A modelação matemática e a justiça social na aprendizagem de funções de alunos do 3º Ciclo do Ensino Básico

Alice Pa ícia Lopes Fa o e San os
A modelação ma emá ica e a jus iça social
na ap endizagem de unções de alunos do
3º Ciclo do Ensino Básico
dezemb o de 2024
A modelação ma emá ica e a jus iça social na ap endizagem
de unções de alunos do 3º Ciclo do Ensino Básico
Alice Pa ícia Lopes Fa o e San os
UMinho|2024
Uni e sidade do Minho
Ins i u o de Educação
Alice Pa ícia Lopes Fa o e San os
A modelação ma emá ica e a jus iça social
na ap endizagem de unções de alunos do
3º Ciclo do Ensino Básico
dezemb o de 2024
Tese de Dou o amen o
Dou o amen o em Ciências da Educação
Especialidade em Educação Ma emá ica
T abalho e e uado sob a o ien ação do
P o esso Dou o Flo iano Augus o Veiga Viseu
e do
P o esso Dou o Manuel An ónio Fe ei a da Sil a
Uni e sidade do Minho
Ins i u o de Educação
ii
DIREITOS DE AUTOR E CONDIÇÕES DE UTILIZAÇÃO DO TRABALHO POR TERCEIROS
Es e é um abalho académico que pode se u ilizado po e cei os desde que espei adas as eg as e
boas p á icas in e nacionalmen e acei es, no que conce ne aos di ei os de au o e di ei os conexos.
Assim, o p esen e abalho pode se u ilizado nos e mos p e is os na licença abaixo indicada.
Caso o u ilizado necessi e de pe missão pa a pode aze um uso do abalho em condições não
p e is as no licenciamen o indicado, de e á con ac a o au o , a a és do Reposi ó iUM da Uni e sidade
do Minho.
Licença concedida aos u ilizado es des e abalho
A ibuição-NãoCome cial-Compa ilhaIgual
CC BY-NC-SA
h ps://c ea i ecommons.o g/licenses/by-nc-sa/4.0/
iii
AGRADECIMENTOS
Numa p imei a linha, gos a ia de deixa um p o undo ag adecimen o ao meu o ien ado ,
p o esso Flo iano Viseu. A sua o ien ação oi pau ada pelo igo , se iedade e dedicação. Ao longo dos
anos em que se desen ol eu es e abalho oi cons uída uma elação de con iança, incen i o, mas
ambém de comp eensão e admi ação. Ag adeço ao p o esso Manuel da Sil a pelo di ecionamen o
dado no as o uni e so da eo ia c í ica.
Ainda nes a e en e, a odos os alunos e p o esso es que pa icipa am nes e es udo,
p incipalmen e, às p o esso as que in eg a am os es udos de caso, assim como aos in es igado es
que, gen ilmen e, esponde am aos meus pedidos, Vince Geige , Glo ia S illman, S anislaw Schukajlow
e E ic Gus s ein. Numa es e a mais ampla, um ob igada aos meus alunos po me mos a em as
possibilidades que emos pa a ein indica o p esen e e as ma izes com que podemos desenha o
u u o. À u ma do 9.º A não só po aleg a em as minhas manhãs, como ambém po da em
signi icado à ecip ocidade da elação educa i a.
Ag adeço, ambém, às amizades na minha ida e que, de alguma manei a, sus en a am a
conc e ização des e abalho. Umas po se em amigas de lu a, Susana e Ca a ina; ou os po se em
amigos de semp e, Domingos. Umas amizades po se i em de bússola, Denise; umas, po se em
mon anha, Salomé, B uno e Ca ina; e, ou as, po apoia em nos de alhes, Emília e Isa.
Po im, os ag adecimen os di igem-se à minha amília. À amília nuclea e à amília ala gada,
ambas sinónimos de alen o e enco ajamen o. À minha i mã Susana, pela paciência e po se um dos
meus g andes luga es segu os; ao meu pai, po ou i o meu incon o mismo. À a ó das minhas ilhas,
Amélia, po as e mimado o quan o conseguiu, deixando nelas o ca inho e a lemb ança. À amília de
Gua dizela, pelo aconchego e po acompanha as nossas inquie ações.
