Fo schung am IVW Köln, 3/2011
Ins i u ü Ve siche ungswesen
Bewe ung on isikobeha e en
Zahlungss ömen mi hil e on
Ma ko -Ke en
Ral Knobloch
Zusammen assung
Zahlungss öme we den iel ach mi dem Ba we , d.h. de Summe de
abgezins en Zahlungen, bewe e . Handel es sich dabei um Zahlungen,
die nich siche , d.h. isikobeha e sind, so gehen neben dem Zinssa z
i.d.R. auch Wah scheinlichkei en in die Bewe ung ein. Viele de dabei
e wende en Modelle sind gedäch nislos. In de o liegenden A bei wi d
ü diese Fälle ein Modell, das au de Theo ie de Ma ko - Ke en basie ,
einge üh . Aus diese Modellie ung e gib sich u.a. eine g undlegende
Bewe ungs o mel. In d ei un e schiedlichen ökonomischen Beispielen
wi d gezeig , dass die Anwendung diese Bewe ungs o mel zu den
S anda dbewe ungsansä zen üh . Das p imä e Ziel de A bei is dabei
nich die Da s ellung neue E gebnisse, sonde n die g undlegende
Au be ei ung de Thema ik. Dabei soll die Ausa bei ung eine Basis ü
wei e e Anwendungen scha en und als G undlagen ü eine EDV-
echnische Umse zung dienen.
Abs ac
Paymen lows a e o en alued by he p esen alue, i.e. he sum o
he
discoun ed paymen s. I he paymen s a e no sa e, i.e. hey a e augh
wi h isk, p obabili ies, apa om he in e es a e, a e gene ally also
conside ed in he e alua ion. Many o he models applied a e wi hou
memo y. Fo hese cases, a model is in oduced which is based on he
heo y o Ma ko Chains. A basic alua ion o mula is one o he esul s o
his modelling. In h ee di e en economic examples, i is shown ha he
applica ion o his alua ion o mula leads o he s anda d esul s. The
p ima y aim o his pape is no he p esen a ion o new esul s, bu he
undamen al ea men o his subjec ma e . The elabo a ion will c ea e
he basis o u he applica ions and an IT echnical ealisa ion.
- 1 -
Inhal s e zeichnis
1. EINLEITUNG .......................................................................................................................................... 2
2. DAS ALLGEMEINE MODELL .................................................................................................................. 3
3. BEWERTUNGSFORMEL ......................................................................................................................... 4
4. BILANZGLEICHUNG .............................................................................................................................. 5
5. BEISPIEL 1: FORDERUNGSAUSFALL .................................................................................................... 6
6. BEISPIEL 2: OPTIONSBEWERTUNG ...................................................................................................... 9
7. BEISPIEL 3: BEWERTUNG LAUFENDER RENTEN IN DER VERSICHERUNGSMATHEMATIK ............... 12
8. AUSBLICK ............................................................................................................................................ 18
LITERATURVERZEICHNIS ............................................................................................................................. 20
- 2 -
1. Einlei ung
In ielen Teilgebie en de Wi scha swissenscha en is die Bewe ung on
Zahlungss ömen eine de zen alen F ages ellungen. Eine de wich igs en
Bewe ungsansä ze is dabei de Ba we des Zahlungss oms, d.h. die Summe de
abgezins en Zahlungen. Es gib eine Vielzahl on P axisbeispielen, in denen diese Technik
zu Anwendung komm . Bes eh z.B. eine Fo de ung aus meh e en zukün igen Zahlungen
zu un e schiedlichen Zei punk en, so kann diese Zahlungss om zu Bilanzzwecken ode
ü Ab e ungsübe legungen mi dem Ba we bewe e we den. Auch bei de
Kau p eis indung on Finanzp oduk en wi d diese Bewe ungsansa z in de P axis
angewende . Ein wei e es Beispiel s ell die Pe sonen e siche ungsma hema ik da . Hie
wi d diese Bewe ungs echnik zu Fes legung de Ta i e bzw. zu E mi lung on
Rücks ellungen e wende .
