Fo schung am i wKöln
Band 2/2021
Die quan i a i e Risikobewe ung bei einem
Po olio on dicho omen Risiken mi hil e des
zen alen G enzwe sa zes
Ral Knobloch
Fo schung am i wKöln, Band 2/2021
Ral Knobloch
Fo schungss elle FaRis
Die quan i a i e Risikobewe ung bei einem Po olio on
dicho omen Risiken mi hil e des zen alen G enzwe sa zes
Zusammen assung
In den Wi scha swissenscha en we den Risiken häu ig mi dicho omen Zu alls a iablen
modellie . In de o liegenden A bei wi d an Fallbeispielen un e such , un e welchen
Bedingungen ü das Gesam isiko eines inhomogenen Po olios on s ochas isch unabh
ängigen
dicho omen Risiken nähe ungsweise on eine No mal e eilung ausgegangen we den kann. Die
No mal e eilung e gib sich aus dem zen alen G enzwe . Die App oxima ion mi de
No mal e eilung wi d dabei auch mi de Nähe ung du ch eine zusammengese
z e Poisson-
Ve eilung e glichen.
Abs ac
In economics, isks a e o en modeled wi h dicho omous andom a iables. In he p esen wo k,
case s udies a e used o examine he condi ions unde which a no mal dis ibu ion can
app oxima ely be assumed o he o e all isk o an inhomogeneous po olio o s ochas ic
independen dicho omou
s isks. The no mal dis ibu ion is a esul o he cen al limi heo em. The
app oxima ion wi h he no mal dis ibu ion is also compa ed o he app oxim
a ion using a compound
Poisson
-dis ibu ion.
Schlagwö e
:
Dicho ome Zu alls a iable, zen ale
G enzwe sa z, zusammengese z e Poisson-Ve eilung
Keywo ds
:
dicho omous andom a iable, cen al limi heo em, compound Poisson dis ibu ion
- 1 -
Inhal s e zeichnis
1. EINLEITUNG ........................................................................................................................................................ 2
2. DAS MODELL ...................................................................................................................................................... 4
3. DER HOMOGENE FALL................................................................................................................................... 5
4. DER INHOMOGENE FALL .............................................................................................................................. 6
5. FALLBEISPIEL 1: TEST AUF NORMALVERTEILUNG ......................................................................... 8
6. APPROXIMATION MIT EINER ZUSAMMENGESETZTEN POISSON-VERTEILUNG ............... 23
7. FALLBEISPIEL 2: NORMALVERTEILUNG VS. ZUSAMMENGESETZTE POISSON-
VERTEILUNG .................................................................................................................................................... 26
8. BETRIEBSWIRTSCHAFTLICHE ANWENDUNGSGEBIETE ............................................................. 30
9. FAZIT ................................................................................................................................................................... 32
LITERATURVERZEICHNIS ................................................................................................................................... 33
- 2 -
1. Einlei ung
Im quan i a i en Risikomanagemen we den be iebswi scha liche Risiken mi hil e
on wah scheinlichkei s heo e ischen Ansä zen modellie , analysie und
zusammenge ass . Die ein achs en dabei e wende en Modelle sind dicho ome bzw.
zweiwe ige Zu alls a iablen. Eine dicho ome Zu alls a iable s eh in diesem
Zusammenhang ü ein Risiko mi zwei möglichen Ausgängen: Ein Ausgang modellie
den Ein i eines Schadens mi eine o gegebenen Wah scheinlichkei und eine
es en Schadenhöhe. De ande e mögliche Ausgang s eh ü den Nich ein i des
Schadens. Fo mal bedeu e dies ü die e wende e Zu alls a iable 𝑋𝑋:
𝑋𝑋=�𝑆𝑆,𝑝𝑝
0 , 1 −𝑝𝑝
Dabei s eh 𝑆𝑆> 0 ü die Schadenhöhe und 𝑝𝑝 ü die Ein i swah scheinlichkei .
Dicho ome Modelle we den z.B. bei Banken im K edi managemen zu Quan i izie ung
des jäh lichen K edi aus all isikos e wende . Die Ein i swah scheinlichkei 𝑝𝑝 e gib
sich dabei als jäh liche Aus allwah scheinlichkei und die Schadenhöhe 𝑆𝑆 als de mi
dem Aus all eines K edi s e bundene Ve lus des K edi gebe s. Eine wei e e wich ige
Anwendung inde sich in de Pe sonen e siche ungsma hema ik. Sowohl in de
be ieblichen Al e s e so gung (bAV) als auch bei Lebens e siche ungen kann mi
dem Tod eine Pe son eine Auszahlung an die Hin e bliebenen e bunden sein. Im
zweiwe igen Modell s eh dann 𝑆𝑆 ü den auszuzahlenden Be ag und 𝑝𝑝 ü die
jäh liche S ebewah scheinlichkei eine Pe son. Eine ähnliche Modellie ung e gib
sich ü das In alidi ä s isiko in de bAV bzw. bei Be u sun ähigkei s e siche ungen.
Abe nich nu bei Banken und Ve siche ungen, sonde n auch bei eine Vielzahl
ande en Un e nehmen we den Risiken mi dicho omen Zu alls a iablen im Rahmen
des quan i a i en Risikomanagemen s modellie .
Fü ein einzelnes dicho omes Risiko bzw. ü eine einzelne zweiwe ige Zu alls a iable
is die Bes immung de s ochas ischen Kennzahlen (z.B. E wa ungswe ,
S anda dabweichung und Value a Risk) seh ein ach. Bei einem Po olio on
dicho omen Risiken is zwischen dem homogenen und dem inhomogenen Fall zu
un e scheiden. Homogen bedeu e , dass ü alle Risiken die Ein i swah scheinlichkei
und die Schadenhöhe iden isch sind. Lieg ein homogenes Po olio on dicho ome
Risiken o , so kann das Gesam isiko des Po olios mi hil e de de
Binomial e eilung bzw. nähe ungsweise mi hil e des Sa zes on Laplace und De
Moi e, d.h. einem Spezial all des zen alen G enzwe sa zes, quan i izie we den.
Dabei muss neben de Homogeni ä de Zu alls a iablen auch de en s ochas ische
Unabhängigkei o ausgese z we den.
Im Allgemeinen sind die Po olios in de P axis abe inhomogen. Die dabei benö ig en
Modelle und Be echnungsme hoden sind komplexe als im homogenen Fall. De
o liegende A ikel geh de F age nach, un e welchen Vo ausse zungen im
inhomogenen Fall de zen ale G enzwe sa z angewende we den kann. Dabei wi d
- 3 -
wei e hin on s ochas isch unabhängigen Risiken bzw. Zu alls a iablen ausgegangen
und au den zen alen G enzwe sa z in de Va ian e mi de Lyapuno -Bedingung
zu ückgeg i en ( gl. [4] S.154 und [5] S.201 ). Im Anschluss an den heo e ischen
Teil wi d in einem Fallbeispiel au gezeig , wie die No mal e eilungsannahme mi den
Me hoden de schließenden S a is ik übe p ü we den kann. Dazu wi d ein Da ensa z
zu ällig e zeug und analysie . Von besonde em In e esse is dabei die Anzahl de
Risiken, ab de on eine No mal e eilung ausgegangen we den kann. In einem
zwei en Fallbeispiel wi d de Un e schied zu App oxima ion de Ve eilung des
Gesam isikos mi eine zusammengese z en Poisson-Ve eilung au gezeig .
- 4 -
2. Das Modell
Es sei eine Folge zweiwe ige , s ochas isch unabhängige Zu alls a iablen wie olg
gegeben: 𝑋𝑋𝑖𝑖=�𝑆𝑆𝑖𝑖,𝑝𝑝𝑖𝑖
0 , 1 −𝑝𝑝𝑖𝑖,
mi 𝑆𝑆𝑖𝑖∈(0, ∞) und 𝑝𝑝𝑖𝑖∈(0,1) ü alle 𝑖𝑖= 1,2, … .
