i wKöln
Ins i u ü Ve siche ungswesen
Fo schung am i wKöln
Band 4/2016
Bewe e e inhomogene Ma ko -Ke en - Spezielle
un e jäh liche und zei s e ige Modelle
Ral Knobloch
Fo schung am i wKöln, Band 4/2016
Ral Knobloch
Fo schungss elle
FaRis
Bewe e e inhomogene Ma ko -Ke en – Spezielle
un e jäh liche und zei s e ige Modelle
Zusammen assung
In de o liegenden A bei wi d ausgehend on eine jäh lichen inhomogenen Ma ko -Ke e du ch
linea e In e pola ion de Übe gangsma izen und de Einhei sma ix sowohl eine un e jäh liches als
auch ein zei s e ige bewe e e inhomogene Ma ko
-Ke e kons uie . Beim un e jäh lichen Modell
lieg de Fokus au de Ve eilung de Zu alls a iablen „Ba we des Zahlungss oms“ bzw. au de
zugehö igen cha ak e is ischen Funk ion und einem EDV
- echnischen Ve ah en zu Be echnung de
Momen e de Zu alls a iablen.
Beim zei s e igen Modell s eh neben de Kons uk ion und den
üblichen E gebnissen ü zei s e ige Ma ko
-Ke en, die Ve allgemeine ung des Res glieds bzw. des
In a ianzsa zes im Mi elpunk des In e esses.
Abs ac
In he p esen pape i will be shown how a p iced inhomogeneous Ma ko chain wi h pe iods less
han a yea and a p iced inhomogeneous Ma ko chain in con inuous ime can be designed om a
gi en inhomogeneous Ma ko chain wi h annual ime pe iods by linea in e pola ion o
he ansi ion
ma ices and he iden i y ma ix.
Fo he Ma ko chain wi h pe iods less han a yea we ocus on he
dis ibu ion o he andom a iable “p esen alue o he cash
-
low” and on he associa ed
cha ac e is ic unc ion, espec i ely as well as a
n IT me hod o calcula ing he momen s o he
andom a iable. Fo he Ma ko chain in con inuous ime, he cons uc ion o he p ocess, he usual
esul s o ime
-con inuous Ma ko chains and some special esul s analogous o a Ma ko chain
wi h pe iods
less han a yea a e in he cen e o a en ion.
Schlagwö e
Ma ko
-Ke e, Bewe e e Ma ko -Ke e, Ba we , cha ak e is ische Funk ion
Keywo ds
Ma ko Chain, P iced Ma ko Chain, P esen Value, Cha ac e is ic Func ion
- 1 -
Inhal s e zeichnis
1. EINLEITUNG ........................................................................................................................................... 2
2. DAS JÄHRLICHE MODELL .................................................................................................................. 4
3. DAS SPEZIELLE UNTERJÄHRLICHE MODELL .............................................................................. 8
4. FALLBEISPIEL: PENSIONSVERSICHERUNGSMATHEMATIK ................................................... 14
5. DAS SPEZIELLE ZEITSTETIGE MODELL: KONSTRUKTION ..................................................... 18
6. DAS SPEZIELLE ZEITSTETIGE MODELL: BEWERTUNG ........................................................... 25
7. DAS RESTGLIED IN DER PENSIONSVERSICHERUNGSMATHEMATIK .................................. 30
8. SCHLUSSBEMERKUNG ..................................................................................................................... 32
9. ANHANG: ERGÄNZUNGEN ZU KAPITEL 5 .................................................................................... 33
LITERATURVERZEICHNIS........................................................................................................................... 36
- 2 -
1. Einlei ung
Ma ko -Ke en haben in den Wi scha swissenscha en die iel äl igs en
Anwendungen. Zum einen we den diese Modelle bei klassischen
be iebswi scha lichen F ages ellungen eingese z . Als Beispiele seien hie die
Themen Wa esys eme, Lage hal ung und (Ma ko sche) En scheidungsp ozesse
genann ( gl. [14]). Zum ande en inde man Anwendungen bei de Modellie ung on
Zahlungss ömen insbesonde e in den Be eichen Insu ance und Finance. Mi hil e
on Ma ko -Ke en we den z.B. in de Pe sonen e siche ungsma hema ik Ba we e,
Rese en und P ämien kalkulie ( gl. [10], [11], [6], [7], [9]). Dabei benö ig man nich
nu jäh liche sonde n auch un e jäh liche und zei s e ige Modelle. In de
Pe sonen e siche ungsma hema ik we den zu Kalkula ionszwecken sogenann e
S e be a eln e wende , diese en hal en i.d.R. eine zei liche Dynamik. Fe ne is jede
Zus and, den eine Pe son annimm , mi eine Zahlung (eine Bewe ung) e bunden.
Dies üh zu dem zen alen Beg i diese Ausa bei ung, nämlich de „bewe e en
(zei lich) inhomogenen Ma ko -Ke e“.
Im o liegenden A ikel wi d ausgehend on eine jäh lichen (bewe e en
inhomogenen) Ma ko -Ke e ein spezielles un e jäh liches bzw. ein spezielles
zei s e iges Modell kons uie und analysie . Dabei is es en scheidend, wie die
u sp ünglich jäh lichen Übe gangswah scheinlichkei en au das Jah e eil we den.
De hie gewähl e Ansa z e eil die Wah scheinlichkei en linea in dem Sinne, dass
sich die Übe gangsma ix ü das In e all
[ ]
α+ ,
ü
[ ]
0,1 ,IN 0∈α∈
du ch
In e pola ion de jäh lichen Übe gangsma ix und de Einhei sma ix e gib .
Nach Ein üh ung de jäh lichen Ma ko -Ke e wi d als e s e Schwe punk das
un e jäh liche Modell behandel . Hie bei we den zu Beginn die be ei s bekann en
E gebnisse übe die Kons uk ion des Modells ( gl. [8]) und dessen Anwendung bei
de Bewe ung on isikobeha e en Zahlungss ömen ( gl. [7]) zusammenges ell .