Als Gemeinsamkei bei allen Beispielen is zu beobach en, dass die Höhe de zukün igen
Zahlungen nich eindeu ig es s eh . So bes eh bei eine Fo de ung das Risiko, dass die
Zahlungen oll ode eilweise aus allen. Bei Finanzp oduk en is de zukün ige
Zahlungss om on de En wicklung de Mä k e anhängig, bei de Pe sonen e siche ungs-
ma hema ik on biome ischen E eignissen, wie Tod und In alidi ä . Dahe wi d bei eine
Vielzahl diese F ages ellungen das mi de Unsiche hei e bundene Risiko mi hil e
s ochas ische Modelle abgebilde .
Viele de e wende en Modelle sind gedäch nislos, d.h. die En wicklung on einem
Zei punk k zu einem nächs en Zei punk k+1 häng nu on den Gegebenhei en zum
Zei punk k nich abe on de His o ie zu den Zei punk en 0,1,…,k-1 ab. In de S ochas ik
is es die Theo ie de Ma ko -P ozesse, die sich mi solchen gedäch nislosen Modellen
beschä ig . Geh man dabei on eine zei disk e en Be ach ungsweise aus, so nenn man
den zugehö igen s ochas ischen P ozess Ma ko -Ke e.
In diese A bei wi d mi hil e de Theo ie de Ma ko -Ke en ein in e schiedenen
Be eichen de Wi scha swissenscha en anwendba es Modell en wickel . Ausgehend on
den g undlegenden Eigenscha en eine Ma ko -Ke e kann dann u.a. eine dem
Ba we ansa z en sp echende Bewe ungs o mel he gelei e we den. In d ei
un e schiedlichen ökonomischen Beispielen wi d anschließend gezeig , dass die
Anwendung diese Bewe ungs o mel zu den üblichen S anda dbewe ungsansä zen
üh . Die p imä e Ziel ich ung de A bei is dabei nich die Da s ellung neue E gebnisse,
sonde n die g undlegende Au be ei ung de Thema ik. Die Ausa bei ungen sollen eine
Basis ü wei e e Anwendungen scha en und als G undlagen ü eine EDV- echnische
Umse zung dienen.
- 3 -
2. Das allgemeine Modell
Gegeben sei eine Ma ko -Ke e
( )
,...2,1,0k
k
X
=
mi dem endlichen Zus ands aum
}N,...,2,1,0{S =
. D.h. die Zu alls a iable
k
X
s eh ü den Zus and, de im Zei punk
,...2,1,0k =
angenommen wi d. Die Übe gangswah scheinlichkei en om Zei punk
1k −
zum Zei punk
k
seien gegeben du ch (N+1)x(N+1)-Ma ix
( )
}N,...,1,0{j,i
j,i )k(q)k(Q ∈
=
,
d.h.
,...2,1k,N,...,1,0j,i),iX|jX(P:)k(q
1kkj,i
=====
−
.
Hängen die Übe gangsma izen nich explizi on dem Zei pa ame e
k
ab, so heiß die
Ma ko -Ke e homogen, ansons en inhomogen ( gl. [6] S.16 ).
Fü jeden Zei punk
,...2,1,0k =
sei du ch den Zeilen ek o
( )
N,...,2,1,0j
j,kk PP =
=
die
Ve eilung de Zu alls a iablen
k
X
gegeben, d.h.
k k,j
P(X j) P , j 0,1,2,...N.= = =
Im Folgenden wi d da on ausgegangen, dass 0
P
o gegeben is und alle Wah schein-
lichkei en und E wa ungswe e gegeben diese An angs e eilung be echne we den.
Un e Anwendung de Chapman-Kolmogo o -Gleichung ü Ma ko -Ke en ( gl. [6] S.14,
[10] S.185 ) e gib sich ü
,...2,1,0k =
∏
=
⋅= k
1j
0k )j(QPP
.
Beweis:
Die Ma izen
( )
}N,...,1,0{j,i
j,i )0,k(q
~
)0,k(Q
~
∈
=
seien gegeben du ch
,...2,1k,N,...,1,0j,i),iX|jX
(P:)0,k(q
~0kj,i =====
.
