Management des Langlebigkeitsrisikos. Proceedings zum 7. FaRis & DAV Symposium am 5.12.2014 in Köln

Fo schung am IVW Köln, 8/2015
Ins i u ü Ve siche ungswesen
Managemen des
Langlebigkei s isikos
P oceedings zum 7. FaRis & DAV Symposium
am 5.12.2014 in Köln
Jü gen S obel (H sg.)
Fo schung am IVW Köln, 8
/
2015 Wählen Sie ein Elemen aus.
Jü gen S obel
Fo schungss elle FaRis
Managemen des Langlebigkei s isikos. P oceedings zum 7.
FaRis & DAV Symposium am 5.12.2014 in Köln
Zusammen assung
Die säkula e S e blichkei s e besse ung s ell sei langem alle Al e ssiche ungssys eme o g oße
He aus o de ungen. Nich zule z die Lebens e siche ungswi scha als klassische Anbie e on p i a en
Ren en e siche ungen is da on be o en. Eine Analyse de S e blichkei sen wicklung kann un e ganz
un e schiedlichen Blickwinkeln du chge üh we den; einige wich ige Aspek e wu den beim 7. FaRis & DAV-
Symposium e ie behandel .
Abs ac
T
he imp o emen o he mo ali y is one o he bigges challenges o pension sys ems. Especially, li e
insu ance as he classical supplie o p i a e annui ies is a ec ed by his aspec . An analysis o he
de elopmen o mo ali y can be p oceeded on he base o di e en pe spec i es – some o hese ha e
been ea ed in ensi ely a he 7 h FaRis & DAV Symposium.
Schlagwö e
Langlebigkei s isiko, Lang is ige und ku z is ige S e blichkei s end, s ochas ische P ojek ionsmodelle, Lee-Ca e -
Modell, Me hode on Heligman-Polla d, Cai ns-Blake-Dowd Modell, T ans e on Langlebigkei in Ve siche ungs-
mä k e, T ans e on Langlebigkei in Kapi almä k e, Longe i y Swaps
III
Vo wo
Die säkula e S e blichkei s e besse ung s ell sei langem alle Al e ssiche ungssys eme
o g oße He aus o de ungen. Nich zule z die Lebens e siche ungswi scha als klassi-
sche Anbie e on p i a en Ren en e siche ungen is da on be o en. Eine Analyse de
S e blichkei sen wicklung kann un e ganz un e schiedlichen Blickwinkeln du chge üh
we den; einige wich ige Aspek e sind beim 7. FaRis & DAV-Symposium e ie behandel
wo den.
Zum einen geh es da um, die S e blichkei sen wicklung ma hema isch zu modellie en.
Besonde e Bedeu ung haben s ochas ische P ojek ionsmodelle ü die Be ölke ungs-
s e blichkei gewonnen, die den lang is igen S e blichkei s end quan i izie en. In jüngs-
e Zei kommen solche Modelle e meh im ak ua iellen All ag zum Einsa z, wenn es da-
um geh , nich nu eine Bes -Es ima e-Annahme übe die zukün ige S e blichkei , son-
de n auch Aussagen übe die Ve eilung mögliche Ve so gungs- ode Ve siche ungsleis-
ungen zu e en und so beispielsweise Siche hei szuschläge und Sol enzkapi al mi Blick
au Sol ency II isikoadäqua zu be echnen.
Eine wich ige Rolle spielen auch die In e dependenzen zwischen de En wicklung de
Langlebigkei und dem Zinsni eau. Dazu wi d un e such , wie ein angemessenes Asse /Li-
abili y-Managemen in einem sich selbs inanzie enden Ren enbes and aussehen könn e.
Die E gebnisse sind auch ü die be iebliche Al e s e so gung on In e esse.
Schließlich bleib ü den im Un e nehmen e an wo lichen P ak ike die wich ige Au -
gabe, die S e blichkei s isiken zu managen, die bei alle So g al de Modellie ung un e -
meidlich e bleiben. Hie sind Rück e siche ungslösungen genauso zu nennen wie Absi-
che ungen übe den Kapi alma k . Auch diese Thema ik is beim im Symposium au geg i -
en wo den.
Köln, Ap il 2015 Jü gen S obel
IV
Au o en e zeichnis
1. Das Langlebigkei s isiko als e siche ungs echnisches Risiko
Jü gen S obel
2. Die S e be a en de Zukun
S ochas ische Modellie ung on S e be a en ü das Sol ency II – SCR des
Langlebigkei s isikos
Kai Kau hold
3. Kollek i e Risikoausgleich in einem Ren enbes and
Oska Goecke
4. Langlebigkei Quo Vadis?
T ans e on Langlebigkei in Ve siche ungs- und Kapi almä k e
Co d-Roland Rinke
V
Inhal s e zeichnis
VORWORT ........................................................................................................................................................... III
AUTORENVERZEICHNIS ................................................................................................................................. IV
ABBILDUNGSVERZEICHNIS ......................................................................................................................... VII
TABELLENVERZEICHNIS ................................................................................................................................. IX
ABKÜRZUNGSVERZEICHNIS .......................................................................................................................... X
1DAS LANGLEBIGKEITSRISIKO ALS VERSICHERUNGSTECHNISCHES RISIKO ......................... 1
1.1KOMPONENTEN DES LANGLEBIGKEITSRISIKOS ...................................................................................... 1
1.2AUSGEWÄHLTE MODELLE ZU DER STERBLICHKEITSENTWICKLUNG IM ÜBERBLICK ............................. 6
1.3LITERATURHINWEISE ............................................................................................................................. 10
2DIE STERBERATEN DER ZUKUNFT .................................................................................................... 11
2.1EINFÜHRUNG UND DEFINITIONEN ....................................................................................................... 11
2.2WAS IST TRENDRISIKO BEI STERBERATEN? .......................................................................................... 15
2.3MODELLBEISPIELE: LEE-CARTER, CAIRNS-BLAKE-DOWD .................................................................. 16
2.3.1Lee-Ca e -a ige Modelle................................................................................................... 17
2.3.2Cai ns-Blake-Dowd Modelle .............................................................................................. 20
2.3.3P ojek ion de zei abhängigen Pa ame e ..................................................................... 25
2.4STATISTISCHE MODELLIERUNG DES VALUE-AT-RISK .......................................................................... 26
2.4.1Value-a -Risk-Me hode ....................................................................................................... 27
2.5ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK ................................................................................................. 29
2.6LITERATURHINWEISE ............................................................................................................................. 30
3KOLLEKTIVER RISIKOAUSGLEICH IN EINEM RENTENBESTAND .............................................. 31
3.1EINLEITUNG ........................................................................................................................................... 31
3.2MODELLBESCHREIBUNG ....................................................................................................................... 32
3.2.1Das S e blichkei smodell .................................................................................................... 33
3.2.2Das Kapi alma k modell .................................................................................................... 40
3.2.3Da s ellung de Asse -Liabili y S a egie ........................................................................ 40
3.3SIMULATIONSRECHNUNGEN ................................................................................................................ 43
3.3.1Spezial all: Risikolose Kapi alanlage ( 0
Ziel


) ........................................................... 44
3.3.2De allgemeine Fall: Risikobeha e e Kapi alanlage ( 0
Ziel

) ............................... 45
3.4RESÜMEE ............................................................................................................................................... 46

VI
4LANGLEBIGKEIT, QUO VADIS? ........................................................................................................... 48
4.1EINLEITUNG ........................................................................................................................................... 48
4.2LANGLEBIGKEITSRISIKEN ....................................................................................................................... 49
4.3STERBLICHKEITSVERBESSERUNGEN ...................................................................................................... 51
4.4LONGEVITY SWAP ................................................................................................................................. 54
4.5DERIVATE .............................................................................................................................................. 56
4.6WRAP UP .............................................................................................................................................. 59
VII
Abbildungs e zeichnis
Abbildung 1: Lebense wa ung on Neugebo enen ......................................................................... 2
Abbildung 2: Lebense wa ung on 65 – jäh igen Männe n und F auen .................................. 2
Abbildung 3: En wicklung de S e blichkei im Zei ablau ü ausgewähl e Al e .................. 3
Abbildung 4: En wicklung de S e blichkei im Zei ablau ü die Al e 30 und 60 in
e g öße em Maßs ab .................................................................................................................................. 3
Abbildung 5: Loga i hmische S e bezi e 󰇛,󰇜 ü wes deu sche Männe .................. 12
Abbildung 6: S e bezi e , gegen Zei ......................................................................................... 13
Abbildung 7: S e blichkei s e besse ungs a en ü 70-jäh ige Männe ................................... 14
Abbildung 8: S e bezi e , ü 70-jäh ige Männe ................................................................... 14
Abbildung 9: S e blichkei s e besse ungs a en im glei enden 9-Jah es-Mi el gegen Zei
(ho izon al) und Al e ( e ikal) ................................................................................................................. 15
Abbildung 10: Pa ame e schä zungen ü M1 (Lee-Ca e ) ........................................................... 18
Abbildung 11: Residuen (Vo zeichen) des Lee-Ca e -Modells .................................................... 19
Abbildung 12: Pa ame e schä zungen M5 (CBD-Modell) .............................................................. 20
Abbildung 13: Residuen (Vo zeichen) des Cai ns Blake Dowd-Modells ................................... 21
Abbildung 14: Pa ame e schä zungen ü M6 (CBD mi Coho E ec ) .................................... 22
Abbildung 15: Residuen (Vo zeichen) des Modells M6 (CBD mi Coho E ec ) ................... 24
Abbildung 16: P ojek ion de S e be a en mx, ü Al e x=70 mi 99,5% Kon idenz-In e all
............................................................................................................................................................................... 26
Abbildung 17: Schema ische Da s ellung des Da enbes ands .................................................... 28
Abbildung 18: Ve gleich SCRlonge i y ü e schiedene Be echnungsme hoden ...................... 29
Abbildung 19: Ve ein ach e Bilanz des Pensions onds.................................................................... 32
Abbildung 20: S ochas ische Fak o en und S eue ungspa ame e des Modells .................. 33
Abbildung 21: logi (1-p(x, )) ü die Basis a el 2005 und P ojek ions a el 2055 de
Rich a eln 2005G ü F auen sowie die linea e App oxima ion im CBD-Modell .................. 35
Abbildung 22: logi (1-p(x, )) ü die Basis a el 2005 und P ojek ions a el 2055 de
Rich a eln 2005G ü Männe sowie die linea e App oxima ion im CBD-Modell ................. 35
Abbildung 23: Ve gleich de Pe ioden a eln ü die Basis a el 2005 und P ojek ions a el
2055 de Rich a eln 2005G ü F auen und Männe sowie die App oxima ionen im CBD-
Modell ................................................................................................................................................................. 36
VIII
Abbildung 24: Mi le e e ne e Lebense wa ung 65-jäh ige F auen in Abhängigkei om
Gebu sjah , Ve gleich de We e nach Rich a eln 2005G und des CBD-Modell
(de e minis isch und Quan ile des s ochas ischen Modells) ......................................................... 37
Abbildung 25: Mi le e e ne e Lebense wa ung 65-jäh ige Männe in Abhängigkei om
Gebu sjah , Ve gleich de We e nach Rich a eln 2005G und des CBD-Modell
(de e minis isch und Quan ile des s ochas ischen Modells) ......................................................... 37
Abbildung 26: S uk u des hyb iden Mus e bes andes (Bes and XL) ü die Simula ion . 38
Abbildung 27: Simula ion de Bes andsen wicklung ....................................................................... 39
Abbildung 28: 1% und 5%-Quan ile ü die Ruinwah scheinlichkei in Abhängigkei on
de Anpassungsgeschwindigkei

und de e o de lichen Rese equo e. Ausgewe e
wu den jeweils 10 000 Simula ionsläu e. .............................................................................................. 44
Abbildung 29: Die Vola ili ä de Ren enanpassung in Abhängigkei on de
Anpassungsgeschwindigkei

