Vereinfachter Nat Cat Modellierungsansatz zur Rückversicherungsoptimierung

Fo schung am IVW Köln, 3/2014
Ins i u ü Ve siche ungswesen
Ve ein ach e Na Ca
Modellie ungsansa z zu
Rück e siche ungsop imie ung
Ma ia Heep-Al ine , Sebas ian Hoos
Fo schung am IVW Köln 3/2014
Ma ia Heep-Al ine , Sebas ian Hoos
Ve ein ach e Na Ca Modellie ungsansa z zu
Rück e siche ungsop imie ung
Zusammen assung
Fü eine angemessene Modellie ung on Na Ca Risiken (beispielsweise im Zusammenhang mi eine
Rück e siche ungsop imie ung) e wende man übliche weise E en Loss Tabellen, die
on
p o essionellen ex e nen Anbie e n mi egelmäßigen Ak ualisie ungen zu Ve ügung ges ell
we den.
Diese Modelle sind i. d. R. seh kos spielig, so dass sie o nu on Rück e siche e n ode
Rück e siche ungsmakle n ü die Anwendung au die eigenen K
undenpo olios lizenzie we den.
Al e na i dazu kann mi ö en lich e ügba en In o ma ionen eine (wenn auch im Ve gleich
zu
p o essionellen ex e
nen Modellen) e ein ach e Na Ca Modellie ung du chge üh we den, die
E kenn nisse ü eine Rück e sich
e ungsop imie ung e möglich .
Abs ac
In o de o model Na Ca isks sui ably ( o example wi h espec o einsu ance op imiza ion), e en loss
ables p o ided and egula ly upda ed by ex e nal modelling companies a e usually applied.
Those models
a e no mally qui e expensi e such ha hey a e o en only licensed by einsu e s
o einsu ance b oke s o
applica ion o hei own clien po olios. Al e na i ely, a simpli ied
Na Ca modelling app oach (in con as
o p o essional ex e nal los
s e en ables) can be achie ed on he base o publicly a ailable in o ma ion ha
enables an analysis wi h espec o einsu ance
op imiza ion.
Schlagwö e :
Na Ca Modellie ung, Empi ische Ve eilung, Ve eilungsanpassung, Kollek i es Model
Keywo ds:
Na Ca Modelling, Cus omized Dis ibu ion, Dis ibuion Fi , F equency Se e i y Model
Inhal s e zeichnis
1VORBEMERKUNGEN ................................................................................................................................ 1
2PARAMETRISIERUNG ............................................................................................................................... 3
2.1SCHADENBEDARF RÜCKVERSICHERUNGSRELEVANTER EREIGNISSE ...................................................... 3
2.1.1Ve eilung de E en höhen ................................................................................................... 3
2.1.2Ve eilung de E en anzahl .................................................................................................. 7
2.2SCHADENBEDARF INSGESAMT ............................................................................................................... 9
3MODELLANSATZ ..................................................................................................................................... 10
3.1SIMULATIONSMODELL .......................................................................................................................... 10
3.1.1Ma k modell .......................................................................................................................... 10
3.1.2Un e nehmensspezi isches Modell ................................................................................... 11
3.1.3Un e nehmensspezi isches Vola ili ä smodell .............................................................. 14
3.2EVENT LOSS TABELLEN ......................................................................................................................... 17
4BERECHNUNGSBEISPIELE .................................................................................................................... 19
4.1INPUT & MODELLPARAMETER.............................................................................................................. 19
4.1.1Un e nehmen 1 ..................................................................................................................... 19
4.1.2Un e nehmen 2 ..................................................................................................................... 20
4.2GESAMTRECHNUNG INKL. RV OPTIMIERUNG ...................................................................................... 21
4.2.1Un e nehmen 1 ..................................................................................................................... 21
4.2.2Un e nehmen 2 ..................................................................................................................... 23
5FAZIT ........................................................................................................................................................... 25
LITERATURVERZEICHNIS .............................................................................................................................. 27
ABBILDUNGSVERZEICHNIS ......................................................................................................................... 28
- 1 -
1 Vo beme kungen
Fü eine angemessene Modellie ung on Na Ca Risiken (beispielsweise im Zusammenhang
mi eine Rück e siche ungsop imie ung) e wende man übliche weise E en Loss Tabel-
len, die on p o essionellen ex e nen Anbie e n mi egelmäßigen Ak ualisie ungen zu Ve -
ügung ges ell we den. Diese Modelle sind i. d. R. seh kos spielig, so dass sie o nu on
Rück e siche e n ode Rück e siche ungsmakle n ü die Anwendung au die eigenen Kun-
denpo olios lizenzie we den. Al e na i dazu kann mi ö en lich (ode eilweise ö en -
lich) e ügba en In o ma ionen eine (wenn auch im Ve gleich zu p o essionellen ex e nen
Modellen) e ein ach e Na Ca Modellie ung du chge üh we den, die E kenn nisse ü
eine Rück e siche ungsop imie ung e möglich .
So ha beispielsweise de Gesam e band de Deu schen Ve siche ungswi scha (GDV) au
Basis o handene Schadenin o ma ionen den Na Ca Schadenbeda ü K a ah Kasko
modellie und in eine S udie ü die Mi gliedsun e nehmen (siehe [1] und [2]) e ö en -
lich . Da übe hinaus sind diese E gebnisse in ein EXCEL Modellie ungs ool eingegangen,
mi dem un e nehmensindi iduell eine Na Ca Schaden e eilung au Basis de indi iduel-
len Exposu es uk u ge echne we den kann.
