Asset Liability-Management in einem selbstfinanzierenden Pensionsfonds

Fo schung am IVW Köln, 9/2015
Ins i u ü Ve siche ungswesen
Asse Liabili y Managemen in einem
selbs inanzie enden Pensions onds
Oska Goecke
Fo schung am IVW Köln, 9
/
2015 Wählen Sie ein Elemen aus.
Oska Goecke
Fo schungss elle FaRis
Asse Liabili y Managemen in einem selbs inanzie enden
Pensions onds
Zusammen assung
Wi be ach en einen Pensions onds, de den Ve so gungsbe ech ig en gegen Zahlung eines
Einmalbei ags eine Leib en e gewäh . De Pensions onds e üg übe keinen ex e nen Sponso ode
Ga an iegebe (dahe selbs inanzie end), so dass alle Ren en imme und ausschließlich aus dem
o handenen Ve mögen gezahl we den müssen. In ex emen Si ua ionen (deu liche Ve länge ung de
Lebense wa ung, subs anzielle Einb üche bei den Kapi alanlagen) muss de Pensions onds dahe die
Ren en nach un en anpassen. Wi en wickeln und un e suchen Regeln ü das Asse Liabili y Managemen ,
bei denen die beiden wide s ebenden Ziele, nämlich hohe und zugleich s abile Ren en, simul an
be ücksich ig we den. Wi üh en den Nachweis, dass de in e gene a ionale Risikoausgleich im
Ren enkollek i subs anziell das Rendi e-Risiko-P o il ü die Ve so gungsemp änge e besse .
Abs ac
We conside a pension und which p o ides li e annui ies o he e i ees who pay a single p emium when
en e ing he und. The pension und is sel - inancing in he sense ha he e is no ex e nal sponso who
gua an ies he pension paymen s. As a consequence in ex eme scena ios (due o longe i y isk o capi al
ma ke isks) he pension und migh be o ced o educe he amoun o pensions. We de elop asse liabili y
managemen ules which simul aneously ake in o accoun he wo con lic ing objec i es, namely high and
s able pensions. We p o ide e idence ha he in e gene a ional isk ans e wi hin he collec i e o e i ees
subs an ially imp o es he isk e u n p o ile o he pensione s.
Schlagwö e
selbs inanzie ende Pensions onds, ak ua ielle Ton ine, Langlebigkei s isiko, Kapi alanlage isiko, Asse Liabili y
Managemen , Risiko-Rendi e-P o ile, in e gene a ionale Risiko ans e
Keywo ds
sel - inancing pension und, ac ua ial on ine, longe i y isk, capi al ma ke isk, asse liabili y managemen , isk- e u n-
p o iles, in e gene a ional isk ans e
Inhal
1 Ein üh ung .............................................................................. 1
2 Modell eines o enen selbs inanzie enden Pensions onds ..... 4
2.1 G undelemen e des Modells ............................................................ 4
2.2 Bezeichnungen ................................................................................ 5
2.3 Kapi alma k modell ......................................................................... 7
2.4 Modellie ung de S e blichkei ........................................................ 9
2.4.1 De e minis isches CBD-Modell ................................................................... 9
2.4.2 Kalib ie ung des CBD-Modells .................................................................. 12
2.4.3 S ochas isches CBD-Modell ....................................................................... 14
2.4.4 Simula ion Bes andsen wicklung ............................................................... 18
2.5 Gene a ionen endi e ...................................................................... 22
3 Asse Liabili y Managemen ü den Pensions onds ............. 24
3.1 Fo sch eibung de Ak i a und Passi a ......................................... 24
3.2 S uk u pa ame e des Ren enbes andes ........................................ 25
3.3 ALM S a egie ............................................................................... 26
3.3.1 Allgemeine Da s ellung .............................................................................. 26
3.3.2 Konk e isie ung de ALM-Regeln ............................................................. 31
4 Modell echnungen ................................................................ 35
4.1 Kalib ie ung des Re e enzmodells, Simula ionsszena ien ............ 35
4.2 De e minis isches ALM-Modell .................................................... 37
4.3 S ochas ische S e blichkei bei siche e Kapi alanlage ................. 43
4.4 De allgemeine Fall ....................................................................... 47
4.4.1 Un e deckungswah scheinlichkei en .......................................................... 47
4.4.2 Rendi e-Risiko P o ile ................................................................................ 53
I
5 Anhang .................................................................................. 60
5.1 Das P oblem de doppel en S ochas izi ä ..................................... 60
5.2 Rechnungsg undlagen 1. O dnung in CBD-Modell ...................... 66
5.3 S ochas ik de Deckungs ücks ellung im CBD-Modell ................ 68
5.4 Die ak ua ielle Ton ine .................................................................. 73
5.4.1 De ini ion .................................................................................................... 73
5.4.2 Gene a ionen endi e bei eine Ton ine ....................................................... 75
5.4.3 Rendi e-Risiko-P o il eine Ton ine ........................................................... 77
Li e a u ...................................................................................... 82
Abbildungs- und Tabellen e zeichnis ........................................ 84
II
1 Ein üh ung
Wi be ach en die Ren enphase (ode En spa phase) eine kapi algedeck en Al e s e -
so gung: Aus einem gegebenen Kapi als ock soll ü eine G uppe on Ren enemp än-
ge n eine Leib en e inanzie we den. T i man Annahmen hinsich lich de Übe le-
benswah scheinlichkei en und de Ve zinsung des Kapi als ocks, so kann man mi ak u-
a iellen Me hoden be echnen, welche Ren en sich aus dem Kapi als ock inanzie en las-
sen. Da die a sächlichen Übe lebenswah scheinlichkei en und die a sächlichen Kapi-
ale äge on den angenommenen abweichen, s ell sich die F age, ob die Ren en ode
de Kapi als ock an die geände en Ve häl nisse angepass we den. Wi sp echen on
einem selbs inanzie enden Pensions onds,1 wenn abgesehen om an änglichen Kapi al-
s ock keine ex e ne Finanzie ungsquelle zu Ve ügung s eh . Es gib also keinen ex e -
nen D i en (Ak ionä , A bei gebe , ö en liche S elle, o.ä.), de bei bei eine Finanzie-
ungslücke on außen Kapi al zu üh .
Is die Be ei scha on außen Kapi al zuzu üh en Teil eines Geschä smodells (wie z.B.
bei eine Lebens e siche ungs-AG), so wi d de Kapi algebe eine Gegenleis ung e -
langen, e wa in Ges al eine Be eiligung an Kapi ale ägen. In jedem Falle geh die
Gegenleis ung zu Las en de Ren en. Da es sich um ein Risikogeschä handel , wi d de
ex e ne Kapi algebe eine Risikop ämie, also eine Übe endi e im Ve gleich zu eine si-
che en Kapi alanlage als Gegenleis ung ü die Be ei s ellung on Siche ungskapi al e -
wa en. Im Be eich de be ieblichen Al e s e so gung (Pensionskasse, Pensions onds)
is egelmäßig de A bei gebe e p lich e , bei Beda Kapi al nachzuschießen. Aus
Sich de Ren enbeziehe is dies siche lich eine güns ige Si ua ion. Doch aus A bei ge-
be sich is die Eins andsp lich ein Kos en ak o , de im Ex em all den A bei gebe
e anlassen könn e, Ve so gungso dnungen ü neue A bei nehme zu schließen. Zu-
mindes wi d e bei Ve so gungszusage die Kos en bzw. die Risiken einkalkulie en. Ob
in de p i a en ode be ieblichen Al e s e so gung – in jedem Falle geh jede on au-
ßen be ei ges ell e Ga an ie zu Las en de Ren en, di ek ode indi ek . Dies gil nich
nu in Bezug au das Kapi alma k isiko, sonde n auch ü das Langlebigkei s isiko.
Selbs inanzie nde Pensions onds bie e somi endenziell höhe e Leis ungen.
Selbs inanzie ende Pensions onds sind alle dings au ein wi ksames Asse -Liabili y
Managemen (ALM) angewiesen: De Kapi als ock muss bei e e ba em Risiko mög-
lichs enabel angeleg we den und die Ren en müssen so angespass we den, dass sie
1 Wi e wenden hie den Beg i Pensions onds im allgemeinen Sinne als eine Ein ich ung, die einen Ka-
pi als ock e wal e bzw. am Kapi alma k anleg und hie aus an eine G uppe on Ren enbeziehe Ren en
zahl .
1

daue ha inanzie ba bleiben und zugleich eine ai e Be eiligung am Kapi als ock e -
möglichen. Des Wei e en müssen Ve ände ung de Lebense wa ung ech zei ig e kann
und be ücksich ig we den.
In de o geleg en A bei we den wi ALM-S a egien ü selbs inanzie ende Ren en-
bes ände en wickeln. Es wi d gezeig , dass selbs inanzie ende Ren enbes ände au -
g und des Risikoausgleichs zwischen den Ren ne gene a ionen
• das sys em a ische und das idiosynk a ische Langlebigkei s isiko agen können,
indem die Ren en mode a an e ände e S e blichkei s a en angepass we den,
• du ch eine e gleichsweise hohe Ak ienquo e in de Kapi alanlage höhe e Kapi-
ale äge und dami ein höhe es Ren enni eau e möglichen,
• gegenübe ande en nich -kollek i en Ve en ungs e ah en (Ton inen) ein signi-
ikan besse es Rendi e-Risiko P o il au weisen.
In [Goecke 2011, 2013b] haben wi anhand eines ein achen Kapi alma k modells den
Anspa p ozess zum Au bau eines Ve so gungskapi als un e such . Wi haben dabei ge-
zeig , dass kollek i e Spa o men einem indi iduellen Spa p ozess übe legen sind. Das
in [Goecke 2011, 2013b] o ges ell e Modell des Kollek i en Spa ens wi d in de hie
o geleg en A bei au den Ren enphase (En spa phase) übe agen. Ande s als in de
Anspa phase können wi in de En spa phase das S e blichkei s isiko nich ausblenden.
Diese und o angegangene Un e suchungen ([Goecke 2011, 2012, 2013a, 2013b]) un-
e s eichen den Nu zen, den kollek i e Ve so gungssys eme ü die Be eilig en haben.
Die Un e suchung is wie olg au gebau . Nach eine ku zen Ein üh ung s ellen wi in
Kapi al 2 ein s ochas isches Modell ü einen o enen selbs inanzie enden Pensions-
onds o . Dieses beinhal e sowohl ein s ochas isches Kapi alma k modell (Abschni
2.3) als auch ein s ochas isches S e blichkei smodell, eine ein ache Va ian e des on
Cai ns, Blake und Dowd en wickel en Modells (CBD-Modell in Abschni 2.4). In Ab-
schni 2.5 üh en wi den Beg i de Gene a ionen endi e ein, de einen Ve gleich e -
schiedene ALM-S a egien e möglich . Hie au au bauend o mulie en wi in Kapi al 3
ALM-S a egien ü selbs inanzie ende Pensions onds. Diese S a egien sind so konzi-
pie , dass nach eine ex e nen S ö ung de Pensions onds s e s wiede in den „Gleich-
gewich szus and“ zu ückge üh wi d. Die heo e ischen E gebnisse des 3. Kapi els we -
den im olgenden Kapi el 4 anhand on um ang eichen Modell echnungen (Mon e
Ca lo Simula ionen) au ih e P ak ikabili ä hin un e such .
Im Anhang (Abschni 5) we den einige spezielle Aspek e gesonde da ges ell
• das P oblem de doppel en S ochas izi ä bei kleinen Pensionsbes änden,
2
Goecke: Asse Liabili y Managemen in einem selbs inanzie enden Pensions onds
• die Ablei ung on Rechnungsg undlagen 1. O dnung im CBD-Modell,
• die S ochas ik de Deckungs ücks ellung im CBD-Modell,
• die ak ua ielle Ton ine.
3
2 Modell eines o enen selbs inanzie enden Pensions-
onds
2.1 G undelemen e des Modells
Wi be ach en einen einen Ren enbes and, de mi einem Kapi als ock ausges a is .
Aus dem Kapi als ock we den ü alle Pe sonen des Ren enbes andes jäh lich o schüs-
sig Ren en gezahl . De Ren enbes and ände sich lau end, zum einen e s e ben Ren -
ne und zum ande en i jäh lich eine G uppe on Neu en ne n dem Ren enkollek i
bei. Mi Ein i in das Ren enkollek i leis en die Neu en ne einen einmaligen Finan-
zie ungsbei ag. Wi wollen de Ein achhei halbe on einem Pensions onds sp echen.2
Wi o dnen dem Pensions onds eine Bilanz zu ( gl. Abbildung 1): Au de Ak i sei e
e buchen wi die Kapi alanlagen (das Po olio) mi ih en Zei we en und au de Pas-
si sei e die bewe e en Ren en e p lich ungen (Deckungs ücks ellungen), die nach ak u-
a iellen Me hoden be echne we den. De Pensions onds soll kapi algedeck sein, d.h. in
alle Regel soll de Zei we de Kapi alanlagen g öße sein als die Deckungs ücks el-
lungen. De Teil de Kapi alanlagen, de nich ü die Bedeckung de Rücks ellungen
benö ig wi d, wollen wi als kollek i e Rese e bezeichnen – gl. [Goecke 2011].
ABBILDUNG 1: S ilisie e Bilanz des Pensions onds
Die Kapi alanlagen we den au dem Kapi alma k angeleg , je nach Zusammense zung
des Po olios is die We en wicklung („Ve zinsung“) meh ode wenige s a k schwan-
kend. Auch die Daue de Ren enzahlungen an die Pensionä e is ungewiss; zum einen
is die Lebensdaue jedes einzelnen ungewiss (indi iduelles ode idiosynk a isches
2 Eine Ve wechlung mi dem Pensions onds im Sinne Legalde ini ion des § 112 VAG is nich zu be ü ch-
en.
4
Goecke: Asse Liabili y Managemen in einem selbs inanzie enden Pensions onds
S e blichkei s isiko), zum ande en is die kollek i e Lebense wa ung de Gesam be öl-
ke ung ungewiss (sys ema isches S e blichkei s isiko).
De Pensions onds is selbs inanzie end, d.h. es gib keinen ex e nen Kapi algebe (Ak-
ionä , A bei gebe , ö en liche S ellen, e c.), de bei Beda Mi el zuschießen könn e
bzw. Mi el en nehmen könn e. Wi wollen annehmen, dass ein Pensions ondsmanage
(m./w.) dami beau ag is , die Kapilanlagen zu s eue n (Asse Managemen ) und die
Einmalbei äge de Neu en ne sowie die Ren enhöhe (Liabili y Managemen ) es zule-
gen. Wi gehen da on aus, dass de Pensions ondsmanage selbs los und ausschließlich
im In e esse des Kollek i s de Ren enemp änge handel .
2.2 Bezeichnungen
: Zei index = 0, 1, …, T
z: es es Ren enein i sal e , ü alle Modell echnungen wählen wi
65z=
.
ω
: heo e isch e eichba es Höchs al e , ü alle Modell echnungen wählen wi
115
ω
=
.
1
{ (0), (0), ..., (0)}
zz
LL L
ω
+
: An angsbes and zum Zei punk = 0, wi d als ge-
geben angenommen. Wi gehen g undsä zlich on homogenen Pe sonen-
g uppen (Al e skoho en) aus; ü alle Pe sonen gleichen Al e s gil die glei-
che Übe lebenswah scheinlichkei .
()
z
L
: Anzahl de Neu en ne , die zum Zei punk dem Ren enkollek i bei e en;
wi be ach en
()
z
L
als eine de e minis ische G öße.
()
x
L
: Anzahl de übe lebenden x-jäh igen Pe sonen des Ren enbes andes zu Be-
ginn des ( +1)-s en Jah es ü
1, ...,xz
ω
= +
.
(): ()
x
xz
L L
ω
=
=∑
: Gesam zahl de Ren ne zu Beginn des ( +1)-s en Jah es.
()
: Höhe de Ren e, die zu Beginn des ( +1)-s en Jah es an jeden Ren ne ge-
zahl wi d. Die Ren e wi d jäh lich o schüssig gezahl , alle Ren ne e hal-
en die gleiche Ren e.
5
2.4.2 Kalib ie ung des CBD-Modells
Wi se zen z = 65 und
ω
= 115 und kalib ie en unse Modell (Gl. 9, 10) au de G und-
lage de Rich a eln 2005G, wobei wi uns bei de Kalib ie ung au die S e bewah -
scheinlichkei en des Ren ne bes andes ü die Al e sg uppe x = 65, 66, …, 100 be-
sch änken. Bei den Rich a eln we den au bauend au de Basis a el (= Pe ioden a el ü
das Jah 2005) die Pe ioden a eln ü die Jah e nach 2005 du ch ein ache P ojek ion de
S e bewah scheinlichkei en bes imm . Wi be ücksich igen die P ojek ionen de Pe io-
den a eln ü die Jah 2005 bis 2055. Eine im Jah e 2005 65-jäh ige Pe son wü de im
Übe lebens alle im Jah e 2055 das Schlussal e
ω
= 115 e eichen.
ABBILDUNG 3: Pa ame e
12
(), ()
κκ
′′
ü
{0,1, ..., 50} ∈
, = 0 en sp ich dabei dem
Basisjah 2005, = 50 en sp ich dem P ojek ionsjah 2055.
Wi in e p e ie en = 0 als das Jah 2005 und bes immen ü jedes
{0,1, ..., 50} ∈
die
Pa ame e
( )
12
(), ()
κκ
′′
, so dass
( )
( )
100 2
2005 1 2
65
logi ( , ) ( ) ( ) ( )
RT G
x
q x x z
κκ
=
′′
−− −
∑
mini-
mie wi d. Die sich so e gebenden We e sind in Abb. 3 da ges ell .
Abb. 3 zeig , dass sich die Pa ame e
12
(), ()
κκ
′′
nun ih e sei s ech gu als linea e
Funk ionen on annähe n lassen. Wi se zen dahe
1 01
()
κ αα
= +
bzw.
2 01
()
κ ββ
= +
, wobei die Pa ame e
0101
,,,
ααββ
wiede um mi els eines „kleins e
Quad a e-Ansa zes“ bes imm we den. Dabei e geben sich olgende We e:
12