................................................................................................................ 45
Abbildung 30: 5%-Quan ile ü die Ruinwah scheinlichkei in Abhängigkei on de
Anpassungsgeschwindigkei

und de e o de lichen Rese equo e (0)
Ziel


.
Ausgewe e wu den jeweils 1 000 Simula ionsläu e ...................................................................... 46
Abbildung 31: Lebense wa ung und Ren en ak o en (m/w) in GB .......................................... 48
Abbildung 32: Kapi alanlagen zu Bedeckung on Ren en & Pensionen in Billionen USD49
Abbildung 33: S e blichkei s e besse ungen ü männliche Ame ikane ............................... 51
Abbildung 34: Al e skomponen en in D (Wes ), USA und GB ....................................................... 52
Abbildung 35: Pe iodenkomponen en in D (Wes ), USA und GB ................................................ 53
Abbildung 36: Koho enkomponen en in D (Wes ), USA und GB ............................................... 53
Abbildung 37: Alle Komponen en in D (Wes ), USA und GB ......................................................... 54
Abbildung 38: His o ische & p ojizie e T end ü Männe in GB .............................................. 54
Abbildung 39: Cash Flow eines Longe i y Swaps ............................................................................. 55
Abbildung 40: Buy-Ou , Buy-In und Longe i y Swaps in Millia den GBP ................................ 56
Abbildung 41: Vo gehensweise bei einem Mo ali y Fo wa d ..................................................... 57
Abbildung 42: Auszahlungss uk u des Mo ali y Fo wa ds ........................................................ 57
IX
Tabellen e zeichnis
Tabelle 1: Die äl es en Menschen de Wel ............................................................................................ 1
Tabelle 2: Übe sich de Pa ame e ü das CBD-Modell bei eine Kalib ie ung au de
G undlagen de Pe ioden a eln 2005- 2055 de Rich a eln Heubeck 2005G ........................ 34
Tabelle 3: Wich ige Risiken bei de Al e s o so ge ........................................................................... 50
Tabelle 4: Vo - und Nach eile on Rück e siche ungslösungen und De i a en .................... 59
6
1.2 Ausgewähl e Modelle zu de S e blichkei sen wicklung im Übe -
blick
Im Folgenden wi d du chgehend die olgende Bezeichnung e wende :
qx, ≔S e bewah scheinlichkei eines x-jäh igen im Kalende jah 
a) Me hode de S e be a el DAV 2004 R11
In dem „ adi ionellen Modell“, das bei de He lei ung de S e be a el DAV 2004 R zug unde
geleg wu de, sind die S e blichkei s e besse ungen nu om Al e abhängig. Dabei legen
die Beobach ungen nahe, dass sich die S e bewah scheinlichkei en ü jedes Al e x in ex-
ponen ielle Weise e inge n.
Konk e wi d mi dem Ansa z gea bei e :
ln (q ) = - F(x) + B(x),
x,
wo aus unmi elba olg
q = exp (- F(x) + B(x))
x,
Die Ve ände ungen de S e bewah scheinlichkei en im Zei ablau , also bei wachsendem ,
olgen dann de Gese zmäßigkei
qx, +1 = exp (- F(x))
qx,
Die al e sspezi ischen T end ak o en we den dabei mi Hil e de Me hode de kleins en
Quad a e du ch linea e Reg ession aus den We en ln (q )
x, bes imm .
b) Me hode on Heligman-Polla d (1980)12
Heligman und Polla d a bei en mi einem pa ame ischen Ansa z, de om G undsa z he
de Idee de ühe en S e begese ze olg . Die S e bewah scheinlichkei en qx, we den in ei-
nem pa ame ischen Ansa z da ges ell , wobei es gil , die (g oße) Anzahl on Pa ame e n
geeigne an die empi ischen We e anzupassen und dami eine Ex apola ion zu e mögli-
chen. Konk e sei on den e wende en Va ian en die nach olgende e wähn 13:




C2
x
(x + B ) - E (ln(x) - ln(F ))
x, x
GH
q=A +De +
1+K G H
11 gl. Baue , M. (2005), Blä e de DGVFM, S. 199 .
12 gl. Heligman/ Polla d (1980)
13 gl. Gaille, EAJ (2012), S. 49 .

7
wobei
A ,B ,C ,D ,G ϵ 󰇛0,1󰇜 , E , H >0 , 15≤F ≤100 .
Dabei ha jede Pa ame e eine demog a ische und/ode eine biologische Bedeu ung: De
e s e Summand ep äsen ie die Mo ali ä s a en de Kindhei , de zwei e Summand die
S e blichkei de „mi le en Jah e“ einschließlich des Un allbuckels und de d i e Summand
schließlich die Mo ali ä s a en de höhe en Al e . Insbesonde e bewi k de Pa ame e K
eine besse e Anpassung in den hohen Al e n.
Die Pa ame e de Heligman-Polla d-Funk ion können mi e schiedenen unk ionalen An-
sä zen modellie we den. In F age kommen:
 linea e
 quad a ische
 exponen ielle
Funk ionen in Abhängigkei on dem Be ach ungsjah . Diese Funk ionen sind ein ach
s uk u ie , en hal en wenige Pa ame e und können ein ach plausibilisie we den. Die An-
passung an die Beobach ungswe e geschieh mi no malen Kleins e-Quad a e-Ansä zen.
c) Me hode on Lee-Ca e (1992)14
Das bekann e und gu einge üh e Lee-Ca e Modell e laub eine Analyse s e ige S e b-
lichkei s e ände ungen. Modellie we den loga i hmie e S e bewah scheinlichkei en an-
hand de olgenden Fo mel:

x, x x x,
ln (q ) = a + b k + e
Dabei is

n
1
a = ln (q )
xx,
n = 1
bx al e sabhängige In ensi ä spa ame e
k  Zei end (s ochas isch übe die Zei a iie ende Va iable, welche de eibende Fak o
de S e blichkei sen wicklung is und übe die Gewich ungs ak o en un e schiedlich
s a k au die einzelnen Al e wi k )
ex, = (no mal e eil e ) Fehle e m
Aus No mie ungsg ünden und um eine eindeu ige Lösung zu e hal en, wi d zusä zlich ge-
o de :
14 gl. Lee, R.D., Ca e , L.R. (1992), JASA, S. 659 .
8

