Ausgleichsrechnungen mit Gauß Markow Modellen am Beispiel eines fiktiven Stornobestandes

Fo schung am IVW Köln, 8/2014
Ins i u ü Ve siche ungswesen
Ausgleichs echnungen mi
Gauß Ma kow Modellen am Beispiel
eines ik i en S o nobes andes
Ma ia Heep-Al ine , Philipp Münchow,
Vanessa Scuzza ello
Fo schung am IVW Köln, 8
/
2014 Wählen Sie ein Elemen aus.
Ma ia Heep-Al ine , Philipp Münchow, Vanessa Scuzza ello
Fo schungss elle FaRis
Ausgleichs echnungen mi Gauß Ma kow Modellen am Beispiel
eines ik i en S o nobes andes
Zusammen assung
Die linea e Reg ession is das bekann es e Ve ah en zu Fehle ausgleichung, welches ela i ein ach
umgese z we den kann. Ve allgemeine e linea e Modelle sind eine zweckmäßige E wei e ung dieses
Ve ah ens, können abe au g und ih e hohen Komplexi ä i. d. R. nu mi spezielle So wa e ge echne
we den. Aus diesem G und wi d in diese A bei anhand eines ik i en S o no-bes andes illus ie , wie man
Ausgleichs echnungen auch mi Hil e on Gauß Ma kow Modellen du ch üh en kann, die mi els EXCEL und
Visual Basic eben alls noch e gleichsweise ein ach umse zba sind.
Abs ac
Linea Reg ession is a well-known algo i hm o e o calib a ion being ela i ely easy o execu e.
Gene alized linea models de ine a sui able enla gemen o his algo i hm. No mally, hey can only be
pe o med wi h special so wa e packages acco ding o hei high complexi y. The e o e, i will be
illus a ed in his pape how o ca y ou an e o equaliza ion o i ual lapse da a by Gauss Ma ko models
being ela i ely easy o implemen in EXCEL and Visual Basic.
Schlagwö e :
Ausgleichs e ah en, Gauß Ma kow Modelle, S o noanalyse, Ve siche ungsma hema ik, Ve siche ungswissenscha
Inhal s e zeichnis
1VORBEMERKUNGEN ................................................................................................................................ 1
1.1ALLGEMEINER ANSATZ EINER LINEAREN REGRESSION .......................................................................... 1
1.2GEWICHTETE MODELLE .......................................................................................................................... 2
1.3MULTIPLIKATIVE MODELLE .................................................................................................................... 2
1.4CREDIBILITY MODELLE ........................................................................................................................... 3
2GAUß MARKOW MODELLE ................................................................................................................... 4
2.1ALLGEMEINER ANSATZ EINES GAUß MARKOW MODELLS ................................................................... 4
2.2GEWICHTETE MODELLE .......................................................................................................................... 5
2.3QUALITATIVE MERKMALE ....................................................................................................................... 6 
2.3.1Addi i e Modellansa z ......................................................................................................... 7
2.3.2Mul iplika i e Modellansa z ............................................................................................... 7
2.4TECHNISCHE UMSETZUNG MIT HILFE DER CHOLESKY ZERLEGUNG ..................................................... 7
3BERECHNUNGSBEISPIEL ......................................................................................................................... 9
3.1AUFBEREITUNG DER AUSGANGSDATEN ................................................................................................ 9
3.2KONZEPTION DES MODELLAUFBAUS .................................................................................................. 10
3.3ERMITTLUNG DES OPTIMALEN PARAMETERVEKTORS .......................................................................... 12
3.4ERMITTLUNG DER AUSGLEICHSWERTE ................................................................................................. 13
4MODELLVERGLEICHE ............................................................................................................................ 17
4.1GEWICHTETES ADDITIVES MODELL ...................................................................................................... 17
4.2UNGEWICHTETES ADDITIVES MODELL ................................................................................................. 19
4.3GEWICHTETES MULTIPLIKATIVES MODELL ........................................................................................... 21
4.4UNGEWICHTETES MULTIPLIKATIVES MODELL ..................................................................................... 24
5FAZIT ........................................................................................................................................................... 27
LITERATURVERZEICHNIS .............................................................................................................................. 29
ABBILDUNGSVERZEICHNIS ......................................................................................................................... 30
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1 Vo beme kungen
Die linea e Reg ession is das bekann es e Ve ah en zu Fehle ausgleichung, welches ela i
ein ach umgese z we den kann. Ve allgemeine e linea e Modelle sind eine zweckmäßige
E wei e ung dieses Ve ah ens, können abe au g und ih e hohen Komplexi ä i. d. R. nu
mi spezielle So wa e ge echne we den. Aus diesem G und wi d in diese A bei anhand
eines ik i en S o nobes andes illus ie , wie man Ausgleichs echnungen auch mi Hil e on
Gauß Ma kow Modellen du ch üh en kann, die mi els EXCEL und Visual Basic noch e -
gleichsweise ein ach umse zba sind.
1.1 Allgemeine Ansa z eine linea en Reg ession
Die allgemeine Idee bei eine linea en Reg ession bes eh da in, dass man du ch eine Da-
enmenge die (bzgl. eines geeigne en Beu eilungsk i e iums) bes mögliche Ge ade leg .
