Uni e sidade do Minho
Ins i u o de Educação
João Filipe Ma ins da Sil a
A ap endizagem de unções po alunos do 11.º ano
a a és da esc i a ma emá ica com ecu so à
calculado a g á ica
ou ub o de 2022
Uni e sidade do Minho
Ins i u o de Educação
João Filipe Ma ins da Sil a
A ap endizagem de unções po alunos do 11.º
ano a a és da esc i a ma emá ica com ecu so
à calculado a g á ica
Rela ó io de Es ágio
Mes ado em Ensino de Ma emá ica no 3.º Ciclo do Ensino
Básico e no Ensino Secundá io
T abalho ealizado sob a o ien ação:
Dou o Flo iano Augus o Veiga Viseu
Ou ub o de 2022
ii
Es e é um abalho académico que pode se u ilizado po e cei os desde que espei adas as eg as e
boas p á icas in e nacionalmen e acei es, no que conce ne aos di ei os de au o e di ei os conexos.
Assim, o p esen e abalho pode se u ilizado nos e mos p e is os na licença abaixo indicada.
Caso o u ilizado necessi e de pe missão pa a pode aze um uso do abalho em condições não p e is as
no licenciamen o indicado, de e á con ac a o au o , a a és do Reposi ó iUM da Uni e sidade do Minho.
Licença concedida aos u ilizado es des e abalho
A ibuição-NãoCome cial-SemDe i ações
CC BY-NC-ND
h ps://c ea i ecommons.o g/licenses/by-nc-nd/4.0/
iii
AGRADECIMENTOS
Em p imei o luga , que o ag adece a oda a minha amília, em pa icula aos meus pais e à minha
i mã pelo apoio, o ça e paciência incondicionais p es ados ao longo de oda a minha o mação
académica.
Ao meu o ien ado , Dou o Flo iano Augus o Veiga Viseu, pela sua disponibilidade, dedicação,
suges ões e c í icas du an e a ealização des e ela ó io e ao longo de odo o ano le i o.
À P o esso a Ana Paula Mou ão, minha o ien ado a, po odos os conselhos que deu ao longo
des e ano e po oda a pa ilha de expe iências e conhecimen o.
Aos meus companhei os de mes ado, po odas as suges ões, pela pa ilha de i ências e pela
paciência nos momen os mais c í icos e mais exigen es do mes ado. Em pa icula , à minha
companhei a de es ágio, Flá ia Pe ei a, po odo o apoio dado du an e es e pe íodo.
Ao melho que es a Academia me ouxe, aos meus colegas de licencia u a e aos demais alunos
des a Academia, po odos os momen os pa ilhados ao longo des es anos, po odas as lág imas, po
odos os so isos, po odos os momen os de ca inho e po odos os momen os de discó dia. Em especial,
à “Bibs”, à “P e a”, à Ramos, à Ma y, à “Nacional”, ao Mou a, ao “Colombo”, ao Taylo e à “Ba bie”.
Aos meus amigos de escola, po me aze em c esce enquan o adolescen e, adul o e se humano,
po es a em semp e comigo desde cedo e po odo o ca inho e apoio. Em especial, à Flá ia, ao “Chinês”,
ao João Paulo e à Vânia que me acompanham há mais de 13 anos onde es i e am semp e p esen es
nos momen os c uciais e me le an a am, semp e, quando caía.
À minha namo ada, A ília, pela o ça ansmi ida, pela paciência e pelo amo demons ado em
odo o caminho que já pe co emos. Ob igado po não me deixa es desis i nos momen os de desânimo
e po e es semp e uma pala a de con o o nas al u as mais di íceis. E, ambém, a oda a sua amília
po oda a o ça dada ao longo des a jo nada.
Se cheguei onde es ou hoje, oi sem dú ida po odos ocês.
A odos ocês, do undo do meu co ação, Ob igado.

i
Decla o e a uado com in eg idade na elabo ação do p esen e abalho académico e con i mo que não
eco i à p á ica de plágio nem a qualque o ma de u ilização inde ida ou alsi icação de in o mações ou
esul ados em nenhuma das e apas conducen e à sua elabo ação.
Mais decla o que conheço e que espei ei o Código de Condu a É ica da Uni e sidade do Minho.
A ap endizagem de unções po alunos do 11º ano a a és da esc i a ma emá ica com ecu so à
calculado a g á ica
RESUMO
O p esen e es udo incide sob e a ap endizagem de unções a a és da esc i a ma emá ica com ecu so
à calculado a g á ica numa u ma de Ma emá ica A do 11.º ano do cu so de Ciências e Tecnologias. Es e
es udo e e como p incipal obje i o comp eende o papel da calculado a g á ica na p omoção da esc i a
ma emá ica na ap endizagem de unções. Pa a conc e iza es e obje i o, es abelece am-se as seguin es
ques ões de in es igação: (1) Que dimensões da esc i a ma emá ica eme gem nas esoluções dos alunos
nas a e as p opos as com ecu so à calculado a g á ica (2) Que di iculdades e elam os alunos na
ap endizagem de unções? E que di iculdades e elam na esc i a ma emá ica? (3) Que pe ceções êm os
alunos sob e a p odução da esc i a ma emá ica com ecu so à calculado a g á ica na ap endizagem de
unções? Pa a se esponde às ques ões p opos as, eco eu-se a dis in os ins umen os de ecolha de
dados, nomeadamen e: dois ques ioná ios, um no início e ou o no im da in e enção; obse ação das
a i idades dos alunos, a a és, pa a além da e e uada no con ex o de sala de aula, de g a ações de aulas
em ídeo; e análise documen al, onde se incluem os documen os ecolhidos que aduzem a esolução
das a e as p opos as ealizadas em g upo, planos de aula e ques ões colocadas no inal das aulas. A
in o mação p o enien e des es ins umen os de ecolha de dados seguindo as dimensões da
comunicação esc i a –
cla eza
,
undamen ação
,
lógica
e
p o undidade
–, iden i icadas no enquad amen o
eó ico.
Os esul ados ob idos pe mi em conclui que as dimensões onde os alunos se des aca am o am na
cla eza
e na
undamen ação
, jus i icando de idamen e os seus aciocínios e eco endo às
ep esen ações adequadas. Nas es an es duas dimensões não hou e an o des aque uma ez que os
alunos, na sua maio ia, se enquad a am nos ní eis médios, sendo possí el a is a alguns no ní el
ele ado. Rela i amen e às di iculdades mani es adas pelos alunos na esc i a ma emá ica com ecu so à
calculado a g á ica, es as su gem na escolha da janela de isualização adequada ao con ex o do
p oblema, na associação das a iá eis dos eixos ca esianos com a sua con ex ualização do p oblema e
no conhecimen o de odas as po encialidades da calculado a g á ica. Em elação às di iculdades sen idas
na ap endizagens de unções, es as o am encon adas nas in e p e ações dos g á icos de unções e nas
con e sões das di e en es ep esen ações das unções. Quan o às pe ceções dos alunos sob e a esc i a
ma emá ica com ecu so à calculado a g á ica, pa e dos alunos a i ma que e e di iculdades em
ansc e e pa a o papel a in o mação e i ada da calculado a. G ande pa e assume que que a esc i a
ma emá ica que a calculado a g á ica os ajudou a o ganiza os seus aciocínios e con ibuiu de o ma
posi i a pa a a sua ap endizagem sob e ópicos de unções.
Pala as-cha e: Calculado a g á ica; comunicação esc i a; unções acionais.
i
The lea ning o unc ions by 11 h g ade s uden s h ough ma hema ical w i ing using he g aphing
calcula o
ABSTRACT
The p esen s udy ocuses on he lea ning o unc ions h ough ma hema ical w i ing using a g aphing
calcula o in a Ma hema ics A class in he 11 h yea o he Science and Technology cou se. The main
objec i e o his s udy was o unde s and he ole o he g aphing calcula o in p omo ing ma hema ical
w i ing in lea ning unc ions. To achie e his goal, he ollowing esea ch ques ions we e es ablished: (1)
Wha dimensions o ma hema ical w i ing eme ge in he s uden s’ esolu ions in he asks p oposed using
he g aphing calcula o (2) Wha di icul ies do s uden s e eal in lea ning unc ions? And wha di icul ies
do hey e eal in ma hema ical w i ing? (3) Wha pe cep ions do s uden s ha e abou he p oduc ion o
ma hema ical w i ing using a g aphing calcula o when lea ning unc ions? In o de o answe he
p oposed ques ions, di e en da a collec ion ins umen s we e used, namely: wo ques ionnai es, one a
he beginning and he o he a he end o he in e en ion; obse a ion o he s uden s’ ac i i ies, h ough,
in addi ion o hose ca ied ou in he class oom con ex , ideo eco dings o classes; and documen
analysis, which includes he documen s collec ed ha ansla e he esolu ion o he p oposed asks
ca ied ou in g oups, lesson plans and ques ions asked a he end o classes. The in o ma ion om hese
da a collec ion ins umen s ollows he dimensions o w i en communica ion – cla i y, easoning, logic
and dep h – iden i ied in he heo e ical amewo k.
The esul s ob ained allow us o conclude ha he dimensions in which he s uden s s ood ou we e in
e ms o cla i y and easoning, duly jus i ying hei easoning and using app op ia e ep esen a ions. In
he emaining wo dimensions, he e was no much emphasis since he s uden s, o he mos pa , we e
in he medium le els, being possible o see some in he high le el. Rega ding he di icul ies shown by
s uden s in w i ing ma hema ics using a g aphing calcula o , hese a ise in choosing he app op ia e
iewing window o he con ex o he p oblem, in associa ing he a iables o he ca esian axes wi h he
con ex ualiza ion o he p oblem and in he knowledge o all he po en iali ies o he g aphing calcula o .
Rega ding he di icul ies el in lea ning unc ions, hese we e ound in he in e p e a ions o he unc ion
g aphs and in he con e sions o he di e en ep esen a ions o he unc ions. As o he s uden s’
pe cep ions o ma hema ical w i ing using he g aphing calcula o , some o he s uden s s a ed ha hey
had di icul ies in ansc ibing he in o ma ion aken om he calcula o on o pape . Mos assume ha
bo h ma hema ical w i ing and g aphing calcula o s helped hem o ganize hei hinking and con ibu ed
posi i ely o hei lea ning abou unc ion opics.
Keywo ds: G aphing calcula o ; w i en communica ion; a ional unc ions
ii
ÍNDICE
DIREITOS DE AUTOR E CONDIÇÕES DE UTILIZAÇÃO DO TRABALHO POR TERCEIROS ....................... ii
AGRADECIMENTOS ....................................................................................................................... iii
DECLARAÇÃO DE INTEGRIDADE ..................................................................................................... i
RESUMO ........................................................................................................................................
ABSTRACT .................................................................................................................................... i
ÍNDICE ........................................................................................................................................ ii
ÍNDICE DE TABELAS ...................................................................................................................... ix
ÍNDICE DE FIGURAS ....................................................................................................................... x
ÍNDICE DE QUADROS .................................................................................................................... xi
CAPÍTULO 1 .................................................................................................................................. 1
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................... 1
1.1. Tema, obje i o e ques ões de es udo.................................................................................... 1
1.2. Pe inência do es udo ......................................................................................................... 2
1.3. Es u u a do ela ó io .......................................................................................................... 4
CAPÍTULO 2 .................................................................................................................................. 5
ENQUADRAMENTO CONTEXTUAL E TEÓRICO ................................................................................. 5
2.1. Enquad amen o Con ex ual ................................................................................................. 5
2.1.1. Ca ac e ização da Escola ................................................................................................. 5
2.1.2. Ca ac e ização da Tu ma................................................................................................. 6
2.2. Enquad amen o Teó ico .................................................................................................... 11
2.2.1. Comunicação Ma emá ica ............................................................................................. 11
2.2.1.1. Comunicação em Ma emá ica ................................................................................ 11
2.2.1.2. Comunicação Esc i a ............................................................................................. 13
2.2.2. Calculado a G á ica ....................................................................................................... 17
2.2.2.1. A calculado a g á ica no ensino da ma emá ica........................................................ 17
2.2.2.2. A calculado a g á ica no ensino de unções ............................................................. 19
2.2.2.3. Po encialidades e cons angimen os da calculado a g á ica ...................................... 20
3
o conhecimen o e a comp eensão de ópicos ma emá icos e ajuda a ap ende e a conse a os con eúdos
lecionados na sala de aula.
Como e e ido an e io men e, comunica com cla eza az pa e de uma das á eas de compe ência
dos alunos, en ão, a comunicação esc i a em como obje i o o egis o do p ocesso de esolução usado
nas a e as e aze a pon e de comunicação com ou a pessoa, que seja um ou o aluno ou um p o esso
(Ball, 2003). Ao esc e e em, os alunos conseguem explo a e e le i sob e as suas ideias/pensamen os
e a a és do que p oduzem desen ol em de e minadas á eas cogni i as como o pensamen o c i ico,
aciocínio lógico, esolução de p oblemas e a gumen ação (Feueh e , 2009).
A u ilização da calculado a g á ica como ma e ial de apoio é uma mais- alia pa a os alunos, po que
ao isualiza em, in e p e a e da sen ido aos esul ados ob idos es u u am e desen ol em o seu
aciocínio a a és das jus i icações que elabo am. Comunica cla amen e o aciocínio ma emá ico é uma
ap idão essencial (Ball, 2003). Bu il (2008) de ende que os alunos com uma calculado a g á ica são
capazes de explo a e ap o unda os concei os ma emá icos, conseguindo, assim, es abelece ligações
en e as á ias ep esen ações. A comunicação esc i a e a u ilização da calculado a g á ica apoiam-se
mu uamen e. O NCTM (2007) de ende que à “medida que os alunos c iam e analisam núme os ou
obje os na sua calculado a ou no ec ã do compu ado , icam com uma e e ência comum (que mui as
ezes, pode se acilmen e al e ada) pa a as discussões de ideias ma emá icas” (p. 66).
O ema ‘Funções’, a pa i do 7.º ano de escola idade, p edomina no pe cu so escola dos alunos,
sendo que é essencial que eles aumen em g adualmen e o seu conhecimen o sob e o ema e que enham
opo unidade de, p og essi amen e, ap o unda as expe iências an e io es (NCTM, 2007). A g adual
inclusão da calculado a g á ica no es udo des e ema ajuda o desen ol imen o e a dinâmica com que
es e ema é abalhado, pois com as suas po encialidades os alunos conseguem isualiza
o e ei o da mudança de pa âme os, no g á ico de uma unção, con ibui pa a o
desen ol imen o da capacidade dos alunos olha em pa a a ma emá ica de uma o ma
dinâmica, pa a seu en endimen o concep ual da álgeb a como meio de ep esen ação e
pa a o desen ol imen o da capacidade de es abelece em conexões en e a exp essão
analí ica e a ep esen ação g á ica de uma unção. (Almeida & Oli ei a, 2009, p. 112)
A conexão en e di e en es ep esen ações az eme gi a ele ância da comunicação esc i a po
pa e dos alunos, que na dinamização das a i idades de ap endizagem é essencial pa a os docen es
consegui em acompanha os seus p og essos e as suas di iculdades (Fe nandes, 2005).

4
1.3. Es u u a do ela ó io
Es e ela ó io de es ágio es á o ganizado em qua o capí ulos. No p imei o capí ulo encon a-se a
‘In odução’, que in eg a o ema, o obje i o e as ques ões de in es igação que o ien a am a p á ica
pedagógica, a pe inência des e es udo e a es u u a do ela ó io.
O segundo capí ulo é dedicado ao ‘Enquad amen o Con ex ual e Teó ico’. Nele é ealizado uma
ca ac e ização da escola e da u ma onde se ealizou a in e enção pedagógica, é ambém ap esen ado
a undamen ação eó ica des e ela ó io, as me odologias de ensino delineadas e as es a égias de
a aliação da in e enção pedagógica. Na undamen ação eó ica des e ela ó io é e e ido um conjun o
de ideias sob e a comunicação no ensino da ma emá ica, a comunicação esc i a, a calculado a g á ica
e as unções. Po im, na úl ima secção des e capí ulo, são de inidas as es a égias de in es igação e
a aliação da ação.
No e cei o capí ulo encon a-se a ‘In e enção’, onde é ap esen ado e analisado o p ocesso da
in e enção pedagógica, di idido em ês secções. Na p imei a secção su ge uma b e e desc ição dos
ópicos lecionados na in e enção pedagógica. Pos e io men e, são ap esen ados os dados ecolhidos na
in e enção pedagógica, cen ados na esc i a ma emá ica dos alunos e na u ilização da calculado a
g á ica, nas suas esoluções. São analisadas as suas p oduções esc i as e os diálogos oco idos en e os
alunos du an e a ealização das a e as de g upo na sala de aula. Na úl ima secção ap esen a-se a
a aliação da in e enção pedagógica.
