Es uc u a geomé ica dual y comple i ud pa en la dinámica de
Colla z
Miguel Ce dá Bennassa
5 de no iemb e de 2025
Resumen
Se p esen a una cons ucción geomé ica dual que pe mi e ep esen a de mane a com-
ple a la dinámica de la conje u a de Colla z simpli icada. Las amilias de iángulos T(a)
yT(b)cons i uyen dos sis emas complemen a ios: T(a)o ganiza los amos impa es jun o
con los pa es in e medios que les pe enecen, mien as que T(b)o dena los amos pa es
de e minis as que conducen a los cie es impa es.
Cada iángulo se cons uye median e elaciones mul iplica i as basadas en los ac o es 2
y3, gene ando una disposición iangula ( ec ángulo isósceles) en la que las ilas y columnas
ep oducen las ans o maciones básicas de la dinámica Colla ziana.
El conjun o unido de ambas amilias, {T(a)}∪{T(b)}, aba ca odos los amos de la
secuencia simpli icada, al e nando ases impa es y pa es según la pa idad del é mino ini-
cial. De es e modo, la es uc u a dual p opo ciona una ep esen ación geomé ica comple a,
de e minis a y au osu icien e de la ans o mación de Colla z.
Finalmen e, se in oduce una unción pu amen e pa , deno ada δ, que ep oduce la diná-
mica de los núme os pa es gene ados po la unción clásica 3n+ 1. Es a ex ensión analí ica
comple a el sis ema dual y mues a que los iángulos T(a),T(b)y la unción δ o man una
ep esen ación es uc u al uni icada de la dinámica de Colla z.
Índice
1. In oducción 3
1.1. Na u aleza dual de las dos amilias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Mo i aciónyobje i o ................................. 4
2. De inición gene al de las amilias T(a)yT(b)4
2.1. Familia T(b): amos pa es de e minis as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2. Familia T(a): amos impa es y pa es adhe idos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3. Sime íaes uc u al .................................. 5
3. Relaciones in e nas y encadenamien o en e las dos amilias 5
3.1. Co espondencia uncional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2. Ejemplo: ayec o ia iniciada en 15 .......................... 6
3.3. Es uc u a al e nan e global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1
4. P opiedades globales de la es uc u a dual 7
4.1. Unicidad de pe enencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.2. Con e genciain e na.................................. 7
4.3. A ac o escompa idos................................. 8
4.4. Es uc u a de e minis a y comple i ud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.5. Obse ación sob e comple i ud y es uc u a a i mé ica . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.6. Sob e la inexis encia de ciclos no i iales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.7. Con e gencia hacia la columna 1de T(1) ....................... 9
4.8. Descenso de cie es impa es ipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.9. C i e io de con e gencia po unción de ango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5. Es uc u a modula y dis ibución de aíces digi ales 11
5.1. Dis ibución en las columnas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.2. Clases iniciales y cie es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.3. Co espondencias en e columnas y ilas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.4. Sín esis ......................................... 11
6. Equilib io y co espondencia en e amos impa es y pa es 12
6.1. Co espondencia uno a uno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.2. Equilib iodinámico................................... 12
6.3. Sín esis ......................................... 12
7. La unción δy la comple i ud pa del sis ema 13
7.1. De inición........................................ 13
7.2. P opiedadesbásicas .................................. 13
7.3. Ejemploilus a i o................................... 14
7.4. Teo emadecon e gencia................................ 14
7.5. Relación con la amilia T(b).............................. 14
8. Conclusiones 14
2
1. In oducción
La dinámica de la conje u a de Colla z puede di idi se en dos ases al e nas: una ase impa ,
gobe nada po la egla (3n+1)/2, y una ase pa , gobe nada po di isiones sucesi as en e 2. Pa a
ep esen a ambas de o ma simé ica se de inen dos amilias de iángulos complemen a ios:
T(a)( amilia de impa es), T(b)( amilia de pa es).
Cada amilia sigue un p incipio de cons ucción mul iplica i a, pe o adap ado a su ipo de amo.
En T(b), los ac o es 2y3ac úan di ec amen e; en T(a), las elaciones equi alen es son 2n+ 1
y3n+ 2, que ep oducen la misma dinámica asladada al dominio impa .
En la úl ima sección se p esen a además una unción gene ado a δ, de i ada de la egla clásica
3n+1, que desc ibe de o ma ce ada la e olución de los núme os pa es y apo a una pe spec i a
uncional complemen a ia al modelo geomé ico dual.
