Ausgleichsrechnungen mit Gauß Markow Modellen am Beispiel eines fiktiven Stornobestandes

Fo schung am IVW Köln, 8/2014 Ins i u ü Ve siche ungswesen Ausgleichs echnungen mi Gauß Ma kow Modellen am Beispiel eines ik i en S o nobes andes Ma ia Heep-Al ine , Philipp Münchow, Vanessa Scuzza ello Fo schung am IVW Köln, 8 / 2014 Wählen Sie ein Elemen aus. Ma ia Heep-Al ine , Philipp Münchow, Vanessa Scuzza ello Fo schungss elle FaRis Ausgleichs echnungen mi Gauß Ma kow Modellen am Beispiel eines ik i en S o nobes andes Zusammen assung Die linea e Reg ession is das bekann es e Ve ah en zu Fehle ausgleichung, welches ela i ein ach umgese z we den kann. Ve allgemeine e linea e Modelle sind eine zweckmäßige E wei e ung dieses Ve ah ens, können abe au g und ih e hohen Komplexi ä i. d. R. nu mi spezielle So wa e ge echne we den. Aus diesem G und wi d in diese A bei anhand eines ik i en S o no-bes andes illus ie , wie man Ausgleichs echnungen auch mi Hil e on Gauß Ma kow Modellen du ch üh en kann, die mi els EXCEL und Visual Basic eben alls noch e gleichsweise ein ach umse zba sind. Abs ac Linea Reg ession is a well-known algo i hm o e o calib a ion being ela i ely easy o execu e. Gene alized linea models de ine a sui able enla gemen o his algo i hm. No mally, hey can only be pe o med wi h special so wa e packages acco ding o hei high complexi y. The e o e, i will be illus a ed in his pape how o ca y ou an e o equaliza ion o i ual lapse da a by Gauss Ma ko models being ela i ely easy o implemen in EXCEL and Visual Basic. Schlagwö e : Ausgleichs e ah en, Gauß Ma kow Modelle, S o noanalyse, Ve siche ungsma hema ik, Ve siche ungswissenscha Inhal s e zeichnis 1VORBEMERKUNGEN ................................................................................................................................ 1 1.1ALLGEMEINER ANSATZ EINER LINEAREN REGRESSION .......................................................................... 1 1.2GEWICHTETE MODELLE .......................................................................................................................... 2 1.3MULTIPLIKATIVE MODELLE .................................................................................................................... 2 1.4CREDIBILITY MODELLE ........................................................................................................................... 3 2GAUß MARKOW MODELLE ................................................................................................................... 4 2.1ALLGEMEINER ANSATZ EINES GAUß MARKOW MODELLS ................................................................... 4 2.2GEWICHTETE MODELLE .......................................................................................................................... 5 2.3QUALITATIVE MERKMALE ....................................................................................................................... 6  2.3.1Addi i e Modellansa z ......................................................................................................... 7 2.3.2Mul iplika i e Modellansa z ............................................................................................... 7 2.4TECHNISCHE UMSETZUNG MIT HILFE DER CHOLESKY ZERLEGUNG ..................................................... 7 3BERECHNUNGSBEISPIEL ......................................................................................................................... 9 3.1AUFBEREITUNG DER AUSGANGSDATEN ................................................................................................ 9 3.2KONZEPTION DES MODELLAUFBAUS .................................................................................................. 10 3.3ERMITTLUNG DES OPTIMALEN PARAMETERVEKTORS .......................................................................... 12 3.4ERMITTLUNG DER AUSGLEICHSWERTE ................................................................................................. 13 4MODELLVERGLEICHE ............................................................................................................................ 