Fo schung am IVW Köln, 2/2011
Ins i u ü Ve siche ungswesen
Pe o manceop imie ung des
(B u o) Neugeschä s in de
Schadens e siche ung
Ma ia Heep-Al ine
Zusammen assung
Mi Hil e on in e nen Modellen kann man in de
Schaden e siche ung das
Risiko / Rendi e P o il eine Neugeschä ss a egie bewe en und
En scheidungen da aus ablei en. Dabei kann man i. d. R. nu einzelne
S a egien mi einande e gleichen, abe kein allgemein gül iges
Op imum he lei en. Un e bes imm en Vo ausse zungen is es alle dings
möglich, ü das (B u o) Neugeschä auch geschlossene Lösungen ü
diese F ages ellung zu inden. Selbs wenn diese Vo ausse zungen in de
Rein o m meis ens kaum o liegen, e geben sich doch aus diesem Ansa z
einige in e essan e Implika ionen ü die Un e nehmenss eue ung.
Insbesonde e können solche Ansä ze da ü e wende we den, besse e
„S a we e“ zu inden, die dann mi in e nen Modellen ge es e we den
können.
Abs ac
By he help o in e nal models he isk
/ e u n p o ile o a new business
s a egy o a non-li e insu e can be e alua ed and decisions based on his
can be de i ed. No mally, only single s a egies can be compa ed, bu a
global op imum can’ be de e mined. Ne e heless, unde ce ain
condi ions i is possible o ob ain closed solu ions conce ning he (g oss)
new business s a egy. E en i hose condi ions do no exis pu ely in his
o m in e es ing implica ions owa ds alue based managemen can be
de i ed om his app oach. Especially, hose app oaches may be used o
ind be e ini ial alues o es a business s a egy by an in e nal model.
Inhal s e zeichnis
1 VORBEMERKUNGEN ............................................................................................................................. 1
2 VEREINFACHTER MODELLANSATZ BEI UNKORRELIERTEN RISIKEN......................................4
2.1 O
PTIMIERUNG DES
R
ETURN ON
R
ISK
A
DJUSTED
C
APITAL
..................................................................5
2.2 O
PTIMIERUNG DES
E
CONOMIC
V
ALUE
A
DDED
...................................................................................8
3 ALLGEMEINER MODELLANSATZ......................................................................................................9
3.1 O
PTIMIERUNG DES
R
ETURN ON
R
ISK
A
DJUSTED
C
APITAL
................................................................10
3.2 O
PTIMIERUNG IN
S
PEZIALFÄLLEN
.....................................................................................................11
4 BERECHNUNGSBEISPIELE .................................................................................................................12
4.1 U
NKORRELIERTE
A
SSETS UND
L
IABILITIES
.........................................................................................12
4.2 K
ORRELIERTE
A
SSETS UND
L
IABILITIES
..............................................................................................17
5 FAZIT .......................................................................................................................................................18
LITERATURVERZEICHNIS...........................................................................................................................20
ABBILDUNGSVERZEICHNIS ......................................................................................................................21
KONTAKT........................................................................................................................................................22
- 1 -
1 Vo beme kungen
Die klassische Pe o mancebeu eilung eines Segmen es in de Schaden e siche ung e -
olg übe die kombinie e Schadenkos enquo e. Mi Hil e on in e nen Modellen kann
man hie geeigne e Ziel o gaben e mi eln, so dass un e Einbeziehung eine Ve zinsung
des eien liquiden Saldos eine angemessene Ve zinsung de ü die Risikoabsiche ung
benö ig en Eigenmi el e ziel wi d (siehe hie zu auch [1], [2] und [3]).
Dabei is es na ü lich nich imme möglich, diese Ziel o gaben auch uneingesch änk um-
zuse zen, da sich au den Ve siche ungsmä k en nich imme die ü die Ziele üllung be-
nö ig en P ämienni eaus e zielen lassen. Hie muss man also un e Be ücksich igung de
gegebenen Möglichkei en nach geeigne en Kombina ionen zu Op imie ung des Risiko /
Rendi e P o ils ü das gesam e Po olio suchen.
Auch hie bie en in e ne Modelle geeigne e Lösungsansä ze, da man in einem solchen
Modell un e schiedliche Neugeschä ss a egien es en und die e ziel en Risiko / Rendi e
P o ile mi einande e gleichen kann.
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
14%
0 100 200 300 400 500 600
Risiko
Rendi e
S a egie 1
S a egie 2
S a egie 4
S a egie 3
Abbildung 1: Risiko / Rendi e P o ile un e schiedliche Geschä ss a egien.
Die Da s ellung de Risiko / Rendi e P o ile in Abbildung 1 basie au dem klassischen
Ma kowi zansa z, welche sei langem einen S anda dansa z zu Beu eilung de Zusam-
mense zung eines Kapi alanlagenpo olios da s ell (siehe dazu beispielsweise [5] ode
[7]). Dabei wi d das Risiko i. d. R. du ch die S anda dabweichung besch ieben. Be ei s in
diese ein achen Da s ellung is so o o ensich lich, dass die Geschä ss a egie 1 subop-
- 2 -
imal is , da mi S a egie 2 meh Rendi e bei wenige Risiko e ziel we den kann. Zwischen
den S a egien 2 und 4 gib es dieses ein ache En scheidungsk i e ium alle dings nich
meh , da hie zusä zlich die Kenn nis de Risikop ä e enzs uk u benö ig wi d. Ein isiko-
scheue En scheidungs äge wi d ehe S a egie 2 wählen, isiko eudige e En schei-
dungs äge ziehen du chaus auch die S a egien 3 und 4 in Be ach .
