Performanceoptimierung des (Brutto) Neugeschäfts in der Schadenversicherung

Forschung am IVW Köln, 2/2011 Institut für Versicherungswesen Performanceoptimierung des (Brutto) Neugeschäfts in der Schadensversicherung Maria Heep-Altiner Zusammenfassung Mit Hilfe von internen Modellen kann man in der Schadenversicherung das Risiko / Rendite Profil einer Neugeschäftsstrategie bewerten und Entscheidungen daraus ableiten. Dabei kann man i. d. R. nur einzelne Strategien miteinander vergleichen, aber kein allgemein gültiges Optimum herleiten. Unter bestimmten Voraussetzungen ist es allerdings möglich, für das (Brutto) Neugeschäft auch geschlossene Lösungen für diese Fragestellung zu finden. Selbst wenn diese Voraussetzungen in der Reinform meistens kaum vorliegen, ergeben sich doch aus diesem Ansatz einige interessante Implikationen für die Unternehmenssteuerung. Insbesondere können solche Ansätze dafür verwendet werden, bessere „Startwerte“ zu finden, die dann mit internen Modellen getestet werden können. Abstract By the help of internal models the risk / return profile for a new business strategy of a non-life insurer can be evaluated and decisions based on this can be derived. Normally, only single strategies can be compared, but a global optimum can’t be determined. Nevertheless, under certain conditions it is possible to obtain closed solutions concerning the (gross) new business strategy. Even if those conditions do not exist purely in this form interesting implications towards value based management can be derived from this approach. Especially, those approaches may be used to find better initial values to test a business strategy by an internal model. Inhaltsverzeichnis 1 VORBEMERKUNGEN ............................................................................................................................. 1 2 VEREINFACHTER MODELLANSATZ BEI UNKORRELIERTEN RISIKEN......................................4 2.1 O PTIMIERUNG DES R ETURN ON R ISK A DJUSTED C APITAL ..................................................................5 2.2 O PTIMIERUNG DES E CONOMIC V ALUE A DDED ...................................................................................8 3 ALLGEMEINER MODELLANSATZ......................................................................................................9 3.1 O PTIMIERUNG DES R ETURN ON R ISK A DJUSTED C APITAL ................................................................10 3.2 O PTIMIERUNG IN S PEZIALFÄLLEN .....................................................................................................11 4 BERECHNUNGSBEISPIELE .................................................................................................................12 4.1 U NKORRELIERTE A SSETS UND L IABILITIES .........................................................................................12 4.2 K ORRELIERTE A SSETS UND L IABILITIES ..............................................................................................17 5 FAZIT .......................................................................................................................................................18 LITERATURVERZEICHNIS...........................................................................................................................20 ABBILDUNGSVERZEICHNIS ......................................................................................................................21 KONTAKT........................................................................................................................................................22 - 1 - 1 Vorbemerkungen Die klassische Performancebeurteilung eines Segmentes in der Schadenversicherung erfolgt über die kombinierte Schadenkostenquote. Mit Hilfe von internen Modellen kann man hier geeignete Zielvorgaben ermitteln, so dass unter Einbeziehung einer Verzinsung des freien liquiden Saldos eine angemessene Verzinsung der für die Risikoabsicherung benötigten Eigenmittel erzielt wird (siehe hierzu auch [1], [2] und [3]). Dabei ist es natürlich nicht immer möglich, diese Zielvorgaben auch uneingeschränkt umzusetzen, da sich auf den Versicherungsmärkten nicht immer die für die Zielerfüllung benötigten Prämienniveaus erzielen lassen. Hier muss man also unter Berücksichtigung der gegebenen Möglichkeiten nach geeigneten Kombinationen zur Optimierung des Risiko / Rendite Profils für das gesamte Portfolio suchen. Auch hier bieten interne Modelle geeignete Lösungsansätze, da man in einem solchen Modell unterschiedliche Neugeschäftsstrategien testen und die erzielten Risiko / Rendite Profile miteinander vergleichen kann. 