504  POLITICKÁ EKONOMIE, 4, 2010
POSOUZENÍ ODHADU MĚNOVÉHO RIZIKA PORTFOLIA
POMOCÍ LÉVYHO MODELŮ
Tomáš Tichý, Ekonomická akul a VŠB-TU Os a a*
1. Ú od
Modelo ání p a děpodobnos ního ozdělení ýnosů po olií i nančních ins umen ů
je nedílnou součás í řízení izik i nančních ins i ucí, ať už se jedná o banky, pojiš-
ťo ny, nebo in es iční společnos i. S po oliem i nančních ins umen ů je spojeno
přede ším žní iziko. V ámci něj můžeme dále ozliši iziko akcio é, měno é,
ú oko ých sazeb a případně komodi ní, přičemž p o meziná odně ak i ní subjek y je
klíčo é iziko měno é, j. iziko yplý ající z neočeká ané změny ku zů cizích měn,
důsledku čehož dochází ke změně žní ceny cizí měně denomino aných pozic.
K ali ně ses a ený model p o p a děpodobnos ní ozdělení ýnosů po olií
předs a uje nezby ný k ok p o e ek i ní odhad izika a jeho následné řízení. S ím
zá o eň sou isí u čení ú o ně kapi álu, k e ý je nu ný k jeho pok y í na dané hladině
ýznamnos i, espek i e s danou spolehli os í.
Výkonnos i nančních ins i ucí je obecně elmi ci li á na dů ě u klien ů a po ažmo
i celého hu. Jejich s abili a je zá o eň důleži á p o unkčnos z ahů současné
ekonomice. To indikuje požada ky na řízení izik ze d ou s an: z pohledu eřejného
zájmu (o gány egulace a dohledu) a z pohledu las níků kapi álu. V p ém případě
je iziko řízeno na bázi egula o ního kapi álu a kapi álo é přiměřenos i, e d uhém
se jedná o ekonomický kapi ál na bázi cíleného a ingu. P á ě ekonomický kapi ál je
zp a idla založen na elmi ysoké ú o ni spolehli os i k y í izik, k e á mohou nas a ,
a indikuje po řebu e ek i ních pos upů modelo ání zohledňujících p a di é ys ižení
ěžkých konců p a děpodobnos ního ozdělení.
D uhým bodem, k e ý ymezuje požada ky na hodný model, je cha ak e
eálných ýnosů i nančních ak i . Sku ečné ýnosy i nančních ak i posledních
le ech ykazují elmi ý aznou odchylku od no málnos i – edy Gausso a p a děpo-
dobnos ního ozdělení ýnosů, j. s nulo ou šikmos í a nulo ou doda ečnou špiča os í.
Ačkoli již například Fama (1965) zamí l předpoklad Gausso a ozdělení ýnosů,
je oho o zjednodušení s ále hojné míře yuží áno jako s anda du. P o e ek i ní
odhad izika šak je hodnější apliko a něk e ý z modelů, k e é umožňují ys ižení
i yšších momen ů p a děpodobnos ního ozdělení ýnosů, jako jsou Lé yho modely
(p o přehled iz například Con a Tanko , 2004).
* Významná čás oho o příspě ku znikla ámci p ojek u G an o é agen u y České epubliky, GAČR:
402/08/1237 a p ojek u SGS VŠB-TUO SP/20104.
POLITICKÁ EKONOMIE, 4, 2010  505
Tře ím bodem, k e ý úzce sou isí s předchozím, je ýbě modelu p o hodné yjád-
ření zá islos í mezi dílčími zd oji izika. Za ímco s anda dní předpoklad Gausso a
ozdělení p a děpodobnos i umožňuje apliko a při modelo ání p a děpodobnos ního
ozdělení po olia sd užené Gausso o ozdělení p a děpodobnos i, p áce s komplex-
nějšími modely nebo dokonce aplikace ůzných p ocesů p o dílčí zd oje izika ( j. íce
ůzných mezních ozdělení p a děpodobnos i) yžaduje zah nu í složi ějších pos upů,
jako jsou kopula unkce (Skla , 1973).
Ten o článek je zaměřen na posouzení hodnos i aplikace Lé yho modelů na bázi
subo diná o u sd užených pomocí běžných elip ických kopula unkcí při odhadu izika
po olia ci li ého na ý oj měno ých ku zů.1 Cílem edy je po o na úspěšnos d ou
Lé yho modelů ( a iance gamma model a no mal in e se Gaussian model) zhledem
ke s anda dnímu (geome ickému) B owno u pohybu při odhadu izika po olia ci li-
ého e s ejné míře na ý oj šes i no malizo aných měno ých ku zů ( ři s ředoe opské
a ři s ě o é měny). Riziko je o mulo áno jako Value a Risk (condi ional Value a Risk)
na hladinách ýznamnos i, k e é jsou dány Basel II, Sol ency II a d ěma cílo ými
a ingy s ysokým s upněm ná a nos i, j. 15%, 1%, 0,5%, 0,1% a 0,03%, doplněné
o 5%.2 Za účelem spojení mezních ozdělení p a děpodobnos i jsou u ažo ány d ě běžné
elip ické kopula unkce – Gausso a kopula unkce (syme ická, bez zdů aznění ěžkých
konců) a S uden o a kopula unkce (syme ická, a šak se zdů azněním ěžkých konců).
