ISSN: 3030-3931, Impac ac o : 7,241 Volume 10, issue 2, Noyab 2025
h ps://wo ldlyjou nals.com/index.php/Yangiizlanu chi wo ldly knowledge
OAK Index bazala i : esea ch ga e, esea ch bib.
Qo’shimcha index bazala i: zenodo, open ai e. google schola .
O iginal a icle
263
UCHINCHI TARTIBLI XUSUSIY HOSILALI DIFFERENSIAL TENGLAMA UCHUN
TESKARI MASALA
Mu odo a Sh.I.
O‘zbekis on Milliy uni e si e i,
Amaliy ma ema ika a in ellek ual exnologiyala akul e i alabasi,
E-mail: [email p o ec ed]
Anno a siya: Ushbu maqolada uchinchi a ibli xususiy hosilali di e ensial englama uchun
eska i masala o‘ ganilgan. Teska i masalaning yechimi uchun anali ik a sonli usulla asosida
yondashu la ko‘ ib chiqiladi. Sha la be ilgan holda di e ensial englamaning noma’lum
koe i sien la ini aniqlash, ma judlik a yagona yechimning ma judligi masalala i ahlil
qilinadi. Shuningdek, eska i masalaning ba qa o ligi a hisoblash aniqligi masalala i
muhokama qilinadi hamda misolla yo damida amaliy na ijala kel i iladi.
Kali so‘zla : uchinchi a ibli di e ensial englama, xususiy hosilali englama, eska i masala,
anali ik yechim, sonli usul, ba qa o lik, ma judlik, yagona yechim.
Hozi gi kunda u li izik, exnik a muhandislik ja ayonla ini ma ema ik
modellash i ishda aq a azo o‘zga u chila i bo‘yicha bog‘langan xususiy hosilali
di e ensial englamala muhim o‘ in egallaydi. Bunday englamala yo damida issiqlik
o‘ kazish, o‘lqin a qalishi, elas iklik, di uziya, eb anish a soddalash i ilgan ene ge ik
izimla ning ha aka i kabi mu akkab ja ayonla ahlil qilinadi.
Shunday englamala dan bi i
( )
2
( , ) ( , )
xx
u x a u x x- =
,
0a
, (1)
ko‘ inishidagi englama bo‘lib, ushbu englama ay im iskoelas ik ma e ialla dagi
de o ma siya ja ayonla ini, demp e langan eb anishla , shuningdek issiqlik yoki mexanik
a’si ning aq bo‘yicha o‘zga u chi dinamikasini a si lashda uch aydi.
To‘g‘ i masala.
{ }
0 ,0x T
p
W = < < <
sohada (1) englamani a boshlang‘ich
( ) ( )
,0u x x
j
=
,
( ) ( )
,0
u x x
y
=
,
0x
p
, (2)
chega a iy
( ) ( )
0, , 0u u
p
= =
,
0 T
, (3)
sha la ni qanoa lan i u chi
( )
,u x
unksiyani oping.
ISSN: 3030-3931, Impac ac o : 7,241 Volume 10, issue 2, Noyab 2025
h ps://wo ldlyjou nals.com/index.php/Yangiizlanu chi wo ldly knowledge
OAK Index bazala i : esea ch ga e, esea ch bib.
Qo’shimcha index bazala i: zenodo, open ai e. google schola .
O iginal a icle
264
Teska i masala. (1)-(3) masaladagi
( )
x
j
a
( )
x
y
unksiyala be ilgan ma’lum,
( )
x
unksiya noma’lum bo’lsa,
( ) ( )
,u x T g x=
(4)
qo‘shimcha sha asosida
( )
x
unksiyani oping, bu ye da
( )
g x
be ilgan unksiya.
Tadqiqo ning asosiy maqsadi — be ilgan boshlang‘ich-chega a iy sha la asosida
eska i masala yechimi
( )
x
unksiyani a o‘g‘ i masala yechimi
( )
,u x
unksiyani
opishdan a ula ning uning ma judligi, yagonaligi hamda ba qa o ligini o‘ ganishdan ibo a .
Fa az qilamiz (1)-(3) masalada
( )
x
be ilgan bo‘lsin. (1)-(3) masala yechimini Fu ye
usuli bilan qidi amiz, ya’ni
( ) ( ) ( )
,u x X x T =
.
