Fo schung am IVW Köln, 5/2012
Ins i u ü Ve siche ungswesen
Spa p ozesse mi kollek i em
Risikoausgleich -
Simula ions echnungen
Oska Goecke
Zusammen assung
Beim kollek i en Spa en eil sich das gesam e Spa e mögen in zwei Teile:
Zum einen in die Summe de indi iduellen Spa gu haben und zum
ande en in ein kollek i es Spa e mögen (kollek i e Rese e), das nich
den einzelnen Spa e zuzu echnen is , sonde n de Ge
sam hei alle
Spa e . Die kollek i e Rese e wi d da ü e wende , ku z is ige
We schwankungen des angeleg en Spa e mögens auszugleichen: Bei
eine übe du chschni lich gu en Pe o mance des Gesam e mögens
wi d ein Teil de Kapi ale äge de kollek i en Rese e zuge üh . Bei eine
schlech en Pe o mance we den Teile de Rese e da ü e wende , eine
kon inuie liche We en wicklung de indi iduellen Gu haben siche zu
s ellen. Du ch den Au - und Abbau de kollek i en Rese e we den also die
Schwankungen am Kapi alma k ausgeglichen. In [Goecke 2011] wu de ein
zei s e iges Modell ü den kollek i en Spa p ozess o ges ell und
analysie . In de hie o liegenden A bei un e suchen wi zei -disk e e
Ve sionen des Modells, die wi mi Hil e on Mon e-Ca lo-Simula ionen
auswe en. Hie bei be echnen wi e schiedenen Rendi e-Risiko-P o ile
des kollek i en Spa ens und e gleichen diese mi en sp echenden
P o ilen ü nich -kollek i e Anlages a egien (Cons an -Mix-, Buy-and-
Hold- und CPPI-S a egien). De Ve gleich zeig einen kla en kompa a i en
Vo eil des kollek i en Spa ens.
Abs ac
Collec i e Sa ing means ha he o al asse s unde in es men a e spli
in o wo pa s: Fi s ly, he sum o all indi idual sa ings and secondly, a
collec i e ese e. The collec i e ese e is designed o smoo hen he
ola ile capi al ma ke e u ns: I he asse s pe o m abo e-a e age pa o
he capi al ma ke e u ns a e alloca ed o he collec i e ese e. On he
o he hand, capi al ma ke losses can be compensa ed by eleases om
he collec i e ese e. In [G
oecke 2011] we ha e p esen ed a ime
con inuous model o collec i e sa ing. In his pape we examine a disc e e
e sion. Using Mon e-Ca lo-simula ion me hods we de i e isk- e u n-
p o iles o collec i e sa ing p ocesses and compa e hese wi h he
co esponding p o iles o non-collec i e sa ing s a egies (cons an -mix-,
buy-and-hold- and CPPI-
s a egies). The compa ison shows a clea
compa a i e ad an age o collec i e sa ing p ocesses.
-
I -
Inhal s e zeichnis
Inhal s e zeichnis .......................................................................... I
1Ein üh ung .............................................................................. 2
2Modell zu Simula ion des kollek i en Spa p ozesses ............ 3
2.1Simula ion des Ma k po olios ...................................................... 3
2.2Simula ion des Asse -Liabili y-Managemen s ................................ 4
2.2.1Modellie ung des kollek i en Spa p ozesses im Basismodell ..................... 4
2.2.2Basis egel (linea es ALM-Modell) ............................................................... 7
2.2.3E wei e ung des Basismodells .................................................................... 11
3Risikop o il des kollek i en Spa en ...................................... 19
3.1Re e enzmodell .............................................................................. 19
3.2Kennzahlen .................................................................................... 25
3.2.1Kennzahlen de Rendi e bei Ablau ............................................................ 25
3.2.2Kennzahlen de We en wicklung – Auswe ung de P ade ...................... 26
3.3Un e suchung des Re e enzmodells (Cons an -Mix-S a egie) .... 28
3.3.1Rendi e- und Risiko-Kennzahlen in Abhängigkei on de Ak ienquo e ... 30
3.3.2Rendi e- und Risiko-Kennzahlen in Abhängigkei on Lau zei ............... 34
3.4Kollek i es Spa en ......................................................................... 38
3.4.1Un e suchung des Basismodells ................................................................. 38
3.4.2Rendi e-Risiko-P o ile ................................................................................ 50
3.4.3Va ian en des Basismodells ........................................................................ 59
4Zusammen assung und Ausblick .......................................... 65
Anhang: CPPI-S a egie .............................................................. 68
Li e a u ...................................................................................... 70
Abbildungs- und Tabellen e zeichnis ........................................ 71
Kon ak ........................................................................................ 76
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
-
2
-
SPARPROZESSE MIT KOLLEKTIVEM
RISIKOAUSGLEICH
SIMULATIONSRECHNUNGEN1
1 Ein üh ung
Diese Ausa bei ung is eine Fo se zung on [Goecke 2011]. Do wu de ein zei s e iges Mo-
dell ü das kollek i e Spa en en wickel und mi Hil e de Me hoden de Theo ie de S ochas-
ischen P ozesse analysie . Fü das ein ache zei s e ige linea e Modell2 lassen sich die esul-
ie enden s ochas ischen P ozesse explizi da s ellen; dies e möglich dann Aussagen übe
G enz e eilungen und Ruinwah scheinlichkei en. Abände ungen des linea en Modells esul-
ie in deu lich komplexe e s ochas ische P ozesse, die le z lich nu noch mi Mon e-Ca lo-
Ve ah en analysie we den können.
Ziel diese o liegenden A bei is es, das zei s e ige linea e Modell (und de en Va ian en) in
ein zei -disk e es Modell zu übe üh en, das dann mi Hil e on Mon e-Ca lo-Simula ionen
un e such we den kann. Indem wi beispielsweise eine mona liche Pe iodizi ä wählen,
kommen wi auch schon eine möglichen p ak ischen Umse zung des Modells des kollek i en
Spa ens seh nahe. Alle dings is es nich Ziel diese A bei , die P obleme bei de Umse zung
des kollek i en Spa ens in ein ma k ähiges P oduk zu e ö e n. Vielmeh soll de kompa a i-
e Vo eil des kollek i en Spa ens gegenübe nich -kollek i en Anlages a egien (Cons an -
Mix, Buy-and-Hold, CPPI) nachgewiesen we den.
Auch wenn diese A bei als Fo se zung de heo e ischen Vo a bei en in [Goecke 2011] zu
e s ehen is , haben wi dennoch e such , die G undbes and eile des kollek i en Spa en im
Abschni 2 übe blicksa ig da zus ellen, so dass de Lese auch ohne Kenn nisse des zei s e i-
gen G undmodells die zen alen Aussagen nach ollziehen kann. In Abschni 3 s ellen wi ein
Reihe on Kennzahlen zu Analyse on Spa p ozessen o . Im Wesen lichen geh es dabei
um den Zusammenhang on Rendi e und Risiko (das Rendi e-Risiko-P o il), wobei wi e -
schiedene Risikokonzep e un e suchen, insbesonde e solche, die den Anlege s ess abbilden
sollen. Im le z en Abschni wi d ku z au die P oblema ik eine p ak ischen Umse zung ein-
gegangen sowie au die o enen F agen.
1 Ich bedanke mich bei He n U ij Dolgo , de mich bei de E s ellung zahl eiche G a iken un e s ü z ha .
2 [Goecke 2011] S. 15 .
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
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3
-
2 Modell zu Simula ion des kollek i en Spa p ozesses
2.1 Simula ion des Ma k po olios 3
Fü den Kapi alma k legen wi das (S anda d-) Black-Scholes-Modell zug unde: De Anlege
kann sein Kapi al au zwei Anlagen e eilen, eine siche e und eine isikobeha e e Anlage.
Die isikobeha e e Anlage bes eh da in, dass de Anlege in das Ma k po olio
M
P
in es-
ie , ü das gel e


( ) ( )
M
M M M
dP P d dW
P V

 mi (0) 1
M
P
(Gl. 2-1)
bzw.


( ) exp
M
M M
P W
P V
 .
mi 2
1
2
:
M
M M
P P
V

, die D i des Ma k po olios und 0
M
V
!.


0
W is hie ein S anda d-
Wiene -P ozess. Fü die siche e Anlage ( )
A
gel e:
( ) ( )dA A d
P
mi (0) 1A bzw.


( ) expA
P
(Gl. 2-2)
De Kapi alma k wi d somi eindeu ig du ch die Pa ame e
P
siche e Zins4
M
V
Vola ili ä des Ma k po olios
M
P
D i des Ma k po olios
bes imm . Fe ne de inie en wi
:M
SR
M
P
P
V

 (Sha pe-Ra io).
Beme kung
Is 00
V
! , 0
P

 und sei
 
0
( )
P ein wei e es Po olio, ü das gil :


0 0
( ) ( )
dP P d dW
P V

 mi (0) 1P
,
so e laub dieses Po olio im obigen Black-Scholes-Modell genau dann keine A bi age,
wenn 0 0 SR
P
P V

.5
3 Fü die echnische Realisie ung we den zwei S anda d-P og amme eingese z : EXCEL-VBA (Ve sion 7.0)
und MATHEMATICA (Ve sion 8.0.0.0). Beide P og amme en hal en Tools zu E zeugung on (Pseudo-) Zu-
allszahlen, au die hie zu ückgeg i en wi d.
4 Im Folgenden we den wi , sowei nich s ande es gesag wi d, s e s mi Zinsin ensi ä en a bei en; ein Zins (als
Zinsin ensi ä ) on 0.03 en sp ich somi einem (gewöhnlichen) Jah eszins on exp(0.03)-1 = 3.0455%.

Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
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4
-
So e n nich s ande es gesag wi d, wollen wi bei Zahlenbeispielen olgende Da en un e s el-
len: 3%
P
, 20%
M
V
, 8%
M
P
, 2
1
26%
M M M
P P V

 und 0.25
M
SR
M
P
P
V

.
Fü die olgenden Simula ions echnungen eilen wi den Be ach ungsho izon [0, ]T (dabei
messen wi T in Jah en) in äquidis an e Zei abschni e
[0, ],[ , 2 ],[2 , 3 ],...,[ , ]T T' ' ' ' ' ' .
und simulie en die zu un e suchenden s ochas ischen P ozesse abschni sweise. Wi üh en
einige Bezeichnungen ein:
PpJ: Anzahl de Pe ioden p o Jah (meis PpJ =12 ü Mona swe e)
1
:PpJ 
' : kleins e Zei einhei bei de Simula ion
:N T PpJ : Anzahl de Zei abschni e des Be ach ungsho izon s [0, ]T.
 
k
Z
: Folgen s ochas isch unabhängige no mal- e eil e Zu alls a iablen mi 0
k
Z

und Va k
Z
'.
W: (disk e isie e ) S anda d-Wiene -P ozess ü {0, , 2 , ...}

' ' ; eku si de inie
du ch: 0: 0W und ( 1)
:
k k k
W W Z
'  '
 ü 1,2,...k
.
( )
M
P : Ma k po olio zum Zei punk {0, ,2 , ...}

' ' ; eku si de inie du ch:
(0) : 1
M
P und


1
( ) : ( ) exp
M M M M k
P P Z
P V

 ' '  , hie bei is k ' .
Es gil :
 