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% 0 100 200 300 400 500 600 Risiko Rendite Strategie 1 Strategie 2 Strategie 4 Strategie 3 Abbildung 1: Risiko / Rendite Profile unterschiedlicher Geschäftsstrategien. Die Darstellung der Risiko / Rendite Profile in Abbildung 1 basiert auf dem klassischen Markowitzansatz, welcher seit langem einen Standardansatz zur Beurteilung der Zusammensetzung eines Kapitalanlagenportfolios darstellt (siehe dazu beispielsweise [5] oder [7]). Dabei wird das Risiko i. d. R. durch die Standardabweichung beschrieben. Bereits in dieser einfachen Darstellung ist sofort offensichtlich, dass die Geschäftsstrategie 1 subop- - 2 - timal ist, da mit Strategie 2 mehr Rendite bei weniger Risiko erzielt werden kann. Zwischen den Strategien 2 und 4 gibt es dieses einfache Entscheidungskriterium allerdings nicht mehr, da hier zusätzlich die Kenntnis der Risikopräferenzstruktur benötigt wird. Ein risikoscheuer Entscheidungsträger wird eher Strategie 2 wählen, risikofreudigere Entscheidungsträger ziehen durchaus auch die Strategien 3 und 4 in Betracht. Dabei ist die korrekte Quantifizierung einer Risikopräferenzstruktur durchaus ein nicht triviales Problem, das sich im Kontext einer wertorientierten Unternehmenssteuerung aber aus den folgenden Gründen einfacher gestaltet als im Kontext einer privaten Investitionsentscheidung: • Es gibt (rechtliche) Mindestvorgaben zur Risikoexponierung, beispielsweise im Rahmen der Solvency II Vorschriften oder der für die Risikozeichnung relevanten Ratinganforderungen. • Die wertorientierte Steuerung erfolgt auf der Basis zuvor festgelegter Risiko / Renditekennziffern wie etwa RORAC (= „Return on Risk Adjusted Capital“) oder EVA 1 (= „Economic Value Added“). Mit Hilfe eines internen Modells kann man dann für jede Strategie ermitteln, ob sie die gesetzlichen und sonstigen Mindestvoraussetzungen erfüllt und welchen Wert sie für eine zuvor festgelegte Risiko / Renditekennziffer annimmt. Dabei wird bei internen Modellen in der Schadenversicherung in der Regel das ökonomische Eigenkapital nach Ablauf eines Jahres mit Hilfe von Monte Carlo Simulationen modelliert, da man aufgrund der Vielfalt der stochastischen Interaktionen nicht mehr mit geschlossenen Formeln arbeiten kann. Aus diesem Grund kann man auch nicht mehr klassische Optimierungsverfahren anwenden. Somit bedeutet Optimierung in diesem Zusammenhang meistens, dass man einige (aufgrund der Rechnerlaufzeiten oft wenige) Kombinationen simuliert und miteinander vergleicht. Man kann dadurch zwar bessere Geschäftskombinationen erkennen, aber u. U. keine optimale Konstellation identifizieren. Ergänzend hierzu kann jedoch versuchen, mit Hilfe einfacherer Algorithmen bessere Startwerte für die Simulation alternativer Parameterkombinationen zu finden. Im Folgenden soll für die Optimierung der (Brutto) Neugeschäftsstrategie ein vereinfachtes Verfahren beschrieben werden, das eine geschlossene Lösung für den Optimierungsansatz liefert, wobei sowohl • die Risikozeichnung in unterschiedliche Sparten als auch • die Kapitalanlage in unterschiedliche Assetklassen 1 Das Kürzel EVA ist ein eingetragenes Warenzeichen der Unternehmensberatung Stern Steward & Co. Zur Vereinfachung der nachfolgenden Berechnungen gilt diese Fußnote für alle weiteren Verwendungen des Kürzels. - 3 - in die Modellbildung einbezogen werden. Aufgrund der vereinfachten Struktur ist der Ansatz allerdings nur bedingt für die Optimierung der Netto Neugeschäftsstrategie geeignet. In diesem Fall ist eine Anwendung nur dann sinnvoll, wenn näherungsweise von einer quotalen Rückversicherung ausgegangen werden kann oder der Ansatz aufgrund festgelegter Rückversicherungsstrukturen auf die Nettowerte angewendet werden kann. Bei diesem Modellansatz gehen wir für die (Brutto) Neugeschäftsprämie von folgenden Annahmen aus: (1) Von der Neugeschäftsprämie entfallen die Anteile y 0 + y 1 + … + y m = 1 auf die Sparten 0, 1, …, m, wobei für die abgewickelten kombinierten Schadenkostenaufwendungen E[C j ] = c j gelten soll. Durch eine geeignete Barwertbetrachtung können wir dabei ohne Einschränkung der Allgemeinheit davon ausgehen, dass alle Schadenkostenaufwendungen zum Ende des Jahres erfolgen. (2) Die Neugeschäftsprämie wird mit den Anteilen x 0 + x 1 + … + x n = 1 in die Assetklassen 0, 1, …, n angelegt, wobei für die kumulierten Renditen E[R i ] = r i gelten soll. Durch eine geeignete Barwertbetrachtung können wir dabei ohne Einschränkung der Allgemeinheit davon ausgehen, dass alle Kapitalanlagen zum Beginn des Jahres erfolgen und die Renditen zum Ende des Jahres fällig werden. (3) Das