U holda (1) englamaning bi jinsli qismi
( )
X x
a
( )
T
unksiyala ga nisba an
( ) ( ) 0X x X x
l
+ =
,
( ) ( ) 0T T
l
+ =
englamala ga keladi, bu ye da
l
o‘zga mas son. (3) chega a iy sha la ni hisobga olsak,
keyingi spek al masalaga kelamiz:
( ) ( )
( ) ( ) 0,
0 0, 0.
X x X x
X X
l
p
+ =
= =
Ma’lumki, bu masala
2
nn
l
=
xos sonla ga a
( ) ( )
sin
n
X x nx=
xos unksiyala ga ega,
n N
.
Ha bi
, ( )
n n
X x
l
ju ligiga mos a ishda
( )
n
T
unksiyani
2 2
( ) ( ) 0
n n
T a n T + =
englamadan opamiz a
( )
2 2
a n
n n n
T A B e-
= +
,
bu ye da
,
n n
A B
- noma’lum koe i sien la . Bula ni aniqlashda boshlang‘ich sha la dan
oydalanamiz. Demak,
ISSN: 3030-3931, Impac ac o : 7,241 Volume 10, issue 2, Noyab 2025
h ps://wo ldlyjou nals.com/index.php/Yangiizlanu chi wo ldly knowledge
OAK Index bazala i : esea ch ga e, esea ch bib.
Qo’shimcha index bazala i: zenodo, open ai e. google schola .
O iginal a icle
265
( )
( )
( )
2 2
1
, sin
a n
n n
n
u x A B e nx
-
=
= +
,
bunda
( , )u x
unksiya
2
( , ) ( , ) 0
xx
u x a u x - =
englamaning yechimi bo‘lib,
( ) ( )
,0u x x
j
=
,
( ) ( )
,0
u x x
y
=
sha la ni qanoa lan i ishi ke ak. Shunday qilib,
( ) ( ) ( ) ( )
1
,0 sin
n n
n
u x A B nx x
j
=
= + =
,
( )
( )
( ) ( )
2 2
1
, sin
n
n
u x a n B nx x
y
=
= - =
.
Bu englikla dan
2 2
n
n n
Aa n
y
j
= +
,
2 2
n
n
Ba n
y
= -
bo‘lishini aniqlaymiz, bu ye da
( ) ( )
0
2sin
nx nx dx
p
j j
p
=
,
( ) ( )
0
2sin
nx nx dx
p
y y
p
=
. Na ijada
( )
( )
( )
2 2
2 2
1
, 1 sin
a n
n
n
n
u x e nx
a n
y
j
-
=
= + -
. (5)
Endi (1) englamaning bi jinslimas qismining yechimini opamiz. Ya’ni
( )
2
xx
u a u x- =
% %
(6)
englamani a
( )
,0 0u x =
%
,
( )
,0 0
u x =
%
, (7)
(0, ) 0, ( , ) 0u u
p
= =
% %
(8)
sha la ni qanoa lan i u chi
( , )u x
%
unksiyani aniqlaymiz. Ma’lumki,
( ) ( ) ( )
1
, sin
n
n
u x T nx
=
=%
%
,
( ) ( )
1
sin
n
n
x nx
=
=
shaklda yozish mumkin. Bula dan a (6) englama hamda (7) sha la dan
ISSN: 3030-3931, Impac ac o : 7,241 Volume 10, issue 2, Noyab 2025
h ps://wo ldlyjou nals.com/index.php/Yangiizlanu chi wo ldly knowledge
OAK Index bazala i : esea ch ga e, esea ch bib.
Qo’shimcha index bazala i: zenodo, open ai e. google schola .
O iginal a icle
266
( ) ( )
2 2
n n n
T a n T + =
% %
,
( )
0 0
n
T=
%
,
( )
0 0
n
T=
%
masalaga kelamiz. Buning yechimi
( )
( )
2 2
2 2 2 2
11a n
n
T e
a n a n
-
= - -
%
.
Demak, (6)-(8) masala yechimi
( )
( )
( )
2 2
2 2 2 2
1
1
, 1 sin
a n
n
n
u x e nx
a n a n
-
=
= - -
%
. (9)
Vanihoya , (5) a (9) asosida (1)-(3) masala yechimini
( )
( )
( )
2 2
2 2 2 2 2 2
1
1
, 1 sin
a n
n n
n n
n
u x e nx
a n a n a n
j y
-
=
= + + - -
(10)
ko‘ inishda yozamiz.