Fe ne sei ü 𝑛𝑛∈𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑍𝑍𝑛𝑛=𝑋𝑋1+𝑋𝑋2+⋯+𝑋𝑋𝑛𝑛.
Modellie 𝑋𝑋𝑖𝑖 das 𝑖𝑖- e Risiko, so s eh 𝑆𝑆𝑖𝑖 ü den dami e bundenen es en
Schadenbe ag und 𝑝𝑝𝑖𝑖 ü die zugehö ige Ein i swah scheinlichkei . Die
Zu alls a iable 𝑍𝑍𝑛𝑛 miss dann den Gesam schaden de e s en 𝑛𝑛 Risiken. Im Mi elpunk
des In e esses s ehen die Lage-, S euungs- und Risikomaße de Zu alls a iablen 𝑍𝑍𝑛𝑛.
Zu Anwendung des zen alen G enzwe sa zes mi Lyapuno -Bedingung wi d
Folgendes o ausgese z :
1. in
𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝐼𝐼𝑝𝑝𝑖𝑖> 0 und sup
𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝐼𝐼𝑝𝑝𝑖𝑖< 1
2. in
𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝐼𝐼𝑆𝑆𝑖𝑖> 0 und sup
𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝐼𝐼𝑆𝑆𝑖𝑖<∞
- 5 -
3. De homogene Fall
Sind alle Schadenbe äge und alle Ein i swah scheinlichkei en iden isch, d.h.
𝑆𝑆1=𝑆𝑆2=⋯=𝑆𝑆 und 𝑝𝑝1=𝑝𝑝2=⋯=𝑝𝑝,
so bezeichnen wi dies als den homogenen Fall.
Un e diesen Vo ausse zungen is die Zu alls a iable
𝑌𝑌𝑛𝑛=𝑍𝑍𝑛𝑛
𝑆𝑆
wegen de s ochas ischen Unabhängigkei de Zu alls a iablen 𝑋𝑋1,𝑋𝑋2,…,𝑋𝑋𝑛𝑛
binomial e eil mi den Pa ame e n 𝑛𝑛 und 𝑝𝑝, wobei 𝑛𝑛 ü die Anzahl de Ve suche und
𝑝𝑝 ü die E olgswah scheinlichkei s eh . Die wich igs en s ochas ischen Kennzahlen
E wa ungswe , S anda dabweichung, Value a Risk und Expec ed Sho all
be echnen sich dann ü die Zu alls a iable 𝑍𝑍𝑛𝑛, in dem man die en sp echenden We e
de Zu alls a iablen 𝑌𝑌𝑛𝑛 mi de eellen Zahl 𝑆𝑆 mul iplizie . Die Va ianz on 𝑍𝑍𝑛𝑛 e häl
man du ch die Mul iplika ion de Va ianz on 𝑌𝑌𝑛𝑛 mi 𝑆𝑆2.
Gemäß dem Sa z on Laplace und De Moi e kon e gie
𝑌𝑌𝑛𝑛−𝑛𝑛∙𝑝𝑝
�𝑛𝑛∙𝑝𝑝∙(1−𝑝𝑝)
ü 𝑛𝑛→∞ in Ve eilung gegen die S anda dno mal e eilung. Dahe kann ü g oße 𝑛𝑛
die Zu alls a iable 𝑌𝑌𝑛𝑛 nähe ungsweise als no mal e eil mi E wa ungswe 𝑛𝑛∙𝑝𝑝 und
S anda dabweichung �𝑛𝑛∙𝑝𝑝∙(1−𝑝𝑝) angenommen we den. Je nähe 𝑝𝑝 am We 0,5
lieg , des o besse is die App oxima ion. Zu Ve besse ung de App oxima ion kann
bei de Be echnung on Wah scheinlichkei en de Ko ek u e m "0,5" wie olg
be ücksich ig : 𝑃𝑃(𝑌𝑌𝑛𝑛≤𝑦𝑦)≈F�𝑦𝑦+ 0,5 −𝑛𝑛∙𝑝𝑝
�𝑛𝑛∙𝑝𝑝∙(1−𝑝𝑝)�
Dabei sei F die Ve eilungs unk ion de S anda dno mal e eilung. Eine o e wende e
Faus egel geh da on aus, dass die Nähe ung de Binomial e eilung du ch die
No mal e eilung un e de Vo ausse zung
𝑛𝑛∙𝑝𝑝≥10 und 𝑛𝑛∙(1 −𝑝𝑝)≥10
hin eichend gu is . ( gl. [7] S.260 )
- 6 -
4. De inhomogene Fall
Wi be ach en je z den inhomogenen Fall, d.h. die Schadenbe äge und die
Ein i swah scheinlichkei en sind nich iden isch. Die s ochas ische Unabhängigkei
de Zu alls a iablen 𝑋𝑋1,𝑋𝑋2,…,𝑋𝑋𝑛𝑛 wi d zwa wei e o ausgese z , dennoch kann keine
Ve eilung ü die Zu alls a iable 𝑍𝑍𝑛𝑛 in Fo m eine konk e en Ve eilungs unk ion
angegeben we den. Dies lieg u.a. da an, dass es bei 𝑛𝑛 dicho omen Risiken 2𝑛𝑛
mögliche E gebnisse gib .
Abe mi hil e des zen alen G enzwe sa zes kann die Ve eilung on 𝑍𝑍 app oxima i
als no mal e eil angenommen we den. Man benö ig dazu den olgenden zen alen
G enzwe sa z mi Lyapuno -Bedingung ( gl. [4] S. 159 und [5] S.206 ):
Sa z:
Es seien 𝑇𝑇1,𝑇𝑇2,𝑇𝑇3, … eine Folge s ochas isch unabhängige Zu alls a iablen, es sei
𝑈𝑈𝑛𝑛=𝑇𝑇1+𝑇𝑇2+…+𝑇𝑇𝑛𝑛
mi
1. 𝐸𝐸(|𝑇𝑇𝑖𝑖|) <∞ ü 𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝐼𝐼
2. 0 < 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑇𝑇𝑖𝑖)<∞ ü 𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝐼𝐼
3. Lyapuno -Bedingung: Es gib ein 𝛿𝛿> 0, so dass
lim
𝑛𝑛→∞ 1
(𝑠𝑠𝑛𝑛)2+𝛿𝛿∙�𝐸𝐸�|𝑇𝑇𝑖𝑖−𝐸𝐸(𝑇𝑇𝑖𝑖)|2+𝛿𝛿�
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 = 0 ,
wobei 𝑠𝑠𝑛𝑛≔�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑇𝑇1)+𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑇𝑇2)+⋯+𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑇𝑇𝑛𝑛) .
Dann kon e gie 𝑈𝑈𝑛𝑛−𝐸𝐸(𝑈𝑈𝑛𝑛)
𝑠𝑠𝑛𝑛
ü 𝑛𝑛→∞ in Ve eilung gegen die S anda dno mal e eilung.