Alle Be echnungen e olgen dabei in de We igkei on 2008. Fü alle da au olgenden
Jah e wi d im Tool de nach olgende Fo sch eibungsalgo i hmus
SB2008 + = SB2008 · (1 + 2,32% · ) · BIP2008 + / BIP2008
angese z , wobei SB den Schadenbeda und BIP das B u oinlandp oduk bezeichne . De
GDV Ansa z geh also on eine (addi i en) In la ionie ung on 2,32% p o Jah zusä zlich zu
(mul iplika i en) BIP In la ionie ung aus. Diese zusä zliche In la ions end wu de au Basis
de Da en aus de Ve gangenhei geschä z (siehe [1]).
Da dieses Tool au de Gesam schaden e eilung be uh , können B u o Schadenbeda e ü
die Ta i ie ung und Eigenkapi albeda e ge echne we den. Eine Ne obe ach ung hinge-
gen kann kaum sinn oll abgebilde we den, da eine Gesam schaden e eilung nu die Ab-
bildung eine Rück e siche ungsquo e e möglich . Dies en sp ich abe nich de klassi-
schen Rück e siche ungss uk u bei Na Ca Schäden wie beispielsweise Kumulschaden-
exzeden en.
GDV S udien wenden sich p imä an E s e siche ungsun e nehmen als Mi gliede des GDV;
Rück e siche ungsaspek e s ehen dahe auch nich im Fokus solche S udien.
Die Einsch änkung au einen Gesam e eilungsansa z (de eine geeigne e Rück e siche-
ungsmodellie ung e hinde ) wa bei diese S udie alle dings nich zwingend, da in diese
S udie du chaus auch Einzele eignisse mi de aillie en E en in o ma ionen eingegangen
sind, die den Mi gliede n zu Ve ügung ges ell wu den. Hie bei handel e es sich um (im
- 2 -
Hinblick au die Schadenhäu igkei ) „signi ikan e“ Hagele eignisse wie z. B. den sogenann-
en „Münchne Hagel“ on 1984.
Au Basis diese In o ma ionen wä e es möglich, nach en sp echende Au be ei ung zumin-
des ü die signi ikan en Hagele eignisse eine F equency / Se e i y Modellie ung (= kollek-
i es Modell, siehe dazu auch [3]) du chzu üh en. Dies wü de die Anwendung on Kumul-
schadenexzeden en e möglichen.
De e bleidende Schadenau wand (kleine e Hagele eignisse und alle ande en Na Ca E -
eignisse wie e wa Übe schwemmung) müss en nach wie o als Basisschadenau wand mi
eine Gesam schaden e eilung modellie we den, au die dann bes en alls nu eine Vo -
abquo e angewende we den könn e. De a ige – im Hinblick au die Schadenhäu igkei als
nich signi ikan dekla ie e E eignisse – soll en alle dings i. d. R. nich obe halb de P io i ä
eines Kumulschadenexzeden en liegen.
Fü eine Rück e siche ungsop imie ung muss man alle signi ikan en (d. h. alle ück e siche-
ungs ele an en) Schadene eignisse geeigne modellie en. Dazu gehö eine sei s eine Da-
enau be ei ung (Re alo isa ionen und Exposu eangleichungen), ande e sei s eine Aus-
wahl geeigne e Ve eilungsmodelle.
So e n man die Ve eilungen modellie ha , kann man einen Simula ionsansa z du ch üh-
en, bei dem beispielsweise eine o gegebene Rück e siche ungss uk u modellie wi d.
Fü einen de a igen Ansa z benö ig man nich no wendige weise eine p o essionelle Si-
mula ionsso wa e, da schon EXCEL einen Zu allszahlengene a o zu Ve ügung s ell , de
alle ding nich an die Quali ä komme zielle Zu allszahlengene a o en he ankomm und
de im Hinblick au das Lau zei e hal en nich imme op imal is .
Ein allgemeine Nach eil on Simula ionsansä zen bes eh alle dings da in, dass – so e n
man nich ixie e Zu allszahlen einlies – gleiche Inpu s nich gleiche, sonde n nu ähnliche
Ou pu s e zeugen. Dies kann man „heilen“, indem man die wich igs en E gebnisse eines es-
en Simula ionslau es ixie – im Sinne on „E en Loss Tabellen“, die alle dings nich mi
p o essionellen E en Loss Tabellen e wechsel we den dü en.
Diese Ansa z e besse nich nu das Lau zei e hal en, sonde n lie e auch im Sinne eines
Algo i hmus‘ exak gleiche Ou pu s bei gleichen Inpu s. Die „E en Loss Tabellen“ sind abe
nich ge ade klein. Da übe hinaus kos e die Fixie ung na ü lich auch Flexibili ä im Hinblick
au no wendige Modellanpassungen.
In diese Ausa bei ung sollen solche Vo gehensmodelle am Beispiel ik i e Da en e läu e
we den, die den e ügba en In o ma ionen aus [1] und [2] nachemp unden sind. Dies soll
den einzelnen E s e siche ungsun e nehmen e möglichen, die e ügba en In o ma ionen
in diesem und gg . auch ande en Fällen ie gehende e wenden zu können.