17 4.1GEWICHTETES ADDITIVES MODELL ...................................................................................................... 17 4.2UNGEWICHTETES ADDITIVES MODELL ................................................................................................. 19 4.3GEWICHTETES MULTIPLIKATIVES MODELL ........................................................................................... 21 4.4UNGEWICHTETES MULTIPLIKATIVES MODELL ..................................................................................... 24 5FAZIT ........................................................................................................................................................... 27 LITERATURVERZEICHNIS .............................................................................................................................. 29 ABBILDUNGSVERZEICHNIS ......................................................................................................................... 30 - 1 - 1 Vo beme kungen Die linea e Reg ession is das bekann es e Ve ah en zu Fehle ausgleichung, welches ela i ein ach umgese z we den kann. Ve allgemeine e linea e Modelle sind eine zweckmäßige E wei e ung dieses Ve ah ens, können abe au g und ih e hohen Komplexi ä i. d. R. nu mi spezielle So wa e ge echne we den. Aus diesem G und wi d in diese A bei anhand eines ik i en S o nobes andes illus ie , wie man Ausgleichs echnungen auch mi Hil e on Gauß Ma kow Modellen du ch üh en kann, die mi els EXCEL und Visual Basic noch e - gleichsweise ein ach umse zba sind. 1.1 Allgemeine Ansa z eine linea en Reg ession Die allgemeine Idee bei eine linea en Reg ession bes eh da in, dass man du ch eine Da- enmenge die (bzgl. eines geeigne en Beu eilungsk i e iums) bes mögliche Ge ade leg . Dazu be ach e man zunächs einmal die Gleichungssys eme Y 1 = a + b · X1 + ε1 Y2 = a + b · X2 + ε2 … Yn = a + b · Xn + εn mi Y = (Y1, Y2, …, Yn) Realisa ionen eine Beobach ungs a iablen, X = (X1, X2, …, Xn) Realisa- ionen eine E klä ungs a iablen und ε = (ε1, ε2, …, εn) Realisa ionen eine Fehle a iablen. Gesuch we den Pa ame e (a, b) de a , dass die Fehle quad a e S(a, b) = ∑ i (Yi – (a + b · Xi))2 minimal we den. Be ach e man die Nulls ellen de pa iellen Ablei ungen (∂/∂a) S und (∂/∂b) S, so e häl man die Bedingungen -2 · ∑ i (Yi – (a + b · Xi)) = 0  a = E[Y] – b · E[X] -2 · ∑ i (Yi – (a + b · Xi)) · Xi = 0  b = COV[X, Y] / VAR[X] mi E[Y] = 1/n · ∑ i Yi E[X] = 1/n · ∑ i Xi COV[X, Y] = E[(X – E[X]) · (Y – E[Y])] VAR[X] = COV[X, X] = E[(X – E[X])2]. Die so e mi el en Pa ame e (a, b) de inie en eine Ge ade du ch die Da en de a , dass das a i hme ische Mi el des Fehle s null und die Fehle a ianz minimal is . Die Quali ä de line- a en Reg ession kann du ch den Ko ela ionskoe izien en - 2 - ρ X, Y = COV[X, Y] /(VAR[X] · VAR[Y])0,5 gemessen we den. Das Bes imm hei smaß ρ2 gib dabei an, wie iel P ozen de Va ianz de Beobach ungswe e du ch das Modell e klä we den, wobei insbesonde e gil : VAR[ε] = (1 – ρ2) · VAR[Y]. Die so e mi el e Ge ade is im Hinblick au das gewähl e Op imie ungsk i e ium die bes - mögliche Wahl. Das bedeu e abe nich , dass eine Ausgleichung du ch eine Ge ade das bes e Ve ah en da s ell , da es mögliche weise ande e als linea e Zusammenhänge gib . Man muss also in jedem Fall die S uk u de Fehle analysie en und übe p ü en, ob die An- nahme eines linea en Zusammenhangs plausibel is . Es gib meh e e ela i simple Ve allgemeine ungen dieses ein achen Ansa zes, die nach ol- gend ku z e läu e we den. 1.2 Gewich e e Modelle In dem zu o e läu e en Modell gehen alle Da en mi gleichem Gewich 1/n in die Fehle - ausgleichung ein. Häu ig ha man jedoch Gewich ungen (w1, w2, …, wn), d. h. manche Da- enpunk e haben ein höhe es Gewich als ande e, so dass eine gu e Ausgleichung in diesen Punk en wich ige is als in ande en Punk en. In diesem Fall is es zweckmäßig, nich die Fehle quad a e S(a, b), sonde n die gewich e en Fehle quad a e S(a, b, w) = ∑ i wi · (Yi – (a + b · Xi))2 zu minimie en. Man e häl konzep ionell die gleichen Lösungen – alle dings mi den a i h- me ischen Mi eln, Va ianzen und Ko a ianzen bezüglich de au Eins no