Goecke: Asse Liabili y Managemen in einem selbs inanzie enden Pensions onds
Männe F auen
hyb ide
Bes and
0
α
- 4.0547 - 4.8885 - 4.4716
1
α
- 0.023129 - 0.024149 - 0.023639
0
β
0.10737 0.13291 0.12014
1
β
0.00037387 0.00035482 0.00036435
Tabelle 1: Übe sich de Pa ame e ü das CBD-Modell bei eine Kalib ie ung au
de G undlagen de Pe ioden a eln 2005- 2055 de Rich a eln Heubeck 2005G.
Die Pa ame e ü den hyb iden (gemisch en) Bes and e geben sich jeweils aus Mi el-
we e de G ößen ü Männe und F auen. Man beach e, dass ein an ängliche Bes and,
de je zu Häl e aus F auen und Männe n bes eh , au g und de un e schiedlichen S e -
bewah scheinlichkei en ü F auen und Männe n im Lau e de Jah e ein abweichendes
Geschlech e e häl nis au weisen wi d. Simulie man also den Ren enbes and ge enn
nach Männe und F auen, so e gib sich ein ande e Ve lau als bei eine Simula ion mi
gemi el e Kalib ie ung. Um nich imme ü Männe und F auen sepa a echnen zu
müssen, we den wi im Folgenden in alle Regel au die hyb ide Kalib ie ung zu ück-
g ei en und nu gelegen lich ü F auen und Männe ge enn echnen.
ABBILDUNG 4: Ve gleich de Pe iodens e be a eln Heubeck 2005G und CBD-Modell
ü das Basisjah 2005 und ü das P ojek ionsjah 2055, jeweils ü Männe und
F auen.
13
Um die Gü e de App oxima ion zu illus ie en haben wi in Abb. 4 die Pe ioden a eln
de Rich a eln und de App oxima ionen du ch das e ein ach e CBD-Modelle ü die
Jah e 2005 (Basisjah ) und 2055 jeweils ü Männe und F auen e glichen. Dabei
wu de die Kalib ie ung de Tabelle 1 zug unde geleg . De Ve gleich zeig , dass das
e ein ach e CBD-Modell die Heubeck a eln hinlänglich gu app oximie . Es sei noch-
mals be on , dass es hie nich da um geh , die Heubeck Rechnungsg undlagen mög-
lichs gu zu app oximie en, sonde n da um, die S e blichkei sen wicklung in einem
s ochas ischen Modell plausibel zu simulie en.
2.4.3 S ochas isches CBD-Modell
Das Risiko, dass die Kalkula ionsannahmen ü die S e blichkei alsch sind bzw. Ände-
ungen de S e blichkei sen wicklung alsch eingeschä z we den, kons i uie das Lang-
lebigkei s isiko. In unse em Modell soll dieses Risiko e ein ach abgebilde we den. In
(Gl. 9) e se zen wi dazu die de e minis ische Funk ion
1 01
()
κ αα
= +
du ch ei-
nen Random Walk mi kons an e D i :
01 11 1
()
W W
αα
αα σ κ σ
++
′′
++ = +
(Gl. 12)
mi
0
α
σ
>
und einem S anda d Wiene p ozess
0
()
W≥
′
mi
0
0
W′=
.
Wi un e s ellen, dass die beiden Wiene P ozesse
0
()
W≥
und
0
()
W≥
′
s ochas isch
unabhängig sind. Ob a sächlich die Be ölke ungss e blichkei und die Kapi almä k e
oneinande unabhängig sind, kann bezwei el we den. In eine p ospe ie enden Volk-
wi scha we den sich endenziell die Kapi almä k e posi i en wickeln und zugleich
au g und eine besse en medizinischen Ve so gung die Lebense wa ungen s eigen. Es
wi d auch die These e e en (Asse Mel down Hypo hesis)11, dass in eine al e nden
Volkswi scha (u.a. he o ge u en du ch eine ges iegene Lebense wa ung de Ren en-
beziehe ) die We papie endi en sinken. Da jedoch nich e kennba is , wie man die
Abhängigkei zwischen Be ölke ungss e blichkei und die Kapi almä k e angemessen
modellie en könn e, geschweige denn eine Kalib ie ung de Abhängigkei en o nehmen
könn e, schein die oben ge o ene Annahme e e ba .
Somi e hal en wi die s ochas ischen Übe lebenswah scheinlichkei en
( )
1
1
( , ) : 1 exp( ) ( , )
px W gx
α
σ
−
+
′
= +

ü
x
ω
<
und
( ,) 0p
ω
≡

. (Gl. 13)
11 gl. [Taká s 2010]
14
Goecke: Asse Liabili y Managemen in einem selbs inanzie enden Pensions onds
Fü die k-jäh igen Übe lebenswah scheinlichkei en se zen wi
1
0
( , ): ( , )
k
k
j
px px j j
−
=
= ++
∏

(Gl. 14)
Beme kungen:
1. Bei de In e p e a ion on (Gl. 13) is zu beach en, dass wi zu den Zei punk en =
0,1,2,… die 1-jäh igen S e bewah scheinlichkei en
(, )q x

bzw. die 1-jäh igen Übe le-
benswah scheinlichkei en
(, )p x

jeweils au das Jah
[ , 1] +
beziehen. Die Zu alls-
g ößen
(, )
q x

bzw.
(, )p x

ealisie en sich also e s zum Zei punk +1. Die om Wie-
ne p ozess
0
()
W≥
′
e zeug e
σ
-Algeb a
M
in e p e ie en wi in gewohn e Weise als
den In o ma ionss and zum Zei punk
0 ≥
.12
2. Fü
x
ω
<
gil s e s
0 (,) 1px
<<

; dies is ein Vo eil gegenübe dem Gompe z-
schen S e begese z
( )
1
ln ( , ) ( , )
x
x
p x x u u du
µ
+
=−+
∫
, wenn man einen linea en Ansa z
ü de S e bein ensi ä un e s ell . Is e wa
12
( ,) () ()( )
x y y x z
µ
=+−
und e se z
man hie die Pa ame e
12
(), ()y y
du ch Gauss-P ozesse, so e häl man posi i e
Wah scheinlichkei Übe lebenswah scheinlichkei en g öße als 1.13
3. In [Cai ns 2006] e häl auch
2()
κ
eine s ochas ische Komponen e:
01 1
W
β
ββ σ
+
′′
++
21
()
W
β
κσ
+
′′
= +
mi ko elie en P ozessen
(, )
WW
′ ′′
. Die
S ochas ik de S e blichkei sen wicklung e häl dadu ch eine al e sabhängige Kom-
ponen e. Die Schwankungen de S e blichkei bei höhe en Al e n sind dann g öße
als bei jünge en. Aus G ünden de Übe sich lichkei de Da s ellung e zich en wi
au diese zwei e s ochas ische Komponen e. Denn ande s als in [Cai ns 2006] wollen
wi nich das Langlebigkei s isiko bewe en, ielmeh wollen wi ALM-Regeln zu
S eue ung eines selbs inanzie enden Ren enbes andes un e suchen. Bei de Kalib ie-
ung unse es e ein ach en Modells g ei en wi jedoch E gebnisse in [Cai ns 2006]
zu ück.
12 Vgl. hie zu [Cai ns e.a. 2009] S. 691.
13 [Sch age 2006] üh ein Modell mi a ine s ochas ische Mo ali ä ein, das als Spezial all den Gom-
pe z-Ansa z um ass . Die analy ische Handhabba kei des Modells wi d abe du ch die Möglichkei nega-
i e S e blichkei e kau - gl. [Sch age 2006] S. 87.
15
4. Is
012
( , , , ... )www
′′′
eine Realisa ion des P ozesses
( )
: 0,1, 2, ....
W
′=
, so gil
( )
11
1
0
( , ) 1 exp( ) ( , )
k
k j
j
px w gx j j
α
σ
−−
++
=
′
= + ++
∏

. Die a sächliche k-jäh ige Übe le-
benswah scheinlichkei ealisie sich also e s im Zei punk +k+1.
5. Fü
s ≤
is
( )
(., ) s
p E
M
die (zu ällige) Pe iodens e be a el ü die Pe iode
[ , 1]
+
basie end au dem In o ma ionss and bis zum Zei punk s. Falls
ss
Ww
′′
=
, so is
()
( )
()
1
1
1
( , ) 1 exp ( ) exp( ) ( , )
1 exp( 1 ) exp( ) ( , ) ( )
ss s s ss
s
px W w W W w gx W w
s z w g x z dz
αα
αα
σσ
σσ ϕ
−
+
+∞ −
−∞
′′ ′ ′ ′′

==+− =


′
= + −+

∫
EE

(Gl. 15)
de bes en Schä ze de Übe lebenswah scheinlichkei au de G undlage de bis zum
Zei punk s e ügba en In o ma ionen. Hie bei bezeichne
(.)
ϕ
die Dich e unk ion
de S anda dno mal e eilung.
Das In eg al in (Gl. 15) muss nume isch ausgewe e we den, was bei Mon e Ca lo
Simula ionen seh zei au wendig is . Wi e se zen dahe den Ausd uck
( )
()
1
1
1 exp ( ) exp( ) ( , )
s s ss
W W w gx W w
αα
σσ
−
+
′ ′ ′ ′′

+− =

E
du ch
( )
( )
( )
11
1
1 exp ( ) exp( ) ( , ) 1 exp( ) ( , )
ss s s s
W W W w w gx w gx
α αα
σ σσ
−−
+

′ ′′ ′ ′ ′
+ −= =+

E
.
Bei eine ealis ischen Kalib ie ung (s.u.) is de Fehle e nachlässigba . Wi se zen
dahe
( )
1
()
min( , 1)
( , ) : 1 exp( ) ( , )
e
x s
p s w gx
α
σ
−
+
′
= +
(Gl. 16)
und in e p e ie en
()
(, )
e
x
p s
als die Schä zung de 1-jäh igen Übe lebenswah schein-
lichkei en x-jäh ige Pe sonen ü die Pe iode
[ , 1] +
basie end au den Beobach-
ungen bis zum Zei punk s. Fü
1s ≥+
gil
( )
1
()
1
( , ) 1 exp( ) ( , )
e
x
p s w gx
α
σ
−
+
′
= +
.
16
Goecke: Asse Liabili y Managemen in einem selbs inanzie enden Pensions onds
6. Allgemeine is ü
1k≥
und
1s ≤+
( )
( )
1
0
11
1
0
(,)
1 exp ( ) exp( ) ( , )
k
ss
j
k
j s s s s
j
px j j W w
W W w gx j j W w
αα
σσ
−
=
−−
++
=

′′
++ =




′ ′ ′ ′′
= + − ++ =



∏
∏
E
E

de bes e Schä ze de k-jäh ige Übe lebenswah scheinlichkei un e Be ücksich i-
gung de Beobach ungen bis s. Diese We kann be echne we den; e o de abe
die nume ische Auswe ung eines k- achen In eg als. Analog zu Zi e 5 app oximie-
en wi diesen Ausd uck du ch
()
11
0
1 exp( ) ( , )
k
s
j
w gx j j
α
σ
−−
=
′
+ ++
∏
. Allgemeine de i-
nie en wi ü alle
0s≥
:
( )
11
()
min( , 1)
0
( , ) : 1 exp( ) ( , )
k
e
k x s j
j
p s w gx j j
α
σ
−−
++
=
′
= + ++
∏
(Gl. 17)
und in e p e ie en
()
(, )
e
kx
p s
die Schä zung de k-jäh igen Übe lebenswah schein-
lichkei en x-jäh ige Pe sonen ü die Pe iode
[, ]
k+
basie end au den Beobach-
ungen bis zum Zei punk s. Fü
s k≥+
is
()
(, ) ()
e
kx kx
p s p =
die a sächlich eali-
sie e k-jäh ige Übe lebenswah scheinlichkei .
Kalib ie ung des Pa ame e s
α
σ
Eine Kalib ie ung de Vola ili ä
α
σ
des
W′
-P ozesses is au de G undlage de Rich -
a eln na ü lich nich möglich, da diesen ein de e minis isches Modell de kün igen
Mo ali ä sen wicklung zug unde lieg . Wi g ei en dahe zu ück au die Kalib ie ung in
[Cai ns e.a. 2006]. Au de G undlage de S e be a eln ü England und Wales 1982-
2002 e gib sich ein We on
4%
α
σ
≈
.14 Wei e un en we den wi zeigen, dass die
S ochas ik des
W′
-P ozesses das Asse Liabili y Managemen wenige s a k beein luss
als das Kapi alanlage isiko ode s uku elle Ve schiebungen im Bes and.
14 Da das Modell in [Cai ns e.a. 2006] eine al e sabhängige s ochas ische Komponen en um ass , haben wi
hie die Be echnung de S anda dabweichung ü ein „du chschni liches“ Bes andsal e on x = 90 zug un-
de geleg . Da das a sächliche Du chschni sal e in de Regel nied ige is , wi d hie du ch die S anda dab-
weichung e was übe schä z .
17

Die olgenden Abbildung (Abb. 5) zeig die mi le e e ne e Lebense wa ung 65-jäh i-
ge Männe und F auen in Abhängigkei om Gebu sjah (1940 – 2000). Bei de Be-
echnung de Quan ile des s ochas ischen CBD-Modells wu den jeweils 50 000 Simula-
ionen ausgewe e . Zu Ve gleichszwecken wu de die En wicklung de Lebense wa -
ung nach den Rich a eln 2005G da ges ell . Abb. 5 mach deu lich, dass die Abwei-
chung des e ein ach en CBD-Modells on den Rich a el-We en im Ve häl nis zu Un-
siche hei de S e blichkei sen wicklung kaum ins Gewich äll .
ABBILDUNG 5: Mi le en e ne en Lebense wa ung 65-jäh ige Männe (links) bzw.
F auen ( ech s) in Abhängigkei om Gebu sjah , Ve gleich CBD-Modell und Rich -
a eln 2005G, sowie die 1% und 99%-Quan ile ü das CBD-Modell (
0.04
α
σ
=
).
2.4.4 Simula ion Bes andsen wicklung
Bei de Simula ion des Ren enbes andes be ücksich igen wi die doppel e S ochas ik in
olgende Weise:
1. Wi simulie en den P ozesse
W′
ü
0,1, ..., T=
und e hal en ü jeden Simula i-
onslau eine Folge 1-jäh ige Übe lebenswah scheinlichkei en
( )
00 0
( , ) : , 1, ...,p x T=++
. Wi in e p e ie en
0
0 =
als das Jah 2005 und
simulie en die Bes andsen wicklung bis zum Jah e 2065; d.h. T = 60.
2. Fü alle
{0,1, ..., 1}
T∈−
und
{ , 1, ..., }x zz
ω
∈+
simulie en wi die G öße
1
( 1)
Lx
+
+
als Realisa ion eine
(, )Bn p
- e eil en Zu alls a iablen mi
()
n Lx=
und
(, )p p x=
.
Auch im Hinblick au die wei e en Modell echnungen kons uie en wi einen g oßen
Mus e bes and („Bes andXL“) mi olgenden Eigenscha en ( gl. Abb. 6):
18
Goecke: Asse Liabili y Managemen in einem selbs inanzie enden Pensions onds
 Anzahl de 65-jäh igen (Neu en ne ) be äg
(0) 100000
z
L=
.
 Fü
,x zx
ω
≥<
gil
1
(0) (0) ( ,0)
xx
L L px
+
=
, ganzzahlig ge unde .