Mi dem Sa z de o alen Wah scheinlichkei e häl man ü
N,...,2,1,0l =
:
( )
∑∑ ==
⋅=⋅===⋅==== N
0i l
0l,ii,0
N
0i 0k0kl,k )0,k(Q
~
P)0,k(q
~
P)iX|lX(P)iX(P)lX(PP
.
Aus de Chapman-Kolmogo o -Gleichung e gib sich du ch Induk ion nach
k
:
∏
=
=
k
1j
)j(Q)0,k(Q
~
ü
,...2,1,0k =
. Dami e häl man die Gleichung
∏
=
⋅= k
1j
0k )j(QPP
.
□
- 4 -
Fü jeden Zei punk
,...2,1,0k =
sei die Höhe de Zahlung zum Zei punk
k
in
Abhängigkei des eingenommenen Zus ands du ch den Spal en ek o
k
L
es leg :
( )
,...2,1,0kLL N,...,2,1,0j
j,kk == = ,
.
Diese Spal en ek o wi d im Folgenden Leis ungs ek o genann .
3. Bewe ungs o mel
Ausgehend on de in Abschni 2 besch iebenen Ma ko -Ke e wi d de Ba we de
zukün igen Zahlungen ü jeden Zei punk
,...2,1,0n =
wie olg de inie :
{ }
∑ ∑
∞
= = =
−⋅⋅=
nk j,k
N
0j jX
nk
nL1 :B k
Dabei sei
de Diskon ie ungs ak o ü eine Pe iode de inie du ch
i1
1
+
=
und
i
de
zei lich kons an e Rechnungszins p o Pe iode. Es sei
)x(abs
de Absolu be ag eine
eellen Zahl
x
. Un e de Bedingung
{ }
∞<=== ,...,N2,1,0j ,,...2,1,0k|
)L(abs max:L
j,k
kon e gie die Reihe
n
B
wegen
1 0 <<
absolu :
{ }
∞<⋅+⋅
−
=⋅+⋅≤
⋅⋅
∑∑ ∑
∞
=
−
∞
= = =
−
nk
nk
nk j,k
N
0j jX
nk
L)1N(
1
1
L)1N( L1 abs k
.
Da aus olg die Kon e genz de Reihe
n
B
( gl. [4], S.40 ). Fü den e wa e en Ba we
e gib sich die olgende Aussage.
Sa z 1:
Sei
{ }
∞<=== ,...,N2,1,0j ,,...2,1,0k|)L(abs max:L j,k
, so gil :
∑ ∏
∞
= =
−⋅⋅⋅=
nk k
k
1j
0
nk
n
L)j(QP )B(E
.
- 5 -
Beweis:
Wegen
∞<L
e gib du ch Anwendung des Sa zes de majo isie en Kon e genz ( gl. [5]
S.37):
( )
{ } { }
{ } { }
( )
∑ ∏∑
∑ ∑∑ ∑
∑ ∑∑ ∑
∑ ∑∑ ∑
∞
= =
−
∞
=
−
∞
= =
−
∞
= =
−
∞
= = =
−
∞
= = =
−
= = =
−
∞→
= = =
−
∞→
⋅⋅⋅=⋅⋅=
=⋅⋅=⋅=⋅=
=⋅⋅=
⋅⋅=
=
⋅⋅=
⋅⋅=
nk k
k
1j
0
nk
nk kk
nk
nk j,k
N
0j j,k
nk
nk j,k
N
0j k
nk
nk j,k
N
0j jX
nk
nk j,k
N
0j jX
nk
m
nk j,k
N
0j jX
nk
m
m
nk j,k
N
0j jX
nk
m
n
L)j(QP LP
LP L)jX(P
L1E L1E
L1 ElimL1 limEBE
kk
kk
□
Folge ung 1:
Sei
{ }
∞<=== ,...,N2,1,0j ,,...2,1,0k|)L(abs max:L j,k
.
a) Es gil :
∑ ∏
∞
= =
⋅⋅⋅=
0k k
k
1j
0
k
0L)j(QP )B(E
.
b) Im Spezial all eine homogenen Ma ko -Ke e mi
,...2,1k,Q)k(Q ==
, gil :
∑
∞
=
−⋅⋅⋅=
nk k
k
0
nk
nLQP )B(E
Die Aussagen olgen di ek aus Sa z 1.