mie en Gewich e. 1.3 Mul iplika i e Modelle Be ach e man ans elle on Y1, Y2, …, Yn und X1, X2, …, Xn die loga i hmie en We e LN(Y1), LN(Y2), …, LN(Yn) und LN(X1), LN(X2), …, LN(Xn), dann e gib sich nach Re-T ans o ma ion de linea en Reg essionsge ade ein mul iplika i e Zusammenhang Y i = a* · (Xi)b · ε*i In diesem Fall is nich meh die Summe des e- ans o mie en Fehle s ε* null, sonde n das P oduk is gleich Eins. Somi s imm auch nich das a i hme ische Mi el de Beobach un- gen mi dem a i hme ischen Mi el de modellie en We e übe ein, sonde n mi dem geo- me ischen Mi el. Bei Anwendungen on Gewich en e gib sich hie en sp echend das ge- wich e e geome ische Mi el. Loga i hmie man nu die Beobach ungen, dann e häl man einen exponen iellen Model- lansa z Y i = a* · (b*)Xi · ε*i - 3 - Diese Modellansa z eigne sich gu bei Zei eihenanalysen, wo die e klä ende Va iable ein Zei pa ame e is , d. h. man ha dann mi Y = a* · (b*) · ε* den klassischen Ansa z ü mul iplika i e Zei ends. 1.4 C edibili y Modelle Bei manchen Zei eihen is de bes mögliche addi i e ode mul iplika i e T end u. U. zu s a k, so dass man – insbesonde e bei seh kleinem Bes imm hei smaß – ü eine gu e P og- nose in die Zukun nich da au e auen soll e. In diesem Fall kann man als P ognosewe den sogenann en C edibili y We CW CW = ρ2 · RW + (1 – ρ2) · EW, RW de Reg essionswe und EW de E wa ungswe anse zen, wobei diese Schä ze dann keine minimale Fehle a ianz ha . Dennoch ha de Schä ze ande e e nün ige Eigenscha - en: - E is e wa ungs eu. - E ha eine maximal 25% höhe e Fehle a ianz als de Reg essionsschä ze . - Bei kleinem Bes imm hei smaß s imm e as mi dem E wa ungswe übe ein. - Bei hohem Bes imm hei smaß s imm e as mi dem Reg essionswe übe ein. Diese Schä zwe is somi ein gu e Komp omiss zwischen dem E wa ungswe und dem Reg essionswe als Schä ze . Im olgenden Abschni wi d e läu e , wie man du ch Gauß Ma kow Modelle wei e e Ve - allgemeine ungen de linea en Reg ession e hal en kann. - 4 - 2 Gauß Ma kow Modelle In diesem Abschni wi d zunächs de allgemeine Gauß Ma kow Ansa z ku z e läu e (siehe hie zu auch [1]), wobei im Anschluss illus ie wi d, wie man mi Hil e geeigne e T ans o - ma ionen des Modells auch Gewich ungen mi einbeziehen kann. Dies is ge ade bei e si- che ungsma hema ischen Analysen seh zweckmäßig, da es hie häu ig na ü liche Gewich- ungen du ch P ämien, Jah eseinhei en, Exposu es (wie e wa Ve siche ungssummen) ode Schadenanzahlen gib . 2.1 Allgemeine Ansa z eines Gauß Ma kow Modells Die zu o e läu e e linea e Reg ession kann auch als Y = X · β + ε mi einem Beobach ungs- ek o Y, eine (n x m) Designma ix X, einem Pa ame e ek o β und einem Fehle ek o ε da ges ell we den, wobei ü die Designma ix 1 X1 X = … … 1 Xn und ü den Pa ame e ek o β = (a, b) gil . In eine konsequen en Ma ixsch eibweise gil ü die Quad a e de Fehle die Da s ellung S(β) = (Y – X · β) · (Y – X · β) = ( Y · Y – 2 · β · X · Y + β · X · X · β) Fü den Vek o de e s en pa iellen Ablei ungen (∂/∂β) S gil dann die Beziehung (∂/∂β) S = -2 · ( X · Y – X · X · β) = 0, wo aus dann ü das Minimum die Gleichung X · X · β = X · Y bzw. ü den geschä z en (bes en) Pa ame e ek o β° = ( X · X)-1 · ( X · Y) olg , so e n die Ma ix X Maximal ang ha . Aus diese Gleichung e häl man so o eine Be- ziehung X · (Y – X · β°) = X · ε = 0. So e n also die Designma ix X den O se ek o O = (1, 1, …, 1) als Spal e en häl (was bei de linea en Reg ession de Fall is ), dann e gib sich ü die Summe de Abweichungen zwi- schen den Beobach ungen und den modellie en We en die Beziehung ∑ i 1 · (Yi – (β°1 · 1 + β°2 · Xi, 2 + … + β°m · Xi, m) = ∑ i εi = 0, - 5 - d. h. die modellie en We e sind e wa ungs eu und die Bedingung de kleins en Quad a e ko espondie zu de Bedingung eine minimalen Fehle a ianz. Un e de Annahme eines no mal e eil en Fehle s (z. B. bei Anwendung des zen alen G enzwe sa zes) is de so ge- schä z e Pa ame e ek o β° dann auch ein Maximum Likelihood Schä ze . Bei ande en Ve - eilungsannahmen gil das nich unbeding ; hie muss man gg . mi ande en Me hoden wie beispielsweise e allgemeine en linea en Modellen a bei en. Die zu o skizzie e Designma ix ü die linea e Reg ession