Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Simulationsrechnungen

Fo schung am IVW Köln, 5/2012 Ins i u ü Ve siche ungswesen Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ions echnungen Oska Goecke Zusammen assung Beim kollek i en Spa en eil sich das gesam e Spa e mögen in zwei Teile: Zum einen in die Summe de indi iduellen Spa gu haben und zum ande en in ein kollek i es Spa e mögen (kollek i e Rese e), das nich den einzelnen Spa e zuzu echnen is , sonde n de Ge sam hei alle Spa e . Die kollek i e Rese e wi d da ü e wende , ku z is ige We schwankungen des angeleg en Spa e mögens auszugleichen: Bei eine übe du chschni lich gu en Pe o mance des Gesam e mögens wi d ein Teil de Kapi ale äge de kollek i en Rese e zuge üh . Bei eine schlech en Pe o mance we den Teile de Rese e da ü e wende , eine kon inuie liche We en wicklung de indi iduellen Gu haben siche zu s ellen. Du ch den Au - und Abbau de kollek i en Rese e we den also die Schwankungen am Kapi alma k ausgeglichen. In [Goecke 2011] wu de ein zei s e iges Modell ü den kollek i en Spa p ozess o ges ell und analysie . In de hie o liegenden A bei un e suchen wi zei -disk e e Ve sionen des Modells, die wi mi Hil e on Mon e-Ca lo-Simula ionen auswe en. Hie bei be echnen wi e schiedenen Rendi e-Risiko-P o ile des kollek i en Spa ens und e gleichen diese mi en sp echenden P o ilen ü nich -kollek i e Anlages a egien (Cons an -Mix-, Buy-and- Hold- und CPPI-S a egien). De Ve gleich zeig einen kla en kompa a i en Vo eil des kollek i en Spa ens. Abs ac Collec i e Sa ing means ha he o al asse s unde in es men a e spli in o wo pa s: Fi s ly, he sum o all indi idual sa ings and secondly, a collec i e ese e. The collec i e ese e is designed o smoo hen he ola ile capi al ma ke e u ns: I he asse s pe o m abo e-a e age pa o he capi al ma ke e u ns a e alloca ed o he collec i e ese e. On he o he hand, capi al ma ke losses can be compensa ed by eleases om he collec i e ese e. In [G oecke 2011] we ha e p esen ed a ime con inuous model o collec i e sa ing. In his pape we examine a disc e e e sion. Using Mon e-Ca lo-simula ion me hods we de i e isk- e u n- p o iles o collec i e sa ing p ocesses and compa e hese wi h he co esponding p o iles o non-collec i e sa ing s a egies (cons an -mix-, buy-and-hold- and CPPI- s a egies). The compa ison shows a clea compa a i e ad an age o collec i e sa ing p ocesses. - I - Inhal s e zeichnis Inhal s e zeichnis .......................................................................... I 1Ein üh ung .............................................................................. 2 2Modell zu Simula ion des kollek i en Spa p ozesses ............ 3 2.1Simula ion des Ma k po olios ...................................................... 3 2.2Simula ion des Asse -Liabili y-Managemen s ................................ 4 2.2.1Modellie ung des kollek i en Spa p ozesses im Basismodell ..................... 4 2.2.2Basis egel (linea es ALM-Modell) ............................................................... 7 2.2.3E wei e ung des Basismodells .................................................................... 11 3Risikop o il des kollek i en Spa en ...................................... 19 3.1Re e enzmodell .............................................................................. 19 3.2Kennzahlen .................................................................................... 25 3.2.1Kennzahlen de Rendi e bei Ablau ............................................................ 25 3.2.2Kennzahlen de We en wicklung – Auswe ung de P ade ...................... 26 3.3Un e suchung des Re e enzmodells (Cons an -Mix-S a egie) .... 28 3.3.1Rendi e- und Risiko-Kennzahlen in Abhängigkei on de Ak ienquo e ... 30 3.3.2Rendi e- und Risiko-Kennzahlen in Abhängigkei on Lau zei ............... 34 3.4Kollek i es Spa en ......................................................................... 38 3.4.1Un e suchung des Basismodells ................................................................. 38 3.4.2Rendi e-Risiko-P o ile ................................................................................ 50 3.4.3Va ian en des Basismodells ........................................................................ 59 4Zusammen assung und Ausblick .......................................... 65 Anhang: CPPI-S a egie .............................................................. 68 Li e a u ...................................................................................... 70 Abbildungs- und Tabellen e zeichnis ........................................ 71 Kon ak ........................................................................................ 76 Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 2 - SPARPROZESSE MIT KOLLEKTIVEM RISIKOAUSGLEICH SIMULATIONSRECHNUNGEN1 1 Ein üh ung Diese Ausa bei ung is eine Fo se zung on [Goecke 2011]. Do wu de ein zei s e iges Mo- dell ü das kollek i e Spa en en wickel und mi Hil e de Me hoden de Theo ie de S ochas- ischen P ozesse analysie . Fü das ein ache zei s e ige linea e Modell2 lassen sich die esul- ie enden s ochas ischen P ozesse explizi da s ellen; dies e möglich dann Aussagen übe G enz e eilungen und Ruinwah scheinlichkei en. Abände ungen des linea en Modells esul- ie in deu lich komplexe e s ochas ische P ozesse, die le z lich nu noch mi Mon e-Ca lo- Ve ah en analysie we den können. Ziel diese o liegenden A bei is es, das zei s e ige linea e Modell (und de en Va ian en) in ein zei -disk e es Modell zu übe üh en, das dann mi Hil e on Mon e-Ca lo-Simula ionen un e such we den kann. Indem wi beispielsweise eine mona liche Pe iodizi ä wählen, kommen wi auch schon eine möglichen p ak ischen Umse zung des Modells des kollek i en Spa ens seh nahe. Alle dings is es nich Ziel diese A bei , die P obleme bei de Umse zung des kollek i en Spa ens in ein ma k ähiges P oduk zu e ö e n. Vielmeh soll de kompa a i- e Vo eil des kollek i en Spa ens gegenübe nich -kollek i en Anlages a egien (Cons an - Mix, Buy-and-Hold, CPPI) nachgewiesen we den. Auch wenn diese A bei als Fo se zung de heo e ischen Vo a bei en in [Goecke 2011] zu e s ehen is , haben wi dennoch e such , die G undbes and eile des kollek i en Spa en im Abschni 2 übe blicksa ig da zus ellen, so dass de Lese auch ohne Kenn nisse des zei s e i- gen G undmodells die zen alen Aussagen nach ollziehen kann. In Abschni 3 s ellen wi ein Reihe on Kennzahlen zu Analyse on Spa p ozessen o . Im Wesen lichen geh es dabei um den Zusammenhang on Rendi e und Risiko (das Rendi e-Risiko-P o il), wobei wi e - schiedene Risikokonzep e un e suchen, insbesonde e solche, die den Anlege s ess abbilden sollen. Im le z en Abschni wi d ku z au die P oblema ik eine p ak ischen Umse zung ein- gegangen sowie au die o enen F agen. 1 Ich bedanke mich bei He n U ij Dolgo , de mich bei de E s ellung zahl eiche G a iken un e s ü z ha . 2 [Goecke 2011] S. 15 . Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 3 - 2 Modell zu Simula ion des kollek i en Spa p ozesses 2.1 Simula ion des Ma k po olios 3 Fü den Kapi alma k legen wi das (S anda d-) Black-Scholes-Modell zug unde: De Anlege kann sein Kapi al au zwei Anlagen e eilen, eine siche e und eine isikobeha e e Anlage. Die isikobeha e e Anlage bes eh da in, dass de Anlege in das Ma k po olio M P in es- ie , ü das gel e   ( ) ( ) M M M M dP P d dW P V   mi (0) 1 M P (Gl. 2-1) bzw.   ( ) exp M M M P W P V  . mi 2 1 2 : M M M P P V  , die D i des Ma k po olios und 0 M V !.   0 W is hie ein S anda d- Wiene -P ozess. Fü die siche e Anlage ( ) A gel e: ( ) ( )dA A d P mi (0) 1A bzw.   ( ) expA P (Gl. 2-2) De Kapi alma k wi d somi eindeu ig du ch die Pa ame e P siche e Zins4 M V Vola ili ä des Ma k po olios M P D i des Ma k po olios bes imm . Fe ne de inie en wi :M SR M P P V   (Sha pe-Ra io). Beme kung Is 00 V ! , 0 P   und sei   0 ( ) P ein wei e es Po olio, ü das gil :   0 0 ( ) ( ) dP P d dW P V   mi (0) 1P , so e laub dieses Po olio im obigen Black-Scholes-Modell genau dann keine A bi age, wenn 0 0 SR P P V  .5 3 Fü die echnische Realisie ung we den zwei S anda d-P og amme eingese z : EXCEL-VBA (Ve sion 7.0) und MATHEMATICA (Ve sion 8.0.0.0). Beide P og amme en hal en Tools zu E zeugung on (Pseudo-) Zu- allszahlen, au die hie zu ückgeg i en wi d. 4 Im Folgenden we den wi , sowei nich s ande es gesag wi d, s e s mi Zinsin ensi ä en a bei en; ein Zins (als Zinsin ensi ä ) on 0.03 en sp ich somi einem (gewöhnlichen) Jah eszins on exp(0.03)-1 = 3.0455%. Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 4 - So e n nich s ande es gesag wi d, wollen wi bei Zahlenbeispielen olgende Da en un e s el- len: 3% P , 20% M V , 8% M P , 2 1 26% M M M P P V   und 0.25 M SR M P P V  . Fü die olgenden Simula ions echnungen eilen wi den Be ach ungsho izon [0, ]T (dabei messen wi T in Jah en) in äquidis an e Zei abschni e [0, ],[ , 2 ],[2 , 3 ],...,[ , ]T T' ' ' ' ' ' . und simulie en die zu un e suchenden s ochas ischen P ozesse abschni sweise. Wi üh en einige Bezeichnungen ein: PpJ: Anzahl de Pe ioden p o Jah (meis PpJ =12 ü Mona swe e) 1 :PpJ  ' : kleins e Zei einhei bei de Simula ion :N T PpJ : Anzahl de Zei abschni e des Be ach ungsho izon s [0, ]T.   k Z : Folgen s ochas isch unabhängige no mal- e eil e Zu alls a iablen mi 0 k Z  und Va k Z '. W: (disk e isie e ) S anda d-Wiene -P ozess ü {0, , 2 , ...}  ' ' ; eku si de inie du ch: 0: 0W und ( 1) : k k k W W Z '  '  ü 1,2,...k . ( ) M P : Ma k po olio zum Zei punk {0, ,2 , ...}  ' ' ; eku si de inie du ch: (0) : 1 M P und   1 ( ) : ( ) exp M M M M k P P Z P V   ' '  , hie bei is k ' . Es gil :   ( ) exp M M M P W P V  . 2.2 Simula ion des Asse -Liabili y-Managemen s 2.2.1 Modellie ung des kollek i en Spa p ozesses im Basismodell Zu Da s ellung des kollek i en Spa p ozesses gehen wi on olgendem e ein ach en Bi- lanzschema aus ( gl. Abb. 2-1): 5 Vgl. [Goecke 2011] S. 9 . Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 5 - ABBILDUNG 2 -1: Ve ein ach es Bilanzschema Wi un e s ellen, dass zum Zei punk 0 be ei s ein Spa e kollek i exis ie . Das Gesam - e mögen (Zei we de Asse s) zu Beginn be age 0 (0)P P , die Summe alle indi iduellen Gu haben (Ve siche engu haben) be age 0 (0)V V ; ü den kollek i en Risikoausgleich s e- he eine An angs ese e on 0 0 0 R P V  zu Ve ügung. Wi be ach en den Anlageho izon [0, ]T und simulie en die Ak i - und Passi sei e de Bi- lanz in den Zei punk en 0, , 2 , ..., T N ' ' ' . P( ): We de Kapi alanlage (des Po olios) des Spa e kollek i s zum Zei punk V( ): We de indi iduellen Gu haben alle Spa e zum Zei punk R( ):= P( ) - V( ) We de Rese e (kollek i es Gu haben) zum Zei punk . Zusä zlich de inie en wi die Log-Rese equo e ( ) ( ) ( ) ( ): ln ln 1 ( ) ( ) ( ) P R R V P P U § · § ·   | ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ . De Übe gang on de „no malen“ Rese equo e ( ) ( ) R P zu Log-Rese equo e6 e ein ach die Da s ellung und e klä sich insbesonde e aus de Analyse des zei s e igen Modells.7 De kollek i e Spa p ozess wi d du ch die Regeln des Asse -Liabili y-Managemen s (ALM) besch ieben. Das ALM bes eh da in, dass zu Beginn jede Pe iode [ , ]  ' es geleg wi d: welche An eil ( ) [0,1] E  de Kapi alanlagen in das Ma k po olio (Ak ien) angeleg wi d. Wi bezeichnen ( ) E als die Ak ienquo e und ( ) : ( ) M V E V als die Risikoexposi ion. 6 Im Folgenden we den wi au das P ä ix Log e zich en und mi Rese equo e s e s die eben de inie e Log- Rese equo e meinen. 7 [Goecke 2011] Abschni 2.3. Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 6 - mi welchem Zins ( ) K die indi iduellen Ve siche engu haben o gesch ieben we - den; ( ) K bezeichnen wi als die Dekla a ion zum Zei punk . Man kann on eine Vo- aus-Dekla a ion sp echen, da be ei s zum Zei punk die Ve zinsung ü die Folgepe i- ode es s eh . Eine In es i ion in V( ) kann also als eine lokal siche e Anlage be ach e we den. Die Bes immung de Risikoexposi ion is Au gabe des Asse -Managemen s. , wäh end die Be- s immung de Dekla a ion bzw. de Ve wendung de Rese e die Au gabe des Liabili y- Managemen is . E olg beides, so wie hie da ges ell , simul an, so kann man zu Rech on ALM sp echen. Ha man die Ak ienquo e und die Dekla a ion es geleg , so gil :         ( ) ( ) exp ( 1 ( ) exp ( ) ( ) exp ( ) ( ) M M P W W P V V E P V E P K '  ' '     '  ' ' (Gl. 2-3) Beme kung: Man beach e, dass bei de so es geleg en Disk e isie ung des zei s e igen Modells im Zei ab- schni [ , ]  ' das Po olio eine Buy-and-Hold-S a egie olg . Dies bedeu e , dass im Zei in e all [ , ] ' die Ak ienquo e ( ) E bzw. die Risikoexposi ion ( ) V bezogen au die ak uellen Ma k we e nich kons an is . Eine al e na i e Disk e isie ung des zei s e igen Mo- dells bes eh da in, ü das Zei in e all [ , ]  ' eine Cons an -Mix-S a egie mi gleichblei- bende Ak ienquo e/ Risikoexposi ion zu un e s ellen. Dann gil ü die Fo sch eibung des Anlage e mögens ( )P :   ( ) exp ( ) ( )( ( ) P W W P P V '  ' '   mi 2 1 2 ( ) : ( ) ( ) SR P P V V   . Wi d in diese Weise o gesch ieben, so läss sich die Ve ände ung de Rese equo e beson- de s ein ach da s ellen, denn es gil dann     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) W W U U P K V '  '  '    . Diese Disk e isie ung komm zwa dem zei s e igen Modell nähe (insbesonde e sind die pe- iodischen We ände ungen logno mal- e eil ), sie is abe inso e n „un ealis isch“, da eine Cons an -Mix-S a egie eine zei s e ige Umschich ung zwischen Ak ienanlage und siche e Anlage o ausse z . Insbesonde e wenn man das Modell au his o ische Kapi alma k da en anwenden möch e, is somi diese A de Disk e isie ung nich möglich. Wähl man 1 12 ' und 1T , so is bei eine Mon e-Ca lo-Simula ion de Un e schied zwi- schen beiden Fo men de Disk e isie ung kaum wah nehmba . Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 7 - Im Folgenden s ellen wi einige Managemen -Regeln ü das ALM des kollek i en Spa p o- zesses o . Als Managemen -Regel e s ehen wi eine Vo sch i , die zum Zei un e Beach- ung de -Ve gangenhei (insbesonde e un e Beach ung de im Zei punk beobach e en Re- se equo e ( ) U ) die Ak ienquo e ( ) E und Dekla a ion ( ) K es leg . 2.2.2 Basis egel (linea es ALM-Modell) En scheidende S eue ungsg öße de Basis egel is die Höhe de zule z beobach e en Rese e- quo e im Ve gleich zu s a egischen Ziel ese equo e. Wi de inie en 0 Ziel U !: Ziel ese equo e; es wi d un e s ell , dass die ALM-S a egie da au abziel , diese Rese equo e (zumindes im E wa ungswe ) zu e eichen. ˆ( ) : ( ) Z iel U U U  : Abweichung de ak uellen Rese equo e on Ziel ese equo e. ˆ ˆ : 0 M V V V  d : s a egische Risikoexposi ion, ˆ ˆ: M V E V bezeichnen wi en sp echend als die s a egische Ak ienquo e. Im linea en ALM-Modell wi d die Risikoexposi ion ( ) V und die Dekla a ion ( ) K an die je- weilige Abweichung on de Ziel ese equo e gekoppel . Fü 0, 0a T se zen wi   ˆ ˆ ( ) max ( ), 0 a V V U  (Gl. 2-4) ˆ ( ) ( ) ( ) K P T U  , hie bei is 2 1 2 ( ): ( ) ( ) SR P P V V   . (Gl. 2-5) Falls also ˆ( ) 0 U (d.h. Is -Rese equo e = Ziel ese equo e), wi d die s a egische Risiko- exposi ion ˆ V gewähl und ü die Dekla a ion gil : 2 1 2 ˆ ˆ ( ) SR K P V V   . Allgemein gil : 2 1 2 ( ) ( ) ( ) SR P P V V   is die e wa e e Rendi e eines Po olios, das im Zei abschni [ , ]  ' eine Cons an -Mix-S a egie mi eine in [ , ]  ' gleichbleibenden Risikoexposi i- on on ( ) V olg . (Gl. 2-4) besch eib die ak ische Asse -Alloka ion; en sp echend können wi 2 1 2 ˆˆ ˆ :SR K P V V   als s a egische Dekla a ion und (Gl. 2-5) als ak ische Dekla a ion bezeichnen. Die Pa ame e a und T s eue n die Anpassungsgeschwindigkei mi de die Risikoexposi ion bzw. die Dekla a ion an die ak uelle Rese equo e angepass wi d. Falls 0a wollen wi on eine einen Liabili y-Managemen -S a egie (LM-S a egie) sp echen, denn die Risikoexposi- ion und dami die Ak i sei e wi d in diesem Fall nich ak i ges eue . Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 14 - ABBILDUNG 2 -8: Volle Umschich ung in Ren enpapie e bei Un e sch ei ung on min U . ABBILDUNG 2 -9: Beg enzung au die maximale Risikoexposi ion ABBILDUNG 2 -10: Kombina ion Umschich ung in Ren enpapie e und Maximie ung de Risikoexposi ion 0% 2% 4% 6% 0% 10% 20% 30% 40% 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 RQ/Ak ienexp. EndeVe siche ungsjah The a=0.1|a=0.3 0% 2% 4% 6% 0% 10% 20% 30% 40% 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 RQ/Ak ienexp. EndeVe siche ungsjah The a=0.1|a=0.3 0% 2% 4% 6% 0% 10% 20% 30% 40% 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 EndeVe siche ungsjah The a=0.1|a=0.3 Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 15 - ABBILDUNG 2 -11: Ve zinsung des Anlagepo olios ü Regeln 2.), 3.) und die ih e Kom- bina ion. Sol abili ä sg enze ü die Dekla a ion Ziel diese Modi ika ion is es, die Dekla a ion nach oben so zu beg enzen, dass „mi g oße Wah scheinlichkei “ eine o gegebene Mindes ese equo e nich un e sch i en wi d. Diese Modi ika ion is al e na i ode e gänzend zu de zule z besp ochenen Regel (Be ücksich i- gung eine Mindes ese equo e) Bei de Fes legung de Dekla a ion nach de Basis egel is zunächs die e wa e e Rendi e des Po olios bei Zug undelegung de Risikoexposi ion ( ) V zu bes immen. Wi se zen also 2 1 2 ( ): ( ) ( ) ( ) SR P P V V   und bezeichnen mi ( ) K die lau ende Dekla a ion; die Ge- sam dekla a ion is dann ( ) ex a K K . Die olgenden Regeln besch eiben die Fes legung de lau enden Dekla a ion 1. ˆ ( ) ( ) ( ) K P T U c m  mi   max ˆ( ): min ( ), Z iel U U U U c  , 2.   