Dazu be ach e man zunächs einmal die Gleichungssys eme
Y
1 = a + b · X1 + ε1
Y2 = a + b · X2 + ε2
…
Yn = a + b · Xn + εn
mi Y = (Y1, Y2, …, Yn) Realisa ionen eine Beobach ungs a iablen, X = (X1, X2, …, Xn) Realisa-
ionen eine E klä ungs a iablen und ε = (ε1, ε2, …, εn) Realisa ionen eine Fehle a iablen.
Gesuch we den Pa ame e (a, b) de a , dass die Fehle quad a e
S(a, b) = ∑ i (Yi – (a + b · Xi))2
minimal we den. Be ach e man die Nulls ellen de pa iellen Ablei ungen (∂/∂a) S und
(∂/∂b) S, so e häl man die Bedingungen
-2 · ∑
i (Yi – (a + b · Xi)) = 0  a = E[Y] – b · E[X]
-2 · ∑ i (Yi – (a + b · Xi)) · Xi = 0  b = COV[X, Y] / VAR[X]
mi
E[Y] = 1/n · ∑ i Yi
E[X] = 1/n · ∑ i Xi
COV[X, Y] = E[(X – E[X]) · (Y – E[Y])]
VAR[X] = COV[X, X] = E[(X – E[X])2].
Die so e mi el en Pa ame e (a, b) de inie en eine Ge ade du ch die Da en de a , dass das
a i hme ische Mi el des Fehle s null und die Fehle a ianz minimal is . Die Quali ä de line-
a en Reg ession kann du ch den Ko ela ionskoe izien en
- 2 -
ρ
X, Y = COV[X, Y] /(VAR[X] · VAR[Y])0,5
gemessen we den. Das Bes imm hei smaß ρ2 gib dabei an, wie iel P ozen de Va ianz de
Beobach ungswe e du ch das Modell e klä we den, wobei insbesonde e gil :
VAR[ε] = (1 – ρ2) · VAR[Y].
Die so e mi el e Ge ade is im Hinblick au das gewähl e Op imie ungsk i e ium die bes -
mögliche Wahl. Das bedeu e abe nich , dass eine Ausgleichung du ch eine Ge ade das
bes e Ve ah en da s ell , da es mögliche weise ande e als linea e Zusammenhänge gib .
Man muss also in jedem Fall die S uk u de Fehle analysie en und übe p ü en, ob die An-
nahme eines linea en Zusammenhangs plausibel is .
Es gib meh e e ela i simple Ve allgemeine ungen dieses ein achen Ansa zes, die nach ol-
gend ku z e läu e we den.
1.2 Gewich e e Modelle
In dem zu o e läu e en Modell gehen alle Da en mi gleichem Gewich 1/n in die Fehle -
ausgleichung ein. Häu ig ha man jedoch Gewich ungen (w1, w2, …, wn), d. h. manche Da-
enpunk e haben ein höhe es Gewich als ande e, so dass eine gu e Ausgleichung in diesen
Punk en wich ige is als in ande en Punk en.
In diesem Fall is es zweckmäßig, nich die Fehle quad a e S(a, b), sonde n die gewich e en
Fehle quad a e
S(a, b, w) = ∑ i wi · (Yi – (a + b · Xi))2
zu minimie en. Man e häl konzep ionell die gleichen Lösungen – alle dings mi den a i h-
me ischen Mi eln, Va ianzen und Ko a ianzen bezüglich de au Eins no mie en Gewich e.
1.3 Mul iplika i e Modelle
Be ach e man ans elle on Y1, Y2, …, Yn und X1, X2, …, Xn die loga i hmie en We e LN(Y1),
LN(Y2), …, LN(Yn) und LN(X1), LN(X2), …, LN(Xn), dann e gib sich nach Re-T ans o ma ion
de linea en Reg essionsge ade ein mul iplika i e Zusammenhang
Y
i = a* · (Xi)b · ε*i
In diesem Fall is nich meh die Summe des e- ans o mie en Fehle s ε* null, sonde n das
P oduk is gleich Eins. Somi s imm auch nich das a i hme ische Mi el de Beobach un-
gen mi dem a i hme ischen Mi el de modellie en We e übe ein, sonde n mi dem geo-
me ischen Mi el. Bei Anwendungen on Gewich en e gib sich hie en sp echend das ge-
wich e e geome ische Mi el.
Loga i hmie man nu die Beobach ungen, dann e häl man einen exponen iellen Model-
lansa z
Y
i = a* · (b*)Xi · ε*i

- 3 -
Diese Modellansa z eigne sich gu bei Zei eihenanalysen, wo die e klä ende Va iable ein
Zei pa ame e is , d. h. man ha dann mi
Y = a* · (b*) · ε*
den klassischen Ansa z ü mul iplika i e Zei ends.
1.4 C edibili y Modelle
Bei manchen Zei eihen is de bes mögliche addi i e ode mul iplika i e T end u. U. zu
s a k, so dass man – insbesonde e bei seh kleinem Bes imm hei smaß – ü eine gu e P og-
nose in die Zukun nich da au e auen soll e. In diesem Fall kann man als P ognosewe
den sogenann en C edibili y We CW
CW = ρ2 · RW + (1 – ρ2) · EW,
RW de Reg essionswe und EW de E wa ungswe anse zen, wobei diese Schä ze dann
keine minimale Fehle a ianz ha . Dennoch ha de Schä ze ande e e nün ige Eigenscha -
en:
- E is e wa ungs eu.
