Bewertung von risikobehafteten Zahlungsströmen mithilfe von Markov-Ketten

Forschung am IVW Köln, 3/2011 Institut für Versicherungswesen Bewertung von risikobehafteten Zahlungsströmen mithilfe von Markov-Ketten Ralf Knobloch Zusammenfassung Zahlungsströme werden vielfach mit dem Barwert, d.h. der Summe der abgezinsten Zahlungen, bewertet. Handelt es sich dabei um Zahlungen, die nicht sicher, d.h. risikobehaftet sind, so gehen neben dem Zinssatz i.d.R. auch Wahrscheinlichkeiten in die Bewertung ein. Viele der dabei verwendeten Modelle sind gedächtnislos. In der vorliegenden Arbeit wird für diese Fälle ein Modell, das auf der Theorie der MarkovKetten basiert, eingeführt. Aus dieser Modellierung ergibt sich u.a. eine grundlegende Bewertungsformel. In drei unterschiedlichen ökonomischen Beispielen wird gezeigt, dass die Anwendung dieser Bewertungsformel zu den Standardbewertungsansätzen führt. Das primäre Ziel der Arbeit ist dabei nicht die Darstellung neuer Ergebnisse, sondern die grundlegende Aufbereitung der Thematik. Dabei soll die Ausarbeitung eine Basis für weitere Anwendungen schaffen und als Grundlagen für eine EDVtechnische Umsetzung dienen. Abstract Payment flows are often valued by the present value, i.e. the sum of t he discounted payments. If the payments are not safe, i.e. they are fraught with risk, probabilities, apart from the interest rate, are generally also considered in the evaluation. Many of the models applied are without memory. For these cases, a model is introduced which is based on the theory of Markov Chains. A basic valuation formula is one of the results of this modelling. In three different economic examples, it is shown that the application of this valuation formula leads to the standard results. The primary aim of this paper is not the presentation of new results, but the fundamental treatment of this subject matter. The elaboration will create the basis for further applications and an IT technical realisation. - 1 - Inhaltsverzeichnis 1. EINLEITUNG .......................................................................................................................................... 2 2. DAS ALLGEMEINE MODELL .................................................................................................................. 3 3. BEWERTUNGSFORMEL ......................................................................................................................... 4 4. BILANZGLEICHUNG .............................................................................................................................. 5 5. BEISPIEL 1: FORDERUNGSAUSFALL .................................................................................................... 6 6. BEISPIEL 2: OPTIONSBEWERTUNG ...................................................................................................... 9 7. BEISPIEL 3: BEWERTUNG LAUFENDER RENTEN IN DER VERSICHERUNGSMATHEMATIK ............... 12 8. AUSBLICK ............................................................................................................................................ 