max min min ( ), ( ) max ( ), ( ) ( ) DD u D U U U K K P V § ·  m   ¨ ¸ ¨ ¸ '' © ¹ 3.   min ( ) max ( ), K K K m und   max ( ) min ( ), K K K m Zu Regel 1 (Basis egel): Du ch den Übe gang au ˆ( ) U c wi d de E ek de Sonde ausschü - ung ex a K bei übe schießende Rese e be ücksich ig . Fü die Rese equo e nach Sonde aus- schü ung gil   max ( ): min ( ), U U U c . 100% 120% 140% 160% 180% 200% 220% 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Po oliowe EndeVe siche ungsjah Umschich unginSA Kombina ionbeide S . Beg enzungde AQ Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 16 - Zu Regel 2 ( D -Quan il-Maximie ung): Diese Regel is du ch olgende Übe legungen mo i- ie . Die Dekla a ion ü die Dekla a ionspe iode [ , ] D  ' soll so gewähl sein, dass mi seh g oße Wah scheinlichkei am Ende de Dekla a ionspe iode die Mindes ese equo e min U nich un e sch i en wi d. Bezeichne 1 D  das anges eb e Siche hei sni eau, so muss Folgendes gel en: min ( ) ln 1 ( ) D D P V U D § · § ·  ' !  ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸  ' © ¹ © ¹ P Hie bei soll un e s ell we den, dass ü die gesam e Dekla a ionspe iode [ , ] D  ' die Risi- koexposi ion ( ) V be äg . Nach eine gg . gil ü die Rese equo e zu Beginn de Pe iode:   max ( ) ( ) ln min ( ), ( ) P V U U U § · c ¨ ¸  © ¹ . Es gil ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ln ln ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D D D D D D P P P V Z V V V P U K P V § · § ·  '  ' c  '  '  ¨ ¸ ¨ ¸  '   ' © ¹ © ¹ mi eine no mal e eil en Zu alls a iablen ˆ Z mi ˆ ( ) 0Z  und ˆ Va ( ) D Z ' . Somi olg :                 min min min min min ( ) ln 1 ( ) ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ˆ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D D D D D D D D D D P V Z Z u D U D U P K V U D K P U U D V K P U U D V U U K P V § · § ·  ' !  ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸  ' © ¹ © ¹ c   '   !  § · c '     !  ¨ ¸ ¨ ¸ ' ' © ¹ § · c '     ) d ¨ ¸ ¨ ¸ ' © ¹ c  '   d ' P P P Also gil : min 2 min 1 2 ( ) ln 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D D SR DD P V u D U D U U K P V V § · § ·  ' !  ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸  ' © ¹ © ¹ § · c  d     ¨ ¸ ¨ ¸ '' © ¹ P (Gl. 2-6) Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 17 - (Gl. 2-6) können wi als Fundamen al-Bedingung des ALM bezeichnen; diese Ungleichung zeig den undamen alen Zusammenhang zwischen den zen alen S eue ungsg ößen des ALM-P ozesses, nämlich de Risikoexposi ion ( ) V (Asse -Managemen ) und de Dekla a i- on ( ) K (Liabili y-Managemen ).11 Zu Regel 3 (Minimal./ Maximalzins): Die Beg enzung de Dekla a ion bezieh sich nu au die lau ende Dekla a ion nich au die Sonde ausschü ung zu Beg enzung de Rese equo e. Ve anschaulichung de Wi kungsweise de Managemen egeln zu Dekla a ion ABBILDUNG 2 -12: Basis egel ABBILDUNG 2 -13: D -Quan il-Maximie ung ( 9 ,5%1 9 D  ) ABBILDUNG 2 -14: Minimale Dekla a ion = 1,75% , Maximale Dekla a ion = 5% 11 Vgl. [Goecke 2011] S. 12 . Ͳ2% 0% 2% 4% 6% 8% 10% Ͳ5% 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Dekla a ion RQ/Ak ienexp. EndeVe siche ungsjah Ͳ10% Ͳ5% 0% 5% 10% 15% Ͳ5% 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Dekla a ion RQ/Ak ienexp. EndeVe siche ungsjah 0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Dekla a ion RQ/Ak ienexp. EndeVe siche ungsjah Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 18 - ABBILDUNG 2 -15: Sonde ausschü ung , max 18% U ABBILDUNG 2 -16: Kombina ion on: D -Quan il-Maximie ung ( 9 ,5%1 9 D  ) und Sonde ausschü ung , max 18% U ABBILDUNG 2 -17: Kombina ion on: D -Quan il-Maximie ung (9 ,5%1 9 D  ), Son- de ausschü ung mi max 18% U und min max 1,75%, 5% U U Ͳ5% 0% 5% 10% 15% 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Dekla a ion RQ/Ak ienexp. EndeVe siche ungsjah Ͳ10% Ͳ5% 0% 5% 10% 15% 20% 25% 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Dekla a ion EndeVe siche ungsjah 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Dekla a ion EndeVe siche ungsjah Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 19 - 3 Risikop o il des kollek i en Spa en Wi un e suchen in diesem Kapi al das Rendi e-Risiko-P o il ü das oben da ges ell e Modell des kollek i en Spa ens. Hie bei we den wi o allem Mon e-Ca lo-Simula ionen auswe en. Die Rendi e we den wi in alle Regel als Mi elwe de Rendi en de beobach e en Ablau - leis ungen bes immen. Das Risiko we den wi mi els un e schiedliche Konzep e messen; un- e Rendi e-Risiko-P o il e s ehen wi den Zusammenhang (da ges ell als G aph) zwischen de jeweiligen Risiko-Kennzahl und de Rendi e. 3.1 Re e enzmodell Als Re e enzmodell wählen wi die Anlage in einen In es men onds mi eine Cons an -Mix- S a egie (CM-S a egie), d.h. wi un e s ellen ü die We en wicklung des Fonds:     2 1 0 0 0 0 2 ( ) exp SR F F W P V V V    mi eine gleichbleibenden Risikoexposi ion 0 M V V d . Wi bezeichnen 0 0 M V E V als die Ak- ienquo e. Beme kungen: 1. Eine Cons an -Mix-S a egie ha zum Ziel, dass nach Ma k we en die Ak ienquo e s e s kons an bleib . Woll e man also die Cons an -Mix-S a egie du ch eine Mischung on si- che e Anlage und Anlage in das Ma k po olio ealisie en, so müss e pe manen um- schich en. Vgl. hie zu die Beme kung in Abschni 2.2.1. 2. Im S anda d-Black-Scholes-Modell ( gl. Abschni 2.1) be ach en wi eine zusä zliche Kapi alanlage mi de Auszahlungs unk ion   ˆ ˆ ( ) (0)exp X X W P V  . De um die An- lagemöglichkei X( ) e wei e e Kapi alma k is genau dann a bi age ei, wenn gil : 2 1 2 ˆ ˆ ˆ SR P P V V   . Falls also 2 1 2 ˆ ˆ ˆ SR P P V V   , so kann die Kapi alanlage ( ) X au - g und de Volls ändigkei des S anda d-Black-Scholes-Modells du ch eine (dynamische) Mischung aus siche e Anlage und Anlage in das Ma k po olio eplizie we den. Au G und de besonde s ein achen Da s ellung de Cons an -Mix-S a egie kann die Ve ei- lung de Rendi e explizi angegeben we den. Im Folgenden wollen wi un e de Rendi e bei Ablau s e s die Rendi e (als annualisie e Zinsin ensi ä ) e s ehen, nämlich 20 1 0 0 2 0 1 ( ) ( , ) : ln SR T F T F T W T F T V P P V V § ·    ¨ ¸ © ¹ . Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 20 - Die Zu alls a iable ( , )F T P is also no mal e eil mi   2 1 0 0 2 ( , ) SR F T P P V V   und   2 0 Va ( , )F T T V P . Die S anda dabweichung be äg also:     0 STD ( , ) := Va ( , )F T F T T V P P .   2 1 0 0 2 ( , ) SR F T P P V V   is die e wa e e Rendi e de Ablau leis ung. Man beach e, dass die Rendi e de e wa e en Ablau leis ung hie on abweich . Es gil nämlich ü die e - wa e e Ablau leis ung       0 0 ( ) exp SR F T F T P V  und somi gil ü die Rendi e de e wa e en Ablau leis ung:       0 0 ( ) 1 ( ) ln SR F T F T T F P P V § ·  ¨ ¸ © ¹  . Fü Ve gleichszwecke we den wi auch eine Buy-and-Hold-S a egie (B&H-S a egie) un e - suchen. Hie bei wi d zu Beginn des Anlageho izon es eine Ak ienquo e [0,1] E  gewähl und de An eil E wi d in das Ma k po olio und de es liche An eil (1 E ) wi d siche an- geleg . Is 0 F das An angs e mögen, so gil ü das Ve mögen zum Zei punk T:     0 ( ) (1 ) exp( ) exp M M T F T F T T W E P E P V    Im Un e schied zu CM-S a egie is die Rendi e bei Ablau bei de B&H-S a egie nach un- en du ch eine Mindes endi e besch änk , denn ü die Rendi e bei Ablau gil :     1 ln(1 ) ( , ) ln (1 ) exp( ) exp M M T F T T T W T T E P E P E P V P      . Schließlich wollen wi auch das Rendi e-Risiko-P o il eine Cons an -P opo ion-Po olio- Insu ance-S a egie (CPPI-S a egie) be ach en. Wi un e scheiden hie zwei Va ian en, je nachdem, ob die Ak ienanlage au das o handene Ve mögen beg enz is ode nich .12 Sowohl ü die B&H- also auch ü die CPPI-S a egie (in de Va ian e ohne Besch änkung de Ak ienanlage) lassen sich die Dich e unk ionen de Rendi e-Ve eilungen explizi da s el- len. Die olgenden G aphiken zeigen die Ve eilung de Ablau leis ungen bei eine Einmalanlage on 01F ü eine Lau zei on 5 bzw. 20 Jah en. Die Dich e unk ionen de Ablau leis ung 12 Vgl. Anlage Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 21 - können ü die CM-, die B&H- und auch ü die CPPI-S a egie (ohne Besch änkung de Ak- ienanlage) explizi angegeben we den. Fü die CPPI-S a egie mi Besch änkung de Ak ien- anlage is in de Abbildung die (en sp echend skalie e) Häu igkei s e eilung da ges ell , die au de G undlage on 50.000 Simula ionen e echne wu de. Die Abbildungen machen die Schwie igkei en deu lich, das Rendi e-Risiko-P o il eine Kapi- alanlage da zus ellen, selbs wenn man ausschließlich au die Ablau leis ung Bezug nimm und die We en wicklung unbe ücksich ig läss . Insbesonde e mi Blick au die CPPI- S a egie13 zeig sich, dass die e wa e e Ablau leis ung nu unzu eichend die Ren abili ä ei- ne Kapi alanlage wide gib . Bei einem Ve iel äl ige on m= 2.5 e gib sich bei eine Lau - zei on T = 20 Jah en eine du chschni liche Ablau leis ung on 11.0 ( gl. Tabelle 1), dies en sp ich eine Rendi e on und 12 %. Die e wa e e Rendi e be äg im gleichen Beispiel alle dings nu 5.23%. 