THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF
INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”,
NOVEMBER 20, 2025
194
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ ОТ СФЕРИЧЕСКОЙ
ПОЛОСТИ, РАСПОЛОЖЕННОЙ ВБЛИЗИ ЖЕСТКОГО ШАР
В УПРУГОМ ПРОСТРАНСТВЕ
А.М.Шукуров1, А.У.Жабборов1, Э.А.Мусурмонов1, М.О.Мусурмонова2
1 Каршинский государственный университет, Ka shi, Uzbekis an
2 Шахрисабзский государственный педагогический институт, Шахрисабз, Uzbekis an
h ps://doi.o g/10.5281/zenodo.17740335
Аннотация. В работе рассматривается задача о распространении
нестационарных поперечных волн от сферической полости вблизи жесткого шара в
упругом пространстве. Для решения задачи использовались интегральное преобразование
Лапласа по безразмерному времени и метод неполного разделения переменных. В
пространстве изображения задача сводится к решению бесконечной системы линейных
алгебраических уравнений, решение которой ищется в виде бесконечных рядов по
экспонентам. Для коэффициентов рядов получены рекуррентные соотношения и
начальные условия для них, что позволяет получить решение бесконечной системы без
использования метода редукции. Получены формулы для компонент вектора перемещений
и тензора напряжений. Переход к оригиналам осуществляется с помощью теории
вычетов. Были проведены численные эксперименты, результаты которых представлены в
виде графиков.
Ключевые слова: сферическая полость, жесткий шар, преобразование Лапласа,
изображение, бесконечная система, рекуррентные соотношения, упругая среда,
напряжение, перемещение, нестационарная волна.
Abs ac : The pape conside s he p oblem o p opaga ion o uns eady ans e se wa es
om a sphe ical ca i y nea a igid sphe e in an elas ic space. To sol e he p oblem, he in eg al
Laplace ans o m wi h espec o dimensionless ime and he me hod o incomple e sepa a ion o
a iables we e used. In he image space, he p oblem is educed o sol ing an in ini e sys em o
linea algeb aic equa ions, he solu ion o which is sough in he o m o in ini e se ies in
exponen ials. Fo he coe icien s o he se ies, ecu ence ela ions and ini ial condi ions o hem
a e ob ained, which allows one o ob ain a solu ion o an in ini e sys em wi hou using he
educ ion me hod. Fo mulas o he componen s o he displacemen ec o and he s ess enso
a e gi en. The ansi ion o he o iginals is ca ied ou using he heo y o esidues. Nume ical
expe imen s we e ca ied ou , he esul s o which a e p esen ed in he o m o g aphs.
Keywo ds: sphe ical ca i y, igid ball, Laplace ans o m, image, in ini e sys em,
ecu ence ela ions, elas ic medium, s ess, displacemen , non-s a iona y wa e.
Введение. Математическое моделирование и исследование нестационарных
волновых процессов в сплошных средах представляет собой сложное и, вместе с тем,
актуальное направление волновой динамики механики деформируемого твердого тела.
Актуальность проблем волновой динамики деформируемых тел обусловлена развитием
различных областей техники, созданием новых конструкций, работающих при
динамических нагрузках, а также проблемами геофизики, сейсмологии, нефтеразведки,
добывающей промышленности, строительства гражданских и промышленных сооружений.
THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF
INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”,
NOVEMBER 20, 2025
195
В настоящее время существует большое количество научных работ, посвященных
исследованию распространения и дифракции волн в сплошных средах. Например, В работе
[1] предложена трехмерная методика моделирования ударно-волновых процессов, как в
жидкостях, так и в твердых телах, а также для моделирования задач взаимодействия
жидкости и конструкции. Используется трехмерное и зависящее от времени решение
задачи Римана, что обеспечивает второй порядок аппроксимации по времени и
пространству в области гладких решений. Приведены результаты численного
моделирования процессов удара ледяных фрагментов по титановой пластине, разгона
продуктами детонации деформируемых упругопластических тел различной формы и
прокалывания алюминиевой пластины стальными ударниками. В статье [2] построен метод
решения краевой задачи для эллиптического пограничного слоя, возникающего в
тонкостенных оболочках вращения при ударах нормального типа по лобовым
поверхностям. Предлагаемый в работе метод решения уравнений эллиптического
пограничного слоя основан на использовании асимптотического представления образов
решения Лапласа (по времени) в экспоненциальной форме и представлен численный расчет
нормального напряжения на основе полученных аналитических решений для случая
сферической оболочки.
В монографии [3] приведены результаты систематических исследований по
проблеме нестационарного взаимодействия тонкостенных и сплошных деформируемых тел
сферической формы с упругими и акустическими средами. Распространение
нестационарных волн сдвига от сферического включения в упругом полупространстве
изучено в работе [4]. Получены формулы для компонент вектора смещения и тензора
напряжения. В [5] исследованы стационарные колебания подземного трубопровода,
вызванные косым падением плоской сейсмической волны. Показано, что косая волна может
быть представлена в виде нескольких продольных и поперечных волн,
распространяющихся вдоль трубопровода с большими скоростями. Приведена постановка
связанной задачи совместных продольных колебаний упругого грунта и трубопровода.
Решения для трубопроводов в сверхзвуковом и дозвуковом режимах демонстрируют
различный характер их поведения, что следует учитывать при сейсмических расчетах.
Данная работа посвящена изучению задачи о распространении нестационарных
поперечных волн от сферической полости, расположенной вблизи жесткого шар в упругом
пространстве, а также разработке алгоритма решения задачи и исследованию
нестационарных поперечных волновых процессов в упругом пространстве.
Постановка задачи. Пусть в бесконечной линейно-упругой однородной изотропной
среде расположена сферическая полость радиуса
1
R
вблизи жесткого шара радиуса
2
R
,
расстояние между центрами, которых равно
l
, где
12
l R R+
. Движение среды
рассматривается в двух сферических системах координат (
,
,
), начальные точки
O
которых находятся соответственно в центрах полости и шара (
1,2=
).
В начальный момент
0=
времени к внутренней поверхности сферической полости
приложена осесимметричная заданная касательная поверхностная нагрузка
11
( , )q
, что
образует вращательное движение среды вокруг оси, проходящей через центры сфер
11 11
11
( , )
R q
=
=
. (1)
На поверхности шара перемещение равно нулю
THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF
INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”,
NOVEMBER 20, 2025
196
222
0
R
w==
. (2)
С учётом осевой симметрии задачи движение среды относительно потенциала
описывается волновым уравнением
2 2 2
sin
= −
, (3)
2
22
11
sin
sin
= +
,
1,2=
,
где точками обозначено дифференцирование по времени.
Начальные условия – однородные
00
0
= =
= =
. (4)
На бесконечности отсутствует возмущение
lim 0
→ =
. (5)
Метод решения. Начально-краевая задача решается с применением интегрального
преобразования Лапласа по времени
и методом неполного разделения переменных. В
пространстве изображений Лапласа решение волнового уравнения разыскивается в виде
бесконечного ряда по полиномам Гегенбауэра
32
1(cos )
n
C−
2
32
1 2 1
11
sin ( ) ( ) (cos )
LL
n n n
n
A s K s C
+ −
= =
= −
,
где
12()
n
Kx
+
- модифицированные функции Бесселя второго рода;
()
L
n
As
-
неизвестные функции параметра
s
.
С использованием теоремы сложения [6] задача сведена к решению бесконечной
системы линейных алгебраических уравнений, которую запишем в виде системы
матричных уравнений. Решение системы матричных уравнений ищется в виде бесконечных
рядов по экспонентам. Получены рекуррентные соотношения для коэффициентов
бесконечных рядов и начальные условия к ним. Рекуррентные соотношения позволяют
определить все элементы в виде рациональных функций параметра преобразования
Лапласа
s
, что позволяет вычислить их оригиналы, следовательно, и оригиналы
коэффициентов ряда для компонент перемещения и напряжения среды с использованием
теории вычетов [7].
В пространстве изображений найдены выражения для коэффициентов рядов
компонент смещений и тензора напряжений:
3
2
1
( , ) ( )
L
nn
w s D s
= −
,
4
3
( , ) ( )
L
n n
s D s
=
,
( , )
, , 0
1
( , ) ( ) ( )
()
s
Ln
nm nm ijk
n
i j k
D s R s a s e
s
−
=
= +
( , ) 1
1
( ) ( ) ( )
p l s i j k
nm np ijk
p
G s S s a s e x y z
− − − −
=
+
,
3,4m=
;
2
mod 1 = +
,
1,2=
.
Результаты и обсуждение. Для примера рассматривается нестационарные
THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF
INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”,
NOVEMBER 20, 2025
197
поперечные колебания упругого пространства со сферической полостью и жестком шаром
в стальной (
10
20.1 10A=
Pa,
0.3=
,
3
7800 /kg m=
) упругой среде. Расстояние
между центрами полости и шара равно
3.5l=
. В условии (1) в качестве закона изменения
заданной касательной нагрузки по времени выбиралась функция Хэвисайда
1 1 0
( , ) ( )q q H =
,
01q=
и безразмерные параметры принимались равным значениям
11.0R=
,
21.5R=
,
0.2875=
,
1.0=
. Числовые результаты получены с учётом семи
членов рядов по полиномам Гегенбауэра. Результаты численных экспериментов
представлены в виде графиков изменения компонент
11
тензора напряжения и
1
w
вектора смещения по безразмерному времени
. На рис. 1 представлены графики
изменения тангенциального
11
напряжения по времени в точках среды:
11.2 =
,
14 =
(сплошная кривая),
11.5 =
,
14 =
(штриховая кривая) и
11.8 =
,
14 =
(точечно-штриховая кривая).
Рис. 1.
Рис. 2.
На рис. 2 построены кривые, характеризующие изменения компоненты
1
w
перемещения от времени в различных точках среды:
11.2 =
,
14 =
(сплошная кривая),
11.5 =
,
14 =
(штриховая кривая) и
11.8 =
,
14 =
(точечно-штриховая кривая).
Графики показывают, что с приходом волны появляется скачок. С увлечением
расстояния
1.2, 1.5, 1.8 =
уменьшаются скачки. Графики демонстрируют влияние
отраженных от жесткого шара волн на напряженно-деформированное состояние среды. Из
графиков видно, что напряжение и перемещение равны нулю до момента прихода первой
упругой волны. Для моментов
5
нестационарное состояние среды практически
переходит к стационарному состоянию.
Заключение. Разработан алгоритм решения задачи о нестационарных поперечных
волнах от сферической полости, расположенной вблизи жесткого шара в упругом
пространстве. Получены численные результаты, которые представлены в виде графиков.
Полученные результаты работы могут быть использованы в области геофизики,
сейсмологии и проектных организаций при строительстве сооружений, а также при
THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF
INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”,
NOVEMBER 20, 2025
198
проектировании подземных резервуаров.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Abuzia o M. H., Glazo a E. G., Koche ko A. V., and K ylo S. V., On New Me hod and 3D
Codes o Shock Wa e Simula ion in Fluids and Solids in Eule Va iables based on a Modi ied
Goduno Scheme, WSEAS TRANSACTIONS on FLUID MECHANICS, 2023, Vol. 13, pp.
173 - 192. DOI: 10.37394/232013.2023.18.17
2. Ki illo a I.V., "Ellip ic Bounda y Laye in Shells o Re olu ion unde Su ace Shock Loading
o No mal Type," Mech. Solids. 2024, Vol. 59, No.5, pp. 2686-2693. DOI:
10.1134/S0025654424604397
3. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Нестационарная аэрогидроупругост тел сферической
формы. – М.: Наука. Гл. ред. физ.–мат. лит, 1990. – 264 с.
4. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В., Шукуров А.М. Распространение нестационарных
волн сдвига от сферического включения в упругом полупространстве // Известия РАН,
МТТ., № 6. – 2004. – С. 62–68.
5. Исраилов М.Ш., «Действие косой сейсмической волны на подземный трубопровод»,
Механика твердого тела, т. 57, вып. 5, с. 1006-1015 (2022) DOI
10.3103/S0025654422050089
6. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. – Минск: Наука и
техника, 1968. – 584 с.
7. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функции комплексного переменного. –
М.: Наука, 1987. – 688 с.