V článku je pos upo áno následujícím způsobem. Nejp e je posky nu s učný
přehled řízení izik i nančních ins i ucí na bázi kapi álo é přiměřenos i, ekonomické
kapi álu a Value a Risk (čás 2). V další čás i je pozo nos ěno ána de i nici a objas-
nění modelů (čás 3), k e é budou následně apliko ány za účelem odhadu izika
(čás 5). Před las ními ýpoč y šak dojde k ymezení da o é základny a popisu
empi ických cha ak e is ik s upních měno ých ku zů a no malizo aného po olia.
S o nání jedno li ých modelů čás i pá é bude p o edeno na bázi empi ických cha ak-
e is ik po olií (modelo ání ex-pos ) i zpě ného es o ání (modelo ání ex-an e).
2. Řízení i nančních izik e i nančních ins i ucích
Finanční ins i uce, jako banky, pojišťo ny, nebo in es iční společnos i h ají ekono-
mickém sys ému nezas upi elnou oli, neboť umožňují přenos kapi álu, izika, lik i-
di y a spla nos i mezi jedno li ými subjek y. Aby šak a o unkce mohla bý ykoná-
ána op a du e ek i ně, je nezby ná dů ě a klien ů. Zd a í i nančních ins i ucí má
ýznamný dopad na celé mak oekonomické p os ředí, iz například Fes ic a Romih
(2008). V é o sou islos i je nu né zmíni speci i cký znak i nančních ins i ucí – klien i
zp a idla ys upují i jako ěři elé (deb holde s) či případně d ži elé las nických
podílů (equi yholde s). Ten o je nas á á u ne i nančních ins i ucí, edy ý obních
podniků či posky o a elů služeb, jen elmi zřídka.
1 Ty o modely byly apliko ány p o odhad izika Tichý (2008a), a šak zá islos byla získána na bázi
jedinečného subo diná o u, nikoli kopula unkcí. Naopak elip ické kopula unkce byly yuži y
Rank (2007), přičemž p o mezní ozdělení byly naopak předpokládány íce s anda dní p ocesy
(S uden o o ozdělení).
2 V pů odní koncepci Sol ency II byla p o minimální kapi álo ý požada ek u ažo ána hladina
ýznamnos i 10 %, případně 20 % (příslušný kapi álo ý požada ek přibližně odpo ídá 1/3
požada ku při ýznamnos i 0,5 %). Nakonec šak došlo k upřednos nění 15% hladiny.
506  POLITICKÁ EKONOMIE, 4, 2010
Dů ě a klien ů je silně p o ázána na iziko os subjek u, edy spolehli os , s jakou
daná i nanční ins i uce dod ží s é zá azky, ať už i nanční či mo ální po ahy. Neboť
i nanční ope ace jsou pomě ně složi é p o pochopení ze s any běžných klien ů,
nemlu ě o ysoké in o mační ná očnos i na eálné ocenění, je akcep o a elná ú o eň
iziko os i subjek u čas o ga an o ána nezá islými a uzná anými ins i ucemi, ať už
se jedná o a ingo é agen u y (přís up na bázi a ingu) nebo (nad)ná odní o gány
egulace a dohledu (přís up na bázi kapi álo é přiměřenos i). Pod obnější ymezení
pos upů lze naléz něk e é z monog a i ckých publikací, jako Hull (2010) nebo Res i
a Si oni (2007).
Přís up na bázi a ingu
O celko é s a egii řízení izik a de ailních k ocích jejího naplnění ozhoduje cho-
lo ý managemen , přičemž by měl b á po az cíl subjek u podobě cílo ého a ingu.
Ra ing je obecně uzná aným měří kem k ali y subjek u, co se ýče schopnos i dos á
s ým zá azkům požado aném čase a míře. V případě elkých subjek ů nachází
upla nění a ing přiřazo aný uzná anými agen u ami jako S anda d&Poo 's nebo
Moody's, k e é lze po ažo a za nezá islé. Ty o agen u y přiřazují na základě las -
ního še ření yb anému subjek u a ingo ou ka ego ii, k e á nejlépe ypo ídá o jeho
k ali ě. Při om s každou a ingo ou ka ego ií je spja a impliko aná p a děpodobnos
selhání, zjiš ěná na bázi his o ických da , případně up a ená na základě áze hospodář-
ského cyklu či obdobné eličiny.
Cílo ý a ing by měl ycháze z požada ků akcionářů a sch álené s a egické
poli iky subjek u, j. jaký je cíl z dlouhodobého hlediska (např. maximalizace žní
hodno y akcií) a na jaký segmen hu se společnos chce zaměři (např. íce či méně
iziko ě a e zní klien i). Cílo ý a ing R dále implikuje p a děpodobnos selhání PDR,
j. že subjek nebude schopen dos á s ým zá azkům:
P (UL ≥ AC) = PDR, (1)
kde UL předs a uje neočeká anou z á u (unexpec ed loss), j. sku ečná z á a snížená
o z á u očeká anou, a AC je dos upný kapi ál (a ailable capi al), j. kapi ál, k e ý je,
či může bý případě po řeby yh azen p o k y í izik. Je šak nu né mí na pamě i,
že z á u očeká anou je možné odečís pouze ehdy, pokud je zah nu a ceno o bě,
případně pokud na ni jsou y ořené eze y, k e é šak nejsou zah nu y do ýpoč u
AC, a že dos upný kapi ál je ořen položkami dle ozhodnu í i nanční ins i uce, k e é
je možné eálně po ažo a za dos a ečně k ali ní s ohledem na pok y í důsledků
možných izik. K ali ou zde chápeme přede ším spla nos a lik idi u, p o něk e é
hyb idní ins umen y éž iziko ope ační či selhání p o is any.
