Z AMONAVIY TA'LIMDA FAN VA INNOVATSION TADQIQOTLAR
h p://zam adqiqo .uz/index.php/ZTFITJ/index
3-son 15– o’plam 2025 y.
22
YUQORI TARTIBLI DETERMINANTLARNI HISOBLASH USULLARI
VA DASTURIY TA’MINOTLARI
Sadaddino a Sanoba Sabi o na,
Raximo a Fe uza Saido na,
A aye a Asal Adilbeko na,
Toshken axbo o exnologiyala i uni e si e i (o`qi u chila i)
Tu sunaliye Ozodbek Bah om o`g`li,
Iskanda o a Dila uz Sha o addin qizi,
Toshken axbo o exnologiyala i uni e si e i ( alabala i)
Anno a siya
Ma i sala de e minan ini hisoblash masalasi chiziqli algeb aning
poyde o ini ashkil qiladi deyish mumkin. Ushbu maqolada yuqo i a ibli
de e minan la ni hisoblash usulla i a das u iy a’mino la i kel i ilgan.
Kali so‘zla : De e minan , Laplas usuli, mino , algeb aik o‘ldi u chi.
Аннотация
Задачу вычисления определителя матриц можно назвать фундаментом
линейной алгебры. В данной статье представлены методы и программное
обеспечение для вычисления определителей высших порядков.
Ключевые слова: Определитель, метод Лапласа, минор,
алгебраическое дополнение.
Ki ish
Oliy o`qu yu la ida axbo o exnologiyala i yo`nalishla i alabala iga
ma ema ik anla ma zula ga doi misolla ning yechimini opishda ula ni das u iy
a`mino la a das u la dan oydalanishga yo`nal i ish o` ilgan ma zuni
o`zlash i ishni osonlash i adi, alabala ning da sga bo`lgan qiziqishla ini o i adi.
Shuni e’ ibo ga olgan holda ushbu maqolada de e minan la qiyma la ini mino la
Z AMONAVIY TA'LIMDA FAN VA INNOVATSION TADQIQOTLAR
h p://zam adqiqo .uz/index.php/ZTFITJ/index
3-son 15– o’plam 2025 y.
23
a algeb aik o`ldi u chila yo damida hisoblash usulla i ko` sa ilgan a misolla
na ijala i das u yo damida chiqa ilgan na ijala bilan aqqoslab ko` sa ilgan.
Bilamizki, de e minan — skalya miqdo bо‘lib, kо‘p о‘lcho li E klid
azosini k ad a ma i sa shaklida yozilgandan keyin ma’lum bi yо‘nalishda
“chо‘zilishi” yoki “siqilishi”ni aniqlo chi ka alik hisoblanadi. Ma i saning bi a
elemen i bi inchi a ibli de e minan , 1- a ibli de e minan ning qiyma i shu sonning
о‘ziga eng bо‘ladi. Ikkinchi a ibli de e minan
|𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22|=𝑎11𝑎22−𝑎12𝑎21 englik bilan aniqlanadigan songa ay iladi.
Uchinchi a ibli de e minan la ni hisoblashning uchbu chak (Sa yus),
yuqo i a ibli de e minan la ni hisoblashning esa a ibini pasay i ish, bi o qa o ini
nolla ga aylan i ish, yuqo i (yoki quyi) uchbu chak ko‘ inishiga kel i ib hisoblash
usulla i ma jud.
Asosiy qism
Yuqo i a ibli de e minan la ni hisoblashning usulla idan yana bi i bu
𝑛− a ibli de e minan ning qiyma i anlangan 𝑘 a sa (us un)ning mumkin
boʻlgan ba cha 𝑘− a ibli mino la ini, ula ning mos algeb aik oʻldi u chila iga
koʻpay mala i yigʻindisini opishdan ibo a di :
𝑑𝑒𝑡𝐴=∑𝑀𝑗1,𝑗2,…,𝑗𝑘
𝑖1,𝑖2,…,𝑖𝑘∙
𝑖1<𝑖2<⋯<𝑖𝑘
𝑗1<𝑗2<⋯<𝑗𝑘𝐴𝑗1,𝑗2,…,𝑗𝑘
𝑖1,𝑖2,…,𝑖𝑘. (*)
Misol si a ida quyidagi de e minan ni mino la a algeb aik o‘ldi u chila
usulidan oydalanib hisoblaymiz:
∆=|1 2 3 4
5 −1 0 6
−2
1 1
07
21
−3|.
► (*) o muladan oydalanamiz, uhbu o mulani bizning misolga moslab,
2- a ibli mino la bo‘yicha yozib olamiz:
∆=
=𝑀1,2
1,2∙𝐴1,2
1,2+𝑀1,3
1,2∙𝐴1,3
1,2+𝑀1,4
1,2∙𝐴1,4
1,2+𝑀2,3
1,2∙𝐴2,3
1,2+𝑀2,4
1,2∙𝐴2,4
1,2+𝑀3,4
1,2∙𝐴3,4
1,2=
Z AMONAVIY TA'LIMDA FAN VA INNOVATSION TADQIQOTLAR
h p://zam adqiqo .uz/index.php/ZTFITJ/index
3-son 15– o’plam 2025 y.