ωn
x
x = 0 = 1
b = 1 und k = 0
Das Lee-Ca e Modell is mi bekann en ma hema ischen Me hoden du ch üh ba (Singu-
lä we ze legung, ARIMA-P ozesse) und dahe seh p ak ikabel, besi z abe auch eine
Reihe on Nach eilen (z.B. die zei liche Kons anz de bx), die zu eine Vielzahl on Va ian en
und Wei e en wicklungen ge üh haben.
Analyse de wesen lichen Todesu sachen
1. Pa ial-Cause-Elimina ion-Me hode (Siege 2000)15
Die Idee bei diesem Ansa z lieg da in, dass de Rückgang de S e blichkei un ennba da-
mi e bunden is , dass die K ankhei en, die ühe besonde s häu ig zum Tode ge üh ha-
ben, en wede heilba ode abe besse behandelba gewo den sind. Als Beispiele seien ge-
nann : In ek ionsk ankhei en (Hygiene, An ibio ika), He z-K eislau e k ankungen (Choles e-
in- und Blu d ucksenke ), K ebse k ankungen (ope a i e Ve ah en, Cy os a ika), de Rück-
gang des An eils de Rauche sowie die o sch ei ende En schlüsselung des menschlichen
Genoms mi de Ho nung, das En s ehen on K ankhei en besse zu e s ehen und geeig-
ne e Diagnose- und Heilungs e ah en zu en wickeln. Dami s ell sich jeweils die F age,
welche E ek ü die Ve länge ung de Lebense wa ung zu e wa en wä e, wenn einzelne
K ankhei en noch besse behandel ode ga geheil we den könn en.
Dies s ell also einen B uch mi de bishe un e s ell en Annahme eine nich wei e au ge-
gliede en säkula en S e blichkei s e besse ung da und kann einen neuen Zugang zu de
Analyse de S e blichkei sen wicklung bie en, de mögliche weise auch zu ande en E geb-
nissen hinsich lich de Ve länge ung de Lebense wa ung üh .
Ma hema isch liegen hie im Wesen lichen de e minis ische Ansä ze un e Zug undelegung
on Modellannahmen ü die En wicklung de Todes älle bei de inie en K ankhei sbilde n
zug unde. Möglich is beispielsweise eine O ien ie ung an den Me hoden de DAV16.
Schließlich kann man die Modellannahmen noch dahingehend di e enzie en, ob die K ank-
hei en
 olls ändig besieg we den
 eilweise besieg we den
 nu in bes imm en Fällen besieg we den
 ode ob de Todeszei punk lediglich um einige Jah e e schoben wi d.
15 s. Siege (2000), VW 12/2000, S.846 .
16 ebda.
9
2. Edwa ds (2014)
Mi ähnlichen G undübe legungen komm Edwa ds17 zu deu lich ande en Schluss olge un-
gen. Ein Blick au die Todes älle in G oßb i annien au g und on:
 K ebs
 Ca dio- askulä en E k ankungen
 A emwegse k ankungen
 E k ankungen des Ve dauungs ak
zeig , dass die Anzahl de Ges o benen au g und diese U sachen in den le z en zehn Jah en
deu lich zu ückgegangen is . Wei e e d ama ische Ve besse ungen sind en wede nich
meh zu e wa en ode hä en keine g oßen E ek e meh (z.B. wei e e Rückgang des Rau-
chens).
Hinzu kommen absehba e nega i e En wicklungen:
 zunehmende Ve b ei ung on Diabe es und Übe gewich
 ( ela i ) sinkende s aa liche Gesundhei sbudge s
 Ausbildung mul i esis en e Bak e ien.
Dami is die Ve mu ung nich abwegig, dass die S e blichkei s e besse ung sich insgesam
e langsamen könn e. Abe auch Edwa ds geh da on aus, dass sich die En wicklung ü un-
e schiedliche Pe soneng uppen e schieden da s ellen wi d.
Abschließend sei de Hinweis e laub , dass es mi le weile eine annähe nd unübe schau-
ba e Viel al on Modellen gib , insbesonde e on Modellen, die mi s ochas ischen Simula-
ionen a bei en. Eine kleine Auswahl da on wi d in den nach olgenden Bei ägen ebenso
disku ie wie die F age, wie die e siche ungs echnischen Risiken, die sich auch bei so g äl-
igs e Modellie ung nich e meiden lassen, on Rück e siche ungsun e nehmen übe -
nommen ode in den Kapi alma k ans e ie we den können.
17 s. Edwa ds (2014), Emphasis 2014/1, S. 15 .
10
1.3 Li e a u hinweise
1. Baue , M.: He lei ung de DAV-S e be a el 2004 R ü Ren en e siche ungen, Blä e
de DGVFM (2005), S. 199 - 313
2. Bö ge , Des einen F eud, des ande en Leid – Das Risiko de Langlebigkei in de bAV,
Be AV (2014), S. 457-462
3. Ca e , L.R, Lee, R.D.: Modeling and o ecas ing U.S. mo ali y, in: Jou nal o he Ame -
ican S a is ical Associa ion, 87 (1992), Issue 419, S. 659-675
4. Des a is: S e be älle, Lebense wa ung, h ps://www.des a is.de/ZahlenFak en/Ge-
sellscha S aa /Be ölke ung/S e be aelle/Tabellen/Lebense wa -
ung.pd ?_blob=publ. , Zug i am 10.11.2014
5. Edwa ds, M.: A e Imp essi e Longe i y Imp o emen s So ening?, Emphasis (2014),
S. 15-18
6. Gaille, S.: Fo ecas ing mo ali y: when academia mee s p ac ice, Eu opean Ac ua ial
Jou ney (2012), S. 49-76
7. Heligman, L., Polla d, J.H.: The Age Pa e n o Mo ali y, Jou nal o he Ins i u e o Ac-
ua ies (1980), S. 49-80
8. Siege , C.: Die zu e lässige Abschä zung de zukün igen Lebense wa ung; Ve si-
che ungswi scha (2000), S. 846-849
9. Wikipedia: Lis e de äl es en Menschen; h p://de.wikipedia.o g/wiki/Lis e_de _äl-
es en_Menschen, Zug i am 10.11.2014
11
2 Die S e be a en de Zukun
Kai Kau hold
2.1 Ein üh ung und De ini ionen
Das Ziel dieses Vo ags is eine Ein üh ung in s ochas ische P ojek ionen on S e be a en.
Zukün ige S e blichkei s ends zu modellie en und da aus Vo he sagen übe Übe lebens-
wah scheinlichkei und S e bewah scheinlichkei zu e en, is eine He aus o de ung, de
sich Ma hema ike und Ak ua e sei dem 19. Jah hunde s ellen. In den e gangen beiden
Jah zehn en ha es au diesem Gebie echnische En wicklungen gegeben, die sowohl die
He lei ung on Rechnungsg undlagen zwei e O dnung (also „Bes -Es ima es“) e lauben als
auch die Unsiche hei , mi de diese Bes -Es ima es beha e sind, messba machen. Denn
Langlebigkei s isiko, welches Pla z 4 als „Unwo “ des Jah es 2005 e eich e, is nich das Ri-
siko länge zu leben, sonde n das Risiko, dass sich de Ak ua bei de P ojek ion de Übe le-
benswah scheinlichkei i und deshalb die zukün igen Leis ungen an Ve siche ungsneh-
me und Pensionä e un e bewe e . Dieses Risiko mani es ie sich, wenn du ch neue Da en
ode eine Ve besse ung des P ojek ions e ah ens kla wi d, dass die bishe ige P ojek ion
das Übe leben inne halb des be e enden Bes andes un e schä z ha . Als Be u ss and ha-
ben wi Ak ua e au diesem Gebie leide keine glo eiche His o ie. Das is ü mich pe sön-
lich eine Mo i a ion, bei de Vo he sage de S e be a en de Zukun alle echnischen Mög-
lichkei en, die uns zu Ve ügung s ehen, auszunu zen und dabei gleichzei ig die gebüh-
ende Skepsis nich zu e gessen, mi de die E gebnisse k i isch un e such we den müssen.
Um gene ell ein Ge ühl ü die P oblema ik zu bekommen, be ach en wi als Beispiel die
deu sche Be ölke ungss e blichkei 18. Im Fall Deu schlands gib es du ch die Wiede e eini-
gung einen B uch in de Da enhis o ie. Dahe be ach en wi de Ein achhei halbe wes -
deu sche Da en, und hie nu die Männe . Abe zunächs ein paa De ini ionen:
Die disk e e S e bewah scheinlichkei , ,
, eine Pe son, im Al e  zum Zei punk  bis
zum E eichen des Al e s 1 zu s e ben, is gleich dem Ve häl nis de Anzahl de Todes-
älle on -jäh igen Pe sonen im be ach e en Bes and, die sich zwischen den Zei punk en
 und 1 e eignen, zu Anzahl , de zum Zei punk  lebenden -jäh igen. Die dazuge-
hö ige Ände ung de S e bewah scheinlichkei , 1,
, wi d als S e blichkei s e -
besse ungs a e („mo ali y imp o emen [ a e]“) bezeichne .
Aus Ve siche ungs- und Be ölke ungsda en leich e zu e mi eln is die disk e e S e bezi e
, ,
,, wobei man das zen ale Exposu e , nähe ungsweise aus den jeweiligen Le-
18 Quelle hie ü is die „Human Mo ali y Da abase“, in de ü die wich igs en Indus ielände Be ölke ungszahlen und
Todes älle zusammenge agen sind: www.mo ali y.o g .

12
benden am An ang und am Ende de Zei pe iode e mi el , ode on den am An ang Leben-
den die halbe Anzahl de Todes älle abzieh . ,≅,
, ≅
,,. Man
besch eib das Exposu e auch als Ve weildaue im Bes and.
Abbildung 5: Loga i hmische S e bezi e
󰇛
,
󰇜
ü wes deu sche Männe
19
Die G a ik in Abbildung 5 zeig den na ü lichen Loga i hmus de S e bezi e ü wes deu -
sche Männe zu e schiedenen Beobach ungszei punk en on 1960 bis 2010 übe eine Al-
e spanne on 50 bis 99 Jah en. Man e kenn kla einen log-linea en Ans ieg de S e bezi -
e n, und ebenso dass sich in den le z en Jah zehn en die S e bezi e n übe as die gesam e
Al e sspanne gegenübe ühe en Jah en e inge haben. Wenn man genaue hinschau ,
e kenn man auch, dass die Ve ände ung de S e bezi e bei manchen Al e sg uppen s ä -
ke wa als bei ande en. Zum Beispiel ha sich die S e blichkei on 98-jäh igen Männe n
übe den gesam en Beobach ungszei aum wenig e besse , wäh end es bei den Al e s-
g uppen zwischen 60 und 90 zu e heblichen Ve besse ungen de S e be a en gekommen
is .
Dies is auch aus Abbildung 6 abzulesen, das dieselben Da en in ande e Da s ellung zeig .
Die S e bezi e is hie ü einzelne Al e gegen die Zei au ge agen, um T ends zu e deu -
lichen. Wäh end de absolu e Un e schied im höchs en Al e (80 Jah e) am g öß en is , se-
hen wi bei den 70-jäh igen die g öß e ela i e Ände ung in den S e bezi e n. Dahe we -
den wi bei unse en wei e en Beispielen imme wiede au diese Al e sg uppe zu sp echen
kommen.
19
Quelle: Human Mo ali y Da abase, www.mo ali y.o g
13
Abbildung 6: S e bezi e

,
gegen Zei
20
Nehmen wi zum Beispiel die S e blichkei s e besse ungs a en , on 70-jäh igen wes -
deu schen Männe n und be ach en diese übe den Zei aum de le z en 50 Jah e (siehe
Abbildung 7). Übe diesen Beobach ungszei aum lag die du chschni liche Ve besse ungs-
a e bei 1,4% (eingezogene Linie). Jedoch gib es um diesen Mi elwe eine g oße S euung.
70-Jäh ige, die o 1900 gebo en wu den, zeig en im Schni eine Ve schlech e ung de
S e blichkei . Demgegenübe ha diese Al e sg uppe bei den ab 1930 gebo enen (Jah es-
ma ke 2000 im Abbildung 7) eine übe du chschni liche Ve besse ung de S e blichkei s-
a e e leb . Hie bei is zu beach en, dass bei diese Kennzi e imme die S e bewah schein-
lichkei en on zwei au einande olgenden Gebu sjah gängen mi einande e glichen we -
den. E wähnenswe sind noch die beiden „Aus eiße “: im Jah 1990 ha en 70-jäh ige Män-
ne eine um 21% höhe e S e bewah scheinlichkei als im Jah zu o , wäh end im Jah 1991
die S e bewah scheinlichkei ü diese Al e sg uppe wiede um 14% ela i gesunken is .
20
Quelle: Human Mo ali y Da abase, www.mo ali y.o g
14
Abbildung 7: S e blichkei s e besse ungs a en ü 70-jäh ige Männe
21
Ve gleich man diese Da s ellung wiede um mi den ohen S e bezi e n (siehe Abbildung
8), e kenn man in de le z e en Da s ellung meine Meinung nach die e schiedenen Pe i-
oden mi ih en un e schiedlichen T ends besse . Von 1960 bis 1969 s ieg die S e blichkei
de 70-jäh igen an. Zwischen 1970 und 1989 gab es eine Phase mi hohe Ve besse ungs a e
und sei 1991 ha sich diese T end ein wenig e langsam .
Abbildung 8: S e bezi e

,
ü 70-jäh ige Männe
22
Nun könn e man na ü lich ü jedes Al e eine solche Be ach ung du ch üh en und diesen
T end als Zei eihe o sch eiben. Alle dings muss man sich e gegenwä igen, dass bei ei-
21
Quelle: Human Mo ali y Da abase, www.mo ali y.o g
22
Quelle: Human Mo ali y Da abase, www.mo ali y.o g
15
ne solchen Be ach ung jede Da enpunk einen ande en Jah gang besch eib . Eine al e -
na i e Be ach ungsweise lie e eine zwei-dimensionale Da s ellung de S e blichkei s e -
besse ungs a en gegen Al e und Zei , wie im Abbildung 9.
Abbildung 9: S e blichkei s e besse ungs a en im glei enden 9-Jah es-Mi el gegen Zei
(ho izon al) und Al e ( e ikal)
23
Hie sind au de senk ech en Achse das Al e und ho izon al die Zei au ge agen. Wi e -
kennen deu lich Gene a ionen-E ek e als diagonale Mus e in den S e blichkei s e besse-
ungs a en. Diese E ek , dass bes imm e Gebu sjah gänge gegenübe den o he gehen-
den eine sys ema isch nied ige e S e blichkei bzw. höhe e S e blichkei s e besse ungen
zeigen, is zum e s en Mal im U.K. e kann wo den, und wi d als „Coho E ec “ bezeichne .
Wie auch im U.K. sind es die Gebu sjah gänge aus de Mi e de 30e Jah e, welche die
höchs en Ve besse ungs a en au weisen. Einige E klä ungs e suche hie ü sind schon o -
geschlagen wo den, ohne dass sich eine Theo ie du chgese z hä e. So e lockend es wä e,
da übe zu spekulie en, wohe diese sys ema ischen E ek e üh en mögen, möch e ich in
diesem Vo ag da on Abs and nehmen und mich au die F ages ellung konzen ie en, wie
zukün ige S e be a en modellie we den können.
2.2
Was is T end isiko bei S e be a en?
Wi ha en schon es ges ell , dass Langlebigkei s isiko nich das Risiko is , länge als e wa -
e zu leben, sonde n das Risiko des Ak ua s, sich bei de Bewe ung zukün ige Leis ungen
an Ve so gungsemp änge und Ren ne zu i en. Dabei soll en wi zunächs zwischen dem
Risiko un e scheiden, die Übe lebenswah scheinlichkei ü e schiedene G uppen inne -
23
Quelle: Human Mo ali y Da abase, www.mo ali y.o g
22

