Ein Portfolio von inhomogenen Markov-Ketten mit Abhängigkeitsstruktur

Fo schung am i wKöln Band 2/2022 Ein Po olio on inhomogenen Ma ko -Ke en mi Abhängigkei ss uk u Ral Knobloch Fo schung am i wKöln, Band 2/2022 Ral Knobloch Fo schungss elle FaRis Ein Po olio on inhomogenen Ma ko -Ke en mi Abhängigkei ss uk u Zusammen assung Ma ko -Ke en haben bei de Modellie ung on ökonomischen Sach e hal en eine Vielzahl on Anwendungen. In den Wi scha swissenscha en s eh o ein Po olio on Ma ko -Ke en im Mi elpunk des In e esses, z.B. das K edi po olio eine Bank ode das Ve agspo olio eine Ve siche ung. In den meis en Modellen wi d dabei die s ochas ische Unabhängigkei de un e schiedlichen Ma ko -Ke en o ausgese z . In de o liegenden A bei wi d ein Modell zu Be ücksich igung eine Abhäng igkei ss uk u in einem solchen Po olio o ges ell . Die Abhängigkei en we den dabei mi eine Familie on C opulas modellie und we den bei den Übe gangsma izen be ücksich ig . Abs ac Ma ko chains ha e a a ie y o applica ions in he modeling o economic ac s. In economics, he ocus is o en on a po olio o Ma ko chains, e.g. a bank’s loan po olio o an insu ance con ac po olio. In mos models, he s ochas ic independence o he di e en Ma ko chains is assumed. This pape p esen s a model o aking in o accoun a dependency s uc u e in such a po olio. The dependencies a e gi en wi h a amily o copulas and a e aken in o accoun in he ansi ion ma ices . Schlagwö e : Ma ko -Ke e, Bewe e e Ma ko -Ke e, Copula Keywo ds : Ma ko Chain, P iced Ma ko Chain, Copula 1 Inhal s e zeichnis 1. EINLEITUNG ................................................................................................................................. 2 2. COPULAS ..................................................................................................................................... 3 3. DAS MODELL ............................................................................................................................... 5 4. DER FALL DER STOCHASTISCHEN UNABHÄNGIGKEIT ....................................................... 8 5. BEWERTETE MARKOV-KETTEN ............................................................................................... 9 6. BEISPIEL 1: ZWEI HOMOGENE MARKOV-KETTEN MIT EINEM ABSORBIERENDEN ZUSTAND ................................................................................................................................... 11 7. BEISPIEL 2: BETRIEBLICHE ALTERSVERSORGUNG ........................................................... 18 8. BEISPIEL 3: EINE VERALLGEMEINERUNG DER BINOMIALVERTEILUNG ......................... 22 9. FAZIT UND AUSBLICK .............................................................................................................. 25 ANHANG ............................................................................................................................................. 26 LITERATURVERZEICHNIS ................................................................................................................ 30 2 1. Einlei ung In den Wi scha swissenscha en wi d die zei liche En wicklung on ökonomischen G ößen häu ig als s ochas ische P ozess modellie . Eine wich ige Klasse on s ochas ischen P ozessen sind Ma ko -Ke en. Dabei handel es sich um s ochas ische P ozesse mi eine disk e en Zei achse und bei wi scha swissenscha lichen Modellen i.d.R. mi einem endlichen Zus ands aum. Bei ökonomischen F ages ellungen s ehen häu ig nich nu einzelne Objek e, sonde n ein Po olio, d.h. eine Zusammens ellung on Objek en, im Mi elpunk des In e esses. Beispiele hie ü sind de Pe sonenbes and eine Lebens e siche ung und das K edi po olio eine Bank. Wi d ü jedes Objek die En wicklung eine ökonomischen G öße mi eine eigenen Ma ko -Ke e modellie , so s ell sich die F