- E ha eine maximal 25% höhe e Fehle a ianz als de Reg essionsschä ze .
- Bei kleinem Bes imm hei smaß s imm e as mi dem E wa ungswe übe ein.
- Bei hohem Bes imm hei smaß s imm e as mi dem Reg essionswe übe ein.
Diese Schä zwe is somi ein gu e Komp omiss zwischen dem E wa ungswe und dem
Reg essionswe als Schä ze .
Im olgenden Abschni wi d e läu e , wie man du ch Gauß Ma kow Modelle wei e e Ve -
allgemeine ungen de linea en Reg ession e hal en kann.
- 4 -
2 Gauß Ma kow Modelle
In diesem Abschni wi d zunächs de allgemeine Gauß Ma kow Ansa z ku z e läu e (siehe
hie zu auch [1]), wobei im Anschluss illus ie wi d, wie man mi Hil e geeigne e T ans o -
ma ionen des Modells auch Gewich ungen mi einbeziehen kann. Dies is ge ade bei e si-
che ungsma hema ischen Analysen seh zweckmäßig, da es hie häu ig na ü liche Gewich-
ungen du ch P ämien, Jah eseinhei en, Exposu es (wie e wa Ve siche ungssummen) ode
Schadenanzahlen gib .
2.1 Allgemeine Ansa z eines Gauß Ma kow Modells
Die zu o e läu e e linea e Reg ession kann auch als Y = X · β + ε mi einem Beobach ungs-
ek o Y, eine (n x m) Designma ix X, einem Pa ame e ek o β und einem Fehle ek o ε
da ges ell we den, wobei ü die Designma ix
1 X1
X = … …
1 Xn
und ü den Pa ame e ek o β = (a, b) gil . In eine konsequen en Ma ixsch eibweise gil
ü die Quad a e de Fehle die Da s ellung
S(β) =
(Y – X · β) · (Y – X · β)
= (
Y · Y – 2 · β · X · Y + β · X · X · β)
Fü den Vek o de e s en pa iellen Ablei ungen (∂/∂β) S gil dann die Beziehung
(∂/∂β) S = -2 · ( X · Y – X · X · β) = 0,
wo aus dann ü das Minimum die Gleichung
X · X · β = X · Y
bzw. ü den geschä z en (bes en) Pa ame e ek o
β° = ( X · X)-1 · ( X · Y)
olg , so e n die Ma ix X Maximal ang ha . Aus diese Gleichung e häl man so o eine Be-
ziehung
X · (Y – X · β°) = X · ε = 0.
So e n also die Designma ix X den O se ek o O = (1, 1, …, 1) als Spal e en häl (was bei
de linea en Reg ession de Fall is ), dann e gib sich ü die Summe de Abweichungen zwi-
schen den Beobach ungen und den modellie en We en die Beziehung
∑
i 1 · (Yi – (β°1 · 1 + β°2 · Xi, 2 + … + β°m · Xi, m) = ∑ i εi = 0,
- 5 -
d. h. die modellie en We e sind e wa ungs eu und die Bedingung de kleins en Quad a e
ko espondie zu de Bedingung eine minimalen Fehle a ianz. Un e de Annahme eines
no mal e eil en Fehle s (z. B. bei Anwendung des zen alen G enzwe sa zes) is de so ge-
schä z e Pa ame e ek o β° dann auch ein Maximum Likelihood Schä ze . Bei ande en Ve -
eilungsannahmen gil das nich unbeding ; hie muss man gg . mi ande en Me hoden wie
beispielsweise e allgemeine en linea en Modellen a bei en.
Die zu o skizzie e Designma ix ü die linea e Reg ession kann je z beispielsweise seh
leich um wei e e Te me wie olg e gänz we den:
1 X1 X
12 … X1k
X = … … … … …
1 Xn X
n2 … Xnk
Eine Gauß Ma kow Ausgleichung lie e hie das bes mögliche Polynom k- en G ades. Du ch
Loga i hmie en kann man auch mul iplika i e Zusammenhänge modellie en – e wa bei An-
nahme on logno mal e eil en Zu alls a iablen. Alle dings minimie man dann den Fehle
nich in de no malen Da s ellung, sonde n nu in de ans o mie en Da s ellung. In die-
sem Fall e gib sich die E wa ungs eue nu im Hinblick au das geome ische Mi el.
2.2 Gewich e e Modelle
Fü die Op imie ung un e Be ücksich igung eine Gewich ung kann man zunächs einmal
das ans o mie e Modell
V · Y = V · X · β + V · ε,
mi eine beliebigen T ans o ma ionsma ix V be ach en. So e n de ans o mie e Fehle
(V · ε) · (V · ε) = ε · ( V · V) · ε
minimie we den soll, e gib sich eine Lösung
β° = ( X* · X*)-1 · ( X* · Y*)
mi X* = V · X und Y* = V · Y. Falls V eine Diagonalma ix is , gil V = V bzw. V · V = V2. Bei eine
Gewich ung w1, …, wn e gib sich dann ü
W = Diag( … wi …) = Diag(… wi0,5 …)2 = V2
ü die gewich e en Fehle quad a e
ε · W · ε = ε · V2 · ε =
ε · ( V · V) · ε
ein modi izie e Op imie ungsansa z
β° = ( X · W · X)-1 · ( X · W · Y) = ( X* · X*)-1 · ( X* · Y*).