kann je z beispielsweise seh leich um wei e e Te me wie olg e gänz we den: 1 X1 X 12 … X1k X = … … … … … 1 Xn X n2 … Xnk Eine Gauß Ma kow Ausgleichung lie e hie das bes mögliche Polynom k- en G ades. Du ch Loga i hmie en kann man auch mul iplika i e Zusammenhänge modellie en – e wa bei An- nahme on logno mal e eil en Zu alls a iablen. Alle dings minimie man dann den Fehle nich in de no malen Da s ellung, sonde n nu in de ans o mie en Da s ellung. In die- sem Fall e gib sich die E wa ungs eue nu im Hinblick au das geome ische Mi el. 2.2 Gewich e e Modelle Fü die Op imie ung un e Be ücksich igung eine Gewich ung kann man zunächs einmal das ans o mie e Modell V · Y = V · X · β + V · ε, mi eine beliebigen T ans o ma ionsma ix V be ach en. So e n de ans o mie e Fehle (V · ε) · (V · ε) = ε · ( V · V) · ε minimie we den soll, e gib sich eine Lösung β° = ( X* · X*)-1 · ( X* · Y*) mi X* = V · X und Y* = V · Y. Falls V eine Diagonalma ix is , gil V = V bzw. V · V = V2. Bei eine Gewich ung w1, …, wn e gib sich dann ü W = Diag( … wi …) = Diag(… wi0,5 …)2 = V2 ü die gewich e en Fehle quad a e ε · W · ε = ε · V2 · ε = ε · ( V · V) · ε ein modi izie e Op imie ungsansa z β° = ( X · W · X)-1 · ( X · W · Y) = ( X* · X*)-1 · ( X* · Y*). - 6 - Bei diesem Modell we den die quad a ischen Abweichungen des ans o mie en Fehle - ek o s ε* = ( 1 · ε1, …., n · εn) minimie . So e n die Designma ix X einen O se ek o en - häl , wi d diese in de ans o mie en Designma ix X* zu einem Vek o ( 1, …, n), so dass die Summe de Fehle je z nich meh null is . Fü die Fehle abweichungen gel en die Be- ziehungen ∑ i i · ε*i = ∑ i i2 · εi = ∑ i wi · εi = 0 ∑ i (ε*i)2 = ∑ i i2 · εi2 = ∑ i wi · εi2 = minimal. So e n die Gewich e au Eins no mie sind, sind die modellie en We e also im Hinblick au den gewich e en E wa ungswe e wa ungs eu bei minimale (gewich e e ) Fehle a i- anz. 2.3 Quali a i e Me kmale Bei quali a i en Me kmalen e gib sich ein ande e Au bau ü die Designma ix. Hie zu be- ach e man mi,j de inie als die j- e Ausp ägung des i- en Me kmals. Se z man eine O se - a iable ü eine Basisausp ägung ü jedes Me kmal mi, dann is die Designma ix wie olg de inie : 1 … … … X = … … δi, j, k … 1 … … … mi δi, j, k = (mi(k) = mi,i) · 1 ü mi(k) die Ausp ägung des i- en Me kmals des Beobach ungs- we s Yk (mi Ausnahme de Basisausp ägungen, die in de O se a iablen abgebilde sind). De Gauß Ma kow Ansa z en sp ich je z einem Gleichungssys em Yk = β0 + ∑ βi, j · δi, j, k + εk. Bei einem mul iplika i en Modell e gib sich das Gleichungssys em LN(Yk) = β0 + ∑ βi,j · δi, j, k + εk bzw. Yk = 0 · ∏ i, j, k · Ek mi i, j, k = 1 alls mi(k) ≠ mi,i und Ek = EXP(εk). Diese Ansa z soll in diese A bei ü die S o no- wah scheinlichkei en Yk = STk / JEmax, k ü STk die Anzahl de S o nos und JEmax, k die (maximalen) Jah eseinhei en in de k- en Zelle disku ie we den. Hie bei is zu beach en, dass man ü eine ko ek e Einschä zung de S o - nowah scheinlichkei en nich die Jah eseinhei en bis zum S o nozei punk , sonde n die im konk e en Jah maximal möglichen Jah eseinhei en anse z . (Fü eine p äzise He lei ung siehe [2].) - 13 - Abbildung 5: Cholesky Ze legung – gewich e es addi i es Modell (1). De zwei e Teil de de Cholesky Ze legung X* · X* = C · C in die obe e D eiecksma ix C zusammen mi de Lösung des Gleichungssys ems C · β* = z is nach olgend abgebilde : Abbildung 6: Cholesky Ze legung – gewich e es addi i es Modell (2). Die hie da ges ell e Cholesky Ze legung wu de explizi in EXCEL au Basis eine es o ge- gebenen S uk u ge echne . Das Ve ah en kann abe ela i ein ach mi Visual Basic dyna- misie we den. 3.4 E mi lung de Ausgleichswe e Du ch Anwendung on β° au X* e häl man je z die modellie en We e ü den ans o - mie en Beobach ungs ek o Y*, die man dann wiede au die Ausgangswe e zu ück ans- o mie en kann. Wie be ei s e läu e is de gewich e e Fehle e wa ungswe ü die ans- o mie en We e null, siehe dazu auch den nach olgenden Auszug aus den E gebnissen. Ziel Lösung O se 2012 2011 2010 2009 25 35 55 75 111195%105% X* · Y* Hil sw. 11,931 0,583 0,405 -0,007 -2,201 0,332 0,246 0,104 0,316 0,070 0,364 -0,279 -0,103 -0,155 0,078 2113,372 11,931 177 442,507 