Anschließend wi d analog zum jäh lichen Modell ( gl. [9]) eine geschlossene Fo mel
ü die cha ak e is ische Funk ion des Ba we s eines isikobeha e en
Zahlungss oms he gelei e . Dami is das Wah scheinlichkei sgese z dieses
Ba we s es geleg , denn ü eine eellwe ige Zu alls a iable
B
is die Ve eilung
du ch die komplexwe ige Funk ion
() ( )( )
IRx , BxiexpEx ∈⋅⋅=ϕ
eindeu ig bes imm ( gl. [3] S.92). Dabei sei
1i −=
die imaginä e Einhei . Übe äg
man die Fo mel ü die cha ak e is ische Funk ion au die momen ene zeugende
Funk ion, so können du ch (nume isches) Ablei en analog zum jäh lichen Fall ( gl.
- 3 -
[9]) auch höhe e Momen e, z.B. die Va ianz und die S anda dabweichung, e mi el
we den.
Im zwei en Schwe punk s eh eine spezielle zei s e ige Ma ko -Ke e im Mi elpunk
des In e esses. Zunächs muss das spezielle Modell kons uie bzw. seine Exis enz
nachgewiesen we den. Die in diesem A ikel e wende e Vo gehensweise is
klassisch und basie wie beim un e jäh lichen Modell au dem Sa z on Kolmogo o
( gl. [3] S.257 ), mi dessen Hil e in de Wah scheinlichkei s heo ie s ochas ische
P ozesse kons uie we den. Anschließend we den meh e e ü das jäh liche und
un e jäh liche Modell be ei s in ühe en Ve ö en lichungen o mulie e E gebnisse
au das zei s e ige Modelle übe agen. Das besonde e In e esse gil dabei de
Fo mel ü den Ba we des isikobeha e en Zahlungss oms ( gl. [5], [7]) und dem
sogenann en In a ianzsa z ( gl. [12], [7]).
- 4 -
2. Das jäh liche Modell
Gegeben sei eine Ma ko -Ke e
( )
,...2,1,0
X=
mi dem endlichen Zus ands aum
}N
,...,
2,
1,
0
{S =
. Dabei s eh de Zei punk
ü den Beginn des
)1
(+
- en Jah es
bzw. die Zu alls a iable
X
ü den Zus and zu Beginn des
)1 ( +
- en Jah es,
,...
2
,
1
,
0
=
. Die Übe gangswah scheinlichkei en om Zei punk
1 −
zum Zei punk
seien gegeben du ch die (N+1)x(N+1)-Ma ix
( )
}N,...,1,0{k,j
jk ) (q) (Q ∈
=
,
d.h.
,...2,1 ,N,...,1,0k,j ),jX|kX(P:) (q 1 jk ===== −
( gl. [5]). Da die Übe gangsma izen explizi on dem Zei pa ame e
abhängen,
heiß die Ma ko -Ke e inhomogen ( gl. [10] S.16 und [14] S.11).
Die Ve eilung de Zu alls a iablen
X
,
,...2,
1,0
=
, sei gegeben du ch den
Zeilen ek o
( )
N,...,2,1,0j
j,
PP
=
=
, d.h.
N,...2,1,0j ,P)jX(P
j,
===
.
Im Folgenden wi d da on ausgegangen, dass
0
P
o gegeben is und alle
Wah scheinlichkei en, Ve eilungen und Momen e gegeben diese An angs e eilung
be echne we den. Un e Anwendung de Chapman-Kolmogo o -Gleichung ü
Ma ko -Ke en ( gl. [10] S.14) e gib sich ü
,...2
,1,
0 =
∏
=
⋅=
1s
0 )s(QPP
( gl. [5]).
Im spä e en Ve lau des A ikels we den basie end au dem jäh lichen Modell sowohl
eine spezielle un e jäh liche Ma ko -Ke e als auch eine spezielle zei s e ige Ma ko -
Ke e kons uie . Von en scheidende Bedeu ung is dabei die Ve eilung de
jäh lichen Übe gangswah scheinlichkei en au das Jah . Diese Ve eilung wi d
mi hil e de olgenden Ma izen modellie :
( )
E
1)1 (Q:) ,(U ⋅α−++⋅α=α
.
Dabei sei
0
IN ∈
,
]1,0[∈α
und
E
die Einhei sma ix.
- 5 -
Da sowohl
)1 (Q +
als auch
E
s ochas ische Ma izen sind, gil dies eben alls ü die
Ma ix
)
,(
Uα
( gl. [8]). Alle dings is dies nich aus eichend, um die beiden
speziellen Ma ko -Ke en (un e jäh lich und zei s e ig) zu kons uie en.
Man benö ig olgende Bedingungen:
(B1)
) ,(U α
is in e ie ba ü alle
0
IN ∈
und
)1,0[∈α
.
(B2)
( )
)
,
(U) ,(U 1α
⋅β −
is eine s ochas ische Ma ix ü alle
0
IN ∈
und
]1
,
0[
,∈β
α
mi
10 ≤α<β≤
.
In den p ak ischen Anwendung (z.B. in de Pensions e siche ungsma hema ik) is es
o de Fall, dass es sich bei den Übe gangsma izen
)
(Q
,
IN ∈
, um obe e
D eiecksma izen handel . Se z man dies o aus, so is Bedingung (B1) imme
gegeben. Fü Bedingung (B2) lassen sich bei zwei
)21N( =+
bzw. bei d ei
Zus änden
)
31
N( =
+
Vo ausse zungen o mulie en, un e denen sie e üll is ( gl.
[8] S.12 ).
Mi Blick au eine EDV- echnische Umse zung - auch bei g öße en Zus ands äumen -
soll e die Be echnung on
( )
) ,(U) ,(U 1α⋅β −
ü alle
0
IN ∈
und
]1,0[, ∈βα
mi
1
0≤
α<β≤
handhabba sein. Eine Möglichkei bes eh dabei in de Anwendung de
Neumannschen Reihe. Um die Gül igkei de Neumannschen Reihe zu
gewäh leis en, wi d olgende Bedingung o mulie :
(B3) Fü
IN ∈
seien alle Eigenwe e de Übe gangsma ix
)
(Q
eellwe ig
und nich nega i .