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Bei diesem Modell we den die quad a ischen Abweichungen des ans o mie en Fehle -
ek o s ε* = ( 1 · ε1, …., n · εn) minimie . So e n die Designma ix X einen O se ek o en -
häl , wi d diese in de ans o mie en Designma ix X* zu einem Vek o ( 1, …, n), so dass
die Summe de Fehle je z nich meh null is . Fü die Fehle abweichungen gel en die Be-
ziehungen
∑ i i · ε*i = ∑
i i2 · εi = ∑
i wi · εi = 0
∑ i (ε*i)2 = ∑
i i2 · εi2 = ∑
i wi · εi2 = minimal.
So e n die Gewich e au Eins no mie sind, sind die modellie en We e also im Hinblick au
den gewich e en E wa ungswe e wa ungs eu bei minimale (gewich e e ) Fehle a i-
anz.
2.3 Quali a i e Me kmale
Bei quali a i en Me kmalen e gib sich ein ande e Au bau ü die Designma ix. Hie zu be-
ach e man mi,j de inie als die j- e Ausp ägung des i- en Me kmals. Se z man eine O se -
a iable ü eine Basisausp ägung ü jedes Me kmal mi, dann is die Designma ix wie olg
de inie :
1 … … …
X = … … δi, j, k …
1 … … …
mi δi, j, k = (mi(k) = mi,i) · 1 ü mi(k) die Ausp ägung des i- en Me kmals des Beobach ungs-
we s Yk (mi Ausnahme de Basisausp ägungen, die in de O se a iablen abgebilde sind).
De Gauß Ma kow Ansa z en sp ich je z einem Gleichungssys em
Yk = β0 + ∑ βi, j · δi, j, k + εk.
Bei einem mul iplika i en Modell e gib sich das Gleichungssys em
LN(Yk) = β0 + ∑ βi,j · δi, j, k + εk bzw.
Yk = 0 · ∏ i, j, k · Ek
mi i, j, k = 1 alls mi(k) ≠ mi,i und Ek = EXP(εk). Diese Ansa z soll in diese A bei ü die S o no-
wah scheinlichkei en
Yk = STk / JEmax, k
ü STk die Anzahl de S o nos und JEmax, k die (maximalen) Jah eseinhei en in de k- en Zelle
disku ie we den. Hie bei is zu beach en, dass man ü eine ko ek e Einschä zung de S o -
nowah scheinlichkei en nich die Jah eseinhei en bis zum S o nozei punk , sonde n die im
konk e en Jah maximal möglichen Jah eseinhei en anse z . (Fü eine p äzise He lei ung
siehe [2].)
- 13 -
Abbildung 5: Cholesky Ze legung – gewich e es addi i es Modell (1).
De zwei e Teil de de Cholesky Ze legung X* · X* = C · C in die obe e D eiecksma ix C
zusammen mi de Lösung des Gleichungssys ems C · β* = z is nach olgend abgebilde :
Abbildung 6: Cholesky Ze legung – gewich e es addi i es Modell (2).
Die hie da ges ell e Cholesky Ze legung wu de explizi in EXCEL au Basis eine es o ge-
gebenen S uk u ge echne . Das Ve ah en kann abe ela i ein ach mi Visual Basic dyna-
misie we den.
3.4 E mi lung de Ausgleichswe e
Du ch Anwendung on β° au X* e häl man je z die modellie en We e ü den ans o -
mie en Beobach ungs ek o Y*, die man dann wiede au die Ausgangswe e zu ück ans-
o mie en kann. Wie be ei s e läu e is de gewich e e Fehle e wa ungswe ü die ans-
o mie en We e null, siehe dazu auch den nach olgenden Auszug aus den E gebnissen.