Neugeschäft wird mit dem benötigten Eigenkapital EK α zum Sicherheitsniveau α (beispielsweise dem Niveau gemäß Solvency II) hinterlegt, welches risikofrei angelegt wird, d. h. es gilt EK 1,α (ω) = EK α · (1 + r f ) + GuV(ω). (4) Zumindest für die gesamte GuV wird näherungsweise von einer Normalverteilung ausgegangen, so dass EK α = (t α · S - E) / (1 + r f ) mit E = E[GuV] und S = STD[GuV] gilt. Aus der in (1) formulierten Bedingung ergibt sich in den nachfolgenden Betrachtungen eine Definition der kombinierten Schadenkostenquote (bzw. „Combined Ratio“), die auf den Barwert zum Ende des Jahres abstellt im Unterschied zu der üblichen Definition auf Basis aller nominellen Schadenund Kostenzahlungen. In allen Berechnungsbeispielen werden zur Vereinfachung der Notation unverändert die Begriffe „kombinierte Schadenkostenquote“ oder „Combined Ratio“ verwendet; die so definierten Quoten liegen aufgrund der Barwertbetrachtung unterhalb der nominell definierten Quoten. Die Annahmen in (1) und (2) berücksichtigen nicht, dass es gesetzliche oder unternehmensinterne Restriktionen gibt, wie hoch die einzelnen Anteile in den Sparten oder Assetklassen sein dürfen. Die Modellansätze lassen sich dahingehend modifizieren; dies lag aber nicht im Fokus der hier skizzierten Überlegungen. Die Bedingungen (3) und (4) vereinfachen den Modellansatz und ermöglichen geschlossene Formeln. Da es in der Schadenversicherung gesetzliche Bestimmungen gibt, wie hoch die Anteile für riskante Assetklassen sein dürfen, stellt (3) keine wirklich große Einschränkung dar. Dies gilt ebenfalls für (4), da bei Einbeziehung vieler bzw. gut diversifizierter Assetklassen und Sparten diese Bedingung zumindest approximativ gegeben sein sollte. - 4 - Wir haben bei den nachfolgenden Modellansätzen im Sinne einer Vorsteuerbetrachtung keine separate Berücksichtigung der steuerlichen Behandlung vorgenommen; bei signifikanten Unterschieden in der steuerlichen Behandlung sollten die Steueransätze in die Parameter eingerechnet werden. Weiterhin kann eine reine Nettobetrachtung vorgenommen werden (sofern die Optimierung der Rückversicherung nicht im Fokus steht) oder die Rückversicherung kann analog zur Vorgehensweise in IFRS als ein mit den Schadenkostenaufwendungen hoch korreliertes Asset angesetzt werden (sofern approximativ von einer quotalen Rückversicherung ausgegangen wird). Falls nun σ i die Volatilität der i-ten Assetklasse und τ j die Volatilität (des Barwertes) der kombinierten Schadenkostenaufwendungen der j-ten Sparte bezeichnet, so gilt: E = ∑ x i · r i – ∑ y j · c j S = (∑ x i2 ·σ i2 + ∑ y j2 ·τ j2 + 2 · ∑ Korrelationsterme) 1/2 Die beiden Gleichungen beschreiben eine Verallgemeinerung des klassischen Markowitzansatzes. Setzt man formal rj* = (-cj), dann verhalten sich Liabilities bezüglich der üblichen Effizienzkriterien wie Assets und die erste Gleichung schreibt sich als E = ∑ x i · r i + ∑ y j · r j *. Dies entspricht einem Markowitzansatz, bei dem ein bestimmtes Anlagevolumen in eine Gruppe von Assetklassen und ein anderes Anlagevolumen in eine zweite Gruppe von Assetklassen angelegt werden soll. Im Folgenden soll zunächst zur Vereinfachung der Optimierungsansatz unter der Voraussetzung hergeleitet werden, dass die Assets und die Liabilities jeweils paarweise unkorreliert sind. In diesem Fall kann die allgemeine Lösung noch relativ explizit beschrieben werden, so dass zumindest die wichtigsten Lösungseigenschaften diskutiert werden können. Der allgemeine Lösungsansatz wird im Anschluss daran kurz skizziert. 2 Vereinfachter Modellansatz bei unkorrelierten Risiken Wie bereits erläutert kann man anhand der üblichen Effizienzkriterien ineffiziente Portfolios sofort eliminieren. Für eine Entscheidung zwischen zwei effizienten Portfolios (und somit für die Auswahl eines optimalen Portfolios) benötigt man eine Risikopräferenzfunktion. Im Kontext der wertorientierten Steuerung gibt es hier natürlicherweise zwei Präferenzfunktionen, der RORAC (= „Return on Risk Adjusted Capital“) und der EVA (= „Economic Value Added“, siehe Fußnote 1), die in unseren Modellansatz wie folgt definiert werden: RORAC = r f + E / EK α = r f + (1 + r f ) · E / (t α · S – E) =: r f + a · E / (t α · S – E). EVA = E – (z – r f ) · EK α = E – (z – r f ) · EK α = E – (z – r f ) · (t α · S - E) / (1 + r f ) = ((1 + z) / (1 + r f )) · (E – ((z – r f ) / (1 + z)) · t α · S) =: b · (E – k · S). - 5 - Der Parameter z bezeichnet hier die unternehmensindividuelle Zielverzinsung; diese definiert zusammen mit dem unternehmensintern gewählten Sicherheitsniveau α sowie dem risikofreien Zins r f den Kapitalkostenparameter k bei der