Po im, no qua o capí ulo, ‘Conclusões, Limi ações e Recomendações’, são ap esen adas e
discu idas as p incipais conclusões do es udo, com in ui o de esponde às ques ões de in es igação
delineadas pa a es e es udo, e apon am-se algumas limi ações e ecomendações pa a p oje os u u os.
5
CAPÍTULO 2
ENQUADRAMENTO CONTEXTUAL E TEÓRICO
Es e capí ulo em como obje i o desc e e o con ex o onde oi ealizada a in e enção pedagógica,
desc e endo a escola e a u ma. Pos e io men e, ap esen a o enquad amen o eó ico que undamen a
a in e enção, escla ecendo as me odologias de ensino e ap endizagem u ilizadas como ambém os
mé odos de ecolha de dados.
2.1. Enquad amen o Con ex ual
Nes e subcapí ulo é ei a uma ca ac e ização da Escola e da Tu ma onde se ealizou a minha
in e enção pedagógica.
2.1.1. Ca ac e ização da Escola
A minha p á ica pedagógica supe isionada oi desen ol ida numa escola, que inco po a o 3.º
Ciclo do Ensino Básico e o Ensino Secundá io, do dis i o e concelho de B aga, in eg ada num
ag upamen o com um o al de 14 escolas, das quais 6 são ja dins de in ância, 6 EB1, 1 EB2/3 e uma
secundá ia, con ando com mais de 300 p o issionais no papel de docen es e ce ca de 100 p o issionais
no papel de não docen es. A escola onde ealizei o es ágio é sede do ag upamen o de escolas e encon a-
se numa zona u bana, onde o am ei as ob as há ce ca de uns 10 anos. T a a-se de uma escola
he e ogénea no que diz espei o às ca ac e ís icas dos seus alunos, que a ní el social, económico e
cul u al, mas ambém no que diz espei o a alunos com necessidades especiais, que ep esen am ce ca
de 4% da comunidade escola , endo assim como base os p incípios o ien ado es da educação inclusi a.
Seguindo o ideal de uma ‘uma escola pa a odos’, os se iços de ação social apoiam mais de 20% da
comunidade escola .
Em elação à o e a o ma i a e educa i a, a escola dispõe odos os cu sos cien i ico-humanís icos
e ainda dispõe cinco cu sos p o issionais. A escola ambém em pa a o e ece á ias a i idades
ex acu icula es aos alunos, ais como: Escola P omo o a da Saúde, Despo o Escola , E asmus +,
Olimpíadas da Ma emá ica, O icina e Clube da Ma emá ica, en e ou os.
6
Es e ag upamen o assume como missões ‘Mais escola’ e ‘Melho escola’ desen ol endo assim
uma educação de qualidade pa a ga an i o desen ol imen o pessoal e p o issional, com o in ui o de
p omo e o sucesso, a equidade social e p e eni o abandono escola .
2.1.2. Ca ac e ização da Tu ma
A u ma onde ealizei a minha p á ica pedagógica supe isionada é uma u ma do 11.º ano do
cu so de Ciências e Tecnologias, que em como disciplinas de opção Físico-Química A e Geome ia
Desc i i a. Es a u ma e a compos a po 26 alunos, sendo que 25 equen a am as aulas de Ma emá ica
A, dos quais 3 e am apa igas e 22 e am apazes. A média de idades dos alunos que equen a am as
aulas da disciplina e a ap oximadamen e de 16,5 anos, embo a hou esse na u ma 3 alunos epe en es,
onde ambas as e enções oco e am no 11.º ano, e um aluno que inha de ou a escola.
Uma ez que nem odos os alunos esponde am ao ques ioná io inicial, os dados a segui
ep esen ados êm como base as espos as de 22 alunos.
A u ma ap esen a ca ac e ís icas de se he e ogénea, que a ní el compo amen al que a ní el
cogni i o, onde as no as a ma emá ica do ano ansa o a iam en e os 7 e os 19 alo es, endo como
média ap oximadamen e 13 alo es. Mais de 90% da u ma p e ende ing essa na uni e sidade, ha endo
uma g ande endência pa a a á ea das engenha ias. Acompanhando es a endência mais de 90% dos
alunos conside a que a ma emá ica é “Mui o ú il” ou “Bas an e ú il” pa a o seu u u o e ce ca de 85%
dos alunos admi e que que “Gos a mui o” ou “Ado a” a disciplina.
Tendo em con a que a p ocu a de apoios o a da escola é cada ez maio , e i ica-se que ce ca
de 59% da u ma a i ma que ecebe es es apoios, sendo que a o alidade admi e que eco e a
explicações. Vis o que a Ma emá ica é uma disciplina que exige empenho e abalho po pa e dos alunos,
a maio pa e da u ma (82%) classi ica o seu empenho à disciplina en e as espos as de “Empenho” e
“Mui o empenho”. Rela i amen e ao abalho po pa e dos alunos, há quem conside e que es uda en e
uma a ês ho as (31%), ou os que apon am que es udam en e ês a cinco ho as (31%) e há alunos
que e e em que es udam mais de cinco ho as semanais (38%).
Pa a en ende melho as a i idades que a u ma gos a a de ealiza nas aulas de ma emá ica
(Tabela 1) e pe cebe onde incidiam as suas di iculdades (Tabela 2), no ques ioná io inicial, o am ei as
pe gun as ela i as a es es ópicos aos alunos.
7
Tabela 1. A i idades que mais gos as de ealiza nas aulas de ma emá ica (𝑛 = 22)
A i idades
F equência
Resol e P oblemas
17
Resol e Exe cícios
15
Colabo a na elabo ação de de inições/p op iedades/ eg as
3
Passa pa a o cade no o que a p o esso a diz e az
6
Discu i esoluções de p oblemas/exe cícios
17
Resol e a e as u ilizando calculado a g á ica/
GeoGeb a
/ou o ipo de ma e ial
6
Nes a ques ão os alunos inham de escolhe 3 opções, pelo que é no á el uma endência pa a a
esolução de p oblemas/exe cícios e pa a a discussão da esolução dos mesmos. Dado que os alunos
da u ma êm uma elação de p oximidade en e eles mui o g ande, es as a i idades pe mi em que os
alunos in e ajam en e si e que oquem en e eles di e en es aciocínios.
Tabela 2. Di iculdades na disciplina (𝑛 = 22)
Di iculdades
F equência
E e ua cálculos algéb icos
3
In e p e a g á icos
2
In e p e a enunciados
6
Reco da eo ia ap endida em anos an e io es
14
In e liga con eúdos
6
Aplica a eo ia
7
Explo a a calculado a g á ica na esolução das a e as
2
Man e -me concen ado(a) nas aulas
5
Man e -me concen ado(a) nos es udos
8
Expo o meu aciocínio de o ma esc i a
7
Nenhuma em especí ico
1
Tal como na ques ão an e io , os alunos podiam escolhe mais que uma opção, sendo que a que
mais eme ge é a “Reco da eo ia ap endida em anos an e io es”. Es a é uma espos a p e isí el, uma
ez que, no ge al, os alunos endem a esquece os con eúdos lecionados an e io men e a é se ‘c uza em’
no amen e com eles. O i em “Nenhuma em especí ico” oi adicionado po um aluno.
8
Ou o i em que ambém e e a de ida a enção oi “Expo o meu aciocínio de o ma esc i a” uma
ez que é o oco des e es udo, o que me ece a enção pa a consegui minimiza es a di iculdade nos
alunos.
Uma ez que a calculado a g á ica em um papel undamen al no pe cu so dos alunos e na minha
in e enção, no ques ioná io inicial i e o cuidado de con i ma se odos os alunos inham calculado a
g á ica e de pe cebe que ipo de con ac o é que os alunos êm com es e ma e ial (Tabela 3).
Tabela 3. Obje i o de u ilização da calculado a g á ica (𝑛 = 22)
Obje i o
F equência
Con i ma espos as
14
In e p e a g á icos
8
Faze g á icos
11
Faze cálculos numé icos
16
Resol e a e as que não são possí eis po p ocessos analí icos
10
Apesa de “Faze cálculos numé icos” se o mais escolhido pelos alunos, os es an es i ens não
êm g ande di e ença en e si, o que le a a c e que os alunos êm uma noção de como abalha com a
calculado a g á ica embo a possam e algumas lacunas no seu manuseamen o. Dado que se a a de
um a e ac o impo an e pa a a sala de aula, os alunos o am ques ionados sob e os aspe os posi i os e
nega i os da calculado a g á ica. Rela i amen e aos aspe os posi i os, g ande pa e dos alunos apon a
pa a a elabo ação de cálculos mais complexos e pa a obse ação e analise de g á icos (Tabela 4).
Tabela 4. Aspe os posi i os da calculado a g á ica (𝑛 = 22)
Aspe os posi i os
F equência
Simpli icação de esul ados
4
Elabo ação de cálculos mais complexos
15
Redução no empo de esolução das a e as
5
Obse ação e analise de g á icos
14
En ende melho os con eúdos lecionados
1
Con i ma espos as
7
Apoio na disciplina
1
Ou os aspe os, ais como con i ma as espos as e simpli icação de esul ados, es ão subjacen es
aos aspe os mais escolhidos uma ez que a obse ação e análise de g á icos po ezes ajuda a con i ma

9
espos as de a e as ealizadas anali icamen e. E a elabo ação de cálculos ajudam a simpli ica os
esul ados de uma exp essão com possí eis a edondamen os. Quan o à edução das a e as, é
espec á el que os alunos u ilizem odas as uncionalidades des e a e ac o quando assim o podem, como,
po exemplo, pa a descob i os ze os de unções polinomiais, descob i de e minados alo es em unções
pedidas, en e ou os.
A u ilização da calculado a g á ica ambém az aspe os nega i os pa a g ande pa e dos alunos
(Tabela 5)
Tabela 5. Aspe os nega i os da calculado a g á ica (𝑛=22)
Aspe os nega i os
F equência
Diminuição da capacidade de calculo/ aciocínio
6
Facili a as a e as
2
Dis ação
2
Pouca di e sidade de a e as pa a a u iliza
1
Fal a de pilhas
1
C ia dependência
3
Pe de empo
1
Di ícil de manusea
2
Não em
10
De no a que os alunos e e em como aspe o nega i o a diminuição da capacidade de
cálculo/ aciocínio e a dependência com que icam da calculado a g á ica. Is o mos a que os alunos êm
essa p eocupação e sabem que não se podem oca só nes e ma e ial du an e o seu pe cu so escola .
Em suma, os alunos indiciam es a em ap os pa a abalha com a calculado a g á ica e
conseguem pe cebe os seus p ós e con as, o que az com que na in e ação com eles no con ac o des e
ma e ial seja só pa a os ajuda em possí eis e os na sua u ilização.
Pa a sabe o quão in eg ados es a am no campo da comunicação esc i a, no ques ioná io inicial
encon am-se algumas ques ões com esse in ui o. Nelas, 100% da u ma con i mou que a comunicação
esc i a e a impo an e pa a as suas ap endizagens de ópicos de ma emá ica. Pos o is o, os alunos
i e am de menciona aspe os posi i os e nega i os nes a á ea de desen ol imen o.
Rela i amen e aos aspe os posi i os, g ande pa e dos alunos apon a pa a uma e lexão da ma é ia
dada e pa a a explici ação dos aciocínios (Tabela 6).
10
Tabela 6. Aspe os posi i os na comunicação esc i a (𝑛 = 22)
Aspe os posi i os
F equência
Melho a a capacidade de comunicação
7
Melho a o conhecimen o a ní el de esc i a
3
Ajuda a e le i sob e a eo ia dada
8
Explici a o nosso aciocínio na esolução das a e as
8
Facili a a comp eensão da simbologia ma emá ica
1
Es imula o aciocínio
7
Ou os aspe os que se ealçam são a es imulação do aciocínio e a melho ia na capacidade de
comunicação. A comunicação esc i a ambém az aspe os nega i os, e g ande pa e dos alunos apon a
pa a a inexis ência de aspe os nega i os (Tabela 7).
Tabela 7. Aspe os nega i os da comunicação esc i a (𝑛 = 22)
Aspe os nega i os
F equência
Re i a empo de esolução na ealização de a e as
5
É con uso
5
Não ajuda
1
Di ícil de aplica
4
P ecisa de eino
4
Não em
11
De no a que há uma p eocupação po pa e de alguns alunos no que diz espei o ao empo que
êm pa a esol e as a e as com mais cuidado. Também é ní ida uma di iculdade dos alunos em
comunica de o ma esc i a o seu aciocínio e pa e deles admi e que é p eciso eino.
Resumindo, pelas espos as dos alunos, pa e da u ma em uma ce a di iculdade em ansc e e
pa a o papel o seu aciocínio, e que p e e em discu i as suas ideias o almen e.
Concluindo, a u ma é o mada po alunos bem compo ados, embo a às ezes uidosos,
esponsá eis e comunica i os. Mos am empenho e in e esse na ealização das a e as, an o a ní el
indi idual como em g upo e p eocupam-se bas an e com o p óximo.
11
2.2. Enquad amen o Teó ico
Es e subcapí ulo e e e-se à sus en ação eó ica des e ela ó io com base na li e a u a, es ando
di idido em duas pa es, nomeadamen e, a comunicação ma emá ica e a calculado a g á ica.
2.2.1. Comunicação Ma emá ica
A comunicação ma emá ica pode se ei a de o ma o al ou esc i a, com o obje i o de o e ece aos
alunos momen os de e lexão e de pa ilha de con eúdos desen ol idos na disciplina. De seguida se á
abo dado a comunicação em Ma emá ica e pos e io men e se á abo dado com ên ase a comunicação
esc i a, oco de es udo.
2.2.1.1. Comunicação em Ma emá ica
No dia a dia, a comunicação es á p esen e em a i idades ealizadas pela espécie humana. Na
adução das a i idades de ap endizagem na sala de aula, os alunos eco em a duas o mas de
comunicação ma emá ica: a comunicação o al e a comunicação esc i a. Segundo Pon e e al. (2007) e
Magalhães e Ma inho (2014), ambas as o mas de comunicação es ão in e ligadas e complemen am-
se. A comunicação é um elemen o undamen al no ensino da Ma emá ica, uma ez que é a a és dela,
eco endo a di e sas linguagens ( e bal e não e bal) e à ma emá ica, que o p o esso ajus a o p ocesso
educa i o em sala de aula (Menezes e al., 2014; Mo gan e al., 2014; Naca a o, 2012; Pimm, 2018).
Menezes e Naca a o (2020) de endem que a pe ceção do uncionamen o da comunicação no ensino da
Ma emá ica ainda é uma á ea com mui o po explo a em á ios aspe os ais como o ques ionamen o, a
dinamização de discussões, a explicação e sis ema ização de conhecimen os e a a aliação.
De manei a a p omo e a comunicação em sala de aula, B ende u e F ykholm (2000)
o ganiza am-na em qua o o mas, nomeadamen e: a unidi ecional, onde o p o esso assume um papel
mais a i o, dominando as discussões azendo assim pe gun as mais echadas e pe mi indo poucas
in e enções dos alunos; a con ibu i a, onde p e alecem as in e ações en e alunos ou en e alunos e
p o esso , no en an o exis e pouca ou nenhuma p o undidade na e lexão; a e lexi a, que é mui o idên ica
à con ibu i a, mas nes e caso exis e p o undidade nas e lexões; e a ins u i a, onde o p o esso p omo e
si uações de e lexão com o in ui o de sus en a , encaminha , enco aja e modi ica o pensamen o
ma emá ico dos alunos.
Assim, os modelos de ensino p a icados pelo p o esso apoiam-se em di e en es pe spe i as de
comunicação, nomeadamen e, num ensino com ca ac e ís icas exposi i as que u iliza a comunicação
12
como ins umen o de e balização e ansmissão de conhecimen os e num ensino em p ol da in e ação
social que u iliza a comunicação como cons ução pa ilhada do conhecimen o ma emá ico (Gue ei o e
al., 2015). O NCTM (2007) de ende que se “os alunos o em es imulados a ala , esc e e , ou i e le
nas aulas de ma emá ica ob êm um bene ício nas suas ap endizagens an o como ap ende a comunica
ma emá ica, como comunica pa a ap ende ma emá ica” (p. 60). Também Menezes (2021) de ende
que a comunicação é uma e amen a pois é a a és dela que os alunos pa ilham as suas ideias e
ambém é um obje o cu icula de manei a que os alunos de em se capazes de in e p e a , ep esen a ,
exp essa e discu i . Em conco dância com Menezes, as
Ap endizagens Essenciais
(ME, 2018) êm como
obje i o que os alunos desen ol am a capacidade de “comunica , u ilizando linguagem ma emá ica,
o almen e ou po esc i o, pa a desc e e , explica e jus i ica p ocedimen os, aciocínios e conclusões”
(p. 6).