age, wie diese einzelnen s ochas ischen P ozesse zusammenge ass bzw. wie Abhängigkei en be ücksich ig we den können. Zu Modellie ung de Abhängigkei on Zu allsg ößen im Allgemeinen gib es meh e e Konzep e. So können Abhängigkei en mi els beding e Wah scheinlichkei en bzw. mi els beding e Ve eilungen modellie we den. Eine klassische Vo gehensweise is die Modellie ung de Abhängigkei en mi hil e on Ko ela ionskoe izien en. Dies unk ionie abe bei einem Po olio on s ochas ischen P ozessen i.d.R. nu bei au No mal e eilungen basie enden Modellen (z.B. B ownsche Bewegung und geome ische B ownsche Bewegung). Eine solche Ve eilungsannahme is bei eine Ma ko -Ke e abe seh häu ig nich gegeben. Eine wei e e Möglichkei zu Modellie ung on Abhängigkei en on Zu allsg ößen e gib sich aus de Anwendung eine Copula. Ve wende man dieses Abhängigkei smodell ü eine Menge on Zu alls a iablen, so können de Ein luss de einzelnen Ve eilungen und de Ein luss de Abhängigkei im Modell o mal ge enn we den. In de o liegenden A bei wi d mi hil e eine Familie on Copulas aus einem Po olio on inhomogenen Ma ko -Ke en eine neue inhomogene Ma ko -Ke e kons uie . Die Abhängigkei en beziehen sich dabei au die gegebene An angskons ella ion und die Zus andsübe gänge zu den einzelnen Zei punk en. 3 2. Copulas Gegeben seien ݊ au dem In e all [0,1] gleich e eil e Zu alls a iablen ܷଵ,ܷଶ,…,ܷ௡. Die gemeinsame Ve eilungs unk ion ܥ:[0,1] ௡՜[0,1] heiß Copula, d.h. es gil : ܥ(ݑଵ,ݑଶ,…,ݑ௡)= ܲ(ܷଵ൑ݑଵ,ܷଶ൑ݑଶ,…,ܷ௡൑ݑ௡),ݑଵ,ݑଶ,…,ݑ௡א[0,1] ( gl. [8] S.4 ) Da es sich bei eine Copula um eine meh dimensionale Ve eilungs unk ion handel und die eindimensionalen Rand e eilungen du ch die Gleich e eilung au dem In e all [0,1] gegeben sind, e geben sich u.a. die olgenden Eigenscha en ( gl. [8] S.7 und [9] S.293 ): 1. ܥ(1, … ,1, ݑ௞,1,…,1 )=ݑ௞ ü alle ݇=1,2,…,݊ und ݑ௞א[0,1] 2. ܥ(ݑଵ,ݑଶ,…,ݑ௡)=0, alls es ein ݇א{1,2, … , ݊} gib mi ݑ௞=0 3. ܥ is ech ecksmono on, d.h. οܥ(ݑ,ݒ]=෍(െ1)௝෍ܥ൫ݓ ଵ,(௨,௩],ெ,ݓଶ,(௨,௩],ெ,…,ݓ௡,(௨,௩],ெ൯ ெؿ{ଵ,ଶ,…,௡} |ெ|ୀ௝ ௡ ௝ୀ଴ ൒0 ü alle (ݑ,ݒ]=(ݑଵ,ݒଵ]×(ݑଶ,ݒଶ]×…×(ݑ௡,ݒ௡]ؿ[0,1]௡, wobei ݓ௞,(௨,௩],ெ=൜ݑ௞, ݇אܯ ݒ௞, ݇בܯ Umkeh kann man zeigen, dass jede Funk ion ܥ:[0,1] ௡՜[0,1] mi diesen d ei Eigenscha en eine Copula is ( gl. [8] S.8 ). Fe ne gil οܥ(ݑ,ݒ]=ܲ(ݑଵ<ܷଵ൑ݒଵ,ݑଶ<ܷଶ൑ݒଶ,…,ݑ௡<ܷ௡൑ݒ௡) ( gl. [8] S.8). Da es sich bei ܷଵ,ܷଶ,…,ܷ௡ um s e ige Zu alls a iablen handel kann hie bei "<" du ch "൑" e se z we den und umgekeh . Ein wich iges E gebnis is de Sa z on Skla ([8] S.14 ). E besag eine sei s, dass bei Vo gabe on ݊ eell-we igen Zu alls a iablen mi den Ve eilungs unk ionen ܨଵ,ܨଶ,…,ܨ௡ und eine Copula ܥ du ch ܨ(ݔଵ,ݔଶ,…,ݔ௡)׷= ܥ(ܨଵ(ݔଵ),ܨଶ(ݔଶ),…,ܨ௡(ݔ௡)) , ݔଵ,ݔଶ,…,ݔ௡אܫܴ eine meh dimensionale Ve eilungs unk ion de inie wi d. Umgekeh gib es zu jede meh dimensionalen Ve eilungs unk ion ܨ:ܫܴ௡՜[0,1] 4 eine Copula ܥ, sodass gil : ܨ(ݔଵ,ݔଶ,…,ݔ௡)= ܥ(ܨଵ(ݔଵ),ܨଶ(ݔଶ),…,ܨ௡(ݔ௡)) , ݔଵ,ݔଶ,…,ݔ௡אܫܴ Dabei sind ܨଵ,ܨଶ,…,ܨ௡ die Ve eilungs unk ionen de eindimensionalen Rand e eilungen. Is ܨ s e ig, dann is ܥ eindeu ig. Insbesonde e is die Eindeu igkei bei disk e en Ve eilungen nich gegeben. 5 3. Das Modell Gegeben sei ein Po olio on ݊ inhomogenen Ma ko -Ke en ቀܺ௧(ଵ)ቁ௧אூேబ,ቀܺ௧(ଶ)ቁ௧אூேబ,…,ቀܺ௧(௡)ቁ௧אூேబ jeweils mi dem Zus ands aum ܵ={0,1,2, … , ܰ}. Dabei sind die Übe gangsma izen gegeben du ch: ܳ(௞)(ݐ)=ቀݍ௜௝ (௞)(ݐ)ቁ௜,௝אௌ , ݐאܫܰ,݇=1,2,…,݊ D.h. es gil ܲቀܺ௧(௞)=݆ቚܺ௧ିଵ (௞)=݅ቁ=ݍ௜௝ (௞)(ݐ) ü alle ݐאܫܰ ,݇=1,2,…,݊ und ݅,݆אܵ. Zu jede Ma ko -Ke e gehö e ne eine An angs e eilung, die du ch den Zeilen ek o ܲ଴(௞)=ቀ݌଴,௝ (௞)ቁ௝אௌ gegeben is , d.h. ܲቀܺ଴(௞)=݆ቁ=݌଴,௝ (௞) ü ݆אܵ und ݇=1,2,…,݊. Die Ve eilung de Zu alls a iablen ܺ௧(௞) e gib sich dann ü ݇=1,2,…,݊ und ݐאܫܰ du ch den Zeilen ek o : ܲ௧(௞)=ܲ଴(௞)ήෑܳ(௞)(ݑ) ௧ ௨ୀଵ ( gl. [2], [3], [4], [5], [7]) Die Ve eilungs unk ion, die sich zum Zei punk ݐאܫܰ ü die ݇- e Ma ko -Ke e aus den Übe gangswah scheinlichkei en ausgehend om Zus and ݅אܵ e gib , sei gegeben du ch: ܨ௜,௧,௞(ݔ)ؔܲቀܺ௧(௞)൑ݔቚܺ௧ିଵ (௞)=݅ቁ= ෍ݍ௜௝ (௞)(ݐ) [௫] ௝ୀଵ ,ݔאܫܴ Zu Kons uk ion eine gemeinsamen Ma ko -Ke e ü das Po olio benö igen wi zunächs den gemeinsamen Zus ands aum: ܵ௡=ܵ×ܵ×…×ܵᇣ ᇧ ᇧ ᇧ ᇤ ᇧ ᇧ ᇧ ᇥ ௡ି௠௔௟ Gegeben sei e ne eine Familie on Copulas ܥ௥,௧, ݎאܵ௡ , ݐאܫܰ und eine einzelne Copula ܥ଴. Dami wi d zum einen eine abzählba e Menge on Übe gangsma izen und zum ande en eine An angs e eilung ü die inhomogene Ma ko -Ke e mi Zus ands aum ܵ௡ kons uie . 