Fo schung am IVW Köln, 1/2011
Ins i u ü Ve siche ungswesen
Spa p ozesse mi kollek i em
Risikoausgleich
Oska Goecke
Zusammen assung
Fondsspa en is dadu ch gekennzeichne , dass das Kapi alanlage isiko des
Fonds unmi elba au das An eils e mögen wi k . Al e s o so gespa e
scheuen Kapi alma k isiken insbesonde e ku z o Ren enbeginn. Die
Idee on Wi h-P o i
Policen (Lebens e siche ungs e ägen mi
Übe schussbe eiligung) is , dass die Kapi ale äge eilweise den
Ve siche en di ek gu gesch ieben we den und eilweise eine kollek i en
Rese e zuge üh we den. Bei posi i e En wicklung am Kapi alma k
kann so die Rese e au gebau we den; Ve lus e am Kapi alma k können
ande e sei s du ch En nahmen aus de Rese e kompensie we den. De
Au - und Abbau de kollek i en Rese e bedeu e einen Risiko ans e
zwischen den Spa e gene a ionen. Wi s ellen hie ein zei s e iges Modell
zu Analyse dieses Risiko ans o ma ionsp ozesses o . Mi Hil e
s ochas ische P ozesses können wi Aussagen übe G enz e eilungen,
isikoneu ale Bewe ungen und Ruinwah scheinlichkei en he lei en.
Anhand on Rendi e-Risikop o ilen kann nachgewiesen we den, dass de
in e gene a ionale Risiko ans e a sächlich einen Nu zene ek ha .
Abs ac
Mu ual und sa ing is cha ac e ized by he ac ha he und’s capi al
ma ke isk exposu e di ec ly a ec s he indi idual asse s o each sa e . A
pe son who sa es money o his/ he pension is pa icula ly conce ned
abou capi al ma ke isks when he/ she app oaches pension age. The idea
o wi h-p o i li e insu ance business is ha he e u ns o he asse s a e
pa ially dis ibu ed o he indi idual sa e s’ accoun s and o a collec i e
ese e (unalloca ed und). When capi al ma ke s a e pe o ming well he
collec i e ese e builds up while in imes o ill pe o mance he collec i e
ese e is educed in o de o subsidize he indi idual accoun s. Building
up and educing he collec i e ese e cons i u es an in e gene a ional
isk ans e wi h espec o capi al ma ke isks. We p esen a con inuous
ime model o analyze his isk ans o ma ion p ocess. We employ
s ochas ic p ocesses o de i e s a emen s abou e minal dis ibu ions, isk
neu al alua ion, and uin p obabili ies. By analyzing isk- e u n-p o iles
we can p o e ha in e gene a ional isk ans e ac ually has a posi i e
wel a e e ec .
-
I -
Inhal s e zeichnis
Inhal s e zeichnis ............................................................................ I
1
Mo i a ion ................................................................................ 1
2
Kollek i es Spa en ................................................................... 3
2.1
De Glä ungsmechanismus ............................................................. 3
2.2
Besch eibung des Kapi alma k es ................................................... 7
2.3
Besch eibung des Dekla a ionsp ozesse ....................................... 11
2.4
Zulässige Asse -Liabili y-Managemen S a egien ....................... 12
3
ALM-S a egien ü kollek i e Spa p ozesse ........................ 15
3.1
Das Basismodell ............................................................................ 15
3.1.1
Bes immung des Dekla a ionsp ozesses ..................................................... 15
3.1.2
Bes immung des Anlagep ozesses.............................................................. 18
3.1.3
De ini ion des linea en Modells ................................................................. 19
3.2
Elem a e Eigenscha en des linea en Modells .............................. 20
3.3
G enzp ozesse im linea en Modell ................................................ 31
3.4
Risikoneu ale Bewe ung im linea en Modell ............................. 41
3.5
Be echnung de Ruinwah scheinlichkei ...................................... 47
4
Glä ung des Anlage isikos .................................................... 60
4.1
Anlage isiko bezogen au das Endkapi al ..................................... 60
4.2
Anlege s ess wäh end de Ve agslau zei ................................. 69
Li e a u e zeichnis ..................................................................... 84
Abbildungs- und Tabellen e zeichnis ......................................... 88
-
1 -
S
PARPROZESSE MIT KOLLEKTIVEM
R
ISIKOAUSGLEICH
1 Mo i a ion
De Lebens e siche ungs e ag is die am wei es en e b ei e e Fo m de kapi alge-
deck en Al e s o so ge in Deu schland. Im Ve gleich zu Bank- und Fondsspa plänen
wi d in alle Regel au die Absiche ung biome ische Risiken als das wesen liche Un-
e scheidungsme kmal de Lebens e siche ung hinges ell . Hie bei wi d e nachlässig ,
dass die klassische Lebens e siche ung
1
einen lang is e Spa p ozess um ass , bei dem
übe die Übe schussbe eiligung eine Teilhabe am Anlagee olg des Ve siche e s s a -
inde .
Du ch diese A de Teilhabe am Anlagee olg des Anbie e s un e scheide sich die Le-
bens e siche ung undamen al on ande en Spa o men:
Bei einem Bankspa plan komm es zu eine olls ändigen T ennung zwischen
dem Anlagee olg des Anbie e s und de Ve zinsung des Spa e ages. De
Spa zins wi d egelmäßig an die Ma k e häl nisse angepass ; die Di e enz
zwischen de Ve zinsung des Ak i geschä s und dem Spa zins (Re inanzie-
ungskos en) s eh de Bank uneingesch änk als E ag zu Ve ügung.
Beim Fondsspa en is das gesam e Anlage e mögen zu jedem Zei punk oll-
s ändig au die Spa e e eil – es gil das s enge Indi idualp inzip. Au diese
weise pa izipie en die Spa e uneingesch änk am Anlagee olg (ode Anlage-
misse olg) des In es men onds. Fü den Be eibe des In es men onds s ellen
die Ve wal ungsgebüh en (managemen ees) die E äge da . Da sich die Ve -
wal ungsgebüh en in alle Regel am Anlage olumen o ien ie en, is die E ags-
lage des Be eibe s ela i unabhängig om Anlagee olg.
Bei einem kapi albildenden Lebens e siche ungs e ag mi Übe schussbe eili-
gung deu sche P ägung s eh de Anlagee olg (nach Abzug eine E olgsbe ei-
ligung des Ak ionä s) ähnlich wie beim Fondsspa en de Gesam hei de Spa e
zu. Alle dings e olg die Ve eilung des Anlagee olgs nich nach dem s engen
Indi idualp inzip, sonde n dem G undsa z des kollek i en Risikoausgleichs.
Diese e olg in de Weise, dass ein Teil des Anlagee olgs eine kollek i en
Spa ese e zuge üh wi d. Dies e möglich eine „Glä ung“ de Ve zinsung de
1
Mi „klassische Lebens e siche ung“ sollen hie die Ve äge mi Übe schussbe eiligung gemein sein;
nich hie zu gehö en ondsgebundene Lebens e siche ungen.
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich
- 2 -
Spa e . Die Zu üh ungen und En nahmen aus de kollek i en Rese e üh en zu
einem Gene a ionen-übe g ei enden kollek i en Risikoausgleich bezogen au die
Kapi alma k isiken.
Ziel diese Un e suchung is es, den Nu zen dieses kollek i en Risikoausgleichs aus
Sich de Spa e da zus ellen.
2
Die klassische deu sche kapi albildende Lebens e siche-
ung mi Übe schussbe eiligung is eine Fo m des kollek i en Spa ens; ähnliches gil ü
die sogenann en „Wi h-P o i -Policen“ wie sie insbesonde e in G oßb i annien angebo-
en we den. Um den Nu zen des kollek i en Risikoausgleichs in Bezug au das Kapi al-
anlage isiko un e suchen und da s ellen zu können, is es e o de lich, das Modell des
Lebens e siche ungsspa ens zu eduzie en au ein ein aches Modell des kollek i en
Spa en.
2
In de Li e a u inde man be ei s e einzel e Ansä ze; u.a. Gollie , Ch is ian : In e gene a ional isk
sha ing and isk aking in a pension und, Jou nal o Public Economics, ol. 92, n. 5-6, June 2008,
S.1463-1485; Go don, Roge H.; Va ian, Hal R.: In e gene a ional isk sha ing, Jou nal o Public Eco-
nomics 37 (1988), S.185-202; Thøge sen, Øys ein : In e gene a ional isk sha ing by means o pay-as-
you-go p og ams – an in es iga ion o al e na i e mechanisms; SNF-Repo No.12/ 06; SNF-p ojec no.
1345, Ins iu e o Resea ch in Economics and Business Adminis a ion Be gen, May 2006; Consiglio,
And ea; Cocco, Fla io; Zenions, S a os A.: Asse Liabili y Modeling o Pa ici a ing Plicies wi h Ga-
an ees, The Wha en School, Uni e si y o Pennsyl ania, Wo king Pape , Dec. 2000, e ised Feb.
2001;Gullién, Monse a ; Jø gensen, Pe e Løch e; Pe ch-Nielsen, Jens: Re u n Smoo hing Mechanism
in Li e and Pension Insu ance, Insu ance: Ma hema ics and Econommics, 2006; Vol 38, N . 2, S.229-252;
Jø gensen, Pe e Løch e: Logno mal App oxima ion o Complex Pa h Complex Pa h-Dependan Penion
Scheme Payo s, Eu opean Jou nal o Finance, 2007, Vol. 13, S.595-619.
Lebens e siche ung als kollek i e Spa p ozess Oska Goecke
- 3 -
2 Kollek i es Spa en
2.1 De Glä ungsmechanismus
Um den E ek des kollek i en Risikoausgleichs in Bezug au das Kapi alma k isiko
da s ellen zu können, is es e o de lich, das Modell de Lebens e siche ung mi Übe -
schussbe eiligung bzw. das Modell de Wi h-P o i -Police zu eduzie en au ein ein a-
ches Modell des kollek i en Spa ens. Insbesonde e blenden wi die E ek e des Aus-
gleichs biome ische Risiken (insbesonde e Todes all- und Langlebigkei s isiko) aus.
Des Wei e en un e s ellen wi , dass de kollek i e Spa p ozess on einem Lebens e si-
che ungsun e nehmen (LVU) be eu wi d, das selbs kein Eigenkapi al s ell , keine
Kos en e heb und ausschließlich im Au age de Ve siche en (Kollek i de Spa e )
ä ig wi d. Ein Ve siche ungs e ein au Gegensei igkei komm diesem Modell ech
nahe. Die Annahme, dass keine Ve wal ungskos en/ T ansak ionkos en an allen, is ü
das Modell nich zwingend. Man könn e beispielsweise Ve wal ungskos en/
T ansak ionkos en sei ens des Be eibe s du ch eine passende educ ion in yield (Mana-
gemen ee au das Anlage e mögen) be ücksich igen. An den im Folgenden da geleg-
en Zusammenhängen ände dies wenig.
Die Annahme, dass de Be eibe (das LVU) kein Eigenkapi al be ei s ell bzw. be ei
s ellen muss, s ell eine deu liche Ve ein achung des Modells da . Is de Be eibe
du ch die Be ei s ellung on Eigenkapi al be eilig , so wi d e eine angemessene Eigen-
kapi al endi e e wa en. Dabei muss alle dings es geleg we den, welche Funk ion das
Eigenkapi al ha und welchen Risiken es ausgese z is . Angesich s de Eigenkapi alquo-
en
3
de deu schen Lebens e siche e (ca. 1%-2%) is abe auch kla , dass das Eigenka-
pi al nu in seh geg enz eingese z we den kann, um Kapi alma k isiken (um die geh
es ja hie ausschließlich) auszugleichen. Fü die Analyse des Nu zens des kollek i en
Spa ens is es dahe keine Einsch änkung de Aussagek a des Modells, wenn au den
Ansa z eine Eigenkapi alposi ion e zich e wi d.
Wi eduzie en dahe den Lebens e siche ungs e ag au einen Spa e ag mi einma-
ligen ode egelmäßigen Spa bei ägen, bei dem am Ende de Lau zei ein Ve so gungs-
kapi al ausgezahl wi d. Eine En spa phase wi d zunächs nich be ücksich ig .
Das LVU (als Be eibe des kollek i en Spa p ozesses) üh alle Spa bei äge zusam-
men und leg die Mi el am Kapi alma k an. In Abhängigkei on de Kapi alma k en -
wicklung leg das LVU es , welche Zins den Spa e n gu gesch ieben wi d. Bei de
3
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich
- 4 -
Fes legung des Gu habenzinses („Dekla a ion“) kann das LVU bei Beda auch „kollek-
i e Mi el“ einse zen.
Die Bilanz des LVU habe olgende seh ein ache S uk u
A
BBILDUNG
2
-1: Ve ein ach es Bilanzschema eines Lebens e siche e s
Wi be ach en hie die Lebens e siche ung gewisse maßen als Selbs hil eein ich ung,
bei de das gesam e o handene Ve mögen den Spa e n gehö , wobei zu un e scheiden
is zwischen den Ve siche en-Gu haben – dies is die Summe de indi iduellen An-
sp üche alle Ve siche en – und dem Kollek i -Gu haben – dieses Kapi al gehö allen
Ve siche en gleiche maßen. Das LVU ungie hie bei als Agen des P inzipals „Ve si-
che ungskollek i “ und agie ausschließlich zum Nu zen des Ve siche enkollek i es.
Das LVU en scheide übe die Zusammense zung des Anlagepo olios und übe die
Au eilung des gesam en Ve mögens au die indi iduellen Ansp üche (Ve siche engu -
haben) und den kollek i en Ansp üchen (kollek i e Rese e). Die Spa e haben keine
indi iduellen Ansp üche au die in de kollek i en Rese e gebundenen Mi el, wohl
abe sind sie Teilhabe . Sie haben Ansp uch da au , dass die kollek i e Rese e bei Be-
da zu ih em Nu zen eingese z wi d. Eine Regel könn e beispielsweise lau en, dass je-
de Spa e einen Ansp uch da au ha , dass e bei Fälligkei des Ve ages (zu Beginn
des Ruhes andes) neben seinem indi iduellen Ve siche engu haben gg . einen Zusa z-
be ag aus de kollek i en Rese e e häl um siche zu s ellen, dass mindes ens die
Summe de on ihm eingezahl en Bei äge ausgezahl we den.
