Fo schung am IVW Köln, 6/2013
Ins i u ü Ve siche ungswesen
Kons uk ion eine un e jäh lichen
Ma ko -Ke e aus eine jäh lichen
Ma ko -Ke e
Ral Knobloch
Zusammen assung
In den Wi scha swissenscha en liegen die ü Bewe ungen benö ig en
Da en no male weise als Jah eswe e o , z.B. Zinssä ze ode
S e blichkei en in de Finanz
-
und Ve siche ungsma hema ik. Da au
au bauend lassen sich Ma ko
-
Ke en mi einem jäh lichen Zei as e
kons uie en. Zu bewe ende Zahlungen hingegen e olgen meis
un e
jäh lich. De o liegende A ikel beschä ig sich mi de F age, wie
aus eine Ma ko
-Ke e mi jäh lichem Zei as e , eine Ma ko -Ke e mi
un e jäh lichem Zei as e kons uie we den kann. Dabei s ehen Ma ko
-
Ke en, de en Übe gangsma izen als obe
e D eiecks
ma izen gegeben
sind, im Mi elpunk des In e esses. Es we den zwei Ansä ze und de en
Anwendung da ges ell . De e s e Ansa z basie au de T
- en Wu zel de
Übe gangsma izen, de zwei e Ansa z au eine Linea isie ung de
Übe gangsma izen.
Abs ac
In economics he used da a o e alua ion a e no mally gi en o a ull
yea , e.g. in e es a es o p obabili ies o dea h in inance and insu ance.
Based on his da a, Ma ko chains wi h annual ime pe iods can be
designed. Howe e , he
paymen s a e alloca ed du ing he yea . The
p esen pape engages wi h he ques ion, how a Ma ko chain wi h
pe iods less han a yea can be designed om a gi en Ma ko chain wi h
annual ime pe iods. In he cen e o a en ion a e Ma ko chains whose
ma
ices o ansi ion p obabili ies a e gi en by uppe iangle ma ices. In
his pape , wo app oaches and hei applica ions will be p esen ed. The
i s app oach is based on he T h oo o he ansi ion p obabili y
ma ices, he second one on a linea i
za ion o he ansi ion p obabili y
ma ices.
- 1 -
Inhal s e zeichnis
1.EINLEITUNG .............................................................................................................................................. 2
2.DAS JÄHRLICHE MODELL ........................................................................................................................ 3
3.STOCHASTISCHE MATRIZEN ................................................................................................................... 3
4.STOCHASTISCHE OBERE DREIECKSMATRIZEN ..................................................................................... 6
5.KONSTRUKTION EINES UNTERJÄHRLICHEN MODELLS ...................................................................... 14
6.ANWENDUNGSBEISPIEL: PERSONENVERSICHERUNGSMATHEMATIK ............................................. 18
7.ANWENDUNGSBEISPIEL: FORDERUNGSAUSFALL .............................................................................. 21
8.AUSBLICK ............................................................................................................................................... 22
9.ANHANG: KONSTRUKTION EINER MARKOV-KETTE AUS EINER ABZÄHLBAREN MENGE VON
STOCHASTISCHEN MATRIZEN ........................................................................................................................ 24
LITERATURVERZEICHNIS ................................................................................................................................ 27
- 2 -
1. Einlei ung
In den Wi scha swissenscha en basie en Be echnungen i.d.R. au jäh lichen
Be ach ungen: Bilanzen on Un e nehmen we den jäh lich e s ell , olkswi scha liche
Kennzahlen au Jah esbasis e mi el . Auch in de Finanzma hema ik dominie die
jäh liche Sich weise. So is die jäh liche Ve zinsung mi Zinseszins das wich igs e
Zinsmodell. Alle ande en Modelle bauen da au au ode we den da an mi hil e des
E ek i zinses gemessen. Im Be eich de Ve siche ungsma hema ik is es ähnlich. So
we den in de Pe sonen e siche ungsma hema ik zu Ta i kalkula ion und zu
Rese ebe echnung neben einem Zinsmodell biome ische Rechnungsg undlagen, z.B.
In alidisie ungs- und S e bewah scheinlichkei en, benö ig . Diese biome ischen
Rechnungsg undlagen basie en eben alls au jäh lichen Beobach ungen.