6 Zunächs wi d dazu ü jedes ݐאܫܰ eine (ܰ+1 )௡×(ܰ+1 )௡-Ma ix ܳ(ݐ)=(ݍ௥௦(ݐ))௥,௦אௌ೙ wie olg de inie : Fü ݐאܫܰ und ݎ,ݏאܵ௡ mi ݎ=(ݎଵ,ݎଶ,…,ݎ௡) und ݏ=(ݏଵ,ݏଶ,…,ݏ௡) sei ݍ௥௦(ݐ)ؔοܥ௥,௧൫ܨ௥భ,௧,ଵ(ݏଵെ1),ܨ௥భ,௧,ଵ(ݏଵ)൧×…×൫ܨ௥೙,௧,௡(ݏ௡െ1),ܨ௥೙,௧,௡(ݏ௡)൧. Dabei lieg den Ma izen eine geeigne e Ano dnung de (ܰ+1 )௡ Elemen e des Zus ands aums ܵ௡ wie olg zug unde. Einem Elemen aus de Menge ܵ௡ wi d eine na ü liche Zahl ݆ zwischen 0 und (ܰ+1 )௡െ1 zuzuo dne : ݏ=(ݏଵ,ݏଶ,…,ݏ௡)אܵ௡՜݆=෍ݏ௞ାଵή(ܰ+1 )௞ ௡ିଵ ௞ୀ଴ Diese Zuo dnung ݏ՜݆ is eineindeu ig und die na ü liche Zahl ݆ ko espondie dann mi Zeilen- bzw. Spal ennumme in de jeweiligen (ܰ+1 )௡×(ܰ+1 )௡-Ma ix. Zu beach en is alle dings, dass analog zu de Numme ie ung bei den Zus änden de einzelnen Ma ko -Ke en de e s e Zus and de Zus and Numme 0 is . Da eine Copula ech ecksmono on is , gil ݍ௥௦(ݐ)൒0. Wegen de disjunk en Ze legung ራ൫ܨ௥భ,௧,ଵ(ݏଵെ1),ܨ௥భ,௧,ଵ(ݏଵ)൧×…×൫ܨ௥೙,௧,௡(ݏ௡െ1),ܨ௥೙,௧,௡(ݏ௡)൧ (௦భ,௦మ,…,௦೙)אௌ೙= (0,1]௡ e gib sich ü alle ü ݎ=(ݎଵ,ݎଶ,…,ݎ௡)אܵ௡ ෍ݍ ௥௦(ݐ) (௦భ,௦మ,…,௦೙)אௌ೙= =෍οܥ ௥,௧൫ܨ௥భ,௧,ଵ(ݏଵെ1),ܨ௥భ,௧,ଵ(ݏଵ)൧×…×൫ܨ௥೙,௧,௡(ݏ௡െ1),ܨ௥೙,௧,௡(ݏ௡)൧ (௦భ,௦మ,…,௦೙)אௌ೙= =෍ܲቀܨ ௥భ,௧,ଵ(ݏଵെ1)<ܷଵ൑ܨ௥భ,௧,ଵ(ݏଵ),…,ܨ௥೙,௧,௡(ݏ௡െ1)<ܷ௡൑ܨ௥೙,௧,௡(ݏ௡)ቁ (௦భ,௦మ,…,௦೙)אௌ೙= =ܲ(0<ܷଵ൑1, … ,0 < ܷ௡൑1)=ܲ൫(ܷଵ,ܷଶ,…,ܷ௡)א(0,1]௡൯= =ܲ൫(ܷଵ,ܷଶ,…,ܷ௡)א[0,1]௡൯െܲ(ܷ௞= 0 ü mindes ens ein ݇א{1,2, … , ݊}) = =ܲ൫(ܷଵ,ܷଶ,…,ܷ௡)א[0,1]௡൯=1, dabei sind ܷଵ,ܷଶ,…,ܷ௡ die gemäß Kapi el 2 zu Copula gehö enden au dem In e all [0,1] gleich e eil en Zu alls a iablen. Somi handel es sich bei de Ma ix ܳ(ݐ)=(ݍ௥௦(ݐ))௥,௦אௌ೙ um eine s ochas ische Ma ix. 7 Die An angs e eilung ܲ଴=൫݌଴,௦൯௦אௌ೙ de gemeinsamen Ma ko -Ke e au dem Zus ands aum ܵ௡ e gib sich mi hil e des Sa zes on Skla aus den An angs e eilungen de einzelnen Ma ko -Ke en und de gegebenen Copula ܥ଴, d.h. ü ݏ=(ݏଵ,ݏଶ,…,ݏ௡)אܵ௡ gil : ݌଴,௦ؔοܥ଴൫ܨ଴,ଵ(ݏଵെ1),ܨ଴,ଵ(ݏଵ)൧×…×൫ܨ଴,௡(ݏ௡െ1),ܨ଴,௡(ݏ௡)൧ Dabei sei anlog zu oben: ܨ଴,௞(ݔ)ؔܲቀܺ଴(௞)൑ݔቁ= ෍݌଴,௝ (௞) [௫] ௝ୀଵ ,ݔאܫܴ Aus de An angs e eilung ܲ଴ und den Übe gangsma izen ܳ(ݐ), ݐאܫܰ, läss sich nun die en sp echende inhomogene Ma ko -Ke e mi Zus ands aum ܵ௡ wie üblich kons uie en. Im Folgenden wi d diese inhomogene Ma ko -Ke e mi (ܺ௧)௧אூேబ bezeichne . Dami gil ü ݎ=(ݎଵ,ݎଶ,…,ݎ௡),ݏ=(ݏଵ,ݏଶ,…,ݏ௡)אܵ௡ und ݐאܫܰ: ݍ௥௦(ݐ)=ܲ(ܺ௧=ݏ|ܺ௧ିଵ=ݎ)=ܲቀܺ௧(ଵ)=ݏଵ,…,ܺ௧(௡)=ݏ௡ቚܺ௧ିଵ (ଵ)=ݎଵ,…,ܺ௧ିଵ (௡)=ݎ௡ቁ und ݌଴,௦=ܲ(ܺ଴=ݏ)=ܲቀܺ଴(ଵ)=ݏଵ,…,ܺ଴(௡)=ݏ௡ቁ 14 Als ݐ- e Po enz diese s ochas ischen Ma ix e gib sich nun ൮1000 1െݍ௧ݍ௧00 1െݍ௧0ݍ௧0 1െ2ݍ௧+(ݍെܽ)௧ݍ௧െ(ݍെܽ)௧ݍ௧െ(ݍെܽ)௧(ݍെܽ)௧൲ Beweis mi olls ändige Induk ion: ݐ=1: i ial ݐ՜ݐ+1: Zu zeigen is , dass sich die ݐ+1- e Po enz mi ൮1000 1െݍ௧ାଵ ݍ௧ାଵ 00 1െݍ௧ାଵ 0ݍ௧ାଵ 0 1െ2ݍ௧ାଵ+(ݍെܽ)௧ାଵ ݍ௧ାଵെ(ݍെܽ)௧ାଵ ݍ௧ାଵെ(ݍെܽ)௧ାଵ (ݍെܽ)௧ାଵ൲ e gib . Die e s en d ei Zeilen olgen aus ein achen Be echnungen, die ie e Zeile wie olg . E s e Spal e: (1െݍെܽ)ή1+ܽή(1െݍ௧)+ܽή(1െݍ௧)+(ݍെܽ)ή(1െ2ݍ௧+(ݍെܽ)௧)= =1െݍെܽ+2ܽെ2ܽݍ௧+ݍെ2ݍ௧ାଵെܽ+2ܽݍ௧+(ݍെܽ)௧ାଵ= =1െ2ݍ௧ାଵ+(ݍെܽ)௧ାଵ Zwei e und d i e Spal e: ܽήݍ௧+(ݍെܽ)ή(ݍ௧െ(ݍെܽ)௧)=ܽήݍ௧+ݍ௧ାଵെܽήݍ௧െ(ݍെܽ)௧ାଵ= =ݍ௧ାଵെ(ݍെܽ)௧ାଵ Vie e Spal e: (ݍെܽ)ή(ݍെܽ)௧=(ݍെܽ)௧ାଵ Ƒ Dami e gib sich die Ve eilung de gemeinsamen Ma ko -Ke e zum Zei punk ݐאܫܰ du ch Mul iplika ion de An angs e eilung (0001 ) mi de Ma ix ൮1000 1െݍ௧ݍ௧00 1െݍ௧0ݍ௧0 1െ2ݍ௧+(ݍെܽ)௧ݍ௧െ(ݍെܽ)௧ݍ௧െ(ݍെܽ)௧(ݍെܽ)௧൲ wie olg : 15 ܲቀܺ௧(ଵ)=0,ܺ௧(ଶ)=0ቁ=1െ2ݍ௧+(ݍെܽ)௧ ܲቀܺ௧(ଵ)=1,ܺ௧(ଶ)=0ቁ=ܲቀܺ௧(ଵ)=0,ܺ௧(ଶ)=1ቁ=ݍ௧െ(ݍെܽ)௧ ܲቀܺ௧(ଵ)=1,ܺ௧(ଶ)=1ቁ=(ݍെܽ)௧ Wi be ach en nun die Zu alls a iable ܺ௧(ଵ)+ܺ௧(ଶ) und ih e Momen e. Fü den E wa ungswe gil