ)௧)+2ή(ݍെܽ)௧=2ݍ௧
und ü die Va ianz
ܸܽݎቀܺ௧(ଵ)+ܺ௧(ଶ)ቁ=1
ଶή(ݍ௧െ(ݍെܽ)௧)+1
ଶή(ݍ௧െ(ݍെܽ)௧)+2
ଶή(ݍെܽ)௧െ(2ݍ௧)ଶ=
=2ݍ௧+2
(ݍെܽ)௧െ4ݍଶ௧.
Somi is de E wa ungswe de Summe de beiden Ma ko -Ke en unabhängig on
ܽ und dahe auch unabhängig on de gewähl en Abhängigkei ss uk u bzw. on den
gewähl en Copulas. Dies is wegen de Linea i ä de Kennzahl E wa ungswe auch
nich ande s zu e wa en. Bei de Va ianz hingegen is eine Abhängigkei on a
o handen, dies gil dann auch ü den Ko ela ionskoe izien en on ܺ௧(ଵ) und ܺ௧(ଶ) im
Folgenden mi ߩ௧ bezeichne . Diese läss sich mi hil e de Fo mel
ܸܽݎቀܺ௧(ଵ)+ܺ௧(ଶ)ቁ=ܸܽݎቀܺ௧(ଵ)ቁ+ܸܽݎቀܺ௧(ଶ)ቁ+2ήටܸܽݎቀܺ௧(ଵ)ቁήටܸܽݎቀܺ௧(ଶ)ቁήߩ௧
in Ve bindung mi ܧቀܺ௧(ଵ)ቁ=ܧቀܺ௧(ଶ)ቁ=0ή(1െݍ௧)+1ήݍ௧=ݍ௧
und ܸܽݎቀܺ௧(ଵ)ቁ=ܸܽݎቀܺ௧(ଶ)ቁ=0
ଶή(1െݍ௧)+1
ଶήݍ௧െݍଶ௧=ݍ௧െݍଶ௧
be echnen:
ߩ௧=ܸܽݎቀܺ௧(ଵ)+ܺ௧(ଶ)ቁെܸܽݎቀܺ௧(ଵ)ቁെܸܽݎቀܺ௧(ଶ)ቁ
2ήටܸܽݎቀܺ௧(ଵ)ቁήටܸܽݎቀܺ௧(ଶ)ቁ=
=2ݍ௧+2
(ݍെܽ)௧െ4ݍଶ௧െ2ή(ݍ௧െݍଶ௧)
2(ݍ௧െݍଶ௧)=
=2(ݍെܽ)௧െ2ݍଶ௧
2(ݍ௧െݍଶ௧)=(ݍെܽ)௧െݍଶ௧
ݍ௧െݍଶ௧
16
Somi häng auch de Ko ela ionskoe izien (wie zu e wa en) on ܽ bzw. den
gewähl en Copulas ab.
Wi be ach en nun d ei Fälle mi speziellen Copulas. Dabei wi d als Copula in Zi e 2
die obe e F éche -Hoe ding Sch anke und als Copula in Zi e 3 die un e e F éche -
Hoe ding Sch anke e wende . ( gl. [8] S11 ).
1. ܥ(ݑଵ,ݑଶ)=ݑଵήݑଶ (Unabhängigkei s-Copula [ gl. [8] S.5)
Es gil ܥ(1െݍ,1െݍ))=(1െݍ)²
bzw. ܽ=1െݍെ(1െݍ)ଶ=ݍή(1 െݍ)
und ݍെܽ=ݍെݍή(1 െݍ)=ݍଶ
Als Ko ela ionskoe izien e gib sich:
ߩ௧=(ݍെܽ)௧െݍଶ௧
ݍ௧െݍଶ௧ =(ݍ²)௧െݍଶ௧
ݍ௧െݍଶ௧ =0
Dies pass zu s ochas ischen Unabhängigkei de beiden Ma ko -Ke en.