Im Un e schied dazu liegen in de P axis bei inanz- und e siche ungsma hema ischen
Be echnungen o un e jäh liche Sach e hal e zug unde. So we den z.B. K edi e
un e jäh lich bedien und Lebens e siche ungen un e jäh lich angespa bzw. bei
Ren enzahlung un e jäh lich ausgezahl . Dahe benö ig man sowohl bei den
Zinsmodellen als auch bei den biome ischen Rechnungsg undlagen un e jäh liche
Ansä ze. Bei de Zins echnung üh dies zu dem ela i en und zu dem kon o men Zinssa z
( gl. [1] S.20 ). In de Pe sonen e siche ungsma hema ik wi d de un e jäh lichen
Zahlweise du ch e siche ungs echnische App oxima ionen, z.B. du ch die Ve wendung
des Res glieds ( gl. [10], [11]) ode du ch die Anwendung des In a ianzsa zes ( gl. [12]),
Rechnung ge agen.
In [6] und [7] wi d gezeig wie bei isikobeha e en Zahlungss öme, z.B. in de Pe sonen-
e siche ungsma hema ik, gedäch nislose Modelle bzw. Ma ko -Ke en zu Bewe ung
eingese z we den können. Abe auch hie e gib sich das P oblem, dass die
Ausgangsmodelle au jäh lichen Beobach ungen be uhen, d.h. es handel sich um Ma ko -
Ke en mi einem jäh lichen Zei as e , die zu bewe enden Zahlungss öme hingegen
meis eine un e jäh liche Zahlweise haben. In [8] wi d un e such , wie sich dies bei
bes imm en Annahmen übe die un e jäh lichen Zinsen und die un e jäh lichen
Übe gangswah scheinlichkei en au die Bewe ungs o meln auswi k .
In diesem Zusammenhang ( gl. [8] S. 8) s ell sich die g undsä zliche F age, wie aus eine
gegebenen jäh lichen Ma ko -Ke e eine un e jäh liche Ma ko -Ke e kons uie we den
kann. Das in diese A bei da ges ell e Kons uk ionsp inzip wi d als eine Anwendung des
Sa zes on Kolmogo o au gebau ( gl. [3] S.257 ). Dabei s ehen Ma ko -Ke en, de en
Übe gangsma izen obe e D eiecksma izen sind, im Mi elpunk des In e esses. Du ch die
Modellie ung mi obe en D eiecksma izen e gib sich eine s enge Hie a chie de
Zus ände, d.h. wenn die Möglichkei des Übe gangs on Zus and i nach Zus and j mi
- 3 -
posi i e Wah scheinlichkei gegeben is , so ha die umgekeh e Rich ung (Übe gang on
Zus and j nach Zus and i) die Wah scheinlichkei 0. Solche Modelle we den
insbesonde e in de Pe sonen e siche ungsma hema ik angewende .
2. Das jäh liche Modell
Zunächs wi d das jäh liche Modell wie olg de inie .
Es sei
0
INk
k
X
eine inhomogene Ma ko -Ke e mi Zus ands aum
N,...,2,1,0S
. Die Übe gangswah -
scheinlichkei en seien gegeben du ch die s ochas ischen (N+1)x(N+1)-Ma izen bzw. die
Übe gangsma izen
,...3,2,1k, kq)k(Q j,i
,
d.h.
)k(qiXjXP j,i1kk ü alle
N,...,2,1,0j,i
.
Fe ne sei
k
P die Ve eilung de Zu alls a iablen
k
X, ,...2,1,0k
. Mi de Chapman-
Kolmogo o -Gleichung ü Ma ko -Ke en ( gl. [9] S.14, [13] S.185 ) e gib sich ü
,...2,1,0k
k
1j
0k )j(QPP .
( gl. [6] S.3). D.h. die Ve eilung
k
P e gib sich du ch Mul iplika ion de An angs e eilung
0
P mi dem P oduk de Übe gangsma izen.
3. S ochas ische Ma izen
Be o wi uns mi de Kons uk ion de un e jäh lichen Ma ko -Ke e beschä igen können,
müssen einige E gebnisse übe s ochas ische Ma izen be ei ges ell we den. Eine
quad a ische nn-Ma ix
ij
aA heiß s ochas ische Ma ix, wenn
1. alle Ein äge de Ma ix g öße ode gleich 0 sind, d.h. 0aij ü alle
n,,2,1j,i ,
und
- 4 -
2. die Zeilensummen 1sind, d.h. 1a
n
1j ij
ü alle
n,,2,1i
.