ܧቀܺ௧(ଵ)+ܺ௧(ଶ)ቁ=1ή(ݍ௧െ(ݍെܽ)௧)+1ή(ݍ௧െ(ݍെܽ)௧)+2ή(ݍെܽ)௧=2ݍ௧ und ü die Va ianz ܸܽݎቀܺ௧(ଵ)+ܺ௧(ଶ)ቁ=1 ଶή(ݍ௧െ(ݍെܽ)௧)+1 ଶή(ݍ௧െ(ݍെܽ)௧)+2 ଶή(ݍെܽ)௧െ(2ݍ௧)ଶ= =2ݍ௧+2 (ݍെܽ)௧െ4ݍଶ௧. Somi is de E wa ungswe de Summe de beiden Ma ko -Ke en unabhängig on ܽ und dahe auch unabhängig on de gewähl en Abhängigkei ss uk u bzw. on den gewähl en Copulas. Dies is wegen de Linea i ä de Kennzahl E wa ungswe auch nich ande s zu e wa en. Bei de Va ianz hingegen is eine Abhängigkei on a o handen, dies gil dann auch ü den Ko ela ionskoe izien en on ܺ௧(ଵ) und ܺ௧(ଶ) im Folgenden mi ߩ௧ bezeichne . Diese läss sich mi hil e de Fo mel ܸܽݎቀܺ௧(ଵ)+ܺ௧(ଶ)ቁ=ܸܽݎቀܺ௧(ଵ)ቁ+ܸܽݎቀܺ௧(ଶ)ቁ+2ήටܸܽݎቀܺ௧(ଵ)ቁήටܸܽݎቀܺ௧(ଶ)ቁήߩ௧ in Ve bindung mi ܧቀܺ௧(ଵ)ቁ=ܧቀܺ௧(ଶ)ቁ=0ή(1െݍ௧)+1ήݍ௧=ݍ௧ und ܸܽݎቀܺ௧(ଵ)ቁ=ܸܽݎቀܺ௧(ଶ)ቁ=0 ଶή(1െݍ௧)+1 ଶήݍ௧െݍଶ௧=ݍ௧െݍଶ௧ be echnen: ߩ௧=ܸܽݎቀܺ௧(ଵ)+ܺ௧(ଶ)ቁെܸܽݎቀܺ௧(ଵ)ቁെܸܽݎቀܺ௧(ଶ)ቁ 2ήටܸܽݎቀܺ௧(ଵ)ቁήටܸܽݎቀܺ௧(ଶ)ቁ= =2ݍ௧+2 (ݍെܽ)௧െ4ݍଶ௧െ2ή(ݍ௧െݍଶ௧) 2(ݍ௧െݍଶ௧)= =2(ݍെܽ)௧െ2ݍଶ௧ 2(ݍ௧െݍଶ௧)=(ݍെܽ)௧െݍଶ௧ ݍ௧െݍଶ௧ 16 Somi häng auch de Ko ela ionskoe izien (wie zu e wa en) on ܽ bzw. den gewähl en Copulas ab. Wi be ach en nun d ei Fälle mi speziellen Copulas. Dabei wi d als Copula in Zi e 2 die obe e F éche -Hoe ding Sch anke und als Copula in Zi e 3 die un e e F éche - Hoe ding Sch anke e wende . ( gl. [8] S11 ). 1. ܥ(ݑଵ,ݑଶ)=ݑଵήݑଶ (Unabhängigkei s-Copula [ gl. [8] S.5) Es gil ܥ(1െݍ,1െݍ))=(1െݍ)² bzw. ܽ=1െݍെ(1െݍ)ଶ=ݍή(1 െݍ) und ݍെܽ=ݍെݍή(1 െݍ)=ݍଶ Als Ko ela ionskoe izien e gib sich: ߩ௧=(ݍെܽ)௧െݍଶ௧ ݍ௧െݍଶ௧ =(ݍ²)௧െݍଶ௧ ݍ௧െݍଶ௧ =0 Dies pass zu s ochas ischen Unabhängigkei de beiden Ma ko -Ke en. 2. ܥ(ݑଵ,ݑଶ)=݉݅݊(ݑଵ,ݑଶ) (Comono onici y-Copula. gl. [8] S.5 ) Hie gil ܥ(1െݍ,1െݍ))=1െݍ bzw. ܽ=1െݍെ(1 െݍ)=0 und ݍെܽ=ݍ Als Ko ela ionskoe izien e gib sich: ߩ௧=(ݍെܽ)௧െݍଶ௧ ݍ௧െݍଶ௧ =ݍ௧െݍଶ௧ ݍ௧െݍଶ௧=1 Somi sind in diesem Fall die beiden Ma ko -Ke en pe ek ko elie . 3. ܥ(ݑଵ,ݑଶ)=݉ܽݔ(ݑଵ+ݑଶെ1,0) (Coun e mono onici y-Copula, gl. [8] S.6) In diesem Fall gil ܥ(1െݍ,1െݍ)=݉ܽݔ(1െ2ݍ,0 )=൜1െ2ݍ , ݍ൑0,5 0 , ݍ>0,5 bzw. 17 ܽ=൜ݍ , ݍ൑0,5 1െݍ , ݍ>0,5 und ݍെܽ=൜0 , ݍ൑0,5 2ݍെ1 , ݍ>0,5 Als Ko ela ionskoe izien e gib sich im Fall ݍ൑0,5 ߩ௧=(ݍെܽ)௧െݍଶ௧ ݍ௧െݍଶ௧ =െݍଶ௧ ݍ௧െݍଶ௧ und im Fall ݍ>0,5 ߩ௧=(ݍെܽ)௧െݍଶ௧ ݍ௧െݍଶ௧ =(2ݍെ1)௧െݍଶ௧ ݍ௧െݍଶ௧ Dieses ein ache Beispiel on zwei iden ischen Ma ko -Ke en mi jeweils zwei Zus änden – da on eine abso bie end – zeig wie eine gewähl e Copula, die S euungen und Ko ela ionskoe izien en beein luss . Somi is es bei einem Po olio on Ma ko -Ke en, bei dem Di e si ika ion on Rele anz is , wich ig bei de Modellie ung eine en sp echende Copula zu wählen. In e essie man sich lediglich ü E wa ungswe e, d.h. Du chschni e, so spiel diese Abhängigkei ss uk u keine Rolle. 18 7. Beispiel 2: Be iebliche Al e s e so gung In einem zwei en Beispiel be ach en wi einen Kleins bes and on ie Pe sonen aus dem Be eich de be ieblichen Al e s e so gung. Diese Kleins bes and sei wie olg gegeben: Pe son N . Geschlech Jah gang (Gebu sda um jeweils 01.01.) Al e am 01.01.2022 S a us am 01.01.2022 1 Männlich 1981 41 Ak i e A bei nehme 2 Männlich 1982 40 Ak i e A bei nehme 3 Weiblich 1984 38 Ak i e A bei nehme in 4 Weiblich 1985 37 Ak i e A bei nehme in Fü jede Pe son wi d eine Modellie ung als inhomogene Ma ko -Ke e mi d ei Zus änden zug unde geleg : Zus and ૙: ak i e A bei nehme /ak i e A bei nehme in Zus and ૚: In aliden en ne /-in Zus and ૛: Tod De Zus ands aum de ie einzelnen inhomogenen Ma ko -Ke en is somi jeweils du ch ܵ={0,1,2} und de Zus ands aum de gemeinsamen inhomogenen Ma ko - Ke e du ch ܵସ gegeben. Die Übe gangswah scheinlichkei en sind den Heubeck-Rich a eln 2018 G (siehe [1]) en nommen, sie we den dabei als jäh liche Wah scheinlichkei en angese z . De be ach e e Zei aum beginn am 01.01.2022 (ݐ=0). Im Fall de In alidi ä e olg eine jäh lich o schüssige Zahlung on 100 Geldeinhei en. Eine Todes allleis ung is nich o gesehen. Da alle ie Pe sonen als ak i e A bei nehme bzw. als