2. ܥ(ݑଵ,ݑଶ)=݉݅݊(ݑଵ,ݑଶ) (Comono onici y-Copula. gl. [8] S.5 )
Hie gil ܥ(1െݍ,1െݍ))=1െݍ
bzw. ܽ=1െݍെ(1 െݍ)=0
und ݍെܽ=ݍ
Als Ko ela ionskoe izien e gib sich:
ߩ௧=(ݍെܽ)௧െݍଶ௧
ݍ௧െݍଶ௧ =ݍ௧െݍଶ௧
ݍ௧െݍଶ௧=1
Somi sind in diesem Fall die beiden Ma ko -Ke en pe ek ko elie .
3. ܥ(ݑଵ,ݑଶ)=݉ܽݔ(ݑଵ+ݑଶെ1,0) (Coun e mono onici y-Copula, gl. [8] S.6)
In diesem Fall gil
ܥ(1െݍ,1െݍ)=݉ܽݔ(1െ2ݍ,0
)=൜1െ2ݍ , ݍ൑0,5
0 , ݍ>0,5
bzw.
17
ܽ=൜ݍ , ݍ൑0,5
1െݍ , ݍ>0,5
und ݍെܽ=൜0 , ݍ൑0,5
2ݍെ1 , ݍ>0,5
Als Ko ela ionskoe izien e gib sich im Fall ݍ൑0,5
ߩ௧=(ݍെܽ)௧െݍଶ௧
ݍ௧െݍଶ௧ =െݍଶ௧
ݍ௧െݍଶ௧
und im Fall ݍ>0,5 ߩ௧=(ݍെܽ)௧െݍଶ௧
ݍ௧െݍଶ௧ =(2ݍെ1)௧െݍଶ௧
ݍ௧െݍଶ௧
Dieses ein ache Beispiel on zwei iden ischen Ma ko -Ke en mi jeweils zwei
Zus änden – da on eine abso bie end – zeig wie eine gewähl e Copula, die
S euungen und Ko ela ionskoe izien en beein luss . Somi is es bei einem Po olio
on Ma ko -Ke en, bei dem Di e si ika ion on Rele anz is , wich ig bei de
Modellie ung eine en sp echende Copula zu wählen. In e essie man sich lediglich ü
E wa ungswe e, d.h. Du chschni e, so spiel diese Abhängigkei ss uk u keine
Rolle.
18
7. Beispiel 2: Be iebliche Al e s e so gung
In einem zwei en Beispiel be ach en wi einen Kleins bes and on ie Pe sonen aus
dem Be eich de be ieblichen Al e s e so gung. Diese Kleins bes and sei wie olg
gegeben:
Pe son
N .
Geschlech Jah gang
(Gebu sda um
jeweils 01.01.)
Al e am
01.01.2022
S a us am
01.01.2022
1 Männlich 1981 41 Ak i e
A bei nehme
2 Männlich 1982 40 Ak i e
A bei nehme
3 Weiblich 1984 38 Ak i e
A bei nehme in
4 Weiblich 1985 37 Ak i e
A bei nehme in
Fü jede Pe son wi d eine Modellie ung als inhomogene Ma ko -Ke e mi d ei
Zus änden zug unde geleg :
Zus and ૙: ak i e A bei nehme /ak i e A bei nehme in
Zus and ૚: In aliden en ne /-in
Zus and ૛: Tod
De Zus ands aum de ie einzelnen inhomogenen Ma ko -Ke en is somi jeweils
du ch ܵ={0,1,2} und de Zus ands aum de gemeinsamen inhomogenen Ma ko -
Ke e du ch ܵସ gegeben.
Die Übe gangswah scheinlichkei en sind den Heubeck-Rich a eln 2018 G (siehe [1])
en nommen, sie we den dabei als jäh liche Wah scheinlichkei en angese z . De
be ach e e Zei aum beginn am 01.01.2022 (ݐ=0). Im Fall de In alidi ä e olg eine
jäh lich o schüssige Zahlung on 100 Geldeinhei en. Eine Todes allleis ung is nich
o gesehen.