Da
)
(Q
eine s ochas ische Ma ix is , is die Bedingung (B3) insbesonde e dann
e üll , wenn es dabei sich bei den Übe gangsma izen um obe e D eiecksma izen
handel . Dies is bei den Modellen de Pe sonen e siche ungsma hema ik i.d.R. de
Fall.
Sa z 1:
a) Es sei
0
=β
. Dann gil :
()
)
,(U) ,(
U)
,(U 1α=
α⋅β −
ü alle
0
IN ∈
und
]1,0(∈α
.
b) Es sei
10 <
β<
. Dann olg aus (B3):
( ) ( )
∑
∞
=
−
+−⋅β
⋅
β
β−α
−⋅
β
α
=α⋅β
0k
k
k
1
)1 (QEE
) ,(U) ,(U
ü alle
0
IN ∈
und
]1,0
(∈α
mi
10 ≤α<β<
.
- 6 -
Beweis:
a) Fü
0
=β
gil
E
)
,
(U =β
. Somi is die Behaup ung i iale weise e üll .
b) Es gil :
( ) ( )(
) ( )( )
( )( ) ( )( )
)1 (QEE)1 (QE
E
E1)1 (QE1)1 (Q) ,(U) ,(U
1
11
+−⋅α−
⋅+−⋅β−=
=⋅α−++⋅α⋅⋅β−++⋅β=α⋅β
−
−−
Die Eigenwe e on
)1 (Q +
sind alle eellwe ig und nich nega i . Dami liegen
alle Eigenwe e on
( )
)1 (QE +−⋅β
im In e all
)1
,
0[
. Diese Aussage e häl man
wie olg :
Es sei
a
ein Eigenwe on
( )
)1 (QE +−⋅β
. Dann gib es einen geeigne en
Vek o
w
mi
( )
w)1 (Qww)1 (QEwa ⋅+⋅β−⋅β=⋅+−⋅β=⋅
.
Da aus olg :
w
a
w)1 (Q ⋅
β
−β
=⋅+
Somi ha
)1 (Q +
den Eigenwe
β
−β a
. Da alle Eigenwe e on
)1 (Q +
( eellwe ig und) nich nega i sind, e häl man wg.
0
>
β
die Ungleichung
β≤a
und dami
1a <
.
)1 (Q +
is eine s ochas ische Ma ix, dahe gil nach dem Haup sa z 2.6. in [1]
1
a≤
β
−β
Da
0>β
, olg da aus
β≤−β a
bzw.
0a ≥
.
Es sei
ρ
das Maximum de Absolu be äge de Eigenwe e on
( )
)1 (QE +−⋅β
.
Wg.
1<ρ
kon e gie die Neumannsche Reihe ( gl. [2] S.264 ) und es gil :
( )( ) ( )
∑
∞
=
−+−⋅=+−
⋅β−
0k
k
k
1)1 (Q
Eß)1 (Q
EE
.
Da aus olg :
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
=+−⋅⋅α−+−⋅=
=+−⋅α−⋅+−⋅=α⋅β
∑∑
∑
∞
=
+
∞
=
∞
=
−
0k
1k
k
0k
k
k
0k
k
k
1
)1 (QEß)1 (QEß
)1 (Q
EE)1 (QEß) ,(U) ,(U
- 7 -
( )
( ) ( )
( ) ( )
∑∑
∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
−
+−⋅⋅
β
β−α
−⋅
β
α
==+−⋅⋅
β
α−β
+⋅
β
α−β
−=
=+−⋅⋅
β
α−β
+=+−⋅β⋅α−+=
0k
k
k
0k
k
k
1k
k
k
1k
k
1kk
)1 (QEßE)1 (QEßEE
)1 (QEßE)1 (QEßE
□
Fü den Res des o liegenden A ikels wi d da on ausgegangen, dass die
Bedingungen (B1), (B2) und (B3) e üll sind.
- 14 -
4. Fallbeispiel: Pensions e siche ungsma hema ik
In [5], [6] und [9] wi d da ges ell , wie das Konzep de bewe e en inhomogenen
Ma ko -Ke e zu Modellie ung in de Pensions e siche ungsma hema ik bzw. in de
be ieblichen Al e s e so gung e wende we den kann. Die olgenden Aus üh ungen
knüp en dabei an die Beispiele in [9] an. Bei diesen Beispielen e olg die Bewe ung
du ch nume isches Ablei en de momen ene zeugenden Funk ion bei jäh liche
Zahlweise. Im olgenden Fallbeispiel wi d die Vo gehensweise bei mona liche
Zahlweise anhand eine Ba we be echnung e läu e .
Dazu wi d das Schicksal eine Pe son mi hil e eine inhomogenen Ma ko -Ke e au
Basis de in Deu schland in de Pensions e siche ungsma hema ik übliche weise
e wende en S e be a eln – auch Rich a eln genann – ( gl. [4]) modellie . Mögliche
Zus ände sind dabei „A bei nehme /in ak i “, „A bei nehme /in ausgeschieden“,
„Beziehe /in eine In aliden en e“, „Beziehe /in eine Al e s en e“ und „Beziehe /in
eine Hin e bliebenen en e“. Die Übe gangswah scheinlichkei en de Ma ko -Ke e
e geben sich aus den biome ischen Rechnungsg undlagen de Rich a eln. Dabei
handel es sich um eine Gene a ionen a el, d.h. die Wah scheinlichkei en hängen
nich nu on Geschlech und Al e , sonde n auch om Gebu sjah gang ab ( gl. [4]).
Die un e jäh lichen Übe gänge we den wie in Kapi al 3 da ges ell du ch eine linea e
In e pola ion mi de Einhei sma ix be ücksich ig . Die Bewe ung e gib sich bei
Ren enbezug aus de Höhe de Ren e und wi d in allen ande en Zus änden mi „null“
angese z .
Im Folgenden we den bei einem konk e en Pe sonenbes and und eine konk e en
Ve so gungso dnung ü die Zu alls a iable „Ba we de Ve p lich ungen“ de
E wa ungswe und die S anda dabweichung be echne . Im Anschluss we den die
E gebnisse mi denen de üblichen Bewe ungsme hode und mi den E gebnissen
eine Mon e-Ca lo-Simula ion e glichen.