Ziel Lösung O se 2012 2011 2010 2009 25 35 55 75 111195%105%
X* · Y* Hil sw. 11,931 0,583 0,405 -0,007 -2,201 0,332 0,246 0,104 0,316 0,070 0,364 -0,279 -0,103 -0,155 0,078
2113,372 11,931 177
442,507 0,583 34 70
435,174 0,405 35 -17 68
429,675 -0,007 38 -18 -24 66
320,010 -2,201 39 -19 -24 -36 56
615,425 0,332 49 0 1 0 0 79
800,341 0,246 66 1 1 -1 -3 -41 75
277,842 0,104 24 0 0 -1 -1 -15 -29 51
105,006 0,316 8 1 0 0 -1 -5 -10 -11 34
827,352 0,070 69 0 1 -2 0 1 -1 1 2 86
1320,853 0,364 108 0 -1 2 0 -1 0 1 -2 1 86
517,187 -0,279 45 000010-10 1-177
324,353 -0,103 28 -1 -1 3 0 -1 -2 -3 -2 0 2 0 64
163,011 -0,155 14 0000-1-110 1-10048
784,015 0,078 65 0 0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 -2 0 -19 83
Ziel Lösung O se 2012 2011 2010 2009 25 35 55 75 111195%105%
Hil sw . Be a 0,078 -0,012 -0,016 -0,021 -0,039 0,009 0,006 0,004 0,010 0,001 0,004 -0,004 -0,002 -0,003 0,001
11,931 0,078 177 34 35 38 39 49 66 24 8 69 108 45 28 14 65
0,583 -0,012 070-17-18-190101 000-1 00
0,405 -0,016 0068-24-241100 1-10-1 00
-0,007 -0,021 00066-360-1-10-2203 00
-2,201 -0,039 0000560-3-1-1 0000 00
0,332 0,009 0000079 -41 -15 -5 1 -1 1 -1 -1 -1
0,246 0,006 00000075 -29 -10 -1 0 0 -2 -1 -1
0,104 0,004 000000051-11 1 1-1-3 1-1
0,316 0,010 0 000000034 2-20-2 00
0,070 0,001 0 0000000086110 10
0,364 0,004 0 00000000 086 -1 2 -1 0
-0,279 -0,004 0 00000000 0077 0 0 -2
-0,103 -0,002 0 00000000 00064 0 0
-0,155 -0,003 0 00000000 000048 -19
0,078 0,001 0 00000000 0000 083

- 14 -
Abbildung 7: Auszug aus den modellie en We en – gewich e es addi i es Modell.
Al e na i wu de auch ein gewich e es mul iplika i es Modell ge echne , wobei sich dabei
nu de Beobach ungs ek o geände ha ; Gewich ung und Designma ix blieben gleich. In
de nach olgenden Abbildung sind die E gebnisse (nach Re-T ans o ma ion du ch die Expo-
nen ial unk ion) hie ü au gelis e .
Jah Al e Geschl. Ve h. Beam e Y* X* ∙ β°ε*STW° Abw.
0,067 0,000 0,003 0,000 0,003
2013 18 0 0 0 0,913 0,601 0,312 0,078 0,041
2013 18 0 0 0 0,000 0,200 -0,200 0,075 -0,075
2013 18 0 0 0 0,612 0,518 0,095 0,079 0,014
2013 18 0 0 0 0,367 0,209 0,158 0,077 0,058
2013 18 0 0 0 0,535 0,138 0,396 0,074 0,212
2013 18 0 0 0 0,000 0,220 -0,220 0,078 -0,078
2013 18 0 0 1 0,224 0,333 -0,109 0,075 -0,025
2013 18 0 0 1 0,000 0,102 -0,102 0,072 -0,072
2013 18 0 0 1 0,000 0,239 -0,239 0,076 -0,076
2013 18 0 0 1 0,000 0,103 -0,103 0,073 -0,073
2013 18 0 0 1 0,000 0,070 -0,070 0,070 -0,070
2013 18 0 0 1 0,459 0,161 0,297 0,074 0,136
2013 18 0 1 0 0,566 0,729 -0,163 0,083 -0,018
2013 18 0 1 0 0,000 0,264 -0,264 0,080 -0,080
2013 18 0 1 0 0,262 0,638 -0,376 0,083 -0,049
2013 18 0 1 0 0,241 0,335 -0,094 0,081 -0,023
2013 18 0 1 0 0,562 0,139 0,423 0,078 0,238
2013 18 0 1 0 0,000 0,201 -0,201 0,082 -0,082
2013 18 0 1 1 0,499 0,474 0,025 0,079 0,004
2013 18 0 1 1 0,000 0,076 -0,076 0,076 -0,076
2013 18 0 1 1 0,676 0,354 0,322 0,080 0,073
2013 18 0 1 1 0,371 0,208 0,163 0,077 0,061
2013 18 0 1 1 0,000 0,002 -0,002 0,075 -0,075
2013 18 0 1 1 0,000 0,078 -0,078 0,078 -0,078
- 15 -
Abbildung 8: Auszug aus den modellie en We en – gewich e es mul iplika i es Modell.
Zwa is auch beim gewich e en mul iplika i en Modell die gewich e e Fehle summe gleich
null und die gewich e e Fehle a ianz minimal. Da du ch die Loga i hmie ung abe auch
seh wei nach un en gehende nega i e We e au e en, is die Fehle a ianz deu lich höhe
als beim gewich e en addi i en Modell.
Beim mul iplika i en Modell is wie be ei s e läu e nach de Re-T ans o ma ion de ge-
wich e e E wa ungswe de Abweichungen nich meh null. Im o liegenden Beispiel is
au g und de seh hohen Fehle a ianz bei den Loga i hmen nach Anwendung de Expo-
nen ial unk ion die Abweichung soga e heblich, was au eine ehe „bescheidene“ Modellei-
gnung hindeu e .
So e n man das mul iplika i e Modell dennoch wählen möch e, muss man die modellie en
S o nowah scheinlichkei en anpassen, dami man zumindes E wa ungs eue e häl , siehe
dazu die nach olgende Abbildung.
Jah Al e Geschl. Ve h. Beam e Y* X* ∙ β°ε*STW° Abw.
