Aggregation in einem Risikoportfolio mit Abhängigkeitsstruktur

Fo schung am i wKöln
Band 2/2024
Agg ega ion in einem Risikopo olio mi
Abhängigkei ss uk u
Ral Knobloch
Fo schung am i wKöln, Band 2/2024
Ral Knobloch
Fo schungss elle FaRis
Agg ega ion in einem Risikopo olio mi
Abhängigkei ss uk u
Zusammen assung
Un e nehmen sehen sich übliche weise den un e schiedlichs en ope a i en und s a egischen
Risiken ausgese z . Dahe is
das Risikopo olio
eines Un e nehmens aus Sich des
be iebswi scha lichen Risikomanagemen i.d.R. seh inhomogen bezüglich de e wende en
Ve eilungsmodelle.
Neben de Bewe ung de Einzel isiken is es die Au gabe des quan i a i en
Risikomanagemen s
, alle Einzel isiken in eine Risikokennzahl (z.B. Value a Risk ode Expec ed
Sho all
) zu agg egie en. Dazu we den Szena ien (mi eine Mon e-Ca lo-Simula ion) simulie , so
dass die Ve eilung des Gesam isikos mi Risikokennzahlen agg egie und analysie we den kann.
Da
bei muss zusä zlich die Abhängigkei ss uk u de Einzel isiken modellie we den. Ein mögliche
Ansa z
zu Modellie ung de Abhängigkei ss uk u is die Vo gabe eine Ko ela ionsma ix. De
o liegende A ikel beschä ig
anhand on Beispielen zum einen mi Konzep en und Me hoden eine
solchen Modellie ung
und zum ande en mi den Schwie igkei en, die dami e bunden sind. Es zeig
sich, dass man bei de
Wahl eine Ko ela ionsma ix e schiedene Einsch änkungen zu beach en
ha .
Fe ne
kann es zu eine o gegebenen Ko ela ionsma ix meh e e passende gemeinsame
Ve eilungen de Einzel isken geben. Dies ha zu Folge, dass
die Agg ega ion de Einzel isiken in
eine Risikokennzahl aus ma hema ische Sich nich eindeu ig is .
Abs ac
Companies a e usually exposed o a wide a ie y o ope a ional and s a egic isks. The e o e, om
he pe spec i e o business isk managemen , he isk po olio o a company is usually e y
inhomogeneous wi h ega d o he dis ibu ion models used. In a
ddi ion o e alua ing he indi idual
isks, i is he ask o quan i a i e isk managemen o agg ega e all indi idual isks in a
isk measu e
(e.g. alue a isk o expec ed sho all).
To his end, scena ios a e simula ed (using a Mon e Ca lo
simula ion) so ha he dis ibu ion o he o e all isk can be agg ega ed and analyzed using isk
measu es
. In addi ion, he dependency s uc u e o he indi idual isks mus be modeled. One
possib
le app oach o modeling he dependency s uc u e is o speci y a co ela ion ma ix. Using
examples, his a icle deals on he one hand wi h he concep s and me hods o such modeling and
on he o he hand wi h he di icul ies in ol ed.
I shows ha a ious es ic ions mus be aken in o
accoun when choosing a co ela ion ma ix.
Fu he mo e, o a gi en co ela ion ma ix he e may be
se e al ma ching join dis ibu ions o he indi idual isks. As a
consequence, he agg ega ion o he
indi idual isks
in a isk measu e is no unique om a ma hema ical poin o iew.
S
chlagwö e : Quan i a i es Risikomanagemen , Value a Risk, Ko ela ionsma ix, Risiko-
a
gg ega ion, F éche -Hoe ding-Sch anken
Keywo ds
: Quan i a i e Risk Managemen , Value a Risk, Co ela ion Ma ix, Risk Agg ega ion,
F éche
-Hoe ding-Bounds
1
Inhal s e zeichnis
1. EINLEITUNG ................................................................................................................................. 2
2. DAS MODELL ............................................................................................................................... 5
3. ZWEI DICHOTOME RISIKEN ..................................................................................................... 10
4. ZWEI DISKRETE RISIKEN ......................................................................................................... 15
5. NORMALVERTEILTE RISIKEN: VARIANZ-KOVARIANZ-METHODE ..................................... 20
6. COPULAS UND DIE FRÉCHET-HOEFFDING-SCHRANKEN .................................................. 26
7. BELIEBIG VERTEILTE RISIKEN ............................................................................................... 37
8. LÖSBARKEIT UND MEHRDEUTIGKEIT ................................................................................... 40
9. ÖKONOMISCHES FALLBEISPIEL ............................................................................................ 46
10. FAZIT UND AUSBLICK .............................................................................................................. 57
MATHEMATISCHER ANHANG ......................................................................................................... 58
LITERATURVERZEICHNIS ................................................................................................................ 64
2
1. Einlei ung
In de Be iebswi scha sleh e gewinn das Risikomanagemen zunehmend an
Bedeu ung, bei Banken und Ve siche ungen nich zule z au g und au sich s ech liche
Vo gaben. Fo cie wi d diese En wicklung bei allen B anchen du ch die Neu assung
des IDW (= Ins i u de Wi scha sp ü e ) P ü ungss anda ds „Die P ü ung des
Risiko ühe kennungssys ems nach § 317 Abs. 4 HGB (IDW PS 340 n.F.)“. Wich ige
Teilaspek e des (quan i a i en) Risikomanagemen s sind die Bewe ung, die Analyse
und die Agg ega ion on Risiken. Das im Rahmen de Agg ega ion e mi el e
Gesam isiko gib dabei an, welchen Finanzmi el zu Risiko o so ge zu Ve ügung
s ehen soll en. Diese Be echnung wi d i.d.R. sowohl b u o, d.h. ohne
Be ücksich igung on Risikos eue ungsmaßnahmen, als auch ne o, d.h. mi
Be ücksich igung Risikos eue ungsmaßnahmen du chge üh . Die E gebnisse bilden
eine wich ige G undlage ü die Un e nehmess eue ung.
Die Bewe ung, die Analyse und die Agg ega ion de Risiken basie en au
wah scheinlichkei s heo e ischen Modellen. Als Kennzahlen zu Bewe ung haben
sich sogenann e downside-Maße e ablie . Die wich igs en downside-Maße bzw.
Risikomaße sind hie bei de Value a Risk (ku z 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉) und de Expec ed Sho all (ku z
𝐸𝐸𝐸𝐸). De Value a Risk zum Ni eau 5% gib an, welche Ve lus mi eine
Wah scheinlichkei on mindes ens 95% nich übe sch i en wi d, de Expec ed
Sho all zum Ni eau 5% wie hoch de du chschni liche Ve lus un e den 5%
schlech es en Szena ien is .
Be ach e man nun das Risikopo olio eines Un e nehmens, so s ell sich die F age,
wie aus den Kennzahlen ode Modellen de einzelnen Risiken das Gesam isiko
e mi el we den kann. Die nai e Vo gehensweise – sp ich die Addi ion de Kennzahlen
de einzelnen Risiken – üh nich zu einem ko ek en E gebnis, sie übe schä z das
Gesam isiko. Vielmeh spiel die Abhängigkei de Risiken un e einande eine
en scheidende Rolle. Somi müssen nich nu die Einzel isiken
wah scheinlichkei s heo e isch modellie we den, sonde n auch die
Abhängigkei ss uk u . Da ü gib es in de Wah scheinlichkei s heo ie e schiedene
Ansä ze. Zunächs bes eh die Möglichkei , die Abhängigkei en übe den Beg i de
beding en Wah scheinlichkei ode übe den Beg i des Ko ela ionskoe izien en bzw.
de Ko ela ionsma ix zu modellie en. Bei beiden Ansä ze sind ü alle Paa e zweie
Einzel isiken die Abhängigkei en es zulegen. Um ass das Risikopo olio z.B. sieben
Einzel isiken, so können 21 Paa e gebilde we den, bei zehn Einzel isiken sind es 45
Paa e. Ein ande e Ansa z is es, die Abhängigkei ss uk u als Ganzes zu modellie en,
dies üh zum Beg i eine Copula.
Als Me hode zu Be echnung de Gesam isikos, sowohl b u o als auch ne o, ha sich
u.a. die Mon e-Ca lo-Simula ion e ablie . Bei eine Mon e-Ca lo-Simula ion wi d das
„Schicksal“ des Risikopo olios 𝑁𝑁-mal mi hil e eines Zu allsgene a o s ausgewü el
und die dami en s ehende ik i e S ichp obe ausgewe e . Übliche G ößeno dnungen
3
ü 𝑁𝑁 sind dabei 5.000, 10.000, 100.000 ode 1.000.000, je nach EDV- echnischen
Möglichkei en bzw. je nach Kon e genz de be ach e en Zielg ößen.
In de o liegenden A bei we den in meh e en Beispielen Risikopo olios be ach e ,
bei denen die Abhängigkei ss uk u mi hil e de Ko ela ionskoe izien en bzw. mi hil e
eine Ko ela ionsma ix modellie we den. Ein Schwe punk lieg dabei auch au den
P oblemen bzw. Falls icken, die mi eine solchen Modellie ung e bunden sind. Zum
einen is man bei de Vo gabe de Ko ela ionsma ix nich öllig ei. Nich jede
symme ische quad a ische Ma ix, de en Elemen e im In e all [−1,1] liegen und
de en Diagonale nu mi Einsen bese z is , is als Ko ela ionsma ix geeigne . Fe ne
kann es je nach Wahl de Rand e eilungen zu zusä zlichen Einsch änkungen
kommen. Zum ande en gib es die Möglichkei de Meh deu igkei , d.h. zu eine
o gegebenen Ko ela ionsma ix kann es meh e e mögliche gemeinsame
Ve eilungen de Ve lus e aus den Einzel isiken geben. Diese Meh deu igkei is beim
E wa ungswe und bei de Va ianz bzw. bei de S anda dabweichung des
Gesam isikos au g und de Fo meln
𝐸𝐸��𝑋𝑋𝑖𝑖
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 �=�𝐸𝐸(𝑋𝑋𝑖𝑖)
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉��𝑋𝑋𝑖𝑖
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 �=���𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋𝑖𝑖)∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋𝑘𝑘)∙𝜌𝜌𝑖𝑖𝑘𝑘
𝑛𝑛
𝑘𝑘=1
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 =
=�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋𝑖𝑖)
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 +��2∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋𝑖𝑖)∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋𝑘𝑘)∙𝜌𝜌𝑖𝑖𝑘𝑘
𝑛𝑛
𝑘𝑘=𝑖𝑖+1
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2,…,𝑋𝑋𝑛𝑛 Zu alls a iablen, 𝜌𝜌𝑖𝑖𝑘𝑘 Ko ela ionskoe izien 𝑋𝑋𝑖𝑖 und 𝑋𝑋𝑘𝑘)
unp oblema isch. Bei Risikomaßen hingegen sind bei un e schiedlichen gemeinsamen
Ve eilungen de Ve lus e aus den Einzel isiken un e schiedliche E gebnisse möglich.
Somi is du ch die Modellie ung de Rand e eilungen und de Vo gabe eine
Ko ela ionsma ix das Gesam isiko eines Risikopo olios, gemessen im Value a
Risk ode Expec ed Sho all, im Allgemeinen nich eindeu ig es geleg .
Im Spezial all, dass die Ve lus e aus den Einzel isiken no mal e eil sind, kann diese
E ek un e bes imm en Vo ausse zungen ausgeschlossen we den. Lassen sich
nämlich 𝑛𝑛 No mal e eilungen zu eine gemeinsamen 𝑛𝑛−dimensionalen
No mal e eilung zusammen assen, so is de Gesam e lus eben alls no mal e eil .
Die Annahme eine 𝑛𝑛−dimensionalen No mal e eilung inde man z.B. im Be eich
on Ve siche ungen bei de S anda d o mel gemäß Sol ency II.
Zu Kons uk ion eine geeigne en gemeinsamen Ve eilung de Ve lus e aus den
Einzel isiken wi d in de o liegenden A bei die Me hode on Ene-Ma gi Tii zunächs
o ges ell und anschließend in einem g öße en Beispiel mi sieben Einzel isken
angewende . Dabei zeig sich, dass dieses Ve ah en auch bei eine geeigne en

4
Ko ela ionsma ix nich imme zu eine gemeinsamen Ve eilung üh bzw. dass es
zu meh e en gemeinsamen Ve eilungen üh en kann.
5
2. Das Modell
Gegeben sei ein Risikopo olio mi 𝑛𝑛 Risiken. De Ve lus aus dem 𝑖𝑖- en Risiko sei
gegeben du ch die Zu alls a iable 𝑋𝑋𝑖𝑖,𝑖𝑖= 1, … , 𝑛𝑛.
Es sei 𝜇𝜇𝑖𝑖<∞ de E wa ungswe und 0 < 𝜎𝜎𝑖𝑖<∞ die S anda dabweichung des 𝑖𝑖- en
Ve lus es.
De Gesam e lus des Risikopo olios e gib sich dann als Zu alls a iable du ch die
Addi ion de einzelnen Ve lus e:
𝐺𝐺=𝑋𝑋1+⋯+𝑋𝑋𝑛𝑛=�𝑋𝑋𝑖𝑖
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
Es sei 𝜇𝜇𝐺𝐺 de E wa ungswe und 𝜎𝜎𝐺𝐺 die S anda dabweichung des Gesam e lus es.
Die Abhängigkei ss uk u sei gegeben du ch die Ko ela ionsma ix
Ρ=�𝜌𝜌𝑖𝑖𝑖𝑖�1≤𝑖𝑖,𝑖𝑖≤𝑛𝑛.
Dabei is Ρ symme isch und 𝜌𝜌𝑖𝑖𝑖𝑖 de Ko ela ionskoe izien de Zu alls a iablen 𝑋𝑋𝑖𝑖 und
𝑋𝑋𝑖𝑖. Fe ne gil 𝜌𝜌𝑖𝑖𝑖𝑖= 1 ü alle = 1, … , 𝑛𝑛.
Das Gesam isiko e gib sich dann aus dem Value a Risk bzw. dem Expec ed Sho all
des Gesam e lus es 𝐺𝐺 des Risikopo olios.
Den e s en Anhal spunk , dass man in diesem Modell bei de Wahl de
Ko ela ionskoe izien en nich komple ei is , lie e das olgende Beispiel mi
pe ek en Ko ela ionen.
Beispiel 1:
Gegeben seien d ei Risiken und ü die Ve lus e 𝑋𝑋1,𝑋𝑋2,𝑋𝑋3 gel e: 𝜌𝜌12= 1, 𝜌𝜌23=−1.
Au g und de Eigenscha en des Ko ela ionskoe izien en gil wegen 𝜌𝜌12= 1
𝑋𝑋1−𝜇𝜇1
𝜎𝜎1=𝑋𝑋2−𝜇𝜇2
𝜎𝜎2 𝑓𝑓.𝑠𝑠.
Dabei s eh 𝑓𝑓.𝑠𝑠. ü „ as siche “, d.h. die Gleichung gil mi Wah scheinlichkei eins
( gl. [16] S.329 ]). Analog e häl man wegen 𝜌𝜌23=−1
𝑋𝑋2−𝜇𝜇2
𝜎𝜎2=−𝑋𝑋3−𝜇𝜇3
𝜎𝜎3 𝑓𝑓.𝑠𝑠.
Da aus olg
6
𝑋𝑋1−𝜇𝜇1
𝜎𝜎1=−𝑋𝑋3−𝜇𝜇3
𝜎𝜎3 𝑓𝑓.𝑠𝑠.