Z hlediska řízení izik lze z ah (1) pře o mulo a do é podoby, že subjek musí
d že dos upný kapi ál alespoň e ýši kapi álu ekonomického,
AC ≥ EC(Δ ,α), (2)
kde EC(Δ ,α) předs a uje ekonomický kapi ál u čený na hladině ýznamnos i α p o
časo ý ho izon  , přičemž p o konk é ní po olio X, espek i e jeho ýnos, pla í:
POLITICKÁ EKONOMIE, 4, 2010  507
ECX(Δ ,α) = VaRX(Δ ,α) + E(X) (3)
Zde E(X) je s řední hodno a ýnosu po olia X a VaRX(Δ ,α) označuje Value a Risk
na hladině ýznamnos i α p o časo ý ho izon  , edy minimální x (minimální ýnos
po olia nebo éž maximální z á u z jeho d žení), p o k e é pla í, že p a děpodobnos ,
že náhodná eličina X bude menší než x, je α:
VaRX(Δ ,α) = – min{x|P (X ≤ x)≥α} . (4)
Al e na i ně lze po řebnou ýši kapi álu p o áza na k i é ium na bázi s řední hodno y
p o případ, že dojde k přek očení hodno y VaR. To může mí například následující
podobu (condi ional Value a Risk):
CVaRX(Δ ,α) = –E[x|–x > VaRX(Δ ,α)] . (5)
Ne o nos e z ahu (2) by měla bý co nejmenší, neboť příliš ysoké AC zhle-
dem k ypoč enému EC znamená nee ek i ní způsob řízení (d ahý kapi ál není yuží-
án op imálně a je ho zby ečně hodně). Naopak opačné znaménko by znamenalo yšší
iziko os , a edy že kapi ál není yuží án souladu s de i no anou s a egií a a ing
by měl bý snížen (akcionáři i ěři elé by měli požado a yšší ýnos). Ro nos by pak
indiko ala „pe ek ní“ způsob řízení izik, i když o zp a idla pla í jen dlouhodobém
období. Z k á kodobého hlediska je s ohledem na nejis o u, p oblema ickou lik idi u
a ob íže spojené se získá áním doda ečného, espek i e snižo áním přeby ečného
kapi álu hodné ud žo a mí ný pře is AC ůči EC. U či ým mo i em p o yšší AC
může bý o něž snaha och áni z . cha e alue, iz například S olz (2007).
Přís up na bázi kapi álo é přiměřenos i
Nezas upi elnou oli při řízení izik i nančních ins i ucí h ají aké o gány egulace
a dohledu ( E opě zejména cen ální banky). P imá ní myšlenkou je posíli in o mo-
anos eřejnos i (klien ů) a její dů ě u e i nanční sys ém jako celek. Děje se ak jak
z k ali a i ního, ak k an i a i ního pohledu. Neboť o gány egulace a dohledu nemají
možnos ozliši sku ečný zájem a z ah k iziku akcionářů a klien ů u konk é ní
i nanční ins i uce, de i nují s é ak i i y na globální bázi.
Způsob s ano ení po řebného kapi álu je poněkud odlišný p o jedno li é i nanční
ins i uce: případě banko ního sek o u se jedná o soubo p a idel a dopo učení, k e ý
ešel e známos pod označením Basel II, případě pojišťo nic í pak jako Sol ency II,
s ím, že p ní z nich již byl implemen o án do zá azných p á ních no em a u eden
p axi. Společným znakem je, že subjek y mohou p o k an i i kaci izik apliko a jen
ako é pos upy, k e é byly předem sch áleny o gánem dohledu, a k jejich k y í může
bý yuži jen ako ý kapi ál, k e ý je uzna elný (eligible capi al), j. předem axa i ně
ymezený.
Jedná-li se o žní izika, pak banky (Basel II) mohou pos upo a dle s anda d-
ního přís upu nebo dle las ního modelu (p e e o án), k e ý je zp a idla koncipo án
na bázi Value a Risk. Value a Risk je při om u čo ána na hladině ýznamnos i 1%
p o časo ý ho izon 10 dnů, a šak pouze za předpokladu d žení lik idních pozic.
Kapi álo ý požada ek k po oliu X edy odpo ídá (capi al equi emen ):
508  POLITICKÁ EKONOMIE, 4, 2010
CRX = VaRX(10; 1%) . (6)
Banky mají po innos u čo a ýši kapi álo ého požada ku každodenně.