- 3 -
2 Pa ame isie ung
Um die Auswi kungen on Kumulschadenexzeden en es en zu können, benö ig man de-
aillie e In o ma ionen ü alle ück e siche ungs ele an en E en s, die on de Höhe he in
diesen Exzeden en allen können.
Fü einen Kumulschadenexzeden en nich ele an e E eignisse können e gänzend als Ge-
sam schadenbeda modellie we den, au den dann nu noch eine Quo e angewende
we den kann.
Im Folgenden we den am Beispiel de zu o einge üh en ik i en Da en zweckmäßige Pa-
ame isie ungen und Ve eilungsanpassungen e läu e .
2.1 Schadenbeda ück e siche ungs ele an e E eignisse
Fü ück e siche ungs ele an e E eignisse soll e in jedem Fall ein F equency / Se e i y Mo-
dell (kollek i es Modell gemäß [3]) angepass we den, bei dem sowohl die E en höhen als
auch die E en anzahlen p o Jah modellie we den, gg . mi einem Modell ü einen In la i-
onie ungs end, alls die In o ma ionen nich egelmäßig ak ualisie zu Ve ügung s ehen.
2.1.1 Ve eilung de E en höhen
Die Schadenau wendungen de ück e siche ungs ele an en E en s müssen zunächs ein-
mal au das ak uelle Bezugsjah in la ionie we den. Diese In la ionie ung kann addi i , mul-
iplika i ode in eine Kombina ion aus beiden Ansä zen e olgen.
Wei e hin muss eine Exposu eangleichung au das ak uelle Bezugsjah e olgen. Diese kann
e olgen, indem man bezogen au eine Exposu eeinhei echne ode die Exposu es de ein-
zelnen Jah e au das (gg . geschä z e) Exposu e des Bezugsjah es anpass .
In de nach olgenden Tabelle is ein Auszug aus den de a au be ei e en E en schadenhö-
hen ü die e wende en ik i en Beispielda en au gelis e .
- 4 -
Abbildung 1: Re alo isie e und Exposu eangepass e E en höhen in Mio. €.
Bei de Ve eilungsanpassung diese E en schadenhöhen wu de eine s e ige „cus omized“
Ve eilung (= His og amm) wie olg modellie :
xEs wu den 11 Quan ile übe eins immend mi den en sp echenden Quan ilen de dis-
k e en empi ischen Ve eilung gewähl .
xMinimum und Maximum de cus omized Ve eilung wu den anschließend (du ch
Zielwe suche) de a e mi el , dass Mi elwe und empi ische S anda dabwei-
chung de disk e en empi ischen Ve eilung ep oduzie wu den.
xDie Auswahl de 11 Quan ile e olg e de a , dass die obe en Quan ile gu ep odu-
zie wu den. Im un e en Be eich wu den die Quan ile de a gewähl , dass das Mini-
mum de empi ischen Ve eilung gu ep oduzie wu de.
Die Auswahl de 11 Quan ile ü den Ma k schadenbeda in Mio. € und den Schadenbeda
je einzelne Exposu eeinhei in € is in de nach olgenden Tabelle illus ie :
E en Quan il Schaden-
N . höhen
E w. 113,9
S d. 262,4
1 0,00% 11,8
8 5,00% 19,4
15 10,00% 23,1
36 25,00% 33,7
71 50,00% 55,0
106 75,00% 120,2
127 90,00% 213,8
134 95,00% 260,7
135 95,71% 260,7
136 96,43% 402,7
137 97,14% 413,3
138 97,86% 520,1
139 98,57% 533,7
140 99,29% 600,5
141 100,00% 2.973,5
- 5 -
Abbildung 2: Cus omized Ve eilungsanpassung.
Im Ve gleich zu empi ischen Ve eilung lie e diese Fo m eine cus omized Ve eilungsan-
passung noch einen „Auslau “ ü seh hohe E en s, die noch möglich sind, abe bishe noch
nich beobach e wu den – wenngleich diese dann na ü lich nu äuße s sel en modellie
we den. Im Un e schied zu eine klassischen Anpassung beispielsweise mi eine Pa e o e -
eilung is diese Ve eilungsauslau abe nach oben beg enz .
Da diese Fo m eine Ve eilungsanpassung ziemlich iele de empi ischen Quan ile ep o-
duzie , lie e sie na ü lich auch ela i gu e QQ-Plo s de empi ischen Quan ile gegen die
angepass en Quan ile, siehe dazu die nach olgenden Abbildungen:
Abbildung 3: QQ-Plo s de E en schadenhöhen (1).
Quan ile Schaden Schaden
Höhe Beda
E w. 113,9 2,65
S d. 262,4 6,11
0,00% 12,0 0,3
40,00% 45,6 1,1
50,00% 55,0 1,3
85,00% 163,9 3,8
90,00% 213,8 5,0
95,00% 260,7 6,1
95,71% 260,7 6,1
96,43% 402,7 9,4
97,14% 413,3 9,6
97,86% 520,1 12,1
98,57% 533,7 12,4
99,29% 600,5 14,0
100,00% 4.846,3 112,9
0
1.000
2.000
3.000
4.000
5.000
0 1.000 2.000 3.000
- 6 -
Aus eine globalen Sich weis die Anpassung eigen lich nu seh hohe Abweichungen beim
le z en „Beobach ungspunk “ au ; dies wa abe genau de gewünsch e „Auslau “ E ek die-
se Ve eilungsanpassung.