( gl. [2] S.1 )
Es sei n
M die Menge alle nn-Ma izen mi Zeilensummen gleich 1. Es sei n
D die
Menge alle obe en D eiecksma izen aus n
M, d.h. die Menge alle obe en D eiecks-
ma izen mi Zeilensumme gleich 1. Fe ne sei n
S die Menge alle s ochas ischen nn
-
Ma izen.
Sa z 1: Es seien n
MB,A . Es gil :
a) n
MBA
b) n
1MA0)Ade (
c) n
1MBA0)Ade (
Beweis:
a) Es sei BA:C .
Dann gil ü alle
n,,1i
:
11abababac n
1k ik
n
1k
n
1j kjik
n
1k
n
1j kjik
n
1j
n
1k kjik
n
1j ij
( gl. [2] S.2)
b) Da die De e minan e de Ma ix A ungleich 0 is , exis ie de en In e se 1
A. Es sei
1
A:C
und Edie Einhei sma ix. Mi diese No a ion ha man EAC . Dann gil
ü alle
n,,1i :
n
1k ik
n
1k ik
n
1k
n
1j kjik
n
1k
n
1j kjik
n
1j
n
1k kjik
n
1j ij c1cacacace1
c) 0)Ade ( , N
1
)a
N
1
)b
NMBAMB,AMB,A
□
- 5 -
Da sowohl das P oduk zweie obe e D eiecksma izen als auch die In e se eine obe en
D eiecksma ix mi De e minan e ungleich 0wiede eine obe e D eieckma ix is und n
D
eine Teilmenge on n
M is , gel en ü n
Ddie gleichen Aussagen wie ü n
M .
Sa z 2: Es seien n
DB,A . Es gil :
a) n
DBA
b) n
1DA0)Ade (
c) n
1DBA0)Ade (
Wie das olgende Beispiel zeig , gel en ü n
S nich alle diese Aussagen.
Beispiel 1:
Es sei 2
SA gegeben du ch
10
2
1
2
1
A. Dann gil
10
12
A1 , d.h. 2
1SA
.
Es sei e ne 2
SB gegeben du ch
10
4
1
4
3
B. Als P oduk de in e sen Ma ix on
A mi B e gib sich:
2
1S
10
2
1
2
3
10
4
1
4
3
10
12
BA
.
Es gil somi lediglich die olgende Aussage.
Sa z 3: nn SBASB,A
Beweis:
Wegen nn MS und de Aussage aus Sa z 1a) eich es zu zeigen, dass alle Ein äge des
Ma izenp oduk s g öße ode gleich 0sind.
Es sei BA:C . Fü alle
n,,2,1j,i gil : 0bac n
1k kjikij
( gl. [2] S.2).
□
- 6 -
4. S ochas ische obe e D eiecksma izen
In de P axis we den häu ig jäh liche Ma ko -Ke en e wende , bei denen die Übe gangs-
ma izen als obe e D eiecksma izen gesch ieben we den können. D.h. es handel sich um
Elemen e de Schni menge nn SD . Du ch die Ve wendung on obe en D eiecks-
ma izen bei de Modellie ung e gib sich - wie in de Einlei ung e wähn - eine s enge
Hie a chie de Zus ände. Im Folgenden we den dahe mi Blick au das im nächs en
Abschni e wende e Kons uk ionsp inzip Beispiele behandel , in denen sich ein
gegebenes Elemen e aus nn SD als P oduk on meh e en Elemen en aus nn SD
sch eiben läss .
Wi be ach en die olgende Ausgangssi ua ion: Gegeben sei eine s ochas ische obe e
D eiecksma ix Q, d.h. nn SDQ . Es sei INT
.
Ein i iales P oduk mi T Fak o en e häl man mi els de Einhei sma ix E du ch
QEEEQ
mal 1T
.
Selbs e s ändlich is auch jedes ande e P oduk , in dem 1T
-mal de Fak o E und
einmal de Fak o Q o komm , als i iale Ze legung geeigne .
Zu Kons uk ion on nich i ialen Ze legungen e suchen wi als naheliegende
Möglichkei zunächs die T- e Wu zel aus Q zu ziehen, d.h. eine Ma ix nnT SDQ
mi de Eigenscha
mal T
TTT QQQQ
zu inden. Das olgende Beispiel zeig , dass dies ü 2n
imme möglich is .
Beispiel 2:
22 SDQ sei gegeben du ch
10
aa1
Q.
Die Ma ix 22T SDQ
sei gegeben du ch
- 7 -
10
a11a1
QTT
T.