Das Beispiel mach kla , dass das LVU einen ai en In e essensausgleich zwischen den
Spa e gene a ionen ans eben muss. Die Spa e gene a ionen, die ku z o Fälligkei ih-
e Ve äge s ehen, haben ein In e esse da an, dass die kollek i e Rese e abgeschmol-
zen wi d, wäh end die „Jungspa e “ ehe an eine Au s ockung de Rese e in e essie
sind.
4
4
Wei e e Aus üh ungen hie zu in: [Goecke 2009] S. 291 .
Lebens e siche ung als kollek i e Spa p ozess Oska Goecke
- 5 -
Es wi d im Folgenden u.a. da um gehen, K i e ien ü angemessene En scheidungs e-
geln des LVU au s ellen. Ein Lei gedanke hie bei is , dass das LVU e such , die mög-
liche weise s a k schwankende We en wicklung de Ak i sei e (des Po olios) du ch
Zu üh ungen ode En nahmen aus de kollek i en Rese e so auszugleichen, dass die
Ve siche engu haben sich halbwegs s abil en wickeln können.
A
BBILDUNG
2 -2: P inzip de E gebnisglä ung
Die Abbildung 2-2 illus ie den Glä ungse ek in de Zei . Wäh end die We en wick-
lung des Po olios ( P
) e heblich schwank , s eigen die Ansp üche de Ve siche en
( V
) kon inuie lich. Das kollek i e Rese e ( R
) dien gewisse maßen als Schwan-
kungs ese e.
Beim kollek i en Spa en kann also die Ve zinsung de Ve siche en-Gu haben höhe
ode nied ige aus allen als die Po olio e zinsung. Es is somi denkba , dass eine Spa-
e gene a ion zuguns en de nach olgenden Spa e gene a ionen zum Au bau kollek i en
de Rese e bei äg bzw. zu Las en de nach olgenden Spa e gene a ion die kollek i e
Rese e abgebau ha .
Alb ech e.a.
5
haben in zahl eichen Ve ö en lichungen gezeig , dass die Lebens e si-
che e in de Ve gangenhei a sächlich eine seh s abile Ve zinsung de Ve siche en-
gu haben da s ellen konn en. Auch die Lebens e siche ungsun e nehmen e klä en eine
gleichmäßig (hohe) Übe schussbe eiligung als ein Ziel ih e Un e nehmenspoli ik.
Wi können diesen P ozess de E gebnisglä ung als Zins ans o ma ion bezeichnen,
denn de „Zins“, den das LVU mi seine Anlagepoli ik am Kapi alma k e ziel , wi d
5
Alb ech , Pe e ; Mau e , Raimond; Sch adin, Hein ich R.: Die Kapi alanlagepe o mance de Lebens-
e siche e im Ve gleich zu Fondsanlage un e Rendi e- und Risikoaspek en, Ka ls uhe 1999.; Alb ech ,
Pe e : Die Kapi alanlagepe o mance de deu schen Lebens e siche e 1980-2006, Mannheime Manu-
sk ip e zu Risiko heo ie, Po olio Managemen und Ve siche ungswi scha , N . 169, Mannheim 2007.
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich
- 6 -
du ch Au - und Abbau de kollek i en Rese e ans o mie - sp ich geglä e (Abbil-
dung 2-3).
A
BBILDUNG
2 -3: Zins ans o ma ion beim Lebens e siche ungsspa en
Die Zins ans o ma ion beim Lebens e siche ungsspa en um ass also zwei En schei-
dungsebenen:
En scheidung übe die Po oliozusammense zung
En scheidung übe den Einsa z de kollek i en Rese e.
Diese beiden En scheidungsebenen können auch mi den Beg i en Asse -Managemen
und Liabili y-Managemen e ass we den. En sp echend können wi on Asse -
Liabili y-Managemen sp echen, wenn beide En scheidungsebenen au einande abge-
s imm we den. Die En scheidung übe den Einsa z de kollek i en Rese e en sp ich
im Wesen lichen de En scheidung des LVU übe die Fes legung de Dekla a ion. Mi
Fes legung de Dekla a ion wi d nämlich ein en sp echende Teil de R B gebunden, so
dass im Lau e des Geschä sjah es diese gebundene Teil de R B sukzessi e in das
Ve siche en-Gu haben umgebuch wi d.
Bezeichnungen:
P
: We des Po olios zum Zei punk
V
: We de Ve siche engu haben zum Zei punk
:
R P V
= −
: kollek i e Rese e zum Zei punk
: ln ln 1
P R
V P
ρ
= = − −
: (log.)Rese equo e zum Zei punk
.
De We ln ( P
/ V
) en sp ich nähe ungsweise de üblichen Rese equo e R
/P
. Im
Wei e en wi d sich zeigen, dass die au den e s en Blick e wa ums ändliche De ini ion
de Rese equo e a sächlich die Da s ellung wesen lich e ein ach .
Lebens e siche ung als kollek i e Spa p ozess Oska Goecke
- 13 -
Hie bei sei
1
u
α
−
das (1-
α
)-Quan il de S anda dno mal e eilung.
Die Bedingung (ALM ) können wi auch als Fundamen al-Bedingung des Asse -
Liabili y-Managemen s de Lebens e siche ung bezeichnen. Sie zeig nämlich den
unk ionalen Zusammenhang zwischen den zen alen S eue ungsg ößen des ALM-
P ozesses, de Risikoexposi ion
( )
σ
(S eue ungspa ame e de Ak i sei e) und de
Dekla a ion
( )
η
(S eue ungspa ame e de Passi sei e). Beide P ozesse sind op imal
au einande abzus immen.
Fü seh ku ze Zei abschni e
0
∆ →
is die Bedingung (ALM ) imme dann e üll ,
wenn zum Zei punk de Rese epu e
min
( ) 0
ρ ρ
− >
is .
Wi können
2
1
2
( ): ( ) ( ) ( )
neu al SR
η µ µ σ σ
= = + −
(Gl. 2-15)
auch als die isikoneu ale Dekla a ion bezeichnen, denn wegen
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
ρ ρ µ η
+ ∆ − = ∆ −
E
en sp ich in diesem Fall die e wa e e de ak uellen Rese equo e.
In Hinblick au p ak ische Anwendungen kann es sinn oll sein zusä zlich o de n
max
( )
σ σ
≤
und
min
( )
η η
≥
ü o gegebene Pa ame e
max min
,
σ η
∈
R
.
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich
- 14 -
A
BBILDUNG
2 -5: Zulässige ALM-Posi ionen nach (Gl. 2-16) ü
1
∆ =
, 1-
α
=
99,5% und
min
( ) 12%
ρ ρ
− =
.
Die Abbildung 2-5 illus ie den Zusammenhang zwischen Risikoexposi ion und Dekla-
a ion. Jede Punk
(
)
,
σ η
in dem Diag amm ma kie eine ALM-Posi ion, also eine
En scheidung des LVU hinsich lich de Asse -Sei e (Risikoexposi ion
( )
σ
) und de
Liabili y-Sei e (Dekla a ion
( )
η
). Ausgehend on eine e ügba en Rese e on
min
( )
ρ ρ
−
= 10% und einem Siche hei sni eau on
1 99,5%
α
− =
zeig die Abbildung
den Be eich de zulässigen ALM-Posi ionen; e wi d beg enz du ch die
Sol abili ä sbedingung (
max
( )
η η
≤
) und die Mindes e zinsung (
min
( )
η η
≥
).
Nich alle zulässigen ALM-Posi ionen sind sinn oll, denn eine hohe Dekla a ion kann
zwa zulässig sein (d.h. die Sol abili ä sbedingung e üllen), abe dennoch zu einem
nich e e ba en Rese eabbau üh en. Wähl nämlich das LVU bei eine ALM-
Posi ion
(
)
,
σ η
obe halb de ese eneu alen Dekla a ion
( )
neu al
η µ
=
, so bedeu e
dies, dass im E wa ungswe die Rese e abgebau wi d und somi in de nächs en Pe-
iode das Ruin isiko s a k s eig .
Lebens e siche ung als kollek i e Spa p ozess Oska Goecke
- 15 -
3 ALM-S a egien ü kollek i e Spa p ozesse
3.1 Das Basismodell
Im Folgenden soll ein linea es Modell ü das ALM eines Spa e kollek i s mi kollek i-
em Risikoauagelich einge üh und elemen a e Eigenscha en he gelei e we den.
Allgemein wollen wi als ALM-S a egie einen (s ochas ischen) P ozess
(
)
0
( ), ( )
σ η
≥
e s ehen, de olgende Eigenscha en ha
1.
(
)
0
( ), ( )
σ η
≥
is ein
F
-messba e , p e isible P ozess
2.
(
)
0
( ), ( )
σ η
≥
is in jedem Zei in e all
[0, ]
T
.s. besch änk
3. Die P ade
(
)
0
( , )
σ ω
≥
und
(
)
0
( , )
η ω
≥
sind .s. ech ssei ig s e ig.
4.
( ) 0
σ
≥
.s. ü alle
0
≥
.
Eine ALM-S a egie is also eine Vo sch i , die zu jedem Zei punk
0
≥
un e Be-
ücksich igung de -Ve gangenhei die Risikoexposi ion de Kapi alanlagen
( )
σ
und
die Dekla a ion (Ve zinsung de Ve siche engu haben)
( )
η
ü die nächs e Pe iode
[ , [
+ ∆
es leg .
Da wi einen a bi age eien Kapi alma k un e s ellen, is du ch die Wahl des Risiko-
p ozesses
(
)
0
( )
σ
≥
de D i p ozess
(
)
0
( )
µ
≥
eindeu ig es geleg – gl. (Gl.2-8).
3.1.1 Bes immung des Dekla a ionsp ozesses
Die Bedingung (ALM ) in (Gl. 2-15) zeig , dass de Rese ep ozess
(
)
( )
ρ
eine zen ale
S eue ungsg öße des ALM-P ozesses is . Wi wollen im un e s ellen, dass das LVU be-
s eb is , eine bes imme s a egische Ziel ese e
min
Ziel
ρ ρ
≥
zu e eichen. Hie zu wähl
es in jede Pe iode die ALM-Posi ion
(
)
( ), ( )
σ η
so aus, dass (im E wa ungswe ) eine
bes ehende Abweichung on de Ziel ese e abgebau wi d. Die Angleichung an die
Ziel ese e kann das LVU übe die Dekla a ion
( )
η
s eue n: Wähl das LVU eine De-
kla a ion obe halb bzw. un e halb de e wa e en Po olio endi e, d.h.
( ) ( )
η µ
>
bzw.
( ) ( )
η µ
<
, so wi d im E wa ungswe die Rese e abgebau bzw. au gebau .
Wi konk e isie en die S a egie und de inie en
ˆ( ) : ( )
Ziel
ρ ρ ρ
= −
als Abweichung on
de Ziel ese e und e langen, dass die Abweichung on de Ziel ese e im E wa -
ungswe gleichmäßig eduzie wi d. Fü ein
0
θ
≥
soll dahe gel en:
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich
- 16 -
(
)
ˆ ˆ
( ) ( )
d d
ρ θ ρ
= −
E
(Gl. 3-1)
Wi können
θ
als Anpassungsgeschwindigkei in e p e ie en.
Dies leg wegen (Gl. 2-12) den olgenden Zusammenhang zwischen Dekla a ion und
Rese e nahe:
ˆ
( ) ( ) ( )
η µ θ ρ
= +
. (Gl. 3-2)
Dami is alle dings die ALM-S a egie noch nich eindeu ig es geleg , denn (Gl. 3-2)
kann ü jede Risikoexposi ion
( )
σ
e üll we den. Man beach e, dass wegen (ALM 1)
de Rendi ep ozesse
( )
µ
olls ändig du ch
( )
σ
bes imm is .
P oposi ion 3-1
Wi d die Dekla a ion en sp echend (Gl. 3-2) an die jeweilige Rese esi ua ion ange-
pass , so is de Rese ep ozess
ˆ
( )
ρ
ein e allgemeine e mean- e e sion O ns ein-
Uhlenbeck-P ozess,
9
d.h. e üll die SDG :
ˆ( ) ( )
ˆ( )
d d dW
ρ σθ ρ
= − +
(Gl. 3-3)
mi de S a bedingung
0 0
ˆ ˆ
(0) :
Ziel
ρ ρ ρ ρ
= = −
mi de Lösung
0
[0, ]
ˆ( ) exp( ) ( )ex
ˆp( )
s
dW
s s
ρ θ σρ θ
+
=
−
∫
(Gl. 3-4)
(
)
0
ˆ( ) exp
ˆ
( )
ρ θ
ρ
= −
E
(Gl. 3-5)
( )
( )
2
0
ˆ
Va ( ) exp( 2 ) ( ) exp(2 ) .
s s ds
ρ θ σ θ
= −
∫
E
(Gl. 3-6)
Beweis
(Gl. 3-3) olg unmi elba aus (Gl. 2-11) und (Gl. 3-2). Es handel sich um eine linea e
SDG mi de eindeu igen Lösung (Gl. 3-4) – gl. [Ka a zas/ Sh e e 1991] S. 360 . (Gl.
3-5) olg unmi elba aus (Gl. 3-4). Mi Hil e de I o-Isome ie ( gl. [Øksendal 2003] S.
29) e hal en wi schießlich
9
Es handel sich also um einen mean- e e ing O ns ein-Uhlenbeck-P ozess; gl. [Øksendal 2003] S. 75.