18 LITERATURVERZEICHNIS ............................................................................................................................. 20 - 2 - 1. Einleitung In vielen Teilgebieten der Wirtschaftswissenschaften ist die Bewertung von Zahlungsströmen eine der zentralen Fragestellungen. Einer der wichtigsten Bewertungsansätze ist dabei der Barwert des Zahlungsstroms, d.h. die Summe der abgezinsten Zahlungen. Es gibt eine Vielzahl von Praxisbeispielen, in denen diese Technik zur Anwendung kommt. Besteht z.B. eine Forderung aus mehreren zukünftigen Zahlungen zu unterschiedlichen Zeitpunkten, so kann dieser Zahlungsstrom zu Bilanzzwecken oder für Abtretungsüberlegungen mit dem Barwert bewertet werden. Auch bei der Kaufpreisfindung von Finanzprodukten wird dieser Bewertungsansatz in der Praxis angewendet. Ein weiteres Beispiel stellt die Personenversicherungsmathematik dar. Hier wird diese Bewertungstechnik zur Festlegung der Tarife bzw. zur Ermittlung von Rückstellungen verwendet. Als Gemeinsamkeit bei allen Beispielen ist zu beobachten, dass die Höhe der zukünftigen Zahlungen nicht eindeutig feststeht. So besteht bei einer Forderung das Risiko, dass die Zahlungen voll oder teilweise ausfallen. Bei Finanzprodukten ist der zukünftige Zahlungsstrom von der Entwicklung der Märkte anhängig, bei der Personenversicherungsmathematik von biometrischen Ereignissen, wie Tod und Invalidität. Daher wird bei einer Vielzahl dieser Fragestellungen das mit der Unsicherheit verbundene Risiko mithilfe stochastischer Modelle abgebildet. Viele der verwendeten Modelle sind gedächtnislos, d.h. die Entwicklung von einem Zeitpunkt k zu einem nächsten Zeitpunkt k+1 hängt nur von den Gegebenheiten zum Zeitpunkt k nicht aber von der Historie zu den Zeitpunkten 0,1,…,k-1 ab. In der Stochastik ist es die Theorie der Markov-Prozesse, die sich mit solchen gedächtnislosen Modellen beschäftigt. Geht man dabei von einer zeitdiskreten Betrachtungsweise aus, so nennt man den zugehörigen stochastischen Prozess Markov-Kette. In dieser Arbeit wird mithilfe der Theorie der Markov-Ketten ein in verschiedenen Bereichen der Wirtschaftswissenschaften anwendbares Modell entwickelt. Ausgehend von den grundlegenden Eigenschaften einer Markov-Kette kann dann u.a. eine dem Barwertansatz entsprechende Bewertungsformel hergeleitet werden. In drei unterschiedlichen ökonomischen Beispielen wird anschließend gezeigt, dass die Anwendung dieser Bewertungsformel zu den üblichen Standardbewertungsansätzen führt. Die primäre Zielrichtung der Arbeit ist dabei nicht die Darstellung neuer Ergebnisse, sondern die grundlegende Aufbereitung der Thematik. Die Ausarbeitungen sollen eine Basis für weitere Anwendungen schaffen und als Grundlagen für eine EDV-technische Umsetzung dienen. - 3 - 2. Das allgemeine Modell Gegeben sei eine Markov-Kette ( ) ,...2,1,0k k X = mit dem endlichen Zustandsraum }N,...,2,1,0{S = . D.h. die Zufallsvariable k X steht für den Zustand, der im Zeitpunkt ,...2,1,0k = angenommen wird. Die Übergangswahrscheinlichkeiten vom Zeitpunkt 1k − zum Zeitpunkt k seien gegeben durch (N+1)x(N+1)-Matrix ( ) }N,...,1,0{j,i j,i )k(q)k(Q ∈ = , d.h. ,...2,1k,N,...,1,0j,i),iX|jX(P:)k(q 1kkj,i ===== − . Hängen die Übergangsmatrizen nicht explizit von dem Zeitparameter k ab, so heißt die Markov-Kette homogen, ansonsten inhomogen (vgl. [6] S.16f). Für jeden Zeitpunkt ,...2,1,0k = sei durch den Zeilenvektor ( ) N,...,2,1,0j j,kk PP = = die Verteilung der Zufallsvariablen k X gegeben, d.h. k k,j P(X j) P , j 0,1,2,...N.= = = Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass 0 P vorgegeben ist und alle Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte gegeben dieser Anfangsverteilung berechnet werden. Unter Anwendung der Chapman-Kolmogorov-Gleichung für Markov-Ketten (vgl. [6] S.14, [10] S.185f) ergibt sich für ,...2,1,0k = ∏ = ⋅= k 1j 0k )j(QPP . Beweis: Die Matrizen ( ) }N,...,1,0{j,i j,i )0,k(q ~ )0,k(Q ~ ∈ = seien gegeben durch ,...2,1k,N,...,1,0j,i),iX|jX (P:)0,k(q ~0kj,i ===== . Mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit erhält man für N,...,2,1,0l = : ( ) ∑∑ == ⋅=⋅===⋅==== N 0i l 0l,ii,0 N 0i 0k0kl,k )0,k(Q ~ P)0,k(q ~ P)iX|lX(P)iX(P)lX(PP . Aus der Chapman-Kolmogorov-Gleichung ergibt sich durch Induktion nach k : ∏ = = k 1j )j(Q)0,k(Q ~ für ,...2,1,0k = . Damit erhält man die Gleichung ∏ = ⋅= k 1j 0k )j(QPP . □ - 4 - Für jeden Zeitpunkt ,...2,1,0k = sei die Höhe der Zahlung zum Zeitpunkt k in Abhängigkeit des eingenommenen Zustands durch den Spaltenvektor k L festlegt: ( ) ,...2,1,0kLL N,...,2,1,0j j,kk == = , . Dieser Spaltenvektor wird im Folgenden Leistungsvektor genannt. 3. Bewertungsformel Ausgehend von der in Abschnitt 2 beschriebenen Markov-Kette wird der Barwert der zukünftigen Zahlungen für jeden Zeitpunkt ,...2,1,0n = wie folgt definiert: { } ∑ ∑ ∞ = = = −⋅⋅= nk j,k N 0j jX nk nL1v:B k Dabei sei v der Diskontierungsfaktor für eine Periode definiert durch i1 1 v+ = und i der zeitlich konstante Rechnungszins pro Periode. Es sei )x(abs der Absolutbetrag einer reellen Zahl x . Unter der Bedingung { } ∞<=== ,...,N2,1,0j ,,...2,1,0k| )L(abs max:L j,k konvergiert die Reihe n B wegen 1v0 << absolut: { } ∞<⋅+⋅ − =⋅+⋅≤        ⋅⋅ ∑∑ ∑ ∞ = − ∞ = = = − nk nk nk j,k N 0j jX nk L)1N( v1 1 L)1N(vL1vabs k . Daraus folgt die Konvergenz der Reihe n B (vgl. [4], S.40f). Für den erwarteten Barwert ergibt sich die folgende Aussage. Satz 1: Sei { } ∞<=== ,...,N2,1,0j ,,...2,1,0k|)L(abs max:L j,k , so gilt: ∑ ∏ ∞ = = −⋅⋅⋅= nk k k 1j 0 nk n L)j(QPv)B(E . - 5 - Beweis: Wegen ∞<L ergibt durch Anwendung des Satzes der majorisierten Konvergenz (vgl. [5] S.37): ( ) { } { } { } { } ( ) ∑ ∏∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∞ = = − ∞ = − ∞ = = − ∞ = = − ∞ = = = − ∞ = = = − = = = − ∞→ = = = − ∞→ ⋅⋅⋅=⋅⋅= =⋅⋅=⋅=⋅= =⋅⋅=        ⋅⋅= =        ⋅⋅=        ⋅⋅= nk k k 1j 0 nk nk kk nk nk j,k N 0j j,k nk nk j,k N 0j k nk nk j,k N 0j jX nk nk j,k N 0j jX nk m nk j,k N 0j jX nk m m nk j,k N 0j jX nk m n L)j(QPvLPv LPvL)jX(Pv L1EvL1Ev L1vElimL1vlimEBE kk kk □ Folgerung 1: Sei { } ∞<=== ,...,N2,1,0j ,,...2,1,0k|)L(abs max:L j,k . a) Es gilt: ∑ ∏ ∞ = = ⋅⋅⋅= 0k k k 1j 0 k 0L)j(QPv)B(E . b) Im Spezialfall einer homogenen Markov-Kette mit ,...2,1k,Q)k(Q == , gilt: ∑ ∞ = −⋅⋅⋅= nk k k 0 nk nLQPv)B(E Die Aussagen folgen direkt aus Satz 1. 