Abbildung 14: Pa ame e schä zungen ü M6 (CBD mi Coho E ec )
31
Die Ta sache, dass wede 󰇛󰇜 noch 
󰇛󰇜 Mono onie au weisen, mach die Ex apola ion die-
se Pa ame e in die Zukun ansp uchs oll bis schwie ig. Was den Gene a ionen e m 
󰇛󰇜
angeh , behil man sich in de P axis o dami , dass man au Ex apola ion e zich e , weil
man nu an Gebu sjah gängen in e essie is , ü die schon Da en o liegen und ü die

󰇛󰇜 geschä z we den kann. Eine Al e na i e is , ab dem zule z „gemessenen“ Pa ame e

󰇛󰇜 eine B ownsche Bewegung anzunehmen, also im Mi el keine Ände ung de S e blich-
kei ü spä e e Gene a ionen ela i zum le z en geschä z en Pa ame e 
󰇛󰇜.
Das oben gezeig e Ve hal en des Pa ame e s 󰇛󰇜 e deu lich , wie wich ig die Wahl des Be-
obach ungszei aums is . Nimm man den gesam en hie e wende en Zei aum on 1960
bis 2010, so könn e man ielleich annehmen, dass sich die S eigung de S e be a en im
Mi el nich e ände , denn 󰇛󰇜 besch eib im Modell M6 (CBD mi Coho E ec ) die S ei-
gung de logis ischen Ge aden. Be ach e man nu den Zei aum on 1980 bis 2010 wä e
ein o gese z e linea e Ans ieg de S eigung am wah scheinlichs en. Ein solches Szena io
on sinkende du chschni liche S e blichkei und eine imme s eile we denden S e bein-
ensi ä nenn man üb igens „Mo ali y Comp ession“, denn die Al e sspanne, inne halb de
die meis en Todes älle sich e eignen, wi d in diesem Szena io imme kü ze . Wie das oben
besch iebene Modell M6 au zeig , dü en wi ü deu sche Männe on 1980 bis 2010 eine
31
Quelle: Be echnungen mi Longe i as P ojec ions Toolki , www.longe i as.co.uk

23
solche Komp imie ung de Todes älle au kü ze we dende Al e spannen beobach e ha-
ben. Können wi ü die Zukun nun da on ausgehen, dass sich diese T end o se z , ode
wi d die S eigung de S e bein ensi ä in de Zukun wiede abnehmen?
Diese F age is aus dem Modell he aus nich eindeu ig zu bean wo en. Mögliche An wo en
soll en sich dahe un e Be ücksich igung des Vo sich sp inzips danach ich en, welche Aus-
wi kungen die E gebnisse in de jeweiligen Anwendung haben.
Du ch die zusä zlichen Koho en-Pa ame e haben wi also unse Modell e eine , abe
gleichzei ig die Unsiche hei e höh , mi denen P ojek ionen aus diesem Modell he aus be-
ha e sind. Es s ell sich dahe die F age, ob sich die Ein üh ung de neuen Pa ame e ge-
lohn ha . Eine de aillie e Analyse wi d einen quan i a i en Ve gleich de Modelle beinhal-
en, wie zum Beispiel mi Hil e de In o ma ionsk i e ien on Akaike („AIC“) ode Bayes
(„BIC“), die den besse en Fi übe die E höhung de Maximum-Likelihood gegen die Anzahl
de Pa ame e abwägen. Hie wollen wi uns abe da au besch änken, quali a i die Resi-
duen zu be ach en. Fü eine eingehende e Un e suchung sei wiede au Cai ns e al. (2009)
e wiesen. Die Vo zeichen de Residuen des CBD-Modells M6, welches die Koho en-Pa a-
me e einschließ , zeigen eine deu lich zu ällige e Ve eilung, als wi beim u sp ünglichen
Lee-Ca e -Modell (M1) ode beim ein achen CBD-Modell (M5) beobach e ha en (siehe Ab-
bildung 15). Alle dings e kennen wi auch, dass besonde s in den Jah en 1995 bis 2010 die
linea e Al e ss uk u des CBD-Modells die S e be a en zu seh e ein ach , denn in man-
chen Al e sbe eichen un e schä z das Modell die S e be a en sys ema isch (Al e 70 – 80)
und in manchen übe schä z es sie (Al e 80 – 95).
24
Abbildung 15: Residuen (Vo zeichen) des Modells M6 (CBD mi Coho E ec )
32
So lieg denn die nächs e E wei e ung des CBD-Modells nahe: die logis ischen S e bewah -
scheinlichkei en we den du ch ein Polynom zwei en G ades modellie , und nich du ch
eine Ge ade.
M7: Cai ns-Blake-Dowd-Modell mi Koho en-Pa ame e und quad a ischem Te m:
ln󰇧 ,
1,󰇨󰇛󰇜󰇛󰇜󰇛󰇜󰇛󰇜󰇛󰇛󰇜
󰇜
󰇛󰇜
Zusä zlich zum d i en zei abhängigen Pa ame e 󰇛󰇜, welchen man als K ümmungskoe i-
zien au assen könn e, no mie man übliche weise diesen mi els de Va ianz de Al e s-
e eilung 
∑󰇛󰇜²
. Zu diesem Modell sei lediglich angeme k , dass man wie-
de eine Reihe on Nebenbedingungen s ellen muss, dami sich die Pa ame e , insbeson-
de e die Koho en-Pa ame e , eindeu ig bes immen lassen.
Zusammen assend haben wi sechs e schiedene Modelle ku z o ges ell , die mi un e -
schiedlich ielen Pa ame e n eine Besch eibung de his o ischen Da en zulassen. Die Gü e
des Fi s is gegen die Anzahl de Pa ame e abzuwägen, wo ü es eine Reihe on quan i a i-
en und quali a i en K i e ien gib . Es gib abe niemals das „bes e Modell“ an sich, sonde n
die Ak ua in ha die Qual de Wahl, wobei o allem de beabsich ig e Ve wendungszweck
des Modells im Vo de g und s ehen muss. Denn die his o ischen S e be a en möglichs gu
zu e klä en, is nich Selbs zweck, sonde n geschieh mi dem Ziel, zukün ige S e be a en
o he zusagen.
32
Sign(Ac ual – Expec ed), posi i es Vo zeichen=schwa z, nega i es Vo zeichen=wie; Quelle: Be echnungen mi Longe i-
as P ojec ions Toolki , www.longe i as.co.uk,
25
2.3.3 P ojek ion de zei abhängigen Pa ame e
Bei de Ve wendung de o ges ell en Modelle zu P ojek ion de zukün igen S e be a en,
is das Vo gehen im P inzip seh ein ach. Al e sabhängige Pa ame e we den als kons an
angenommen, und zei abhängige Pa ame e we den mi Hil e on e schiedenen Hil smi -
eln de Zei eihen-Analyse in die Zukun p ojizie .
In allgemeine Ausd ucksweise geh es bei de Zei eihen-Analyse da um, s a ionä e P o-
zesse zu inden und s ochas isch zu p ojizie en. Das ein achs e Beispiel eines solchen P o-
zesses is die B ownsche Bewegung, auch als Wiene P ozess ode Random Walk bekann .
Au den ein achen Fall des Lee-Ca e -Modells (M1) angewende , haben wi eine Besch ei-
bung de his o ischen loga i hmischen S e be a en:
ln󰇛,󰇜
󰇛󰇜
󰇛󰇜󰇛󰇜
Die zei liche Ve ände ung de S e be a en wi d du ch die Pa ame e 󰇛󰇜 besch ieben. Ein
Random-Walk mi D i besch eib eine Möglichkei , wie sich die S e be a en on eine Pe i-
ode 1 zu nächs en Pe iode  e ände n:
󰇛󰇜 
󰇛󰇜 󰇛0,󰇜
Hie is  die D i -Kons an e und ein s ochas ische Fehle e m. Wenn de Random Walk-
P ozess die zei liche En wicklung des Pa ame e s  olls ändig besch eib , so wi d de Feh-
le e m  keine lei zei lichen T end meh beinhal en. Die P ognose zukün ige loga i hmi-
sche S e be a en ln󰇛,󰇜 übe einen le z en Beobach ungszei punk hinaus, e gib
sich dann aus de P ojek ion des Pa ame e s 󰇛󰇜:

󰇛󰇜 
󰇛󰇜√
ln,
󰇛󰇜
󰇛󰇜
󰇛󰇜
󰇛󰇜
󰇛󰇜󰇛
󰇛󰇜√󰇜
Hie aus e gib sich zum Beispiel ein 99,5%-Kon idenzin e all ü die S e be a en on
󰇣exp󰇡
󰇛󰇜
󰇛󰇜󰇛
󰇛󰇜2.58√󰇜󰇢,exp󰇡
󰇛󰇜
󰇛󰇜󰇛
󰇛󰇜2.58√󰇜󰇢󰇤
26
Abbildung 16: P ojek ion de S e be a en
m
x,
ü Al e
x
=70 mi 99,5% Kon idenz-In e all
33

Man e kenn kla , wie sich die Unsiche hei in de P ojek ion mi zunehmendem Abs and
om U sp ung de P ojek ion e g öße .
Das obige Beispiel wa lediglich die Anwendung des ein achs en möglichen P ozesses au
das ein achs e de Modelle. Im Allgemeinen wi d man meh e e Klassen on s ochas ischen
Zei eihen-P ozessen un e suchen und denjenigen P ozess auswählen, de die zei liche En -
wicklung de S e blichkei sindizes am bes en besch eib . Auch ha en wi gesehen, dass es
Modelle gib , in denen meh e e Indizes gleichzei ig p ojizie we den müssen. Hie ü gib
es auch eine Auswahl on Ve ah en, mi denen man sich beschä igen muss, um ü seine
eigenen Zwecke das bes -geeigne e auszuwählen. Fazi bleib , dass es eine Vielzahl on En -
scheidungen gib , die die Ak ua in e en muss, wenn es um die Modellwahl und die P o-
jek ion on S e be a en geh . Das e deu lich die Wich igkei des Modell isikos.
2.4
S a is ische Modellie ung des Value-a -Risk
Neben dem P icing und de Be echnung aus eichende Rücks ellungen ü zukün ige Leis-
ungen im Be eich Ren en e siche ung und bAV, is eine wich ige Anwendung ü die P o-
jek ion zukün ige S e be a en die Be echnung des no wendigen Sol enzkapi als. Insbe-
sonde e die Sol enz-An o de ung SCR
longe i y
(„Sol ency Capi al Requi emen “) ü das E le-
bens all isiko nach Sol ency II kann mi Hil e eines (pa iellen) in e nen Modells be echne
we den, das au einem s a is ischen Modell be uh , wie wi sie oben o ges ell haben.
Die Be echnung de Sol enz-An o de ungen gemäß Sol ency II e olg in allgemeine Fo m
olgende maßen: Man e mi el den „Ne Asse Value“. das sind die zu Ve ügung s ehen-
den Eigenmi el, im Basis-Fall („bes es ima e“) und in einem ges ess en Szena io („s essed“)
33
Quelle: Be echnungen mi Longe i as P ojec ions Toolki , www.longe i as.co.uk
27
nach Ablau eines Jah es ab Bilanzs ich ag. Die Di e enz im Ne Asse Value
∆ e gib dann die Sol enz-An o de ung:
, ∆
, ∆  
  