Abbildung 4: QQ-Plo s de E en schadenhöhen (2).
Mi Ausnahme de Maxima beide Ve eilungen sind die obe s en Quan ile au g und de
Vo gehensweise bei de Ve eilungsanpassung exak ge o en; die meis en E en schaden-
höhen allen jedoch deu lich nied ige aus.
Abbildung 5: QQ-Plo s de E en schadenhöhen (3).
Auch die wei e en obe en Quan ile sind ech gu ge o en. Abweichungen (wenn auch
nich besonde s ma kan ) beobach e man ehe bei kleine en und mi le en Quan ilen, die
alle dings ü eine Rück e siche ungsop imie ung on ge inge em In e esse sind.
0
250
500
750
0 250 500 750
0
50
100
150
200
250
0 50 100 150 200 250
- 13 -
Y, Y* Basisschadenbeda des Ma k es bzw. VU spezi isch
Bezeichne man eben alls zu Ve ein achung mi P = PVU die VU indi iduelle T e e wah -
scheinlichkei , dann kann man mi diese No a ion ein VU spezi isches Modell wie olg kon-
zipie en:
N* = ∑ k ≤ N BP, k BP, k Binomial Ve eilungen, P die T e e wah scheinlichkei
X* = X · IX I
X de E en höhenindex
Y* = Y · IY Iy de Basisschadenbeda sindex
Die E en höhen- sowie die Basisschadenbeda smodellie ung e olg dabei p opo ional
en sp echend de de inie en Indizes. Bei de Modellie ung de (disk e en) E en anzahlen
is ein solch ein ache Ansa z nich möglich; hie muss bei jedem gezogenen E en gemäß
de indi iduellen T e e wah scheinlichkei noch modellie we den, ob ein Ma k e en
auch das Un e nehmen i . So e n dies jeweils unabhängig oneinande o genommen
wi d, gel en olgende Beziehungen:
E[N*] = E[N] · P
VAR[N*] = E[N] · P · (1 – P) + P2 · VAR[N]
CV[N*]2 = (1/P – 1) / E[N] + CV[N]2
So e n P ≠ 1 gil , is die Vola ili ä des VU spezifischen E en anzahlmodells höhe als dieje-
nige des Ma k modells – des o höhe , je kleine P is . Kombinie man das (nich p opo io-
nale) Modell ü die E en anzahl mi dem (p opo ionalen) E en höhenmodell, so e geben
sich ü den VU spezi ischen G oßschadenbeda olgende Pa ame e :
E[S*] = E[N*] · E[X*]
= E[N] · P · E[X] · IX
= E[S] · IS
VAR[S*] = E[N] · P · VAR[X] · IX2 + (E[X] · IX)2 · (E[N] · P · (1 – P) + P2 · VAR[N])
= (E[N] · (VAR[X] / P + E[X]2 · (1/P – 1)) + E[X]2 · VAR[N]) · IS2
= (E[N] · (VAR[X] + E[X]2) · (1/P – 1) + VAR[S]) · IS2
CV[S*]2 = (1/P – 1) · (CV[X]2 + 1) / E[N] + CV[S]2
Fü P ≠ 1 is die Vola ili ä des VU spezi ischen Schadenbeda s ü G oßschadene eignisse
höhe als die Vola ili ä des Ma k schadenbeda s.
Au g und des ein p opo ionalen Modellansa zes beim Basisschadenbeda ände sich hie
nich s an de Vola ili ä .
Insgesam e gib sich also, dass die VU spezi ische Vola ili ä ans eig , wenn die T e e wah -
scheinlichkei ungleich 100% is .
De VU spezi ische Modellansa z modellie VU spezi ische E wa ungswe e und S an-
da dabweichungen.

- 14 -
Ein Simula ionsansa z kann ela i ein ach e s ell we den und is dann auch seh lexibel im
Hinblick au die denkba en Anwendungen. Au de ande en Sei e is (z. B. bei EXCEL) das
Lau zei e hal en nich imme op imal. De g öß e „Nach eil“ eines Simula ionsanasa zes
lieg abe da in, dass bei gleichem Inpu keines alls gleiche, sonde n nu „ähnliche“ Ou pu s
he auskommen. Dies is – ge ade Nich ma hema ike n gegenübe – nich imme ein ach zu
kommunizie en.
Gleiche Ou pu s bei gleichen Inpu s e häl man beispielsweise, wenn man ein es es Se on
Zu allszahlen einlies und e a bei e . Dies ände abe nich s Wesen liches am Lau zei e -
hal en.
Eine ande e Al e na i e bes eh da in, die wich igs en Ou pu s eines Simula ionslau es zu
ixie en und da au die gewünsch en Funk ionali ä en anzuwenden. Diese Ansa z soll spä-
e noch skizzie we den.