Wi be ach en die olgende Fes en enzusage: Als Al e s- und In aliden en e we den
mona lich 100 €, als Hin e bliebenen en e mona lich 60 € zugesag . Die Zahlweise
sei mona lich o schüssig, de Bewe ungss ich ag de 31.12.2015 und de
Rechnungszins 3%. Als Endal e (Übe gang in den Zus and „Beziehe /in eine
Al e s en e“) wi d das Al e 67 angese z . De Ein achhei halbe wi d die Bewe ung
ohne Dynamik und ohne Fluk ua ion du chge üh . Le z e es ha zu Folge, dass de
Zus and „A bei nehme /in ausgeschieden“ nich ele an is . De Bes and is wie olg
s uk u ie :
• Zehn Pe sonen
• Vie ak i e A bei nehme
• Sechs Ren enbeziehe : zwei In aliden en ne , zwei Al e s en ne und zwei Hin e -
bliebenen en ne
• Fün F auen und ün Männe
- 15 -
Jede Pe son wi d einzeln bewe e , d.h. ü jede Pe son we den de E wa ungswe
und die Va ianz de Zu alls a iable „Ba we de Ve p lich ungen“ e mi el . Da de
E wa ungswe als s ochas ische Kennzahl linea is , e gib sich de e wa e e
Ba we bezogen au den Bes and du ch Addi ion de Einzelwe e. Se z man die
Unabhängigkei de pe sonenbezogenen Ba we e o aus, so be echne sich die
Va ianz des Ba we s bezogen au den Bes and du ch Addi ion de Einzelwe e. Die
S anda dabweichung e häl man als Wu zel aus de Va ianz.
Se z man das Konzep de bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke e EDV- echnisch
um, so sind bei de Be echnung de momen ene zeugenden Funk ion zwei
Besonde hei en zu beach en:
• Au die di ek e Be echnung on
1
1
,
12
1
s
U
−
−
−
ü
IN ∈
und
{ }
12,,2,1s 2∈
kann e zich e we den. Die un e jäh lichen Übe gangsma izen können
nähe ungsweise mi hil e de Neumannschen Reihe e mi el we den.
• Die Übe gangswah scheinlichkei en ü den Übe gang in den Zus and „Beziehe /in
on Al e s en e“ we den nich in e polie sonde n es wi d da on ausgegangen,
dass de Übe gang exak im Al e 67 e olg . Dies en sp ich de Modellie ung im
Modell de Rich a eln.
Noch zu übe p ü en is alle dings, ob die Bedingungen (B1), (B2) und (B3) aus
Kapi el 2 e üll sind. O dne man die Zus ände geschick an, so handel es sich bei
den jäh lichen Übe gangsma izen um obe e D eiecksma izen. Da es auch
s ochas ische Ma izen sind, is Bedingung (B3) e üll . Die Bedingungen (B1) und
(B2) we den mi hil e eine EDV- echnischen Umse zung in de olgenden Fo m
übe p ü :
(B1)
−
−1 ,
12
1s
U
is in e ie ba ü alle
IN ∈
und
{ }
12,,2,1s 2∈
.
(B2)
−⋅
−
−
−
1 ,
12
s
U1 ,
12
1s
U
1
is eine s ochas ische Ma ix ü alle
IN ∈
und
{ }
12,,2,1s 2∈
.
Dies is aus eichend, da zu Kons uk ion de un e jäh lichen Ma ko -Ke e lediglich
die Übe gänge on
12
1s
1 −
+−
nach
12
s
1 +−
ü
IN ∈
und
{ }
12,,2,1s 2∈
ele an
sind. Da im Rahmen de Übe p ü ung mi
−⋅
−
−
−
1 ,
12
s
U1 ,
12
1s
U
1
auch die
un e jäh lichen Übe gangsma izen di ek be echne we den, könn e au die
Nähe ung mi de Neumannschen Reihe e zich e we den. Dies is insbesonde e
imme de Fall, wenn die jäh lichen Übe gangsma izen obe e D eiecksma izen sind.
- 16 -
Es sei
( )
( )
()
IRx
,
)n
,
T(
Bx
exp
En,T,xm 0∈
⋅=
,
die momen ene zeugende Funk ion. Dabei sei
n
so gewähl , dass alle
Ren enzahlungen, die eine Pe son im Lau e ih es Lebens e hal en kann,
be ücksich ig we den. Au g und de Sys ema ik in den Rich a eln kann
103n =
gese z we den. Wg. de mona lichen Zahlweise gil
12T =
. Mi hil e de üblichen
nume ischen Ablei ungen ( gl. [15] S.43 ) e gib sich:
( )
h2
)n,T,h(m)n,T,h(m
)n
,T,x(mn,T(BE 0x
x0 ⋅
−−
≈= =
und
()
( )
2
2
0
x
xx
2
0
h
2
)n
,
T,
h(
m)n,T,h(m h
)
n,
T
,0
(m2)n,T,h(m)n,T,h(m
)
n
,T
,x
(
m)
n,
T
(B
E
−−
+
=
=
⋅−−+
≈
==
bzw.
( ) ( )
( )
( )( )
( )
2
2
2
0x
x
0x
xx
2
0
2
00
h2
)n,T,h(m)n,T
,h(
m
h
2)n,T,h(m)n,T,h(m
)n, ,x(m
)n,
,x(
m
)n, (BE)n
, (
BE)n, (BVa
⋅
−−
−
−−+
≈
≈−=
=
−=
==
.
Dabei sei
0h >
hin eichend klein zu wählen. Wi d
h
zu g oß gewähl , so is die
Nähe ung nich aus eichend. Wi d
h
alle dings zu klein angese z , so können
nume ische E ek e die E gebnisse e älschen. Im o liegenden Beispiel wi d
6
10h −
=
gewähl . In de olgenden Tabelle we den die so be echne en Momen e de
Bewe ung mi den Rich a eln und den E gebnissen eine Mon e-Ca lo-Simula ion
gegenübe ges ell . Die Mon e-Ca lo-Simula ion wu de mi 1.000 Läu en du chge üh ,
die Schä zung de Momen e e olg e mi den üblichen Me hoden de desk ip i en
S a is ik.