Lebens e siche ung als kollek i e Spa p ozess Oska Goecke
- 17 -
( )
( )
2
[0, ]
0
2
ˆ
Va ( ) exp( 2 ) ( )exp( )
exp( 2 ) ( ) exp(2 ) .
s
dW s s
s s ds
ρ θ σ θ
θ σ θ
= −
−
=
∫
∫
E
E
Fü den Zusammenhang on Dekla a ion und Risikoexposi ion olg aus P oposi ion 3-1
10
[0, ]
2
2
ˆ
( ) ( ) exp( ) ( )exp
( ) .
( )
s
SR
dW s s
σ σ θ σ θη µ θ ρ
= + +
+
− −
∫
(Gl. 3-7)
(Gl. 3-7) e binde die beiden P ozesse
( )
σ
und
( )
η
, also die S eue ung de Ak i -
und de Passi sei e. Alle dings gib (Gl. 3-7) keine Auskun da übe , wie
( )
σ
zu
wählen is , ohne die Sol abili ä sbedingung (ALM in Gl. 2-15) zu ge äh den.
Wi wollen noch zeigen, dass die obige S a egie de Anpassung an eine Ziel ese e ei-
ne ai e Be eiligung de Spa e am Anlagee gebnis da s ell . Hie zu e gleichen wi die
e wa e e Rendi e des Anlagepo olios mi de e wa e en Rendi e de Ve siche engu -
haben.
Die e wa e e Rendi e des Po olios be äg wegen (Gl. 2-2)
00
1 ( ) 1
ln ( )
P
s ds
P
µ
=
∫
E
;
Fü die e wa e e Rendi e de Ve siche engu haben gil wegen (Gl. 2-11 und Gl. 3-7):
( )
0
00 0
1 ( ) 1 1 ˆ
ln ( ) ( ) exp( )
V
s ds s s ds
V
η µ θ ρ θ
= = + −
∫ ∫
E E
0
0
1 1 exp( )
ˆ
( )
s ds
θ
µ ρ
− −
= +
∫
.
En sp ich die S a ese e de Ziel ese e (d.h.
0
ˆ
0
ρ
=
), so s immen die Rendi en übe -
ein. Die Spa e können also bei Beginn des Spa p ozesses die gleiche Rendi e e wa en,
die auch das LVU mi ih em Anlage e mögen e wi scha e . Eine an ängliche Rese e-
lücke (d.h.
0
Ziel
ρ ρ
<
) üh jedoch c.p. zu du chschni lich nied ige en Rendi en; dies
bedeu e , dass die neu hinkommende Spa e gene a ion die Rese elücke de bes ehen-
den Spa e gene a ion ausgleichen muss.
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich
- 18 -
3.1.2 Bes immung des Anlagep ozesses
Die Managemen egel (Gl. 3-2) besch eib den ALM-P ozess nich olls ändig, da bis-
he nich es geleg wu den, nach welchen K i e ien die Risikoexposi ion de Kapi alan-
lagen
(
)
( )
σ
ges eue wi d.
Zu S eue ung on
(
)
( )
σ
wollen wi ein linea es Modell un e s ellen; wi se zen
ˆ
ˆ
(
)
)
(
a
σ σ
ρ
= +
mi Pa ame e n
ˆ
0
σ
>
und
a
∈
R
.
10
(Gl. 3-8)
ˆ
σ
bezeichnen wi als die s a egische Risikoexposi ion, und a die Anpassungsge-
schwindigkei de Risikoexposi ion. Wi wollen o ausse zen, dass die Pa ame e
ˆ
( , )
a
σ
so gewähl we den, dass
ˆ
(0) 0
ˆ
(0) a
ρ
σ σ
+
≥
=
.
Dieses Modell is mo i ie du ch die olgenden heu is ischen Übe legungen. Hie zu be-
ach en wi die Sol abili ä sbedingung (ALM ) in (Gl. 2-15) und die Dekla a ions egel
in (Gl. 3-2) und wählen jeweils eine maximal zulässige Dekla a ion.
Aus (Gl. 2-15) und (Gl. 3-2) olg
min
ˆ
( ) ( ) ( )
ˆ
( ),
ˆ ˆ
( )
( ) ( ( )
)) ˆ
( a
u
α
η µ θ ρ
ρ
ρ ρ ση σ
µσ
⇒=
= +
−
= + +
−
∆∆
(Gl. 3-9)
wobei
min min
ˆ:
Ziel
ρ ρ ρ
= −
,
min
min
ˆˆ
ˆ):
ˆ
( , , 0
u
α
σ σ α
ρ
ρ
== −
∆ >
∆
und
1
( , , ) :a a u
α
α θ θ
∆
= ∆ −
∆
=
.
Wi können
min
ˆ ˆ( ,
ˆ
)
,
α
ρ
σ σ
= ∆
als s a egische Risikoexposi ion bezeichnen, denn nach
(Gl. 3-9) schwank die ak ische Risikoexposi ion
( )
σ
en sp echend de ak uellen Re-
se eposi ion um diesen We .
Die Managemen egel (Gl. 3-8) olg also in na ü liche Weise aus den oben da ges ell-
en Rahmenbedingungen ü zulässige ALM-S a egien.
10
De Fall a < 0 is ökonomisch nich sinn oll, denn das wü de bedeu en, dass bei schwache Rese epo-
si ion die Risikoexposi ion ausgebau wi d.
Lebens e siche ung als kollek i e Spa p ozess Oska Goecke
- 19 -
3.1.3 De ini ion des linea en Modells
Das linea e Modell des kollek i en Spa ens wi d du ch die olgenden Pa ame e und
Gleichungen bes imm :
:
µ
siche e Ma k zins
:
SR
Zusa z endi e p o Risikoeinhei
( ):
σ
Risikoexposi ion zum Zei punk
0
≥
2
1
2
( ): ( ) ( )
SR
µ µ σ σ
= + −
: Rendi e eine Po olios mi Risikoexposi ion
( ) 0
σ
≥
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
d P P d dW
µ σ
= +
ɶ
: We p ozess des Anlage e mögens mi
0
(0)
P P
=
( ):
η
Dekla a ion zum Zei punk
0
≥
( ) ( ) ( )
dV V d
η
=
: We p ozess de Ve siche engu haben mi
0
(0)
V V
=
:
Ziel
ρ
Ziel ese equo e,
0
0
0
ˆ: ln
Ziel
P
V
ρ ρ
= −
: an ängliche Rese equo e
11
( )
ˆ( ) : ln ( )
Ziel
P
V
ρ ρ
= −
: Rese equo e zum Zei punk
0
≥
,
Managemen egeln:
ˆ
0:
σ
≥
s a egische Risikoexposi ion
:
a
Anpassungsgeschwindigkei de Risikoexposi ion an die Rese e
0:
θ
≥
Anpassungsgeschwindigkei de Dekla a ion an die Rese e
ˆ
ˆ
( ) ( )
a
σ σ ρ
= +
; hie bei müssen wi siche s ellen, dass
( ) 0
σ
≥
ü alle
0
≥
.
ˆ
( ) ( ) ( )
η µ θ ρ
= +
Beme kungen:
1. Wi lassen auch den Fall
0
a
<
zu, wenngleich dies bedeu e , dass man bei eine
schwachen Rese eposi ion das Anlage isiko e höh .
11
Wi e s ehen hie die Rese equo e als die Di e enz de Is -Rese e on de Ziel ese e.
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich
- 20 -
2. Falls
0
a
=
, so wi d unabhängig on de ak uellen Rese eposi ion die Risikoex-
posi ion de Kapi alanlagen kons an gehal en, d.h.
ˆ
( )
σ σ
=
ü alle . Eine
solche S a egie können wi als eine LM-S a egie bezeichnen, da im Un e -
schied zum allgemeinen linea en Modell hie ausschließlich die Dekla a ion, also
die Passi sei e an die Rese eposi ion angepass wi d.
3. Wei e un en we den wi zeigen, dass
( ) 0
σ
≥
ü alle
0
≥
be ei s aus de S a -
bedingung
0
ˆ
ˆ
(0) 0
a
σ σ ρ
= + ≥
olg .
3.2 Elem a e Eigenscha en des linea en Modells
P oposi ion 3-2
Fü
a
∈
R
de inie en wi den P ozess
(
)
2
1
2
: exp
E aW a
= −
. Dann gil :
1.
(
)
0
E
≥
is ein (Expone ial-) Ma ingal mi de Da s ellung
[0, ]
1
s s
E a E dW
= +
∫
. und
dE aE dW
=
(Gl. 3-10)
2. Fü 0
s
≤ ≤
gil
[ , ]
1
u
u
s s
s
E E
a dW
E E
= +
∫
(Gl. 3-11)
3. Fü 0
u s
≤ ≤ ≤ ≤
gil
( )
2
exp ( )
s
u
E E
a s
E E
= −
E
,
1
u s
E E
E E
=
E
. (Gl. 3-12)
Insbesonde e gil
( )
1
s
E
EE
= =
E E
,
( )
2 2 2
2
exp ( )
s s
E E
a s
E E
= = −
E E und
(
)
2
exp( )
s
E E a s
=
E
.
Beweis
Zu 1.: Folg mi Hil e de I o-Fo mel angewende au die Funk ion
2
1
2
( , ) : exp( )
x a x a
= +
; gl. [Ka a zas/ Sh e e 1991] S. 153 ..
Zu 2.: Die Zu alls a iable
(
)
2
1
2
exp
E aW a
= −
logno mal- e eil mi
( )
(
)
(
)
(
)
2 2
1 1 1
2 2 2
exp Va exp(0) 1
E aW a aW a
= − + − = =
E E
.
Lebens e siche ung als kollek i e Spa p ozess Oska Goecke
- 21 -
En sp echend olg ü
0
s
≤ ≤
1
s
E
E
=
E
.
Wi be ach en den P ozess
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
1 1
2 2
0
0
0
0
: exp exp ( )
s u
u u s u s
uu
u
su
E
E aW a u a W W a u
E
+
+
≥
≥
≥
≥
= = − = − −
ɶ ɶ
,
dann olg aus (Gl. 3-10)
[0, ] [ , ]
1 1
s u u
s s
s s
E E
E a E dW a dW
E E
−
−
= = + = +
∫ ∫
ɶ ɶ ɶ
.
Zu 3.: Da
2
2
s
s
u s u
E E E E
E
E E E E E
=
mi s ochas isch unabhängigen Fak o en, olg
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
exp 2 ( ) ( ) exp ( ) ;
s
s s
u s u
s
E E E E
E E
E E E E E E
a W W a s a s
= =
= − − − = −
E E E E E
E
en sp echend olg
1
u s s u
E E E E
E E E E
= =
E E E
.
P oposi ion 3-3
We den die Dekla a ion und die Risikoexposi ion en sp echend dem linea en Modell
(Gl. 3-2) und (Gl. 3-8) an die jeweilige Rese esi ua ion angepass , und se zen wi o-
aus, dass 0
ˆ
ˆ
(0) 0
a
σ σ ρ
= + >
, so e üll de P ozess
(
)
0
( )
σ
≥
die olgende linea e
SDG
(
)
ˆ
( ) ( ) ( )
d
d
d a
W
σ θ σ σ σ
= − − +
(Gl. 3-13)
mi de S a bedingung
0
ˆ
ˆ
(0)
a
σ σ ρ
= +
und de eindeu igen Lösung
0
0
0
exp( )
ˆ
( ) exp( ) (0)
ˆexp( )
ˆ
exp( ) 1 ;
ˆ
s
s
s
E ds
E
as
E ds
E
θ
σ θ σ θσ
ρθ
σ θ θ
σ
= − +
= − + +
∫
∫
(Gl. 3-14)
insbesonde e is
( ) 0
σ
≥
ü alle
0
≥
.
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich
- 22 -
Beweis
Aus (Gl. 3-4) in Ve bindung mi (Gl. 3-8) e häl man ü
( )
σ
die olgende In eg alda -
s ellung
[0, ]
ˆ
ˆ ˆ
( ) ( ) exp (( ) ( ) exp( )0)
s
a a s s
dW
σ σ ρ θ σ σ σ θ
− +
− = = −
∫
d.h.
( )
σ
e üll die SDG in (Gl. 3-13). Diese linea e SDG ha (Gl. 3-14) als eindeu ige
Lösung - gl. [Ka a zas/ Sh e e] S. 360 .
Da wi o ausgese z haben, dass
ˆ
0, (0) 0 und 0
θ σ σ
≥ ≥ ≥
, olg
( ) 0 ü alle 0
σ
≥ ≥
.
Wi e hal en dami die olgende Da s ellung des Rese ep ozesses
ˆ
( )
ρ
:
0
[0,
0
]
0
ˆ
ˆ ˆ
exp( )
exp( ) 1 ( 0)
ˆ
ˆ( )
exp( ) exp( ) ( 0)
ˆˆ
s
s
as
E ds a
a E a
adW
s
ρ
σ θ σ
θ θ
σ
ρ
θ θρ σ
+
− + + − ≠
=
− =
∫
∫
(Gl. 3-15)
Zu ein ache en Da s ellung de inie en die s ochas ischen P ozesse
(
)
X
und
(
)
U
:
0
exp( )
: 1
s
s
X E ds
E
θ
τ θ
= + +
∫
, hie bei sei
τ
∈
R
(Gl. 3-16)
[0, ]
:
s s
U X dW
=
∫
(Gl. 3-17)
P oposi ion 3-4
1.
(
)
U
is ein Ma ingal mi quad a ische Va ian ion
2
0
[ ]
s
U X ds
=∫
.