24
=|1 2
5 −1|∙(−1)1+2+1+2∙|7 1
2 −3|+|1 3
5 0|∙(−1)1+2+1+3∙|1 1
0 −3|+
+|1 4
5 6|∙(−1)1+2+1+4∙|1 7
0 2|+|2 3
−1 0|∙(−1)1+2+2+3∙|−2 1
1 −3|+
+|2 4
−1 6|∙(−1)1+2+2+4∙|−2 7
1 2|+|3 4
0 6|∙(−1)1+2+3+4∙|−2 1
1 0|=
=−11∙(−23)+15∙(−3)−14∙2+3∙5−16∙(−11)+18∙(−1)=353. ◄
Ushbu misolni yuqo idagi usulda yechib be u chi das u ya a ildi, undagi
na ijani kel i ilgan misol na ijasi bilan aqqoslaymiz a na ija bi xilligini ko` amiz:
de mino (ma ix, i, j):
"""i-sa a j-us unni olib ashlab mino qay a adi"""
e u n [ ow[:j] + ow[j+1:] o ow in (ma ix[:i] + ma ix[i+1:])]
de de e minan (ma ix):
"""Laplas eo emasi o qali eku si de e minan """
n = len(ma ix)
# 1x1 ma i sa
i n == 1:
e u n ma ix[0][0]
# 2x2 ma i sa
i n == 2:
e u n ma ix[0][0]*ma ix[1][1] - ma ix[0][1]*ma ix[1][0]
de = 0
o j in ange(n):
# (-1)^(0+j) * a_0j * de (mino )
Z AMONAVIY TA'LIMDA FAN VA INNOVATSION TADQIQOTLAR
h p://zam adqiqo .uz/index.php/ZTFITJ/index
3-son 15– o’plam 2025 y.
25
sign = (-1) ** j
sub = de e minan (mino (ma ix, 0, j))
de += sign * ma ix[0][j] * sub
e u n de
# Ma i sa
A4 = [
[1, 2, 3, 4],
[5, -1, 0, 6],
[-2, 1, 7, 1],
[1, 0, 2, -3]
]
p in ("De e minan :", de e minan (A4))
Na ija:
Yuqo ida kel i ilgan de e minan ni Laplas eo emasidan oydalanib, a ibini
pasay i ib hisoblaymiz: ∆=|1 2 3 4
5 −1 0 6
−2
1 1
07
21
−3|.
► ∆=|1 2 3 4
5 −1 0 6
−2
1 1
07
21
−3|=𝑎41𝐴41+𝑎42𝐴42+𝑎43𝐴43+𝑎44𝐴44=
=−1∙|2 3 4
−1 0 6
1 7 1|−2∙|1 2 4
5 −1 6
−2 1 1|−3∙|1 2 3
5 −1 0
−2 1 7|=
=−(18−28+3−84)−2∙(−1−24+20−8−10−6)−3∙
(−7+15−6−70)=91+58+204=353. ◄
Z AMONAVIY TA'LIMDA FAN VA INNOVATSION TADQIQOTLAR
h p://zam adqiqo .uz/index.php/ZTFITJ/index
3-son 15– o’plam 2025 y.
26
Kel i ilgan misoldagi na ijala ni aqqoslab, ula ning bi xilligini ko` amiz.
Ushbu misolni das u dan oydalanib, yechilganda ham shu na ija olingani ko` inib
u ibdi.
de mino (ma ix, i, j):
"""i-sa a j-us unni olib ashlab mino qay a adi"""
e u n [ ow[:j] + ow[j+1:] o idx, ow in enume a e(ma ix) i idx != i]
de de e minan (ma ix):
"""Umumiy de e minan ( eku si )"""
n = len(ma ix)
i n == 1:
e u n ma ix[0][0]
i n == 2:
e u n ma ix[0][0]*ma ix[1][1] - ma ix[0][1]*ma ix[1][0]
de = 0
o j in ange(n):
sign = (-1) ** j
de += sign * ma ix[0][j] * de e minan (mino (ma ix, 0, j))
e u n de
de laplace_by_ ow(ma ix, ow):
"""Faqa anlangan sa bo‘yicha Laplas yoyilishi"""
n = len(ma ix)
de = 0
p in ( "{ ow+1}-sa bo‘yicha yoyilish:")
o j in ange(n):
a = ma ix[ ow][j]
Z AMONAVIY TA'LIMDA FAN VA INNOVATSION TADQIQOTLAR
h p://zam adqiqo .uz/index.php/ZTFITJ/index
3-son 15– o’plam 2025 y.