Vá ios au o es de endem que é essencial que os alunos enham capacidade de explica e
undamen a os seus aciocínios, u ilizando ambém a comunicação como um apoio pa a a consolidação
de concei os. A comunicação ambém ajuda a elemb a concei os an igos e na descobe a de no os,
sendo assim conside ada como um elemen o undamen al do ensino (Menezes e al., 2014; Pon e e al.,
2007). Segundo Sil a (2018), pa a es a mos pe an e um bom cu ículo escola , es e em de con empla
de uma manei a p o unda e de e minada a ap idão de comunicação ma emá ica. O ‘Pe il dos Alunos à
Saída da Escola idade Ob iga ó ia’ (Minis é io da Educação, 2017) menciona a comunicação como uma
das dez á eas de compe ência a desen ol e . No mesmo sen ido, Se azina (2018) de ende, ambém,
que a comunicação é uma compe ência a desen ol e , e ê-a como um mé odo de ap endizagem mais
conside á el e como uma o ien ação me odológica. Es a compe ência é desen ol ida den o e o a da
sala de aula, onde, em ambos os meios, os alunos não êm o hábi o de u iliza a comunicação
ma emá ica, sendo que cabe ao p o esso cap a esse in e esse.
Fo a da sala de aula, apesa de não se ape cebe em, os alunos acabam po ala sob e uma
a iedade de assun os, u ilizando a Ma emá ica, embo a não usem a comunicação ma emá ica uma ez
que não é ão na u al. Em sala de aula, o p o esso de e ge a ambien es que p omo am a discussão
en e os alunos, pa a que se e li a numa ap endizagem mais a i a, dado que nes es ambien es os alunos
sen em-se mais con o á eis pa a expo os seus aciocínios. Con a iamen e ao que acon ece quando o
p o esso se inse e de o ma a i a nes es ambien es, uma ez que os alunos icam mais e aídos
(Ma inho & Pon e, 2005). Assim sendo, o p o esso de e p ocu a a e as desa ian es que p omo am
es e ipo de ambien es à u ma, de o ma a que es a se sin a con o á el a in e agi e a con ibui nes es
momen os (Pon e e al., 2007). Nes e sen ido, segundo Sousa e al. (2009)
19
análise de dados, quando é usada pa a ecolhe e a mazena dados, analisa enómenos e p ocu a
modelos ap op iados; (i ) como e amen a de isualização, quando é usada na análise de pa âme os
que pe mi em encon a exp essões que se ajus em aos conjun os de dados, pa a liga uma
ep esen ação isual a um enómeno ísico, pa a e e ua a lei u a de unções simbólicas, pa a ep esen a
e in e p e a dados e pa a esol e equações; e ( ) como e amen a de e i icação, quando a calculado a
é u ilizada pa a con i ma conje u as e comp eende o mas simbólicas múl iplas.
No mesmo seguimen o, ou os au o es a i mam que a calculado a g á ica de e se is a como
uma e amen a que possibili a aos alunos melho a em a sua au onomia e capacidade c í ica na
esolução de a e as e no ap o undamen o de concei os ma emá icos (Campos, 2014; Magalhães &
Ma inho, 2011). Con udo, Rocha (2000) assume que a calculado a g á ica é apenas usada pa a
con i mação de esul ados.
Em jei o de sín ese, cons a a-se que a elação es abelecida en e o aluno e a calculado a g á ica
pode in luencia a manei a como es a é u ilizada, assim como o papel que lhe a ibuído na esolução das
a e as. Conclui-se, assim, que a calculado a g á ica é um impo an e ins umen o ecnológico que apoia
os alunos na ap endizagem de ma emá ica (Mou a, 2005).
2.2.2.2. A calculado a g á ica no ensino de unções
A calculado a g á ica em um papel undamen al no ensino de unções. A a és dela é possí el
analisa as p op iedades dos g á icos, o que az com que á ios au o es de endam es a impo ância da
calculado a g á ica, essencialmen e nas elações en e a ep esen ações g á icas e a ep esen ação
algéb ica. Pon e (1992) conside a que a calculado a g á ica em um papel ele an e no es udo das
unções onde é indispensá el abalha as ês o mas de ep esen ação mais impo an es,
nomeadamen e, a numé ica, g á ica e algéb ica.
A calculado a g á ica é um pode oso ins umen o de cálculo que pe mi e isualiza ao mesmo
empo a exp essão analí ica que de ine uma dada unção e o seu espe i o g á ico, sendo assim possí el
de e a e os na adução dos dados (Domingues, 1999). A a és da calculado a g á ica é possí el ob e
ep esen ações que ajudem a comp eensão do es udo do g á ico de uma unção. Con udo, uma ez que
o ec ã é eduzido é necessá io que haja um abalho na p ocu a da janela de isualização que se
ap oxima ao p e endido, sendo p eciso um es ímulo a expe imen a á ios zooms (Teixei a e al., 1998).
Es es au o es de endem que a calculado a g á ica é um a o essencial pa a desen ol e es a égias de
descobe a e de explo ação e pa a abalha o espí i o c í ico do aluno. A calculado a g á ica o e ece ao
aluno a opo unidade de in es iga unções de di e en es modos an es de e conhecimen os ma emá icos

20
su icien es pa a e e ua o seu es udo analí ico, p opo cionando-lhe assim um conhecimen o in ui i o que
se i á de base pa a uma comp eensão mais o mal.
Num es udo ealizado po Consciência (2003), os alunos exp essa am uma maio acilidade em
econhece e iden i ica uma unção a a és da u ilização da calculado a g á ica. Con udo, a au o a
e i icou que os alunos êm di iculdades em es abelece conexões en e as ep esen ações de uma
unção. Simila men e, Rocha (2001) ambém e i icou que os alunos e elam algumas di iculdades no
que oca a ep esen ações de uma unção, nomeadamen e quando se depa am com uma imagem
incomple a de um g á ico e sen em di iculdades em enquad a o esul ado com os conhecimen os
adqui idos.
Resumidamen e, a calculado a g á ica, pode da um impo an e con ibu o na ap endizagem das
unções, especialmen e ao ní el do es abelecimen o de elações en e a ep esen ação g á ica e a
ep esen ação algéb ica, da a i ude e mo i ação dos alunos em elação à ma emá ica e con ibuindo
ambém pa a a melho ia das capacidades de aciocínio.
2.2.2.3. Po encialidades e cons angimen os da calculado a g á ica
A calculado a g á ica, enquan o ma e ial didá ico, den o da sala de aula ge a uma no a dinâmica
possibili ando assim a expe imen ação, a in es igação e a esolução de p oblemas. A a és des a
dinâmica, consegue-se ob e ambien es de ap endizagem in e a i os e explo a i os onde os alunos são
en ol idos no p og esso das suas p óp ias ideias ma emá icas (Dunham & Dick, 1994). Pon e (1995)
de ende que com o uso da calculado a g á ica a a i idade ma emá ica pode ica mais expe imen al,
sendo que o aluno assume um papel mais a i o e au ónomo.
Se o conhecimen o do uncionamen o e as po encialidades des e ma e ial didá ico no ensino da
ma emá ica o em bem adminis ados é possí el que a a i idade ma emá ica seja mais e icaz. Domingos
(2016) e e e que a ecnologia az á ios bene ícios impo an es pa a odo o p ocesso de ap endizagem
de ma emá ica. A ualmen e, exis em inúme os engenhos ecnológicos e
so wa es
com a capacidade de
e e ua cálculos de o ma exa a, ajuda na ges ão e análise de dados, azendo com que o aluno enha a
opo unidade de consegui di e en es es a égias na esolução de a e as (NCTM, 2007).
Uma ez in eg ada no ensino da ma emá ica, a calculado a g á ica pe mi e aos p o esso es c ia
uma di e sidade de a e as e aumen a o seu g au de di iculdade, is o que es a pode p opo ciona aos
alunos uma esolução al e na i a mais simples do que uma complexa esolução analí ica (Semião &
Cana a o, 2012). Assim, podemos a i ma que uma das g andes compe ências da calculado a g á ica
21
é o ac o, num cu o espaço de empo, nos de ol e um esul ado, e de o ma simpli icada, o que poupa
mui o empo e não pe mi e possí eis e os algéb icos (NCTM, 2007; Rocha, 2012).
Pa a além des a capacidade ápida de cálculo numé ico, a calculado a g á ica ambém em um
g ande pode g á ico. A possibilidade de es a consegui isualiza di e sos g á icos simul aneamen e
pe mi e ao aluno aze o es udo de di e sas unções mesmo sem e adqui ido compe ências pa a aze
essa análise (Consciência, 2013). O ac o de es a e amen a pe mi i ao aluno ajus a a janela de
isualização que melho se enquad a, ale a-o pa a as di e enças en e as ep esen ações g á icas
p e is as e as ep esen ações g á icas emi idas pela calculado a g á ica (Almeida & Oli ei a, 2009).
Jun amen e com a isualização das di e en es ep esen ações g á icas es e a e ac o, a a és de
modi icações de um ce o pa âme o na exp essão da unção, pe mi e ao aluno e i ica as espe i as
al e ações g á icas e assim i a as suas conclusões (Campos e al., 2015; Consciência, 2013). O ac o
de os alunos pode em obse a e analisa al e ações ei as, que seja em g á icos que seja em
exp essões analí icas, az com que eles consigam e uma melho pe ceção de ce os concei os
ma emá icos (Magalhães, 2010).
No amen e, o p o esso em um papel mui o impo an e na u ilização da calculado a g á ica na
sala de aula, uma ez que, como e e ência, é essencial que domine co e amen e e e icien emen e es e
a e ac o is o que os alunos endem a segui os mé odos usados pelo docen e (Semião & Cana a o,
2012). Assim, podemos dize que o uso da calculado a g á ica bene icia o desen ol imen o de ce as
compe ências, nomeadamen e a da comunicação, da pesquisa, da au onomia e do espí i o c i ico, sendo
conside ada uma o e e amen a pa a a ap endizagem da ma emá ica (Sil a & Seixas, 2010).
Num es udo ei o po D ij e es e Doo man (1996), es as conside am que há cinco an agens pa a
o uso da calculado a g á ica em sala de aula, nomeadamen e: o con ex o eal, uma ez que es a pe mi e
passa de ope ações algéb icas pa a ope ações eais; a explo ação, uma ez que es imula os alunos a
o mula no as ques ões e gene aliza p oblemas; a in eg ação, uma ez que pe mi e aos alunos
es abelece ligações de á ios con eúdos ma emá icos a a és da in eg ação de exp essões algéb icas e
geomé icas; a dinâmica, uma ez que é possí el obse a as al e ações de pa âme os numa exp essão
pe mi indo a obse ação dos modelos; a lexibilidade uma ez que exis e a p ocu a de soluções lexí eis.
Num es udo ealizado po Rocha (2012), es a e e e ês aspe os da in luência da calculado a
g á ica no ensino e na ap endizagem da ma emá ica, nomeadamen e: as dú idas que possam su gi aos
alunos c iando assim di iculdades aos mesmos; o conhecimen o do p o esso ela i amen e ao uso que
é dado à calculado a po pa e dos alunos, is o que, pode se usada de manei as di e en es e pode c ia
22
disco dância ma emá ica; as capacidades da calculado a pe an e uma a iedade de a e as p opos a aos
alunos e como es as podem in luencia a dinâmica da aula e o mé odo de ensino e ap endizagem.
Já Consciência (2013) e e e ambém alguns aspe os que se de e e em con a na u ilização da
calculado a como: a p ecisão numé ica; o modo de ep esen ação do g á ico de uma unção; a
explo ação de á ios zooms; a ep esen ação g á ica de amílias de unções; e isualização de á ias
ep esen ações em simul âneo. Con udo, sendo es e ma e ial bas an e usado na disciplina de
ma emá ica e o ac o de se usado po á ios alunos de di e en es idades, é expe á el que exis am alguns
cons angimen os e di iculdades na u ilização da calculado a g á ica. Vá ios au o es a i mam que o uso
da calculado a g á ica p ejudica a capacidade de abs ação. Nomeadamen e Albuque que (1998) a i ma
que a dependência des e u ensilio, que pa a os alunos que pa a os p o esso es, es á a o ma “espí i os
menos igo osos, menos exigen es e mais p eguiçosos” (p. 140). Já Rocha (2002), no seu es udo, e i ica
que as calculado as g á icas são usadas, na maio ia, pa a e e ua cálculos, c iando assim dependência
aos alunos em de imen o do cálculo men al.
Rocha (2000) a i ma que as di iculdades que os alunos sen em no uso da calculado a g á ica
ad ém, maio i a iamen e, da pouca ên ase que dão na descobe a de no as capacidades da calculado a,
icam assim limi ados aos p ocessos que abalham nas aulas.
Apesa de cada um e a sua p óp ia calculado a, não es inge os momen os de pa ilha com os
es an es colegas e com o p o esso , acabando po e um apoio pa a a es u u ação do pensamen o,
pe mi indo um melho aciocínio e comp eensão das ideias (Campos, 2014; Magalhães & Ma inho,
2011; NCTM, 2007; Rocha, 2012; Semião & Cana a o, 2012).
2.2.3. Funções
O ópico de unções es á mui o p esen e no pe cu so escola dos alunos, dado que, ao longo dos
anos, es udam com p o undidade algumas ‘ amílias’ de unções que in eg am o cu ículo escola .
A endendo à na u eza abs a a dos ópicos es udados no pe cu so escola dos alunos, alguns deles
e elam di iculdades na sua ap endizagem.
2.2.3.1. As unções no cu ículo escola de Ma emá ica
O ópico de unções é um dos ópicos mais impo an es no es udo de ma emá ica e alguns es udos
dizem que se á p eciso ecua ce ca de 4000 anos pa a se encon a em os p imei os indícios de unções
(Kleine , 2012). Esses indícios e am isí eis na p é-his ó ia quando os homens p imi i os aziam uma
23
co espondência uncional en e o núme o de ped as/ossos e os animais que con inham no seu ebanho
(Domingos, 2008). Desde os empos an igos que as unções podem se encon adas em á ias si uações,
nomeadamen e na co espondência en e um de e minado conjun o de obje os e uma sequência de
con agem de núme os; nas qua o ope ações a i mé icas elemen a es em que, cada uma, é uma unção
de duas a iá eis; e nas abelas dos quad ados dos babilónios, das aízes quad adas, dos cúbicos, das
aízes cúbicas e dos ecíp ocos (Pon e, 1992). Em e mos o mais, Be noulli, em 1718, o mulou pela
p imei a ez a de inição de unção, em que consis ia numa unção de uma ce a a iá el como uma
quan idade que é compos a de qualque o ma dessa a iá el e cons an es (Kleine , 2012). Anos mais
a de, mais conc e amen e em 1734, Eule , que oi aluno de Be noulli, in oduziu a no ação 𝑓(𝑥) ao
concei o de unção, que em 1748 ape eiçoou a de inição de unção subs i uindo o e mo ‘quan idade’
po ‘exp essão analí ica’ (Sa uano , 2015). Elia e al. (2007) conside am que o concei o de unção é dos
mais impo an es da ma emá ica e ambém essencial no co idiano da sociedade, uma ez que es á
in eg ado nou as ciências, como, po exemplo, na Física ou na Química, como ambém se pode
encon a em di e sas si uações nos jo nais, em a igos cien í icos, nos p og amas ele isi os, en e
ou os.
Dada a sua impo ância, as unções são inse idas no pe cu so académico do aluno ela i amen e
cedo. Assim, segundo o P og ama e Me as Cu icula es, encon a-se o concei o de unção pela p imei a
ez no 7.º ano de escola idade. Con udo, es e concei o es á inse ido no 1.º ciclo, mas de uma o ma
in o mal. No 7.º ano de escola idade é expec á el que os alunos consigam associa que dados dois
conjun os 𝐴 e 𝐵 se de ine uma unção (ou aplicação) 𝑓 de 𝐴 em 𝐵, al que a cada elemen o 𝑥 de 𝐴
co esponde a um e um só elemen o de 𝐵, podendo ep esen a essa unção po 𝑓(𝑥). Ainda no 7.º
ano de escola idade os alunos en am em con ac o com os e mos “obje o”, “imagem”, “domínio”,
“conjun o de chegada” e “ a iá el”, sendo expec á el que os usem co e amen e. Pa a além disso, os
alunos ob êm conhecimen os ela i os a ope ações com unções numé icas e conhecem as p imei as
amílias de unções, nomeadamen e a unção cons an e, a unção linea e a unção a im, e ainda de em
sabe de ini as unções de p opo cionalidade di e a. No 8.º ano de escola idade os alunos ob êm
conhecimen os ela i os às equações de e as e icais e não e icais (decli e e o denada na o igem).