Steuerung durch den EVA. Für diese beiden Präferenzfunktionen sollen nun die Kriterien für eine optimale Kombination aus Assets und Liabilities analysiert werden. Dabei gilt bzgl. der ersten Ableitungen: ∂/∂(*) RORAC = a · (∂/∂(*) E · S - E · ∂/∂(*) S) / (t α · S – E) 2 ∂/∂(*) EVA = b · (∂/∂(*) E – k · ∂/∂(*) S) Daraus ergeben sich die folgenden notwendigen Bedingungen für ein Optimum: ∂/∂(*)E / ∂/∂(*) S = E / S für den RORAC (unter der Bedingung (t α · S – E) ≠ 0) ∂/∂(*)E = k · ∂/∂(*) S für den EVA. Im Unterschied zum RORAC hängt also beim EVA ein Optimum nicht nur von den Risiko / Rendite Profilen der Assetund Liabilityklassen ab, sondern auch vom Kapitalkostenparameter k, der durch die individuelle Unternehmenspolitik festgelegt wird. Falls die o. g. Bedingungen erfüllt sind und nicht (t α · S – E) 2 = 0 gilt, dann folgt für die zweiten Ableitungen: ∂ 2 /∂(*)∂(**) RORAC = -a · E · ∂ 2 /∂(*)∂(**) S / (t α · S – E) 2 , ∂ 2 /∂(*)∂(**) EVA = -b · k · ∂ 2 /∂(*)∂(**) S, a und b positive Konstanten. Im Normalfall ist die Hessematrix (… ∂ 2 /∂(*)∂(**) S …) positiv definit, d. h. man erhält für die Nullstellen der ersten Ableitungen dieser Funktionen • stets ein Maximum im Fall des EVA sowie • ein Maximum / Minimum für den RORAC, falls die Rendite E größer / kleiner Null ist. In den folgenden Abschnitten werden wir die Optima bezüglich RORAC und EVA für unseren Modellansatz untersuchen, wobei wir zunächst zur Vereinfachung annehmen, dass alle Assets und Liabilities jeweils paarweise unkorreliert miteinander sind. (In diesem Fall gilt also 2 · ∑ Korrelationsterme = 0.) Die verallgemeinerten Ergebnisse werden wir dann ohne größere Herleitung angeben. Weiterhin werden wir zur Vereinfachung der Schreibweise x 0 mit x und y 0 mit y sowie r 0 mit r und c 0 mit c abkürzen. Bei Summationsformeln werden wir gelegentlich diesen Index wieder verwenden, wenn diese dadurch klarer und einfacher werden. 2.1 Optimierung des Return on Risk Adjusted Capital Für x + x 1 + … x n = 1 sowie ∆r i = r i – r und y + y 1 + … + y m = 1 sowie ∆c j = c j – c ergeben sich für den Erwartungswert E und die Standardabweichung S bei Annahme vollständiger Unkorreliertheit folgende Beziehungen: - 6 - E = r + ∑ x i · ∆r i – (c + ∑ y j · ∆c j ) S = (x 2 ·σ 2 + ∑ x i2 ·σ i2 + y 2 ·τ 2 + ∑ y j2 ·τ j2 ) 1/2 Somit erhält man für die ersten (partiellen) Ableitungen für alle Indizes i, j die folgenden Resultate für die Ableitungen von E und S: ∂E/∂x i = ∆r i sowie ∂E/∂y j = -∆c j ∂S/∂x i = (x i · σ i2 – x · σ 2 ) / S sowie ∂S/∂y j = (y j · τ j2 – y · τ 2 ) / S Aus den Beziehungen ∂E/∂(*) / ∂S/∂(*) = E / S für alle Kombinationen i, j, k, l resultieren dann die folgenden Gleichungen: (x i · σ i2 – x · σ 2 ) / ∆r i = (x k · σ k2 – x · σ 2 ) / ∆r k (y j · τ j2 – y · τ 2 ) / ∆c j = (y l · τ l2 – y · τ 2 ) / ∆c l (x i · σ i2 – x · σ 2 ) / ∆r i = -(y j · τ j2 – y · τ 2 ) / ∆c j Falls man mit ∆r i,j := r i – r j (mit dem Spezialfall ∆r i = (r i - r) = (r i - r 0 ) = ∆r i,0 ) bezeichnet, dann kann man unter Verwendung der Beziehungen ∆r i,j = -∆r j,i die obigen Gleichungen wie folgt umformulieren: X i := x i · σ i2 = (x · σ 2 ) · (∆r i,1 / ∆r 0,1 ) + (x 1 · σ 12 ) · (∆r i,0 / ∆r 1,0 ) =: u i,0 · X + u i,1 · X 1 Y j := y j · τ j2 = (y · τ 2 ) · (∆c j,1 / ∆c 0,1 ) + (y 1 · τ 12 ) · (∆c j,0 / ∆c 1,0 ) =: v j,0 · Y + v j,1 · Y 1 Berücksichtigt man, dass für X, X 1 , Y und Y 1 die Beziehungen „per definitionem“ gelten (da die beiden Koeffizienten jeweils die Werte 0 und 1 annehmen), dann gelten für U := ∑ U i,0 := ∑ u i,0 / σ i2 und U 1 := ∑ U i,1 := ∑ u i,1 / σ i2 sowie V := ∑ V j,0 := ∑ v j,0 / τ j2 und V 1 := ∑ V j,0 := ∑ v j,0 / τ j2 aufgrund der Normierungen x + x 1 + … x n = 1 und y + y 1 + … + y m = 1 die beiden Beziehungen U · X + U 1 · X 1 = 1 sowie V · Y + V 1 · Y 1 = 1. Jetzt können die zuvor aufgestellten Gleichungen stark vereinfacht werden. Setzt man nämlich X 1 * = (X 1 – X) sowie Y 1 * = (Y 1 – Y) dann erhält man bezüglich dieser transformierten Variablen die folgenden Beziehungen: X = (1 – U 1 · X 1 *) / (U + U 1 ) Y = (1 – V 1 · Y 1 *) / (V + V 1 ) Y 1 * = - (∆c 1 / ∆r 1 ) · X 1 * Für die endgültige Lösung benötigt man eine weitere unabhängige Gleichung in X 1 * und Y 1 *. Dazu betrachten wir die Ausgangsbeziehung E · (x 1 · σ 12 – x · σ 2 ) = ∆r 1 · S 2 und somit - 13 - Annahme ergäbe sich approximativ, wenn man ausschließlich eine relativ risikoarme Sparte in einem sehr großen Kollektiv zeichnen würde.) Unter diesen Annahmen liefert das Modell wie folgt den klassischen Markowitzansatz für Assets: Standardabweichung Ertrag nach einem Jahr Assetklasse 1 10,0% 7,5% Assetklasse 2 20,0% 12,5% Bekannterweise