Ao Ped o, no plano do conc e o, po me mos a o pode das pala as sem eceios e po
conduzi -me na asse i idade. Ao en a , na minha ida, numa ase em que udo e a só um p oje o,
o nou possí el não só a sua conc e ização, mas odas as que se lhe jun a am. No plano e é eo, pelo
amo , pelo apoio mú uo e po , jun os, esga a mos o empo.
Às minhas ilhas, Lau a e Helena, que acompanha am es e abalho (p imei o uma e depois
ou a) desde as suas idas emb ioná ias e en ende am a impo ância que inha pa a a mãe e miná-lo.
O osso amo inabalá el oi de e minan e pa a o consegui .

i
DECLARAÇÃO DE INTEGRIDADE
Decla o e a uado com in eg idade na elabo ação do p esen e abalho académico e con i mo que não
eco i à p á ica de plágio nem a qualque o ma de u ilização inde ida ou alsi icação de in o mações
ou esul ados em nenhuma das e apas conducen e à sua elabo ação.
Mais decla o que conheço e que espei ei o Código de Condu a É ica da Uni e sidade do Minho.
A MODELAÇÃO MATEMÁTICA E A JUSTIÇA SOCIAL NA APRENDIZAGEM DE FUNÇÕES DE
ALUNOS DO 3º CICLO DO ENSINO BÁSICO
RESUMO
Posiciona a Ma emá ica como uma e amen a disponí el aos alunos pa a que, com ela, sejam
capazes, como u u os cidadãos, de en ende e agi sob e as desigualdades sociais e,
simul aneamen e, conec á-la à ealidade pa a o alece a sua comp eensão é um duplo desa io da
educação ma emá ica. Nes e sen ido, explo a nas salas de aula a e as de modelação, cujos con ex os
incidam em enómenos sociais, é con ibui pa a uma escola jus a, que deixe de pe pe ua a disciplina
de Ma emá ica como um a o de e minan e de insucesso e exclusão escola . Es e es udo isa
a e igua o con ibu o da modelação ma emá ica e da jus iça social na ap endizagem de unções de
alunos do 3.º Ciclo do Ensino Básico. Na conc e ização des e obje i o, p ocu a-se esponde aos
seguin es obje i os especí icos: enquad a as expe a i as dos alunos pa a a ap endizagem de unções
a a és de a e as de modelação sob e enómenos sociais, ace à cul u a da escola; iden i ica as
a i idades dos alunos na esolução de a e as de modelação, com oco na jus iça social, na
ap endizagem de unções; e e i ica como os alunos alo izam as a e as de modelação
con ex ualizadas po si uações de jus iça social na ap endizagem de unções. P incípios axiológicos de
jus iça, pedagogia c í ica, educação ma emá ica pa a a jus iça social e modelação ma emá ica
cons i uem os domínios da sus en ação eó ica des e es udo. A endendo à na u eza do obje i o ge al
do es udo, ado ou-se uma me odologia de índole quali a i a e in e p e a i a, com um
design
de es udo
de caso, ela i o a duas u mas, uma de 8.º ano e uma de 9.º ano, de escolas dis in as da ede pública
de ensino, da egião sul do país. Pa icipa am nes a in es igação, pa a além dos alunos, os di e o es
dos ag upamen os dessas escolas, os p o esso es do g upo de Ma emá ica e as docen es de
Ma emá ica de cada uma das u mas. Os dados o am ecolhidos a a és da obse ação e de
g a ações áudio e ídeo de aulas, de en e is as, das p oduções dos alunos, bem como de documen os
ele an es que azem pa e das escolas, assim como no as de campo da in es igado a. Tais dados
o am sujei os a uma análise de con eúdo.