No 9.º ano é expec á el que os alunos saibam de ini unções de p opo cionalidade in e sa e iden i ica
uma no a amília de unções, nomeadamen e as unções do ipo 𝑦 = 𝑎𝑥2 (𝑎 ≠ 0).
No ensino secundá io, dependendo da á ea de o mação que os alunos sigam, o domínio das
unções a ia. Se os alunos op a em po Ma emá ica A, o es udo de unções se á mais ap o undado. No
10.º ano de escola idade são abo dadas di e sas emá icas ais como: gene alidades sob e unções;
24
mono onia, ex emos e conca idades; es udo elemen a de unções (quad á ica, cúbica, adicais
quad ados e cúbicos, módulo e de inida po amos); e esolução de p oblemas. No 11.º ano de
escola idade são in oduzidas as unções igonomé icas, as unções acionais, as unções in e sas e as
unções i acionais. Ainda no 11.º ano, os alunos en am em con ac o com os limi es de unções e azem
uma b e e in odução às de i adas de unções. Po im, no 12.º ano de escola idade os alunos azem o
es udo sob e a con inuidade de unções e a con inuidade da soma, di e ença, p odu o e quocien e de
unções con ínuas. Têm, po es a al u a, de se capazes de iden i ica , caso exis am, as assin o as dos
g á icos das unções, assim como de econhece as unções de i adas, associando os ze os da unção
de i ada à mono onia e ex emos das unções. Ainda no 12.º ano de escola idade é expec á el que os
alunos saibam aze o es udo de unções loga í micas e exponenciais (ME, 2018).
Segundo Semião e Cana a o (2012), uma unção pode se de inida de di e en es o mas,
nomeadamen e: a de inição e bal, que consis e na u ilização de pala as pa a desc e e a unção; a
de inição numé ica, que consis e na u ilização de abelas ou diag amas pa a ep esen a a unção; a
de inição algéb ica, que consis e na de inição de uma unção a a és de uma exp essão analí ica; e a
de inição g á ica, que consis e na u ilização de um g á ico pa a ep esen a uma unção. No mesmo
sen ido, Domingos (2008) conside a que uma unção pode se ep esen ada de á ias manei as,
nomeadamen e pela sua ó mula algéb ica, po uma abela de alo es ou po um g á ico. Con udo, es as
o mas de ep esen a uma unção êm as suas an agens e des an agens. F iedlande e Tabach (2001)
apon am as seguin es an agens: a ep esen ação e bal é usada pa a expo um p oblema e é impo an e
pa a a in e p e ação de espos as dos alunos; a ep esen ação numé ica egula men e an ecede a
u ilização de qualque ou o ipo de ep esen ação, pois o uso de núme os é impo an e pa a a
ap endizagem dos p imei os conhecimen os ela i os à álgeb a; a ep esen ação algéb ica é p ecisa,
uni e sal e e icaz na exposição de pad ões e modelos ma emá icos e, po ezes, a manipulação de
obje os algéb icos é a única manei a de p o a ce os esul ados; e a ep esen ação g á ica é ú il pois
o nece uma imagem ní ida de uma unção, sendo os g á icos in ui i os que apelam ao sen ido isual
dos alunos. Os mesmos au o es ambém ap esen am des an agens pa a as di e en es o mas de
ep esen a uma unção, nomeadamen e: na e bal, o uso pode se ambíguo e pode inci a a associações
i ele an es ou alaciosas, sendo um obs áculo pa a a comunicação ma emá ica; na numé ica, uma ez
que não es á gene alizada, o na a sua u ilização des an ajosa; a algéb ica pode di icul a a in e p e ação
de ce os esul ados uma ez que es a se e-se do uso exclusi o de símbolos algéb icos; e na g á ica a
al a de p ecisão pode c ia di iculdades.

25
De um modo ge al, os alunos êm di iculdades em c ia conexões en e di e en es ep esen ações
de unções, nomeadamen e na in e p e ação de g á icos e na manipulação de símbolos (Elia e al.,
2007). Segundo Elia e al. (2007), cada ep esen ação da de inição de unção ansmi e in o mações
sob e aspe os pa icula es do concei o sem o desc e e na o alidade. Assim, o ópico de unções
abalhado com os di e sos ipos de ep esen ação ganha cada ez mais ên ase nas a i idades de
Ma emá ica na sala de aula.
Num es udo, com alunos do ensino secundá io, ealizado po Elia e al. (2007), sob e os
conhecimen os e di iculdades no es udo das unções, as p incipais di iculdades e am encon adas nos
p oblemas em que se pedia aos alunos que mudassem da ep esen ação e bal pa a a ep esen ação
algéb ica, que econhecessem uma unção num conjun o dado de elações en e a iá eis e que
cons uíssem o g á ico a pa i da exp essão analí ica. Do mesmo modo, Consciência (2013) a i ma que
a con e são en e ep esen ações ge a di iculdades pa a os alunos, exis indo con e sões com di e en es
g aus de di iculdade, nomeadamen e quando se a a da con e são da ep esen ação g á ica pa a a
espe i a exp essão algéb ica.
Dada a complexidade do concei o de unção, Michelsen (2006) a i ma que os alunos sen em
di iculdades em da signi icado às unções, sen indo necessidade de as ilus a com exemplos conc e os.
Pon e e al. (2009) assumem como p incipais di iculdades dos alunos no domínio das unções, o uso de
ocabulá io p óp io - domínio, obje o, imagem - sob e udo quando apa ecem em con ex os
exclusi amen e ma emá icos. Já Ha ikudu e al. (2012) assumem que e i a e in e p e a g á icos é
uma a e a di ícil pa a os alunos, uma ez que exis em lacunas no que diz espei o à comp eensão de
g á icos de unções po pa e dos mesmos.
Ou o en a e, pa a os alunos, na ap endizagem de unções é a u ilização de símbolos
ma emá icos, sendo que é necessá io algum empo pa a que os alunos se amilia izem com os mesmos
(José, 2015).
Ma ko i s, Eylon e B uckeime (1998) indicam ou as di iculdades que os alunos cos umam
mani es a , nomeadamen e: (1) localiza obje os e imagens numa ep esen ação g á ica; (2) iden i ica
imagens e pa es (obje o, imagem) em unções de inidas na o ma algéb ica; (3) dis ingui en e o
con adomínio e o conjun o de chegada; (4) igno a o domínio e o conjun o de chegada de uma unção;
(5) conceção e ada de linea idade.
26
2.3. Es a égias de In e enção
Es e subcapí ulo es á di idido em duas pa es, especi icando na p imei a as me odologias de
ensino e de ap endizagens e na segunda as es a égias de a aliação da ação que implemen ei na minha
p á ica pedagógica.
2.3.1. Me odologias de ensino e ap endizagem
Com o in ui o de p omo e e alo iza o papel do aluno no p ocesso de ensino e de ap endizagem,
na minha in e enção pedagógica i e am ele ância os momen os de discussão com e en e os alunos
na in odução e na sis ema ização de concei os ma emá icos que in eg a am o ema que lecionei.
Du an e es e p ocesso, semp e que possí el, p opo cionei aos alunos um papel in e en i o na
ap endizagem dos concei os es udados. As a e as p opos as enquad am-se nos p oblemas, que o am
explo ados na sala de aula median e um o ma o de ensino e de ap endizagem que adqui e
ca ac e ís icas do ensino explo a ó io (Pon e, 2005). Sendo a calculado a g á ica um ma e ial didá ico
de ácil acesso e a ob iga o iedade de os alunos desen ol e em compe ências ecnológicas, segundo as
Ap endizagens Essenciais (ME, 2018), incluí a calculado a g á ica na esolução das a e as p opos as.
Ta e as
. Segundo Pon e (2005), exis em qua o ipos de a e a, nomeadamen e: o exe cício, que
é uma a e a de du ação cu a, de es u u a echada e de g au de desa io eduzido, onde o aluno a ealiza
com conhecimen os já adqui idos; o p oblema, que é uma a e a de du ação média, de es u u a echada
e de g au de desa io mais ele ado que o an e io , onde o desa io es á na in e p e ação do enunciado e
na adução em linguagem ma emá ica; a in es igação, que é uma a e a de du ação média, abe a e de
desa io ele ado, onde o aluno em de elabo a uma es a égia de esolução e onde pode se solici ado
que o aluno aça uma pesquisa e ecolha de dados pa a a esolução da a e a; e a explo ação, que é
uma a e a de du ação média, abe a e de desa io eduzido onde o aluno pode esol ê-la sem
necessidade de mui o planeamen o. O mesmo au o de ende, ainda, que cada ipo de a e a p omo e
uma compe ência di e en e no desen ol imen o do p ocesso de ensino e ap endizagem do aluno,
nomeadamen e: o aciocínio ma emá ico ad ém das a e as mais echadas; a au ocon iança ad ém das
a e as mais acessí eis (exe cícios e explo ação); a i ência de expe iências ma emá icas ad ém das
a e as mais desa ian es (p oblemas e in es igação); e a au onomia ad ém das a e as mais abe as.
Con udo, não se pode es abelece uma de inição ão ígida à a e a pois udo depende do con ex o
onde es á a se desen ol ida, is o é, o que pa a um aluno pode se um p oblema pa a ou o pode se
um exe cício (Polya, 1995).
27
Pos o is o, é undamen al que du an e a elabo ação do plano de aula seja ei a uma seleção
c i e iosa das a e as, onde es as se adequem ao p ocesso de desen ol imen o do ensino e sejam
coe en es com os obje i os a cump i com o ema ou ópico em ques ão (Cana a o & San os, 2012).
Segundo o NCTM (2007), os alunos ao esol e em p oblemas desen ol e ão no os mé odos de
aciocínio, hábi os de pe sis ência e p ocu a, assim como de segu ança pe an e di e sas si uações, o
que se -lhes-á mui o ú il o a da sala de aula. Assim, os alunos e ão de se incen i ados a esol e
p oblemas e desa iados a e le i sob e o que ize am e como ize am.
Des e modo, na minha in e enção pedagógica p ocu ei p opo aos alunos a e as de g au de
abe u a eduzido, mas de desa io ele ado, ou seja, a e as que se enquad am na ipologia dos
p oblemas.
T abalho em g upo
. Du an e a minha p á ica pedagógica o ganizei os alunos em ios e em pa es.
Pa a a o mação des es g upos, en ei c ia g upos he e ogéneos a ní el de desempenho escola e en ei
colocá-los de manei a a que se sen issem con o á eis a abalha com os es an es elemen os. Con udo,
uma ez que começa am a ganha o inas de abalho en e eles e a dinâmica já não es a a a unciona ,
pe o do im da minha in e enção ol ei a oca os elemen os dos g upos de manei a a ga an i a
he e ogeneidade dos mesmos. Um dos mo i os que me le ou a dinamiza assim a minha p á ica
pedagógica oi o ac o de no Pe il dos Alunos à Saída da Escola idade Ob iga ó ia (ME, 2017) es a
mencionado que os alunos ao saí em da escola de em sabe “in e agi com ole ância, empa ia e
esponsabilidade e a gumen a , negocia e acei a di e en es pon os de is a, desen ol endo no as
o mas de es a , olha e pa icipa na sociedade” (p. 25). Simul aneamen e, alguns au o es de endem
que abalha em g upo é bas an e posi i o pa a os alunos uma ez que podem ap ende a explo a ,
desen ol e a capacidade a gumen a i a, o mula conje u as e desen ol e compe ências sociais ais
como a coope ação, in e ajuda, abalho em equipa e o ganização (Oli ei a, Segu ado & Pon e, 1998).
Ensino Explo a ó io
. Du an e a minha in e enção pedagógica p ocu ei cen a as minhas aulas na
ealização das a e as, de modo a inse i os alunos o máximo possí el na dinâmica da aula, ugindo
assim ao ensino di e o. Pa a Pon e (2005), o ensino explo a ó io cen a-se no abalho do aluno na
cons ução do conhecimen o. Menezes el al. (2014) de endem que o p o esso , nes e ipo de ensino,
de e p opo ciona um ambien e comunica i o, p opo a e as desa ian es, u iliza ma e iais didá icos que
consigam ep esen a concei os ma emá icos, ou i e comp eende os alunos, aze ques ões, desa ia
os alunos a e le i em, a o ece a discussão e a negociação de signi icados. Po an o, pode-se dize que
uma es a égia de ensino explo a ó io se ap op ia à ealização de p oblemas, p omo endo assim
momen os de e lexão e de discussão em g upo u ma. Pos o is o, du an e a minha in e enção
28
pedagógica op ei po u iliza um mé odo de ensino e de ap endizagem que adqui e ca ac e ís icas do
ensino explo a ó io. Cana a o e al. (2012) o ganizam a aula, u ilizando o ensino explo a ó io, em qua o
ases: (i) in odução da a e a; (ii) desen ol imen o da a e a; (iii) discussão da a e a; e (i ) sis ema ização
das ap endizagens. Assim, du an e a minha in e enção pedagógica, na p imei a ase, ap esen a a a
a e a à u ma e agua da a que os alunos elabo assem a sua lei u a pa a pos e io men e aze o
le an amen o dos dados da mesma, do que e a pedido e de possí eis dú idas. Passando à segunda ase,
nela os alunos esol iam a a e a, em g upos, de o ma au ónoma, enquan o eu p ocu a a auxiliá-los no
que osse necessá io. Ainda nes a ase, du an e o abalho au ónomo dos alunos, azia a seleção das
esoluções que pudessem aze momen os de discussão pa a a ase a segui . Consequen emen e, a
e cei a ase, é des inada à discussão da a e a onde os alunos compa a am esoluções e discu iam
sob e os esul ados, onde o meu papel e a de ge i as in e enções dos alunos ou in oduzi os alunos
na discussão. Po im, na úl ima ase, a a és das in e enções dos alunos en a a in oduzi no os
concei os que de i assem de o ma indi e a da a e a p opos a.
Pon e (2005) de ende que se conside a mos a comunicação como um mé odo complexo e
mul idimensional, onde os alunos, in e agindo en e si e com o p o esso , conseguem cons ui e
compa ilha ideias e p ocedimen os ma emá icos, es amos a ado a o ensino explo a ó io. Pa a
Gue ei o e al (2015), o ensino explo a ó io “co esponde a uma abo dagem ao ensino, em que a
comunicação se sus en a em p ocessos de discussão e de negociação, os quais dão co po a si uações
de p odução e consolidação do conhecimen o ma emá ico po pa e dos alunos” (p. 280).
2.3.2. Es a égias de a aliação da ação
No âmbi o des e es udo, pa a esponde às ques ões de in es igação, subjacen es à minha
in e enção pedagógica, o am u ilizadas di e sas es a égias de ecolha de dados, nomeadamen e
ques ioná ios (inicial e inal), p oduções dos alunos e obse ações.
Ques ioná ios
. Du an e a minha in e enção pedagógica elabo ei dois ques ioná ios, um no início
e ou o no inal, com o in ui o de complemen a in o mações ecolhidas po ou os mé odos de ecolha
de dados. Com a implemen ação do ques ioná io inicial (Anexo 2), p ocu ei iden i ica ca ac e ís icas dos
alunos, nomeadamen e os seus hábi os de es udo, impo ância da disciplina no seu quo idiano e
pe ceções sob e a impo ância da calculado a g á ica e da comunicação esc i a no es udo da
ma emá ica. Nes e ques ioná io es a am p esen es ques ões abe as, echadas e de escolha múl ipla,
como ambém algumas ques ões onde os alunos e iam de classi ica di e sas opiniões numa escala (1-
35
Rela i amen e à alínea
a)
, dos no e g upos de abalho, apenas dois i e am a espos a a es a
alínea e ada, sendo que um deles oi o g upo G2 (Figu a 3) e o ou o oi o g upo G4 que op ou po en a
encon a uma unção a a és dos con eúdos es udados nas
Sucessões
.
Apenas um g upo e e a espos a co e a (Figu a 4), enquan o que os es an es g upos i e am a
espos a pa cialmen e co e a, al ando apenas alguns po meno es nas suas esoluções. O po meno
que mais se ez no a oi a omissão dos alo es que 𝑛 podia oma . Is o é a omissão de 𝑛 ∈ ℕ na
de inição da unção, apenas endo sido e i icando em duas espos as. Ou o po meno que ambém se
des acou oi a al a de jus i icação na cons ução da exp essão que de ine a unção.