Dabei is die ko ek e Quan i izie ung eine Risikop ä e enzs uk u du chaus ein nich
i iales P oblem, das sich im Kon ex eine we o ien ie en Un e nehmenss eue ung abe
aus den olgenden G ünden ein ache ges al e als im Kon ex eine p i a en In es i ions-
en scheidung:
• Es gib ( ech liche) Mindes o gaben zu Risikoexponie ung, beispielsweise im
Rahmen de Sol ency II Vo sch i en ode de ü die Risikozeichnung ele an en
Ra ingan o de ungen.
• Die we o ien ie e S eue ung e olg au de Basis zu o es geleg e Risiko / Rendi-
ekennzi e n wie e wa RORAC (= „Re u n on Risk Adjus ed Capi al“) ode EVA
1
(=
„Economic Value Added“).
Mi Hil e eines in e nen Modells kann man dann ü jede S a egie e mi eln, ob sie die ge-
se zlichen und sons igen Mindes o ausse zungen e üll und welchen We sie ü eine
zu o es geleg e Risiko / Rendi ekennzi e annimm .
Dabei wi d bei in e nen Modellen in de Schaden e siche ung in de Regel das ökonomi-
sche Eigenkapi al nach Ablau eines Jah es mi Hil e on Mon e Ca lo Simula ionen model-
lie , da man au g und de Viel al de s ochas ischen In e ak ionen nich meh mi ge-
schlossenen Fo meln a bei en kann. Aus diesem G und kann man auch nich meh klassi-
sche Op imie ungs e ah en anwenden. Somi bedeu e Op imie ung in diesem Zusam-
menhang meis ens, dass man einige (au g und de Rechne lau zei en o wenige) Kombi-
na ionen simulie und mi einande e gleich . Man kann dadu ch zwa besse e Ge-
schä skombina ionen e kennen, abe u. U. keine op imale Kons ella ion iden i izie en.
E gänzend hie zu kann jedoch e suchen, mi Hil e ein ache e Algo i hmen besse e
S a we e ü die Simula ion al e na i e Pa ame e kombina ionen zu inden.
Im Folgenden soll ü die Op imie ung de (B u o) Neugeschä ss a egie ein e ein ach es
Ve ah en besch ieben we den, das eine geschlossene Lösung ü den Op imie ungsansa z
lie e , wobei sowohl
• die Risikozeichnung in un e schiedliche Spa en als auch
• die Kapi alanlage in un e schiedliche Asse klassen
1
Das Kü zel EVA is ein einge agenes Wa enzeichen de Un e nehmensbe a ung S e n S ewa d & Co. Zu Ve -
ein achung de nach olgenden Be echnungen gil diese Fußno e ü alle wei e en Ve wendungen des Kü zels.
- 3 -
in die Modellbildung einbezogen we den. Au g und de e ein ach en S uk u is de An-
sa z alle dings nu beding ü die Op imie ung de Ne o Neugeschä ss a egie geeigne .
In diesem Fall is eine Anwendung nu dann sinn oll, wenn nähe ungsweise on eine
quo alen Rück e siche ung ausgegangen we den kann ode de Ansa z au g und es ge-
leg e Rück e siche ungss uk u en au die Ne owe e angewende we den kann. Bei die-
sem Modellansa z gehen wi ü die (B u o) Neugeschä sp ämie on olgenden Annah-
men aus:
(1) Von de Neugeschä sp ämie en allen die An eile y
0
+ y
1
+ … + y
m
= 1 au die Spa -
en 0, 1, …, m, wobei ü die abgewickel en kombinie en Schadenkos enau wen-
dungen E[C
j
] = c
j
gel en soll. Du ch eine geeigne e Ba we be ach ung können wi
dabei ohne Einsch änkung de Allgemeinhei da on ausgehen, dass alle Schaden-
kos enau wendungen zum Ende des Jah es e olgen.
(2) Die Neugeschä sp ämie wi d mi den An eilen x
0
+ x
1
+ … + x
n
= 1 in die As-
se klassen 0, 1, …, n angeleg , wobei ü die kumulie en Rendi en E[R
i
] =
i
gel en
soll. Du ch eine geeigne e Ba we be ach ung können wi dabei ohne Einsch än-
kung de Allgemeinhei da on ausgehen, dass alle Kapi alanlagen zum Beginn des
Jah es e olgen und die Rendi en zum Ende des Jah es ällig we den.
(3) Das Neugeschä wi d mi dem benö ig en Eigenkapi al EK
α
zum Siche hei sni eau
α (beispielsweise dem Ni eau gemäß Sol ency II) hin e leg , welches isiko ei an-
geleg wi d, d. h. es gil EK
1,α
(ω) = EK
α
· (1 +
) + GuV(ω).
(4) Zumindes ü die gesam e GuV wi d nähe ungsweise on eine No mal e eilung
ausgegangen, so dass EK
α
= (
α
· S - E) / (1 +
) mi E = E[GuV] und S = STD[GuV] gil .
Aus de in (1) o mulie en Bedingung e gib sich in den nach olgenden Be ach ungen
eine De ini ion de kombinie en Schadenkos enquo e (bzw. „Combined Ra io“), die au
den Ba we zum Ende des Jah es abs ell im Un e schied zu de üblichen De ini ion au
Basis alle nominellen Schaden- und Kos enzahlungen. In allen Be echnungsbeispielen
we den zu Ve ein achung de No a ion un e ände die Beg i e „kombinie e Schaden-
kos enquo e“ ode „Combined Ra io“ e wende ; die so de inie en Quo en liegen au -
g und de Ba we be ach ung un e halb de nominell de inie en Quo en.
Die Annahmen in (1) und (2) be ücksich igen nich , dass es gese zliche ode un e neh-
mensin e ne Res ik ionen gib , wie hoch die einzelnen An eile in den Spa en ode As-
se klassen sein dü en. Die Modellansä ze lassen sich dahingehend modi izie en; dies lag
abe nich im Fokus de hie skizzie en Übe legungen.