(,)px
wi d kalib ie nach Tabelle 1 ü einen hyb iden Bes and.
Ohne S e blichkei s end be ände sich also diese Bes and in einem s eady s a e, d.h. die
Anzahl de Ges o benen wü de du ch einen Neuzugang on 100 000 genau ausgegli-
chen. Die Gesam zahl de Pe sonen dieses Bes andes be äg 1 852 681.
Aus dem Bes andXL lei en wi zwei wei e e, un e de Ganzzahligkei bedingung s uk-
u gleiche Bes ände ab:
 Bes andL: Bes andss uk u wie Bes andXL, jedoch mi insgesam 18 529 Pe sonen,
im An angsbes and, also und 1/100 des Bes andes XL.
 Bes andS: Bes andss uk u wie Bes andXL, jedoch mi insgesam nu 184 Pe sonen
im An angsbes and, also und 1/100000 des Bes andes XL.
ABBILDUNG 6: S uk u des An angsbes andes Bes andXL
Au de G undlage de obigen Kalib ie ung üh en wi ü alle d ei Bes ände jeweils 20
Simula ionsläu e du ch und be echnen die En wicklung de Gesam zahl de Ren ne ü
ü einen Zei aum on 60 Jah en (ab 2005 bis 2065). Die Be echnungen sind in Abb. 7
zusammenge ass . Fü die d ei Mus e bes ände we den jeweils d ei Ni eaus ü die
Vola ili ä de S e blichkei sen wicklung un e s ell :
σα
= 0 (linke Spal e in Abb. 7),
σα
19
= 4% (mi le e Spal e) und
σα
= 8% ( ech e Spal e). Zusä zlich is in den Teildiag am-
men jeweils du ch eine geb ochene Linie de (de e minis ische) Bes ands e lau , be-
echne au G undlage de Rechnungsg undlagen de Rich a eln 2005G, da ges ell .15
Zunächs äll au , dass bei nahezu allen Hoch echnungen die Gesam zahl de Ren ne
im Zei ablau ans eig ; dies is dem Ums and geschulde , dass de Ausgangsbes and die
s eady-s a e S uk u de Basis a el 2005 ha und dass au g und de sinkenden S e be-
wah scheinlichkei en de Bes and imme langsame abs i b . Das Teildiag amm oben
links (keine S ochas ik) zeig , dass das CBD-Modell eine seh gu e App oxima ion de
p ojizie en Pe iodens e be a eln de Rich a eln 2005G lie e .
Die d ei G a iken de linken Spal e illus ie en die S ochas izi ä de indi iduellen
S e blichkei . Nu bei dem kleinen Bes and (un e e Zeile de Abb. 7) komm es zu nen-
nenswe en Abweichungen om e wa e en Ve lau . Das sys ema ische S e blichkei s i-
siko dominie das idiosynk a ische Risiko also auch bei einem kleinen Bes and.
15 Aus den abellie en Rechnungsg undlagen de Rich a eln 2005G haben wi du ch ein ache In e pola ion
hyb ide Rechnungsg undlagen ü einen gemisch en Bes and abgelei e .
20
ABBILDUNG 7: Simula ion de Bes andsen wicklung (einschl. Neuzugang) ü 60 Jah e ü einen g oßen, mi le en und kleinen Bes and bei
e schiedenen
σα
-Ni eaus. Die geb ochene Linie zeig jeweils die de e minis ische Hoch echnung des Bes andes, wenn man die Rech-
nungsg undlagen de Rich a eln 2005G zug unde leg .
Bes andL
σ
α
= 0
- 21 -
Bes andL
σα
= 4%
Bes andL
σα
= 8%
Bes andXL
σ
α
= 0
Bes andXL
σα
= 4%
Bes andXL
σα
= 8%
Bes andS
σα
= 0
Bes andS
σα
= 4%
Bes andS
σα
= 8%
21
ma kie en. Wenn die ak uelle Rese equo e
()
ρ
de Ziel ese equo e
Ziel
ρ
en sp ich ,
so soll auch die gewähl e ( ak ische) Risikoexposi ion
()
σ
de s a egischen Risikoex-
posi ion
Ziel
σ
en sp echen. Bei de Fes legung des s a egischen ALM-Gleichgewich s
(, )
Ziel Ziel
ρσ
is na ü lich da au zu ach en, dass
Ziel
σ
und
Ziel
ρ
zueinande passen. Eine
hohe s a egische Risikoexposi ion e lang angesich s de Sol enzbedingung (s.o.) ein
passende Rese equo e; au dieses P oblem wi d wei e un en eingegangen. Wi wollen
jedoch un e s ellen, dass
0
Ziel
ρ
≥
und
0
Ziel
σ
≥
.
Wenn das s a egische ALM-Gleichgewich
(, )
Ziel Ziel
ρσ
es s eh , is das Bes eben des
Pensionsmanage da au ge ich e , diesen Gleichgewich szus and zu e eichen. Hie zu
e gleich de Pensionsmanage zu Beginn jeden Jah es die Is -Rese equo e
()
ρ
mi
de Ziel ese equo e. Is dann
()
Ziel
ρρ
<
, so wi d die Ren enanpassung so gewähl ,
dass sich im Folgejah die Rese equo e e besse bzw. die Rese elücke
()
Ziel
ρρ
−
e inge wi d. Ebenso wi d de Pensionsmanage mögliche weise bes eb sein, die Ri-
sikoexpos ion nach un en hin anzupassen, um eine Ge äh ung de Sol abili ä sbedin-
gung zu e meiden. Beobach e e einen Rese eübe hang, d.h.
()
Ziel
ρρ
>
, so bes eh
Spiel aum ü zusä zliche Ren enanpassung, was wiede um zu einem Abschmelzen des
Übe hangs üh . En sp echend wi d e bei eine Rese eübe deckung Spiel aum sehen,
die Risikoexposi ion übe
Ziel
σ
hinaus zu e höhen
Zu P äzisie ung de ALM-Regeln se zen wi
(): ()
Ziel
u
ρρ
= −
und se zen
( )
() ()
Ziel
au
σσ
= +
mi Nebenbedingung
0 ()
M
σσ
≤≤
(AM-Regel - Gl. 23)
( )
() () ()
P
u
ε µ µθ
= −+
, (LM-Regel - Gl. 24)
wobei
2
1
2
() () ()
PM
µ µσ σ
=+−
ü die e wa e e Po olio endi e bei Wahl de Risi-
koexposi ion
()
σ
da s ell .
()
au
und
()u
θ
sind Anpassungs unk ionen, die s eue n, wie schnell die Risikoexposi-
ion und die Ren enhöhe bei einen Rese eübe schuss
( ( ) 0)u >
bzw. eine Rese elü-
cke
( ( ) 0)u <
angepass we den.
Die Nebenbedingung in de AM-Regel is e o de lich, da ohne diese im disk e en Mo-
dell eine nega i e Risikoexposi ion nich ausgeschlossen we den kann. Da übe hinaus
28

Goecke: Asse Liabili y Managemen in einem selbs inanzie enden Pensions onds
soll siche ges ell we den, dass die Ak ienquo en nich übe 100% liegen soll.16 Wei e e
Nebenbedingungen sind denkba , z.B. eine un e e ode obe e Sch anke ü die Ren en-
anpassung bzw. ü die Risikoexposi ion. Dies soll wei e un en un e such we den. Man
beach e, dass die LM-Regel den Fall
() 0
ε
<
, also eine Ren enkü zung, nich g und-
sä zlich ausschließ .17
De Spezial all
() 0au ≡
e dien eine gesonde e Be ach ung. In den Modell echnun-
gen des Kapi els 4 we den wi uns au diesen Fall besch änken. Is
() 0au ≡
, so können
wi on eine einen Liabili y-S a egie sp echen, denn die ALM-S eue ung nimm nu
noch Ein luss au die Passi sei e. Eine eine Liabili y-S a egie e meide insbesonde e
eine p ozyklische Anlages a egie. Komm es nämlich in olge eines Bö senc ashs dazu,
dass die Rese equo e un e den Zielwe sink
( 0)u<
, so üh die LM-Regel ü
() 0au <
dazu, dass in eine Baisse-Phase Ak ien e kau we den müssen. Ve zich e
man jedoch au die Anpassung de Asse -Alloka ion, so wi d es en sp echend schwie i-
ge , die Sol abili ä sbedingung siche zus ellen.
Wenn zum Zei punk au g und de ALM-Regeln (Gl. 23 u. 24) die S eue ungsg ößen
()
σ
und
()
ε
es geleg wu den, so kann man un e de Annahme eines echnungsmä-
ßigen Ve lau s die „e wa e e“ Rese equo e
()
()
()
( 1)
( 1) : ln ( 1)
e
e
e
P
V
ρ

+
+=
+

zum Zei punk +1 bes immen.
P oposi ion 1
Is
()
σ
die kons an e Risikoexposi ion ü das Zei in e all
[ , 1] +
und
()
ε
die Ren-
enanpassung zum Zei punk +1, so gil :
( ) ( )
( )
()
1
( 1) ln exp () () exp ()
1
e
P
ρ µ µε ρ λ
λ

−
+= + −− −

−

(Gl. 25)
()
11
( 1) ( 1)
e
XY
ρρ
++
+= ++ −
(Gl. 26)
16 Ließe man ein k edi inanzie es Ak ienin es men zu, so wä en Ak ienquo en on übe 100% möglich.
17 Man beach e, dass nach deu schem Rech egulie e Pensionskassen egelmäßig als No allmaßnahme
eine Ren enkü zung o sehen.
29
mi den s ochas ischen P ozessen
()
()
: ln ()
e
P
XP

=

und
() ()
() ()
: ln ln
() ()
ee
V
Y V
  
= =
  
  
.
Beweis
Aus (Gl. 20 u. 21) olg
( )
()
() () () ()
( 1) () () () ( 1)
exp ( )
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
e
P
e ee e
P P L EP
V V V V
µ

++
= −+

+ ++ +

.
Man echne nun leich nach, dass
( ) ( )
()
() 1
exp () () exp () ()
( 1) 1
e
P
V
ν
ρεξ ρεµ λ
−
= −−= −−
+−
,
( )
()
() () 1
exp( ( )) exp( ) exp ( )
( 1) 1
e
L
V
ν
ε λ ξ ε µλ λ
−
= − −= − −
+−
und
()
( 1)
( 1)
e
EP
V
ν
+=
+
.
Hie aus olg (Gl. 25); (Gl. 26) is o ensich lich.
□
Beme kungen
1. Die „e wa e e“ Rese equo e
()
( 1)
e
ρ
+
basie au den Beobach ungen bis zum Zei -
punk ;
1
X
+
bzw.
1
Y+
sind die s ochas ische Komponen en de Kapi alma k en wick-
lung bzw. de S e blichkei sen wicklung im Zei aum
[ , 1] +
und ealisie en sich zum
Zei punk +1.
2. Die Da s ellungen in (Gl. 25 und 26) gel en unabhängig om gewähl en Kapi alma k -
und S e blichkei smodell.
3. Fü
11
:
w WW
∆
++
= −
gil :
( )
( )
1
( 1) () () ()exp () () ( 1)
P
P P L w EP
µσ
∆
+
+= − + + +
und somi olg
( )
( )
( )
11 1
ln exp () 1 (1 ) () ,
X w w
ζ σ ζ ζσ
∆∆
++ +
= + − ≈−
(Gl. 27)
wobei
( )
()
()
( 1)
: exp ( 1)
( 1)
e
e
EP
P
ζ νρ
+
= = −+
+
.
De s ochas ische P ozess häng p imä on de Kapi alma k en wicklung ab. De
P ozess wi d abe auch beein luss on
( 1)EP +
und somi on de Ren enhöhe
30
Goecke: Asse Liabili y Managemen in einem selbs inanzie enden Pensions onds
bzw. de ALM-S eue ung. Angesich s de G ößeno dnung des S uk u pa ame e s
ν
( gl. Abb. 10 in Abschni 4.2) kann man bei 1-jäh ige Be ach ungsweise
11
()
X w
σ
∆
++
≈
annähe n.
4. Man beach e, dass
1
Y+
ausschließlich on de S e blichkei sen wicklung abhäng .
1
Y
+
is unabhängig on de Ren enhöhe und somi auch unabhängnig on de ALM-S eu-
e ung.
5. Bei echnungsmäßigem Ve lau gil
0
XY= =
.
3.3.2 Konk e isie ung de ALM-Regeln
Die Da s ellung in (Gl. 25) zeig , wie die Wahl on
()
ε
die „e wa e e“ Rese equo e
beein luss . Lösen wi diese Gleichung nach
()
ε
au , so e hal en wi un e Ve wen-
dung de S uk u pa ame e
λ
und
ν
:
( )
( )
()
exp ( )
1
() () ln .
1exp ( 1)
Pe
ρλ
εµ µ λρν

−
−

= −+
−+−

(Gl. 28)
Die Da s ellung in (Gl. 28) is wohlde inie , wenn wi zum Zei punk un e s ellen,
dass
() () ()P L >
, also das Ve mögen des Pensions onds zumindes aus eich um die
älligen Leis ungen auszuzahlen. Es gil nämlich
( )
()
()
() ()
( 1) ( 1)
exp ( 1) 0 () () ()
( 1) ( 1)
e
e
ee
P EP
P L
V V
ρν
++
+ − >⇔ > ⇔ >
++
und
( )
exp () 0 () () ()
P L
ρλ
− >⇔ >
.
(Gl. 28) gib an, wie die Ren en anzupassen sind, so dass sich bei echnungsmäßigem
Ve lau eine Rese equo e on
()
( 1)
e
ρ
+
eins ell . Die Ren enanpassung
()
ε
bes eh
aus einem Zinsan eil
()
P
µµ
−
(„Übe zins“) und eine S uk u komponen e, die on de
Asse -Alloka ion unabhängig is .
Wi haben oben da ges ell , dass de Ke n de ALM-S a egie da in bes eh , die Rese -
equo e au dem Ni eau de Ziel ese equo e
Ziel
ρ
zu hal en bzw. da in, eine Rese e-
lücke
() 0u <
bzw. einen Rese eübe hang
() 0u >
au zu üllen bzw. abzubauen. Au -
g und de S ochas ik de Po olio- und de S e blichkei sen wicklung kann die Rese -
equo e de Folgepe iode nich es geleg we den. Es bes eh lediglich die Möglichkei ,
31
die ALM-En scheidung so zu e en, dass zumindes „im Du chschni “ eine bes imm e
Annähe ung an das Rese eziel e eich we den kann.
Unse e Beobach ungen assen wi in olgende P oposi ion zusammen:
P oposi ion 2
Se zen wi ü
[0, 1]
α
∈
( )
1 exp( )
( , ): ln 1 exp (1 )
Ziel
Ziel
u
uu
ρλ
θα λρ α ν

− +−
=

− +− −

und
( )
(): () , ()
P
u
ε µ µθα
= −+
, (Gl. 29)
dann gil
()
( 1) (1 ) ( )
e
Ziel
ρ αρ α ρ
+= +−
und
11
( 1) () ( () )
Ziel
XY
ρ ρ αρ ρ
++
+= − − + −
(Gl. 30)
11
( 1) (1 ) ( )
u u X Y
α
++
+=− + −
(Gl. 31)
□
Dies bedeu e , dass bei diese Wahl de Ren enanpassung nach (Gl. 29) die Rese eab-
weichung „im Du chschni “ um den Fak o
1
α
−
geminde wi d.
Beme kungen
1. (Gl. 30) zeig , dass
( )
0
()
ρ
≥
ein Mean-Re e sion P ozess (im wei e en Sinne) da -
s ell . De P ozess is alle dings nu ü ganzzahlige de inie , auch sind die S ö g ö-
ßen
11
XY
++
−
nich no mal e eil .
2. Es gil :
Fü u = 0 is
1 1 exp( )
: ( , 0) ln 1 1 exp( )
Ziel
Ziel
λρ
θ θα λνρ

