IZLANUVCHI Vol. 2 No. 1
ILMIY-METODIK JURNALI WWW.PHOENIXPUBLICTAION.NET
122
BIR O`LCHOVLI KO`NDALANG TO`LQIN TENGLAMASI BILAN
TAVSIFLANUVCHI TO`G`RI MASALANI SONLI YECHISH
Shahzod Shanbiye
Qa shi da la uni e si e i, o`qi u chi
E-mail: shahzodshanbiye @gmail.com
Anno a siya. Ushbu maqolada bi o‘lcho li ko‘ndalang o‘lqin englamasi uchun
o‘g‘ i masalaning sonli yechimi ko‘ ib chiqilgan. Tadqiqo da ma kaziy di e ens,
eksplisi a C ank–Nicolson usulla i yo damida o‘lqin ja ayonla i modellash i ildi.
Shuningdek, ba qa o lik sha la i, xa olik ahlili a na ijala kon e gensiyasi
o‘ ganildi. Maqola sonli modellash i ish o qali o‘lqinla ning izik xususiya la ini
aniq as i lash imkonini be adi.
Kali so‘zla . o‘lqin englamasi, sonli yechim, ba qa o lik, C ank–Nicolson,
kon e gensiya.
Anno a ion. This a icle examines he nume ical solu ion o he one-dimensional
ans e se wa e equa ion. The s udy applies cen al di e ence, explici , and C ank–
Nicolson me hods o model wa e p opaga ion. S abili y condi ions, e o analysis,
and con e gence a e analyzed, demons a ing he e ec i eness o nume ical modeling
in cap u ing wa e dynamics.
Keywo ds. Wa e equa ion, nume ical solu ion, s abili y, C ank–Nicolson,
con e gence.
Аннотация. В статье рассмотрено численное решение одномерного
поперечного волнового уравнения. Использованы центральная разность, явная и
схема Кранка–Николсона для моделирования распространения волн. Проведён
анализ устойчивости, ошибок и сходимости решений.
Ключевые слова: волновое уравнение, численное решение, устойчивость,
Кранк–Николсон, сходимость.
Ki ish. To‘lqin ja ayonla i abiiy a exnik izimla da keng uch aydi: o ushning
ha oda a qalishi, su yuzasidagi eb anishla , seysmik eb anishla , elek omagni
o‘lqinla , ha o biologik impulsla ning ne olala i o qali o‘ ishi ham o‘lqin
englamasi bilan i odalanadi. Shu boisdan, o‘lqin englamasining naza iy a amaliy
ahlili ko‘plab an sohala ining asosiy adqiqo yo‘nalishla idan bi idi . Ha bi
usulning o‘ziga xos a zallikla i a cheklo la i ma jud: eksplisi usul oddiy a ez,
bi oq ba qa o lik sha i bilan chega alangan; implisi usul esa hisoblash jiha dan og‘i ,
ammo ba qa o . C ank–Nicolson sxemasi esa bu ikki yondashu ning a zallikla ini
bi lash i ib, yuqo i aniqlik a ba qa o likni a’minlaydi. Shuningdek, o‘lqin
englamala ining sonli yechimla i o qali izik hodisala ni — o‘lqinla ning akslanishi,
so‘nishi, ene giya saqlanishi a azo iy o‘ ish ja ayonla ini izual modellash i ish
IZLANUVCHI Vol. 2 No. 1
ILMIY-METODIK JURNALI WWW.PHOENIXPUBLICTAION.NET
123
mumkin. Bu usulla akus ik izimla ni sino dan o‘ kazish, muhandislik
inshoo la ining eb anishla ini baholash, hamda elek omagni o‘lqinla ni a qalishini
modellash i ishda muhim osi a hisoblanadi. Demak, ushbu maqolaning maqsadi —
bi o‘lcho li ko‘ndalang o‘lqin englamasiga asoslangan o‘g‘ i masalani sonli usulla
yo damida yechish, na ijala ni ahlil qilish a ula ning izik in e p e a siyasini
yo i ishdan ibo a di . Shu o qali sonli hisoblash a modellash i ishning naza iy
asosla i hamda amaliy qo‘llanish imkoniya la i chuqu oq yo i iladi. Ma ema ik izika
englamala ining sonli yechimla ini opish zamona iy hisoblash exnikasining
i ojlanishi bilan keng qo‘llanilmoqda. Xususan, o‘lqin englamala i — bu o ush,
yo ug‘lik, elas iklik a boshqa izik ja ayonla ni modellash i ishda muhim o‘ in
u adigan di e ensial englamala di . Ula u li o‘lchamdagi muhi la da ene giya a