Die Bedingungen (3) und (4) e ein achen den Modellansa z und e möglichen geschlosse-
ne Fo meln. Da es in de Schaden e siche ung gese zliche Bes immungen gib , wie hoch
die An eile ü iskan e Asse klassen sein dü en, s ell (3) keine wi klich g oße Einsch än-
kung da . Dies gil eben alls ü (4), da bei Einbeziehung iele bzw. gu di e si izie e As-
se klassen und Spa en diese Bedingung zumindes app oxima i gegeben sein soll e.
- 4 -
Wi haben bei den nach olgenden Modellansä zen im Sinne eine Vo s eue be ach ung
keine sepa a e Be ücksich igung de s eue lichen Behandlung o genommen; bei signi i-
kan en Un e schieden in de s eue lichen Behandlung soll en die S eue ansä ze in die Pa-
ame e einge echne we den. Wei e hin kann eine eine Ne obe ach ung o genom-
men we den (so e n die Op imie ung de Rück e siche ung nich im Fokus s eh ) ode die
Rück e siche ung kann analog zu Vo gehensweise in IFRS als ein mi den Schadenkos en-
au wendungen hoch ko elie es Asse angese z we den (so e n app oxima i on eine
quo alen Rück e siche ung ausgegangen wi d).
Falls nun σ
i
die Vola ili ä de i- en Asse klasse und τ
j
die Vola ili ä (des Ba we es) de
kombinie en Schadenkos enau wendungen de j- en Spa e bezeichne , so gil :
E = ∑ x
i
·
i
– ∑ y
j
· c
j
S = (∑ x
i2
·σ
i2
+ ∑ y
j2
·τ
j2
+ 2 · ∑ Ko ela ions e me)
1/2
Die beiden Gleichungen besch eiben eine Ve allgemeine ung des klassischen Ma kowi z-
ansa zes. Se z man o mal j* = (-cj), dann e hal en sich Liabili ies bezüglich de üblichen
E izienzk i e ien wie Asse s und die e s e Gleichung sch eib sich als
E = ∑ x
i
·
i
+ ∑ y
j
·
j
*.
Dies en sp ich einem Ma kowi zansa z, bei dem ein bes imm es Anlage olumen in eine
G uppe on Asse klassen und ein ande es Anlage olumen in eine zwei e G uppe on As-
se klassen angeleg we den soll.
Im Folgenden soll zunächs zu Ve ein achung de Op imie ungsansa z un e de Vo aus-
se zung he gelei e we den, dass die Asse s und die Liabili ies jeweils paa weise unko e-
lie sind. In diesem Fall kann die allgemeine Lösung noch ela i explizi besch ieben we -
den, so dass zumindes die wich igs en Lösungseigenscha en disku ie we den können.
De allgemeine Lösungsansa z wi d im Anschluss da an ku z skizzie .
2 Ve ein ach e Modellansa z bei unko elie en Risiken
Wie be ei s e läu e kann man anhand de üblichen E izienzk i e ien ine izien e Po oli-
os so o eliminie en. Fü eine En scheidung zwischen zwei e izien en Po olios (und so-
mi ü die Auswahl eines op imalen Po olios) benö ig man eine Risikop ä e enz unk ion.
Im Kon ex de we o ien ie en S eue ung gib es hie na ü liche weise zwei P ä e enz-
unk ionen, de RORAC (= „Re u n on Risk Adjus ed Capi al“) und de EVA (= „Economic
Value Added“, siehe Fußno e 1), die in unse en Modellansa z wie olg de inie we den:
RORAC =
+ E / EK
α
=
+ (1 +
) · E / (
α
· S – E) =:
+ a · E / (
α
· S – E).
EVA = E – (z –
) · EK
α
= E – (z –
) · EK
α
= E – (z –
) · (
α
· S - E) / (1 +
)
= ((1 + z) / (1 +
)) · (E – ((z –
) / (1 + z)) ·
α
· S) =: b · (E – k · S).
- 5 -
De Pa ame e z bezeichne hie die un e nehmensindi iduelle Ziel e zinsung; diese de i-
nie zusammen mi dem un e nehmensin e n gewähl en Siche hei sni eau α sowie dem
isiko eien Zins
den Kapi alkos enpa ame e k bei de S eue ung du ch den EVA. Fü
diese beiden P ä e enz unk ionen sollen nun die K i e ien ü eine op imale Kombina ion
aus Asse s und Liabili ies analysie we den. Dabei gil bzgl. de e s en Ablei ungen:
∂/∂(*) RORAC = a · (∂/∂(*) E · S - E · ∂/∂(*) S) / (
α
· S – E)
2
∂/∂(*) EVA = b · (∂/∂(*) E – k · ∂/∂(*) S)
Da aus e geben sich die olgenden no wendigen Bedingungen ü ein Op imum:
∂/∂(*)E / ∂/∂(*) S = E / S ü den RORAC (un e de Bedingung (
α
· S – E) ≠ 0)
∂/∂(*)E = k · ∂/∂(*)
S
ü den EVA.
Im Un e schied zum RORAC häng also beim EVA ein Op imum nich nu on den Risiko /
Rendi e P o ilen de Asse - und Liabili yklassen ab, sonde n auch om Kapi alkos enpa a-
me e k, de du ch die indi iduelle Un e nehmenspoli ik es geleg wi d. Falls die o. g. Be-
dingungen e üll sind und nich (
α
· S – E)
2
= 0 gil , dann olg ü die zwei en Ablei ungen:
∂
2
/∂(*)∂(**) RORAC = -a · E · ∂
2
/∂(*)∂(**) S / (
α
· S – E)
2
,
∂
2
/∂(*)∂(**) EVA = -b · k · ∂
2
/∂(*)∂(**) S,
a und b posi i e Kons an en. Im No mal all is die Hessema ix (… ∂
2
/∂(*)∂(**) S …) posi i
de ini , d. h. man e häl ü die Nulls ellen de e s en Ablei ungen diese Funk ionen
• s e s ein Maximum im Fall des EVA sowie
• ein Maximum / Minimum ü den RORAC, alls die Rendi e E g öße / kleine Null is .