Beweis: [4] S.159 und [5] S.206 □
Zu Anwendung dieses Sa zes au unse Modell mi den Zu alls a iablen 𝑋𝑋1,𝑋𝑋2, … und
Summen 𝑍𝑍1,𝑍𝑍2, … müssen die Bedingungen in Zi e 1 bis 3 übe p ü we den:
1. Sei 𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝐼𝐼: 𝐸𝐸(|𝑋𝑋𝑖𝑖|) =𝑆𝑆𝑖𝑖∙𝑝𝑝𝑖𝑖+ 0 ∙(1−𝑝𝑝𝑖𝑖)=𝑆𝑆𝑖𝑖∙𝑝𝑝𝑖𝑖<∞
2. Sei 𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝐼𝐼: 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋𝑖𝑖)=𝑆𝑆𝑖𝑖2∙𝑝𝑝𝑖𝑖+ 02∙(1−𝑝𝑝𝑖𝑖)−(𝑆𝑆𝑖𝑖∙𝑝𝑝𝑖𝑖)2=𝑆𝑆𝑖𝑖2∙𝑝𝑝𝑖𝑖∙(1−𝑝𝑝𝑖𝑖)
Wegen 𝑆𝑆𝑖𝑖∈(0, ∞) und 𝑝𝑝𝑖𝑖∈(0,1) olg 0 < 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋𝑖𝑖)<∞ ü 𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝐼𝐼
- 7 -
3. Sei 𝑛𝑛∈𝐼𝐼𝐼𝐼 und 𝛿𝛿> 0:
𝑠𝑠𝑛𝑛2=𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋1)+𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋2)+⋯+𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋𝑛𝑛)=�𝑆𝑆𝑖𝑖2∙𝑝𝑝𝑖𝑖∙(1−𝑝𝑝𝑖𝑖)
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
≥𝑛𝑛∙�in
𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝐼𝐼𝑆𝑆𝑖𝑖�2∙in
𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝐼𝐼𝑝𝑝𝑖𝑖∙�1−sup
𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝐼𝐼𝑝𝑝𝑖𝑖�=: 𝑛𝑛∙𝑐𝑐1
Mi den Annahmen aus Abschni 2 gil : 0 < 𝑐𝑐1<∞. Da aus olg :
𝑠𝑠𝑛𝑛2+𝛿𝛿≥𝑛𝑛1+𝛿𝛿2∙𝑐𝑐11+𝛿𝛿2> 0
Fe ne gil :
�𝐸𝐸�|𝑋𝑋𝑖𝑖−𝐸𝐸(𝑋𝑋𝑖𝑖)|2+𝛿𝛿�
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 =��|𝑆𝑆𝑖𝑖−𝑆𝑆𝑖𝑖∙𝑝𝑝𝑖𝑖|2+𝛿𝛿∙𝑝𝑝𝑖𝑖+|0−𝑆𝑆𝑖𝑖∙𝑝𝑝𝑖𝑖|2+𝛿𝛿∙(1−𝑝𝑝𝑖𝑖)�
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 =
=��𝑆𝑆𝑖𝑖2+𝛿𝛿∙(1−𝑝𝑝𝑖𝑖)2+𝛿𝛿∙𝑝𝑝𝑖𝑖+𝑆𝑆𝑖𝑖2+𝛿𝛿∙𝑝𝑝𝑖𝑖2+𝛿𝛿∙(1−𝑝𝑝𝑖𝑖)�
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 =
≤��𝑆𝑆𝑖𝑖2+𝛿𝛿+𝑆𝑆𝑖𝑖2+𝛿𝛿�
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 ≤2∙𝑛𝑛∙sup
𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝐼𝐼𝑆𝑆𝑖𝑖=: 𝑛𝑛∙𝑐𝑐2
Mi den Annahmen aus Abschni 2 e gib sich: 0 < 𝑐𝑐2<∞.
Insgesam olg da aus:
0≤1
(𝑠𝑠𝑛𝑛)2+𝛿𝛿∙�𝐸𝐸�|𝑋𝑋𝑖𝑖−𝐸𝐸(𝑋𝑋𝑖𝑖)|2+𝛿𝛿�
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 ≤1
𝑛𝑛1+𝛿𝛿2∙𝑐𝑐11+𝛿𝛿2∙𝑛𝑛∙𝑐𝑐2=𝑐𝑐2
𝑐𝑐11+𝛿𝛿2∙1
𝑛𝑛𝛿𝛿2 .
Da de ech e Te m ü 𝑛𝑛→∞ gegen 0 kon e gie , is die Bedingung in Zi e 3
eben alls e üll .
Als Fazi kann es gehal en we den, dass ü g oße 𝑛𝑛 die Zu alls a iable 𝑍𝑍𝑛𝑛 als
no mal e eil mi E wa ungswe
�𝑆𝑆𝑖𝑖∙𝑝𝑝𝑖𝑖
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
und S anda dabweichung
��𝑆𝑆𝑖𝑖2∙𝑝𝑝𝑖𝑖∙(1−𝑝𝑝𝑖𝑖)
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
angenommen we den kann. Die Risikomaße Value a Risk und Expec ed Sho all
e geben sich dann nähe ungsweise mi den ü die No mal e eilung üblichen
Fo meln.
- 14 -
Modi ika ion des Po olios
Im Folgenden we den im o liegenden Beispiel die Auswi kungen eine Modi ika ion
des Po olios analysie . De bishe besp ochene Fall wi d dahe als Da enmodell 1
bezeichne .
Bei Da enmodell 2 wi d zu Fes legung des Schadenbe ags und de
Ein i swah scheinlichkei eines Risikos jeweils die selbe Zu allszahl e wende , so
dass in diesem Fall die beiden G ößen (Schadenbe ag und
Ein i swah scheinlichkei ) pe ek posi i ko elie sind. Alle ande en
Modellannahmen we den beibehal en. Das bedeu e , dass mi einem hohen
Schadenbe ag auch imme eine hohe Aus allwah scheinlichkei e bunden is .
In Da enmodell 3 is es umkeh : Ein hohe Schadenbe ag is mi eine nied igen
Ein i swah scheinlichkei e bunden. Dazu we den ü beide G ößen zwa jeweils die
selbe Zu allszahl e wende , abe in den zugehö igen In e allen so umge echne ,
dass aus de Zu allszahl z.B. ein hohe Schadenbe ag und eine nied ige
Ein i swah scheinlichkei esul ie . Beide G ößen sind in diesem Modell pe ek
nega i ko elie . Alle ande en Modellannahmen we den wiede um beibehal en.
Da enmodell 4 wi d mi Blick au den Sa z on Laplace und De Moi e konzipie . D.h.
alle Schadenbe äge sind iden isch. O.B.d.A. we den sie mi 1 angese z . Fe ne sind
- 15 -
alle Ein i swah scheinlichkei en eben alls kons an . Als kons an e We wi d hie 0,25
gewähl .
E gebnisse Da enmodell 2 und Da enmodell 3
Bei Da enmodell 2 (pe ek e posi i e Ko ela ion on Schadenbe ag und
Ein i swah scheinlichkei ) kann bezüglich des Gesam schadens on eine gu en
Annähe ung an die No mal e eilung schon ab 100 Risiken ausgegangen we den, da
die p ozen uale Abweichung zwischen den empi ischen und den heo e ischen
Risikomaßen ab diese Anzahl im P omillebe eich liegen und beide Tes e ah en die
Nullhypo hese lediglich ü 10 Risiken kla ablehnen. Alle dings is anzume ken, dass
die No mal e eilungshypo hese bei beiden Tes s auch bei 5.000 Risiken abgelehn
wi d. Im Un e schied zu dem Fall mi 10 Risiken wü de abe bei einem
Signi ikanzni eau on 𝛼𝛼=1%, bei beiden Tes s die Nullhypo hese nich abgelehn
we den. Fe ne zeig das Q-Q-Diag amm bei 5.000 Risiken keine Au älligkei en. Hie
die Q-Q-Diag amme ü die Fälle mi 10, 200, 1.000 und 5.000 Risiken.
- 16 -
Bei Da enmodell 3 (pe ek e nega i e Ko ela ion on Schadenbe ag und
Ein i swah scheinlichkei ) kann e s bei eine höhe en Anzahl on Risiken bezüglich
des Gesam schadens on eine No mal e eilung ausgegangen we den: Die
p ozen ualen Abweichungen zwischen empi ischen und heo e ischen Risikomaßen
liegen e s ab 500 Risiken im Wesen lichen im P omillebe eich, beide Tes s lehnen die
No mal e eilungshypo hese e s ab 200 Risiken nich ab.
Somi häng die Anzahl de Risiken, ab de ü den Gesam schaden als Konsequenz
des zen alen G enzwe sa zes on eine No mal e eilung ausgegangen we den
kann, on de Ko ela ion de beiden G ößen Schadenbe ag und
Einzelwah scheinlichkei ab. Einen Ein luss wi d eben alls die Ve eilung de beiden
G ößen haben. Es wi d dahe ü die Anwendung emp ohlen, bei eine
Mus e be echnung en wede ein ü den zu un e suchenden Fall ypisches Po olio
on dicho ome s ochas ischen unabhängigen Risiken zu e wenden ode die
Ve eilung und die Ko ela ion on Schadenbe ag und Ein i swah scheinlichkei
o ab zu analysie en.