−− −
= = 
−− −

unabhängig on
α
und
( ) ( )
(,) 1 1
1 exp ( ) 1 exp ((1 ) )
Ziel Ziel
u
u u u
θα α
λ ρ αρ ν
∂−
= −
∂ − −+ − −− +
,
0
(,) 1 1
( ): 1 exp( ) 1 exp( )
Ziel Ziel
u
u
u
θα α
θα λ ρ ρν
=
∂−
′= = −
∂ − − −−
Man kann sich da on übe zeugen, dass linea e App oxima ion
(,) ()
uu
θα θ θ α
′
≈+
bei eine ealis ischen Kalib ie ung seh gu is .
32
Goecke: Asse Liabili y Managemen in einem selbs inanzie enden Pensions onds
Da
()
( )
0 exp( ) 1 exp( ) 1 ( 1)
Ziel
θ µξ ρ
> ⇔ − − − >− −
, is on ex emen Kons el-
la ionen abgesehen s e s
0
θ
>
.
3. Im Gleichgewich szus and
() () 0
Ziel
u
ρρ
=−=
können wi
() ()
P
ε µ µθ
= −+
als
ese eneu ale Ren enanpassung in e p e ie en. Dies bedeu e , dass de Übe zins
()
P
µµ
−
zuzüglich eine Rese ebe eiligung
θ
an die Ren ne wei e gegeben we -
den kann, ohne dass dabei die Rese equo e leide . Die Rese ebe eiligung
θ
im
Gleichgewich szus and is unabhängig on de Anpassungsgeschwindigkei
α
, jedoch
s uk u abhängig.
4. Se zen wi speziell
exp( )
Ziel
ρ
=
, so gil
( )
1 exp( ) exp( )
( , ) ln ln
1 exp (1 )
Ziel
u
uu
ν λρ
θα λ αν


− −−
= + 


− −−


und
( )
11
() 1 exp 1
Ziel
α
θα λρ ν
−
′= −
−− −
.
In diesem Fall gil
1 exp( )
ln 11
Ziel
Ziel
λρ λ
θρ
λλ

−−
= ≈

−−

- im Gleichgewich szu-
s and is also die Rese ebe eililgung unge äh p opo ional zu Ziel ese equo e.
5.
exp( )
Ziel
ρ
=
bedeu e , dass de Neuzugang unabhängig on de ak uellen Rese -
equo e des Pensions onds imme denselben Siche hei szuschlag zahlen muss. Kön-
nen sich die Neu en ne ei en scheiden, ob Sie dem Pensions onds bei e en ode
nich , ö de die Regel
exp( )
Ziel
ρ
=
ein oppo unis isches Ve hal en. Is nämlich die
ak uelle Rese equo e kleine als die Ziel ese equo e, so is de Bei i zum Pensi-
ons onds mögliche weise nich a ak i , da die Neu en ne dami echnen, dass sie
zum Au bau de Rese e bei agen müssen. Is umgekeh die ak uelle Rese eposi ion
höhe als die Ziel ese equo e, so belas e de Neuzugang das Kollek i und die Neu-
en ne wü den on eine kün igen Absenkung de Rese equo e au die Zielg öße
du ch endenziell höhe e Ren en p o i ie en, ohne sich selbs an de Finanzie ung be-
eilig zu haben.
33

6. Ein oppo unis isches Ve hal en de Neu en ne kann e mieden we den, wenn wi
e langen, dass
( )
( )
()
exp ( 1) exp (1 ) ( )
e
Ziel
u
ρ ρα
= + = +−
. In diesem Falle e hal-
en wi
1 exp( )
( , ) ln 1
Ziel
u
uu
λρ
θα α
λ

− −−
= +

−

und
1 exp( ( ))
() () ln 1
P
u
λρ
εµ µ α
λ

−−
= −+ +

−

. (Gl. 32)
Die Ren enanpassung um ass neben dem Übe zins eine Rese ebe eiligung on
1 exp( ( ))
ln 1
λρ
λ

−−

−

()
1
λρ
λ
≈−
, die unabhängig on
α
is , und eine „Solida um-
lage“
u
α
, die p opo ional zu Abweichung zwischen Soll- und Ziel ese e is .
7. Wi wollen die beiden Regeln
exp( )
Ziel
ρ
=
und
( )
()
exp ( 1)
e
ρ
= +
e gleichen und
se zen
( )
(1) 1 exp( ) exp( )
( , ) ln 1 exp (1 )
Ziel
u
uu
ν λρ
θα λ αν

− −−
=

− −−

ü
exp( )
Ziel
ρ
=
(2) 1 exp( )
( , ) ln 1
Ziel
u
uu
λρ
θα α
λ

− −−
= +

−

ü
()
exp( )
e
ρ
=
.
Dann gil
( )
(2) (1)
1 exp (1 )
(,) (,) ln (1 )
11
u
uu u
να
ν
θα θα α
νν
− −−

− = ≈−

−−

.
Will man also ein oppo unis isches Ve hal en des Neuzugangs un e binden und
wähl
()
exp( )
e
ρ
=
s a
exp( )
Ziel
ρ
=
, so allen die Ren enanpassungen bei einem
Rese eübe hang (u > 0) höhe und bei eine Rese elücke (u < 0) nied ige aus.
34
Goecke: Asse Liabili y Managemen in einem selbs inanzie enden Pensions onds
4 Modell echnungen
4.1 Kalib ie ung des Re e enzmodells, Simula ionsszena ien
Fü den Kapi alma k un e s ellen wi ( gl. Abschni 2.3)
0.02
µ
=
siche e Zins
0.2
M
σ
=
Vola ili ä des Ma k po olios
0.25
M
=
Sha pe-Ra io
Dies e gib ü die e wa e e Po olio endi e in Abhängigkei on de gewähl en Risi-
koexposi ion
2
1
2
( ) 0.02 0.25 ( ) ( )
P
µ σσ
=+−
.
Fe ne se zen wi
T = 60 P ojek ionszei aum in Jah en. Bezogen au die Kalb ie ung in
Abschni 2.4.2 en sp ich dies dem Zei aum 2005-2065.
0.02
µµ
= =
kons an e Rechnungszins = siche e Zins
()
(0)
(0)
(0) ln Ziel
P
V
ρρ
= =
: Wi un e s ellen also im Re e enzmodell, dass wi on eine
Gleichgewich ssi ua ion aus s a en.
() 0au ≡
Wi un e s ellen im Re e enzmodell eine eine LM-S a egie mi
gleichbleibende Risikoexposi ion
Ziel
σ
Ziel
exp( )
ρ
=
Siche hei s ak o ü die Kalkula ion des Neuzugangs. Dies be-
deu e , dass de Neuzugang (im Du chschni ) ese eneu al e -
olg .
2
1
2
:
P M Ziel Ziel
µµ σ σ
=+−
: e wa e e Po olio endi e ü
()
Ziel
σσ
≡
.
Wi se zen e ne
( )
1 exp( ) exp( )
( , ) ln 1 exp (1 )
Ziel
u
uu
ν λρ
θα λ αν

− −−
=

− −−

und ü die Ren enanpas-
sung gil
() ( , )
P
u
ε µ µ θα
= −+
- gl. P oposi ion 2.
Wie die s a egischen ALM-Pa ame e
,,
Ziel Ziel
ρσα
zu wählen sind, soll anhand on
Mon e Ca lo-Simula ionen bes imm we den.
Wi üh en die Be echnungen ü zwei Va ian en de S e blichkei sen wicklung du ch:
Va ian e 0: Kalib ie ung nach Tabelle 1 (Abschni 2.4.2) ü einen hyb iden Bes-
an, wobei wi alle dings
11
0
αβ
= =
se zen, also mi endunabhängen
Übe lebenswah lichkei en echnen.
Va ian e 1: Kalib ie ung nach Tabelle 1 ü einen hyb iden Bes and mi endab-
hängen Übe lebenswah lichkei en.
35
Um einschä zen zu können, welchen Ein luss de Neuzugang au die Ren enen wick-
lung ha , un e suchen wi olgende Neuzugangsszena ien ( gl. Abb. 8):
Szena io 0: gleichbleibende Neuzugang on 100 000 65-jäh ige Pe sonen.
Szena io 1: ein um 1% jäh lich wachsende Neuzugang
Szena io 2: ein um 1% jäh lich sch ump ende Neuzugang
Szena io 3: Wachs ums a e: 15 Jah e +1%, 30 Jah e -1%, 15 Jah e +1%
Szena io 4: Wachs ums a e: 15 Jah e -1%, 30 Jah e +1%, 15 Jah e -1%.
Schließlich wollen wi die Kombina ion Va ina e 1 mi Neuzugang Szena io 0 als Ba-
sisszena io bezeichnen.
Fü alle Szena ien und Be echnungs a ian en legen wi als An angsbes and den Be-
s andXL zug unde ( gl. Abschni 2.4.4, Abb. 6), de bezogen au die Pe iodens e be a-
el im Zei punk = 0 in a ian is , d.h.
(0) 100000
z
L=
;
1(0) (0) ( ,0)
xx
L L px
+=
ü
,...,xz
ω
=
.
Die olgenden Abbildungen 8 und 9 illus ie en die e schiedenen Neuzugangsszena ien
sowie die hie aus esul ie ende En wicklung de Gesam zahl de Ren ne in den Va ian-
en 0 und 1 bei de e minis ische S e blichkei sen wicklung.
ABBILDUNG 8: En wickung des Neuzugangs ü die Szena ien 0-4.
36
Goecke: Asse Liabili y Managemen in einem selbs inanzie enden Pensions onds
ABBILDUNG 9: En wickung Gesam zahl de Ren ne ü die Szena ien 0-4 und die
Va ian e 0 und 1 bei de e minis ische S e blichkei sen wicklung (
0
α
σ
=
).
4.2 De e minis isches ALM-Modell
Wi üh en zunächs einige Modell echnungen im de e minis ischen Fall du ch, d.h. wi
un e s ellen ü die gesam e Lau zei einen echnungsmäßigen Ve lau , mi hin gil
11
0
XY
++
= =
( gl. P oposi ion 1). Da wi
(0) Ziel
ρρ
=
und
exp( )
Ziel
ρ
=
o ausge-
se z haben, gil nach P oposi ion 1
()
( 1) ( 1)
e
Ziel
ρρ ρ
+= +=
ü alle , alls die Ren en
gemäß
()
P
ε µ µθ
= −+
mi
1 exp( )
ln 1
Ziel
λρ
θλ

−−
=
−

angepass we den. Die Ren en-
anpassung häng dann nu on de Liquidi ä squo e
λ
und de Ziel ese equo e
Ziel
ρ
ab.
Zunächs s ellen wi den Ve lau de S uk u pa ame e
,
νλ
und
ξ
den Hoch ech-
nungszei aum on T =60 Jah en da – gl. Abb. 10. Bei endunabhängige S e blich-
kei und kons an em Neuzugang (Va ian e 0, Szena io 0) sind
,
νλ
und
ξ
kons an ,
nämlich
0
0
ξξ
= =
,
0
0.08218785
νν
= =
und
00.10036175
λλ
= =
und
0
0.02002027
θθ
= =
.18 Beim Ve gleich de Va ian en 0 und 1 wi d deu lich, dass de
S e blichkei s end deu lich s ä ke wi k als die e schiedenen Neuzugangsszena ien.
18 Fü die S uk u pa ame e e geben sich minimale Un e schiede je nachdem, ob die Anzahl de Übe le-
benden jede Al e sg uppe als ganzzahlig angenommen wi d ode ob mi ech en Übe lebenswah schein-
lichkei en gemäß (Gl.11) ge echne wi d. Fü die Zwecke unse e Un e suchungen sind die Un e schiede
jedoch e nachlässigba . Die hie genann en We e ü (Va ian e 0, Szena io 0) wu den mi unge unde en
Übe lebenswah scheinlichkei en be echne .
37
ABBILDUNG 13: Bes anden wicklung (Gesam zahl de Ren ne ): Da ges ell sind die
1%, 5%, 10%, 50%, 90%, 95% und 99%-Quan ile ü 60 Jah e bei gleichbleibendem
Neuzugang (Szena io 0) ü endunabhängige (Va ian e 0: links) und endabhän-
gige Übe lebenswah scheinlichkei en (Va ian e 1: ech s) bezogen au den An angs-
bes and Bes and XL. Die Be echnungen e olg e au G undlage on 10 000 Simla i-
onsläu en mi
0.04
α
σ
=
.
Ren enanpassung au g und de s ochas ischen S e blichkei sen wicklung
Falls
() 0
σ
=
, so gil
0
X≡
und
1
( 1) (1 ) ( )
u u Y
α
+
+=− −
- gl. (Gl. 31). De
()u
-
P ozess is also nu abhängig on de Anpassungsgeschwindigkei
α
, de S e blichkei s-
en wicklung und dem S a we
(0) (0) 0
Ziel
u
ρρ
= −=
.
Es gil :
() 0
ρ
≥
ü alle
0,1, ..., T
=
( )
Min ( ) : 0,1, ..., Ziel
u T
ρ
⇔ = ≥−
.
We en wi also jeweils das Minimum de
()u
-P ade aus, so e hal en wi Auskun da -
übe , welche Ziel ese e bzw. S a ese e e o de lich is , um eine bilanzielle Un e de-
ckung (d.h.
() 0
ρ
<
) zu e meiden.
Wi de inie en die Wah scheinlichkei eine Un e deckung in Abhängigkei on de An-
passungsgeschwindigkei
α
und de Ziel ese equo e
Ziel
ρ
und se zen
( )
( )
( , ) : Min ( ) : {0,..., }
Ziel Ziel
m u T
αρ ρ
= ∈ <−P
.
Die olgende Abbildung 14 bzw. die Tabelle 3 zeig ü die Va ian en 0 und 1 die 1%-
und 5%-Quan ile de e o de lichen Ziel ese equo e in Abhängigkei de Anpassungs-
geschwindigkei
α
.
()
Ziel
ρα
is also de We , ü den gil
( , ( )) 1%
Ziel
m
αρ α
=
bzw.
( , ( )) 5%
Ziel
m
αρ α
=
. Wähl man beispielsweise eine Anpassungs a e on
α
= 0.15, so
beda es in de Va ian e 1 eine Ziel ese equo e on
(0) 9.35%
Ziel
ρρ
= =
, dami die
44