2. Es gil :
exp( )
X aU
τ θ
= + +
,
exp( )
dX a X dW d
θ θ
= + ,
(
)
[0, ]
1
exp( ) 0
exp( ) 0
s
a
X alls a
Us dW alls a
τ θ
τ θ
− − ≠
=
+ =
∫ (Gl. 3-18)
Lebens e siche ung als kollek i e Spa p ozess Oska Goecke
- 29 -
(
)
(
)
2 3 2 2 2 2 2 3
0 0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
( ) ( ) exp( ( 2 )) ( ) 2 ( ) ( )
s s
s s U U U U
ρ ρ θ σ σ ρ σ ρ ρ
= − + + + +
E E E E
( )
(
)
( )
4 2 2 3 2 3
0
2 2
2 2 2 2 4
0 0
ˆ
ˆ ˆ
( ) 2 ( ) ( )
ˆ ˆ
( ) ( ) exp( 2 ( )) ˆ ˆ
ˆ5 ( ) ( )
s s s
s
U U U U U
s s U U
σ σ ρ
ρ ρ θ σ ρ ρ
+ +
= − +
+ + +
E E E
E
E E
(
)
0
ˆ
ˆ
( ) exp( )
a
σ σ ρ θ
= + −
E
( )
(
)
( )
(
)
2
2 2
ˆ ˆ
Va ( ) ( ) ( )
a
σ ρ ρ
= −E E
Fü
2 2
1
2
ˆ
( ): exp( 2 )
a
σ θ
= − −
und
(
)
20
ˆ
ˆ ˆ
( ): exp( ) ( ) exp( )
SR
g a a
σ θ θ σ ρ θ
= − + − − −
gil :
(
)
(
)
2 2 2
1 1
0 0
2 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
( ) exp( 2 ) ( ) exp( ) exp( )
SR
a U a a
η µ σ θ ρ θ σ ρ θ
= − − + − − − −
E E
(
)
(
)
2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
U U g U
η η
− = − +
E E
(
)
2 4 2 2 3 2 2
Va ( ) ( ) ( ) ( ( )) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
U U g U g U
η
= − + +
E E E E
Beme kungen
1. Fü
0
ˆ
0
ρ
=
gil :
(
)
2 2 2
exp( 2 ) 1 ( 2 )
X a J a
θ θ
− = + −
E
(Gl. 3-32)
Beg ündung hie ü :
Aus P oposi ion 3-4 e hal en wi
( ) ( )
2
2 2 2
2 exp( ) exp( )
X a U a U
τ θ τ θ
= + + + +
.
Da
( ) 0
U
=
E
olg
(
)
(
)
( )
2
2 2 2
exp( )
X a U
τ θ
= + +
E E
; aus (Gl. 3-25) olg dann
(Gl. 3-32).
2.
( )
(
)
2 2
1
2
2
1
lim exp( 2 ) alls
2
U a
a
θ θ
θ
→∞
− = >
−
E (Gl. 3-33)
( )
(
)
3 2
2 2
2
lim exp( 3 ) alls
(2 )( )
a
U a
a a
θ θ
θ θ
→∞
− = >
− −
E (Gl. 3-34)
( )
( )
2
4 2
3
2
2 2 2
3(3 )
lim exp( 4 ) alls
(2 )( )(2 3 )
a
U a
a a a
θ
θ θ
θ θ θ
→∞
+
− = >
− − −
E
(Gl. 3-35)
3.
( )
2
2
2
2
alls 2
2
lim Va exp( )
alls 2 .
a
a
a
X
a
θ
θ
θ
θ
→∞
>
−
− =
+∞ ≤
(Gl. 3-36)
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich
- 30 -
4.
( )
2 2
2
2
2
ˆ alls 2
2
lim Va ( )
alls 2
a
a
a
a
σθ
θ
σ
θ
→∞
>
−
=
+∞ ≤
(Gl. 3-37)
5.
( )
( )
2
2
2
2
2
ˆ alls 2
ˆ ˆ 2
lim Va ( ) lim ( )
alls 2
a
a
a
σθ
θ
ρ ρ
θ
→∞ →∞
>
−
= =
+∞ ≤
E
(Gl. 3-38)
6.
( )
2 2
2
2
2
ˆ
ˆ alls 2
2(2 )
lim ( )
alls 2
a
a
a
a
σ
µ θ
θ
η
θ
→∞
− >
−
=
−∞ ≤
E
(Gl. 3-39)
7.
( )
2
2
2 2 3 2
2 2 2 2 2 2
lim Va ˆ ˆ ˆ
2 ( 2 (2
) ( )
3
( ) )
SR
a a
a a a a
a a
σ θσ θ θ σ
θ θ θ θ θ
η
→∞
− + +
− − − −
=−
2
2
a
θ
≤
bedeu e also eine „S op-and-go“-S a egie: Die Anpassung de Dekla a ion an
die Rese eposi ion is nich schnell genug, um die Rese e au zu üllen; dies ha zu
Folge, dass die Risikoexposi ion imme he ige gegenges eue we den muss.
Die olgende Abbildung 3-1 illus ie den E ek . Ausgehend on einem s a ken Un-
gleichgewich , nämlich
0
ˆ
1
ρ
= +
bzw.
0
ˆ
1
ρ
= −
komm es bei Wahl de S eue ungspa a-
me e
(
)
0.5, 0.4
a
θ
= =
zu eine S abilisie ung de Rese eposi ion. Is jedoch die De-
kla a ionsanpassung gegenübe de Anpassung de Risikoexponie ung zu schwach
(
)
0.5, 0.05
a
θ
= =
, so komm es e a ischen Schwankungen de Rese eposi ion.
Lebens e siche ung als kollek i e Spa p ozess Oska Goecke
- 31 -
A
BBILDUNG
3 -1: Simula ionsp ades des Rese ep ozesses
(
)
ˆ
( ) :0 30
ρ
≤ ≤
.
Da ges ell we den jeweils 20 T ajek o ien des Rese ep ozesses, hie on je 10
mi dem S a we
0
ˆ
1
ρ
= +
und
0
ˆ
1
ρ
= −
. Beim obe en Diag amm wu den olgen-
de Pa ame e zug unde geleg :
ˆ
0.1, 0.5, 0.4
a
σ θ
= = =
(obe e G a ik) bzw.
ˆ
0.1, 0.5, 0.05
a
σ θ
= = =
(un e e G a ik).
3.3 G enzp ozesse im linea en Modell
Die obigen Gleichungen zeigen, dass die P ozesse
0
( )
X
≥
bzw.
0
( )
U
≥
die wesen li-
chen T eibe de ALM-P ozesse
(
)
( )
σ
,
(
)
ˆ
( )
ρ
und
(
)
( )
η
sind. De P ozess
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich
- 32 -
0 0
ˆ
( exp( ) )
E
ρ θ
≥
−
is ein Residualp ozess, de den im Zei ablau e schwindenen E -
ek de An angs ese e
0
ˆ
ρ
da s ell .
Es gil :
exp( ) 0
E
θ
− →
( .s.), jedoch wegen
(
)
(
)
2 2
(exp( ) ) exp (2 )
E a
θ θ
− = − −
E
2
exp( ) 0 (in )
E L
θ
− →
2
2 0
a
θ
⇔ − >
.
Eine Zu alls a iable
0
X
>
heiß in e s-Gamma
( , )
α β
- e eil mi den Pa ame e n
0
α
>
,
0
β
>
, wenn die Zu alls a iable
1
X
−
Gamma-
1
( , )
α β
−
- e eil is . Bezeichne
( , )
( )
i
x
α β
Γ die Dich e unk ion de in e sen Gamma-Ve eilung, dann gil :
( )
1
1
( , ) ]0, [
( ) 1 ( ) ( ) exp
i
x x x x
α
α β
β β
β α
+
−
Γ +∞
= Γ −
Is
X
in e s-Gamma
( , )
α β
- e eil , so exis ie das k- e Momen de Ve eilung genau
dann wenn
k
α
>
; in diesem Falle gil :
( )
( 1)( 2) ... ( )
k
k
X
k
β
α α α
=
− − ⋅ ⋅ −
E
.
P oposi ion 3-8
Is 2
0 2
a
θ
< <
so kon e gie en
ˆ
( ), ( ), ( )
σ ρ µ
bzw.
( )
η
in Ve eilung gegen die Zu-
alls a iablen
ˆ
, ,
σ ρ µ
∞ ∞ ∞
bzw.
η
∞
mi den Dich e unk ionen
( , )
( , ) ( )
i
x x
α β
σ
∞ Γ
=
( , )
ˆ
ˆ
( , ) ( )
i
x a ax
α β
ρ σ
∞ Γ
= +
(
)
(
)
1
( , ) 1 1 ( , ) 1 1
] , [
1
2( ) 2( )
( , ) 1 ( ) 2( )
i i
A
B A x B A x
x x A x
α β α β
µ
Γ Γ
∞ −∞
+ − + − −
=−
,
bzw.
(
)
(
)
2
( , ) 2 2 ( , ) 2 2
] , [
2
2( ) 2( )
( , ) 1 ( ) 2( )
i i
A
B A x B A x
x x A x
α β α β
η
Γ Γ
∞ −∞
+ − + − −
=−
;
Lebens e siche ung als kollek i e Spa p ozess Oska Goecke
- 33 -
hie bei is ( , )
( )
z z
α β
Γ
֏
die Dich e unk ion de in e sen Gamma-Ve eilung mi Pa-
ame e n
2
2
1
a
θ
α
= + und
2
ˆ
2
a
θσ
β
=; e ne sei
2
1
1 1
2
: , :
SR SR
A B
µ
= + =
bzw.
2
1
2 2
2
ˆ
: , :
SR SR
A B
a a a
θ θσ θ
µ
= + + − = +
.
Beweis
Nach (Gl. 3-16) gil
( )
0
0
ˆ
exp( ) exp( ) 1 exp ( )
ˆ
s
E
a
X E s ds
E
ρ
θ θ θ θ
σ
− = − + + − −
∫
Wi zeigen, dass
( )
0
: exp ( )
s
E
H s ds
E
θ
= − −
∫
in Ve eilung
gegen eine
in e s-Gamma-
e eil e
Zu alls a iable kon e gie .
Es gil :
( )
( )
( )
2
1
2
0
2
1
2
0
exp ( ) exp ( )( )
exp ( ) exp( ) .
s
s s
H a W W a s ds
a W W a s ds
θ
θ
−
= − − + −
= − − −
∫
∫
Fü es es
is
(
)
0
s
s
W W
−
≤ ≤
−
ein S anda d-Wiene -P ozess.
Sei nun
(
)
0
W
≥
ein S anda d-Wiene -P ozess; wi de inie en die P ozesse
(
)
2
1
2
: exp
s
E aW a
= −
und
0
: exp( )
s
Y E s ds
θ
= −
∫
,
so sind ü alle
0
≥
H
und
Y
iden isch e eil .
De P ozess
(
)
0
Y
≥
kon e gie
as siche
gegen
0
: exp( )
Y E d
θ
∞
∞
= −
∫
.
13
Falls
0
θ
>
, so kon e gie
Y Y
∞
→
(in
1
L
). Um dies zu zeigen, be ach en wi ü
0
s
< ≤
:
13
Die .s. Kon e genz is gegeben sobald
2
1
2
0
a
θ
+ >
- gl. [Ma sumo o/ Yo 2005a], S. 314.
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich
- 34 -
exp( ) exp( )
s x s s
s
Y Y E x dx s E Y
θ θ
−
− = − = −
∫
mi
0
: exp( )
x
Y E x dx
θ
= −
∫
und
(
)
2
1
2
: exp ( )
x s x s
E a W W a x
+
= − −
. Hie bei sind
s
E
und
s
Y
−
s ochas isch unabhängig. Somi e hal en wi
( )
( ) ( )
1 exp( ( ))
exp( ) exp( )
s s s
s
Y Y s E Y s
θ
θ θ θ
−
− − −
− = − = −E E E
(
)
lim sup 0
s
s s
Y Y
→∞ ≥
⇒− =
E
ü
0
θ
>
.
Falls
2
0 2
a
θ
< <
, so gil kon e gie
Y Y
∞
→
(in
2
L
), denn
( )
(
)
(
)
(
)
( )
( )
( )
22 2
2
0 0
2 2
0 0
exp( 2 )
2exp (2 ) exp( ( ))
2exp (2 ) exp( ) exp( ( ))
s s s
y
s
x y
y
s
Y Y s E Y
a s E E x y dxdy
a s a x x y dxdy
θ
θ θ
θ θ
−
−
−
− = −
= − − − +
= − − − +
∫ ∫
∫ ∫
E E E
E
( )
( )( )
( )
2
2
2 2 2
2
2
2
2exp (2 ) alls
)exp ( ) alls
1 exp( ( )) 1 exp( (2 )( ))
( ) (2 )( )
2exp( 1 1 ( )
s a s
a a a
s
a s a
s s a
θ θ
θ θ
θ
θ
θθ
θ θ
θ
θ
θ
− − − − − − −
−
−
− − ≠
=
− − =
− −
−− + −
Das Doppelin eg al is ü alle
s
≥
nach oben besch änk ; somi olg ü
2
2
a
θ
<
:
(
)
2
lim sup ( ) 0
s
s s
Y Y
→∞ ≥
− =
E
Nach einem E gebnis on Mile sky
14
is die Zu alls a iable
Y
∞
in e s-Gamma- e eil
mi Pa ame e
2
2
1
a
θ
α
= + und
2
2
a
β
′=. Fü die Dich e unk ion
( , )
Y x
∞
de Ve eilung
on
Y
∞
gil also
( )
1
1
]0, [
( , ) 1 ( ) ( ) exp Y x x x x
α
β β
β α
+
−
∞ ∞
′ ′
′
= Γ −
.
14
Vgl. [Mile sky 1999], S. 150.
Lebens e siche ung als kollek i e Spa p ozess Oska Goecke
- 35 -
Nach (Gl.3-20) gil ü
0
a
≠
,
( )
0
: exp ( )
s
E
H s ds
E
θ
= − −
∫
(
)
0
ˆ
ˆ
( ) exp( ) ,
H a E
σ θσ θ ρ θ
= + + −
ˆ
( )
ˆ
( ) ,
a
σ σ
ρ
−
=
und ü
2
2
a
θ
<
kon e gie
exp( ) 0
E
θ
− →
in
2
L
.