Na d uhou s anu, ámci Sol ency II, edy pojis ném sek o u, se nepřed-
pokládá silně ak i ní sp á a po olií – časo ý ho izon p o o je nas a en na jeden
ok a sou islos i s ím dochází ke snížení ýznamnos i z á y na 0,5%. Požada ek
na kapi ál je označo án jako sol ency capi al equi emen :
SCRX = VaRX(255; 0,5%). (7)
Vzhledem k poněkud odlišnému zaměření pojišťo en a ela i ně dlouhodobému
in es ičnímu ho izon u je ámci Sol ency II dále de i no ána k i ická ú o eň kapi álu
– minimal capi al equi emen :
MCRX = VaRX(255; 15%). (8)
Za ímco SCR je u čo án alespoň jednou očně a kapi ál může ýjimečně klesnou
i pod u o mez, pod MCR by neměl kapi ál klesnou žádném okamžiku. S o nání CR
(6), SCR (7), MCR (8) a EC (3) je obsaženo Tabulce 1.
Tabulka 1
S o nání VaR p o Basel II, Sol ency II a Ekonomický kapi ál
Přís up Období
(obchodní dny) α
Basel II CR Kapi álo ý požada ek 10 0,01
Sol ency II SCR Sol en nos ní kapi álo ý
požada ek 255 0,005
Sol ency II MCR Minimální kapi álo ý
požada ek 255 0,15
Ekonomický kapi ál EC Ekonomický kapi ál 255 0,0003*
Zd oj: las ní zp aco ání; * předpoklad a ingo é ka ego ie AA s danou p a děpodobnos í selhání p o období násle-
dujícího oku (Hull, 2010)
3. Modelo ání žního izika po olia pomocí Lé yho modelů
Je obecně známo,3 že ýnosy i nančních ak i ykazují yšší než no mální špiča os ,
j. p a děpodobnos ex émních ýky ů je yšší než u Gausso a ozdělení p a děpo-
dobnos i, a nejsou syme icky ozdělené, j. p a děpodobnos pozi i ních ýky ů je
zna elně odlišná od p a děpodobnos i nega i ních ýky ů, což dále sou isí s ne o -
nos í mediánu a s řední hodno y. Za účelem modelo ání budoucích ýnosů p o o je
hodné apliko a modely, k e é umožňují ys ižení p á ě ěch o cha ak e is ik.
Zajíma ým přís upem, k e ý umožňuje zohlednění jak eálné (či případě
oceňo ání iziko ě neu ální) nesyme ičnos i (šikmos ), ak ěžkých konců (špiča-
os ), je aplikace Lé yho modelů řízených na bázi subo diná o u. Ačkoli počá ky
eo ie Lé yho modelů se skoky se z ahují až do počá ku minulého s ole í, jejich
3 Viz například Fama (1965), p o český h pak kupříkladu Filáček a kol. (1998). Dynamiku
měno ých ku zů pak nedá né době s udo ali například Bubák a Žikeš (2009).

POLITICKÁ EKONOMIE, 4, 2010  509
ela i ně nes anda dní de i nice na bázi subo diná o u ( ni řního p ocesu) byla dána
Mandelb o em a Taylo em (1967), Cla kem (1973) či případně Bochne em (1949).
Komplexní monog a i cké zp aco ání eo ie a/nebo aplikace obsahují zejména
Kyp ianou e al. (2005), Applebaum (2004), Con a Tanko (2004), Ba ndo -Nielsen
e al. (2001) nebo Be oin (1998). V českém p os ředí byly Lé yho modely apliko ány
například při o ěření eplikace (Tichý, 2006), oceňo ání opcí (Tichý, 2008b), odhadu
kapi álo ého požada ku p o oblas pojišťo nic í (K es a a kol, 2009) i k odhadu
p a děpodobnos i selhání i nančních ins i ucí (Gu ný a Tichý, 2009).
Samos a ným p oblémem při aplikaci Lé yho modelů je, jak spoji mezní
ozdělení p a děpodobnos i, j. ozdělení p a děpodobnos i p o dílčí zd oje izika,
abychom získali ozdělení p a děpodobnos i p o komplexní po olio n i nančních
ak i . In ui i ním přís upem bylo yuži í lineá ní ko elace jedno li ých p ocesů, což
edlo buď k jedinečnému subo diná o u p o šechny náhodné složky, nebo k jednomu
subo diná o u p o sys ema ické iziko a n nezá islých subo diná o ů p o yjádření
jedinečného izika jedno li ých zd ojů izika. Ten o pos up našel upla nění zejména při
modelo ání ú ě o ého izika a na něm zá islých de i á ů. Co se ýče žního izika,
ak současné době je p e e o aným řešením aplikace kopula unkcí, edy p ojekce
zá islos i mezi dílčími zd oji izika (mezními dis ibučními unkcemi) do jedno ko-
ého p os o u. Tím o způsobem lze e ek i ně ozloži sd užené ozdělení p a děpo-
dobnos i celého po olia na (a) mezní dis ibuční unkce a (b) hodnou kopula unkci.
V případě p áce s Lé yho modely je eo e icky sp á nějším pos upem ses a i
kopula unkci na bázi Lé yho mí y. Pak ho oříme o z . Lé yho kopulích, op o i
běžným kopulím, k e é jsou založeny na p a děpodobnos ní míře. V om o článku
šak budeme p o zjednodušení předpokláda pouze běžné syme ické kopule, j. na
bázi p a děpodobnos ní mí y p o elip ická ozdělení p a děpodobnos i.