3.1.3 Un e nehmensspezi isches Vola ili ä smodell
Typische weise e höh sich die Un e nehmensspezi ische Vola ili ä im Ve gleich zu Ma k -
ola ili ä au g und de ge inge en „Ausgleichsmöglichkei en“ (= Di e si izie ung, siehe
dazu auch [4]). Dabei gib es im Wesen lichen zwei Quellen ü eine E höhung de Vola ili ä
(beispielsweise ausged ück als Va ia ionskoe izien ):
1. Ge inge es Exposu e im Ve gleich zum Ma k exposu e und
2. höhe e Konzen a ion im Ve gleich zu Ma k konzen a ion.
Im zu o besch iebenen Modellansa z wi d eine Vola ili ä se höhung nu beim E en anzahl-
modell abgebilde , nich abe im E en höhenmodell; die G öße des Exposu es spiel keine
Rolle. So e n ü die T e e quo e P = 1 gil , e gib sich kein Vola ili ä se ek . Dies is nich in
jedem Fall ealis isch, da sich auch un e schiedliche E en höhene ek e aus eine seh a y-
pischen Konzen a ion de Exposu eeinhei en e geben können.
In diesem Abschni soll skizzie we den, wie man ein sinn olles Modell ü Vola ili ä se -
ek e beim E en höhenmodell konzipie en kann (in Anlehnung an [5]). Dazu be ach e man
den Ma k schadenbeda ü G oßschadene eignisse übe alle Regionalbezi ke / Dis ik e D:
S = ∑ wD · SD
=: ∑ wD · IS, D · S°D =: ∑ D · S°D
mi ∑ wD = ∑ D = 1. Die egionalen Schadenbeda e sind also bis au den Regionalindex IS, D
Realisa ionen eines du chschni lichen Schadenbeda s S°. Falls man also da on ausgeh ,
dass die Du chschni sbeda e S°D unabhängig und iden isch e eil sind mi den Pa ame-
e n μ und σ2, dann is die Gewich ung S e eil mi den Pa ame e n μ und ∑ ( D)2 · σ2, wobei
1/n ≤ ∑ ( D)2 ≤ 1 gil . De kleins e We e wi d bei eine Gleich e eilung und de g öß e We
bei eine ex emen Konzen a ion angenommen.
Bei eine abweichenden Konzen a ion S* = ∑ w*D · SD = ∑ w*D · IS, D · S°D e geben sich olgende
Beziehungen:
E[S*] = IS · μ mi IS = ∑ w*D · IS, D
- 15 -
VAR[S*] = IS2 · ∑ ( *D)2 · σ2 mi *D = w*D · IS, D / IS
Se z man dies in Bezug zum Ma k schadenbeda S, so e geben sich olgende Beziehungen:
E[S*] = IS · E[S]
VAR[S*] = IS2 · VAR[S] · (1 + k)
mi (1 + k) = ∑ ( *D)2 / ∑ ( D)2 de Vola ili ä se ek beding du ch un e schiedliche Konzen a-
ionen. Um nich pe manen die exak e Ma k e eilung nachka en zu müssen, wi d im Fol-
genden e ein ach da on ausgegangen, dass die Ma k e eilung in de Regel ela i
gleich ö mig is und somi ∑ ( D)2 nahe bei 1/n lieg , so dass app oxima i k = n · ∑ ( *D)2 – 1
angenommen we den kann. Dadu ch wi d k gegebenen alls e was übe schä z ; die Fo meln
sind dann abe ein ache .
De Pa ame e k häng nu on de Ve eilung des Exposu es ab und nich on de E en -
e e quo e, wobei abe ela i einleuch end is , dass bei eine hohen Konzen a ion das
Un e nehmen auch sel ene on signi ikan en E eignissen ge o en wi d. Ex em biza e
Ve eilungen (beispielweise alle Exposu eeinhei en in einem Bezi k bis au jeweils eine ein-
zige Exposu eeinhei in den ande en Zulassungsbezi ken und somi P = 1) kann diese An-
sa z alle dings nich pe ek ab angen; hie komm jedoch so ziemlich jedes e ein ach e
Modell an seine na ü lichen G enzen.
Bei eine Schadensummen e eilung e gib sich de Gesam ola ili ä se ek aus einem
Vola ili ä se ek bei de E en anzahl (welche ü eine T e e quo e P < 1 be ei s modellie
wu de) und einem Vola ili ä se ek bei de E en höhe.
Das zu o besch iebene Modell ü die E en höhen kann man je z e wei e n, indem man
beispielsweise X* = X · IX · I* se z , I* Logno mal e eil mi den Pa ame e n 1 und τ 2 sowie
unabhängig zu X, so dass man
VAR[X*] = IX2 · (VAR[X] · (1 + τ 2) + E[X]2 · τ2)
= I
X2 · VAR[X] · (1 + τ 2 · (1 + CV[X]-2))
= I
X2 · VAR[X] · (1 + δ)
e häl , wobei δ > 0 sowie δ = δP, k gil . Fü τ = 0 und dami auch δ = 0 e gib sich die be ei s
e läu e e Mul iplika ion mi dem E en höhenindex IX ohne zusä zlichen Vola ili ä se ek
bei den E en höhen.