 

Im Fall des E lebens all isikos kann man e ein achend da on ausgehen, dass inne halb ei-
nes Jah es keine g a ie enden „Schäden“ au e en, die zum Un e schied zwischen Bes -E-
s ima e und ges ess em Fall bei agen. Dann is die Di e enz im Ne Asse Value nähe ungs-
weise gleich dem Un e schied zwischen den ü Bes -Es ima e und S ess e mi el en Rück-
s ellungen 
 .
Gehen wi beispielsweise on ein achen lebenslangen Ren en ä aus, so be ach en wi ein-
ach einen Bes and on e schiedenen solche Ren en ü e schiedene Al e ∈
󰇝60,65,70,75,80,85,90󰇞 und d ücken die Sol enz-An o de ung  als P ozen -
sa z de Ren e im Basis all (bes -es ima e, 50%-Quan il) aus:
, 󰇧ä,.%
ä,% 1󰇨100%
Zu Be echnung des ges ess en Ren enba we s ä,.% gib es zu zei d ei gängige Ve -
ah en:
Be echnung nach Sol ency II S anda d-Fo mell,
P ad-Me hode und
Value-a -Risk-Me hode.
Bei de S anda d-Fo mel in de Sol ency II-Umse zungs ich line wi d de ges ess e Ba we
e mi el , indem die Bes -es ima e-Annahmen ü die S e bewah scheinlichkei um einen
Fak o on 20% e inge we den.
, , 󰇛1󰇜, 20%
Die P ad-Me hode is nich s ande es als die Umse zung eines P ojek ions-Modells, wie wi
sie oben gesehen haben, wobei die p ojizie en Zei eihen mi de Un e g enze des 99,5%-
Kon idenz-In e alls e sehen we den.
.% 2.58√
Bei de Value-a -Risk-Me hode handel es sich um eine s ochas ische Simula ion, die wi im
Folgenden besch eiben.
2.4.1 Value-a -Risk-Me hode
Wie oben besp ochen, geh es bei de Be echnung de Sol enzkapi al-An o de ung nach
Sol ency II da um, zu modellie en, wie sich das Risiko übe einen 1-jäh igen Zei ho izon

28
en wickeln kann. Beim E lebens all isiko is wie besp ochen das Risiko wenige , dass inne -
halb eines Jah es wenige Leis ungsemp änge s e ben, sonde n dass sich aus de En wick-
lung de S e be a en eine geände e Rechnungsg undlage ü die Rücks ellungen e gib .
Dies läss sich simulie en, indem man anhand eines s ochas ischen Modells ü S e blichkei
die Bes andsda en ein Jah o sch eib . Man simulie sozusagen die Todes älle eines Jah es
und e häl da aus einen neuen Bes and zum Jah esende. Dieses zusä zliche Jah an In o -
ma ion üg man nun zu den Da en hinzu, aus denen man seine Rechnungsg undlagen u -
sp ünglich e mi el ha e, und be echne die Rechnungsg undlagen mi den neuen Da en
on neuem.
Abbildung 17: Schema ische Da s ellung des Da enbes ands
De Sach e hal is in Abbildung 17 schema isch da ges ell . Im G unde simulie man einen
um ein Jah e wei e en Da enbes and, aus dem man eine neue Rechnungsg undlage mi -
els desselben s a ischen Modells he lei e . Fü diese neue P ojek ion e gib sich ein neue
Bes -Es ima e-P ad % ü die Zei eihe  und die dazugehö igen S e bewah -
scheinlichkei en, aus dem sich jeweils de Ren enba we ü alle Al e e mi eln läss .
Diesen P ozess wiede hol man imme wiede , und gewinn so eine Ve eilung de mögli-
chen Bes -Es ima e Ren enba we e, die sich aus einem zusä zlichen Jah an In o ma ionen
e geben. Das 99,5%-Quan il diese Ve eilung is dann de Value-a -Risk ü Langlebigkei s-
isiko.
In Abbildung 18 we den die E gebnisse de d ei e schiedenen Ve ah en gegenübe ge-
s ell . Hie bei is o allem in e essan , wie das so e mi el e Risiko om Al e abhäng . Beim
Schock-Ve ah en nach de Sol ency II-S anda d-Fo mel sehen wi , dass das Risiko scheinba
bei den höchs en Al e n am höchs en is . Das lieg da an, dass die höchs en Al e die
höchs e S e bewah scheinlichkei haben, und de p ozen uale Schock do den g öß en
Ausschlag gib .
P ojizie man mi Hil e eines s ochas ischen Modells ü die S e be a en P ade ü zukün -
ige S e be a en, so e kenn man kla , dass das Risiko bei den jüngs en Al e n am g öß en
29
is , weil diese die längs en Lebense wa ung haben und die zukün igen S e bewah schein-
lichkei en eine g öße e Unsiche hei haben, je wei e sie in die Zukun p ojizie we den.
Die Value-a -Risk-Me hode ha ein ähnliches Ve hal en ü die e schiedenen Al e . Alle -
dings sind hie die äl es en Ren ne mi einem e was höhe en Risiko beha e . De G und
hie ü is , dass ü diese hohen Al e am wenigs en Da en o liegen und dahe das Schä z-
isiko hie am g öß en is . Denn die Value-a -Risk-Me hode be ücksich ig o allem das
Schä z isiko. Du ch das eine simulie e Jah an Bes andsin o ma ionen wi d die Pa ame e -
Schä zung des s a is ischen S e blichkei s-Modells „ges ö “ und die Pa ame e we den
dann neu geschä z .
Abbildung 18: Ve gleich SCR
longe i y
ü e schiedene Be echnungsme hoden
34
2.5
Zusammen assung und Ausblick
Wi haben in diesem Vo ag gesehen, dass es eine ganze Reihe on e schiedenen Model-
len gib , mi de en Hil e man die S e be a en de Zukun p ojizie en kann. Alle diese Mo-
delle haben sowohl Vo - als auch Nach eile. Dahe kann man nie on einem „bes en Modell“
sp echen, sonde n muss sich au sein ak ua ielles U eils e mögen e lassen und bei de
Wahl des Modells o allem den Zweck de Anwendung und das Vo sich sp inzip im Auge
behal en.
S ochas ische Modelle ü S e be a en sind s a is ische Modelle, die his o ische Da en in ei-
ne e ein ach en Weise besch eiben, und die zei liche Ve ände ung mi els eine möglichs
kleinen Anzahl on Zei eihen da s ellen. Diese Zei eihen können dann mi s ochas ischen
Me hoden in die Zukun o gesch ieben we den und lie e n so die S e be a en de Zu-
kun . Bei de P ojek ion on S e be a en lieg also sowohl Modell isiko o als auch das
34
Quelle: Be echnungen mi Longe i as P ojec ions Toolki , www.longe i as.co.uk
30
s ochas ische Risiko, zukün ige S e be a en o he zusagen. Auße dem sind die s a is i-
schen Modelle zusä zlich mi Pa ame e -Risiko beha e , weil die Pa ame e , die die Modelle
besch eiben, au G undlage eines endlichen Da enbes ands geschä z we den müssen.
Dieses Schä z isiko ließ bei de Value-a -Risk-Me hode ü Langlebigkei s end-Risiko ein,
einem Ve ah en zu Bes immung des T end isikos, welches im Uni ed Kingdom s a e -
b ei e is .
De Vo ag ha eine Reihe on wich igen Be eichen ausgelassen, die ü die S e be a en de
Zukun auch on Bedeu ung sind. So muss man zum Beispiel siche gehen, dass man die
heu igen S e bewah scheinlichkei en ko ek behandel , insbesonde e un e Be ücksich i-
gung des Risikos he e ogene Bes ände. He e ogen sind Bes ände hinsich lich de S e be-
wah scheinlichkei o allem, weil e schiedene sozio-ökonomische Be ölke ungsg uppen
ein s a k abweichendes Todes all isiko au weisen. Fü Pe ioden a eln gib es schon seh di -
e enzie e Ve ah en, diese he e ogenen Bes ände zu analysie en und angemessene Pe io-
den a eln zu e s ellen. Was die S e blichkei s ends de e schiedenen Be ölke ungsg up-
pen angeh , s eh die Fo schung heu e alle dings noch am An ang. Einige Mul i-Popula ion-
Modelle sind schon o geschlagen wo den, abe die lang is ige Di e genz ode Kon e -
genz e schiedenläu ige T ends is noch nich schlüssig nachgewiesen, geschweige denn
modellie .
Die P ojek ion zukün ige S e be a en is ein aszinie endes, ma hema isch ansp uchs olles
Thema, welches übe unse e B anche hinaus on g oße Bedeu ung is . Ho en lich ha de
Vo ag auch Ih In e esse geweck , denn wi können jede Ak ua in und jeden Ak ua ge-
b auchen, de an diese He aus o de ung mi a bei e .
2.6 Li e a u hinweise
Cai ns, A.J.G., Blake, D. and Dowd, K. (2006) A wo- ac o model o s ochas ic mo ali y wi h
pa ame e unce ain y: heo y and calib a ion, Jou nal o Risk and Insu ance, 73, 687-718
Cai ns, A.J.G., Blake, D., Dowd, K., Coughlan, G.D., Eps ein, D., Ong, A., and Bale ich, I. (2009).
A quan i a i e compa ison o s ochas ic mo ali y models using da a om England and
Wales and he Uni ed S a es, No h Ame ican Ac ua ial Jou nal, 13(1), 1-35
Lee, R. D., and Ca e , L. (1992). Modeling and o ecas ing US mo ali y. Jou nal o he Ame i-
can S a is ical Associa ion, 87, 659-671
Richa ds, S. J., Kau hold, K., Rosenbusch, S. (2013). C ea ing Po olio-speci ic mo ali y a-
bles: a case s udy. Eu opean Ac ua ial Jou nal 3 (2), 295-319
31
3 Kollek i e Risikoausgleich in einem Ren enbes and
Oska Goecke
3.1 Einlei ung
Gegens and des 7. FaRis & DAV-Symposiums is das Managemen des Langlebigkei s isikos.
Dahe soll zu Beginn einmal die F age ges ell we den: We äg eigen lich das Langlebig-
kei s isiko? Be ach en wi zunächs das Langlebigkei s isiko in de gese zlichen Ren en e -
siche ung. Du ch das Ren en e o mgese z 1999 wu de zunächs de sogenann e Demog a-
ie ak o einge üh 35, de dann du ch den Nachhal igkei s ak o e se z wu de.36 De Demo-
g a ie ak o sah eine explizi e Koppelung de Ren enanpassungen an die Lebense wa ung
o ; de Nachhal igkei s ak o nimm zwa nich di ek Bezug au die Lebense wa ung, ha
abe eben alls den E ek , dass eine s eigende Lebense wa ung de Ren ne zu eine Min-
de ung de Ren enanpassungen üh . Somi wi d das Langlebigkei s isiko le z lich on den
Ren ne n selbs ge agen.
In de Lebens e siche ung schein es au den e s en Blick so zu sein, dass das Langlebig-
kei s isiko om Ve siche e ge agen wi d. Das is abe nu beding ich ig, denn die Ve si-
che ungsnehme müssen die in die Bei agskalkula ion o gesehenen Siche hei szuschläge
zahlen. Da übe hinaus sind die Siche hei smi el eines Lebens e siche e s zum wei aus
übe wiegenden Teil kollek i en U sp ungs, wu den also on de Ve siche engemeinscha
au gebau . Selbs wenn das Langlebigkei s isiko du ch eine Rück e siche ungslösung aus-
gelage wu de, so muss le z lich das Ve siche enkollek i die e o de lichen P ämien a-
gen. Das ech e Eigenkapi al eines Lebens e siche e s is in alle Regel kaum aus eichend,
um subs anzielle Risiken wie das Langlebigkei s isiko ode das Kapi alanlagen isiko auszu-
gleichen.
Fak isch müssen also in jedem Al e ssiche ungssys em die Ke n isiken (u.a. das Langlebig-
kei s isiko) om Kollek i de Ve siche en selbs ge agen we den. Wenn imme das Lang-
lebigkei s isiko ausgelage ode on einem Eigenkapi algebe übe nommen wi d, bedeu-
e dies eine Meh belas ung ü das Ve siche enkollek i , e wa in Ges al eine Risikop ämie
ode in Ges al eine zusä zlichen En lohnung des eingese z en Eigenkapi als.
Wenn abe eine Auslage ung des Langlebigkei s isikos (ähnliches gil ü das Kapi alanlage-
isiko) le z lich on den Ren ne n selbs inanzie we den muss, so soll e es im In e esse de
Ren ne sein, dass das Langlebigkei s isiko om Kollek i unmi elba selbs ge agen wi d.
Gegens and de olgenden Un e suchung is es dahe zu p ü en, in welchem Maße ein Ren-
enbes and die Ke n isiken, nämlich das Langlebigkei s isiko und das Kapi alanlage isiko
selbs agen kann. Ein Ren enbes and, de sich olls ändig aus sich selbs he aus inanzie-
en muss, muss sich selbs Regeln au e legen, welche Mi el als Ren en ausgeschü e und
welche Mi el ü spä e e Ren en zu ückgehal en we den müssen. Wi we den im Folgenden
35 Ren en e o mgese z 1999 (BGBl. 1997 I S. 2998)
36 Vgl. § 68 Abs. 4 SGB VI; einge üh du ch Gese z zu Siche ung de nachhal igen Finanzie ungsg undlagen de gese zli-
chen Ren en e siche ung (BGBl. 2004 I S. 1791)
38
beobach e e Lebense wa ung on de de Gesam be ölke ung abweich . Je kleine de Be-
s and is , des o ausgep äg e is das idiosynk a ische Risiko.
Zu Ve anschaulichung be ach en wi d ei un e schiedlich g oße Mus e bes ände mi glei-
che S uk u :
 Bes andXL – gl. Abbildung 12 mi 100 000 Pe sonen des Al e s 65.41
 Bes andL: gleiche S uk u wie Bes andXL, jedoch mi 10 000 Pe sonen des Al e s 65
 Bes andS: gleiche S uk u wie Bes andXL, jedoch mi 100 Pe sonen des Al e s 65.
Abbildung 26: S uk u des hyb iden Mus e bes andes (Bes and XL) ü die Simula ion
Zu Illus a ion des idiosynk a ischen und des sys ema ischen Risikos simulie en wi jeweils 20
Simula ionsp ade ü die nächs en 50 Jah e. Das idiosynk a ische Risiko wi d du ch die d ei
un e schiedlich g oßen Bes ände abgebilde und das sys ema ische Risiko du ch un e -
schiedliche Ni eaus on