1.1. Na u aleza dual de las dos amilias
Los iángulos T(a) ep esen an los amos impa es de la secuencia simpli icada. Cada ila n
con iene los impa es de un amo y la ila siguien e (n+1) con iene los pa es adhe idos, ob enidos
es ando uno a los é minos de la ila supe io :
Ta(n+ 1, k) = Ta(n, k)−1.
Es os pa es no cons i uyen un amo pa independien e, sino que son los pa es in e medios que
apa ecen en el eco ido de un impa hacia el siguien e den o de un mismo amo.
Po su pa e, los iángulos T(b)con ienen los pa es au ónomos, es deci , los amos pa es com-
ple os que se p oducen al aplica epe idamen e la di isión po 2has a alcanza el siguien e
núme o impa :
n, n
2,n
4, . . . , n
2m=q.
En es a amilia las columnas ep esen an descensos de e minis as ( azón 2) y las diagonales
ecogen los cie es impa es ( azón 3). Cada cie e impa ac úa como pun o de enlace hacia el
siguien e amo impa de la amilia T(a).
Figu a 1: Ejemplos ep esen a i os de las dos amilias.
3
1.2. Mo i ación y obje i o
Las dos amilias no deben en ende se como modelos sepa ados, sino como las dos ca as de una
misma es uc u a geomé ica. Mien as T(a)desc ibe las ans o maciones asociadas a los im-
pa es y los pa es di ec amen e inculados a ellos, T(b)o ganiza los amos pa es pu os que los
conec an. Jun as, cons uyen un sis ema comple o en el que cada núme o na u al —pa o impa —
iene una posición y una unción bien de inida den o de la dinámica.
El obje i o de es e es udio es o maliza esa es uc u a dual, de ini las elaciones que gene an
ambas amilias de iángulos y demos a que, unidas, son su icien es pa a ep esen a odos los
amos de la Colla z simpli icada.
2. De inición gene al de las amilias T(a)yT(b)
Ambas amilias se cons uyen según un mismo p incipio geomé ico: dispone los alo es en
un iángulo ec ángulo isósceles donde cada é mino se ob iene a pa i del inicial median e
combinaciones de dos elaciones básicas. La di e encia en e ambas adica únicamen e en el
dominio (impa o pa ) y en la o ma en que se aplican los ac o es 2y3.
2.1. Familia T(b): amos pa es de e minis as
La amilia T(b), ya desc i a en es udios p e ios, o ganiza los amos pa es de la dinámica Colla z
simpli icada. Cada iángulo T(b)se inicia en un alo bcong uen e con 1o5módulo 6y se
gene a aplicando las elaciones:
×2(di ección e ical) y ×3(di ección diagonal).
De inición 2.1 (T iángulo T(b)).Sea b∈N,b≡1,5 (m´od 6). De inimos
Tb(n, k)=2n−k3kb, 0≤k≤n.
Las columnas (k ijo) ep esen an los amos pa es comple os n, n/2, n/4, . . . , q.
Las ilas (n ijo) o man p og esiones geomé icas de azón 3/2.
La diagonal p incipal (n=k) con iene los cie es impa es 3nb, que enlazan con los
amos impa es de la o a amilia.
Es a cons ucción ep oduce de o ma o denada los descensos de e minis as po di isión en e 2,
has a alcanza un núme o impa . La diagonal de cie es ma ca los pun os donde cada amo pa
inaliza.
2.2. Familia T(a): amos impa es y pa es adhe idos
De mane a simé ica a la amilia pa , la amilia T(a)o ganiza los amos impa es de la Colla z
simpli icada jun o con los pa es que les pe enecen. Cada iángulo T(a)se inicia en un impa
a≡1,5 (m´od 6) y se cons uye median e las elaciones a ines que ep oducen el papel de los
ac o es 2y3en el dominio impa :
2n+ 1 (di ección e ical) y 3n+ 2 (di ección diagonal).
Una ca ac e ís ica impo an e de es os iángulos es la clasi icación de los impa es po clases
módulo 4den o de cada ila:
4
en las ilas no males, el p ime impa de la ila es siemp e de la o ma 4m+3, y los siguien es
é minos de la ila man ienen esa clase 4m+ 3 has a llega al úl imo impa ;
el úl imo impa an es del pa adhe ido es de la o ma 4m+ 1;
la única ila que no sigue es e pa ón es la ila 2, que comienza ya con un impa de la o ma
4m+ 1.
Es o signi ica que cada amo impa de T(a)es á diseñado pa a acaba en un impa 4m+ 1.