Se zen wi
(
)
0
ˆ
ˆ
( ): exp( )
S Y a E
θσ θ ρ θ
= + + −
,
ˆ
( )
( ): S
R
a
σ
−
=
so gil :
2
ˆ
( ) :
L
S Y
σ θ σ
∞ ∞
→ =
und
2
ˆ
ˆ
( ) :
L
R
a
σ σ
ρ
∞
∞
−
→ = ,
und ü alle
0
≥
sind
( )
σ
und
( )
S
bzw.
ˆ
( )
ρ
und
( )
R
iden isch e eil .
σ
∞
is in-
e s-Gamma- e eil mi den Pa ame e n
2
2
1
a
θ
α
= + und
2
ˆ
2
ˆ
:
a
θσ
β θσ β
′
= = .
Fü die Dich e unk ion
( , )
x
σ
∞
bzw.
ˆ
( , )
x
ρ
∞
gil dann:
]0, [ ( , )
( , ) 1 ( ) ( )
i
x x x
α β
σ
∞ ∞ Γ
=
und
ˆ
] 0[ ( , )
ˆ
ˆ
( , ) 1 ( ) ( )
a x i
x x a ax
σ α β
ρ σ
∞ + > Γ
= +
.
Wi be ach en nun die G enz e eilungen on
( )
µ
und
( )
η
. Es gil :
( )
(
)
2
2
2
1 1 1
1 1
2 2 2
( ) ( ) ( )
SR SR
A B
µ µ σ σ
= + − − = − −
und
( )
2
2
2
1 1 1
2 2
2 2 2
ˆ
( ) ( ) ( )
SR SR
A B
a a a
θ θ σ θ
η µ σ σ
= + + − − − + = − −
Somi is
( )
µ
bzw.
( )
η
iden isch e eil wie
(
)
2
1
1 1
2
( )
A S B
− −
bzw.
(
)
2
1
2 2
2
( )
A S B
− −
.
Da
2
2
( ) ( )
S in L
σ
∞
→
kon e gie
( )
µ
in Ve eilung gegen
(
)
2
1
1 1
2
:
A B
µ σ
∞ ∞
= − −
und
( )
η
gegen
(
)
2
1
2 2
2
:
A B
η σ
∞ ∞
= − −
.
mi den Dich e unk ionen
(
)
(
)
1
( , ) 1 1 ( , ) 1 1
] , [
1
2( ) 2( )
( , ) 1 ( ) 2( )
i i
A
B A x B A x
x x A x
α β α β
µ
Γ Γ
∞ −∞
+ − + − −
=−
.
bzw.
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich
- 36 -
(
)
(
)
2
( , ) 2 2 ( , ) 2 2
] , [
2
2( ) 2( )
( , ) 1 ( ) 2( )
i i
A
B A x B A x
x x A x
α β α β
η
Γ Γ
∞ −∞
+ − + − −
=−
.
Beme kungen
1. Fü
0
a
=
is
ˆ
( )
ρ
ü alle
0
≥
no mal e eil mi
(
)
0
ˆ( ) exp
ˆ
( )
ρ θ
ρ
= −
E
und
( )
2
1 exp( 2 )
ˆˆ
Va ( ) 2
θ
ρ σ θ
− −
=
. Somi kon e gie
ˆ
( )
ρ
in Ve eilung gegen eine
no mal e eil e Zu alls a iable mi E wa ungswe 0 und S anda dabweichung
ˆ
2
σ
θ
. Man kann sich da on übe zeugen, dass
2
2
0
ˆ
lim ( , ) exp
ˆ
ˆ
a
x
x
ρσ
σ
θ θ
π
∞
→
= −
.
En sp echend
2
0
2
lim ( , ) exp ˆ
( )
ˆ
ˆ
a
x x
ησ
θ θ
σ π
µ
∞
→
−
−
=
.
2. Wegen (Gl. 3-34) bzw. (Gl. 3-35) kon e gie en die P ozesse (auße in i ialen Fäl-
len) nich punk weise.
3. Es gil :
( )
ˆ
1
β
σ σ
α
∞
= =
−
E
,
( )
2
2 2
2
2
ˆ
( 1)( 2) 2
a
β θ
σ σ
α α θ
∞
= =
− − −
E
,
( )
2
2
2
ˆ
Va
2
a
a
σ σ
θ
∞
=
−
(
)
ˆ
0
ρ
∞
=
E
,
( )
2
2
2
ˆ
ˆ
2
a
σ
ρ
θ
∞
=
−
E
,
( ) ( )
2
2
1
2
2
ˆ ˆ 2
a
a
µθ
µ η σ
∞ ∞
== −
−
E E
( )
( ) ( )( )
2
2 2 2 3 2
2
2 2 2 2 2
Vˆ ˆ ˆ
22
a 2 3
SR
a a
a a a a a
σ θσ θ
θ θ
µσ
θ θ θ
∞=
− +
− −
− − −
( )
( )
2
2 2 3 2
2
22
2
22 2
Va ˆ ˆ ˆ
22 2 3
( )( )
SR
a a
a a a a a a
σ θσ θ
ηθ σ
θ θ θ θ θ
∞
− + +
− −
− − −
=
Lebens e siche ung als kollek i e Spa p ozess Oska Goecke
- 37 -
4. Da
(
)
2
1
1 1
2
( ) ( )
A B
µ σ
= − −
gil
2
1
12
( )
SR
A
µ µ
≤ = +
ü alle
0.
≥
Somi is
( , ) 0
x
µ
∞
=
ü
1
x A
≥
; alle dings gil
1
lim ( , )
x A
x
µ
∞
→
= +∞
.
En sp echend gil
( , ) 0
x
η
∞
=
ü
2
x A
≥
; alle dings gil
2
lim ( , )
x A
x
η
∞
→
= +∞
.
5. Da s ellung de Dich e unk ionen
a)
σ
∞
A
BBILDUNG
3-2: Dich e unk ion de Ve eilung on
σ
∞
ü
ˆ
0.03; 0.25; 0.1; 0.4
SR
µ σ θ
= = = =
und
{0.1, 0.2, ... ,1.0}
a
∈
.
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
5
10
15
20
0.2
0.3
a = 0.1
a = 1.0
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich
- 38 -
A
BBILDUNG
3-3: Dich e unk ion de Ve eilung on
σ
∞
ü
ˆ
0.03; 0.25; 0.1; 0.2
SR
a
µ σ
= = = =
und
{0.1, 0.2, ... ,1.0}
θ
∈
.
b)
ˆ
ρ
∞
A
BBILDUNG
3-4: Dich e unk ion de Ve eilung on
ˆ
ρ
∞
ü
ˆ
0.03; 0.25; 0.1; 0.4
SR
µ σ θ
= = = =
und
{ 0.2, 0.0, 0.2, 0.4, 0.6,0.8}
a
∈ −
.
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
5
10
15
20
25
0.3
0.2
0.1
0.1
0.2
0.3
2
4
6
8
10
a = -0.2
0.0
a = 0.8
0.6
0.4
0.2
θ = 0.1
0.2
0.3
0.4
θ = 1.0
Lebens e siche ung als kollek i e Spa p ozess Oska Goecke
- 45 -
(
)
2
1
2
00
( )
1
ˆ ˆ
lim ln
SR
T
V T
T V
π
σ σ
→
= −
(Gl. 3-43)
Dies bedeu e , dass zum Ende de Ve agslau zei de Spa e die olle Zusa z endi e
aus dem Risiko
ˆ
σ
de Kapi alanlagen isiko ei e einnahmen kann, so e n die Re-
se esi ua ion des Spa e kollek i s ausgeglichen is .
Is
0
a
>
, so is
ˆ
( )
T
ρ
un e P bzw. Q´ nich no mal e eil . Somi läss sich auch nich
ohne wei e es eine ein ache Fo mel ü
(
)
( )
V T
π
he lei en. Die Da s ellung in (Gl. 3-
36) e möglich abe ein ein aches Mon e-Ca lo-Simula ions e ah en zu (nähe ungs-
weisen) Be echnung on
(
)
( )
V T
π
.
Es gil ( gl. Gl. 3-3)
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 2
ˆ
( ) ( )
( ) ( ) ( )
ˆ ˆ ˆ
ˆ
ˆ
( )
ˆ( )
ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ( ) ( ) ( )
ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
( ) 2 ( ) ( )
SR
SR
SR SR
d
a a
d dW
d dW d
d a dW a a d
a d a dW
θ ρ
θ
ρ σ
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
ρ
θ ρ ρ ρ ρ
ρ θ ρ ρσ
= − +
′
= − + + −
′
= − + + + + + −
′
= − + − − + ++
Somi e üll
ˆ
( )
ρ
bzgl.
W
′
die (nich linea e) SDG
(
)
(
)
12 2
2
ˆ ˆ ˆ
( )
ˆˆ
( ( )) ( )
ad b b d
d
a W
ρ ρρ ρσ
+
′
= + + +
(Gl. 3-44)
mi 1
ˆ ˆ
: ( )
SR
b
σ σ
= −
und
2
(ˆ
: 2
)
SR
ab
σ θ
−=
−
.
Da wi im allgemeinen linea en Modell mi a > 0 keine explizi e Fo mel ü den ai en
P eis
(
)
exp( ) ( )
V
µ
−
Q
֏
E
zu Ve ügung haben, wollen wi zumindes mi Hil e
on Mon e-Ca lo-Simula ionen die We e nähe ungsweise bes immen.
Aus de SDG lei e sich in naheliegende Weise ein disk e es Ve ah en zu Simula ion
on
(
)
(
)
0 0
ˆ ˆ
( ) exp( ) exp( ( )
V T V T
π ρ ρ
′
= −
Q
E
ab. Wi un e suchen den Ein luss den An-
passungspa ame e s a au den We on
(
)
( )
V T
π
.
Fü
0 0
ˆˆ
0,25; 0; 1; 10; 0,05und 0,2/ 0,4/ 0,6
SR
V T
ρ σ θ
= = = = = =
e geben sich bei
jeweils 10.000 Simula ion mi eine Sch i wei e on
1000
T
∆ = olgende We e:
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich
- 46 -
A
BBILDUNG
3-11: Hedgekos en des Glä ungse ek s; Da s ellung des G aphen
on
(
)
exp( ) ( )
a V
µ
−
Q
֏
E
ü 0 0
ˆˆ
10, 1, 0, 5%
V
ρ σ
= = = =
,
0,2 / 0,4 / 0,6
θ
=
.
Fü a = 0 könn e wi die Nähe ungswe e aus de Simula ion mi den exak en We en
unmi elba e gleichen:
Nähe ung exak e We ela i e
Fehle
The a = 0,2 1,04740219 1,04738963 1,20E-05
The a = 0,4 1,02644852 1,02644778 7,22E-07
The a = 0,6 1,01782464 1,01782400 6,33E-07
De e nachlässigba e ela i e Fehle ü a = 0 is alle dings keine Gewäh ü die Gü e
de App oxima ionen ü a > 0! Au g und des quad a ischen Te ms ( ü a > 0) in de
SDG (Gl. 3-40) können sich nämlich auch bei kleinen Sch i wei en ∆ ins abile Simula-
ionen e geben.
16
16
Füh man ü die obige Fallkons ella ionen die Simula ionen mi eine Sch i wei e on 1/1000 du ch,
so e geben sich keine wesen lich ande en We e. Bei den Simula ions echnungen wu den a ianzmini-
mie ende Techniken e wende ( gl. [Seydel] S.99 .).
Lebens e siche ung als kollek i e Spa p ozess Oska Goecke
- 47 -
3.5 Be echnung de Ruinwah scheinlichkei
Ruinwah scheinlichkei
Wi wollen on Ruin sp echen, wenn
ˆ
0 ( ) 0 ( )
Ziel
R P V
ρ ρ ρ
= − < ⇔ < ⇔ < −
.
Ruin bedeu e also, dass bei so o ige Liquida ion das o handene Ve mögen nich aus-
eich , um alle indi iduellen Ansp üche zu be iedigen. Ruin in diesem Sinne bedeu e
also nich das Ende des kollek i en Spa p ozeses; wegen (Gl. 3-5) wi d lediglich die
Dekla a ion he abgese z - gg . komm es zu eine nega i en Dekla a ion – d.h. die Ve -
siche enansp üche we den eduzie .
Wi wollen on einem „Beinahe-Ruin“ sp echen, wenn
min
( )
ρ ρ
<
, d.h.
min
ˆ( )
Ziel
ρ ρ ρ
< −
.
Wi be ach en zunächs den Fall
0
a
=
, d.h.
ˆ
( )
σ σ
=
ü alle
[0, ]
T
∈
. Dann haben
wi ü den Rese ep ozess olgende Da s ellung ( gl. P oposi ion 3-4):
(
)
0
ˆ ˆ ˆ
exp( )
M
ρ θ ρ σ
= − +
mi
[0, ]
: exp( )
s
dW
M s
θ
=
∫
;
das Ma ingal
(
)
M
ha die quad a ische Va ia ion
[ ]
0
exp(2 ) 1
exp(2 ) 2
M s ds
θ
θθ
−
= =
∫
.
Wi de inie en zwei Kenng ößen, nämlich
0 0
0
ˆ
:ˆ ˆ
Ziel
c
ρ ρ ρ
σ σ
−
= = : ela i e Rese eübe schuss zu Beginn
:ˆ
Ziel min
b
ρ ρ
σ
−
=: s a egischen Rese epu e .
P oposi ion 3-10
Sei a = 0 und T > 0, dann gil ü die Ruinwah scheinlichkei im Zei aum
[0, ]
T
:
(
)
(
)
0
min ( ) 1 ( ) ü alle [0, ]
min s T
T
W
g s s S
ρ ρ
≤ ≤
< = − ≤ ∈P P
, (Gl. 3-45)
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich
- 48 -
hie bei is
0
( ): 1 2c
g s
bs
θ
+= +
,
exp(2 )
:
1
2
T
T
S
θ
θ
=
−
und
(
)
s
W
is ein S anda d-
Wiene -P ozess.