Da alle ie Pe sonen als ak i e A bei nehme bzw. als ak i e A bei nehme in s a en,
gil unabhängig on de Wahl de Copula ܥ଴ ü die An angs e eilung:
ܲቀܺ଴(ଵ)=0,ܺ଴(ଶ)=0,ܺ଴(ଷ)=0,ܺ଴(ସ)=0ቁ=ܲቀܺ଴(ଵ)൑0, ܺ଴(ଶ)൑0, ܺ଴(ଷ)൑0, ܺ଴(ସ)൑0ቁ=
19
=ܥ଴൬ܲቀܺ଴(ଵ)൑0ቁ,ܲቀܺ଴(ଶ)൑0ቁ,ܲቀܺ଴(ଷ)൑0ቁ,ܲቀܺ଴(ସ)൑0ቁ൰=ܥ଴(1,1,1,1)=1
Zu Modellie ung de Abhängigkei ss uk u bei de Kons uk ion de
Übe gangsma izen wi d ü alle Zei punk e ݐ=1,2,… und Zus ände ݎאܵସ die gleiche
Copula ܥణ aus de Gumbel-Familie ( gl. [8] S.73) gewähl , d.h.
ܥ௥,௧(ݑଵ,ݑଶ,ݑଷ,ݑସ)=ܥణ(ݑଵ,ݑଶ,ݑଷ,ݑସ)=exp൮െ൭෍(െln (ݑ௞))ణ
ସ
௞ୀଵ ൱ଵణ
ൗ൲
mi ߴ൒1. Im Fall ߴ=1 en sp ich dies de s ochas ischen Unabhängigkei de ie
Ma ko -Ke en.
Wi be ach en zunächs die Anzahl de Pe sonen in den einzelnen Zus änden und
de inie en dazu ü ݐ= 0,1,2, … die olgenden Zu alls a iablen bzw. Zähl a iablen:
ܣ௧ؔ “Anzahl de ak i en A bei e nehme /-innen zum Zei punk ݐ“
ܫ௧ؔ “Anzahl de In aliden en ne /-innen zum Zei punk ݐ“
ܶ௧ؔ “Anzahl de bis zum Zei punk ݐ Ve s o benen“
Selbs e s ändlich gil zu jedem Zei punk ܣ௧+ܫ௧+ܶ௧=4. Zu den Zei punk en
ݐ=1 (01.01.2023), ݐ=2 (01.01.2024), ݐ=5 (01.01.2027) und ݐ=10 (01.01.2032)
we den de E wa ungswe und die S anda dabweichung de d ei Zu alls a iablen
ܣ௧,ܫ௧ und ܶ௧ be echne und dabei de Pa ame e ߴ al e na i mi olgenden We en
angese z : ߴ=1,ߴ=1,2,ߴ=1,5,ߴ=2,ߴ=5,ߴ=10,ߴ=50.
Dabei s eh ߴ=1 ü den Fall de s ochas ischen Unabhängigkei , je höhe de We
des Pa ame e s des o g öße is die posi i e Abhängigkei de ie Ma ko -Ke en
un e einande .
Die E gebnisse de Be echnungen sind im Anhang beige üg . Die We e des
E wa ungswe es hängen dabei nich on de Wahl des Pa ame e s ߴ ab. Dies
beg ünde sich mi de Linea i ä de Kennzahl E wa ungswe . Die
S anda dabweichung hingegen s eig bei allen d ei Va iablen mi zunehmendem We
des Pa ame e s ߴ. D.h. je g öße die posi i e Abhängigkei de ie Ma ko -Ke en
un e einande des o höhe die Vola ili ä de Anzahl de Pe sonen in den d ei
be ach e en Zus änden. Mi ande en Wo en, die Planba kei diese be ieblichen
Al e s e so gung nimm mi zunehmende posi i e Abhängigkei bzw. mi s eigendem
ߴ ab.