Goecke: Asse Liabili y Managemen in einem selbs inanzie enden Pensions onds
Wah scheinlichkei eine Un e deckung im Lau e de 60-jäh igen Hoch echnung weni-
ge als 1% be äg .
ABBILDUNG 14: E o de liche Rese equo e
(0)
Ziel
ρρ
=
in Abhängigkei on de An-
passungsgeschwindigkei
α
bei einem Siche hei sni eau on 0.5%, 1% bzw. 5% im
Basisszena io (Szena io 0/ Va ian e 1). Den Be echnungen e olgen au G undlage
on 50 000 Simla ionsläu en.
Va ian e 0:
ohne S e blichkei s end
Va ian e 1:
mi S e blichkei s end
α
0.5% -
Quan il
1% -
Quan il
5% -
Quan il
0.5% -
Quan il
1% -
Quan il
5% -
Quan il
0
32.96%
30.18%
23.50%
28.98%
26.70%
20.48%
0.05
16.94%
16.08%
13.29%
14.67%
13.84%
11.56%
0.10
13.02%
12.32%
10.53%
19.70%
18.45%
14.86%
0.15
11.39%
10.61%
9.13%
17.41%
16.39%
13.42%
0.20
10.21%
9.54%
8.25%
15.82%
14.93%
12.38%
0.25
9.36%
8.80%
7.62%
14.67%
13.84%
11.56%
0.30
8.74%
8.25%
7.16%
13.75%
12.98%
10.90%
0.35
8.28%
7.83%
6.79%
13.01%
12.27%
10.38%
0.40
7.88%
7.43%
6.50%
12.42%
11.66%
9.91%
0.45
7.57%
7.16%
6.26%
11.90%
11.19%
9.53%
0.50
7.31%
6.95%
6.05%
11.47%
10.77%
9.18%
Tabelle 3: E o de liche Rese equo e
(0)
Ziel
ρρ
=
in Abhängigkei on de Anpas-
sungsgeschwindigkei
α
bei einem Siche hei sni eau on 0.5%, 1% bzw. 5% bei
gleichbleibendem Neuzugang (Szena io 0) ü die Va ian en 0 und 1.
45
Au den e s en Blick übe aschend is , dass de Rese ebeda bei de Va ian e 1 ge in-
ge is als bei Va ian e 0. Alle dings is zu beach en, dass bei Va ian e 1 de Ren ne be-
s and insgesam al e und dass ü hohe Al e die ela i en Schwankungen de Ren en-
ba we e ge inge aus allen.
De Anpassungspa ame e
α
ha jedoch auch Rückwi kung au die Ren enanpassung,
denn je g öße
α
des o ola ile sind die Ren enanpassungen. Wi besch änken uns au
die Va ian e 1, da sich die Scha de G aphen bei Va ian e 0 kaum on de on de Va-
ian e 1 un e scheide . Die Abbildung 15 läss e kennen, dass das Ren en isiko gemes-
sen als Vola ili ä de Ren enanpassung nahezu linea mi de Anpassungsgeschwindig-
kei s eig . In e essan is auch die Beoabach ung, dass die Ziel ese e nu bei ge ingen
α
-We en nennenswe en Ein luss au die Vola ili ä de Ren en ha . Hie bei is alle -
dings zu beach en, dass wi bei de Simula ion s e s
(0)
Ziel
ρρ
=
un e s ell haben.
ABBILDUNG 15: S anda dabweichung de Ren enanpassungen in Abhängigkei on
de Anpassungsgeschwindigkei
α
ü e schiedene Rese eni eaus
(0)
Ziel
ρρ
=
bei
endabhängigen Übe lebenswah scheinlichkei en (Va ian e 1). Be echnung e olg e
au G undlage on 10 000 Simla ionsläu en.
46
Goecke: Asse Liabili y Managemen in einem selbs inanzie enden Pensions onds
4.4 De allgemeine Fall
Wi be ücksich igen in diesem Abschni zusä zlich das Kapi alanlage isiko. Wi un e -
s ellen eine gleichbleibende Risikoexposi ion, d.h.
() 0
Ziel
σσ
= >
ü alle . Wi be-
sch änken uns also au eine eine LM-S a egie, wobei alle dings bei de Fes legung de
Ren enanpassung zusä zlich das Kapi alma k isiko zu be ücksich igen is . Es gil
11
( 1) (1 ) ( )
u u X Y
α
++
+=− + −
- gl. (Gl. 31). Zu beach en is , dass die s ochas ische
Komponen e
1
X
+
im Un e schied zu
1
Y+
nich unabhängig on de Fes legung de
Ren enanpassungen is , insbesonde e is somi
1
X
+
auch abhängig on
Ziel
ρ
.
4.4.1 Un e deckungswah scheinlichkei en
Zunächs un e suchen wi die Un e deckungswah scheinlichkei en, also die Wah -
scheinlichkei , dass wäh end de Lau zei de We de Kapi alanlagen ge inge is als
die Summe de Deckungs ücks ellungen. Au g und de Ren enanpassungs egel (Gl. 29)
üh abe eine Un e deckung zu eine Ko ek u de Ren enapassung, so dass es gg . zu
eine Ren enkü zung komm . Die Un e deckung üh also nich zu eine Insol enz im
Sinne eine Zahlungsun ähigkei , wenn nämlich die Summe de älligen Ren en das
Ve mögen übe s eig .22 Da eine o übe gehende ge ing ügige Un e deckung du chaus
akzep abel sein kann, un e suchen wi auch die Wah scheinlichkei , dass zu eine 5%-
igen ode 10%-igen Un e deckung komm .23
Wi se zen
()
( )
( , , ) : Min ( ) : {0,..., }
Ziel Ziel
m T
δ
αρ σ ρ δ
= ∈ <−P
und bes immen ü
0, 5%
δδ
= =
und
10%
δ
=
die Paa e
(, )
Ziel
αρ
, ü die gil
( , , ) 1%
Ziel Ziel
m
δ
αρ σ
=
.
Im S anda d all un e s ellen wi eine gleichbleibende Risikoexposi ion on
0.05
Ziel
σ
=
und se zen o aus, dass
(0) Ziel
ρρ
=
is .
Fü
0
Ziel
σ
>
is de
X
-P ozess abhängig on de Wahl on
α
und
Ziel
ρ
. Woll e man
also zu einem gegebenen
α
-We die Ziel ese equo e
Ziel
ρ
so bes immen, dass
22 Von Ex em ällen (s a k nega i e S a ese e ode
α
= 0 d.h. kein Ren enanpassung) abgesehen, beo-
bach e man bei den Simula ionen keine Insol enz.
23 Vgl. hie zu § 115 Abs. 2a und 2b VAG.
47
( , , ) 1%
Ziel Ziel
m
δ
αρ σ
=
, so wä e hie zu eine ganze Se ie on Simula ionsläu en e o -
de lich, um ein passendes
Ziel
ρ
nähe ungsweise zu bes immen. De Zei au wand ü
diese g oße Anzahl on Simula ionsläu e wä e alle dings p ohibi i hoch.
Wi können alle dings den Rechnenau wand e heblich eduzie en, wenn wi be ücksich-
igen, dass de Ein luss de Pa ame e
α
und
Ziel
ρ
au den
X
-P ozess e gleichsweise
schwach is . Es gil nämlich ( gl. Gl. 27):
( )
()
1 11 1
(1 ) exp ( 1)
e
Ziel Ziel Ziel
X ww w
ζσ σ ν ρ σ
∆∆ ∆
+ ++ +
≈− = − +
,
wobei de S uk u pa ame e
ν
nu om S e blichkei s e lau abhäng . Die s anda d-
no mal e eil e Zu alls a iable
1
w∆
+
is de s ochas ische T eibe de Kapi alma k en -
wicklung im Zei abschni
[ , 1] +
.
Da
ν
in de Va ian e 1 eine G ößeno dnung on und 0.06-0.08 ha ( gl. Abb. 10), is
de Ein luss de Pa ame e
α
und
()
( 1) (1 ) ( )
e
Ziel
u
ρ ρα
+= +−
au den
X
- P ozess
ehe ge ing. Um dies zu e deu lichen zeigen wi in de olgenden Tabelle 4 die Ve ei-
lungspa ame e de
X
-P ade ü e schiedene
(, )
Ziel
αρ
-Kombina ionen.
Ve eilungspa ame e
α
S a
ρ
Mi elwe
S anda d-
abweichung
Schie e
0.20 0.20 0.000109 0.046320 0.011220
0.25 0.20 0.000048 0.046305 0.011253
0.20 0.25 0.000100 0.046310 0.009380
0.15 0.20 0.000059 0.046320 0.008264
0.20 0.15 0.000113 0.046316 0.010061
Tabelle 4: Pa ame e de Ve eilung de X - P ade ü Va ian e 1,
0.05
Ziel
σ
=
und
e schiedende
(, )
Ziel
αρ
-Kombina ionen. Ausgewe e wu den jeweils 50 000 Simu-
la ionsläu e.
Zu Bes immung de Kombina ionen
(, )
Ziel
αρ
, ü die gil
( , , ) 1%
Ziel Ziel
m
δαρ σ
=
, si-
mulie en wi die u( )-P ade gemäß (Gl. 31) ü
0, 0.01, 0.02, ..., 0.5
α
=
ü jeweils den
48
Goecke: Asse Liabili y Managemen in einem selbs inanzie enden Pensions onds
gleichen Sa z on (insg. 50 000)
X
- P aden. Hie zu gene ie en wi in einem e s en Be-
echnungssch i die
X
- P aden ü den Pa ame e sa z
( , ) (0.2, 0.2)
Ziel
αρ
=
.
Da die
X
- P ade nahezu iden isch ü alle
(, )
Ziel
αρ
- Kombina inen sind, gil
0
(, , ) (, , )
Ziel Ziel Ziel Ziel
mm
δ
αρ σ αρ δσ
≈−
.
0.02
Ziel
σ
=
0.05
Ziel
σ
=
0.08
Ziel
σ
=
α
0.5% 1% 5% 0.5% 1% 5% 0.5% 1% 5%
0
49.2%
44.7%
34.2%
104.0%
94.1%
70.8%
156.0%
143.0%
108.4%
0.05
24.6%
23.2%
19.2%
52.1%
48.9%
39.7%
79.6%
74.2%
61.3%
0.10
18.9%
17.8%
15.1%
39.7%
37.2%
31.1%
59.9%
56.5%
47.9%
0.15
16.0%
15.2%
13.0%
33.5%
31.7%
26.8%
50.6%
48.0%
41.2%
0.20
14.2%
13.5%
11.6%
29.7%
28.1%
24.0%
44.8%
42.8%
36.9%
0.25
13.1%
12.4%
10.7%
27.2%
25.6%
22.0%
41.1%
39.2%
33.9%
0.30
12.2%
11.6%
10.0%
25.2%
23.8%
20.6%
38.3%
36.7%
31.7%
0.35
11.5%
11.0%
9.5%
23.6%
22.4%
19.5%
36.2%
34.6%
29.9%
0.40
11.0%
10.5%
9.1%
22.6%
21.4%
18.6%
34.5%
32.9%
28.6%
0.45
10.6%
10.1%
8.7%
21.7%
20.5%
17.9%
33.2%
31.6%
27.5%
0.50
10.2%
9.7%
8.4%
20.9%
19.8%
17.3%
32.1%
30.6%
26.6%
Tabelle 5: Schä zung de e o de liche Rese equo e
(0)
Ziel
ρρ
=
in Abhängigkei
on de Anpassungsgeschwindigkei
α
, so dass
0(, , )
Ziel Ziel
m
αρ σ
=
0.5% bzw. 1%
bzw. 5% ü
{0.02, 0.05,0.08}
Ziel
σ
∈
; es wu de das Basisszena io (Va ian e1 / Sze-
na io0) zug unde geleg . Siehe auch Abbildung 16.
Die Tabelle 5 is ü den Fall
0.05
Ziel
σ
=
wie olg zu lesen: Bei eine Anpassungs a e
on
0.20
α
=
und Ziel ese equo e on
29,7% 30%
Ziel
ρ
= ≈
is die Wah scheinlichkei
eine empo ä en Un e deckung (
() 0
ρ
<
) kleine als 0.5%.24
Da
0
(, , ) (, , )
Ziel Ziel Ziel Ziel
mm
δ
αρ σ αρ δσ
≈−
is bei gleiche Anpassungs a e ü eine
Ziel ese equo e on
19,7% 20%
Ziel
ρ
= ≈
die Wah scheinlichkei eine empo ä en
Un e deckung on meh als 10% eben alls kleine als 0.5%.
In de Abbildung 16 sind die Be echnungse gebnisse g a isch au be ei e . Fü d ei e -
schieden Ak ienquo en 10%, 25% und 40% (en sp echend
2%, 5% .8%
Ziel bzw
σ
=
)
24 Einzelne We e wu den mi den „ ich igen“ X -P aden simulie ; dabei zeigen sich keine e kennba en
sys ema ischen Un e schiede zu den hie da ges ell en Schä zwe en.
49

wi d de Zusammenhang zwischen Ren enanpassungsgeschwindigkei und e olde li-
che Ziel ese equo e da ges ell . Zunächs is o ensich lich, dass eine höhe e Ak ien-
quo e insgesam ein g öße es Rese epols e e lang . Ha man sich au eine s a egi-
sche Ak ienquo e es geleg (z.B. 25% bzw.
5%
Ziel
σ
=
, gl. mi le e G a ik de Abb.
16), so gil es eine Abwägung zwischen Ren ensiche hei und Rese ebeda zu e en.
Je höhe de Siche hei sbeda (nied ige
α
-We und ge inge Un e deckungswah -
scheinlichkei ) des o höhe is de Rese ebeda . Tole ie man eine empo ä e Un e -
deckung on beispielsweise 10% ( gl. § 115 Abs. 2b VAG) so e o de eine Ak ien-
quo e on 25% eine Ziel ese e on und 20%. Bei eine Anpassungs a e on
α
= 20%
wü de eine Un e deckung on 10% mi 0.5% Wah scheinlichkei ein e en. Wenn sie
dann einge e en is (dann is
( ) ( ) 0.3
Ziel
u
ρρ
=−=−
), so is wegen Gl. 31
()
( 1) (1 ) ( ) 0.24
e
u u
α
+=− =−
; d.h. die e wa e e Un e deckung be äg dann nu noch
4%. Nach einem wei e en Jah mi echnungsmäßigem Ve lau wä e dann die Rese -
equo e wiede posi i , nämlich
() 2
( 2) 0.8 ( 0.3) 0.8%
e
Ziel
ρρ
+= + − =+
.25
25 Vgl. hie zu die Regel, dass eine Un e deckung bei einem Pensions onds nach 3 Jah en besei ig sein soll
- § 115 Abs. 2a Sa z 3 Buchs a VAG.
50
Goecke: Asse Liabili y Managemen in einem selbs inanzie enden Pensions onds
ABBILDUNG 16: E o de liche Rese equo e
(0)
Ziel
ρρ
=
in Abhängigkei on de An-
passungsgeschwindigkei
α
bei einem Siche hei sni eau on 0.5%, 1% bzw. 5% ü
{0.02, 0.05, 0.08}
Ziel
σ
∈
. Be echnung e olg au G undlage on jeweils 50 000 Sim-
la ionsläu en. Siehe auch Tabelle 6.
0.02
Ziel
σ
=
0.05
Ziel
σ
=
0.08
Ziel
σ
=
51
Die Be echnungen in Tabelle 6 zeigen, dass ü
0.05
Ziel
σ
=
eine Ziel ese equo e
20%
Ziel
ρ
=
mi eine Anpassungsgeschwindigkei on
0.2
α
=
zu akzep ablen Un e -
deckungswah scheinlichkei en üh . Wi wählen dahe ü die olgenden Be echnungen
als S anda dbelegung de ALM-Pa amen e :
0.2, 0.2, 0.05
Ziel Ziel
ρ ασ
= = =
.
( )
( )
( , , ) Min ( ) : {0,..., }
Ziel Ziel
m T
δ
αρ σ ρ δ
= ∈ <−P
α
0
δ
=
5%
δ
=
10%
δ
=
15%
δ
=
20%
δ
=
20%
Ziel
ρ
=
0.00
53.984%
45.456%
37.798%
30.858%
24.676%
0.05
50.918%
33.174%
19.144%
9.760%
4.378%
0.10
40.870%
18.492%
6.288%
1.646%
0.332%
0.15
28.372%
8.120%
1.552%
0.178%
0.008%
0.20
18.324%
3.362%
0.374%
0.018%
0.000%
0.25
10.994%
1.226%
0.068%
0.000%
0.000%
0.30
6.512%
0.514%
0.018%
0.002%
0.000%
0.35
4.064%
0.216%
0.008%
0.000%
0.000%
0.40
2.304%
0.068%
0.000%
0.000%
0.000%
0.45
1.398%
0.022%
0.000%
0.000%
0.000%
0.50
0.898%
0.024%
0.002%
0.000%
0.000%
30%
Ziel
ρ
=
0.00
37.574%
30.688%
24.670%
19.346%
15.026%
0.05
19.128%
9.742%
4.330%
1.664%
0.592%
0.10
6.174%
1.676%
0.328%
0.048%
0.004%
0.15
1.580%
0.228%
0.022%
0.000%
0.000%
0.20
0.332%
0.026%
0.002%
0.000%
0.000%
0.25
0.070%
0.002%
0.000%
0.000%
0.000%
0.30
0.016%
0.000%
0.000%
0.000%
0.000%
0.35
0.008%
0.000%
0.000%
0.000%
0.000%
0.40
0.004%
0.000%
0.000%
0.000%
0.000%
0.45
0.000%
0.000%
0.000%
0.000%
0.000%
0.50
0.000%
0.000%
0.000%
0.000%
0.000%
Tabelle 6: Wah scheinlichkei eine Un e deckung in Abhängigkei on de Anpas-
sungsgeschwindigkei
α
bei eine Ziel ese equo e on
(0) 20%
Ziel
ρρ
= =
bzw.
30%. Es wu de das Basisszena io zug unde geleg , Be echnungen basie en au
50 000 Simula ionsläu en - 0.002% en sp ich also 1 Beobach ung.
52
Goecke: Asse Liabili y Managemen in einem selbs inanzie enden Pensions onds
4.4.2 Rendi e-Risiko P o ile
Wi e se zen uns in die Lage eine Pe son, die ge ade das Ren enal e e eich ha und
übe einen Kapi als ock zu Finanzie ung eine Leib en e e üg . Bei de Wahl des
Ren ensys ems wi d diese Pe son eine Abwägung zwischen de Höhe de zu e wa en-
den Ren enzahlungen und de dami e bundenen Risiken e en müssen. Wi wollen
un e s ellen, dass de angehende Pensionä (ode Pensionä in) in jedem Falle eine Leib-
en enanwa scha e we ben möch e und somi eine s eng indi iduelle Kapi alanlage
nich in Be ach komm . Wi besch änken uns dahe au zwei mögliche Ren ensys eme,
nämlich die ak ua ielle Ton ine eine sei s und das oben o ges ell en kollek i e Ren en-
sys em (selbs inanzie ende Pensions onds). Bei de ak ua iellen Ton iene (siehe An-
hang 5.4) komm es zum Risikoausgleich inne halb des Kollek i s gleichal ige Ren -
ne , jedoch nich zu einem Risikoausgleich zwischen Ren engene a ionen. Beide hie
be ach e en Ren ensys eme bie en alle dings eine lebenslängliche Ren enzahlung, so
dass das indi iduelle Langlebigkei s isiko, nämlich das Risiko den Zei punk des Kapi-
al e zeh s zu übe leben, ausgeschal e is .
Fü beide Sys eme können wi ü eine gegebene Ren ne gene a ion die e wa e e Ge-
ne a ionen endi e e mi eln. Die e wa e e Gene a ionen endi e häng wesen lich on
de Risikoexposi ion de Kapi alanlagen ab. Bei eine siche en Kapi alanlage (
0
σ
=
)
wi d die Gene a ionen endi e nu om Ve lau de s ochas ischen S e blichkei sen wick-
lung beein luss . Mi zunehmende Risikoexposi ion am Kapi alma k s eig die e wa -
e e Ve zinsung de zug unde liegenden Kapi alanlagen und somi auch die e wa e e
Gene a ionen endi e. Es lieg also nahe, die S anda dabweichung de Gene a ionen en-
di e als Maßzahl ü das Risiko des Leib en enkon ak es zu wählen. Als wei e e Risiko-
kennzahl be ach en wi die Vola ili ä de Ren enanpassungen, also die S anda dabwei-
chung de lau enden Ren enanpassungen wäh end de Ren enlau zei .
Bei de Be echung de Rendi e-Risiko P o ile e en wi olgende Annahmen:
 Wi legen das Basisszena io (Szena io 0/ Va ian 1 – gl. Abschni 4.1) zug unde
und simulie en den An angsbes and XL ( gl. Abb. 6) ü eine Lau zei on T= 60
Jah en. Hie bei legen wi die Kalib ie ung de Tabelle 1 ü einen gemisch en (hyb-
iden) Bes and mi
0.04
α
σ
=
zug unde.
 Wi analysie en die Ren ne gene a ion
0
()G G =
, die zum Zei punk
010 =
im
Al e z = 65 in das Ren ensys em (Pensions onds bzw. ak ua ielle Ton ine) ein i .
Diese Ren ne gene a ion ha dann zum Zei punk T = 60 das Schlussal e
115
ω
=
53
5 Anhang
5.1 Das P oblem de doppel en S ochas izi ä
Wi un e suchen die En wicklung eines Ren ne bes andes, wobei wi einen An angsbe-
s and und eine Folge on Zugängen (Neu en ne ) als gegeben (d.h. de e minis isch) o-
ausse zen. Das s ochas ische Modell in (Gl. 12 und 13) lie e uns ein Modell ü die
S e blichkei sen wicklung eine Gesam popula ion on Ren ne n. Be ach e man einen
hinlänglich g oßen Bes and, so is die kün ige Bes andsen wicklung ein on
( )
W′
ge-
iebene s ochas ische P ozess. Fü einen kleinen Bes and wi d die zukün ige Be-
s andsen wicklung zusä zlich du ch die indi iduellen Übe lebenswah scheinlichkei en
bes imm . Es übe lage n sich dann zwei s ochas ische Ein luss ak o en, de de kol-
lek i en und de de indi iduellen S e blichkei .
Die kollek i e und die indi iduelle S e blichkei sind jedoch nich oneinande unab-
hängig. Be ach en wi beispielsweise zwei x-jäh ige Pe sonen, die zum Zei punk le-
ben, so sind die E eignisse A1:„Pe son 1 übe leb das nächs e Jah “ und A2:„Pe son 2
übe leb das nächs e Jah “ bes imm nich s ochas isch unabhängig, denn beide E eig-
nisse sind e bunden du ch die zu ällige 1-jäh ige Übe lebenswah scheinlichkei
(,) 1 (,)
px qx = −