( ) exp
M
M M
P W
P V
 .
2.2 Simula ion des Asse -Liabili y-Managemen s
2.2.1 Modellie ung des kollek i en Spa p ozesses im Basismodell
Zu Da s ellung des kollek i en Spa p ozesses gehen wi on olgendem e ein ach en Bi-
lanzschema aus ( gl. Abb. 2-1):
5 Vgl. [Goecke 2011] S. 9 .
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
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5
-
ABBILDUNG 2 -1: Ve ein ach es Bilanzschema
Wi un e s ellen, dass zum Zei punk 0
be ei s ein Spa e kollek i exis ie . Das Gesam -
e mögen (Zei we de Asse s) zu Beginn be age 0
(0)P P
, die Summe alle indi iduellen
Gu haben (Ve siche engu haben) be age 0
(0)V V
; ü den kollek i en Risikoausgleich s e-
he eine An angs ese e on 0 0 0
R
P V  zu Ve ügung.
Wi be ach en den Anlageho izon [0, ]T und simulie en die Ak i - und Passi sei e de Bi-
lanz in den Zei punk en 0, , 2 , ..., T N ' ' ' .
P( ): We de Kapi alanlage (des Po olios) des Spa e kollek i s zum Zei punk
V( ): We de indi iduellen Gu haben alle Spa e zum Zei punk
R( ):= P( ) - V( ) We de Rese e (kollek i es Gu haben) zum Zei punk .
Zusä zlich de inie en wi die Log-Rese equo e
( ) ( ) ( )
( ): ln ln 1
( ) ( ) ( )
P R R
V P P
U
§ · § ·
  |
¨ ¸ ¨ ¸
© ¹ © ¹ .
De Übe gang on de „no malen“ Rese equo e ( )
( )
R
P
zu Log-Rese equo e6 e ein ach die
Da s ellung und e klä sich insbesonde e aus de Analyse des zei s e igen Modells.7
De kollek i e Spa p ozess wi d du ch die Regeln des Asse -Liabili y-Managemen s (ALM)
besch ieben. Das ALM bes eh da in, dass zu Beginn jede Pe iode [ , ]  ' es geleg wi d:
welche An eil ( ) [0,1]
E
 de Kapi alanlagen in das Ma k po olio (Ak ien) angeleg
wi d. Wi bezeichnen ( )
E
als die Ak ienquo e und
( ) : ( )
M
V
E V
als die Risikoexposi ion.
6 Im Folgenden we den wi au das P ä ix Log e zich en und mi Rese equo e s e s die eben de inie e Log-
Rese equo e meinen.
7 [Goecke 2011] Abschni 2.3.
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
-
6
-
mi welchem Zins ( )
K
die indi iduellen Ve siche engu haben o gesch ieben we -
den; ( )
K
bezeichnen wi als die Dekla a ion zum Zei punk . Man kann on eine Vo-
aus-Dekla a ion sp echen, da be ei s zum Zei punk die Ve zinsung ü die Folgepe i-
ode es s eh . Eine In es i ion in V( ) kann also als eine lokal siche e Anlage be ach e
we den.
Die Bes immung de Risikoexposi ion is Au gabe des Asse -Managemen s. , wäh end die Be-
s immung de Dekla a ion bzw. de Ve wendung de Rese e die Au gabe des Liabili y-
Managemen is . E olg beides, so wie hie da ges ell , simul an, so kann man zu Rech on
ALM sp echen.
Ha man die Ak ienquo e und die Dekla a ion es geleg , so gil :
     
 
( ) ( ) exp ( 1 ( ) exp
( )
( ) exp ( )
( )
M M
P W W
P
V
V
E
P V E P
K
'
 ' '     '
 ' '
(Gl. 2-3)
Beme kung:
Man beach e, dass bei de so es geleg en Disk e isie ung des zei s e igen Modells im Zei ab-
schni [ , ]  ' das Po olio eine Buy-and-Hold-S a egie olg . Dies bedeu e , dass im
Zei in e all [ , ] ' die Ak ienquo e ( )
E
bzw. die Risikoexposi ion ( )
V
bezogen au die
ak uellen Ma k we e nich kons an is . Eine al e na i e Disk e isie ung des zei s e igen Mo-
dells bes eh da in, ü das Zei in e all [ , ]

' eine Cons an -Mix-S a egie mi gleichblei-
bende Ak ienquo e/ Risikoexposi ion zu un e s ellen. Dann gil ü die Fo sch eibung des
Anlage e mögens ( )P :
 
( ) exp ( ) ( )(
( )
P W W
P
P V
'
 ' '   mi 2
1
2
( ) : ( ) ( )
SR
P P V V
  .
Wi d in diese Weise o gesch ieben, so läss sich die Ve ände ung de Rese equo e beson-
de s ein ach da s ellen, denn es gil dann




( ) ( ) ( ) ( ) ( )
W W
U U P K V
'
 '  '    .
Diese Disk e isie ung komm zwa dem zei s e igen Modell nähe (insbesonde e sind die pe-
iodischen We ände ungen logno mal- e eil ), sie is abe inso e n „un ealis isch“, da eine
Cons an -Mix-S a egie eine zei s e ige Umschich ung zwischen Ak ienanlage und siche e
Anlage o ausse z . Insbesonde e wenn man das Modell au his o ische Kapi alma k da en
anwenden möch e, is somi diese A de Disk e isie ung nich möglich.
Wähl man 1
12
' und 1T , so is bei eine Mon e-Ca lo-Simula ion de Un e schied zwi-
schen beiden Fo men de Disk e isie ung kaum wah nehmba .
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
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7
-
Im Folgenden s ellen wi einige Managemen -Regeln ü das ALM des kollek i en Spa p o-
zesses o . Als Managemen -Regel e s ehen wi eine Vo sch i , die zum Zei un e Beach-
ung de -Ve gangenhei (insbesonde e un e Beach ung de im Zei punk beobach e en Re-
se equo e ( )
U
) die Ak ienquo e ( )
E
und Dekla a ion ( )
K
es leg .
2.2.2 Basis egel (linea es ALM-Modell)
En scheidende S eue ungsg öße de Basis egel is die Höhe de zule z beobach e en Rese e-
quo e im Ve gleich zu s a egischen Ziel ese equo e.
Wi de inie en
0
Ziel
U
!: Ziel ese equo e; es wi d un e s ell , dass die ALM-S a egie da au abziel ,
diese Rese equo e (zumindes im E wa ungswe ) zu e eichen.
ˆ( ) : ( )
Z
iel
U
U U
 : Abweichung de ak uellen Rese equo e on Ziel ese equo e.
ˆ ˆ
: 0
M
V
V V
 d : s a egische Risikoexposi ion, ˆ
ˆ:
M
V
E
V
bezeichnen wi en sp echend
als die s a egische Ak ienquo e.
Im linea en ALM-Modell wi d die Risikoexposi ion ( )
V
und die Dekla a ion ( )
K
an die je-
weilige Abweichung on de Ziel ese equo e gekoppel . Fü 0, 0a
T
se zen wi
 
ˆ
ˆ
( ) max ( ), 0 a
V V U
 (Gl. 2-4)
ˆ
( ) ( ) ( )
K
P T U
 , hie bei is 2
1
2
( ): ( ) ( )
SR
P P V V
  . (Gl. 2-5)
Falls also ˆ( ) 0
U
(d.h. Is -Rese equo e = Ziel ese equo e), wi d die s a egische Risiko-
exposi ion ˆ
V
gewähl und ü die Dekla a ion gil : 2
1
2
ˆ ˆ
( ) SR
K
P V V
  . Allgemein gil :
2
1
2
( ) ( ) ( )
SR
P P V V
  is die e wa e e Rendi e eines Po olios, das im Zei abschni
[ , ]  ' eine Cons an -Mix-S a egie mi eine in [ , ]

' gleichbleibenden Risikoexposi i-
on on ( )
V
olg . (Gl. 2-4) besch eib die ak ische Asse -Alloka ion; en sp echend können
wi 2
1
2
ˆˆ ˆ
:SR
K
P V V
  als s a egische Dekla a ion und (Gl. 2-5) als ak ische Dekla a ion
bezeichnen.
Die Pa ame e a und
T
s eue n die Anpassungsgeschwindigkei mi de die Risikoexposi ion
bzw. die Dekla a ion an die ak uelle Rese equo e angepass wi d. Falls 0a wollen wi on
eine einen Liabili y-Managemen -S a egie (LM-S a egie) sp echen, denn die Risikoexposi-
ion und dami die Ak i sei e wi d in diesem Fall nich ak i ges eue .
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
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ABBILDUNG 2 -8: Volle Umschich ung in Ren enpapie e bei Un e sch ei ung on min
U
.
ABBILDUNG 2 -9: Beg enzung au die maximale Risikoexposi ion
ABBILDUNG 2 -10: Kombina ion Umschich ung in Ren enpapie e und Maximie ung de
Risikoexposi ion
0%
2%
4%
6%
0%
10%
20%
30%
40%
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
RQ/Ak ienexp.
EndeVe siche ungsjah
The a=0.1|a=0.3
0%
2%
4%
6%
0%
10%
20%
30%
40%
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
RQ/Ak ienexp.
EndeVe siche ungsjah
The a=0.1|a=0.3
0%
2%
4%
6%
0%
10%
20%
30%
40%
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
EndeVe siche ungsjah
The a=0.1|a=0.3

Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
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15
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ABBILDUNG 2 -11: Ve zinsung des Anlagepo olios ü Regeln 2.), 3.) und die ih e Kom-
bina ion.
Sol abili ä sg enze ü die Dekla a ion
Ziel diese Modi ika ion is es, die Dekla a ion nach oben so zu beg enzen, dass „mi g oße
Wah scheinlichkei “ eine o gegebene Mindes ese equo e nich un e sch i en wi d. Diese
Modi ika ion is al e na i ode e gänzend zu de zule z besp ochenen Regel (Be ücksich i-
gung eine Mindes ese equo e)
Bei de Fes legung de Dekla a ion nach de Basis egel is zunächs die e wa e e Rendi e des
Po olios bei Zug undelegung de Risikoexposi ion ( )
V
zu bes immen. Wi se zen also
2
1
2
( ): ( ) ( ) ( )
SR
P P V V
  und bezeichnen mi ( )
K
die lau ende Dekla a ion; die Ge-
sam dekla a ion is dann ( ) ex a
K
K
. Die olgenden Regeln besch eiben die Fes legung de
lau enden Dekla a ion
1. ˆ
( ) ( ) ( )
K
P T U
c
m  mi


max
ˆ( ): min ( ),
Z
iel
U U U U
c  ,
2.
 
max min
min ( ),
( ) max ( ), ( ) ( )
DD
u
D
U U U
K K P V
§ ·

m  
¨ ¸
¨ ¸
''
© ¹
3.


min
( ) max ( ),
K K K
m und


max
( ) min ( ),
K K K
m
Zu Regel 1 (Basis egel): Du ch den Übe gang au ˆ( )
U
c
wi d de E ek de Sonde ausschü -
ung ex a
K
bei übe schießende Rese e be ücksich ig . Fü die Rese equo e nach Sonde aus-
schü ung gil


max
( ): min ( ),
U U U
c .
100%
120%
140%
160%
180%
200%
220%
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Po oliowe
EndeVe siche ungsjah
Umschich unginSA Kombina ionbeide S . Beg enzungde AQ
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
-
16
-
Zu Regel 2 (
D
-Quan il-Maximie ung): Diese Regel is du ch olgende Übe legungen mo i-
ie . Die Dekla a ion ü die Dekla a ionspe iode [ , ]
D

' soll so gewähl sein, dass mi
seh g oße Wah scheinlichkei am Ende de Dekla a ionspe iode die Mindes ese equo e
min
U
nich un e sch i en wi d. Bezeichne 1
D

das anges eb e Siche hei sni eau, so muss
Folgendes gel en:
min
( )
ln 1
( )
D
D
P
V
U
D
§ ·
§ ·
 ' ! 
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
 '
© ¹
© ¹
P
Hie bei soll un e s ell we den, dass ü die gesam e Dekla a ionspe iode [ , ]
D
 ' die Risi-
koexposi ion ( )
V
be äg . Nach eine gg . gil ü die Rese equo e zu Beginn de Pe iode:
 
max
( )
( ) ln min ( ),
( )
P
V
U U U
§ ·
c
¨ ¸

© ¹ .
Es gil
( ) ( )
( ) ( ) ˆ
ln ln ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
D D
D D
D D
P P
P V Z
V V V P
U K P V
§ · § ·
 '  '
c
 '  ' 
¨ ¸ ¨ ¸
 '   '
© ¹ © ¹
mi eine no mal e eil en Zu alls a iablen ˆ
Z
mi ˆ
( ) 0Z
 und ˆ
Va ( )
D
Z ' . Somi olg :
 
 
   