Im Folgenden sollen die Beziehungen zwischen δ, k und P illus ie we den. Zunächs ein-
mal gil wie zu o IS = IX · P. Wei e hin gil ü die un e nehmensindi iduelle E en anzahl
E[N*] = P · E[N]
VAR[N*] = P2 · VAR[N] · (1 + λ)
mi λ = λP = (1/P – 1) · E[N] / VAR[N]. Säm liche Übe legungen kann man je z wie olg zu-
sammen assen:
E[S*] = IS · E[N] · E[X]
VAR[S*] = P2 · IX2 · (1 + k) · (E[N] · VAR[X] + E[X]2 · VAR[N])
- 16 -
= E[N*] · VAR[X*] + E[X*]2 · VAR[N*]
= P · IX2 · (1 + δ) · E[N] · VAR[X] + P2 · IX2 · (1 + λ) · E[X]2 · VAR[N]
Diesen Ausd uck kann man nun wie olg nach dem Vola ili ä se ek δ ü die E en höhen
au lösen:
(1 + δ) = P · ((1+ k) + (k – λ) · E[X]2 · VAR[N] / (E[N] · VAR[X]),
wobei P · λ · E[X]2 · VAR[N] / (E[N] · VAR[X]) = (1 – P) / CV[X]2 gil . Somi kann man wie olg
zusammen assen:
δ = P – 1 + P · k · (1 + E[N] · (CV[N]2 / CV[X])2) – (1 – P) / CV[X]2
= P · k · (1 + E[N] · CV[N]2 / CV[X]2) – (1 – P) · (1 + 1/CV[X]2)
= P · k · (1 + a) – (1 – P) · (1 + b)
De e s e Te m in diese Gleichung is imme posi i , de zwei e Te m is imme nega i , wo-
bei die Pa ame e a und b nu on den Ve eilungspa ame e n de E en anzahl und de
E en höhe abhängen. Insgesam soll δ ≥ 0 gel en.
Fü P = 1 e gib sich de Vola ili ä se ek bei de E en höhe ausschließlich aus de Konzen -
a ion de Exposu eeinhei en und den Ve eilungspa ame e n de E en anzahl und de
E en höhe. Fü P < 1 muss au g und de De ini ion in jedem Fall k > 0 gel en, d. h. es muss
P · k · (1 + a) ≥ (1 – P) · (1 + b)
gel en. Mi den Pa ame isie ungen des o liegend Modells e geben sich ü olgende
We e:
E[N] = 5,52
CV[N] = 43,1%
CV[X] =230,4%
1 + a = 1 + 5,52 · (43,1% / 230,4%)2 = 1,194
1 + b = 1 + 1 / 230,4%2 = 1,188
Au Basis diese We e e geben sich die nach olgenden Ungleichungen:
k ≥ (1/P – 1) · (1 + b) / (1 + a)
≥ (1/P – 1) · 0,996
P ≥ (1 + 1,004 · k)-1
Bei insgesam n Regionalbezi ken / Dis ik en gil k ≤ n – 1, wo aus dann eine Mindes ab-
schä zung ü P esul ie . Geh man da on aus, dass jede Bezi k on mindes ens einem
E en ge o en wi d, so gil im o liegenden Fall P ≥ 1/141 und man muss nu übe p ü en,
ob die Ungleichung
1/141 ≥ (1 + 1,004 · k)-1 bzw.
140 ≤ 1,004 · k ≤ 1,004 · (n – 1) bzw.
n ≥ 0,996 · 140 – 1
- 17 -
e üll is , was bei meh als 139 Regionalbezi ken imme de Fall is . Bei wenige Regional-
bezi ken kann man in jedem Fall
δ = max (P · k · (1 + a) – (1 – P) · (1 + b); 0)
se zen. Fü δ = 0 wi d dann nu die im o he igen Abschni besch iebene Vola ili ä sanpas-
sung ü die E en anzahl du chge üh . Die zu o ge echne en Ungleichungen zeigen, dass
es bei aus eichend ielen Regionalbezi ken / Dis ik en n einen hie zu zulässigen Konzen -
a ionspa ame e k* ≥ k mi k* ≤ kmax = n – 1 gib .
De hie besch iebene Vola ili ä sansa z ü die E en höhen is in den Beispiel echnungen
im nächs en Kapi el nich abgebilde .
3.2 E en Loss Tabellen
Um alle Funk ionali ä en und Modelle so wie zu o skizzie echnen zu können, muss man
ü einen (aus eichend g oßen!) Simula ionslau p o Simula ion i mi N(i) simulie en Ma k e-
en s olgende We e es hal en:
xE en schadenhöhen X(i, j) p o Exposu eeinhei ü alle j ≤ N(i),
xZu allszahlen Z(i, j) ü alle j ≤ N(i) ü die Anwendungen de Binomial e eilungen
xBasisschadenbeda e Y(i).
Fü jedes indi iduelle Un e nehmen mi T e e wah scheinlichkei P kann man dann ol-
gende VU spezi ischen We e p o Simula ion i (im Sinne eine es en Fo mel) echnen:
B
P(i, j) = (Z(i, j) ≥ 1 – P) · 1 Indika o , ob das E en j das VU ge o en ha .
S*(i, j) = X(i, j) · IX · BP(i, j) · EXP VU spezi ische E en höhe ü das E en j.
S*(i) = ∑ S*(i, j) VU spezi ische G oßschadenbeda
Y*(i) = Y(i) · IY · EXP VU spezi ische Basisschadenbeda .