. Man wi d jedoch die E eignisse A1 und A2 als s ochas isch unabhän-
gig annehmen können, so e n die 1-jäh ige Übe lebenswah scheinlichkei en als bekann
o ausgese z wi d. Die Annahme, dass die indi iduellen Lebensläu e de Pe sonen des
Bes andes unabhängig oneinande sind, is also nu sinn oll im Sinne eine beding en
s ochas ischen Unabhängigkei .27
Die olgende P oposi ion s ell eine Ve bindung zwischen den beiden S u en de
S ochas ik he .
P oposi ion 3
Sei
p

eine Zu alls a iable mi We en im In e all
[0, 1]
. Fü jedes
[0, 1]p∈
seien
12
( ), ( ),..., ( )
N
XpXp X p
s ochas isch unabhängige
(1, )Bp
e eil e Zu alls a iablen
und
1
1
: ()
n
k
k
U Xp
N
=
=∑
, dann gil :
27 Au eine s ingen e Fo malisie ung de beding en s ochas ischen Unabhängigkei wi d hie e zich e ;
de in e essie e Lese sei au [Sch age 2006] und au [Jamshidian 2004] e wiesen.
60

Goecke: Asse Liabili y Managemen in einem selbs inanzie enden Pensions onds
() ()Up=EE

und
2
11
Va ( ) Va ( ) ( ) Va ( ) 4
U p pp p
NN
= + −≤ +
E
  
.
Beweis:
11
00
() ( ) () () ()U U p p dp p p dp p p= = = =
∫∫
EE E
  
.
2
11
22
1
00
1
( ) ( ) () () ()
N
k
k
U U p p dp p X p dp p
N=


= = = 




∑
∫∫
EE E
 
1
22
0
1 11
1 () 1 ( ) ()
p
p dp p p p
NN N N

 
=−+ =− +

 
 

∫EE
 
.
Da aus olg :
( )
2
2
2
1 1 ()
Va () 1 ( ) () () Va () pp
U p pp p
NN N
−

=− +−=+


E
E EE 
  
.
Da
21
4
0pp≤− ≤
ü alle
[0, 1]p∈
e häl man:
1
Va ( ) Va ( ) 4
Up
N
≤+

.
□
Wi können diese P oposi ion nu zen, um eine en sp echende Aussage ü einen Pe so-
nenbes and he zulei en. Hie zu be ach en wi einen Ren enbes and
()
xxz
L≥
on
x
L
Pe -
sonen des Al e s
{ , 1, 2, ...}x zz z∈ ++
. Wi se zen
:
x
xz
LL
≥
=
∑
,
:
x
x
L
lL
=
. Fü alle
{ , 1, 2, ...}x zz z
∈ ++
und alle
[0, 1]p∈
seien
{ }
,1 ,2 ,
( ), ( ),..., ( )
x
x x xL
I pI p I p
(1, )Bp
-
e eil e Zu alls a iablen, on denen wi annehmen wollen, dass ü jedes
[0,1]p∈
säm liche
{ }
,( ) : ,1
xk x
I pxz kL≥ ≤≤
s ochas isch unabhängig sind.
Wi se zen
,
1
1
(): ()
x
L
x xk
k
x
Up I p
L
=
=
∑
; dies is Übe lebenswah scheinlichkei de x-Koho e
als Zu alls a iable pa ame isie mi p. Schließlich seien ü
{ , 1, 2, ...}
x zz z∈ ++
x
p

Zu alls a iablen mi We en in [0,1].
Als di ek e Anwendung on P oposi ion 3 e hal en wi
61
P oposi ion 4
Fü die a sächliche Bes andsübe lebenswah scheinlichkei
( )
:xx x
xz
U lU p
≥
=∑
gil :
()
xx
xz
U lp
≥

=

∑
EE 
und
() ( )
22
(, )
,
1
Va ( ) Va Co ,
x x xx x x x x x
xz xx xz
xx z
U l p ll p p l p p
L
′′
′
≥≥
′≥
= + +−
∑∑ ∑
E( )
   
2
11
Va ( ) Va 4
xx x x x xx
xz xz xz
lp l p p lp
LL
≥≥ ≥
 
= + −≤ +
 
 
∑∑ ∑
E
  
□
Beme kungen:
1. Die Zu alls a iable
xx
xz
lp
≥
∑

besch eib die Übe lebenswah scheinlichkei (als Zu-
alls a iable) eines (unendlich) g oßen Pe sonenbes andes mi de Al e ss uk u
()
xxz
l
≥
. Wi können
Va
xx
xz
lp
≥



∑
als Maß ü die Unsiche hei de (kollek i en)
S e blichkei sen wicklung in e p e ie en. Die Unsiche hei eines konk e en (kleinen)
Pe sonenbes andes mi de gleichen Al e ss uk u e wächs zusä zlich aus de Unsi-
che hei de indi iduellen Lebensläu e de Pe sonen. Diese zwei e Komponen e de
Unsiche hei äg mi dem Be ag
2
1()
x kx kx
xz
l pp
L≥
−
∑E
zu Gesam a ianz bei.
2. Fü
0
α
σ
→
is
xx
pp=

de e minis isch und
2
1
Va ( ) (
xx x
xz
U lp p
L
≥
= −
∑
)
.
Wi wollen die P oposi ion 4 nu zen, um im CBD-Modell (Abschni 2.4.) den Ein luss
de Bes andsg öße au die Vola iliä de S e blichkei sen wicklung abzuschä zen.
Hie zu be ach en wi zum Zei punk den Ren enbes and
( )
( ), ( 1), ..., ( )
LzLz L
ω
+
und se zen wie oben
() ()
x
xz
L L
ω
=
=∑
. Vom Zei punk aus be ach e is die Gesam zahl
62
Goecke: Asse Liabili y Managemen in einem selbs inanzie enden Pensions onds
de Übe lebenden zum Zei punk +1 eine Zu allsg öße, die on de kollek i en (sys-
em a ischen) S e blichkei sen wicklung und on de indi iduellen (idiosyk a ischen)
S e blichkei de einzelnen Ren ne abhäng .
Beobach en wi zum Zei punk die Realisie ung
Ww
′′
=
und se zen
1
:
ZW W
+
′′
= −
, so
können wi sch eiben
()
1
( , ) 1 exp( ) exp( ) ( , )
px Z w g x
α
σ
−
′
= +

, wobei Z eine s anda d-
no mal e eil e Zu all a iable is . Mi den obigen Bezeichnungen können wi die (zu äl-
lige) 1-jäh igen Bes andsübe lebenswah scheinlichkei da s ellen als
()
(,)
xx
xz
U l U px
≥
=∑
.
Se zen wi
()
1
( ) 1 exp( ) exp( ) ( , )
x
z z w gx
α
σ
−
′
= +
und
(0)
xx
p =
, so gil
( ) (0) (0) (1 )
x
x x x xx
d
z z p zp p
dz
α
σ
≈+ =− −
.
Wi app oximie en die Zu alls a iable
()
1
( , ) 1 exp( ) exp( ) ( , )
px Z w g x
α
σ
−
′
= +

du ch
die no mal e eil e Zu alls a iable
: (1 )
xx x x
p p Zp p
α
σ
=−−

. Dies e gib dann ol-
gende app oxima i e Da s ellung de 1-jäh igen Bes andsübe lebenswah scheinlichkei :
( )
:
p ox x x x
xz
U lU p
≥
=∑
.
Se zen wi abkü zend
1
: (1 )
xx x
xz
g lp p
≥
= −
∑
und
22
2
: (1 )
xx x
xz
g lp p
≥
= −
∑
, so e hal en wi
mi els P oposi ion 4
() ( )
p ox x x
xz
U U lp
≥
≈=
∑
EE
und
2 22
12
1
Va ( ) Va ( )
1
Va ( ) () ()
p ox
xx x x x
xz xz
UU
gg
lp l p p g
L L L
α
σ
≥≥
≈


= + −= + −


 
∑∑
E
 
(Gl. 35)
(Gl. 35) s ell einen ein achen Zusammenhang zwischen dem sys ema ischen Risiko
α
σ
und de Bes andsg öße
()L
bzw. den Bes andss uk u pa ame e n
1
g
und
2
g
he . Fü
einen g oßen Bes and (
()L →∞
) e gib sich
22
1
Va ( ) Va ( )
p ox
UU g
α
σ
≈=
.
63
Um die Gü e de App oxima ion zu illus ie en, simulie en wi die „wah e“ Übe lebens-
wah scheinlichkei U ü e schiedene Ni eaus on
α
σ
und e schieden Bes andsg ö-
ßen und e gleichen die E gebnisse mi den Nähe ungswe en gemäß (Gl. 35).
Ausgangspunk is de Mus e bes and (Bes andXL – gl. Abschni 2.4.4). Au g und de
G öße des Bes andes (Gesam zahl de Ren ne : 1 852 681) is das indi iduelle S e blich-
kei s isiko zu e nachlässigen. Fü diesen Bes and e gib sich
1
0.04805526g=
und
20.004067667g=
.
Um zu be echnen, welchen Ein luss die Bes andsg öße au das Gesam isiko ha , lei en
wi un e Beibehal ung de Al e s e eilung (jedoch un e Be ücksich gung de Ganz-
zahligkei sbedingung) aus dem Bes andXL kleine Bes ände mi insgesam 2k ( ü k =
7,…,20) Pe sonen ab. De kleins e be ach e e Bes and um ass also nu insgesam
27=128 Pe sonen, de g öß e 1 048 576 Pe sonen. Fü
0, 4%
αα
σσ
= =
und
8%
α
σ
=
haben wi die S anda dabweichung de Zu all a iable U (angenähe du ch 10 000
Mon e Ca lo Simula ionen) mi de S anda dabweichung de app oximie enden Zu all-
a iablen Up ox gemäß (Gl. 35) e glichen – siehe Abbildung 22. Dabei zeig sich, dass
de Un e schied zwischen Simula ions echnungen und Nähe ungs o mel so ge ing is ,
dass e in de g a ischen Da s ellung kaum zu e kennen is .
ABBILDUNG 22: S anda dabweichung de 1-jäh igen Bes andsübe lebenswah schein-
lichkei in Abhängigkei on de Bes andg öße ü
0, 4%, 8%
αα α
σσ σ
= = =
: Ve -
gleich de App oxima ion nach (Gl. 35) und de Mon e Ca lo Simula ion.
64
Goecke: Asse Liabili y Managemen in einem selbs inanzie enden Pensions onds
S anda dabweichung de 1-jäh igen
Bes andsübe lebenswah scheinlichkei
0
α
σ
=
4%
α
σ
=
8%
α
σ
=
Bes ands-
g öße
Simula-
ion
App oxi-
ma ion
Simula-
ion
App oxi-
ma ion
Simula-
ion
App oxi-
ma ion
128
1.9119%
1.9376%
1.9252%
1.9470%
1.9678%
1.9749%
256
1.3437%
1.3701%
1.3874%
1.3834%
1.4107%
1.4227%
512
0.9657%
0.9688%
0.9962%
0.9876%
1.0432%
1.0420%
1024
0.6941%
0.6850%
0.7056%
0.7115%
0.7811%
0.7854%
2048
0.4912%
0.4844%
0.5211%
0.5211%
0.6214%
0.6183%
4096
0.3409%
0.3425%
0.3885%
0.3928%
0.5157%
0.5148%
8192
0.2432%
0.2422%
0.3112%
0.3092%
0.4498%
0.4543%
16384
0.1724%
0.1713%
0.2577%
0.2574%
0.4205%
0.4208%
32768
0.1199%
0.1211%
0.2273%
0.2272%
0.4020%
0.4031%
65536
0.0857%
0.0856%
0.2101%
0.2104%
0.3926%
0.3939%
131072
0.0605%
0.0606%
0.2016%
0.2015%
0.3892%
0.3892%
262144
0.0430%
0.0428%
0.1970%
0.1969%
0.3861%
0.3868%
524288
0.0298%
0.0303%
0.1945%
0.1946%
0.3849%
0.3856%
1048576
0.0214%
0.0214%
0.1936%
0.1934%
0.3846%
0.3850%
Tabelle 7: S anda dabweichung de 1-jäh igen Bes andsübe lebenswah scheinlich-
kei in Abhängigkei on de Bes andg öße ü
σα
= 0, 4% und 8%: Ve gleich de
App oxima ion nach (Gl. 35) und Schä zungen on Mon e Ca lo Simula ionen.
Die E gebnisse de P oposi ion 4 und die obigen Modell echnungen zeigen, dass in un-
se em Modell das idiosyk a ische Risiko nich gesonde un e such we den muss. Viel-
meh können wi bei kleinen Bes änden dieses Risiko du ch eine en sp echende Anpas-
sung des Risikopa ame e s
α
σ
ausgleichen. Hie zu bes immen wi ü den zu un e -su-
chenden (kleinen) Bes and die Gesam zahl L sowie die S uk u pa ame e g1 und g2 und
be echnen den isikoadjus ie e Pa ame e
ˆ
α
σ
gemäß
22
2
2
1 11
11
ˆ:1
g
gL gL gL
αα α
σσ σ