27
sign = (-1) ** ( ow + j)
M = mino (ma ix, ow, j)
Mde = de e minan (M)
e m = sign * a * Mde
p in ( "a[{ ow+1},{j+1}]={a}, A[{ ow+1},{j+1}]={Mde }, had={ e m}")
de += e m
p in ("Na ija =", de )
e u n de
# Misol: 4x4 ma i sa
A = [
[1, 2, 3, 4],
[5, -1, 0, 6],
[-2, 1, 7, 1],
[1, 0, 2, -3]
]
ow = (in (inpu ("Sa : "))-1)
laplace_by_ ow(A, ow)
Na ija:
Z AMONAVIY TA'LIMDA FAN VA INNOVATSION TADQIQOTLAR
h p://zam adqiqo .uz/index.php/ZTFITJ/index
3-son 15– o’plam 2025 y.
28
Das u uzilishining a zallik omoni shundaki, undan oydalanib, elemen la i
u licha bo`lgan de e minan la ning qiyma la ini opish mumkin. Bu das u ni a ibi
u licha bo`lgan de e minan la qiyma la ini opish uchun ham o`zga i ib o`g` i
na ija olish mumkin.
Oliy ma ema ika ani ma zula ini exnika yo`nalishi alabala iga o`qi ishdagi
bi necha yillik aj ibala shuni ko` sa adiki, ma zuni o` ishda alabala ga das u lash
anidan oydalanib o`zlash i ish bo`yicha yo`nalish be ish alabala ning ma zuni
o` ganishga bo`lgan qiziqishla ini ancha o i adi. Shuningdek, da s sama ado ligini
sezila li da ajada o`s i adi.
Adabiyo la :
[1] Тыртышников Е. Е. Mатричный анализ и линейная алгебра. – Москва,
2004. 245 c.
[2] Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной
математике: Учебное пособие для техникумов. – 2-е изд., - М.: Высшая
школа, 1990. -208 с.
[3] Qalanda o O‘.N., Sadaddino a S.S. Ma ema ika (iq isodchila uchun): O‘qu
Z AMONAVIY TA'LIMDA FAN VA INNOVATSION TADQIQOTLAR
h p://zam adqiqo .uz/index.php/ZTFITJ/index
3-son 15– o’plam 2025 y.
29
qo‘llanma. – Toshken .: Aloqachi, 2024. 226 b.
[4] Bakh iya Rakhimo , Fe uza Rakhimo a, A abek Saido , Za ina Saido a.
Analysis and modeling o digi al solu ion in medical da abase managemen . ITM
WEB o Con e ences 72, 03002 (2025), HMMOCS-III 2025,
h ps://doi.o g/10.1051/i mcon /20257203002 6 p. h ps://www.i m-
con e ences.o g/a icles/i mcon /abs/2025/03/i mcon _hmmocs-
III2024_03002/i mcon _hmmocs-III2024_03002.h ml
[5] Bakh iya Rakhimo , Ozodo Ra shonbek, Fe uza Rakhimo a, A abek
Saido , Za ina Saido a. Me ada a o he chap e ha will be isualized in
Sp inge Link. Sp inge Na u e Swi ze land AG 2025 P.S.S animi o ic e al.(Eds.):
LNNS 1481, pp.1-10, 2025. h ps://doi.o g/10.1077/978-3-031-9549-2_9.
[6] Ma a Ka imo , Fe uza Rakhimo a. Modeling o G oundwa e Flow in a
Mul ilaye Po ous Medium Based on a Nonlinea Ma hema ical Model. Fou h
In e na ional Con e ence on Digi al Technologies, Op ics, and Ma e ials Science
(DTIEE 2025). – SPIE, 2025. – Т. 13662. – С. 136-141.0277-786X, 136620J-1.
h ps://doi.o g/10.1117/12.3072569
[7] Raximo a Fe uza Saido na, Islamo a Odila Abdu aimo na, Chay Zoya
Se gee na, Fayzullaye a Shahlo Alishe o na, Mada o a Zux a Abdi aximo na.
“Talabala ga qu b koo dina ala sis emasida unksiyala g a igini chizishni
das u la dan oydalanib o‘ ga ish”. “FIZIKA, MATEMATIKAVA SUNʼIY
INTELLEKT TEXNOLOGIYALARINING DOLZARB MUAMMOLARI”
XALQARO ILMIY NAZARIY ANJUMAN ma e ialla i (may 16-17, 2025). 173-
175 be
[8] Fe uza Raximo a Soido na, Muni a Payziye a Tai o na, Shaxzadaxan
Tadjibaye a E gashe na, Sa a Sa a boye Rashid o`g`li, Diyo bek Mamasoliye
Abdujalil o`g`li. Talabala ga kki ka ali in eg alla ni koo dina a almash i ish o qali
Z AMONAVIY TA'LIMDA FAN VA INNOVATSION TADQIQOTLAR
h p://zam adqiqo .uz/index.php/ZTFITJ/index
3-son 15– o’plam 2025 y.
30
das u ini uzib hisoblashni o` ga ish. A xi ek u a, muhandislik a zamona iy
exnologiyala ju nali, IF 12,87 (10+)