Die Tabellen mi den E gebnissen sind ü die Da enmodelle 2 und 3 au den beiden
olgenden Sei en abged uck .
- 17 -
Da enmodell 2
Simula ionse gebnisse
Anzahl de
Risiken
E wa ungs‐
we
S anda d‐
abweichung
Value a
Risk 5%
Value a
Risk 1%
Expec ed
Sho all 5%
Expec ed
Sho all 1%
Schä zwe e
10
1.584,86
854,98
3.049,58
3.724,16
3.370,24
3.819,81
50
9.772,06
2.132,08
13.363,98
14.913,03
14.269,27
15.504,37
100
18.426,02
2.928,81
23.261,25
25.362,93
24.536,42
26.306,58
200
37.335,88
4.154,69
44.256,65
47.059,83
45.946,81
48.517,73
500
91.044,54
6.441,70
101.575,98
106.266,57
104.340,80
108.149,65
1000
176.105,91
8.983,63
190.899,57
196.774,16
194.583,76
200.272,01
5000
882.543,44
20.362,68
915.304,98
929.945,27
924.506,80
937.249,86
Theo e ische
10
1.573,67
856,77
2.982,96
3.566,76
3.340,84
3.857,38
We e
50
9.749,67
2.129,83
13.253,02
14.704,28
14.142,65
15.426,72
100
18.420,81
2.920,42
23.224,61
25.214,58
24.444,47
26.205,19
200
37.337,41
4.154,82
44.171,67
47.002,77
45.907,14
48.412,08
500
91.061,49
6.491,00
101.738,54
106.161,50
104.449,83
108.363,25
1000
176.075,67
9.011,85
190.899,25
197.039,92
194.663,50
200.096,74
5000
882.195,67
20.175,82
915.382,88
929.130,68
923.810,32
935.974,32
Abweichung
10
‐0,71%
0,21%
‐2,18%
‐4,23%
‐0,87%
0,98%
50
‐0,23%
‐0,11%
‐0,83%
‐1,40%
‐0,89%
‐0,50%
100
‐0,03%
‐0,29%
‐0,16%
‐0,58%
‐0,37%
‐0,39%
200
0,00%
0,00%
‐0,19%
‐0,12%
‐0,09%
‐0,22%
500
0,02%
0,77%
0,16%
‐0,10%
0,10%
0,20%
1000
‐0,02%
0,31%
0,00%
0,14%
0,04%
‐0,09%
5000
‐0,04%
‐0,92%
0,01%
‐0,09%
‐0,08%
‐0,14%
Da enmodell 2
E gebnisse de s a is ischenTes s
Signi ikanzni eau 5%
Anzahl de
Risiken
Tes s a is ik
p‐We
Hypo hese
ablehnen
Kolmogo o ‐
10
7,527
0,0%
ja
Smi no ‐
50
0,598
86,6%
nein
Tes
100
0,482
83,9%
nein
200
0,634
81,6%
nein
500
0,631
82,0%
nein
1000
0,576
89,5%
nein
5000
1,497
2,3%
ja
Ande son‐
10
42,433
ja
Da ling‐
50
0,827
nein
Tes
100
0,598
nein
200
0,420
nein
500
0,423
nein
1000
0,378
nein
5000
2,594
ja
- 18 -
Da enmodell 3
Simula ionse gebnisse
Anzahl de
Risiken
E wa ungs‐
we
S anda d‐
abweichung
Value a
Risk 5%
Value a
Risk 1%
Expec ed
Sho all 5%
Expec ed
Sho all 1%
Schä zwe e
10
952,55
587,18
2.075,88
2.593,23
2.397,89
2.891,61
50
5.126,97
1.484,02
7.708,07
8.843,16
8.426,10
9.461,83
100
10.200,58
2.044,42
13.695,70
15.212,94
14.652,48
16.114,35
200
20.838,51
2.938,63
25.840,09
28.179,83
27.220,60
29.275,62
500
51.240,48
4.539,97
58.898,12
61.916,82
60.746,77
63.420,47
1000
103.006,09
6.487,83
113.838,93
118.099,40
116.466,32
120.567,84
5000
514.525,68
14.576,96
538.370,46
548.795,42
544.673,60
553.717,91
Theo e ische
10
948,92
587,26
1.914,91
2.315,07
2.160,21
2.514,27
We e
50
5.111,83
1.487,33
7.558,34
8.571,81
8.179,60
9.076,31
100
10.182,10
2.050,59
13.555,12
14.952,39
14.411,65
15.647,95
200
20.809,61
2.944,99
25.653,83
27.660,55
26.883,95
28.659,49
500
51.193,94
4.554,21
58.685,15
61.788,39
60.587,44
63.333,18
1000
102.946,99
6.432,75
113.528,23
117.911,50
116.215,19
120.093,49
5000
514.328,23
14.404,18
538.021,67
547.836,68
544.038,30
552.722,58
Abweichung
10
‐0,38%
0,01%
‐7,75%
‐10,73%
‐9,91%
‐13,05%
50
‐0,30%
0,22%
‐1,94%
‐3,07%
‐2,93%
‐4,07%
100
‐0,18%
0,30%
‐1,03%
‐1,71%
‐1,64%
‐2,89%
200
‐0,14%
0,22%
‐0,72%
‐1,84%
‐1,24%
‐2,10%
500
‐0,09%
0,31%
‐0,36%
‐0,21%
‐0,26%
‐0,14%
1000
‐0,06%
‐0,85%
‐0,27%
‐0,16%
‐0,22%
‐0,39%
5000
‐0,04%
‐1,19%
‐0,06%
‐0,17%
‐0,12%
‐0,18%
Da enmodell 3
E gebnisse de s a is ischenTes s
Signi ikanzni eau 5%
Anzahl de
Risiken
Tes s a is ik
p‐We
Hypo hese
ablehnen
Kolmogo o ‐
10
7,465
0,0%
ja
Smi no ‐
50
1,925
0,1%
ja
Tes
100
1,521
2,0%
ja
200
0,917
37,0%
nein
500
0,807
53,3%
nein
1000
0,936
34,5%
nein
5000
1,206
10,9%
nein
Ande son‐
10
87,279
ja
Da ling‐
50
9,027
ja
Tes
100
4,340
ja
200
2,358
nein
500
1,120
nein
1000
1,172
nein
5000
1,454
nein
- 19 -
De homogene Fall
Als homogenen Fall (Da enmodell 4) be ach en wi die olgende Kons ella ion:
𝑆𝑆1=𝑆𝑆2=⋯=𝑆𝑆= 1 und 𝑝𝑝1=𝑝𝑝2=⋯=𝑝𝑝= 0,25,
d.h. alle Schadenbe äge und alle Ein i swah scheinlichkei en sind iden isch. Somi
s eh de Gesam schaden, d.h. die Summe de zweiwe igen Zu alls a iablen, ü die
Anzahl de einge e enen Schäden. Dies en sp ich de Ausgangssi ua ion des Sa zes
on Laplace und De Moi e, d.h. auch hie soll e man eine No mal e eilung
beobach en können.