4. Bilanzgleichung
De eku si e Zusammenhang zwischen dem Ba we zum Zei punk
n
und dem Ba we
zum Zei punk
1n −
wi d als Bilanzgleichung bezeichne . E übe äg sich auch au die
e wa e en Ba we e. Es e gib sich olgende Aussage:
Sa z 2:
Sei
{ }
∞<=== ,...,N2,1,0j ,,...2,1,0k|)L(abs max:L j,k
. Dann gil :
- 6 -
a)
{ }
.,..2,1n,B L1:B
nj,1n
N
0j jX1n
1n =⋅+⋅=
−
==−
∑−
.
b)
( )
,...2,1n,BE L)j(QP)B(E n1n
1n
1j
01n =⋅+⋅⋅= −
−
=
−∏
.
Beweis:
a) Es gil :
{ }
{ } { }
{ }
nj,1n
N
0j jX
nk j,k
N
0j jX
nk
j,1n
N
0j jX
1nk j,k
N
0j jX
1nk
1n
B L1
L1 L1
L1 B
1n
k1n
k
⋅+⋅=
=⋅⋅⋅+⋅=
=⋅⋅=
−
==
∞
= = =
−
−
==
∞
−= = =
+−
−
∑
∑ ∑∑
∑ ∑
−
−
b) Es gil :
( )
n1n
1n
1j
0
nk k
k
1j
0
nk
1n
1n
1j
0
1nk k
k
1j
0
1nk
1n
BE L)j(QP
L)j(QP L)j(QP
L)j(QP )B(E
⋅+⋅⋅=
=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅=
=⋅⋅⋅=
−
−
=
∞
= =
−
−
−
=
∞
−= =
+−
−
∏
∑ ∏∏
∑ ∏
□
5. Beispiel 1: Fo de ungsaus all
Ein Un e nehmen A habe eine Fo de ung gegenübe einem Un e nehmen B. Diese soll in
den nächs en
n
Pe ioden du ch die Zahlungen
0Z,...,Z,Z n21 >
beglichen we den. Die
Zahlungen e olgen dabei jeweils zum Ende de Pe iode. Die Fo de ung soll aus Sich des
Un e nehmens A bewe e we den. Dabei geh das Un e nehmen A da on aus, dass es
Wah scheinlichkei en
1q...qq0
n21
<≤≤≤<
gib , mi denen die Zahlungen zu einem
bes imm en Zei punk aus allen, d.h.
(Pqk=
keine Zahlung zum Zei punk
,...,n2
,1k) , k =
.
Dabei wi d o ausgese z , dass die Zahlungen nach einem Aus all nich wiede
au genommen we den. Dami e gib sich als S anda dbewe ungsansa z:
- 7 -
( )
k
n
1k
k
kZq1
⋅−⋅
∑
=
.
sei wiede um de kons an e Diskon ie ungs ak o . Diese Sach e hal kann als
inhomogene Ma ko -Ke e modellie we den.
De Zus ands aum sei mi
}1,0{S =
gegeben, dabei s eh Zus and 0 da ü , dass keine
Zahlung e olg (Aus all), und Zus and 1 da ü , dass die Zahlung e olg (kein Aus all).
Fü die An angs e eilung gil : )10(P0
=
, d.h. zum Zei punk 0 is die Fo de ung noch
nich ausge allen.
Die Zahlungen gehen wie olg in die De ini ion de Leis ungs ek o ein:
0:L
0,k
=
und
,...,n2,1, kZ:L
k1k,
==
. Fe ne sei
k
L
ü
0k =
und
nk >
de Null ek o .