Es gil also: 𝜌𝜌12= 1, 𝜌𝜌23=−1⟹𝜌𝜌13=−1
Analog kann man zeigen: 𝜌𝜌12=−1, 𝜌𝜌23= 1 ⟹𝜌𝜌13=−1,
𝜌𝜌12= 1, 𝜌𝜌23= 1 ⟹𝜌𝜌13= 1
und 𝜌𝜌12=−1, 𝜌𝜌23=−1⟹𝜌𝜌13= 1
Dies bedeu e insbesonde e, dass es in diesem Beispiel mi 𝑛𝑛= 3 nu ie mögliche
Ko ela ionsma izen mi pe ek en Ko ela ionen gib .
Be ach e man allgemein die Va ianz des Gesam e lus es des Risikopo olios, so
gil :
𝜎𝜎𝐺𝐺2=��𝜎𝜎𝑖𝑖∙𝜎𝜎𝑖𝑖∙𝜌𝜌𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 =𝜎𝜎𝑇𝑇Ρ𝜎𝜎
Dabei bezeichne 𝜎𝜎 den Spal en ek o
�𝜎𝜎1
𝜎𝜎2
⋮
𝜎𝜎𝑛𝑛�.
Se z man o aus, dass die Ko ela ionsma ix Ρ posi i semide ini is , so is
siche ges ell , dass die Va ianz des Gesam e lus es des Risikopo olios unabhängig
on de Wahl de Ve eilungen de einzelnen Ve lus e nich nega i is . Se z man ü
die Ko ela ionsma ix posi i e De ini hei o aus, so is 𝜎𝜎𝐺𝐺2 imme posi i .
Is eine Ko ela ionsma ix hingegen nich posi i semide ini , so gib es einen
𝑛𝑛−dimensionale Spal en ek o 𝑥𝑥 mi
𝑥𝑥𝑇𝑇Ρ𝑥𝑥< 0.
Ha diese Spal en ek o x nu posi i e Ein äge, so sind seine Ein äge als
S anda dabweichungen im o liegenden Modell geeigne . Die Va ianz des
Gesam e lus es wä e dann nega i , was zu einem Wide sp uch zu De ini ion de
Va ianz üh en wü de.
Eine Möglichkei zu übe p ü en, ob eine Ma ix posi i semide ini (posi i de ini ) is ,
bes eh da in, die Vo zeichen die Eigenwe e zu bes immen: Eine Ma ix is genau
dann posi i semide ini (posi i de ini ), wenn alle Eigenwe e nich nega i (posi i )
sind. Eine wei e e Möglichkei zu Übe p ü ung de De ini hei eine Ma ix e gib sich
aus den Vo zeichen de Haup un e de e minan en, denn es gil :
7
1. Eine Ma ix is genau dann posi i de ini , wenn alle Haup un e de e minan en
posi i sind.
2. Is eine Ma ix posi i semide ini , so sind alle Haup un e de e minan en
nich nega i .
( gl. [13] S.281 )
Dami wä e im Falle de s enge en Vo ausse zung „Ρ posi i de ini “ auch
siche ges ell , dass die Ko ela ionsma ix in e ie ba is , d.h. Ρ−1 exis ie .
Beispiel 2:
a) Gegeben seien 𝑛𝑛= 2 Risiken mi de Ko ela ionsma ix
Ρ=�1𝜌𝜌12
𝜌𝜌12 1�.
Sei zunächs −1 < 𝜌𝜌12< 1. In diesem Fall is die Ko ela ionsma ix posi i de ini
(also auch posi i semide ini ), da |1|= 1 und �1𝜌𝜌12
𝜌𝜌12 1�= 1 −𝜌𝜌12
2> 0.
In den Fällen 𝜌𝜌12= 1 und 𝜌𝜌12=−1 müssen die Eigenwe e bes imm we den. In
beiden Fällen lau e das cha ak e is ische Polynom
de (𝑦𝑦∙𝐸𝐸−Ρ)=|𝑦𝑦∙𝐸𝐸−Ρ|=(𝑦𝑦−1)2−1 = 𝑦𝑦2−2∙𝑦𝑦=𝑦𝑦∙(𝑦𝑦−2).
Somi e geben sich in beiden Fällen als Eigenwe e 𝑦𝑦= 0 und 𝑦𝑦= 2. Die
Ko ela ionsma ix is in diesen Fällen posi i semide ini . D.h. bei zwei Risiken gib
es bezüglich de Wahl des Ko ela ionskoe izien en zunächs keine
Einsch änkungen.
b) Gegeben seien 𝑛𝑛= 3 Risiken mi 𝜌𝜌12= 1, 𝜌𝜌23=−1, 𝜌𝜌13=−1, d.h. ü die
Ko ela ionsma ix gil :
Ρ=�1 1 −1
1 1 −1
−1−1 1 �
Das cha ak e is ische Polynom diese Ma ix lau e
de (𝑦𝑦∙𝐸𝐸−Ρ)=|𝑦𝑦∙𝐸𝐸−Ρ|=�𝑦𝑦−1−1 1
−1𝑦𝑦−1 1
1 1 𝑦𝑦−1�=𝑦𝑦2∙(𝑦𝑦−3)
Somi ha die Ma ix die Eigenwe e 𝑦𝑦= 0 und 𝑦𝑦= 3, is posi i semide ini und in
unse em Modell als Ko ela ionsma ix geeigne .
c) Gegeben seien 𝑛𝑛= 3 Risiken mi 𝜌𝜌12=−1, 𝜌𝜌23=−1, 𝜌𝜌13=−1, d.h. ü die
Ko ela ionsma ix gil :
Ρ=�1−1−1
−11−1
−1−1 1 �
14
c) Es sei 𝑝𝑝= 0,5 und 𝑞𝑞= 0,9. Dann gil :
Besch änkung gemäß
Zi e
Obe e Sch anke
(ge unde )
Un e e Sch anke
(ge unde )
1
−−
−3,0000
2
0,3333
−−
3
3,0000
−−
4
−−
−0,3333
Gesam
0,3333
−0,3333
Somi gil −0,3333 ≤𝜌𝜌12≤0,3333.
d) Es sei 𝑝𝑝= 0,5 und 𝑞𝑞= 0,5. In diesem Fall sind ü 𝜌𝜌12 alle We e e laub , denn es
gil :
Besch änkung gemäß
Zi e
Obe e Sch anke
(ge unde )
Un e e Sch anke
(ge unde )
1
−−
−1,0000
2
1,0000
−−
3
1,0000
−−
4
−−
−1,0000
Gesam
1,0000
−1,0000
Als Fazi kann es gehal en we den, dass man im Fall zweie dicho omen Risiken zwa
bei de Wahl des Ko ela ionskoe izien en Besch änkungen zu beach en ha , die
gemeinsame Ve eilung abe du ch diese Wahl eindeu ig es geleg is . Dami is u.a.
auch das Gesam isiko, gemessen im Value a Risk ode Expec ed Sho all, eindeu ig
bes immba .

15
4. Zwei disk e e Risiken
Im o he igen Abschni wu de gezeig , dass man bei zwei dicho omen Risiken nich
ei in de Wahl des Ko ela ionskoe izien en is . Es kann Besch änkungen geben, die
on de gewähl en Modellie ung bzw. de Belegung de zugehö igen Pa ame e
abhängen. Im nun olgenden Fall wi d gezeig , dass es da übe hinaus bei einem
o gegebenen Ko ela ionskoe izien e schiedene Möglichkei en ü die gemeinsame
Ve eilung gib . Dies ha zu Folge, dass zwa bei allen möglichen gemeinsamen
Ve eilungen au g und de Rechengese ze de E wa ungswe e und die
S anda dabweichung des Gesam e lus es 𝐺𝐺 des Risikopo olios gleich sind, die
Risikomaße Value a Risk und Expec ed Sho all abe eilweise e heblich oneinande
abweichen können. Wie bei allen Fällen mi zwei Risiken is die Ko ela ionsma ix
unabhängig on de Wahl des Ko ela ionskoe izien en posi i semide ini ( gl.
Beispiel 2 a)).
Gegeben seien zwei disk e e Risiken, ü die Ve lus e gel e:
𝑋𝑋1=�𝐴𝐴1,𝑝𝑝1
𝐴𝐴2,𝑝𝑝2
0, 1 −𝑝𝑝1−𝑝𝑝2
und 𝑋𝑋2=�𝐵𝐵,𝑞𝑞
0, 1 −𝑞𝑞
mi 𝐴𝐴1,𝐴𝐴2,𝐵𝐵> 0, 0 < 𝑝𝑝1,𝑝𝑝2,𝑞𝑞< 1 und 𝑝𝑝1+𝑝𝑝2< 1. Gegeben sei e ne de
Ko ela ionskoe izien en −1≤𝜌𝜌12≤1.
De E wa ungswe und S anda dabweichung de beiden Zu alls a iablen e geben
sich wie olg :
𝜇𝜇1=𝐴𝐴1∙𝑝𝑝1+𝐴𝐴2∙𝑝𝑝2+ 0 ∙(1−𝑝𝑝1−𝑝𝑝2)=𝐴𝐴1∙𝑝𝑝1+𝐴𝐴2∙𝑝𝑝2
𝜎𝜎1=�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋1)=�𝐸𝐸(𝑋𝑋1−𝜇𝜇1)2=�𝐸𝐸(𝑋𝑋12)−𝜇𝜇12=
=�𝐴𝐴12∙𝑝𝑝1+𝐴𝐴22∙𝑝𝑝2+ 0² ∙(1−𝑝𝑝1−𝑝𝑝2)−(𝐴𝐴1∙𝑝𝑝1+𝐴𝐴2∙𝑝𝑝2)2=
=�𝐴𝐴12∙𝑝𝑝1+𝐴𝐴22∙𝑝𝑝2−𝐴𝐴12∙𝑝𝑝12−2∙𝐴𝐴1∙𝐴𝐴2∙𝑝𝑝1∙𝑝𝑝2−𝐴𝐴22∙𝑝𝑝22=
=�𝐴𝐴12∙𝑝𝑝1∙(1−𝑝𝑝1)+𝐴𝐴22∙𝑝𝑝2∙(1−𝑝𝑝2)−2∙𝐴𝐴1∙𝐴𝐴2∙𝑝𝑝1∙𝑝𝑝2
Analog zum le z en Abschni gil :
𝜇𝜇2=𝐵𝐵∙𝑞𝑞
𝜎𝜎2=𝐵𝐵∙�𝑞𝑞∙(1−𝑞𝑞)
Fü die Ko a ianz de Zu alls a iablen 𝑋𝑋1 und 𝑋𝑋2 e häl man:
16
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2)=𝐸𝐸�(𝑋𝑋1−𝜇𝜇1)∙(𝑋𝑋2−𝜇𝜇2)�=𝐸𝐸(𝑋𝑋1∙𝑋𝑋2)−𝜇𝜇1∙𝜇𝜇2=
=𝐴𝐴1∙𝐵𝐵∙𝑃𝑃(𝑋𝑋1=𝐴𝐴1,𝑋𝑋2=𝐵𝐵)+𝐴𝐴1∙0∙𝑃𝑃(𝑋𝑋1=𝐴𝐴1,𝑋𝑋2= 0)
+𝐴𝐴2∙𝐵𝐵∙𝑃𝑃(𝑋𝑋1=𝐴𝐴2,𝑋𝑋2=𝐵𝐵)+𝐴𝐴2∙0∙𝑃𝑃(𝑋𝑋1=𝐴𝐴2,𝑋𝑋2= 0)
+0 ∙𝐵𝐵∙𝑃𝑃(𝑋𝑋1= 0, 𝑋𝑋2=𝐵𝐵)+ 0 ∙0∙𝑃𝑃(𝑋𝑋1= 0, 𝑋𝑋2= 0)
−(𝐴𝐴1∙𝑝𝑝1+𝐴𝐴2∙𝑝𝑝2)∙𝐵𝐵∙𝑞𝑞=
=𝐴𝐴1∙𝐵𝐵∙𝑃𝑃(𝑋𝑋1=𝐴𝐴1,𝑋𝑋2=𝐵𝐵)+𝐴𝐴2∙𝐵𝐵∙𝑃𝑃(𝑋𝑋1=𝐴𝐴2,𝑋𝑋2=𝐵𝐵)
−𝐴𝐴1∙𝐵𝐵∙𝑝𝑝1∙𝑞𝑞−𝐴𝐴2∙𝐵𝐵∙𝑝𝑝2∙𝑞𝑞
Beispiel 4:
Es seien 𝑝𝑝1= 0,10,𝑝𝑝2= 0,20,𝐴𝐴1= 3, 𝐴𝐴2= 2, 𝑞𝑞= 0,25 und 𝐵𝐵= 2. Dami e gib sich
die olgende Gleichung:
𝜌𝜌12=𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2)
𝜎𝜎1∙𝜎𝜎2=6∙𝑃𝑃(𝑋𝑋1= 3, 𝑋𝑋2= 2)+ 4 ∙𝑃𝑃(𝑋𝑋1= 2, 𝑋𝑋2= 2)−0,15 −0,20
1,1000 ∙0,8660
Diese Gleichung is äqui alen zu
0,9526 ∙𝜌𝜌12+ 0,35 = 6 ∙𝑃𝑃(𝑋𝑋1= 3, 𝑋𝑋2= 2)+ 4 ∙𝑃𝑃(𝑋𝑋1= 2, 𝑋𝑋2= 2).
Dabei gel en au g und de gewähl en We e die Nebenbedingungen
0≤𝑃𝑃(𝑋𝑋1= 3, 𝑋𝑋2= 2)≤min(𝑝𝑝1,𝑞𝑞)= 0,10
und
0≤𝑃𝑃(𝑋𝑋1= 2, 𝑋𝑋2= 2)≤min(𝑝𝑝2,𝑞𝑞)= 0,20.
a) Zunächs be ach en wi den Fall de Unko elie hei , d.h. 𝜌𝜌12= 0. Da aus de
s ochas ischen Unabhängigkei die Unko elie hei olg , gib es die olgende
Möglichkei ü die gemeinsame Ve eilung:
Wah scheinlichkei
𝑋𝑋
2
= 2
𝑋𝑋
2
= 0
Summe
𝑋𝑋
1
= 3
0,0250
0,0750
0,1000
𝑋𝑋
1
= 2
0,0500
0,1500
0,2000
𝑋𝑋
1
= 0
0,1750
0,5250
0,7000
Summe
0,2500
0,7500
1,0000
Da s ochas ische Unabhängigkei und Unko elie hei nich äqui alen sind, gib es
im Fall de Unko elie hei noch wei e e Möglichkei en ü die gemeinsame
Ve eilung. Wähl man in de obigen Gleichung 𝜌𝜌12= 0 und se z z.B.
𝑃𝑃(𝑋𝑋1= 2, 𝑋𝑋2= 2)= 0,
17
so e häl man: 𝑃𝑃(𝑋𝑋1= 3, 𝑋𝑋2= 2)=0,35
6= 0,0583
Da aus e gib sich als gemeinsame Ve eilung:
Wah scheinlichkei
𝑋𝑋
2
= 2
𝑋𝑋
2
= 0
Summe
𝑋𝑋
1
= 3
0,0583
0,0417
0,1000
𝑋𝑋
1
= 2
0,0000
0,2000
0,2000
𝑋𝑋
1
= 0
0,1917
0,5083
0,7000
Summe
0,2500
0,7500
1,0000
Egal ob s ochas ische Unabhängigkei ode nu Unko elie hei o lieg , ü den
E wa ungswe und die S anda dabweichung des Gesam e lus es 𝐺𝐺 gil :
𝜇𝜇𝐺𝐺=𝜇𝜇1+𝜇𝜇2= 0,7 + 0,5 = 1,2
𝜎𝜎𝐺𝐺=�𝜎𝜎12+𝜎𝜎22+ 2 ∙𝜎𝜎1∙𝜎𝜎2∙𝜌𝜌12=�1,10002+ 0,86602+ 2 ∙1,1000 ∙0,8633 ∙0 =
= 1,4000
Fü die Risikomaße Value a Risk zum Ni eau 5% (𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉5%) und den Expec ed
Sho all zum Ni eau 5% (𝐸𝐸𝐸𝐸5%) des Gesam e lus es 𝐺𝐺 e häl man im Fall de
s ochas ischen Unabhängigkei
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉5%(𝐺𝐺)= 4, 𝐸𝐸𝐸𝐸5%(𝐺𝐺)=5∙0,025 + 4 ∙0,025
0,05 = 4,5
und im ande en lediglich unko elie en Fall
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉5%(𝐺𝐺)= 5, 𝐸𝐸𝐸𝐸5%(𝐺𝐺)= 5.