kann man im klassischen Markowitzansatz zunächst einmal nur den ineffizienten Rand als Lösung ausschließen; für die Auswahl einer optimalen Lösung auf dem effizienten Rand benötigt man zusätzlich ein Präferenzsystem wie beispielsweise RORAC oder EVA; beim EVA Präferenzsystem benötigt man zusätzlich noch einen Kapitalkostenparameter k. In der nachfolgenden Tabelle sind das RORAC Optimum und das EVA Optimum bei einem Kapitalkostenparameter von k = 30% aufgelistet. Std. Abw. Ertrag nach einem Jahr Anteil im RORAC Anteil im EVA Optimum, k = Optimum 30,0% Assetklasse 1 10,0% 7,5% 70,6% 35,3% Assetklasse 2 20,0% 12,5% 29,4% 64,7% Abbildung 4: RORAC und EVA Optimum bei nicht riskanten Liabilities. Beim EVA Optimum liegt die Gewichtung deutlich mehr auf der riskanteren Assetklasse als beim RORAC Optimum. Darüber hinaus wird nur der absolute Wert optimiert ohne besondere Berücksichtigung des tatsächlichen Eigenkapitalbedarfs. Im konkreten Fall ist der Eigenkapitalbedarf im EVA Optimum deutlich höher als im RORAC Optimum; u. U. kann das benötigte Eigenkapital für das EVA Optimum vom Unternehmen gar nicht gestellt werden. Die Ergebnisse in Abbildung 4 wurden mit Hilfe des zuvor hergeleiteten Formelwerks ermittelt. In diesem vereinfachten Beispiel kann man die Resultate aber auch sehr anschaulich graphisch darstellen. Legt man den RORAC als Präferenzfunktion zugrunde, dann kann man dieses Optimum als den Tangentialpunkt auf der Risiko / Rendite Kurve mit einer Gerade durch den Nullpunkt wie folgt darstellen: - 14 - 0% 5% 10% 15% 0% 5% 10% 15% 20% Risiko Rendite Abbildung 5: RORAC Optimum auf der Risiko / Rendite Kurve. Beim EVA Optimierungsansatz ergibt sich das Optimum als Tangentialpunkt auf der Risiko / Rendite Kurve mit einer Geraden, deren Steigung vom Kapitalkostenparameter k abhängt. Da sich die Risiko / Rendite Kurve asymptotisch an eine Gerade annähert, gibt es einen solchen Tangentialpunkt nur dann, wenn die Steigung der EVA Geraden (und somit der Kapitalkostenparameter k) ausreichend hoch ist, siehe dazu auch die nachfolgende Abbildung: 0% 5% 10% 15% 0% 5% 10% 15% 20% Risiko Rendite 0% 5% 10% 15% 0% 5% 10% 15% 20% Risiko Rendite Abbildung 6: EVA Optimum für k = 30%, aber kein EVA Optimum für k = 10%. Falls es bei nicht ausreichend großem Kapitalkostenparameter k kein EVA Optimum (im Sinne eines klassischen Optimierungsansatzes) gibt, dann liegt der maximale EVA Wert (ungeachtet des absoluten Eigenkapitalbedarfs) am Rand, d. h. bei 100% Auswahl der riskanteren Assetklasse. - 15 - Wir wollen jetzt das vorliegende Beispiel erweitern, indem die Risikozeichnung zweier (nicht miteinander und auch nicht mit den Kapitalanlagen korrelierter) Sparten mit dem folgenden Risiko / Renditeprofil in den Optimierungsansatz mit einbezogen werden soll: Combined Ratio Standardabweichung Sparte 1 97,0% 20,0% Sparte 2 98,5% 10,0% Bei der Combined Ratio handelt es sich gemäß unserer Modellannahmen um eine Barwertbetrachtung zum Ablauf des Jahres. In der nachfolgenden Tabelle sind für diesen Fall die Gewichtungen der Assetund die Liabilityklassen bei einer RORAC Optimierung aufgelistet: Std. kumul. Ant. im Std. Combined Ant. im Abw. Rendite Optimum Abw. Ratio Optimum Assetklasse 1 10,0% 107,5% 64,5% Sparte 1 20,0% 97,0% 24,7% Assetklasse 2 20,0% 112,5% 35,5% Sparte 2 10,0% 98,5% 75,3% Abbildung 7: RORAC Optimum für riskante Assets und Liabilities. Die Anteile für die Assetklassen 1 und 2 haben sich nach Einbeziehung der Sparten 1 und 2 in die Optimierung geändert, da der Optimierungsansatz (selbst bei nicht korrelierten Assets und Liabilities) nicht unabhängig von den Asset und Liability Risiko / Renditeprofilen erfolgt. Es handelt sich im konkreten Fall um ein Maximum, da die Rendite positiv ist. Durch die Hinzunahme der riskanten Sparten verändern sich also die Gewichte ggf. sehr stark, wobei riskantere Kombinationen (sowohl auf der Asset als auch auf der Liability Seite) jetzt höhere Gewichte im Optimum aufweisen, was am größeren Grad der Diversifizierung liegen dürfte. Eine noch stärkere Verschiebung der Gewichte in Richtung der riskanteren Assetund Liabilityklassen beobachtet man bei der EVA Optimierung – ungeachtet des dadurch u. U. doch recht hohen erforderlichen Eigenkapitals. Std. kumul. Ant. Im Opt. Std. Combined Ant. Im Opt. Abw. Rendite 30,0% Abw. Ratio 30,0% Assetklasse 1 10,0% 107,5% 12,9% Sparte 1 20,0% 97,0% 40,1% Assetklasse 2 20,0% 112,5% 87,1% Sparte 2 10,0% 98,5% 59,9% Abbildung 8: EVA Optimum für riskante Assets und Liabilities. Wie man der Tabelle entnehmen kann, gibt es also signifikante Unterschiede zwischen dem RORAC und dem EVA Optimum, da sich