ak i e A bei nehme in s a en, gil unabhängig on de Wahl de Copula ܥ଴ ü die An angs e eilung: ܲቀܺ଴(ଵ)=0,ܺ଴(ଶ)=0,ܺ଴(ଷ)=0,ܺ଴(ସ)=0ቁ=ܲቀܺ଴(ଵ)൑0, ܺ଴(ଶ)൑0, ܺ଴(ଷ)൑0, ܺ଴(ସ)൑0ቁ= 19 =ܥ଴൬ܲቀܺ଴(ଵ)൑0ቁ,ܲቀܺ଴(ଶ)൑0ቁ,ܲቀܺ଴(ଷ)൑0ቁ,ܲቀܺ଴(ସ)൑0ቁ൰=ܥ଴(1,1,1,1)=1 Zu Modellie ung de Abhängigkei ss uk u bei de Kons uk ion de Übe gangsma izen wi d ü alle Zei punk e ݐ=1,2,… und Zus ände ݎאܵସ die gleiche Copula ܥణ aus de Gumbel-Familie ( gl. [8] S.73) gewähl , d.h. ܥ௥,௧(ݑଵ,ݑଶ,ݑଷ,ݑସ)=ܥణ(ݑଵ,ݑଶ,ݑଷ,ݑସ)=exp൮െ൭෍(െln (ݑ௞))ణ ସ ௞ୀଵ ൱ଵణ ൗ൲ mi ߴ൒1. Im Fall ߴ=1 en sp ich dies de s ochas ischen Unabhängigkei de ie Ma ko -Ke en. Wi be ach en zunächs die Anzahl de Pe sonen in den einzelnen Zus änden und de inie en dazu ü ݐ= 0,1,2, … die olgenden Zu alls a iablen bzw. Zähl a iablen: ܣ௧ؔ “Anzahl de ak i en A bei e nehme /-innen zum Zei punk ݐ“ ܫ௧ؔ “Anzahl de In aliden en ne /-innen zum Zei punk ݐ“ ܶ௧ؔ “Anzahl de bis zum Zei punk ݐ Ve s o benen“ Selbs e s ändlich gil zu jedem Zei punk ܣ௧+ܫ௧+ܶ௧=4. Zu den Zei punk en ݐ=1 (01.01.2023), ݐ=2 (01.01.2024), ݐ=5 (01.01.2027) und ݐ=10 (01.01.2032) we den de E wa ungswe und die S anda dabweichung de d ei Zu alls a iablen ܣ௧,ܫ௧ und ܶ௧ be echne und dabei de Pa ame e ߴ al e na i mi olgenden We en angese z : ߴ=1,ߴ=1,2,ߴ=1,5,ߴ=2,ߴ=5,ߴ=10,ߴ=50. Dabei s eh ߴ=1 ü den Fall de s ochas ischen Unabhängigkei , je höhe de We des Pa ame e s des o g öße is die posi i e Abhängigkei de ie Ma ko -Ke en un e einande . Die E gebnisse de Be echnungen sind im Anhang beige üg . Die We e des E wa ungswe es hängen dabei nich on de Wahl des Pa ame e s ߴ ab. Dies beg ünde sich mi de Linea i ä de Kennzahl E wa ungswe . Die S anda dabweichung hingegen s eig bei allen d ei Va iablen mi zunehmendem We des Pa ame e s ߴ. D.h. je g öße die posi i e Abhängigkei de ie Ma ko -Ke en un e einande des o höhe die Vola ili ä de Anzahl de Pe sonen in den d ei be ach e en Zus änden. Mi ande en Wo en, die Planba kei diese be ieblichen Al e s e so gung nimm mi zunehmende posi i e Abhängigkei bzw. mi s eigendem ߴ ab. Mi hil e de Va ianz de Summe on jeweils zwei de d ei Zu alls a iablen ܣ௧,ܫ௧ und ܶ௧ können die paa weisen Ko ela ionskoe izien en be echne we den. Dazu wi d die allgemeine Fo mel ü die Va ianz de Summe zweie Zu alls a iablen ܺ und ܻ nach dem Ko ela ionskoe izien en au gelös : 20 ܸܽݎ(ܺ+ܻ)=ܸܽݎ(ܺ)+ܸܽݎ(ܻ)+2ήඥܸܽݎ(ܺ)ήඥܸܽݎ(ܻ)ήߩ௑௒ ֜ߩ௑௒=ܸܽݎ(ܺ+ܻ)െܸܽݎ(ܺ)െܸܽݎ(ܻ) 2ήඥܸܽݎ(ܺ)ήඥܸܽݎ(ܻ) Die E gebnisse be inden sich eben alls im Anhang. Hie gib es ü die oben ange üh en Kons ella ionen bezüglich Zei punk ݐ und Pa ame e ߴ kein einhei liches Bild: Die nega i en Ko ela ionskoe izien en zwischen ܣ௧ und ܫ௧ e höhen sich be agsmäßig leich bei s eigendem ߴ. Ein ähnliches Bild e gib sich ü die nega i en Ko ela ionskoe izien en zwischen ܣ௧ und ܶ௧. Alle dings e höhen sich diese nu am An ang und allen ab ߴ=2 wiede . Die im Fall ߴ=1 leich nega i en Ko ela ionskoe izien en zwischen ܫ௧ und ܶ௧ d ehen mi s eigendem ߴ ins Posi i e, s eigen zunächs und allen anschließend wiede , bleiben abe posi i . Nun we den die Zahlungs e p lich ungen bei Ein i de In alidi ä mi dem Ba we zum Zei punk 01.01.2022 (ݐ=0) bewe e . Be ücksich ig we den dabei Zahlungen om 01.01.2022 bis 01.01.2033 (ݐ= 11). Da jedoch alle ie Pe sonen am 01.01.2022 ak i e A bei nehme /-innen sind, kommen e s Zahlungen ab 01.01.2023 zum T agen. Mi de in Abschni 5 einge üh en No a ion is die ele an e Zu alls a iable Ba we gegeben du ch ܤଵଵ=෍ݒ௧ή෍1{௑೟ୀ௦}ή ௦אௌ೙ ଵଵ ௧ୀ଴ ܮ௧,௦. Als jäh liche Zinssa z wi d dabei 2% angese z . In Abhängigkei des Pa ame e s ߴ e geben sich ü den E wa ungswe und die S anda dabweichung de Zu alls a iablen ܤଵଵ olgende E gebnisse. Dabei e olgen die Be echnungen nähe ungsweise mi dem in Abschni 5 da ges ell en Ve ah en, d.h. mi hil e de nume ischen Ablei ung (ݔ=10 ି଺) de momen ene zeugenden Funk ion: ߴ E wa ungswe S anda dabweichung 1 