Somi e höh sich das Gesam isiko im Ve gleich zum Fall de s ochas ischen
Unabhängigkei um 25% bzw. um ca. 11%, je nachdem, welche Kennzahl man zu
Risikobewe ung wähl .
b) De E ek , dass zu einem o gegebenen Ko ela ionskoe izien en meh e e
gemeinsame Ve eilungen gib , i auch au , wenn die beiden Ve lus e aus den
Einzel isiken nich unko elie sind. Wähl man z.B. als Ko ela ionskoe izien
𝜌𝜌12= 0,4, so lau e die obige Gleichung
0,9526 ∙0,4 + 0,35 = 6 ∙𝑃𝑃(𝑋𝑋1= 3, 𝑋𝑋2= 2)+ 4 ∙𝑃𝑃(𝑋𝑋1= 2, 𝑋𝑋2= 2)
bzw.
0,7310 = 6 ∙𝑃𝑃(𝑋𝑋1= 3, 𝑋𝑋2= 2)+ 4 ∙𝑃𝑃(𝑋𝑋1= 2, 𝑋𝑋2= 2).
18
Da aus lassen sich e schiedene gemeinsame Ve eilungen ablei en. Hie zwei
ausgewähl e Möglichkei en. Bei de e s en Möglichkei is de Ausgangspunk
𝑃𝑃(𝑋𝑋1= 3, 𝑋𝑋2= 2)= 0
bei de zwei en Möglichkei 𝑃𝑃(𝑋𝑋1= 3, 𝑋𝑋2= 2)= 0,1.
Möglichkei 1
Wah scheinlichkei
𝑋𝑋
2
= 2
𝑋𝑋
2
= 0
Summe
𝑋𝑋
1
= 3
0,0000
0,1000
0,1000
𝑋𝑋
1
= 2
0,1828
0,0172
0,2000
𝑋𝑋
1
= 0
0,0672
0,6328
0,7000
Summe
0,2500
0,7500
1,0000
Möglichkei 2
Wah scheinlichkei
𝑋𝑋
2
= 2
𝑋𝑋
2
= 0
Summe
𝑋𝑋
1
= 3
0,1000
0,0000
0,1000
𝑋𝑋
1
= 2
0,0328
0,1672
0,2000
𝑋𝑋
1
= 0
0,1172
0,5828
0,7000
Summe
0,2500
0,7500
1,0000
Fü die beiden gemeinsamen Ve eilungen gil wiede , dass die E wa ungswe e
und die S anda dabweichungen des Gesam e lus es 𝐺𝐺 iden isch sind:
𝜇𝜇𝐺𝐺=𝜇𝜇1+𝜇𝜇2= 0,7 + 0,5 = 1,2
𝜎𝜎𝐺𝐺=�𝜎𝜎12+𝜎𝜎22+ 2 ∙𝜎𝜎1∙𝜎𝜎2∙𝜌𝜌12=�1,10002+ 0,86602+ 2 ∙1,1000 ∙0,8633 ∙0,4 =
= 1,6499
Die Risikomaße hingegen nehmen un e schiedliche We e an. Bei de e s en
Möglichkei gil 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉5%(𝐺𝐺)= 4, 𝐸𝐸𝐸𝐸5%(𝐺𝐺)= 4
und bei de zwei en Möglichkei
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉5%(𝐺𝐺)= 5, 𝐸𝐸𝐸𝐸5%(𝐺𝐺)= 5.
Das Gesam isiko e höh sich bei de zwei en Möglichkei im Ve gleich zu e s en
Möglichkei bei beiden Kennzahlen um 25%.
19
c) Neben Fällen, in denen de o gegebene Ko ela ionskoe izien zu meh e en
gemeinsamen Ve eilungen pass , gib es auch hie Fälle, in denen zu einem
o gegebenen Ko ela ionskoe izien en keine gemeinsame Ve eilung exis ie .
Wähl man in de Gleichung
0,9526 ∙𝜌𝜌12+ 0,35 = 6 ∙𝑃𝑃(𝑋𝑋1= 3, 𝑋𝑋2= 2)+ 4 ∙𝑃𝑃(𝑋𝑋1= 2, 𝑋𝑋2= 2)
einen We ü den Ko ela ionskoe izien en 𝜌𝜌12, sodass die linke Sei e de
Gleichung nega i wi d, so üh dies di ek zum Wide sp uch. Denn in diesem Fall
müss e auch mindes ens eine de beiden Wah scheinlichkei en au de ech en
Sei e nega i sein. Die Ungleichung
0,9526 ∙𝜌𝜌12+ 0,35 < 0
is äqui alen zu 𝜌𝜌12<−0,35
0,9526
bzw. 𝜌𝜌12<−0,3674.
Somi gib es z.B. ü 𝜌𝜌12=−0,4 im o liegenden Modell keine gemeinsame
Ve eilung ü die Ve lus e aus den beiden Risiken.
Diese Beispiele zeigen, dass selbs bei ein achen Modellie ungen de Risiken und
eine posi i semide ini en Ko ela ionsma ix, die F age nach de gemeinsamen
Ve eilung de Ve lus e nich ode nu meh deu ig lösba seien kann. Die
Meh deu igkei ha zu Folge, dass das Gesam isiko gemessen im Value a Risk ode
Expec ed Sho all eben alls nich eindeu ig bes imm we den kann.

20
5. No mal e eil e Risiken: Va ianz-Ko a ianz-Me hode
Ein wich ige Spezial all lieg o , wenn die Ve lus e alle Einzel isiken no mal e eil
sind. Alle dings is dies nich hin eichend da ü , dass auch de Gesam e lus des
Risikopo olios no mal e eil is , wie olgendes Beispiel zeig .
Beispiel 5:
Sei 𝑈𝑈 no mal e eil mi E wa ungswe 𝜇𝜇∈𝐼𝐼𝑉𝑉 und S anda dabweichung 0 < 𝜎𝜎<∞.
Es sei 𝑊𝑊 eine zweiwe ige Zu alls a iable mi :
𝑊𝑊=�1, 𝑝𝑝
0, 1 −𝑝𝑝
Dabei sei 0≤𝑝𝑝< 1. Fe ne gel e, dass 𝑈𝑈 und 𝑊𝑊 s ochas isch unabhängig sind. Wi
de inie en eine wei e e Zu alls a iable 𝑉𝑉 du ch:
𝑉𝑉=�𝑈𝑈,𝑊𝑊= 1
2∙𝜇𝜇−𝑈𝑈,𝑊𝑊= 0
Dann is 𝑉𝑉 eben alls no mal e eil mi E wa ungswe 𝜇𝜇∈𝐼𝐼𝑉𝑉 und
S anda dabweichung 0 < 𝜎𝜎<∞, denn es gil mi dem Sa z de o alen
Wah scheinlichkei und wegen de Symme ie de No mal e eilung ü alle 𝑥𝑥∈𝐼𝐼𝑉𝑉:
𝑃𝑃(𝑉𝑉≤𝑥𝑥)=𝑃𝑃(𝑉𝑉≤𝑥𝑥|𝑊𝑊= 1)∙𝑃𝑃(𝑊𝑊= 1)+𝑃𝑃(𝑉𝑉≤𝑥𝑥|𝑊𝑊= 0)∙𝑃𝑃(𝑊𝑊= 0)=
=𝑃𝑃(𝑈𝑈≤𝑥𝑥|𝑊𝑊= 1)∙𝑝𝑝+𝑃𝑃(2∙𝜇𝜇−𝑈𝑈≤𝑥𝑥|𝑊𝑊= 0)∙(1−𝑝𝑝)=
=𝑃𝑃(𝑈𝑈≤𝑥𝑥)∙𝑝𝑝+𝑃𝑃(𝑈𝑈≥𝜇𝜇+ (𝜇𝜇−𝑥𝑥))∙(1−𝑝𝑝)=
=𝑃𝑃(𝑈𝑈≤𝑥𝑥)∙𝑝𝑝+𝑃𝑃�𝑈𝑈≤𝜇𝜇−(𝜇𝜇−𝑥𝑥)�∙(1−𝑝𝑝)=𝑃𝑃(𝑈𝑈≤𝑥𝑥)∙𝑝𝑝+𝑃𝑃(𝑈𝑈≤𝑥𝑥)∙(1−𝑝𝑝)=
=𝑃𝑃(𝑈𝑈≤𝑥𝑥)
Des Wei e en gil :
𝐸𝐸(𝑈𝑈∙𝑉𝑉)=𝐸𝐸(𝑈𝑈∙𝑉𝑉|𝑊𝑊= 1)∙𝑃𝑃(𝑊𝑊= 1)+𝐸𝐸(𝑈𝑈∙𝑉𝑉|𝑊𝑊= 0)∙𝑃𝑃(𝑊𝑊= 0)=
=𝐸𝐸(𝑈𝑈2|𝑊𝑊= 1)∙𝑝𝑝+𝐸𝐸(2∙𝜇𝜇∙𝑈𝑈−𝑈𝑈2|𝑊𝑊= 0)∙(1−𝑝𝑝)=
=𝐸𝐸(𝑈𝑈2)∙𝑝𝑝+�2∙𝜇𝜇∙𝐸𝐸(𝑈𝑈)−𝐸𝐸(𝑈𝑈2)�∙(1−𝑝𝑝)=𝐸𝐸(𝑈𝑈2)∙(2∙𝑝𝑝−1)+ 2 ∙𝜇𝜇2∙(1−𝑝𝑝)=
=(𝜎𝜎2+𝜇𝜇2)∙(2∙𝑝𝑝−1)+ 2 ∙𝜇𝜇2∙(1−𝑝𝑝)=𝜎𝜎2∙(2∙𝑝𝑝−1)+𝜇𝜇2
Dami e häl man:
𝜌𝜌𝑈𝑈𝑈𝑈=𝐸𝐸(𝑈𝑈∙𝑉𝑉)−𝐸𝐸(𝑈𝑈)∙𝐸𝐸(𝑉𝑉)
�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑈𝑈)∙𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑉𝑉)=𝜎𝜎2∙(2∙𝑝𝑝−1)+𝜇𝜇2−𝜇𝜇2
𝜎𝜎2= 2 ∙𝑝𝑝−1
Dami sind die beiden Zu alls a iablen 𝑈𝑈 und 𝑉𝑉 no mal e eil jeweils mi
E wa ungswe 𝜇𝜇∈𝐼𝐼𝑉𝑉, S anda dabweichung 0 < 𝜎𝜎<∞ und ü den
Ko ela ionskoe izien gil 𝜌𝜌𝑈𝑈𝑈𝑈= 2 ∙𝑝𝑝−1. Abe die Summe on beiden
Zu alls a iablen is nich no mal e eil , denn man e häl :
𝑃𝑃(𝑈𝑈+𝑉𝑉= 2 ∙𝜇𝜇)=
21
=𝑃𝑃(𝑈𝑈+𝑉𝑉= 2 ∙𝜇𝜇|𝑊𝑊= 1)∙𝑃𝑃(𝑊𝑊= 1)+𝑃𝑃(𝑈𝑈+𝑉𝑉= 2 ∙𝜇𝜇|𝑊𝑊= 0)∙𝑃𝑃(𝑊𝑊= 0)=
=𝑃𝑃(2∙𝑈𝑈= 2 ∙𝜇𝜇|𝑊𝑊= 1)∙𝑝𝑝+𝑃𝑃(𝑈𝑈+ 2 ∙𝜇𝜇−𝑈𝑈= 2 ∙𝜇𝜇|𝑊𝑊= 0)∙(1−𝑝𝑝)=
= 0 ∙𝑝𝑝+ 1 ∙(1−𝑝𝑝)= 1 −𝑝𝑝> 0
Au g und dieses Beispiels kann die Summe on no mal e eil en Zu alls a iablen im
Allgemeinen nich als no mal e eil angenommen we den kann. Es wi d dahe in
diesem Abschni die olgende zusä zliche Annahme ge o en.
Annahme: De Zu alls ek o de Ve lus e de Einzel isken, gegeben du ch
𝑋𝑋𝑇𝑇=(𝑋𝑋1𝑋𝑋2…𝑋𝑋𝑛𝑛),
sei 𝑛𝑛−dimensional no mal e eil ( gl. [11] S.148 , [8] S.271 ) mi dem
E wa ungswe ek o 𝜇𝜇, gegeben du ch
𝜇𝜇𝑇𝑇=(𝜇𝜇1𝜇𝜇2…𝜇𝜇𝑛𝑛),
und de Ko a ianzma ix Σ=�𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶�𝑋𝑋𝑖𝑖,𝑋𝑋𝑖𝑖��1≤𝑖𝑖,𝑖𝑖≤𝑛𝑛.
Bei diese Annahme handel es sich um eine zusä zliche Einsch änkung des Modells.
Denn sind die Rand e eilungen eines 𝑛𝑛−dimensional Zu alls ek o s alle als
No mal e eilungen gegeben, so is dies nich hin eichend da ü , dass die
𝑛𝑛−dimensionale Zu alls a iable 𝑛𝑛−dimensional no mal e eil is ( gl. [14] S.269 und
[15] S.504).
Fü die Ko ela ionsma ix Ρ und die Ko a ianzma ix Σ gil die Beziehung
Σ= S ∙Ρ∙S,
wobei S die olgende Diagonalma ix is :
S = �𝜎𝜎10⋯0
0𝜎𝜎2⋯0
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
0 0 ⋯ 𝜎𝜎𝑛𝑛�.
Dami gil :
1. Σ is posi i semide ini
2. Ρ posi i de ini ⟹ Σ is posi i de ini
3. Ρ posi i de ini ⟹ Σ is in e ie ba
Da 𝑥𝑥𝑇𝑇Σ𝑥𝑥=𝑥𝑥𝑇𝑇SΡS𝑥𝑥= (𝐸𝐸𝑇𝑇𝑥𝑥)𝑇𝑇Ρ(S𝑥𝑥) = (𝐸𝐸𝑥𝑥)𝑇𝑇Ρ(S𝑥𝑥)
ü alle (Spal en ek o en) 𝑥𝑥∈𝐼𝐼𝑉𝑉𝑛𝑛, olgen Zi e 1 und 2. Da im Fall posi i de ini
de (Ρ)> 0, olg die Behaup ung in Zi e 3 aus
de (Σ)=de (S)∙de (Ρ)∙de (S)
22
und de (𝐸𝐸)> 0.
