Sparprozesse mit kollektivem Risikoausgleich - Backtesting


Fo schung am IVW Köln, 7/2013
Ins i u ü Ve siche ungswesen
Spa p ozesse mi kollek i em
Risikoausgleich -
Back es ing
Oska Goecke



Zusammen assung
Beim kollek i en Spa en eil sich das gesam e Spa e mögen in zwei Teile:
Zum einen in die Summe de indi iduellen Spa gu haben und zum
ande en in ein kollek i es Spa e mögen (kollek i e Rese e), das nich
dem einzelnen Spa e zuzu echnen is , sonde n de Gesam hei alle
Spa e . Die kollek i e Rese e wi d da ü e wende , ku z is ige
We schwankungen des angeleg en Spa e mögens auszugleichen: Bei
eine übe du chschni lich gu en Pe o mance des Gesam e mögens
wi d ein Teil de Kapi ale äge de kollek i en Rese e zuge üh . Bei eine
schlech en Pe o mance we den Teile de Rese e da ü e wende , eine
kon inuie liche We en wicklung de indi iduellen Gu haben siche zu
s ellen. Du ch den Au - und Abbau de kollek i en Rese e we den also die
Schwankungen am Kapi alma k ausgeglichen. In [Goecke 2011] wu de ein
zei s e iges Modell ü den kollek i en Spa p ozess o ges ell und
analysie . In [Goecke 2012] wu de dann das Modell anhand on Mon e-
Ca lo Simula ionen ge es e . In einem wei e en Sch i soll in de hie
o liegenden A bei ein Back es ing du chge üh we den. Wi
un e suchen, wie das Modell des kollek i en Spa ens un e
Zug undelegung eale Kapi alma k da en sich in de Ve gangenhei
e hal en hä e. Hie bei e gleichen wi das Modell des kollek i en
Spa ens mi nich -kollek i en Anlages a egien.
Abs ac
Collec i e Sa ing means ha he o al asse s unde in es men a e spli
in o wo pa s: Fi s ly, he sum o all indi idual sa ings and secondly, a
collec i e ese e. The collec i e ese e is designed o smoo hen he
ola ile capi al ma ke e u ns: I he asse s pe o m abo e-a e age pa o
he capi al ma ke e u ns a e alloca ed o he collec i e ese e. On he
o he hand, capi al ma ke losses can be compensa ed by eleases om
he collec i e ese e. In [Goecke 2011] we ha e p esen ed a ime
con inuous model o collec i e sa ing. In [Goecke 2012] we es ed ou
model using Mon e-Ca lo Simula ions. In his pape we do a back es ing
using eal ma ke da a and compa e he pe o mance o he collec i e
sa ing model in compa ison wi h non-collec i e sa ing s a egies.
- I -
Inhal s e zeichnis
Inhal s e zeichnis .......................................................................... I
1Ein üh ung .............................................................................. 1
2Modell des kollek i en Spa p ozesses .................................... 1
2.1G undzüge des zei s e igen Modells................................................ 1
2.2ALM-S a egien ............................................................................... 3
2.2.1Die Rese equo e als zen ale S eue ungsg öße ........................................... 3
2.2.2Pa ame e de Basis-S a egie ....................................................................... 3
2.3Kapi alma k da en ü das Back es ing ........................................... 5
2.3.1Ren en- und Ak ienanlage ............................................................................ 5
2.3.2Konk e isie ung de ALM-Regeln ü das Back es ing ................................ 9
2.4Re e enzmodell .............................................................................. 10
2.4.1Da s ellung des Re e enzmodells ............................................................... 10
2.4.2Auswe ung des Re e enzmodells .............................................................. 12
2.5Modi ika ion de Pa ame e im Basismodell ................................ 17
2.5.1Ände ung de S eue ungsg ößen a und b ................................................... 17
2.5.2Ände ung de S a -Rese equo e .............................................................. 21
2.5.3Ände ung de Ziel-Ak ienquo e ( gl. Abbildung 14 und Tabelle 8) .......... 24
2.6Modi ika ion des Basismodells ..................................................... 27
3Fazi und Ausblick ................................................................ 30
Li e a u ...................................................................................... 32
Abbildungs e zeichnis ................................................................ 33
Tabellen e zeichnis .................................................................... 35
- 1 -
SPARPROZESSE MIT KOLLEKTIVEM
RISIKOAUSGLEICH
BACKTESTING
1 Ein üh ung
In [Goecke 2011] wu de ein zei s e iges Modell des kollek i en Spa ens o ges ell und
analysie . Mi Hil e um ang eiche Mon e Ca lo Simula ionen wu de in [Goecke 2012]
eine zei disk e e Ve sion des Modells des kollek i en Spa ens un e such und mi nich -
kollek i en Spa o men e gleichen. Anhand abgelei e e Rendi e-Risiko-P o ile konn e
ein kompa a i e Vo eil des kollek i en Spa ens gegenübe indi iduellem Spa en
nachgewiesen we den.
Im Folgenden soll un e such we den, wie das kollek i e Spa modell un e Zug undele-
gung eale Kapi alma k da en in de Ve gangenhei im Ve gleich mi ande en Spa o -
men abgeschni en hä e.
2 Modell des kollek i en Spa p ozesses
2.1 G undzüge des zei s e igen Modells
Ausgangspunk is das olgende ein ache Bilanzschema - gl. Abbildung 1. Das Ge-
sam e mögen des Spa e kollek i s P( ) bes eh aus einem kollek i en An eil R( ) und
einem indi iduellen An eil V( ). De indi iduelle An eil um ass die Summe alle Spa -
gu haben de einzelnen Spa e im Kollek i . De kollek i e An eil, auch als kollek i e
Rese e bezeichne , ep äsen ie Ve mögensansp üche des Gesam kollek i s, ohne dass
de einzelne Spa e au einen konk e zu bes immenden An eil Ansp uch hä e.
ABBILDUNG 1: Ve ein ach es Bilanzschema
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich
- 2 -
Wi e en die Annahme, dass die Summe de zu ließenden Spa bei äge exak de
Summe de ausgezahl en Spa gu haben en sp ich . Hie bei un e s ellen wi , dass sowohl
die zu ließenden Spa bei äge als auch die ab ließenden ( älligen) Spa gu haben in de
Bilanzposi ion V( ) gegengebuch we den, so dass die Saldie ung on zu ließenden und
ab ließenden Mi eln ese eneu al e olg . Dies bedeu e , dass die We en wicklung
des Gesam e mögens P( ) ausschließlich om Kapi alanlagee gebnis abhäng .
De kollek i e Spa p ozess wi d on einem ALM-Manage 1 ges eue . Wi un e s ellen,
dass de ALM-Manage selbs los ü das Spa e kollek i ä ig wi d und bes eb is , das
Ve mögen möglichs e ag eich anzulegen. Zu S eue ung des kollek i en Spa p ozes-
ses s ehen ihm zu jedem Zei punk zwei S eue ungspa ame e (,)