Wi se zen 0:q
0=
. Die Ein äge Übe gangsma ix
( )
}1,0{j,i
j,i )k(q)k(Q ∈
=
seien ü
,...2,1k =
gegeben du ch:
1k
k
1,1
1k
1kk
0,1
1,0
0,0
q1
q1
:)k(q
q1
qq
:)k(q
0:)k(q
1:)k(q
−
−
−
−
−
=
−
−
=
=
=
Dabei e gib sich
1k
1kk
0,1 q1
qq
:)k(q −
−
−
−
=
aus dem Sa z de o alen Wah scheinlichkei :
)q1()k(qq)k(qq 1k0,11k0,0k −− −⋅+⋅=
.
Um o men nach
)k(q 0,1
lie e das gewünsch e E gebnis. Da aus olg :
.
q1
q1
)k(q1)k(q
1k
k
0,11,1 −
−
−
=−=
Fü
nk >
sei die Übe gangsma ix die Einhei sma ix.
- 14 -
( ) ( )
−−−
=
∏∏
∏
−
=+
−
=+
=
1k
0j jx
1k
0j jx
k
1j
q1q11
01
)j(Q
.
Fü
1xk +−ω>
gil wegen
1q =
ω
:
=
∏
=
01
01
)j(Q
k
1j
.
De Leis ungs ek o
k
L
sei ü
x,...,2,1,0k −ω=
gegeben du ch:
0:L
0,k
=
und
kx1,k
R:L
+
=
. Fü
xk −ω>
sei de Leis ungs ek o
k
L
de Null ek o .
Somi e gib sich wegen
{ }
∞<−ω=====
+
}x,...,2,1,0k|Rmax{1,0j ,...,2,1,0k|)L(abs max:L
kxj,k
du ch Anwendung on Folge ung 1 ü den e wa e en Ba we im Al e x:
( ) ( )
( )
( ) ( )
∑ ∏∑ ∏
∑
∏∏
∑ ∏
−ω
=
−
=++
−ω
=
−
=++
−ω
=−
=+
−
=+
∞
= =
−⋅⋅=
−⋅
⋅⋅=
=⋅
−−−
⋅⋅=
=⋅⋅⋅=
x
0k
1k
0j jxkx
k
x
0k 1k
0j jxkx
k
x
0k k
1k
0j jx
1k
0j jx
0
k
0k k
k
1j
0
k
0
q1R
q1R
0
10
L
q1q11
01
P
L)j(QP )B(E
Dies en sp ich dem oben besch iebenen S anda dbewe ungsansa z.
- 15 -
Das Modell wi d nun um eine Hin e bliebenenleis ung e wei e . Die männliche Pe son –
im Folgenden Ehemann genann – habe eine gleichal ige Ehe au. Diese bezieh beim
Tod des Ehemanns eine lebenslängliche Wi wen en e. Aus Ve ein achungsg ünden wi d
die Ren ehöhe des Ehemanns mi
1
es geleg , d.h.
1R kx =
+
ü alle
x,...,2,1,0k −ω=
.
Die Ren e de Ehe au be age 60% de Ren e des Ehemanns, d.h. ü die Wi wen en e gil
6,0Rwkx =
+
ü alle
x,...,2,1,0k −ω=
.
Auch ü die Ehe au gib es analog zum Ehemann S e bewah scheinlichkei en:
x,...,2,1,0k,qwky −ω=
+
. Dabei gil eben alls ü das le z mögliche Al e
1qw=
ω
. Da de
Ehemann und die Ehe au gleichal ig sind, gil
yx =
.
In de Ve siche ungsma hema ik bewe e man diese Ve p lich ung im Al e
x
mi dem
e wa e en Ba we wie olg :
( ) ( )
( ) ( )
∑ ∑ ∏∏∏∑ ∏
−ω
=
−ω
=
−
=+
−
=+
−
=+−+
−ω
=
−
=+
−⋅⋅−⋅−⋅⋅+− x
1n
x
nk
1k
nj
wjx
k
1n
0j
wjx
2n
0j jx1nx
x
0k
1k
0j jx
kq1 q1q1q6,0q1
.
