Bewertete inhomogene Markov-Ketten – Spezielle unterjährliche und zeitstetige Modelle

i wKöln Ins i u ü Ve siche ungswesen Fo schung am i wKöln Band 4/2016 Bewe e e inhomogene Ma ko -Ke en - Spezielle un e jäh liche und zei s e ige Modelle Ral Knobloch Fo schung am i wKöln, Band 4/2016 Ral Knobloch Fo schungss elle FaRis Bewe e e inhomogene Ma ko -Ke en – Spezielle un e jäh liche und zei s e ige Modelle Zusammen assung In de o liegenden A bei wi d ausgehend on eine jäh lichen inhomogenen Ma ko -Ke e du ch linea e In e pola ion de Übe gangsma izen und de Einhei sma ix sowohl eine un e jäh liches als auch ein zei s e ige bewe e e inhomogene Ma ko -Ke e kons uie . Beim un e jäh lichen Modell lieg de Fokus au de Ve eilung de Zu alls a iablen „Ba we des Zahlungss oms“ bzw. au de zugehö igen cha ak e is ischen Funk ion und einem EDV - echnischen Ve ah en zu Be echnung de Momen e de Zu alls a iablen. Beim zei s e igen Modell s eh neben de Kons uk ion und den üblichen E gebnissen ü zei s e ige Ma ko -Ke en, die Ve allgemeine ung des Res glieds bzw. des In a ianzsa zes im Mi elpunk des In e esses. Abs ac In he p esen pape i will be shown how a p iced inhomogeneous Ma ko chain wi h pe iods less han a yea and a p iced inhomogeneous Ma ko chain in con inuous ime can be designed om a gi en inhomogeneous Ma ko chain wi h annual ime pe iods by linea in e pola ion o he ansi ion ma ices and he iden i y ma ix. Fo he Ma ko chain wi h pe iods less han a yea we ocus on he dis ibu ion o he andom a iable “p esen alue o he cash - low” and on he associa ed cha ac e is ic unc ion, espec i ely as well as a n IT me hod o calcula ing he momen s o he andom a iable. Fo he Ma ko chain in con inuous ime, he cons uc ion o he p ocess, he usual esul s o ime -con inuous Ma ko chains and some special esul s analogous o a Ma ko chain wi h pe iods less han a yea a e in he cen e o a en ion. Schlagwö e Ma ko -Ke e, Bewe e e Ma ko -Ke e, Ba we , cha ak e is ische Funk ion Keywo ds Ma ko Chain, P iced Ma ko Chain, P esen Value, Cha ac e is ic Func ion - 1 - Inhal s e zeichnis 1. EINLEITUNG ........................................................................................................................................... 2 2. DAS JÄHRLICHE MODELL .................................................................................................................. 4 3. DAS SPEZIELLE UNTERJÄHRLICHE MODELL .............................................................................. 8 4. FALLBEISPIEL: PENSIONSVERSICHERUNGSMATHEMATIK ................................................... 14 5. DAS SPEZIELLE ZEITSTETIGE MODELL: KONSTRUKTION ..................................................... 18 6. DAS SPEZIELLE ZEITSTETIGE MODELL: BEWERTUNG ........................................................... 25 7. DAS RESTGLIED IN DER PENSIONSVERSICHERUNGSMATHEMATIK .................................. 30 8. SCHLUSSBEMERKUNG ..................................................................................................................... 32 9. ANHANG: ERGÄNZUNGEN ZU KAPITEL 5 .................................................................................... 33 LITERATURVERZEICHNIS........................................................................................................................... 36 - 2 - 1. Einlei ung Ma ko -Ke en haben in den Wi scha swissenscha en die iel äl igs en Anwendungen. Zum einen we den diese Modelle bei klassischen be iebswi scha lichen F ages ellungen eingese z . Als Beispiele seien hie die Themen Wa esys eme, Lage hal ung und (Ma ko sche) En scheidungsp ozesse genann ( gl. [14]). Zum ande en inde man Anwendungen bei de Modellie ung on Zahlungss ömen insbesonde e in den Be eichen Insu ance und Finance. Mi hil e on Ma ko -Ke en we den z.B. in de Pe sonen e siche ungsma hema ik Ba we e, Rese en und P ämien kalkulie ( gl. [10], [11], [6], [7], [9]). Dabei benö ig man nich nu jäh liche sonde n auch un e jäh liche und zei s e ige Modelle. In de Pe sonen e siche ungsma hema ik we den zu Kalkula ionszwecken sogenann e S e be a eln e wende , diese en hal en i.d.R. eine zei liche Dynamik. Fe ne is jede Zus and, den eine Pe son annimm , mi eine Zahlung (eine Bewe ung) e bunden. Dies üh zu dem zen alen Beg i diese Ausa bei ung, nämlich de „bewe e en (zei lich) inhomogenen Ma ko -Ke e“. Im o liegenden A ikel wi d ausgehend on eine jäh lichen (bewe e en inhomogenen) Ma ko -Ke e ein spezielles un e jäh liches bzw. ein spezielles zei s e iges Modell kons uie und analysie . Dabei is es en scheidend, wie die u sp ünglich jäh lichen Übe gangswah scheinlichkei en au das Jah e eil we den. De hie gewähl e Ansa z e eil die Wah scheinlichkei en linea in dem Sinne, dass sich die Übe gangsma ix ü das In e all [ ] α+ , ü [ ] 0,1 ,IN 0∈α∈ du ch In e pola ion de jäh lichen