   
   
min
min
min
min
min
( )
ln 1
( )
ˆ
( ) ( ) ( ) ( ) 1
ˆ( ) ( ) ( ) 1
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
D
D
D
D
D D
D
D
D
D
P
V
Z
Z
u
D
U D
U
P K V U D
K P U U
D
V
K P U U D
V
U U K P
V
§ ·
§ ·
 ' ! 
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
 '
© ¹
© ¹
c
  '   ! 
§ ·
c
'   
 ! 
¨ ¸
¨ ¸
' '
© ¹
§ ·
c
'   
 ) d
¨ ¸
¨ ¸
'
© ¹
c  ' 
 d '
P
P
P
Also gil :
min
2
min 1
2
( )
ln 1
( )
( )
( ) ( ) ( )
D
D
SR
DD
P
V
u
D
U D
U U
K P V V
§ ·
§ ·
 ' ! 
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
 '
© ¹
© ¹
§ ·
c
 d    
¨ ¸
¨ ¸
''
© ¹
P
(Gl. 2-6)
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
-
17
-
(Gl. 2-6) können wi als Fundamen al-Bedingung des ALM bezeichnen; diese Ungleichung
zeig den undamen alen Zusammenhang zwischen den zen alen S eue ungsg ößen des
ALM-P ozesses, nämlich de Risikoexposi ion ( )
V
(Asse -Managemen ) und de Dekla a i-
on ( )
K
(Liabili y-Managemen ).11
Zu Regel 3 (Minimal./ Maximalzins): Die Beg enzung de Dekla a ion bezieh sich nu au die
lau ende Dekla a ion nich au die Sonde ausschü ung zu Beg enzung de Rese equo e.
Ve anschaulichung de Wi kungsweise de Managemen egeln zu Dekla a ion
ABBILDUNG 2 -12: Basis egel
ABBILDUNG 2 -13:
D
-Quan il-Maximie ung ( 9 ,5%1 9
D

)
ABBILDUNG 2 -14: Minimale Dekla a ion = 1,75% , Maximale Dekla a ion = 5%
11 Vgl. [Goecke 2011] S. 12 .
Ͳ2%
0%
2%
4%
6%
8%
10%
Ͳ5%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Dekla a ion
RQ/Ak ienexp.
EndeVe siche ungsjah
Ͳ10%
Ͳ5%
0%
5%
10%
15%
Ͳ5%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Dekla a ion
RQ/Ak ienexp.
EndeVe siche ungsjah
0%
1%
2%
3%
4%
5%
6%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Dekla a ion
RQ/Ak ienexp.
EndeVe siche ungsjah
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
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18
-
ABBILDUNG 2 -15: Sonde ausschü ung , max 18%
U
ABBILDUNG 2 -16: Kombina ion on:
D
-Quan il-Maximie ung ( 9 ,5%1 9
D

) und
Sonde ausschü ung , max 18%
U
ABBILDUNG 2 -17: Kombina ion on:
D
-Quan il-Maximie ung (9 ,5%1 9
D

), Son-
de ausschü ung mi max 18%
U
und min max
1,75%, 5%
U
U
Ͳ5%
0%
5%
10%
15%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Dekla a ion
RQ/Ak ienexp.
EndeVe siche ungsjah
Ͳ10%
Ͳ5%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Dekla a ion
EndeVe siche ungsjah
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Dekla a ion
EndeVe siche ungsjah
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
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19
-
3 Risikop o il des kollek i en Spa en
Wi un e suchen in diesem Kapi al das Rendi e-Risiko-P o il ü das oben da ges ell e Modell
des kollek i en Spa ens. Hie bei we den wi o allem Mon e-Ca lo-Simula ionen auswe en.
Die Rendi e we den wi in alle Regel als Mi elwe de Rendi en de beobach e en Ablau -
leis ungen bes immen. Das Risiko we den wi mi els un e schiedliche Konzep e messen; un-
e Rendi e-Risiko-P o il e s ehen wi den Zusammenhang (da ges ell als G aph) zwischen
de jeweiligen Risiko-Kennzahl und de Rendi e.
3.1 Re e enzmodell
Als Re e enzmodell wählen wi die Anlage in einen In es men onds mi eine Cons an -Mix-
S a egie (CM-S a egie), d.h. wi un e s ellen ü die We en wicklung des Fonds:
 
 
2
1
0 0 0 0
2
( ) exp SR
F F W
P V V V
  
mi eine gleichbleibenden Risikoexposi ion 0
M
V
V
d
. Wi bezeichnen 0
0
M
V
E
V
als die Ak-
ienquo e.
Beme kungen:
1. Eine Cons an -Mix-S a egie ha zum Ziel, dass nach Ma k we en die Ak ienquo e s e s
kons an bleib . Woll e man also die Cons an -Mix-S a egie du ch eine Mischung on si-
che e Anlage und Anlage in das Ma k po olio ealisie en, so müss e pe manen um-
schich en. Vgl. hie zu die Beme kung in Abschni 2.2.1.
2. Im S anda d-Black-Scholes-Modell ( gl. Abschni 2.1) be ach en wi eine zusä zliche
Kapi alanlage mi de Auszahlungs unk ion


ˆ ˆ
( ) (0)exp
X X W
P V
 . De um die An-
lagemöglichkei X( ) e wei e e Kapi alma k is genau dann a bi age ei, wenn gil :
2
1
2
ˆ ˆ ˆ
SR
P
P V V
  . Falls also 2
1
2
ˆ ˆ ˆ
SR
P
P V V
  , so kann die Kapi alanlage ( )
X
au -
g und de Volls ändigkei des S anda d-Black-Scholes-Modells du ch eine (dynamische)
Mischung aus siche e Anlage und Anlage in das Ma k po olio eplizie we den.
Au G und de besonde s ein achen Da s ellung de Cons an -Mix-S a egie kann die Ve ei-
lung de Rendi e explizi angegeben we den. Im Folgenden wollen wi un e de Rendi e bei
Ablau s e s die Rendi e (als annualisie e Zinsin ensi ä ) e s ehen, nämlich
20
1
0 0
2
0
1 ( )
( , ) : ln SR T
F T
F T W
T F T
V
P P V V
§ ·
  
¨ ¸
© ¹ .

Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
-
20
-
Die Zu alls a iable ( , )F T
P
is also no mal e eil mi


2
1
0 0
2
( , ) SR
F T
P P
V V
  und
 
2
0
Va ( , )F T T
V
P
. Die S anda dabweichung be äg also:
   
0
STD ( , ) := Va ( , )F T F T T
V
P P
.


2
1
0 0
2
( , ) SR
F T
P P
V V
  is die e wa e e Rendi e de Ablau leis ung. Man beach e,
dass die Rendi e de e wa e en Ablau leis ung hie on abweich . Es gil nämlich ü die e -
wa e e Ablau leis ung
   


0 0
( ) exp SR
F T F T
P V

und somi gil ü die Rendi e de e wa e en Ablau leis ung:
 
 


0
0
( )
1
( ) ln SR
F T
F T
T F
P
P V
§ ·

¨ ¸
© ¹

.
Fü Ve gleichszwecke we den wi auch eine Buy-and-Hold-S a egie (B&H-S a egie) un e -
suchen. Hie bei wi d zu Beginn des Anlageho izon es eine Ak ienquo e [0,1]
E
 gewähl
und de An eil
E
wi d in das Ma k po olio und de es liche An eil (1
E
) wi d siche an-
geleg . Is 0
F das An angs e mögen, so gil ü das Ve mögen zum Zei punk T:


 
0
( ) (1 ) exp( ) exp M M T
F T F T T W
E P E P V
  
Im Un e schied zu CM-S a egie is die Rendi e bei Ablau bei de B&H-S a egie nach un-
en du ch eine Mindes endi e besch änk , denn ü die Rendi e bei Ablau gil :
 
 
1 ln(1 )
( , ) ln (1 ) exp( ) exp M M T
F T T T W
T T
E
P E P E P V P

    .
Schließlich wollen wi auch das Rendi e-Risiko-P o il eine Cons an -P opo ion-Po olio-
Insu ance-S a egie (CPPI-S a egie) be ach en. Wi un e scheiden hie zwei Va ian en, je
nachdem, ob die Ak ienanlage au das o handene Ve mögen beg enz is ode nich .12
Sowohl ü die B&H- also auch ü die CPPI-S a egie (in de Va ian e ohne Besch änkung
de Ak ienanlage) lassen sich die Dich e unk ionen de Rendi e-Ve eilungen explizi da s el-
len.
Die olgenden G aphiken zeigen die Ve eilung de Ablau leis ungen bei eine Einmalanlage
on 01F ü eine Lau zei on 5 bzw. 20 Jah en. Die Dich e unk ionen de Ablau leis ung
12 Vgl. Anlage
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
-
21
-
können ü die CM-, die B&H- und auch ü die CPPI-S a egie (ohne Besch änkung de Ak-
ienanlage) explizi angegeben we den. Fü die CPPI-S a egie mi Besch änkung de Ak ien-
anlage is in de Abbildung die (en sp echend skalie e) Häu igkei s e eilung da ges ell , die
au de G undlage on 50.000 Simula ionen e echne wu de.
Die Abbildungen machen die Schwie igkei en deu lich, das Rendi e-Risiko-P o il eine Kapi-
alanlage da zus ellen, selbs wenn man ausschließlich au die Ablau leis ung Bezug nimm
und die We en wicklung unbe ücksich ig läss . Insbesonde e mi Blick au die CPPI-
S a egie13 zeig sich, dass die e wa e e Ablau leis ung nu unzu eichend die Ren abili ä ei-
ne Kapi alanlage wide gib . Bei einem Ve iel äl ige on m= 2.5 e gib sich bei eine Lau -
zei on T = 20 Jah en eine du chschni liche Ablau leis ung on 11.0 ( gl. Tabelle 1), dies
en sp ich eine Rendi e on und 12 %. Die e wa e e Rendi e be äg im gleichen Beispiel
alle dings nu 5.23%.
13 In de Va ian e 2, bei de u.U. die Ak ienanlage eilweise du ch K edi e inanzie wi d – gl. Anlage.
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
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22
-
ABBILDUNG 3 -1: Ve eilung de Ablau leis ung bei eine Lau zei on T=5 (oben) bzw.
T=20 (un en) und eine Ak ienquo e on 0.5
E
(Cons Mix/ Buy&Hold) bzw. einem
Hebel on m= 2.5 (CPPI Va ian e 1 und 2).
Im Hinblick au die Mi elwe e bzw. Median sind die 4 da ges ell en Anlages a egien in e -
wa e gleichba (siehe Tabelle 1 und 2); im Hinblick au die Ve eilung de Ablau leis ung
bzw. de Rendi en ( gl Abb. 3-1 und 3-2) zeigen sich jedoch g a ie ende Un e schiede. Somi
wi d kla , dass eine einzige Risikokennzahl wie z.B. die S anda dabweichung, Sho all-
Wah scheinlichkei en ode Quan le nu unzu eichend das Rendi e-Risikop o il abbilden kann.
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
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23
-
T = 5 T = 20
E = 25%50%75%100%25%50%75%100%
Cons .Mix Mi elw. 1,23681,31651,40141,49182,33963,00423,85744,9530
Median 1,22911,28401,32481,34992,28192,71833,08023,3201
Buy&Hold Mi elw. 1,24431,32681,40931,49182,60483,38764,17034,9530
Median 1,20881,25581,30291,34992,19662,57112,94563,3201
T = 5 T = 20
m = 1.01.52.02.51.01.52.02.5
CPPI
(Va . 1)14
Mi elw. 1,20731,23611,26711,29373,24104,21064,56534,6165
Median 1,18751,18861,17901,16142,49852,56252,82972,8940
CPPI
(Va 2)
Mi elw. 1,20781,23551,26681,30233,2348 4,6845 7,074711,0155
Median 1,18801,18801,17891,16182,4980 2,4980 2,22651,8221
Tabelle 1 Mi elwe und Median de Ablau leis ung ü eine Einmalanlage bei eine
Lau zei on 5 und 20 Jah en in Abhängigkei on de Ak ienquo e (be echne e We e).
14 We e ü die CPPI-S a egie (Va ian e 1) wu den mi Hil e on Simula ionen bes imm (jeweils 50000 Sim.
mi 250 Pe ioden p o Jah )
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
-
30
-
Risikoexposi ion0
V
5%10%15%20%
Rendi ede Ablau leis ung
Mi elwe 4,1250% 5,0000% 5,6250% 6,0000%
Median4,1250% 5,0000% 5,6250% 6,0000%
S andabweichung1,1180% 2,2361% 3,3541% 4,4721%
1%ͲQuan il1,5241% Ͳ0,2019% Ͳ2,1778% Ͳ4,4037%
5%ͲQuan il2,2860% 1,3220% 0,1080% Ͳ1,3560%
25%ͲQuan il3,3709% 3,4918% 3,3627% 2,9836%
75%ͲQuan il4,8791% 6,5082% 7,8873% 9,0164%
95%ͲQuan il5,9640% 8,6780% 11,1420% 13,3560%
99%ͲQuan il6,7259% 10,2019% 13,4278% 16,4037%
0%ͲSho all0,0112% 1,2674% 4,6766% 8,9856%
1%ͲSho all0,2594% 3,6819% 8,3961% 13,1776%
2%ͲSho all2,8673% 8,9856% 13,9901% 18,5547%
P adͲVola195% 10% 15% 20%
Tabelle 3 Rendi ekennzahlen ü eine Einmalanlage bei eine Lau zei on 20 Jah en in
Abhängigkei on de Ak ienquo e (be echne e We e)
Bei de Bes immung de oben einge üh en Kennzahlen MDD und MRT g ei en wi au Simu-
la ions echnungen zu ück.20 Bei einem Spa plan mi egelmäßig gleichbleibenden Spa a en
we den wi g undsä zlich alle Kenng ößen mi Hil e de Simula ions echnungen (nähe ungs-
weise) be echnen.
Wi wollen im Folgenden zunächs da s ellen, wie einzelne Kennzahlen on de Risikoexpo-
si ion (bzw. Ak ienquo e) und on de Lau zei abhängen. Alle Be echnungen basie en au
Mon e-Ca lo-Simula ionen.
3.3.1 Rendi e- und Risiko-Kennzahlen in Abhängigkei on de Ak ienquo e
Die olgende Abbildung zeig einige S anda d-Quan ile in Abhängigkei on de Ak ienquo e.
Hie bei wu de eine es e Lau zei on 20T
(Jah en) mi mona liche Anpassung ( 1
12
'
).
Bei eine Ak ienquo e on 75% muss de Kapi alanlege bei eine Lau zei on 20 Jah en bei-
spielsweise dami echnen, dass mi und 5%-ige Wah scheinlichkei die Ablau endi e un e
0.14% wi d.
19 Annualisie e Vola ili ä de beobach e en Mona s endi en (Mi elwe übe alle simulie en P ade) – gl. Ab-
schni 2.2.2.
20 De E wa ungswe des Maximum D awdown eine geome ischen B ownschen Bewegung läss sich explizi
angeben und kann mi nume ischen Me hoden be echne we den, gl. [Magdon-Ismail e.a. 2004].

Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
-
31
-
ABBILDUNG 3 -4: Rendi ekennzahlen ü eine Einmalanlage (oben) bzw. Spa plan (un-
en) bei eine Lau zei on 20 Jah en in Abhängigkei on de Ak ienquo e (50000 Si-
mula ionen).
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
-
32
-
Einmalbei ag
Ak ienquo e25% 50% 75% 100%
Rendi ede Ablau leis ung
Mi elwe 4,13% 4,99% 5,66% 6,00%
Median4,13% 4,99% 5,64% 6,03%
S andabweichung1,12% 2,24% 3,36% 4,45%
1%ͲQuan il1,55% Ͳ0,18% Ͳ2,11% Ͳ4,43%
5%ͲQuan il2,30% 1,31% 0,16% Ͳ1,33%
25%ͲQuan il3,38% 3,48% 3,41% 3,00%
75%ͲQuan il4,89% 6,51% 7,91% 8,99%
95%ͲQuan il5,96% 8,69% 11,23% 13,30%
99%ͲQuan il6,74% 10,25% 13,53% 16,30%
0%ͲSho all0,01% 1,25% 4,56% 8,91%
1%ͲSho all0,25% 3,73% 8,19% 13,10%
2%ͲSho all2,67% 9,12% 13,78% 18,55%
Tabelle 4 Rendi ekennzahlen ü eine Einmalanlage bei eine Lau zei on 20 Jah en in
Abhängigkei on de Ak ienquo e (50000 Simula ion)
lau ende Spa bei ag
Ak ienquo e25% 50% 75% 100%
Rendi ede Ablau leis ung
Mi elwe 4,15% 5,04% 5,78% 6,19%
Median4,15% 5,07% 5,84% 6,31%
S andabweichung1,25% 2,50% 3,72% 4,94%
1%ͲQuan il1,19% Ͳ0,88% Ͳ3,14% Ͳ6,02%
5%ͲQuan il2,08% 0,88% Ͳ0,43% Ͳ2,16%
25%ͲQuan il3,31% 3,37% 3,31% 2,97%
75%ͲQuan il4,99% 6,74% 8,28% 9,52%
95%ͲQuan il6,19% 9,08% 11,83% 14,10%
99%ͲQuan il7,02% 10,76% 14,22% 17,20%
0%ͲSho all0,07% 2,36% 6,25% 10,74%
1%ͲSho all0,69% 5,50% 10,03% 14,61%
2%ͲSho all4,34% 11,22% 15,47% 19,41%
Tabelle 5 Rendi ekennzahlen ü einen Spa plan mi mona lich gleichbleibenden
( o schüssigen) Spa a en bei eine Lau zei on 20 Jah en in Abhängigkei on de Ak-
ienquo e (50000 Simula ionen)
Ve gleich man die E gebnisse de Simula ion in Tabelle 4 mi den be echne en We en de
Tabelle 3, so sind die ela i en Un e schiede dann nich zu e nachlässigen, wenn nu wenige
We e ü die Beobach ung zu Ve ügung s ehen, wie zum Beispiel bei de Schä zung de
0%-Sho all-Wah scheinlichkei en. Eine wenn auch ge inge sys ema ische Abweichung de
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
-
33
-
simulie en E gebnisse gegenübe den be echne en We en e gib sich auch aus dem Ums and,
dass bei de Simula ion keine eine Cons an -Mix-S a egie e olg wi d, sonde n on Pe io-
de zu Pe iode eine Buy-and-Hold-S a egie ge echne wi d ( gl. Abschni 1.3.1). Insgesam
kann man jedoch es s ellen, dass die Simula ionen gu e Annähe ungen an die exak en We e
lie e n.
Bei einem Spa plan e geben sich bei gleiche Ak ienquo e e was höhe e du chschni liche
Rendi e bei Ablau gegenübe einem Einmalin es men . Ve gleich man alle dings in Abbil-
dung 3-4 (bzw. in den Tabellen 4 und 5) die Quan ile bei eine Einmalanlage mi denen eines
Spa plans, so sieh man, dass sich die Quan ile bei einem Spa plan e was s ä ke sp eizen.
Somi zeigen die Be echnungen auch, dass die e mein lichen Segnungen des Cos A e age-
E ek s zumindes hin e ag we den müssen.21 Füh man Rendi e und Risiko zu einem Ren-
di e-Risiko-P o il zusammen, so zeig sich, dass sich eine Einmalanlage und ein Spa plans
kaum un e scheiden – gl. Abbildung 3-5.
ABBILDUNG 3 -5: Ve gleich des Rendi e-Risiko-P o ils zwischen eine Einmalanlage und
einem Spa plan bei eine Lau zei on T =20 Jah en. Es we den ü die Ak ienquo en
E
= 25%, 50%, 75% und 100% jeweils die S anda dabweichung und de Mi elwe de
Rendi e bei Ablau in Beziehung gese z . (50000 Sim.)
Die olgende Tabelle 6 zeig die Risikokennzahlen des Ve lau s, nämlich P ad-Vola, MDD
und MRT, in Abhängigkei on de Ak ienquo e.
21Vgl. [Alb ech / Dus/ Mau e 2002]
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
-
34
-
  
MaxD awdown
(Mi elwe )
MaxReco e yTime
inMona en
(Mi elwe )
Ak ienͲ
quo e
Rendi e
(Mi elwe )
P adͲVola22
(Mi elwe )
EinmalͲ
bei ag
Spa Ͳ
plan
EinmalͲ
bei ag
Spa Ͳ
plan
25%4.14%5.01%9.72%4.80%39.7911.31
50%5.09%10.01%23.73%14.51%66.1224.40
75%5.79%14.99%36.62%25.06%81.7734.82
100%6.20%19.97%48.09%35.41%93.2243,76
Tabelle 6 P ad-Vola/ MaxD awdown/ MaxReco e y Time bei eine Lau zei on
T= 20 Jah en in Abhängigkei on de Ak ienquo e (50000 Simula ionen).
Bei eine Ak ienquo e on 50% be äg die mi le e maximale E holungsphase bei einem
Spa p ozess 24.40 Mona e; ein Spa e wi d also im Mi el eine Spa phase on meh als 2 Jah-
en du chlau en, ohne dass sein Ve so gungskapi al ( o z egelmäßige Spa bei äge) einen
zu o e eich en Ve mögenss and wiede e eich .
3.3.2 Rendi e- und Risiko-Kennzahlen in Abhängigkei on Lau zei
Fü die olgenden Be echnungen un e s ellen wi eine gleichbleibende Ak ienquo e on 50%
und un e suchen die Abhängigkei de Rendi e-/ Risiko-Kennzahlen on de Lau zei T des
Ve ages, jeweils ü den Fall eine Einmalanlage und eines Spa plans mi kons an en Spa a-
en.
Wi be ach en zunächs die Quan ile in Abhängigkei zu Lau zei . In Abb. 3-6 wu de au de
x-Achse die Res lau zei einge agen, um deu lich zu machen, dass ü einen Spa e (In es o )
die Unsiche hei hinsich lich Rendi e (bezogen au die Res lau zei ) zunimm . Dies is die
Mo i a ion ü sogenann e Li e-Cycle-S a egien, bei de zum Ende des In es i ionszei aums
die Risikoexposi ion zu ückge ah en wi d. Abbildung 3-6 bzw. Tabellen 7 und 8 zeigen alle -
dings auch den Glä ungse ek in de Zei : Je länge de Anlageho izon , des o besse läss
sich die Ablau endi e abschä zen. Die Un e schiede zwischen eine Einmalanlage und einem
Spa plan sind nich seh ausgep äg .
22 Annualisie e Vola ili ä de beobach e en Mona s endi en (Mi elwe übe alle simulie en P ade) – gl. Ab-
schni 2.2.2.
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
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35
-
ABBILDUNG 3 -6: Quan ile de Ablau endi e ü eine Einmalanlage (oben) bzw. Spa -
plan (un en) bei Ak ienquo e on 50% in Abhängigkei on de Res lau zei T (50000
Simula ionen).

Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
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36
-
Einmalanlage
Mi elͲ Quan ile
Twe 1%5%25%Median75%95%99%
15.03% Ͳ18.22% Ͳ11.33% Ͳ1.76% 4.95% 11.85% 21.55%28.53%
24.98% Ͳ11.34% Ͳ6.69% 0.18% 4.95% 9.75% 16.73%21.50%
34.99% Ͳ8.39% Ͳ4.50% 1.07% 4.97% 8.92% 14.51%18.45%
55.02% Ͳ5.31% Ͳ2.32% 2.01% 5.02% 8.00% 12.37%15.43%
75.04% Ͳ3.74% Ͳ1.17% 2.46% 5.01% 7.61% 11.27%13.89%
105.00% Ͳ2.29% Ͳ0.18% 2.88% 5.00% 7.13% 10.14%12.32%
155.00% Ͳ1.01%0.71% 3.26% 4.99% 6.76% 9.24%11.07%
205.00% Ͳ0.18%1.34% 3.48% 5.00% 6.51% 8.70%10.25%
305.00%0.72%1.98% 3.76% 4.99% 6.23% 8.01%9.30%
405.01%1.29%2.41% 3.93% 5.01% 6.08% 7.61%8.68%
Tabelle 7 Kennzahlen zu Rendi e bei Ablau (Einmalbei ag, kons an e Ak ienquo e:
50%) in Abhängigkei on de Lau zei (50000 Simula ionen).
Spa planmi gleichbleibendenmona lichen o schüssigenRa en
Mi elͲ Quan ile
Twe 1%5%25%Median75%95%99%
15.06% Ͳ21.11% Ͳ13.45% Ͳ2.62% 4.97% 12.73% 23.78%31.65%
25.02% Ͳ13.64% Ͳ8.26% Ͳ0.42% 5.01% 10.48% 18.32%23.70%
35.04% Ͳ10.34% Ͳ5.92% 0.54% 5.10% 9.52% 15.86%20.25%
55.07% Ͳ6.96% Ͳ3.38% 1.68% 5.09% 8.46% 13.42%16.84%
75.07% Ͳ5.15% Ͳ2.05% 2.21% 5.08% 7.99% 12.07%14.99%
105.07% Ͳ3.41% Ͳ0.84% 2.67% 5.10% 7.50% 10.86%13.24%
155.05% Ͳ1.87%0.22% 3.10% 5.09% 7.03% 9.77%11.69%
205.06% Ͳ0.82%0.92% 3.39% 5.09% 6.74% 9.10%10.73%
305.05%0.24%1.68% 3.71% 5.08% 6.42% 8.32%9.65%
405.05%0.92%2.16% 3.91% 5.07% 6.23% 7.84%8.97%
Tabelle 8 Kennzahlen zu Rendi e bei Ablau (Spa plan, kons an e Ak ienquo e: 50%)
in Abhängigkei on de Lau zei (50000 Simula ionen).
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
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37
-
EinmalanlageSpa plan
S dͲ Sho allͲWah sch. S dͲ Sho allͲWah sch.
Tabw.<0%<1%<2%abw.<0%<1%<2%
110.04%31.05%34.65%38.56% 11.34% 32.89% 36.18%39.58%
27.10%24.16%28.88%33.86% 8.07% 26.70% 30.97%35.39%
35.80%19.49%24.64%30.47% 6.63% 22.46% 27.20%32.34%
54.46%12.93%18.38%24.95% 5.09% 15.91% 21.01%26.95%
73.79%9.07%14.33%21.35% 4.30% 11.76% 17.07%23.44%
103.14%5.58%10.13%16.94% 3.57% 7.93% 12.91%19.61%
152.60%2.66%6.25%12.45% 2.91% 4.34% 8.33%14.76%
202.24%1.21%3.56%8.99% 2.49% 2.24% 5.32%11.03%
301.84%0.33%1.50%5.10% 2.02% 0.72% 2.50%6.77%
401.59%0.10%0.59%2.86% 1.73% 0.24% 1.11%4.11%
Tabelle 9 Kennzahlen zu Rendi e bei Ablau (Einmalbei ag bzw. Spa plan mi gleich-
bleibenden Spa a en, kons an e Ak ienquo e 50%) in Abhängigkei on de Lau zei
(50000 Simula ionen).
Abhängigkei de Risikokennzahlen on de Lau zei
Schließlich wollen wi noch ü das Re e enzmodell de Cons -Mix-S a egie die Risikokenn-
zahlen (P ad-Vola, MaxD awdown und MaxReco e yTime) in Abhängigkei on de Lau zei
da s ellen. Wi gehen hie jeweils on eine gleichbleibenden Ak ienquo e on 50% aus – gl.
Abb. 3-7 und Tabelle 10. Die Tabelle 10 zeig dabei, dass ü ku ze Lau zei en die P ad-Vola
nied ige is als de heo e ische We ( gl. Tabelle 3); dies e klä sich aus de Ta sache, dass
wi bei den Simula ionen 12 Teilpe ioden p o Jah zug unde legen; dies is ü ku ze Lau zei-
en eine e häl nismäßig g obe Un e eilung.
ABBILDUNG 3 -7: MaxD awdown und MaxReco e yTime bei eine Ak ienquo e on 50%
in Abhängigkei on de Lau zei T (50000 Simula ionen).
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
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38
-


P adͲVola
(Mi elwe )
MaxD awdown
(Mi elwe )
MaxReco e yTime
(Mi elwe )
T
EinmalͲ
bei ag
Spa planEinmalͲ
bei ag
Spa plan
19.78%7.10% 0.00% 6.19 0.00
29.91%10.22% 0.31% 11.68 0.29
39.94%12.31% 1.55% 16.63 1.17
59.98%15.10% 4.08% 25.21 3.22
79.99%17.13% 6.06% 32.68 5.63
109.99%19.31% 8.46% 42.40 9.61
1510.00%21.83% 11.79% 55.51 16.76
2010.01%23.67% 14.45% 66.19 24.31
3010.01%26.30% 18.54% 82.94 39.15
4010.01%28.12% 21.64% 95.42 53.13
Tabelle 10 P ad-Vola/ MaxD awdown / MaxReco e yTime bei eine gleichbleibenden
Ak ienquo e on 50% in Abhängigkei on de Lau zei (50000 Simula ionen).
3.4 Kollek i es Spa en
3.4.1 Un e suchung des Basismodells
Allen Be echnungen legen wi das in Abschni 2.1. da ges ell e Kapi alma k modell zug un-
de, wobei wi das Modell mi 0.03, 0.2, 0.25
M SR
P
V
kalib ie en. Des Wei e en wäh-
len wi 1
12
' , d.h. wi we en die Kapi alma k en wicklung mona lich aus und e lauben eine
mona liche Anpassung de Asse -Alloka ion und de Dekla a ion. Das Basismodell wi d ein-
deu ig du ch die Managemen pa ame e
T
, a, ˆ
V
,
Z
iel
U
sowie die S a ese e (0)
U
be-
s imm .
Basismodell mi eine LM-S a egie
Wi be ach en zunächs den Fall 0a
, d.h. es wi d lediglich die Dekla a ion angepass wäh-
end die Risikoexposi ion kons an gehal en wi d. Dies bedeu e , dass die Kapi alanlage de
Ak i sei e eine Cons an -Mix-S a egie olg . Fe ne nehmen wi an, dass die Dekla a ion
mona lich (d.h. 12DpJ
) e olg .
Wi un e s ellen 0
Z
iel
U
U
- zum S a zei punk gehen wi also on eine ausgeglichenen Re-
se eposi ion aus. Da die Wahl de Dekla a ion nich on de absolu en Höhe de Rese e,
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
-
39
-
sonde n on ˆ( ) ( )
Z
iel
U
U U
 abhäng , is im Basismodell die Simula ion unabhängig on
de Wahl on
Z
iel
U
, solange zum S a zei punk jeweils 0
Z
iel
U
U
gil .
Wi un e suchen zunächs den Ein luss de (gleichbleibenden) Risikoexposi ion ˆ
V
, was eine
Ak ienquo e on ˆ
ˆ
M
V
E
V
en sp ich .
Einmalbei ag
Risikoexpos.ˆ
V
0.050.10.150.2
Ak ienquo eˆ
E
25%50%75%100%
Rendi ede Ablau leis ung
Mi elwe 4.15%5.00% 5.60% 5.99%
Median4.16%5.01% 5.60% 6.02%
S andabweichung1.01%2.01% 3.04% 4.00%
1%ͲQuan il1.73%0.33% Ͳ1.51% Ͳ3.45%
5%ͲQuan il2.49%1.72% 0.63% Ͳ0.64%
25%ͲQuan il3.47%3.65% 3.56% 3.36%
75%ͲQuan il4.82%6.35% 7.63% 8.69%
95%ͲQuan il5.80%8.26% 10.56% 12.65%
99%ͲQuan il6.49%9.80% 12.81% 15.57%
0%ͲSho all0.00%0.69% 3.23% 6.92%
1%ͲSho all0.11%2.27% 6.29% 10.70%
2%ͲSho all1.77%6.71% 11.72% 15.93%
P adͲVola0.55%1.09% 1.64% 2.20%
Tabelle 11 Rendi ekennzahlen ü eine Einmalanlage (kollek i es Spa en) bei eine
Lau zei on T = 20 Jah en in Abhängigkei on de Ak ienquo e (a= 0, 0.4
T
,
10.000 Simula ionen)
Man kann zeigen, dass im zei s e igen Modell im Fall a= 0 die Rendi e de Ablau leis ung
bei eine Einmalanlage no mal e eil is mi 23
 
2
1
2
1 ( ) 1 exp( )
ˆ ˆ
ln (0)
(0) SR Ziel
V T T
T V T
T
P V V U U
§ ·
§ ·  
   
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
© ¹

 


21 exp( ) 1 exp( )
ˆ
1 ( )
Va ln 1
(0) 2
T T
V T
T V T T
T T
V
T
§ ·    § ·
§ · 
¨ ¸ ¨ ¸
¨ ¸
© ¹ © ¹
© ¹ .
23 Vgl. [Goecke 2011] P oposi ion 4.1
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
-
46
-
Einmalanlagelau ende Spa bei ag
s a eg.AQˆ
E
50% 50% 50% 50% 50%50%
Anpassungspa .a0.6 0.6 0.6 0.6 0.60.6
Anpassungspa .
T
0.2 0.3 0.4 0.2 0.30.4
du chschni l.AQ43.3%% 45.4% 46.6% 43.3%% 45.4%46.6%
Rendi ede Ablau leis ung
Mi elwe 4.63% 4.67% 4.79% 4.62% 4.68%4.82%
Median3.96% 4.06% 4.29% 3.80% 3.93%4.17%
S andabweichung2.27% 2.36% 2.40% 2.59% 2.68%2.73%
1%ͲQuan il1.89% 1.54% 1.22% 1.65% 1.27%0.92%
5%ͲQuan il2.24% 2.01% 1.84% 2.01% 1.75%1.56%
25%ͲQuan il3.05% 3.01% 3.06% 2.83% 2.79%2.84%
75%ͲQuan il5.53% 5.71% 6.00% 5.57% 5.82%6.19%
95%ͲQuan il9.45% 9.40% 9.47% 10.11% 10.14%10.23%
99%ͲQuan il12.36% 12.80% 12.30% 13.82% 13.78%13.42%
0%ͲSho all0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00%0.01%
1%ͲSho all0.00% 0.06% 0.43% 0.00% 0.30%1.33%
2%ͲSho all1.95% 4.86% 6.89% 4.82% 8.54%10.05%
P adͲVola270.79% 1.03% 1.26% 0.79% 1.03%1.26%
Tabelle 17 Rendi ekennzahlen bei eine Lau zei on T = 20 Jah en in Abhängigkei
om Anpassungspa ame e {0.2, 0.3, 0.4}
T

– kollek i es Spa en (10000 Sim.)28
Einmalanlagelau ende Spa bei ag
s a eg.AQˆ
E
50%50%50%50%50%50%
Anpassungspa .a0.60.60.60.60.60.6
Anpassungspa .
T
0.20.30.40.20.30.4
MaxD awdown
Mi elwe 0.00%0.07%0.69%0.00%0.00%0.00%
Median0.00%0.24%0.87%0.00%0.00%0.00%
MaxReco e yTime
Mi elwe 0.009.3724.620.000.000.01
Median0.006.0020.00000
Tabelle 18 MaxD awdown und Max Reco e yTiem wäh end des Anlagezei aumes on
20 Jah en (10000 Sim.).
27 Annualisie e Vola ili ä de beobach e en Mona s endi en (Mi elwe übe alle simulie en P ade) – gl. Ab-
schni 2.2.2.
28 Da die Einmalanlage und de Spa plan au de Basis des selben Simula ionslau ens ausgewe en wu den,
s immen die du chschni lichen Ak ienquo en und die P ad-Vola ili ä en übe ein.

Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
-
47
-
Abhängigkei de Rendi e-/Risiko-Kennzahlen on de Lau zei
Wi wollen nun noch die Abhängigkei on de Lau zei T da s ellen. Hie bei legen wi ü
das kollek e Spa en die olgenden Pa ame e zug unde: 0
ˆ0.1, 0.15
Ziel
V
U U
, sowie
0.3
T
und 0.6a . Bei diese Wahl de Pa ame e is die Ruinwah scheinlichkei seh ge-
ing und lieg selbs bei 40-jäh ige Lau zei un e 0.5% ( gl. Tabelle 22).
ABBILDUNG 3 -10: Quan ile de Ablau endi e ü eine Einmalanlage (oben) und eine Spa -
plan (un en) kollek i es Spa en ( 0
ˆ0.1, 0.15
Ziel
V
U U
, 0.3
T
, a = 0.6), 10000 Sim.)
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
-
48
-
Einmalanlage
Mi elͲ Quan ile
Twe 1%5%25%Median75%95%99%
14.92%1.59%2.30% 3.51% 4.65% 6.03% 8.47%10.56%
24.87%1.13%1.79% 3.06% 4.39% 6.10% 9.75%12.73%
34.82%0.96%1.60% 2.86% 4.19% 6.12% 10.34%13.62%
54.81%0.92%1.52% 2.69% 4.00% 6.03% 11.02%14.78%
74.75%1.02%1.57% 2.68% 3.91% 5.95% 10.96%14.77%
104.78%1.17%1.70% 2.77% 3.94% 5.93% 10.76%14.69%
154.72%1.37%1.86% 2.92% 4.06% 5.85% 9.96%13.71%
204.67%1.49%1.98% 2.99% 4.10% 5.71% 9.44%12.59%
304.67%1.77%2.23% 3.20% 4.23% 5.66% 8.72%11.01%
404.72%1.98%2.45% 3.39% 4.36% 5.68% 8.23%10.44%
Tabelle 19 Kennzahlen zu Rendi e bei Ablau in Abhängigkei on de Lau zei (Ein-
malanlage. 0
ˆ0.1, 0.15, 0.3, 0.6
Ziel a
V
U U T
. 10.000 Sim.).
lau ende Spa bei ag
Mi elͲ Quan ile
Twe 1%5%25%Median75%95%99%
14.89%0.93%1.67% 3.13% 4.48% 6.25% 9.47%12.02%
24.82%0.56%1.21% 2.65% 4.12% 6.25% 10.98%14.83%
34.77%0.47%1.06% 2.36% 3.87% 6.26% 11.73%16.02%
54.72%0.52%1.03% 2.27% 3.68% 6.03% 12.36%16.97%
74.73%0.60%1.11% 2.30% 3.67% 5.99% 12.41%16.77%
104.77%0.81%1.32% 2.47% 3.77% 6.04% 11.73%16.23%
154.66%1.05%1.55% 2.62% 3.83% 5.81% 10.78%14.91%
204.72%1.23%1.75% 2.80% 4.00% 5.96% 10.20%13.79%
304.71%1.55%2.05% 3.08% 4.18% 5.80% 9.23%12.01%
404.73%1.78%2.27% 3.27% 4.29% 5.80% 8.62%10.86%
Tabelle 20 Kennzahlen zu Rendi e bei Ablau in Abhängigkei on de Lau zei (Spa -
plan. 0
ˆ0.1, 0.15, 0.3, 0.6
Ziel a
V
U U T
. 10.000 Sim.).
Hie wi d die besonde e Cha ak e is ik des kollek i en Spa ens deu lich; wäh end nämlich bei
einem Fondsspa en (Cons an -Mix-S a egie) zum Ende des Anlagezei aums sich de Quan-
ils-T ich e ö ne ( gl. Abb. 3-6) is e beim kollek i en Spa en nahezu gleichbleibend eng
(Abb. 3-10, die Skalie ung wu de aus G ünde de Ve gleichba kei gegenübe de Abb. 3-6
beibehal en). Dies is aus Sich de Spa e ein e wünsch e E ek , da e zum Ende de Lau -
zei imme wenige die Möglichkei ha , sich au eine Ve ände ung seines Ve so gungsni-
eaus einzus ellen.
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
-
49
-
Einmalanlagelau ende Spa bei ag
S dͲ Sho allͲWah sch. S dͲ Sho allͲWah sch.
Tabw.<0%<1%<2%abw.<0%<1%<2%
11.91%0.00%0.15% 2.70% 2.40% 0.03% 1.13%8.28%
22.46%0.00%0.57% 7.04% 3.05% 0.06% 3.20%14.80%
32.77%0.00%0.94% 10.12% 3.36% 0.08% 4.44%18.78%
52.98%0.00%1.01% 11.89% 3.54% 0.06% 4.57%20.13%
73.02%0.00%1.14% 11.33% 3.53% 0.01% 3.75%18.95%
102.89%0.00%0.54% 9.74% 3.34% 0.00% 2.00%16.15%
152.60%0.00%0.17% 7.16% 2.96% 0.00% 0.85%12.07%
202.38%0.00%0.07% 5.04% 2.71% 0.00% 0.29%8.78%
302.02%0.00%0.00% 2.45% 2.26% 0.00% 0.04%4.41%
401.79%0.00%0.00% 1.14% 2.00% 0.00% 0.00%2.21%
Tabelle 21 Kennzahlen zu Rendi e bei Ablau in Abhängigkei on de Lau zei
(0
ˆ0.1, 0.15, 0.3, 0.6
Ziel a
V
U U T
, 10000 Sim.).

 

P adͲVola
MaxD awdown
(Mi elwe )
MaxReco e yTime
(Mi elwe )
T
RuinͲ
Wah sch.EinmalͲ
anlage
lau ende 
Spa beiͲ
ag
EinmalͲ
anlage
lau ende 
Spa beiͲ
ag
10,00%0.42% 0.00% 0.00% 0.040.00
20,00%0.54% 0.01% 0.00% 0.310.00
30,02%0.61% 0.01% 0.00% 0.800.00
50,04%0.71% 0.03% 0.00% 1.970.00
70,04%0.79% 0.05% 0.00% 3.090.00
100,12%0.88% 0.08% 0.00% 4.790.00
150,19%0.96% 0.13% 0.00% 7.220.00
200,20%1.04% 0.17% 0.00% 9.280.00
300,29%1.12% 0.23% 0.00% 12.700.02
400,42%1.17% 0.28% 0.00% 15.310.19
Tabelle 22 Risikokennzahlen in Abhängigkei on de Lau zei ( ˆ0.1
V
, 0
Z
iel
U
U
=
0.15, 0.3
T
, a= 0.6, 10000 Sim.)
Ve gleich man die We e de Tabellen 21 und 22 mi den ko espondie enden We en ü ei-
ne Cons -Mix-S a egie (Tabellen 9 und 10), so zeig sich die Übe legenhei des kollek i en
Spa ens – zumindes im Hinblick au die hie e wende en Risikokennzahlen. Be ach e man
die S anda dabweichung de Ablau endi e, so zeig sich, dass bei langen Daue n, das kollek-
i e Spa en keinen Vo eil b ing , dass abe zum Ende des Spa p ozesses, also bei kü ze en
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
-
50
-
Lau zei en bei kollek i en Spa en die S anda dabweichung sink , wäh end bei de Cons -Mix-
S a egie diese s eig .
3.4.2 Rendi e-Risiko-P o ile
Zu Illus a ion des Zusammenhangs on Rendi e und Risiko wollen wi im Folgenden di e -
se Anlages a egien in einem Rendi e-Risiko-Diag amm da s ellen. Hie bei besch änken wi
uns au den Fall de Einmalanlage und wählen als Rendi e-Kennzahl jeweils den Mi elwe
de beobach e en Rendi en. Als Risiko-Kennzahl wählen wi al e na i :
die S anda dabweichung de beobach e en Rendi en bei Ablau
Vola ili ä des Rendi e-P ades (P ad-Vola) (Mi elwe de beobach e en P ad-Volas)
Maximum D awdown wäh end de Lau zei (Mi elwe de beobach e en MDDs)
Maximum Reco e y Time wäh end de Lau zei (Mi elwe de beobach e en MRTs)
Zunächs e gleichen wi die Rendi e-Risiko-P o ile de Cons an -Mix- de Buy-and-Hold-
und de CPPI-S a egie, jeweils ü T = 5 und T = 20 Jah e.
Fü die Cons an -Mix- und die Buy-and-Hold-S a egie wu den jeweils Ak ienquo en on
10%. 20%. …. 100% zug unde geleg . Fü die CPPI-S a egie wu de als Zielkapi al 100% des
Anlagebe ages un e s ell und (lau zei abhängig) un e schiedliche Ve iel äl ige gewähl .29
T=5Cons an ͲMixͲS a egie
Ak ienͲ
quo eRendi eSTDVolaMDDMRT
03%0 0 0 0
10%3.48%0.90% 2.00% 1.61% 8.9
20%3.93%1.79% 4.00% 4.71% 16.4
30%4.32%2.69% 5.99% 8.15% 20.8
40%4.69%3.58% 7.98% 11.65% 23.4
50%5.02%4.50% 9.97% 15.11% 25.2
60%5.27%5.38% 11.96% 18.53% 26.6
70%5.52%6.25% 13.94% 21.85% 27.6
80%5.72%7.14% 15.93% 25.03% 28.5
90%5.89%8.04% 17.92% 28.10% 29.3
100%6.00%8.98% 19.91% 31.16% 29.9
Tabelle 23 Rendi e-Risiko-P o il. Cons -Mix-S a egie. T=5 Jah e (50000 Sim.)
29 De G ad des gewähl en Risikos bei eine CPPI-S a egie s a wie hie übe den Ve iel äl ige al e nan i
übe das Zielkapi al s eue n; zu Besch eibung de CPPI-S a egie siehe Anhang.
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
-
51
-
T=5BuyͲandͲHoldͲS a egie
Ak ienͲ
quo eRendi eSTDVolaMDDMRT
03%0 0 0 0
10%3.53%1.12% 2.23% 2.04% 10.1
20%3.98%2.15% 4.36% 5.38% 18.2
30%4.39%3.13% 6.42% 8.88% 22.7
40%4.71%3.99% 8.40% 12.39% 25.2
50%5.07%4.85% 10.36% 15.76% 26.7
60%5.31%5.69% 12.27% 19.04% 27.8
70%5.55%6.47% 14.19% 22.23% 28.5
80%5.73%7.26% 16.09% 25.32% 29.1
90%5.87%8.08% 18.00% 28.28% 29.6
100%5.98%8.91% 19.92% 31.19% 30.0
Tabelle 24 Rendi e-Risiko-P o il. Buy&Hold-S a egie. T= 5 Jah e (50000 Sim.)
T=5CPPIͲS a egie(Va ian e1)
Hebel Rendi eSTDVolaMDDMRT
03%0 0 0 0
0.43.28%0.54% 1.16% 0.62% 4.5
0.83.57%1.19% 2.42% 2.27% 11.0
1.23.86%1.92% 3.77% 4.42% 16.3
1.64.11%2.75% 5.20% 6.89% 20.4
2.04.35%3.61% 6.68% 9.47% 23.9
2.44.55%4.42% 8.05% 11.86% 26.6
2.84.67%4.99% 9.21% 13.81% 28.8
3.24.75%5.47% 10.09% 15.26% 30.7
3.64.81%5.86% 10.75% 16.41% 32.3
4.04.84%6.15% 11.25% 17.24% 33.6
Tabelle 25 Rendi e-Risiko-P o il. CPPI-S a egie. T=5 Jah e, Zielwe =100%,
H
ebel

{0.4, 0.8, …, 4.0} (50000 Sim.)
T=20Cons an ͲMixͲS a egie
Ak ienͲ
quo eRendi eSTDVolaMDDMRT
03%0 0 0 0
10%3.48%0.45% 2.01% 2.33% 15.0
20%3.92%0.90% 4.01% 7.06% 32.6
30%4.33%1.35% 6.01% 12.51% 46.3
40%4.67%1.79% 8.01% 18.13% 57.4
50%4.98%2.22% 10.00% 23.74% 66.1
60%5.27%2.67% 12.00% 29.11% 73.3
70%5.53%3.10% 13.99% 34.08% 79.1
80%5.72%3.56% 15.99% 39.15% 84.5

Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
-
52
-
90%5.88%4.05% 17.98% 43.84% 89.3
100%6.00%4.46% 20.00% 48.08% 93.6
Tabelle 26 Rendi e-Risiko-P o il. Cons -Mix-S a egie.T= 20 Jah e (50000 Sim.)
T=20BuyͲandͲHoldͲS a egie
Ak ienͲ
quo eRendi eSTDVolaMDDMRT
03%0 0 0 0
10%3.68%0.99% 3.11% 5.76% 24.9
20%4.17%1.60% 5.58% 12.08% 43.9
30%4.55%2.07% 7.70% 17.69% 57.7
40%4.87%2.49% 9.63% 22.88% 68.2
50%5.15%2.86% 11.45% 27.65% 75.7
60%5.37%3.19% 13.17% 32.09% 81.6
70%5.60%3.52% 14.88% 36.41% 85.6
80%5.75%3.80% 16.54% 40.49% 88.9
90%5.90%4.14% 18.23% 44.32% 91.4
100%5.99%4.46% 19.97% 48.11% 93.6
Tabelle 27 Rendi e-Risiko-P o il. Buy&Hold-S a egie. T= 20 Jah e (50000 Sim.)
T=20CPPIͲS a egie(Va ian e1)
Hebel Rendi eSTDVolaMDDMRT
03%0 0 0 0
0.23.46%0.44% 1.90% 2.14% 14.1
0.43.90%0.96% 3.96% 7.00% 32.6
0.64.33%1.52% 6.13% 12.93% 48.1
0.84.71%2.12% 8.35% 19.16% 61.2
1.05.03%2.69% 10.59% 25.39% 72.3
1.25.27%3.23% 12.73% 31.05% 81.7
1.45.44%3.63% 14.40% 35.16% 89.4
1.65.51%3.85% 15.53% 37.85% 94.6
1.85.58%4.05% 16.26% 39.59% 98.4
2.05.64%4.17% 16.79% 40.76% 100.3
2.45.62%4.29% 17.28% 42.23% 103.8
2.85.66%4.38% 17.55% 42.97% 104.8
3.25.61%4.39% 17.66% 43.49% 105.7
3.65.60%4.45% 17.71% 43.85% 106.4
4.05.64%4.49% 17.80% 44.04% 105.9
Tabelle 28 Rendi e-Risiko-P o il. CPPI-S a egie. T=20 Jah e. Zielendwe =100%.
H
ebel {0.2,0.4,..., 2.0, 2.4, ...., 4.0}(50000 Sim.)
Die olgenden Abbildungen illus ie en die Da en de oben s ehenden Tabellen. Bei de Cons-
an -Mix- und Buy-and-Hold-S a egie ma kie en die Punk e de G a ik die Ak ienquo en on
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
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53
-
10% bis 100%. Bei eine Ak ienquo e on 100% allen die S a egien Cons an -Mix und Buy-
and-Hold zusammen. Die Punk e de G a iken de CPPI-S a egie ma kie en un e schiedliche
We e ü den Hebel, nämlich m= 0.2, 0.4, …, 4.0.
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
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54
-
ABBILDUNG 3 -11: Rendi e-Risiko-P o ile ü eine Einmalanlage; die O dina e zeig den
Mi elwe de beobach e en Rendi en bei Ablau des Anlagezei aum on T = 5 Jah en
(jeweils 50000 Sim.).
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
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-
ABBILDUNG 3 -12: Rendi e-Risiko-P o ile ü eine Einmalanlage; die O dina e zeig den
Mi elwe de beobach e en Rendi en bei Ablau des Anlagezei aum on T = 5 Jah en
(jeweils 50000 Sim.).
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
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62
-
sich igung eine un e en In e en ionsg enze (hie : min 0.02
U
). Die Abbildungen zei-
gen das Risiko-P o il bezogen au die S anda dabweichung de Rendi e bei Ablau und
de Vola ili ä des Rendi e-P ades. Au eine Da s ellung de Risikokennzahlen
MaxD awdown und MaxReco e yTime kann e zich e we den, da bei einem Ga an ie-
zins on Null ein Spa plan im Hinblick au diese beiden Kennzahlen isikolos is .
ABBILDUNG 3 -15: Rendi e-Risiko-P o ile ü eine Einmalanlage; die O dina e zeig
den Mi elwe de beobach e en Rendi en bei Ablau des Anlagezei aum on T = 5
Jah en (obe e Zeile) bzw. T = 20 (un e e Zeile).
Besch änkung de Rese equo e nach oben
De Nu zen aus dem kollek i en Spa en esul ie aus de Möglichkei , die kolek i e
Rese e au - ode abzubauen. Je nach Kapi alma k en wicklung müssen dahe eilewei-
se hohe Rese en au gebau we den. Die olgende Abbildung zeig die Ve eilung de
Schluss ese equo e bei eine Lau zei on T= 20 Jah en beim kollek i en Spa en un e
Zug undelegung de Basis egel mi olgenden Pa ame e n: a = 0.6, 0.3
T
, ˆ0.1
V
,
und 00.15
Ziel
U
U
.

Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
-
63
-
ABBILDUNG 3 -16: Ve eilung de Rese equo e bei Ablau nach T = 20 Jah en (kol-
lek i es Spa en, 0
ˆ
0.6, 0.3, 0.1, 0.15
Ziel
a
T
V U U
): Basis egel (ohne Be-
sch änkung) und modi izie e Regel mi max 0.20
U
(jeweils 10000 Sim.)
Die du chschni liche Rese equo e bei Ablau be äg bei de Basis egel (d.h. ohne Be-
sch änkung de Rese equo e nach oben) 14.96%, dies en sp ich in e wa de Ziel ese -
equo e. Bei den 10000 Simula ionen, denen das obige His og amm zug unde, wu de
ein maximale Rese equo e on übe 100%31 beobach e – gl. Tabelle 35.
Eine Beg enzung de Rese equo e nach oben32 üh jedoch dazu, dass die Anpassungs-
egeln des Basismodells (Gl. 2-4 und Gl. 2-5) nich meh gewäh leis en, dass im Du ch-
schni die Ziel ese equo e (hie 0.15
Ziel
U
) e eich wi d. Wi d beispielsweise ab ei-
ne Rese equo e on max 0.20
U
die Rese e du ch eine Sonde ausschü ung abge-
bau , so üh dies zu eine du chschni lichen Schluss ese equo e on 9,72%
U
; die
anges eb e Ziel ese equo e wi d somi nich e eich .
31 Man beach e, dass eine (log-) Rese equo e on 100% eine „üblichen“ Rese equo e on 1/e-1§63%
en sp ich .
32 Im obigen His og amm we den auch im Falle de modi izie en Regel Rese equo en on übe 20%
beobach e ; dies lieg da an, dass nach eine Sonde ausschü ung (die die Rese equo e zu Beginn de Pe-
iode au 20% beg enz ) inne halb de Pe iode die Rese e wiede anges iegen sein kann.
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
-
64
-
ohneBeͲ
sch änkungmax 0.6
U
max 0.4
U
max 0.2
U

Rese equo ebeiAblau (T=20)
Mi elwe 14,96% 14,17% 12,45%9,72%
Median10,39% 10,08% 9,69%8,63%
S andabweichung28,55% 27,03% 24,06%20,36%
1%ͲQuan il1,87% 1,68% 1,69%1,60%
5%ͲQuan il3,08% 2,99% 2,98%2,77%
25%ͲQuan il6,30% 6,13% 5,93%5,60%
75%ͲQuan il18,07% 17,75% 16,12%13,13%
95%ͲQuan il44,76% 41,46% 32,43%20,19%
99%ͲQuan il65,82% 57,23% 41,95%24,17%
beobach e esMinimum0,55% 0,25% 0,48%0,36%
beobach e esMaximum102,20% 74,47% 54,34%31,17%
Ruinwah scheinlichkei 0,25% 0,28% 0,26%0,19%
Rendi ebeiAblau  
Mi elwe 4,72% 4,75% 4,81%4,71%
ko igie e Mi elwe 334,72% 4,71% 4,68%4,45%
Median4,14% 4,12% 4,23%4,53%
S anda dabweichung2,37% 2,44% 2,37%1,80%
P adͲVola1,04% 1,32% 2,03%2,71%
MaxD awdown0,16% 0,17% 0,17%0,20%
MaxReco e yTime9,10 9,54 9,6510,92
Tabelle 35 Kennzahlen zu Ve eilung de Schluss ese equo e ( gl. Abb. 3-16),
de Rendi e bei Ablau sowie Risikokennzahlen in Abhängigkei on de Rese -
ebeg enzung max
U
.
Somi bewi k die Beg enzung de Rese e (im Du chschni ) einen Abbau de Rese -
eposi ion ( on an änglich 015%
U
au 9,72%
U
); dies wiede um bedeu e eine
sys ema ische Um e eilung zuguns en de indi iduellen Gu haben. Die ausgewiesene
mi le e Rendi e wi d also ges ü z du ch den Rese eabbau. Ko igie man die mi le-
en Rendi en um diesen E ek , so e gib sich insgesam eine ge inge Ve schlech e ung
de Rendi en gegenübe de Basis egel ohne Besch änkung de Rese e nach oben. Dies
wiede um is auch plausibel, da du ch die Beg enzung de Rese e nach oben au g und
de Regel (Gl. 2-4) die Risikoexposi ion nied ige aus äll und somi (im Du chschni )
auch nied ige e Rendi en e ziel we den können.
33 e gib sich als: nich -ko . Mi elwe abzgl. 1/20 des du chschni lichen Rese eabbaus
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
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65
-
4 Zusammen assung und Ausblick
Die oben du chge üh en Simula ions echnungen dienen o allem de Ve anschauli-
chung de Wi kungsweise des kollek i en Spa p ozesses. Die E gebnisse des zei s e i-
gen Modells, das in [Goecke 2011] o ges ell wu de, we den du ch die Mon e-Ca lo-
Simula ion bes ä ig bzw. e gänz .
Folgendes konn e nachgewiesen we den:
xDas kollek i e Spa en bewi k einen deu lich messba en Zusa znu zen ü den
Spa e . De Zusa znu zen kann auch als En lohnung ü die Ve ags eue au ge-
ass we den.
xDas Spa e kollek i kann aus eigene K a „Ga an ien“ gene ie en: Bei eine
Zielak ienquo e on 50% kann bei eine Ruinwah scheinlichkei on 0,82% (bei
20 Jah en Lau zei !) eine 0-Zins-Ga an ie (mi mona lichem Lock-in!) gewäh
we den – gl. Tabelle 32.
xDe Risikoausgleich im Kollek i e laub eine ungleich höhe e Risikoexposi ion
als bishe im klassischen Lebens e siche ungsgeschä üblich.
xDie Möglichkei Rese en au - und abzubauen is G und o ausse zung ü das
kollek i e Spa en. Bei eine Zielak ienquo e on 50% (und de dami e bunde-
ne Ziel ese equo e on 0.15
Ziel
U
34 - gl. Tabellen 14-16) is eine Beg enzung
de Rese equo e au max 0.4
U
35 ohne subs anzielle Schwächung des Aus-
gleichsmechanismus möglich ( gl. Tabelle 35).
Alle Be echnungen basie en alle dings au einem seh ein achen Kapi alma k modell
( gl. Abschn. 2-1). Vo allem zwei Annahmen sind p oblema isch:
xEs wi d ein es e siche e Zins un e s ell . Ta sächlich is wede de ku z is ige
(Geldma k -) Zins noch de lang is ige Zins ü siche e S aa sanleihen kons an .
In den le z en Jah zehn en konn e man im DM/ Eu o-Raum eno men Schwan-
kungen bei den ku z- und lang is igen Zinsen beobach en.36
xFü die We en wicklung des Ma k po olios (bzw. eines b ei ges eu en Ak-
ienpo olios) wi d eine geome ische B ownsche Bewegung un e s ell . Fü ei-
nen Zei ho izon on meh e en Jah zehn en is dies eine ehe un ealis ische An-
nahme, da hie bei mak oökonomische Zusammenhänge olls ändig ausgeblen-
de we den. So zeigen Analysen des lang is igen Ku s-Gewinn-Ve häl nisses
34 Dies en sp ich eine Rese equo e (im üblichen Sinne) on 1-Exp(-0.15) = 13,9%.
35 dies en sp ich eine Rese equo e (im üblichen Sinne) on 33,0%.
36 Zwischen 04.1974-05.2012: Minimum/Maximimum Geldma k : 0.25% (05.2012)/ 15.78% (07.1973)
bzw. ü 9-10jäh ige Inhabe schuld e sch eibungen: 1.5% (05.2012)/ 11.0% (07.1974). Quelle: Deu sche
Bundesbank Zei eihen BBK01.SU0101 und BBK01.WU8608.
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
-
66
-
(KGV), dass das KGV eine Mean-Re e sion-Tendenz zeig ,37 insbesonde e also
nich „gedächnislos“ is .
Dies bedeu e , dass die nach dem da ges ell en Simula ions e ah en gene ie en P ade
nu seh eingesch änk die ökonomische Reali ä da s ellen können. Alle dings geh es
im Ke n bei den obigen Simula ions echnungen wenige da um, die ökonomische Reali-
ä zu simulie en als ielmeh da um zu zeigen, wie sich Schwankungen de Kapi al-
mä k e au das Sys em des kollek i en Spa ens auswi ken. Soll en Ak ien bzw. b ei ge-
s eu e Ak ienpo olios (übe das KGV) eine Mean-Re e sion-Eigenscha haben, so is
im Üb igen anzunehmen, dass de oben besch iebene kollek i e Risikoausgleich noch
leis ungs ähige is .
Das kollek i e Spa en is ein adap i e P ozess: Die Ve zinsung de Spa e kann nich
sys ema isch alsch (zu hoch ode zu nied ig) sein, da die Rese equo e in gewisse
Weise als eine Kon oll-Ins anz ungie . De Dekla a ionsp ozess in (Gl. 2-5) se z eine
Schä zung de e wa e en Po olio e zinsung o aus. Im Black-Scholes-Modell is de
Schä zwe kla bes imm , nämlich 2
1
2
( ) ( ) ( )
SR
P P V V
  , in de Reali ä i an
die S elle on ( )
P
ein bes e Schä ze de Pe o mance un e Be ücksich igung de
Anlages uk u . Vo de Au gabe, die zukün ige 1-Jah es-Pe o mance eines Anlage-
po olios zu schä zen, s ehen alle Un e nehmen, die nach IFRS ih e (Ne o-) Ve p lich-
ung aus eine be ieblichen Al e s e so gung bewe en müssen.38
Die Vo a bei en in [Goecke 2011] und die obigen Un e suchungen okussie en au ei-
nem heo e ischen Ansa z, das linea e ALM-Modell. Viele F agen heo e ische , o al-
lem abe p ak ische Na u bedü en wei e e Un e suchungen:
Theo ie des Kollek i en Spa ens:
xEn wicklung geeigne e K i e ien ü ein „op imales“ ALM
xVe allgemeine ung des Kapi alma k modells
xUn e suchung des P oblems de An angs ese e39
xEinbeziehung de Ren enphase un e Be ücksich igung eine zu älligen Lebens-
daue
xBe ücksich igung on Eigenkapi al: Welche Funk ion soll das Eigenkapi al
übe nehmen und welche En lohnung wä e angemessen?
F agen de p ak ischen Umse zung des Kollek i en Spa ens:
37 Vgl. [Shille 2005], [Shille 2012], [Alb ech / Kan a / Xiao 2003]
38 Vgl. IAS 19, Pa a. 105 .
39 S a e ein Kollek i mi de An angs ese e on 0 und soll in 20Jah en eine Ziel ese e on 15% e -
eich wa den, so muss jede Spa e im Du chschni au 15%/20, also und 0.75% Rendi e e zich en.
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
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67
-
xWelche (au sich s-) ech lichen Rahmenbedingungen sind ü die Ein ich ung
eines Fonds ü kollek i es Spa en e o de lich?
xIn einem Sys em des kollek i enSpa ens is ein jede zei ige Rückkau on indi-
iduellen Gu haben zu Zei we en ausgeschlossen. Was is ein adäqua e Rück-
kau swe bzw. wie kann bei einem Rückkau eine Spekula ion gegen das Kol-
lek i e mieden we den?
xWie könn e ein passendes O ganisa ionsmodell aussehen? Insbesonde e s ell
sich die F age nach eine anspa en en Du ch üh ung des Modells.
xIs ein kollek i es Spa modell ma k ähig? Die kapi algedeck e Al e s e so -
gung is ü iele a ak i , weil sie hie indi iduell o so gen können und nich
wie bei de Gese zlichen Ren en e siche ung an einem kollek i en/ sozialen
Ausgleich eilnehmen.

Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
-
68
-
Anhang: CPPI-S a egie
Wi besch änken uns hie au ein ein aches CPPI-Modell und un e s ellen ü den Kapi-
alma k das oben besch iebene ein ache Black-Scholes-Kapi alma k modell mi eine
siche en Anlage mi gleichbleibendem Zins
P
und eine Ak ienanlage


( ) (0) exp
M
M M M
P P W
P V
 mi 2
1
2
M
M SR M
P
P V V
  .
Ausgehend on einem es en Anlageho izon [0, ]T wi d es geleg , welchen An eil
0
[
! des An angsin es men s 0
F zum Ablau des Anlagezei aums mindes ens zu
Ve ügung s ehen soll. In es ie man zum Zei punk :0 T
d
d einen Be ag on


0
( ): exp ( )F F T
[ P
  in die siche e Anlage, so e gib dies zum Ablau zei punk T
ein End e mögen on 0
F
[
. Is ( )F das Anlage e mögen zum Zei punk , so be-
zeichne man ( ) ( )F F  als das Cushion. Is ( ) ( ) 0F F

, so bedeu e dies, dass
das ak uelle Ve mögen aus eich , um das anges eb e Ziel e mögen 0
F
[
siche zu e -
eichen.
Die CPPI-S a egie bes eh nun da in, zu jedem Zei punk ein m- aches (m> 0) des je-
weiligen Cushion in das Ma k po olio anzulegen. m bezeichne man auch als Hebel
ode Ve iel äl ige de CPPI-S a egie. Fü die Folgepe iode wi d also de Be ag
 
( ) ( )m F F  in das Ma k po olio und de Res


( ) ( ) ( )
F
m F F   siche ange-
leg .
Hie sind zwei Va ian en zu un e scheiden. Bei de S anda d a ian e (Va ian e 1) is de
Ak ienan eil au das Fonds e mögen besch änk , d.h. in das Ma k po olio wi d a -
sächlich nu
 
 
( ), ( ) ( )
M
in F m F F  in es ie .
In de Va ian e 2 (CPPI ohne Besch änkung) wi d au diese Besch änkung e zich e ;
dies bedeu e , dass dann de das ak uelle Fonds e mögen übe schießende Ak ienan eil
du ch K edi (zum siche en Zins
P
) inanzie wi d.
Man kann zeigen, dass im zei s e igen Modell bei beiden Va ian en gil :40
0
( )F T F
[
( as siche ), so e n 0 0
(0) exp( )F F T F
[ P
 d .
Man beach e, dass ü 1md beide Va ian en übe eins immen.
Fü die Va ian e 2 läss sich das End e mögen explizi da s ellen. Es gil :41
40 Vgl. [Cipollini 2008] Theo em 3.3
41 Vgl. [Cipollini 2008] Theo em 3.3
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
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-
 


( )
0 0 0
( ) exp( ) exp m
M
T
F T F F F T m W
[ [ P P V
    .
wobei ( ) 2
1
2
: ( )
m
M SR M
m m
P P V V
  .
Dies en sp ich also eine Buy-and-Hold-S a egie mi einem „gehebel en“ Ma k po o-
lio.
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
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70
-
Li e a u
[Alb ech / Dus/ Mau e 2002] Alb ech , Dus, Mau e , Ruckpaul: Cos A e age- E -
ek : Fak ode My hos, Mannheime He zu Risiko heo ie, Po olio Managemen und
Ve siche ungswi scha , N . 140, 10/2002; h p://insu ance.bwl.uni-mannheim.de/
download /ex e n /mm/mm140.pd
[Alb ech / Kan a / Xiao 2003] Alb ech , Pe e ; Kan a , Cemil; Xiao, Yanying: Mean
Re e sion-E ek e au dem deu schen Ak ienma k : S a is ische Analysen de En wick-
lung des DAX-KGV, A bei spapie No. 04-08 des Sonde o schungsbe eichs 504, Uni-
e si ä Mannheim 2003, www.s b504.uni-mannheim.de/publica ions/dp04-08.pd ,
download om 30.12.2005.
[Bacon 2008] Bacon. Ca l R.: P ac ical Po olio Pe o mance Measu emen and A -
ibu ion; 2nd edi ion. John Wiley & Sons. L d. Chiches e (England) 2008.
[Cipollini 2008] Cipollini. Alessand o Paolo Luigi. Capi al P o ec ion: Modeling he
CPPI Po olio (Augus 2008); h p://ss n.com/abs ac
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h p://www. h-koeln.de/ a is.
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se S.; P a ap. Am i : On he Maximum D awdown o a B ownian Mo ion; Jou nal o
Applied P obabili y (2004) Volume 41 (1), S. 147-161.
[Shille 2005] Shille , Robe J: I a ional Exube ance; 2nd edi ion, P ince on Uni e si-
y P ess, 2005.
[Shille 2012] Shille , Robe J: Ak ualisie e Da enbasis zu [Shille 2005]: Download
e ügba un e : www.econ.yale.edu/~shille /da a/ie_da a.xls.
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen
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Abbildungs- und Tabellen e zeichnis
ABBILDUNG 2 -1: VEREINFACHTES BILANZSCHEMA 5
ABBILDUNG 2 -2: ENTWICKLUNG DES MARKTPORTFOLIOS UND DES
GELDMARKTPORTFOLIOS -LOGARITHMISCHE SKALA 9
ABBILDUNG 2 -3: STRATEGIE 1 (0, 0.1a
T
) 10
ABBILDUNG 2 -4: STRATEGIE 2 (0, 0.6a
T
) 10
ABBILDUNG 2 -5: STRATEGIE 3 (0.3, 0.1a
T
) 10
ABBILDUNG 2 -6: STRATEGIE 4 (0.3, 0.6a
T
) 11
ABBILDUNG 2 -7: MONATLICHE VS. JÄHRLICHE DEKLARATION FÜR STRATEGIE 1
( 0, 0.1)a
T
, AUSWIRKUNGEN AUF DIE DEKLARATION UND DIE RESERVEQUOTE12
ABBILDUNG 2 -8: VOLLE UMSCHICHTUNG IN RENTENPAPIERE BEI UNTERSCHREITUNG
VON min
U
. 14
ABBILDUNG 2 -9: BEGRENZUNG AUF DIE MAXIMALE RISIKOEXPOSITION 14
ABBILDUNG 2 -10: KOMBINATION UMSCHICHTUNG IN RENTENPAPIERE UND
MAXIMIERUNG DER RISIKOEXPOSITION 14
ABBILDUNG 2 -11: VERZINSUNG DES ANLAGEPORTFOLIOS FÜR REGELN 2.), 3.) UND DIE
IHRE KOMBINATION. 15
ABBILDUNG 2 -12: BASISREGEL 17
ABBILDUNG 2 -13:
D
-QUANTIL-MAXIMIERUNG (9 ,5%1 9
D

) 17
ABBILDUNG 2 -14: MINIMALE DEKLARATION = 1,75% , MAXIMALE DEKLARATION = 5%17
ABBILDUNG 2 -15: SONDERAUSSCHÜTTUNG , max 18%
U
18
ABBILDUNG 2 -16: KOMBINATION VON:
D
-QUANTIL-MAXIMIERUNG (9 ,5%1 9
D
 )
UND SONDERAUSSCHÜTTUNG , max 18%
U
18
ABBILDUNG 2 -17: KOMBINATION VON:
D
-QUANTIL-MAXIMIERUNG (9 ,5%1 9
D
 ),
SONDERAUSSCHÜTTUNG MIT max 18%
U
UND min max
1,75%, 5%
U
U
18
ABBILDUNG 3 -1: VERTEILUNG DER ABLAUFLEISTUNG BEI EINER LAUFZEIT VON T=5
(OBEN) BZW. T=20 (UNTEN) UND EINER AKTIENQUOTE VON 0.5
E
(CONSTMIX/
BUY&HOLD) BZW. EINEM HEBEL VON M= 2.5 (CPPI VARIANTE 1 UND 2). 22
ABBILDUNG 3 -2: VERTEILUNG DER RENDITE DER ABLAUFLEISTUNG BEI EINER LAUFZEIT
VON T=5 (OBEN) BZW. T=20 (UNTEN) UND EINER AKTIENQUOTE VON 0.5
E
(CONSTMIX/ BUY&HOLD) BZW. EINEM HEBEL VON M= 2.5 (CPPI VARIANTE 1 UND
2). 24
ABBILDUNG 3 -3: ZUR ILLUSTRATION DER KENNZAHLEN MAXIMUM DRAWDOWN UND
MAXIMUM RECOVERY TIME WÄHREND DER LAUFZEIT (T= 240 MONATE) 28