Zum Beweis de Gleichung
QQ T
T benö igen wi das olgende Lemma.
Lemma 1:
Fü INk gil :
10
1
10
1kk
k
.
Beweis:
De Beweis wi d mi Induk ion nach k ge üh .
1k : Hie is die Aussage i iale weise e üll .
1kk :
10
1
10
11
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
1k1kkk1k
kk
k1k
□
Se ze Ta1 und Tk . Dami e gib sich
Q
10
a11a1
10
a11a1
Q
T
T
T
T
T
TT
T
T
.
Fü 3n is die Kons uk ion de T- en Wu zel nich ganz so ein ach, wie das olgende
Beispiel zeig .
Beispiel 3:
Es sei 2T . Die Ma ix 33 SDQ sei gegeben du ch
100
cc10
baba1
Q
mi 0c)-(1b)-a-(1 . Es sei e ne
- 14 -
12800
32960
33596
128
1
)T,1s(UT,sU 1
Als Fazi läss sich es hal en, das bei 3x3-Ma izen ü 1T,,1,0s
das P oduk
)T,1s(UT,sU 1
genau dann eine s ochas ische Ma ix is , wenn
csT
acs
b
.
5. Kons uk ion eines un e jäh lichen Modells
Das zen ale E gebnis zu Kons uk ion de un e jäh lichen Ma ko -Ke e is de Sa z on
Kolmogo o ([3] S.257 ). Diese Sa z besag , dass zu jedem o gegebenen Sys em on
e äglichen endlich-dimensionalen Rand e eilungen ein s ochas ische P ozess exis ie
und das zugehö ige Wah scheinlichkei smaß eindeu ig is . Im Anhang wi d da ges ell , wie
mi diesem E gebnis aus eine o gegebenen abzählba en Menge on s ochas ischen
Ma izen eine Ma ko -Ke e kons uie we den kann. Dahe eich es zu Kons uk ion des
un e jäh lichen Modells, ausgehend om jäh lichen Modell eine dem un e jäh lichen
Zei as e en sp echende abzählba e Menge on s ochas ischen Ma izen zu de inie en.
Man e häl das olgende E gebnis.
Sa z 4:
Es sei INT. Fü alle INk gebe es T s ochas ische Ma izen
)k,T(R,),k,2(R),k,1(R
mi
T
1s
)k,s(R)k(Q .
Dann exis ie eine un e jäh liche Ma ko -Ke e
,Y,Y,Y,,Y,Y,Y,,Y,Y,Y
T
1
2
2
T
)1T(
1
T
1
1
1
T
)1T(
T
2
T
10
mi de An angs e eilung 0
P und den Übe gangsma izen
,3,2,1,0k,T,,1s, 1k,s )1k,s(R j,i
,
- 15 -
d.h. )1k,s( iXjYP j,i
T
1
T
s
k
T
s
k
ü alle
N,...,2,1,0j,i
.
Beweis:
De inie e eine abzählba e Menge on (N+1)x(N+1)-Ma izen du ch
,3,2,1,0k,T,,1s , )1k,s(R:
T
s
k
und eine An angs e eilung au dem Zus ands aum S du ch 00 P:
. Da alle Ma izen
T
s
k
s ochas ische Ma izen sind, olg die Behaup ung aus de Anwendung des Sa zes
on Kolmogo o ( gl. Anhang).
□
Die olgenden Beispiele e deu lichen die Anwendung on Sa z 4 ü den Fall, dass die
Übe gangsma izen de jäh lichen Ma ko -Ke e obe e D eiecksma izen sind.
Beispiel 6:
Es sei INT. Die Übe gangsma izen seien s ochas ische obe e D eiecksma izen, d.h.
1N1N SD)k(Q ü alle ,2,1k . Es gebe s ochas ische obe e D eiecksma izen
1N1NT SD)k(Q
mi
T
T)k(Q)k(Q .
Nach Sa z 4 gib es dann eine un e jäh liche Ma ko -Ke e mi den en sp echenden
Übe gangsma izen.
Gil 21N , so is es imme möglich, die Übe gangsma izen in diese Fo m mul iplika i
zu ze legen ( gl. Beispiel 2). Fü 31N
is dies im Fall 2T
bei bes imm en
Koe izien enkons ella ionen möglich ( gl. Beispiel 3).