Mezní ozdělení p a děpodobnos i
Lé yho p oces je obecný s ochas ický p oces, k e ý počíná nule, jehož ajek o ie
čase je spoji á zp a a s limi ou zle a a má nezá islé a s acioná ní pří ůs ky. Mezi
jeho důleži é las nos i pa ří s ochas ická spoji os , edy že i přes nekonečnou in enzi u
skoků je p a děpodobnos , že p á ě daném čase dojde ke skoku (nespoji os i), o na
nule. Důleži ým předpokladem éž je, že odpo ídající p a děpodobnos ní ozdělení
musí bý nekonečně děli elné. Základním eo émem je Lé yho-Khin chino a o mule:
22
1
1
( ) (exp(i ) 1 i II ) ( )
2x
u i u u ux ux dx
 



   

. (9)
Na bázi (9) lze p o dané nekonečně děli elné ozdělení p a děpodobnos i de i no a
ojici Lé yho cha ak e is ik:
{γ,σ2, ν(dx)},
kde p ní předs a uje d i p ocesu (de e minis ickou čás ) a d uhá u čuje jeho di úzní
koe i cien . Poslední pak označuje z . Lé yho mí u. Za předpokladu, že ji lze o mu-
lo a jako ν(dx) = u(x)dx, pak ho oříme o Lé yho hus o ě. Ta je celku obdobná
510  POLITICKÁ EKONOMIE, 4, 2010
k p a děpodobnos ní unkci hus o y, nicméně nemusí ycháze z počá ku a nemusí bý
ždy in eg o a elná. P á ě Lé yho hus o a bý á yuží ána při de i nici Lé yho kopula
unkcí.
De i nujme s ochas ický p oces Z( ; μ, σ), k e ý je Wiene o ým p ocesem (nebo éž
z . s anda d B ownian mo ion). Jes liže μ = 1 a σ = , pak lze pří ůs ky za nekonečně
malý časo ý úsek d zapsa jako:
,[0,1],dZ d N

 (10)
kde N[0,1] označuje Gausso o ozdělení p a děpodobnos i se s řední hodno ou nula
ozp ylem jedna. Pak lze Lé yho model na bázi subo diná o u de i no a jako B ownů
pohyb řízený jiným Lé yho p ocesem () s jedno ko ou s řední hodno ou a kladným
ozp ylem κ. Jediným omezením na en o řídící p oces je, že na daném in e alu musí
bý neklesající a má omezenou a iaci.
Tedy, běžný čas B owno ě pohybu X,
X( ; μ, σ) = μ + σZ( ) (11)
nah adíme jeho unkcí ()  ak o:
((); , ) () (()) () ()X Z
    
 
. (12)
Vzhledem ke s ým speci i ckým las nos em a u či é jednoduchos i ( empe ed
s able subo dina o se známou unkcí hus o y uza řené podobě), jsou hodnými
modely a iance gamma model (VG model) – konečný p oces je řízen gama p ocesem
z gama ozdělení s pa ame y a a b zá islos i na ozp ylu κ, G[a, b] ; a no mal in e se
Gaussian model (NIG model) – subo diná o je dán in e zním Gausso ým p ocesem
na bázi in e zního Gausso a ozdělení p a děpodobnos i, IG[a, b]; p o s o nání
s (geome ickým) B owno ým pohybem blíže iz Tabulka 2. Další ozdílnos i modelů
VG a NIG op o i geome ickému B owno u pohybu je ak , že e z ahu (12) není
přímo kalib o án d i eálného p ocesu. K omu je řeba doda ečný z ah – například
p o modelo ání ýnosů x lze pos upo a dle:
x( ) = μ + X(() ) – θ , (13)
Kde – θ předs a uje ko ekci (12) na s řední hodno u nula a μ je eálný d i modelo-
aného p ocesu. Obdobně lze pos upo a při o mulaci modelu s Lé yho p ocesem X
exponen u ( j. al e na i a ke geome ickému B owno ě pohybu):
x( ) = x(0) exp[μ + X(() ) – ω ] (13)
při pa ame u ko ekce ω.
POLITICKÁ EKONOMIE, 4, 2010  511
Tabulka 2
S o nání yb aných modelů
Model Šikmos Špiča os Vni řní čas
B ownian mo ion 0 0 Ek i alen ní k
Va iance gamma
((); , )VG

nenulo á pokud θ ≠ 0;
její znaménko odpo ídá
znaménku θ
doda ečná

() , Gab
No mal in e se Gaussian
((); , )NIG

nenulo á pokud θ ≠ 0;
její znaménko odpo ídá
znaménku θ
doda ečná

() , IGab
Zd oj: Vlas ní zp aco ání
Modelo ání zá islos í pomocí kopula unkcí
Kopula unkce předs a ují hodný p os ředek p o modelo ání zá islos í komplexněji
poja ých po olií, jejichž hodno a zá isí na íce ůzno odých p ocesech či alespoň
na p ocesech složi ějších, k e é neumožňují yuži í jednodušších p os ředků, jako je
Choleskyho dekompozice. Kopula unkce4 je de i no ána jako p ojekce zá islos i mezi
jedno li ými ozděleními p a děpodobnos i na in e al [0,1],
C: [0,1]n → [0,1] na
R
Rn, n  {2, 3, ...}. (14)
Z u či ého pohledu lze jakoukoli kopula unkci po ažo a za íce ozmě né ozdělení
p a děpodobnos i na no mo aném o nomě ném ozdělení.