zu Ve ügung.
Mi 0

 bezeichnen wi die Risikoexposi ion und gehen da on aus, dass mi s eigen-
de Risikoexposi ion eine höhe e Rendi ee wa ung e bunden is - gl. Abbildung 2. In
einem Black-Scholes Kapi alma k modell wü de man

als die Vola ili ä de Kapi al-
anlagen in e p e ie en;

= 0 bedeu e dann, dass die Kapi alanlage siche is .
ABBILDUNG 2: Rendi e-Risiko-P o il des Kapi alma k s
De zwei e S eue ungspa ame e is die Dekla a ion

. De Dekla a ionssa z

leg es ,
wie die indi iduellen Gu haben o gesch ieben we den. Hie bei in e p e ie en wi

als
Zinsin ensi ä ; d. h. is als

die zum Zei punk gewähl e Dekla a ion, so gil
() ()V e V


  bzw. 1()
ln ()
V
V






.
Wi können das Paa (,)


als ALM-Posi ion bezeichnen, denn die Wahl on

leg
die Asse -Alloka ion es , wäh end

die Ve p lich ungssei e (Liabili ies) bes imm .
Man beach e hie das P inzip de Vo ausdekla a ion, denn mi de Fes legung de
1 Selbs e s ändlich meinen wi mi „Manage “ sowohl einen männlichen also auch einen weiblichen
Manage . Aus G ünden de besse en Lesba kei besch änken wi uns au die g amma ikalisch männliche
Fo m. Ebenso meinen wi mi Spa e n auch Spa e innen.

Lebens e siche ung als kollek i e Spa p ozess Oska Goecke
- 3 -
ALM-Posi ion zum Zei punk s eh die G öße ()V

 be ei s es , wäh end ()P 
ü 0

 s ochas isch is .
2.2 ALM-S a egien
2.2.1 Die Rese equo e als zen ale S eue ungsg öße
Un e eine ALM-S a egie wollen wi ein Regelwe k e s ehen, das es dem ALM-
Manage e laub , zum jedem Zei punk (un e Be ücksich igung de bis zum Zei punk
gemach en E ah ungen) die ALM-Posi ion (Asse -Alloka ion und Dekla a ion) ü
das nächs en Zei in e all d (bzw.

) es zulegen.
Die wich igs e S eue ungsg öße des ALM-P ozesses is die Rese equo e. Meh aus
echnischen G ünden de inie en zunächs die loga i hmische Rese equo e (log-
Rese equo e). Beobach en wi zum Zei punk die Bilanzg ößen P( ), V( ) und R( ) =
P( ) - V( ), so se zen wi :

() () ()
(): ln ln ln1 ()
() ()
P P R
RQ
V P

  

 
  
   ,
wobei ()
(): ()
R
RQ P
 die übliche Rese equo e da s ell . Es gil () 0 () 0 RQ

 
und ü kleine We e on ()
R
Q gil () () RQ


. Fü 1RQ  gil

. Im
G unde is es egal, ob man au die log-Rese equo e ode die „no male“ Rese equo e
abs ell . Fü das zei s e ige Modell s ell sich abe he aus, dass de Übe gang zu log-
Rese equo e die Da s ellung e heblich e ein ach . Insbesonde e kann man zeigen,
dass un e seh plausiblen Annahmen de s ochas ische P ozess


0
()

 eine besonde s
ein ache Da s ellung ha . Wi we den dahe im Folgenden s e s au die log-
Rese equo e abs ellen, sie wi d bei de Fo mulie ung de ALM-S a egien eine Schlüs-
selg öße sein.
2.2.2 Pa ame e de Basis-S a egie
De ALM-Manage e olg eine s a egische Risikoexposi ion ˆ0

 und eine s a egi-
sche Rese equo e
Z
iel
RQ - wie se zen :ln(1 )
Z
iel Ziel
RQ


 . In Abhängigkei on de
im Zei punk beobach e en Rese equo e ()

leg e die ak ische Risikoexposi ion
()

es und zwa nach olgende Regel

ˆ
() ()
Z
iel
a

  , (ALM-Regel 1)
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich
- 4 -
wobei hie a die Anpassungsgeschwindigkei bes imm , on de wi annehmen,
dass sie kons an is . Wählen wi 0a

, so bedeu e dies, dass die Risikoexposi ion un-
abhängig on de ak uelle Rese esi ua ion s e s un e ände bleib . Plausibel is es si-
che lich 0a anzunehmen, denn äll die ak uelle Rese e hin e die Ziel ese e, so
lieg es nahe, dass de ALM-Manage o sich ige anleg . Alle dings is auch es zuhal-
en, dass 0a zu eine p ozyklischen Asse -Alloka ion üh .
Die Dekla a ion is bes imm du ch das Ziel, die Ve siche ungsnehme ai am Kapi al-
e ag des Gesam po olios zu be eiligen. Wi un e s ellen dahe , dass - so e n die Is -
Rese equo e de Ziel ese equo e en sp ich - die Dekla a ion sich an de e wa e en
Rendi e des Po olios o ien ie . Bezeichnen wi also mi


()

die e wa e e
Po olio endi e (genaue : die D i ), so is


()

 zu wählen. Alle dings e olg
auch hie eine Anpassung an die Rese equo e:




() () ()
Z
iel
b
 

; (ALM-Regel 2)
hie bei is b ein kons an e Pa ame e . De Pa ame e b s eue den Risikoausgleich zwi-
schen den einzelnen Spa e gene a ionen. Is nämlich 0b und ()
Z
iel