So e n man also die benö ig en E gebnisse in eine es en Da ei abgespeiche ha , kann
man eine Rück e siche ungss uk u als eine es e Fo mel anwenden und bekomm bei glei-
chen Inpu s auch imme gleiche Ou pu s. Da man aus eichend iele Simula ionen (z. B.
20.000) ü aussagek ä ige E gebnisse b auch , sind die Ou pu da eien mi den E en Loss
Tabellen u. U. seh g oß. Aus diesem G und wu den bei de E en modellie ung die Poisson
Ve eilung de a modi izie , dass die E en anzahl au 15 beg enz wu de. Un e Modellie-
ungsgesich spunk en wa dies une heblich, e inge e abe die G öße de Ou pu da ei
signi ikan .
So e n man mi eine es en E gebnisda ei a bei e , beg enz man ande e sei s auch die Fle-
xibili ä de Anwendungen. G öße e Modellände ungen sind hie nich ohne wei e es
du ch üh ba . Hie benö ig man gg . wiede einen neuen Simula ionslau mi eine geän-
de en Ou pu s uk u .
In de olgenden Tabelle sind die Vo - und Nach eile un e schiedliche Lösungsansä ze noch
einmal zusammenge ass .
- 18 -
Lösungsansa z Vo eile Nach eile
F eie Simula ionsansa z xHohe Flexibili ä
xEin ache P og ammie-
ung
xLau zei e hal en
xKeine E gebnisiden i ä
Fes e Zu allszahleninpu xFlexibili ä
xE gebnisiden i ä
xLau zei e hal en
xZusa zp og ammie ung
Fes e Ou pu abelle xBesse e Lau zei en
xE gebnisiden i ä
xWenige Flexibili ä
xZusa zp og ammie ung
xDa eig öße
Ein eie Simula ionsansa z kann am schnells en umgese z we den und e o de keine zu-
sä zlichen P og ammkomponen en. Da nich s ixie is , is die Flexibili ä na ü lich auch am
bes en.

- 19 -
4 Be echnungsbeispiele
In diesem Abschni soll anhand on zwei Be echnungsbeispielen das zu o e läu e e un-
e nehmensspezi ische Modell illus ie we den
4.1 Inpu & Modellpa ame e
Um die Wi kungsweise zu besch eiben, sollen zwei Un e nehmen mi jeweils einem Expo-
su e on 250,0 Tsd. be ach e we den, wobei VU 1 eine kleine Kopie des Gesam ma k es
und VU 2 ein egional s a k in einigen seh isikoexponie en Bezi ken konzen ie es Un e -
nehmen sein soll. Fü diese beiden Beispielun e nehmen wu den olgende Indizes e mi el :
VU 1 VU 2
VU E en s in % de Gesam e en s 100,00% 20,00%
VU E en höhenindex 100,00% 500,00%
VU Basisschadenbeda sindex 100,00% 100,00%
Alle Be echnungen sollen ausgehend on den We en des Basisjah es mi eine In la ions-
anpassung on 119,4% au das ak uelle Jah e olgen.
Fü beide Un e nehmen is de G oßschadenbeda sindex 100%, wobei sich im e s en Fall
diese We aus ielen E en s mi du chschni liche Belas ung (bezogen au die insgesam
gleich ö mig e eil en Exposu eeinhei en) und im zwei en Fall aus wenigen E en s mi ex -
eme Belas ung (bezogen au die in seh s a k isikoexponie en Gebie en konzen ie en
Exposu eeinhei en) zusammense z .
Somi soll en ü beide Un e nehmen die E wa ungswe e, nich abe die S anda dabwei-
chungen gleich sein, siehe dazu die nach olgenden Be echnungen.
4.1.1 Un e nehmen 1
Fü das e s e Un e nehmen e geben sich alle Ve eilungspa ame e p opo ional zu den
Ma k e häl nissen, insbesonde e gil ü die VU E en s:
E[N*] = 5,52 · 100% = 5,52
STD[N*] = (5,52 · 100% · (1 – 100%) + 100%2 · 2,382)1/2 = 2,38
Fü die E en schadenhöhen in T€ bei einem Exposu e on 250,0 Tsd. e geben sich die nach-
olgenden Pa ame e in de ak uellen We igkei :
E[X*] = 2,65 · 119,4% · 100% · 250,0 = 792,3
STD[X*] = 6,11 · 119,4% · 100% · 250,0 = 1.825,3
- 20 -
Gemäß de Fo meln ü das kollek i e Modell e geben sich die nach olgenden Pa ame e ü
den G oßschadenbeda on Un e nehmen 1 in T€:
E[S*] = 5,52 · 792,3 = 4.376,7
STD[S*] = (5,52 · 1.825,32 + 792,32 · 2,382)1/2 = 4.686,9
Beim Basisschadenbeda un e scheiden sich die beiden Un e nehmen nich . Fü den Va ia-
ionskoe izien en des G oßschadenbeda s e gib sich ganz allgemein aus den Fo meln ü
das kollek i e Modell
CV[S*]2 = CV[X*]2 / E[N*] + CV[N*]2.
Au g und des p opo ionalen Ansa zes s imm de Va ia ionskoe izien on X* imme mi
dem Va ia ionskoe izien en des Ma k es übe ein. De Va ia ionskoe izien des G oßscha-
denbeda s wi d also nu on den Modelleigenscha en on N* beein luss ; die Un e neh-
mensg öße spiel keine Rolle.