Übe gangsma ix und de Einhei sma ix e gib . Nach Ein üh ung de jäh lichen Ma ko -Ke e wi d als e s e Schwe punk das un e jäh liche Modell behandel . Hie bei we den zu Beginn die be ei s bekann en E gebnisse übe die Kons uk ion des Modells ( gl. [8]) und dessen Anwendung bei de Bewe ung on isikobeha e en Zahlungss ömen ( gl. [7]) zusammenges ell . Anschließend wi d analog zum jäh lichen Modell ( gl. [9]) eine geschlossene Fo mel ü die cha ak e is ische Funk ion des Ba we s eines isikobeha e en Zahlungss oms he gelei e . Dami is das Wah scheinlichkei sgese z dieses Ba we s es geleg , denn ü eine eellwe ige Zu alls a iable B is die Ve eilung du ch die komplexwe ige Funk ion () ( )( ) IRx , BxiexpEx ∈⋅⋅=ϕ eindeu ig bes imm ( gl. [3] S.92). Dabei sei 1i −= die imaginä e Einhei . Übe äg man die Fo mel ü die cha ak e is ische Funk ion au die momen ene zeugende Funk ion, so können du ch (nume isches) Ablei en analog zum jäh lichen Fall ( gl. - 3 - [9]) auch höhe e Momen e, z.B. die Va ianz und die S anda dabweichung, e mi el we den. Im zwei en Schwe punk s eh eine spezielle zei s e ige Ma ko -Ke e im Mi elpunk des In e esses. Zunächs muss das spezielle Modell kons uie bzw. seine Exis enz nachgewiesen we den. Die in diesem A ikel e wende e Vo gehensweise is klassisch und basie wie beim un e jäh lichen Modell au dem Sa z on Kolmogo o ( gl. [3] S.257 ), mi dessen Hil e in de Wah scheinlichkei s heo ie s ochas ische P ozesse kons uie we den. Anschließend we den meh e e ü das jäh liche und un e jäh liche Modell be ei s in ühe en Ve ö en lichungen o mulie e E gebnisse au das zei s e ige Modelle übe agen. Das besonde e In e esse gil dabei de Fo mel ü den Ba we des isikobeha e en Zahlungss oms ( gl. [5], [7]) und dem sogenann en In a ianzsa z ( gl. [12], [7]). - 4 - 2. Das jäh liche Modell Gegeben sei eine Ma ko -Ke e ( ) ,...2,1,0 X= mi dem endlichen Zus ands aum }N ,..., 2, 1, 0 {S = . Dabei s eh de Zei punk ü den Beginn des )1 (+ - en Jah es bzw. die Zu alls a iable X ü den Zus and zu Beginn des )1 ( + - en Jah es, ,... 2 , 1 , 0 = . Die Übe gangswah scheinlichkei en om Zei punk 1 − zum Zei punk seien gegeben du ch die (N+1)x(N+1)-Ma ix ( ) }N,...,1,0{k,j jk ) (q) (Q ∈ = , d.h. ,...2,1 ,N,...,1,0k,j ),jX|kX(P:) (q 1 jk ===== − ( gl. [5]). Da die Übe gangsma izen explizi on dem Zei pa ame e abhängen, heiß die Ma ko -Ke e inhomogen ( gl. [10] S.16 und [14] S.11). Die Ve eilung de Zu alls a iablen X , ,...2, 1,0 = , sei gegeben du ch den Zeilen ek o ( ) N,...,2,1,0j j, PP = = , d.h. N,...2,1,0j ,P)jX(P j, === . Im Folgenden wi d da on ausgegangen, dass 0 P o gegeben is und alle Wah scheinlichkei en, Ve eilungen und Momen e gegeben diese An angs e eilung be echne we den. Un e Anwendung de Chapman-Kolmogo o -Gleichung ü Ma ko -Ke en ( gl. [10] S.14) e gib sich ü ,...2 ,1, 0 = ∏ = ⋅= 1s 0 )s(QPP ( gl. [5]). Im spä e en Ve lau des A ikels we den basie end au dem jäh lichen Modell sowohl eine spezielle un e jäh liche Ma ko -Ke e als auch eine spezielle zei s e ige Ma ko - Ke e kons uie . Von en scheidende Bedeu ung is dabei die Ve eilung de jäh lichen Übe gangswah scheinlichkei en au das Jah . Diese Ve eilung wi d mi hil e de olgenden Ma izen modellie : ( ) E 1)1 (Q:) ,(U ⋅α−++⋅α=α . Dabei sei 0 IN ∈ , ]1,0[∈α und E die Einhei sma ix. - 5 - Da sowohl )1 (Q + als auch E s ochas ische Ma izen sind, gil dies eben alls ü die Ma ix ) ,( Uα ( gl. [8]). Alle dings is dies nich aus eichend, um die beiden speziellen Ma ko -Ke en (un e jäh lich und zei s e ig) zu kons uie en. Man benö ig olgende Bedingungen: (B1) ) ,(U α is in e ie ba ü alle 0 IN ∈ und )1,0[∈α . (B2) ( ) ) , (U) ,(U 1α ⋅β − is eine s ochas ische Ma ix ü alle 0 IN ∈ und ]1 , 0[ ,∈β α mi 10 ≤α<β≤ . In den p ak ischen Anwendung (z.B. in de Pensions e siche ungsma hema ik) is es o de Fall, dass es sich bei den Übe gangsma izen ) (Q , IN ∈ , um obe e D eiecksma izen handel . Se z man dies o aus, so is Bedingung (B1) imme gegeben. Fü Bedingung (B2) lassen sich bei zwei )21N( =+ bzw. bei d ei Zus änden ) 31 N( = + Vo ausse zungen o mulie en, un e denen sie e üll is ( gl. [8] S.12 ). Mi Blick au eine EDV- echnische Umse zung - auch bei g öße en Zus ands äumen - soll e die Be echnung on ( ) ) ,(U) ,(U 1α⋅β − ü alle 0 IN ∈ und ]1,0[, ∈βα mi 1 0≤ α<β≤ handhabba sein. Eine Möglichkei bes eh dabei in de Anwendung de Neumannschen Reihe. Um die Gül igkei de Neumannschen Reihe zu gewäh leis en, wi d olgende Bedingung o mulie : (B3) Fü IN ∈ seien alle Eigenwe e de Übe gangsma ix ) (Q eellwe ig und nich nega i . Da ) (Q eine s ochas ische Ma ix is , is die Bedingung (B3) insbesonde e dann e üll , wenn es dabei sich bei den Übe gangsma izen um obe e D eiecksma izen handel . Dies is bei den Modellen de Pe sonen e siche ungsma hema ik i.d.R. de Fall. Sa z 1: a) Es sei 0 =β . Dann gil : () ) ,(U) ,( U) ,(U 1α= α⋅β − ü alle 0 IN ∈ und ]1,0(∈α . b) Es sei 10 < β< . Dann olg aus (B3): ( ) ( ) ∑ ∞ = − +−⋅β ⋅ β β−α −⋅ β α =α⋅β 0k k k 1 )1 (QEE ) ,(U) ,(U ü alle 0 IN ∈ und ]1,0 (∈α mi 10 ≤α<β< . - 6 - Beweis: a) Fü 0 =β gil E ) , (U =β . Somi is die Behaup ung i iale weise e üll . b) Es gil : ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) )1 (QEE)1 (QE E E1)1 (QE1)1 (Q) ,(U) ,(U 1 11 +−⋅α− ⋅+−⋅β−= =⋅α−++⋅α⋅⋅β−++⋅β=α⋅β − −− Die Eigenwe e on )1 (Q + sind alle eellwe ig und nich nega i . Dami liegen alle Eigenwe e on ( ) )1 (QE +−⋅β im In e all )1 , 0[ . Diese Aussage e häl man wie olg : Es sei a ein Eigenwe on ( ) )1 (QE +−⋅β . Dann gib es einen geeigne en Vek o w mi ( ) w)1 (Qww)1 (QEwa ⋅+⋅β−⋅β=⋅+−⋅β=⋅ . Da aus olg : w a w)1 (Q ⋅ β −β =⋅+ Somi ha )1 (Q + den Eigenwe β −β a . Da alle Eigenwe e on )1 (Q + ( eellwe ig und) nich nega i sind, e häl man wg. 0 > β die Ungleichung β≤a und dami 1a < . )1 (Q + is eine s ochas ische Ma ix, dahe gil nach dem Haup sa z 2.6. in [1] 1 a≤ β −β Da 0>β , olg da aus β≤−β a bzw. 0a ≥ . Es sei ρ das Maximum de Absolu be äge de Eigenwe e on ( ) )1 (QE +−⋅β . Wg. 1<ρ kon e gie die Neumannsche Reihe ( gl. [2] S.264 ) und es gil : ( )( ) ( ) ∑ ∞ = −+−⋅=+− ⋅β− 0k k k 1)1 (Q Eß)1 (Q EE . Da aus olg : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) =+−⋅⋅α−+−⋅= =+−⋅α−⋅+−⋅=α⋅β ∑∑ ∑ ∞ = + ∞ = ∞ = − 0k 1k k 0k k k 0k k k 1 )1 (QEß)1 (QEß )1 (Q EE)1 (QEß) ,(U) ,(U - 7 - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑∑ ∑∑ ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = − +−⋅⋅ β β−α −⋅ β α ==+−⋅⋅ β α−β +⋅ β α−β −= =+−⋅⋅ β α−β +=+−⋅β⋅α−+= 0k k k 0k k k 1k k k 1k k 1kk )1 (QEßE)1 (QEßEE )1 (QEßE)1 (QEßE □ Fü den Res des o liegenden A ikels wi d da on ausgegangen, dass die Bedingungen (B1), (B2) und (B3) e üll sind. - 14 - 4. Fallbeispiel: Pensions e siche ungsma hema ik In [5], [6] und [9] wi d da ges ell , wie das Konzep de bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke e zu Modellie ung in de Pensions e siche ungsma hema ik bzw. in de be ieblichen Al e s e so gung e wende we den kann. Die olgenden Aus üh ungen knüp en dabei an die Beispiele in [9] an. Bei diesen Beispielen e olg die Bewe ung du ch nume isches Ablei en de momen ene zeugenden Funk ion bei jäh liche Zahlweise. Im olgenden Fallbeispiel wi d die Vo gehensweise bei mona liche Zahlweise anhand eine Ba we be echnung e läu e . Dazu wi d das Schicksal eine Pe son mi hil e eine inhomogenen Ma ko -Ke e au Basis de in Deu schland in de Pensions e siche ungsma hema ik übliche weise e wende en S e be a eln – auch Rich a eln genann – ( gl. [4]) modellie . Mögliche Zus ände sind dabei „A bei nehme /in ak i “, „A bei nehme /in ausgeschieden“, „Beziehe /in eine In aliden en e“, „Beziehe /in eine Al e s en e“ und „Beziehe /in eine Hin e bliebenen en e“. Die Übe gangswah scheinlichkei en de Ma ko -Ke e e geben sich aus den biome ischen Rechnungsg undlagen de Rich a eln. Dabei handel es sich um eine Gene a ionen a el, d.h. die Wah scheinlichkei en hängen nich nu on Geschlech und Al e , sonde n auch om Gebu sjah gang ab ( gl. [4]). Die un e jäh lichen Übe gänge we den wie in Kapi al 3 da ges ell du ch eine linea e In e pola ion mi de Einhei sma ix be ücksich ig . Die Bewe ung e gib sich bei Ren enbezug aus de Höhe de Ren e und wi d in allen ande en Zus änden mi „null“ angese z . Im Folgenden we den bei einem konk e en Pe sonenbes and und eine konk e en Ve so gungso dnung ü die Zu alls a iable „Ba we de Ve p lich ungen“ de E wa ungswe und die S anda dabweichung be echne . Im Anschluss we den die E gebnisse mi denen de üblichen Bewe ungsme hode und mi den E gebnissen eine Mon e-Ca lo-Simula ion e glichen. Wi be ach en die olgende Fes en enzusage: Als Al e s- und In aliden en e we den mona lich 100 €, als Hin e bliebenen en e mona lich 60 € zugesag . Die Zahlweise sei mona lich o schüssig, de Bewe ungss ich ag de 31.12.2015 und de Rechnungszins 3%. Als Endal e (Übe gang in den Zus and „Beziehe /in eine Al e s en e“) wi d das Al e 67 angese z . De Ein achhei halbe wi d die Bewe ung ohne Dynamik und ohne Fluk ua ion du chge üh . Le z e es ha zu Folge, dass de Zus and „A bei nehme /in ausgeschieden“ nich ele an is . De Bes and is wie olg s uk u ie : • Zehn Pe sonen • Vie ak i e A bei nehme • Sechs Ren enbeziehe : zwei In aliden en ne , zwei Al e s en ne und zwei Hin e - bliebenen en ne • Fün F auen und ün Männe - 15 - Jede Pe son wi d einzeln bewe e , d.h. ü jede Pe son we den de E wa ungswe und die Va ianz de Zu alls a iable „Ba we de Ve p lich ungen“ e mi el . Da de E wa ungswe als s ochas ische Kennzahl linea is , e gib sich de e wa e e Ba we bezogen au den Bes and du ch Addi ion de Einzelwe e. Se z man die Unabhängigkei de pe sonenbezogenen Ba we e o aus, so be echne sich die Va ianz des Ba we s bezogen au den Bes and du ch Addi ion de Einzelwe e. Die