- 17 -
Me hode/Modell
Bewe ung/
E wa ungswe
Va ianz
S anda dabweichung
Bewe e e
inhomogene
Ma ko -Ke e
146.328,70
253.260.314,64
15.914,15
Rich a el
146.326,56
Mon e-Ca lo-
Simula ion
145.887,96
249.690.562,56
15.801,60
Somi s immen in diesem Beispiel bei mona liche Zahlweise de E wa ungswe au
Basis eine bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke e und die übliche Bewe ung
gemäß Rich a el-Modell bis au eine minimale Abweichung übe ein. Zusä zlich lie e
die Modellie ung mi eine bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke e die Va ianz und
die S anda dabweichung (in Höhe on ca. 10,9% des E wa ungswe es). Die
E gebnisse au Basis eine bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke e passen im
Wesen lichen auch zu den E gebnissen de Mon e-Ca lo-Simula ion. Die
Abweichungen e geben sich hie du ch die Anzahl de Simula ionsläu e (1.000) und
die Quali ä des Zu allsgene a o s.
- 18 -
5. Das spezielle zei s e ige Modell: Kons uk ion
Die olgende Kons uk ion is eine Anwendung des Sa zes on Kolmogo o ( gl. [3]
S.257 ).
Wi be ach en wie bishe den endlichen Zus ands aum
{ }
N,,2,1,0S 2=
und die
An angs e eilung
0
P
au dem Zus ands aum
S
. Gegeben sei je z die
kon inuie liche Indexmenge
[
)
∞,0
, d.h. ü den Zei index gil
[
)
∞∈ ,0
.
Es wi d ein Sys em on endlich-dimensionalen Rand e eilungen
n21
,, ,
p2
wie olg
de inie :
1. Fü
[
)
∞∈ ,0 ,
s
mi
s ≤
sei
( )
( )
( )
]) [], [ (U)m(Q])s[],s[s(U :) ,s( ,s
] [
1]s[m
1
Sj,i
j,i −⋅⋅−=Λ=λ ∏+=
−
∈
.
2. Es sei
INn∈
. Fü
[
)
∞∈ ,0
,,
, n21 2
mi
n2
1
<<< 2
de inie en wi
( ) ( )
( )
( )
∑
=
−−
λ⋅⋅λ⋅λ⋅λ⋅
=
N
0k x,x
n1n
x,x
32
x,x
21
x,k
10
n21 ,, ,
n1n
32
211
n21
, , , ,0)k(P
:)x,,x,x(p
3
2
2
ü
Sx,,x,x n21 ∈2
.
Es sei
INn∈
. Es seien
[
)
∞
∈,0 ,
, ,
n2
12
mi
n
21 <<< 2
. Fe ne seien
gegeben
Sx,,x,x,,x,x
n1j1j21
∈
+−
22
. Dann gil
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
=λ⋅⋅λ⋅λ⋅
⋅λ⋅λ⋅λ⋅=
=λ⋅⋅λ⋅λ⋅
⋅λ⋅λ⋅λ⋅=
=
−
+−
−
+−
−+−
= =
−+−
= =
=
+−
∑ ∑
∑ ∑
∑
n1n
1j1j
32
211
n1n
1j1j
32
211
n21
x,x
n1n
x,l
1jj
l,x
j1j
N
0k
N
0l x,x
32
x,x
21
x,k
10
x,x
n1n
x,l
1jj
l,x
j1j
N
0l
N
0k x,x
32
x,x
21
x,k
10
N
0l n1j1j21 ,, ,
, , ,
, , ,0)k(P
, , ,
, , ,0)k(P
)x,x,l,x,,x,x(p
33
3
33
3
22
2
- 19 -
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
)x,x,x,,x,x(p
, ,
, , ,0)k(P
, , ,
, , ,0)k(P
n1j1j21 ,, , , ,
x,x
n1n
x,x
1j1j
N
0k x,x
32
x,x
21
x,k
10
x,x
n1n
N
0l x,l
1jj
l,x
j1j
N
0k x,x
32
x,x
21
x,k
10
n1j1j21
n1n
1j1j
32
211
n1n
1j1j
32
211
22
33
3
33
3
22 +−
−+−
=
−
=
+−
=
+−
−
+−
−
+−
=
=λ⋅⋅λ⋅
⋅λ⋅λ⋅λ⋅=
=λ⋅⋅
λ⋅λ⋅
⋅λ⋅λ⋅λ⋅=
∑
∑
∑
Dabei e gib sich das o le z e Gleichhei szeichen aus:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1j1j
1j1j1j
] [
1] [m
1
1j1j1j
1j1j1j
] [
1] [m
1
jjj
jjj
] [
1] [m
1
1j1j1j
1jjj1j
,
]) [], [ (U)m(Q]) [], [ (U
]) [], [ (U)m(Q]) [], [ (U
]) [], [ (U)m(Q]) [], [ (U
, ,
1j
1j
1j
j
j
1j
+−
+++
+=
−
−−−
+++
+=
−
+=
−
−−−
+−
Λ=
=−⋅⋅−=
=−⋅⋅−
⋅−⋅⋅−=
=Λ⋅Λ
∏
∏
∏
+
−
+
−
Somi is das hie de inie e Sys em on endlich-dimensionalen Rand e eilungen
n21 ,, ,
p2
e äglich bezüglich des „Einschiebens eines Zei punk es“. Die
allgemeine Ve äglichkei e häl man pe Induk ion. Mi dem Sa z on Kolmogo o
e gib sich dann:
1. Es gib ein eindeu iges Wah scheinlichkei smaß, das zu den endlich-
dimensionalen Rand e eilungen pass .
2. Es gib einen s ochas ischen P ozess
( )
),0
[
Z∞∈
mi
( )
)
x,,x,x(pxZ,,xZ
,xZP n21 ,,
, n 2 1
n21n
21 22 2
=
===
ü alle
[
)
∞∈ ,0 ,, ,
n21 2
mi
n21
<<< 2
und
Sx,,x,x
n21
∈2
.