0,583 34 70 435,174 0,405 35 -17 68 429,675 -0,007 38 -18 -24 66 320,010 -2,201 39 -19 -24 -36 56 615,425 0,332 49 0 1 0 0 79 800,341 0,246 66 1 1 -1 -3 -41 75 277,842 0,104 24 0 0 -1 -1 -15 -29 51 105,006 0,316 8 1 0 0 -1 -5 -10 -11 34 827,352 0,070 69 0 1 -2 0 1 -1 1 2 86 1320,853 0,364 108 0 -1 2 0 -1 0 1 -2 1 86 517,187 -0,279 45 000010-10 1-177 324,353 -0,103 28 -1 -1 3 0 -1 -2 -3 -2 0 2 0 64 163,011 -0,155 14 0000-1-110 1-10048 784,015 0,078 65 0 0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 -2 0 -19 83 Ziel Lösung O se 2012 2011 2010 2009 25 35 55 75 111195%105% Hil sw . Be a 0,078 -0,012 -0,016 -0,021 -0,039 0,009 0,006 0,004 0,010 0,001 0,004 -0,004 -0,002 -0,003 0,001 11,931 0,078 177 34 35 38 39 49 66 24 8 69 108 45 28 14 65 0,583 -0,012 070-17-18-190101 000-1 00 0,405 -0,016 0068-24-241100 1-10-1 00 -0,007 -0,021 00066-360-1-10-2203 00 -2,201 -0,039 0000560-3-1-1 0000 00 0,332 0,009 0000079 -41 -15 -5 1 -1 1 -1 -1 -1 0,246 0,006 00000075 -29 -10 -1 0 0 -2 -1 -1 0,104 0,004 000000051-11 1 1-1-3 1-1 0,316 0,010 0 000000034 2-20-2 00 0,070 0,001 0 0000000086110 10 0,364 0,004 0 00000000 086 -1 2 -1 0 -0,279 -0,004 0 00000000 0077 0 0 -2 -0,103 -0,002 0 00000000 00064 0 0 -0,155 -0,003 0 00000000 000048 -19 0,078 0,001 0 00000000 0000 083 - 14 - Abbildung 7: Auszug aus den modellie en We en – gewich e es addi i es Modell. Al e na i wu de auch ein gewich e es mul iplika i es Modell ge echne , wobei sich dabei nu de Beobach ungs ek o geände ha ; Gewich ung und Designma ix blieben gleich. In de nach olgenden Abbildung sind die E gebnisse (nach Re-T ans o ma ion du ch die Expo- nen ial unk ion) hie ü au gelis e . Jah Al e Geschl. Ve h. Beam e Y* X* ∙ β°ε*STW° Abw. 0,067 0,000 0,003 0,000 0,003 2013 18 0 0 0 0,913 0,601 0,312 0,078 0,041 2013 18 0 0 0 0,000 0,200 -0,200 0,075 -0,075 2013 18 0 0 0 0,612 0,518 0,095 0,079 0,014 2013 18 0 0 0 0,367 0,209 0,158 0,077 0,058 2013 18 0 0 0 0,535 0,138 0,396 0,074 0,212 2013 18 0 0 0 0,000 0,220 -0,220 0,078 -0,078 2013 18 0 0 1 0,224 0,333 -0,109 0,075 -0,025 2013 18 0 0 1 0,000 0,102 -0,102 0,072 -0,072 2013 18 0 0 1 0,000 0,239 -0,239 0,076 -0,076 2013 18 0 0 1 0,000 0,103 -0,103 0,073 -0,073 2013 18 0 0 1 0,000 0,070 -0,070 0,070 -0,070 2013 18 0 0 1 0,459 0,161 0,297 0,074 0,136 2013 18 0 1 0 0,566 0,729 -0,163 0,083 -0,018 2013 18 0 1 0 0,000 0,264 -0,264 0,080 -0,080 2013 18 0 1 0 0,262 0,638 -0,376 0,083 -0,049 2013 18 0 1 0 0,241 0,335 -0,094 0,081 -0,023 2013 18 0 1 0 0,562 0,139 0,423 0,078 0,238 2013 18 0 1 0 0,000 0,201 -0,201 0,082 -0,082 2013 18 0 1 1 0,499 0,474 0,025 0,079 0,004 2013 18 0 1 1 0,000 0,076 -0,076 0,076 -0,076 2013 18 0 1 1 0,676 0,354 0,322 0,080 0,073 2013 18 0 1 1 0,371 0,208 0,163 0,077 0,061 2013 18 0 1 1 0,000 0,002 -0,002 0,075 -0,075 2013 18 0 1 1 0,000 0,078 -0,078 0,078 -0,078 - 15 - Abbildung 8: Auszug aus den modellie en We en – gewich e es mul iplika i es Modell. Zwa is auch beim gewich e en mul iplika i en Modell die gewich e e Fehle summe gleich null und die gewich e e Fehle a ianz minimal. Da du ch die Loga i hmie ung abe auch seh wei nach un en gehende nega i e We e au e en, is die Fehle a ianz deu lich höhe als beim gewich e en addi i en Modell. Beim mul iplika i en Modell is wie be ei s e läu e nach de Re-T ans o ma ion de ge- wich e e E wa ungswe de Abweichungen nich meh null. Im o liegenden Beispiel is au g und de seh hohen Fehle a ianz bei den Loga i hmen nach Anwendung de Expo- nen ial unk ion die Abweichung soga e heblich, was au eine ehe „bescheidene“ Modellei- gnung hindeu e . So e n man das mul iplika i e Modell dennoch wählen möch e, muss man die modellie en S o nowah scheinlichkei en anpassen, dami man zumindes E wa ungs eue e häl , siehe dazu die nach olgende Abbildung. Jah Al e Geschl. Ve h. Beam e Y* X* ∙ β°ε*STW° Abw. -3,807 0,000 6,208 0,019 0,004 2013 18 0 0 0 -16,328 -21,063 4,735 0,064 0,055 2013 18 0 0 0 -30,460 -14,378 -16,083 0,004 -0,004 2013 18 0 0 0 -15,462 -20,671 5,209 0,042 0,052 2013 18 0 0 0 -5,457 -14,850 9,393 0,004 0,131 2013 18 0 0 0 -2,344 -15,230 12,887 0,000 0,285 2013 18 0 0 0 -32,563 -16,606 -15,957 0,003 -0,003 2013 18 