Como podemos obse a , o g upo G7 (Figu a 4) u ilizou a ep esen ação e bal pa a in o ma os
alo es que 𝑛 pode ia oma . Apesa de não e u ilizado o ex o pa a iden i ica os alo es a ibuídos a
cada componen e da unção conseguiu iden i icá-los na sua espos a.
Já o g upo G9 (Figu a 5) não ap esen a qualque ipo de jus i icação ou sen ido à exp essão e não
indica os alo es que 𝑛 pode oma .
No que oca à segunda alínea, nenhum g upo e e a espos a o almen e ce a, apenas ês g upos
indica am co e amen e o in e alo do domínio esquecendo-se apenas de menciona que 𝑛 ∈ ℕ. Os
es an es g upos menciona am inde idamen e o in e alo do dominio. Os ês g upos que coloca am
co e amen e o in e alo do dominio ap esen a am uma jus i icação pa a os alo es mencionados. De
no a que, dos no e g upos, apenas um (Figu a 6) mencionou que 𝑛 ∈ ℕ na sua espos a, con udo não
inse iu co e amen e os alo es do in e alo do dominio.
Figu a 4. Resolução da alínea
a)
do g upo G7.
Figu a 5. Resolução da alínea
a)
g upo G9.
Figu a 6. Resolução da alínea
b)
g upo G6.

36
Na alínea
c)
odos os g upos esponde am co e amen e, mas apenas qua o dos no e g upos é
que explici a am o seu aciocínio a ibuindo um sen ido à espos a, como ilus a a espos a do g upo G3
(Figu a 7).
Os es an es g upos ap esen a am apenas a exp essão ou o esul ado, como exempli ica a
esolução do g upo G5 (Figu a 8).
A endendo aos e os dados pelos g upos na alínea
a)
, os mesmos i e am a espos a à alínea
d)
e ada. Igualmen e, os dois dos g upos que na alínea
b)
não ace a am o in e alo do domínio da unção
alha am na esolução des a alínea. Os es an es g upos ize am o esboço do g á ico como pedido na
alínea
d)
, como mos a a esolução do g upo G5 (Figu a 9).
Na espos a do g upo G5 (Figu a 9) e i ica-se que os alunos ize am um esboço do g á ico sem
mui o igo . Fal am elemen os essenciais pa a que a espos a ique o mais comple a possí el, como a
o igem do e e encial, a janela de isualização u ilizada na calculado a g á ica e o pon o p e endido,
apesa des e úl imo se mencionado no ex o que acompanha o g á ico.
Figu a 8. Resolução da alínea
c)
g upo G5.
Figu a 7. Resolução da alínea
c)
g upo G3.
Figu a 9. Resolução da alínea
d)
g upo G5.
37
Em con apa ida, o g upo G8 (Figu a 10) iden i ica odos os pon os essenciais no g á ico e
menciona a janela de isualização u ilizada, o que o na uma espos a mais comple a em elação ao
g upo G5.
No ge al, os alunos não menciona am a janela de isualização o que e ela al a de igo quando
êm de aze o esboço de um g á ico de uma unção. Nes a alínea e a necessá io a u ilização da
calculado a g á ica e os alunos não demons a am di iculdades no seu manuseamen o. A a és do menu
G aph
inse i a exp essão que de ine a unção em
Y1
, de endo pos e io men e encon a a janela de
isualização que mais se adap a a à ep esen ação do g á ico da unção e assim ob e o g á ico
p e endido. Con udo, hou e g upos que não consegui am aze os
inpu s
necessá ios pa a es ingi em
o domínio da unção pa a os alo es que p e endiam. Po ém, essa alha não p ejudicou o esboço dos
alunos.
Na esolução des as qua o alíneas, uma das esoluções que se des acou pela posi i a oi o do
g upo G7. Nes a esolução encon am-se jus i icações p ocedimen ais e eg as, assim como os ês ipos
de ep esen ação, nomeadamen e, a e bal, a icónica e a simbólica. No campo da
cla eza
o g upo ob ém
o ní el ele ado ap esen ando ideias p ecisas, u ilizando ocabulá io co e o e eco endo às
ep esen ações adequadas. Na dimensão da
undamen ação
é a ibuído o ní el médio, pois o g upo
jus i ica azoa elmen e os seus p ocessos. Es a a ibuição de e-se ao ac o de em algumas alíneas o
g upo não jus i ica co e amen e os p ocessos, nomeadamen e na alínea
d)
quando omi e a janela de
isualização u ilizada na calculado a g á ica. Já na
lógica
é a ibuído o ní el ele ado uma ez que o g upo
e ela aciocínio e coe ência nos egis os esc i os, mani es ando conexão en e as ideias. O g upo segue
a mesma linha de pensamen o du an e a esolução da a e a e consegue encon a uma ligação en e
as di e en es alíneas, o que e a um dos obje i os da a e a. Po im, a
p o undidade
encon a-se no ní el
médio pois demons a algum domínio de aspe os impo an es, nomeadamen e quando na alínea
d)
assume que o domínio da unção e mina quando 𝑛 = 30.
Figu a 10. Resolução da alínea
d)
g upo G8.
38
Po im, a alínea
e)
ge ou di iculdades nos alunos uma ez que e a a p imei a ez que es es
abo da am es e con eúdo. No en an o hou e um g upo que chegou a uma conclusão, apesa da sua
espos a se mui o sucin a (Figu a 11).
Em discussão com a u ma, os alunos chega am à espos a da alínea
e)
.
P o esso : Mas o que os az lemb a a pala a acionais?
Aluno 22: Vem de azão.
P o esso : Exa o, em de azão, mas uma azão en e o quê Aluno 14?
Aluno 14: De polinómios.
P o esso : Exa amen e, ou seja, uma azão en e 𝑃(𝑥) e 𝑄(𝑥), onde ambos são
polinómios. E en ão, o que dize de 𝑓? Se á uma azão de polinómios?
Alunos: É como se i esse 1.
Aluno 8: Mas 1 não é um polinómio!
P o esso : 1 não é polinómio?
Aluno 4: A azão é o p óp io polinómio.
P o esso : Vamos lá o ganiza as ideias. Mas en ão o que é uma unção
polinomial, assim mui o sucin amen e?
Aluno 22: Tem de e uma a iá el 𝑥.
P o esso : É ob iga ó io e a a iá el 𝑥?
Aluno 4: Tal ez não.
P o esso : Não exis em polinómios de g au 0?
Alunos: Sim!
P o esso : Se i e mos uma unção polinomial de g au 0 como lhe chamamos?
Aluno 22: Cons an e!
P o esso : Exa amen e, emos as unções cons an es! A unção 𝑓 não deixa de
se uma unção acional. Po ém o polinómio denominado é uma
unção cons an e.
A a és do diálogo que p omo i, os alunos chega am à de inição de unção acional.
Em suma, pelas p oduções esc i as ecolhidas é isí el que os alunos ainda sen em alguma
di iculdade nas dimensões odas, mas as mais no ó ias são a
undamen ação
e a
lógica
. Também é
isí el que êm uma endência pa a as jus i icações agas, o que ai ao encon o com a lacuna na á ea
da
undamen ação
.
Figu a 11. Resolução da alínea
e)
g upo G3.
39
3.1.2. Sinal de uma unção acional. Inequações acionais
A seguin e a e a e e como obje i o inicia o es udo do sinal de uma unção acional. A a e a em
dois momen os, onde no p imei o os alunos êm de esponde a um conjun o de ques ões pa a se em
in oduzidos no es udo do sinal da unção do p oblema e no segundo momen o cabe ao alunos
o maliza em o es udo do sinal de qualque unção acional.
Rela i amen e à alínea
a)
, odos os g upos i e am a espos a ce a, po ém a ní el de comunicação
esc i a há uma g ande di e ença en e os g upos. O g upo G5 (Figu a 12) jus i ica o po quê de escolhe
𝑡 = 0, enquan o que os es an es g upos apenas assumem o alo 𝑡 = 0 pa a esol e a ques ão.
Como se obse a, es e g upo usa uma jus i icação p ocedimen al e se e-se de ep esen ações
simbólicas e e bais. Na á ea da
cla eza
es e g upo a inge o ní el ele ado uma ez que a espos a con ém
uma linguagem igo osa e con ém as ep esen ações adequadas. Quan o à
undamen ação
, o g upo ao
explica o po quê de 𝑡 = 0 az com que lhe seja a ibuído o ní el ele ado. Na
lógica
, o g upo ob ém o
ní el médio uma ez que não elaciona o esul ado ob ido com o con ex o da aliena. Po im, na
p o undidade
o g upo a inge o ní el ele ado, po mos a que domina o assun o a ado na alínea.
Ta e a: O c ocodilo do Nilo
1. Num de e minado io, com 20 me os de p o undidade, os cien is as es uda am o compo amen o de
um c ocodilo quando a is a uma p esa a é a ma a po a ogamen o. Nesse es udo, os cien is as
conside a am a unção 𝑝, de inida po 𝑝(𝑡)=2𝑡2−36𝑡+154
𝑡−14 , pa a aduzi a dis ância em me os a que
o c ocodilo se encon a do ní el da água do io em unção de 𝑡 segundos, após e is o a p esa. (Pa a
as seguin es ques ões conside a o domínio da unção [0 ,14[ e esboça os g á icos que u iliza es)
a) A que p o undidade o c ocodilo se encon a quando começa a p epa a o a aque à p esa?
b) Após inicia o a aque, quan o empo demo a o c ocodilo a chega à supe ície?
c) Quan o empo pe manece o c ocodilo no a / com a boca o a da água?
d) Num de e minado momen o, o c ocodilo apanhou uma cegonha quando es a a a ugi . Qual é o
alcance máximo que pe mi iu ao c ocodilo apanha a cegonha (a edondado às cen ésimas)?
e) Sabendo que o c ocodilo não pode ul apassa os 16 me os de p o undidade, quan o empo, em
segundos, ap oximados às cen ésimas, es á o c ocodilo debaixo de água?
) De e mina os alo es que e i icam as seguin es condições e in e p e a no con ex o da a e a.
𝑝(𝑡)< 0 𝑝(𝑡)> 0
2. Conside ando a unção 𝑓 eal de a iá el eal de inida po 𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥) , em que 𝑃 e 𝑄 são
polinómios, como es uda o sinal da unção 𝑓?
Figu a 12. Resolução da alínea
a)
g upo G5.
40
Na alínea
b)
, hou e uma dispa idade em elação ao mé odo de esolução, is o é, dos oi o g upos
ês esol e am g a icamen e e cinco esol e am anali icamen e. Dos g upos que esol e am
g a icamen e, é no ó ia a al a de igo quando u ilizam o esboço do g á ico da unção como elemen o de
espos a, nomeadamen e a janela de isualização u ilizada, a a ibuição de alo es ao eixo consoan e o
enunciado e a al a de pon os essenciais. De igual modo, em pa e dos g upos que esol e am
anali icamen e a alínea e i ica-se a al a de elemen os na esolução, ais como os pa ên esis na
exp essão (𝑡 = 7 ∨ 𝑡 = 11)∧ 𝑡 ≠ 14, ou a omissão da condição 𝑡 − 14 ≠ 0, apesa de o domínio
da unção e sido indicado no enunciado.
Como podemos obse a , o g upo G7 (Figu a 13) u iliza a jus i icação ipo eg a, uma ez que
aplica a de inição pa a de e mina os ze os de uma unção acional e se e-se de ep esen ações
simbólicas e e bais. Na
cla eza
o g upo a inge o ní el ele ado, uma ez que não omi e nenhum
pa ên esis nem nenhum de alhe necessá io pa a a sua esolução, azendo assim o uso p eciso e co e o
do ocabulá io e u iliza as ep esen ações adequadas. Na
undamen ação
o g upo ob ém o ní el médio
pelo simples ac o de não jus i ica o po quê de esol e 𝑝(𝑡)= 0. Na á ea da
lógica
o g upo alcança o
ní el ele ado uma ez que consegue in e liga os esul ados ob idos com o con ex o da alínea,
nomeadamen e quando explica a escolha de 𝑡 = 7. Po im, na
p o undidade
, é a ibuído o ní el ele ado
is o que o g upo demons a domínio no cálculo dos ze os da unção.
Em con apa ida, o g upo G1 (Figu a 14), que esol eu g a icamen e a alínea, em um ela ó io
esc i o uns ní eis abaixo do obse ado na igu a 13.
Ao ní el da jus i icação az uso da p ocedimen al e aga, uma ez que não con ém mui a
in o mação e apenas menciona o momen o que o c ocodilo chega à supe ície.
Figu a 13. Resolução da alínea
b)
g upo G7.
Figu a 14. Resolução da alínea
b)
g upo G1.

41
Já ao ní el das ep esen ações se e-se das e bais e icónicas. Na á ea da
cla eza
, é a ibuído o
ní el médio, uma ez que o g upo não u iliza ocabulá io mui o p eciso e as ep esen ações não são
mui o adequadas. Cons a a-se a al a de igo do g upo na ep esen ação do g á ico da unção quando
não inse e as unidades, no con ex o do p oblema, no e e encial ca esiano. Na
undamen ação
, o g upo
em igualmen e o ní el médio, uma ez que jus i ica azoa elmen e os seus p ocedimen os, nes e caso
o g upo não jus i ica o po quê de exclui o ou o ze o da unção. Na
lógica
e na
p o undidade
, é a ibuído
o ní el médio uma ez que o g upo e ela algum aciocínio na esolução da alínea e demons a algum
domínio em aspe os impo an es do assun o, não sendo a ibuído o ní el ele ado pela al a de dados na
ep esen ação g á ica e na in e p e ação do g á ico. Es es ní eis são a ibuídos is o que o g upo quando
u iliza a ep esen ação g á ica demons a algum igo e domínio na es u u a da espos a, omi indo
apenas alguns dados undamen ais ais como a janela de isualização e unidades nos eixos o denados
em con o midade com o enunciado.
A alínea
c)
não ap esen a mui as di iculdades uma ez que ad ém dos alo es ob idos na alínea
an e io . Pa a a esolução des a alínea me ade dos g upos esol eu g a icamen e e a ou a me ade
esol eu anali icamen e.
Dos g upos que esol e am anali icamen e, apenas um não ap esen ou uma jus i icação pa a os
p ocedimen os ealizados (Figu a 15).
Nas es an es esoluções analí icas, os g upos i e am o cuidado de explica o aciocínio e
consegui am e a pe ceção de que e a pedido a pa e posi i a da unção, esc e endo assim na esolução
𝑝(𝑡)> 0 (Figu a 16).
Dos g upos que esol e am g a icamen e, nenhum mencionou a janela de isualização da
calculado a g á ica u ilizada, o que mos a no amen e al a de igo quando esboçam o g á ico da unção.
Das qua o espos as, apenas um g upo não in e p e a o g á ico, os es an es azem uma b e e análise
ao g á ico com o obje i o de esponde à alínea.
Figu a 15. Resolução da alínea
c)
g upo G5.
Figu a 16. Resolução da alínea
c)
g upo G2.
42
Nes a alínea o uso da calculado a g á ica é undamen al, uma ez que o na o p ocesso de
ealização mais ácil. Os g upos que esol e am g a icamen e, a a és da uncionalidade
Shi -G-sol -Roo
conseguem encon a as aízes da unção 𝑝 e assim aze a in e p e ação necessá ia no con ex o da
a e a. A a és dos mesmos p ocessos, os g upos que esol e am anali icamen e conseguem con i ma
e alida a sua espos a.
Na alínea seguin e, o uso da calculado a g á ica e a imp escindí el, uma ez que os alunos ainda
não possuíam conhecimen os su icien es pa a a esol e em anali icamen e. Assim sendo, os g upos
inham que inse i a exp essão que de ine a unção 𝑝 no menu
G aph
e, de seguida, ajus a a janela de
isualização pa a de e mina , a a és do aplica i o
Shi -G-sol -Max
, o máximo da unção 𝑝.
Es a alínea não epo a g andes di iculdades dos g upos, uma ez que apidamen e chega am à
conclusão do que e a pedido. Nas p oduções esc i as, dois dos oi o g upos não e e uou o esboço do
g á ico da unção 𝑝, apesa de menciona em na esolução que o se pedia e a o máximo da mesma. De
ealça que um deles, mencionou que az uso das po encialidades da calculado a g á ica pa a chega à
espos a (Figu a 17).
Dos es an es g upos, hou e quem ap o ei asse o esboço do g á ico ei o na alínea an e io e quem
desenhasse um no o esboço. De ealça que quem ez um esboço do g á ico pa a es a esolução omi iu
a janela de isualização u ilizada, como se pode e na igu a 18. De no a , ambém o ac o, de apenas
um des es seis g upos menciona que az uso das po encialidades da calculado a g á ica pa a chega a
uma espos a.