Es a clase 4m+ 1 es la que esul a más a o able pa a la educción pos e io de la sucesión (es
la que apa ece de mane a ecu en e en las ayec o ias que descienden hacia 1), de modo que la
p opia cons ucción del iángulo in oduce una inclinación hacia la con e gencia.
Como en la cons ucción o iginal, la ila inmedia amen e in e io con iene los pa es adhe idos,
ob enidos es ando 1a cada impa de la ila supe io :
Ta(n+ 1, k) = Ta(n, k)−1.
Es os pa es no o man un amo pa independien e (ésos es án en T(b)), sino que son los pa es
e ec i amen e eco idos en e dos impa es consecu i os del mismo amo.
2.3. Sime ía es uc u al
Ambas amilias compa en un esquema o mal común:
Tb(n, k)=2n−k3kb,
Ta(n, k)=2n−k(3ka+ 1) −1.
De es a o ma, las ope aciones que en el dominio pa son mul iplicaciones pu as se ans o man
en el dominio impa en combinaciones a ines que p ese an la pa idad. El esul ado es una
es uc u a dual, donde los iángulos T(a)yT(b)compa en la misma geome ía y se enlazan
al e nadamen e a lo la go de la secuencia Colla z simpli icada.
3. Relaciones in e nas y encadenamien o en e las dos amilias
Las amilias T(a)yT(b)no ac úan de mane a independien e, sino que se en elazan en la ayec-
o ia de la secuencia Colla z simpli icada. Los cie es impa es de los iángulos T(b)cons i uyen
los pun os de pa ida de los iángulos T(a),yloscie es pa es gene ados en las ilas in e io es
de T(a)o iginan, a su ez, nue os amos en la amilia T(b). De es e modo se o ma una cadena
al e nan e:
T(a0)−→ T(b0)−→ T(a1)−→ T(b1)−→ . . .
que desc ibe sin in e upciones oda la dinámica de Colla z.
3.1. Co espondencia uncional
Sea ael alo inicial de un iángulo T(a)ybel de un iángulo T(b). La elación en e ambos
iene dada po el cie e del amo impa :
b=3a+ 1
2.
5
A pa i de bse gene a el iángulo T(b)co espondien e, cuyo p ime é mino en la diagonal 3b
es p ecisamen e el impa que inicia el siguien e iángulo T(a′):
a′= 3b+ 1.
Así, la al e nancia de amilias ep oduce exac amen e la egla i e a i a de la Colla z simpli icada:
n7→
3n+ 1
2, n impa ,
n
2, n pa .
3.2. Ejemplo: ayec o ia iniciada en 15
La secuencia simpli icada que pa e de 15 puede descompone se como una cadena de iángulos
conec ados:
15,23,35,53,80 (en T(0)) −→ 40,20,10,5 (en T(5)) −→ 8,4,2,1 (en T(1)).
donde cada lecha ep esen a el paso desde el cie e de una amilia hacia la o a. En es a ayec-
o ia se obse an es ni eles:
1. El iángulo T(0) con iene el amo impa del inicio (15,23,35,53,80).
2. El iángulo T(5) con el amo pa co espondien e (40,20,10,5).
3. El iángulo T(1) el amo pa inal (8,4,2,1).
La conca enación de es os es iángulos ep oduce paso a paso la e olución de la secuencia:
15 →23 →35 →53 →80 →40 →20 →10 →5→8→4→2→1. . .
y mues a de mane a isual cómo las amilias T(a)yT(b)se al e nan pa a cub i odos los
amos de la dinámica.
Figu a 2: Conexión uncional en e los iángulos T(0),T(5) yT(1) en la ayec o ia de la
secuencia iniciada en 15.
6
3.3. Es uc u a al e nan e global
El sis ema comple o o mado po {T(a)}∪{T(b)}puede e se como una ed bidimensional de
amos in e calados. En cada paso de la secuencia, la pa idad del núme o de e mina el iángulo
ac i o:
nimpa ∈T(ai), n pa ∈T(bi).
Cada iángulo se conec a con el siguien e median e su pun o de cie e, de modo que:
Cie e impa de T(bi)−→ o igen de T(ai+1),
Cie e pa ( ila in e io ) de T(ai)−→ o igen de T(bi).
Es a sime ía asegu a que oda la secuencia Colla z simpli icada puede ep esen a se como una
sucesión con inua de iángulos enlazados po sus diagonales y ilas in e io es, sin in e upciones
ni duplicaciones.