In den olgenden Abschni en we den wi die Op ima bezüglich RORAC und EVA ü unse-
en Modellansa z un e suchen, wobei wi zunächs zu Ve ein achung annehmen, dass alle
Asse s und Liabili ies jeweils paa weise unko elie mi einande sind. (In diesem Fall gil
also 2 · ∑ Ko ela ions e me = 0.) Die e allgemeine en E gebnisse we den wi dann ohne
g öße e He lei ung angeben.
Wei e hin we den wi zu Ve ein achung de Sch eibweise x
0
mi x und y
0
mi y sowie
0
mi und c
0
mi c abkü zen. Bei Summa ions o meln we den wi gelegen lich diesen Index
wiede e wenden, wenn diese dadu ch kla e und ein ache we den.
2.1 Op imie ung des Re u n on Risk Adjus ed Capi al
Fü x + x
1
+ … x
n
= 1 sowie ∆
i
=
i
– und y + y
1
+ … + y
m
= 1 sowie ∆c
j
= c
j
– c e geben sich
ü den E wa ungswe E und die S anda dabweichung S bei Annahme olls ändige Un-
ko elie hei olgende Beziehungen:
- 6 -
E =
+ ∑ x
i
· ∆
i
– (c
+ ∑ y
j
· ∆c
j
)
S = (x
2
·σ
2
+ ∑ x
i2
·σ
i2
+ y
2
·τ
2
+ ∑ y
j2
·τ
j2
)
1/2
Somi e häl man ü die e s en (pa iellen) Ablei ungen ü alle Indizes i, j die olgenden
Resul a e ü die Ablei ungen on E und S:
∂E/∂x
i
= ∆
i
sowie ∂E/∂y
j
= -∆c
j
∂S/∂x
i
= (x
i
· σ
i2
– x · σ
2
) / S sowie ∂S/∂y
j
= (y
j
· τ
j2
– y · τ
2
) / S
Aus den Beziehungen ∂E/∂(*) / ∂S/∂(*) = E / S ü alle Kombina ionen i, j, k, l esul ie en
dann die olgenden Gleichungen:
(x
i
· σ
i2
– x · σ
2
) / ∆
i
= (x
k
· σ
k2
– x · σ
2
) / ∆
k
(y
j
· τ
j2
– y · τ
2
) / ∆c
j
= (y
l
· τ
l2
– y · τ
2
) / ∆c
l
(x
i
· σ
i2
– x · σ
2
) / ∆
i
= -(y
j
· τ
j2
– y · τ
2
) / ∆c
j
Falls man mi ∆
i,j
:=
i
–
j
(mi dem Spezial all ∆
i
= (
i
- ) = (
i
-
0
) = ∆
i,0
) bezeichne , dann
kann man un e Ve wendung de Beziehungen ∆
i,j
= -∆
j,i
die obigen Gleichungen wie
olg um o mulie en:
X
i
:= x
i
· σ
i2
= (x
· σ
2
) · (∆
i,1
/ ∆
0,1
) + (x
1
· σ
12
) · (∆
i,0
/ ∆
1,0
)
=: u
i,0
· X
+ u
i,1
· X
1
Y
j
:= y
j
· τ
j2
= (y
· τ
2
) · (∆c
j,1
/ ∆c
0,1
) + (y
1
· τ
12
) · (∆c
j,0
/ ∆c
1,0
)
=:
j,0
· Y
+
j,1
· Y
1
Be ücksich ig man, dass ü X, X
1
, Y und Y
1
die Beziehungen „pe de ini ionem“ gel en (da
die beiden Koe izien en jeweils die We e 0 und 1 annehmen), dann gel en ü
U := ∑ U
i,0
:= ∑ u
i,0
/ σ
i2
und
U
1
:= ∑ U
i,1
:= ∑ u
i,1
/ σ
i2
sowie
V := ∑ V
j,0
:= ∑
j,0
/ τ
j2
und
V
1
:= ∑ V
j,0
:= ∑
j,0
/ τ
j2
au g und de No mie ungen x + x
1
+ … x
n
= 1 und y + y
1
+ … + y
m
= 1 die beiden Bezie-
hungen U · X + U
1
· X
1
= 1 sowie V · Y + V
1
· Y
1
= 1. Je z können die zu o au ges ell en
Gleichungen s a k e ein ach we den. Se z man nämlich X
1
* = (X
1
– X) sowie Y
1
* = (Y
1
– Y)
dann e häl man bezüglich diese ans o mie en Va iablen die olgenden Beziehungen:
X
= (1 – U
1
· X
1
*) / (U + U
1
)
Y
= (1 – V
1
· Y
1
*) / (V + V
1
)
Y
1
* = - (∆c
1
/ ∆
1
) · X
1
*
Fü die endgül ige Lösung benö ig man eine wei e e unabhängige Gleichung in X
1
* und
Y
1
*. Dazu be ach en wi die Ausgangsbeziehung E · (x
1
· σ
12
– x · σ
2
) = ∆
1
· S
2
und somi
- 13 -
Annahme e gäbe sich app oxima i , wenn man ausschließlich eine ela i isikoa me Spa -
e in einem seh g oßen Kollek i zeichnen wü de.) Un e diesen Annahmen lie e das
Modell wie olg den klassischen Ma kowi zansa z ü Asse s:
S anda d-
abweichung
E ag nach
einem Jah
Asse klasse 1 10,0% 7,5%
Asse klasse 2 20,0% 12,5%
Bekann e weise kann man im klassischen Ma kowi zansa z zunächs einmal nu den ine i-
zien en Rand als Lösung ausschließen; ü die Auswahl eine op imalen Lösung au dem
e izien en Rand benö ig man zusä zlich ein P ä e enzsys em wie beispielsweise RORAC
ode EVA; beim EVA P ä e enzsys em benö ig man zusä zlich noch einen Kapi alkos enpa-
ame e k. In de nach olgenden Tabelle sind das RORAC Op imum und das EVA Op imum
bei einem Kapi alkos enpa ame e on k = 30% au gelis e .