eb anishla ning a qalishini i odalaydi. Shu nuq ayi naza dan, bi o‘lcho li
ko‘ndalang o‘lqin englamasining sonli yechimi na aqa naza iy, balki amaliy
jiha dan ham ka a ahamiya kasb e adi. Ko‘ndalang o‘lqin englamasi oda da
ikkinchi a ibli qisman hosilali di e ensial englama ko‘ inishida be iladi. Bunday
englamala ni anali ik a zda yechish ha doim ham imkoni bo‘lmaganligi sababli,
ula ni sonli usulla yo damida yechish za u a i ug‘iladi. Shu maqsadda u li
yondashu la , xususan, chekli a qla usuli, chekli elemen la usuli a a ia sion
yondashu la keng qo‘llanilmoqda. Ula ning ha bi i aniqlik, ba qa o lik a hisoblash
sama ado ligi jiha idan a q qiladi. Mazku adqiqo da bi o‘lcho li ko‘ndalang o‘lqin
englamasining o‘g‘ i masalasi sonli usulla asosida yechilib, ula ning na ijala i ahlil
qilinadi. Shuningdek, yechimla ning ba qa o lik sha la i a hisoblash aniqligi
baholanadi. Tadqiqo na ijala i izik ja ayonla ni kompyu e modella i o qali yanada
aniq oq ahlil qilish imkonini be adi hamda muhandislik, akus ika, mexanika a izika
sohala ida qo‘llanilishi mumkin bo‘lgan amaliy yechimla ni ishlab chiqishga xizma
qiladi.
Adabiyo la ahlili. To‘lqin englamala ining ma ema ik ahlili a ula ni sonli
usulla yo damida yechish masalala i ko‘plab olimla ning ilmiy adqiqo la ida keng
o‘ ganilgan. Das labki naza iy asosla klassik mexanika a ma ema ik izika sohasida
ya a ilgan bo‘lib, ula L. Eyle , D’Alembe , J. Fou ie , a G. Ki xgo kabi olimla ning
ishla ida bayon e ilgan [1]. Ushbu adqiqo la da o‘lqin englamasining anali ik
yechimla i, ene giya saqlanish qonuni a chiziqli elas iklik naza iyasi asosla i ishlab
chiqilgan [2]. Keyingi bosqichla da sonli yechim usulla ining i ojlanishi bilan
di e ensial englamala ni kompyu e o qali yechish yondashu la i paydo bo‘ldi.
Masalan, R. Cou an , K. F ied ichs a J. Lewy omonidan ishlab chiqilgan CFL sha i
sonli ba qa o likni a’minlash uchun muhim naza iy asos bo‘lib xizma qildi [3].
Ula ning ishi sonli modellash i ishda aq a azo iy bosqichla ning o‘za o
munosaba ini belgilab be di. C ank–Nicolson usuli esa o‘lqin a issiqlik
englamala ini yechishda yuqo i aniqlik a ba qa o likni a’minlaydigan eng sama ali
di e ensial sxemala dan bi i si a ida an olingan [4]. U ya im-implisi yondashu ga
IZLANUVCHI Vol. 2 No. 1
ILMIY-METODIK JURNALI WWW.PHOENIXPUBLICTAION.NET
124
asoslanib, ha bi aq bosqichida englamaning chiziqli sis emasi yechiladi, bu esa
na ijani silliq a izik jiha dan o‘g‘ i saqlash imkonini be adi. So‘nggi yilla da ilmiy
adabiyo la da o‘lqin englamala ini yechish uchun u li sonli yondashu la , masalan,
cheklangan elemen la usuli (FEM), cheklangan hajm (FVM) a spek al usulla keng
qo‘llanilmoqda [5]. Ushbu me odla ka a o‘lchamli izimla da, mu akkab chega a iy
sha la ma jud bo‘lganda ham yuqo i aniqlikni saqlab qoladi. Shuningdek,
zamona iy adqiqo la o‘lqin englamala ini aqa izik modella bilan emas, balki
akus ik izimla , seysmik o‘lqinla , elek omagni hodisala a bio exnologik
ja ayonla kabi ko‘plab amaliy sohala da qo‘llash imkoniya la ini kengay i di [6].
Bunda o‘lqinla ning akslanishi, in e e ensiyasi a ene giya aqsimo i sonli usulla
yo damida sama ali modellash i iladi [7]. Yuqo idagi manbala dan ko‘ inib u ibdiki,
o‘lqin englamala ini sonli yechish muammosi hozi gi zamon ilmiy adqiqo la ining
dolza b yo‘nalishla idan bi i bo‘lib, naza iy ahlil, algo i mla ni akomillash i ish a
izik modellash i ishni o‘z ichiga oladi [8].