-3,807 0,000 6,208 0,019 0,004
2013 18 0 0 0 -16,328 -21,063 4,735 0,064 0,055
2013 18 0 0 0 -30,460 -14,378 -16,083 0,004 -0,004
2013 18 0 0 0 -15,462 -20,671 5,209 0,042 0,052
2013 18 0 0 0 -5,457 -14,850 9,393 0,004 0,131
2013 18 0 0 0 -2,344 -15,230 12,887 0,000 0,285
2013 18 0 0 0 -32,563 -16,606 -15,957 0,003 -0,003
2013 18 0 0 1 -13,351 -18,652 5,301 0,015 0,035
2013 18 0 0 1 -16,282 -9,712 -6,570 0,001 -0,001
2013 18 0 0 1 -36,407 -14,540 -21,868 0,010 -0,010
2013 18 0 0 1 -16,282 -9,738 -6,543 0,001 -0,001
2013 18 0 0 1 -11,513 -9,574 -1,939 0,000 0,000
2013 18 0 0 1 -3,396 -15,920 12,524 0,001 0,210
2013 18 0 1 0 -24,263 -19,115 -5,148 0,115 -0,051
2013 18 0 1 0 -38,184 -16,094 -22,090 0,008 -0,008
2013 18 0 1 0 -25,762 -19,726 -6,036 0,076 -0,041
2013 18 0 1 0 -11,779 -20,182 8,403 0,008 0,051
2013 18 0 1 0 -2,051 -13,452 11,401 0,001 0,315
2013 18 0 1 0 -28,201 -12,956 -15,244 0,005 -0,005
2013 18 0 1 1 -14,941 -21,611 6,670 0,027 0,056
2013 18 0 1 1 -11,513 -6,286 -5,227 0,002 -0,002
2013 18 0 1 1 -8,339 -17,810 9,471 0,018 0,135
2013 18 0 1 1 -5,334 -16,975 11,641 0,002 0,136
2013 18 0 1 1 -0,364 -0,284 -0,080 0,000 0,000
2013 18 0 1 1 -11,513 -6,723 -4,790 0,001 -0,001
- 16 -
Abbildung 9: Auszug aus den angepass en We en – gewich e es mul iplika i es Modell.
Die Modi izie ung de Modellwe e lie e e wa ungs eue We e mi e gleichsweise ge-
inge Fehle a ianz, wobei hie abe keine In e p e a ion als Maximum Likelihoodschä ze
möglich is . In diese Hinsich pass das Gauß Ma kow Modell nu wi klich gu bei einem
addi i en Modell.
Jah Al e Geschl. Ve h. Beam e STW° Abw. STW° mod Abw. mod
0,019 0,004 27,7% 0,006
2013 18 0 0 0 0,064 0,055 0,082 0,037
2013 18 0 0 0 0,004 -0,004 0,006 -0,006
2013 18 0 0 0 0,042 0,052 0,054 0,040
2013 18 0 0 0 0,004 0,131 0,005 0,129
2013 18 0 0 0 0,000 0,285 0,000 0,285
2013 18 0 0 0 0,003 -0,003 0,004 -0,004
2013 18 0 0 1 0,015 0,035 0,020 0,031
2013 18 0 0 1 0,001 -0,001 0,001 -0,001
2013 18 0 0 1 0,010 -0,010 0,013 -0,013
2013 18 0 0 1 0,001 -0,001 0,001 -0,001
2013 18 0 0 1 0,000 0,000 0,000 0,000
2013 18 0 0 1 0,001 0,210 0,001 0,210
2013 18 0 1 0 0,115 -0,051 0,147 -0,083
2013 18 0 1 0 0,008 -0,008 0,010 -0,010
2013 18 0 1 0 0,076 -0,041 0,096 -0,062
2013 18 0 1 0 0,008 0,051 0,010 0,048
2013 18 0 1 0 0,001 0,315 0,001 0,315
2013 18 0 1 0 0,005 -0,005 0,006 -0,006
2013 18 0 1 1 0,027 0,056 0,035 0,048
2013 18 0 1 1 0,002 -0,002 0,002 -0,002
2013 18 0 1 1 0,018 0,135 0,023 0,130
2013 18 0 1 1 0,002 0,136 0,002 0,136
2013 18 0 1 1 0,000 0,000 0,000 0,000
2013 18 0 1 1 0,001 -0,001 0,002 -0,002
- 17 -
4 Modell e gleiche
Im Abschni zu o wu den die Be echnungen ü ein gewich e es addi i es Gauß Ma kow
Modell on S o nowah scheinlichkei en e läu e und ein e s e Ve gleich mi einem ge-
wich e en mul iplika i en Modell o genommen. In diesem Abschni wi d e gänzend dazu
eine in ensi e Diskussion de Modelleigenscha du chge üh , insbesonde e ü das
 addi i e bzw. mul iplika i e Modell und das
 gewich e e bzw. ungewich e e Modell.
Dabei we den K i e ien zu Beu eilung de Modellquali ä einge üh und disku ie .