beim EVA Optimierungsansatz noch höhere Gewichte für die risikoreicheren Positionen ergeben. - 16 - Wir hatten bereits erwähnt, dass im hier vorliegenden Modellansatz die Betrachtung eines risikofreien Assets kein Problem darstellt, da man normalerweise stets risikobehaftete Liabilities hat. Es ist ja gerade in der Tat eine eigenständige Unternehmensentscheidung, ob die liquiden Salden aus der Versicherungstechnik risikofrei oder risikobehaftet angelegt werden sollen. Eine risikobehaftete Kapitalanlage muss hier nicht notwendigerweise „besser“ sein als eine risikofreie Kapitalanlage. Wir wollen daher das vorliegende Beispiel durch die Hinzufügung eines risikofreien Assets mit einer Verzinsung von 4% noch erweitern und untersuchen, wie sich die Gewichtungen der Assetund Liabilityklassen dadurch ggf. verändern: Std. kumul. Ant. im Std. Combined Ant. im Abw. Rendite Optimum Abw. Ratio Optimum risikofr. Asset 0,0% 104,0% 22,4% Sparte 1 20,0% 97,0% 24,1% Assetklasse 1 10,0% 107,5% 48,3% Sparte 2 10,0% 98,5% 75,9% Assetklasse 2 20,0% 112,5% 29,3% 0,0% 0,0% 0,0% Abbildung 9: RORAC Optimum unter Einbeziehung eines risikofreien Assets. Aufgrund der hohen Diversifikation erhält das risikofreie Asset nur ein relativ kleines Gewicht. Die Anteile der Sparten im Optimum ändern sich nur unwesentlich. Das entsprechende Beispiel für den EVA Optimierungsansatz gestaltet sich deutlich komplexer: Zunächst einmal erhält man für den (durchaus realistischen) Kapitalkostenparameter k = 30% keine Lösung mehr. Um eine Optimierungslösung im klassischen Sinn zu erhalten, muss man diesen Parameter deutlich heraufsetzen, mindestens auf den eher unrealistischen Wert von k = 60%. Std. kumul. Ant. Im Opt. Std. Combined Ant. Im Opt. Abw. Rendite 60,0% Abw. Ratio 60,0% risikofr. Asset 0,0% 104,0% -119,8% Sparte 1 20,0% 97,0% 31,7% Assetklasse 1 10,0% 107,5% 136,8% Sparte 2 10,0% 98,5% 68,3% Assetklasse 2 20,0% 112,5% 83,1% 0,0% 0,0% 0,0% Abbildung 10: EVA Optimum unter Einbeziehung eines risikofreien Assets. Wie man der Abbildung ebenfalls entnehmen kann, existiert zwar eine Lösung für den EVA Optimierungsansatz, sie ist aber nicht zulässig in dem Sinn, dass jeder Anteil positiv und kleiner als Eins ist. Es findet eine derart dramatische Umschichtung der Assets statt, dass im Prinzip die Empfehlung lautet, das risikofreie Asset nicht zu kaufen, sondern zu leihen, um dadurch noch mehr von den riskanteren Assetklassen in das Portfolio aufzunehmen. An diesem noch sehr einfachen Beispiel zeigt sich also, dass der EVA Optimierungsansatz unter Umständen viel kritischere Eigenschaften aufweist als der RORAC Optimierungsansatz. - 17 - Es muss allerdings erwähnt werden, dass bei einer geringeren Rendite für das risikofreie Asset auch bei der RORAC Optimierung ähnliche, nicht zulässige Lösungen beobachtet. 4.2 Korrelierte Assets und Liabilities In diesem Abschnitt sollen ergänzend zu den vorherigen Beispielen noch die Auswirkungen von Korrelationen analysiert werden. Aufgrund der hohen Komplexität des EVA Optimierungsansatzes in diesem Fall in Verbindung mit ggf. sehr kritischen Lösungseigenschaften beschränken wir uns hier ausschließlich auf den RORAC Optimierungsansatz. Dazu betrachten wir zunächst wieder den Fall der beiden zuvor eingeführten riskanten Assets und Liabilities, wobei wir jetzt annehmen dass die beiden Assets und die beiden Liabilities jeweils zu 50% untereinander korreliert sind; dieses Beispiel enthält bereits wesentliche Eigenschaften des allgemeinen Falls. Std. kumul. Anteil Std. Combined Anteil Abw. Rendite im Opt. Abw. Ratio im Opt. Korrelation 0,0% 0,0% Assetklasse 1 10,0% 107,5% 64,5% Sparte 1 20,0% 97,0% 24,7% Assetklasse 2 20,0% 112,5% 35,5% Sparte 2 10,0% 98,5% 75,3% Std. kumul. Anteil Std. Combined Anteil Abw. Rendite im Opt. Abw. Ratio im Opt. Korrelation 50,0% 50,0% Assetklasse 1 10,0% 107,5% 63,0% Sparte 1 20,0% 97,0% 11,1% Assetklasse 2 20,0% 112,5% 37,0% Sparte 2 10,0% 98,5% 88,9% Abbildung 11: RORAC Optimum für unkorrelierte und korrelierte Assets und Liabilities. Durch den Ansatz von Korrelationen verändern sich die Gewichte, wobei bei hoher positiver Korrelation risikoärmere Positionen stärker ins Gewicht fallen. Wenn die Korrelationen zu hoch ausfallen, gibt es ggf. keine zulässigen Lösungen mehr. In einem letzten Schritt erweitern wir dieses Beispiel noch durch die Hinzufügung eines risikofreien Assets mit einer Verzinsung von 4%; das Beispiel enthält dann bis auf Korrelationen zwischen Assets und Liabilities (die aber mit Ausnahme der als Asset betrachteten Rückversicherung in der Regel kaum signifikant sind) bereits die gesamte Komplexität des allgemeinen