Mi hil e de Va ianz de Summe on jeweils zwei de d ei Zu alls a iablen ܣ௧,ܫ௧ und ܶ௧
können die paa weisen Ko ela ionskoe izien en be echne we den. Dazu wi d die
allgemeine Fo mel ü die Va ianz de Summe zweie Zu alls a iablen ܺ und ܻ nach
dem Ko ela ionskoe izien en au gelös :

20
ܸܽݎ(ܺ+ܻ)=ܸܽݎ(ܺ)+ܸܽݎ(ܻ)+2ήඥܸܽݎ(ܺ)ήඥܸܽݎ(ܻ)ήߩ௑௒
֜ߩ௑௒=ܸܽݎ(ܺ+ܻ)െܸܽݎ(ܺ)െܸܽݎ(ܻ)
2ήඥܸܽݎ(ܺ)ήඥܸܽݎ(ܻ)
Die E gebnisse be inden sich eben alls im Anhang. Hie gib es ü die oben
ange üh en Kons ella ionen bezüglich Zei punk ݐ und Pa ame e ߴ kein einhei liches
Bild:
Die nega i en Ko ela ionskoe izien en zwischen ܣ௧ und ܫ௧ e höhen sich be agsmäßig
leich bei s eigendem ߴ. Ein ähnliches Bild e gib sich ü die nega i en
Ko ela ionskoe izien en zwischen ܣ௧ und ܶ௧. Alle dings e höhen sich diese nu am
An ang und allen ab ߴ=2 wiede . Die im Fall ߴ=1 leich nega i en
Ko ela ionskoe izien en zwischen ܫ௧ und ܶ௧ d ehen mi s eigendem ߴ ins Posi i e,
s eigen zunächs und allen anschließend wiede , bleiben abe posi i .
Nun we den die Zahlungs e p lich ungen bei Ein i de In alidi ä mi dem Ba we
zum Zei punk 01.01.2022 (ݐ=0) bewe e . Be ücksich ig we den dabei Zahlungen
om 01.01.2022 bis 01.01.2033 (ݐ= 11). Da jedoch alle ie Pe sonen am 01.01.2022
ak i e A bei nehme /-innen sind, kommen e s Zahlungen ab 01.01.2023 zum T agen.
Mi de in Abschni 5 einge üh en No a ion is die ele an e Zu alls a iable Ba we
gegeben du ch
ܤଵଵ=෍ݒ௧ή෍1{௑೟ୀ௦}ή
௦אௌ೙
ଵଵ
௧ୀ଴ ܮ௧,௦.
Als jäh liche Zinssa z wi d dabei 2% angese z .
In Abhängigkei des Pa ame e s ߴ e geben sich ü den E wa ungswe und die
S anda dabweichung de Zu alls a iablen ܤଵଵ olgende E gebnisse. Dabei e olgen die
Be echnungen nähe ungsweise mi dem in Abschni 5 da ges ell en Ve ah en, d.h.
mi hil e de nume ischen Ablei ung (ݔ=10
ି଺) de momen ene zeugenden Funk ion:
ߴ E wa ungswe S anda dabweichung
1 84,901196 226,452128
1,2 84,901196 269,228445
1,5 84,901196 308,648579
2 84,901196 346,214015
5 84,901196 407,535323
10 84,901196 423,929414
50 84,901196 432,842865
21
Auch hie zeig sich, dass de E wa ungswe des Ba we s unabhängig is on de
gewähl en Abhängigkei ss uk u bzw. Copula. Wohingegen de S euung gemessen
in de S anda dabweichung mi zunehmendem ߴ, d.h. mi zunehmende posi i e
Abhängigkei de ie Ma ko -Ke en un e einande , s eig und somi die Planba kei
abnimm .
Wi be ach en nun die Ko ela ionskoe izien en de Ba we e ܤଵଵ
(ଵ),ܤଵଵ
(ଶ),ܤଵଵ
(ଷ) und ܤଵଵ
(ସ)
de ie Ma ko -Ke en un e einande . Selbs e s ändlich gil :
ܤଵଵ=ܤଵଵ
(ଵ)+ܤଵଵ
(ଶ)+ܤଵଵ
(ଷ)+ܤଵଵ
(ସ).
Be echne we den diese Ko ela ionskoe izien en mi de gleichen Me hode wie die
Ko ela ionskoe izien en bei den obigen Zähl a iablen (Au lösen de Va ianz o mel).