S anda dabweichung e häl man als Wu zel aus de Va ianz. Se z man das Konzep de bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke e EDV- echnisch um, so sind bei de Be echnung de momen ene zeugenden Funk ion zwei Besonde hei en zu beach en: • Au die di ek e Be echnung on 1 1 , 12 1 s U −             − − ü IN ∈ und { } 12,,2,1s 2∈ kann e zich e we den. Die un e jäh lichen Übe gangsma izen können nähe ungsweise mi hil e de Neumannschen Reihe e mi el we den. • Die Übe gangswah scheinlichkei en ü den Übe gang in den Zus and „Beziehe /in on Al e s en e“ we den nich in e polie sonde n es wi d da on ausgegangen, dass de Übe gang exak im Al e 67 e olg . Dies en sp ich de Modellie ung im Modell de Rich a eln. Noch zu übe p ü en is alle dings, ob die Bedingungen (B1), (B2) und (B3) aus Kapi el 2 e üll sind. O dne man die Zus ände geschick an, so handel es sich bei den jäh lichen Übe gangsma izen um obe e D eiecksma izen. Da es auch s ochas ische Ma izen sind, is Bedingung (B3) e üll . Die Bedingungen (B1) und (B2) we den mi hil e eine EDV- echnischen Umse zung in de olgenden Fo m übe p ü : (B1)      − −1 , 12 1s U is in e ie ba ü alle IN ∈ und { } 12,,2,1s 2∈ . (B2)      −⋅             − − − 1 , 12 s U1 , 12 1s U 1 is eine s ochas ische Ma ix ü alle IN ∈ und { } 12,,2,1s 2∈ . Dies is aus eichend, da zu Kons uk ion de un e jäh lichen Ma ko -Ke e lediglich die Übe gänge on 12 1s 1 − +− nach 12 s 1 +− ü IN ∈ und { } 12,,2,1s 2∈ ele an sind. Da im Rahmen de Übe p ü ung mi      −⋅             − − − 1 , 12 s U1 , 12 1s U 1 auch die un e jäh lichen Übe gangsma izen di ek be echne we den, könn e au die Nähe ung mi de Neumannschen Reihe e zich e we den. Dies is insbesonde e imme de Fall, wenn die jäh lichen Übe gangsma izen obe e D eiecksma izen sind. - 16 - Es sei ( ) ( ) () IRx , )n , T( Bx exp En,T,xm 0∈ ⋅= , die momen ene zeugende Funk ion. Dabei sei n so gewähl , dass alle Ren enzahlungen, die eine Pe son im Lau e ih es Lebens e hal en kann, be ücksich ig we den. Au g und de Sys ema ik in den Rich a eln kann 103n = gese z we den. Wg. de mona lichen Zahlweise gil 12T = . Mi hil e de üblichen nume ischen Ablei ungen ( gl. [15] S.43 ) e gib sich: ( ) h2 )n,T,h(m)n,T,h(m )n ,T,x(mn,T(BE 0x x0 ⋅ −− ≈= = und () ( ) 2 2 0 x xx 2 0 h 2 )n , T, h( m)n,T,h(m h ) n, T ,0 (m2)n,T,h(m)n,T,h(m ) n ,T ,x ( m) n, T (B E −− + = = ⋅−−+ ≈ == bzw. ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 0x x 0x xx 2 0 2 00 h2 )n,T,h(m)n,T ,h( m h 2)n,T,h(m)n,T,h(m )n, ,x(m )n, ,x( m )n, (BE)n , ( BE)n, (BVa       ⋅ −− − −−+ ≈ ≈−= = −= == . Dabei sei 0h > hin eichend klein zu wählen. Wi d h zu g oß gewähl , so is die Nähe ung nich aus eichend. Wi d h alle dings zu klein angese z , so können nume ische E ek e die E gebnisse e älschen. Im o liegenden Beispiel wi d 6 10h − = gewähl . In de olgenden Tabelle we den die so be echne en Momen e de Bewe ung mi den Rich a eln und den E gebnissen eine Mon e-Ca lo-Simula ion gegenübe ges ell . Die Mon e-Ca lo-Simula ion wu de mi 1.000 Läu en du chge üh , die Schä zung de Momen e e olg e mi den üblichen Me hoden de desk ip i en S a is ik. - 17 - Me hode/Modell Bewe ung/ E wa ungswe Va ianz S anda dabweichung Bewe e e inhomogene Ma ko -Ke e 146.328,70 253.260.314,64 15.914,15 Rich a el 146.326,56 Mon e-Ca lo- Simula ion 145.887,96 249.690.562,56 15.801,60 Somi s immen in diesem Beispiel bei mona liche Zahlweise de E wa ungswe au Basis eine bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke e und die übliche Bewe ung gemäß Rich a el-Modell bis au eine minimale Abweichung übe ein. Zusä zlich lie e die Modellie ung mi eine bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke e die Va ianz und die S anda dabweichung (in Höhe on ca. 10,9% des E wa ungswe es). Die E gebnisse au Basis eine bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke e passen im Wesen lichen auch zu den E gebnissen de Mon e-Ca lo-Simula ion. Die Abweichungen e geben sich hie du ch die Anzahl de Simula ionsläu e (1.000) und die Quali ä des Zu allsgene a o s. - 18 - 5. Das spezielle zei s e ige Modell: Kons uk ion Die olgende Kons uk ion is eine Anwendung des Sa zes on Kolmogo o ( gl. [3] S.257 ). Wi be ach en wie bishe den endlichen Zus ands aum { } N,,2,1,0S 2= und die An angs e eilung 0 P au dem Zus ands aum S . Gegeben sei je z die kon inuie liche Indexmenge [ ) ∞,0 , d.h. ü den Zei index gil [ ) ∞∈ ,0 . Es wi d ein Sys em on endlich-dimensionalen Rand e eilungen n21 ,, , p2 wie olg de inie : 1. Fü [ ) ∞∈ ,0 , s mi s ≤ sei ( ) ( ) ( ) ]) [], [ (U)m(Q])s[],s[s(U :) ,s( ,s ] [ 1]s[m 1 Sj,i j,i −⋅⋅−=Λ=λ ∏+= − ∈ . 