Falls. - 18 - Std. kumul. Anteil Std. Combined Anteil Abw. Rendite im Opt. Abw. Ratio im Opt. Korrelation 0,0% 0,0% risikofr. Asset 0,0% 104,0% 22,4% Sparte 1 20,0% 97,0% 24,1% Assetklasse 1 10,0% 107,5% 48,3% Sparte 2 10,0% 98,5% 75,9% Assetklasse 2 20,0% 112,5% 29,3% Std. kumul. Anteil Std. Combined Anteil Abw. Rendite im Opt. Abw. Ratio im Opt. Korrelation 50,0% 50,0% riskofr. Asset 0,0% 104,0% 36,4% Sparte 1 20,0% 97,0% 9,1% Assetklasse 1 10,0% 107,5% 33,3% Sparte 2 10,0% 98,5% 90,9% Assetklasse 2 20,0% 112,5% 30,3% Abbildung 12: RORAC Optimum unter Einbeziehung eines risikofreien Assets. Falls also ein risikofreies Asset in die RORAC Optimierung riskanter, jeweils untereinander korrelierter Assets und Liabilities einbezogen wird, dann entfällt in unserem Beispiel ein höheres Gewicht auf dieses Asset; die riskanteren Assets werden entsprechend geringer gewichtet. Weiterhin ist bemerkenswert, dass die Einbeziehung des risikofreien Assets nicht nur die Gewichtung der Asstes, sondern auch die Gewichtung der Liabilities stark beeinflusst. 5 Fazit Legt man den RORAC als Präferenzfunktion zugrunde, dann gibt es beim klassischen Optimierungsansatz für riskante Kapitalanlagen (unter gewissen Modellvereinfachungen) immer ein zulässiges Optimum. Im Spezialfall zweier riskanter Kapitalanlagen kann man dies als den Tangentialpunkt auf der Risiko / Rendite Kurve mit einer Gerade durch den Nullpunkt darstellen, siehe dazu auch Abbildung 5. Sofern man den EVA als Präferenzfunktion zugrunde legt, gibt es auch im einfachsten Fall des klassischen Optimierungsansatzes mit zwei riskanten Kapitalanlagen nicht immer eine Lösung. Eine Lösung wäre nämlich in diesem Fall der Tangentialpunkt auf der Risiko / Rendite Kurve mit einer Gerade der Form Rendite = Konstante + k · Risiko. Da die Steigung der Risiko / Rendite Kurve nicht beliebig klein wird, sondern sich asymptotisch an eine Gerade annähert, gibt es bei zu kleiner Wahl des Kapitalkostenparameters k keine derartige „Tangentiallösung“, siehe dazu auch Abbildung 6. Für kleinere (und eher realistische) Kapitalkostenparameter ist nämlich die Steigung der EVA Geraden zu flach, d. h. sie wird auch nach entsprechender Parallelverschiebung nicht die Risiko / Rendite Kurve berühren; hier liegen die maximalen Werte auf den Rändern der zulässigen Kombinatio- - 19 - nen. Für höhere Kapitalkostenparameter hingegen gibt es zulässige Lösungen; diese Parameter bilden aber häufig keine realistische Kapitalkostensystematik ab. Dieses Ergebnis sollte aus unserer Sicht zum Nachdenken anregen, ob der EVA ein zweckmäßiges Steuerungsinstrument ist, wenn selbst im einfachsten aller denkbaren Beispiele die Optima derart kritisch von der (teilweise recht fiktiven) Parameterwahl für den Kapitalkostensatz abhängen. Insbesondere die Tatsache, dass ggf. nur bei sehr hohem Ansatz für die Kapitalkosten überhaupt Optima existieren, sollte aus unserer Sicht kritisch gewürdigt werden. Aus diesem Grund wurde an dieser Stelle der Fall einer EVA Optimierung bei gegebenen Korrelationsstrukturen auch nicht analysiert. Sofern nun (beispielsweise im Rahmen einer ganzheitlichen GuV Betrachtung) auch Liabilities in den Optimierungsansatz einbezogen werden, wird selbst bei Modellvereinfachungen die Lösungsstruktur u. U. sehr komplex: Bei einem (vereinfachten) RORAC Optimierungsansatz wird es in der Regel (d. h. außerhalb „singulärer“ Parameterkonstellationen) Lösungen geben, welche aber nicht notwendigerweise zulässig in dem Sinn sind, dass alle Parameter größer Null und kleiner Eins sind. Sofern es keine Korrelationen oder nur Korrelationen innerhalb der Assets und Liabilities gibt, können die Lösungen anschaulich beschrieben werden und man erkennt sofort, dass die optimalen Assetkombinationen nicht nur von den Eigenschaften der Assets, sondern auch von den Eigenschaften der Liabilities beeinflusst werden (was umgekehrt natürlich genau so gilt). In diesem Fall können nicht zulässige Lösungen ggf. dadurch „geheilt“ werden, dass man u. U. Gruppen zusammenfasst, und dadurch den Optimierungsansatz etwas kleiner dimensioniert. Im allgemeinen Fall für das RORAC Optimierungsproblem existiert die Lösung zwar in der Regel, ist aber ggf. schwer zu interpretieren. Mit Ausnahme der Beziehungen zwischen Bruttound zediertem Schadenaufwand, sollten in der Schadenversicherung aber nicht allzu große Korrelationen zwischen Assets und Liabilities auftreten, so dass bei einer reinen Nettobetrachtung die Unkorreliertheitsannahme zwischen Assets und Liabilities ggf. unproblematisch ist. Wie wir bereits erwähnt haben, eignen sich die hier skizzierten Überlegungen nicht unbedingt