Dabei is wiede um de kons an e Diskon ie ungs ak o . Diese Sach e hal kann nun
eben alls als Ma ko -Ke e modellie we den.
De Zus ands aum sei
}2
,1,0{S =
mi olgenden De ini ionen:
Zus and 0: Ehemann und Ehe au leben nich meh , d.h. es e olg keine Ren enzahlung.
Zus and 1: De Ehemann leb , d.h. e bezieh seine Ren e.
Zus and 2: De Ehemann is o , abe die Ehe au leb und bezieh die Wi wen en e.
Die An angs e eilung sei gegeben du ch:
)010(P0=
, die Ein äge de
Übe gangsma ix
( )
}2,1,0{j,i
j,i
)k(q)k(Q
∈
=
sind ü
1x
,x,...,2,1k +−ω−ω=
gegeben
du ch:
- 16 -
( )
( )
w1kx
2,2
1,2
w1kx
0,2
1k
0j
wjx
1kx2,1
1kx1,1
1k
0j
wjx
1kx0,1
2,01,00,0
q1:)k(q
0:)k(q
q:)k(q
q1q:)k(q
q1:)k(q
q11q:)k(q
0:)k(q0:)k(q1:)k(q
−+
−+
−
=+
−+
−+
−
=+
−+
−=
=
=
−⋅=
−=
−−⋅=
===
∏
∏
, ,
Fü
1xk +−ω>
sei die Übe gangsma ix die Einhei sma ix.
In Folgenden wi d aus da s ellungs echnischen G ünden die T ansponie e des P oduk s
∏
=
⋅k
1j
0)j(QP
be echne . Es gil ü
1x,x,...,2,1k +−ω−ω=
:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
−⋅−⋅
−
−⋅−⋅−−−
=
⋅
∑ ∏∏
∏
∏ ∑ ∏∏
∏
=
−
=+
−
=+−+
−
=+
−
= =
−
=+
−
=+−++
=
k
1n
1k
0j
wjx
2n
0j jx1nx
1k
0j jx
1k
0j
k
1n
1k
0j
wjx
2n
0j jx1nxjx
T
k
1j
0
q1q1q
q1
q1q1qq11
)j(QP
Diese Aussage wi d wiede um du ch Induk ion nach
k
bewiesen. De Induk ionsan ang
e gib sich ü
1k =
aus olgende Be echnung:
( )
( ) ( )
−⋅
−
⋅
=
⋅
−
−⋅−⋅=
⋅=⋅
w
xx
x
w
xx
T
w
x
w
x
w
xxx
w
xx
T
T
0q1q
q1
qq
0
1
0
q10q
q1qq1qq
001
0
1
0
)1(Q)1(QP
- 17 -
Den Induk ionssch i e häl
k1k →−
man wie olg :
=
⋅⋅=
⋅⋅=
⋅∏∏∏ −
=
−
==
T
1k
1j
0
T
T
1k
1j
0
T
k
1j
0)J(QP)k(Q)k(Q)j(QP)j(QP
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
−⋅−⋅
−
−⋅−⋅−−−
=
−⋅−⋅
−
−⋅−⋅−−−
⋅
−−⋅
−
−−⋅
=
∑ ∏∏
∏
∏ ∑ ∏∏
∑ ∏∏
∏
∏ ∑ ∏∏
∏
∏
=
−
=+
−
=+−+
−
=+
−
= =
−
=+
−
=+−++
−
=
−
=+
−
=+−+
−
=+
−
=
−
=
−
=+
−
=+−++
−+
−
=+
−+
−+
−+
−
=+
−+
k
1n
1k
0j
wjx
2n
0j jx1nx
1k
0j jx
1k
0j
k
1n
1k
0j
wjx
2n
0j jx1nxjx
1k
1n
2k
0j
wjx
2n
0j jx1nx
2k
0j jx
2k
0j
1k
1n
2k
0j
wjx
2n
0j jx1nxjx
w1kx
1k
0j
wjx
1kx
1kx
w1kx
1k
0j
wjx
1kx
q1q1q
q1
q1q1qq11
q1q1q
q1
q1q1qq11
q1q1q0
0q10
qq11q1
- 18 -
De Leis ungs ek o
k
L
sei ü
x,...,2,1,0k −ω=
gegeben du ch:
, 1:L0:L 1,k0,k ==
und
6,0:L
2,k
=
. Fü
xk −ω>
sei de Leis ungs ek o
k
L
de
Null ek o . Somi e gib sich wegen
{ }
∞<==== 12,1und j ,,...2,1,0k|)L(abs max:L
j,k
du ch Anwendung on Folge ung 1 ü den e wa e en Ba we im Al e
x
:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
∑ ∏∑∏∏
∑ ∏
∑ ∑ ∏∏
∑ ∏
∑ ∑ ∏∏
∑ ∏
∑ ∏
∑ ∏
−ω
=
−
=+
−ω
=
−
=+
−
=+−+
−ω
=
−
=+
−ω
=
−ω
=
−
=+
−
=+−+
−ω
=
−
=+
−ω
= =
−
=+
−
=+−+
−ω
=
−
=+
−ω
= =
∞
= =
−⋅⋅−⋅−⋅⋅+
+−⋅=
=
−⋅−⋅⋅⋅+
+−⋅=
=
−⋅−⋅⋅⋅+
−⋅=
=
⋅⋅⋅=
=⋅⋅⋅=
x
1n
1k
nj
wjx
x
nk
k
1n
0j
wjx
2n
0j jx1nx
x
0k
1k
0j jx
k
x
1n
x
nk
1k
0j
wjx
2n
0j jx1nx
k
x
0k
1k
0j jx
k
x
0k
k
1n
1k
0j
wjx
2n
0j jx1nx
k
x
0k
1k
0j jx
k
x
0k
k
0j
0
k
0k k
k
1j
0
k
0
q1 q1q1q6,0
q1
q1q1q6,0
q1
q1q1q6,0
q1
6,0
1
0
)k(QP
L)j(QP )B(E
Dies en sp ich dem oben besch iebenen Bewe ungsansa z.
8. Ausblick
Die d ei da ges ell en Beispiele zeigen, dass gedäch nislose Modelle in den
Wi scha swissenscha en bei de Bewe ung on Zahlungss ömen in den
- 19 -
un e schiedlichs en F ages ellungen e wende we den können. Die he gelei e en
allgemeinen E gebnisse – Bewe ungs o mel und Bilanzgleichung – sind somi ielsei ig
einse zba .
Eine EDV- echnische Umse zung de E gebnisse könn e somi zu Bewe ung de
un e schiedlichs en Sach e hal e e wende we den. Die EDV- echnische Modellie ung
wü de sich dabei s anda disie au die De ini ion de An angs e eilung, de
Leis ungs ek o en und de Übe gangsma izen eduzie en. Die in Abschni 3 he gelei e e
Fo mel üh dann zu eine Bewe ung des isikobeha e en Zahlungss oms als e wa e en
Ba we .
Bei ein achen Modellen is de Vo eil eine solchen Vo gehensweise noch nich besonde s
g oß. In de Lebens- und Pensions e siche ungsma hema ik inden sich jedoch
komplexe e Sys eme. In diesen Modellen sind nich nu zwei ode d ei Zus ände wie in
Abschni 7 ele an , sonde n da übe hinaus sind noch wei e e Zus ände in das Modell
au zunehmen, z.B. ü In alidi ä ode ü E we bsminde ung. Fe ne kann es in de Lebens-
und Pensions e siche ungsma hema ik bei de Ve wendung on jah gangsabhängigen
S e be a eln und eine kollek i en Bewe ung de Hin e bliebenen e so gung zu eine
Di e enzie ung des Zus ands Tod mi Hin e bliebenen kommen. Be ach e man speziell
die Pensions e siche ungsma hema ik, so liegen den Leis ungs ek o en eilweise seh
komplexe Ve so gungso dnungen zug unde. In diesen Fällen s ell sich die F age, un e
welchen Bedingungen eine Bewe ung mi hil e on Ma ko -Ke en ein ache zu
handhaben is , als die übliche weise e wende en Bewe ungsalgo i hmen. Fe ne is zu
analysie en, ob die Anwendung de Theo ie de Ma ko -Ke en soga zu exak e en
Bewe ungsansä zen üh en kann?