Ve gleich man die We e ü die Kennzahlen, so liegen die Abweichungen ab 500
Risiken im P omillebe eich (mi Ausnahme de S anda dabweichung). Bei 200 Risiken
bzw. 100 Risiken gib es lediglich beim Value a Risk bzw. beim Expec ed Sho all
(jeweils 1%) g öße e Abweichungen. Dies pass zu den Q-Q-Diag ammen: Auch hie
sind bei 100 und 200 Risiken g öße e Abweichungen an beiden Rände n zu
beobach en, wohingegen ab 500 Risiken lediglich am obe en Rand kleine e
Abweichungen bzw. einzelne Aus eise o kommen. Alle dings lehnen die
s a is ischen Tes s die No mal e eilungshypo hese e s ab 5.000 nich ab. Dies is
siche lich au die Nähe de Summe de zweiwe igen Zu alls a iablen zu eine
disk e en Ve eilung zu ückzu üh en. Au den e s en Blick pass dies nich zu dem
E gebnis des Sa zes on Laplace und De Moi e bzw. de Faus egel, dass bei
Be ücksich igung des Ko ek u e ms 0,5 un e den Bedingungen
𝑛𝑛∙𝑝𝑝≥10 und 𝑛𝑛∙(1 −𝑝𝑝)≥10
on eine hin eichend gu en Annähe ung an die No mal e eilung ausgegangen
we den kann, d.h. im o liegenden Beispiel ab 𝑛𝑛=40 Risiken. Ve gleich man
alle dings ü nich zu g oße 𝑛𝑛 die Wah scheinlichkei en de jeweiligen
Binomial e eilung und de en sp echenden No mal e eilung, so e kenn man, dass
es ge ade an den Rände n wegen de nied igen G ößeno dnung de We e zwa zu
ge ingen absolu en abe zu hohen ela i en Abweichungen komm . Diese
Abweichungen an den Rände n üh en dann in Kombina ion mi einem g oßen
S ichp obenum ang (hie : 𝑚𝑚=10.000) zu hohen We en ü die Tes s a is iken und zu
Ablehnung de No mal e eilungshypo hese.
Zu e wähnen is noch, dass ausgehend on Da enmodell 1 die Annahme eines
iden ischen Schadenbe ags ehe zu eine Ablehnung de
No mal e eilungshypo hese üh als die Annahme eine iden ischen
Ein i swah scheinlichkei .
Hie die Zusammens ellung de E gebnisse und die Q-Q-Diag amme ü das
Da enmodell 4.
- 20 -
Da enmodell 4
Simula ionse gebnisse
Anzahl de
Risiken
E wa ungs‐
we
S anda d‐
abweichung
Value a
Risk 5%
Value a
Risk 1%
Expec ed
Sho all 5%
Expec ed
Sho all 1%
Schä zwe e
10
2,51
1,36
5,00
6,00
5,50
6,45
50
12,56
3,05
18,00
20,00
19,17
21,13
100
25,04
4,31
32,00
36,00
34,34
37,08
200
50,05
6,07
60,00
65,00
62,86
66,97
500
125,07
9,58
141,00
148,00
145,29
152,05
1000
249,96
13,54
272,00
283,00
278,66
287,14
5000
1.250,07
30,78
1.301,00
1.321,00
1.313,66
1.333,61
Theo e ische
10
2,50
1,37
4,75
5,69
5,32
6,15
We e
50
12,50
3,06
17,54
19,62
18,82
20,66
100
25,00
4,33
32,12
35,07
33,93
36,54
200
50,00
6,12
60,07
64,25
62,63
66,32
500
125,00
9,68
140,93
147,52
144,97
150,81
1000
250,00
13,69
272,52
281,85
278,24
286,50
5000
1.250,00
30,62
1.300,36
1.321,23
1.313,15
1.331,61
Abweichung
10
‐0,40%
0,74%
‐5,00%
‐5,17%
‐3,27%
‐4,65%
50
‐0,48%
0,33%
‐2,56%
‐1,90%
‐1,83%
‐2,22%
100
‐0,16%
0,46%
0,37%
‐2,58%
‐1,19%
‐1,46%
200
‐0,10%
0,82%
0,12%
‐1,15%
‐0,37%
‐0,97%
500
‐0,06%
1,04%
‐0,05%
‐0,32%
‐0,22%
‐0,82%
1000
0,02%
1,11%
0,19%
‐0,41%
‐0,15%
‐0,22%
5000
‐0,01%
‐0,52%
‐0,05%
0,02%
‐0,04%
‐0,15%
Da enmodell 4
E gebnisse de s a is ischenTes s
Signi ikanzni eau 5%
Anzahl de
Risiken
Tes s a is ik
p‐We
Hypo hese
ablehnen
Kolmogo o ‐
10
15,930
0,0%
ja
Smi no ‐
50
7,156
0,0%
ja
Tes
100
5,328
0,0%
ja
200
3,986
0,0%
ja
500
2,304
0,0%
ja
1000
2,410
0,0%
ja
5000
0,918
36,8%
nein
Ande son‐
10
230,784
ja
Da ling‐
50
46,382
ja
Tes
100
23,877
ja
200
12,410
ja
500
5,379
ja
1000
4,097
ja
5000
0,621
nein
- 21 -
- 22 -
Fazi
Mi au Simula ionse gebnissen au bauenden s a is ischen Tes s und Q-Q-
Diag ammen kann ü ein konk e es Po olio on s ochas isch unabhängigen
dicho omen Risiken das Vo liegen eine No mal e eilung übe p ü we den. Vo sich
is bei den s a is ischen Tes s bezüglich des S ichp obenum angs, d.h. bezüglich de
Anzahl de Simula ionsläu e, gebo en. Eine hohe Anzahl on Simula ionsläu en kann
zu eine Ablehnung de Nullhypo hese üh en, obwohl nach dem Q-Q-Diag amm eine
No mal e eilung naheliegend is .
Des Wei e en kann bei Anwendung de s a is ischen Tes s ein kons an e
Schadenbe ag auch bei eine g oßen Anzahl on Risiken zu Ablehnung de
No mal e eilungsannahme üh en. Die Q-Q-Diag amm e mi eln in solchen Fällen o
einen besse en Eind uck.
- 23 -
6. App oxima ion mi eine zusammengese z en Poisson-
Ve eilung
Im Be eich de Bankbe iebsleh e ha sich eine wei e e App oxima ion ü die
Ve eilung des Gesam schadens eines Po olios on s ochas isch unabhängigen
dicho omen Risiken e ablie . Dabei wi d die Ve eilung on 𝑍𝑍𝑛𝑛 du ch eine
zusammengese z e Poisson-Ve eilung app oximie . Dieses Ve ah en wi d in
Li e a u als Teil des on C edi Suisse Financial P oduc s im Jah e 1997 en wickel e
C edi Risk+TM da ges ell ( gl. [6] S.442 ).