P o zjednodušení předpokládejme d ě po enciálně zá islé náhodné eličiny
s mezními dis ibučními unkcemi FX, FY a sd uženým ozdělením p a děpodobnos i
FX,Y . Pak dle Skla o a eo ému (Skla , 1973; Nelsen, 2006):
FX,Y (x,y) = C(FX(x), FY (y)). (15)
Pokud jsou FX, FY , spoji é, je kopula unkce jedinečná. Skla ů eo ém dále implikuje
p o (15) i in e zní z ah:
11
,
( , ) ( ( ), ( )).
XY X Y
Cu F F u F

 (16)
Předpokládáme-li, že mezní ozdělení p a děpodobnos i jedno li ých zd ojů izika je
již známo, je řeba z oli pouze hodnou kopula unkci. Při om lze ozliši d ě základní
skupiny, kopula unkce na bázi elip ických ozdělení p a děpodobnos i a A chimédo y
kopula unkce. Rozdíl spočí á om, že p o de i nici a odhad p ních lze yuží odpo í-
dajícího sd uženého ozdělení p a děpodobnos i (Gausso o, S uden o o), e d uhém
se pak p acuje s gene ující unkcí.
4 V om o článku se omezujeme na běžné kopula unkce. Základním odkazem p o kopula unkce je
Nelsen (2006), za ímco Rank (2007) a Che ubini e al. (2004) cílí přede ším na aplikační s ánku
e i nancích.
512  POLITICKÁ EKONOMIE, 4, 2010
Odhad pa ame ů
Za účelem odhadu pa ame ů kopula unkcí lze ozliši ři základní skupiny přís upů:
EMLM (exac maximum likelihood me hod), IFM (in e ence unc ion o ma gins)
a CML (canonical maximum likelihood). V p ém případě jsou šechny pa ame y
odhado ány ámci jednoho k oku, což může bý ná očné zejména p o íce ozmě né
úlohy. U dalších me od se pos upuje z lášť p o mezní ozdělení a z lášť p o kopula
unkci. A šak za ímco u IFM se nejp e odhadnou pa ame y mezních ozdělení, se
k e ými se dále p acuje při odhadu pa ame ů kopula unkce, případě CML je namís o
pa ame ických mezních ozdělení p a děpodobnos í yuži o empi ických ozdělení
p a děpodobnos i, j. nepa ame ického přís upu. Více de ailů je možné naléz napří-
kad Che ubini e al. (2004). V om o článku budeme p aco a na bázi přís upu IFM.
4. Da a
P o s o nání úspěšnos i jedno li ých modelů při odhadu izika se bude p aco a
s denními měno ými ku zy šes i měn, a o eu a (EUR), b i ské lib y (GBP), maďa -
ského o in u (HUF), polského zlo ého (PLN), slo enské ko uny (SKK) a ame ického
dola u (USD), ůči české ko uně (CZK) ak, jak jsou z eřejňo ány Českou ná odní
bankou. Da o á základna obsahuje ko ace počínaje 1. lednem 2000 až po 31. p osinec
2008, edy 2 268 pozo o ání spoji ých (loga i mických) ýnosů p o každý měno ý
ku z. Základní popisné s a is iky – s řední hodno a, ozp yl, smě oda ná odchylka,
šikmos a špiča os – p o každý z měno ých ku zů (jejich ýnosy) lze yhodno i
na základě Tabulky 3.
Tabulka 3
Popisné s a is iky denních spoji ých ýnosů (p.a.)
Pa ame EUR GBP HUF PLN SKK USD
mean –0,032 –0,079 –0,037 –0,032 0,005 –0,068
a iance 0,0037 0,0088 0,0074 0,0106 0,0043 0,0135
S .de ia ion 0,0161 0,094 0,096 0,1030 0,065 0,116
skewness –0,131 –0,236 –0,737 –0,410 0,209 0,029
ku osis 13,010 9,357 9,951 11,511 11,192 6,829
Zd oj: Vlas ní ýpoč y
Je zřejmé, že s řední hodno y (mean) jsou s ýjimkou SKK zápo né, j. česká
ko una ozhodném období p ůmě u posilo ala, ať už méně (EUR, HUF, PLN) či
íce (GBP, USD). Obdobné ozdíly jsou pa né p o ola ili u jedno li ých měno ých
ku zů – při om lze ysledo a d ojici méně ola ilní (EUR a SKK – edy úzce p o á-
zané a čas ěji obchodo ané). Os a ní měno é ku zy mají ola ili u ela i ně yšší
(GBP, HUF, PLN, USD).