4.1 Gewich e es addi i es Modell
Das gewich e e addi i e Modell is im Hinblick au die gewähl e Gewich ung e wa ungs-
eu, so dass keine Modi ika ion in diese Hinsich nö ig is . Die wich igs en Resul a e dieses
Modells sind nach olgend zusammenge ass :
Gewich e e Fehle e wa ungswe 0,000
Gewich e e Fehle a ianz 0,003
Abweichung E wa ungs eue in % 0,0%
Minimum modellie e We e 3,1%
Maximum modellie e We e 9,4%
Fehle a ianz modellie e We e 0,003
Ko ela ion ans o mie e We e 66,4%
Ko ela ion Ausgangswe e 10,0%
Ko ela ion Ausgangswe e gewich e 26,3%
Die gewich e e Fehle a ianz is e gleichsweise klein, wobei beim addi i en Modell kein
Un e schied zwischen de Fehle a ianz des ans o mie en und des Beobach ungswe es
o lieg .
Die modellie en We e ü die S o nowah scheinlichkei en liegen inne halb eine seh klei-
nen Bandb ei e. Bei den ans o mie en We en ( ü die die Ausgleichung ja du chge üh
wu de) is die Ko ela ion zwischen ans o mie en Beobach ungen und den ausgegliche-
nen We en ech hoch; die Ko ela ion zwischen den Beobach ungswe en und den zu ück
ans o mie en ausgeglichenen We en is mi 26,3% abe nich besonde s ausgep äg .
In de nach olgenden Abbildung sind die beobach e en We e gegen die modellie en
We e ü die ans o mie en We e geplo e (wobei im Ideal all alle We e au de Ge ade
Y = X liegen soll en). Da übe hinaus is die zu den Da en gehö ende Reg essionsge ade in
die geplo e en Da en einge üg wo den.
- 18 -
Abbildung 10: Beobach ung s. Modell – gewich e es addi i es Modell (1).
Bei den ans o mie en We en läss sich ein deu liche Zusammenhang e kennen, de nach
Rück-T ans o ma ion abe deu lich wenige ma kan he o i , siehe dazu auch die nach-
olgende Abbildung.
Abbildung 11: Beobach ung s. Modell – gewich e es addi i es Modell (2).

- 19 -
Die Häu ung de Beobach ungswe e bei null lieg da an, dass seh häu ig kein S o no beo-
bach e wu de, beispielsweise bei seh wenigen Jah eseinhei en. Bei einem gewich e en
Modell is bei diesen Da enpunk en die Modellanpassung ela i beliebig, da sie ja ge ade
nich ins Gewich äll . Die Beobach ungswe e bei 100% e gaben sich du ch die Beg en-
zung de ik i e zeug en We e, die eilweise übe 100% lagen, wenn sich z. B. ein S o no
au 0,4 Jah eseinhei en bezieh .
Da die meis en Beobach ungswe e un e 40% liegen und die Kumulie ung bei 0% keine
wei e e Aussagek a ha als dass de Bes and zu ge ing wa , is nach olgend noch einmal
ü die ück- ans o mie en We e de Plo im Be eich on 5% bis 40% da ges ell .
Abbildung 12: Beobach ung s. Modell – gewich e es addi i es Modell (3).
Man kann einen leich en T end im un e en Be eich bis ca. 15% e kennen, de abe nich seh
spezi isch is .
4.2
Ungewich e es addi i es Modell
Die wich igs en Eckda en des ungewich e en addi i en Modells sind nach olgend zusam-
menge ass :
Fehle e wa ungswe 0,000
Fehle a ianz 0,013
Abweichung E wa ungs eue in % 0,0%
Minimum modellie e We e 2,1%
Maximum modellie e We e 10,4%
Fehle a ianz modellie e We e 0,013
Ko ela ion ans o mie e We e 13,6%
- 20 -
Die Fehle a ianz ehl deu lich höhe aus als beim gewich e en Modell, wobei die model-
lie en We e e was deu liche sp eizen, abe imme noch in eine übe schauba en Band-
b ei e liegen. Da hie keine T ans o ma ion du chge üh wu de, un e scheiden sich die e -
schiedenen Ko ela ionen nich , so dass hie nu ein We angegeben wu de. Die Ko ela ion
is deu lich kleine als zu o .
Die beobach e en e sus modellie en We e sind in de nach olgenden Abbildung geplo -
e , wobei die Reg essionsge ade in die geplo e en Da en einge üg wu de. Die Häu ung
bei null e gib sich wiede aus den o ini ialisie en We en.
Abbildung 13: Beobach ung s. Modell – ungewich e es addi i es Modell (1).
Fü eine besse e Übe sich is wiede auch de Be eich on 5% bis 40% da ges ell is , siehe
dazu die nach olgende Abbildung.
- 21 -
Abbildung 14: Beobach ung s. Modell – ungewich e es addi i es Modell (2).
De Zusammenhang is noch unspezi ische und wenige bis ga nich e kennba als beim
gewich e en Modell.