4. Bilanzgleichung Der rekursive Zusammenhang zwischen dem Barwert zum Zeitpunkt n und dem Barwert zum Zeitpunkt 1n − wird als Bilanzgleichung bezeichnet. Er überträgt sich auch auf die erwarteten Barwerte. Es ergibt sich folgende Aussage: Satz 2: Sei { } ∞<=== ,...,N2,1,0j ,,...2,1,0k|)L(abs max:L j,k . Dann gilt: - 6 - a) { } .,..2,1n,BvL1:B nj,1n N 0j jX1n 1n =⋅+⋅= − ==− ∑− . b) ( ) ,...2,1n,BEvL)j(QP)B(E n1n 1n 1j 01n =⋅+⋅⋅= − − = −∏ . Beweis: a) Es gilt: { } { } { } { } nj,1n N 0j jX nk j,k N 0j jX nk j,1n N 0j jX 1nk j,k N 0j jX 1nk 1n BvL1 L1vvL1 L1vB 1n k1n k ⋅+⋅= =⋅⋅⋅+⋅= =⋅⋅= − == ∞ = = = − − == ∞ −= = = +− − ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ − − b) Es gilt: ( ) n1n 1n 1j 0 nk k k 1j 0 nk 1n 1n 1j 0 1nk k k 1j 0 1nk 1n BEvL)j(QP L)j(QPvvL)j(QP L)j(QPv)B(E ⋅+⋅⋅= =⋅⋅⋅⋅+⋅⋅= =⋅⋅⋅= − − = ∞ = = − − − = ∞ −= = +− − ∏ ∑ ∏∏ ∑ ∏ □ 5. Beispiel 1: Forderungsausfall Ein Unternehmen A habe eine Forderung gegenüber einem Unternehmen B. Diese soll in den nächsten n Perioden durch die Zahlungen 0Z,...,Z,Z n21 > beglichen werden. Die Zahlungen erfolgen dabei jeweils zum Ende der Periode. Die Forderung soll aus Sicht des Unternehmens A bewertet werden. Dabei geht das Unternehmen A davon aus, dass es Wahrscheinlichkeiten 1q...qq0 n21 <≤≤≤< gibt, mit denen die Zahlungen zu einem bestimmten Zeitpunkt ausfallen, d.h. (Pqk= keine Zahlung zum Zeitpunkt ,...,n2 ,1k) , k = . Dabei wird vorausgesetzt, dass die Zahlungen nach einem Ausfall nicht wieder aufgenommen werden. Damit ergibt sich als Standardbewertungsansatz: - 7 - ( ) k n 1k k kZq1v ⋅−⋅ ∑ = . v sei wiederum der konstante Diskontierungsfaktor. Dieser Sachverhalt kann als inhomogene Markov-Kette modelliert werden. Der Zustandsraum sei mit }1,0{S = gegeben, dabei steht Zustand 0 dafür, dass keine Zahlung erfolgt (Ausfall), und Zustand 1 dafür, dass die Zahlung erfolgt (kein Ausfall). Für die Anfangsverteilung gilt: )10(P0 = , d.h. zum Zeitpunkt 0 ist die Forderung noch nicht ausgefallen. Die Zahlungen gehen wie folgt in die Definition der Leistungsvektor ein: 0:L 0,k = und ,...,n2,1, kZ:L k1k, == . Ferner sei k L für 0k = und nk > der Nullvektor. Wir setzen 0:q 0= . Die Einträge Übergangsmatrix ( ) }1,0{j,i j,i )k(q)k(Q ∈ = seien für ,...2,1k = gegeben durch: 1k k 1,1 1k 1kk 0,1 1,0 0,0 q1 q1 :)k(q q1 qq :)k(q 0:)k(q 1:)k(q − − − − − = − − = = = Dabei ergibt sich 1k 1kk 0,1 q1 qq :)k(q − − − − = aus dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit: )q1()k(qq)k(qq 1k0,11k0,0k −− −⋅+⋅= . Umformen nach )k(q 0,1 liefert das gewünschte Ergebnis. Daraus folgt: . q1 q1 )k(q1)k(q 1k k 0,11,1 − − − =−= Für nk > sei die Übergangsmatrix die Einheitsmatrix. - 14 - ( ) ( )                   −−− = ∏∏ ∏ − =+ − =+ = 1k 0j jx 1k 0j jx k 1j q1q11 01 )j(Q . Für 1xk +−ω> gilt wegen 1q = ω :         = ∏ = 01 01 )j(Q k 1j . Der Leistungsvektor k L sei für x,...,2,1,0k −ω= gegeben durch: 0:L 0,k = und kx1,k R:L + = . Für xk −ω> sei der Leistungsvektor k L der Nullvektor. Somit ergibt sich wegen { } ∞<−ω===== + }x,...,2,1,0k|Rmax{1,0j ,...,2,1,0k|)L(abs max:L kxj,k durch Anwendung von Folgerung 1 für den erwarteten Barwert im Alter x: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∏∑ ∏ ∑ ∏∏ ∑ ∏ −ω = − =++ −ω = − =++ −ω =− =+ − =+ ∞ = = −⋅⋅=               −⋅ ⋅⋅= =⋅                   −−− ⋅⋅= =⋅⋅⋅= x 0k 1k 0j jxkx k x 0k 1k 0j jxkx k x 0k k 1k 0j jx 1k 0j jx 0 k 0k k k 1j 0 k 0 q1Rv q1R 0 10v L q1q11 01 Pv L)j(QPv)B(E Dies entspricht dem oben beschriebenen Standardbewertungsansatz. - 15 - Das Modell wird nun um eine Hinterbliebenenleistung erweitert. Die männliche Person – im Folgenden Ehemann genannt – habe eine gleichaltrige Ehefrau. Diese bezieht beim Tod des Ehemanns eine lebenslängliche Witwenrente. Aus Vereinfachungsgründen wird die Rentehöhe des Ehemanns mit 1 festgelegt, d.h. 1R kx = + für alle x,...,2,1,0k −ω= . Die Rente der Ehefrau betrage 60% der Rente des Ehemanns, d.h. für die Witwenrente gilt 6,0Rwkx = + für alle x,...,2,1,0k −ω= . Auch für die Ehefrau gibt es analog zum Ehemann Sterbewahrscheinlichkeiten: x,...,2,1,0k,qwky −ω= + . Dabei gilt ebenfalls für das letztmögliche Alter 1qw= ω . Da der Ehemann und die Ehefrau gleichaltrig sind, gilt yx = . In der Versicherungsmathematik bewertet man diese Verpflichtung im Alter x mit dem erwarteten Barwert wie folgt: ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ∏∏∏∑ ∏ −ω = −ω = − =+ − =+ − =+−+ −ω = − =+       −⋅⋅−⋅−⋅⋅+− x 1n x nk 1k nj wjx k 1n 0j wjx 2n 0j jx1nx x 0k 1k 0j jx kq1vq1q1q6,0q1v . Dabei ist v wiederum der konstante Diskontierungsfaktor. Dieser Sachverhalt kann nun ebenfalls als Markov-Kette modelliert werden. Der Zustandsraum sei }2 ,1,0{S = mit folgenden Definitionen: Zustand 0: Ehemann und Ehefrau leben nicht mehr, d.h. es erfolgt keine Rentenzahlung. Zustand 1: Der Ehemann lebt, d.h. er bezieht seine Rente. Zustand 2: Der Ehemann ist tot, aber die Ehefrau lebt und bezieht die Witwenrente. Die Anfangsverteilung sei gegeben durch: )010(P0= , die Einträge der Übergangsmatrix ( ) }2,1,0{j,i j,i )k(q)k(Q ∈ = sind für 1x ,x,...,2,1k +−ω−ω= gegeben durch: - 16 - ( ) ( ) w1kx 2,2 1,2 w1kx 0,2 1k 0j wjx 1kx2,1 1kx1,1 1k 0j wjx 1kx0,1 2,01,00,0 q1:)k(q 0:)k(q q:)k(q q1q:)k(q q1:)k(q q11q:)k(q 0:)k(q0:)k(q1:)k(q −+ −+ − =+ −+ −+ − =+ −+ −= = = −⋅= −=        −−⋅= === ∏ ∏ , , Für 1xk +−ω> sei die Übergangsmatrix die Einheitsmatrix. In Folgenden wird aus darstellungstechnischen Gründen die Transponierte des Produkts ∏ = ⋅k 1j 0)j(QP berechnet. Es gilt für 1x,x,...,2,1k +−ω−ω= : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                                        −⋅−⋅ −        −⋅−⋅−−− =        ⋅ ∑ ∏∏ ∏ ∏ ∑ ∏∏ ∏ = − =+ − =+−+ − =+ − = = − =+ − =+−++ = k 1n 1k 0j wjx 2n 0j jx1nx 1k 0j jx 1k 0j k 1n 1k 0j wjx 2n 0j jx1nxjx T k 1j 0 q1q1q q1 q1q1qq11 )j(QP Diese Aussage wird wiederum durch Induktion nach k bewiesen. Der Induktionsanfang ergibt sich für 1k = aus folgender Berechnung: ( ) ( ) ( )             −⋅ − ⋅ =           ⋅           − −⋅−⋅=           ⋅=⋅ w xx x w xx T w x w x w xxx w xx T T 0q1q q1 qq 0 1 0 q10q q1qq1qq 001 0 1 0 )1(Q)1(QP - 17 - Den Induktionsschritt erhält k1k →− man wie folgt: =        ⋅⋅=        ⋅⋅=        ⋅∏∏∏ − = − == T 1k 1j 0 T T 1k 1j 0 T k 1j 0)J(QP)k(Q)k(Q)j(QP)j(QP ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                                        −⋅−⋅ −        −⋅−⋅−−− =                                        −⋅−⋅ −        −⋅−⋅−−− ⋅                     −−⋅ −        −−⋅ = ∑ ∏∏ ∏ ∏ ∑ ∏∏ ∑ ∏∏ ∏ ∏ ∑ ∏∏ ∏ ∏ = − =+ − =+−+ − =+ − = = − =+ − =+−++ − = − =+ − =+−+ − =+ − = − = − =+ − =+−++ −+ − =+ −+ −+ −+ − =+ −+ k 1n 1k 0j wjx 2n 0j jx1nx 1k 0j jx 1k 0j k 1n 1k 0j wjx 2n 0j jx1nxjx 1k 1n 2k 0j wjx 2n 0j jx1nx 2k 0j jx 2k 0j 1k 1n 2k 0j wjx 2n 0j jx1nxjx w1kx 1k 0j wjx 1kx 1kx w1kx 1k 0j wjx 1kx q1q1q q1 q1q1qq11 q1q1q q1 q1q1qq11 q1q1q0 0q10 qq11q1 - 18 - Der Leistungsvektor k L sei für x,...,2,1,0k −ω= gegeben durch: , 1:L0:L 1,k0,k == und 6,0:L 2,k = . Für xk −ω> sei der Leistungsvektor k L der Nullvektor. Somit ergibt sich wegen { } ∞<==== 12,1und j ,,...2,1,0k|)L(abs max:L j,k durch Anwendung von Folgerung 1 für den erwarteten Barwert im Alter x : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∏∑∏∏ ∑ ∏ ∑ ∑ ∏∏ ∑ ∏ ∑ ∑ ∏∏ ∑ ∏ ∑ ∏ ∑ ∏ −ω = − =+ −ω = − =+ − =+−+ −ω = − =+ −ω = −ω = − =+ − =+−+ −ω = − =+ −ω = = − =+ − =+−+ −ω = − =+ −ω = = ∞ = =        −⋅⋅−⋅−⋅⋅+ +−⋅= =        −⋅−⋅⋅⋅+ +−⋅= =        −⋅−⋅⋅⋅+ −⋅= =           ⋅⋅⋅= =⋅⋅⋅= x 1n 1k nj wjx x nk k 1n 0j wjx 2n 0j jx1nx x 0k 1k 0j jx k x 1n x nk 1k 0j wjx 2n 0j jx1nx k x 0k 1k 0j jx k x 0k k 1n 1k 0j wjx 2n 0j jx1nx k x 0k 1k 0j jx k x 0k k 0j 0 k 0k k k 1j 0 k 0 q1vq1q1q6,0 q1v q1q1q6,0v q1v q1q1q6,0v q1v 6,0 1 0 )k(QPv L)j(QPv)B(E Dies entspricht dem oben beschriebenen Bewertungsansatz. 8. Ausblick Die drei dargestellten Beispiele zeigen, dass gedächtnislose Modelle in den Wirtschaftswissenschaften bei der Bewertung von Zahlungsströmen in den - 19 - unterschiedlichsten Fragestellungen verwendet werden können. Die hergeleiteten allgemeinen Ergebnisse – Bewertungsformel und Bilanzgleichung – sind somit vielseitig einsetzbar. Eine EDV-technische Umsetzung der Ergebnisse könnte somit zur Bewertung der unterschiedlichsten Sachverhalte verwendet werden. Die EDV-technische Modellierung würde sich dabei standardisiert auf die Definition der Anfangsverteilung, der Leistungsvektoren und der Übergangsmatrizen reduzieren. Die in Abschnitt 3 hergeleitete Formel führt dann zu einer Bewertung des risikobehafteten Zahlungsstroms als erwarteten Barwert. Bei einfachen Modellen ist der Vorteil einer solchen Vorgehensweise noch nicht besonders groß. In der Lebensund Pensionsversicherungsmathematik finden sich jedoch komplexere Systeme. In diesen Modellen sind nicht nur zwei oder drei Zustände wie in Abschnitt 7 relevant, sondern darüber hinaus sind noch weitere Zustände in das Modell aufzunehmen, z.B. für Invalidität oder für Erwerbsminderung. Ferner kann es in der Lebensund Pensionsversicherungsmathematik bei der Verwendung von jahrgangsabhängigen Sterbetafeln und einer kollektiven Bewertung der Hinterbliebenenversorgung zu einer Differenzierung des Zustands Tod mit Hinterbliebenen kommen. Betrachtet man speziell die Pensionsversicherungsmathematik, so liegen den Leistungsvektoren teilweise sehr komplexe Versorgungsordnungen zugrunde. In diesen Fällen stellt sich die Frage, unter welchen Bedingungen eine Bewertung mithilfe von Markov-Ketten einfacher zu handhaben ist, als die üblicherweise