, so wi d die
ak uelle Dekla a ion eduzie und die Rese eposi ion wi d (im E wa ungswe ) ge-
s ä k . Eine Reduk ion de Dekla a ion bedeu e jedoch, dass die Spa e gene a ion, de-
en Ve äge ku z o de Fälligkei s ehen, den Rese eau bau inanzie , de aus-
schließlich den nach olgenden Spa e gene a ionen zugu e komm .
Schließlich müssen wi auch es legen, welche S uk u die S a bilanz ha bzw. wie
hoch die an ängliche Rese equo e (0)RQ bzw. die an ängliche log-Rese equo e

0ln 1 (0)RQ

  bzw. is . Sind die Pa ame e ˆ
,,,
Ziel ab


und die S ochas ik des
Kapi alma k es gegeben, so is mi Vo gabe des S a ese e 0

das kollek i e Modell
eindeu ig bes imm .
Fü die Fo sch eibung de Asse s gil : 2


ˆ
() ()
Z
iel
a

  ,




ln () () ()
dP d dW
 

,
und ü die Liabili ies gil :




() () ()
Z
iel
b
 

,


ln () ()dV d

.
Hie aus olg ü die Fo sch eibung de log-Rese equo e:
2 Eine de aillie e Besch eibung des zei s e igen Modell inde sich in [Goecke 2011].
Lebens e siche ung als kollek i e Spa p ozess Oska Goecke
- 5 -


()
() ln () () ()
()
P
d d d dW
V




 .
2.3 Kapi alma k da en ü das Back es ing
2.3.1 Ren en- und Ak ienanlage
Fü das Back es ing legen wi zwei Anlage o men zug unde: Eine Anlage in ein Ren-
enpo olio mi deu schen S aa sanleihen, ep äsen ie du ch den Ren enindex REXP,3
und eine Anlage in ein Ak ienpo olio, ep äsen ie du ch den Ak ienindex DAX.4
Zei eihen mi den mona lichen Ends änden liegen ü den REXP ab Janua 1967 und
ü den DAX ab 1987 o . Die Deu sche Bundesbank e ö en lich auch DAX-We e
ü die Zei o 1987. Diese wu den alle dings au G undlage des (Ku s-)Indexes de
Bö senzei ung zu ückge echne . Insbesonde e we den bei diese Rück echnung Di i-
dendenzahlungen und ande e Vo eile aus dem Ak ienbesi z nich be ücksich ig . Da
wi mi Hil e de DAX-Zei eihe jedoch die Pe o mance eines gu gemisch en Ak ien-
po olios ep äsen ie en wollen, müssen die ückge echne en DAX-We e ko igie
we den. Wi s ü zen uns im Folgenden au die on S ehle, Hube und Meie 5 be echne-
en ko igie en DAX-We e.
Die Abbildung 3 zeig die We en wicklung eine In es i ion om Be ag 1 zum Mo-
na sul imo Janua 1967 in den jeweiligen Index bzw. bei mona lich e ol ie ende An-
lage als Mona sgeld. Man e kenn , dass die Ko ek u des DAX nach S ehle, Hube und
Meie ü die Zei o 1987 einen g a ie enden Ein luss ha . Die siche e Anlage (hie
e ol ie ende Anlage als 1-Mona sgeld) is nahezu du chgängig ungüns ige als die An-
lage in den Ren enindex. Somi bes ä ig diese Auswe ung die G undannahme, dass
sich Risiko lohn .
3 ISIN: DE0008469115. Es handel sich um einen Pe o mance-Index, de on de Deu schen Bö se AG
be echne wi d- gl. h p://dax-indices.com/DE/MediaLib a y/Documen /REX_L_3_10_d.pd . Da en ei-
he s eh in de Zei eihenda enbank de Deu schen Bundesbank als Zei eihe BBK01.WU3141 zu Ve ü-
gung.
4 ISIN: DE0008469008. Es handel sich um einen Pe o mance-Index, de on de Deu schen Bö se AG
be echne wi d- gl. h p://dax-indices.com/DE/MediaLib a y/Documen /Equi y_L_6_19_d.pd . Da en-
eihe s eh in de Zei eihenda enbank de Deu schen Bundesbank als Zei eihe BBK01.WU046A zu
Ve ügung.
5 [S ehle e.a. 1996]; hie insbesonde e Tabelle 3 S. 296.
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich
- 6 -
ABBILDUNG 3A-B: We en wicklung e schiedene Anlagen o men. Zug unde geleg
wu de ein In es men om Be age 1 zum Mona sende Janua 1967. Un e e Abbil-
dung e wende eine loga i hmische Skala.
Die Abbildung 4A-F zeigen, dass bei lang is igen Spa p ozessen ein gewisse Risiko-
ausgleich zu beobach en is . Wäh end bei 10-jäh ige Spa daue de DAX-Spa e noch
be ü ch en muss e, nach Ablau on 10 Jah en wenige ausgezahl zu bekommen als die
Summe de Spa bei äge, bes eh dieses Risiko bei 20- und 30-jäh igen Ve ägen nich .
Bei 20-jäh ige Spa daue is die Ablau endi e beim DAX-Spa plan bisweilen soga
nied ige als bei eine Geldma k anlage. Bei 30-jäh ige Spa daue is as du chgängig
das Ende gebnis eines DAX-Spa plans besse als eines REXP-Spa plans. und du ch-
gängig deu lich besse als eine Geldma k anlage.
Lebens e siche ung als kollek i e Spa p ozess Oska Goecke
- 13 -
REXP-Anlage. Bei 30-jäh igem Anlageho izon is S anda dabweichung beim kollek i-
en Spa en nied ige als bei eine REXP-Anlage.
REXP DAX_ko
kollek i es
Spa en
Anlagedaue : 1 Jah
Mi elwe 6,90% 10,31% 8,96%
Minimum -5,02% -55,09% 0,05%
Maximum 19,49% 85,33% 24,22%
S anda dabweichung 4,97% 23,62% 5,29%
Anlagedaue : 2 Jah e
Mi elwe 6,81% 8,69% 8,98%
Minimum -2,38% -36,41% 1,25%
Maximum 15,19% 54,11% 20,86%
S anda dabweichung 3,58% 16,72% 4,73%
Anlagedaue : 3 Jah e
Mi elwe 6,82% 8,09% 8,96%
Minimum -0,39% -31,68% 1,90%
Maximum 14,23% 45,01% 19,71%
S anda dabweichung 2,91% 13,29% 4,17%
Anlagedaue : 5 Jah e
Mi elwe 6,87% 7,87% 8,97%
Minimum 2,92% -13,83% 3,64%
Maximum 12,67% 31,64% 17,09%
S anda dabweichung 2,04% 9,64% 3,14%
Anlagedaue : 10 Jah e
Mi elwe 7,04% 8,25% 9,10%
Minimum 4,35% -3,07% 5,56%
Maximum 8,88% 17,86% 12,14%
S anda dabweichung 1,10% 5,07% 1,92%
Anlagedaue : 20 Jah e
Mi elwe 7,23% 9,29% 9,52%
Minimum 5,87% 5,49% 8,43%
Maximum 8,31% 16,01% 11,52%
S anda dabweichung 0,61% 2,48% 0,90%
Anlagedaue : 30 Jah e
Mi elwe 7,20% 9,34% 9,46%
Minimum 6,44% 6,45% 8,78%
Maximum 7,75% 11,09% 9,90%
S anda dabweichung 0,37% 0,80% 0,25%
Tabelle 1: Ablau endi en (als Jah eszins) bei eine Einmalanlage mi un e schiedli-
chen Anlagedaue n; Ve gleich Re e enzmodell mi REXP und DAX_ko .

Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich
- 14 -
Die in Tabelle 1 da ges ell en Kennzahlen beziehen sich jeweils au die Ablau endi e.
In Anlehnung an [Goecke 2012] wollen auch Risikokennzahlen analysie en, die den
Rendi e e lau wide spiegeln - gl. Abbildung 8 und Tabelle 2:
P ad-Vola ili ä : Annualisie e Vola ili ä des Zinsp ades au de G undlage de mo-
na lichen Zinsin ensi ä en.
Maximum D awdown: De g öß e We e lus , den ein Anlege de en sp echenden
Anlage o m hinnehmen muss e.
Maximum Reco e y Time: Längs e Zei spanne wäh end dessen ein Anlege keinen
We zuwachs e ah en ha .
ABBILDUNG 8: Maximum D awdown und Maximum Reco e y Time am Beispiel eine
DAX-Einmalanlage zum 1.2.1967 in Höhe on 1.
REXP DAX_ko
kollek i es
Spa en
Feb. 1967 - Feb. 2013
P ad-Vola ili ä 3,66% 19,99% 1,48%
Maximum D awdown -6,98% -68,29% -0,27%
Maximum Reco e y Time 18 Mona e 86 Mona e 10 Mona e
Tabelle 2: Risikokennzahlen de Rendi e e lau s; Ve gleich Re e enzmodell mi REXP
und DAX_ko .
Spa pläne
Es soll nun un e such we den, wie sich im Re e enzmodell Spa pläne mi gleichblei-
benden Spa a en e hal en - gl. Abbildung 9A-F. Da ges ell sind wie in Abbildung
Lebens e siche ung als kollek i e Spa p ozess Oska Goecke
- 15 -
4A-E die Ablau leis ungen bzw. die Rendi en bei Ablau ü 10-/ 20- und 30-jäh ige
Spa e äge mi eine mona lich o schüssigen Spa a e on 100€. Augen ällig is , wie
des beim kollek i en Spa p ozess zu einem Risikoausgleich zwischen den Spa e gene-
a ionen komm . Au einande olgende Spa e gene a ionen haben e zielen nahezu glei-
che Ablau leis ungen bzw. Rendi en. T o z de und 50%-igen Ak ienquo e haben die
Spa e im kollek i en Spa modell ak isch kein Timing-Risiko. Diese Glä ungse ek
is na ü lich am ausgep äg es en bei langen Spa daue n. Bis au wenige Ausnahmen bei
10-jäh igen Spa e ägen, schneiden die Kollek i spa e du chweg besse ab als
siche hei so ien ie e REXP-Spa e - gl. Tabelle 3
Die mi le e Rendi e bei 10-, 20- und 30-jäh igen Spa plänen is beim kollek i en Spa-
en meh als 2 P ozen punk e g öße als bei REXP-Spa pläne und soga knapp g öße
is als bei DAX-Spa plänen. De Rendi eabs and zwischen dem bes en und dem
schlech es en Rendi ee gebnis sink mi s eigende Spa daue . Bei eine 30-jäh igen
Spa daue be äg de Rendi eabs and beim kollek i en Spa en und beim REXP-
Spa plan und 2 P ozen punk e; bei einem DAX-Spa plan sind es übe 7 P ozen punk e.
Diese e hebliche Rendi edi e enz bei einem einen Ak ienspa plan is eine E klä ung
da ü , dass Ak ienspa pläne als isiko eich emp unden we den, obwohl die minimale
Rendi e (6,21%) imme noch übe de Rendi e eines REXP-Spa plan (6,08%) lieg .
- 16 -
ABBILDUNG 9A-E: Ablau leis ungen (obe e Reihe) und Rendi en (un e e Reihe) ü 10-/ 20-/ und 30-jäh igen Spa plänen - gl. Abbildung 4; Ve gleich
Re e enzmodell/ REXP/ DAX_ko .
- 17 -
REXP DAX_ko
kollek i es
Spa en
10-jäh ige Spa e ag
Mi elwe 7,01% 8,88% 9,07%
Minimum 3,88% -5,91% 5,55%
Maximum 9,32% 23,09% 14,15%
20-jäh ige Spa e ag
Mi elwe 7,08% 9,55% 9,71%
Minimum 5,28% 2,67% 7,59%
Maximum 8,37% 16,70% 12,00%
30-jäh ige Spa e ag
Mi elwe 7,04% 9,62% 9,73%
Minimum 6,08% 6,21% 8,54%
Maximum 8,04% 13,61% 10,73%
Tabelle 3: Ablau endi en bei 10-/ 20- und 30-jäh igen Spa e ägen mi gleichbleiben-
de Spa a e; Ve gleich Re e enzmodell mi REXP und DAX_ko .
2.5 Modi ika ion de Pa ame e im Basismodell
2.5.1 Ände ung de S eue ungsg ößen a und b
Im Re e enzmodell haben wi a = 0,6 und b = 0,3 gese z . Diese Pa ame e egeln, wie
schnell die Risikoexposi ion und die Dekla a ion an die geände e Rese equo e ange-
pass we den. Je kleine die Pa ame e sind, des o g öße is die Ge ah , dass die Rese -
en olls ändig au gezeh we den. In Tabelle 4 sind die Eckda en zusammen ge ass ,
die Da en des Re e enzmodells sind g au un e leg .
Va ia ion des Pa ame e s a ( gl. Tabelle 4 und Abbildung 10)
Eine E höhung des Anpassungspa ame e s a üh zu eine E höhung alle da ges ell en
G ößen (mi Ausnahme de minimalen Ak ienquo e). Eine Anpassungs a e on a = 0
bedeu e zwa eine besse e S abili ä de Dekla a ion (dies äuße sich in eine nied ige-
en Vola ili ä ), üh abe dazu, dass das an ängliche Rese epols e nich aus eich , um
eine Un e inanzie ung („Ruin“), () ()P V