Is de E wa ungswe ek o de Null ek o , d.h. 𝜇𝜇= 0, so sp ich man on eine
zen ie en 𝑛𝑛−dimensionalen No mal e eilung. In diesem Fall gil ü die
cha ak e is ische Funk ion
𝜑𝜑(𝑢𝑢)=𝐸𝐸�𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑢𝑢𝑇𝑇∙𝑋𝑋�=𝑒𝑒−12∙𝑢𝑢𝑇𝑇∙Σ∙𝑢𝑢 , 𝑢𝑢∈𝐼𝐼𝑉𝑉𝑛𝑛,
dabei sei 𝑢𝑢 ein Spal en ek o und 𝑖𝑖=√−1 ( gl. [7] S.106 ). Fü den allgemeinen (nich
zen ie en) Fall e gib sich die cha ak e is ische Funk ion wie olg :
𝜑𝜑(𝑢𝑢)=𝐸𝐸�𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑢𝑢𝑇𝑇∙𝑋𝑋�=𝐸𝐸�𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑢𝑢𝑇𝑇∙(𝑋𝑋−𝜇𝜇)+𝑖𝑖∙𝑢𝑢𝑇𝑇∙𝜇𝜇�=𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑢𝑢𝑇𝑇∙𝜇𝜇∙𝐸𝐸�𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑢𝑢𝑇𝑇∙(𝑋𝑋−𝜇𝜇)�=
=𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑢𝑢𝑇𝑇∙𝜇𝜇∙𝑒𝑒−12∙𝑢𝑢𝑇𝑇∙Σ∙𝑢𝑢=𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑢𝑢𝑇𝑇∙𝜇𝜇−12∙𝑢𝑢𝑇𝑇∙Σ∙𝑢𝑢, 𝑢𝑢∈𝐼𝐼𝑉𝑉𝑛𝑛
Wähl man als 𝑢𝑢 den 𝑗𝑗− en Einhei s ek o mal 𝑧𝑧∈𝐼𝐼𝑉𝑉, so e häl man als
cha ak e is ische Funk ion on 𝑋𝑋𝑖𝑖 die cha ak e is ische Funk ion de No mal e eilung
mi E wa ungswe 𝜇𝜇𝑖𝑖 und S anda dabweichung 𝜎𝜎𝑖𝑖:
𝜑𝜑𝑖𝑖(𝑧𝑧)=𝐸𝐸�𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑧𝑧∙𝑋𝑋𝑗𝑗�=𝐸𝐸�𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑢𝑢𝑇𝑇∙𝑋𝑋�=𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑢𝑢𝑇𝑇∙𝜇𝜇−12∙𝑢𝑢𝑇𝑇∙Σ∙𝑢𝑢=𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑧𝑧∙𝜇𝜇𝑗𝑗−12∙𝑧𝑧2∙𝜎𝜎𝑗𝑗2
( gl. [7] S.104). Da dami au g und des Eindeu igkei ssa zes ( gl. [7] S.354) die
Ve eilung on 𝑋𝑋𝑖𝑖 eindeu ig es geleg is , wide sp ich die obige zusä zliche Annahme
nich de Modellannahme, dass 𝑋𝑋𝑖𝑖 no mal e eil is .
Die cha ak e is ische Funk ion des Gesam e lus es 𝐺𝐺 des Risikopo olios bes imm
man ähnlich, in dem man 𝑢𝑢𝑇𝑇=(𝑧𝑧𝑧𝑧…𝑧𝑧) ,𝑧𝑧∈𝐼𝐼𝑉𝑉, in die cha ak e is ische Funk ion
de 𝑛𝑛−dimensionalen No mal e eilung einse z :
𝜑𝜑𝐺𝐺(𝑧𝑧)=𝐸𝐸�𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑧𝑧∙𝐺𝐺�=𝐸𝐸�𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑢𝑢𝑇𝑇∙𝑋𝑋�=𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑢𝑢𝑇𝑇∙𝜇𝜇−12∙𝑢𝑢𝑇𝑇∙Σ∙𝑢𝑢=𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑧𝑧∙∑𝜇𝜇𝑗𝑗
𝑛𝑛
𝑗𝑗=1 −12∙𝑧𝑧2∙∑ ∑ 𝜎𝜎𝑗𝑗∙𝜎𝜎𝑘𝑘∙𝜌𝜌𝑗𝑗𝑘𝑘
𝑛𝑛
𝑘𝑘=1
𝑛𝑛
𝑗𝑗=1 , 𝑧𝑧∈𝐼𝐼𝑉𝑉
Wiede um de Eindeu igkei ssa z lie e , dass 𝐺𝐺 no mal e eil is mi E wa ungswe
𝜇𝜇𝐺𝐺=�𝜇𝜇𝑖𝑖
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
und S anda dabweichung
𝜎𝜎𝐺𝐺=���𝜎𝜎𝑖𝑖∙𝜎𝜎𝑘𝑘∙𝜌𝜌𝑖𝑖𝑘𝑘
𝑛𝑛
𝑘𝑘=1
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 .
Fü das Gesam isiko bzw. die Risikomaße on 𝐺𝐺 (zum Ni eau 5%) gil dann
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉5%(𝐺𝐺)=𝜇𝜇𝐺𝐺+ 1,6449 ∙𝜎𝜎𝐺𝐺
und 𝐸𝐸𝐸𝐸5%(𝐺𝐺)=𝜇𝜇𝐺𝐺+ 2,0626 ∙𝜎𝜎𝐺𝐺
( gl. [2] S.127 ).
23
Diese Modellie ung mi hil e eine 𝑛𝑛−dimensionalen No mal e eilung wi d auch als
Va ianz-Ko a ianz-Me hode bezeichne wi d ( gl. [9] S.23 ).
Beispiel 6:
Es seien ie Risiken mi no mal e eil en Ve lus en wie olg gegeben:
Risiko N . 𝑖𝑖
E wa ungswe 𝜇𝜇
𝑖𝑖
S anda dabweichung 𝜎𝜎
𝑖𝑖
1
240.000
120.000
2
60.000
20.000
3
30.000
10.000
4
20.000
5.000
Fe ne is die Ko ela ionsma ix gegeben du ch:
𝜌𝜌12= 0,2, 𝜌𝜌13=−0,3, 𝜌𝜌14=−0,1, 𝜌𝜌23=−0,4, 𝜌𝜌24=−0,2, 𝜌𝜌34= 0,7
Dies en sp ich de Ko ela ionsma ix in Beispiel 2d). Wi gehen gemäß de
zusä zlichen Annahme in diesem Abschni on eine gemeinsamen 4−dimensionalen
No mal e eilung aus.
Bezüglich de Übe p ü ung, dass die Ko ela ionsma ix
Ρ=�1 0,2 −0,3 −0,1
0,2 1 −0,4 −0,2
−0,3 −0,4 1 0,7
−0,1 −0,2 0,7 1 �
posi i de ini (und somi auch posi i semide ini ) is , wi d au Beispiel 2d) e wiesen.
Wende man nun die Va ianz-Ko a ianz-Me hode an.so e häl man zunächs :
𝜇𝜇𝐺𝐺=�𝜇𝜇𝑖𝑖
4
𝑖𝑖=1
=350.000
𝜎𝜎𝐺𝐺2=��𝜎𝜎𝑖𝑖∙𝜎𝜎𝑗𝑗∙𝜌𝜌𝑖𝑖𝑗𝑗
4
𝑗𝑗=1
4
𝑖𝑖=1
=14.915.000.000
𝜎𝜎𝐺𝐺=√14.915.000.000 =122.126,98
Als Risikomaße bzw. als Gesam isiko e geben sich:
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉5%(𝐺𝐺)=350.000 + 1,6449 ∙122.126,98 =550.886,67
und 𝐸𝐸𝐸𝐸5%(𝐺𝐺)=350.000 + 2,0626 ∙122.126,98 =601.899,12.
30
gleich e eil au dem In e all [0,1]. Dami e häl man E wa ungswe 𝜇𝜇1= 0,5 und die
S anda dabweichung 𝜎𝜎1=�1
12. De Ve lus des zwei en Risikos sei 𝑋𝑋2. Dessen
Ve eilung sei gegeben du ch eine D eiecks e eilung zunächs eben alls au dem
In e all [0,1] mi dem bes case 𝑉𝑉= 0, dem no mal case 𝑏𝑏∈(0,1) und dem wo s case
𝑐𝑐= 1. Als E wa ungswe ü den Ve lus des zwei en Risikos e häl man 𝜇𝜇2=𝑏𝑏+1
3 und
als S anda dabweichung 𝜎𝜎2=�1+𝑏𝑏2+(1−𝑏𝑏)2
36 .
Is die Abhängigkei du ch die obe e F éche -Hoe ding-Sch anke
𝑀𝑀(𝑢𝑢1,𝑢𝑢2)=𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛(𝑢𝑢1,𝑢𝑢2)
gegeben, so e häl man ü die Ko a ianz:
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2)=��𝐹𝐹(𝑥𝑥1,𝑥𝑥2)−𝐹𝐹1(𝑥𝑥1)∙𝐹𝐹2(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥1
∞
−∞ 𝑑𝑑𝑥𝑥2
∞
−∞ =
=��𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛�𝐹𝐹1(𝑥𝑥1),𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)�−𝐹𝐹1(𝑥𝑥1)∙𝐹𝐹2(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥1
∞
−∞ 𝑑𝑑𝑥𝑥2
∞
−∞ =
=�� 𝑥𝑥1−𝑥𝑥1∙𝐹𝐹2(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥1
𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)
0𝑑𝑑𝑥𝑥2
1
0+� �𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)−𝑥𝑥1∙𝐹𝐹2(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥1
1
𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)𝑑𝑑𝑥𝑥2
1
0=
=�⎝
⎛
�1−𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)�∙ � 𝑥𝑥1 𝑑𝑑𝑥𝑥1
𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)
0⎠
⎞
𝑑𝑑𝑥𝑥2
1
0+��𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)∙ �1−𝑥𝑥1 𝑑𝑑𝑥𝑥1
1
𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)�𝑑𝑑𝑥𝑥2
1
0=
=��1−𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)�∙1
2∙�𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)�2𝑑𝑑𝑥𝑥2
1
0+�𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)∙�1
2−𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)+1
2∙�𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)�2�𝑑𝑑𝑥𝑥2
1
0=
=�1
2∙𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)−1
2∙�𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)�2𝑑𝑑𝑥𝑥2
1
0
Wegen
𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)=
⎩
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎧
0 , 𝑥𝑥2< 0
𝑥𝑥22
𝑏𝑏, 0 ≤𝑥𝑥2≤𝑏𝑏
1−(1−𝑥𝑥2)2
1−𝑏𝑏 ,𝑏𝑏≤𝑥𝑥2< 1
1 , 𝑥𝑥2≥1
e gib sich:

31
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2)=
=�1
2∙𝑥𝑥22
𝑏𝑏−1
2∙�𝑥𝑥22
𝑏𝑏�2𝑑𝑑𝑥𝑥2
𝑏𝑏
0+�1
2∙�1−(1−𝑥𝑥2)2
1−𝑏𝑏 �−1
2∙�1−(1−𝑥𝑥2)2
1−𝑏𝑏 �2𝑑𝑑𝑥𝑥2
1
𝑏𝑏=
=�1
2∙𝑥𝑥22
𝑏𝑏−1
2∙�𝑥𝑥22
𝑏𝑏�2𝑑𝑑𝑥𝑥2
𝑏𝑏
0+�1
2∙�1−𝑧𝑧2
1−𝑏𝑏�−1
2∙�1−𝑧𝑧2
1−𝑏𝑏�2𝑑𝑑𝑧𝑧
1−𝑏𝑏
0=
=�1
2∙𝑥𝑥22
𝑏𝑏−1
2∙�𝑥𝑥22
𝑏𝑏�2𝑑𝑑𝑥𝑥2
𝑏𝑏
0+�1
2∙(1 −𝑏𝑏)∙�1−𝑏𝑏−𝑧𝑧2−(1−𝑏𝑏−𝑧𝑧2)2
1−𝑏𝑏 � 𝑑𝑑𝑧𝑧
1−𝑏𝑏
0=
=1
2∙𝑏𝑏∙�𝑥𝑥22−𝑥𝑥24
𝑏𝑏 𝑑𝑑𝑥𝑥2
𝑏𝑏
0+1
2∙(1 −𝑏𝑏)∙�𝑧𝑧2−𝑧𝑧4
1−𝑏𝑏 𝑑𝑑𝑧𝑧
1−𝑏𝑏
0
Dabei e gib sich die e s e Um o mung beim zwei en In eg al du ch die Anwendung
de Subs i u ions egel mi 𝑧𝑧= 1 −𝑥𝑥2. Dies lie e :
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2)=1
2∙𝑏𝑏∙�1
3∙𝑥𝑥23−1
5𝑏𝑏∙𝑥𝑥25�0𝑏𝑏+1
2∙(1−𝑏𝑏)∙�1
3∙𝑧𝑧3−1
5∙(1−𝑏𝑏)∙𝑧𝑧5�01−𝑏𝑏=
=𝑏𝑏2
6−𝑏𝑏3
10 +(1 −𝑏𝑏)2
6−(1 −𝑏𝑏)3
10
Fü den zugehö igen Ko ela ionskoe izien en e gib sich dami :
𝜌𝜌𝑀𝑀=𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2)
�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋1)∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋2)=𝑏𝑏2
6−𝑏𝑏3
10 +(1−𝑏𝑏)2
6−(1−𝑏𝑏)3
10
�1
12 ∙�1 + 𝑏𝑏2+ (1 −𝑏𝑏)2
36
Analog e häl man ü die un e e F éche -Hoe ding-Sch anke
𝑊𝑊(𝑢𝑢1,𝑢𝑢2)≔𝑚𝑚𝑉𝑉𝑥𝑥(𝑢𝑢1+𝑢𝑢2−1, 0):
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2)=��𝐹𝐹(𝑥𝑥1,𝑥𝑥2)−𝐹𝐹1(𝑥𝑥1)∙𝐹𝐹2(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥1
∞
−∞ 𝑑𝑑𝑥𝑥2
∞
−∞ =
=��𝑚𝑚𝑉𝑉𝑥𝑥(𝐹𝐹1(𝑥𝑥1)+𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)−1,0)−𝐹𝐹1(𝑥𝑥1)∙𝐹𝐹2(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥1
∞
−∞ 𝑑𝑑𝑥𝑥2
∞
−∞ =
=� � −𝑥𝑥1∙𝐹𝐹2(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥1
1−𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)
0𝑑𝑑𝑥𝑥2
1
0+� � 𝑥𝑥1+𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)−1−𝑥𝑥1∙𝐹𝐹2(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥1
1
1−𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)𝑑𝑑𝑥𝑥2
1
0=
32
=−�𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)∙� � 𝑥𝑥1 𝑑𝑑𝑥𝑥1
1−𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)
0�𝑑𝑑𝑥𝑥2
1
0−��1−𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)�� � 1−𝑥𝑥1 𝑑𝑑𝑥𝑥1
1
1−𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)�𝑑𝑑𝑥𝑥2
1
0=
=−�1
2∙𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)∙�1−𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)�2𝑑𝑑𝑥𝑥2
1
0
−��1−𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)�∙�1
2−�1−𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)�+1
2∙�1−𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)�2�𝑑𝑑𝑥𝑥2
1
0=
=−�1
2∙𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)∙�1−𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)�2𝑑𝑑𝑥𝑥2
1
0−�1
2∙�1−𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)�∙�𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)�2𝑑𝑑𝑥𝑥2
1
0=
=−�1
2∙𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)−1
2∙�𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)�2𝑑𝑑𝑥𝑥2
1
0
⟹𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2)=−�𝑏𝑏2
6−𝑏𝑏3
10 +(1 −𝑏𝑏)2
6−(1 −𝑏𝑏)3
10 �
⟹𝜌𝜌𝑊𝑊=𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2)
�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋1)∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋2)=−𝑏𝑏2
6−𝑏𝑏3
10 +(1−𝑏𝑏)2
6−(1−𝑏𝑏)3
10
�1
12 ∙�1 + 𝑏𝑏2+ (1 −𝑏𝑏)2
36
Somi un e scheiden sich die beiden Ko ela ionskoe izien en 𝜌𝜌𝑀𝑀 und 𝜌𝜌𝑊𝑊 lediglich
du ch das Vo zeichen, e ne s immen sie jeweils ü 𝑏𝑏 und 1−𝑏𝑏 übe ein. Hie eine
kleine Tabelle mi ausgewähl en We en:
𝑏𝑏
𝜌𝜌
𝑀𝑀
𝜌𝜌
𝑊𝑊
0,01 bzw. 0,99
0,97981
−0,97981
0,1 bzw. 0,9
0,98089
−0,98089
0,25 bzw. 0,75
0,98508
−0,98508
0,4 bzw. 0,6
0,98903
−0,98903
0,5
0,98995
−0,98995
Insbesonde e sind alle Ko ela ionskoe izien en kleine 1.