0 0 1 -13,351 -18,652 5,301 0,015 0,035 2013 18 0 0 1 -16,282 -9,712 -6,570 0,001 -0,001 2013 18 0 0 1 -36,407 -14,540 -21,868 0,010 -0,010 2013 18 0 0 1 -16,282 -9,738 -6,543 0,001 -0,001 2013 18 0 0 1 -11,513 -9,574 -1,939 0,000 0,000 2013 18 0 0 1 -3,396 -15,920 12,524 0,001 0,210 2013 18 0 1 0 -24,263 -19,115 -5,148 0,115 -0,051 2013 18 0 1 0 -38,184 -16,094 -22,090 0,008 -0,008 2013 18 0 1 0 -25,762 -19,726 -6,036 0,076 -0,041 2013 18 0 1 0 -11,779 -20,182 8,403 0,008 0,051 2013 18 0 1 0 -2,051 -13,452 11,401 0,001 0,315 2013 18 0 1 0 -28,201 -12,956 -15,244 0,005 -0,005 2013 18 0 1 1 -14,941 -21,611 6,670 0,027 0,056 2013 18 0 1 1 -11,513 -6,286 -5,227 0,002 -0,002 2013 18 0 1 1 -8,339 -17,810 9,471 0,018 0,135 2013 18 0 1 1 -5,334 -16,975 11,641 0,002 0,136 2013 18 0 1 1 -0,364 -0,284 -0,080 0,000 0,000 2013 18 0 1 1 -11,513 -6,723 -4,790 0,001 -0,001 - 16 - Abbildung 9: Auszug aus den angepass en We en – gewich e es mul iplika i es Modell. Die Modi izie ung de Modellwe e lie e e wa ungs eue We e mi e gleichsweise ge- inge Fehle a ianz, wobei hie abe keine In e p e a ion als Maximum Likelihoodschä ze möglich is . In diese Hinsich pass das Gauß Ma kow Modell nu wi klich gu bei einem addi i en Modell. Jah Al e Geschl. Ve h. Beam e STW° Abw. STW° mod Abw. mod 0,019 0,004 27,7% 0,006 2013 18 0 0 0 0,064 0,055 0,082 0,037 2013 18 0 0 0 0,004 -0,004 0,006 -0,006 2013 18 0 0 0 0,042 0,052 0,054 0,040 2013 18 0 0 0 0,004 0,131 0,005 0,129 2013 18 0 0 0 0,000 0,285 0,000 0,285 2013 18 0 0 0 0,003 -0,003 0,004 -0,004 2013 18 0 0 1 0,015 0,035 0,020 0,031 2013 18 0 0 1 0,001 -0,001 0,001 -0,001 2013 18 0 0 1 0,010 -0,010 0,013 -0,013 2013 18 0 0 1 0,001 -0,001 0,001 -0,001 2013 18 0 0 1 0,000 0,000 0,000 0,000 2013 18 0 0 1 0,001 0,210 0,001 0,210 2013 18 0 1 0 0,115 -0,051 0,147 -0,083 2013 18 0 1 0 0,008 -0,008 0,010 -0,010 2013 18 0 1 0 0,076 -0,041 0,096 -0,062 2013 18 0 1 0 0,008 0,051 0,010 0,048 2013 18 0 1 0 0,001 0,315 0,001 0,315 2013 18 0 1 0 0,005 -0,005 0,006 -0,006 2013 18 0 1 1 0,027 0,056 0,035 0,048 2013 18 0 1 1 0,002 -0,002 0,002 -0,002 2013 18 0 1 1 0,018 0,135 0,023 0,130 2013 18 0 1 1 0,002 0,136 0,002 0,136 2013 18 0 1 1 0,000 0,000 0,000 0,000 2013 18 0 1 1 0,001 -0,001 0,002 -0,002 - 17 - 4 Modell e gleiche Im Abschni zu o wu den die Be echnungen ü ein gewich e es addi i es Gauß Ma kow Modell on S o nowah scheinlichkei en e läu e und ein e s e Ve gleich mi einem ge- wich e en mul iplika i en Modell o genommen. In diesem Abschni wi d e gänzend dazu eine in ensi e Diskussion de Modelleigenscha du chge üh , insbesonde e ü das  addi i e bzw. mul iplika i e Modell und das  gewich e e bzw. ungewich e e Modell. Dabei we den K i e ien zu Beu eilung de Modellquali ä einge üh und disku ie . 4.1 Gewich e es addi i es Modell Das gewich e e addi i e Modell is im Hinblick au die gewähl e Gewich ung e wa ungs- eu, so dass keine Modi ika ion in diese Hinsich nö ig is . Die wich igs en Resul a e dieses Modells sind nach olgend zusammenge ass : Gewich e e Fehle e wa ungswe 0,000 Gewich e e Fehle a ianz 0,003 Abweichung E wa ungs eue in % 0,0% Minimum modellie e We e 3,1% Maximum modellie e We e 9,4% Fehle a ianz modellie e We e 0,003 Ko ela ion ans o mie e We e 66,4% Ko ela ion Ausgangswe e 10,0% Ko ela ion Ausgangswe e gewich e 26,3% Die gewich e e Fehle a ianz is e gleichsweise klein, wobei beim addi i en Modell kein Un e schied zwischen de Fehle a ianz des ans o mie en und des Beobach ungswe es o lieg . Die modellie en We e ü die S o nowah scheinlichkei en liegen inne halb eine seh klei- nen Bandb ei e. Bei den ans o mie en We en ( ü die die Ausgleichung ja du chge üh wu de) is die Ko ela ion zwischen ans o mie en Beobach ungen und den ausgegliche- nen We en ech hoch; die Ko ela ion zwischen den Beobach ungswe en und den zu ück ans o mie en ausgeglichenen We en is mi 26,3% abe nich besonde s ausgep äg . In de nach olgenden Abbildung sind die beobach e en We e gegen die modellie en We e ü die ans o mie en We e geplo e (wobei im Ideal all alle We e au de Ge ade Y = X liegen soll en). Da übe hinaus is die zu den Da en gehö ende Reg essionsge ade in die geplo