Zunächs we den dazu die Schadenbe äge du ch eine G undeinhei 𝐿𝐿 di idie und
das E gebnis ganzzahlig ge unde . Dabei wi d die G undeinhei 𝐿𝐿 so gewähl , dass de
We 0 nich als E gebnis o kommen kann. Es sei also:
𝑆𝑆𝑖𝑖∗≔𝑉𝑉𝑟𝑟𝑛𝑛𝑟𝑟𝑟𝑟𝑛𝑛�𝑆𝑆𝑖𝑖
𝐿𝐿� , 𝑖𝑖= 1, … , 𝑛𝑛
Wi be ach en nun das olgende modi izie e Modell. Es sei
𝑋𝑋𝑖𝑖∗=�𝑆𝑆𝑖𝑖∗,𝑝𝑝𝑖𝑖
0 , 1 −𝑝𝑝𝑖𝑖,
ü alle 𝑖𝑖= 1,2, … und 𝑍𝑍𝑛𝑛∗=𝑋𝑋1∗+𝑋𝑋2∗+⋯+𝑋𝑋𝑛𝑛∗
ü 𝑛𝑛∈𝐼𝐼𝐼𝐼. Es gil 𝑍𝑍𝑛𝑛∗∙𝐿𝐿≈𝑍𝑍𝑛𝑛
ü alle 𝑛𝑛∈𝐼𝐼𝐼𝐼. Insbesonde e is 𝑍𝑍𝑛𝑛∗ eine 𝐼𝐼𝐼𝐼0-we ige Zu alls a iable, d.h. die Ve eilung
is du ch die wah scheinlichkei se zeugende Funk ion
𝑓𝑓(𝑠𝑠)=𝐸𝐸�𝑠𝑠𝑍𝑍𝑛𝑛∗�,𝑠𝑠∈[0,1]
eindeu ig es geleg . Es gil :
𝑓𝑓(𝑠𝑠)=𝐸𝐸�𝑠𝑠𝑍𝑍𝑛𝑛∗�=𝐸𝐸�𝑠𝑠𝑋𝑋1∗+𝑋𝑋2∗+⋯+𝑋𝑋𝑛𝑛∗�=𝐸𝐸��𝑠𝑠𝑋𝑋𝑖𝑖∗
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 �=�𝐸𝐸�𝑠𝑠𝑋𝑋𝑖𝑖∗�
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 =
=��𝑠𝑠𝑆𝑆𝑖𝑖∗∙𝑝𝑝𝑖𝑖+(1−𝑝𝑝𝑖𝑖)�
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 =�exp �ln �1 + 𝑝𝑝𝑖𝑖∙�𝑠𝑠𝑆𝑆𝑖𝑖∗−1���
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
Ve wende man die Nähe ung ln (1 + 𝑥𝑥)≈𝑥𝑥 (Tangen e an die Funk ion ln (1 + 𝑥𝑥) im
Punk 𝑥𝑥0= 0), so e gib sich:
𝑓𝑓(𝑠𝑠)≈�exp �𝑝𝑝𝑖𝑖∙�𝑠𝑠𝑆𝑆𝑖𝑖∗−1��
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 =exp ��𝑝𝑝𝑖𝑖∙�𝑠𝑠𝑆𝑆𝑖𝑖∗−1�
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 �=
- 30 -
8. Be iebswi scha liche Anwendungsgebie e
Beispiel 1: K edi managemen
Das wich igs e Beispiel ü dicho ome Risiken im Be eich de Bankbe iebsleh e is die
Modellie ung des K edi aus all isikos ( gl. [6] S.436 ). Dabei s ell das hie o ges ell e
Modell eine ein ache Va ian e da : Jede K edi kann in einem o gegebenen Zei aum
aus allen ode nich , die Aus allwah scheinlichkei und de Schadenbe ag sind
bekann , die Risiken sind s ochas isch unabhängig. Geh man in diesem Modell bei
hin eichend g oßen Anzahl on K edi en aus, so kann die Ve eilung des
Gesam schadens je nach G ößeno dnung de Ein i swah scheinlichkei en mi de
No mal e eilung ode mi eine zusammengese z en Poisson-Ve eilung app oximie
we den. Quan ile bzw. Risikomaße können dann ein ach e mi el we den. Da au
au bauend wi d das K edi aus all isiko, z.B. in Fo m des unexpec ed loss, quan i izie .
Beispiel 2: Risiko e lus bei eine Pensionskasse
Eine Pensionskasse is eine de Du ch üh ungswege ü be iebliche
Al e s e so gung in Deu schland. Dabei s ell sich egelmäßig die F age nach den
jäh lichen Risiko e lus en ü die einzelnen Elemen e eine Zusage
(Hin e bliebenen e so gung, In aliden e so gung, …). Auch hie handel es sich um
dicho ome Risiken: De Ve so gungs all i im Lau e eines Jah es ein ode e i nich
ein. Be ach e man zu Analyse ode P ognose de Risiko e lus e lediglich die Anzahl
de Ve so gungs älle (z.B. beim Ve gleich Anzahl de beobach e en und Anzahl de
e wa e en Ve so gungs älle), so ähnel dies ehe Da enmodell 4 im Fallbeispiel 1 ,da
de Schadenbe ag einhei lich mi 1 angese z wi d. Wi d das im Ve so gungs all ällige
Kapi al bzw. de Ba we eine im Ve so gungs all älligen Ren e in die Analyse
einbezogen, so en sp ich die P oblems ellung Da enmodell 1 im Fallbeispiel 1. Bei
eine Pensionskasse lieg die Anzahl de Risiken (Pe sonen) häu ig im ie s elligen
Be eich und es is e ne üblich, on s ochas isch unabhängigen Risiken auszugehen.
Zu e wähnen is noch, dass die jäh lichen Ein i swah scheinlichkei en de
Ve so gungs älle bedeu end ge inge sind als in de Fallbeispiel 1. Die S e be- und
In alidiesie ungswah scheinlichkei en sind al e s-, geschlech s- sowie
jah gangsabhängig und liegen in den s a k bese z en Al e n im P omille- und un e en
P ozen be eich.
Beispiel 3: Be iebswi scha liches Risikomanagemen
Im be iebswi scha lichen Risikomanagemen we den Risiken häu ig mi eine
Ein i swah scheinlichkei und einem es en Schadenbe ag, d.h. dicho om, modellie .
Dies is sinn oll bei e eigniso ien ie en Risiken, bei denen da on ausgegangen wi d,
dass sie einmal im Jah mi eine Wah scheinlichkei ein e en können und einen
- 31 -
bes imm en mone ä en Schaden zu Folge haben ( gl. [3] S.15 ). Ha man meh e e
diese Risiken und sind diese s ochas isch unabhängig, so s ell sich auch hie die
F age, ob eine No mal e eilung zu Quan i izie ung des gemeinsamen Schadens
e wende we den kann. K i isch is in diesem Beispiel – im Un e schied zu den beiden
o he igen Beispielen – die Anzahl de Risiken. I.d.R. we den im Rahmen des
be iebswi scha lichen Risikomanagemen s nu die wesen lichen Risiken bewe e .
Fe ne we den häu ig Abhängigkei ss uk u en in die Analyse einbezogen.
- 32 -
9. Fazi
In dem o liegenden A ikel wi d zunächs die F age, ob bzw. ab welche Anzahl bei
einem Po olio on s ochas isch unabhängigen dicho omen Risiken zu
Risikoquan i izie ung eine No mal e eilung e wende we den kann, aus zwei
Pe spek i en beleuch e : Theo ie und schließende S a is ik.
Aus Sich de Theo ie läss sich zeigen, dass un e ela i ein achen Bedingungen de
zen ale G enzwe sa z angewende we den kann und somi de Gesam schaden ü
eine g oße Anzahl on Risiken annähe nd no mal e eil is . E zeug man im Rahmen
eine Mon e-Ca lo-Si ua ion ik i e Da ensä ze, so kann mi mi hil e on s a is ischen
Me hoden die No mal e eilungshypo hese ge es e we den. Q-Q-Diag amme und de
Ve gleich on empi ischen und heo e ischen Kennzahlen bilden hie eine seh gu e
E gänzung bzw. Al e na i e. Es zeig sich u.a., dass im homogenen Fall die beiden
Pe spek i en nich zum gleichen E gebnis üh en: So lie e de Sa z on Laplace und
De Moi e im Da enmodell 4 eine hin eichend gu e Nähe ung ab 40 Risiken, die
Mon e-Ca lo-Simula ion mi den s a is ischen Tes s, den Q-Q-Diag ammen und dem
Ve gleich de Kennzahlen abe e s ab 5.000 bzw. 500 Risiken.
Als zwei es Ve ah en zu Quan i izie ung des Gesam isikos wi d al e na i die
App oxima ion mi hil e eine zusammengese z en Poisson-Ve eilung be ach e . Die
Beispiele zeigen, dass bei Ein i swah scheinlichkei en, die nähe an 50% liegen,
bezogen au die Risikomaße die No mal e eilungs-App oxima ion o zuziehen is , bei
kleine en Ein i swah scheinlichkei en hingegen die App oxima ion mi hil e eine
zusammengese z en Poisson-Ve eilung.
Die ein ache Fo m de Modellie ung on Risiken mi zweiwe igen Zu alls a iablen
inde man in e schiedenen Be eichen de Be iebswi scha sleh e. Wende man die
Ve ah en aus den Fallbeispielen an, so kann man in konk e en Fällen analysie en, ob
die No mal e eilungsannahme ü den Gesam schaden ge ech e ig und somi eine
o melmäßig ein ache Risikoquan i izie ung möglich is .
Im o liegenden A ikel wi d gene ell on de s ochas ischen Unabhängigkei de
dicho omen Risiken ausgegangen. Gib es Abhängigkei en zwischen den Risiken, so
können diese z.B. mi hil e eine Ko ela ionsma ix ode eine Copula modellie
we den. Es s ell sich dann die F age, ob in diesem Fall eben alls nähe ungsweise eine
e ein ach e Quan i izie ung des Gesam schadens möglich is .