Os esul ados mos am que, pa a os alunos, o p incipal impulso mo i acional à equência escola é de
aiz social, assim como o g au de in e esse às expe iências escola es é de e minado pelo aspe o
elacional. Enquan o um g upo de alunos deposi a a espe ança num u u o p omisso a a és da
me i oc acia, o ou o alo iza o empo p esen e, econhecendo nos ecu sos ísicos e humanos os
bene ícios da escola que equen am. T ans e salmen e, os alunos selecionam o pa exe cício-
p oblema como as a e as associadas à ap endizagem da Ma emá ica, posicionando-a e, em especial,
ao ópico de unções, desconec ados da ealidade. Es es alunos alo izam a disciplina pelo impac o
que e á pa a os seus u u os e acei am o insucesso que demons a, assen e no
s a us quo
de um
ensino da Ma emá ica que seleciona e es a i ica. No âmbi o das a i idades dos alunos na esolução de
a e as de modelação, com oco na jus iça social, os alunos execu am as a e as de modo holís ico e
a omís ico. Comp eende e simpli ica a a e a são a i idades implíci as que os alunos desen ol e am
em g upo, de au onomia a iá el consoan e as di iculdades. A de inição do modelo é uma a i idade de
modelação explíci a, que deixa anspa ece alguns obs áculos que são minimizados com a in e enção
das espe i as docen es. A a i idade de abalha com o modelo e elou-se a mais ap oximada ao modo
de abalho que os alunos êm po hábi o ealiza . Na a i idade de in e p e ação dos esul ados hou e
di e en es mani es ações do conhecimen o e lexi o. A alidação do modelo oi uma a i idade que, pa a
mui os alunos, se e elou uma ba ei a. Ou as a i idades em que os alunos se en ol e am o am a
lei u a c í ica dos dados, abalha em g upo, desen ol e a au onomia e o es abelecimen o de
discussões e bais. Os p incipais con ibu os que os alunos des acam na esolução das a e as de
modelação sob e enómenos sociais são a isibilidade da aplicação dos con eúdos de unções à
ealidade, o espaço dado à p omoção da au onomia e a ação dialógica em que se en ol e am. Pa a
es a opinião, in luencia am, de o ma simbió ica, o desen ol imen o da consciência sociopolí ica e a
mobilização das expe iências sociocul u ais dos alunos. Como consequência do c uzamen o das
unções com a ealidade e as in e ações e bais, as na a i as indicam uma econ igu ação da
pe ceção dos alunos ela i amen e à u ilidade das unções.
Pala as-cha e: Alunos do 3.º Ciclo do Ensino Básico; ap endizagem; unções; jus iça social;
modelação ma emá ica.
i
MATHEMATICAL MODELLING AND SOCIAL JUSTICE IN THE LEARNING OF FUNCTIONS
BY MIDDLE SCHOOL STUDENTS
ABSTRACT
Posi ioning ma hema ics as a ool a ailable o s uden s so ha , wi h i , hey a e able, as u u e ci izens,
o unde s and and ac on social inequali ies and, a he same ime, connec i o eali y in o de o
s eng hen hei unde s anding is a double challenge o ma hema ics educa ion. In his sense,
explo ing modelling asks in he class oom, whose con ex s ocus on social phenomena, means
con ibu ing o a ai school ha no longe pe pe ua es he subjec o ma hema ics as a de e mining
ac o in school ailu e and exclusion. This s udy aims o in es iga e he con ibu ion o ma hema ical
modelling and social jus ice in he lea ning o unc ions by middle school s uden s. In o de o achie e
his goal, he ollowing speci ic objec i es was sough : he aming o s uden s' expec a ions o lea ning
unc ions h ough modelling asks on social phenomena, in ela ion o he school cul u e; he iden i ying
o s uden s' ac i i ies in sol ing modelling asks, wi h a ocus on social jus ice, in lea ning unc ions; and
he e i ying o how s uden s alue modelling asks con ex ualized by si ua ions o social jus ice in
lea ning unc ions. Axiological p inciples o jus ice, c i ical pedagogy, ma hema ical educa ion o social
jus ice and ma hema ical modelling cons i u e he domains o he heo e ical basis o his s udy. Gi en
he na u e o he gene al aim o he s udy, a quali a i e and in e p e a i e me hodology was adop ed,
wi h a case s udy design, ela ing o wo classes, one in yea 8 and ano he in yea 9, om di e en
public schools in he sou he n egion o he coun y. In o de o mee he speci ic objec i es, in addi ion
o s uden s, headmas e s, eache s o he ma hs depa men , he ma hs eache s o bo h classes
ook pa in his esea ch. Da a collec ion in ol ed obse ed lessons, in e iews a di e en imes
du ing he empi ical componen , audio and ideo eco dings o he lessons obse ed, he s uden s'
p oduc ions, as well as all he ele an documen s ha a e pa o he school, as well as he
esea che 's ield no es. The da a collec ed was subjec ed o con en analysis.