13 In de Va ian e 2, bei de u.U. die Ak ienanlage eilweise du ch K edi e inanzie wi d – gl. Anlage. Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 22 - ABBILDUNG 3 -1: Ve eilung de Ablau leis ung bei eine Lau zei on T=5 (oben) bzw. T=20 (un en) und eine Ak ienquo e on 0.5 E (Cons Mix/ Buy&Hold) bzw. einem Hebel on m= 2.5 (CPPI Va ian e 1 und 2). Im Hinblick au die Mi elwe e bzw. Median sind die 4 da ges ell en Anlages a egien in e - wa e gleichba (siehe Tabelle 1 und 2); im Hinblick au die Ve eilung de Ablau leis ung bzw. de Rendi en ( gl Abb. 3-1 und 3-2) zeigen sich jedoch g a ie ende Un e schiede. Somi wi d kla , dass eine einzige Risikokennzahl wie z.B. die S anda dabweichung, Sho all- Wah scheinlichkei en ode Quan le nu unzu eichend das Rendi e-Risikop o il abbilden kann. Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 23 - T = 5 T = 20 E = 25%50%75%100%25%50%75%100% Cons .Mix Mi elw. 1,23681,31651,40141,49182,33963,00423,85744,9530 Median 1,22911,28401,32481,34992,28192,71833,08023,3201 Buy&Hold Mi elw. 1,24431,32681,40931,49182,60483,38764,17034,9530 Median 1,20881,25581,30291,34992,19662,57112,94563,3201 T = 5 T = 20 m = 1.01.52.02.51.01.52.02.5 CPPI (Va . 1)14 Mi elw. 1,20731,23611,26711,29373,24104,21064,56534,6165 Median 1,18751,18861,17901,16142,49852,56252,82972,8940 CPPI (Va 2) Mi elw. 1,20781,23551,26681,30233,2348 4,6845 7,074711,0155 Median 1,18801,18801,17891,16182,4980 2,4980 2,22651,8221 Tabelle 1 Mi elwe und Median de Ablau leis ung ü eine Einmalanlage bei eine Lau zei on 5 und 20 Jah en in Abhängigkei on de Ak ienquo e (be echne e We e). 14 We e ü die CPPI-S a egie (Va ian e 1) wu den mi Hil e on Simula ionen bes imm (jeweils 50000 Sim. mi 250 Pe ioden p o Jah ) Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 30 - Risikoexposi ion0 V 5%10%15%20% Rendi ede Ablau leis ung Mi elwe 4,1250% 5,0000% 5,6250% 6,0000% Median4,1250% 5,0000% 5,6250% 6,0000% S andabweichung1,1180% 2,2361% 3,3541% 4,4721% 1%ͲQuan il1,5241% Ͳ0,2019% Ͳ2,1778% Ͳ4,4037% 5%ͲQuan il2,2860% 1,3220% 0,1080% Ͳ1,3560% 25%ͲQuan il3,3709% 3,4918% 3,3627% 2,9836% 75%ͲQuan il4,8791% 6,5082% 7,8873% 9,0164% 95%ͲQuan il5,9640% 8,6780% 11,1420% 13,3560% 99%ͲQuan il6,7259% 10,2019% 13,4278% 16,4037% 0%ͲSho all0,0112% 1,2674% 4,6766% 8,9856% 1%ͲSho all0,2594% 3,6819% 8,3961% 13,1776% 2%ͲSho all2,8673% 8,9856% 13,9901% 18,5547% P adͲVola195% 10% 15% 20% Tabelle 3 Rendi ekennzahlen ü eine Einmalanlage bei eine Lau zei on 20 Jah en in Abhängigkei on de Ak ienquo e (be echne e We e) Bei de Bes immung de oben einge üh en Kennzahlen MDD und MRT g ei en wi au Simu- la ions echnungen zu ück.20 Bei einem Spa plan mi egelmäßig gleichbleibenden Spa a en we den wi g undsä zlich alle Kenng ößen mi Hil e de Simula ions echnungen (nähe ungs- weise) be echnen. Wi wollen im Folgenden zunächs da s ellen, wie einzelne Kennzahlen on de Risikoexpo- si ion (bzw. Ak ienquo e) und on de Lau zei abhängen. Alle Be echnungen basie en au Mon e-Ca lo-Simula ionen. 3.3.1 Rendi e- und Risiko-Kennzahlen in Abhängigkei on de Ak ienquo e Die olgende Abbildung zeig einige S anda d-Quan ile in Abhängigkei on de Ak ienquo e. Hie bei wu de eine es e Lau zei on 20T (Jah en) mi mona liche Anpassung ( 1 12 ' ). Bei eine Ak ienquo e on 75% muss de Kapi alanlege bei eine Lau zei on 20 Jah en bei- spielsweise dami echnen, dass mi und 5%-ige Wah scheinlichkei die Ablau endi e un e 0.14% wi d. 19 Annualisie e Vola ili ä de beobach e en Mona s endi en (Mi elwe übe alle simulie en P ade) – gl. Ab- schni 2.2.2. 20 De E wa ungswe des Maximum D awdown eine geome ischen B ownschen Bewegung läss sich explizi angeben und kann mi nume ischen Me hoden be echne we den, gl. [Magdon-Ismail e.a. 2004]. Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 31 - ABBILDUNG 3 -4: Rendi ekennzahlen ü eine Einmalanlage (oben) bzw. Spa plan (un- en) bei eine Lau zei on 20 Jah en in Abhängigkei on de Ak ienquo e (50000 Si- mula ionen). Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 32 - Einmalbei ag Ak ienquo e25% 50% 75% 100% Rendi ede Ablau leis ung Mi elwe 4,13% 4,99% 5,66% 6,00% Median4,13% 4,99% 5,64% 6,03% S andabweichung1,12% 2,24% 3,36% 4,45% 1%ͲQuan il1,55% Ͳ0,18% Ͳ2,11% Ͳ4,43% 5%ͲQuan il2,30% 1,31% 0,16% Ͳ1,33% 25%ͲQuan il3,38% 3,48% 3,41% 3,00% 75%ͲQuan il4,89% 6,51% 7,91% 8,99% 95%ͲQuan il5,96% 8,69% 11,23% 13,30% 99%ͲQuan il6,74% 10,25% 13,53% 16,30% 0%ͲSho all0,01% 1,25% 4,56% 8,91% 1%ͲSho all0,25% 3,73% 8,19% 13,10% 2%ͲSho all2,67% 9,12% 13,78% 18,55% Tabelle 4 Rendi ekennzahlen ü eine Einmalanlage bei eine Lau zei on 20 Jah en in Abhängigkei on de Ak ienquo e (50000 Simula ion) lau ende Spa bei ag Ak ienquo e25% 50% 75% 100% Rendi ede Ablau leis ung Mi elwe 4,15% 5,04% 5,78% 6,19% Median4,15% 5,07% 5,84% 6,31% S andabweichung1,25% 2,50% 3,72% 4,94% 1%ͲQuan il1,19% Ͳ0,88% Ͳ3,14% Ͳ6,02% 5%ͲQuan il2,08% 0,88% Ͳ0,43% Ͳ2,16% 25%ͲQuan il3,31% 3,37% 3,31% 2,97% 75%ͲQuan il4,99% 6,74% 8,28% 9,52% 95%ͲQuan il6,19% 9,08% 11,83% 14,10% 99%ͲQuan il7,02% 10,76% 14,22% 17,20% 0%ͲSho all0,07% 2,36% 6,25% 10,74% 1%ͲSho all0,69% 5,50% 10,03% 14,61% 2%ͲSho all4,34% 11,22% 15,47% 19,41% Tabelle 5 Rendi ekennzahlen ü einen Spa plan mi mona lich gleichbleibenden ( o schüssigen) Spa a en bei eine Lau zei on 20 Jah en in Abhängigkei on de Ak- ienquo e (50000 Simula ionen) Ve gleich man die E gebnisse de Simula ion in Tabelle 4 mi den be echne en We en de Tabelle 3, so sind die ela i en Un e schiede dann nich zu e nachlässigen, wenn nu wenige We e ü die Beobach ung zu Ve ügung s ehen, wie zum Beispiel bei de Schä zung de 0%-Sho all-Wah scheinlichkei en. Eine wenn auch ge inge sys ema ische Abweichung de Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 33 - simulie en E gebnisse gegenübe den be echne en We en e gib sich auch aus dem Ums and, dass bei de Simula ion keine eine Cons an -Mix-S a egie e olg wi d, sonde n on Pe io- de zu Pe iode eine Buy-and-Hold-S a egie ge echne wi d ( gl. Abschni 1.3.1). Insgesam kann man jedoch es s ellen, dass die Simula ionen gu e Annähe ungen an die exak en We e lie e n. Bei einem Spa plan e geben sich bei gleiche Ak ienquo e e was höhe e du chschni liche Rendi e bei Ablau gegenübe einem Einmalin es men . Ve gleich man alle dings in Abbil- dung 3-4 (bzw. in den Tabellen 4 und 5) die Quan ile bei eine Einmalanlage mi denen eines Spa plans, so sieh man, dass sich die Quan ile bei einem Spa plan e was s ä ke sp eizen. Somi zeigen die Be echnungen auch, dass die e mein lichen Segnungen des Cos A e age- E ek s zumindes hin e ag we den müssen.21 Füh man Rendi e und Risiko zu einem Ren- di e-Risiko-P o il zusammen, so zeig sich, dass sich eine Einmalanlage und ein Spa plans kaum un e scheiden – gl. Abbildung 3-5. ABBILDUNG 3 -5: Ve gleich des Rendi e-Risiko-P o ils zwischen eine Einmalanlage und einem Spa plan bei eine Lau zei on T =20 Jah en. Es we den ü die Ak ienquo en E = 25%, 50%, 75% und 100% jeweils die S anda dabweichung und de Mi elwe de Rendi e bei Ablau in Beziehung gese z . (50000 Sim.) Die olgende Tabelle 6 zeig die Risikokennzahlen des Ve lau s, nämlich P ad-Vola, MDD und MRT, in Abhängigkei on de Ak ienquo e. 21Vgl. [Alb ech / Dus/ Mau e 2002] Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 34 -    MaxD awdown (Mi elwe ) MaxReco e yTime inMona en (Mi elwe ) Ak ienͲ quo e Rendi e (Mi elwe ) P adͲVola22 (Mi elwe ) EinmalͲ bei ag Spa Ͳ plan EinmalͲ bei ag Spa Ͳ plan 25%4.14%5.01%9.72%4.80%39.7911.31 50%5.09%10.01%23.73%14.51%66.1224.40 75%5.79%14.99%36.62%25.06%81.7734.82 100%6.20%19.97%48.09%35.41%93.2243,76 Tabelle 6 P ad-Vola/ MaxD awdown/ MaxReco e y Time bei eine Lau zei on T= 20 Jah en in Abhängigkei on de Ak ienquo e (50000 Simula ionen). Bei eine Ak ienquo e on 50% be äg die mi le e maximale E holungsphase bei einem Spa p ozess 24.40 Mona e; ein Spa e wi d also im Mi el eine Spa phase on meh als 2 Jah- en du chlau en, ohne dass sein Ve so gungskapi al ( o z egelmäßige Spa bei äge) einen zu o e eich en Ve mögenss and wiede e eich . 