4.3
Gewich e es mul iplika i es Modell
Zunächs einmal sind auch ü dieses Modell die wich igs en Kenng ößen nach olgend zu-
sammenge ass :
Gewich e e Fehle e wa ungswe 0,000
Gewich e e Fehle a ianz 6,208
Abweichung E wa ungs eue in % 27,7%
Minimum modellie e We e 0,0%
Maximum modellie e We e 27,8%
Fehle a ianz modellie e We e 0,006
Ko ela ion ans o mie e We e 48,4%
Ko ela ion Ausgangswe e 3,3%
Ko ela ion Ausgangswe e gewich e 12,0%
Die gewich e e Fehle a ianz ü die Modell a iable is je z deu lich höhe als bei den addi-
i en Modellen, da nach dem Loga i hmie en je z auch seh s a k nega i e We e au e en,
insbesonde e du ch die Gewich ung. Au g und diese hohen Va ianz bei den (gewich e en)
Loga i hmen weich das Modell seh s a k on de E wa ungs eue ab, so dass man en -
sp echend modi izie en muss. Nach de Modi ika ion is die Fehle a ianz bei den S o no-
wah scheinlichkei en alle dings wiede seh ge ing.
- 22 -
Abbildung 15: Beobach ung s. Modell – gewich e es mul iplika i es Modell (1).
Bei den ans o mie en We en e gib sich eine e höh e (wenn auch nich besonde s
hohe) Ko ela ion, wobei de Zusammenhang in den geplo e en Da en du chaus e kennba
is , siehe auch die obige Abbildung.
Die modi izie en modellie en We e sp eizen deu lich s ä ke als bei den addi i en Model-
len, wobei je z de We null als Minimum auch ziemlich nah e eich wi d. Die gewich e e
Ko ela ion is ähnlich ge ing wie beim ungewich e en addi i en Modell und deu lich ge in-
ge als bei den ans o mie en We en, ü die die Ausgleichung ja du chge üh wu de.
Die geplo e en We e ü die beobach e en Ausgangswe e mi den ück ans o mie en
(und im Hinblick au E wa ungs eue angepass en) Ausgleichswe en sind in de nach ol-
genden Abbildung da ges ell .
- 29 -
Li e a u e zeichnis
[1] Koch: Pa ame e schä zungen und Hypo hesen es s in linea en Modellen. Dümmle ,
Bonn, 1980.
[2] Scuzza ello: S o noanalyse bei einem Schaden e siche ungsbes and. Mas e A bei ,
Ins i u ü Ve siche ungswesen, Fakul ä ü Wi scha s- und Rech swissenscha en,
Fachhochschule Köln, Köln, 2014.
[3] Kahlenbe g: S o no und P o i abili ä in de P i a ha p lich e siche ung. Eine Analyse
un e Ve wendung on uni a ia en und bi a ia en e allgemeine en linea en Model-
len. Aachen, Shake Ve lag, 2005.

- 30 -
Abbildungs e zeichnis
Abbildung 1: Auszug aus de komp imie en Beobach ungsda ei. ...............................................10
Abbildung 2: Auszug aus den ans o mie en We en – gewich e es addi i es Modell. .....11
Abbildung 3: Auszug aus de ans o mie en Designma ix – gewich e es Modell. ..............12
Abbildung 4: T ans o mie e Lösungsma ix – gewich e es addi i es Modell. .........................12
Abbildung 5: Cholesky Ze legung – gewich e es addi i es Modell (1). ........................................13
Abbildung 6: Cholesky Ze legung – gewich e es addi i es Modell (2). ........................................13
Abbildung 7: Auszug aus den modellie en We en – gewich e es addi i es Modell. ...........14
Abbildung 8: Auszug aus den modellie en We en – gewich e es mul iplika i es Modell. 15
Abbildung 9: Auszug aus den angepass en We en – gewich e es mul iplika i es Modell. 16
Abbildung 10: Beobach ung s. Modell – gewich e es addi i es Modell (1). .............................18
Abbildung 11: Beobach ung s. Modell – gewich e es addi i es Modell (2). .............................18
Abbildung 12: Beobach ung s. Modell – gewich e es addi i es Modell (3). .............................19
Abbildung 13: Beobach ung s. Modell – ungewich e es addi i es Modell (1). .......................20
Abbildung 14: Beobach ung s. Modell – ungewich e es addi i es Modell (2). .......................21
Abbildung 15: Beobach ung s. Modell – gewich e es mul iplika i es Modell (1). .................22
Abbildung 16: Beobach ung s. Modell – gewich e es mul iplika i es Modell (2). .................23
Abbildung 17: Beobach ung s. Modell – gewich e es mul iplika i es Modell (3). .................23
Abbildung 18: Beobach ung s. Modell – ungewich e es mul iplika i es Modell (1). ............24
Abbildung 19: Beobach ung s. Modell – ungewich e es mul iplika i es Modell (2). ............25
Abbildung 20: Beobach ung s. Modell – ungewich e es mul iplika i es Modell (3). ............26
Imp essum
Diese Ve ö en lichung e schein im Rahmen de Online-Publika ions eihe „Fo schung am IVW Köln“. Alle
Ve ö en lichungen diese Reihe können un e www.i w-koeln.de ode hie abge u en we den.
Fo schung am IVW Köln, 8/2014
Heep-Al ine , Münchow, Scuzza ello: Ausgleichs echnungen mi Gauß Ma kow Modellen am Beispiel
eines ik i en S o nobes andes
Köln, Sep embe 2014
ISSN (online) 2192-8479
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