= +− ≈ +


. (Gl. 36)
65

5.2 Rechnungsg undlagen 1. O dnung in CBD-Modell
Wenn die a sächliche S e bewah scheinlichkei en dem CBD-Modell nach (Gl. 9) und
(Gl. 10) olgen bzw. du ch diese Gleichungen gu angenähe we den können, so kann
man seh ein ach auch Rechnungsg undlagen mi Siche hei szuschlägen ablei en. Be-
ach en wi den Ansa z
( )
01 01
logi ( , ) ( ) ( )qx x z
αα ββ
=+++ −
, so können wi in nahe
liegende Weise Siche hei sabschläge ein üh en, indem wi
0
α
du ch
000
ˆ
ααα
∆
= +
und
1
α
du ch
111
ˆ
ααα
∆
= +
mi
01
0, 0
αα
∆∆
<<
e se zen.
Fü
( )
01 01
ˆˆ
ˆ
logi ( , ) ( ) ( )qx x z
αα ββ
=+++ −
be ach en nun das Ve häl nis de S e -
bewah scheinlichkei en 1. und 2. O dnung
,01
ˆ(,)
( , ): (,)
x
qx
qx
αα
∆∆
=
. Es gil :
,,
,01 , 0 1 0 1
01
( , ) (0,0) (0,0) (0,0) 1 ( ) ( , )
x x
x x
px
αα α α α α
αα
∆∆ ∆ ∆ ∆ ∆
∂∂
≈ + + =++
∂∂
.
Beme kung: Fü
00
:
αβ
∆
= −∆
und
11
:
αβ
∆
= −∆
e gib sich
ˆ(,) ( ,)qx qx = −∆
. Eine Al-
e s e schiebung kann also im CBD-Modell du ch eine Anpassung de Pa ame e exak
abgebilde we den. Das Ins umen de Al e s e schiebung wi d auch angewende , um
aus eine Basis a el P ojek ions a eln zu e s ellen. Gil ü die Basis a el
( )
( )
1
12
( ) 1 exp ( )
B
px xz
κκ
−
=+ +−
und wähl man eine on linea abhängige Al e s e schiebung
γ
∆=
, so e gib sich
ü die P ojek ions a eln
( , ): ( )
B
px p x= −∆
:
( )
( )
1
12 2
( , ) 1 exp ( )px x z
κ κγ κ
−
=+ − +−
.
Kalib ie ung des Siche hei sabschlags
0
0
α
∆
<
Wi kalib ie en die Pa ame e des Modells (
0101
,,,
ααββ
) so, dass die hie aus abgelei-
e en Übe lebenswah scheinlichkei en als bes e Schä ze de a sächlichen Übe lebens-
wah scheinlichkei en dienen können. Das Modell wi d also ohne Siche hei szuschläge
au die Übe lebenswah scheinlichkei en (bzw. Siche hei abschläge au die S e blich-
kei ) kalib ie .
Wi bes immen den Siche hei sabschlag
0
α
∆
so, dass die (de e minis ischen) Übe le-
benswah scheinlichkei en 1. O dnung
ˆ(,)px
„mi g oße Wah scheinlichkei “ die
66
Goecke: Asse Liabili y Managemen in einem selbs inanzie enden Pensions onds
s ochas ischen Übe lebenswah scheinlichkei en
(,)
px

nich un e sch ei en. Da
( )
1
0
ˆ( , ) 1 exp( ) ( , )px g x
α
−
∆
= +
und
( )
1
1
( , ) 1 exp( ) ( , )
px W gx
α
σ
+
−
′
= +

gil
10
ˆ
(,) (,) /
px px W
α
ασ
∆
+
′
≤ ⇔≥

.
Da aus olg :
( ) ( )
0
ˆ
( , ) ( , ) ü alle [0, 1] Min( , [0, ])
px px T W T c
α
σ
′
≤ ∈ −= ∈ ≥PP

.
Fü ein gegebenes Siche hei sni eau on
1
δ
−
olg somi 28
( )
11
00
2
Min( , [0, ]) 1 (1 )
W T T
αα
ασ δ α σ δ
∆ ∆−
′∈ ≥ ≥ − ⇔ ≤− Φ −P
,
hie bei bezeichne
1−
Φ
die In e se de Ve eilungs unk ion de S anda dno mal e ei-
lung. Fü
1 0.95
δ
−=
, T = 60 und
0.04
α
σ
=
e gib sich beispielsweise
00.6073
α
∆= −
.
Beme kung:
( )
( )
( )
1
,0 1
0
ˆ
1 1 (,)
ˆ(,) 1
( ,0) (,) 1 exp( ) 1 ( , )
1 1 (,)
x
gx
qx
qx px
gx
αα
−
∆
−∆
−+
= = = + −−
−+
; de Si-
che hei sabschlag is also al e s- und endabhängig.
ABBILDUNG 23: Siche hei abschläge au die S e bewah scheinlichkei en ü die Al e
x = 65 – 115 de Pe ioden a el ü = 0 und = 10, hyb ide Bes and, Siche hei sni-
eau
1 95%
δ
−=
bzw.
1 90%
δ
−=
, T=60,
0.04
α
σ
=
.
28 Fü Ve eilung on Min(W : 0 ≤ ≤ T) bzw. Max(W : 0 ≤ ≤ T) gl. [Ka a zas/ Sh e e 1991] S. 96.
67
5.3 S ochas ik de Deckungs ücks ellung im CBD-Modell
Wi be ach en die Zu alls a iable
1() ()
( 1) ( 1)
ln ln
( 1) ( 1)
ee
V
YV
+
  
++
= =
  
++
  
in Abhängig-
kei on de Ve ände ung
1
:
wW W
∆+
′′
= −
- gl. P oposi ion 1, (Gl. 26).
P oposi ion 5
Es gil
1
1
0
( 1) ( 1) ( , 1) ( , 1, 1)
x
x xk k
xz k
dY
L q k ax
dw
ωω
α
σ
−
+−+
= =
∆

+ =− + + + ++


∑∑
.
Beweis:
()
1() () ()
( , 1, 1) ( 1) ( , 1) ( , 1, ) ( 1)
( 1)
exp( ) ( 1) ( , 1, ) ( 1) ( , 1, ) ( 1)
e
xx
xz xz
eee
xx
xz xz
ax L hx ax L
Y ax L ax L
ωω
ωω
= =
+
= =
++ + + + +
+
= = =
+++ ++
∑∑
∑∑
mi
()
( , 1, 1) ( 1)
( , 1) : ( , 1, ) ( 1)
x
e
x
ax L
hx ax L
++ +
+= ++
.
Fü
xz
=
gil
()
( 1) ( 1)
e
zz
L L += +
und somi
(,1,1)
( , 1) ( , 1, )
az
hz az
++
+= +
.
Beme kung: Fü
1xz≥+
gil :
()
( , 1, 1) ( 1) ( 1, , 1) 1
( , 1) ( , 1, ) ( 1) ( 1, , ) 1
x
e
x
ax L ax
hx ax L ax
+ + + − +−
+= =
+ + −−
.
Fü
, x z
′′
≥≥
de inie en wi
( , ): exp( ) ( , )
gx w gx
α
σ
′′ ′ ′′
=

- gl. (Gl. 3) - und wi se -
zen abkü zend
1
: exp( ( )) exp( )
X WW w
αα
σσ
+∆
′′
= −=
. Dann gil ü
xz>
:
1
()
11
( 1) ( , 1) 1 exp( ) ( 1, ) 1 ( 1, )
( 1) (,) 1 exp( ) ( 1,) 1 ( 1,)
xx
e
xx
L p w gx gx
L p w gx Xgx
α
α
σ
σ
−
−+
′
+ + + − +−
= = =
′
+ + − +−


,
Fü
xz≥
gil
00
00
( 1, 1) ( , 1) ( 1, )
(,1,1)
( , 1, ) ( 1, ) ( 1, )
xx
kk
kx k kx
kk
xx
kk
kx kx
kk
e p x e p
ax
ax e p e p
ωω
µµ
ωω
µµ
−−
−−
= =
−−
−−
= =
++ + +
++
= =
+++
∑∑
∑∑
68
Goecke: Asse Liabili y Managemen in einem selbs inanzie enden Pensions onds
mi
1
0
(1,1) 1 ( ,1)
( , 1) : ( 1, ) 1 ( , 1 )
k
kx
k
j
kx
p gx j j
x p Xgx j j
−
=

+ + + + ++
+= = 
+ + + ++

∏


, ü k = 0 sei dabei
0
( , 1) 1 x +=
. Se ze ü
xz>
:
11
11
( , 1) ( 1, 1) ( , 1)
ˆ( , 1) : ( , 1)
(,) ( 1,) (,)
x kx x
kk
x kx x
p p p
x x
p p p
−−
−−
+ ++ +
+= = +
+
und ü
xz=
:
ˆ( , 1) : ( , 1)
kk
z z += +
.
Dann e häl man ü alle
xz≥
die Da s ellung:
00
0
ˆˆ
( , 1) ( 1, ) ( , 1) ( 1, )
( , 1) ( , 1, )
( 1, )
xx
kk
k kx k kx
kk
xk
kx
k
x e p x e p
hx ax
e p
ωω
µµ
ωµ
−−
−−
= =
−−
=
++ ++
+= = +
+
∑∑
∑
.
Wi be ach en
( , 1)
hx +
als Funk ion on
w
∆
. Dann gil ü die Ablei ung:
0
ˆ
( , 1) ( , 1)
( , 1, ) ( 1, )
xk
k
kx
k
dhx d x
ax e p
dw dw
ωµ
−−
=
∆∆
++
+= +
∑
Fü
xz>
gil :
( )
( )
1
0
ˆ( , 1) ˆ( , 1) 1 1 ( 1 , )
k
k
k
j
d x x Xgx j j
dw
α
σ
−
=
∆
+=− + − + −+ +
∑

und ü
xz=
:
( )
( )
1
1
ˆ( , 1) ˆ( , 1) 1 1 ( 1 , )
k
z
z
j
d x x Xgx j j
dw
α
σ
−
=
∆
+=− + − + −+ +
∑
.
Beg ündung hie ü :
( )
( )
( )
ˆ
ln ( , 1)
ˆ( , 1) ˆˆ
exp ln ( , 1) ( , 1) k
k
kk
d x
d x d x x
dw dw dw
∆∆ ∆
+
+= += +
0
1(1, )
ˆ( , 1) ln 1 (1, )
k
k
j
d gx j j
x dw X g x j j
=
∆


+ −+ +
= + 

+ −+ +


∑


0
1(1, )
ˆ( , 1) ln 1 (1, )
k
k
j
d gx j j
x dw X g x j j
=∆


+ −+ +
= + 

+ −+ +


∑


( )
0
ˆ( , 1) ln 1 ( 1 , )
k
k
j
d
x Xgx j j
dw
=∆

=− + + −+ +


∑
0
(1, )
ˆ( , 1) 1 (1, )
k
k
j
Xgx j j
x Xgx j j
α
σ
=

−+ +
=−+

+ −+ +

∑

( )
( )
1
0
ˆ( , 1) 1 1 ( 1 , )
k
k
j
x Xg x j j
α
σ
−
=
=− + − + −+ +
∑
.
69
Da
( )
00 00
0
(,,) (,)exp ( )
x
kz
k
az p k
ω
εµε
−
=
= −−
∑
,
00
(, )
zk
kz
z
Lp k
L
+= +
und
1
0
0
0
()
exp ( )
()
k
jj
j
k k
µε µ δ
−
=

+= − −+ −


∑
e gib sich schließlich
( )
1
00 00
00 0
( , ) exp ( ) ( , ) exp ( ) ( )
xz k
kz kz k k G
kk j
p k p k k
ωω
µε µε µ δ µ
−− −
= = =

−−= + −−+ −−


∑∑ ∑
(Gl. 37)
Bei echnungsmäßigem Ve lau de S e blichkei gil
00 00
(,) (, )
kz kz
p p k= +
und
0
k
δ
=
. Fü die Bes immungsgleichung on
G
µ
gil dann:
()
1
00 00
0 00
( , ) exp ( ) ( , ) exp ( ) ( )
x zk
kz kz k G
k kj
p k p k
ωω
µε µε µ µ
− −−
= = =

−−= −−+ −


∑ ∑∑
.
G
µ
is somi de gewogene Du chschni de Pe ioden endi en. Bei eine gleichbleiben-
den Po olio endi e
kP
µµ
=
gil somi
GP
µµ
=
. Im allgemeinen Fall is die Gene a io-
nen endi e eine s ochas ische G öße, die on de S ochas ik de S e blichkei sen wick-
lung und de Po olio endi e abhäng .
Beme kung:
1. Die lau ende Ren enanpassung be äg
0
0
( 1)
: ln ()
k kk
k
k
ε µ µεδ

++
= = −+−

+

.
Wähl man einen e gleichweise nied igen Rechnungszins und/ ode o sich ige bio-
me ische Rechnungsg undlagen (dann is im Du chschni
0
k
δ
<
) zu Bes immung
de Ton inen en e, so üh das zu en sp echend nied ige en an änglichen Ren en e -
bunden mi höhe en Ren enanpassungen. Wähl man also bei de ak ua iellen Ton ine
einen seh nied igen (im Ex em all soga einen nega i en) Rechnungszins und übe -
o sich ige biome ische Rechnungsg undlagen, so bedeu e dies eine Um e eilung
de Mi el au die Übe lebenden zu Las en de üh Ve s e benden. Im Ex em all wi d
dann die ak ua ielle Ton ine wie die kon en ionelle Ton ine zu eine (Übe lebens-)
Lo e ie.
2. Eine ai e Ve eilung zwischen den Gene a ionen is gegeben, wenn de Rechnungs-
zins so es gese z wi d, dass die e wa e e Übe endi e (Po olio e zinsung abzüglich
Rechnungszins) die Gelden we ung (In la ion) ausgleich . Vo sich ige Annahmen
76