Teska i masalani yechish. (10) yechimni (4) sha ga qanoa lan i amiz a
( )
( )
( )
2 2
2 2 2 2 2 2
1
11 sin
a n T
n n
n n
n
T
g x e nx
a n a n a n
j y
-
=
= + + - -
.
Bundan ashqa i
1
( ) sin
n
n
g x g nx
=
=
,
bu ye da
( ) ( )
0
2sin
n
g g x nx dx
p
p
=
. Bu englikla dan
( )
2 2
2 2 2 2 2 2
11a n T
n n
n n n
T
g e
a n a n a n
j y
-
= + + - -
englikni aniqlaymiz a bundan
n N"
uchun
n
qiyma i
( )
2 2
2 2
4 4 4 4 2 2
2 2
1
1
a n T
n n n
na n T
a n g a n a n e
Ta n e
j y
-
-
- - -
=- +
(11)
ISSN: 3030-3931, Impac ac o : 7,241 Volume 10, issue 2, Noyab 2025
h ps://wo ldlyjou nals.com/index.php/Yangiizlanu chi wo ldly knowledge
OAK Index bazala i : esea ch ga e, esea ch bib.
Qo’shimcha index bazala i: zenodo, open ai e. google schola .
O iginal a icle
267
o mula bilan aniqlanishini opamiz.
1- eo ema. Ay aylik,
( ) ( )
2 2
2 2
[0, ], [0, ]x W g x W
j p p
,
( )
2[0, ]x L
y p
bo‘lsin. U
holda
00T T" >
uchun (1)-(4) eska i masala yechimi ma jud, yagona a
( ) ( ) ( )
()
( )
2 2
2 2 2
2
1 2
W W L
a C C
x g x x x
T T
j y
+ +
engsizlik o‘ inli bo‘ladi, bu ye da
1
C
,
2
C
- chega alangan musba o‘zga masla .
Isbo . (11) englikdan
( )
( )
( )
2 2
2 2
4 4 4 4 2 2
2 2
1
1
sin
1
a n T
n n n
a n T
n
a n g a n a n e
x nx
Ta n e
j y
-
-
=
- - -
=- +
.
U holda
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2
4 4 4 4 2 2
2
2 2
1
2
4 4 2
8 8 2 8 8 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
111
1
1
3 1
3 3 .
1 1 1
a n T
n n n
a n T
n
a n T
n
n n
a n T a n T a n T
nnn
a n g a n a n e
x Ta n e
a n e
a n g a n
Ta n e Ta n e Ta n e
j y
y
j
-
-
=
-
- - -
===
- - -
=- +
-
+ +
- + - + - +
(12)
Shuni akidlaymizki,
0T" >
uchun
2 2
2 2 1 0
a n T
Ta n e-
- + >
.
T
qiyma i 0 soniga
yaqinlashganda (12) qa o qiyma i
+
ga in iladi. Shuning oldini olish uchun,
T
qiyma i
00T T >
bo‘yicha qa aladi.
(12) engsizlikning o‘ng a a idagi qa o la ni baholab chiqamiz:
Ye a licha ka a
n
qiyma la ida
( )
2 2
8 8 2
2
2 2
11
n
a n T
n
a n g
Ta n e-
=- +
qa o
( )
8 8 2 4 4 2
22
2 2
1 1
n n
n n
a n g a n g
T
Ta n
= =
=
qa o bilan,
( )
2 2
8 8 2
2
2 2
11
n
a n T
n
a n
Ta n e
j
-
=- +
qa o
4 4 2
2
1
n
n
a n
T
j
=
qa o bilan a
( )
( )
2 2
2 2
2
4 4 2
2
2 2
1
1
1
a n T
n
a n T
n
a n e
Ta n e
y
-
-
=
-
- +
qa o
2
2
1
n
nT
y
=
qa o bilan majo an bo’ladi. Demak, aga
ISSN: 3030-3931, Impac ac o : 7,241 Volume 10, issue 2, Noyab 2025
h ps://wo ldlyjou nals.com/index.php/Yangiizlanu chi wo ldly knowledge
OAK Index bazala i : esea ch ga e, esea ch bib.
Qo’shimcha index bazala i: zenodo, open ai e. google schola .
O iginal a icle
268
( ) ( )
2 2
2 2
[0, ], [0, ]x W g x W
j p p
a
( )
2[0, ]x L
y p
bo‘lsa
( )
2
x
yaqinlashu chi qa o
bo‘ladi. Bu esa (1)-(4) eska i masala yechimi
2[0, ]L
p
azoda ma jud ekanligini ko‘ sa adi.