The esul s show ha , o s uden s, he main mo i a ional impe us o a ending school is social, while
he deg ee o in e es in school expe iences is de e mined by he ela ional aspec . While one g oup o
s uden s’ hopes o a p omising u u e is achie ed h ough me i oc acy, he o he g oup alues he
p esen ime, ecognising in physical and human esou ces he bene i s o he school hey a end.
Ac oss he boa d, he s uden s selec he exe cise-p oblem pai as well as he asks associa ed wi h
lea ning ma hema ics, posi ioning i , in pa icula , wi h he opic o unc ions, disconnec ed om eali y.
These s uden s alue he subjec o he impac i will ha e on hei u u es and accep he ailu e i
en olds, based on he
s a us quo
o a ma hema ics educa ion ha bo h selec s and s a i ies. Wi h
e e ence o he s uden s' ac i i ies in sol ing modelling asks, wi h a ocus on social jus ice, he
s uden s ca y ou hese asks in a holis ic and a omis ic way. Unde s anding and simpli ying he ask
a e implici ac i i ies ha he s uden s ca ied ou in g oups, wi h a ying deg ees o au onomy
depending on he di icul ies aised. De ining he model is an explici modelling ac i i y, which e eals
some obs acles ha a e minimised wi h he in e en ion o he espec i e eache s. The ac i i y o
wo king wi h he model p o ed o be he closes o he way he s uden s usually wo k. In he ac i i y o
in e p e ing he esul s, he e we e di e en mani es a ions o e lec i e knowledge. Valida ing he model
was an ac i i y ha p o ed o be a ba ie o many s uden s. O he ac i i ies in which he s uden s
engaged in we e c i ical eading o da a, wo king in g oups, de eloping au onomy and es ablishing
e bal discussions. The main con ibu ions ha he s uden s highligh in sol ing he modelling asks on
social phenomena a e he isibili y o he applica ion o unc ion con en o eali y, he space gi en o
p omo ing au onomy and he dialogical ac ion in which hey we e in ol ed. This ou come was
in luenced, in a symbio ic way by he de elopmen o socio-poli ical awa eness and he mobilisa ion o
he s uden s' socio-cul u al expe iences. As a esul o c ossing unc ions wi h eali y and e bal
in e ac ions, na a i es show a econ igu a ion o s uden s' pe cep ion on he u ili y o unc ions.
Keywo ds: Func ions; lea ning; ma hema ical modelling; middle school s uden s; social jus ice.
ii
ÍNDICE
AGRADECIMENTOS ........................................................................................................................ iii
DECLARAÇÃO DE INTEGRIDADE .................................................................................................... i
RESUMO .........................................................................................................................................