- 33 -
Li e a u e zeichnis
[1]
A enbe g, Ju a
Analyse mul i a ia e Da en mi SPSS, Books on
Demand, No de s ed 2019.
[2]
Co in, Claudia;
Döhle ,
Sebas ian
Risikoanalyse, 2. Au lage, Wiesbaden: Sp inge 2013.
[3]
Gleißne ,
We ne ;
Wol um, Ma co
Risikoagg ega ion und Mon e-Ca lo-Simula ion,
Sp inge -Ve lag, Wiesbaden 2019.
[4]
Gänssle , Pe e ;
S u e, Win ied
Wah scheinlichkei s heo ie, Sp inge -Ve lag, Be lin
Heidelbe g New Yo k 1977.
[5]
Mein up, Da id;
Schä le , S e an
S ochas ik: Theo ie und Anwendung, Sp inge -Ve lag,
Be lin Heidelbe g 2005.
[6]
Schie enbeck,
Henne ; Lis e ,
Michael; Ki mße,
S e an
E agso ien ie es Bankmanagemen Band 1: Messung
on Ren abili ä und Risiko im Bankgeschä , 9. Au lage,
Sp inge Gable Wiesbaden 2014.
[7]
Schli gen,
Raine
Ein üh ung in die S a is ik: Analyse und Modellie ung on
Da en, 12. Au lage, Oldenbou g Ve lag München 2012.
[8]
S ephens,
Michael A.
The Ande son-Da ling S a is ic, Technical Repo No. 39,
Depa men o S a is ics, S an o d Uni e si y, S an o
Cali o nia 1979.
[9]
Wol sdo , Ku
Ve siche ungsma hema ik Teil2 Theo e ische G und-
lagen, Risiko heo ie, Sach e siche ung, B. G. Teubne
S u ga 1988.
Imp essum
Diese Ve ö en lichung e schein im Rahmen de Online-Publika ions eihe „Fo schung am i wKöln“.
Eine olls ändige Übe sich alle bishe e schienenen Publika ionen inde sich am Ende diese
Publika ion und kann
hie abge u en we den.
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Köln, 2/2021
ISSN (online) 2192
-8479
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Die quan i a i e Risikobewe ung bei einem Po olio on dicho omen Risiken
mi hil e des zen alen G enzwe sa zes
Köln,
Janua 2021
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- und Rech swissenscha en /
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Die Ve ö en lichungen de Online-Publika ions eihe "Fo schung am i wKöln" (ISSN: 2192-8479)
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Publika ionen we den hie du ch übe na ionale und in e na ionale Biblio hekska aloge,
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2021
1/2021
Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2020 (im E scheinen)
2020
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Kölne Ve siche ungssymposium am 14. No embe 2019
6/2020
Schmid : Küns liche In elligenz im Risikomanagemen . P oceedings zum 15. FaRis & DAV Symposium
am 6. Dezembe 2019 in Köln
5/2020
Mülle -Pe e s: Die Wah nehmung on Risiken im Rahmen de Co ona-K ise
4/2020
Knobloch: Modellie ung eine Can elli-Zusage mi hil e eine bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke e
3/2020
Mülle -Pe e s, Ga ze : Todsiche : Die Wah nehmung und Fehlwah nehmung on All ags isiken in de
Ö en lichkei
2/2020
Völle , Mülle -Pe e s: Insu Tech Ka e i wKöln 2020 - Bei äge zu Insu Techs
und Inno a ion am i wKöln
1/2020
Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2019
2019
5/2019
Mude s: Risiko und Resilienz kollek i e Spa p ozesse – Back es ing au Basis deu sche und US-
ame ikanische Kapi alma k da en 1957-2017
4/2019
Heep-Al ine , Be g: Mik oökonomisches P oduk ionsmodell ü Ve siche ungen. Teil 2:
Rendi emaximie ung und Ve gleich mi klassischen Op imie ungsansä zen.
3/2019
Völle , Mülle -Pe e s: Insu Tech Ka e i wKöln 2019 - Bei äge zu Insu Techs und Inno a ion am
i wKöln
2/2019
Rohl s, Pü z, Mo awe z: Risiken des au oma isie en Fah ens. He aus o de ungen und
Lösungsansä ze ü die K z-Ve siche ung. P oceedings zum 14. FaRis & DAV-Symposium am
7.12.2018 in Köln.
1/2019
Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2018
2018
7/2018
Goecke: Resilience and In e gene a ional Fai ness in Collec i e De ined Con ibu ion Pension Funds
6/2018
Miebs: Kapi alanlages a egien ü die bAV – He aus o de ungen ü das Asse Managemen du ch
das Be iebs en ens ä kungsgese z. P oceedings zum 13. FaRis & DAV Symposium am 8. Dezembe
2017 in Köln
5/2018
Goecke, Heep-Al ine , Knobloch, Schiegl, Schmid (H sg.): FaRis a ICA 2018 – Con ibu ions o he
In e na ional Cong ess o Ac ua ies 2018 in Be lin. Bei äge on FaRis Mi gliede n zum Wel kong ess
de Ak ua e om 4. bis zum 8. Juni 2018 in Be lin
4/2018
Knobloch: Die P ade eine bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke e - Fallbeispiele aus de
be ieblichen Al e s e so gung
3/2018
Völle , Mülle -Pe e s: Insu Tech Ka e i wKöln 1/2018 - Bei äge zu Insu Techs und Inno a ion am
i wKöln
2/2018
Schmid , Schulz: Insu Tech. P oceedings zum 12. FaRis & DAV Symposium am 9. Juni 2017 in Köln
1/2018
Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2017
2017
8/2017
Ma e ne, Pü z: Al e na i e Capi al und Basis isiko in de S anda d o mel (non-li e) on Sol ency II
7/2017
Knobloch: Kons uk ion eine un e jäh lichen Ma ko -Ke e aus eine jäh lichen Ma ko -Ke e - Eine
Ve allgemeine ung des linea en Ansa zes
6/2017
Goecke, Oska (H sg.): Risiko und Resilienz. P oceedings zum 11. FaRis & DAV Symposium am 9.
Dezembe 2016 in Köln
5/2017
G undhö e , D euw, Quin , S egemann: Bewe ungspo ale - eine neue Quali ä de Konsumen en-
in o ma ion?
4/2017
Heep-Al ine , Meh ing, Rohl s: Bewe ung des e ügba en Kapi als am Beispiel des Da enmodells
de „IVW P i a AG“
3/2017
Mülle -Pe e s, Völle : Insu Tech Ka e i wKöln 1/2017 - Bei äge zu Insu Techs und Inno a ion am
i wKöln
2/2017
Heep-Al ine , Mülle -Pe e s, Schimikowski, Schnu (H sg.): Big Da a ü Ve siche ungen. P oceedings
zum 21. Kölne Ve siche ungssymposium am 3. 11. 2016 in Köln
1/2017
Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2016
2016
13/2016
Völle : E olgs ak o en eines Online-Po als ü Akademike
12/2016
Mülle -Pe e s, Ga ze : Todsiche : Die Wah nehmung und Fehlwah nehmung
on All ags isiken in de Ö en lichkei (e schein 2017)
11/2016
Heep-Al ine , Penzel, Rohl s, Voßmann: S anda d o mel und wei e e Anwendungen am Beispiel des
du chgängigen Da enmodells de „IVW Leben AG“
10/2016
Heep-Al ine (H sg.): Big Da a. P oceedings zum 10. FaRis & DAV Symposium
am 10. Juni 2016 in Köln
9/2016
Ma e ne, Pü z, Engling: Die An o de ungen an die E eignisde ini ion des Rück e siche ungs e ags:
Eindeu igkei und Konsis enz mi dem zug undeliegenden Risiko
8/2016
Rohl s (H sg.): Quan i a i es Risikomanagemen . P oceedings zum 9. FaRis & DAV Symposium
am 4. Dezembe 2015 in Köln
7/2016
E emuk, Heep-Al ine : In e nes Modell am Beispiel des du chgängigen Da enmodells de „IVW P i a
AG“
6/2016
Heep-Al ine , Rohl s, Dağoğlu, Pulido, Ven e : Be ich sp lich en und P ozessan o de ungen nach
Sol ency II
5/2016
Goecke: Collec i e De ined Con ibu ion Plans - Back es ing based on Ge man capi al ma ke da a
1955 - 2015
4/2016
Knobloch: Bewe e e inhomogene Ma ko -Ke en - Spezielle un e jäh liche und zei s e ige Modelle
3/2016
Völle (H sg.): Sozialisie du ch Google, Apple, Amazon, Facebook und Co. – Kundene wa ungen
und –e ah ungen in de Asseku anz. P oceedings zum 20. Kölne Ve siche ungssymposium am 5.