Beispiel 7:
Es sei INT. Die Übe gangsma izen seien wiede um s ochas ische obe e
D eiecksma izen, d.h. 1N1N SD)k(Q
ü alle ,2,1k
. Wi de inie en die
Ma izen
E
T
sT
)1k(Q
T
s
:k,T,sU
,
0
INk, 0
INs mi Ts0 .
- 16 -
Gemäß den E gebnissen des le z en Abschni s sind diese Ma izen ü Ts0
in e ie ba . Die Übe gangsma izen haben ü alle INk
die P oduk da s ellung
1T
0s
1)1k,T,1s(U1k,T,sU)k(Q ,
d.h. mi de No a ion aus Sa z 4 gil
)1k,T,s(U1k,T,1sU:)k,s(R 1 .
Aus dem le z en Abschni is bekann , dass diese Ma izen obe e D eiecksma izen mi
Zeilensumme 1 sind. Gil 21N , so sind es auch s ochas ische Ma izen ( gl. Beispiel 4)
und Sa z 4 is anwendba . Fü 31N
is dies dann de Fall, wenn
)k(qsT
)k(q)k(qs
)k(q 3,2
2,13,2
3,1
ü alle INk , 0
INs mi Ts0 .
Beme kungen:
a) Gegeben sei de Fall 21N mi de An angs e eilung )0 1(P0 , d.h. de
An angszus and sei de Zus and 0. Fe ne seien die Übe gangsma izen obe e
D eiecksma izen, d.h. 22 SD)k(Q
ü alle INk
. Wi de inie en mi
uj SSZ
den zu älligen Zei punk des Übe gangs on Zus and 0 zu Zus and 1. Dabei s eh j
S
ü die ollen Jah e und u
S ü den Jah esb uch eil. Die Ve eilung de
Zu alls a iablen u
S gegeben }kS{ j
sei gegeben du ch die Ve eilungs unk ion
)kS(P
)kS , S(P
)kS| S(P) (F j
ju
juk
.
Mi diese No a ion gil :
T
s
S ,kSPkSP
T
1s
S
T
s
,kSP
T
s
kZP
T
1s
kZ
T
s
kP
T
s
kZ|
T
1s
kZP0Y|1YP
ujj
uj
T
s
k
T
1
T
s
k
- 17 -
T
s
F)1k(q1
T
s
F
T
1s
F)1k(q
T
s
F1)1k(q)1k(q
T
s
F
T
1s
F)1k(q
T
s
F1)j(q)1k(q)j(q
T
s
F
T
1s
F)j(q)1k(q
T
s
F1kSPkSP
T
s
F
T
1s
FkSP
k1,0
kk1,0
k1,00,0
kk1,0
k
k
1j 0,01,0
1k
1j 0,0
kk
k
1j 0,01,0
kjj
kkj
Wähl man als Ve eilung ü die Zu alls a iable u
S gegeben }kS{ j die Gleich e -
eilung au dem In e all ]1,0[ , d.h.
) (1 ) (1) (F ),1(]1,0[k
,
so ko espondie dies mi de Linea isie ung de Übe gangsma izen.
De Ansa z mi den T- en Wu zeln de Übe gangsma izen en sp ich dem Fall, dass
gegeben }kS{ j die Zu alls a iable u
S die Ve eilungs unk ion
) (1
)1k(q
)1k(q1
) (1) (F ),1(
1,0
0,0
]1,0[
besi z .
b) Wenn die un e jäh liche Ma ko -Ke e gemäß Beispiel 7 du ch Linea isie ung de
Übe gangsma izen aus de jäh lichen Ma ko -Ke e kons uie we den kann, so
e gib sich als Übe gangsma ix om Zei punk 0
INk
zum Zei punk T
s
kdie
olgende Ma ix:
E
T
sT
)1k(Q
T
s
k,T,sUEk,T,sUk,T,0U
k,T, Uk,T,1 U)1k, (R
1
s
1
1
s
1
Dami sind die Vo ausse zungen on Sa z 2 aus [8] e üll , d.h. bei kons an en
Leis ungs ek o en kann die Bewe ung eines un e jäh lichen Zahlungss oms au die
Bewe ung eines jäh lichen Zahlungss oms zu ückge üh we den. Ve wende man als
un e jäh liches Zinsmodell die ela i gemisch e Ve zinsung, so gel en die in [8], S.13 ,
besp ochenen E gebnisse bezüglich Res glied und In a ianzsa z.