( )
x
j
,
( )
g x
,
( )
x
y
unksiyala ga mos
n
j
,
n
g
,
n
y
Fu ye koe i siyen la
n N"
uchun bi qiyma li aniqlangan bo’ladi. Bundan,
( )
0x
j
=
,
( )
0g x =
,
( )
0x
y
=
bo‘lsa
( )
0 x
ekanligi kelib chiqadi, bu ye da
00T T >
. Demak, (1)-(4) eska i masala yechimi
yagona bo‘lishini ko‘ ish mumkin.
Qa o la yaqinlashu chi ekanligidan,
( ) ( ) ( )
()
( )
2 2
2 2 2
4 2 2
2 2 2 2
1 2
2 2
W W L
a C C
x g x x x
T T
j y
+ +
engsizlikni yozish mumkin, bu ye da
1
C
,
2
C
bi o musba o‘zga masla . Bundan esa
( ) ( ) ( )
()
( )
2 2
2 2 2
2
1 2
W W L
a C C
x g x x x
T T
j y
+ +
engsizlik kelib chiqadi. 1- eo ema isbo bo‘ldi.
(11) englikni (10) yechim i odasiga olib bo ib qo‘yilsa (1)-(4) o‘g‘ i masala
yechimini
( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
1
1
, 1 1 sin
1
a n
a n a n T
n n
n n n
a n T
n
a n e
u x e g e nx
a n a n
a n T e
y y
j j
-
- -
-
=
- +
= + - + - - -
- +
(13)
ko‘ inishda i odalash mumkin.
2- eo ema. Aga
00T T >
,
( ) ( )
2 2
2 2
[0, ], [0, ]x W g x W
j p p
a
( )
2
2[0, ]x W
y p
bo‘lsa, (1)-(4) o‘g‘ i masala yechimi ma jud, yagona bo‘ladi hamda
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 3
, 2 3 3u x x x g x
a
j y
+ +
engsizlik o‘ inli.
Isbo . (13) unksiyadan mos a ishda (1) englamada qa nasghgan xususiy hosilala ni
hisoblaymiz:
ISSN: 3030-3931, Impac ac o : 7,241 Volume 10, issue 2, Noyab 2025
h ps://wo ldlyjou nals.com/index.php/Yangiizlanu chi wo ldly knowledge
OAK Index bazala i : esea ch ga e, esea ch bib.
Qo’shimcha index bazala i: zenodo, open ai e. google schola .
O iginal a icle
269
( )
( )
( )
2 2
2 2 2 2
2 2
4 4
2 2
2 2
2 2
1
, 1 sin
1
a n
a n a n T
n
n n n
a n T
n
a n e
u x a n e g e nx
a n
a n T e
y
y j
-
- -
-
=
= - + - - -
- +
,
( )
( )
( )
2 2
2 2 2 2
2 2
2 4 2 4
2
2 2
2 2
1
, 1 sin
1
a n
a n a n T
n
xx n n n
a n T
n
a n a n e
u x n e g e nx
a n
a n T e
y
y j
-
- -
-
=
- +
= - + - - -
- +
.
Bula dan, (13) englamani qanoa lan i ishini ko‘ ishimiz mumkin. Bundan ashqa i,
2
( , )u x
,
2
( , )
u x
,
2
( , )
xx
u x
no mala dan hosil bo‘lgan qa o la yaqinlashu chi bo‘ladi aga
( )
x
j
,
( )
g x
,
( )
x
y
boshlang‘ich be ilgan unksiyala
2
2[0, ]W
p
azodan bo‘lsa, bu esa ma judligini
angla adi. (13) dan
( )
22 2 2
4
1 1 1
12
, 12 9
n n n
n n n
u x g
a
j y
= = =
+ +
engsizlik kelib chiqadi yoki
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 3
, 2 3 3u x x x g x
a
j y
+ +
.
Foydalanilgan adabiyo la :
Fayazo K.S., Xajiye I.O. Noko ek a eska i masalala . O‘qu qo‘llanma. –T.: “Ma’ i a ”,
2024. 176 be .
Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач. Учеб. Пособие.- М.: Изд-во МГУ,
1994. -208 с.
Vic o Isako . In e se P oblems o Pa ial Di e en ial Equa ions, Sp inge , 2006. 359 p.