Es seien 𝐴𝐴1,𝐴𝐴2> 0. De Ve lus des e s en Risikos sei nun gegeben du ch 𝐴𝐴1∙𝑋𝑋1, d.h.
de Ve lus is gleich e eil au dem In e all [0, 𝐴𝐴1]. De Ve lus des zwei en Risikos
sei gegeben du ch 𝐴𝐴2∙𝑋𝑋2, d.h. e genüg eine D eiecks e eilung, diesmal au dem
In e all [0, 𝐴𝐴2] mi dem bes case 0, dem no mal case 𝑏𝑏∙𝐴𝐴2 und dem wo s case 𝐴𝐴2.
Wegen
33
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝐴𝐴1∙𝑋𝑋1,𝐴𝐴2∙𝑋𝑋2)
�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝐴𝐴1∙𝑋𝑋1)∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝐴𝐴2∙𝑋𝑋2)=𝐴𝐴1∙𝐴𝐴2∙𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2)
𝐴𝐴1∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋1)∙𝐴𝐴2∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋2)=𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2)
�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋1)∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋2)
gel en ü den Ko ela ionskoe izien en on 𝐴𝐴1∙𝑋𝑋1 und 𝐴𝐴2∙𝑋𝑋2 die gleichen obe en und
un e en Sch anken wie ü den Ko ela ionskoe izien en on 𝑋𝑋1 und 𝑋𝑋2.
Beispiel 11:
Im diesem Beispiel be ach en wi zwei Risiken, de en Ve lus e du ch die gleiche
s e ige Ve eilung gegeben sind. 𝑋𝑋1 sei de Ve lus des e s en Risikos, 𝑋𝑋2 sei de
Ve lus des zwei en Risikos und 𝐹𝐹=𝐹𝐹1=𝐹𝐹2
die zu s e igen Ve eilung gehö ende Ve eilungs unk ion. Die Dich e unk ion 𝑓𝑓 de
s e igen Ve eilungs unk ion 𝐹𝐹 sei um 0 symme isch, d.h. insbesonde e gil :
𝐸𝐸(𝑋𝑋1)=𝐸𝐸(𝑋𝑋2)= 0
Fe ne wi d 𝐸𝐸(𝑋𝑋12)=𝐸𝐸(𝑋𝑋22)<∞ o ausgese z . Im Folgenden wi d gezeig , dass un e
diesen Vo ausse zungen ü den Ko ela ionskoe izien en jede We im In e all
[−1,1] möglich is . ( gl. [17] S.340 , [5] S.24)
Da ü die Ve eilung mi de Ve eilungs unk ion 𝐹𝐹 das zwei e Momen exis ie en, gil
lim
𝑥𝑥→∞�1−𝐹𝐹(𝑥𝑥)�∙𝑥𝑥= 0
und
lim
𝑥𝑥→−∞𝐹𝐹(𝑥𝑥)∙𝑥𝑥= 0
Dies e gib sich jeweils du ch Anwendung de Ungleichung on Ma ko ( gl. [16]
S.281] wie olg :
𝑥𝑥> 0: 0 ≤𝑃𝑃(𝑋𝑋1>𝑥𝑥)∙𝑥𝑥≤𝑃𝑃(|𝑋𝑋1|≥𝑥𝑥)∙𝑥𝑥≤𝐸𝐸(𝑋𝑋12)
𝑥𝑥2∙𝑥𝑥=𝐸𝐸(𝑋𝑋12)
𝑥𝑥
Bilde man nun den G enzwe 𝑥𝑥→∞, so e häl man die e s e de beiden Gleichungen.
𝑥𝑥< 0: 0 ≤−𝑃𝑃(𝑋𝑋1≤𝑥𝑥)∙𝑥𝑥≤−𝑃𝑃(|𝑋𝑋1|≥−𝑥𝑥)∙𝑥𝑥≤−𝐸𝐸(𝑋𝑋12)
(−𝑥𝑥)2∙𝑥𝑥=−𝐸𝐸(𝑋𝑋12)
𝑥𝑥
De G enzwe 𝑥𝑥→−∞ lie e die zwei e Gleichung.
Im Folgenden wi d zu He lei ung des zu de obe en F éche -Hoe ding-Sch anke
gehö enden Ko ela ionskoe izien en de Sa z on Fubini ( gl. [16] S.178 )
angewende . Die Übe p ü ung de In eg ie ba kei ü die Anwendba kei des Sa zes
on Fubini be inde sich zu besse en Lesba kei de He lei ung im ma hema ischen
Anhang.
34
Geh man ü die Abhängigkei ss uk u zunächs on de obe en F éche -Hoe ding-
Sch anke aus, so be echne sich de zugehö ige Ko ela ionskoe izien wie olg :
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2)=� � 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛(𝐹𝐹(𝑥𝑥1), 𝐹𝐹(𝑥𝑥2))−𝐹𝐹(𝑥𝑥1)∙𝐹𝐹(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥1
∞
−∞ 𝑑𝑑𝑥𝑥2
∞
−∞ =
=� �� 𝐹𝐹(𝑥𝑥1)−𝐹𝐹(𝑥𝑥1)∙𝐹𝐹(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥1
𝑥𝑥2
−∞ +�𝐹𝐹(𝑥𝑥2)−𝐹𝐹(𝑥𝑥1)∙𝐹𝐹(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥1
∞
𝑥𝑥2�𝑑𝑑𝑥𝑥2
∞
−∞
De In eg al-Te m in de Klamme läss sich mi hil e pa ielle In eg a ion wie olg
um o men:
� 𝐹𝐹(𝑥𝑥1)−𝐹𝐹(𝑥𝑥1)∙𝐹𝐹(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥1
𝑥𝑥2
−∞ +�𝐹𝐹(𝑥𝑥2)−𝐹𝐹(𝑥𝑥1)∙𝐹𝐹(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥1
∞
𝑥𝑥2=
=�1−𝐹𝐹(𝑥𝑥2)� ∙� 𝐹𝐹(𝑥𝑥1) 𝑑𝑑𝑥𝑥1
𝑥𝑥2
−∞ +𝐹𝐹(𝑥𝑥2)∙�1−𝐹𝐹(𝑥𝑥1) 𝑑𝑑𝑥𝑥1
∞
𝑥𝑥2=
=�1−𝐹𝐹(𝑥𝑥2)� ∙�[𝐹𝐹(𝑥𝑥1)∙𝑥𝑥1]−∞
𝑥𝑥2−� 𝑥𝑥1∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 𝑑𝑑𝑥𝑥1
𝑥𝑥2
−∞ �+
+𝐹𝐹(𝑥𝑥2)∙���1−𝐹𝐹(𝑥𝑥1)�∙𝑥𝑥1�𝑥𝑥2
∞+�𝑥𝑥1∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 𝑑𝑑𝑥𝑥1
∞
𝑥𝑥2�=
=�1−𝐹𝐹(𝑥𝑥2)� ∙�𝐹𝐹(𝑥𝑥2)∙𝑥𝑥2−� 𝑥𝑥1∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 𝑑𝑑𝑥𝑥1
𝑥𝑥2
−∞ �
−𝐹𝐹(𝑥𝑥2)∙��1−𝐹𝐹(𝑥𝑥2)�∙𝑥𝑥2−�𝑥𝑥1∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 𝑑𝑑𝑥𝑥1
∞
𝑥𝑥2�=
=−�1−𝐹𝐹(𝑥𝑥2)� ∙� 𝑥𝑥1∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 𝑑𝑑𝑥𝑥1
𝑥𝑥2
−∞ +𝐹𝐹(𝑥𝑥2)∙�𝑥𝑥1∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 𝑑𝑑𝑥𝑥1
∞
𝑥𝑥2
Dami e gib sich mi dem Sa z on Fubini:
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2)=� �−�1−𝐹𝐹(𝑥𝑥2)� ∙� 𝑥𝑥1∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 𝑑𝑑𝑥𝑥1
𝑥𝑥2
−∞ +𝐹𝐹(𝑥𝑥2)∙�𝑥𝑥1∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 𝑑𝑑𝑥𝑥1
∞
𝑥𝑥2�𝑑𝑑𝑥𝑥2
∞
−∞ =
=� �� −�1−𝐹𝐹(𝑥𝑥2)� ∙𝑥𝑥1∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 𝑑𝑑𝑥𝑥1
𝑥𝑥2
−∞ +�𝐹𝐹(𝑥𝑥2)∙𝑥𝑥1∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 𝑑𝑑𝑥𝑥1
∞
𝑥𝑥2�𝑑𝑑𝑥𝑥2
∞
−∞ =
=� ��𝑥𝑥1∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) ∙(𝐹𝐹(𝑥𝑥2)−1) 𝑑𝑑𝑥𝑥2
∞
𝑥𝑥1+� 𝑥𝑥1∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) ∙𝐹𝐹(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥2
𝑥𝑥1
−∞ �𝑑𝑑𝑥𝑥1
∞
−∞ =
=� 𝑥𝑥1∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) ∙��𝐹𝐹(𝑥𝑥2)−1 𝑑𝑑𝑥𝑥2
∞
𝑥𝑥1+� 𝐹𝐹(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥2
𝑥𝑥1
−∞ �𝑑𝑑𝑥𝑥1
∞
−∞
Fü den In eg al-Te m in de Klamme e häl man wiede um du ch pa ielle In eg a ion:
35
�𝐹𝐹(𝑥𝑥2)−1 𝑑𝑑𝑥𝑥2
∞
𝑥𝑥1+� 𝐹𝐹(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥2
𝑥𝑥1
−∞ =
=[(𝐹𝐹(𝑥𝑥2)−1)∙𝑥𝑥2]𝑥𝑥1
∞−�𝑥𝑥2∙𝑓𝑓(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥2
∞
𝑥𝑥1+[𝐹𝐹(𝑥𝑥2)∙𝑥𝑥2]−∞
𝑥𝑥1−� 𝑥𝑥2∙𝑓𝑓(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥2
𝑥𝑥1
−∞ =
=�1−𝐹𝐹(𝑥𝑥1)�∙𝑥𝑥1+𝐹𝐹(𝑥𝑥1)∙𝑥𝑥1−� 𝑥𝑥2∙𝑓𝑓(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥2
∞
−∞ =𝑥𝑥1−� 𝑥𝑥2∙𝑓𝑓(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥2
∞
−∞ =𝑥𝑥1
Das le z e Gleichhei szeichen olg wegen 𝐸𝐸(𝑋𝑋2)=∫𝑥𝑥2∙𝑓𝑓(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥2
∞
−∞ = 0.
Zusammenge ass bedeu e dies ü die Ko a ianz de beiden Ve lus e
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2)=� 𝑥𝑥12∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 𝑑𝑑𝑥𝑥1
∞
−∞ =𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋1)
und ü de en Ko ela ionskoe izien
𝜌𝜌𝑀𝑀=𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2)
�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋1)∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋2)=𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋1)
�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋1)∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋1)= 1.
Je z sei die Abhängigkei ss uk u du ch die un e e F éche -Hoe ding-Sch anke
gegeben. Wi be ach en zunächs die beiden olgenden Wah scheinlichkei en:
1.
𝑃𝑃(−𝑋𝑋2≤𝑥𝑥2)=𝑃𝑃(𝑋𝑋2≥−𝑥𝑥2)=⏟
𝐹𝐹 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑖𝑖𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ 𝑢𝑢𝑠𝑠 0𝑃𝑃(𝑋𝑋2≤𝑥𝑥2)=𝐹𝐹(𝑥𝑥2)
2.
𝑃𝑃(𝑋𝑋1≤𝑥𝑥1,−𝑋𝑋2≤𝑥𝑥2)=𝑃𝑃(𝑋𝑋1≤𝑥𝑥1,𝑋𝑋2≥−𝑥𝑥2)=𝑃𝑃(𝑋𝑋1≤𝑥𝑥1)−𝑃𝑃(𝑋𝑋1≤𝑥𝑥1,𝑋𝑋2<−𝑥𝑥2)=
=⏟
𝐹𝐹 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑖𝑖𝑠𝑠𝐹𝐹(𝑥𝑥1)−max�(𝐹𝐹(𝑥𝑥1)+𝐹𝐹(−𝑥𝑥2)−1), 0�=
=⏟
𝐹𝐹 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑖𝑖𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ 𝑢𝑢𝑠𝑠 0𝐹𝐹(𝑥𝑥1)−max ��𝐹𝐹(𝑥𝑥1)−𝐹𝐹(𝑥𝑥2)�,0�=min�𝐹𝐹(𝑥𝑥1),𝐹𝐹(𝑥𝑥2)�
Dami haben 𝑋𝑋1 und −𝑋𝑋2 die gleiche s e ige Ve eilungs unk ion 𝐹𝐹 und die
Abhängigkei ss uk u is du ch die obe e F éche -Hoe ding-Sch anke gegeben.
Da aus e häl man ü die Ko a ianz
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2)=−𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,−𝑋𝑋2)=−𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋1)
bzw. ü den Ko ela ionskoe izien en
𝜌𝜌𝑊𝑊=𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2)
�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋1)∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋2)=−𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋1)
�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋1)∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋1)=−1.
Zusammen assend kann es gehal en we den, dass ü den Ko ela ionskoe izien en
𝜌𝜌12 de beiden Ve lus e 𝑋𝑋1 und 𝑋𝑋2 wegen 𝜌𝜌𝑀𝑀= 1 und 𝜌𝜌𝑊𝑊=−1 im In e all [−1,1] jede
We möglich.

36
Diese Eigenscha übe äg sich, wenn man die beiden Ve lus e linea ans o mie ,
da: 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝐴𝐴1∙𝑋𝑋1+𝑏𝑏1,𝐴𝐴2∙𝑋𝑋2+𝑏𝑏2)
�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝐴𝐴1∙𝑋𝑋1+𝑏𝑏1)∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝐴𝐴2∙𝑋𝑋2+𝑏𝑏2)=𝐴𝐴1∙𝐴𝐴2∙𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2)
𝐴𝐴1∙𝐴𝐴2∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋1)∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋2)=
=𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2)
�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋1)∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋2)
Beispiel 12:
Die Ve lus e 𝑋𝑋1 und 𝑋𝑋2 zweie Risiken seien beide no mal e eil . Handel es sich
jeweils um eine S anda dno mal e eilung, so is ü den Ko ela ionskoe izien en
wegen Beispiel 11 jede We im In e all [−1,1] möglich. Handel es sich um beliebige
No mal e eilungen mi den E wa ungswe en 𝜇𝜇1 bzw. 𝜇𝜇2 und den
S anda dabweichungen 𝜎𝜎1> 0 bzw. 𝜎𝜎2> 0, so gil dies wegen
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2)
�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋1)∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋2)=𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶�𝜇𝜇1+𝑋𝑋1−𝜇𝜇1
𝜎𝜎1∙𝜎𝜎1,𝜇𝜇2+𝑋𝑋2−𝜇𝜇2
𝜎𝜎2∙𝜎𝜎2�
�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉�𝜇𝜇1+𝑋𝑋1−𝜇𝜇1
𝜎𝜎1∙𝜎𝜎1�∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉�𝜇𝜇2+𝑋𝑋2−𝜇𝜇2
𝜎𝜎2∙𝜎𝜎2�=
=𝜎𝜎1∙𝜎𝜎2∙𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶�𝑋𝑋1−𝜇𝜇1
𝜎𝜎1,𝑋𝑋2−𝜇𝜇2
𝜎𝜎2�
𝜎𝜎1∙𝜎𝜎2∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉�𝑋𝑋1−𝜇𝜇1
𝜎𝜎1�∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉�𝑋𝑋2−𝜇𝜇2
𝜎𝜎2�=𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶�𝑋𝑋1−𝜇𝜇1
𝜎𝜎1,𝑋𝑋2−𝜇𝜇2
𝜎𝜎2�
�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉�𝑋𝑋1−𝜇𝜇1
𝜎𝜎1�∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉�𝑋𝑋2−𝜇𝜇2
𝜎𝜎2�
eben alls, da 𝑋𝑋1−𝜇𝜇1
𝜎𝜎1 und 𝑋𝑋2−𝜇𝜇2
𝜎𝜎2 s anda dno mal e eil sind.