, zu e hinde n. Eine Asse -Alloka ion de
„ uhigen Hand“ is also nu möglich, wenn eno me Rese en zu Ve ügung s ehen.
Ande e sei s is ein We on a übe 0,5 ohne nennenswe en Ein luss au die minimale
Rese equo e. Alle dings e laub eine e höh e Anpassungsgeschwindigkei de Risiko-
exposi ion auch eine im Du chschni höhe e Ak ienquo e und dami eine (du chschni -
lich) höhe e Rendi e.
- 18 -
S eue ungspa ame e Rese equo e RQ Ak ienquo e

Dekla a ion

Rendi e bei Anlage-
ho izon = 20 Jah e
in P ozen in P ozen in P ozen in P ozen in P ozen
ˆ

a b
Z
iel
RQ 0
RQ Min Max  Min Max  Min Vola Min Max 
50% 0 0,3 20 20 -8,29 44,65 21,37 50,00 50,00 50,00 -0,40 1,08 6,74 10,11 8,53
50% 0,1 0,3 20 20 -4,56 47,34 21,48 36,61 70,91 51,37 -0,34 1,15 6,85 10,26 8,60
50% 0,2 0,3 20 20 -1,70 50,29 21,58 26,00 97,58 52,91 -0,28 1,21 6,94 10,33 8,63
50% 0,3 0,3 20 20 0,41 53,10 22,08 17,15 100 54,79 -0,22 1,32 7,35 10,71 8,88
50% 0,4 0,3 20 20 1,90 55,13 22,69 9,21 100 56,13 -0,19 1,42 7,92 11,13 9,15
50% 0,5 0,3 20 20 2,66 55,71 23,21 0,96 100 56,87 -0,15 1,46 8,20 11,33 9,34
50% 0,6 0,3 20 20 2,55 56,07 23,63 0 100 57,28 -0,13 1,48 8,43 11,52 9,52
50% 0,7 0,3 20 20 2,64 56,29 23,88 0 100 57,45 -0,11 1,50 8,59 11,61 9,61
50% 0,8 0,3 20 20 2,84 56,42 24,13 0 100 57,63 -0,09 1,51 8,69 11,74 9,72
50% 0,9 0,3 20 20 3,13 56,67 24,37 0 100 57,81 -0,14 1,53 8,80 11,90 9,85
50% 1,0 0,3 20 20 3,27 57,28 24,63 0 100 58,04 -0,14 1,54 8,90 12,09 9,98
Tabelle 4: Pa ame e und Eckda en des Re e enzmodells mi Va ia ion des Pa ame e s a

- 19 -
ABBILDUNG 10: Va ia ion des Pa ame e s a
Va ia ion des Pa ame e s b ( gl. Tabelle 5 und Abbildung 11)
De Anpassungspa ame e s b beein luss unmi elba die Dekla a ion, je g öße b des o
g öße sind auch die Schwankungen de Dekla a ion ( gl. Abbildung 11, un e es
Schaubild). Wie zu e wa en e höh eine zu ge inge Anpassung de Dekla a ion die Ge-
ah , dass die Rese equo e un e Null äll . Ande s als de Pa ame e a bewi k ein An-
s ieg on b eine Reduk ion de maximalen Rese equo e; dies is plausibel, denn bei ei-
ne hohen Rese equo e üh ein höhe e Anpassungssa z de Dekla a ion zu einem
schnelle en Abbau de Rese e.
- 20 -
S eue ungspa ame e Rese equo e RQ Ak ienquo e

Dekla a ion

Rendi e bei Anlage-
ho izon = 20 Jah e
in P ozen in P ozen in P ozen in P ozen in P ozen
ˆ

a b
Z
iel
RQ 0
RQ Min Max  Min Max  Min Vola Min Max 
50% 0,6 0 20 20 -5,89 65,98 21,70 0 100 48,56 0,15 0,67 5,02 7,75 6,92
50% 0,6 0,1 20 20 -1,96 63,26 24,24 0 100 56,55 0,07 0,85 6,58 9,17 8,19
50% 0,6 0,2 20 20 0,75 59,06 24,02 0 100 57,08 -0,03 1,17 7,63 10,57 8,98
50% 0,6 0,3 20 20 2,55 56,07 23,63 0 100 57,28 -0,13 1,48 8,43 11,52 9,52
50% 0,6 0,4 20 20 3,99 54,15 23,20 0 100 57,20 -0,22 1,76 8,63 12,11 9,84
50% 0,6 0,5 20 20 5,22 52,41 22,87 0 100 57,23 -0,31 1,99 8,74 12,63 10,13
50% 0,6 0,6 20 20 6,29 51,15 22,55 2,55 100 57,09 -0,40 2,17 8,86 12,93 10,33
50% 0,6 0,7 20 20 7,24 49,87 22,24 5,61 100 56,73 -0,49 2,31 8,93 13,04 10,40
50% 0,6 0,8 20 20 7,78 48,67 22,01 7,35 100 56,36 -0,59 2,44 8,97 13,16 10,47
50% 0,6 0,9 20 20 8,24 47,57 21,82 8,86 100 56,00 -0,69 2,57 8,99 13,27 10,53
50% 0,6 1,0 20 20 8,66 46,53 21,65 10,24 100 55,63 -0,79 2,68 9,00 13,33 10,55
Tabelle 5: Pa ame e und Eckda en des Re e enzmodells mi Va ia ion des Pa ame e s b
- 21 -
ABBILDUNG 11: Va ia ion des Pa ame e s b
2.5.2 Ände ung de S a -Rese equo e
Ausgehend om Re e enzmodell mi (0) 20%
Ziel
RQ RQ