3.3.2 Rendi e- und Risiko-Kennzahlen in Abhängigkei on Lau zei Fü die olgenden Be echnungen un e s ellen wi eine gleichbleibende Ak ienquo e on 50% und un e suchen die Abhängigkei de Rendi e-/ Risiko-Kennzahlen on de Lau zei T des Ve ages, jeweils ü den Fall eine Einmalanlage und eines Spa plans mi kons an en Spa a- en. Wi be ach en zunächs die Quan ile in Abhängigkei zu Lau zei . In Abb. 3-6 wu de au de x-Achse die Res lau zei einge agen, um deu lich zu machen, dass ü einen Spa e (In es o ) die Unsiche hei hinsich lich Rendi e (bezogen au die Res lau zei ) zunimm . Dies is die Mo i a ion ü sogenann e Li e-Cycle-S a egien, bei de zum Ende des In es i ionszei aums die Risikoexposi ion zu ückge ah en wi d. Abbildung 3-6 bzw. Tabellen 7 und 8 zeigen alle - dings auch den Glä ungse ek in de Zei : Je länge de Anlageho izon , des o besse läss sich die Ablau endi e abschä zen. Die Un e schiede zwischen eine Einmalanlage und einem Spa plan sind nich seh ausgep äg . 22 Annualisie e Vola ili ä de beobach e en Mona s endi en (Mi elwe übe alle simulie en P ade) – gl. Ab- schni 2.2.2. Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 35 - ABBILDUNG 3 -6: Quan ile de Ablau endi e ü eine Einmalanlage (oben) bzw. Spa - plan (un en) bei Ak ienquo e on 50% in Abhängigkei on de Res lau zei T (50000 Simula ionen). Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 36 - Einmalanlage Mi elͲ Quan ile Twe 1%5%25%Median75%95%99% 15.03% Ͳ18.22% Ͳ11.33% Ͳ1.76% 4.95% 11.85% 21.55%28.53% 24.98% Ͳ11.34% Ͳ6.69% 0.18% 4.95% 9.75% 16.73%21.50% 34.99% Ͳ8.39% Ͳ4.50% 1.07% 4.97% 8.92% 14.51%18.45% 55.02% Ͳ5.31% Ͳ2.32% 2.01% 5.02% 8.00% 12.37%15.43% 75.04% Ͳ3.74% Ͳ1.17% 2.46% 5.01% 7.61% 11.27%13.89% 105.00% Ͳ2.29% Ͳ0.18% 2.88% 5.00% 7.13% 10.14%12.32% 155.00% Ͳ1.01%0.71% 3.26% 4.99% 6.76% 9.24%11.07% 205.00% Ͳ0.18%1.34% 3.48% 5.00% 6.51% 8.70%10.25% 305.00%0.72%1.98% 3.76% 4.99% 6.23% 8.01%9.30% 405.01%1.29%2.41% 3.93% 5.01% 6.08% 7.61%8.68% Tabelle 7 Kennzahlen zu Rendi e bei Ablau (Einmalbei ag, kons an e Ak ienquo e: 50%) in Abhängigkei on de Lau zei (50000 Simula ionen). Spa planmi gleichbleibendenmona lichen o schüssigenRa en Mi elͲ Quan ile Twe 1%5%25%Median75%95%99% 15.06% Ͳ21.11% Ͳ13.45% Ͳ2.62% 4.97% 12.73% 23.78%31.65% 25.02% Ͳ13.64% Ͳ8.26% Ͳ0.42% 5.01% 10.48% 18.32%23.70% 35.04% Ͳ10.34% Ͳ5.92% 0.54% 5.10% 9.52% 15.86%20.25% 55.07% Ͳ6.96% Ͳ3.38% 1.68% 5.09% 8.46% 13.42%16.84% 75.07% Ͳ5.15% Ͳ2.05% 2.21% 5.08% 7.99% 12.07%14.99% 105.07% Ͳ3.41% Ͳ0.84% 2.67% 5.10% 7.50% 10.86%13.24% 155.05% Ͳ1.87%0.22% 3.10% 5.09% 7.03% 9.77%11.69% 205.06% Ͳ0.82%0.92% 3.39% 5.09% 6.74% 9.10%10.73% 305.05%0.24%1.68% 3.71% 5.08% 6.42% 8.32%9.65% 405.05%0.92%2.16% 3.91% 5.07% 6.23% 7.84%8.97% Tabelle 8 Kennzahlen zu Rendi e bei Ablau (Spa plan, kons an e Ak ienquo e: 50%) in Abhängigkei on de Lau zei (50000 Simula ionen). Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 37 - EinmalanlageSpa plan S dͲ Sho allͲWah sch. S dͲ Sho allͲWah sch. Tabw.<0%<1%<2%abw.<0%<1%<2% 110.04%31.05%34.65%38.56% 11.34% 32.89% 36.18%39.58% 27.10%24.16%28.88%33.86% 8.07% 26.70% 30.97%35.39% 35.80%19.49%24.64%30.47% 6.63% 22.46% 27.20%32.34% 54.46%12.93%18.38%24.95% 5.09% 15.91% 21.01%26.95% 73.79%9.07%14.33%21.35% 4.30% 11.76% 17.07%23.44% 103.14%5.58%10.13%16.94% 3.57% 7.93% 12.91%19.61% 152.60%2.66%6.25%12.45% 2.91% 4.34% 8.33%14.76% 202.24%1.21%3.56%8.99% 2.49% 2.24% 5.32%11.03% 301.84%0.33%1.50%5.10% 2.02% 0.72% 2.50%6.77% 401.59%0.10%0.59%2.86% 1.73% 0.24% 1.11%4.11% Tabelle 9 Kennzahlen zu Rendi e bei Ablau (Einmalbei ag bzw. Spa plan mi gleich- bleibenden Spa a en, kons an e Ak ienquo e 50%) in Abhängigkei on de Lau zei (50000 Simula ionen). Abhängigkei de Risikokennzahlen on de Lau zei Schließlich wollen wi noch ü das Re e enzmodell de Cons -Mix-S a egie die Risikokenn- zahlen (P ad-Vola, MaxD awdown und MaxReco e yTime) in Abhängigkei on de Lau zei da s ellen. Wi gehen hie jeweils on eine gleichbleibenden Ak ienquo e on 50% aus – gl. Abb. 3-7 und Tabelle 10. Die Tabelle 10 zeig dabei, dass ü ku ze Lau zei en die P ad-Vola nied ige is als de heo e ische We ( gl. Tabelle 3); dies e klä sich aus de Ta sache, dass wi bei den Simula ionen 12 Teilpe ioden p o Jah zug unde legen; dies is ü ku ze Lau zei- en eine e häl nismäßig g obe Un e eilung. ABBILDUNG 3 -7: MaxD awdown und MaxReco e yTime bei eine Ak ienquo e on 50% in Abhängigkei on de Lau zei T (50000 Simula ionen). Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 38 -   P adͲVola (Mi elwe ) MaxD awdown (Mi elwe ) MaxReco e yTime (Mi elwe ) T EinmalͲ bei ag Spa planEinmalͲ bei ag Spa plan 19.78%7.10% 0.00% 6.19 0.00 29.91%10.22% 0.31% 11.68 0.29 39.94%12.31% 1.55% 16.63 1.17 59.98%15.10% 4.08% 25.21 3.22 79.99%17.13% 6.06% 32.68 5.63 109.99%19.31% 8.46% 42.40 9.61 1510.00%21.83% 11.79% 55.51 16.76 2010.01%23.67% 14.45% 66.19 24.31 3010.01%26.30% 18.54% 82.94 39.15 4010.01%28.12% 21.64% 95.42 53.13 Tabelle 10 P ad-Vola/ MaxD awdown / MaxReco e yTime bei eine gleichbleibenden Ak ienquo e on 50% in Abhängigkei on de Lau zei (50000 Simula ionen). 3.4 Kollek i es Spa en 3.4.1 Un e suchung des Basismodells Allen Be echnungen legen wi das in Abschni 2.1. da ges ell e Kapi alma k modell zug un- de, wobei wi das Modell mi 0.03, 0.2, 0.25 M SR P V kalib ie en. Des Wei e en wäh- len wi 1 12 ' , d.h. wi we en die Kapi alma k en wicklung mona lich aus und e lauben eine mona liche Anpassung de Asse -Alloka ion und de Dekla a ion. Das Basismodell wi d ein- deu ig du ch die Managemen pa ame e T , a, ˆ V , Z iel U sowie die S a ese e (0) U be- s imm . Basismodell mi eine LM-S a egie Wi be ach en zunächs den Fall 0a , d.h. es wi d lediglich die Dekla a ion angepass wäh- end die Risikoexposi ion kons an gehal en wi d. Dies bedeu e , dass die Kapi alanlage de Ak i sei e eine Cons an -Mix-S a egie olg . Fe ne nehmen wi an, dass die Dekla a ion mona lich (d.h. 12DpJ ) e olg . Wi un e s ellen 0 Z iel U U - zum S a zei punk gehen wi also on eine ausgeglichenen Re- se eposi ion aus. Da die Wahl de Dekla a ion nich on de absolu en Höhe de Rese e, Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 39 - sonde n on ˆ( ) ( ) Z iel U U U  abhäng , is im Basismodell die Simula ion unabhängig on de Wahl on Z iel U , solange zum S a zei punk jeweils 0 Z iel U U gil . Wi un e suchen zunächs den Ein luss de (gleichbleibenden) Risikoexposi ion ˆ V , was eine Ak ienquo e on ˆ ˆ M V E V en sp ich . Einmalbei ag Risikoexpos.ˆ V 0.050.10.150.2 Ak ienquo eˆ E 25%50%75%100% Rendi ede Ablau leis ung Mi elwe 4.15%5.00% 5.60% 5.99% Median4.16%5.01% 5.60% 6.02% S andabweichung1.01%2.01% 3.04% 4.00% 1%ͲQuan il1.73%0.33% Ͳ1.51% Ͳ3.45% 5%ͲQuan il2.49%1.72% 0.63% Ͳ0.64% 25%ͲQuan il3.47%3.65% 3.56% 3.36% 75%ͲQuan il4.82%6.35% 7.63% 8.69% 95%ͲQuan il5.80%8.26% 10.56% 12.65% 99%ͲQuan il6.49%9.80% 12.81% 15.57% 0%ͲSho all0.00%0.69% 3.23% 6.92% 1%ͲSho all0.11%2.27% 6.29% 10.70% 2%ͲSho all1.77%6.71% 11.72% 15.93% P adͲVola0.55%1.09% 1.64% 2.20% Tabelle 11 Rendi ekennzahlen ü eine Einmalanlage (kollek i es Spa en) bei eine Lau zei on T = 20 Jah en in Abhängigkei on de Ak ienquo e (a= 0, 0.4 T , 10.000 Simula ionen) Man kann zeigen, dass im zei s e igen Modell im Fall a= 0 die Rendi e de Ablau leis ung bei eine Einmalanlage no mal e eil is mi 23   2 1 2 1 ( ) 1 exp( ) ˆ ˆ ln (0) (0) SR Ziel V T T T V T T P V V U U § · § ·       ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹      21 exp( ) 1 exp( ) ˆ 1 ( ) Va ln 1 (0) 2 T T V T T V T T T T V T § ·    § · § ·  ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ © ¹ . 23 Vgl. [Goecke 2011] P oposi ion 4.1 Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 46 - Einmalanlagelau ende Spa bei ag s a eg.AQˆ E 50% 50% 50% 50% 50%50% Anpassungspa .a0.6 0.6 0.6 0.6 0.60.6 Anpassungspa . T 0.2 0.3 0.4 0.2 0.30.4 du chschni l.AQ43.3%% 45.4% 46.6% 43.3%% 45.4%46.6% Rendi ede Ablau leis ung Mi elwe 4.63% 4.67% 4.79% 4.62% 4.68%4.82% Median3.96% 4.06% 4.29% 3.80% 3.93%4.17% S andabweichung2.27% 2.36% 2.40% 2.59% 2.68%2.73% 1%ͲQuan il1.89% 1.54% 1.22% 1.65% 1.27%0.92% 5%ͲQuan il2.24% 2.01% 1.84% 2.01% 1.75%1.56% 25%ͲQuan il3.05% 3.01% 3.06% 2.83% 2.79%2.84% 75%ͲQuan il5.53% 5.71% 6.00% 5.57% 5.82%6.19% 95%ͲQuan il9.45% 9.40% 9.47% 10.11% 10.14%10.23% 99%ͲQuan il12.36% 12.80% 12.30% 13.82% 13.78%13.42% 0%ͲSho all0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00%0.01% 1%ͲSho all0.00% 0.06% 0.43% 0.00% 0.30%1.33% 2%ͲSho all1.95% 4.86% 6.89% 4.82% 8.54%10.05% P adͲVola270.79% 1.03% 1.26% 0.79% 1.03%1.26% Tabelle 17 Rendi ekennzahlen bei eine Lau zei on T = 20 Jah en in Abhängigkei om Anpassungspa ame e {0.2, 0.3, 0.4} T  – kollek i es Spa en (10000 Sim.)28 Einmalanlagelau ende Spa bei ag s a eg.AQˆ E 50%50%50%50%50%50% Anpassungspa .a0.60.60.60.60.60.6 Anpassungspa . T 0.20.30.40.20.30.4 MaxD awdown Mi elwe 0.00%0.07%0.69%0.00%0.00%0.00% Median0.00%0.24%0.87%0.00%0.00%0.00% MaxReco e yTime Mi elwe 0.009.3724.620.000.000.01 Median0.006.0020.00000 Tabelle 18 MaxD awdown und Max Reco e yTiem wäh end des Anlagezei aumes on 20 Jah en (10000 Sim.). 