- 20 -
Diese P ozess
( )
),0[
Z∞∈
e üll - wie es nich ande s zu e wa en is - die Ma ko -
Eigenscha
( ) ( )
1n n 1n 2 1 n
xZ|xZPxZ,,ZZ,xZ|xZP 1nn1n21n
−−
======= −−
2
und is somi eine zei s e ige Ma ko -Ke e mi de An angs e eilung
0
P
und den
Übe gangsma izen
) ,s(Λ
,
[
)
∞∈ ,
0
,s
,
s ≤
. Dabei s eh
) ,s(Λ
ü den Übe gang
on
s
nach
. Bezüglich des Beweises de Ma ko -Eigenscha wi d au den
Anhang e wiesen.
Beme kungen:
a) Gemäß [3], S.298 , olg aus de oben o mulie en Ma ko -Eigenscha
( ) ( )
1n n 1n 2 1 n
xZ|xZPxZ,,ZZ,xZ|xZP 1nn1n21n
−−
======= −−
2
die ein ache Ma ko -Eigenscha im Sinne on [3], S.298, bzw. die Ma ko -
Eigenscha gemäß on [13], S.350:
( ) ( )
ss uu xZ|xZPsu ,xZ|xZP ===≤==
b) Es seien
Sx
,x 2
1∈
und
)
,0[u,
,s ∞∈
mi
u
s<
<
. Mi den hie e wende en
No a ionen gil
( )
1s2 x,x xZ|xZP) ,s(
21 ===λ
und die Chapman-Kolmogo o -
Gleichung kann wie olg o mulie we den:
∑
=
λ⋅λ=λ N
0k x,kk,xx,x ) ,u()u,s() ,s( 2121
bzw.
)
,
u()u,s(
)
,
s( Λ⋅Λ=
Λ
Sa z 5:
Fü die zei s e ige Ma ko -Ke e
( )
)
,0
[
Z
∞
∈
exis ie en die olgenden G enzwe e ü
alle
[
)
∞∈ ,0
:
(
)
) (:
h
1xZ
|xZP
lim
x x
h
0h
m=
−==
+
+→
ü alle
Sx∈
( )
) (:
h
xZ|xZP
lim
21xx
1 2h
0h
m=
==
+
+→
ü alle
Sx,x 21 ∈
mi
21 xx ≠
Fe ne gil :
a)
( )
()
21
21
x,
x
1
xx )E)1]
([Q(])
[], [
(U)
(−+⋅
−=m −
b) Fü alle
Sx
,x 21 ∈
is die Funk ion
) ( 21xx
m→
ech ss e ig ü
[
)
∞∈ ,0
.
- 21 -
c) Fü alle
Sx,x 21 ∈
is die Funk ion
) ( 21xx
m→
linkss e ig ü
[
)
∞∈ ,0
0
IN
.
Fü den Beweis benö ig man zunächs die olgenden E gebnisse.
Lemma:
Gegeben seien die s ochas ischen nxn-Ma izen
2,A,A,A 21
und die s ochas isch-
en nxn-Ma izen
2,B,B,B
21
mi
AAlim
k
k
=
∞→
und
BBlim
k
k
=
∞→
.
a)
( )
BABAlim
kk
k
⋅=⋅
∞→
.
b) Es seien
2,A,A,A 21
in e ie ba e Ma izen. Dann gil :
( )
1
1
k
kAAlim −
−
∞→ =
.
Beweis (Lemma):
a) Fü eine nxn-Ma izen
C
sei
=∑
=
n
1
jij
icmax
:C
. Mi [1], Sei e 9, gil :
0BBAA
BBABAA
BABABABA
BABABABABABA
k
kk
kkk
kkkk
kkkkkk
→−+−≤
−⋅+⋅−≤
⋅−⋅+⋅−⋅≤
⋅−⋅+⋅−⋅=⋅−⋅
∞→
Dami olg eben alls mi [1], Sei e 9, die Behaup ung.
b) Wg.
( )
( )
( ) ( )
1
k
k
1
k
k
k
k
1
kk
kA
limAAlimAlimAAlimE−
∞→
−
∞→∞→
−
∞→ ⋅=⋅=⋅=
olg die
Behaup ung.
□
Beweis (Sa z 5):
Es sei
[
)
∞∈ ,0
. Es
0h >
hin eichend klein, so dass
]
h []
[+=
. Dann gil :
( ) ( )
( )
( ) ( )
()
)E)1] ([Q
(]) [], [
(UhE
)E)1] ([
Q(h]) [
], [ (U])
[], [
(U
])
[],
[h (U])
[], [ (U
])h
[],
h [h (
U]) [], [
(Uh ,
1
1
1
1
−+
⋅−⋅+=
=
−+⋅+−⋅
−=
=−+
⋅−=
=
++−+⋅−
=+Λ
−
−
−
−
Dami olg
- 22 -
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
x,x
1
x,x
1
0h
x,x
1
0h
x,x
0h
h
0h
xx
)E)1] ([Q(]) [], [ (U)E)1] ([Q(]) [], [ (Ulim
h
1)E)1] ([Q(]) [], [ (Uh1
lim
h
1h ,
lim
h
1xZ|xZP
lim) (
−+⋅−=−+⋅−=
=
−−+⋅−⋅+
=
=
−+λ
==
−==
=m
−−
+→
−
+→
+→
+
+→
ü alle
Sx∈
und
()
( )
()
( )
( )
( )
( )
( )
2
121
21
2
1
2
1
x
,x
1
x,x
1
0h
x
,
x
1
0
h
x,
x
0h
1
2h
0h
x
x
)E
)1]
([Q(
]) [
], [
(U)E)
1] ([
Q(])
[], [ (U
lim
h
)
E
)1
]
([
Q(
])
[
],
[
(
Uh
lim
h
h
,
lim
h
x
Z|
xZ
P
lim
)
(
−+⋅
−=−+
⋅−=
=
−+
⋅
−⋅
=
=
+
λ
=
=
=
=m
−
−
+→
−
+
→
+
→
+
+
→
ü alle
Sx,x
21
∈
. Somi e häl man zusammenge ass :
( )
( )
21
21
x
,x
1
xx )
E)1
] ([Q
(]) [], [ (
U)
(−+
⋅−=
m−
ü alle
[
)
∞∈ ,0
und
Sx,x 21 ∈
.