 a iie en wi (0)RQ un e
Beibehal ung de Ziel-Rese equo e 20%
Ziel
RQ

- gl. Tabelle 6.
Z
iel
RQ (0)RQ (0)
Z
iel


20%0%‐22,3144%
20%5%‐17,1850%
20%10%‐11,7783%
20%15%‐6,0625%
20%20%0,0000%
20%25%6,4539%
20%30%13,3531%
20%35%20,7639%
20%40%28,7682%
20%45%37,4693%
20%50%47,0004%
Tabelle 6: (0)
Z
iel


 in Abhängigkei on de S a -Rese equo e RQ(0)
Die ak ische Risikoexposi ion und die Dekla a ion hängen in de Basiss a egie ( gl.
ALM-Regel 1 und ALM-Regel 2 in Abschni 2.2.2) nich on de absolu en G öße de
Oska Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich
- 22 -
log-Rese equo e ()

sonde n nu on de Di e enz 1
() ln 1()
Z
iel
Ziel
RQ
R
Q







ab.
Das gil somi auch ü die Fo sch eibung de Asse s und de Liabili ies. Dies bedeu e ,
dass bei sons gleichen S eue ungsg ößen ( ˆ
,,ab

) die ()

- und ()

-P ade nu om
S a we 1
(0) ln 1(0)
Z
iel
Ziel
RQ
RQ







abhängen.
ABBILDUNG 12: Anpassung de Rese equo e an die Ziel-Rese equo e bei eine
S a -Rese equo e on 0%, 20% bzw. 50%.
Abbildung 12 zeig , wie ausgehend on eine S a -Rese equo e on 0, 20% und 50%
das Basismodell au das Re e enzmodell einschwing . Da ges ell is nu de Zei aum
de e s en 10 Jah e; in den spä e en Jah en is de Un e schied zwischen den einzelnen
S a posi ionen e nachlässigba .
Inso e n is es auch nich e wunde lich, dass die Höhe de S a ese e nu einen ge-
ingen Ein luss au die We e ha ( gl. Tabelle 7 und Abbildung 13). De G und hie ü
is da in zu sehen, dass insbesonde e in de An angsphase (1961 bis 1970 - gl. Abbil-
dung 3B) das Ak ienin es men übe p opo ionale E gebnisse lie e e, und so p oblem-
los die Rese eposi ion an die Ziel ese e angepass we den konn e. Alle dings is zu
beach en, dass die e s en Spa e gene a ionen den Rese eau bau (bei RQ(0) = 0%)
du ch Rendi e e zich inanzie en müssen bzw. om Rese eabbau (bei RQ(0) = 50%)
p o i ie en. Be ach e man die Rendi e eines Spa plans mi gleichbleibenden Spa a en
und eine Lau zei on 360 Mona en, so be äg die Ablau endi e 8,47% (bei RQ(0) =
0%), 8,75% (bei RQ(0) = 20%) und 9,14% (bei RQ(0) = 50%).
- 29 -
S eue ungspa ame e Rese equo e RQ Ak ienquo e

Dekla a ion

Rendi e bei Anlage-
ho izon = 20 Jah e
in P ozen in P ozen in P ozen in P ozen in P ozen
imin ˆ

a b
Z
iel
RQ 0
RQ Min Max  Min Max  Min Vola Min Max 
./. 50% 0,6 0,3 20 202,55 56,07 23,63 0 100 57,28 -0,13 1,48 8,43 11,52 9,52
./. 50% 0,6 0,3 20 20 3,73 58,24 23,78 0 100 56,86 -0,14 1,65 8,35 11,88 9,60
1% 50% 0,6 0,3 20 20 3,73 58,24 23,68 0 100 56,51 0,00 1,64 8,35 11,88 9,60
2% 50% 0,6 0,3 20 20 3,73 58,24 23,48 0 100 55,86 0,08 1,61 8,34 11,87 9,60
3% 50% 0,6 0,3 20 20 3,73 58,24 23,21 0 100 54,93 0,17 1,57 8,33 11,85 9,60
4% 50% 0,6 0,3 20 20 3,73 58,24 22,80 0 100 53,67 0,25 1,53 8,31 11,83 9,59
Tabelle 9: Pa ame e und Eckda en des Re e enzmodells (1. Da enzeile, mona liche Dekla a ion ohne Mindes zins) im Ve gleich zu Modi-
ika ion des Basismodells (Zeilen 2 bis 6: mi jeweils jäh liche Dekla a ion und un e schiedlichem Mindes zins imin)