Nas esoluções dos g upos G5 e G6, igu a 17 e igu a 18 espe i amen e, obse am-se di e en es
ní eis no que oca à
undamen ação
, onde o g upo G5 a inge o ní el médio, is o que não explica o
Figu a 17. Resolução da alínea
d)
g upo G5.
Figu a 18. Resolução da alínea
d)
g upo G6.
43
po quê de p ocu a o máximo da unção, e uma ez que o g upo G6 o menciona consegue a ingi o ní el
ele ado.
Na
cla eza
o g upo G5 a inge o ní el médio, pelo ac o de o g upo não aze uso das ep esen ações
co e as omi indo o g á ico da unção, e de igual modo o g upo G6 a inge o ní el médio uma ez que
omi e a janela de isualização no esboço do g á ico. Nas es an es dimensões,
lógica
e
p o undidade
,
ambos os g upos a ingem o ní el ele ado dado ao ac o de mos a em aciocínio e domínio dos con eúdos
necessá ios pa a a esolução des a alínea.
No que oca às ep esen ações, é ní ido que o g upo G5 apenas usa ep esen ações e bais e o
g upo G6 usa ep esen ações e bais e icónicas. Ambos os g upos u ilizam jus i icações elacionais, uma
ez que ambos iden i icam e jus i icam o que é p eciso descob i .
Mais uma ez, na alínea
e)
a u ma di idiu-se em duas esoluções, onde seis dos oi o g upos
esol e am g a icamen e e dois esol e am anali icamen e. Dos seis que esol e am g a icamen e,
apenas um não desenhou o esboço do g á ico na sua esolução. Con udo, esse g upo menciona que az
uso das po encialidades da calculado a g á ica pa a chega ao p e endido. De ealça que nenhum deles
equaciona o p oblema, ou seja, nenhum g upo a i ma que é pedido 𝑝(𝑡)< 0 e no esboço dos g á icos
omi em a janela de isualização. Pa a esol e es a alínea g a icamen e, os alunos pode iam op a po
dois p ocedimen os, nomeadamen e segui o aplica i o
G-sol e-X-cal
e depois coloca 𝑦 = −16 e
descob i em o alo de 𝑥 quando 𝑦 = −16. A ou a o ma, e a in oduzi no menu
G aph
jun o da
unção 𝑝 a unção 𝑦 = −16 e de seguida a opção
G-sol e-Isc
e assim ob e o pon o de in e seção do
g á ico das duas unções, como podemos e na igu a 19.
Dos ou os dois g upos que esol e am anali icamen e, apenas um equacionou o que e a
p e endido nes a alínea (Figu a 20). Con udo, os alunos ize am uso das capacidades da calculado a
Figu a 19. Resolução da alínea
e)
g upo G9.
44
g á ica pa a chega a uma espos a, is o é, os alunos equacionam 𝑝(𝑡)= −16 mas depois omi em os
es an es p ocessos mencionando apenas a solução da equação 𝑡 ≈ 12,75.
Na dimensão da
cla eza
o g upo G9 a inge o ní el médio dado que omi e a janela de isualização,
le ando assim ao uso de ep esen ações incomple as. Do mesmo modo, o g upo G4 nes a dimensão
ambém a inge o ní el médio, pelo ac o de omi i passos na esolução da equação. Na
undamen ação
ambos os g upos conseguem alcança o ní el ele ado, po que ap esen am jus i icações nos seus passos.
Nas es an es dimensões,
lógica
e
p o undidade
, ambos os g upos ol am a a ingi o ní el ele ado, uma
ez que mos am conexões en e as ideias expos as e domínio nos aspe os complexos que a alínea em,
nomeadamen e o es udo do sinal da unção e na in e p e ação do mesmo.
No que oca às ep esen ações, o g upo G9 se e-se de ep esen ações e bais e icónicas e o
g upo G4 se e-se de ep esen ações e bais e simbólicas. Já no campo da jus i icação o g upo G9 u iliza
a jus i icação elacional enquan o que o g upo G4 az uso de jus i icações eg a.
Po im, na alínea
)
, obse a am-se ês espos as o almen e dis in as, e dos oi o g upos só dois
é que ace a am na esolução da alínea e os seis es an es e a am. Esses dois g upos menciona am
co e amen e os in e alos p e endidos e in e p e a am co e amen e o signi icado das exp essões no
con ex o da a e a, como se pode e na igu a 21.
Figu a 20. Resolução da alínea
e)
g upo G4.
Figu a 21. Resolução da alínea
)
g upo G4.
51
No segundo momen o da aula oi p opos o aos alunos uma a e a que en ol ia odos os con eúdos
do capí ulo das unções acionais e inha como obje i o desen ol e uma composição ma emá ica.
O uso da calculado a g á ica nes a a e a e a imp escindí el pois os g upos e iam de a u iliza
pa a descob i o máximo da unção. Pa a isso, e iam de inse i a exp essão que ep esen a a unção
𝐴(𝑡) no menu
G aph
e depois de ajus a em a melho janela de isualização e iam de segui o aplica i o
G-sol -Max
pa a assim ob e em o máximos da espe i a unção. Pa a ob e os es an es dados os alunos
pode iam ob ê-los g á ica ou anali icamen e. Pa a descob i em o 𝐴(0) os alunos pode iam no menu
G aph
segui o aplica i o
G-sol -Y-calc
e a ibui 𝑥 = 0, pa a descob i em o alo de 𝑡. Pa a 𝐴(𝑡)=
1,05 os alunos pode iam no menu
G aph
segui o aplica i o
G-sol e-X-calc
e a ibui 𝑦 = 0 ou en ão
inse i no menu
G aph
a exp essão que ep esen a a unção 𝐴 e a e a 𝑦 = 1,05 e depois segui com
o aplica i o
G-sol -Isc
ob endo assim o pon o de in e seção en e a unção 𝐴(𝑡) e a e a 𝑦 = 1,05.
Na esolução des a a e a os alunos não ap esen a am g andes di iculdades. Me ade dos g upos
ap esen ou os esul ados em cálculos auxilia es e depois es u u a am o ex o enquan o que a ou a
me ade ealizou os cálculos consoan e o que esc e iam. Dos oi o g upos, apenas dois não incluí am o
esboço do g á ico da unção, o que os le a a e a esolução incomple a uma ez que é elemen o
undamen al pa a a esolução da a e a. No en an o, es es dois g upos mencionam que ize am uso das
po encialidades da calculado a g á ica pa a chega em aos esul ados ob idos. Dos seis g upos es an es,
apenas dois inse i am a janela de isualização u ilizada pa a analisa o g á ico. Conside ando os oi o
g upos, ês deles ealiza am a composição ma emá ica po ópicos e não em o ma o de composição
(Figu a 28).
Ta e a: De ame de óleo
Num io hou e um de ame de óleo. O ale a oi dado às 8 ho as e logo de seguida, pa a comba e
a poluição odea am a supe ície poluída com ba ei as lu uan es. Quando a á ea poluída é máxima
inicia am a aspi ação do óleo. O im da in e enção oco eu quando a á ea a e ada e a 3% da á ea
egis ada no momen o do ale a.
Admi e que 𝑡 ho as após o ale a, a á ea da supe ície da água poluída, em 𝑚2, e a dada pela unção
𝐴 de inida po
𝐴(𝑡)=−3𝑡3−50𝑡2+960𝑡 + 560
20𝑡 + 16
Numa composição esponde às seguin es ques ões:
• Qual a á ea da supe ície poluída no momen o do ale a?
• A que ho as se deu o início da aspi ação? (ho as e minu os)
• Qual a á ea da supe ície poluída quando começou a aspi ação?
• A que ho as se deu o im da in e enção? (ho as e minu os)
(Nos eus p ocedimen os p ese a semp e 3 casas decimais.)

52
Na comunicação esc i a, apesa de ap esen a a esolução po ópicos, o g upo G1 (Figu a 27)
alcança o ní el ele ado nas qua o dimensões de análise, na
cla eza,
na
undamen ação
, na
lógica
e na
p o undidade
. Es a a ibuição de e-se ao ac o de o g upo jus i ica cada cálculo que e e uou; inse i a
janela de isualização e odos os dados ele an es pa a a esolução da a e a; demons a aciocino e
conexão en e as suas es a égias (calculado a g á ica e o papel); e mos a domínio dos assun os
impo an es das unções acionais ais como máximos e in e p e ação do g á ico da unção. O g upo
se e-se dos ês ipos de ep esen ações e usa jus i icação do ipo elacional.
Dos es an es g upos, apenas dois se enquad am na mesma análise e e uada ao g upo G1,
enquan o que os es an es se encon am no ní el médio na dimensão da
cla eza
pois ou não usam as
Figu a 27. Rela ó io esc i o ap esen ado po G1.
53
ep esen ações adequadas ou não u ilizam o ocabulá io co e o, e alguns no ní el médio da
undamen ação
uma ez que não jus i icam de idamen e os p ocedimen os.
De um modo ge al, com a ealização das duas a e as é possí el obse a uma e olução na
qualidade da esc i a dos g upos em elação às ou as duas aulas. Na dimensão da
cla eza
consegue-se
obse a que g ande pa e dos g upos começa a inse i os pequenos de alhes ais como as janelas de
isualização e as e e ências ao uso das po encialidades da calculado a g á ica. Ao ní el da
undamen ação
é possí el obse a que os g upos começam a jus i ica mais os seus p ocedimen os. Na
p o undidade
ambém é no ó io que os alunos endem a e olui e mos a um ce o domínio no que diz
espei o aos concei os necessá ios pa a a esolução das a e as.
3.2. Pe ceções dos alunos sob e a in e enção pedagógica
O obje i o da minha in e enção pedagógica consis iu em in es iga o con ibu o da comunicação
esc i a na ap endizagem das unções, mais conc e amen e na amília das unções acionais, com ecu so
à calculado a g á ica. Com in ui o de ecolhe o máximo de in o mação po pa e dos alunos, solici ei
que, du an e a minha in e enção, espondessem a um ques ioná io com duas ques ões e no inal da
mesma solici ei que espondessem a um ques ioná io. Decidi ealiza es e ques ioná io em duas aulas,
nomeadamen e nas aulas 4 e 7, com in ui o de pe cebe qual o papel da calculado a g á ica na ealização
das a e as e as di iculdades que os alunos e iam sen ido. Assim, na p imei a ques ão os alunos e iam
de e e i as an agens que a calculado a g á ica lhes ouxe pa a a ealização das a e as p opos as.
Pa a acili a es a análise, o ganizei as espos as dos alunos po ca ego ias que aduzem a mesma ideia.
Tabela 9. Van agens da calculado a g á ica na esolução de a e as sob e unções
Tipo de Respos a
Aula 4
Aula 7
Resolução ápida
3
4
Resolução g á ica
1
7
Ob e esul ados
1
10
Visualiza e es uda as unções
10
9
In e p e a as a e as
5
3
Os alunos conside am a calculado a g á ica um a e ac o undamen al pa a a ealização das
a e as na sala de aula, uma ez que lhes pe mi e ob e esul ados e de o ma ápida. Em conco dância
com o ques ioná io inicial, podemos e que os alunos conside am a calculado a g á ica undamen al
54
pa a isualiza e es uda o compo amen o de uma unção, a a és dos g á icos. Ou a an agem indicada
pelos alunos é o ac o de pe mi i a esolução g á ica das a e as, que conjuga as ês an agens
mencionadas an e io men e. O aumen o des a an agem de uma aula pa a a ou a, de e-se ao ac o de
os alunos explo a em mais as capacidades des e a e ac o na aula 7. Po im, os alunos indicam que a
calculado a g á ica os ajuda a in e p e a melho as a e as.
Já na segunda ques ão do ques ioná io, os alunos e iam de indica as di iculdades sen idas na
esolução das a e as. Nes a ques ão não su gi am espos as mui o ele an es pa a o meu es udo, uma
ez que ob i e espos as como ‘in e p e ação do enunciado’, ‘ges ão de empo’, ‘nenhuma’, ‘cálculos’ e
‘ esolução’. Con udo, ealço que dois alunos menciona am que i e em di iculdades em en ende as
assin o as ao longo da a e a e um aluno mencionou que e e di iculdade em esc e e uma composição
ma emá ica, esolução que e a pedida na úl ima a e a da aula 7.
Rela i amen e ao ques ioná io ealizado no inal da minha in e enção, es e oi ei o
p esencialmen e e e a compos o po duas pa es. A p imei a pa e ap esen a um g upo compos o po
ques ões de na u eza echada, onde os alunos inham de esponde segundo o seu g au de conco dância
pa a cada uma das a i mações, seguindo uma escala ipo Like . Já a segunda pa e pa en eia um g upo
compos o po seis ques ões de na u eza abe a sob e as an agens e des an agens da comunicação
esc i a na ap endizagem dos ópicos de unções, aspe os posi i os e nega i os dos abalhos em g upo
e di iculdades na comunicação esc i a na esolução das a e as com e sem calculado a g á ica.
Rela i amen e às ques ões de na u eza echada, e e uou-se a análise das espos as dos alunos aos i ens
que in eg am as seguin es dimensões: i) a e as; ii) comunicação esc i a; iii) calculado a g á ica; e i )
abalho em g upo. Pa a quan i ica os dados com pa âme os es a ís icos, como o alo médio, a ibuí
o alo 1 a disco do o almen e (DT), 2 a disco do (D), 3 a indi e en e (I), 4 a conco do (C) e 5 a conco do
o almen e (CT). Na Tabela 10, encon am-se os esul ados das espos as dos alunos quan o às suas
pe ceções ela i amen e às a e as.
Tabela 10. Pe ceções (%) dos alunos ela i amen e às a e as (𝑛 = 23)
A i mação
DT/D
I
C/CT
𝑥
As a e as p opos as con ibuí am de o ma posi i a pa a o es udo de
unções.
0%
0%
100%
4,57
As a e as p opos as o am desa ian es.
4,3%
4,3%
91,4%
4,04
Ti e di iculdades na esolução das a e as p opos as
39,1%
39,1%
21,8%
2,87
55
Os alunos, na o alidade (100%), a i mam que as a e as p opos as con ibuí am de o ma posi i a
pa a o es udo de unções e a maio ia a i ma que as a e as o am desa ian es (91,4%). De ealça o ac o
que exis e uma maio pe cen agem de alunos que a i mam não sen i di iculdades na esolução das
a e as (39,1%) do que os que sen i am di iculdades (21,8%).
Rela i amen e à comunicação esc i a, na Tabela 11 obse a-se que g ande pa e da u ma (69,6%)
a i mou que sen e di iculdade em ansc e e o que ia na calculado a g á ica pa a o cade no. Um pouco
mais de me ade da u ma (65,2%) a i ma que a comunicação esc i a ajudou a o ganiza os pensamen os
o que é co obo ado pelos 52,1% dos alunos que a i mam um maio con o o em exp essa o aciocínio
de o ma esc i a. Po ém, é possí el obse a que 34,9% dos alunos se sen e mais con o á el em
exp essa -se o almen e, o que pode de i a de 26,1% deles es a em indi e en es ao ac o de a
comunicação ajuda a o ganiza o pensamen o. G ande pa e dos alunos a i ma que sen iu o e p esença
da comunicação esc i a na explo ação das a e as (91,3%) e mais de me ade da u ma, ce ca de 69,6%,
a i ma que a comunicação esc i a su giu mais na discussão da esolução das a e as. A maio pa e dos
alunos conside a que a discussão sob e a esolução das a e as ajudou a melho a a comunicação esc i a
(82,6%) e os es an es a i mam que es a não e e in luência na sua componen e esc i a (17,4%). A
comunicação esc i a e e um peso impo an e no es udo de unções, onde ce ca de 87% dos alunos
apon am que es a os ajudou nesse es udo. Es a pe cen agem ad ém do ac o de 91,3% da u ma a i ma
que a comunicação esc i a ajudou a o maliza concei os ele an es pa a o es udo de unções,
nomeadamen e o domínio, sinal, ze os, en e ou os.
Tabela 11. Pe ceções (%) dos alunos ela i amen e à comunicação esc i a (𝑛 = 23)
A i mação
DT/D
I
C/CT
𝑥
Sen i di iculdade em ansc e e o que ia na calculado a g á ica pa a o
meu cade no.
69,6%
21,7%
8,7%
2,3
Sin o-me mais con o á el em exp essa o meu aciocínio o almen e do
que de o ma esc i a.
52,1%
13,0%
34,9%
2,73
A esc i a ma emá ica ajudou-me a o ganiza os pensamen os.