2. Es sei INn∈ . Fü [ ) ∞∈ ,0 ,, , n21 2 mi n2 1 <<< 2 de inie en wi ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ = −− λ⋅⋅λ⋅λ⋅λ⋅ = N 0k x,x n1n x,x 32 x,x 21 x,k 10 n21 ,, , n1n 32 211 n21 , , , ,0)k(P :)x,,x,x(p 3 2 2 ü Sx,,x,x n21 ∈2 . Es sei INn∈ . Es seien [ ) ∞ ∈,0 , , , n2 12 mi n 21 <<< 2 . Fe ne seien gegeben Sx,,x,x,,x,x n1j1j21 ∈ +− 22 . Dann gil ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =λ⋅⋅λ⋅λ⋅ ⋅λ⋅λ⋅λ⋅= =λ⋅⋅λ⋅λ⋅ ⋅λ⋅λ⋅λ⋅= = − +− − +− −+− = = −+− = = = +− ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ n1n 1j1j 32 211 n1n 1j1j 32 211 n21 x,x n1n x,l 1jj l,x j1j N 0k N 0l x,x 32 x,x 21 x,k 10 x,x n1n x,l 1jj l,x j1j N 0l N 0k x,x 32 x,x 21 x,k 10 N 0l n1j1j21 ,, , , , , , , ,0)k(P , , , , , ,0)k(P )x,x,l,x,,x,x(p 33 3 33 3 22 2 - 19 - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )x,x,x,,x,x(p , , , , ,0)k(P , , , , , ,0)k(P n1j1j21 ,, , , , x,x n1n x,x 1j1j N 0k x,x 32 x,x 21 x,k 10 x,x n1n N 0l x,l 1jj l,x j1j N 0k x,x 32 x,x 21 x,k 10 n1j1j21 n1n 1j1j 32 211 n1n 1j1j 32 211 22 33 3 33 3 22 +− −+− = − = +− = +− − +− − +− = =λ⋅⋅λ⋅ ⋅λ⋅λ⋅λ⋅= =λ⋅⋅        λ⋅λ⋅ ⋅λ⋅λ⋅λ⋅= ∑ ∑ ∑ Dabei e gib sich das o le z e Gleichhei szeichen aus: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1j1j 1j1j1j ] [ 1] [m 1 1j1j1j 1j1j1j ] [ 1] [m 1 jjj jjj ] [ 1] [m 1 1j1j1j 1jjj1j , ]) [], [ (U)m(Q]) [], [ (U ]) [], [ (U)m(Q]) [], [ (U ]) [], [ (U)m(Q]) [], [ (U , , 1j 1j 1j j j 1j +− +++ += − −−− +++ += − += − −−− +− Λ= =−⋅⋅−= =−⋅⋅− ⋅−⋅⋅−= =Λ⋅Λ ∏ ∏ ∏ + − + − Somi is das hie de inie e Sys em on endlich-dimensionalen Rand e eilungen n21 ,, , p2 e äglich bezüglich des „Einschiebens eines Zei punk es“. Die allgemeine Ve äglichkei e häl man pe Induk ion. Mi dem Sa z on Kolmogo o e gib sich dann: 1. Es gib ein eindeu iges Wah scheinlichkei smaß, das zu den endlich- dimensionalen Rand e eilungen pass . 2. Es gib einen s ochas ischen P ozess ( ) ),0 [ Z∞∈ mi ( ) ) x,,x,x(pxZ,,xZ ,xZP n21 ,, , n 2 1 n21n 21 22 2 = === ü alle [ ) ∞∈ ,0 ,, , n21 2 mi n21 <<< 2 und Sx,,x,x n21 ∈2 . - 20 - Diese P ozess ( ) ),0[ Z∞∈ e üll - wie es nich ande s zu e wa en is - die Ma ko - Eigenscha ( ) ( ) 1n n 1n 2 1 n xZ|xZPxZ,,ZZ,xZ|xZP 1nn1n21n −− ======= −− 2 und is somi eine zei s e ige Ma ko -Ke e mi de An angs e eilung 0 P und den Übe gangsma izen ) ,s(Λ , [ ) ∞∈ , 0 ,s , s ≤ . Dabei s eh ) ,s(Λ ü den Übe gang on s nach . Bezüglich des Beweises de Ma ko -Eigenscha wi d au den Anhang e wiesen. Beme kungen: a) Gemäß [3], S.298 , olg aus de oben o mulie en Ma ko -Eigenscha ( ) ( ) 1n n 1n 2 1 n xZ|xZPxZ,,ZZ,xZ|xZP 1nn1n21n −− ======= −− 2 die ein ache Ma ko -Eigenscha im Sinne on [3], S.298, bzw. die Ma ko - Eigenscha gemäß on [13], S.350: ( ) ( ) ss uu xZ|xZPsu ,xZ|xZP ===≤== b) Es seien Sx ,x 2 1∈ und ) ,0[u, ,s ∞∈ mi u s< < . Mi den hie e wende en No a ionen gil ( ) 1s2 x,x xZ|xZP) ,s( 21 ===λ und die Chapman-Kolmogo o - Gleichung kann wie olg o mulie we den: ∑ = λ⋅λ=λ N 0k x,kk,xx,x ) ,u()u,s() ,s( 2121 bzw. ) , u()u,s( ) , s( Λ⋅Λ= Λ Sa z 5: Fü die zei s e ige Ma ko -Ke e ( ) ) ,0 [ Z ∞ ∈ exis ie en die olgenden G enzwe e ü alle [ ) ∞∈ ,0 : ( ) ) (: h 1xZ |xZP lim x x h 0h m= −== + +→ ü alle Sx∈ ( ) ) (: h xZ|xZP lim 21xx 1 2h 0h m= == + +→ ü alle Sx,x 21 ∈ mi 21 xx ≠ Fe ne gil : a) ( ) () 21 21 x, x 1 xx )E)1] ([Q(]) [], [ (U) (−+⋅ −=m − b) Fü alle Sx ,x 21 ∈ is die Funk ion ) ( 21xx m→ ech ss e ig ü [ ) ∞∈ ,0 . - 21 - c) Fü alle Sx,x 21 ∈ is die Funk ion ) ( 21xx m→ linkss e ig ü [ ) ∞∈ ,0 0 IN . Fü den Beweis benö ig man zunächs die olgenden E gebnisse. Lemma: Gegeben seien die s ochas ischen nxn-Ma izen 2,A,A,A 21 und die s ochas isch- en nxn-Ma izen 2,B,B,B 21 mi AAlim k k = ∞→ und BBlim k k = ∞→ . a) ( ) BABAlim kk k ⋅=⋅ ∞→ . b) Es seien 2,A,A,A 21 in e ie ba e Ma izen. Dann gil : ( ) 1 1 k kAAlim − − ∞→ = . Beweis (Lemma): a) Fü eine nxn-Ma izen C sei           =∑ = n 1 jij icmax :C . Mi [1], Sei e 9, gil : 0BBAA BBABAA BABABABA BABABABABABA k kk kkk kkkk kkkkkk  →−+−≤ −⋅+⋅−≤ ⋅−⋅+⋅−⋅≤ ⋅−⋅+⋅−⋅=⋅−⋅ ∞→ Dami olg eben alls mi [1], Sei e 9, die Behaup ung. b) Wg. ( ) ( ) ( ) ( ) 1 k k 1 k k k k 1 kk kA limAAlimAlimAAlimE− ∞→ − ∞→∞→ − ∞→ ⋅=⋅=⋅= olg die Behaup ung. □ Beweis (Sa z 5): Es sei [ ) ∞∈ ,0 . Es 0h > hin eichend klein, so dass ] h [] [+= . Dann gil : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () )E)1] ([Q (]) [], [ (UhE )E)1] ([ Q(h]) [ ], [ (U]) [], [ (U ]) [], [h (U]) [], [ (U ])h [], h [h ( U]) [], [ (Uh , 1 1 1 1 −+ ⋅−⋅+= = −+⋅+−⋅ −= =−+ ⋅−= = ++−+⋅− =+Λ − − − − Dami olg - 22 - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x,x 1 x,x 1 0h x,x 1 0h x,x 0h h 0h xx )E)1] ([Q(]) [], [ (U)E)1] ([Q(]) [], [ (Ulim h 1)E)1] ([Q(]) [], [ (Uh1 lim h 1h , lim h 1xZ|xZP lim) ( −+⋅−=−+⋅−= = −−+⋅−⋅+ = = −+λ == −== =m −− +→ − +→ +→ + +→ ü alle Sx∈ und () ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 121 21 2 1 2 1 x ,x 1 x,x 1 0h x , x 1 0 h x, x 0h 1 2h 0h x x )E )1] ([Q( ]) [ ], [ (U)E) 1] ([ Q(]) [], [ (U lim h ) E )1 ] ([ Q( ]) [ ], [ ( Uh lim h h , lim h x Z| xZ P lim ) ( −+⋅ −=−+ ⋅−= = −+ ⋅ −⋅ = = + λ = = = =m − − +→ − + → + → + + → ü