(0%, 2% und 4%).
Abbildung 27 s ell die Simula ion de Bes andsen wicklung (einschl. Neuzugang) ü 50
Jah e ü die Bes ände Bes andXL, Bes andL und Bes andS ü e schiedene Ni eaus on


da . Die geb ochene Linie zeig jeweils die de e minis ische Hoch echnung, wenn man die
Rechnungsg undlagen de Rich a eln 2005G zug unde leg . Abbildung 27 zeig somi , dass
ü den g oßen und mi elg oßen Bes and (Bes andXL und Bes andL) das idiosynk a ische
Risiko e nachlässigba is . Lediglich bei dem kleinen Bes and (Bes andS) sind ü 0


 Ab-
weichungen de einzelnen Simula ionsp ade e kennba . Ande e sei s wi d deu lich, welche
Auswi kungen das sys ema ische (nich di e si izie ba e) Risiko ha .
41 Die Anzahl de Pe sonen de üb igen Al e sg uppen wu de so es geleg , dass de Bes and ohne Be ücksich igung de
S e blichkei s e besse ung im s eady-s a e Zus and wä e.

39
Abbildung 27: Simula ion de Bes andsen wicklung
- 40 -
3.2.2 Das Kapi alma k modell
Fü den Kapi alma k un e s ellen wi ein ein aches Black-Scholes Modell. Dies bedeu e ,
dass ü die Asse -Alloka ion eine siche e Kapi alanlage („Bonds“) und eine isikobeha e e
Kapi alanlage („Ak ienanlage“) zu Ve ügung s ehen. Beide Anlagen können beliebig ge-
misch we den, T ansak ionskos en de Asse alloka ion we den e nachlässig .
Modellie ung de Kapi alanlagen:
siche e Anlage: ()
()
dA d
A

, hie bei is

de siche e Zins (Zinsin ensi ä )
Ak ienanlage: () ()
()
M
MM
dS d dW
S
 
 
Fü die olgenden Simula ions echnungen e wenden wi die Kalib ie ung:
0.02, 0.25, 0.2
MM


  
Die Asse -Manage in leg zu Beginn jeden Jah es die Risikoexposi ion () [0, ]
M


 ü das
Folgejah es . Das Ve häl nis ()/
M


können wi als Ak ienquo e in e p e ie en.42 Bei ei-
ne Risikoexposi ion on ()

ü den Zei aum [, 1]

be äg die e wa e e Rendi e des
Po olios 2
1
2
() ()
M
 

.
3.2.3 Da s ellung de Asse -Liabili y S a egie
In unse em Modell un e s ellen wi , dass de Pensions onds zu S eue ung de Kapi alan-
lagen und de Ve p lich ungen zu Beginn jeden Jah es zweie lei es leg :
 die Asse - Alloka ion du ch Fes legung de Risikoexposi ion

( ) am Kapi alma k
 die Ren enanpassung



1
(): ln /


Hie bei un e s ellen wi , dass die Ren en-
anpassung e s zum Zei punk +1 e olg . Die Ren enanpassung s ell also eine
Vo ausdekla a ion da , denn die Ve ände ungen de S e blichkei und die En wick-
lung des Kapi alma k es inne halb des Jah es [, 1]

haben keinen Ein luss au die
ab +1 ällig Ren e.
Au G undlage de Beobach ungen bis zum Zei punk we den zu Beginn des Jah es [ ,
+1] die Deckungs ücks ellungen ü den gesam en Ren enbes and e mi el . Die Gesam -
deckungs ücks ellung sei mi V( ) bezeichne . Die Be echnung e olg au G undlage eines
es en Rechnungszinses 0.02


 und de ak uellen Gene a ionen a eln, sowie un e
42 Wi un e s ellen in dem Modell, dass das Ve häl nis on siche e Anlage und Ak ienanlage inne halb des jäh lichen
Anlageho izon es we mäßig s e s kons an is . Diese Cons an -Mix-S a egie e lang alle dings ein pe manen es Um-
schich en on siche e Anlage und Ak ienanlage.
- 41 -
Be ücksich igung des ak uellen Ren enni eaus . Die Deckungs ücks ellung V( ) wi d e -
glichen mi P( ), dem (Zei -) We de Kapi alanlagen zu Beginn des Jah es [ , +1]. Wi se -
zen
()
(): ln ()
P
V




und bezeichnen dies als die (loga i hmische) Rese equo e. Man beach e, dass
() 0 () () P V

  und () () () ()
()
() ()
P V P V
P V



 .
Die Asse -Liabili y S a egie bes ehe nun da in, die (log.) Rese equo e möglichs au dem
Ni eau eine o gegebenen Ziel ese equo e

Ziel zu hal en. Fe ne wi d eine Ziel-Risikoex-
posi ion

Ziel am Kapi alma k anges eb . Die G ößen

Ziel und

Ziel können wi als s a egi-
sche ALM – Zielg ößen bezeichnen. Die Fes legung de a sächlichen Risikoexposi ion und
de Ren enanpassung können wi als ak ische ALM-En scheidung bezeichnen.
Die ak ische ALM-En scheidung häng da on ab, inwiewei die a sächliche on de Ziel-
ese equo e abweich . Wi wählen dahe (): ()
Z
iel
u



 als (s ochas ische) Kon oll a-
iable. Die ak ische ALM-En scheidung läss sich dann wie olg da s ellen:
ak ische Asse Alloka ion:


(): ()
Ziel
au


Ren enanpassung:


2
1
2
(): () () () u
  
   ,
wobei a(u) und

(u) eellwe ige Funk ionen da s ellen.
Wi be ach en im Folgenden nu den Spezial all () 0au

. In diesem Fallen können wi
on eine einen Liabili y Managemen S a egie sp echen, da hie bei nu die Ve bindlich-
kei en ges eue we den. Wi haben dann olgende Da s ellung ()
Z
iel


 und


2
1
2
(): ()
Ziel Ziel
u
 
   .
Bei de Regel zu Ren enanpassung is zu beach en, dass 2
1
2
Z
iel Ziel


 die e wa e e
Po olio endi e da s ell . Somi is 2
1
2
Ziel Ziel





die e wa e e Übe endi e.
Is dann

() 0u

, so wi d die Übe endi e ü die Finanzie ung de Ren enanpassung
e wende . Falls () () 0
Ziel
u



, wenn also die ak uelle Rese equo e hin e die Ziel-
ese equo e zu ück äll , wi d man plausible weise annehmen, dass ein Teil de Übe en-
di e zu S ä kung de Rese eposi ion e wende wi d, dass also


() 0u

.
Zu o malen Da s ellung de Funk ion ()uu

 sind einige De ini ionen e o de lich:
- 42 -
(,,)ax s: Ba we eine Leib en e (jäh lich o schüssig) ü eine zum Zei punk x-
jäh ige Pe son; die Be echnung be uh au Beobach ungen bis zum Zei -
punk s. Wi un e s ellen einen gleichbleibenden Rechnungszins μ.
()
x
L : Anzahl de zum Zei punk x-jäh igen Pe sonen des Ren enbes andes ü
zx