- 18 -
6. Anwendungsbeispiel: Pe sonen e siche ungsma hema ik
In de Pe sonen e siche ungsma hema ik wi d i.d.R. zunächs on einem jäh lichen Modell
ausgegangen, z.B. in Fo m on S e be a eln au jäh liche Basis. Zu bewe en sind
alle dings o un e jäh liche Zahlungss öme. Mi dem im le z en Abschni da ges ell en
P inzip kann un e den Vo ausse zungen on Sa z 4 aus eine jäh lichen Ma ko -Ke e eine
un e jäh liche Ma ko -Ke e kons uie we den. Anschließend kann die Bewe ung
mi hil e de un e jäh lichen Ma ko -Ke e e olgen ( gl. [8]). Im Folgenden wi d diese Vo -
gehensweise bei d ei Beispielen aus de Pe sonen e siche ungsma hema ik angewende .
Beispiel 8:
Gegeben sei eine Pe son A om Al e 0
INx
. Diese Pe son e hal e lebenslängliche
Zahlungen aus eine Lebens e siche ung ode eine be ieblichen Al e s e so gung. Eine
Hin e bliebenen e so gung is nich zugesag . Die S e bewah scheinlichkei im Al e
0
INkx sei gegeben du ch kx
q
. Die Gesam hei de S e bewah scheinlichkei en
wi d als S e be a el bezeichne und
sei dabei das le z e mögliche Al e d.h.
insbesonde e gil 1q
. Fü diese Pe son A kann mi hil e de Übe gangsma izen
,1x,1,2,k ,
10
qq1
:)k(Q 1kx1kx
(1xk , E:)k(Q
) eine jäh liche Ma ko -Ke e de inie we den. Dabei ha de
Zus ands aum S die beiden olgenden Elemen e:
Zus and 0: Die Pe son A leb .
Zus and 1: Die Pe son A is o .
Es sei INT. Da es sich bei den jäh lichen Übe gangsma izen um 2x2-Ma izen bzw.
obe e D eiecksma izen handel , kann die un e jäh liche Ma ko -Ke e zum einen mi hil e
de T- en Wu zeln, d.h.
,1x,1,2,k,
10
q11q1
)k(Q T1kx
T1kx
T
kons uie we den ( gl. Beispiel 2). Zum ande en gib es die Möglichkei die un e jäh liche
Ma ko -Ke e mi hil e des Linea isie ungsansa zes zu kons uie en, d.h.
10
qsT
q
qsT
q)1s(T
)k,T,1s(Uk,T,sU kx
kx
kx
kx
1 ,
x,1,2,,0k , 0
INs
mi Ts0
( gl. Beispiel 4).
- 19 -
Beispiel 9:
Gegeben sei wiede um eine Pe son A om Al e 0
INx
. Diese Pe son e hal e wie im
le z en Beispiel lebenslängliche Zahlungen aus eine Lebens e siche ung ode eine
be ieblichen Al e s e so gung. Diesmal is zusä zlich eine Hin e bliebenen e so gung in
Fo m eine lebenslänglichen Ren e an eine Pe son B zugesag . Die S e bewah schein-
lichkei de Pe son A im Al e 0
INkx
sei gegeben du ch kx,A
q. Die Wah schein-
lichkei , dass de Tod de Pe son A im Al e 0
INkx
eine Hin e bliebenenleis ung an
Pe son B auslös , sei
k
x
h. Keine Hin e bliebenen e so gung wi d ausgelös , wenn die
Pe son B o de Pe son A s i b ode die Ansp uchsbe ech igung ü die
Hin e bliebenenleis ung e lisch , z.B. au g und eine Scheidung bei Ehepaa en. Diese
beiden und wei e e denkba e Möglichkei en sind in de Wah scheinlichkei
k
x
h1
en hal en. De Al e sun e schied zwischen de Pe son A und de Pe son B sei gegeben
du ch die ganze Zahl . Die S e bewah scheinlichkei on Pe son B im Al e 0
INy sei
y,B
q. Fü die Pe son A sei A
das le z e mögliche Al e , d.h. insbesonde e gil 1q A
,A
.
Fü die Pe son B sei B
das le z e mögliche Al e , d.h. insbesonde e gil 1q B
,B
. Wi
se zen ),max(: BA
, d.h. insbesonde e gil 1qq ,B,A
.
De Zus ands aum S bes eh dann aus den olgenden d ei Elemen en:
Zus and 0: Die Pe son A leb .