- 30 -
3 Fazi und Ausblick
Wi konn en ü das heo e ische Modell (Basismodell) un e leg du ch um ang eiche
Mon e-Ca lo-Simula ionen ( gl. [Goecke 2011 und 2012]) den kompa a i en Vo eil
des kollek i en Spa ens nachweisen. Das heo e ische Modell basie au einem seh
ein achen Black-Scholes-Kapi alma k -Modell. Eine wesen liche Komponen e in die-
sem Modell is die Annahme, dass Ak ienanlagen eine geome ischen B ownschen
Bewegung olgen. Das bedeu e un e ande em, dass on einem Zei punk aus ge ach-
e die zukün ige Ku sen wicklung nu om Zus and in diesem Zei punk abhäng .
Wenn also on aus be ach e ückblickend ein Ak ien-Boom beobach e wu de, so is
in de Black-Scholes-Wel die Wah scheinlichkei , dass de Boom wei e geh genauso
hoch wie die Wah scheinlichkei eine Ko ek u . Ebenso wü de man nach eine Baisse-
Phase keinen G und sehen, wa um eine Ko ek u nach oben wah scheinliche is als ei-
ne Fo se zung de Baisse. Es gib abe seh deu liche Hinweise, dass Kapi almä k e zu
Übe eibungen neigen.11 Schau man sie die Zei eihe des DAX an, so wi d man auch
den Eind uck haben, dass die Boomphase on 1996-2000 und die Baisse on 2000-2003
übe iebene Ma k eak ionen abbilden.
Wenn also das heo e ische Modell die ökonomische Reali ä mögliche weise nich adä-
qua abbilde , so lieg es nahe, die a sächlich in de Ve gangenhei beobach en Ma k -
da en ü die Analyse des kollek i en Spa ens he anzuziehen. Die obigen Be echnungen
zeigen, dass auch ü die ealen Ma k da en das kollek i e Spa en nu zens i end is . Es
is soga so, dass das Back es ing das kollek i e Spa modell noch o eilha e e schei-
nen läss als die Mon e-Ca lo-Analysen au G undlage des heo e ischen Kapi alma k -
modells. Ganz übe aschend is das nich , denn alls de Kapi alma k eine Mean-
Re e sion Eigenscha ha ,12 so is na ü lich ein kollek i e Risikoausgleich zwischen
den Spa e gene a ion noch e izien e .
Man muss sich abe auch e gegenwä igen, dass das Back es ing nu einen einzigen
En wicklungsp ad ü Kapi almä k e nachzeichne . Es is selbs e s ändlich denkba ,
dass das kollek i e Spa modell ein zu ällig in de Ve gangenhei so gu abgeschni en
hä e. Will man diese K i ik aus äumen, so beda es wei e e Analysen. Wünschenswe
wä e siche auch ein Back es ing ü ande e Kapi almä k e, z.B. den US-ame ikanischen
ode japanischen. Selbs wenn man eine Vielzahl on ealen Kapi almä k en un e such ,
wenn man die heo e ischen Kapi alma k -Modelle e eine und de aillie e e Mon e-
Ca lo-Simula ionen du ch üh und imme wiede die Vo eilha igkei des kollek i en
Spa ens he ausa bei en könn e, so bliebe doch die Ungewisshei , ob alles das, was wi
in de Ve gangenhei beobach en haben und in die Modelle haben ein ließen lassen,
11 Vgl. [Shille 2001]
12 Vgl. [Alb ech / Kan a 2003] und [Alb ech e.a. 2004]
Lebens e siche ung als kollek i e Spa p ozess Oska Goecke
- 31 -
auch in Zukun Gül igkei ha . Die Zukun is nämlich nich e p lich e , sich an die
Spiel egeln de Ve gangenhei zu hal en!
- 32 -
Li e a u
[Alb ech / Kan a 2003] Alb ech , Pe e ; Kan a , Cemil: Random Walk ode Mean
Re e sion? Eine s a is ische Analyse au undamen ale Basis ü den deu schen Ak-
ienma k , Mannheime Manusk ip e zu Risiko heo ie, Po olio Managemen und Ve -
siche ungswi scha , N . 149, Mannheim 09/2003.
[Alb ech e.a. 2004] Alb ech , Pe e ; Kan a , Cemil; Xiao, Yanying: Mean Re e sion
E ek e am dem deu schen Ak ienma k : S a is ische Analysen de En wicklung des
DAX-KGV, Mannheime Manusk ip e zu Risiko heo ie, Po olio Managemen und
Ve siche ungswi scha , N . 157, Mannheim 04/2004.
[Goecke 2011] Goecke. Oska : Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich; Ins i u
ü Ve siche ungswesen. Fo schungss elle FaRis. Wo king Pape 01/2011; als Down-
load e ügba un e : h p://opus.bsz-bw.de/ hk/ oll ex e/2012/3/
[Goecke 2012] Goecke. Oska : Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich; Ins i u
ü Ve siche ungswesen. Fo schungss elle FaRis. Wo king Pape 05/2012; als Down-
load e ügba un e : h p://opus.bsz-bw.de/ hk/ oll ex e/2012/12/
[Shille 2005] Shille , Robe J.: I a ional Exube ance, 2nd edi ion, P ince on Uni e si-
y P ess 2005.
[S ehle e.a. 1996] S ehle, Richa d; Hube , Raine ; Meie , Jü gen: Rückbe echnung des
DAX ü die Jah e 1955 bis 1987, K edi und Kapi al 29 (1996), S. 277-304.
Lebens e siche ung als kollek i e Spa p ozess Oska Goecke
- 33 -
Abbildungs e zeichnis
ABBILDUNG 1: VEREINFACHTES BILANZSCHEMA 1
ABBILDUNG 2: RENDITE-RISIKO-PROFIL DES KAPITALMARKTS 2
ABBILDUNG 3A-B: WERTENTWICKLUNG VERSCHIEDENER ANLAGENFORMEN. ZUGRUNDE
GELEGT WURDE EIN INVESTMENT VOM BETRAGE 1 ZUM MONATSENDE JANUAR 1967.
UNTERE ABBILDUNG VERWENDET EINE LOGARITHMISCHE SKALA. 6
ABBILDUNG 4A-F: ABLAUFLEISTUNG (OBERE REIHE) UND RENDITE (UNTERE REIHE) 10-/
20- UND 30-JÄHRIGER SPARPLÄNE MIT MONATLICH VORSCHÜSSIGER SPARRATE VON
100€. AUF DER ABSZISSE IST JEWEILS DAS FÄLLIGKEITSDATUM DES
SPARVERTRAGES ABGETRAGEN. AUSGEHEND VOM FRÜHESTEN BEGINN (1.2.1967)
WIRD DER ERSTE SPARPLAN ENDE JANUAR 1977 BZW. 1987 BZW. 1997 FÄLLIG. 7
ABBILDUNG 5: WERTENTWICKLUNG EINES DAX- UND REXP-SPARVERTRAGES (03.1973
- 03.2003) MIT 360 MONATSRATEN VON JE 100€. 8
ABBILDUNG 6: VERLAUF DER RESERVEQUOTE, AKTIENQUOTE UND DEKLARATION IM
REFERENZMODELL. 11
ABBILDUNG 7: KUMULIERTE VERZINSUNG DER JEWEILS LETZTEN 12 MONATE;
VERGLEICH DER GUTHABENVERZINSUNG REFERENZMODELL/ REXP/ DAX_KORR.12
ABBILDUNG 8: MAXIMUM DRAWDOWN UND MAXIMUM RECOVERY TIME AM BEISPIEL
EINER DAX-EINMALANLAGE ZUM 1.2.1967 IN HÖHE VON 1. 14
ABBILDUNG 9A-E: ABLAUFLEISTUNGEN (OBERE REIHE) UND RENDITEN (UNTERE REIHE)
FÜR 10-/ 20-/ UND 30-JÄHRIGEN SPARPLÄNEN -VGL. ABBILDUNG 4; VERGLEICH
REFERENZMODELL/ REXP/ DAX_KORR. 16
ABBILDUNG 10: VARIATION DES PARAMETERS A 19
ABBILDUNG 11: VARIATION DES PARAMETERS B 21
ABBILDUNG 12: ANPASSUNG DER RESERVEQUOTE AN DIE ZIEL-RESERVEQUOTE BEI EINER
START-RESERVEQUOTE VON 0%, 20% BZW. 50%. 22
ABBILDUNG 13: VARIATION DER START-RESERVEQUOTE RQ(0) BEI GLEICHBLEIBENDER
ZIEL-RESERVEQUOTE 20%