bei der Optimierung komplexer Rückversicherungsstrukturen, da die hier getroffenen Modellvereinfachungen in diesem Fall kritisch hinterfragt werden müssen. Die hier skizzierte Vorgehensweise kann lediglich dazu verwendet werden, bei vereinfachtem Modelldesign bessere Startwerte für Alternativberechnungen in internen Modellen zu liefern. Dennoch kann man selbst bei einfachen Beispielen schon einige Implikationen für die unternehmensinterne Steuerung erkennen. - 20 - Literaturverzeichnis [1] DAV-Arbeitsgruppe Interne Risikomodelle (Hrsg.): Interne Risikomodelle in der Schaden-/ Unfallversicherung, Karlsruhe 2008. [2] Diers, Dorothea: Interne Unternehmensmodelle in der Schadenund Unfallversicherung, Ulm 2007. [3] Heep-Altiner; Kaya; Krenzlin; Welter (Hrsg.): Interne Modelle nach Solvency II. Schritt für Schritt zum internen Modell in der Schadenversicherung. Verlag Versicherungswirtschaft, Karlsruhe, 2010. [4] Mack, Thomas: Schadenversicherungsmathematik, 2. Auflage, Karlsruhe 2002. [5] Markowitz, Harry Max: Portfolio Selection, The Journal of Finance, Vol. VII, No. 1, March 1952. [6] Maurer, Raimond: Integrierte Erfolgssteuerung in der Schadenversicherung auf der Basis von Risiko-Wert-Modellen, Karlsruhe 2000. [7] Spremann, Klaus: Portfoliomanagement. Oldenbourg, 4. Auflage, 2008. - 21 - Abbildungsverzeichnis Abbildung 1: Risiko / Rendite Profile unterschiedlicher Geschäftsstrategien...........................1 Abbildung 2: Struktur der Korrelationsmatrix. ....................................................................................10 Abbildung 3: Struktur der Cholesky Zerlegung für die Korrelationsmatrix...............................10 Abbildung 4: RORAC und EVA Optimum bei nicht riskanten Liabilities....................................13 Abbildung 5: RORAC Optimum auf der Risiko / Rendite Kurve......................................................14 Abbildung 6: EVA Optimum für k = 30%, aber kein EVA Optimum für k = 10%. ....................14 Abbildung 7: RORAC Optimum für riskante Assets und Liabilities...............................................15 Abbildung 8: EVA Optimum für riskante Assets und Liabilities.....................................................15 Abbildung 9: RORAC Optimum unter Einbeziehung eines risikofreien Assets. .......................16 Abbildung 10: EVA Optimum unter Einbeziehung eines risikofreien Assets............................16 Abbildung 11: RORAC Optimum für unkorrelierte und korrelierte Assets und Liabilities....17 Abbildung 12: RORAC Optimum unter Einbeziehung eines risikofreien Assets......................18 Kontakt/Impressum Diese Veröffentlichung erscheint im Rahmen der OnlinePublikationsreihe „Forschung am IVW Köln“ . A lle Veröffentlichungen dieser Reihe können unter www.ivw-koeln.de oder unter http://opus.bsz-bw.de/fhk/index.php?la=de abgerufen werden. Eine weitere Publikationsreihe ist die Schriftenreihe des Instituts für Versicherungswesen der Fachhochschule Köln . Herausgeber: Verein der Förderer des Instituts für Versicherungswesen an der Fachhochschule Köln e. V. Die Schriftenreihe kann über den Verlag Versicherungswirtschaft bezogen werden (http://www.vvw.de/). Eine Übersicht aller Hefte der Schriftenreihe kann auch unter folgender Adresse abgerufen werden: http://www.f04.fh-koeln.de/fakultaet/institute/ivw/informationen/publikationen/00366/index.html Bildnachweis für das Deckblatt: Gebäude der Fachhochschule Köln Copyright: Fachhochschule Köln/Monika Probst Köln, Juli 2011 Herausgeber / Editorship: Prof. Dr. Reimers-Rawcliffe Prof. Dr. Peter Schimikowski Prof. Dr. Jürgen Strobel Institut für Versicherungswesen / Institute for Insurance Studies Fakultät für Wirtschaftswissenschaften / Faculty of Economics and Business Administration Fachhochschule Köln / Cologne University of Applied Sciences Web www.ivw-koeln.de Schriftleitung / Contact editor’s office: Prof. Dr. Jürgen Strobel Tel. +49 221 8275-3270 Fax +49 221 8275-3277 Mail [email protected] Institut für Versicherungswesen / Institute for Insurance Studies Fakultät für Wirtschaftswissenschaften / Faculty of Economics and Business Administration Fachhochschule Köln / Cologne University of Applied Sciences Gustav Heinemann-Ufer 54 50968 Köln Kontakt Autor / Contact author: Prof. Dr. Maria Heep-Altiner Institut für Versicherungswesen / Institute for Insurance Studies Fakultät für Wirtschaftswissenschaften / Faculty of Economics and Business Administration Fachhochschule Köln / Cologne University of Applied Sciences Gustav Heinemann-Ufer 54 50968 Köln Tel. +49 221 8275-3449 Fax +49 221 8275-3277 Mail [email protected] ISSN (online) 2192-8479