Bei einem jäh lichen Zinssa z on 2% e geben sich olgende We e:
Ko ela ionskoe izien zwischen
ߴ ܤଵଵ
(ଵ)
und
ܤଵଵ
(ଶ)
ܤଵଵ
(ଵ)
und
ܤଵଵ
(ଷ)
ܤଵଵ
(ଵ)
und
ܤଵଵ
(ସ)
ܤଵଵ
(ଶ)
und
ܤଵଵ
(ଷ)
ܤଵଵ
(ଶ)
und
ܤଵଵ
(ସ)
ܤଵଵ
(ଷ)
und
ܤଵଵ
(ସ)
1 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
1,2 0,1165 0,1346 0,1334 0,1374 0,1364 0,1671
1,5 0,2511 0,2789 0,2754 0,2851 0,2820 0,3405
2 0,4117 0,4342 0,4267 0,4443 0,4379 0,5178
5 0,7648 0,7238 0,7047 0,7405 0,7252 0,8198
10 0,8802 0,8090 0,7799 0,8293 0,8068 0,9067
50 0,9514 0,8572 0,8093 0,8874 0,8492 0,9562
Man e kenn , wie die Ko ela ionskoe izien en ausgehend on dem We 0 bei
ߴ=1 (s ochas ische Unabhängigkei ) gemeinsam s eigen und bei
ߴ=50 ela i nahe bei 1 (pe ek e posi i e Ko ela ion) liegen. Da es sich bei den
Zu alls a iablen um Ba we e handel , e häl man bei eine Ände ung des jäh lichen
Zinssa zes ande e We e ü die Ko ela ionskoe izien en. Bei einem jäh lichen
Zinssa z on z.B. 3% s a 2% ände n sich diese im o liegenden Beispiel in de ie en
Nachkommas elle.
22
8. Beispiel 3: Eine Ve allgemeine ung de
Binomial e eilung
Gegeben seien ݊ homogene Ma ko -Ke en mi dem Zus ands aum ܵ={0,1}, den
Übe gangsma izen
ܳ(௞)(ݐ)=ܳ=ቀ1െ݌ ݌
01
ቁ ,ݐאܫܰ,݇=1,2,…,݊,݌א(0,1),
den An angs e eilungen ܲ଴(௞)=(10
) , ݇=1,2,…,݊,
und den Bewe ungen ܮ଴(௞)=ቀ0
0ቁ,ܮଵ(௞)=ቀ0
1ቁ,݇=1,2,…,݊.
Fe ne sei ܥ଴ eine beliebige Copula ü die An angs e eilung und
ܥ௥,ଵ(ݑଵ,ݑଶ,…,ݑ௡)=ݑଵήݑଶή…ήݑ௡, ݑଵ,ݑଶ,…,ݑ௡א[0,1]
ü ݎ=(00…0
)אܵ௡. Diese Copula en sp ich de s ochas ischen
Unabhängigkei ( gl. Abschni 4). Alle nich explizi e wähn en Modellannahmen seien
beliebig. Wähl man als Zinssa z 0%, so is die Zu alls a iable
ܤଵ=෍ݒ௧ή෍1{௑೟ୀ௦}ή
௦אௌ೙ܮ௧,௦
ଵ
௧ୀ଴ =෍1{௑೟ୀ௦}ή
௦אௌ೙ܮଵ,௦
binomial e eil mi den Pa ame e n ݊אܫܰ und ݌א(0,1).
Beweis:
Zum Beweis be echnen wi die cha ak e is ische Funk ion on ܤଵ. Es sei ݔאܫܴ.
߮ଵ(ݔ)=ܧ(exp(݅ήݔήܤଵ)) =෍൭ܲ଴ήܷ(0, ݔ)ήෑ൫ܳ(ݐ)ήܷ(ݐ,ݔ)൯
ଵ
௧ୀଵ ൱௦
௦אௌ೙
Wegen ܮ଴
(௞)=ቀ0
0ቁ,݇=1,2,…,݊, gil ܷ(0, ݔ)=ܧ. Dami e gib sich:
߮ଵ(ݔ)=෍(ܲ଴ήܳ(1) ήܷ(1, ݔ))௦
௦אௌ೙
Fe ne ha man
ܲቀܺ଴(ଵ)=0,ܺ଴(ଶ)=0,…,ܺ଴(௡)=0ቁ=ܲቀܺ଴(ଵ)൑0, ܺ଴(ଶ)൑0, … , ܺ଴(௡)൑0ቁ=
=ܥ଴൬ܲቀܺ଴(ଵ)൑0ቁ,ܲቀܺ଴(ଶ)൑0ቁ,…,ܲቀܺ଴(௡)൑0ቁ൰=ܥ଴(1,1, … ,1)=1,
23
d.h. ܲ଴=(100…0
).