4. P opiedades globales de la es uc u a dual
El sis ema combinado {T(a)} ∪ {T(b)}cons i uye una ep esen ación geomé ica comple a de
la dinámica Colla z simpli icada. Cada núme o na u al —pa o impa — ocupa una posición
única en alguno de los dos ipos de iángulos, y las ansiciones en e amilias ep oducen la
al e nancia de pa idad ca ac e ís ica del p oceso. A con inuación se es ablecen las p opiedades
undamen ales del sis ema dual.
4.1. Unicidad de pe enencia
P oposición 4.1 (Unicidad de ep esen ación).Todo núme o na u al Npe enece a un único
iángulo del sis ema dual. Si Nes impa , se localiza en un iángulo T(a)de la amilia impa ;
si es pa , en un iángulo T(b)de la amilia pa . En cada caso, la posición (n, k)den o del
iángulo es á de e minada de mane a uní oca po la descomposición:
N=
2n−k(3ka+ 1) −1, N impa ,
2n−k3kb, N pa .
Po an o, no exis en duplicaciones: ningún núme o apa ece simul áneamen e en dos iángulos
dis in os ni en dos posiciones di e en es del mismo iángulo.
4.2. Con e gencia in e na
P oposición 4.2 (Con e gencia al cie e co espondien e).En cada iángulo T(a)oT(b)las
ayec o ias in e nas son ini as y con e gen en su cie e.
En T(a), las ilas- amos impa es con e gen hacia su cie e pa .
En T(b), las columnas- amos pa es descienden de e minis amen e po di isiones en e 2
has a alcanza un núme o impa que cie a la ila.
Es a con e gencia es in e na al iángulo: cada amo se cie a en un núme o ini o de pasos
den o de su amilia, pe o el alo alcanzado puede se mayo o meno que el inicial al pasa a
la amilia complemen a ia, ep oduciendo la ca ac e ís ica oscilación de la secuencia Colla z.
7
4.3. A ac o es compa idos
De inición 4.1 (A ac o es del sis ema dual).Se denominan a ac o es a los é minos si uados
en la diagonal p incipal de los iángulos T(b)y a los é minos de cie e ( ila in e io ) de los
iángulos T(a). En ambos casos, el a ac o es el úl imo é mino del amo ac ual y, además, el
alo que de e mina cuál se á el p ime é mino del p óximo amo cuando se le aplica la egla
de la Colla z simpli icada.
Así:
si el a ac o p ocede de un iángulo T(b)es impa , y al aplica le (3n+ 1)/2se ob iene el
p ime pa del siguien e amo;
si el a ac o p ocede de un iángulo T(a)es pa (pa adhe ido), y al di idi lo en e 2
sucesi amen e se ob iene el amo pa siguien e.
De es e modo, los a ac o es no sólo cie an amos, sino que encadenan amos: cada uno es el
pun o en el que la ayec o ia cambia de amilia y sigue su eco ido en el iángulo co espon-
dien e.
4.4. Es uc u a de e minis a y comple i ud
Cada amilia po sepa ado ep esen a una mi ad del sis ema dinámico: T(a)desc ibe los amos
impa es y los pa es adhe idos, mien as que T(b)con iene los amos pa es au ónomos y sus
cie es impa es. Al uni se, las dos amilias cons uyen una ed de e minis a sin huecos, en la que
cada paso de la secuencia —ya sea mul iplica i o o di iso io— co esponde a un desplazamien o
conc e o den o o en e iángulos. La es uc u a dual es, po an o, una geome ía comple a de
Colla z simpli icada.
4.5. Obse ación sob e comple i ud y es uc u a a i mé ica
Aunque en las secciones an e io es se ha desc i o sob e odo la dimensión geomé ica ( ilas,
columnas y diagonales), el sis ema dual iene además dos p opiedades impo an es:
1. Comple i ud po unión: no es cada iángulo indi idual el que con iene odos los na u-
ales, sino la unión de las dos amilias {T(a)}∪{T(b)}la que pe mi e localiza cualquie
é mino de la secuencia de Colla z simpli icada en alguna posición (n, k).
2. Es uc u a modula : la o ma explíci a
Tb(n, k)=2n−k3kb, Ta(n, k)=2n−k(3ka+ 1) −1
induce pa ones pe iódicos en módulo 9y en las aíces digi ales (especialmen e en las
p ime as columnas), que pueden u iliza se pa a clasi ica los amos según su c ecimien o.