S d.
Abw.
E ag nach
einem Jah
An eil im
RORAC
An eil im EVA
Op imum, k =
Op imum 30,0%
Asse klasse 1 10,0% 7,5% 70,6% 35,3%
Asse klasse 2 20,0% 12,5% 29,4% 64,7%
Abbildung 4: RORAC und EVA Op imum bei nich iskan en Liabili ies.
Beim EVA Op imum lieg die Gewich ung deu lich meh au de iskan e en Asse klasse als
beim RORAC Op imum. Da übe hinaus wi d nu de absolu e We op imie ohne beson-
de e Be ücksich igung des a sächlichen Eigenkapi albeda s. Im konk e en Fall is de Ei-
genkapi albeda im EVA Op imum deu lich höhe als im RORAC Op imum; u. U. kann das
benö ig e Eigenkapi al ü das EVA Op imum om Un e nehmen ga nich ges ell we den.
Die E gebnisse in Abbildung 4 wu den mi Hil e des zu o he gelei e en Fo melwe ks e -
mi el . In diesem e ein ach en Beispiel kann man die Resul a e abe auch seh anschau-
lich g aphisch da s ellen. Leg man den RORAC als P ä e enz unk ion zug unde, dann kann
man dieses Op imum als den Tangen ialpunk au de Risiko / Rendi e Ku e mi eine Ge-
ade du ch den Nullpunk wie olg da s ellen:
- 14 -
0%
5%
10%
15%
0% 5% 10% 15% 20%
Risiko
Rendi e
Abbildung 5: RORAC Op imum au de Risiko / Rendi e Ku e.
Beim EVA Op imie ungsansa z e gib sich das Op imum als Tangen ialpunk au de Risiko
/ Rendi e Ku e mi eine Ge aden, de en S eigung om Kapi alkos enpa ame e k ab-
häng . Da sich die Risiko / Rendi e Ku e asymp o isch an eine Ge ade annähe , gib es
einen solchen Tangen ialpunk nu dann, wenn die S eigung de EVA Ge aden (und somi
de Kapi alkos enpa ame e k) aus eichend hoch is , siehe dazu auch die nach olgende
Abbildung:
0%
5%
10%
15%
0% 5% 10% 15% 20%
Risiko
Rendi e
0%
5%
10%
15%
0% 5% 10% 15% 20%
Risiko
Rendi e
Abbildung 6: EVA Op imum ü k = 30%, abe kein EVA Op imum ü k = 10%.
Falls es bei nich aus eichend g oßem Kapi alkos enpa ame e k kein EVA Op imum (im
Sinne eines klassischen Op imie ungsansa zes) gib , dann lieg de maximale EVA We
(ungeach e des absolu en Eigenkapi albeda s) am Rand, d. h. bei 100% Auswahl de is-
kan e en Asse klasse.
- 15 -
Wi wollen je z das o liegende Beispiel e wei e n, indem die Risikozeichnung zweie
(nich mi einande und auch nich mi den Kapi alanlagen ko elie e ) Spa en mi dem
olgenden Risiko / Rendi ep o il in den Op imie ungsansa z mi einbezogen we den soll:
Combined
Ra io
S anda d-
abweichung
Spa e 1 97,0% 20,0%
Spa e 2 98,5% 10,0%
Bei de Combined Ra io handel es sich gemäß unse e Modellannahmen um eine Ba -
we be ach ung zum Ablau des Jah es. In de nach olgenden Tabelle sind ü diesen Fall
die Gewich ungen de Asse - und die Liabili yklassen bei eine RORAC Op imie ung au -
gelis e :
S d. kumul. An . im S d. Combined An . im
Abw. Rendi e Op imum Abw. Ra io Op imum
Asse klasse 1 10,0% 107,5% 64,5% Spa e 1 20,0% 97,0% 24,7%
Asse klasse 2 20,0% 112,5% 35,5% Spa e 2 10,0% 98,5% 75,3%
Abbildung 7: RORAC Op imum ü iskan e Asse s und Liabili ies.
Die An eile ü die Asse klassen 1 und 2 haben sich nach Einbeziehung de Spa en 1 und 2
in die Op imie ung geände , da de Op imie ungsansa z (selbs bei nich ko elie en As-
se s und Liabili ies) nich unabhängig on den Asse und Liabili y Risiko / Rendi ep o ilen
e olg . Es handel sich im konk e en Fall um ein Maximum, da die Rendi e posi i is .
Du ch die Hinzunahme de iskan en Spa en e ände n sich also die Gewich e gg . seh
s a k, wobei iskan e e Kombina ionen (sowohl au de Asse als auch au de Liabili y Sei-
e) je z höhe e Gewich e im Op imum au weisen, was am g öße en G ad de Di e si izie-
ung liegen dü e.
Eine noch s ä ke e Ve schiebung de Gewich e in Rich ung de iskan e en Asse - und Lia-
bili yklassen beobach e man bei de EVA Op imie ung – ungeach e des dadu ch u. U.
doch ech hohen e o de lichen Eigenkapi als.
S d. kumul. An . Im Op . S d. Combined An . Im Op .
Abw. Rendi e 30,0% Abw. Ra io 30,0%
Asse klasse 1 10,0% 107,5% 12,9% Spa e 1 20,0% 97,0% 40,1%
Asse klasse 2 20,0% 112,5% 87,1% Spa e 2 10,0% 98,5% 59,9%
Abbildung 8: EVA Op imum ü iskan e Asse s und Liabili ies.
Wie man de Tabelle en nehmen kann, gib es also signi ikan e Un e schiede zwischen
dem RORAC und dem EVA Op imum, da sich beim EVA Op imie ungsansa z noch höhe e
Gewich e ü die isiko eiche en Posi ionen e geben.