(): ()
x
xz
L L


: Gesam zahl de Ren ne zum Zei punk
(): ( ,,) ()
x
xz
V ax L


: zum Zei punk be echne e Deckungs ücks ellung, basie-
end au den Beobach ungen bis zum Zei punk .
()P : Zei we des Po olios zum Zei punk – nach Zugang de Neu en ne
und o Auszahlung de älligen Ren en.
() ( ,, 1) ()
z
EP a z L 
: Einmalbei ag de zum Zei punk in das Ren enkol-
lek i ein e ende Gene a ion on Neu en ne . Man beach e, dass die Ein-
malp ämie au G undlage des Ren enba we es be echne wi d, de die
S e blichkei sen wicklung bis zum Zei punk -1 be ücksich ig . Den Fak-
o können wi als Siche hei s ak o in e p e ie en – wi un e s ellen
1
. Da wi einen de e minis ischen Neuzugang un e s ellen und be ei s
zum Zei punk -1 die Ren enhöhe es geleg wi d, kann EP( ) be ei s
zum Zei punk -1 bes imm we den.
Von einem echnungsmäßigem Ve lau wollen wi sp echen, wenn die a sächliche S e b-
lichkei sen wicklung de e wa e en en sp ich und wenn die a sächliche Po olio endi e
de e wa e en en sp ich . En sp echend bezeichnen wi mi ()
(1)
e
P

bzw. ()
(1)
e
V den
We des Po olios zum Zei punk +1 bei echnungsmäßigem Ve lau ; die Be echnung
e olg au G undlage de Beobach ungen bis zum Zei punk . En sp echend bezeichnen
wi
()
()
()
(1)
(1):ln (1)
e
e
e
P
V






als die „e wa e e“ Rese equo e bei echnungsmäßigem Ve lau . Hie bei is zu beach en,
dass im Allgemeinen

()
(1)() (1)
e

E.
Des Wei e en de inie en wi einige Kenng ößen, die die S uk u des Bes andes cha ak e-
isie en.
- 43 -
()
:()
L
V

: Die Liquidi ä squo e gib an, welche An eil de Ve p lich ungen so o
ällig is .
1
()
(1)(,1,)
:(1)
z
e
L az
V


: An eil des Neuzugangs an de e wa e en Deckungs-
ücks ellung
()
(1)
:ln ()
()
e
V
V







: Wachs um de Ve p lich ungen, neu alisie um die
Ren enanpassung.
Se z man nun 1 exp( )
(,):ln1 exp( (1 ) )
Ziel
Ziel
u
uu









, ()
Z
iel



und
2
1
2
(): ( , ())
Ziel M Ziel
u
 
   ,
so gil :

()
(1) () ()
e
Z
iel

   und
11
(1) (1 )()
Z
iel
XY

  


    mi den s ochas ischen Te men
1()
(1)
ln (1)
e
P
XP






und 1()
(1)
ln (1)
e
V
YV






.
Somi ha de s ochas ische P ozess ()

die mean- e e ing Eigenscha . Die S ö e me
X +1 und Y +1 e schwinden bei einem echnungsmäßigem Ve lau . Bei einem echnungs-
mäßigen Ve lau e kü z sich de Abs and zwischen Is - und Ziel ese e um den Fak o

.
De Fak o

s eue somi die In ensi ä , mi de die lau enden Ren en an die geände e
Rese esi ua ion angepass wi d; wi können

also als Anpassungsgeschwindigkei in e -
p e ie en.
3.3 Simula ions echnungen
Au de G undlage des obigen Modells üh en wi Simula ions echnungen du ch. Als An-
angsbes and wählen wi den oben besch iebenen Bes andXL und un e s ellen einen
gleichbleibenden (de e minis ischen) Neuzugang on () 100000
z
L

ü den gesam en
Hoch echnungszei aum on n = 50 Jah en.

- 44 -
3.3.1 Spezial all: Risikolose Kapi alanlage ( 0
Ziel


)
Wi be ach en zunächs den Fall 0
Ziel


, d.h. wi klamme n zunächs das Kapi alanlage-
isiko aus.
Wi legen bei den Be echnungen olgende Annahmen zug unde:
0.02


 , exp( )
Z
iel

 und (0)
Z
iel



.
De Rechnungszins en sp ich also de Po olio endi e und die Gene a ion de Neu en -
ne zahl einen Siche hei szuschlag en sp echend de Ziel ese equo e. Diese Siche -
hei szuschlag äg also zu S abilisie ung de Rese equo e bei.
Zunächs un e suchen wi den Zusammenhang zwischen de Ziel ese equo e und dem
Anpassungspa ame e

in Bezug au die „Ruinwah scheinlichkei “. Von Ruin wollen wi
sp echen, wenn zu i gendeinem Zei punk () ()V P . Die olgende Abbildung zeig , bei
welchen Kombina ionen (, )
Z
iel


die Ruinwah scheinlichkei ein Ni eau on 1% bzw. 5%
in 50 Jah en nich übe s eig .
Abbildung 28: 1% und 5%-Quan ile ü die Ruinwah scheinlichkei in Abhängigkei on
de Anpassungsgeschwindigkei

und de e o de lichen Rese equo e. Ausgewe e
wu den jeweils 10 000 Simula ionsläu e.
Den Pa ame e

können wi als Risikomaß ü die S abili ä de Ren e in e p e ie en. Is
nämlich

=0, sind die Ren en kons an ; mi s eigendem

nimm auch die Vola ili ä de
Ren enzahlungen zu. Die Abbildung zeig somi die isikoabso bie enden Eigenscha de
kollek i en Rese e; je höhe die S a - bzw. Ziel ese equo e is , des o s abile kann man
die Ren en hal en.
- 45 -
Die Abbildung 29 zeig den unk ionalen Zusammenhang on Anpassungsgeschwindig-
kei

und de Vola ili ä de Ren enanpassungen. Dies ech e ig die In e p e a ion on

als Risikokennzahl ü die Ren ens abili ä .
Abbildung 29: Die Vola ili ä de Ren enanpassung in Abhängigkei on de Anpassungs-
geschwindigkei

3.3.2 De allgemeine Fall: Risikobeha e e Kapi alanlage ( 0
Ziel

)
Falls 0
Ziel

 so beein luss zusä zlich das Kapi alanlage isiko die Bilanz des Pensions-
onds. Die olgende Abbildung (Abbildung 30) olg de Da s ellung in Abbildung 28, al-
le dings we den die Simula ions echnungen ü e schiedene Ak ienquo en (AQ =
0%, 5%, 10,…, 35%, diese Ak ienquo en en sp echen 0, 0.01, 0.02, ..., 0.07
Ziel


) du ch-
ge üh .
- 46 -
Abbildung 30: 5%-Quan ile ü die Ruinwah scheinlichkei in Abhängigkei on de Anpas-
sungsgeschwindigkei

und de e o de lichen Rese equo e (0)
Ziel



. Ausgewe e
wu den jeweils 1 000 Simula ionsläu e
Ve gleich man die Abbildung 28 und Abbildung 30, so sieh man, dass das Kapi alanlage-
isiko zumindes in Bezug au die Ruinwah scheinlichkei s ä ke en Ein luss ha als das
Langlebigkei s isiko. De undamen ale Un e schied is jedoch, dass das Kapi alanlage i-
siko du ch Wahl de Risikoexposi ion ges eue we den kann. Die Modell echnungen le-
gen nahe, dass eine Ak ienquo e on übe 20% eine seh hohe Rese equo e e o de . Bei
diesen Be echnungen is jedoch zu be ücksich igen, dass ein eines Liabili y-Managemen
un e s ell wu de, dass also die Risikoexposi ion nich an die Rese esi ua ion angepass
wi d.
3.4 Resümee
Un e such wu de die F age, wie ein eine Ren enbes and in Bezug au das Langlebig-
kei s isiko ges eue we den kann. Bei Ren enbeginn muss de Ak ua (ode die Ak ua in)
un e Be ücksich igung alle e ügba en In o ma ionen be echnen, welche Kapi albe-
ag e o de lich is , um hie aus eine lebenslängliche Ren en ü den Einzelnen bzw. ü die
Gene a ion de Neu en ne zu inanzie en. Bei diese Be echnung ließen insbesonde e
Annahmen hinsich lich de kün igen S e blichkei ein. Da jedoch die a sächliche S e b-
lichkei on de e wa e en abweich , s ell sich die F age, wie diese Abweichungen aus-
geglichen we den können. Das hie o ges ell e Modell sieh eine S eue ung des Langle-
bigkei s isikos übe en sp echende Ren enanpassungen o . Wenn die a sächliche Le-
bense wa ung sys ema isch un e schä z wu de, so muss dies du ch sys ema isch nied i-
ge e Ren enanpassungen ausgeglichen. Umgekeh üh eine Übe schä zung de Le-
bense wa ung dazu, dass die en sp echende Ren engene a ion meh eingezahl ha als
- 47 -
e o de lich. Eine sys ema ische Übe do ie ung muss du ch sys ema isch höhe e Ren en-
anpassungen ausgeglichen we den. S e s üh en also Abweichungen zwischen e wa e e
und a sächliche Lebense wa ung zu No wendigkei , die Ren en en sp echend anzu-
passen.
Wi s ellen ein Modell o , wie diese Ren enanpassungen gene a ionenge ech du chge-
üh we den kann. Modell echnungen zeigen, dass ein mode a g oße Bes and das Lang-
lebigkei s isiko abso bie en kann.
- 54 -
Abbildung 37: Alle Komponen en in D (Wes ), USA und GB
In de Abbildung 38 is eine T end P ojek ion (übe die le z e S e be a el hinaus) mi dem
Tool CMI_2013 illus ie :
Abbildung 38: His o ische & p ojizie e T end ü Männe in GB
Die T endp ojek ion üg sich e gleichsweise „ha monisch“ in die his o ischen Beobach-
ungen ein; Koho ene ek e bleiben wei e hin deu lich e kennba .
4.4
Longe i y Swap
Bei einem Longe i y Swap handel es sich on de G undidee he um eine Ren en e siche-
ung gegen lau ende Bei äge, insbesonde e wi d eine a iable Ren enzahlung ( loa ing
leg) gegen eine ixe Ren enzahlung inklusi e eine Gebüh ( ixed leg) ge ausch .