Die Rech ss e igkei e gib wie olg :
()
( )
()
])
[],
[ (
UE
])
[
1(
)1]
([Q
]) [
(
E
])
[h
1(
)1]
([
Q
])
[
h
(lim
E
])h [
h
1
()
1
]h
([Q
])h [
h
(
lim
]
h
[
],
h
[h
(U
lim
0h
0h
0h
−=
⋅
+
−++
⋅−
=
=⋅
+−
−++
⋅
−+
=
=
⋅+
+
−
−+
+
+⋅+
−
+
=
=
++
−+
+→
+→
+→
Mi Lemma 1 e häl man:
( ) ( )
11
0h ] [], [ (U]h [],h [h (Ulim −−
+→ −=++−+
.
Da aus olg :
( )
( )
( )
( )
( )
( )
)E)1] ([Q(]) [], [ (U)E)1] ([Q(]) [], [h (Ulim
)E)1]h ([Q(])h [],h [h (Ulim
11
0h
1
0h
−+⋅−=−+⋅−+=
=−++⋅++−+
−−
+→
−
+→
Somi is die Rech ss e igkei bewiesen. Die Linkss e igkei ü
[
)
∞∈ ,0
0
IN
e gib
sich analog, da
] []h [ =+
ü
0h <
mi hin eichend kleinem Be ag.
□
- 23 -
Beme kung:
Das olgende Beispiel zeig , dass die Funk ion
) ( 21xx
m→
an de S elle
IN
∈
eine
Uns e igkei ss elle haben kann. Es sei
IN ∈
und
)
(
Q
in e ie ba mi
()
E)
1
(
Q)
(
Q
E1−
+≠
−−
.
Wg.
] [ =
e häl man:
( ) ( )
E)1 (Q)E)1 (Q(E
)E
)
1
(Q
(
)
,0
(
U)
E)
1
] ([Q(]) [], [ (U
11
−+=−+⋅
=
=
−+
⋅
=−
+⋅−
−
−
Fü
0h <
mi hin eichend kleinem Be ag gil
1
1] []h [ −
=
−=+
. Dami e gib sich:
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
E)1 (Q) (QE)E) (Q() (Q)E) (Q()1 ,1(U
)E) (Q()1 ,1 h (Ulim
)E)1]h ([Q(])h [],h [h (Ulim
111
1
0h
1
0h
−+≠−=−⋅=−⋅−=
=−⋅−+−+=
=−++⋅++−+
−−−
−
−→
−
−→
Als S anda de gebnis aus de Theo ie de zei s e igen Ma ko -Ke en lassen sich
auch hie die Vo wä s- und die Rückwä sgleichung o mulie en. Bezüglich de
Beweise wi d au den Anhang e wiesen.
Sa z 6:
Es gil die Kolmogo o sche Vo wä sgleichung, d.h.:
( ) ( ) ( )
∑
=
+
+→ m⋅===
==−== N
0k x k1s
1s2 1s2h
0h ) (xZ|kZP
h
xZ|xZPxZ|xZP
lim
2
ü alle
[
)
∞∈ ,0 ,s
mi
s <
und
Sx,x 21 ∈
.
Sa z 7:
Es gil die Kolmogo o sche Rückwä sgleichung, d.h.:
( ) ( ) ( )
∑
=
+
+→ ==⋅m−=
==−== N
0k s2 kx
1s2 1hs2
0h kZ|xZP)s(
h
xZ|xZPxZ|xZP
lim 1
ü alle
[
)
∞∈ ,0 ,s
mi
s <
und
Sx,x 21 ∈
.
Mi de Bezeichnung
( )
Sx,x
x x 21
2
1) (:) ( ∈
m=Μ
lassen sich die Gleichung wie olg
da s ellen ( gl. [10] S.18 ).
- 30 -
7. Das Res glied in de Pensions e siche ungsma hema ik
In de Pensions e siche ungsma hema ik bzw. de be ieblichen Al e s e so gung
wi d zu Be ücksich igung de un e jäh lich o schüssigen Zahlweise i.d.R. das
Res glied gemäß In a ianzsa z ( gl. [12]) e wende . Dabei wi d dieses Res glied
on den Bewe ungs ak o en eine lau enden Leib en e om Jah esbe ag 1 in Abzug
geb ach . Das gleiche E gebnis e häl man in dem hie e wende en un e jäh lichen
Ma ko -Modell ( gl. Sa z 3). Bei T- ache Zahlung und einem jäh lichen
Rechnungszins
0
>
ha das Res glied ohne die Be ücksich igung eine
Ren endynamik die Ges al :
( )
∑
−
=⋅
+
+
⋅
⋅1
T
0s
sT
1
s
T
1
.
Läss man die Anzahl de un e jäh lichen Zahlungen gegen unendlich lau en, so
kon e gie dieses Res glied gegen das en sp echende Res glied des zei s e igen
Modells. D.h. es gil
()( )
)
1
ln(
1
ds
s
1
)
1(
s
s
T
1s
T
1
lim 2
1
0
1T
0
s
T+−
⋅
+
=
⋅+
+
⋅
=
⋅+
+⋅
⋅∫
∑
−
=
∞→
.
Beweis:
Es sei
s1
) 1(s
:)s( ⋅+
+⋅
=
,
]1,0[s∈
. Nähe man das In eg al
∫⋅+
+⋅
1
0
ds
s
1
) 1(s
du ch
Un e summen, so e gib sich:
∑∑
∫−
=
∞→
−
=
∞→ ⋅+
+⋅
⋅=⋅=
⋅+
+⋅ 1T
0s
T
1T
0s
T
1
0 s1
) 1(s
T
1
lim)s(
T
1
limds
s1
) 1(s
.
Die Behaup ung olg aus Sa z 9.
□
Ve wende bei de Kon e genz ans elle de Un e summen die Obe summen, so gil
analog
( ) ( )
)
1ln(
1
ds
s1
) 1(s
sT
1s
T
1
lim 2
1
0
T
1s
T+−⋅
+
=
⋅+
+⋅
=
⋅+
+⋅
⋅∫
∑
=
∞→
Dies bedeu e , dass beim un e jäh lichen Modell die o schüssige Zahlweise du ch
die nachschüssige Zahlweise e se z wi d.