Ziel
RQ . 24
ABBILDUNG 14: VARIATION ZIEL-AKTIENQUOTE 26
ABBILDUNG 15: BESTIMMUNG VON (0)
Ziel
RQ RQ, SO DASS DIE MINIMALE
RESERVEQUOTE NICHT UNTER NULL FÄLLT. 27
- 34 -
ABBILDUNG 16: VERLAUF DER DEKLARATION, VERGLEICH REFERENZMODELL MIT
MONATLICHER DEKLARATION MIT VARIANTEN DES BASISMODELL MIT JÄHRLICHER
DEKLARATION UND EINEM JÄHRLICHEN MINDESTZINS VON 0% (KAPITALERHALT)
UND 4%. EBENFALLS ÜBERRASCHEND IST, DASS SELBST EIN HOHER GARANTIEZINS
VON BIS ZU 4% DIE RESERVESITUATION NICHT NACHHALTIG SCHWÄCHT. 28
ABBILDUNG 17: VERLAUF DER RESERVEQUOTE, VERGLEICH REFERENZMODELL MIT
MONATLICHER DEKLARATION MIT VARIANTEN DES BASISMODELL MIT JÄHRLICHER
DEKLARATION UND EINEM JÄHRLICHEN MINDESTZINS VON 0% (KAPITALERHALT)
UND 4%. 28

Lebens e siche ung als kollek i e Spa p ozess Oska Goecke
- 35 -
Tabellen e zeichnis
TABELLE 1: ABLAUFRENDITEN (ALS JAHRESZINS) BEI EINER EINMALANLAGE MIT
UNTERSCHIEDLICHEN ANLAGEDAUERN; VERGLEICH REFERENZMODELL MIT REXP
UND DAX_KORR. 13
TABELLE 2: RISIKOKENNZAHLEN DER RENDITEVERLAUFS; VERGLEICH REFERENZMODELL
MIT REXP UND DAX_KORR. 14
TABELLE 3: ABLAUFRENDITEN BEI 10-/ 20- UND 30-JÄHRIGEN SPARVERTRÄGEN MIT
GLEICHBLEIBENDER SPARRATE; VERGLEICH REFERENZMODELL MIT REXP UND
DAX_KORR. 17
TABELLE 4: PARAMETER UND ECKDATEN DES REFERENZMODELLS MIT VARIATION DES
PARAMETERS A 18
TABELLE 5: PARAMETER UND ECKDATEN DES REFERENZMODELLS MIT VARIATION DES
PARAMETERS B 20
TABELLE 6: (0)
Z
iel

 IN ABHÄNGIGKEIT VON DER START-RESERVEQUOTE RQ(0) 21
TABELLE 7: PARAMETER UND ECKDATEN DES REFERENZMODELLS MIT VARIATION DER
ANFÄNGLICHEN RESERVEQUOTE (0)RQ BEI GLEICHBLEIBENDER ZIEL-
RESERVEQUOTE 20%
Ziel
RQ . 23
TABELLE 8: PARAMETER UND ECKDATEN DES REFERENZMODELLS MIT VARIATION DER
ZIEL-AKTIENQUOTE; DIE MAXIMALE AKTIENQUOTE WURDE AUF 200% DER
ZIELAKTIENQUOTE UND 100% BEGRENZT. 25
TABELLE 9: PARAMETER UND ECKDATEN DES REFERENZMODELLS (1. DATENZEILE,
MONATLICHE DEKLARATION OHNE MINDESTZINS) IM VERGLEICH ZUR
MODIFIKATION DES BASISMODELLS (ZEILEN 2 BIS 6: MIT JEWEILS JÄHRLICHER
DEKLARATION UND UNTERSCHIEDLICHEM MINDESTZINS IMIN) 29
Imp essum
Diese Ve ö en lichung e schein im Rahmen de Online-Publika ions eihe
„Fo schung am IVW Köln“
.
A
lle Ve ö en lichungen diese Reihe können un e www.i w-koeln.de ode un e h p://opus.bsz-bw.de/ hk/index.php?la=de
abge u en we den.
Eine wei e e Publika ions eihe is die
Sch i en eihe des Ins i u s ü Ve siche ungswesen de Fachhochschule Köln
.
He ausgebe : Ve ein de Fö de e des Ins i u s ü Ve siche ungswesen an de Fachhochschule Köln e. V. Die Sch i en eihe kann
übe den Ve lag Ve siche ungswi scha bezogen we den (h p://www. w.de/).
Eine Übe sich alle He e de Sch i en eihe kann auch un e olgende Ad esse abge u en we den:
h p://www. 04. h-koeln.de/ akul ae /ins i u e/i w/in o ma ionen/publika ionen/00366/index.h ml
Köln, Ap il 2013
He ausgebe de Sch i en eihe / Se ies Edi o ship:
P o . D . Reime s-Rawcli e
P o . D . Pe e Schimikowski
P o . D . Jü gen S obel
Ins i u ü Ve siche ungswesen /
Ins i u e o Insu ance S udies
Fakul ä ü Wi scha s- und Rech swissenscha en /
Facul y o Business, Economics and Law
Fachhochschule Köln / Cologne Uni e si y o Applied Sciences
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P o . D . Jü gen S obel
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Fakul ä ü Wi scha s- und Rech swissenscha en /
Facul y o Business, Economics and Law
Fachhochschule Köln / Cologne Uni e si y o Applied Sciences
Gus a Heinemann-U e 54
50968 Köln
Kon ak Au o / Con ac au ho :
P o . D . Oska Goecke
Ins i u ü Ve siche ungswesen /
Ins i u e o Insu ance S udies
Fakul ä ü Wi scha s- und Rech swissenscha en /
Facul y o Business, Economics and Law
Fachhochschule Köln / Cologne Uni e si y o Applied Sciences
Gus a Heinemann-U e 54
50968 Köln
Tel. +49 221 8275-3278
Fax +49 221 8275-3277
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ISSN (online) 2192-8479