Somi is on dem P oduk ܳ(1) ήܷ(1, ݔ) nu die e s e Zeile ele an .
Es seien ݎ=(00…0
)אܵ௡ und ݏ=(ݏଵ,ݏଶ,…,ݏ௡)אܵ௡. De zugehö ige Ein ag in
de e s en Zeile de Ma ix ܳ(1) be echne sich mi den Übe legungen aus Abschni 4
wie olg :
ݍ௥௦(1)=ܲቀܺଵ(ଵ)=ݏଵ,…,ܺଵ(௡)=ݏ௡ቚܺ଴(ଵ)=0,…,ܺ଴(௡)=0ቁ=
=ෑܲቀܺଵ(௞)=ݏ௞ቚܺ଴(௞)=0ቁ
௡
௞ୀଵ =݌σ௦ೖ
೙
ೖసభ ή(1 െ݌)௡ିσ௦ೖ
೙
ೖసభ
Bei de Ma ix ܷ(1, ݔ) handel es sich um eine Diagonalma ix mi den Ein ägen
ݑ௦௦(1, ݔ)=exp൫ ݅ήݔήܮଵ,௦൯=exp൭ ݅ήݔή෍ݏ௞
௡
௞ୀଵ ൱.
Es sei ݎ=(00…0
)אܵ௡. Man e häl mi klassischen kombina o ischen
Übe legungen und dem binomischen Leh sa z:
߮ଵ(ݔ)=෍൫ݍ௥௦(1)ήݑ௦௦(1, ݔ)൯௦
௦אௌ೙=
=෍ቌ݌σ௦ೖ
೙
ೖసభ ή(1െ݌)௡ିσ௦ೖ
೙
ೖసభ ήexp ൭݅ήݔή෍ݏ௞
௡
௞ୀଵ ൱ቍ௦
௦אௌ೙=
=෍ቀ݊݇ቁή݌௞
௡
௞ୀ଴ ή(1െ݌)௡ି௞ήexp(݅ήݔή݇)=
=෍ቀ݊݇ቁή൫݌ήexp(݅ήݔ)൯௞
௡
௞ୀ଴ ή(1െ݌)௡ି௞=(݌ήexp(݅ήݔ)+(1െ݌))௡
Dies is die cha ak e is ische Funk ion de Binomial e eilung mi den Pa ame e n ݊
und ݌. Die Behaup ung olg dann aus dem Eindeu igkei ssa z ( gl. [9] S.388).
Ƒ
Möch e man nun eine Zu alls a iable als Summe on ݊ dicho omen Zu alls a iablen,
jeweils mi de Ve eilungs unk ion
ܨ(ݔ)=൝0ݔ<0
1െ݌ 0൑ݔ<1
1ݔ൒1
30
Li e a u e zeichnis
[1] He mann,
Richa d;
Heubeck, Klaus
Heubeck-Rich a eln 2018 G,Tex band und P og amm
Heu ika 4,Ve lag: Heubeck-Rich a eln-GmbH, Köln
2018.
[2] Knobloch, Ral Bewe ung on isikobeha e en Zahlungss ömen
mi hil e on Ma ko -Ke en, In: Fo schung am i wKöln,
Band 3/2011, Köln 2012, h p://nbn-
esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos-98
(S and 28. Dezembe 2021).
[3] Knobloch, Ral Bewe ung on isikobeha e en Zahlungss ömen
mi hil e on Ma ko -Ke e bei un e jäh liche Zahlweise,
In: Fo schung am i wKöln, Band 6/2012, Köln 2012,
h p://nbn- esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos-204
(S and 28. Dezembe 2021).