- 31 -
Diese Kon e genzaussage wi d du ch das olgende Zahlenbeispiel e deu lich . De
jäh liche Rechnungszins sei
%
6
, d.h.
06
,
0
=
.
Anzahl de
un e jäh lichen
Pe ioden
Res glied bei
o schüssige
Zahlweise
Res glied bei
nachschüssige
Zahlweise
1
0,0000
1,0000
3
0,3420
0,6753
12
0,4680
0,5513
50
0,4997
0,5197
100
0,5047
0,5147
1.000
0,5092
0,5102
5.000
0,5096
0,5098
10.000
0,5097
0,5098
zei s e iges
Modell
0,5097
0,5097
- 32 -
8. Schlussbeme kung
Im o liegenden A ikel wi d gezeig , wie ausgehend on eine jäh lich inhomogenen
Ma ko -Ke e du ch linea e In e pola ion de Übe gangsma izen und de Einhei s-
ma ix sowohl eine un e jäh liche als auch eine zei s e ige inhomogene Ma ko -Ke e
nach dem gleichen P inzip kons uie we den kann. Füg man eine Bewe ung hinzu,
so e gib im un e jäh lichen Fall aus Sa z 4 ein Ve ah en zu E mi lung de Momen e
de Zu alls a iablen „Ba we des Zahlungss oms“. Die Vo gehensweise kann - wie
im Fallbeispiel zu Pensions e siche ungsma hema ik da ges ell - EDV- echnisch
umgese z we den. Es e gib sich somi eine Al e na i e zu den z.B. in de
be ieblichen Al e s e so gung e ablie en Be echnungsme hoden. Als Anwendung
de zei s e igen Ma ko -Ke e e gib sich ein ie e es Ve s ändnis bezüglich des
Res glieds de Pensions e siche ungsma hema ik.
In [9] wi d im Fallbeispiel 3 da ges ell wie man die Momen e de Zahlungen eines
speziellen Jah es bzw. die Ko ela ion zwischen den Zahlungen zweie Jah e bei
jäh liche Zahlweise bes immen kann. Auch im un e jäh lichen Fall is dies au Basis
on Sa z 4 möglich. Eine Anwendung wä e de Ve gleich diese Kennzahlen mi den
en sp echenden We en eine Mon e-Ca lo-Simula ion des Zahlungss oms. Solche
P ognose echnungen we den z.B. im Be eich de be ieblichen Al e s e so gung
du chge üh .
Im Un e schied zum un e jäh lichen Fall wi d bei de zei s e igen Ma ko -Ke e in de
o liegenden A bei kein E gebnis e ziel , dass analog zu Sa z 4, die Ve eilung des
de Zu alls a iablen „Ba we des Zahlungss oms“ eindeu ig bes imm und somi ein
Ve ah en zu Be echnung de Momen e lie e . Ein mögliche Zugang könn e eine
G enzwe be ach ung sein. Dazu müss e man in Sa z 4 den Limes
∞→T
bilden,
d.h. bei de EDV- echnischen Umse zung mi eine hin eichend g oßen Anzahl on
äquidis an en un e jäh lichen Zahlungszei enpunk en a bei en.
- 33 -
9. Anhang: E gänzungen zu Kapi el 5
Beweis Ma ko -Eigenscha :
Es seien
INn∈
,
[
)
∞∈ ,0 ,,
, n21 2
mi
n21 <<< 2
,
Sx,,x,x n21 ∈2
und
( )
0xZ,,ZZ,xZP
1n 2 1
1n21
>===
−
−
2
:
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
()
1n n
1n
n 1n
N
0k x,k
1n0
N
0k x,x
n1n
x,k
1n0
N
0k x,k
1n0
N
0k x,k
1n0
x,x
n1n
x,x
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□
- 34 -
Beweis Kolmogo o sche Vo wä sgleichung:
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2
2
2
□
- 35 -
Beweis Kolmogo o sche Rückwä sgleichung:
Es seien
[
)
∞∈ ,0 ,s
mi
s <
und
Sx,x 21 ∈
. Zunächs e häl man mi dem Lemma
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()
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1
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h
x
Z|
x
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Z|
xZ
P
lim
1
1
□
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ka ls uhe.de/~we h0002/bueche /ma he/s a .h m (S and
01. Mä z 2015).
Imp essum
Diese Ve ö en lichung e schein im Rahmen de Online-Publika ions eihe „Fo schung am i wKöln“.
Eine olls ändige Übe sich alle bishe e schienenen Publika ionen inde sich am Ende diese
Publika ion
.
Fo schung am i w
Köln, 4/2016
ISSN
(online) 2192-8479
Knobloch:
Bewe e e inhomogene Ma ko -Ke en – Spezielle un e jäh liche und zei s e ige
Modelle
Köln,
Feb ua 2016
Sch i lei ung /
edi o ’s o ice:
P o . D . Jü gen S obel
Ins i u ü Ve siche ungswesen /
Ins i u e o
Insu ance S udies
Fakul ä ü Wi scha s
- und Rech swissenscha en /
Facul y o Business, Economics and Law
Technische Hochschule Köln /
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Gus a Heinemann
-U e 54
50968 Köln
Tel.
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Fax +49 221
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-koeln.de
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chmalenbach Ins i u ü Wi scha swissenscha en /
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- und Rech swissenscha en /
Facul y
o Business, Economics and Law
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den Sch i ense e Cologne Open Science e ügba .
2016
6/2016
Heep-Al ine , Rohl s, Dağoğlu, Pulido, Ven e : Be ich sp lich en und P ozessan o de ungen nach
Sol ency II
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Goecke: Collec i e De ined Con ibu ion Plans - Back es ing based on Ge man capi al ma ke da a
1955 - 2015
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3/2016
Völle (H sg.): Sozialisie du ch Google, Apple, Amazon, Facebook und Co. – Kundene wa ungen
und –e ah ungen in de Asseku anz. P oceedings zum 20. Kölne Ve siche ungssymposium am 5.
No embe 2015 in Köln
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Symposium am 5.12.2014 in Köln
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algo i hm
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