ABSTRACT ..................................................................................................................................... i
ÍNDICE .......................................................................................................................................... ii
CAPÍTULO 1 ....................................................................................................................................... 1
INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 1
1.1. Âmbi o e ele ância do es udo ............................................................................................. 1
1.2. Mo i ações do es udo .......................................................................................................... 6
1.3. Obje i os do es udo ............................................................................................................. 7
1.4. Es u u a da ese ................................................................................................................. 9
CAPÍTULO 2 ..................................................................................................................................... 11
A MODELAÇÃO MATEMÁTICA COMO CENÁRIO EDUCATIVO ............................................................. 11
2.1. Da gene alização à especi icidade da modelação ma emá ica ............................................. 11
2.1.1. Génese ...................................................................................................................... 12
2.1.2. Fundamen os ............................................................................................................ 13
2.1.3. Abo dagens e pe spe i as .......................................................................................... 15
2.2. A modelação ma emá ica em con ex o educa i o ................................................................ 17
2.2.1. De inição e undamen ação ........................................................................................ 17
2.2.2. As e apas cogni i as do p ocesso de modelação ......................................................... 20
2.2.3. A modelação como compe ência................................................................................ 23
2.2.4. Me acognição, esolução de p oblemas, aplicações e modelação ............................... 25
2.3. Finalidades da modelação ma emá ica como p á ica .......................................................... 26
2.3.1. Conec a o ensino em con ex o de modelação ao papel do p o esso .......................... 27
2.3.2. O aluno in e p e ando o seu mundo ........................................................................... 28
2.3.3. A au en icidade do con ex o e as a e as de modelação .............................................. 30
2.4. Implemen ação e dinâmicas em o no da modelação ma emá ica ...................................... 34
2.4.1. P ocedimen os, es a égias e desa ios da modelação ma emá ica como ambien e de
ap endizagem .......................................................................................................................... 34
2.4.2. Desco ina possí eis bloqueios nas e apas de modelação .......................................... 36
2.4.3. Uma in e enção pedagógica que pon ue a di e ença e o diálogo ............................... 37
xi
Figu a 57. Exce o da Ta e a 2.1., Alíneas a) a d) ......................................................................... 255
Figu a 58. G upos em abalho au ónomo .................................................................................... 256
Figu a 59. Exce o da a e a ‘Re a os de idas de abalho’, alíneas a), b), c) d), e) ...................... 257
Figu a 60. Exce o da Ta e a ‘Redis ibuição da iqueza’, alíneas a), b), c), d) ............................... 258
Figu a 61. Exce o da a e a ‘A ube ização do abalho’, alíneas a), b), c) ...................................... 259
Figu a 62. A docen e p es a alguns escla ecimen os .................................................................... 260
Figu a 63. G upo e a a incêndios de Ped ogão ........................................................................... 260
Figu a 64. G upo ap esen a abalho sob e consumo de água ..................................................... 261
Figu a 65. Rep esen ação da a e a “As mu ações do abalho” .................................................. 262
Figu a 66. Ano ações de Liang (G5) e de Ana (G3) ....................................................................... 264
Figu a 67. Regis os de Miguel (G5) e de Ma ilde (G7) ................................................................... 265
Figu a 68. Regis o de Inês (G4) .................................................................................................... 265
Figu a 69. Regis o de Guilhe me (G2)........................................................................................... 265
Figu a 70. Folha de cálculo p oje ada pa a a u ma analisa ......................................................... 266
Figu a 71. Iden i icação das a iá eis na esolução de Ve a (G2) .................................................. 267
Figu a 72. Regis o de Raquel (G6) ................................................................................................ 267
Figu a 73. Cálculos e e uados po Raquel (G6) ............................................................................. 268
Figu a 74. Rep esen ação G á ica de Ca olina (G1) ...................................................................... 268
Figu a 75. Tabela ap esen ada po Daniela (G3) ........................................................................... 269
Figu a 76. Resolução de Ve a (G2) ............................................................................................... 269
Figu a 77. Resolução de Tomás (G4) ........................................................................................... 270
Figu a 78. Resolução de Ma ga ida (G1) ...................................................................................... 270
Figu a 79. Mapa sín ese da elação en e as e apas de modelação, a i idades cogni i as e es a égias