84,901196 226,452128 1,2 84,901196 269,228445 1,5 84,901196 308,648579 2 84,901196 346,214015 5 84,901196 407,535323 10 84,901196 423,929414 50 84,901196 432,842865 21 Auch hie zeig sich, dass de E wa ungswe des Ba we s unabhängig is on de gewähl en Abhängigkei ss uk u bzw. Copula. Wohingegen de S euung gemessen in de S anda dabweichung mi zunehmendem ߴ, d.h. mi zunehmende posi i e Abhängigkei de ie Ma ko -Ke en un e einande , s eig und somi die Planba kei abnimm . Wi be ach en nun die Ko ela ionskoe izien en de Ba we e ܤଵଵ (ଵ),ܤଵଵ (ଶ),ܤଵଵ (ଷ) und ܤଵଵ (ସ) de ie Ma ko -Ke en un e einande . Selbs e s ändlich gil : ܤଵଵ=ܤଵଵ (ଵ)+ܤଵଵ (ଶ)+ܤଵଵ (ଷ)+ܤଵଵ (ସ). Be echne we den diese Ko ela ionskoe izien en mi de gleichen Me hode wie die Ko ela ionskoe izien en bei den obigen Zähl a iablen (Au lösen de Va ianz o mel). Bei einem jäh lichen Zinssa z on 2% e geben sich olgende We e: Ko ela ionskoe izien zwischen ߴ ܤଵଵ (ଵ) und ܤଵଵ (ଶ) ܤଵଵ (ଵ) und ܤଵଵ (ଷ) ܤଵଵ (ଵ) und ܤଵଵ (ସ) ܤଵଵ (ଶ) und ܤଵଵ (ଷ) ܤଵଵ (ଶ) und ܤଵଵ (ସ) ܤଵଵ (ଷ) und ܤଵଵ (ସ) 1 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1,2 0,1165 0,1346 0,1334 0,1374 0,1364 0,1671 1,5 0,2511 0,2789 0,2754 0,2851 0,2820 0,3405 2 0,4117 0,4342 0,4267 0,4443 0,4379 0,5178 5 0,7648 0,7238 0,7047 0,7405 0,7252 0,8198 10 0,8802 0,8090 0,7799 0,8293 0,8068 0,9067 50 0,9514 0,8572 0,8093 0,8874 0,8492 0,9562 Man e kenn , wie die Ko ela ionskoe izien en ausgehend on dem We 0 bei ߴ=1 (s ochas ische Unabhängigkei ) gemeinsam s eigen und bei ߴ=50 ela i nahe bei 1 (pe ek e posi i e Ko ela ion) liegen. Da es sich bei den Zu alls a iablen um Ba we e handel , e häl man bei eine Ände ung des jäh lichen Zinssa zes ande e We e ü die Ko ela ionskoe izien en. Bei einem jäh lichen Zinssa z on z.B. 3% s a 2% ände n sich diese im o liegenden Beispiel in de ie en Nachkommas elle. 22 8. Beispiel 3: Eine Ve allgemeine ung de Binomial e eilung Gegeben seien ݊ homogene Ma ko -Ke en mi dem Zus ands aum ܵ={0,1}, den Übe gangsma izen ܳ(௞)(ݐ)=ܳ=ቀ1െ݌ ݌ 01 ቁ ,ݐאܫܰ,݇=1,2,…,݊,݌א(0,1), den An angs e eilungen ܲ଴(௞)=(10 ) , ݇=1,2,…,݊, und den Bewe ungen ܮ଴(௞)=ቀ0 0ቁ,ܮଵ(௞)=ቀ0 1ቁ,݇=1,2,…,݊. Fe ne sei ܥ଴ eine beliebige Copula ü die An angs e eilung und ܥ௥,ଵ(ݑଵ,ݑଶ,…,ݑ௡)=ݑଵήݑଶή…ήݑ௡, ݑଵ,ݑଶ,…,ݑ௡א[0,1] ü ݎ=(00…0 )אܵ௡. Diese Copula en sp ich de s ochas ischen Unabhängigkei ( gl. Abschni 4). Alle nich explizi e wähn en Modellannahmen seien beliebig. Wähl man als Zinssa z 0%, so is die Zu alls a iable ܤଵ=෍ݒ௧ή෍1{௑೟ୀ௦}ή ௦אௌ೙ܮ௧,௦ ଵ ௧ୀ଴ =෍1{௑೟ୀ௦}ή ௦אௌ೙ܮଵ,௦ binomial e eil mi den Pa ame e n ݊אܫܰ und ݌א(0,1). Beweis: Zum Beweis be echnen wi die cha ak e is ische Funk ion on ܤଵ. Es sei ݔאܫܴ. ߮ଵ(ݔ)=ܧ(exp(݅ήݔήܤଵ)) =෍൭ܲ଴ήܷ(0, ݔ)ήෑ൫ܳ(ݐ)ήܷ(ݐ,ݔ)൯ ଵ ௧ୀଵ ൱௦ ௦אௌ೙ Wegen ܮ଴ (௞)=ቀ0 0ቁ,݇=1,2,…,݊, gil ܷ(0, ݔ)=ܧ. Dami e gib sich: ߮ଵ(ݔ)=෍(ܲ଴ήܳ(1) ήܷ(1, ݔ))௦ ௦אௌ೙ Fe ne ha man ܲቀܺ଴(ଵ)=0,ܺ଴(ଶ)=0,…,ܺ଴(௡)=0ቁ=ܲቀܺ଴(ଵ)൑0, ܺ଴(ଶ)൑0, … , ܺ଴(௡)൑0ቁ= =ܥ଴൬ܲቀܺ଴(ଵ)൑0ቁ,ܲቀܺ଴(ଶ)൑0ቁ,…,ܲቀܺ଴(௡)൑0ቁ൰=ܥ଴(1,1, … ,1)=1, 23 d.h. ܲ଴=(100…0 ). Somi is on dem P oduk ܳ(1) ήܷ(1, ݔ) nu die e s e Zeile ele an . Es seien ݎ=(00…0 )אܵ௡ und ݏ=(ݏଵ,ݏଶ,…,ݏ௡)אܵ௡. De zugehö ige Ein ag in de e s en Zeile de Ma ix ܳ(1) be echne sich mi den Übe legungen aus Abschni 4 wie olg : ݍ௥௦(1)=ܲቀܺଵ(ଵ)=ݏଵ,…,ܺଵ(௡)=ݏ௡ቚܺ଴(ଵ)=0,…,ܺ଴(௡)=0ቁ= =ෑܲቀܺଵ(௞)=ݏ௞ቚܺ଴(௞)=0ቁ ௡ ௞ୀଵ =݌σ௦ೖ ೙ ೖసభ ή(1 െ݌)௡ିσ௦ೖ ೙ ೖసభ Bei de Ma ix ܷ(1, ݔ) handel es sich um eine Diagonalma ix mi den Ein ägen ݑ௦௦(1, ݔ)=exp൫ ݅ήݔήܮଵ,௦൯=exp൭ ݅ήݔή෍ݏ௞ ௡ ௞ୀଵ ൱. Es sei ݎ=(00…0 )אܵ௡. Man e häl mi klassischen kombina o ischen Übe legungen und dem binomischen Leh sa z: ߮ଵ(ݔ)=෍൫ݍ௥௦(1)ήݑ௦௦(1, ݔ)൯௦ ௦אௌ೙= =෍ቌ݌σ௦ೖ ೙ ೖసభ ή(1െ݌)௡ିσ௦ೖ ೙ ೖసభ ήexp ൭݅ήݔή෍ݏ௞ ௡ ௞ୀଵ ൱ቍ௦ ௦אௌ೙= =෍ቀ݊݇ቁή݌௞ ௡ ௞ୀ଴ ή(1െ݌)௡ି௞ήexp(݅ήݔή݇)= =෍ቀ݊݇ቁή൫݌ήexp(݅ήݔ)൯௞ ௡ ௞ୀ଴ ή(1െ݌)௡ି௞=(݌ήexp(݅ήݔ)+(1െ݌))௡ Dies is die cha ak e is ische Funk ion de Binomial e eilung mi den Pa ame e n ݊ und ݌. Die Behaup ung olg dann aus dem Eindeu igkei