Beweis
Es gil :
(
)
(
)
0 0
ˆ
min ( ) min ( ) ( )
min Ziel min
T T
ρ ρ ρ ρ ρ
≤ ≤ ≤ ≤
< = < − −P P
(
)
ˆ
1 ( ) ( ) ü alle [0, ]
Ziel min
T
ρ ρ ρ
= − ≥ − − ∈
P
(
)
(
)
( )
( )
0
0
1 ( ) ü alle [0, ]
1 ü
ˆˆ
alle [0,
ex
]
p( )
exp( )
Ziel mi n
T
M
M c b T
ρ σ ρ ρθ
θ
−= − ≥ − − ∈
= − ≥ − ∈
+
+
P
P
Du ch eine Ände ung de „Ablau geschwindigkei “ kann wi d das Ma igal
(
)
M
zu ei-
nem S anda d-Wiene -P ozess:
17
Se z man
(
)
ln 1 2
( ): 2
s
s
θ
θ
+
=
, so gil
[
]
( ) s
M s
=
und
( )
:
s s
W M=
is ein S anda d-Wiene -P ozess bzgl. de Fil a ion
( )
:
s s
=
G F
.
Hie aus e gib sich ü
1
exp(
2
(
)
)
2 1
T
S T T
θ
θ
−
−
= =
:
(
)
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
0
( ) 0
0
exp( )
exp( (
min ( ) 1 ü alle [0, ]
1 ü alle [0, ]
1 ü alle [0, ]
1 ü alle [0, ]
))
( )
( )
min
s
s
T
T
s
T
T
T
s S
s S
s S
M c b
M c b s
W g s
W g s
θ
θ
ρ ρ
≤ ≤
< = − ≥ − ∈
= − ≥ − ∈
= −
+
≥ − ∈
= − ≤ ∈
+
P P
P
P
P
Hie bei haben wi ausgenu z , dass
s
W
und
s
W
−
iden isch e eil sind. Wi können an-
nehmen, dass 0
0
b c+
≥
, da ande n alls 0
min
ρ ρ
<
.
17
Time-Change o Ma igales- Theo em, gl. [Ka a zas/ Sh e e] S. 174
Lebens e siche ung als kollek i e Spa p ozess Oska Goecke
- 49 -
Die Ruinwah scheinlichkei häng also (bei gegebenem Zei ho izon T und Anpas-
sungsgeschwindigkei
θ
) om ela i en Rese eübe schuss zu Beginn
0
c
und dem s a-
egischen Rese epu e
b
ab.
In de Abbildung 3-12 sind beispielha zwei S anda d-Wiene -P ozesse da ges ell , mi
de Ba ie e unk ion
0
2( 1)
g s b c
s
θ
+ +
=
mi
0.5, 2
b
θ
= =
und
0
0
c
=
. Dem In-
e all
[0; 2]
s
∈
en sp ich das Zei in e all ln(3) 1,[0
0 6
; ]
98
≈
∈
. Um den Ruin all in
de Abbildung illus ie en zu können, wu de ein ela i nied ige We ü b gewähl .
A
BBILDUNG
3-12: Zwei P ade eines S anda d-Wiene -P ozesses mi Ba ie e
g(s)
Nume ische Be echnung de Ruinwah scheinlichkei
P oposi ion 3-10 e laub es nun, die Ruinwah scheinlichkei zumindes nähe ungsweise
zu bes immen. S a de speziellen Funk ion
0
2( 1)
g s b c
s
θ
+ +
=
können wi das
P oblem e was allgemeine da s ellen.
Sei
:g
+ +
→
R R
eine 2-mal di e enzie ba e Funk ion mi
(0) 0, ( ) 0 ( ) 0g g x und g x ü alle x
+
′ ′′
> > < ∈
R
.
Fü
0
s
≥
sei
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich
- 50 -
(
)
( ): ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
s
g g s g s s g s sg s g s
′ ′ ′
= + − = − +
die Tangen e an die Funk ion
( )
x g x
֏
an de S elle s.
In Abhängigkei on de Funk ion g(x) de inie en wi S oppzei en:
in { : ( ) ( )}
W g
τ
= =
und ü
0 : in { : ( ) ( )}
s s
s W g
τ
≥ = =
.
τ
is de Zei punk , in dem de Wiene -P ozess e s malig den G aphen
( )
x g x
֏
i
und
τ
s
is de Zei punk , in dem de Wiene -P ozess e s malig den G aphen de Tangen-
en
( )
s
x g x
֏
i ; gl. Abb. 3-13.
Lemma 3-11
Is
c b
+
֏
eine Ge ade und is
(
)
(
)
0 0
( ) ( )
z
W z W
≥ ≥
= +
ein Wiene -P ozess, de
on
z
∈
R
aus s a e , so gil ü die Ve eilung de S oppzei
{
}
( )
: in : ( )
zz
W c b
τ
= = + :
( )
( )
2
3
( ) 2
exp 2
2
z
c z c z by
dy y dy
y
τπ
−
− − +
∈ = −
P. (Gl. 3-46)
Beweis ( gl. [Ka a zas/ Sh e e] S. 196 .)
A
BBILDUNG
3-13: Illus ua ion zum Lemma 3-10
Lebens e siche ung als kollek i e Spa p ozess Oska Goecke
- 51 -
Beme kungen
1.
( )
2
3
2
0
lim exp 0
2
2
y
c z c z by
yy
π
−
→
− − +
− =
.
2.
(
)
(
)
( ) ( )
( ) ü alle [0, ] 1
z z
W c b S S
τ
≤ + ∈ = − ≤
P P
( )
2
3
2
0
1 exp 2
2
S
c z c z bx
x dx
x
π
−
− − +
= − −
∫
(Gl. 3-47)
3. Wende man das obige Lemma ü
( ) ( ), ( ) 0
c g s s g s b g s und z
′ ′
= − = =
an, so
e häl man:
( ) ( )
2
3
2
( ) ( )( )
( ) ( ) exp 2
2
s
g s g s s y
g s s g s
dy y dy
y
τπ
−
′
− −
′
−
∈ = −
P (Gl. 3-48)
Zu Vo be ei ung au die nächs e P opos ion sei
:g
+ +
→
R R
eine 2-mal di e enzie ba-
e Funk ion mi
(0) 0, ( ) 0 ( ) 0g g x und g x ü alle x
+
′ ′′
> > < ∈
R
und ü
0
s
≥
sei
(
)
( ): ( ) ( )
s
g g s g s s
′
= + −
֏
die Tangen e an den G aph de Funk i-
on
( )
x g x
֏
an de S elle s. Fe ne se zen wi
( ): ( ) ( )
s
c x g x g s x
′
= −
.
( )
s
c x
können wi geome isch deu en als den den Schni punk mi de O dina en-Achse
de Ge aden, die pa allel zu Tangen e e läu und du ch den Punk
(
)
, ( )
x g x
e läu .
Insbesonde e gil
( ) (
)
)
(
s s
c s
g g s
+
′
=
.
Wie oben bezeichne
in { : ( ) ( )}
W g
τ
= =
den Zei punk des e s ens T e ens des
Wiene -P ozesses au die Funk ion g( ). Schließlich bezeichne
( )
u
ψ
die Dich e de Ve -
eilung de de S oppzei
τ
, also
( ) ( )
0 0
( )
x x
x du u du
τ τ ψ
≤ = ∈ =
∫ ∫
P P
.
Eine explizi e Fo mel ü die Dich e können wi nich he lei en, jedoch eine cha ak e i-
sie ende In e g algleichung.
P oposi ion 3-12
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich
- 52 -
De inie e die Funkionen
:[0, ]
s
F s →
R
und
{
}
2
: ( , ) :0
s
G x y x y s∈ ≤ < ≤ →
R R
( ) ( )
2 2
3 3
2 2
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ): exp exp
2 2
s
s
c s y g s g s g s s y
F y y y
y y
− −
′ ′
+ − −
= − = −
und
( )
( )
2
3
2
2
3
2
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( , ): ( ) exp
( ) 2( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) exp
( ) ( ) 2( )
s s
s s
s
s
s
s
c s c x g s y x
c s c x
G x y y x
c s y x
g x g x g s y x
g x g x y x
g s g s s y x
−
−
′
− + −
−
= − −
−
′
− + −
−
= − −
′
− −
.
Dann e üll
( )
x
ψ
die olgende Vol e asche In eg algleichung e s e A mi Ke n
( , )
s
G x y
:
0
( ) ( ) ( , )
y
s s
F y x G x y dx
ψ
=
∫
ü alle 0
y s
< ≤
(Gl. 3-49)
Beweis on P oposi ion 3.12
Wie oben de inie en wi die S oppzei en
in { : ( ) ( )}
W g
τ
= =
und ü
in { : ( ) ( )}
s s
W g
τ
= =
.
Da ü 0
y s
< ≤
( ) ( )
s
g y g y
≤
, olg
{ } { } { }
s s
y y y
τ τ τ
≤ = ≤ ∩ ≤
und somi
( ) ( ) ( )
0
, ( )
y
s s s
y y y y x x dx
τ τ τ τ τ ψ
≤ = ≤ ≤ = ≤ =
∫
P P P
.
Bezeichne
( )
( )
g x
W
einen in
( )
g x
s a enden Wiene -P ozess; wi be ach en die S opp-
zei
{
}
( )
ˆ
: in : ( ) ( )
g x s
W g x
τ
= = +
; dies is de Zei punk , zu dem ein Wiene -P ozess,
de im Punk g(x) s a e , die Ge ade
( )
s
g x
+
֏
i – gl. Abbildung 3-14.
Au g und de s a ken Ma ko -Eigenscha des Wiene -P ozesses gil ü 0
x y s
< ≤ ≤
(
)
(
)
ˆ
s
y x y x
τ τ τ
≤ = = ≤ −
P P
,
Lebens e siche ung als kollek i e Spa p ozess Oska Goecke
- 53 -
A
BBILDUNG
3-14: Die S oppzei en
ˆ
,
s
und
τ τ τ
.
Fü
( ) ( ) ( )
s
c x g x g s x
′
= −
olg mi Hil e on Lemma 3-10:
(
)
(
)
( )
2
3
2
0
ˆ
( ) ( ) ( )
( ) ( ) exp 2
2
s
y x
s
s
y x y x
g x g x g s u
g x g x
u du
u
τ τ τ
π
−−
≤ = = ≤ −
′
− +
−
= −
∫
P P
( )
2
3
2
0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) exp 2
2
y x
s s
s s
c s c x g s u
c s c x
u du
u
π
−−
′
− +
−
= −
∫
Somi olg :
( ) ( ) ( )
0
, ( )
y
s s s
y y y y x x dx
τ τ τ τ τ ψ
≤ = ≤ ≤ = ≤ =
∫
P P P
.
( )
2
3
2
0 0
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) exp 2
2
y y x
s s
s s
c s c x g s u
c s c x
x u du dx
u
ψπ
−−
′
− +
−
= −
∫ ∫
Ande e sei s gil :
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich
- 54 -
( )
( )
2
3
2
0
( ) ( )
( ) exp 2
2
y
s
s
s
c s u g s
c s
y u du
u
τπ
−
′
+
≤ = −
∫
P
.
Somi e üll die Funk ion
( )
x
ψ
ü alle 0
y s
≤ ≤
die In eg algleichung:
( )
( )
2
3
2
0 0
2
3
2
0
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) exp 2
2
( ) ( )
( ) exp 2
2
y y x
s s
s s
y
s
s
c s c x g s u
c s c x
x u du dx
u
c s u g s
c s u du
u
ψπ
π
−−
−
′
− +
−−
′
+
= −
∫ ∫
∫
Di e enzie man beide Sei en nach
y
, so e häl man:
( )
2
3
2
0 0
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) exp 2
2
y y x
s s
s s
c s c x g s
d c s c x
x d dx
dy
ψπ
−−
′
− +
−
−
∫ ∫
( )
( )
2
3
2
0
2
3
2
0
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) exp 2( )
2
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) lim exp 2
2
y
s s
s s
s s
s s
h
c s c x g s y x
c s c x
x y x dx
y x
c s c x g s h
c s c y
y h h
ψπ
ψπ
−
−
→
′
− + −
−
= − −
−
′
− +
−
+ ⋅ −
∫
( )
2
3
2
0
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) exp 2( )
2
y
s s
s s
c s c x g s y x
c s c x
x y x dx
y x
ψπ
−
′
− + −
−
= − −
−
∫
und
( ) ( )
2 2
3 3
2 2
0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
exp exp
2 2
2 2
y
s s
s s
c s u g s c s y g s
d c s c s
u du y
dy u y
π π
− −
′ ′
+ +
− = −
∫
Hie aus olg die Behaup ung.
Lebens e siche ung als kollek i e Spa p ozess Oska Goecke
- 61 -
( )
[
0
0, ]
exp( )
ˆ1 exp(
1
ˆ)
ˆ( )
s
T
TT
T
s dW
T
θ
ρ θ
σ
µ
−
= + − − −
−
+
∫
.
Insbesonde e is
( )
D
T
η
no mal e eil mi
( )
0
exp( )
1
ˆ
( ) ˆ
D
T
T
T
θ
η µ ρ
−
−
= +E und
( ) ( )
(
)
(
)
2
20
2 2
1 exp( ) 3 exp( )
ˆ
Va ( ) 1 exp( ( )) 1 .
ˆ
2
T
D
T T
T T s
T T T
σ σ θ θ
η θ θ
− − − −
= − − − = −
∫
Wi bes immen nun ü den Fall
0
a
≠
E wa ungswe und Va inaz on
( )
D
T
η
.