da a e a ‘As mu ações do abalho’ ................................................................................................ 271
Figu a 80. Rep esen ação da a e a ‘A edis ibuição da iqueza’ .................................................. 272
Figu a 81. Resoluções de Ma ia (G4) e de Rica do (G2) ................................................................ 274
Figu a 82. Resolução de Madalena (G5) ....................................................................................... 274
Figu a 83. Resolução de Daniela (G3) .......................................................................................... 275
Figu a 84. Tabela ap esen ada po Ca los (G7) ............................................................................ 275
Figu a 85. Resolução de Ma ia (G4) à alínea c) ............................................................................ 276
Figu a 86. Resolução de Raquel (G6) ........................................................................................... 276
Figu a 87. Pa e da espos a de Ma ga ida (G1) ........................................................................... 276

x
Figu a 88. Iden i icação das a iá eis de Ana (G3) ........................................................................ 277
Figu a 89. Pa e da espos a de Ve a (G2) .................................................................................... 277
Figu a 90. Modelo ap esen ado po Leono (G4) ........................................................................... 278
Figu a 91. Tabela cons uída po The esa (G7) e g á ico desenhado po Raquel (G6) (G7) ............. 278
Figu a 92. De e minação dos luc os pelos abalhado es de Gab iel (G1) e de Madalena (G5) ....... 278
Figu a 93. A p o esso a comen a a esolução da alínea c) ............................................................ 280
Figu a 94. P ojeção da olha de cálculo elabo ada pela p o esso a................................................ 280
Figu a 95. Alunos do G upo 1 a abalha com a olha de cálculo ................................................. 281
Figu a 96. Respos a dada po Madalena (G5) ............................................................................... 281
Figu a 97. Respos a de Gonçalo (G7) ........................................................................................... 282
Figu a 98. Respos a de Nídia (G3) ................................................................................................ 282
Figu a 99. Mapa sín ese da elação en e as e apas de modelação, a i idades cogni i as e es a égias
da a e a ‘A edis ibuição da iqueza’ ............................................................................................. 283
Figu a 100. Rep esen ação da a e a ‘A ube ização do abalho’ .................................................. 284
Figu a 101. Esboço de um g á ico de Lúcia (G6) .......................................................................... 286
Figu a 102. Resolução de Madalena (G5) .................................................................................... 286
Figu a 103. Iden i icação das a iá eis de Raquel (G6) ................................................................. 287
Figu a 104. Resolução de Ma im (G6) ........................................................................................ 288
Figu a 105. T abalho ma emá ico de Ca olina (G1) ...................................................................... 288
Figu a 106. T abalho ma emá ico de Nídia (G3) ........................................................................... 289
Figu a 107. Resolução de gonçalo (G7)........................................................................................ 289
Figu a 108. Cálculos e e uados po Rica do (G1) ....................................................................... 2890
Figu a 109. Respos as de Tiago (G6) e de Ma ia (G4) .................................................................. 291
Figu a 110. Mapa sín ese da elação en e as e apas de modelação, a i idades cogni i as e
es a égias da a e a ‘A ube ização do abalho’ .............................................................................. 291
Figu a 111. Respos as de Diogo (G3) e de Ca olina (G1) na a e a ‘O abalho e as mulhe es ....... 294
Figu a 112. De e minação do ano em que se a ingi á a igualdade de géne o económica po Rica do
(G2) na a e a ‘O abalho e as mulhe es’ ....................................................................................... 295
Figu a 113. Dis ibuição do empo diá io p opos o po Ve a (G1) .................................................. 295
Figu a 114. Rep esen ação g á ica de Raquel (G6) na Ta e a ‘O abalho e a conquis a das 8 ho as’
.............................................................................................................................................. 296
Figu a 115. Respos a de Leono (G4) .......................................................................................... 297
x i
Figu a 116. Respos a de Inês (G4) ............................................................................................... 297
Figu a 117. Re lexões de Daniela (G3) e de Ma ia (G4) sob e exis ência de desigualdade na a e a
‘Re a os da ida ............................................................................................................................ 298
Figu a 118. P opos as de Miguel (G5) e de Nídia (G3) .................................................................. 298
Figu a 119. P opos a de Ma ga ida (G1) ...................................................................................... 299
Figu a 120. Respos as de Tomás (G4) e de Lúcia (G6) na Ta e a ‘A Ube ização do T abalho’ ....... 300
Figu a 121. Respos as de Madalena (G5) e de Ca los (G7) ........................................................... 300
Figu a 122. Ba ei as cogni i as ap esen adas na esolução das a e as de modelação ................ 331
Figu a 123. Relações en e e apas de modelação, ep esen ações e conhecimen o de unções .... 334
x ii
ÍNDICE DE TABELAS
Tabela 1. Fases do p ocesso empí ico e dos ins umen os de ecolha de dados ............................ 112
Tabela 2. Possí eis emas e modelos ma emá icos a se em abalhados ....................................... 120