ssa z ( gl. [9] S.388). Ƒ Möch e man nun eine Zu alls a iable als Summe on ݊ dicho omen Zu alls a iablen, jeweils mi de Ve eilungs unk ion ܨ(ݔ)=൝0ݔ<0 1െ݌ 0൑ݔ<1 1ݔ൒1 30 Li e a u e zeichnis [1] He mann, Richa d; Heubeck, Klaus Heubeck-Rich a eln 2018 G,Tex band und P og amm Heu ika 4,Ve lag: Heubeck-Rich a eln-GmbH, Köln 2018. [2] Knobloch, Ral Bewe ung on isikobeha e en Zahlungss ömen mi hil e on Ma ko -Ke en, In: Fo schung am i wKöln, Band 3/2011, Köln 2012, h p://nbn- esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos-98 (S and 28. Dezembe 2021). [3] Knobloch, Ral Bewe ung on isikobeha e en Zahlungss ömen mi hil e on Ma ko -Ke e bei un e jäh liche Zahlweise, In: Fo schung am i wKöln, Band 6/2012, Köln 2012, h p://nbn- esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos-204 (S and 28. Dezembe 2021). [4] Knobloch, Ral Kons uk ion eine un e jäh lichen Ma ko -Ke e aus eine jäh lichen Ma ko -Ke e, In: Fo schung am i wKöln, Band 6/2013, Köln 2013, h p://nbn- esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos-402 (S and 28. Dezembe 2021). [5] Knobloch, Ral Momen e und cha ak e is ische Funk ion des Ba we s eine bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke e- Anwendung bei isikobeha e en Zahlungss ömen, In: Fo schung am i wKöln, Band 5/2015, Köln 2015, h p://nbn- esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos-816 (S and 28. Dezembe 2021). [6] Knobloch, Ral De Ba we de Ren enzahlungen aus eine be ieblichen Ve so gungszusage, De Ak ua 2016, He 4, S. 210 – 213. [7] Knobloch, Ral Die P ade eine bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke e - Fallbeispiele aus de be ieblichen Al e s e so gung, In: Fo schung am i wKöln, Band 4/2018, h p://nbn- esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos4-6459 (S and 28. Dezembe 2021). [8] Mai, Jan- F ede ik; Sche e , Ma hias Simula ing Copulas, Impe ial College P ess, London 2012. 31 [9] Schmid , Klaus D. Maß und Wah scheinlichkei , Sp inge Ve lag, Heidelbe g 2009. [10] Waldmann, Ka l- Heinz; S ocke , Ul ike M. S ochas ische Modelle, 2. Au lage, Sp inge Ve lag, Heidelbe g 2013. Imp essum Diese Ve ö en lichung e schein im Rahmen de Online-Publika ions eihe „Fo schung am i wKöln“. Eine olls ändige Übe sich alle bishe e schienenen Publika ionen inde sich am Ende diese Publika ion und kann hie abge u en we den. Fo schung am i w Köln, 2/2022 ISSN (online) 2192 -8479 Ral Knobloch: Ein Po olio on inhomogenen Ma ko -Ke en mi Abhängigkei ss uk u Köln, Feb ua 2022 Sch i lei ung / edi o ’s o ice: P o . D . Ral Knobloch S chmalenbach Ins i u ü Wi scha swissenscha en / Schmalenbach Ins i u e o Business Adminis a ion Fakul ä ü Wi scha s - und Rech swissenscha en / Facul y o Business, Economics and Law Technische Hochschule Köln / Uni e si y o Applied Sciences Gus a Heinemann -U e 54 50968 Köln Mail al .knobloch@ h -koeln.de He ausgebe de Sch i en eihe / Se ies Edi o ship: P o . D . Michael Fo mann P o . D . Ral Knobloch P o . D . Michaele Völle Kon ak Au o / Con ac au ho : P o . D . Ral Knobloch S chmalenbach Ins i u ü Wi scha swissenscha en / Schmalenbach Ins i u e o Business Adminis a ion Fakul ä ü Wi scha s - und Rech swissenscha en / Facul y o Business, Economics and Law Technische Hochschule Köln / Uni e si y o Applied Sciences Gus a Heinemann -U e 54 50968 Köln Mail al .knobloch@ h -koeln.de Publika ions eihe „Fo schung am i wKöln“ Die Ve ö en lichungen de Online-Publika ions eihe "Fo schung am i wKöln" (ISSN: 2192-8479) we den übliche weise übe Cologne Open Science (Publika ionsse e de TH Köln) e ö en lich . Die Publika ionen we den hie du ch übe na ionale und in e na ionale Biblio hekska aloge, Suchmaschinen sowie ande e Nachweisins umen e e schlossen. Alle Publika ionen sind auch kos enlos ab u ba un e www.i w-koeln.de. 2022 1/2022 Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2021 2021 4/2021 Ins i u ü Ve siche ungswesen: Risiko im Wandel als He aus o de ung ü die Ve siche ungswi scha 3/2021 Völle , Mülle -Pe e s: Insu Tech Ka e i wKöln 2021 - Bei äge zu Insu Techs und Inno a ion am i wKöln 2/2021 Knobloch: Die quan i a i e Risikobewe ung bei einem Po olio on dicho omen Risiken mi hil e des zen alen G enzwe sa zes 1/2021 Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2020 2020 7/2020 Mülle -Pe e s, Schmid , Völle : Re olu ionie en Big Da a und KI die Ve siche ungswi scha ? 