8,7%
26,1%
65,2%
3,74
A esc i a ma emá ica su giu mais na explo ação das a e as.
0%
8,7%
91,3%
4,17
A esc i a ma emá ica su giu mais na discussão da esolução das a e as.
4,3%
26,1%
69,6%
3,74
A esc i a ma emá ica ajudou-me a o maliza concei os das unções (po
exemplo, domínio, sinal, ze os, e c.).
4,3%
4,3%
91,3%
4,22
A discussão sob e a esolução das a e as ajudou-me a melho a a
minha esc i a ma emá ica.
0%
17,4%
82,6%
3,96
A esc i a ma emá ica ajudou-me no es udo de unções.
4,3%
8,7%
87%
4,09
56
A calculado a g á ica e e um papel undamen al na minha in e enção, sendo essencial pa a os
alunos na esolução das a e as e no es udo das unções. Na Tabela 12, encon am-se os esul ados das
espos as dos alunos quan o às suas pe ceções ela i amen e à u ilização da calculado a g á ica.
Tabela 12. Pe ceções (%) dos alunos ela i amen e à calculado a g á ica (𝑛 = 23)
A i mação
DT/D
I
C/CT
𝑥
A calculado a g á ica oi undamen al na esolução das a e as p opos as
na aula.
0%
0%
100%
4,74
As a e as p opos as aumen a am o meu conhecimen o sob e a
u ilização da calculado a g á ica.
4,3%
8,7%
87%
4,26
A calculado a g á ica ajudou-me a comunica o meu aciocínio.
0%
8,7%
91,3%
4,35
A calculado a g á ica ajudou-me a isualiza os concei os con emplados
nas a e as.
0%
0%
100%
4,43
A calculado a g á ica ajudou-me a con i ma as espos as às a e as
p opos as.
0%
4,3%
95,7%
4,57
A calculado a g á ica ajudou-me a isualiza as ans o mações dos
g á icos no es udo de unções.
0%
0%
100%
4,61
A calculado a g á ica ajudou-me no es udo de unções.
0%
0%
100%
4,65
A u ma, na o alidade, ponde a que a calculado a g á ica e e um papel impo an e du an e a
in e enção. Todos os alunos a i mam que es e a e ac o oi undamen al na esolução das a e as
p opos as. E ainda a i mam que a calculado a g á ica ajudou no es udo de unções e ajudou a isualiza
as ans o mações dos g á icos das mesmas. Os alunos ambém e e em que o ac o de pode em u iliza
a calculado a g á ica os ajudou a isualiza concei os sob e unções inse idos nas a e as.
Quase a o alidade da u ma (95,7%) ga an e que a calculado a g á ica ajudou a con i ma
esul ados e 91,3% menciona que ajudou a comunica o seu aciocínio. Ce ca de 87% da u ma a i ma
que as a e as po encializa am a calculado a g á ica, aumen ando assim os seus conhecimen os sob e
o manuseamen o da mesma. De ealça , nes e úl imo pon o, que um aluno (4,3%) diz que as a e as não
aumen a am as suas capacidades na u ilização da calculado a g á ica e 8,7% mos a am-se indi e en es
pe an e es a a i mação.
Rela i amen e ao abalho em g upo (Tabela 13), maio pa e da u ma mos a mais ag ado em
abalha em g upo do que pelo abalho indi idual (78,3%), sendo que 27,1% mos a-se indi e en e
pe an e es a a i mação. Todos os alunos a i mam que es e pe mi iu e pe spe i as de no as es a égias

57
na esolução das a e as. G ande pa e da u ma (95,7%) alega que es e mé odo de abalho con ibuiu
de o ma posi i a pa a o seu es udo de unções. Sendo a calculado a g á ica e a comunicação esc i a o
obje i o des e es udo, ce ca de 78,3% dos alunos a i ma que o abalho em g upo ajudou a melho a a
sua comunicação esc i a e ce ca de 91,3% dos alunos ga an e que es e mé odo de abalho ambém
con ibuiu pa a descob i mais uncionalidades da calculado a g á ica.
Tabela 13. Pe ceções (%) dos alunos ela i amen e ao abalho em g upo (𝑛 = 23)
A i mação
DT/D
I
C/CT
𝑥
O abalho em g upo pe mi iu e pe spe i as de no as es a égias na
esolução das a e as.
0%
0%
100%
4,65
O abalho em g upo con ibuiu de o ma posi i a pa a o es udo
de unções.
0%
4,3%
95,7%
4,39
Ap eciei mais o abalho em g upo do que o abalho indi idual.
0%
21,7%
78,3%
4,13
O abalho em g upo ajudou-me a melho a a minha esc i a ma emá ica.
0%
21,7%
78,3%
4,09
O abalho em g upo ajudou-me a descob i mais uncionalidades da
calculado a g á ica.
4,35%
4,35%
91,3%
4,30
Em suma, com exceção de ês espos as, a média das ou as a ia en e 3,74 e 4,74 num máximo
possí el de 5 sendo que as ês espos as a iam en e 2,3 e 2,87, onde os alunos a i mam di iculdades
em ansc e e os seus aciocínios, di iculdades nas a e as p opos as e p e e ência em exp essa -se de
o ma esc i a. Pe an e os esul ados, conclui-se que os alunos i e am opiniões a o á eis ela i amen e
ao eo das ques ões de na u eza echada.
As duas p imei as ques ões de na u eza abe a pedi am aos alunos pa a des aca em ês
an agens e ês des an agens da comunicação esc i a na ap endizagem do ópico de unções. Segundo
os alunos a maio an agem da comunicação esc i a na ap endizagem de unções é o ac o de pode
o ganiza os pensamen os (Tabela 14).
58
Tabela 14. Van agens da comunicação esc i a na ap endizagem do ópico de unções (𝑛 = 23)
A i mações
F equência
O ganiza o pensamen o
15
Familia iza concei os
5
Exp essa a esolução po pala as
4
Comp eende unções
4
Descob i di e en es o mas de esolução
3
Comp eensão do enunciado
3
Facili a a esolução das a e as
3
Expo o aciocínio de o ma sin é ica e o ganizada
2
T ansmi i o aciocínio aos ou os
2
Pe mi e e e os aciocínios
1
Pe mi e exp essa o domínio po pala as
1
Apenas cinco alunos mencionam que a comunicação esc i a pe mi e amilia iza concei os e
apenas ou os qua o seguem a mesma linha de pensamen o ao a i ma em que a comunicação esc i a
pe mi e comp eende o es udo de ópicos de unções. Ainda como an agens emos qua o alunos que
mencionam que a comunicação esc i a pe mi e exp essa o seu aciocínio po pala as e emos dois que
indicam que es a o pe mi e ansmi i a in o mação a ou os in e enien es. O ac o de a comunicação
esc i a pe mi i a ansmissão de di e en es aciocínios, le a a que ês alunos nes a espos a a i mem
que a comunicação esc i a pe mi e descob i no as es a égias pa a a esolução de a e as.
Pa a os alunos, a maio des an agem da comunicação esc i a é o empo que em de se
dispensado pa a consegui uma boa p odução esc i a (Tabela 15).
Tabela 15. Des an agens da comunicação esc i a na ap endizagem do ópico de unções (𝑛 = 23)
A i mações
F equência
Tempo
10
Con uso
6
Di iculdade em exp essa o pensamen o
5
T eino
3
Di ícil comp eensão
3
Necessi a mais aciocínio
3
Uso de linguagem ma emá ica
2
Nenhuma
2
Desmo i a
1
Mais di ícil de exp essa que o almen e
1
T ansc e e o que ê na calculado a g á ica pa a o cade no
1
59
Rela i amen e às des an agens, seis alunos a i mam que a comunicação esc i a lhes az con usão,
pois pa a eles es e mé odo é complexo e con uso. Nes e seguimen o, ês alunos mencionam que a
comunicação esc i a p ecisa de mais aciocínio, é de di ícil comp eensão e exige eino. De no a que
cinco alunos indicam que sen em di iculdades em exp essa o pensamen o de o ma esc i a e seguindo
es a linha de pensamen o, podemos obse a que um aluno diz que sen e di iculdades em ansc e e o
que obse a na calculado a g á ica pa a o cade no e um dos alunos alega que p e e e exp essa o seu
aciocínio o almen e. Apenas dois alunos mencionam que uma das des an agens da comunicação
esc i a é o uso de linguagem ma emá ica. De ealça , que apenas dois alunos da u ma a i mam não
ha e des an agens na comunicação esc i a na ap endizagens de ópicos de unções.
Uma ez que g ande pa e do abalho em sala de aula oi ealizado em g upo, os alunos i e am
a opo unidade, a a és de ques ões de na u eza abe a, de indica em ês aspe os posi i os e ês
aspe os nega i os do abalho em g upo. De ealça que o aspe o posi i o com mais ên ase é a in e ajuda
exis en e nes e mé odo de abalho. Além da in e ajuda se o aspe o que assume mais o os no que diz
espei o aos aspe os posi i os do abalho em g upo, exis em mais ês que ambém se des acam dos
es an es, nomeadamen e os ‘di e en es aciocínios’ e a ‘pa ilha de pensamen os’ que con am com dez
o os e a dinamização da a e a que consegue no e o os. Apenas cinco alunos mencionam como aspe o
posi i o do abalho em g upo o desen ol imen o do aciocínio e ou os cinco a i mam que o abalho
em g upo melho a a elação en e os colegas. De ealça o ac o de apenas dois alunos menciona em
como aspe o posi i o a descobe a de no as uncionalidades da calculado a g á ica (Tabela 16).
Tabela 16. Aspe os posi i os do abalho em g upo (𝑛 = 23)
A i mações
F equência
In e ajuda
17
Di e en es aciocínios
10
Pa ilha de ideias
10
Dinamiza a a e a
9
Desen ol e o aciocínio
5
Melho a a elação en e a u ma
5
Incen i a o abalho
4
Descob i mais uncionalidades da calculado a g á ica
2
Melho que o abalho indi idual
2
Rapidez na esolução da a e a
1
60
O aspe o nega i o que mais se des aca do abalho em g upo é o ac o de pode ha e
desen endimen o na pa ilha de pensamen os (Tabela 17).
Tabela 17. Aspe os nega i os do abalho em g upo (𝑛 = 23)
A i mação
F equência
Desen endimen o na pa ilha de pensamen os
10
Fal a de empenho
7
Dis ação
7
Fal a de comunicação
4
Nenhuma
4
Ve gonha na pa ilha
3
Di iculdade na dis ibuição das a e as
3
Não es ão odos no mesmo ní el
2
Demo a mais empo
2
Fal a de in imidade
1
Ri mos di e en es p ejudica o endimen o
1
Di e en es o mas de pensa
1
Diminui a capacidade de calculo indi idual
1
Rela i amen e aos aspe os nega i os, se e alunos ealçam que o abalho em g upo ge a mui a
dis ação em sala de aula. A mesma quan idade de alunos menciona que a al a de empenho po pa e
dos elemen os é um dos p incipais aspe os nega i os do abalho em g upo. A al a de comunicação
ambém é e e ida como um dos aspe os nega i os, con abilizando um o al de qua o o os, assim como
a di iculdade em aze a dis ibuição de a e as con abilizando ês. De ealça , os ês alunos que
mencionam pode exis i e gonha em pa ilha as ideias no abalho em g upo e um na al a de
in imidade po pa e dos elemen os. Somen e qua o alunos menciona am que não exis e nenhuma
aspe o nega i o no abalho em g upo.
Sendo que a ealização de a e as ocupou maio pa e da minha in e enção e o obje i o do es udo
en ol e a comunicação esc i a com auxílio da calculado a g á ica, é essencial sabe as pe ceções dos
alunos pe an e es e ema. Nesse sen ido, as duas úl imas ques ões de na u eza abe a i e am como
obje i o pe cebe as di iculdades que os alunos sen i am na comunicação esc i a na ealização das
a e as com e sem calculado a g á ica. Como podemos e na Tabela 18, oi o alunos assumem que o
ac o de não consegui em obse a a unção ge a di iculdades na esolução da a e a e no mesmo sen ido
dois alunos a i mam que sen em di iculdades em aze o es udo de unções sem a calculado a g á ica.
Ou a di iculdade que ganha des aque é o ac o de se e alunos sen i em di iculdades em exp essa o seu
aciocínio de o ma analí ica. Es a di iculdade pode sucede das duas seguin es, uma ez que es ão
67
ezes em momen os de discussão com os g upos as suges ões dadas ossem demasiadamen e di e as
ou en ão nos momen os de discussão em g upo u ma o meu en ol imen o não osse o mais adequado;
e na u ilização da calculado a g á ica, onde, dependendo das e sões ou dos modelos, sen i di iculdades
em auxilia os alunos no manuseamen o da mesma.
Po pa e dos alunos, o abalho em g upo c iou algumas limi ações uma ez que, em algumas
si uações, o en ol imen o dos alunos nas a e as p opos as não e a o expec á el. Mesmo com g upos
he e ogéneos, o desempenho dos mesmos e a di e enciado, sendo que hou e alunos que con ibuí am
mais pa a as a e as do que ou os. Pa a esol e es e p oblema al e nei os g upos, man endo a
he e ogeneidade dos mesmos. Ou a limi ação isí el em alguns alunos oi obse ada no manuseamen o
da calculado a g á ica, uma ez que alguns deles mos a am não conhece odas as uncionalidades
des e a e ac o e não consegui ajus a as janelas de isualização aos g á icos das unções nos in e alos
p e endidos.
Pa a es udos u u os ecomendo que na elabo ação de planos de aula, se de e e em a enção a
ges ão do empo, is o que o essencial é o ‘sumo’ que a a e a pode aze pa a a discussão e não a
quan idade de a e as. Nes e sen ido, ou a ecomendação segue pa a a elabo ação de a e as de
explo ação mais di e si icadas, onde os alunos enham de abalha com a calculado a g á ica e esc e e
os p ocessos u ilizados nas mesmas pa a alcança o obje i o, onde os alunos enham de esc e e
composições ma emá icas, uma ez que eles sen em di iculdades nesse ipo de p oduções. Ou a
suges ão é p omo e a discussão em g upo u ma, de modo que sejam os alunos a alida as espos as
às a e as p opos as.

68
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75
Anexos
76
Anexo 1 – Pedido de au o ização aos Enca egados de Educação
Exmo(a). S (a). Enca egado(a) de Educação,
No âmbi o do Mes ado em Ensino de Ma emá ica no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundá io,
da Uni e sidade de Minho, enquan o p o esso es agiá io, p e endo desen ol e uma expe iência de
ensino que po encie a ap endizagem dos alunos. O desen ol imen o dessa expe iência implica a ecolha
de dados, que se ão ob idos a a és da esolução de a e as e da obse ação de aulas. Pa a uma melho
comp eensão das a i idades que se desen ol em na aula de Ma emá ica necessi o de p ocede à ecolha
de dados a a és de g a ações (áudio e ídeo). Pa a esse im, enho po es e meio solici a a sua
au o ização pa a p ocede ao egis o em supo e áudio e ídeo dos dados necessá ios à conc e ização
da expe iência de ensino e de ap endizagem na sala de aula do seu educando.
Comp ome o-me a usa os dados apenas pa a ins académicos e a não di ulga o nome da escola e dos
alunos, nem expo qualque indicado que en ol a o seu educando.
Ag adeço desde já a sua colabo ação. Com os melho es Cump imen os
B aga, 5 de no emb o de 2021
O es agiá io de Ma emá ica,
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(João Filipe Sil a)
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Au o ização
Eu, ___________________________________________________, Enca egado de Educação
do(a) aluno(a) _________________________________________, au o izo que se aça o egis o
em áudio e ídeo das a i idades de ensino e de ap endizagem na aula de Ma emá ica que en ol em o
meu educando desde que seja sal agua dado o anonima o do seu nome e de qualque indicado que o
indicie.
Enca egado(a) de Educação,
___________________________________________________
83
Anexo 4 – Plani icação das aulas
Plano da Aula 1
Comen á ios
Tópico: Funções acionais
Obje i o: De ini unção acional. De e mina o domínio de unções acionais.
Conhecimen os P é ios: Gene alidades ace ca de unção eal de a iá el eal; Funções
polinomiais.
Fo ma o de Ensino: Ensino explo a ó io.
Ta e a: A iagem de ba co
Um g upo de 20 escu ei os p e ende e e ua uma isi a ao es uá io do Tejo. Pa a esse
e ei o, p ecisam de aluga um ba co, com lo ação máxima de 50 pessoas, cujo p eço
é de 1750€. Pa a o na a despesa mais económica, decidi am con ida alguns
amigos. O Emanuel es á no g upo dos 20 escu ei os, mas só em 45€ pa a gas a na
isi a. Quan os amigos e ão, no mínimo, de se con idados pa a que o Emanuel possa
i à isi a? (Na ua espos a, ap esen a e jus i ica odos os p ocedimen os e aciocínios
que i es e)
Explo ação
1. En ega a a e a ‘A iagem de ba co’ aos alunos e, após a sua lei u a, ques ioná-
los sob e os dados da a e a e o que se p e ende de e mina .