- 16 -
Wi ha en be ei s e wähn , dass im hie o liegenden Modellansa z die Be ach ung eines
isiko eien Asse s kein P oblem da s ell , da man no male weise s e s isikobeha e e Lia-
bili ies ha . Es is ja ge ade in de Ta eine eigens ändige Un e nehmensen scheidung, ob
die liquiden Salden aus de Ve siche ungs echnik isiko ei ode isikobeha e angeleg
we den sollen. Eine isikobeha e e Kapi alanlage muss hie nich no wendige weise „bes-
se “ sein als eine isiko eie Kapi alanlage.
Wi wollen dahe das o liegende Beispiel du ch die Hinzu ügung eines isiko eien Asse s
mi eine Ve zinsung on 4% noch e wei e n und un e suchen, wie sich die Gewich ungen
de Asse - und Liabili yklassen dadu ch gg . e ände n:
S d. kumul. An . im S d. Combined An . im
Abw. Rendi e Op imum Abw. Ra io Op imum
isiko . Asse 0,0% 104,0% 22,4% Spa e 1 20,0% 97,0% 24,1%
Asse klasse 1 10,0% 107,5% 48,3% Spa e 2 10,0% 98,5% 75,9%
Asse klasse 2 20,0% 112,5% 29,3% 0,0% 0,0% 0,0%
Abbildung 9: RORAC Op imum un e Einbeziehung eines isiko eien Asse s.
Au g und de hohen Di e si ika ion e häl das isiko eie Asse nu ein ela i kleines Ge-
wich . Die An eile de Spa en im Op imum ände n sich nu unwesen lich.
Das en sp echende Beispiel ü den EVA Op imie ungsansa z ges al e sich deu lich kom-
plexe : Zunächs einmal e häl man ü den (du chaus ealis ischen) Kapi alkos enpa ame-
e k = 30% keine Lösung meh . Um eine Op imie ungslösung im klassischen Sinn zu e -
hal en, muss man diesen Pa ame e deu lich he au se zen, mindes ens au den ehe un ea-
lis ischen We on k = 60%.
S d. kumul. An . Im Op . S d. Combined An . Im Op .
Abw. Rendi e 60,0% Abw. Ra io 60,0%
isiko . Asse 0,0% 104,0% -119,8% Spa e 1 20,0% 97,0% 31,7%
Asse klasse 1 10,0% 107,5% 136,8% Spa e 2 10,0% 98,5% 68,3%
Asse klasse 2 20,0% 112,5% 83,1% 0,0% 0,0% 0,0%
Abbildung 10: EVA Op imum un e Einbeziehung eines isiko eien Asse s.
Wie man de Abbildung eben alls en nehmen kann, exis ie zwa eine Lösung ü den EVA
Op imie ungsansa z, sie is abe nich zulässig in dem Sinn, dass jede An eil posi i und
kleine als Eins is . Es inde eine de a d ama ische Umschich ung de Asse s s a , dass im
P inzip die Emp ehlung lau e , das isiko eie Asse nich zu kau en, sonde n zu leihen, um
dadu ch noch meh on den iskan e en Asse klassen in das Po olio au zunehmen. An
diesem noch seh ein achen Beispiel zeig sich also, dass de EVA Op imie ungsansa z un-
e Ums änden iel k i ische e Eigenscha en au weis als de RORAC Op imie ungsansa z.
- 17 -
Es muss alle dings e wähn we den, dass bei eine ge inge en Rendi e ü das isiko eie
Asse auch bei de RORAC Op imie ung ähnliche, nich zulässige Lösungen beobach e .
4.2 Ko elie e Asse s und Liabili ies
In diesem Abschni sollen e gänzend zu den o he igen Beispielen noch die Auswi kun-
gen on Ko ela ionen analysie we den. Au g und de hohen Komplexi ä des EVA Op-
imie ungsansa zes in diesem Fall in Ve bindung mi gg . seh k i ischen Lösungseigen-
scha en besch änken wi uns hie ausschließlich au den RORAC Op imie ungsansa z.
Dazu be ach en wi zunächs wiede den Fall de beiden zu o einge üh en iskan en
Asse s und Liabili ies, wobei wi je z annehmen dass die beiden Asse s und die beiden
Liabili ies jeweils zu 50% un e einande ko elie sind; dieses Beispiel en häl be ei s we-
sen liche Eigenscha en des allgemeinen Falls.
S d. kumul. An eil S d. Combined An eil
Abw. Rendi e im Op . Abw. Ra io im Op .
Ko ela ion 0,0% 0,0%
Asse klasse 1 10,0% 107,5% 64,5% Spa e 1 20,0% 97,0% 24,7%
Asse klasse 2 20,0% 112,5% 35,5% Spa e 2 10,0% 98,5% 75,3%
S d. kumul. An eil S d. Combined An eil
Abw. Rendi e im Op . Abw. Ra io im Op .
Ko ela ion 50,0% 50,0%
Asse klasse 1 10,0% 107,5% 63,0% Spa e 1 20,0% 97,0% 11,1%
Asse klasse 2 20,0% 112,5% 37,0% Spa e 2 10,0% 98,5% 88,9%
Abbildung 11: RORAC Op imum ü unko elie e und ko elie e Asse s und Liabili ies.
Du ch den Ansa z on Ko ela ionen e ände n sich die Gewich e, wobei bei hohe posi i-
e Ko ela ion isikoä me e Posi ionen s ä ke ins Gewich allen. Wenn die Ko ela ionen
zu hoch aus allen, gib es gg . keine zulässigen Lösungen meh .
In einem le z en Sch i e wei e n wi dieses Beispiel noch du ch die Hinzu ügung eines
isiko eien Asse s mi eine Ve zinsung on 4%; das Beispiel en häl dann bis au Ko ela i-
onen zwischen Asse s und Liabili ies (die abe mi Ausnahme de als Asse be ach e en
Rück e siche ung in de Regel kaum signi ikan sind) be ei s die gesam e Komplexi ä des
allgemeinen Falls.