24. Kölne Ve siche ungssymposium am 14. No embe 2019 6/2020 Schmid : Küns liche In elligenz im Risikomanagemen . P oceedings zum 15. FaRis & DAV Symposium am 6. Dezembe 2019 in Köln 5/2020 Mülle -Pe e s: Die Wah nehmung on Risiken im Rahmen de Co ona-K ise 4/2020 Knobloch: Modellie ung eine Can elli-Zusage mi hil e eine bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke e 3/2020 Mülle -Pe e s, Ga ze : Todsiche : Die Wah nehmung und Fehlwah nehmung on All ags isiken in de Ö en lichkei 2/2020 Völle , Mülle -Pe e s: Insu Tech Ka e i wKöln 2020 - Bei äge zu Insu Techs und Inno a ion am i wKöln 1/2020 Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2019 2019 5/2019 Mude s: Risiko und Resilienz kollek i e Spa p ozesse – Back es ing au Basis deu sche und US- ame ikanische Kapi alma k da en 1957-2017 4/2019 Heep-Al ine , Be g: Mik oökonomisches P oduk ionsmodell ü Ve siche ungen. Teil 2: Rendi emaximie ung und Ve gleich mi klassischen Op imie ungsansä zen. 3/2019 Völle , Mülle -Pe e s: Insu Tech Ka e i wKöln 2019 - Bei äge zu Insu Techs und Inno a ion am i wKöln 2/2019 Rohl s, Pü z, Mo awe z: Risiken des au oma isie en Fah ens. He aus o de ungen und Lösungsansä ze ü die K z-Ve siche ung. P oceedings zum 14. FaRis & DAV-Symposium am 7.12.2018 in Köln. 1/2019 Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2018 2018 7/2018 Goecke: Resilience and In e gene a ional Fai ness in Collec i e De ined Con ibu ion Pension Funds 6/2018 Miebs: Kapi alanlages a egien ü die bAV – He aus o de ungen ü das Asse Managemen du ch das Be iebs en ens ä kungsgese z. P oceedings zum 13. FaRis & DAV Symposium am 8. Dezembe 2017 in Köln 5/2018 Goecke, Heep-Al ine , Knobloch, Schiegl, Schmid (H sg.): FaRis a ICA 2018 – Con ibu ions o he In e na ional Cong ess o Ac ua ies 2018 in Be lin. Bei äge on FaRis Mi gliede n zum Wel kong ess de Ak ua e om 4. bis zum 8. Juni 2018 in Be lin 4/2018 Knobloch: Die P ade eine bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke e - Fallbeispiele aus de be ieblichen Al e s e so gung 3/2018 Völle , Mülle -Pe e s: Insu Tech Ka e i wKöln 1/2018 - Bei äge zu Insu Techs und Inno a ion am i wKöln 2/2018 Schmid , Schulz: Insu Tech. P oceedings zum 12. FaRis & DAV Symposium am 9. Juni 2017 in Köln 1/2018 Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2017 2017 8/2017 Ma e ne, Pü z: Al e na i e Capi al und Basis isiko in de S anda d o mel (non-li e) on Sol ency II 7/2017 Knobloch: Kons uk ion eine un e jäh lichen Ma ko -Ke e aus eine jäh lichen Ma ko -Ke e - Eine Ve allgemeine ung des linea en Ansa zes 6/2017 Goecke, Oska (H sg.): Risiko und Resilienz. P oceedings zum 11. FaRis & DAV Symposium am 9. Dezembe 2016 in Köln 5/2017 G undhö e , D euw, Quin , S egemann: Bewe ungspo ale - eine neue Quali ä de Konsumen en- in o ma ion? 4/2017 Heep-Al ine , Meh ing, Rohl s: Bewe ung des e ügba en Kapi als am Beispiel des Da enmodells de „IVW P i a AG“ 3/2017 Mülle -Pe e s, Völle : Insu Tech Ka e i wKöln 1/2017 - Bei äge zu Insu Techs und Inno a ion am i wKöln 2/2017 Heep-Al ine , Mülle -Pe e s, Schimikowski, Schnu (H sg.): Big Da a ü Ve siche ungen. P oceedings zum 21. Kölne Ve siche ungssymposium am 3. 11. 2016 in Köln 1/2017 Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2016