Tadqiqo muhokamasi. O‘ kazilgan adqiqo na ijala i shuni ko‘ sa diki, bi
o‘lcho li ko‘ndalang o‘lqin englamasini sonli yechishda anlangan di e ensial
sxemaning ba qa o lik a aniqlik xususiya la i yechim si a iga be osi a a’si qiladi.
Ma kaziy di e ens usuli yo damida olingan na ijala anali ik yechim bilan
solish i ilganda, aq qadami a azo iy qadam o‘lchamla i o asidagi nisba (Cou an
aqami) muhim ol o‘ynashi aniqlandi. Aga CFL sha i ( ac{c Del a }{ Del a x}
leq 1) baja ilmasa, yechimda eb anishla ampli udasi o ib, izik jiha dan asossiz
na ijala yuzaga keladi. Eksplisi sxema hisoblash jiha idan ezko bo‘lsa-da, u
ba qa o lik chega ala iga juda sezgi bo‘lib chiqdi. Shuning uchun, kichik aq
qadami anlanmaguncha na ijala ishonchli bo‘lmaydi. C ank–Nicolson usuli esa bu
muammoni sezila li da ajada kamay i di. Ushbu usulning ya im-implisi abia idan
kelib chiqib, u ka a aq qadamla i bilan ham ba qa o na ijala be adi. Bi oq, bu
yondashu da chiziqli algeb aik sis emani yechish za u a i hisoblash mu akkabligini
oshi adi. Hisoblash na ijala i shuni ko‘ sa diki, kichik azo iy qadam (( Del a x))
anlanganda na ijaning aniqligi oshadi, ammo hisoblash aq i ham o adi. Shu sababli,
op imal pa ame la ni anlashda aniqlik a sama ado lik o‘ asida mu ozana ni
a’minlash za u . Bundan ashqa i, das u iy modellash i ish o qali o‘lqinla ning
akslanish, so‘nish a in e e ensiya hodisala i g a ik a zda aniq kuza ildi. Bu na ijala
o‘lqinla ning izik mohiya ini chuqu oq anglash imkonini be di. Tadqiqo da omida
o‘ kazilgan kon e gensiya sino la i na ijala ning sonli sxema qadamla iga
bog‘liqligini asdiqladi: qadamla kamaygan sa i xa olik da ajasi pasaydi a yechim
anali ik qiyma la ga yaqinlashdi. Bu esa anlangan di e ensial yondashu la ning
yuqo i aniqlik a ba qa o likka ega ekanligini ko‘ sa di. Umuman olganda, adqiqo
na ijala i sonli modellash i ish o qali o‘lqin ja ayonla ini sama ali ahlil qilish
mumkinligini, shuningdek, C ank–Nicolson usulining yuqo i ba qa o lik a aniqlik
jiha dan amaliy hisoblashla da a zal ekanini isbo ladi. Ushbu yondashu izik, akus ik
IZLANUVCHI Vol. 2 No. 1
ILMIY-METODIK JURNALI WWW.PHOENIXPUBLICTAION.NET
125
a mexanik izimla da o‘lqin hodisala ini ahlil qilishda keng qo‘llanish imkoniya iga
ega.
Jad al 1. To‘lqin englamasi uchun sonli usulla ni solish i ish
Usul nomi
Aniqlik
da ajasi
Ba qa o li
k sha i
A zallikla i
Kamchilikla i
Ma kaziy
di e ens
O‘ a
CFL < 1
Oddiy, ez
hisoblanadi
Ba’zan ba qa o
emas
Eksplici
usul
Pas
CFL < 1
Hisoblash
ezligi yuqo i
Kichik aq qadam
alab e adi
C ank–
Nicolson
usuli
Yuqo i
Ha doim
ba qa o
Ba qa o ,
yuqo i aniqlikka
ega
Hisoblash
mu akkabligi nisba an
ka a
Jad al 2. To‘lqin a qalishining sonli na ijala i (model ma’lumo la i asosida)
Vaq (s)
Joy (m)
Tezlik (m/s)
Ampli uda (m)
0.0
0.0
0
0.00
0.1
0.5
2
0.10
0.2
1.0
4
0.19
0.3
1.5
6
0.27
0.4
2.0
8
0.35
Ushbu jad alda o‘lqinla ning aq a maso aga nisba an o‘zga ishi kel i ilgan.
Ampli uda a ezlik o asidagi bog‘liqlik sonli hisoblash o qali aniqlangan bo‘lib,
na ijala izik qonuniya la ga mos keladi. Jad alla mazku adqiqo ning asosiy
na ijala ini ahliliy a zda i odalash uchun uzilgan. 1-jad alda o‘lqin englamasini
yechishda qo‘llaniladigan u li sonli usulla (ma kaziy di e ens, eksplici a C ank–
Nicolson usulla i) o‘za o solish i ildi. Ula ning aniqlik da ajasi, ba qa o lik sha la i,
a zallikla i a kamchilikla i ko‘ sa ilib, amaliy yechim uchun eng maqbul a ian
si a ida C ank–Nicolson usuli anlandi. 2-jad alda esa o‘lqin a qalishining aq a
joy koo dina ala iga bog‘liq o‘zga ishla i aqamli hisoblash asosida kel i ilgan. Jad al
na ijala i ampli uda a ezlik o asidagi o‘g‘ idan- o‘g‘ i bog‘liqlikni ko‘ sa ib, o‘lqin
ja ayonla ining izik mohiya ini asdiqlaydi. Umuman olganda, kel i ilgan jad alla
o‘lqin englamasi yechimining naza iy hamda amaliy jiha dan ishonchli ekanligini
namoyon e adi.
Xulosa. O‘ kazilgan adqiqo na ijala iga ko‘ a, bi o‘lcho li ko‘ndalang o‘lqin
englamasining sonli yechimi di e ensial usulla yo damida mu a aqiya li amalga
oshi ilishi mumkinligi aniqlandi. Ma kaziy di e ens, eksplisi a C ank–Nicolson
usulla ini solish i ish na ijasida ma’lum bo‘ldiki, C ank–Nicolson usuli yuqo i aniqlik
IZLANUVCHI Vol. 2 No. 1
ILMIY-METODIK JURNALI WWW.PHOENIXPUBLICTAION.NET
126
a ba qa o likni a’minlab, izik ja ayonla ni ishonchli a zda modellash i adi. Taj iba
na ijala i shuni ko‘ sa diki, CFL sha iga ioya qilinmagan holla da yechim
ba qa o ligini yo‘qo adi a eb anish ampli udala i izik ma’nodan che ga chiqadi. Shu
sababli, sonli modellash i ishda aq a azo iy qadamla ning o‘za o bog‘liqligini
o‘g‘ i anlash muhim ahamiya ga ega. Na ijala ahlili o‘lqinla ning a qalishi,
akslanishi a so‘nish ja ayonla ini sonli usulla yo damida sama ali modellash i ish
mumkinligini asdiqladi. Shuningdek, adqiqo da omida olingan na ijala akus ik
izimla ni ahlil qilish, mexanik eb anishla ni modellash i ish a elek omagni
o‘lqinla dinamikasini o‘ ganishda qo‘llanishi mumkin. Xulosa qilib ay ganda, bi
o‘lcho li o‘lqin englamasini sonli yechish o qali izik ja ayonla ning mohiya ini
chuqu anglash, amaliy izimla ni ahlil qilish a ilg‘o hisoblash exnologiyala ini
ishlab chiqish imkoniya la i kengayadi.
Foydalanilgan adabiyo la
1. Smi h, G. D. Nume ical Solu ion o Pa ial Di e en ial Equa ions: Fini e
Di e ence Me hods. Ox o d Uni e si y P ess, 1985.
2. S ikwe da, J. C. Fini e Di e ence Schemes and Pa ial Di e en ial Equa ions.
SIAM, 2004.
3. Mo on, K. W., & Maye s, D. F. Nume ical Solu ion o Pa ial Di e en ial
Equa ions: An In oduc ion. Camb idge Uni e si y P ess, 2005.
4. LeVeque, R. J. Fini e Volume Me hods o Hype bolic P oblems. Camb idge
Uni e si y P ess, 2002.
5. Thomas, J. W. Nume ical Pa ial Di e en ial Equa ions: Fini e Di e ence
Me hods. Sp inge , 1995.
6. Zienkiewicz, O. C., & Taylo , R. L. The Fini e Elemen Me hod. Bu e wo h-
Heinemann, 2000.
7. Ames, W. F. Nume ical Me hods o Pa ial Di e en ial Equa ions. Academic
P ess, 2014.
8. Tikhono , A. N., & Sama skii, A. A. Equa ions o Ma hema ical Physics. Do e
Publica ions, 2011.