Zus and 1: Die Pe son A is o , abe die Pe son B leb und ha Ansp uch au Hin e -
bliebenenleis ung.
Zus and 2: Die Pe son A is o und Pe son B is o ode ha keinen Ansp uch au Hin e -
bliebenenleis ung.
Fü diese Si ua ion kann mi hil e de Übe gangsma izen
1,x-,1,2,k ,
100
qq10
qh1qhq1
:)k(Q 1kx,B1kx,B
1kx,A1kx1kx,A1kx1kx,A
(1xk , E:)k(Q
) eine jäh liche Ma ko -Ke e de inie we den.
Es sei INT. Da es sich bei den jäh lichen Übe gangsma izen um 3x3-Ma izen bzw.
obe e D eiecksma izen handel , kann mi hil e de Linea isie ung eine un e jäh liche
Ma ko -Ke e kons uie we den, alls
)k(qsT
)k(q)k(qs
)k(q 3,2
2,13,2
3,1
( gl. Beispiel 5) bzw.
- 20 -
1kx,B
1kx,A1kx1kx,B
1kx,A1kx qsT
qhqs
qh1
ü alle 1x,,2,1k
, 0
INs mi Ts0
e üll is .
Beispiel 10:
Gegeben sei wiede um eine Pe son A om Al e 0
INx
. Diese Pe son e häl im Falle de
In alidi ä eine lebenslängliche Ren e. Die S e bewah scheinlichkei de Pe son A im Al e
0
INkx ohne o he ige In alidi ä sei gegeben du ch kx,1
q. Die S e bewah schein-
lichkei de Pe son A im Al e 0
INkx
nach o he ige In alidi ä sei gegeben du ch
kx,2
q. Die Wah scheinlichkei , dass die Pe son A im Al e 0
INkx
in alide wi d, sei
gegeben du ch kx
i. Es sei wiede um
das le z e mögliche Al e , d.h. insbesonde e gil
1qq ,2,1 . De Zus ands aum S bes eh dann aus den olgenden d ei Elemen en:
Zus and 0: Die Pe son A leb und is nich in alide.
Zus and 1: Die Pe son A leb und is in alide.
Zus and 2: Die Pe son A is o .
Fü diese Si ua ion kann mi hil e de Übe gangsma izen
1,x-,1,2,k ,
100
qq10
qiqi1
:)k(Q 1kx,21kx,2
1kx,11kx1kx,11kx
(1xk , E:)k(Q
) eine jäh liche Ma ko -Ke e de inie we den. Es sei INT. Da
es sich bei den jäh lichen Übe gangsma izen um 3x3-Ma izen bzw. obe e
D eiecksma izen handel , kann mi hil e de Linea isie ung eine un e jäh liche Ma ko -
Ke e kons uie we den, alls
)k(qsT
)k(q)k(qs
)k(q 3,2
2,13,2
3,1
( gl. Beispiel 5) bzw.
1kx,2
1kx1kx,2
1kx,1 qsT
iqs
q
ü alle 1x,,2,1k
, 0
INs mi Ts0
e üll is .
- 21 -
Beme kung:
In de Pensions e siche ungsma hema ik wi d in den üblichen Modellen de Sach e hal
be ücksich ig , dass Hin e bliebene im Jah des Auslösens de Hin e bliebenenleis ung
und In alide im Jah de In alidi ä bis zum Jah esende e s e ben können und somi in
dem au den Leis ungs all olgenden Jah keine Zahlungen zu leis en sind ( gl. [5] S.32 ).
Diese zusä zliche Va ia ion kann auch in den Übe gangsma izen de Beispiele 9 und 10
be ücksich ig we den. Die Bedingung ü die Linea isie ung de Übe gangsma izen du ch
s ochas ische Ma izen muss dann en sp echend angepass we den.
7. Anwendungsbeispiel: Fo de ungsaus all
Ein Un e nehmen A habe eine Fo de ung gegenübe einem Un e nehmen B. Diese soll in
den nächs en n Pe ioden du ch die Zahlungen 0Z,...,Z,Z n21 beglichen we den. Dabei
s eh
k
Z ü die Zahlung im k- en Jah . Das Un e nehmen A geh da on aus, dass es
Wah scheinlichkei en 1q...qq0 n21
gib , mi denen die Zahlungen zu einem
bes imm en Zei punk aus allen, d.h.
(Pq
k
keine Zahlung im Jah ,...,n2,1k) , k
.