alle Sx,x 21 ∈ . Somi e häl man zusammenge ass : ( ) ( ) 21 21 x ,x 1 xx ) E)1 ] ([Q (]) [], [ ( U) (−+ ⋅−= m− ü alle [ ) ∞∈ ,0 und Sx,x 21 ∈ . Die Rech ss e igkei e gib wie olg : () ( ) () ]) [], [ ( UE ]) [ 1( )1] ([Q ]) [ ( E ]) [h 1( )1] ([ Q ]) [ h (lim E ])h [ h 1 () 1 ]h ([Q ])h [ h ( lim ] h [ ], h [h (U lim 0h 0h 0h −= ⋅ + −++ ⋅− = =⋅ +− −++ ⋅ −+ = = ⋅+ + − −+ + +⋅+ − + = = ++ −+ +→ +→ +→ Mi Lemma 1 e häl man: ( ) ( ) 11 0h ] [], [ (U]h [],h [h (Ulim −− +→ −=++−+ . Da aus olg : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )E)1] ([Q(]) [], [ (U)E)1] ([Q(]) [], [h (Ulim )E)1]h ([Q(])h [],h [h (Ulim 11 0h 1 0h −+⋅−=−+⋅−+= =−++⋅++−+ −− +→ − +→ Somi is die Rech ss e igkei bewiesen. Die Linkss e igkei ü [ ) ∞∈ ,0 0 IN e gib sich analog, da ] []h [ =+ ü 0h < mi hin eichend kleinem Be ag. □ - 23 - Beme kung: Das olgende Beispiel zeig , dass die Funk ion ) ( 21xx m→ an de S elle IN ∈ eine Uns e igkei ss elle haben kann. Es sei IN ∈ und ) ( Q in e ie ba mi () E) 1 ( Q) ( Q E1− +≠ −− . Wg. ] [ = e häl man: ( ) ( ) E)1 (Q)E)1 (Q(E )E ) 1 (Q ( ) ,0 ( U) E) 1 ] ([Q(]) [], [ (U 11 −+=−+⋅ = = −+ ⋅ =− +⋅− − − Fü 0h < mi hin eichend kleinem Be ag gil 1 1] []h [ − = −=+ . Dami e gib sich: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E)1 (Q) (QE)E) (Q() (Q)E) (Q()1 ,1(U )E) (Q()1 ,1 h (Ulim )E)1]h ([Q(])h [],h [h (Ulim 111 1 0h 1 0h −+≠−=−⋅=−⋅−= =−⋅−+−+= =−++⋅++−+ −−− − −→ − −→ Als S anda de gebnis aus de Theo ie de zei s e igen Ma ko -Ke en lassen sich auch hie die Vo wä s- und die Rückwä sgleichung o mulie en. Bezüglich de Beweise wi d au den Anhang e wiesen. Sa z 6: Es gil die Kolmogo o sche Vo wä sgleichung, d.h.: ( ) ( ) ( ) ∑ = + +→ m⋅=== ==−== N 0k x k1s 1s2 1s2h 0h ) (xZ|kZP h xZ|xZPxZ|xZP lim 2 ü alle [ ) ∞∈ ,0 ,s mi s < und Sx,x 21 ∈ . Sa z 7: Es gil die Kolmogo o sche Rückwä sgleichung, d.h.: ( ) ( ) ( ) ∑ = + +→ ==⋅m−= ==−== N 0k s2 kx 1s2 1hs2 0h kZ|xZP)s( h xZ|xZPxZ|xZP lim 1 ü alle [ ) ∞∈ ,0 ,s mi s < und Sx,x 21 ∈ . Mi de Bezeichnung ( ) Sx,x x x 21 2 1) (:) ( ∈ m=Μ lassen sich die Gleichung wie olg da s ellen ( gl. [10] S.18 ). - 30 - 7. Das Res glied in de Pensions e siche ungsma hema ik In de Pensions e siche ungsma hema ik bzw. de be ieblichen Al e s e so gung wi d zu Be ücksich igung de un e jäh lich o schüssigen Zahlweise i.d.R. das Res glied gemäß In a ianzsa z ( gl. [12]) e wende . Dabei wi d dieses Res glied on den Bewe ungs ak o en eine lau enden Leib en e om Jah esbe ag 1 in Abzug geb ach . Das gleiche E gebnis e häl man in dem hie e wende en un e jäh lichen Ma ko -Modell ( gl. Sa z 3). Bei T- ache Zahlung und einem jäh lichen Rechnungszins 0 > ha das Res glied ohne die Be ücksich igung eine Ren endynamik die Ges al : ( ) ∑ − =⋅ + + ⋅ ⋅1 T 0s sT 1 s T 1 . Läss man die Anzahl de un e jäh lichen Zahlungen gegen unendlich lau en, so kon e gie dieses Res glied gegen das en sp echende Res glied des zei s e igen Modells. D.h. es gil ()( ) ) 1 ln( 1 ds s 1 ) 1( s s T 1s T 1 lim 2 1 0 1T 0 s T+− ⋅ + = ⋅+ + ⋅ = ⋅+ +⋅ ⋅∫ ∑ − = ∞→ . Beweis: Es sei s1 ) 1(s :)s( ⋅+ +⋅ = , ]1,0[s∈ . Nähe man das In eg al ∫⋅+ +⋅ 1 0 ds s 1 ) 1(s du ch Un e summen, so e gib sich: ∑∑ ∫− = ∞→ − = ∞→ ⋅+ +⋅ ⋅=⋅= ⋅+ +⋅ 1T 0s T 1T 0s T 1 0 s1 ) 1(s T 1 lim)s( T 1 limds s1 ) 1(s . Die Behaup ung olg aus Sa z 9. □ Ve wende bei de Kon e genz ans elle de Un e summen die Obe summen, so gil analog ( ) ( ) ) 1ln( 1 ds s1 ) 1(s sT 1s T 1 lim 2 1 0 T 1s T+−⋅ + = ⋅+ +⋅ = ⋅+ +⋅ ⋅∫ ∑ = ∞→ Dies bedeu e , dass beim un e jäh lichen Modell die o schüssige Zahlweise du ch die nachschüssige Zahlweise e se z wi d. - 31 - Diese Kon e genzaussage wi d du ch das olgende Zahlenbeispiel e deu lich . De jäh liche Rechnungszins sei % 6 , d.h. 06 , 0 = . Anzahl de un e jäh lichen Pe ioden Res glied bei o schüssige Zahlweise Res glied bei nachschüssige Zahlweise 1 0,0000 1,0000 3 0,3420 0,6753 12 0,4680 0,5513 50 0,4997 0,5197 100 0,5047 0,5147 1.000 0,5092 0,5102 5.000 0,5096 0,5098 10.000 0,5097 0,5098 zei s e iges Modell 0,5097 0,5097 - 32 - 8. Schlussbeme kung Im o liegenden A ikel wi d gezeig , wie ausgehend on eine jäh lich inhomogenen Ma ko -Ke e du ch linea e In e pola ion de Übe gangsma izen und de Einhei s- ma ix sowohl eine un e jäh liche als auch eine zei s e ige inhomogene Ma ko -Ke e nach dem gleichen P inzip kons uie we den kann. Füg man eine Bewe ung hinzu, so e gib im un e jäh lichen Fall aus Sa z 4 ein Ve ah en zu E mi lung de Momen e de Zu alls a iablen „Ba we des Zahlungss oms“. Die Vo gehensweise kann - wie im Fallbeispiel zu Pensions e siche ungsma hema ik da ges ell - EDV- echnisch umgese z we den. Es e gib sich somi eine Al e na i e zu den z.B. in de be ieblichen Al e s e so gung e ablie en Be echnungsme hoden. Als Anwendung de zei s e igen Ma ko -Ke e e gib sich ein ie e es Ve s ändnis bezüglich des Res glieds de Pensions e siche ungsma