- 55 -
Das EVU leis e dabei die e wa e e Ren enzahlung (inklusi e de Gebüh als Ausgleich ü
das abgegebene Risiko) an das RVU, welches die a sächliche Ren enzahlung übe nimm .
De Ausgleich e olg übe einen Ne oabgleich de Zahlungss öme.
Dies lie e einen Schu z o den inanziellen Auswi kungen, wenn die Ren ne länge le-
ben als e wa e .
Abbildung 39: Cash Flow eines Longe i y Swaps
Wich ige Übe legungen bei den Ve ags e einba ungen sind eine genaue De ini ion de
abgedeck en Leis ungen und des P eises (beispielsweise als s uk u ie e Gebüh ode
Pauschalgebüh ) sowie die Behandlung on Da en ehle n (mi de Konsequenz on Neu-
be echnungen de P ämien ode P eisanpassungen) bei eine e s en Da enbe einigung.
Wei e hin um assen die Ve ags e einba ungen Mindes an o de ungen an die Ve wal-
ung, Siche hei en und Kündigungsbes immungen.
In de Abbildung 40 is das Ma k olumen ü T ansak ionen on Ren enblöcken in G oß-
b i annien illus ie .
Ta s.Zahlungen E w.Zahlung(FixedLeg) P ämie+ ee(FixedLeg+Gebüh )
Rück e siche e 
e häl Di e enz,
wenn >0
Zeden e häl 
Di e enz, wenn >0
- 56 -
Abbildung 40: Buy-Ou , Buy-In und Longe i y Swaps in Millia den GBP 45
Sei 2008 machen Longe i y Swaps in GB einen hohen An eil am Ma k olumen aus, eil-
weise on meh als 50%.
4.5 De i a e
Longe i y Swaps s ellen au die indi iduelle Pe o mance eines einzelnen Po olios ab mi
en sp echendem Ve wal ungsau wand. Bei Index-Lösungen we den Fo wa ds au allge-
meine Indizes angebo en, wobei man zwischen
 q- o wa ds (bezogen au eine S e blichkei s a e) und
 s- o wa ds (bezogen au eine Übe lebens a e)
un e scheide .
Ein q- o wa d bezeichne ein Kapi alma k ins umen ü die Übe agung on Langlebig-
kei s- ode S e blichkei s isiko du ch Aus ausch in ba de ealisie en S e be a e eine Be-
ölke ung zu einem spä e en Zei punk gegen eine es e S e be a e, die zu Beginn e ein-
ba wu de. Q- o wa ds sind die Basis, aus de iele ande e, komplexe e De i a e kons u-
ie we den können. Ein s- o wa d bezeichne ein Kapi alma k ins umen , bei dem ein
Aus ausch in ba de ealisie en Übe lebens a e eine bes imm en Be ölke ung gegen
eine es e Übe lebens a e, die zu Beginn e einba wu de, e olg . Dies de inie einen
G undbaus ein ü Longe i y Swaps, die on Pensions onds und (Rück)Ve siche e n e -
45 Quelle: LCP Pension Buy-Ins, Buy-Ou s and Longe i y Swaps 2008 – 2013, cu en ma ke da a o 2014 om www.a -
emis.bm.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
Longe i ySwap Buy‐In/Buy‐Ou
nu H1
- 57 -
wende we den. Die Swaps um assen im Wesen lichen ein Bündel on S-Fo wa ds mi un-
e schiedlichen Lau zei en. Dies wi d auch als px-Fo wa d bezeichne . In de Abbildung
41 is die Vo gehensweise bei einem Mo ali y Fo wa d illus ie .
Abbildung 41: Vo gehensweise bei einem Mo ali y Fo wa d
Mo ali y Fo wa ds lau en i. d. R. übe einen Zei aum on 10 Jah en und we den de zei
nu als OTC Geschä angebo en, siehe dazu die Abbildung 42 mi de Auszahlungss uk u
eines Mo ali y Fo wa s.
Abbildung 42: Auszahlungss uk u des Mo ali y Fo wa ds
Zeden en
(Ve käu e )
Rück e siche e
(Käu e )
Floa ing
No ionalxRealisie e S e blichkei s a e
Fix
No ionalxAusübungsp eis
CapFloo 
Ausübungsp eis
Ne ozahlung amEnde de 
Lau zei
Realisie e IndexS e blichkei
Käu e zahl
Ve käu e zahl
0
0246810
Teno
Ausübungs‐
p eis
- 58 -
Die Auszahlung e olg als Ausübungsp eis abzüglich de ealisie en S e be a e. Es gib
kein übe agenes Basis isiko, nu das sys ema ische Risiko. Wäh end de Lau zei des Ve -
ages wi d ein Index e ö en lich . Is die S e be a e höhe als e wa e , so muss de Ve -
käu e zahlen, is die S e blichkei ge inge als e wa e , dann muss de Käu e zahlen. Es
gib eine es e Lau zei des Handels. Eine de a ige Lösung könn e a ak i sein au g und
de Einspa ungen bei den Kapi alkos en, obwohl die Abdeckung ziemlich eue is .
Beispiel
Im No embe 2004 wu de ein EIB / BNP Longe i y Bond angekündig , de alle dings nie
e kau wu de. Nach olgend sind ku z Au bau und P obleme de angedach en Kons uk-
ion illus ie :
• Ankündigung und e such e Ve kau du ch die Eu opean In es men Bank
• BNP Pa ibas wa de Ve käu e , das Langlebigkei s isiko wu de ück e siche
• ₤ 540 Mio. bei 25 Jah e Lau zei (die mögliche weise zu ku z wa )
• Amo isie ende Anleihe
• Va iie ende Zahlungen, die an den einen Index, de das Übe leben eine Koho e
wide spiegel , gebunden sind (Englische und walisische Männe im Al e on 65
Jah en)
• E o de liche In es i ion on den Käu e n
• Kos en zu Absiche ung ca. 20-30 Basispunk e
• K edi isiko (Bank, Rück e siche e )
• C oss-Cu ency Zinsswap zwischen de be eilig en EIB und BNP: EIB zahl loa ing
Eu o und e häl ixe S e ling
• Soll e ein indi ek e Cash low-Hedge sein
Eine mögliche Index Lösung ü zukün ige We Absiche ung könn e wie olg aussehen:
• BW Absiche ung ü ein syn he isches Po e euille – abges imm au ein a sächli-
ches Po e euille du ch die Fes se zung de
– S e blichkei im Ve häl nis zu Be ölke ung sowie de
– Diskon ak o en und Fälligkei .
• Fes legung eine P io i ä (A achmen Poin ) und eine Ha ung (De achmen
Poin = P io i ä + Ha ung) mi
Auszahlung = MAX (0, MIN (BW – P io i ä ; Ha ung),
- 59 -
wobei BW de Ba we is zum Zei punk de Auszahlung mi den e ügba en Da-
en und dem e einba en P ojek ions e ah en (zum Beispiel au oma isie e Lee-
Ca e ).
• Di ek e Value-Hedge.
Diese Ansa z is po enziell billige als ein Longe i y Swap, abe das Langlebigkei s isiko
ü ein konk e es Po olio is nich olls ändig abgedeck , ein Basis isiko bleib .
Die Li e & Longe i y Ma ke s Associa ion (LLMA) is eine O ganisa ion mi dem Ziel, einen
liquiden gehandel en Ma k ü Langlebigkei s- und S e blichkei s isiken zu e möglichen.
Es gib einen LLMA index (2012 einge üh ) mi S e blichkei s a en und Lebense wa un-
gen ü die USA, England & Wales, den Niede landen und Deu schland, S anda ds ü q-
Fo wa ds und s-Fo wa ds sowie ein Rahmenwe k ü die P eisbes immung.
4.6 W ap Up
Die Vo - und Nach eile on Rück e siche ungslösungen und De i a en sind in de Tabelle
4 zusammenges ell .
Rück e siche ung  Volls ändige Risiko ans e du ch Schadenübe nahme
 Deckung bis zum na ü lichen Auslau
 Beendigung nu du ch zusä zliche Ve einba ung
 Gg . höhe e P ämie
 Rechnungslegung als (Rück-) Ve siche ung
 Di ek e Auswi kung au Sol enz du ch ane kann e Me hode
De i a  Signi ikan es Basis isiko e bleib
 Abgekü z e Deckung
 Gg . ein ache zu beenden (bei aus eichende Liquidi ä )
 Gebüh nu ü das sys ema ische Risiko
 Ma k- o-ma ke ode Ma k- o-model e o de lich
 Auswi kung au Sol enz is mi de Au sich abzus immen
Tabelle 4: Vo - und Nach eile on Rück e siche ungslösungen und De i a en
Das Volumen des Langlebigkei sma k es e höh sich s e ig im Lau e de Zei . Neue P o-
duk e zu Pensionen und Ren en en s ehen, die ein eilweise seh de aillie es Ve s ändnis
de Schlüssel ak o en ü die S e blichkei e o de n. De Longe i y Swap is ein S anda d-
ück e siche ungsp oduk in G oßb i annien mi eine di ek en Cash low Absiche ung,
die alle Risiken abdeck (sys ema ische und unsys ema ische). Einige Index-Lösungen wu -
den be ei s gezeichne und iele meh sind de zei in En wicklung. Sol ency II wi d da ü
so gen, dass auch Deckungen angebo en we den, die speziell au Sol ency II-Regelungen
abs ellen.

Imp essum
Diese Ve ö en lichung e schein im Rahmen de Online-Publika ions eihe „Fo schung am IVW Köln“. Alle
Ve ö en lichungen diese Reihe können un e www.i w-koeln.de ode hie abge u en we den.
Fo schung am IVW Köln, 8/2015
S obel (H sg.): Managemen des Langlebigkei s isikos. P oceedings zum 7. FaRis & DAV Symposium am
5.12.2014 in Köln.
Köln, Ap il 2015
ISSN (online) 2192-8479
He ausgebe de Sch i en eihe / Se ies Edi o ship:
P o . D . Lu z Reime s-Rawcli e
P o . D . Pe e Schimikowski
P o . D . Jü gen S obel
Ins i u ü Ve siche ungswesen /
Ins i u e o Insu ance S udies
Fakul ä ü Wi scha s- und Rech swissenscha en /
Facul y o Business, Economics and Law
Fachhochschule Köln / Cologne Uni e si y o Applied Sciences
Web www.i w-koeln.de
Sch i lei ung / edi o ’s o ice:
P o . D . Jü gen S obel
Tel. +49 221 8275-3270
Fax +49 221 8275-3277
Mail jue gen.s obel@ h-koeln.de
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Fachhochschule Köln / Cologne Uni e si y o Applied Sciences
Gus a Heinemann-U e 54
50968 Köln
He ausgebe de Publika ion / Edi o :
P o . D . Jü gen S obel
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Fax +49 221 8275-3277
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Zule z e schienen im Rahmen on „Fo schung am IVW Köln“
2015
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 Heep-Al ine , Rohl s: S anda d o mel und wei e e Anwendungen am Beispiel des du chgängigen
Da enmodells de „IVW P i a AG‘‘, N . 6/2015
 Knobloch: Momen e und cha ak e is ische Funk ion des Ba we s eine bewe e en inhomogenen
Ma ko -Ke e. Anwendung bei isikobeha e en Zahlungss ömen, N . 5/2015
 Heep-Al ine , Rohl s, Beie : E neue ba e Ene gien und ALM eines Ve siche ungsun e nehmens, N .
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 Dolgo : Calib a ion o Hes on's s ochas ic ola ili y model o an empi ical densi y using a gene ic
algo i hm, N . 3/2015
 Heep-Al ine , Be g: Mik oökonomisches P oduk ionsmodell ü Ve siche ungen, N . 2/2015
 Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2014, N . 1/2015
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 Mülle -Pe e s, Völle (beide H sg.): Inno a ion in de Ve siche ungswi scha , N . 10/2014
 Knobloch: Zahlungss öme mi zinsunabhängigem Ba we , N . 9/2014
 Heep-Al ine , Münchow, Scuzza ello: Ausgleichs echnungen mi Gauß Ma kow Modellen am Beispiel
eines ik i en S o nobes andes, N . 8/2014
 G undhö e , Rö ge , Sche e : Wozu noch Papie ? Eins ellungen on S udie enden zu E-Books, N .
7/2014
 Heep-Al ine , Be g (beide H sg.): Ka as ophenmodellie ung - Na u ka as ophen, Man Made Risiken,
Epidemien und meh . P oceedings zum 6. FaRis & DAV Symposium am 13.06.2014 in Köln, N . 6/2014
 Goecke (H sg.): Modell und Wi klichkei . P oceedings zum 5. FaRis & DAV Symposium am 6. Dezembe
2013 in Köln, N . 5/2014
 Heep-Al ine , Hoos, K ah o s : Fai Value Bewe ung on zedie en Rese en, N . 4/2014
 Heep-Al ine , Hoos: Ve ein ach e Na Ca Modellie ungsansa z zu Rück e siche ungsop imie ung,
N . 3/2014
 Zimme mann: F auen im Ve siche ungs e ieb. Was sagen die P i a kunden dazu?, N . 2/2014
 Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2013, N . 1/2014