27 Annualisie e Vola ili ä de beobach e en Mona s endi en (Mi elwe übe alle simulie en P ade) – gl. Ab- schni 2.2.2. 28 Da die Einmalanlage und de Spa plan au de Basis des selben Simula ionslau ens ausgewe en wu den, s immen die du chschni lichen Ak ienquo en und die P ad-Vola ili ä en übe ein. Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 47 - Abhängigkei de Rendi e-/Risiko-Kennzahlen on de Lau zei Wi wollen nun noch die Abhängigkei on de Lau zei T da s ellen. Hie bei legen wi ü das kollek e Spa en die olgenden Pa ame e zug unde: 0 ˆ0.1, 0.15 Ziel V U U , sowie 0.3 T und 0.6a . Bei diese Wahl de Pa ame e is die Ruinwah scheinlichkei seh ge- ing und lieg selbs bei 40-jäh ige Lau zei un e 0.5% ( gl. Tabelle 22). ABBILDUNG 3 -10: Quan ile de Ablau endi e ü eine Einmalanlage (oben) und eine Spa - plan (un en) kollek i es Spa en ( 0 ˆ0.1, 0.15 Ziel V U U , 0.3 T , a = 0.6), 10000 Sim.) Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 48 - Einmalanlage Mi elͲ Quan ile Twe 1%5%25%Median75%95%99% 14.92%1.59%2.30% 3.51% 4.65% 6.03% 8.47%10.56% 24.87%1.13%1.79% 3.06% 4.39% 6.10% 9.75%12.73% 34.82%0.96%1.60% 2.86% 4.19% 6.12% 10.34%13.62% 54.81%0.92%1.52% 2.69% 4.00% 6.03% 11.02%14.78% 74.75%1.02%1.57% 2.68% 3.91% 5.95% 10.96%14.77% 104.78%1.17%1.70% 2.77% 3.94% 5.93% 10.76%14.69% 154.72%1.37%1.86% 2.92% 4.06% 5.85% 9.96%13.71% 204.67%1.49%1.98% 2.99% 4.10% 5.71% 9.44%12.59% 304.67%1.77%2.23% 3.20% 4.23% 5.66% 8.72%11.01% 404.72%1.98%2.45% 3.39% 4.36% 5.68% 8.23%10.44% Tabelle 19 Kennzahlen zu Rendi e bei Ablau in Abhängigkei on de Lau zei (Ein- malanlage. 0 ˆ0.1, 0.15, 0.3, 0.6 Ziel a V U U T . 10.000 Sim.). lau ende Spa bei ag Mi elͲ Quan ile Twe 1%5%25%Median75%95%99% 14.89%0.93%1.67% 3.13% 4.48% 6.25% 9.47%12.02% 24.82%0.56%1.21% 2.65% 4.12% 6.25% 10.98%14.83% 34.77%0.47%1.06% 2.36% 3.87% 6.26% 11.73%16.02% 54.72%0.52%1.03% 2.27% 3.68% 6.03% 12.36%16.97% 74.73%0.60%1.11% 2.30% 3.67% 5.99% 12.41%16.77% 104.77%0.81%1.32% 2.47% 3.77% 6.04% 11.73%16.23% 154.66%1.05%1.55% 2.62% 3.83% 5.81% 10.78%14.91% 204.72%1.23%1.75% 2.80% 4.00% 5.96% 10.20%13.79% 304.71%1.55%2.05% 3.08% 4.18% 5.80% 9.23%12.01% 404.73%1.78%2.27% 3.27% 4.29% 5.80% 8.62%10.86% Tabelle 20 Kennzahlen zu Rendi e bei Ablau in Abhängigkei on de Lau zei (Spa - plan. 0 ˆ0.1, 0.15, 0.3, 0.6 Ziel a V U U T . 10.000 Sim.). Hie wi d die besonde e Cha ak e is ik des kollek i en Spa ens deu lich; wäh end nämlich bei einem Fondsspa en (Cons an -Mix-S a egie) zum Ende des Anlagezei aums sich de Quan- ils-T ich e ö ne ( gl. Abb. 3-6) is e beim kollek i en Spa en nahezu gleichbleibend eng (Abb. 3-10, die Skalie ung wu de aus G ünde de Ve gleichba kei gegenübe de Abb. 3-6 beibehal en). Dies is aus Sich de Spa e ein e wünsch e E ek , da e zum Ende de Lau - zei imme wenige die Möglichkei ha , sich au eine Ve ände ung seines Ve so gungsni- eaus einzus ellen. Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 49 - Einmalanlagelau ende Spa bei ag S dͲ Sho allͲWah sch. S dͲ Sho allͲWah sch. Tabw.<0%<1%<2%abw.<0%<1%<2% 11.91%0.00%0.15% 2.70% 2.40% 0.03% 1.13%8.28% 22.46%0.00%0.57% 7.04% 3.05% 0.06% 3.20%14.80% 32.77%0.00%0.94% 10.12% 3.36% 0.08% 4.44%18.78% 52.98%0.00%1.01% 11.89% 3.54% 0.06% 4.57%20.13% 73.02%0.00%1.14% 11.33% 3.53% 0.01% 3.75%18.95% 102.89%0.00%0.54% 9.74% 3.34% 0.00% 2.00%16.15% 152.60%0.00%0.17% 7.16% 2.96% 0.00% 0.85%12.07% 202.38%0.00%0.07% 5.04% 2.71% 0.00% 0.29%8.78% 302.02%0.00%0.00% 2.45% 2.26% 0.00% 0.04%4.41% 401.79%0.00%0.00% 1.14% 2.00% 0.00% 0.00%2.21% Tabelle 21 Kennzahlen zu Rendi e bei Ablau in Abhängigkei on de Lau zei (0 ˆ0.1, 0.15, 0.3, 0.6 Ziel a V U U T , 10000 Sim.).     P adͲVola MaxD awdown (Mi elwe ) MaxReco e yTime (Mi elwe ) T RuinͲ Wah sch.EinmalͲ anlage lau ende  Spa beiͲ ag EinmalͲ anlage lau ende  Spa beiͲ ag 10,00%0.42% 0.00% 0.00% 0.040.00 20,00%0.54% 0.01% 0.00% 0.310.00 30,02%0.61% 0.01% 0.00% 0.800.00 50,04%0.71% 0.03% 0.00% 1.970.00 70,04%0.79% 0.05% 0.00% 3.090.00 100,12%0.88% 0.08% 0.00% 4.790.00 150,19%0.96% 0.13% 0.00% 7.220.00 200,20%1.04% 0.17% 0.00% 9.280.00 300,29%1.12% 0.23% 0.00% 12.700.02 400,42%1.17% 0.28% 0.00% 15.310.19 Tabelle 22 Risikokennzahlen in Abhängigkei on de Lau zei ( ˆ0.1 V , 0 Z iel U U = 0.15, 0.3 T , a= 0.6, 10000 Sim.) Ve gleich man die We e de Tabellen 21 und 22 mi den ko espondie enden We en ü ei- ne Cons -Mix-S a egie (Tabellen 9 und 10), so zeig sich die Übe legenhei des kollek i en Spa ens – zumindes im Hinblick au die hie e wende en Risikokennzahlen. Be ach e man die S anda dabweichung de Ablau endi e, so zeig sich, dass bei langen Daue n, das kollek- i e Spa en keinen Vo eil b ing , dass abe zum Ende des Spa p ozesses, also bei kü ze en Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 50 - Lau zei en bei kollek i en Spa en die S anda dabweichung sink , wäh end bei de Cons -Mix- S a egie diese s eig . 3.4.2 Rendi e-Risiko-P o ile Zu Illus a ion des Zusammenhangs on Rendi e und Risiko wollen wi im Folgenden di e - se Anlages a egien in einem Rendi e-Risiko-Diag amm da s ellen. Hie bei besch änken wi uns au den Fall de Einmalanlage und wählen als Rendi e-Kennzahl jeweils den Mi elwe de beobach e en Rendi en. Als Risiko-Kennzahl wählen wi al e na i : die S anda dabweichung de beobach e en Rendi en bei Ablau Vola ili ä des Rendi e-P ades (P ad-Vola) (Mi elwe de beobach e en P ad-Volas) Maximum D awdown wäh end de Lau zei (Mi elwe de beobach e en MDDs) Maximum Reco e y Time wäh end de Lau zei (Mi elwe de beobach e en MRTs) Zunächs e gleichen wi die Rendi e-Risiko-P o ile de Cons an -Mix- de Buy-and-Hold- und de CPPI-S a egie, jeweils ü T = 5 und T = 20 Jah e. Fü die Cons an -Mix- und die Buy-and-Hold-S a egie wu den jeweils Ak ienquo en on 10%. 20%. …. 100% zug unde geleg . Fü die CPPI-S a egie wu de als Zielkapi al 100% des Anlagebe ages un e s ell und (lau zei abhängig) un e schiedliche Ve iel äl ige gewähl .29 T=5Cons an ͲMixͲS a egie Ak ienͲ quo eRendi eSTDVolaMDDMRT 03%0 0 0 0 10%3.48%0.90% 2.00% 1.61% 8.9 20%3.93%1.79% 4.00% 4.71% 16.4 30%4.32%2.69% 5.99% 8.15% 20.8 40%4.69%3.58% 7.98% 11.65% 23.4 50%5.02%4.50% 9.97% 15.11% 25.2 60%5.27%5.38% 11.96% 18.53% 26.6 70%5.52%6.25% 13.94% 21.85% 27.6 80%5.72%7.14% 15.93% 25.03% 28.5 90%5.89%8.04% 17.92% 28.10% 29.3 100%6.00%8.98% 19.91% 31.16% 29.9 Tabelle 23 Rendi e-Risiko-P o il. Cons -Mix-S a egie. T=5 Jah e (50000 Sim.) 29 De G ad des gewähl en Risikos bei eine CPPI-S a egie s a wie hie übe den Ve iel äl ige al e nan i übe das Zielkapi al s eue n; zu Besch eibung de CPPI-S a egie siehe Anhang. Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 51 - T=5BuyͲandͲHoldͲS a egie Ak ienͲ quo eRendi eSTDVolaMDDMRT 03%0 0 0 0 10%3.53%1.12% 2.23% 2.04% 10.1 20%3.98%2.15% 4.36% 5.38% 18.2 30%4.39%3.13% 6.42% 8.88% 22.7 40%4.71%3.99% 8.40% 12.39% 25.2 50%5.07%4.85% 10.36% 15.76% 26.7 60%5.31%5.69% 12.27% 19.04% 27.8 70%5.55%6.47% 14.19% 22.23% 28.5 80%5.73%7.26% 16.09% 25.32% 29.1 90%5.87%8.08% 18.00% 28.28% 29.6 100%5.98%8.91% 19.92% 31.19% 30.0 Tabelle 24 Rendi e-Risiko-P o il. Buy&Hold-S a egie. T= 5 Jah e (50000 Sim.) T=5CPPIͲS a egie(Va ian e1) Hebel Rendi eSTDVolaMDDMRT 03%0 0 0 0 0.43.28%0.54% 1.16% 0.62% 4.5 0.83.57%1.19% 2.42% 2.27% 11.0 1.23.86%1.92% 3.77% 4.42% 16.3 1.64.11%2.75% 5.20% 6.89% 20.4 2.04.35%3.61% 6.68% 9.47% 23.9 2.44.55%4.42% 8.05% 11.86% 26.6 2.84.67%4.99% 9.21% 13.81% 28.8 3.24.75%5.47% 10.09% 15.26% 30.7 3.64.81%5.86% 10.75% 16.41% 32.3 4.04.84%6.15% 11.25% 17.24% 33.6 Tabelle 25 Rendi e-Risiko-P o il. CPPI-S a egie. T=5 Jah e, Zielwe =100%, H ebel  {0.4, 0.8, …, 4.0} (50000 Sim.) T=20Cons an ͲMixͲS a egie Ak ienͲ quo eRendi eSTDVolaMDDMRT 03%0 0 0 0 10%3.48%0.45% 2.01% 2.33% 15.0 20%3.92%0.90% 4.01% 7.06% 32.6 30%4.33%1.35% 6.01% 12.51% 46.3 40%4.67%1.79% 8.01% 18.13% 57.4 50%4.98%2.22% 10.00% 23.74% 66.1 60%5.27%2.67% 12.00% 29.11% 73.3 70%5.53%3.10% 13.99% 34.08% 79.1 80%5.72%3.56% 15.99% 39.15% 84.5 Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 52 - 90%5.88%4.05% 17.98% 43.84% 89.3 100%6.00%4.46% 20.00% 48.08% 93.6 Tabelle 26 Rendi e-Risiko-P o il. Cons -Mix-S a egie.T= 20 Jah e (50000 Sim.) T=20BuyͲandͲHoldͲS a egie Ak ienͲ quo eRendi eSTDVolaMDDMRT 03%0 0 0 0 10%3.68%0.99% 3.11% 5.76% 24.9 20%4.17%1.60% 5.58% 12.08% 43.9 30%4.55%2.07% 7.70% 17.69% 57.7 40%4.87%2.49% 9.63% 22.88% 68.2 50%5.15%2.86% 11.45% 27.65% 75.7 60%5.37%3.19% 13.17% 32.09% 81.6 70%5.60%3.52% 14.88% 36.41% 85.6 80%5.75%3.80% 16.54% 40.49% 88.9 90%5.90%4.14% 18.23% 44.32% 91.4 100%5.99%4.46% 19.97% 48.11% 93.6 Tabelle 27 Rendi e-Risiko-P o il. Buy&Hold-S a egie. T= 20 Jah e (50000 Sim.) T=20CPPIͲS a egie(Va ian e1) Hebel Rendi eSTDVolaMDDMRT 03%0 0 0 0 0.23.46%0.44% 1.90% 2.14% 14.1 0.43.90%0.96% 3.96% 7.00% 32.6 0.64.33%1.52% 6.13% 12.93% 48.1 0.84.71%2.12% 8.35% 19.16% 61.2 1.05.03%2.69% 10.59% 25.39% 72.3 1.25.27%3.23% 12.73% 31.05% 81.7 1.45.44%3.63% 14.40% 35.16% 89.4 1.65.51%3.85% 15.53% 37.85% 94.6 1.85.58%4.05% 16.26% 39.59% 98.4 2.05.64%4.17% 16.79% 40.76% 100.3 2.45.62%4.29% 17.28% 42.23% 103.8 2.85.66%4.38% 17.55% 42.97% 104.8 3.25.61%4.39% 17.66% 43.49% 105.7 3.65.60%4.45% 17.71% 43.85% 106.4 4.05.64%4.49% 17.80% 44.04% 105.9 Tabelle 28 Rendi e-Risiko-P o il. CPPI-S a egie. T=20 Jah e. Zielendwe =100%. H ebel {0.2,0.4,..., 2.0, 2.4, ...., 4.0}(50000 Sim.) Die olgenden Abbildungen illus ie en die Da en de oben s ehenden Tabellen. Bei de Cons- an -Mix- und Buy-and-Hold-S a egie ma kie en die Punk e de G a ik die Ak ienquo en on Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 53 - 10% bis 100%. Bei eine Ak ienquo e on 100% allen die S a egien Cons an -Mix und Buy- and-Hold zusammen. Die Punk e de G a iken de CPPI-S a egie ma kie en un e schiedliche We e ü den Hebel, nämlich m= 0.2, 0.4, …, 4.0. Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 54 - ABBILDUNG 3 -11: Rendi e-Risiko-P o ile ü eine Einmalanlage; die O dina e zeig den Mi elwe de beobach e en Rendi en bei Ablau des Anlagezei aum on T = 5 Jah en (jeweils 50000 Sim.). Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 55 - ABBILDUNG 3 -12: Rendi e-Risiko-P o ile ü eine Einmalanlage; die O dina e zeig den Mi elwe de beobach e en Rendi en bei Ablau des Anlagezei aum on T = 5 Jah en (jeweils 50000 Sim.). Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 62 - sich igung eine un e en In e en ionsg enze (hie : min 0.02 U ). Die Abbildungen zei- gen das Risiko-P o il bezogen au die S anda dabweichung de Rendi e bei Ablau und de Vola ili ä des Rendi e-P ades. Au eine Da s ellung de Risikokennzahlen MaxD awdown und MaxReco e yTime kann e zich e we den, da bei einem Ga an ie- zins on Null ein Spa plan im Hinblick au diese beiden Kennzahlen isikolos is . ABBILDUNG 3 -15: Rendi e-Risiko-P o ile ü eine Einmalanlage; die O dina e zeig den Mi elwe de beobach e en Rendi en bei Ablau des Anlagezei aum on T = 5 Jah en (obe e Zeile) bzw. T = 20 (un e e Zeile). Besch änkung de Rese equo e nach oben De Nu zen aus dem kollek i en Spa en esul ie aus de Möglichkei , die kolek i e Rese e au - ode abzubauen. Je nach Kapi alma k en wicklung müssen dahe eilewei- se hohe Rese en au gebau we den. Die olgende Abbildung zeig die Ve eilung de Schluss ese equo e bei eine Lau zei on T= 20 Jah en beim kollek i en Spa en un e Zug undelegung de Basis egel mi olgenden Pa ame e n: a = 0.6, 0.3 T , ˆ0.1 V , und 00.15 Ziel U U . Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 63 - ABBILDUNG 3 -16: Ve eilung de Rese equo e bei Ablau nach T = 20 Jah en (kol- lek i es Spa en, 0 ˆ 0.6, 0.3, 0.1, 0.15 Ziel a T V U U ): Basis egel (ohne Be- sch änkung) und modi izie e Regel mi max 0.20 U (jeweils 10000 Sim.) Die du chschni liche Rese equo e bei Ablau be äg bei de Basis egel (d.h. ohne Be- sch änkung de Rese equo e nach oben) 14.96%, dies en sp ich in e wa de Ziel ese - equo e. Bei den 10000 Simula ionen, denen das obige His og amm zug unde, wu de ein maximale Rese equo e on übe 100%31 beobach e – gl. Tabelle 35. Eine Beg enzung de Rese equo e nach oben32 üh jedoch dazu, dass die Anpassungs- egeln des Basismodells (Gl. 2-4 und Gl. 2-5) nich meh gewäh leis en, dass im Du ch- schni die Ziel ese equo e (hie 0.15 Ziel U ) e eich wi d. Wi d beispielsweise ab ei- ne Rese equo e on max 0.20 U die Rese e du ch eine Sonde ausschü ung abge- bau , so üh dies zu eine du chschni lichen Schluss ese equo e on 9,72% U ; die anges eb e Ziel ese equo e wi d somi nich e eich . 31 Man beach e, dass eine (log-) Rese equo e on 100% eine „üblichen“ Rese equo e on 1/e-1§63% en sp ich . 32 Im obigen His og amm we den auch im Falle de modi izie en Regel Rese equo en on übe 20% beobach e ; dies lieg da an, dass nach eine Sonde ausschü ung (die die Rese equo e zu Beginn de Pe- iode au 20% beg enz ) inne halb de Pe iode die Rese e wiede anges iegen sein kann. Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 64 - ohneBeͲ sch änkungmax 0.6 U max 0.4 U max 0.2 U  Rese equo ebeiAblau (T=20) Mi elwe 14,96% 14,17% 12,45%9,72% Median10,39% 10,08% 9,69%8,63% S andabweichung28,55% 27,03% 24,06%20,36% 1%ͲQuan il1,87% 1,68% 1,69%1,60% 5%ͲQuan il3,08% 2,99% 2,98%2,77% 25%ͲQuan il6,30% 6,13% 5,93%5,60% 75%ͲQuan il18,07% 17,75% 16,12%13,13% 95%ͲQuan il44,76% 41,46% 32,43%20,19% 99%ͲQuan il65,82% 57,23% 41,95%24,17% beobach e esMinimum0,55% 0,25% 0,48%0,36% beobach e esMaximum102,20% 74,47% 54,34%31,17% Ruinwah scheinlichkei 0,25% 0,28% 0,26%0,19% Rendi ebeiAblau   Mi elwe 4,72% 4,75% 4,81%4,71% ko igie e Mi elwe 334,72% 4,71% 4,68%4,45% Median4,14% 4,12% 4,23%4,53% S anda dabweichung2,37% 2,44% 2,37%1,80% P adͲVola1,04% 1,32% 2,03%2,71% MaxD awdown0,16% 0,17% 0,17%0,20% MaxReco e yTime9,10 9,54 9,6510,92 Tabelle 35 Kennzahlen zu Ve eilung de Schluss ese equo e ( gl. Abb. 3-16), de Rendi e bei Ablau sowie Risikokennzahlen in Abhängigkei on de Rese - ebeg enzung max U . Somi bewi k die Beg enzung de Rese e (im Du chschni ) einen Abbau de Rese - eposi ion ( on an änglich 015% U au 9,72% U ); dies wiede um bedeu e eine sys ema ische Um e eilung zuguns en de indi iduellen Gu haben. Die ausgewiesene mi le e Rendi e wi d also ges ü z du ch den Rese eabbau. Ko igie man die mi le- en Rendi en um diesen E ek , so e gib sich insgesam eine ge inge Ve schlech e ung de Rendi en gegenübe de Basis egel ohne Besch änkung de Rese e nach oben. Dies wiede um is auch plausibel, da du ch die Beg enzung de Rese e nach oben au g und de Regel (Gl. 2-4) die Risikoexposi ion nied ige aus äll und somi (im Du chschni ) auch nied ige e Rendi en e ziel we den können. 33 e gib sich als: nich -ko . Mi elwe abzgl. 1/20 des du chschni lichen Rese eabbaus Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 65 - 4 Zusammen assung und Ausblick Die oben du chge üh en Simula ions echnungen dienen o allem de Ve anschauli- chung de Wi kungsweise des kollek i en Spa p ozesses. Die E gebnisse des zei s e i- gen Modells, das in [Goecke 2011] o ges ell wu de, we den du ch die Mon e-Ca lo- Simula ion bes ä ig bzw. e gänz . Folgendes konn e nachgewiesen we den: xDas kollek i e Spa en bewi k einen deu lich messba en Zusa znu zen ü den Spa e . De Zusa znu zen kann auch als En lohnung ü die Ve ags eue au ge- ass we den. xDas Spa e kollek i kann aus eigene K a „Ga an ien“ gene ie en: Bei eine Zielak ienquo e on 50% kann bei eine Ruinwah scheinlichkei on 0,82% (bei 20 Jah en Lau zei !) eine 0-Zins-Ga an ie (mi mona lichem Lock-in!) gewäh we den – gl. Tabelle 32. xDe Risikoausgleich im Kollek i e laub eine ungleich höhe e Risikoexposi ion als bishe im klassischen Lebens e siche ungsgeschä üblich. xDie Möglichkei Rese en au - und abzubauen is G und o ausse zung ü das kollek i e Spa en. Bei eine Zielak ienquo e on 50% (und de dami e bunde- ne Ziel ese equo e on 0.15 Ziel U 34 - gl. Tabellen 14-16) is eine Beg enzung de Rese equo e au max 0.4 U 35 ohne subs anzielle Schwächung des Aus- gleichsmechanismus möglich ( gl. Tabelle 35). Alle Be echnungen basie en alle dings au einem seh ein achen Kapi alma k modell ( gl. Abschn. 2-1). Vo allem zwei Annahmen sind p oblema isch: xEs wi d ein es e siche e Zins un e s ell . Ta sächlich is wede de ku z is ige (Geldma k -) Zins noch de lang is ige Zins ü siche e S aa sanleihen kons an . In den le z en Jah zehn en konn e man im DM/ Eu o-Raum eno men Schwan- kungen bei den ku z- und lang is igen Zinsen beobach en.36 xFü die We en wicklung des Ma k po olios (bzw. eines b ei ges eu en Ak- ienpo olios) wi d eine geome ische B ownsche Bewegung un e s ell . Fü ei- nen Zei ho izon on meh e en Jah zehn en is dies eine ehe un ealis ische An- nahme, da hie bei mak oökonomische Zusammenhänge olls ändig ausgeblen- de we den. So zeigen Analysen des lang is igen Ku s-Gewinn-Ve häl nisses 34 Dies en sp ich eine Rese equo e (im üblichen Sinne) on 1-Exp(-0.15) = 13,9%. 35 dies en sp ich eine Rese equo e (im üblichen Sinne) on 33,0%. 36 Zwischen 04.1974-05.2012: Minimum/Maximimum Geldma k : 0.25% (05.2012)/ 15.78% (07.1973) bzw. ü 9-10jäh ige Inhabe schuld e sch eibungen: 1.5% (05.2012)/ 11.0% (07.1974). Quelle: Deu sche Bundesbank Zei eihen BBK01.SU0101 und BBK01.WU8608. Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 66 - (KGV), dass das KGV eine Mean-Re e sion-Tendenz zeig ,37 insbesonde e also nich „gedächnislos“ is . Dies bedeu e , dass die nach dem da ges ell en Simula ions e ah en gene ie en P ade nu seh eingesch änk die ökonomische Reali ä da s ellen können. Alle dings geh es im Ke n bei den obigen Simula ions echnungen wenige da um, die ökonomische Reali- ä zu simulie en als ielmeh da um zu zeigen, wie sich Schwankungen de Kapi al- mä k e au das Sys em des kollek i en Spa ens auswi ken. Soll en Ak ien bzw. b ei ge- s eu e Ak ienpo olios (übe das KGV) eine Mean-Re e sion-Eigenscha haben, so is im Üb igen anzunehmen, dass de oben besch iebene kollek i e Risikoausgleich noch leis ungs ähige is . Das kollek i e Spa en is ein adap i e P ozess: Die Ve zinsung de Spa e kann nich sys ema isch alsch (zu hoch ode zu nied ig) sein, da die Rese equo e in gewisse Weise als eine Kon oll-Ins anz ungie . De Dekla a ionsp ozess in (Gl. 2-5) se z eine Schä zung de e wa e en Po olio e zinsung o aus. Im Black-Scholes-Modell is de Schä zwe kla bes imm , nämlich 2 1 2 ( ) ( ) ( ) SR P P V V   , in de Reali ä i an die S elle on ( ) P ein bes e Schä ze de Pe o mance un e Be ücksich igung de Anlages uk u . Vo de Au gabe, die zukün ige 1-Jah es-Pe o mance eines Anlage- po olios zu schä zen, s ehen alle Un e nehmen, die nach IFRS ih e (Ne o-) Ve p lich- ung aus eine be ieblichen Al e s e so gung bewe en müssen.38 Die Vo a bei en in [Goecke 2011] und die obigen Un e suchungen okussie en au ei- nem heo e ischen Ansa z, das linea e ALM-Modell. Viele F agen heo e ische , o al- lem abe p ak ische Na u bedü en wei e e Un e suchungen: Theo ie des Kollek i en Spa ens: xEn wicklung geeigne e K i e ien ü ein „op imales“ ALM xVe allgemeine ung des Kapi alma k modells xUn e suchung des P oblems de An angs ese e39 xEinbeziehung de Ren enphase un e Be ücksich igung eine zu älligen Lebens- daue xBe ücksich igung on Eigenkapi al: Welche Funk ion soll das Eigenkapi al übe nehmen und welche En lohnung wä e angemessen? F agen de p ak ischen Umse zung des Kollek i en Spa ens: 37 Vgl. [Shille 2005], [Shille 2012], [Alb ech / Kan a / Xiao 2003] 38 Vgl. IAS 19, Pa a. 105 . 39 S a e ein Kollek i mi de An angs ese e on 0 und soll in 20Jah en eine Ziel ese e on 15% e - eich wa den, so muss jede Spa e im Du chschni au 15%/20, also und 0.75% Rendi e e zich en. Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 67 - xWelche (au sich s-) ech lichen Rahmenbedingungen sind ü die Ein ich ung eines Fonds ü kollek i es Spa en e o de lich? xIn einem Sys em des kollek i enSpa ens is ein jede zei ige Rückkau on indi- iduellen Gu haben zu Zei we en ausgeschlossen. Was is ein adäqua e Rück- kau swe bzw. wie kann bei einem Rückkau eine Spekula ion gegen das Kol- lek i e mieden we den? xWie könn e ein passendes O ganisa ionsmodell aussehen? Insbesonde e s ell sich die F age nach eine anspa en en Du ch üh ung des Modells. xIs ein kollek i es Spa modell ma k ähig? Die kapi algedeck e Al e s e so - gung is ü iele a ak i , weil sie hie indi iduell o so gen können und nich wie bei de Gese zlichen Ren en e siche ung an einem kollek i en/ sozialen Ausgleich eilnehmen. Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 68 - Anhang: CPPI-S a egie Wi besch änken uns hie au ein ein aches CPPI-Modell und un e s ellen ü den Kapi- alma k das oben besch iebene ein ache Black-Scholes-Kapi alma k modell mi eine siche en Anlage mi gleichbleibendem Zins P und eine Ak ienanlage   ( ) (0) exp M M M M P P W P V  mi 2 1 2 M M SR M P P V V   . Ausgehend on einem es en Anlageho izon [0, ]T wi d es geleg , welchen An eil 0 [ ! des An angsin es men s 0 F zum Ablau des Anlagezei aums mindes ens zu Ve ügung s ehen soll. In es ie man zum Zei punk :0 T d d einen Be ag on   0 ( ): exp ( )F F T [ P   in die siche e Anlage, so e gib dies zum Ablau zei punk T ein End e mögen on 0 F [ . Is ( )F das Anlage e mögen zum Zei punk , so be- zeichne man ( ) ( )F F  als das Cushion. Is ( ) ( ) 0F F  , so bedeu e dies, dass das ak uelle Ve mögen aus eich , um das anges eb e Ziel e mögen 0 F [ siche zu e - eichen. Die CPPI-S a egie bes eh nun da in, zu jedem Zei punk ein m- aches (m> 0) des je- weiligen Cushion in das Ma k po olio anzulegen. m bezeichne man auch als Hebel ode Ve iel äl ige de CPPI-S a egie. Fü die Folgepe iode wi d also de Be ag   ( ) ( )m F F  in das Ma k po olio und de Res   ( ) ( ) ( ) F m F F   siche ange- leg . Hie sind zwei Va ian en zu un e scheiden. Bei de S anda d a ian e (Va ian e 1) is de Ak ienan eil au das Fonds e mögen besch änk , d.h. in das Ma k po olio wi d a - sächlich nu     ( ), ( ) ( ) M in F m F F  in es ie . In de Va ian e 2 (CPPI ohne Besch änkung) wi d au diese Besch änkung e zich e ; dies bedeu e , dass dann de das ak uelle Fonds e mögen übe schießende Ak ienan eil du ch K edi (zum siche en Zins P ) inanzie wi d. Man kann zeigen, dass im zei s e igen Modell bei beiden Va ian en gil :40 0 ( )F T F [ ( as siche ), so e n 0 0 (0) exp( )F F T F [ P  d . Man beach e, dass ü 1md beide Va ian en übe eins immen. Fü die Va ian e 2 läss sich das End e mögen explizi da s ellen. Es gil :41 40 Vgl. [Cipollini 2008] Theo em 3.3 41 Vgl. [Cipollini 2008] Theo em 3.3 Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 69 -     ( ) 0 0 0 ( ) exp( ) exp m M T F T F F F T m W [ [ P P V     . wobei ( ) 2 1 2 : ( ) m M SR M m m P P V V   . Dies en sp ich also eine Buy-and-Hold-S a egie mi einem „gehebel en“ Ma k po o- lio. Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 70 - Li e a u [Alb ech / Dus/ Mau e 2002] Alb ech , Dus, Mau e , Ruckpaul: Cos A e age- E - ek : Fak ode My hos, Mannheime He zu Risiko heo ie, Po olio Managemen und Ve siche ungswi scha , N . 140, 10/2002; h p://insu ance.bwl.uni-mannheim.de/ download /ex e n /mm/mm140.pd [Alb ech / Kan a / Xiao 2003] Alb ech , Pe e ; Kan a , Cemil; Xiao, Yanying: Mean Re e sion-E ek e au dem deu schen Ak ienma k : S a is ische Analysen de En wick- lung des DAX-KGV, A bei spapie No. 04-08 des Sonde o schungsbe eichs 504, Uni- e si ä Mannheim 2003, www.s b504.uni-mannheim.de/publica ions/dp04-08.pd , download om 30.12.2005. [Bacon 2008] Bacon. Ca l R.: P ac ical Po olio Pe o mance Measu emen and A - ibu ion; 2nd edi ion. John Wiley & Sons. L d. Chiches e (England) 2008. [Cipollini 2008] Cipollini. Alessand o Paolo Luigi. Capi al P o ec ion: Modeling he CPPI Po olio (Augus 2008); h p://ss n.com/abs ac [Goecke 2011] Goecke. Oska : Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich; Ins i u ü Ve siche ungswesen. Fo schungss elle FaRis. Wo king Pape 01/2011. h p://www. h-koeln.de/ a is. [Magdon-Ismail e.a. 2004] Magdon-Ismail. Malik; A iya. Ami F.; Abu-Mos a a. Ya- se S.; P a ap. Am i : On he Maximum D awdown o a B ownian Mo ion; Jou nal o Applied P obabili y (2004) Volume 41 (1), S. 147-161. [Shille 2005] Shille , Robe J: I a ional Exube ance; 2nd edi ion, P ince on Uni e si- y P ess, 2005. [Shille 2012] Shille , Robe J: Ak ualisie e Da enbasis zu [Shille 2005]: Download e ügba un e : www.econ.yale.edu/~shille /da a/ie_da a.xls. Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ionen - 71 - Abbildungs- und Tabellen e zeichnis ABBILDUNG 2 -1: VEREINFACHTES BILANZSCHEMA 5 ABBILDUNG 2 -2: ENTWICKLUNG DES MARKTPORTFOLIOS UND DES GELDMARKTPORTFOLIOS -LOGARITHMISCHE SKALA 9 ABBILDUNG 2 -3: STRATEGIE 1 (0, 0.1a T ) 10 ABBILDUNG 2 -4: STRATEGIE 2 (0, 0.6a T ) 10 ABBILDUNG 2 -5: STRATEGIE 3 (0.3, 0.1a T ) 10 ABBILDUNG 2 -6: STRATEGIE 4 (0.3, 0.6a T ) 11 ABBILDUNG 2 -7: MONATLICHE VS. JÄHRLICHE DEKLARATION FÜR STRATEGIE 1 ( 0, 0.1)a T , AUSWIRKUNGEN AUF DIE DEKLARATION UND DIE RESERVEQUOTE12 ABBILDUNG 2 -8: VOLLE UMSCHICHTUNG IN RENTENPAPIERE BEI UNTERSCHREITUNG VON min U . 14 ABBILDUNG 2 -9: BEGRENZUNG AUF DIE MAXIMALE RISIKOEXPOSITION 14 ABBILDUNG 2 -10: KOMBINATION UMSCHICHTUNG IN RENTENPAPIERE UND MAXIMIERUNG DER RISIKOEXPOSITION 14 ABBILDUNG 2 -11: VERZINSUNG DES ANLAGEPORTFOLIOS FÜR REGELN 2.), 3.) UND DIE IHRE KOMBINATION. 15 ABBILDUNG 2 -12: BASISREGEL 17 ABBILDUNG 2 -13: D -QUANTIL-MAXIMIERUNG (9 ,5%1 9 D  ) 17 ABBILDUNG 2 -14: MINIMALE DEKLARATION = 1,75% , MAXIMALE DEKLARATION = 5%17 ABBILDUNG 2 -15: SONDERAUSSCHÜTTUNG , max 18% U 18 ABBILDUNG 2 -16: KOMBINATION VON: D -QUANTIL-MAXIMIERUNG (9 ,5%1 9 D  ) UND SONDERAUSSCHÜTTUNG , max 18% U 18 ABBILDUNG 2 -17: KOMBINATION VON: D -QUANTIL-MAXIMIERUNG (9 ,5%1 9 D  ), SONDERAUSSCHÜTTUNG MIT max 18% U UND min max 1,75%, 5% U U 18 ABBILDUNG 3 -1: VERTEILUNG DER ABLAUFLEISTUNG BEI EINER LAUFZEIT VON T=5 (OBEN) BZW. T=20 (UNTEN) UND EINER AKTIENQUOTE VON 0.5 E (CONSTMIX/ BUY&HOLD) BZW. EINEM HEBEL VON M= 2.5 (CPPI VARIANTE 1 UND 2). 22 ABBILDUNG 3 -2: VERTEILUNG DER RENDITE DER ABLAUFLEISTUNG BEI EINER LAUFZEIT VON T=5 (OBEN) BZW. T=20 (UNTEN) UND EINER AKTIENQUOTE VON 0.5 E (CONSTMIX/ BUY&HOLD) BZW. EINEM HEBEL VON M= 2.5 (CPPI VARIANTE 1 UND 2). 24 ABBILDUNG 3 -3: ZUR ILLUSTRATION DER KENNZAHLEN MAXIMUM DRAWDOWN UND MAXIMUM RECOVERY TIME WÄHREND DER LAUFZEIT (T= 240 MONATE) 28