e en Da en einge üg wo den. - 18 - Abbildung 10: Beobach ung s. Modell – gewich e es addi i es Modell (1). Bei den ans o mie en We en läss sich ein deu liche Zusammenhang e kennen, de nach Rück-T ans o ma ion abe deu lich wenige ma kan he o i , siehe dazu auch die nach- olgende Abbildung. Abbildung 11: Beobach ung s. Modell – gewich e es addi i es Modell (2). - 19 - Die Häu ung de Beobach ungswe e bei null lieg da an, dass seh häu ig kein S o no beo- bach e wu de, beispielsweise bei seh wenigen Jah eseinhei en. Bei einem gewich e en Modell is bei diesen Da enpunk en die Modellanpassung ela i beliebig, da sie ja ge ade nich ins Gewich äll . Die Beobach ungswe e bei 100% e gaben sich du ch die Beg en- zung de ik i e zeug en We e, die eilweise übe 100% lagen, wenn sich z. B. ein S o no au 0,4 Jah eseinhei en bezieh . Da die meis en Beobach ungswe e un e 40% liegen und die Kumulie ung bei 0% keine wei e e Aussagek a ha als dass de Bes and zu ge ing wa , is nach olgend noch einmal ü die ück- ans o mie en We e de Plo im Be eich on 5% bis 40% da ges ell . Abbildung 12: Beobach ung s. Modell – gewich e es addi i es Modell (3). Man kann einen leich en T end im un e en Be eich bis ca. 15% e kennen, de abe nich seh spezi isch is . 4.2 Ungewich e es addi i es Modell Die wich igs en Eckda en des ungewich e en addi i en Modells sind nach olgend zusam- menge ass : Fehle e wa ungswe 0,000 Fehle a ianz 0,013 Abweichung E wa ungs eue in % 0,0% Minimum modellie e We e 2,1% Maximum modellie e We e 10,4% Fehle a ianz modellie e We e 0,013 Ko ela ion ans o mie e We e 13,6% - 20 - Die Fehle a ianz ehl deu lich höhe aus als beim gewich e en Modell, wobei die model- lie en We e e was deu liche sp eizen, abe imme noch in eine übe schauba en Band- b ei e liegen. Da hie keine T ans o ma ion du chge üh wu de, un e scheiden sich die e - schiedenen Ko ela ionen nich , so dass hie nu ein We angegeben wu de. Die Ko ela ion is deu lich kleine als zu o . Die beobach e en e sus modellie en We e sind in de nach olgenden Abbildung geplo - e , wobei die Reg essionsge ade in die geplo e en Da en einge üg wu de. Die Häu ung bei null e gib sich wiede aus den o ini ialisie en We en. Abbildung 13: Beobach ung s. Modell – ungewich e es addi i es Modell (1). Fü eine besse e Übe sich is wiede auch de Be eich on 5% bis 40% da ges ell is , siehe dazu die nach olgende Abbildung. - 21 - Abbildung 14: Beobach ung s. Modell – ungewich e es addi i es Modell (2). De Zusammenhang is noch unspezi ische und wenige bis ga nich e kennba als beim gewich e en Modell. 4.3 Gewich e es mul iplika i es Modell Zunächs einmal sind auch ü dieses Modell die wich igs en Kenng ößen nach olgend zu- sammenge ass : Gewich e e Fehle e wa ungswe 0,000 Gewich e e Fehle a ianz 6,208 Abweichung E wa ungs eue in % 27,7% Minimum modellie e We e 0,0% Maximum modellie e We e 27,8% Fehle a ianz modellie e We e 0,006 Ko ela ion ans o mie e We e 48,4% Ko ela ion Ausgangswe e 3,3% Ko ela ion Ausgangswe e gewich e 12,0% Die gewich e e Fehle a ianz ü die Modell a iable is je z deu lich höhe als bei den addi- i en Modellen, da nach dem Loga i hmie en je z auch seh s a k nega i e We e au e en, insbesonde e du ch die Gewich ung. Au g und diese hohen Va ianz bei den (gewich e en) Loga i hmen weich das Modell seh s a k on de E wa ungs eue ab, so dass man en - sp echend modi izie en muss. Nach de Modi ika ion is die Fehle a ianz bei den S o no- wah scheinlichkei en alle dings wiede seh ge ing. - 22 - Abbildung 15: Beobach ung s. Modell – gewich e es mul iplika i es Modell (1). Bei den ans o mie en We en e gib sich eine e höh e (wenn auch nich besonde s hohe) Ko ela ion, wobei de Zusammenhang in den geplo e en Da en du chaus e kennba is , siehe auch die obige Abbildung. Die modi izie en modellie en We e sp eizen deu lich s ä ke als bei den addi i en Model- len, wobei je z de We null als Minimum auch ziemlich nah e eich wi d. Die gewich e e Ko ela ion is ähnlich ge ing wie beim ungewich e en addi i en Modell und deu lich ge in- ge als bei den ans o mie en We en, ü die die Ausgleichung ja du chge üh wu de. Die geplo e en We e ü die beobach e en Ausgangswe e mi