verwendeten Bewertungsalgorithmen. Ferner ist zu analysieren, ob die Anwendung der Theorie der Markov-Ketten sogar zu exakteren Bewertungsansätzen führen kann? Ein weiterer Aspekt, der in der Modellierung mit Markov-Ketten leicht umsetzbar ist, ist die Vorgabe einer Zinsstrukturkurve. In der Regel sind Zinssätze abhängig von der vereinbarten Anlagedauer. Somit müsste für eine Zahlung nach n Jahre ein anderer Jahreszins angesetzt werden, als für eine Zahlung nach n+1 Jahren. Eine solche Abhängigkeit wird als Zinsstrukturkurve bezeichnet. Dies würde die zentrale Formel für den erwarten Barwert zum Zeitpunkt 0 in Folgerung 1 (vorausgesetzt der zufällige Barwert konvergiert) wie folgt verändern: ∑ ∏ ∞ = = ⋅⋅⋅= 0k k k 1j 0 k k0 L)j(QPv)B(E . Dabei sei k ki1 1 v+ = und k i der Jahreszins bei einer Anlagedauer von k Jahren. - 20 - Literaturverzeichnis [1] Bauer, Heinz Wahrscheinlichkeitstheorie und Grundzüge der Maßtheorie, 3. Auflage, Walter de Gruyter, Berlin · New York · 1978. [2] Gerber, Hans U. Lebensversicherungsmathematik, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1986. [3] Heidorn, Thomas Finanzmathematik in der Bankpraxis, 5. 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Kontakt/Impressum Diese Veröffentlichung erscheint im Rahmen der OnlinePublikationsreihe „Forschung am IVW Köln“ . Alle Veröffentlichungen dieser Reihe können unter www.ivw-koeln.de oder unter http://opus.bsz-bw.de/fhk/index.php?la=de abgerufen werden. Eine weitere Publikationsreihe ist die Schriftenreihe des Instituts für Versicherungswesen der Fachhochschule Köln . Herausgeber: Verein der Förderer des Instituts für Versicherungswesen an der Fachhochschule Köln e. V. Die Schriftenreihe kann über den Verlag Versicherungswirtschaft bezogen werden (http://www.vvw.de/). Eine Übersicht aller Hefte der Schriftenreihe kann auch unter folgender Adresse abgerufen werden: http://www.f04.fh-koeln.de/fakultaet/institute/ivw/informationen/publikationen/00366/index.html Köln, Oktober 2011 Herausgeber / Editorship: Prof. Dr. Reimers-Rawcliffe Prof. Dr. Peter Schimikowski Prof. Dr. Jürgen Strobel Institut für Versicherungswesen / Institute for Insurance Studies Fakultät für Wirtschaftswissenschaften / Faculty of Economics and Business Administration Fachhochschule Köln / Cologne University of Applied Sciences Web www.ivw-koeln.de Schriftleitung / Contact editor’s office: Prof. Dr. Jürgen Strobel Tel. +49 221 8275-3270 Fax +49 221 8275-3277 Mail [email protected] Institut für Versicherungswesen / Institute for Insurance Studies Fakultät für Wirtschaftswissenschaften / Faculty of Economics and Business Administration Fachhochschule Köln / Cologne University of Applied Sciences Gustav Heinemann-Ufer 54 50968 Köln Kontakt Autor / Contact author: Prof. Dr. Ralf Knobloch Institut für Betriebswirtschaftslehre / Institute of Business Administration Fakultät für Wirtschaftswissenschaften / Faculty of Economics and Business Administration Fachhochschule Köln / Cologne University of Applied Sciences Gustav Heinemann-Ufer 54 50968 Köln Tel. +49 221 8275-3425 Fax +49 221 8275-3135 Mail [email protected] ISSN (online) 2192-8479