Mí né posílení SKK je spojeno s kladnou šikmos í, za ímco os a ní měno é
ku zy ykazují zápo nou šikmos spoji ých ýnosů. Výjimku pak předs a uje USD
s éměř syme ickým ozdělením ýnosů. Co se ýče špiča os i, k e ou lze chápa aké
POLITICKÁ EKONOMIE, 4, 2010  519
Jiným p oblémem, k e ý při odhadu izika a sledo ání jeho k ali y na bázi
ýjimek může nas a , je exis ence shluků. V om o případě lze k es o ání yuží
es Ch is o e sona (1998) – při aplikaci VG-S a NIG-S modelů je možné shluky
po ažo a za ne ýznamné na hladině p a děpodobnos i 1%.
6. Zá ě
Modelo ání i nančního izika yplý ajícího z (neočeká aného) posunu měno ých
ku zů je nezby nou součás í řízení izik e i nančních ins i ucích. V om o článku byly
apliko ány yb ané Lé yho modely (VG, NIG) sd užené pomocí běžných elip ických
kopula unkcí jako p os ředek p o modelo ání izika na měno é ku zy ci li ého po o-
lia a s o nány ůči běžnému předpokladu no málního ozdělení (GBM). Jedno li é
modely byly posouzeny jak při modelo ání ex-pos , ak ex-an e.
Co se ýče modelo ání ex-pos , GBM model, byť spojený pomocí S uden o y
kopula unkce, se ukázal jako zcela ne yho ující p o ys ižení izika (nadhodno-
cení p o nižší spolehli os , podhodnocení p o yšší spolehli os ). Naopak VG a NIG
modely, zejména při yuži í S uden o y kopula unkce, p okázaly ysokou schopnos
ys ižení sku ečné mí y izika, jak pomocí VaR, ak CVaR. V případě modelo ání
ex-an e a následném back es ingu ungo al GBM model lépe (a éměř dokonale) p o
nižší spolehli os (85% a 95%), a šak elmi slabě p o os a ní ú o ně . Nejlepšími
opě byly modely VG-S a NIG-S , k e é se ukázaly jako akcep o a elné i p o nízké
hladiny p a děpodobnos i. Odhad zá islos í, edy pa ame ů kopula unkcí, na bázi
očních da o něž umožnil ylouči ne o nomě né ozdělení ýchylek (jejich shluky).
Celko ě lze sh nou , že aplikace Lé yho modelů na bázi subo diná o u, byť spoje-
ných běžnými kopula unkcemi, předs a uje zajíma ou a e ek i ní al e na i u při
odhadu ú o ně žního izika.
Li e a u a
APPLEBAUM, D. 2004. Lé y P ocesses and S ochas ic Calculus. Camb idge: Camb idge Uni e si y
P ess, 2004.
BARNDORFF-NIELSEN, O.E., MIKOSCH, T., RESNICK, S.I. (eds.) 2001. Lé y p ocesses. Theo y
and Applica ions. Bos on: Bi khäuse . 2001.
BARNDORFF-NIELSEN, O. E. 1995. No mal in e se Gaussian dis ibu ions and he modeling o s ock
e u ns, Resea ch epo No. 300, Depa men o Theo e ical S a is ics, Aa hus Uni e si y, 1995.
BARNDORFF-NIELSEN, O. 1998. E. P ocesses o No mal In e se Gaussian ype, Finance and
S ochas ics. 1998, ol. 2, No. 1, pp. 41–68.
BERTOIN, J. 1998. Lé y P ocesses. Camb idge: Camb idge Uni e si y P ess, 1998.
BOCHNER, S. 1949. Di usion equa ion and s ochas ic p ocesses. P oceedings o he Na ional
Academy o Science o he Uni ed S a es o Ame ica, Vol. 85, 1949, pp. 369–370.
BUBÁK, V., ŽIKEŠ, F. Dis ibu ion and Dynamics o Cen al-Eu opean Exchange Ra es: E idence
om In aday Da a. Czech Jou nal o Economics and Finance Vol. 59 No. 4, pp. 334-359, 2009.
CLARK, P. K. 1973. A subo dina ed s ochas ic p ocess model wi h i xed a iance o specula i e
p ices. Econome ica 41, pp. 135–-156, 1973.
CONT, R., TANKOV, P. 2004. Financial Modelling wi h Jump P ocesses. Boca Ra on: Chapman
& Hall/CRC p ess, 2004.

520  POLITICKÁ EKONOMIE, 4, 2010
FAMA, E. F. 1965. The Beha iou o S ock Ma ke P ices. Jou nal o Business. 1965, Vol. 38, pp.
34–105.
FESTIC, M, ROMIH, D. 2008. Cyclicali y o he banking sec o pe o mance and mac o en i onmen
in he Czech epublic, Slo akia and Slo enia. P ague Economic Pape s Vol. 17, No. 2,
pp. 99-117.
FILÁČEK J., KAPIČKA M., VOŠVRDA M. 1998. Tes o ání hypo ézy e ek i ního hu na BCPP, Czech
Jou nal o Economics and Finance Vol. 48, No. 9, pp. 554-566.
GURNÝ, P., TICHÝ. T. 2009. Es ima ion o Fu u e PD o Financial Ins i u ions on he Basis o Sco ing
Model. In: Polouček, S. and S a á ek, D. (ed.) S uc u al and Regional Impac s o Financial
C ises. P oceedings o 12 h In e na ional Con e ence on Finance and Banking. Ka ina: Silesian
Uni e si y, 2009, pp. 215-228.