Ein wei e e Aspek , de in de Modellie ung mi Ma ko -Ke en leich umse zba is , is die
Vo gabe eine Zinss uk u ku e. In de Regel sind Zinssä ze abhängig on de
e einba en Anlagedaue . Somi müss e ü eine Zahlung nach n Jah e ein ande e
Jah eszins angese z we den, als ü eine Zahlung nach n+1 Jah en. Eine solche
Abhängigkei wi d als Zinss uk u ku e bezeichne . Dies wü de die zen ale Fo mel ü
den e wa en Ba we zum Zei punk 0 in Folge ung 1 ( o ausgese z de zu ällige Ba we
kon e gie ) wie olg e ände n:
∑ ∏
∞
= =
⋅⋅⋅=
0k k
k
1j
0
k
k0 L)j(QP )B(E
.
Dabei sei
k
ki1
1
+
=
und
k
i
de Jah eszins bei eine Anlagedaue on k Jah en.
- 20 -
Li e a u e zeichnis
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P ess, Ams e dam e.a. 2003.
Kon ak /Imp essum
Diese Ve ö en lichung e schein im Rahmen de OnlinePublika ions eihe
„Fo schung am IVW Köln“
.
Alle Ve ö en lichungen diese Reihe können un e www.i w-koeln.de ode un e h p://opus.bsz-bw.de/ hk/index.php?la=de
abge u en we den.
Eine wei e e Publika ions eihe is die
Sch i en eihe des Ins i u s ü Ve siche ungswesen de Fachhochschule Köln
.
He ausgebe : Ve ein de Fö de e des Ins i u s ü Ve siche ungswesen an de Fachhochschule Köln e. V.
Die Sch i en eihe kann
übe den Ve lag Ve siche ungswi scha bezogen we den (h p://www. w.de/).
Eine Übe sich alle He e de Sch i en eihe kann auch un e olgende Ad esse abge u en we den:
h p://www. 04. h-koeln.de/ akul ae /ins i u e/i w/in o ma ionen/publika ionen/00366/index.h ml
Köln, Ok obe 2011
He ausgebe / Edi o ship:
P o . D . Reime s-Rawcli e
P o . D . Pe e Schimikowski
P o . D . Jü gen S obel
Ins i u ü Ve siche ungswesen /
Ins i u e o Insu ance S udies
Fakul ä ü Wi scha swissenscha en /
Facul y o Economics and Business Adminis a ion
Fachhochschule Köln / Cologne Uni e si y o Applied Sciences
Web www.i w-koeln.de
Sch i lei ung / Con ac edi o ’s o ice:
P o . D . Jü gen S obel
Tel. +49 221 8275-3270
Fax +49 221 8275-3277
Mail jue gen.s obel@ h-koeln.de
Ins i u ü Ve siche ungswesen /
Ins i u e o Insu ance S udies
Fakul ä ü Wi scha swissenscha en /
Facul y o Economics and Business Adminis a ion
Fachhochschule Köln / Cologne Uni e si y o Applied Sciences
Gus a Heinemann-U e 54
50968 Köln
Kon ak Au o / Con ac au ho :
P o . D . Ral Knobloch
Ins i u ü Be iebswi scha sleh e /
Ins i u e o Business Adminis a ion
Fakul ä ü Wi scha swissenscha en /
Facul y o Economics and Business Adminis a ion
Fachhochschule Köln / Cologne Uni e si y o Applied Sciences
Gus a Heinemann-U e 54
50968 Köln
Tel. +49 221 8275-3425
Fax +49 221 8275-3135
Mail al .knobloch@ h-koeln.de
ISSN (online) 2192-8479