Goecke: Asse Liabili y Managemen in einem selbs inanzie enden Pensions onds
hinsich lich de biome ischen Rechnungsg undlagen sind jeden alls bei de ak ua iel-
len Ton ine nich e o de lich.
5.4.3 Rendi e-Risiko-P o il eine Ton ine
Die Gene a ionen endi e
G
µ
is eine s ochas ische G öße, die on de S e blichkei sen -
wickung und om Kapi alma k e lau abhäng . Wie oben da ges ell , en sp ich bei ei-
nem echnungsmäßigen Ve lau die Gene a ionen endi e genau de Po olio endi e.
Au g und de Schie e de zug undeliegenden Ve eilungen bedeu e dies nich , dass die
e wa e e Gene a ionen endi e und die e wa e e Po olio endi e übe eins immen. Wie
die Simula ions echnungen zeigen (s.u.) is a sächlich de Un e schied nich e nach-
lässigba .
Wi be ach en zwei e schiedene Risikokonzep e ü das Ton inengeschä . Zum einen
be ach en wi die S anda dabweichung de Gene a ionen endi e und zum ande en die
Vola ili ä de Ren enzahlungen, genaue die S anda dabweichung de Ren enanpassun-
gen als Maßzahlen ü das Ren en isiko.
Den Simula ions echnungen lieg die Kalib ie ung des Abschni s 4.1 zug unde, insbe-
sonde e un e s ellen wi einen Rechnungszins on
0.02
µ
=
und eine on de Risikoex-
posi ion
σ
abhängige e wa e e Po olio endi e on
2
1
2
( ) 0.02 0.25
P
µσ σ σ
=+−
. Die
a sächlichen Po olio endi en
k
µ
sind s ochas isch und lassen sich in unse em Kapi al-
ma k modell (Abschni 2.3) wie olg da s ellen:
2
1
1
2
()
k M kk
ww
µ µσ σ σ
+
=+−+ −
ü
0, ..., 1kz
ω
= −−
,
wobei
0 12
( 0, , , ...)w ww=
eine Realisa ion on
( )
0,1, 2, .....
W=
is .
Das CBD-Modell kalib ie en wi mi den Pa ame e n ü einen gemisch en (hyb iden)
Bes and – gl. Tabelle 1; insbesonde e un e s ellen wi einen S e blichkei s end (Va i-
an e 1). Wi be ach en die Spa e gene a ion
0
()
G G =
, die zum Zei punk
010 =
im
Al e 65 in den Ren enbezug ein i . Da wi das CBD-Modell nach den Rich a eln
2005G kalib ie haben, en sp ich dies einem Ren enein i im Jah e 2015. Fü eine
Ren e in Höhe on 1 be äg die Einmalp ämie
00
( , , ) (65,10,10) 17.146404az a= =
.
Die olgenden Tabellen 8 und 9 assen die Auswe ungen de Simula ionsläu e zusam-
men, Tabelle 8 en häl die E gebnisse ü eine de e mins ische S e blichkei sen wick-
77
lung, Tabelle 9 ü den Fall
0.04
α
σ
=
. Die S anda dabweichung de Gene a ionen en-
di e s eig p opo ional zu Risikoexposi ion, wäh end die Vola ili ä de Ren enanpas-
sung übe p opo ional s eig - gl. Abb. 24.
Die Tabellen zeigen abe auch, dass sich Risiko lohn , da die mi le en Gene a ionen en-
di e eben alls p opo ional mi de Risikoexposi ion ans eigen, alle dings s eig auch die
Wah scheinlichkei , dass die Gene a ionen endi e nied ige aus äll als de Rechnungs-
zins.
Risiko
P
σ
Mi elw
G
µ
S abw
G
µ
Wkei
G
µµ
<
Quan ile
G
µ
Vola
ε
-P ade
1%
5%
10%
50%
0.00
2.00%
0.00%
100.00%
2.00%
2.00%
2.00%
2.00%
0.00%
0.02
2.49%
0.46%
14.50%
1.42%
1.73%
1.90%
2.49%
1.99%
0.04
2.94%
0.93%
15.42%
0.79%
1.41%
1.75%
2.93%
3.98%
0.06
3.38%
1.39%
15.96%
0.21%
1.12%
1.61%
3.37%
5.97%
0.08
3.78%
1.85%
16.85%
-0.41%
0.76%
1.42%
3.76%
7.96%
0.10
4.17%
2.32%
17.37%
-1.11%
0.42%
1.24%
4.14%
9.95%
0.12
4.49%
2.80%
18.95%
-1.81%
-0.04%
0.92%
4.45%
11.94%
0.14
4.83%
3.25%
19.29%
-2.46%
-0.44%
0.70%
4.78%
13.92%
0.16
5.12%
3.70%
20.32%
-3.22%
-0.85%
0.42%
5.06%
15.92%
0.18
5.42%
4.20%
21.11%
-3.86%
-1.30%
0.12%
5.30%
17.90%
0.20
5.61%
4.66%
22.18%
-4.74%
-1.89%
-0.31%
5.50%
19.88%
Tabelle 8: Auswe ung zum Risiko-Rendi e-P o il de Gene a ionen endi e ohne
s ochas ische S e blichkei sen wicklung (
0
α
σ
=
); jeweils 50 000 Simula ionen.
78
Goecke: Asse Liabili y Managemen in einem selbs inanzie enden Pensions onds
Risiko
P
σ
Mi elw
G
µ
S abw
G
µ
Wkei
G
µµ
<
Quan ile
G
µ
Vola
ε
-P ade
1%
5%
10%
50%
0.00
2.00%
0.02%
48.03%
1.96%
1.97%
1.98%
2.00%
2.62%
0.02
2.49%
0.46%
14.45%
1.42%
1.73%
1.90%
2.49%
3.29%
0.04
2.95%
0.93%
15.17%
0.81%
1.44%
1.77%
2.95%
4.77%
0.06
3.38%
1.39%
15.93%
0.21%
1.10%
1.60%
3.37%
6.52%
0.08
3.80%
1.86%
16.79%
-0.41%
0.79%
1.44%
3.77%
8.38%
0.10
4.16%
2.32%
17.59%
-1.07%
0.40%
1.20%
4.13%
10.29%
0.12
4.49%
2.79%
18.80%
-1.78%
-0.01%
0.95%
4.45%
12.23%
0.14
4.82%
3.27%
19.57%
-2.59%
-0.41%
0.70%
4.77%
14.18%
0.16
5.13%
3.74%
20.00%
-3.31%
-0.88%
0.39%
5.04%
16.12%
0.18
5.42%
4.21%
21.00%
-3.93%
-1.33%
0.11%
5.31%
18.10%
0.20
5.64%
4.69%
22.03%
-4.81%
-1.88%
-0.28%
5.53%
20.07%
Tabelle 9: Auswe ung zum Risiko-Rendi e-P o il de Gene a ionen endi e mi
s ochas ische S e blichkei sen wicklung (
0.04
α
σ
=
); jeweils 50 000 Simula ionen.
ABBILDUNG 24: Die S anda dabweichung de Gene a ionen endi e und die Vola ili-
ä de Ren enanpassung in Abhängigkei on de Risikoexposi ion de Kapi alanla-
gen; s ochas ische S e blichkei sen wicklung (
0.04
α
σ
=
); jeweils 10 000 Simula io-
nen.
79
Zu Da s ellung des Rendi e-Risiko P o ils wählen wi als Maßzahl zum einen die S an-
da dabweichung de Gene a ionen endi en (Abb. 25) und zum ande en die Vola ili ä
de Ren enanpassungen (Abb. 26).
ABBILDUNG 25: Rendi e-Risiko-P o il: Mi le e Gene a ionen endi e in Abhängigkei
on de S anda dabw. de Gene a ionen endi e; mi und ohne s ochas ische S e b-
lichkei sen wicklung (
0 . 0.04bzw
αα
σσ
= =
); jeweils 10 000 Simula ionen.
ABBILDUNG 26: Rendi e-Risiko-P o il: Mi le e Gene a ionen endi e in Abhängigkei
on de Vola ili ä de Ren enanpassung; mi und ohne s ochas ische S e blichkei s-
en wicklung (
0 . 0.04bzw
αα
σσ
= =
); jeweils 10 000 Simula ionen.
80
Goecke: Asse Liabili y Managemen in einem selbs inanzie enden Pensions onds
Beme kungen
1. Es äll au , dass die Mi elwe e de beobach e en Gene a ionen endi en sys ema isch
g öße sind als die e wa e en Po olio endi en. So be äg die e wa e e Po olio en-
di e ü eine Risikoexposi ion on
0.2
σ
=
2
1
25.00%
PM
µ µσ σ
=+−=
, wäh end
wi eine mi le e Gene a ionen endi e on
()
5.56%
g
µ
=
beobach en. Um dies zu e -
s ehen be ach en wi das Modell ohne s ochas ische S e blichkei , also
0
α
σ
=
. Se zen
wi dann
00
: (,) k
k kz
A p e
µ
−
=
ü
0,1, ...,
kz
ω
= −
, so is die Gene a ionen endi e die
implizi de inie e Zu alls a iable
()g
µ
, ü die gil :
( )
()
00
exp ( )
zz
k k k gP
kk
A A Wk
ωω
σ µµ
−−
= =
= −−
∑∑
. (Gl. 38)
Das zei s e ige Analagon zu (Gl. 35) kann man wie olg besch eiben: Fü eine nich -
nega i e s e ige Funk ion
:[0, ] T
+
→
sei
(,)XX T
σ
=
die (eindeu ig be-
s imm e) Zu alls a iable, ü die gil :
( )
00
() ()exp
TT
T
d W X d
σ
= −
∫∫
. (Gl. 39)
Selbs im ein achs en Fall
() 1
≡
wa en wi nich in de Lage den E wa ungswe
de Zu alls a iable
X
zu bes immen. Da
( )
( )
2
1
20
exp
W
σσ
≥
−
ein Ma ingal is mi
( )
( )
2
1
2
exp 1
W
σσ
−=E
, lieg es nahe
( )
2
(,)X T cons
σσ
≈⋅E
zu schä zen. Mon e
Ca lo-Simula ionen zeigen, dass
( )
2
( ,1) 0.11X
σσ
≈E
. Aus de Skalie ungseigen-
scha des Wiene -P ozesses olg
( )
( )
1
( , ) ( ,1)
XT X T
T
σσ
=EE
. Aus
( )
2
( ,1)Xc
σσ
=E
ü ein
0c>
olg somi
( ) ( )
(,) (,1)XT X
σσ
=EE
(Zei in a i-
anz); umgekeh olg aus de Zei in a ianz dass
( )
2
( ,1)Xc
σσ
=
E
ü ein
0c>
.
2. Füh end wi die Be echnungen ohne S e blichkei s end (Va ian e 0), so e geben sich
keine e kennba en Un e schiede zu den in den Tabellen 3 und 4 da ges ell en E geb-
nissen. Wenn ein S e blichkei s end un e s ell wi d, so is zwa die an ängliche Ein-
malp ämie de Ren ne gene a ion höhe , alle dings e häl die en sp echende Gene a-
ion au g und de höhe en Lebense wa ung auch insgesam höhe e Leis ungen.
81

Li e a u
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83
Abbildungs- und Tabellen e zeichnis
ABBILDUNG 1: STILISIERTE BILANZ DES PENSIONSFONDS 4
ABBILDUNG 2: CBD-MODELL, LOGIT(QX) FÜR DIE BASISTAFEL DER RICHTTAFEL
HEUBECK 2005G UND DIE PROJIZIERTE PERIODENTAFEL 2055 (RENTENBESTAND,
ALTER 65-114) FÜR MÄNNER (RECHTS) UND FRAUEN, SOWIE JEWEILS DIE LINEAREN
APPROXIMATIONEN. 10
ABBILDUNG 3: PARAMETER
12
(), ()
κκ
′′
FÜR
{0,1, ..., 50} ∈
, T = 0 ENTSPRICHT DABEI
DEM BASISJAHR 2005, T = 50 ENTSPRICHT DEM PROJEKTIONSJAHR 2055. 12
ABBILDUNG 4: VERGLEICH DER PERIODENSTERBETAFELN HEUBECK 2005G UND CBD-
MODELL FÜR DAS BASISJAHR 2005 UND FÜR DAS PROJEKTIONSJAHR 2055, JEWEILS
FÜR MÄNNER UND FRAUEN. 13
ABBILDUNG 5: MITTLEREN FERNEREN LEBENSERWARTUNG 65-JÄHRIGER MÄNNER
(LINKS) BZW. FRAUEN (RECHTS) IN ABHÄNGIGKEIT VOM GEBURTSJAHR, VERGLEICH
CBD-MODELL UND RICHTTAFELN 2005G, SOWIE DIE 1% UND 99%-QUANTILE FÜR
DAS CBD-MODELL (
0.04
α
σ
=
). 18
ABBILDUNG 6: STRUKTUR DES ANFANGSBESTANDES BESTANDXL 19
ABBILDUNG 7: SIMULATION DER BESTANDSENTWICKLUNG (EINSCHL. NEUZUGANG) FÜR
60 JAHRE FÜR EINEN GROßEN, MITTLEREN UND KLEINEN BESTAND BEI
VERSCHIEDENEN
σα
-NIVEAUS. DIE GEBROCHENE LINIE ZEIGT JEWEILS DIE
DETERMINISTISCHE HOCHRECHNUNG DES BESTANDES, WENN MAN DIE
RECHNUNGSGRUNDLAGEN DER RICHTTAFELN 2005G ZUGRUNDE LEGT. 21
ABBILDUNG 8: ENTWICKUNG DES NEUZUGANGS FÜR DIE SZENARIEN 0-4. 36
ABBILDUNG 9: ENTWICKUNG GESAMTZAHL DER RENTNER FÜR DIE SZENARIEN 0-4 UND
DIE VARIANTE 0 UND 1 BEI DETERMINISTISCHER STERBLICHKEITSENTWICKLUNG (
0
α
σ
=
). 37
ABBILDUNG 10: ENTWICKLUNG DER STRUKTURPARAMETER
,,
ν λξ
FÜR T = 1,…,T FÜR
TRENDUNABHÄNGIGE (VARIANTE 0: LINKS) UND TRENDABHÄNGIGE
ÜBERLEBENSWAHRSCHEINLICHKEITEN (VARIANTE 1: RECHTS) FÜR DIE SZENARIEN 0-4
IM DETERMINISTISCHEN MODELL (
0
α
σ
=
). 38
ABBILDUNG 11: ENTWICKLUNG VON
θ
FÜR T = 0,…,T-1 FÜR DIE SZENARIEN 0-4 FÜR
TRENDUNABHÄNGIGE (VARIANTE 0: OBEN) UND TRENDABHÄNGIGE
ÜBERLEBENSWAHRSCHEINLICHKEITEN (VARIANTE 1: UNTEN); HIERBEI WURDE
0.2
Ziel
ρ
=
UND
exp( )
Ziel
ρ
=
UNTERSTELLT. 39
ABBILDUNG 12: ENTWICKLUNG DER GENERATIONENRENDITE IM PENSIONSFONDS
(KOLLEKTIVES MODELL) IM DETERMINISTISCHEN FALL FÜR DIE SZENARIEN 0-4 FÜR
TRENDUNABHÄNGIGE (VARIANTE 0: OBEN) UND TRENDABHÄNGIGE
ÜBERLEBENSWAHRSCHEINLICHKEITEN (VARIANTE 1: UNTEN); HIERBEI WURDE
0.02, 0.2
P Ziel
µµ ρ
= = =
UND
exp( )
Ziel
ρ
=
UNTERSTELLT. 42
84
Goecke: Asse Liabili y Managemen in einem selbs inanzie enden Pensions onds
ABBILDUNG 13: BESTANDENTWICKLUNG (GESAMTZAHL DER RENTNER): DARGESTELLT
SIND DIE 1%, 5%, 10%, 50%, 90%, 95% UND 99%-QUANTILE FÜR 60 JAHRE BEI
GLEICHBLEIBENDEM NEUZUGANG (SZENARIO 0) FÜR TRENDUNABHÄNGIGE
(VARIANTE 0: LINKS) UND TRENDABHÄNGIGE ÜBERLEBENSWAHRSCHEINLICHKEITEN
(VARIANTE 1: RECHTS) BEZOGEN AUF DEN ANFANGSBESTAND BESTAND XL. DIE
BERECHNUNGEN ERFOLGTE AUF GRUNDLAGE VON 10 000 SIMLATIONSLÄUFEN MIT
0.04
α
σ
=
. 44
ABBILDUNG 14: ERFORDERLICHE RESERVEQUOTE
(0)
Ziel
ρρ
=
IN ABHÄNGIGKEIT VON
DER ANPASSUNGSGESCHWINDIGKEIT
α
BEI EINEM SICHERHEITSNIVEAU VON 0.5%,
1% BZW. 5% IM BASISSZENARIO (SZENARIO 0/ VARIANTE 1). DEN BERECHNUNGEN
ERFOLGEN AUF GRUNDLAGE VON 50 000 SIMLATIONSLÄUFEN. 45
ABBILDUNG 15: STANDARDABWEICHUNG DER RENTENANPASSUNGEN IN ABHÄNGIGKEIT
VON DER ANPASSUNGSGESCHWINDIGKEIT
α
FÜR VERSCHIEDENE RESERVENIVEAUS
(0)
Ziel
ρρ
=
BEI TRENDABHÄNGIGEN ÜBERLEBENSWAHRSCHEINLICHKEITEN
(VARIANTE 1). BERECHNUNG ERFOLGTE AUF GRUNDLAGE VON 10 000
SIMLATIONSLÄUFEN. 46
ABBILDUNG 16: ERFORDERLICHE RESERVEQUOTE
(0)
Ziel
ρρ
=
IN ABHÄNGIGKEIT VON
DER ANPASSUNGSGESCHWINDIGKEIT
α
BEI EINEM SICHERHEITSNIVEAU VON 0.5%,
1% BZW. 5% FÜR
{0.02, 0.05, 0.08}
Ziel
σ
∈
. BERECHNUNG ERFOLGT AUF
GRUNDLAGE VON JEWEILS 50 000 SIMLATIONSLÄUFEN. SIEHE AUCH TABELLE 6. 51
ABBILDUNG 17: VERGLEICH DER MITTLEREN GENERATIONENRENDITEN FÜR DAS
TONTINEMODELL UND DEN PENSIONSFONDS IN ABHÄNGIGKEIT VON DER
RISIKOEXPOSITION. FÜR DEN RENTENFONDS WURDE
0.2
Ziel
ρ
=
UND
0.20 . 0.15bzw
αα
= =
UNTERSTELLT. 55
ABBILDUNG 18: VERGLEICH DER VOLATILITÄT DER RENTENANPASSUNGEN FÜR DAS
TONTINEMODELL UND DEM PENSIONSFONDS IN ABHÄNGIGKEIT VON DER
RISIKOEXPOSITION. FÜR DEN RENTENFONDS WURDE
0.2
Ziel
ρ
=
UND
0.20 . 0.15bzw
αα
= =
UNTERSTELLT. 56
ABBILDUNG 19: WAHRSCHEINLICHKEIT EINER RENTENKÜRZUNG, EINER RENTENKÜRZUNG
UM MEHR ALS 2% BZW. UM MEHR ALS 4% IN ABHÄNGIGKEIT VON DER
RISIKOEXPOSITION. FÜR DEN PENSIONSFONDS WURDE
0.2
Ziel
ρ
=
UND
0.20
α
=
BZW.
0.15
α
=
UNTERSTELLT. 57
ABBILDUNG 20: RENDITE-RISIKO PROFILE 1. DURCHSCHNITTLICHE
GENERATIONENRENDITE IN RELATION ZUR STANDARDABWEICHUNG DER
GENERATIONENRENDITE. 58
ABBILDUNG 21: RENDITE-RISIKO PROFILE 2. DURCHSCHNITTLICHE
GENERATIONENRENDITE IN RELATION ZUR VOLATILITÄT DER
RENTENANPASSUNGEN. 59
ABBILDUNG 22: STANDARDABWEICHUNG DER 1-JÄHRIGEN
BESTANDSÜBERLEBENSWAHRSCHEINLICHKEIT IN ABHÄNGIGKEIT VON DER
85