37
7. Beliebig e eil e Risiken
Die es nische Ma hema ike in Ene-Ma gi Tii ha in ih em 1996 e schienen A ikel
„Mix u es o Mul i a ia e Quasi-Ex emal Dis ibu ions ha ing gi en Ma ingals“ ein
Ve ah en da ges ell , wie man ü eine endliche Menge on Zu alls a iablen bei
o gegebenen Rand e eilungen und eine o gegebenen Ko ela ionsma ix eine
passende gemeinsame Ve eilung ü die Zu alls a iablen bes immen kann. Dieses
Ve ah en wi d in diesem Kapi al o ges ell und in den olgenden Abschni en au das
hie behandel e Modell, d.h. au die Ve lus e aus den Einzel isiken und au den
Gesam e lus , in Fallbeispielen angewende . Von en scheidende Bedeu ung sind
dabei die sogenann en Ex emal-Ve eilungen.
Eine Ex emal-Ve eilung als gemeinsame Ve eilung on endlich ielen
Zu alls a iablen ha die Eigenscha , dass alle Ko ela ionskoe izien en zwischen zwei
Zu alls a iablen en wede dem jeweiligen Ko ela ionskoe izien en en sp echen, de
sich aus de obe en F éche -Hoe ding-Sch anke e gib , ode dem jeweiligen
Ko ela ionskoe izien en en sp echen, de sich aus de un e en F éche -Hoe ding-
Sch anke e gib . D.h. in unse em Modell on 𝑛𝑛 Risiken gib es ü jeden de 𝑛𝑛∙(𝑛𝑛−1)
2
Ko ela ionskoe izien en genau zwei Möglichkei en. Hä e man alle F eihei en, so
wü den da aus 2𝑛𝑛∙(𝑛𝑛−1)
2 mögliche Ko ela ionsma izen bzw. passende Ex emal-
Ve eilungen esul ie en. Au g und des Ausschlusses bes imm e Kons ella ionen sind
es alle dings nu 2𝑛𝑛−1 mögliche Ko ela ionsma izen bzw. passende Ex emal-
Ve eilungen. Hie zusammenge ass die De ini ion und wich ige Eigenscha en.
Gegeben seien 𝑛𝑛 Zu alls a iablen mi den Ve eilungs unk ionen 𝐹𝐹𝑖𝑖,𝑖𝑖= 1,2, … , 𝑛𝑛, und
jeweils endliche Va ianz sowie die Ko ela ionsma ix
Ρ=�𝜌𝜌𝑖𝑖𝑖𝑖�1≤𝑖𝑖,𝑖𝑖≤𝑛𝑛.
𝜌𝜌𝑀𝑀,𝑖𝑖𝑖𝑖 sei de Ko ela ionskoe izien , de sich ü die 𝑖𝑖- e und 𝑗𝑗- e Zu alls a iable aus de
obe en F éche -Hoe ding-Sch anke e gib , und 𝜌𝜌𝑊𝑊,𝑖𝑖𝑖𝑖 sei de Ko ela ionskoe izien ,
de sich ü die 𝑖𝑖- e und 𝑗𝑗- e Zu alls a iable aus de un e en F éche -Hoe ding-
Sch anke e gib . Eine Ex emal-Ve eilung als gemeinsame Ve eilung de 𝑛𝑛
Zu alls a iablen lieg o , wenn die Rand e eilungen diese gemeinsamen Ve eilung
mi den en sp echenden Ve eilungen de Zu alls a iablen übe eins immen und es
eine Pa i ion de Indexmenge {1,2, … , 𝑛𝑛} (d.h. zwei disjunk e Teilmenge 𝐼𝐼 und 𝐼𝐼𝑠𝑠 mi
𝐼𝐼∪𝐼𝐼𝑠𝑠={1,2, … , 𝑛𝑛}) mi de Zusa zeigenscha 1∈𝐼𝐼 gib , so dass:
• 𝜌𝜌𝑖𝑖𝑖𝑖∈�𝜌𝜌𝑀𝑀,𝑖𝑖𝑖𝑖,𝜌𝜌𝑊𝑊,𝑖𝑖𝑖𝑖� ü alle 𝑖𝑖,𝑗𝑗= 1,2, … , 𝑛𝑛
• 𝜌𝜌𝑖𝑖𝑖𝑖=𝜌𝜌𝑀𝑀,𝑖𝑖𝑖𝑖, alls 𝑖𝑖,𝑗𝑗∈𝐼𝐼 ode 𝑖𝑖,𝑗𝑗∈𝐼𝐼𝑠𝑠
• 𝜌𝜌𝑖𝑖𝑖𝑖=𝜌𝜌𝑊𝑊,𝑖𝑖𝑖𝑖, alls 𝑖𝑖∈𝐼𝐼,𝑗𝑗∈𝐼𝐼𝑠𝑠 ode 𝑗𝑗∈𝐼𝐼,𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝑠𝑠
Die gemeinsame Ve eilungs unk ion eine Ex emal-Ve eilung is dann gegeben
du ch
38
𝐺𝐺𝐼𝐼(𝑥𝑥1,𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛)=max �0, �min
𝑖𝑖∈𝐼𝐼 𝐹𝐹𝑖𝑖(𝑥𝑥𝑖𝑖)+min
𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝑐𝑐𝐹𝐹𝑖𝑖�𝑥𝑥𝑖𝑖�−1��.
Dami be echne sich die Anzahl de möglichen passenden Ex emal-Ve eilungen als
Anzahl de Teilmengen de Menge {2,3, … , 𝑛𝑛} mi 2𝑛𝑛−1 ( gl. [17] S.341 ). Da aus olg
ü 𝑛𝑛≥3 mi elemen a en Übe legungen:
• Aus 𝜌𝜌𝑖𝑖𝑘𝑘=𝜌𝜌𝑀𝑀,𝑖𝑖𝑘𝑘 und 𝜌𝜌𝑘𝑘𝑖𝑖=𝜌𝜌𝑀𝑀,𝑘𝑘𝑖𝑖 olg 𝜌𝜌𝑖𝑖𝑖𝑖=𝜌𝜌𝑀𝑀,𝑖𝑖𝑖𝑖
• Aus 𝜌𝜌𝑖𝑖𝑘𝑘=𝜌𝜌𝑀𝑀,𝑖𝑖𝑘𝑘 und 𝜌𝜌𝑘𝑘𝑖𝑖=𝜌𝜌𝑊𝑊,𝑘𝑘𝑖𝑖 olg 𝜌𝜌𝑖𝑖𝑖𝑖=𝜌𝜌𝑊𝑊,𝑖𝑖𝑖𝑖
• Aus 𝜌𝜌𝑖𝑖𝑘𝑘=𝜌𝜌𝑊𝑊,𝑖𝑖𝑘𝑘 und 𝜌𝜌𝑘𝑘𝑖𝑖=𝜌𝜌𝑊𝑊,𝑘𝑘𝑖𝑖 olg 𝜌𝜌𝑖𝑖𝑖𝑖=𝜌𝜌𝑀𝑀,𝑖𝑖𝑖𝑖
( gl. [17] S.342, [5] S.31 )
Diese Eigenscha pass zu den Aus üh ungen in Abschni 2. Do wi d e läu e , wieso
bei d ei Zu alls a iablen ü die d ei Ko ela ionskoe izien en nu bes imm e
Kons ella ionen ü die We e −1 und 1 möglich sind.
Die Me hode on Tii bes eh nun da in, zu gegebenen Rand e eilungen und eine
gegebenen Ko ela ionsma ix eine passende gemeinsame Ve eilung aus den
möglichen Ex emal-Ve eilungen zu kons uie en. Die G undlage da ü s ell de
olgende Sa z da .
Sa z:
Gegeben seien 𝑛𝑛 Zu alls a iablen mi jeweils endliche Va ianz. Fe ne sei
Ρ=�𝜌𝜌𝑖𝑖𝑖𝑖�1≤𝑖𝑖,𝑖𝑖≤𝑛𝑛
eine o gegebene Ko ela ionsma ix. Es sei {𝐺𝐺𝑘𝑘|𝑘𝑘= 1,2, … , 2𝑛𝑛−1} die Menge de
möglichen Ex emal-Ve eilungen (also insbesonde e gemeinsame Ve eilungen mi
passenden Rand e eilungen) und {𝑉𝑉𝑘𝑘|𝑘𝑘= 1,2, … , 2𝑛𝑛−1} die Menge de zugehö igen
Ko ela ionsma izen. Sei e ne 𝜆𝜆=(𝜆𝜆1,𝜆𝜆2,…,𝜆𝜆2𝑛𝑛−1) ein Vek o mi nich nega i en
Ein ägen und de Eigenscha en
�𝜆𝜆𝑘𝑘
2𝑛𝑛−1
𝑘𝑘=1 = 1.
Gil
�𝜆𝜆𝑘𝑘∙𝑉𝑉𝑘𝑘
2𝑛𝑛−1
𝑘𝑘=1
=Ρ,
so besi z die Mischung de Ex emal-Ve eilungen
�𝜆𝜆𝑘𝑘∙𝐺𝐺𝑘𝑘
2𝑛𝑛−1
𝑘𝑘=1
als gemeinsame Ve eilung de 𝑛𝑛 Zu alls a iablen die passenden Rand e eilungen
und die zugehö ige Ko ela ionsma ix is Ρ.
39
Fü den Beweis wi d au [17] S.346 e wiesen. Als E gänzung be inde sich im
ma hema ischen Anhang zusä zlich eine Ve allgemeine ung des Sa zes mi einem au
de Maß heo ie basie enden Beweis.
Dami sind in einem konk e en Beispiel zu Bes immung eine passenden
gemeinsamen Ve eilung bei o gegebenen Rand e eilungen und o gegebene
Ko ela ionsma ix Ρ, die olgenden A bei ssch i e umzuse zen:
1. Bes immung alle Ex emal-Ve eilungen {𝐺𝐺𝑘𝑘|𝑘𝑘= 1,2, … , 2𝑛𝑛−1} und de zugehö igen
Ko ela ionsma izen {𝑉𝑉𝑘𝑘|𝑘𝑘= 1,2, … , 2𝑛𝑛−1}.
2. Bes immung mindes ens eine Lösung 𝜆𝜆=(𝜆𝜆1,𝜆𝜆2, … , 𝜆𝜆2𝑛𝑛−1) des linea en
Gleichungssys ems
�𝜆𝜆𝑘𝑘∙𝑉𝑉𝑘𝑘
2𝑛𝑛−1
𝑘𝑘=1 =Ρ
mi nich nega i en Ein ägen und
�𝜆𝜆𝑘𝑘
2𝑛𝑛−1
𝑘𝑘=1 = 1.
3. Eine passende gemeinsame Ve eilung e gib sich dann du ch
�𝜆𝜆𝑘𝑘∙𝐺𝐺𝑘𝑘
2𝑛𝑛−1
𝑘𝑘=1 .
Diese Me hode wi d in den olgenden Abschni en in un e schiedlichen Beispielen
angewende .
Da Ko ela ionsma izen imme posi i semide ini sind, gil das auch ü die zu den
Ex emal-Ve eilungen gehö enden Ko ela ionsma izen 𝑉𝑉𝑘𝑘, 𝑘𝑘= 1,2, … , 2𝑛𝑛−1. Da aus
olg aus den Rechen egeln de Ma izen echnung, dass die Ma ix
�𝜆𝜆𝑘𝑘∙𝑉𝑉𝑘𝑘
2𝑛𝑛−1
𝑘𝑘=1
eben alls posi i semide ini is , so e n alle Ein äge des Vek o s 𝜆𝜆=(𝜆𝜆1,𝜆𝜆2,…,𝜆𝜆2𝑛𝑛−1)
nich nega i sind:
𝑥𝑥𝑇𝑇��𝜆𝜆𝑘𝑘∙𝑉𝑉𝑘𝑘
2𝑛𝑛−1
𝑘𝑘=1 �𝑥𝑥=�𝜆𝜆𝑘𝑘∙(𝑥𝑥𝑇𝑇𝑉𝑉𝑘𝑘𝑥𝑥)
2𝑛𝑛−1
𝑘𝑘=1 ≥0
Wenn es also in Zi e 2 eine Lösung gib , so is die sich da aus e gebende Ma ix
posi i semide ini . Umgekeh gib es nich zu jede posi i semide ini en
Ko ela ionsma ix eine Lösung gemäß Zi e 2. Dies wi d im olgenden Abschni
zusammen mi de Möglichkei de Meh deu igkei anhand on Beispielen hema isie .
46
9. Ökonomisches Fallbeispiel
Mi de Neu assung des IDW (= Ins i u de Wi scha sp ü e ) P ü ungss anda ds „Die
P ü ung des Risiko ühe kennungssys ems nach § 317 Abs. 4 HGB (IDW PS 340 n.F.)“
s eh u.a. die Risikoagg ega ion zu Beu eilung de Risiko ag ähigkei eines
Un e nehmens e s ä k im Fokus de Wi scha sp ü e . Obwohl sich diese P ü ung
au §91 Abs. 2 des Ak iengese zes bezieh und dami o mal nu bö senno ie e
Ak iengesellscha en be i , is on eine Auss ahlungswi kung de Neu assung des
IDW PS 340 auch au ande e Ak iengesellscha en bzw. Un e nehmen mi eine
ande en Rech s o m auszugehen. De IDW PS 340 n.F. wa e s malig ü
Wi scha sjah e, die nach dem 31.12.2020 begonnen haben, anzuwenden. Im
Rahmen eine Risikoagg ega ion is die Gesam isikoposi ion eines Un e nehmens zu
e mi eln, diese is dann mi de maximalen Risiko ag ähigkei zu e gleichen. Dabei
sind auch Wechselwi kungen zwischen den Einzel isiken zu be ücksich igen. ( gl. [3])
Im Folgenden wi d anhand eines ökonomischen Fallbeispiels eine Vo gehensweise
da ges ell , bei de die Wechselwi kungen zwischen den Einzel isiken du ch eine
Ko ela ionsma ix modellie we den. D.h. wi be ach en ein inhomogenes
Risikopo olio, modellie en die Ve lus e de Einzel isiken, de inie en die
Ko ela ionsma ix bezogen au die Ve lus e de Einzel isiken, übe p ü en, ob diese
Ko ela ionsma ix geeigne is , und bes immen mi hil e de Me hode on Ene-Ma gi
Tii eine mögliche gemeinsame Ve eilung alle Einzel isiken bzw. de en Ve lus e.
Anschließend wi d au diese Modellbasis eine Mon e-Ca lo-Simula ion du chge üh
und die E gebnisse we den in e p e ie . Die Mon e-Ca lo-Simula ion is o allem dann
sinn oll, wenn das Risikopo olio keine gemeinsamen meh dimensionalen
No mal e eilung genüg . In de P axis we den Un e nehmen mi den
un e schiedlichs en – o auch b anchen- ode un e nehmensspezi ischen – Risiken
kon on ie . Dabei we den zu Modellie ung de Ve lus e die un e schiedlichs en
wah scheinlichkei s heo e ischen Modelle e wende . D.h. i.d.R. is nich on eine
meh dimensionalen No mal e eilung auszugehen. Is dies dennoch de Fall, so kann
ans elle de Mon e-Ca lo-Me hode die Va ianz-Ko a ianz-Me hode zu
Risikoagg ega ion e wende we den.