den ück ans o mie en (und im Hinblick au E wa ungs eue angepass en) Ausgleichswe en sind in de nach ol- genden Abbildung da ges ell . - 29 - Li e a u e zeichnis [1] Koch: Pa ame e schä zungen und Hypo hesen es s in linea en Modellen. Dümmle , Bonn, 1980. [2] Scuzza ello: S o noanalyse bei einem Schaden e siche ungsbes and. Mas e A bei , Ins i u ü Ve siche ungswesen, Fakul ä ü Wi scha s- und Rech swissenscha en, Fachhochschule Köln, Köln, 2014. [3] Kahlenbe g: S o no und P o i abili ä in de P i a ha p lich e siche ung. Eine Analyse un e Ve wendung on uni a ia en und bi a ia en e allgemeine en linea en Model- len. Aachen, Shake Ve lag, 2005. - 30 - Abbildungs e zeichnis Abbildung 1: Auszug aus de komp imie en Beobach ungsda ei. ...............................................10 Abbildung 2: Auszug aus den ans o mie en We en – gewich e es addi i es Modell. .....11 Abbildung 3: Auszug aus de ans o mie en Designma ix – gewich e es Modell. ..............12 Abbildung 4: T ans o mie e Lösungsma ix – gewich e es addi i es Modell. .........................12 Abbildung 5: Cholesky Ze legung – gewich e es addi i es Modell (1). ........................................13 Abbildung 6: Cholesky Ze legung – gewich e es addi i es Modell (2). ........................................13 Abbildung 7: Auszug aus den modellie en We en – gewich e es addi i es Modell. ...........14 Abbildung 8: Auszug aus den modellie en We en – gewich e es mul iplika i es Modell. 15 Abbildung 9: Auszug aus den angepass en We en – gewich e es mul iplika i es Modell. 16 Abbildung 10: Beobach ung s. Modell – gewich e es addi i es Modell (1). .............................18 Abbildung 11: Beobach ung s. Modell – gewich e es addi i es Modell (2). .............................18 Abbildung 12: Beobach ung s. Modell – gewich e es addi i es Modell (3). .............................19 Abbildung 13: Beobach ung s. Modell – ungewich e es addi i es Modell (1). .......................20 Abbildung 14: Beobach ung s. Modell – ungewich e es addi i es Modell (2). .......................21 Abbildung 15: Beobach ung s. Modell – gewich e es mul iplika i es Modell (1). .................22 Abbildung 16: Beobach ung s. Modell – gewich e es mul iplika i es Modell (2). .................23 Abbildung 17: Beobach ung s. Modell – gewich e es mul iplika i es Modell (3). .................23 Abbildung 18: Beobach ung s. Modell – ungewich e es mul iplika i es Modell (1). ............24 Abbildung 19: Beobach ung s. Modell – ungewich e es mul iplika i es Modell (2). ............25 Abbildung 20: Beobach ung s. Modell – ungewich e es mul iplika i es Modell (3). ............26 Imp essum Diese Ve ö en lichung e schein im Rahmen de Online-Publika ions eihe „Fo schung am IVW Köln“. Alle Ve ö en lichungen diese Reihe können un e www.i w-koeln.de ode hie abge u en we den. Fo schung am IVW Köln, 8/2014 Heep-Al ine , Münchow, Scuzza ello: Ausgleichs echnungen mi Gauß Ma kow Modellen am Beispiel eines ik i en S o nobes andes Köln, Sep embe 2014 ISSN (online) 2192-8479 He ausgebe de Sch i en eihe / Se ies Edi o ship: P o . D . Lu z Reime s-Rawcli e P o . D . Pe e Schimikowski P o . D . Jü gen S obel Ins i u ü Ve siche ungswesen / Ins i u e o Insu ance S udies Fakul ä ü Wi scha s- und Rech swissenscha en / Facul y o Business, Economics and Law Fachhochschule Köln / Cologne Uni e si y o Applied Sciences Web www.i w-koeln.de Sch i lei ung / Con ac edi o ’s o ice: P o . D . Jü gen S obel Tel. +49 221 8275-3270 Fax +49 221 8275-3277 Mail jue gen.s obel@ h-koeln.de Ins i u ü Ve siche ungswesen / Ins i u e o Insu ance S udies Fakul ä ü Wi scha s- und Rech swissenscha en / Facul y o Business, Economics and Law Fachhochschule Köln / Cologne Uni e si y o Applied Sciences Gus a Heinemann-U e 54 50968 Köln Kon ak Au o / Con ac au ho : P o . D . Ma ia Heep-Al ine Ins i u ü Ve siche ungswesen / Ins i u e o Insu ance S udies Fakul ä ü Wi scha s- und Rech swissenscha en / Facul y o Business, Economics and Law Fachhochschule Köln / Cologne Uni e si y o Applied Sciences Gus a Heinemann-U e 54 50968 Köln Tel. +49 221 8275-3449 Fax +49 221 8275-3277 Mail [email p o ec ed]