[4] Knobloch, Ral Kons uk ion eine un e jäh lichen Ma ko -Ke e aus
eine jäh lichen Ma ko -Ke e, In: Fo schung am
i wKöln, Band 6/2013, Köln 2013, h p://nbn-
esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos-402
(S and 28. Dezembe 2021).
[5] Knobloch, Ral Momen e und cha ak e is ische Funk ion des Ba we s
eine bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke e-
Anwendung bei isikobeha e en Zahlungss ömen, In:
Fo schung am i wKöln, Band 5/2015, Köln 2015,
h p://nbn- esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos-816
(S and 28. Dezembe 2021).
[6] Knobloch, Ral De Ba we de Ren enzahlungen aus eine
be ieblichen Ve so gungszusage, De Ak ua 2016, He
4, S. 210 – 213.
[7] Knobloch, Ral Die P ade eine bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke e
- Fallbeispiele aus de be ieblichen Al e s e so gung, In:
Fo schung am i wKöln, Band 4/2018, h p://nbn-
esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos4-6459 (S and 28.
Dezembe 2021).
[8] Mai, Jan-
F ede ik;
Sche e ,
Ma hias
Simula ing Copulas, Impe ial College P ess, London
2012.

31
[9] Schmid , Klaus
D.
Maß und Wah scheinlichkei , Sp inge Ve lag,
Heidelbe g 2009.
[10] Waldmann, Ka l-
Heinz; S ocke ,
Ul ike M.
S ochas ische Modelle, 2. Au lage, Sp inge Ve lag,
Heidelbe g 2013.
Imp essum
Diese Ve ö en lichung e schein im Rahmen de Online-Publika ions eihe „Fo schung am i wKöln“.
Eine olls ändige Übe sich alle bishe e schienenen Publika ionen inde sich am Ende diese
Publika ion und kann
hie abge u en we den.
Fo schung am i w
Köln, 2/2022
ISSN (online) 2192
-8479
Ral Knobloch:
Ein Po olio on inhomogenen Ma ko -Ke en mi Abhängigkei ss uk u
Köln,
Feb ua 2022
Sch i lei ung /
edi o ’s o ice:
P o . D . Ral Knobloch
S
chmalenbach Ins i u ü Wi scha swissenscha en /
Schmalenbach Ins i u e o Business Adminis a ion
Fakul ä ü Wi scha s
- und Rech swissenscha en /
Facul y o Business, Economics and Law
Technische Hochschule Köln /
Uni e si y o Applied Sciences
Gus a Heinemann
-U e 54
50968 Köln
Mail al .knobloch@ h
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He ausgebe de Sch i en eihe /
Se ies Edi o ship:
P o . D . Michael Fo mann
P o . D .
Ral Knobloch
P o . D .
Michaele Völle
Kon ak Au o / Con ac au ho :
P o . D . Ral Knobloch
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Publika ions eihe „Fo schung am i wKöln“
Die Ve ö en lichungen de Online-Publika ions eihe "Fo schung am i wKöln" (ISSN: 2192-8479)
we den übliche weise übe Cologne Open Science (Publika ionsse e de TH Köln) e ö en lich . Die
Publika ionen we den hie du ch übe na ionale und in e na ionale Biblio hekska aloge,
Suchmaschinen sowie ande e Nachweisins umen e e schlossen.
Alle Publika ionen sind auch kos enlos ab u ba un e www.i w-koeln.de.
2022
1/2022
Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2021
2021
4/2021
Ins i u ü Ve siche ungswesen: Risiko im Wandel als He aus o de ung ü die
Ve siche ungswi scha
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Völle , Mülle -Pe e s: Insu Tech Ka e i wKöln 2021 - Bei äge zu Insu Techs
und Inno a ion am i wKöln
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Knobloch: Die quan i a i e Risikobewe ung bei einem Po olio on dicho omen Risiken mi hil e des
zen alen G enzwe sa zes
1/2021
Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2020
2020
7/2020
Mülle -Pe e s, Schmid , Völle : Re olu ionie en Big Da a und KI die Ve siche ungswi scha ? 24.