Dabei wi d o ausgese z , dass die Zahlungen nach einem Aus all nich wiede au ge-
nommen we den. Diese Sach e hal kann mi eine jäh lichen Ma ko -Ke e modellie
we den kann ( gl. [6] S.6 ). De Zus ands aum wi d dabei mi
1,0S
gewähl , wobei de
Zus and 1 da ü s eh , dass keine Zahlung e olg (Aus all). Zus and 0 bedeu e , dass die
Zahlung e olg (kein Aus all). Die Übe gangsma izen sind du ch
,n,1,2,k ,
10
q1
qq
q1
qq
1
)k(Q 1k
1kk
1k
1kk
(0:q0,nk , E:)k(Q ) gegeben. Die An angs e eilung is gegeben du ch )0 1(P0.
Es sei INT. Da es sich bei den jäh lichen Übe gangsma izen um 2x2-Ma izen bzw.
obe e D eiecksma izen handel , kann die un e jäh liche Ma ko -Ke e zum einen mi hil e
de T- en Wu zeln, d.h.
,n,1,2,k ,
10
q1
qq
11
q1
qq
1
)k(Q
T1k
1kk
T1k
1kk
T
- 22 -
kons uie we den ( gl. Beispiel 2). Zum ande en gib es die Möglichkei die un e jäh liche
Ma ko -Ke e mi hil e des Linea isie ungsansa zes zu kons uie en, d.h.
,
10
q1
qq
sT
q1
qq
q1
qq
sT
q1
qq
)1s(T
)k,T,1s(Uk,T,sU
k
k1k
k
k1k
k
k1k
k
k1k
1
1n,,2,1,0k
, 0
INs
mi Ts0
( gl. Beispiel 4). Du ch Anwendung de
E gebnisse aus [8] kann auch in diesem Fall eine Bewe ung bei un e jäh liche Zahlweise
mi hil e on Ma ko -Ke en du chge üh we den.
8. Ausblick
Bei de Bewe ung on Zahlungss ömen we den in den Wi scha swissenscha lichen
Annahmen i.d.R. au g und jäh liche Beobach ungen ge o en. O abe haben die zu
bewe enden Sach e hal en einen un e jäh lichen Cha ak e . Dieses P oblem üh bei de
Anwendung on Ma ko -Ke en zu de F age, wie aus eine jäh lichen Ma ko -Ke e eine
un e jäh liche Ma ko -Ke e kons uie we den kann.
In de o liegenden A bei wi d hie zu als Anwendung des Sa zes on Kolmogo o eine
un e jäh liche Ma ko -Ke e kons uie . Im Wesen lichen we den da au au bauend zwei
Fälle behandel , zum einen de Ansa z de un e jäh lichen Übe gangsma izen als T- e
Wu zeln de jäh lichen Übe gangsma izen und zum ande en de Ansa z de
Linea isie ung de jäh lichen Übe gangsma izen. Es zeig sich, dass bei zweielemen igen
Zus ands äumen beide Ansä ze unk ionie en. Ha de Zus ands aum abe meh als zwei
Elemen e, so is dies nich imme gewäh leis e . Wenn die Linea isie ung abe zu
s ochas ischen Ma izen bzw. zu un e jäh lichen Übe gangsma izen üh , so können
insbesonde e die in [8] he gelei e en Bewe ungs o meln ü isikobeha e e
Zahlungss öme bei un e jäh liche Zahlweise angewende we den. Es s ell sich nun die
F age, welche de beiden in diese A bei da ges ell en Ansä ze sinn olle is . Fü den
Linea isie ungsansa z sp ich neben de Anwendba kei de E gebnisse aus [8] die EDV-
echnische Umse zungsba kei .
- 23 -
Im zen alen E gebnis diese A bei ( gl. Sa z 4) benö ig man zu Kons uk ion de
un e jäh lichen Ma ko -Ke e eine P oduk ze legung de jäh lichen Übe gangsma izen.
Jede P oduk ze legung lie e somi einen ande en Ansa z ü die un e jäh liche Ma ko -
Ke e. Da die beiden in diese A bei o ges ell en Ansä ze schon bei einem d ei-
elemen igen Zus ands aum nich imme sinn oll umse zba sind, soll en wei e e
P oduk ze legungen und dami wei e e Ansä ze in Be ach gezogen we den.
Insbesonde e sind solche Ansä ze on In e esse, die bei allen endlichen Zus ands äumen
zu sinn ollen un e jäh lichen Ma ko -Ke en üh en.