La unicidad de ep esen ación queda ga an izada po la amilia impa T(a)y la con e gencia
in e na po ambas amilias, al como se ha mos ado en es a sección. La inexis encia de ciclos
no i iales sigue de la mono onicidad de la ans o mación impa y se ecoge en la Subsección
4.6, donde se mues a que, den o del modelo ep esen acional cons uido, el único ciclo posible
es 1↔2.
8
4.6. Sob e la inexis encia de ciclos no i iales
En la dinámica de Colla z simpli icada que es amos ep esen ando, las ans o maciones son
n7→
3n+ 1
2, n impa ,
n
2, n pa .
Obsé ese que, si nes impa y n > 1, en onces
3n+ 1
2>2n
2=n,
es deci , odo paso impa dis in o de n= 1 p oduce un alo mayo que el an e io . Po an o,
ningún núme o impa n>1puede ol e más a de al mismo alo median e o o paso impa ,
po que los pasos impa es son es ic amen e c ecien es.
Po o o lado, los pasos pa es son es ic amen e dec ecien es:
npa 7−→ n
2< n,
y se epi en has a alcanza un impa . Es o es exac amen e lo que ep esen an las columnas de
los iángulos T(b): amos pa es ini os que siemp e e minan en un impa .
La única excepción es el caso n= 1:
17→ 3·1 + 1
2= 2 y27→ 1,
que o ma el ciclo i ial 1↔2. Como odos los demás impa es c ecen y odos los pa es descienden
has a un impa , no es posible o ma un ciclo ce ado dis in o de és e den o de la es uc u a
dual ep esen ada po T(a)∪T(b).
En pa icula , los amos que se enlazan con la columna 1de T(1) (es o es, con el impa 3y sus
duplicaciones) ambién abandonan el amo pa y pasan a la ase impa con un alo mayo , po
lo que no pueden eg esa al pun o de pa ida.
4.7. Con e gencia hacia la columna 1de T(1)
La ep esen ación geomé ica median e las amilias T(a)yT(b)mues a que las cadenas de
amos ob enidas al enlaza cie es impa es y pa es acaban ci culando po la zona co espondien e
al iángulo T(1), y en pa icula po su p ime a columna, donde se encuen a el ciclo i ial
1↔2. En los ejemplos cons uidos (como la ayec o ia iniciada en 15) se obse a que, as
al e na a ios iángulos de una y o a amilia, la secuencia en a en el amo pa
8→4→2→1,
que es el ep esen ado en la columna 1de T(1).
Obse ación 4.1. Es e compo amien o puede desc ibi se como una con e gencia global hacia
la egión de T(1), en endida en sen ido geomé ico: los amos enlazados po sus a ac o es
e minan alcanzando el iángulo gene ado po b= 1, donde la dinámica queda es abilizada en
el ciclo 1↔2. No se o ece aquí una demos ación comple a de es e hecho; se ecoge como
conclusión empí ica de i ada de la es uc u a dual p opues a.
4.8. Descenso de cie es impa es ipo II
Los cie es impa es de ipo II (w≡1 (m´od 4)) son los alo es que inalizan las ilas de los iángu-
los T(a)y o iginan los amos siguien es. El compo amien o de es os cie es puede o maliza se
median e el siguien e esul ado.
9
Re e encias
[1] L. Colla z, “Übe eine Au gabe de Zahlen heo ie,” Si zungsbe ich e de Hambu gischen Aka-
demie de Wissenscha en, 1937.
[2] J. C. Laga ias, “The 3x+1 p oblem and i s gene aliza ions,” Ame ican Ma hema ical Mon hly,
ol. 92, pp. 3–23, 1985.
[3] J. C. Laga ias (ed.), The Ul ima e Challenge: The 3x+1 P oblem. Ame ican Ma hema ical
Socie y, P o idence, 2010.
[4] J. C. Laga ias, “The se o a ional cycles o he 3x+1 p oblem,” Ac a A i hme ica, ol. 70,
no. 3, pp. 199–206, 1994.
[5] R. Te as, “A s opping ime p oblem on he posi i e in ege s,” Ac a A i hme ica, ol. 30,
pp. 241–252, 1976.
[6] S. C andall, “On he 3x+1 p oblem,” Ma hema ics o Compu a ion, ol. 32, pp. 1281–1292,
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[7] T. Oli ei a e Sil a, S. S eine , and M. T ojo ský, “Empi ical e i ica ion o he 3x+1 and
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[8] M. Ce dá, “Es uc u a geomé ica dual de la dinámica de Colla z simpli icada,” Zenodo, 2025.
DOI: pendien e.
16