- 18 -
S d. kumul. An eil S d. Combined An eil
Abw. Rendi e im Op . Abw. Ra io im Op .
Ko ela ion 0,0% 0,0%
isiko . Asse 0,0% 104,0% 22,4% Spa e 1 20,0% 97,0% 24,1%
Asse klasse 1 10,0% 107,5% 48,3% Spa e 2 10,0% 98,5% 75,9%
Asse klasse 2 20,0% 112,5% 29,3%
S d. kumul. An eil S d. Combined An eil
Abw. Rendi e im Op . Abw. Ra io im Op .
Ko ela ion 50,0% 50,0%
isko . Asse 0,0% 104,0% 36,4% Spa e 1 20,0% 97,0% 9,1%
Asse klasse 1 10,0% 107,5% 33,3% Spa e 2 10,0% 98,5% 90,9%
Asse klasse 2 20,0% 112,5% 30,3%
Abbildung 12: RORAC Op imum un e Einbeziehung eines isiko eien Asse s.
Falls also ein isiko eies Asse in die RORAC Op imie ung iskan e , jeweils un e einande
ko elie e Asse s und Liabili ies einbezogen wi d, dann en äll in unse em Beispiel ein
höhe es Gewich au dieses Asse ; die iskan e en Asse s we den en sp echend ge inge
gewich e . Wei e hin is beme kenswe , dass die Einbeziehung des isiko eien Asse s
nich nu die Gewich ung de Ass es, sonde n auch die Gewich ung de Liabili ies s a k
beein luss .
5 Fazi
Leg man den RORAC als P ä e enz unk ion zug unde, dann gib es beim klassischen Op-
imie ungsansa z ü iskan e Kapi alanlagen (un e gewissen Modell e ein achungen)
imme ein zulässiges Op imum. Im Spezial all zweie iskan e Kapi alanlagen kann man
dies als den Tangen ialpunk au de Risiko / Rendi e Ku e mi eine Ge ade du ch den
Nullpunk da s ellen, siehe dazu auch Abbildung 5.
So e n man den EVA als P ä e enz unk ion zug unde leg , gib es auch im ein achs en Fall
des klassischen Op imie ungsansa zes mi zwei iskan en Kapi alanlagen nich imme eine
Lösung. Eine Lösung wä e nämlich in diesem Fall de Tangen ialpunk au de Risiko / Ren-
di e Ku e mi eine Ge ade de Fo m
Rendi e = Kons an e + k · Risiko.
Da die S eigung de Risiko / Rendi e Ku e nich beliebig klein wi d, sonde n sich asymp o-
isch an eine Ge ade annähe , gib es bei zu kleine Wahl des Kapi alkos enpa ame e s k
keine de a ige „Tangen iallösung“, siehe dazu auch Abbildung 6. Fü kleine e (und ehe
ealis ische) Kapi alkos enpa ame e is nämlich die S eigung de EVA Ge aden zu lach, d.
h. sie wi d auch nach en sp echende Pa allel e schiebung nich die Risiko / Rendi e Ku e
be üh en; hie liegen die maximalen We e au den Rände n de zulässigen Kombina io-
- 19 -
nen. Fü höhe e Kapi alkos enpa ame e hingegen gib es zulässige Lösungen; diese Pa-
ame e bilden abe häu ig keine ealis ische Kapi alkos ensys ema ik ab.
Dieses E gebnis soll e aus unse e Sich zum Nachdenken an egen, ob de EVA ein zweck-
mäßiges S eue ungsins umen is , wenn selbs im ein achs en alle denkba en Beispiele
die Op ima de a k i isch on de ( eilweise ech ik i en) Pa ame e wahl ü den Kapi al-
kos ensa z abhängen. Insbesonde e die Ta sache, dass gg . nu bei seh hohem Ansa z ü
die Kapi alkos en übe haup Op ima exis ie en, soll e aus unse e Sich k i isch gewü dig
we den. Aus diesem G und wu de an diese S elle de Fall eine EVA Op imie ung bei ge-
gebenen Ko ela ionss uk u en auch nich analysie .
So e n nun (beispielsweise im Rahmen eine ganzhei lichen GuV Be ach ung) auch Liabili-
ies in den Op imie ungsansa z einbezogen we den, wi d selbs bei Modell e ein achun-
gen die Lösungss uk u u. U. seh komplex:
Bei einem ( e ein ach en) RORAC Op imie ungsansa z wi d es in de Regel (d. h. auße halb
„singulä e “ Pa ame e kons ella ionen) Lösungen geben, welche abe nich no wendige -
weise zulässig in dem Sinn sind, dass alle Pa ame e g öße Null und kleine Eins sind. So-
e n es keine Ko ela ionen ode nu Ko ela ionen inne halb de Asse s und Liabili ies gib ,
können die Lösungen anschaulich besch ieben we den und man e kenn so o , dass die
op imalen Asse kombina ionen nich nu on den Eigenscha en de Asse s, sonde n auch
on den Eigenscha en de Liabili ies beein luss we den (was umgekeh na ü lich genau
so gil ). In diesem Fall können nich zulässige Lösungen gg . dadu ch „geheil “ we den,
dass man u. U. G uppen zusammen ass , und dadu ch den Op imie ungsansa z e was klei-
ne dimensionie .
Im allgemeinen Fall ü das RORAC Op imie ungsp oblem exis ie die Lösung zwa in de
Regel, is abe gg . schwe zu in e p e ie en. Mi Ausnahme de Beziehungen zwischen
B u o- und zedie em Schadenau wand, soll en in de Schaden e siche ung abe nich
allzu g oße Ko ela ionen zwischen Asse s und Liabili ies au e en, so dass bei eine einen
Ne obe ach ung die Unko elie hei sannahme zwischen Asse s und Liabili ies gg . un-
p oblema isch is .