HULL, J.C. 2010. Risk Managemen and Financial Ins i u ions. 2e. Uppe Saddle Ri e : P en ice Hall,
2010.
CHERUBINI, G., LUCIANO, E., VECCHIATO, W. 2004. Copula Me hods in Finance. Chiches e :
Wiley, 2004.
CHRISTOFFERSON, P.F. 1998. E alua ing In e al Fo ecas s, In e na ional Economic Re iew 39,
pp. 841–862, 1998.
KRESTA, A., PETROVÁ, I., TICHÝ, T. 2009. Ma ke Risk Capi al Requi emen s o Insu ance
Companies by Copula App oach. In: Polouček, S. and S a á ek, D. (ed.) S uc u al and Regional
Impac s o Financial C ises. P oceedings o 12 h In e na ional Con e ence on Finance and
Banking. Ka ina: Silesian Uni e si y, 2009, pp. 318-334.
KUPIEC, P. 1995. Techniques o e i ying he accu acy o isk managemen models. Jou nal o
De i a i es 3, pp. 73–84, 1995.
KYPRIANOU, A., SCHOUTENS, W., WILMOTT, P. (eds.) 2005. Exo ic Op ions P icing and Ad anced
Lé y Models. Chiches e : Wiley, 2005.
MADAN, D.B., SENETA, E. 1990. The VG model o Sha e Ma ke Re u ns, Jou nal o Business
Vol. 63, No. 4, pp. 511–524, 1990.
MADAN, D.B., CARR, P., CHANG, E.C. 1998. The a iance gamma p ocess and op ion p icing,
Eu opean Finance Re iew 2, 79–105, 1998.
MADAN, D.B., MILNE, F. 1991. Op ion p icing wi h VG ma ingale componen s, Ma hema ical
Finance 1, 39–56, 1991.
MANDELBROT, B.H., TAYLOR, H.M. 1967. On he dis ibu ion o s ock p ice di e ences. Ope a ions
Resea ch 15, 1057–1062, 1967.
NELSEN, R.B. 2006. An In oduc ion o Copulas. 2nd ed. New Yo k: Sp inge , 2006.
RANK, J. 2007. Copulas. F om heo y o applica ion in i nance. London: Risk books, 2007.
RESTI, A., SIRONI, A. 2007. Risk Managemen and Sha eholde s’ Value in Banking: F om Risk
Measu emen Models o Capi al Alloca ion Policies. Chiches e : Wiley, 2007.
SKLAR, A. 1973. Random a iables, join dis ibu ions, and copulas. Kybe ne ica, ol 9, 449-460.
STOLZ, S.M. 2007. Bank Capi al and Risk-Taking. Kiel S udies 337. Be lin: Sp inge .
TICHÝ, T. 2006. Model Dependency o he Digi al Op ion Replica ion: Replica ion unde Incomple e
Model. Finance a ú ě – Czech Jou nal o Economics and Finance Vol. 56, No. 7-8, pp. 361-379.
TICHÝ, T. 2008a. Dependency models o a small FX a e sensi i e po olio. In: S a á ek, D. and
Polouček, S. (ed) Consequences o he Eu opean Mone a y In e g a ion on Financial Ma ke s.
Newcas le: Camb idge Schola s Publishing, 2008.
TICHÝ, T. 2008b. Posouzení yb aných možnos í ze ek i nění simulace Mon e Ca lo při opčním
oceňo ání. Poli ická ekonomie Vol. 56, No. 6, pp. 772–794, 2008.
POLITICKÁ EKONOMIE, 4, 2010  521
EXAMINATION OF PORTFOLIO CURRENCY RISK ESTIMATION
BY MEANS OF LÉVY MODELS
Tomáš Tichý, Depa men o Finance, Facul y o Economics, Technical Uni e si y Os a a,
Sokolská 33, 701 21 Os a a, Czech Republic. E-mail: [email p o ec ed].
Abs ac
Financial isk modeling, measu ing, and managing a e an inhe en pa o managemen in i nancial
ins i u ions. I is also an impo an s ep wi hin he se ing o op imal le el o capi al eligible o co e
isk exposu es. A signi i can po ion o capi al is usually assigned o co e he isk o unexpec ed
changes in FX a es. FX a es ( he e u ns) commonly exhibi signi i can skewness and ela i ely
huge ku osis. In his pape , we apply subo dina ed Lé y models coupled oge he by o dina y
ellip ical copula unc ions in o de o es ima e he FX a e isk o no malized po olio. Selec ed
models a e applied in o de o es ima e he isk ex-pos , as well as ex-an e. The models a e also
compa ed o he mo e s anda d assump ion o he join no mal dis ibu ion. Al hough he esul s o
bo h ypes o modeling a e qui e di e en and Lé y measu e is igno ed, sugges ed models deli e
us imp o ed isk es ima ion.
Keywo ds
Lé y models, a iance gamma model, no mal in e se Gaussian model, o dina y ellip ical copula
unc ion, i nancial isk, back es ing
JEL Classi i ca ion
C4, C5, G2