Wi be ach en nun das olgende Beispiel. Ein Un e nehmen ha im Rahmen de
Risikoiden i ika ion („Risikoin en u “) ü das kommende Wi scha sjah das olgenden
Risikopo olio zusammenges ell :
 Pe sonalübe hang:
Zu Abwicklung on G oßau ägen muss e das Un e nehmen sein Pe sonal an
Fachk ä en om Typ A und Typ B au s ocken. Die A bei en an den G oßau ägen
we den as das ganze kommende Wi scha sjah daue n. Soll e das Un e nehmen
keine gleichwe igen Anschlussau äge e hal en, wä e es gezwungen, den
Pe sonalübe hang wiede abzubauen. In diesem Fall müss e das Un e nehmen die neu
einges ell en Fachk ä e Typ A und Typ B wiede en lassen. Das Un e nehmen müss e

47
dann Ab indungen on 100.000 € (Fachk ä e Typ A) bzw. 40.000 € (Fachk ä e Typ B)
zahlen. Das Un e nehmen schä z die Wah scheinlichkei , keine gleichwe igen
Anschlussau äge zu e hal en, bei beiden Fachk ä e ypen au 30%.
 Fo de ungsaus all:
Das Un e nehmen ha im kommenden Wi scha sjah sechs Fo de ungen gegenübe
G oßkunden. Die Fo de ung gegenübe Kunde A be äg 300.000 €. Da Kunde A on
de Insol enz bed oh is , schä z das Un e nehmen die Aus allwah scheinlichkei mi
60% ein. Die Fo de ung gegenübe Kunde B be äg 200.000 €. Kunde B is eben alls
on de Insol enz bed oh , die Aus allwah scheinlichkei be äg 40%. Die Fo de ungen
gegenübe den es lichen ie Kunden C, D, E und F be agen jeweils 50.000 € und die
Aus allwah scheinlichkei wi d jeweils mi 2% angese z .
 Ha ung:
Du ch Fehle bei de P oduk ion bzw. beim Einbau on P oduk en sieh sich das
Un e nehmen Ha ungs isiken ausgese z . Es wi d geschä z , dass de Ve lus aus
diesen Ha ungs isiken im kommenden Wi scha sjah im bes case 0 €, im no mal case
100.000 € und im wo s case 300.000 € be äg .
 Un e nehmensbe eiligungen:
Das Un e nehmen ha d ei isiko eiche Un e nehmensbe eiligungen an den Fi men I, II
und III. Die Be eiligungen wu den au g und ih e lang is igen Pe spek i e e wo ben,
ku z is ig is abe mi Ve lus en zu echnen. Fü das kommende Wi scha sjah wi d ü
die Be eiligungen au g und on Analysen on olgenden e wa e en Ve lus en und
S anda dabweichungen ausgegangen:
Be eiligung an
E wa e e Ve lus in €
S anda dabweichung des
Ve lus es in €
Fi ma I
50.000
25.000
Fi ma II
30.000
25.000
Fi ma III
25.000
10.000
Im e s en Sch i we den ü die Ve lus e de Einzel isiken die olgenden Modellie ungen
gewähl :
48
Risiko
Gewähl e Modellie ung
Wah scheinlichkei s-
heo e isches Modell ü
den Ve lus 𝑿𝑿𝒊𝒊
Pe sonalübe hang
Typ A
De Ve lus be äg mi eine
Wah scheinlichkei on 30%
100.000 € und mi eine
Wah scheinlichkei on 70% 0 €
𝑋𝑋1=�0, 0,7
100.000, 0,3
Pe sonalübe hang
Typ B
De Ve lus be äg mi eine
Wah scheinlichkei on 30%
40.000 € und mi eine
Wah scheinlichkei on 70% 0 €
𝑋𝑋2=�0, 0,7
40.000, 0,3
Fo de ungsaus all
Kunde A
Die Fo de ung äll mi eine
Wah scheinlichkei on 60% aus.
Alle dings wi d nich in jedem
Fall on einem Ve lus in Höhe
on 300.000 € ausgegangen,
sonde n aus den E ah ungen
bei e gleichba en Fällen
we den un e schiedliche
Ve lus höhen abgelei e .
𝑋𝑋3=⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
300.000, 0,03
200.000, 0,12
100.000, 0,20
50.000, 0,25
0, 0,40
Fo de ungsaus all
Kunde B
Die Fo de ung äll mi eine
Wah scheinlichkei on 40% aus.
Alle dings wi d nich in jedem
Fall on einem Ve lus in Höhe
on 200.000 € ausgegangen,
sonde n aus den E ah ungen
bei e gleichba en Fällen
we den un e schiedliche
Ve lus höhen abgelei e .
𝑋𝑋4=⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
200.000, 0,01
100.000, 0,03
50.000, 0,17
20.000, 0,19
0, 0,60
Fo de ungsaus all
Kunde C, D, E, F
Die Ve lus e aus den ie
gleicha igen Risiken we den
mi hil e de Binomial e eilung zu
einem Risiko bzw. zu einem
Ve lus zusammenge ass . Dies
se z insbesonde e o aus, dass
die Ve lus e aus den ie Risiken
s ochas ische unabhängig sind.
𝑌𝑌 sei binomial e eil mi 𝑛𝑛= 4
und 𝑝𝑝= 0,02.
𝑋𝑋5=50.000 ∙𝑌𝑌
Ha ung
De Ve lus de Ha ung wi d mi
eine D eiecks e eilung mi dem
bes case 0 €, dem no mal case
𝑋𝑋
6
sei d eiecks e eil mi dem
bes case 𝑉𝑉= 0, dem no mal
49
100.000 € und dem wo s
300.000 € modellie .
case 𝑏𝑏=100.000 und dem
wo s case 𝑐𝑐=300.000.
Un e nehmensbe-
eiligungen
Die Ve lus e aus den d ei
Be eiligungen we den mi eine
gemeinsamen 3−dimensionalen
No mal e eilung modellie .
Dabei sei die Ko ela ionsma ix
gegeben du ch:
�1 0,6 −0,4
0,6 1 −0,3
−0,4 −0,3 1 �
Die Ve lus e aus den d ei
Be eiligungen we den mi hil e
de Va ianz-Ko a ianz-
Me hode zu einem Ve lus
zusammenge ass :
𝑋𝑋7 is no mal e eil mi
E wa ungswe 𝜇𝜇=105.000
und S anda dabweichung 𝜎𝜎=
41.833. (He lei ung siehe
un en)
Va ianz-Ko a ianz-Me hode zu Zusammen assung de Ve lus e aus den d ei
Un e nehmensbe eiligungen I, II und III.:
1. Die Ko ela ionsma ix is posi i de ini und dahe geeigne , da:
|1|= 1 > 0, �1 0,6
0,6 1 �= 0,64 > 0, �1 0,6 −0,4
0,6 1 −0,3
−0,4 −0,3 1 �= 0,534 > 0
2. E wa ungswe :
𝜇𝜇=50.000 +30.000 +25.000 =105.000
3. Va ianz und S anda dabweichung:
𝜎𝜎2=25.0002+25.0002+10.0002+ 2 ∙25.000 ∙25.000 ∙0,6
−2∙25.000 ∙10.000 ∙0,4 −2∙25.000 ∙10.000 ∙0,3 = 1.750.000.000
𝜎𝜎=√1.750.000.000 ≈41.833
Als wei e e Modellannahme wi d die olgende 7𝑥𝑥7−Ma ix Ρ als Ko ela ionsma ix
gewähl . Dabei s eh die 𝑖𝑖− e Zeile und 𝑖𝑖− e Spal e ü den Ve lus bzw. die
Zu alls a iable 𝑋𝑋𝑖𝑖,𝑖𝑖= 1,2, … ,7:
Ρ=
⎝
⎜
⎜
⎜
⎛
1,00 0,80 0,00 0,00 0,00 0,30 0,00
0,80 1,00 0,00 0,00 0,00 0,30 0,00
0,00 0,00 1,00 0,60 0,25 0,00 0,00
0,00 0,00 0,60 1,00 0,30 0,00 0,00
0,00 0,00 0,25 0,30 1,00 0,00 0,00
0,30 0,30 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00⎠
⎟
⎟
⎟
⎞
Anme kung: Da es sich hie um ein ik i es Beispiel handel , o ien ie en sich die
Ein äge nu beding an den ökonomischen Sach e hal en.
50
Die Ma ix is posi i de ini , dies kann du ch die Be echnung de
Haup un e de e minan en übe p ü we den. Zusä zlich muss übe p ü we den, dass
die gewähl en Ko ela ionskoe izien en jeweils in den du ch die F éche -Hoe ding-
Sch anken gegebenen In e allen liegen. Dazu we den diese Sch anken EDV-
echnisch e mi el . Dabei is zu beach en, dass dies bei den e wende en s e igen
Ve eilungen mi nume ischen Me hoden nu nähe ungsweise e olgen kann.
Die obe en und un e en G enzen ü die Ko ela ionskoe izien en sind in den beiden
olgenden Ma izen zusammenge ass .
Obe e G enzen:
Ρ𝑀𝑀=
⎝
⎜
⎜
⎜
⎛
1,0000 1,0000 0,8099 0,7347 0,4364 0,7972 0,7391
1,0000 1,0000 0,8099 0,7347 0,4364 0,7972 0,7391
0,8099 0,8099 1,0000 0,8706 0,6544 0,9132 0,8562
0,7347 0,7347 0,8706 1,0000 0,7102 0,7952 0,7576
0,4364 0,4364 0,6544 0,7102 1,0000 0,5518 0,5523
0,7972 0,7972 0,9132 0,7952 0,5518 1,0000 0,9654
0,7391 0,7391 0,8562 0,7576 0,5523 0,9654 1,0000⎠
⎟
⎟
⎟
⎞
Un e G enzen:
Ρ𝑀𝑀=
⎝
⎜
⎜
⎜
⎛
1,0000 −0,4286 −0,5614 −0,3772 −0,1870 −0,7317 −0,7392
−0,4286 1,0000 −0,5614 −0,3772 −0,1870 −0,7317 −0,7392
−0,5614 −0,5614 1,0000 −0,4940 −0,2450 −0,8480 −0,8564
−0,3772 −0,3772 −0,4940 1,0000 −0,1646 −0,6992 −0,7581
−0,1870 −0,1870 −0,2450 −0,1646 1,0000 −0,4561 −0,5528
−0,7317 −0,7317 −0,8480 −0,6992 −0,4561 1,0000 −0,9654
−0,7392 −0,7392 −0,8564 −0,7581 −0,5528 −0,9654 1,0000 ⎠
⎟
⎟
⎟
⎞
Somi liegen die gewähl en Ko ela ionskoe izien en alle in den du ch die F éche -
Hoe ding-Sch anken gegebenen In e allen. Insgesam is die Ko ela ionsma ix
somi zu Modellie ung de Abhängigkei ss uk u geeigne .
Da das Risikopo olio aus es sieben Einzel isiken bzw. Ve lus e bes eh und es somi
27−1=64 Ex emal-Ve eilungen gib , en häl das Gleichungssys em
�𝜆𝜆𝑘𝑘∙𝑉𝑉𝑘𝑘
64
𝑘𝑘=1 =Ρ
64 Va iablen. Die Anzahl de Gleichungen e gib sich aus de Anzahl de ele an en
Posi ionen in de Ko ela ionsma ix, diese be äg wegen de Symme ie de Ma ix
7∙6
2=21 ( ü die Nich -Diagonalelemen e) zuzüglich eine Gleichung ü die
Diagonalelemen e, also in Summe 22 Gleichungen.
Dieses linea e Gleichungssys em mi 64 Va iablen und 22 Gleichungen kann EDV-
echnisch mi dem Excel-Sol e gelös we den. Dabei sind im o liegenden Beispiel
lediglich 19 Va iablen des Lösungs ek o s 𝜆𝜆=(𝜆𝜆1,𝜆𝜆2,…,𝜆𝜆64) mi einem We g öße 0
beleg . Diese basie en au den Ex emal-Ve eilungen zu den olgenden Teilmengen 𝐼𝐼
de Indexmenge {1,2, … ,7}:
51
{1,2},{1,5},{1,7},{1,2,6},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,7},{1,2,5,7},
{1,2,6,7},{1,3,4,6},{1,2,3,5,6},{1,2,4,5,6},{1,2,4,6,7},{1,2,5,6,7},{1,3,4,5,6},{1,2,3,4,6,7},
{1,2,3,5,6,7},{1,2,4,5,6,7}
Da is sich um ein un e bes imm es linea es Gleichungssys em handel , gib es wei e e
Lösungen und es häng om Algo i hmus ab, welche Lösung bes imm wi d. Fe ne
kann es, wie im le z en Abschni gezeig wu de, sein, dass es keine Lösung gib . Dies
is z.B. de Fall, wenn man in de Ko ela ionsma ix Ρ ü den Ko ela ionskoe izien en
ρ34 den We =−0,4 ∈[−0,4940,08706] anse z und alle ande en We e un e ände
läss . Dann is die Ko ela ionsma ix Ρ zwa wei e hin posi i de ini , abe das obige
linea e Gleichungssys em ha keine nich nega i e Lösung.
Un e Ve wendung de Fo mel ü die Ve eilungs unk ion eine Ex emal-Ve eilung
max �0, �min
𝑖𝑖∈𝐼𝐼 𝐹𝐹𝑖𝑖(𝑥𝑥𝑖𝑖)+min
𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝑐𝑐𝐹𝐹𝑖𝑖�𝑥𝑥𝑖𝑖�−1��
können zunächs ü alle ( ele an en) Ex emal-Ve eilungen die Ve eilungs unk ionen
𝐺𝐺𝑘𝑘,𝑘𝑘= 1,2, … ,64 an ausgewähl en Punk en des 𝐼𝐼𝑉𝑉7 bes imm we den. Dabei we den
im o liegenden Fallbeispiel die beiden s e igen Modelle (D eiecks e eilung und
No mal e eilung) wiede um mi disk e en Modellen (jeweils 11 We e bzw. Klassen)
angenähe . Insgesam we den 60.500 Punk e im 𝐼𝐼𝑉𝑉7 be ach e . Diese Zahl e gib sich
au g und de Anzahl de möglichen We e in den e wende en sieben Modellen du ch
das P oduk 2∙2∙5∙5∙5∙11 ∙11.
Anschließend e häl man mi dem Lösungs ek o 𝜆𝜆=(𝜆𝜆1,𝜆𝜆2, … , 𝜆𝜆64) und de Gleichung
𝐺𝐺=�𝜆𝜆𝑘𝑘∙𝐺𝐺𝑘𝑘
64
𝑘𝑘=1
die passende gemeinsame Ve eilungs unk ion an den ausgewähl en S ü zs ellen.
Fü die Mon e-Ca lo-Simula ion wi d die Gesam wah scheinlichkei diese passenden
gemeinsamen Ve eilung 𝐺𝐺 au die einzelnen 60.500 Punk e au ge eil . Da 𝐺𝐺 eine
Ve eilung is , is sie insbesonde e ech ecksmono on. Mi hil e diese Eigenscha kann
jedem de 60.500 Punk e eine Einzelwah scheinlichkei zugeo dne we den. Je nach
gewähl e Rundung a iie hie bei die Anzahl de Punk e mi posi i e
Wah scheinlichkei .
In den beiden olgenden Übe sich en sind die E gebnisse de Mon e-Ca lo-Simula ion
zusammenges ell , einmal mi 50.000 Simula ionsläu en und einmal mi 1.000.000
Simula ionsläu en (ausge üh mi einem Delphi-P og amm). Die e s en beiden
Übe sich en en hal en jeweils eine Gegenübe s ellung de beobach e en und de
heo e ischen Kennzahlen: E wa ungswe , S anda dabweichung, 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 (=Value a
Risk) und 𝐸𝐸𝐸𝐸 (=Expec ed Sho all). Die d i e und ie e Übe sich en häl jeweils eine
Gegenübe s ellung on de beobach e en und de heo e ischen Ko ela ionsma ix.