hema ik. In [9] wi d im Fallbeispiel 3 da ges ell wie man die Momen e de Zahlungen eines speziellen Jah es bzw. die Ko ela ion zwischen den Zahlungen zweie Jah e bei jäh liche Zahlweise bes immen kann. Auch im un e jäh lichen Fall is dies au Basis on Sa z 4 möglich. Eine Anwendung wä e de Ve gleich diese Kennzahlen mi den en sp echenden We en eine Mon e-Ca lo-Simula ion des Zahlungss oms. Solche P ognose echnungen we den z.B. im Be eich de be ieblichen Al e s e so gung du chge üh . Im Un e schied zum un e jäh lichen Fall wi d bei de zei s e igen Ma ko -Ke e in de o liegenden A bei kein E gebnis e ziel , dass analog zu Sa z 4, die Ve eilung des de Zu alls a iablen „Ba we des Zahlungss oms“ eindeu ig bes imm und somi ein Ve ah en zu Be echnung de Momen e lie e . Ein mögliche Zugang könn e eine G enzwe be ach ung sein. Dazu müss e man in Sa z 4 den Limes ∞→T bilden, d.h. bei de EDV- echnischen Umse zung mi eine hin eichend g oßen Anzahl on äquidis an en un e jäh lichen Zahlungszei enpunk en a bei en. - 33 - 9. Anhang: E gänzungen zu Kapi el 5 Beweis Ma ko -Eigenscha : Es seien INn∈ , [ ) ∞∈ ,0 ,, , n21 2 mi n21 <<< 2 , Sx,,x,x n21 ∈2 und ( ) 0xZ,,ZZ,xZP 1n 2 1 1n21 >=== − − 2 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () 1n n 1n n 1n N 0k x,k 1n0 N 0k x,x n1n x,k 1n0 N 0k x,k 1n0 N 0k x,k 1n0 x,x n1n x,x n1n N 0k x,x 1n2n x,x 21 x,k 10 N 0k x,x 1n2n x,x 21 x,m 10 x,x n1n N 0k x,x 1 n2n x,x 21 x,k 10 N 0k x,x n1n x,x 21 x,k 10 1n 2 1 n 2 1 1n 2 1 n xZ|xZP )xZ(P )xZ,xZ(P ,0)k(P , ,0)k(P ,0)k(P ,0)k(P , , , , ,0)k(P , , ,0)k(P , , , ,0) k(P , , ,0)k(P )xZ,...,xZ,xZ(P )xZ,...,xZ,xZ(P xZ,,ZZ,xZ|xZP 1nn 1n n1n 1 n n1n1n 1n 1nn1n n1n 1n2 n211 1n2 n211n1n 1n2n211 n1n211 1n21 n21 1n21n − − − = − = −− = − = −− − = −− = −−− = −− = − − − === = == = = λ⋅ λ⋅λ⋅ = = λ⋅ λ⋅⋅λ =λ= = λ⋅⋅⋅λ⋅λ⋅ λ⋅⋅λ⋅λ⋅⋅λ = = λ⋅ ⋅λ⋅λ⋅ λ⋅⋅λ⋅λ⋅ = = === === = ===== − − − − −− − − − − − − −− − −− − − − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 3 3 3 3 2 □ - 34 - Beweis Kolmogo o sche Vo wä sgleichung: Es seien [ ) ∞∈ ,0 ,s mi s < und Sx,x 21 ∈ . () ( ) () ( ) ( ) ( ) () ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ ∑ = + +→ ≠ = + +→ + +→ ≠ = + +→ = + +→ + + → m ⋅=== ===⋅ −== + ==⋅ == = === ⋅ − == + +==⋅ = = = =        = =−==⋅== ⋅ = = ==−== N 0k x k1s 1s2 2 2h 0h N xk 0k 1s 2h 0 h 1s2 2 2 h 0h N xk 0 k1s 2 h 0h 1 s 2 N 0 k1s 2 h 0 h 1 s2 1s 2h 0 h ) (xZ|kZP xZ|xZP h 1xZ| xZP lim xZ|kZP h kZ|xZP lim xZ | xZ P h 1 x Z| x ZP lim xZ|kZP h kZ | xZ P lim xZ |x Z PxZ|kZPkZ |x Z P h 1 lim h x Z|xZPxZ| x ZP lim 2 2 2 □ - 35 - Beweis Kolmogo o sche Rückwä sgleichung: Es seien [ ) ∞∈ ,0 ,s mi s < und Sx,x 21 ∈ . Zunächs e häl man mi dem Lemma zu Sa z 5: ( ) () () () () ( ) 1s 2 x ,x ] [ 1] s[ m 1 x ,x ] [ 1]s[m 1 0h x, x ] [ 1]s[m 1 0 h x ,x ] [ 1]hs[m 1 0h 1hs2 0 h xZ |x Z P]) [ ], [ ( U) m (Q ]) s[ ],s [ s(U ]) [ ], [h (U)m(Q])s[],s [ hs ( Ulim ]) [], [ (U)m(Q])s[],s [h s( U lim ]) [], [ (U ) m(Q])hs[],hs [ hs (U lim xZ| x ZP lim 2 1 21 2 1 21 = ==        − ⋅ ⋅ −= =        −+⋅⋅− += =        −⋅⋅−+ = =        − ⋅ ⋅++−+ = === ∏ ∏ ∏ ∏ + = − += − +→ += − +→ ++= − + → + + → Dami olg : ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ = ≠ = + + → + + → + + + → = +++ +→ + + → == ⋅m−= = = = ⋅ == − == − ⋅= == =        == ⋅ ==− == ⋅= = == −== N 0k s2 kx N x k0k 1s hs 0h h s2 0 h 1 s1 h s 1 hs 2 0h N 0k 1 s hs hs2 1h s2 0h 1 s2 1h s 2 0h kZ |xZP) s( h xZ |k ZP limk Z |x ZPlim h xZ|x Z P1 xZ |x Z Plim x Z| k ZP kZ|xZ P xZ |xZP h 1 lim h x Z| x ZPx Z| xZ P lim 1 1 □ - 36 - Li e a u e zeichnis [1] F i z, F anz- Jose ; Huppe , Be am; Wilems, Wol gang S ochas ische Ma izen, Sp inge -Ve lag, Be lin Heidelbe g New Yo k 1979. [2] Doe k, Klaus; Huppe , Be am; K oll, Ekkeha d Linea e Algeb a II, Vo lesungssk ip Uni. Mainz, Mainz 1981. [3] Gänssle , Pe e ; S u e, Win ied Wah scheinlichkei s heo ie, Sp inge -Ve lag, Be lin Heidelbe g New Yo k 1977. [4] Heubeck, Klaus Rich a eln 2005G,Tex band und P og amm Heu ika 2,Ve lag: Heubeck-Rich a eln-GmbH, Köln 2005. [5] Knobloch, Ral Bewe ung on isikobeha e en Zahlungss ömen mi hil e on Ma ko -Ke en, In: Fo schung am IVW Köln, Band 3/2011, Köln 2012, h p://nbn- esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos-98 (S and 01. Feb ua 2016). [6] Knobloch, Ral Ein Konzep zu Be echnung on ein achen Ba we en in de be ieblichen Al e s e so gung mi hil e eine Ma ko - Ke e, In: Fo schung am IVW Köln, Band 4/2011, Köln 2012, h p://nbn- esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos-100 (S and 01. Feb ua 2016). [7] Knobloch, Ral Bewe ung on isikobeha e en Zahlungss ömen mi hil e on Ma ko -Ke e bei un e jäh liche Zahlweise, In: Fo schung am IVW Köln, Band 6/2012, Köln 2012, h p://nbn- esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos-204 (S and 01. Feb ua 2016). [8] Knobloch, Ral Kons uk ion eine un e jäh lichen Ma ko -Ke e aus eine jäh lichen Ma ko -Ke e, In: Fo schung am IVW Köln, Band 6/2013, Köln 2013, h p://nbn- esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos-402 (S and 01. Feb ua 2016). [9] Knobloch, Ral Momen e und cha ak e is ische Funk ion des Ba we s eine bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke e-Anwendung bei isikobeha e en Zahlungss ömen, In: Fo schung am IVW Köln, Band 5/2015, Köln 2015, h p://nbn- esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos-816 (S and 01. Feb ua 2016). [10] Kolle , Michael S ochas ische Modelle in de Lebens e siche ung, 2. Au lage, Sp inge -Ve lag, Be lin Heidelbe g 2010. - 37 - [11] Milb od , Ha mu ; Helbig, Man ed Ma hema ische Me hoden de Pe sonen e siche ungs- ma hema ik, Wal e de G uy e , Be lin New Yo k 1999. [12] Neubu ge , Edga Unabhängigkei on Ren enanwa scha sba we en on de Zahlungsweise, Blä e de DGVFM, Bd. XIX, He 3, S.257 – S.267, 1990. [13] Ross, Sheldon M. Ind oduc ion o P obabili y Modells, Eigh h Edi ion, Academic P ess, Ams e dam e.a. 2003. [14] Waldmann, Ka l- Heinz; S ocke , Ul ike M. S ochas ische Modell, 2. Au lage, Sp inge Ve lag, Heidelbe g Do d ech London New Yo k 2011. [15] Wes e mann, Thomas Ma hema ik ü Ingenieu e 6. Au lage, e gänzende Kapi el, Sp inge Ve lag, Heidelbe g Do d ech London New Yo k 2011, h p://www.home.hs- ka ls uhe.de/~we h0002/bueche /ma he/s a .h m (S and 01. Mä z 2015). Imp essum Diese Ve ö en lichung e schein im Rahmen de Online-Publika ions eihe „Fo schung am i wKöln“. Eine olls ändige Übe sich alle bishe e schienenen Publika ionen inde sich am Ende diese Publika ion . Fo schung am i w Köln, 4/2016 ISSN (online) 2192-8479 Knobloch: Bewe e e inhomogene Ma ko -Ke en – Spezielle un e jäh liche und zei s e ige Modelle Köln, Feb ua 2016 Sch i lei ung / edi o ’s o ice: P o . D . Jü gen S obel Ins i u ü Ve siche ungswesen / Ins i u e o Insu ance S udies Fakul ä ü Wi scha s - und Rech swissenscha en / Facul y o Business, Economics and Law Technische Hochschule Köln / Uni e si y o Applied Sciences Gus a Heinemann -U e 54 50968 Köln Tel. +49 221 8275-3270 Fax +49 221 8275-3277 Mail jue gen.s obel@ h -koeln.de Web www. h-koeln.de He ausgebe de Sch i en eihe / Se ies Edi o ship: P o . D . Lu z Reime s -Rawcli e P o . D . Pe e Schimikowski P o . D . Jü gen S obel Kon ak Au o / Con ac au ho : P o . D . Ral Knobloch S chmalenbach Ins i u ü Wi scha swissenscha en / Schmalenbach Ins i u e o Business Adminis a ion Fakul ä ü Wi scha s - und Rech swissenscha en / Facul y o Business, Economics and Law Technische Hochschule Köln / Uni e si y o Applied Sciences Gus a Heinemann -U e 54 50968 Köln Mail al .knobloch@ h-koeln.de Publika ions eihe „Fo schung am i wKöln“ Kos enlos ab u ba un e www.i w-koeln.de. Meh hei lich sind diese Online-Publika ionen auch übe den Sch i ense e Cologne Open Science e ügba . 2016 6/2016 Heep-Al ine , Rohl s, Dağoğlu, Pulido, Ven e : Be ich sp lich en und P ozessan o de ungen nach Sol ency II 5/2016 Goecke: Collec i e De ined Con ibu ion Plans - Back es ing based on Ge man capi al ma ke da a 1955 - 2015 4/2016 Knobloch: Bewe e e inhomogene Ma ko -Ke en - Spezielle un e jäh liche und zei s e ige Modelle 3/2016 Völle (H sg.): Sozialisie du ch Google, Apple, Amazon, Facebook und Co. – Kundene wa ungen und –e ah ungen in de Asseku anz. P oceedings zum 20. Kölne Ve siche ungssymposium am 5. No embe 2015 in Köln 2/2016 Ma e ne (H sg.): Jah esbe ich 2015 des Fo schungsschwe punk s Rück e siche ung 1/2016 Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2015 2015 11/2015 Goecke (H sg.): Kapi alanlage isiken: Economic Scena io Gene a o und Liquidi ä smanagemen . P oceedings zum 8. FaRis & DAV Symposium am 12. Juni 2015 in Köln 10/2015 Heep-Al ine , Rohl s: S anda d o mel und wei e e Anwendungen am Beispiel des du chgängigen Da enmodells de „IVW P i a AG“ – Teil 2 9/2015 Goecke: Asse Liabili y Managemen in einem selbs inanzie enden Pensions onds 8/2015 S obel (H sg.): Managemen des Langlebigkei s isikos. P oceedings zum 7. FaRis & DAV Symposium am 5.12.2014 in Köln 7/2015 Völle , Wunde : En e p ise 2.0: Konzep ion eines Wikis im Sinne des p ozesso ien ie en Wissensmanagemen s 6/2015 Heep-Al ine , Rohl s: S anda d o mel und wei e e Anwendungen am Beispiel des du chgängigen Da enmodells de „IVW P i a AG‘‘ 5/2015 Knobloch: Momen e und cha ak e is ische Funk ion des Ba we s eine bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke e. Anwendung bei isikobeha e en Zahlungss ömen 4/2015 Heep-Al ine , Rohl s, Beie : E neue ba e Ene gien und ALM eines Ve siche ungsun e nehmens 3/2015 Dolgo : Calib a ion o Hes on's s ochas ic ola ili y model o an empi ical densi y using a gene ic algo i hm 2/2015 Heep-Al ine , Be g: Mik oökonomisches P oduk ionsmodell ü Ve siche ungen 1/2015 Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2014