Mi den Bezeichnungen aus Abschni 3.2
[0, ]
:
s s
U X dW
=
∫
und
0
exp( )
: 1
s
s
X E ds
E
θ
τ θ
= + +
∫
ü
0
ˆ
:
ˆ
a
ρ
τ
σ
=
gil nach P oposi ion 3-4
(
)
0
ˆ ˆ
ˆ
( ) exp( )
U
ρ θ σ ρ
= − +
2 2
1
2
ˆ ˆ
ˆ
( ) ( ) ( ) ( )
b a
µ µ θ ρ ρ
= + − −
,
2 2
1
2
ˆ ˆ
ˆ
( ) ( ) ( )
b a
η µ ρ ρ
= + −
mi
2
1
2
ˆ ˆ ˆ
:
SR
µ µ σ σ
= + −
und
ˆ
: ( )
SR
b a
θ σ
= + −
.
Wi se zen abkü zend
0
exp( ) 1
ü 0
( ): exp( )
ü 0
J s ds
αα
α α α
α
−
≠
= =
=
∫
und
2
2
1
02
exp( ) 1
alls 0
( ): ( )
alls 0
s
J J ds
α α α
α
α α
α
− −
≠
= =
=
∫ .
P oposi ion 4-1
( )
2 2 20
ˆˆ
ˆ
( ) ( 2 )
2
D T
a
T J a Res e m
T
σ
η µ θ ρ
= − − +E
(Gl. 4-4)
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich
- 62 -
mi
2
2 2
0
2
2 2
0
2
2
:
a
ˆ ˆ
( ) ( 2 ) 2 ˆ
2
ˆ
2 1 exp( )
ˆexp( ) 1 2
lls
ˆ
alls .
SR
R
T
S
T
Res e m
a
J a a J a a
a
T a T a
a T
a a T a
a
T
θ θσ θ σ
θ ρ
θ θ
σ
σ
θ
ρθ
− −
+ + − +
− −
− − −
− + + −
=
≠
=
Beweis
Mi Hil e de Da s ellung aus P oposi ion 3-7 e hal en wi
(
)
(
)
2 2 2
10
2
ˆ
ˆ ˆ
( ) exp( 2 ) ( ) ...
a U
η µ σ θ ρ
= − − +
E E
Wegen
(
)
(
)
20
2
exp(2 ) 2 ...
ˆ
( )
U J a
θ θ ρ
+−=
E
olg
( ) ( )
2 2 2
0
0
0
ˆ
1ˆ
( ) ( ) ( 2 )
2ˆ
T T
D
Res
a
T J a
T
m
T
e
σ
η η µ θ ρ
= = − − +
∫ ∫
E E
Die Be echnung des Res e ms is ein ach, abe e was mühsam; es e gib sich
2 2
0
2 2
ˆ ˆ
( ) ( 2 ) 2
ˆ
2
T T
SR
J a a J a a
Res e m a a
T a T
θ θσ θ σ
θ ρ
θ θ
− −
= + + − +
− −
Beme kung:
Die e wa e en Rendi en s immen also bei ausgeglichene An angs ese e (d.h.
0
ˆ
0
ρ
=
)
übe ein; weich die An angs ese e alle dings on de Ziel ese e ab, so e gib sich bei
eine In es i ion in das Ve siche engu haben eine Zusa z endi e ( alls
0
ˆ
0
ρ
>
) bzw.
ein Minde endi e ( alls
0
ˆ
0
ρ
<
).
Falls
2
2
a
θ
>
, so gil
( )
2
2 2
ˆ
ˆ
lim (
)
2
)(2
D
T
a
T
a
σ
η µ θ
→∞
= − −
E
Wi d also die Risikoexposi ion jeweils an die Rese eposi ion (Ak ienquo e) angepass ,
so e gib ein eine ge inge e e wa e e Rendi e als bei eine einen LM-S a egie, bei de
nu die Dekla a ion an die Rese e angepass wi d. Hie bei is zu beach en, dass die
G enz e eilung on
(
)
( )
η
→∞
ü
0
a
≠
schie is .
Lebens e siche ung als kollek i e Spa p ozess Oska Goecke
- 63 -
P oposi ion 4-2
Is
0
a
=
, so gil
( )
(
)
(
)
2
1 exp( ) 3 exp( )
Va ( ) ˆ
1 .
2
D
T T
TT T
θ θ
ησ
θ
− − − −
= −
(Gl. 4-5)
Is
0
a
≠
, so gil
( )
4 4 2 2
2 2
0 0
ˆ
2
Va ( ) ( , ) ( 2 )
4
T
D
a
T h s dsd J a
T T
σ
η θ
= − −
∫∫
(Gl. 4-6)
mi
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
2 2 2 2 3
2 2
( ) ( ) ( ) ( )
( , ): ( ) ( ) ( ) ( )
s s s
s s
s U U U U s g U
h s g s U U g s g U
− +
=+ +
E E E E
E E
und
(
)
2 2 2
10
2
ˆ
ˆ ˆ
( ) exp( 2 ) und ( ) exp( ) exp( )
a g b a
σ θ σ θ ρ θ
= − − = − − −
.
Beweis
Wi se zen
(
)
( ): ( ) ( )
η η η
= −
E
,
(
)
2 2
:
U U U
= −
E
, dann gil ( gl. P oposi ion 3-7):
( ) ( ) ( )
U g U
η
= +
( ) ( )
( )
(
)
( )
2
2
2 2
0 0 0
Va ( ) ( ) ( )
1 2
( ) ( ) ( )
D D D
T T
T T T
d s dsd
T T
η η η
η η η
= −
= =
∫ ∫∫
E E
E E
Fü
s
≤
olg dann
(
)
(
)
(
)
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
s s
s s
s s U U s g U U
g s U U g s g U U
η η
= +
+ +
E E E
E E
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
2 2 2 2 3
2 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
s s s
s s
s U U U U s g U
g s U U g s g U
= − +
+ +
E E E E
E E
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich
- 64 -
Mi Hil e de Gleichungen in P äposi ion 4-2 läss sich somi
(
)
Va ( )
D
T
η
explizi da -
s ellen. Das Doppelin eg al kann explizi ausge echne we den, da
( , )
h s
als Polynom
de A gumen e
exp( )
s
und
exp( )
da ges ell we den kann.
Das Rendi e-Risiko-P o il
Wi wollen nun das Anlage isiko und die zu e wa ende Rendi e mi einande in Bezie-
hung se zen.
In unse em ein achen Kapi alanlagemodell ( gl. Abschni 2.2) e gib sich bei eine
Cons an -Mix-S a egie bei eine Anlage om Be age 1 und eine Lau zei on T ein
End e mögen on
ˆ ˆ
( ) exp( )
T
P T T W
µ σ
= +
, wobei
2
1
2
ˆ ˆ ˆ
:
SR
µ µ σ σ
= + −
.
Hie bei is
ˆ
0
σ
≥
die gewähl e Risikoexposi ion. Die e wa e e (Jah es-)Rendi e be äg
dann
( )
2
1
2
1
ˆ ˆ ˆ
ln ( )
SR
P T
T
µ µ σ σ
= = + −
E
,
und die annualisie e Vola i ä de Rendi e be äg
( )
1
ˆ
Va ln ( )T P T
T
σ
=
.
Die e wa e e Rendi e und die annualisie e Vola ili ä s ehen also unabhängig on de
Lau zei in einem es en unk ionalen Zusammenhang ( gl. Abb 2-5).
Wi e gleichen nun die Cons an - Mix- S a egie mi eine Anlage in das Ve siche en-
gu haben. Hie bei wollen wi in unse em linea en Modell zunächs eine eine LM-
S a egie (d.h.
0
a
=
) be ach en.
Die e wa e e Rendi e bei eine Anlage on 1 be äg dann
( ) ( )
0
1 1 exp( )
ˆ
ˆ
ln ( ) ( )
D
T
V T T
T T
θ
η µ ρ
− −
= = +
E E
,
und die annualisie e Vola ili ä
( ) ( )
1ˆ
Va ln ( ) Va ( ) ( , )
D
T V T T T g T
T
η σ θ
= =
Lebens e siche ung als kollek i e Spa p ozess Oska Goecke
- 65 -
mi
( )( )
1 exp( ) 3 exp( )
( , ): 1 2
T T
g T T
θ θ
θθ
− − − −
= −
ü
0
T
θ
≠
und
( , ): 0
g T
θ
=
ü
0
T
θ
=
.
( , )
g T
θ
können wi als Dämp ung ak o in e p e ie en, denn e gib an, in welchem
Ve häl nis die Vola ili ä de Ablau endi e du ch die Zwischenschal ung de kollek i-
en Rese e geminde wi d. Zu Beginn de Ve agslau zei (d.h. bei hohe Res lau -
zei T ) is de Dämp ungse ek ge ing, denn es gil ü
0
θ
>
:
lim ( , ) 1
T
g T
θ
→∞
=
. Mi
o sch ei ende Ve agsdaue bzw. sinkende Res lau zei nimm de Dämp ungse ek
zu, denn es gil
0
lim ( , ) 0
T
g T
θ
→
=
. Aus Sich eines Al e s o so gespa e s is dies ein seh
e wünsch e E ek , da mi nähe ückendem Ren enbeginn das Siche hei sbedü nis zu-
nimm .
A
BBILDUNG
4 -1: Dämp ungse ek bezogen au die Ablau endi e in Abhängig-
kei on de Res lau zei des Ve ages; a=0,
ˆ
10%
σ
=
,
0
ˆ
0
ρ
=
,
{0.1,0.2,...,0.5}
θ
∈
In den olgenden Abbildungen wollen wi das Rendi e-Risiko-P o il im
( , )
σ µ
-
Diag amm illus ie en:
σ
s eh hie bei ü das Risiko de Anlage, gemessen als
annualie e Vola ili ä und
µ
s eh ü die e wa e e Rendi e, gemessen als s e ige Jah-
eszins. Als Re e enzku e dien die a bi age eie Kapi alma k ku e ( gl. Abschni
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich
- 66 -
2.2); sie en sp ich dem Rendi e-Risiko-P o il des In es men s mi eine Cons an -Mix-
S a egie, bei de zu jedem Zei punk die Ak ienquo e (bezogen au die ak uellen
Ma k we e) kons an sind.
Wenn wi eine eine LM-S a egie un e s ellen (a = 0; das Po olio isiko wi d nich an-
gepass ), so is
( )
D
T
η
no mal e eil ; dies bedeu e , dass wi die Risikop o ile mi ei-
nande e gleichen können.
Die Abbildung 4.2. zeig die Wi kung des Glä ungs ak o s
θ
au das Rendi e-Risiko-
P o il; bei einem nied igen We ü
θ
ände sich die Dekla a ion nu seh äge. Al-
le dings is zu beach en, dass ü nied ige We e o
θ
auch die Ruinwah scheinlichkei
zunimm .
A
BBILDUNG
4 -2: Rendi e-Risiko-P o il, LM-S a egie (a = 0), T = 5 und
{0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5}
θ
∈
.
Lebens e siche ung als kollek i e Spa p ozess Oska Goecke
- 67 -
A
BBILDUNG
4 -3: Rendi e-Risiko-P o il, LM-S a egie (a= 0)
0.4
θ
=
und
{1, 2,5,10,30}
T
∈
.
In Abbildung 4.3 is die Abhängigkei des Rendi e-Risiko-P o ils om Anlageho izon T
da ges ell ; ü einen langen Anlageho zion is de Glä ungse ek bezogen au die
Rendi e schwach.
In den obigen Da s ellungen wu de un e s ell , dass
0
a
=
und
0
ˆ
0
ρ
=
. Wi un e suchen
nun den E ek de Pa ame e
a
und
0
ˆ
ρ
au das Rendi e-Risikop o il. Fü
0
a
≠
is al-
le dings zu beach en, dass die
( )
D
T
η
nich no mal e eil is und somi das hie da ge-
s ell e Rendi -Risiko-P o il nu beding geeigne is , den Zusammenhang on Rendi e
und Risiko zu e gleichen.
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich
- 68 -
A
BBILDUNG
4 -4: Rendi e-Risiko-P o il,
0.4
θ
=
,
5
T
=
,
0
ˆ
0
ρ
=
und
{0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4}
a
∈
.
A
BBILDUNG
4 -5: Rendi e-Risiko-P o il,
0.4
θ
=
,
20
T
=
,
0
a
=
und
0
ˆ
{ 0.1, 0.05, 0, 0.05, 0.1}
ρ
∈ − −
.
Lebens e siche ung als kollek i e Spa p ozess Oska Goecke
- 69 -
4.2 Anlege s ess wäh end de Ve agslau zei
Im le z en Abschni haben wi das Anlage isiko au die Rendi e bei Ablau des Ve a-
ges (d.h. zu Beginn de Ren enbezugs) un e such . Implizi wi d also un e s ell , dass
de Al e s o so gespa e ausschließlich au den Zei punk des Ablau s des Ve ages
okussie is .
Wi wollen nun den Anlege s ess wäh end de Ve agslau zei analysie en. Hie zu
e gleichen wi die Cons an -Mix-S a egie mi de Vola ili ä eine Anlage in das Ve -
siche enpo olio
(
)
0
( )
T
V
≤ ≤
.
De We p ozess
(
)
(
)
0 0
ˆ
( ) ( , )
P P
σ
≥ ≥
=
eine Cons an -Mix-S a egie mi de gleich-
bleibenden Risikoexposi ion
ˆ
σ
wi d im Black-Scholes-Modell du ch die olgende
SDG besch ieben:
(
)
ˆ ˆ
( ) ( )
dP P d dW
µ σ
= +
(mi D i
2
1
2
ˆ ˆ ˆ
:
SR
µ µ σ σ
= + −
).
ˆ
σ
können wi also als den (gleichbleibenden) Anlege s ess in e p e ie en.
Im Ve gleich hie zu is de We p ozess
(
)
0
( )
T
V
≤ ≤
lokal siche , also s ess ei, denn
( ) ( ) ( )
dV V d
η
=
.