Bei Einbeziehung des zu o e läu e en Vola ili ä s ak o s ü die VU spezi ische Exposu e-
konzen a ion wü de sich gg . auch ü dieses Un e nehmen ein e ände e Va ia ionskoe -
izien e geben.
4.1.2 Un e nehmen 2
Fü das zwei e Un e nehmen is insbesonde e das E en anzahlmodell nich p opo ional,
wobei sich hie olgende Pa ame e e geben:
E[N*] = 5,52 · 20% = 1,10
STD[N*] = (5,52 · 20% · (1 – 20%) + 20%2 · 2,382)1/2 = 1,05
De Va ia ionskoe izien ü die E en anzahl is deu lich höhe als beim e s en Un e neh-
men. Fü die E en höhen gel en olgende Pa ame e :
E[X*] = 2,65 · 119,4% · 500% · 250,0 = 3.961,7
STD[X*] = 6,11 · 119,4% · 500% · 250,0 = 9.126,4
Aus den Fo meln ü das kollek i e Modell e geben sich olgende Pa ame e ü den G oß-
schadenbeda :
E[S*] = 1,10 · 3.961,7 = 4.376,7
STD[S*] = (1,10 · 9.126,42 + 3.961,72 · 1,052)1/2 = 10.462,0
Zum Ve gleich sind in de nach olgenden Tabelle noch einmal die ge echne en Pa ame e
ü beide Un e nehmen gegenübe ges ell .
EW STD VK
Anzahl de E en s
VU 1
VU 2
5,52
1,10
2,38
1,05
43,1%
95,4%
- 21 -
EW STD VK
E en schadenhöhe
VU 1
VU 2
792,3
3.961,7
1.825,3
9.126,4
230,4%
230,4%
G oßschadenbeda
VU 1
VU 2
4.376,7
4.376,7
4.686,9
10.462,0
107,1%
239,0%
Beim zwei en Un e nehmen beobach e man wenige E eignisse, die das Un e nehmen (be-
zogen au die gesam en Exposu eeinhei en) abe s ä ke e en. Die Vola i il ä des G oß-
schadenbeda s is deu lich höhe als beim e s en Un e nehmen. Dies ha insbesonde e
Auswi kungen bei Rück e siche ungslösungen, da beim zwei en Un e nehmen – o z ins-
gesam gleichen E wa ungswe en wie beim e s en Un e nehmen – Rück e siche ungs-
laye ehe ge o en we den als im e s en Fall. De a ige Auswi kungen kann man abe nu
mi Simula ionsansä zen einschä zen.
4.2 Gesam echnung inkl. RV Op imie ung
Beide Un e nehmen haben einen e wa e en G oßschadenbeda on 4.376,7 T€, abe ein
un e schiedliches F equency / Se e i y P o il. Da das zwei e Un e nehmen im Schni nu
e was meh als ein E en p o Jah mi eine mi le en Schadenhöhe on e was un e 4 Mio. €
beobach e , wi d ein Kumulschadenexzeden 25 Mio. xs 5 Mio. in diesem Fall du chaus
häu ige ge o en.
Dies soll im Folgenden am Beispiel eine einzelnen Simula ion de B u o und de Ne oau -
wände illus ie we den:
4.2.1 Un e nehmen 1
Zunächs einmal muss de B u o G oßschadenau wand simulie we den, insbesonde e die
Anzahl de E en s und die jeweilige E en schadenhöhen.
- 22 -
Abbildung 9: Simulie e Anzahl de E en s ü VU 1.
Fü die E en anzahl wu de die ( ela i hohe) Zu allszahl 95,00% gezogen, so dass in einem
solchen Jah 10 E en s an allen. Das e s e Un e nehmen wi d on allen diesen Un e nehmen
genauso ge o en wie auch de gesam e Ma k .
Fü diese E en s müssen nun (bezogen au den E en höhenindex des Un e nehmens) die
jeweiligen E en höhen gezogen we den.
Abbildung 10: Simulie e E en schadenhöhen ü VU 1.
Gezogene Zu allszahl 95,00%
EW VU 5,52
STD VU 2,38
NP(XN) P(X=N) Gesam
E en s
00,4% 0,4%
12,6% 2,2% 1
28,7% 6,1% 1
320,0% 11,2% 1
435,5% 15,5% 1
552,6% 17,1% 1
668,4% 15,8% 1
780,9% 12,5% 1
889,5% 8,6% 1
994,7% 5,3% 1
10 97,7% 2,9% 1
E en anzahl
In la ion. 119,4%
EW Gesam 4.376,75
STD Gesam 4.686,91
Gezogene Schadenhöhe
Zu allszahl B u o
91,2% 1.568,1
53,6% 461,4
62,6% 654,5
82,4% 1.084,4
85,4% 1.167,8
93,2% 1.695,8
55,8% 507,0
66,4% 736,5
76,9% 965,7
77,9% 986,8
E en höhe
Imp essum
Diese Ve ö en lichung e schein im Rahmen de Online-Publika ions eihe „Fo schung am IVW Köln“. Alle
Ve ö en lichungen diese Reihe können un e
www.i w-koeln.de ode hie abge u en we den.
Fo schung am IVW Köln,
3/2014
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