52
Man e kenn anhand de Kennzahlen, dass die Modelle de sieben Einzel isiken mi
den Simula ionen gu abgebilde we den. Lediglich bei den beiden s e igen Modellen
gib es bei den Kennzahlen au g und de e wende en Nähe ungen eilweise
Abweichungen im eins elligen P ozen be eich. Die Abweichungen bezüglich de
Summe alle Risiken is beim E wa ungswe ge ing (Gese z de g oßen Zahlen). Die
Abweichungen bei den ande en d ei Kennzahlen be uhen au Di e si ika ionse ek en.
Die Abhängigkei ss uk u gegeben als Ko ela ionsma ix wi d du ch die Simula ionen
eben alls seh gu abgebilde , wobei du ch den Übe gang on 50.000 zu 1.000.000
Simula ionsläu en die Nähe ung signi ikan e besse wi d.
Die Simula ionse gebnisse können nun im Sinne IDW PS 340 n.F. dazu e wende
we den, die Risiko ag ähigkei eines Un e nehmens au Basis de be echne en
Risikomaße VaR und ES zu beu eilen. Mögliche S eue ungsmaßnahmen, z.B. de
Abschluss eine Fo de ungsaus alls e siche ung, können in die Modelle eingep leg
we den und de en Wi kung auch in Rela ion zu den mi eine Maßnahme e bundenen
Kos en analysie we den.
Dabei is alle dings zu beach en, dass es bei de o gegebenen Ko ela ionsma ix
neben de hie e wende en gemeinsamen Ve eilung noch wei e e gemeinsame
Ve eilungen geben kann, die dann abe bei den Risikomaßen zu un e schiedlichen
E gebnissen üh en we den.
53
Anzahl de
Simula ionen
50.000
Beobach e e
KENNZAHLEN
Risiko-N .
E wa ungswe
S anda dabweichung
VaR
ES
1
30.124,00
45.880,13
100.000,00
100.000,00
2
12.070,40
18.361,05
40.000,00
40.000,00
3
65.339,00
76.334,67
200.000,00
260.760,00
4
17.268,80
29.992,71
50.000,00
109.860,00
5
3.956,00
13.951,84
50.000,00
52.420,00
6
132.698,40
62.895,07
255.000,00
263.736,00
7
104.861,20
42.621,05
178.207,75
190.108,40
Gesam
366.317,80
149.125,71
643.207,75
780.247,34
Theo e ische
KENNZAHLEN
Risiko-N .
E wa ungswe
S anda dabweichung
VaR
ES
1
30.000,00
45.825,76
100.000,00
100.000,00
2
12.000,00
18.330,30
40.000,00
40.000,00
3
65.500,00
76.385,54
200.000,00
260.000,00
4
17.300,00
30.028,49
50.000,00
110.000,00
5
4.000,00
14.000,00
50.000,00
52.368,16
6
133.333,33
62.360,96
245.227,74
263.485,16
7
105.000,00
41.833,00
173.911,10
191.284,75
Summe
367.133,33
288.764,05
859.138,84
1.017.138,07
el.
Abweichung
KENNZAHLEN
Risiko-N .
E wa ungswe
S anda dabweichung
VaR
ES
1
0,41%
0,12%
0,00%
0,00%
2
0,59%
0,17%
0,00%
0,00%
3
-0,25%
-0,07%
0,00%
0,29%
4
-0,18%
-0,12%
0,00%
-0,13%
5
-1,10%
-0,34%
0,00%
0,10%
6
-0,48%
0,86%
3,98%
0,10%
7
-0,13%
1,88%
2,47%
-0,61%
Gesam /Summe
-0,22%
-48,36%
-25,13%
-23,29%
54
Anzahl de
Simula ionen
1.000.000
Beobach e e
KENNZAHLEN
Risiko-N .
E wa ungswe
S anda dabweichung
VaR
ES
1
29.999,10
45.825,39
100.000,00
100.000,00
2
12.020,68
18.339,32
40.000,00
40.000,00
3
65.606,45
76.410,71
200.000,00
260.380,00
4
17.318,09
30.035,63
50.000,00
110.077,00
5
4.018,45
14.034,06
50.000,00
52.404,00
6
133.329,06
62.913,87
255.000,00
263.921,40
7
105.015,30
42.604,22
178.207,75
190.101,96
Gesam
367.307,13
149.851,91
643.207,75
783.761,40
Theo e ische
KENNZAHLEN
Risiko-N .
E wa ungswe
S anda dabweichung
VaR
ES
1
30.000,00
45.825,76
100.000,00
100.000,00
2
12.000,00
18.330,30
40.000,00
40.000,00
3
65.500,00
76.385,54
200.000,00
260.000,00
4
17.300,00
30.028,49
50.000,00
110.000,00
5
4.000,00
14.000,00
50.000,00
52.368,16
6
133.333,33
62.360,96
245.227,74
263.485,16
7
105.000,00
41.833,00
173.911,10
191.284,75
Summe
367.133,33
288.764,05
859.138,84
1.017.138,07
el.
Abweichung
KENNZAHLEN
Risiko-N .
E wa ungswe
S anda dabweichung
VaR
ES
1
0,00%
0,00%
0,00%
0,00%
2
0,17%
0,05%
0,00%
0,00%
3
0,16%
0,03%
0,00%
0,15%
4
0,10%
0,02%
0,00%
0,07%
5
0,46%
0,24%
0,00%
0,07%
6
0,00%
0,89%
3,98%
0,17%
7
0,01%
1,84%
2,47%
-0,62%
Gesam /Summe
0,05%
-48,11%
-25,13%
-22,94%
55
Anzahl de
Simula ionen
50.000
Beobach e e
KORRELATIONSMATRIX
1,0000
0,7968
0,0041
0,0012
-0,0028
0,3013
-0,0117
0,7968
1,0000
-0,0008
-0,0025
-0,0056
0,2922
-0,0023
0,0041
-0,0008
1,0000
0,6107
0,2462
-0,0100
0,0059
0,0012
-0,0025
0,6107
1,0000
0,3072
-0,0087
-0,0009
-0,0028
-0,0056
0,2462
0,3072
1,0000
-0,0113
-0,0114
0,3013
0,2922
-0,0100
-0,0087
-0,0113
1,0000
-0,0145
-0,0117
-0,0023
0,0059
-0,0009
-0,0114
-0,0145
1,0000
Theo e ische
KORRELATIONSMATRIX
1,0000
0,8000
0,0000
0,0000
0,0000
0,3000
0,0000
0,8000
1,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,3000
0,0000
0,0000
0,0000
1,0000
0,6000
0,2500
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,6000
1,0000
0,3000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,2500
0,3000
1,0000
0,0000
0,0000
0,3000
0,3000
0,0000
0,0000
0,0000
1,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
1,0000
abs. Abweichung
KORRELATIONSMATRIX
0,0000
-0,0032
0,0041
0,0012
-0,0028
0,0013
-0,0117
-0,0032
0,0000
-0,0008
-0,0025
-0,0056
-0,0078
-0,0023
0,0041
-0,0008
0,0000
0,0107
-0,0038
-0,0100
0,0059
0,0012
-0,0025
0,0107
0,0000
0,0072
-0,0087
-0,0009
-0,0028
-0,0056
-0,0038
0,0072
0,0000
-0,0113
-0,0114
0,0013
-0,0078
-0,0100
-0,0087
-0,0113
0,0000
-0,0145
-0,0117
-0,0023
0,0059
-0,0009
-0,0114
-0,0145
0,0000
62
≤� |𝑥𝑥1|∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) ∙�� 𝑃𝑃(|𝑋𝑋2|≥−𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥2
−𝑠𝑠𝑚𝑚𝑥𝑥(𝑀𝑀,−𝑥𝑥1)
−∞ +�1 𝑑𝑑𝑥𝑥2
𝑥𝑥1
−𝑠𝑠𝑚𝑚𝑥𝑥(𝑀𝑀,−𝑥𝑥1)�𝑑𝑑𝑥𝑥1
∞
−∞
≤⏟
𝑈𝑈𝑛𝑛𝑠𝑠𝑈𝑈. 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑛𝑛 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑠𝑠𝑘𝑘𝑣𝑣𝑣𝑣�|𝑥𝑥1|∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) ∙�� 𝐸𝐸(𝑋𝑋22)
𝑥𝑥22 𝑑𝑑𝑥𝑥2
−𝑠𝑠𝑚𝑚𝑥𝑥(𝑀𝑀,−𝑥𝑥1)
−∞ +𝑥𝑥1+𝑚𝑚𝑉𝑉𝑥𝑥(𝑀𝑀,−𝑥𝑥1)�𝑑𝑑𝑥𝑥1
∞
−∞
=�|𝑥𝑥1|∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) ∙��−𝐸𝐸(𝑋𝑋22)
𝑥𝑥2�−∞
−𝑠𝑠𝑚𝑚𝑥𝑥(𝑀𝑀,−𝑥𝑥1)
+𝑥𝑥1+𝑚𝑚𝑉𝑉𝑥𝑥(𝑀𝑀,−𝑥𝑥1)�𝑑𝑑𝑥𝑥1
∞
−∞
=�|𝑥𝑥1|∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) ∙� 𝐸𝐸(𝑋𝑋22)
𝑚𝑚𝑉𝑉𝑥𝑥(𝑀𝑀,−𝑥𝑥1)+𝑥𝑥1+𝑚𝑚𝑉𝑉𝑥𝑥(𝑀𝑀,−𝑥𝑥1)�𝑑𝑑𝑥𝑥1
∞
−∞
=�|𝑥𝑥1|∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) ∙� 𝐸𝐸(𝑋𝑋22)
𝑚𝑚𝑉𝑉𝑥𝑥(𝑀𝑀,−𝑥𝑥1)+𝑥𝑥1+𝑚𝑚𝑉𝑉𝑥𝑥(𝑀𝑀,−𝑥𝑥1)�𝑑𝑑𝑥𝑥1
−𝑀𝑀
−∞ +
=�|𝑥𝑥1|∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) ∙� 𝐸𝐸(𝑋𝑋22)
𝑚𝑚𝑉𝑉𝑥𝑥(𝑀𝑀,−𝑥𝑥1)+𝑥𝑥1+𝑚𝑚𝑉𝑉𝑥𝑥(𝑀𝑀,−𝑥𝑥1)�𝑑𝑑𝑥𝑥1
∞
−𝑀𝑀
=�|𝑥𝑥1|∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) ∙�−𝐸𝐸(𝑋𝑋22)
𝑥𝑥1+𝑥𝑥1−𝑥𝑥1�𝑑𝑑𝑥𝑥1
−𝑀𝑀
−∞ +�|𝑥𝑥1|∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) ∙�𝐸𝐸(𝑋𝑋22)
𝑀𝑀+𝑥𝑥1+𝑀𝑀�𝑑𝑑𝑥𝑥1
∞
−𝑀𝑀
≤𝐸𝐸(𝑋𝑋22)∙� 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 𝑑𝑑𝑥𝑥1
−𝑀𝑀
−∞ +�𝐸𝐸(𝑋𝑋22)
𝑀𝑀+𝑀𝑀�∙� |𝑥𝑥1|∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 𝑑𝑑𝑥𝑥1
∞
−𝑀𝑀 +� 𝑥𝑥12∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 𝑑𝑑𝑥𝑥1
∞
−𝑀𝑀 <∞
Bei beiden Abschä zungen wi d die Ungleichung on Ma ko au die Zu alls a iable 𝑋𝑋2
und das zwei e Momen angewende ( gl. [16] S.281).

63
Sa z:
Seien 𝐺𝐺𝑘𝑘,𝑘𝑘= 1,2, … , 𝑚𝑚 und
𝐺𝐺=�𝜆𝜆𝑘𝑘∙𝐺𝐺𝑘𝑘
𝑠𝑠
𝑘𝑘=1
𝑛𝑛−dimensionale Ve eilungen, wobei 𝜆𝜆=(𝜆𝜆1,𝜆𝜆2,…,𝜆𝜆𝑠𝑠) ein Vek o mi nich nega i en
Gewich ungs ak o en und
�𝜆𝜆𝑘𝑘
𝑠𝑠
𝑘𝑘=1 = 1
sei. Fe ne sei ℎ:𝐼𝐼𝑉𝑉𝑛𝑛→𝐼𝐼𝑉𝑉 eine bezüglich 𝐺𝐺𝑘𝑘,𝑘𝑘= 1,2, … , 𝑚𝑚, in eg ie ba e Funk ion.
Dann is ℎ bezüglich 𝐺𝐺 in eg ie ba und es gil :
� ℎ 𝑑𝑑𝐺𝐺
𝐼𝐼𝐼𝐼𝑛𝑛=�𝜆𝜆𝑘𝑘∙� ℎ 𝑑𝑑𝐺𝐺𝑘𝑘
𝐼𝐼𝐼𝐼𝑛𝑛
𝑠𝑠
𝑘𝑘=1
Beweis:
Die In eg ie ba kei e gib aus die Addi i i ä on Maßen ( gl. [1] S.77) wie olg :
�|ℎ| 𝑑𝑑𝐺𝐺
𝐼𝐼𝐼𝐼𝑛𝑛=�� |ℎ| 𝑑𝑑(𝜆𝜆𝑘𝑘∙𝐺𝐺𝑘𝑘)
𝐼𝐼𝐼𝐼𝑛𝑛
𝑠𝑠
𝑘𝑘=1 =�𝜆𝜆𝑘𝑘∙� |ℎ| 𝑑𝑑(𝐺𝐺𝑘𝑘)
𝐼𝐼𝐼𝐼𝑛𝑛
𝑠𝑠
𝑘𝑘=1 <∞
Analog e gib sich die obige Fo mel:
� ℎ 𝑑𝑑𝐺𝐺
𝐼𝐼𝐼𝐼𝑛𝑛=�� ℎ 𝑑𝑑(𝜆𝜆𝑘𝑘∙𝐺𝐺𝑘𝑘)
𝐼𝐼𝐼𝐼𝑛𝑛
𝑠𝑠
𝑘𝑘=1 =�𝜆𝜆𝑘𝑘∙� ℎ 𝑑𝑑(𝐺𝐺𝑘𝑘)
𝐼𝐼𝐼𝐼𝑛𝑛
𝑠𝑠
𝑘𝑘=1
□
64
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Imp essum
Diese Ve ö en lichung e schein im Rahmen de Online-Publika ions eihe „Fo schung am i wKöln“.
Eine olls ändige Übe sich alle bishe e schienenen Publika ionen inde sich am Ende diese
Publika ion und kann
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- und Rech swissenscha en /
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Publika ionen we den hie du ch übe na ionale und in e na ionale Biblio hekska aloge,
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Goecke: Collec i e De ined Con ibu ion Plans – Back es ing Based on Ge man Capi al Ma ke Da a
1950 - 2022
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Knobloch, Miebs: Ak uelle He aus o de ungen an das ak ua ielle und inanzielle Risikomanagemen
du ch COVID-19 und die anhal ende Nied igzinsphase. P oceedings zum 16. FaRis & DAV-
Symposium am 10. Dezembe 2021
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Knobloch: Ein Po olio on inhomogenen Ma ko -Ke en mi Abhängigkei ss uk u
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zen alen G enzwe sa zes
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Kölne Ve siche ungssymposium am 14. No embe 2019
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Schmid : Küns liche In elligenz im Risikomanagemen . P oceedings zum 15. FaRis & DAV Symposium
am 6. Dezembe 2019 in Köln
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Ö en lichkei
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Rendi emaximie ung und Ve gleich mi klassischen Op imie ungsansä zen.
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Lösungsansä ze ü die K z-Ve siche ung. P oceedings zum 14. FaRis & DAV-Symposium am
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