Gleichwohl handel es sich lang is ig nich um eine siche e Anlage, denn wegen
ˆ
( ) ( ) ( )
η µ θρ
= +
üh eine schwankende Rese e zu schwankenden Dekla a ionen.
Die olgende Abbildung 4-6 soll zunächs den „Glä ungsp ozess“ illus ie en: Be ach-
e wi d die We en wicklung eine Einmalanlage om Be ag 1. Is de Spa e unmi el-
ba am Anlagee olg be eilig , so üh en We schwankungen am Kapi alma k unmi el-
ba zu gleichge ich e en We ände ungen des Spa kapi als. In es ie de Spa e hinge-
gen in das Ve siche engu haben, so we den We schwankungen du ch Einschal ung de
kollek i en Rese e dedämp – die We en wickung e olg dahe gleichmäßig.
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich
- 70 -
A
BBILDUNG
4 -6: Illus a ion des Glä ungse ek s; un e s ell wi d das linea e
Modell mi
0
ˆ
ˆ
3%, 0.25, 0.4, 0, 0.2, 0
SR
a
µ θ σ ρ
= = = = = =
Wi wollen zunächs ein sinn olles Schwankungsmaß ü den Dekla a ionsp ozess
(
)
( )
η
de inie en.
Wi se zen
( )
( ) ( )
22 2
0 0
1 1
( ): ( ) ( ) ( ) ( )
T T
D D
S ess T T d d T
T T
η η η η η
= − = −
∫ ∫
E E E
. (Gl. 4-7)
( )
S ess T
η
is das s e ige Analogon zu S anda dabweichung eine s ochas ischen Zei -
eihe;
( ) 0
S ess T
η
=
genau dann wenn
( )
η
.s. kons an is .
( )
S ess T
η
is also ein
sinn olles Schwankungsmaß ü den Dekla a ionsp ozess.
Beme kung:
Dieses Schwankungsmaß kann nich ohne wei e es au die Anlage in ein Cons an -Mix-
Po olio übe agen we den, da man nich sinn oll eine momen ane Ve zinsung de inie-
en, sonde n jeweils nu ü einen Zei abschni
0
∆>
die (annualisie e) Rendi e be-
s immen kann:
( )
ˆ
1 ( ) ˆ
( ) ln ( )
P
x W W
P
σ
µ
∆ −∆
= = + −
∆ − ∆ ∆
, (Gl. 4-8)
Lebens e siche ung als kollek i e Spa p ozess Oska Goecke
- 77 -
( )
( )
( )
2
2
0
2
2
2
2
3 2 (1 2 ) exp( ) 1 3 2 2
4exp( ) 4exp( ( ))
( )
ˆ
2 1 e exp( 2 ) 1
exp (2 ) 1 2exp( )
1 exp(
1 exp
p( )
ˆ( )
x
T T T
T T T
T
T T T
T T
T
T
T
VS ess T
T
θ θ
σ
θ θ
θ θ θ θ θ
θ θ
ρθ
∆
− + + − ∆ − − +
∆ ∆ ∆
=
+ ∆
− − − − − ∆ + − −
∆
+ − − ∆ + + −∆
∆ ∆
+ −
− −
+
( )( )
( )
) exp( ) 1 1 exp( )
1 exp( )
TT
T
θ θ θ
θ
∆ − − −
−
∆ + ∆
(Gl. 4-14)
( )
( )
22
2
0
ˆ1 exp( ) 1 exp( 2 )
2 1 1 1
2 2
1 exp( ) 1 exp( )
ˆ2
2
( ) T T
T
T T T
T T
T
S ess T
T T
σ θ θ θ
θ θ
θ θ
ρ θ
η
θ
=
− − − −
− − −
+
− − − −
− + −
(Gl. 4-15)
( )
2
2
ˆ
lim ( )
1 exp( )
1
T
VS ess T
σ
θ
θ
∆
→∞
=∆
− −∆
−
∆
(Gl. 4-16)
( )
2
2
l m
2
i
ˆ
( )
T
S ess T
θ
ησ
→∞
= (Gl. 4-17)
Be echnung des Glä ungse ek s
Geh man da on aus, dass de Anlege nu einmal jäh lich die Pe o mance seine Kapi-
alanlage übe p ü , so we den wi
1
∆=
se zen.
Wi se zen
( ) ( )
2 2
0
0
( ) 1 1
ˆ
( , , , ): ( ) ( )
ˆ
( )
T
D
S ess T T
g a T d T
PS ess T T T
η
θ ρ η η
σ
∆
∆
∆
= = −
− ∆
∫
E E
; (Gl. 4-18)
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich
- 78 -
24 3 2
2 2 2 2 2 2
ˆ ˆ
.
2 ( ) (2
( )
ˆ
( , , ): li
) 3
m(
2 )
)
(
T
SR
a
S ess T
g a P
a
a
a a a a
S es T
a
s
θσ θ σ
θ
θ θ
η
θ
θ
θ
σ
θ
∆→∞ ∆
∆
+ − +
− − −
=−
=
−
(Gl. 4-19)
Hie bei is zu beach en, dass
0
ˆ
( , , , )
g a T
θ ρ
∆
im Allgemeinen auch on de Sha pe-Ra io
SR
abhäng . Im Fall a=0 gil :
( )
0
2 2
2
0
exp( 2 )(2 ) 8exp(
ˆ
( 0
) 6 5 2
ˆ
4 (
,
)
, , )g
T T T
a T
T T
A
T T
θ θ θ θ
θ
θρ
θ
ρ
∆
∆ − + − − + +
− ∆
=
− +
=
; (Gl. 4-20)
wobei
(
)
(
)
2
1 exp( ) exp( )(2 ) 2
:ˆ2 ( )
T T T T
AT T
θ θ θ θ
σ
− − − + + −
∆
=− ∆
Wi können
ˆ
( , , , , )
SR
g a T
θ ρ
∆
bzw.
( , , )
SR
g a
θ
∆
als S ess eduk ions-Fak o in e p e ie-
en; de Fak o gib an, um wie iel P ozen de S ess du ch den kollek i en Risikoaus-
gleich geminde wi d.
Hie bei is zu beach en, dass die a sächliche S ess eduk ion du ch den Glä ungsme-
chanismus noch e was s ä ke is , denn es gil ü
T
∆ <
.
0
( ) ( ) ˆ
( , , , )
( ) ( )
VS ess T S ess T
g a T
PS ess T PS ess T
η
θ ρ
∆∆
∆ ∆
< =
; (Gl. 4-21)
Fü die nume ische Auswe ung wollen wi nunmeh s e s
1
∆ =
un e s ellen.
Als Re e enzmodell wählen wi :
0
ˆ
0.25, 0, 0, 0.4, 30
SR
a T
ρ θ
= = = = =
; dann gil
( )( )
1
12
0
1 exp( ) 3 exp( ) exp( 2 ) 5
ˆ
( 0, , 0, 2
2( 1) 2 1
)( )
T T
T T
T
gT
TT
a
θ
θ ρ θ
θ θ
θ
− − − − − − +
−
= = + −
=
und
1 0
ˆ
( 0, , 0)
2
g a
θ ρ
θ
= ==
Wi be ach en zunächs die Abhängigkei on de Lau zei T des Ve ages – gl.
Abb. 4-8. Bei ku zen Ve agsdaue n is de s ess eduzie ende E ek besonde s ausge-
p äg
Lebens e siche ung als kollek i e Spa p ozess Oska Goecke
- 79 -
A
BBILDUNG
4 -8: S ess eduk ion im linea e Modell: S ess eduk ion in Abhän-
gigkei on T (
0
ˆ
0; 0.4; 0
a
θ ρ
= = =
).
Abbildung 4 -9: S ess eduk ion im linea e Modell: S ess eduk ion in Abhängig-
kei on
θ
(
0
ˆ
0; 0; 30 .a T bzw T
ρ
= = = = ∞
)
0
ˆ
( , , , )
g a T
θ ρ
=∞
0
ˆ
( , , , )
g a T
θ ρ
Lau zei
T
0
ˆ
( , , , )
g a T
θ ρ
=∞
0
ˆ
( , , , )
g a T
θ ρ
Anpassungsgeschwindikei
θ
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich
- 80 -
A
BBILDUNG
4 -10: S ess eduk ion im linea e Modell: S ess eduk ion in Abhän-
gigkei on a ü
0.25
SR
=
bzw.
0.35
SR
=
(
0
ˆ
0.4; 0; 30 .T bzw T
θ ρ
= = = = ∞
)
Rendi e-Risiko-P o il
Wi wollen abschließend noch das Risikop o il eine Cons an -Mix-Anlage mi de An-
lage in einen kollek i en Spa p ozess e gleichen. Als Risikokennzahl wählen wi hie
den oben de inie en Anlege s ess, wobei wi als Beobach ungsin e all
1
∆ =
wählen.
Dies bedeu e , dass de Anlege einmal p o Jah seine Kapi alanlage übe p ü .
Im Folgenden gehen wi on eine Einmalanlage om Be age 1 und einem es en An-
lageho izon T aus. Dann e gib sich ü eine Cons an -Mix-Anlage mi gleichbleibende
Risikoexposi ion
ˆ
0
σ
>
ein End e mögen on
( )
P T
und eine e wa e e Rendi e on
( )
2
1
2
1
ˆ ˆ ˆ
ln ( )
SR
P T
T
µ µ σ σ
= = + −
E
,
und ein einen Anlege s ess on
1
1 1 1
ˆ ˆ
( ) T
PS ess T
T T
σ σ
∆=
−
= − =
∆
.
Du chläu nun
ˆ
σ
das In e all
[0, ]
M
σ
, so können wi
0
ˆ
( , , , 30), 0.25
SR
g a T
θ ρ
= =
0
ˆ
( , , , ), 0.25
SR
g a T
θ ρ
= ∞ =
0
ˆ
( , , , ), 0.35
SR
g a T
θ ρ
= ∞ =
0
ˆ
( , , , 30), 0.35
SR
g a T
θ ρ
= =
a
Lebens e siche ung als kollek i e Spa p ozess Oska Goecke
- 81 -
2
1
2
ˆ
0
1
ˆ ˆ ˆ
,
M
SR
T
T
σ σ
σ µ σ σ
≤ ≤
−+ −
als das Rendi e-Risiko-P o il eine Cons an -Mix-Anlage in e p e ie en. Bis au den
Fak o
1
T
T
−
en sp ich das Rendi e-Risiko-P o il dem „Anlageuni e sum“ im hie
un e s ellen ein achen Kapi alma k modell ( gl. Abbildung 2-4). Be ach e man die
Kapi alma k pa ame e
µ
(siche e Zins) und
SR
(Sha pe-Ra io) als gegeben, so häng
das Rendi e-Risikop o il lediglich on
ˆ
σ
und T ab.
Bei eine Anlage in ein kollek i es Spa e mögen e gib sich im linea en Modell eine
e wa e e Rendi e on ( gl. P oposi ion 4-1)
( )
(
)
2 2
2 2
0
2
exp ( 2 ) 1 ( 2 )
ˆˆ
ˆ
( ) 2 2
D
a a
a
T Res e m
T a
θ θ
σ
η µ ρ
θ
− − − −
= − + ⋅
−
E
und einen Anlege s ess on
( )
2
0
1
( ) ( ) ( )
T
D
S ess T T d
T
η η η
= −
∫
E
. (Gl. 4-22)
Das Rendi e-Risiko-P o il
(
)
(
)
ˆ
0
( ), ( )
M
D
S ess T T
σ σ
η η
≤ ≤
E
on Kapi alma k pa ame e n
siche e Zins (
µ
) und de Sha pe-Ra io (
SR
), dem Anlageho izon (T), de Risikoex-
posi ion
ˆ
σ
, dem Rese epu e zu Beginn (
0
ˆ
ρ
) und den S eue ungspa ame e n
a
und
θ
ab.
Bei unse en Ve gleichs echnungen un e s ellen wi olgendes Basisszena io:
µ
= 0.03
SR
= 0.25
M
σ
= 0.2
T
= 30
∆
= 1
0
ˆ
ρ
= 0
θ
= 0.4
a
= 0
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich
- 82 -
A
BBILDUNG
4 -11: Rendi e-Risiko-P o il: Ve gleich Cons an -Mix-Po olio s.
Kollek i -Spa en; Basisszena io (
0
a
=
) mi e schiedenen
θ
-We en.
A
BBILDUNG
4 -12: Rendi e-Risiko-P o il: Ve gleich Cons an -Mix-Po olio s.
Kollek i -Spa en; Basisszena io (
0.4
θ
=
) mi e schiedenen a-We en.
Risiko: PS ess/
S ess
η
Cons an -Mix
0.6
θ
=
0.4
θ
=
0.2
θ
=
Risiko: PS ess/
S ess
η
Cons an -Mix
a
= 0.4
a
= 0.2
a
= 0
Lebens e siche ung als kollek i e Spa p ozess Oska Goecke
- 83 -
A
BBILDUNG
4 -13: Rendi e-Risiko-P o il: Ve gleich Cons an -Mix-Po olio s.
Kollek i -Spa en; Basisszena io (
0, 0.4
a
θ
= =
) mi e schiedenen We e ü den
an änglichen Rese epu e
0
ˆ
ρ
.
Die obigen Abbildungen e deu lichen nochmals den Nu zen eines kollek i en Spa p o-
zesses in Bezug au das Rendi e-Risiko-Ve häl nis. S ell man wie hie au den Anlege -
s ess ab, so wi d de Vo eil des kollek i en Spa ens noch deu liche als wenn man wie
in Abschni 4.1 lediglich au die Vola ili ä de Ablau endi e abs ell .
Risiko: PS ess/
S ess
η
Cons an -Mix
0
ˆ
ρ
= + 0.1
0
ˆ
ρ
= 0
0
ˆ
ρ
= - 0.1
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich
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