2. P opo à u ma a explo ação da a e a.
3. P opo aos alunos que, ela i amen e à a e a ‘A iagem de ba co’, espondam às
seguin es ques ões:
a) Qual é o cus o, 𝐶, da isi a em unção do núme o, 𝑛, de no os elemen os?
b) Qual é, no con ex o do p oblema, o domínio da unção de inida na alínea
an e io ?
c) Qual se á o cus o mínimo que cada elemen o em de paga pela isi a?
d) Rep esen a g a icamen e a unção 𝐶 e indica quan os amigos e ão, no mínimo,
de se con idados pa a que o Emanuel possa i à isi a?
e) Sabendo que:
As unções 𝑓 e 𝑔, de inidas po 𝑓(𝑥)= 𝑥3+ 2𝑥2− 3 e 𝑔(𝑥) = 𝑥−3
𝑥4+5𝑥2
são acionais e que as unções ℎ e 𝑖 de inidas po ℎ(𝑥)=√𝑥 − 5 e 𝑖(𝑥) =
3𝑥2−7
√2𝑥4+3𝑥
3 não são acionais,
de ine unção acional.
4. Discu i a esolução da a e a pelos alunos.
P á ica
1. Com a ajuda da calculado a g á ica comple a a seguin e abela:
𝑓(𝑥)
= 3𝑥
+ 2
𝑔(𝑥)
= −3𝑥2
+ 5𝑥 − 1
ℎ(𝑥)
= 𝑥3+ 5𝑥2
− 6
𝑖(𝑥)
= 2𝑥4+ 𝑥3
− 8𝑥2− 8
Domínio
Tu ma de 11.º ano do cu so de
Ciências e Tecnologias com a
du ação de 90 minu os.
P e ende-se a alia
conhecimen os e capacidades
( esolução de p oblemas,
composição esc i a e
a gumen ação).
O o ma o de ensino adqui e
ca ac e ís icas do ensino
explo a ó io, ao p opo ciona
momen os de abalho em
o no de a e as: (i) In odução;
(ii) Explo ação; (iii) Discussão e
Sis ema ização de
conhecimen os.
Os alunos são o ganizados em
pa es e ios.
In odução da a e a
:
En ega aos alunos a
a e a. Solici a que leiam o
enunciado da a e a e
e i am os dados e o que se
p e ende de e mina .
(du ação 5 minu os)
Explo ação da a e a
:
Resolução da a e a. Apoia
os alunos na esolução da
a e a, iden i icando
dú idas, es a égias e
o mas de explo a a
calculado a g á ica e de
egis a os seus aciocínios
no papel. (du ação 10
minu os)
- Após e mina a
explo ação, os alunos i ão
esol e a mesma a e a,
mas des a ez com
ques ões di ecionadas.
(du ação 15 minu os)
Discussão e Sis ema ização
de conhecimen os:
- Discussão no g upo u ma
sob e a esolução da a e a
em cada ios e pa es
(du ação 15 minu os).
- Tendo como e e ência os
esul ados, in oduzi a
noção de unção acional.
(du ação 5 minu os)
Na p á ica ha e á luga
pa a a explo ação (du ação
15 minu os) e pa a a
discussão (du ação de 10
minu os).
Tendo como e e ência os
esul ados, in oduzi a

84
Con adomínio
Ze os
Mono onia
Sinal
Ex emos
G á ico
2. Que conclusões i a da análise dos seguin es quocien es:
𝑎(𝑥)
=𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥)
𝑏(𝑥)=ℎ(𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑐(𝑥)=𝑖(𝑥)
ℎ(𝑥)
Domínio
Ze os
Mono onia
Sinal
G á ico
Sín ese
Conside ando P(x) e Q(x) dois polinómios quaisque , como de ini uma unção acional?
noção do domínio de uma
unção acional. (du ação 5
minu os).
85
Plano da Aula 4
Comen á ios
Tópico: Funções acionais
Obje i os: Es uda o sinal de uma Função Racional. Resol e inequações
F acioná ias
Conhecimen os P é ios: Gene alidades ace ca de unção eal de a iá el eal;
Funções polinomiais.
Fo ma o de Ensino: Ensino explo a ó io.
Ta e a: O C ocodilo do Nilo
1. Num de e minado io, com 20 me os de p o undidade, os cien is as
es uda am o compo amen o de um c ocodilo quando a is a uma p esa
a é a ma a po a ogamen o. Nesse es udo, os cien is as conside a am a
unção 𝑝, de inida po 𝑝(𝑡)=2𝑡2−36𝑡+154
𝑡−14 , pa a aduzi a dis ância em
me os a que o c ocodilo se encon a do ní el da água do io em unção de
𝑡 segundos, após e is o a p esa. (Pa a as seguin es ques ões conside a
o domínio da unção [0 ,14[ e esboça os g á icos que u iliza es)
1. A que p o undidade o c ocodilo se encon a quando começa a p epa a o
a aque à p esa?
2. Após inicia o a aque, quan o empo demo a o c ocodilo a chega à
supe ície?
3. Quan o empo pe manece o c ocodilo no a / com a boca o a da água?
4. Num de e minado momen o, o c ocodilo apanhou uma cegonha quando
es a a a ugi . Qual é o alcance máximo que pe mi iu ao c ocodilo
apanha a cegonha (a edondado às cen ésimas)?
5. Sabendo que o c ocodilo não pode ul apassa os 16 me os de
p o undidade, quan o empo, em segundos, ap oximados às cen ésimas,
es á o c ocodilo debaixo de água?
6. De e mina os alo es que e i icam as seguin es condições e in e p e a no
con ex o da a e a.
𝑝(𝑡)< 0 𝑝(𝑡)> 0
Explo ação
1. En ega a a e a ‘O c ocodilo do Nilo’ aos alunos e, após a sua lei u a,
ques ioná-los sob e os dados da a e a e o que se p e ende de e mina .
2. P opo à u ma a explo ação da a e a.
3. Discu i a esolução da a e a pelos alunos.
4. Conside ando a unção 𝑓 eal de a iá el eal de inida po 𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥),
em que 𝑃 e 𝑄 são polinómios, como es uda o sinal da unção 𝑓?
Ta e a: Á eas dos quad ilá e os
Conside a a unção 𝑓, de domínio ℝ,
de inida po 𝑓(𝑥)=30𝑥+40
𝑥2+4𝑥+5. Na
igu a, es á ep esen ado pa e do
g á ico da unção 𝑓, o pon o 𝐴 com
coo denadas (0, 5), o pon o 𝑃, de
abcissa posi i a, que pe ence ao
g á ico de 𝑓 e o apézio [𝑂𝐴𝑃𝐵].
Num de e minado pon o do g á ico da unção 𝑓, o apézio ans o ma-se num
e ângulo. De e mina, anali icamen e, os alo es de 𝑥 que azem com que a
á ea do apézio não seja in e io à á ea do e ângulo?
Tu ma de 11.º ano do cu so de
Ciências e Tecnologias com a du ação
de 90 minu os.
P e ende-se a alia conhecimen os e
capacidades ( esolução de p oblemas,
composição esc i a e a gumen ação).
O o ma o de ensino adqui e
ca ac e ís icas do ensino explo a ó io,
ao p opo ciona momen os de abalho
em o no de a e as: (i) In odução; (ii)
Explo ação; (iii) Discussão e
Sis ema ização de conhecimen os.
Os alunos são o ganizados em pa es e
ios
In odução da a e a
: En ega aos
alunos o enunciado da a e a. Solici a
que leiam o enunciado da a e a e
e i am os dados e o que se p e ende
de e mina . (du ação 5 minu os)
Explo ação da a e a
: Resolução da
a e a. Apoia os alunos na esolução
da a e a, iden i icando dú idas,
es a égias e o mas de explo a a
calculado a g á ica e de egis a os
seus aciocínios no papel. (25 minu os)
Discussão e Sis ema ização de
conhecimen os:
Discussão no g upo
u ma sob e a esolução da a e a
(du ação 10 minu os).
- Tendo como e e ência os esul ados,
in oduzi o sinal da unção acional.
(du ação 5 minu os)
In odução da a e a
(du ação 5
minu os)
Explo ação da a e a
: Resolução da
a e a. Apoia os alunos na esolução
da a e a, iden i icando dú idas,
es a égias e o mas de explo a a
calculado a g á ica e de egis a os
seus aciocínios no papel (du ação 15
minu os)
Discussão e Sis ema ização de
conhecimen os:
Discussão no g upo
u ma sob e a esolução da a e a
(du ação 10 minu os)
- Tendo como e e ência os esul ados,
in oduzi a noção de inequação
acioná ia. (du ação 5 minu os).
86
Explo ação
1. En ega a a e a ‘Á ea dos quad ilá e os’ aos alunos e, após a sua lei u a,
ques ioná-los sob e os dados da a e a e o que se p e ende de e mina .
2. P opo à u ma a explo ação da a e a.
3. Discu i a esolução da a e a pelos alunos.
4. Ques iona aos alunos como esol e iam a a e a caso não pudessem
u iliza calculado a g á ica.
Sín ese Final
Pedi aos alunos que espondam às seguin es ques ões:
1. Que ópicos ma emá icos ap endes e na aula de hoje?
2. Que an agens ouxe a calculado a g á ica na esolução des a a e a?
3. Que di iculdades i es e na esolução das a e as de hoje?
Ta e as Adicionais:
1. No e e encial da igu a es á ep esen ado um iângulo [𝑂𝑃𝐴].
O é ice 𝑃 em abcissa posi i a e pe ence ao
g á ico da unção 𝑓 de inida po 𝑓(𝑥)=6
𝑥+1.
O é ice 𝐴 em o denada nula e a sua abcissa
excede a abcissa de 𝑃 em duas unidades.
Designa po 𝑔 a unção que a abcissa 𝑥 do pon o 𝑃
az co esponde à á ea do iângulo [𝑂𝐴𝑃].
1.1. Mos a que 𝑔(𝑥)=3𝑥+6
𝑥+1 .
1.2. Resol e a inequação 𝑔(𝑥)> 5.
2. No e e encial da igu a, es á ep esen ado um e ângulo [𝑂𝐴𝑃𝐵] em que
o é ice 𝑃, de abcissa posi i a, pe ence ao g á ico da unção 𝑓 de inida
po 𝑓(𝑥)=8𝑥
𝑥+1.
Seja 𝑥 a abcissa do pon o 𝑃. De e mina 𝑥 de modo que:
2.1.[𝑂𝐴𝑃𝐵] seja um quad ado;
2.2.A á ea do e ângulo [𝑂𝐴𝑃𝐵] seja meno que 18.
Pa a a sín ese inal, os alunos, com a
p imei a ques ão, e ão de p opo um
sumá io pa a a aula. (5 minu os)
As seguin es ques ões i ão esponde
numa olha pa a esponde em em sala
de aula. (5 minu os)
Caso haja empo ú il de aula, as a e as
adicionais se ão ealizadas após a
discussão, com o g upo u ma, das
a e as e e uadas an e io men e.
As a e as adicionais são e i adas do
manual “No o espaço, Pa e 2” de
Ma emá ica do 11.º ano, u lizado pelos
alunos, da página 106, 107, 108.
Caso não haja empo ú il, as a e as
adicionais passa ão pa a abalho de
casa, com o in ui o de sis ema iza e
consolida o con eúdo abo dado na
aula.
Plano da Aula 7
Comen á ios
Tópico: Funções acionais
Obje i os: Reconhece , in e p e a e ep esen a g a icamen e unções acionais e usá-
las na esolução de p oblemas.
Conhecimen os P é ios: Gene alidades ace ca de unção eal de a iá el eal; Funções
polinomiais; Assin o as ao g á ico de uma unção eal de a iá el eal.
Fo ma o de Ensino: Ensino explo a ó io.
Ta e a: Á eas
Tu ma de 11.º ano do cu so de
Ciências e Tecnologias coma
du ação de 90 minu os.
P e ende-se a alia
conhecimen os e capacidades
( esolução de p oblemas,
composição esc i a e
a gumen ação).
O o ma o de ensino adqui e
ca ac e ís icas do ensino
explo a ó io, ao p opo ciona
momen os de abalho em
o no de a e as: (i) In odução;
(ii) Explo ação; (iii) Discussão e
Sis ema ização de
conhecimen os.
Os alunos são o ganizados em
pa es e ios
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Na igu a encon am-se ep esen ados pa e dos g á icos de duas unções acionais 𝑓
e 𝑔, as espe i as assin o as e um
quad ilá e o [𝐴𝐵𝐶𝑃].
Sabemos que:
• 𝑓(𝑥)=−5𝑥+12
𝑥−4 ;
• a e a 𝑦 = −2 é uma assin o a;
• as unções 𝑓 e 𝑔 admi em uma
assin o a comum;
• os g á icos das unções êm um
pon o em comum que pe ence
ao eixo Oy;
• o pon o 𝑃 pe ence ao g á ico da unção 𝑓 e oma alo es en e [0,4[.
Quando é que a á ea do quad ilá e o [𝐴𝐵𝐶𝑃] é mínima.
Explo ação:
1. En ega a a e a ‘Á eas’ aos alunos e, após a sua lei u a, ques ioná-los sob e os
dados da a e a e o que se p e ende de e mina .
2. P opo à u ma a explo ação da a e a.
3. Discu i a esolução da a e a pelos alunos.
4. Ti a conclusões sob e o es udo onde de unções acionais a a és das
p op iedades das unções do ipo 𝑓(𝑥)= 𝑎 + 𝑏
𝑥−𝑐 onde 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ e 𝑏 ≠ 0.
Ta e a: De ame de óleo
Num io hou e um de ame de óleo. O ale a oi dado às 8 ho as e logo de seguida,
pa a comba e a poluição odea am a supe ície poluída com ba ei as lu uan es.
Quando a á ea poluída é máxima inicia am a aspi ação do óleo. O im da in e enção
oco eu quando a á ea a e ada e a 3% da á ea egis ada no momen o do ale a.
Admi e que 𝑡 ho as após o ale a, a á ea da supe ície da água poluída, em 𝑚2, e a
dada pela unção 𝐴 de inida po
𝐴(𝑡)=−3𝑡3−50𝑡2+960𝑡 + 560
20𝑡 + 16
Numa composição esponde às seguin es ques ões:
• Qual a á ea da supe ície poluída no momen o do ale a?
• A que ho as se deu o início da aspi ação? (ho as e minu os)
• Qual a á ea da supe ície poluída quando começou a aspi ação?
• A que ho as se deu o im da in e enção? (ho as e minu os)
(P ese a semp e 3 casas decimais.)
Explo ação:
1. En ega a a e a ‘De ame de óleo’ aos alunos e, após a sua lei u a, ques ioná-
los sob e os dados da a e a e o que se p e ende de e mina .
2. P opo à u ma a explo ação da a e a.
3. Discu i a esolução da a e a pelos alunos.
Sín ese Final
Pedi aos alunos que espondam às seguin es ques ões:
4. Que an agens ouxe a calculado a g á ica na esolução des as a e as?
5. Que di iculdades i es e na esolução das a e as de hoje?
In odução da a e a
: En ega
aos alunos o enunciado da
a e a. Solici a que leiam o
enunciado da a e a e e i am
os dados e o que se p e ende
de e mina . (du ação 5
minu os)
Explo ação da a e a
:
Resolução da a e a. Apoia os
alunos na esolução da a e a,
iden i icando dú idas,
es a égias e o mas de
explo a a calculado a g á ica e
de egis a os seus aciocínios
no papel. (25 minu os)
Discussão e Sis ema ização de
conhecimen os:
Discussão no
g upo u ma sob e a esolução
da a e a (du ação 10 minu os).
In odução da a e a
: En ega
aos alunos o enunciado da
a e a. Solici a que leiam o
enunciado da a e a e e i am
os dados e o que se p e ende
de e mina . (du ação 5
minu os)
Explo ação da a e a
:
Resolução da a e a. Apoia os
alunos na esolução da a e a,
iden i icando dú idas,
es a égias e o mas de
explo a a calculado a g á ica e
de egis a os seus aciocínios
no papel. (15 minu os)
Discussão e Sis ema ização de
conhecimen os:
Discussão no
g upo u ma sob e a esolução
da a e a (du ação 10 minu os).
Sín ese (du ação 5 minu os)