No embe 2015 in Köln
2/2016
Ma e ne (H sg.): Jah esbe ich 2015 des Fo schungsschwe punk s Rück e siche ung
1/2016
Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2015
2015
11/2015
Goecke (H sg.): Kapi alanlage isiken: Economic Scena io Gene a o und Liquidi ä smanagemen .
P oceedings zum 8. FaRis & DAV Symposium am 12. Juni 2015 in Köln
10/2015
Heep-Al ine , Rohl s: S anda d o mel und wei e e Anwendungen am Beispiel des du chgängigen
Da enmodells de „IVW P i a AG“ – Teil 2
9/2015
Goecke: Asse Liabili y Managemen in einem selbs inanzie enden Pensions onds
8/2015
S obel (H sg.): Managemen des Langlebigkei s isikos. P oceedings zum 7. FaRis & DAV
Symposium am 5.12.2014 in Köln
7/2015
Völle , Wunde : En e p ise 2.0: Konzep ion eines Wikis im Sinne des p ozesso ien ie en
Wissensmanagemen s
6/2015
Heep-Al ine , Rohl s: S anda d o mel und wei e e Anwendungen am Beispiel des du chgängigen
Da enmodells de „IVW P i a AG‘‘
5/2015
Knobloch: Momen e und cha ak e is ische Funk ion des Ba we s eine bewe e en inhomogenen
Ma ko -Ke e. Anwendung bei isikobeha e en Zahlungss ömen
4/2015
Heep-Al ine , Rohl s, Beie : E neue ba e Ene gien und ALM eines Ve siche ungsun e nehmens
3/2015
Dolgo : Calib a ion o Hes on's s ochas ic ola ili y model o an empi ical densi y using a gene ic
algo i hm
2/2015
Heep-Al ine , Be g: Mik oökonomisches P oduk ionsmodell ü Ve siche ungen
1/2015
Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2014
2014
10/2014
Mülle -Pe e s, Völle (beide H sg.): Inno a ion in de Ve siche ungswi scha
9/2014
Knobloch: Zahlungss öme mi zinsunabhängigem Ba we
8/2014
Heep-Al ine , Münchow, Scuzza ello: Ausgleichs echnungen mi Gauß Ma kow Modellen am Beispiel
eines ik i en S o nobes andes
7/2014
G undhö e , Rö ge , Sche e : Wozu noch Papie ? Eins ellungen on S udie enden zu E-Books
6/2014
Heep-Al ine , Be g (beide H sg.): Ka as ophenmodellie ung - Na u ka as ophen, Man Made Risiken,
Epidemien und meh . P oceedings zum 6. FaRis & DAV Symposium am 13.06.2014 in Köln
5/2014
Goecke (H sg.): Modell und Wi klichkei . P oceedings zum 5. FaRis & DAV Symposium am 6.
Dezembe 2013 in Köln
4/2014
Heep-Al ine , Hoos, K ah o s : Fai Value Bewe ung on zedie en Rese en
3/2014
Heep-Al ine , Hoos: Ve ein ach e Na Ca Modellie ungsansa z zu Rück e siche ungsop imie ung
2/2014
Zimme mann: F auen im Ve siche ungs e ieb. Was sagen die P i a kunden dazu?
1/2014
Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2013
2013
11/2013
Heep-Al ine : Ve lus abso bie ung du ch la en e S eue n nach Sol ency II in de
Schaden e siche ung, N . 11/2013
10/2013
Mülle -Pe e s: Kunden e hal en im Umb uch? Neue In o ma ions- und Abschlusswege in de K z-
Ve siche ung, N . 10/2013
9/2013
Knobloch: Risikomanagemen in de be ieblichen Al e s e so gung. P oceedings zum 4. FaRis &
DAV-Symposium am 14. Juni 2013
8/2013
S obel (H sg.): Rechnungsg undlagen und P ämien in de Pe sonen- und Schaden e siche ung -
Ak uelle Ansä ze, Möglichkei en und G enzen. P oceedings zum 3. FaRis & DAV Symposium am 7.
Dezembe 2012
7/2013
Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich -
Back es ing
6/2013
Knobloch: Kons uk ion eine un e jäh lichen Ma ko -Ke e aus eine jäh lichen Ma ko -Ke e
5/2013
Heep-Al ine e al. (H sg.): Value-Based-Managemen in Non-Li e Insu ance
4/2013
Heep-Al ine : Ve ein ach es Fo melwe k ü den MCEV ohne Renewals in de Schaden e siche ung
3/2013
Mülle -Pe e s: De e ne z e Au o ah e – Akzep anz und Akzep anzg enzen on eCall,
We ks a e ne zung und Meh we diens en im Au omobilbe eich
2/2013
Maie , Schimikowski (beide H sg.): P oceedings zum 6. Diskussions o um Ve siche ungs ech am
25. Sep embe 2012 an de FH Köln
1/2013
Ins i u ü Ve siche ungswesen (H sg.): Fo schungsbe ich ü das Jah 2012
2012
11/2012
Goecke (H sg.): Al e na i e Zinsga an ien in de Lebens e siche ung. P oceedings zum 2. FaRis &
DAV-Symposiums am 1. Juni 2012
10/2012
Kla , Schiegl: Quan i a i e Risikoanalyse und -bewe ung echnische Sys eme am Beispiel eines
medizinischen Ge ä es
9/2012
Mülle -Pe e s: Ve gleichspo ale und Ve b auche wünsche
8/2012
Füllg a , Völle : Social Media Rei eg admodell ü die deu sche Ve siche ungswi scha
7/2012
Völle : Die Social Media Ma ix - O ien ie ung ü die Ve siche ungsb anche
6/2012
Knobloch: Bewe ung on isikobeha e en Zahlungss ömen mi hil e on Ma ko -Ke en bei
un e jäh liche Zahlweise
5/2012
Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ions echnungen
4/2012
Gün he (H sg.): P i a e sus S aa - Schuss ah zu Zwangs e siche ung? Tagungsband zum 16.
Kölne Ve siche ungssymposium am 16. Ok obe 2011
3/2012
Heep-Al ine /K ause: De Embedded Value im Ve gleich zum ökonomischen Kapi al in de
Schaden e siche ung
2/2012
Heep-Al ine (H sg.): De MCEV in de Lebens- und Schaden e siche ung - geeigne ü die
Un e nehmenss eue ung ode nich ? P oceedings zum 1. FaRis & DAV-Symposium am 02.12.2011
in Köln
1/2012
Ins i u ü Ve siche ungswesen (H sg.): Fo schungsbe ich ü das Jah 2011
2011
5/2011
Reime s-Rawcli e: Eine Da s ellung on Rück e siche ungsp og ammen mi Anwendung au den
Komp essionse ek
4/2011
Knobloch: Ein Konzep zu Be echnung on ein achen Ba we en in de be ieblichen
Al e s e so gung mi hil e eine Ma ko -Ke e
3/2011
Knobloch: Bewe ung on isikobeha e en Zahlungss ömen mi hil e on Ma ko -Ke en
2/2011
Heep-Al ine : Pe o manceop imie ung des (B u o) Neugeschä s in de Schaden e siche ung
1/2011
Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich
