Bü le , Hans-Jü g
A icle
Is eine nega i e Einkommens eue au s äd ische Ebene
möglich?
Zei sch i ü Wi scha s- und Sozialwissenscha en (ZWS) - Vie eljah essch i de
Gesellscha ü Wi scha s- und Sozialwissenscha en, Ve ein ü Socialpoli ik
P o ided in Coope a ion wi h:
Duncke & Humblo , Be lin
Sugges ed Ci a ion: Bü le , Hans-Jü g (1984) : Is eine nega i e Einkommens eue au s äd ische
Ebene möglich?, Zei sch i ü Wi scha s- und Sozialwissenscha en (ZWS) - Vie eljah essch i
de Gesellscha ü Wi scha s- und Sozialwissenscha en, Ve ein ü Socialpoli ik, ISSN 0342-1783,
Duncke & Humblo , Be lin, Vol. 104, Iss. 5, pp. 477-488,
h ps://doi.o g/10.3790/schm.104.5.477
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h ps://hdl.handle.ne /10419/291585
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Is eine nega i e Einkommens eue
au s äd ische Ebene möglich?
Von Hans-Jü g Bü le
Wü de ein Plane die iden ischen Bewohne eine S ad im Raum so an-
siedeln, daß die Summe alle Nu zen de Bewohne am g öß en wi d, dann
könn e bekann lich de Plane nich alle Bewohne gleich behandeln, d.h.
einige bekämen meh und ande e wenige Einkommen. Die o liegende
A bei e wende im Rahmen diese Au gabens ellung ein Zwei-Haushal -
Modell, um die F age zu behandeln, ob eine nega i e, lokale Einkommens-
s eue op imal is .
Einlei ung
Es is sei länge em bekann , daß au lokale Ebene die Bes eue ung
de Di e en ial-Boden en e op imal is und ollau genüg , die ö en -
lichen Ausgaben eine S ad zu inanzie en. Diese Sach e hal is als
Sa z on Hen y Geo ge ode als „goldene Regel de lokalen ö en lichen
Finanzen" in die Li e a u de S ad ökonomik eingegangen.1 Die P axis
sieh jedoch on de Bes eue ung de Boden en e, abgesehen on Spe-
zial ällen wie de Liegenscha ss eue und de G unds ückgewinns eue ,
ab und e wende ielmeh ande e S eue o men wie z. B. die „Eigen-
umss eue " (p ope y ax) in angelsächsischen Lände n. Wäh end die
Einkommenss eue in manchen eu opäischen S aa en -nu au s aa liche
bzw. Bundesebene angewand wi d, komm sie in de Schweiz auch au
lokale Ebene zui Anwendung, wo p ak isch 90 P ozen des S eue -
au kommens eine Gemeinde du ch Einkommenss eue n (und Kapi al-
e agss eue n de Un e nehmen) beigeb ach wi d, das keinem ode
nu ge ing ügigem Finanzausgleich zwischen den Gemeinden un e -
lieg . In diesem Au sa z soll deshalb un e such we den, ob die on
manchen Ökonomen (un e ande em on Mil on F iedman) ge o de e
nega i e Einkommenss eue in eine S ad op imal is , de en S eue au -
kommen allein du ch Einkommenss eue n au geb ach wi d. Zu diesem
Zweck wi d ein ein aches S ad modell e wende , in dem lediglich
zwei Haushal e be ücksich ig we den. Daneben wi d gezeig , daß im
Wohl ah sop imum de ähige e bzw. eiche e Haushal bei gleichzei ig
ge inge em Nu zen nähe zum S ad ke n wohn als de ä me e Haus-
hal . In diesem Fall is auch die Einkommensspanne de beiden Haus-
i Vgl. Fla e s u. a. (1974), A no (1979) und Kanemo o (1980).
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478 Hans-Jü g Bü le
hal e am ¡g öß en. Im nächs en Abschni wi d das Modell -e läu e und
im le z en Abschni we den die Resul a e o ges ell .
Das Modell
Be ach e wi d eine lange, schmale S ad , die eine einhei liche B ei e
on eine Längeneinhei au weis .2 Ang enzend an den Geschä ske n
lieg die Wohnzone, on de die Haushal e äglich zu A bei pendeln.
Das G unds ück des e s en Haushal es liege nähe zum Geschä ske n
als das G unds ück des zwei en Haushal es. Die Pendle s ecke wi d ge-
messen om Rand des Geschä ske ns bis zum Mi elpunk des be e -
enden G unds ücks. Jede Haushal zieh Nu zen (u) aus dem Konsum
on Land (Z), on einem allgemeinen Konsumgu (c), dessen P eis gleich-
zei ig Maßeinhei (nume ai e) is , on F eizei (/) und on einem einen
ö en lichen Gu (g), das in de S ad angebo en und du ch die Einkom-
menss eue inanzie wi d. Die beiden Haushal e we den du ch die
Fähigkei (n), eine A bei in bes imm e Zei du ch üh en zu können,
un e schieden. Das Einkommen (y) eines Haushal es se z sich deshalb
aus de A bei szei ( ), dem Lohn (w) ü eine Pe son de „Einhei s ähig-
kei " (n = 1) und dem Fähigkei spa ame e (n) zusammen, was dem
A bei san eizansa z on Mi lees (1971, 1976) en sp ich :
(1)
2/
= ni
w>
i:=l,2.
Die F eizei eines Haushal es kann mi (1) gesch ieben we den:
(2a) = 0 - 2 l /2 - yjlnx w) > 0 ,
(2b) 2 = o - 2 (h + h!2) -
y2/(7T2
w) ^ 0 ,
wobei o die Nich a bei ss unden je Tag und 2 die Pendle zei je Län-
geneinhei bezeichnen. De zwei e Ausd uck in (2) bes imm die Pendle -
zei und de d i e Ausd uck gemäß (1) die A bei szei . Das Wohl ah s-
op imum de S ad sei dann e eich , wenn die Summe de Nu zen de
beiden Haushal e am g öß en is , was dem P inzip on Ben ham en -
sp ich . Zu diesem Zweck bes immen wi die Nu zenmöglichkei sku e,
d. h. wi maximie en den Nu zen des e s en Haushal es un e de Be-
dingung, daß de zwei e Haushal ein bes imm es Nu zenni eau e eich .
Die Nu zen unk ionen seien on de Cobb-Douglas-Fo m omd ü beide
Haushal e gleich:
(3) max = cx
ei lx
ei ^z g ,
un e de Nebenbedingung:
(4) U2 = c2£il2e2/2
e3 0 •
2 Vgl. Solow und Vick ey (1971).
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Is eine nega i e Einkommens eue au s äd ische Ebene möglich? 479
Das eine ö en liche Gu (g) sei in diesem Zusammenhang exogen ge-
geben und dien lediglich als Skalie ungs ak o ,
d.
h. die Einnahmen-
sei e de ö en lichen Hand is unabhängig on de Ausgabensei e. Die
Nu zenmaximie ung un e liege zudem de Bedingung, daß die Summe
de G unds ücke de beiden Haushal e gleich de e ügba en Boden-
läche in de S ad (n) sein muß:
Wei e hin sei ge o de , daß die S eue n <aus Einkommen de beiden
Haushal e gleich einem o gegebenen Au kommen (E) sein müssen:
wobei pi und P2 die Boden en en de beiden G unds ücke bezeichnen;
beide sind o gegeben und en sp echen in einem kon inuie lichen Mo-
dell den Boden en en beim Geschä ske n bzw. dem S ad and. De Pa-
ame e bezeichne die „Geldkos en" des Pendeins je Längeneinhei .
De e s e Ausd uck in Klamme n in (6) en sp ich dem S eue au kom-
men des e s en Haushal es und de zwei e Ausd uck jenem des zwei en
Haushal es. Schließlich wi d noch e lang , daß das A bei sangebo de
beiden Haushal e gleich de o gegebenen Nach age (N) is , d. h. un e
Ve wendung on (1) muß gel en, wenn de Lohn (w) in N be ücksich ig
wii d:
Die Maximienung on (3) un e den Bedingungen (4) - (7) und un e
Be ücksich igung on (2) wi d, nach geeigne e Subs i u ion, in bezug
au Konsumgu , Land und Einkommen des e s en Haushal es du chge-
üh . Dabei wu de noch nich s da übe ausgesag , ob de e s e Haus-
hal , de nähe beim Zen um wohn , in bezug au die A bei ähige als
de zwei e Haushal is , d. h. n § ng. Als E gebnis de Op imie ung e -
hal en wi ü Konsumgu und Einkommen des e s en Haushal es in
Abhängigkei des Landkonsums des e s en Haushal es:
(5) = h + h •
(6) E = (y1-c1- Vi h - h V2) +(2/2 ~ c2 - & h - x
(Zx
+ Ig/2)) ,
(7) N = y1 + y2 .
(8)
Zi
(K -KgZj)
l
+
(9)
2/1
= o - h V2) nl w -
C1 ((*0 - h V2) (nl w + ^2 w) + (k2 - *b) n2 w)
Ki — k3 h
mi den olgenden Kons an en:
(10a) K1:=N-E-p2 1-i1 1/2
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480 Hans-Jü g-Bü le
(10b) K2: =T0-T2 /2 - NÍ(TL2 W) ,
(10c) K8:=p1-p2 + i1 .
Mi (8) und (9) is die inne e Lösung olls ändig bes imm , wenn die
G unds ücks läche des e s en Haushal es o gegeben bzw. a iie wi d.
E gebnisse
Degene ie e Fälle
Degene ie e Fälle, d.h. Ecklösungen können »au e en, wenn die
Nu zen unk ion nich homogen om G ade kleine als Eins is .3
Das üh zum einen on de Bedingung, daß die Nu zen unk ion
s eng konka is , und zum ande en on de u sp ünglich on Mi lees
(1972) o mulie en Au gabe he . In diesem Modell is jedoch eine inne e
Lösung möglich, selbs dann, wenn die Nu zen unk ion homogen om
G ade Eins is , was ü Fall A in Abb. 1 da ges ell is . Wei e e degene-
ie e Fälle können au e en, wenn im We ebe eich keine inne en
Lösungen ü die Op imie ungsaiu gabe (3) - (7) exis ie en. No wendige,
jedoch nich hin eichende Bedingungen e häl man, wenn man o de ,
daß in den beiden Eckpunk en, die au den Achsen liegen, eine inne e
Lösung exis ie , d. h. die en sp echenden Va iablen nich nega i sind.
Fü den e s en Eckpunk , wo u2 Null is , olg ü die inne e Lösung aus
(8) und (9):
(IIa) i^max; zi:= Tl9c := K - K^y^
-n2w
(i0
- 2 1- N/(TI2
w)),
:
= y - 2 í/2 - yj^
w)
.
(IIb) u2 = 0:Z2:=Ck:=/2:=0>¡ e:=N-ííi •
Fü den zwei en Eckpunk , wo ui Null is , olg :
(12a) iz1 = 0:Z1:=c1:= :=0>y1:=io«iW
>
(12b)
u2max:
i2: = h = K ,
y2: =
N
—
0
n^
w ,
/2:= K2 + n W/(TL2 W) .
No male weise is das Einkommen bindend, so daß sich aus (11) und
(12) als no wendige Bedingung ü die ei wählba en Fähigkei spia a-
me e e gib :
(13a) n^w^ N/ÍQ ,
(13b) ^w^N/Uo- ^i) .
s Vgl. Ha wick (1982) ü den Zwei-Haushal -Fall des Modelles on
Mi lees (1972).
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Is eine nega i e Einkommens eue au s äd ische Ebene möglich? 481
Abb. 1: Va ia ion de Nu zenelas izi ä en ü n== 0.28 und n2 w = 0.35.
Ku e A: = 0.4,
a2
= 0.2, = 0.4.
Ku e B:
e1
= 0.3,
a2
= 0.15, e3 = 0.2.
Ku e C: ex = 0.1, e2 = 0.05, ¿3 = 0.05.
Fü die nach olgenden Beispiele sind diese Bedingungen imme e -
üll , so daß übe dem ganzen We ebe eich de Nu zenmöglichkei s-
ku e inne e Lösungen exis ie en, wobei olgende Kons an en ge-
wähl wu den:
o = 16, h = 0.04, e = 0.2, n = 7, N = 6, E = 0.7,
g = 1.8, pi = 0.045, pe = 0.02 .
Die Auagaben de S ad (E) sind und ein Zehn el des A bei sein-
kommens de S ad (IV), wobei zu be ücksich igen is , daß die Boden-
besi ze gemäß Annahmen nich in de S ad wohnen und deshalb de
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482 Hans-Jü g Bü le
An eil de ö en lichen Ausgaben am „Inlandsp oduk " de S ad e was
kleine is . In Abb. 1 sind die Nu zungs-möglichkei sku en ü un e -
schiedliche Homogeni ä sg ade au ge agen. Mi abnehmendem Homo-
geni ä sg ad sink die Möglichkei on Ecklösungen, wobei eine inne e
Lösung auch ü den G ad on Eins exis ie .
Wohno swahl
Au g und on Ben hams Wohl ah s unk ion is es bekann lich op i-
mal, wenn de zwei e Haushal einen höhe en Nu zen e ziel , alls beide
Haushal e die gleichen Fähigkei en besi zen.4 Ku e B in Abb. 2 zeig
"l
Abb. 2: Wohno swahl ü €1 = 0.2, = 0.1 und ss = 0.1.
Ku e A: n w = 0.28,
7%
w = 0.35.
Ku e B: ^w = 0.28, n2w = 0.28.
Ku eC: ^w = 0.35, ®w = 0.28.
* Vgl. Mi lees (1972) und Kanemo o (1980).
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Is eine nega i e Einkommens eue au s äd ische Ebene möglich? 483
diesen Fall, wo das Op imum, d.h. die maximale Summe de beiden
Nu zen, un e halb de 45°-Ge aden lieg . Ku e A zeig den Fall, daß
de e s e Haushal wenige ähig als de zwei e Haushal is , wäh end
Ku e C den umgekeh en Fall behandel . Einzelne We e ü diese -d ei
Fälle sind in den Tabellen 1 bis 3 wiede gegeben. Die Fähigkei spa a-
me e wu den de a gewähl , so daß im Fall A de maximale Nu zen
des zwei en, ähige en Haushal es g öße als jene des e s en, wenige
ähigen Haushal es is , d. h. iZßmax > i£imax, was sich aus olgende qua-
d a ischen Gleichung e gib :
(14a) «o - k n)
< l*
)2 + ( 0 -
- W»*!" (( jq
— -
K3 )
+ (N - 0
nx
w)
7ij
(K K ) Si!H ^ 0 .
In unse em Beispiel olg da aus ü 7ii w = 0.28:
(14b) 0.092905 0.37945 .
Aus Abb. 2 is e sich lich, daß in allen d ei Fällen das Op imum un e -
halb de 45°-Ge aden lieg , d. h. de zwei e Haushal e ziel unabhängig
on ©eine Fähigkei den höhe en Nu zen. Die Wohl ah is in de S ad
dann am g öß en, wenn de ähige e Haushal innen wohn . Mi den
gegebenen Pa ame e n e ziel de e s e, ähige e Haushal ein Einkom-
men on 3.7286 und bezahl da on die Einkomeaiss eue T = 1.2318,
wäh end de zwei e, wenige ähige Haushal ein Einkommen on
2.2714 e ziel , eine nega i e Einkomenss eue Tg =
—
0.5318 e häl
und einen höhe en Nu zen e ziel ( gl. Tabelle 3). Es e schein pa adox,
wenn de ähige e Haushal ein höhe es Einkommen e ziel , hingegen
im Op imum ein kleine es Nu zenni eau als de wenige ähige Haus-
hal e eich , wi d abe im Modell du ch das Fehlen eine Bedingung
e klä , welche das Einhal en de indi iduellen Nu zenmaximie ungs-
Vo sch i en o de , die zu Bes immung de op imalen Einkommens-
s eue no male weise be ücksich ig we den.5
s Wäh end Coo e (1978) die An wo au die F age, ob eine nega i e Ein-
kommenss eue in einem nich äumlichen Modell exis ie , de Nume ik
übe läß , wi d diese selbs im o liegenden, ein achen Zwei-Haushal -Modell
un e Einschluß de genann en Bedingungen schwie ig. Zum Beispiel müß e
man au die Ve ände ung de indi ek en Nu zen unk ionen de beiden Haus-
hal e abs ellen ( gl. Mi lees [1976]), die Boden en e und den S ad and adius
als endogene G ößen (zusammen mi eine Randbedingung) behandeln. Alle -
dings is zu e wa en, daß die Möglichkei eine nega i en Einkommenss eue
da on unbe üh bleib .
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Hans-Jü g-Bii le
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