Wie wi be ei s e wähn haben, eignen sich die hie skizzie en Übe legungen nich unbe-
ding bei de Op imie ung komplexe Rück e siche ungss uk u en, da die hie ge o e-
nen Modell e ein achungen in diesem Fall k i isch hin e ag we den müssen. Die hie
skizzie e Vo gehensweise kann lediglich dazu e wende we den, bei e ein ach em Mo-
delldesign besse e S a we e ü Al e na i be echnungen in in e nen Modellen zu lie e n.
Dennoch kann man selbs bei ein achen Beispielen schon einige Implika ionen ü die un-
e nehmensin e ne S eue ung e kennen.
- 20 -
Li e a u e zeichnis
[1] DAV-A bei sg uppe In e ne Risikomodelle (H sg.): In e ne Risikomodelle in de Scha-
den-/ Un all e siche ung, Ka ls uhe 2008.
[2] Die s, Do o hea: In e ne Un e nehmensmodelle in de Schaden- und Un all e siche-
ung, Ulm 2007.
[3] Heep-Al ine ; Kaya; K enzlin; Wel e (H sg.): In e ne Modelle nach Sol ency II. Sch i
ü Sch i zum in e nen Modell in de Schaden e siche ung. Ve lag Ve siche ungs-
wi scha , Ka ls uhe, 2010.
[4] Mack, Thomas: Schaden e siche ungsma hema ik, 2. Au lage, Ka ls uhe 2002.
[5] Ma kowi z, Ha y Max: Po olio Selec ion, The Jou nal o Finance, Vol. VII, No. 1,
Ma ch 1952.
[6] Mau e , Raimond: In eg ie e E olgss eue ung in de Schaden e siche ung au de
Basis on Risiko-We -Modellen, Ka ls uhe 2000.
[7] Sp emann, Klaus: Po oliomanagemen . Oldenbou g, 4. Au lage, 2008.
- 21 -
Abbildungs e zeichnis
Abbildung 1: Risiko / Rendi e P o ile un e schiedliche Geschä ss a egien...........................1
Abbildung 2: S uk u de Ko ela ionsma ix. ....................................................................................10
Abbildung 3: S uk u de Cholesky Ze legung ü die Ko ela ionsma ix...............................10
Abbildung 4: RORAC und EVA Op imum bei nich iskan en Liabili ies....................................13
Abbildung 5: RORAC Op imum au de Risiko / Rendi e Ku e......................................................14
Abbildung 6: EVA Op imum ü k = 30%, abe kein EVA Op imum ü k = 10%. ....................14
Abbildung 7: RORAC Op imum ü iskan e Asse s und Liabili ies...............................................15
Abbildung 8: EVA Op imum ü iskan e Asse s und Liabili ies.....................................................15
Abbildung 9: RORAC Op imum un e Einbeziehung eines isiko eien Asse s. .......................16
Abbildung 10: EVA Op imum un e Einbeziehung eines isiko eien Asse s............................16
Abbildung 11: RORAC Op imum ü unko elie e und ko elie e Asse s und Liabili ies....17
Abbildung 12: RORAC Op imum un e Einbeziehung eines isiko eien Asse s......................18
Kon ak /Imp essum
Diese Ve ö en lichung e schein im Rahmen de OnlinePublika ions eihe
„Fo schung am IVW Köln“
.
A
lle Ve ö en lichungen diese Reihe können un e www.i w-koeln.de ode un e h p://opus.bsz-bw.de/ hk/index.php?la=de
abge u en we den.
Eine wei e e Publika ions eihe is die
Sch i en eihe des Ins i u s ü Ve siche ungswesen de Fachhochschule Köln
.
He ausgebe : Ve ein de Fö de e des Ins i u s ü Ve siche ungswesen an de Fachhochschule Köln e. V. Die Sch i en eihe kann
übe den Ve lag Ve siche ungswi scha bezogen we den (h p://www. w.de/).
Eine Übe sich alle He e de Sch i en eihe kann auch un e olgende Ad esse abge u en we den:
h p://www. 04. h-koeln.de/ akul ae /ins i u e/i w/in o ma ionen/publika ionen/00366/index.h ml
Bildnachweis ü das Deckbla : Gebäude de Fachhochschule Köln
Copy igh : Fachhochschule Köln/Monika P obs
Köln, Juli 2011
He ausgebe / Edi o ship:
P o . D . Reime s-Rawcli e
P o . D . Pe e Schimikowski
P o . D . Jü gen S obel
Ins i u ü Ve siche ungswesen /
Ins i u e o Insu ance S udies
Fakul ä ü Wi scha swissenscha en /
Facul y o Economics and Business Adminis a ion
Fachhochschule Köln / Cologne Uni e si y o Applied Sciences
Web www.i w-koeln.de
Sch i lei ung / Con ac edi o ’s o ice:
P o . D . Jü gen S obel
Tel. +49 221 8275-3270
Fax +49 221 8275-3277
Mail jue gen.s obel@ h-koeln.de
Ins i u ü Ve siche ungswesen /
Ins i u e o Insu ance S udies
Fakul ä ü Wi scha swissenscha en /
Facul y o Economics and Business Adminis a ion
Fachhochschule Köln / Cologne Uni e si y o Applied Sciences
Gus a Heinemann-U e 54
50968 Köln
Kon ak Au o / Con ac au ho :
P o . D . Ma ia Heep-Al ine
Ins i u ü Ve siche ungswesen /
Ins i u e o Insu ance S udies
Fakul ä ü Wi scha swissenscha en /
Facul y o Economics and Business Adminis a ion
Fachhochschule Köln / Cologne Uni e si y o Applied Sciences
Gus a Heinemann-U e 54
50968 Köln
Tel. +49 221 8275-3449
Fax +49 221 8275-3277
Mail [email p o ec ed]
ISSN (online) 2192-8479