Kölne Ve siche ungssymposium am 14. No embe 2019
6/2020
Schmid : Küns liche In elligenz im Risikomanagemen . P oceedings zum 15. FaRis & DAV Symposium
am 6. Dezembe 2019 in Köln
5/2020
Mülle -Pe e s: Die Wah nehmung on Risiken im Rahmen de Co ona-K ise
4/2020
Knobloch: Modellie ung eine Can elli-Zusage mi hil e eine bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke e
3/2020
Mülle -Pe e s, Ga ze : Todsiche : Die Wah nehmung und Fehlwah nehmung on All ags isiken in de
Ö en lichkei
2/2020
Völle , Mülle -Pe e s: Insu Tech Ka e i wKöln 2020 - Bei äge zu Insu Techs
und Inno a ion am i wKöln
1/2020
Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2019
2019
5/2019
Mude s: Risiko und Resilienz kollek i e Spa p ozesse – Back es ing au Basis deu sche und US-
ame ikanische Kapi alma k da en 1957-2017
4/2019
Heep-Al ine , Be g: Mik oökonomisches P oduk ionsmodell ü Ve siche ungen. Teil 2:
Rendi emaximie ung und Ve gleich mi klassischen Op imie ungsansä zen.
3/2019
Völle , Mülle -Pe e s: Insu Tech Ka e i wKöln 2019 - Bei äge zu Insu Techs und Inno a ion am
i wKöln
2/2019
Rohl s, Pü z, Mo awe z: Risiken des au oma isie en Fah ens. He aus o de ungen und
Lösungsansä ze ü die K z-Ve siche ung. P oceedings zum 14. FaRis & DAV-Symposium am
7.12.2018 in Köln.
1/2019
Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2018
2018
7/2018
Goecke: Resilience and In e gene a ional Fai ness in Collec i e De ined Con ibu ion Pension Funds
6/2018
Miebs: Kapi alanlages a egien ü die bAV – He aus o de ungen ü das Asse Managemen du ch
das Be iebs en ens ä kungsgese z. P oceedings zum 13. FaRis & DAV Symposium am 8. Dezembe
2017 in Köln
5/2018
Goecke, Heep-Al ine , Knobloch, Schiegl, Schmid (H sg.): FaRis a ICA 2018 – Con ibu ions o he
In e na ional Cong ess o Ac ua ies 2018 in Be lin. Bei äge on FaRis Mi gliede n zum Wel kong ess
de Ak ua e om 4. bis zum 8. Juni 2018 in Be lin
4/2018
Knobloch: Die P ade eine bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke e - Fallbeispiele aus de
be ieblichen Al e s e so gung
3/2018
Völle , Mülle -Pe e s: Insu Tech Ka e i wKöln 1/2018 - Bei äge zu Insu Techs und Inno a ion am
i wKöln
2/2018
Schmid , Schulz: Insu Tech. P oceedings zum 12. FaRis & DAV Symposium am 9. Juni 2017 in Köln
1/2018
Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2017
2017
8/2017
Ma e ne, Pü z: Al e na i e Capi al und Basis isiko in de S anda d o mel (non-li e) on Sol ency II
7/2017
Knobloch: Kons uk ion eine un e jäh lichen Ma ko -Ke e aus eine jäh lichen Ma ko -Ke e - Eine
Ve allgemeine ung des linea en Ansa zes
6/2017
Goecke, Oska (H sg.): Risiko und Resilienz. P oceedings zum 11. FaRis & DAV Symposium am 9.
Dezembe 2016 in Köln
5/2017
G undhö e , D euw, Quin , S egemann: Bewe ungspo ale - eine neue Quali ä de Konsumen en-
in o ma ion?
4/2017
Heep-Al ine , Meh ing, Rohl s: Bewe ung des e ügba en Kapi als am Beispiel des Da enmodells
de „IVW P i a AG“
3/2017
Mülle -Pe e s, Völle : Insu Tech Ka e i wKöln 1/2017 - Bei äge zu Insu Techs und Inno a ion am
i wKöln
2/2017
Heep-Al ine , Mülle -Pe e s, Schimikowski, Schnu (H sg.): Big Da a ü Ve siche ungen. P oceedings
zum 21. Kölne Ve siche ungssymposium am 3. 11. 2016 in Köln
1/2017
Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2016