Tabela 3. Ta e as de modelação de 8.º ano de aco do com as AEM .............................................. 121
Tabela 4. Ta e as de modelação de 9.º ano de aco do com as AEM .............................................. 123
Tabela 5. Signi icado dos códigos a ibuídos aos ma e iais da ecolha de dados ............................ 125
Tabela 6. Ca ego ias e dimensões ela i as ao ema Ca ac e ização do con ex o escola ............... 126
Tabela 7. Ca ego ias e dimensões ela i as a Momen os de ap endizagem .................................... 127
Tabela 8. Ca ego ias e dimensões ela i as a Con ibu os das a e as de modelação ..................... 128
Tabela 9. Respos as ela i as à P á ica P o issional dos P o esso es de Ma emá ica do Ag upamen o
LJ .......................................................................................................................................... 137
Tabela 10. Respos as ela i as ao ensino de unções e in eg ação de a e as de modelação .......... 143
Tabela 11. Respos as ela i as ao ensino da Ma emá ica e esponsabilidade social ....................... 145
Tabela 12. F equências ela i as ao pe cu so e mo i ação escola es da u ma de 8.º ano ............. 150
Tabela 13. F equências ela i as à ap endizagem da Ma emá ica ................................................. 152
Tabela 14. F equências ela i as às ap endizagens dos con eúdos de unções .............................. 154
Tabela 15. F equências ela i as à noção de jus iça social ............................................................ 155
Tabela 16. Relação en e o núme o de aulas e as a e as de modelação de 8.º ano p opos as ...... 159
Tabela 17. Ta e as de modelação de 8.º ano e modelo ma emá ico .............................................. 167
Tabela 18. F equências das espos as dos alunos à a e a ‘P e isão da Escassez Híd ica’ ............ 168
Tabela 19. F equências das espos as dos alunos à a e a “Po que mo i o os p eços impo am?” 177
Tabela 20. F equências das espos as dos alunos à a e a “Compa ação da Pegada Híd ica” ....... 184
Tabela 21. Relação en e as ba ei as cogni i as, ipos de ep esen ação e di iculdades na
mobilização do conhecimen o ma emá ico po Ta e a ..................................................................... 191
Tabela 22. Relação en e as a e as p opos as de 8.º ano e as ques ões sociais ........................... 193
Tabela 23. F equência de in e enções e e uadas pelos alunos de 8.º ano .................................... 197
Tabela 24. F equências ela i as à ap endizagem po a e as de modelação ma emá ica .............. 201
Tabela 25. F equências ela i as à ap endizagem de unções po a e as de modelação ma emá ica
.............................................................................................................................................. 204
Tabela 26. F equências ela i as à ap endizagem de unções po a e as de modelação com base em
assun os de jus iça social ............................................................................................................... 206
Tabela27. Respos as ela i as à p á ica p o issional dos P o esso es de Ma emá ica da Escola MA 223
x iii
Tabela 28. Respos as dos docen es ela i as ao ensino de unções e in eg ação de a e as de
modelação ............................................................................................................................. 228
Tabela 29. Respos as dos docen es ela i as ao ensino da Ma emá ica e esponsabilidade social .. 231
Tabela 30. F equências ela i as ao pe cu so e mo i ação escola es dos alunos de 9.º ano .......... 236
Tabela 31. F equências ela i as à ap endizagem da Ma emá ica dos alunos de 9.º ano ............... 238
Tabela 32. F equências do e lexo das ap endizagens escola es na ida quo idiana dos alunos de 9.º
ano ........................................................................................................................................ 240
Tabela 33. F equências ela i as à noção de jus iça social dos alunos de 9.º ano.......................... 242
Tabela 34. Relação en e o núme o de aulas e as a e as de modelação de 9.º ano p opos as .... 246
Tabela 35. Relação en e as a e as de modelação de 9.º ano e modelo ma emá ico .................... 261
Tabela 36. E apas dos alunos à a e a ‘As mu ações do abalho’ ................................................. 263
Tabela 37. E apas dos alunos na a e a ‘A edis ibuição da iqueza’ ............................................ 273
Tabela 38. E apas dos alunos na a e a ‘A ube ização do abalho’ .............................................. 285
Tabela 39. Relação en e as ba ei as cogni i as, ipos de ep esen ação e di iculdades na
mobilização do conhecimen o ma emá ico po Ta e a ..................................................................... 292
Tabela 40. Relação en e as a e as de 9.º ano p opos as e as ques ões sociais ........................... 293
Tabela 41. F equência de in e enções e e uadas pelos alunos de 9.º ano .................................... 301
Tabela 42. F equências ela i as à ap endizagem po a e as de modelação ma emá ica .............. 305
Tabela 43. F equências ela i as à ap endizagem de unções po a e as de modelação ma emá ica
.............................................................................................................................................. 306
Tabela 44. F equências ela i as à ap endizagem de unções po a e as de modelação com base em
assun os de jus iça social ............................................................................................................... 309
Tabela 45. Fo ma de abalho dos alunos na e apa de comp eensão, simpli icação e es u u ação do
p oblema em cada uma das a e as ................................................................................................ 326
Tabela 46. Fo ma de abalho dos alunos na e apa de ma ema ização e abalho com o modelo ... 328
Tabela 47. Fo ma de abalho dos alunos na e apa in e p e ação dos esul ados e alidação do
modelo .................................................................................................................................. 330
xix
À memó ia da minha mãe, Lau inda, que con inua a
o ien a odos os passos que dou.

CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
Nes e capí ulo, ap esen a-se o âmbi o do es udo do con ibu o da modelação ma emá ica e da
jus iça social na ap endizagem de unções de alunos do 3.º ciclo do ensino básico, bem como se
assinala a sua ele ância. Espe a-se, com es a p io ização, mos a os elemen os que o nece am as
bases pa a sus en a a pe inência em ado a um ambien e de ap endizagem de unções que conjugue
a modelação ma emá ica com emas de jus iça social. Es a úl ima noção é aplicada à in es igação na
sua plu idimensionalidade. Assim, de seguida, dão-se a conhece as mo i ações que le a am à
conc e ização des e abalho. Segue-se a desc ição do obje i o da in es igação e dos obje i os
especí icos que a delinea am. Finaliza-se com o modo como es á es u u ada es a ese, salien ando os
pon os cen ais de onde se si ua o deba e.
1.1. Âmbi o e ele ância do es udo
A modelação ma emá ica no ensino e na ap endizagem da Ma emá ica é um assun o que
me ece e lexão, especialmen e nos úl imos anos, após o impac o social da impo ância dos modelos
ma emá icos na sociedade, nas á ias disciplinas cien í icas e no mundo quo idiano (Ca ei a & Blum,
2021a; G ee a h & Ca ei a, 2024). Nes e seguimen o, es udos ecen es mos am a aplicação do
p ocesso de modelação sob e o a ual p oblema da p opagação de doenças in eciosas e a o ma como
pode se p omo ido nas uni e sidades, nos p og amas de o mação de p o esso es e nas p á icas de
sala de aula (Ca ei a & Blum, 2021a). O c uzamen o, aqui e e uado, da modelação ma emá ica com o
concei o de jus iça social su ge inculado aos assun os do quo idiano passí eis de se em modelados e
que ão ao encon o da conc e ização de p á icas me odológicas e educa i as que possibili em, aos
alunos, analisa em p oblemas pa a que se o nem pa icipan es a i os da sociedade (Vi hal e al.,
2024). Numa pe spe i a socioc í ica, a a és des a ligação, os alunos pode ão e le i c i icamen e
sob e os p oblemas da sociedade, com is a a desen ol e em o discu so e lexi o, c iando signi icados
necessá ios pa a a ans o mação es u u al da p óp ia sociedade (Rosa & O ey, 2015). Cla i ica -se-á,
de seguida, es a eunião, en ando sin e iza as noções de o ma sequencial.
Os concei os de educação e jus iça são, à luz da a ualidade, indissociá eis. Se é a educação
que p omo e, pa a além do conhecimen o, o pensamen o c í ico e a cidadania, é a a és da jus iça que
é assegu ado o acesso, de odos os cidadãos, à educação, de aco do com a noção de sociedade bem
2
o denada (Pla ão, 2007; Rawls, 2013). Não é, po an o, de es anha que a me ana a i a consag ada
na Cons i uição da República Po uguesa, nos a igos elacionados com a educação, seja a de
possibili a a igualdade de opo unidades no acesso e êxi o escola es a a és de uma educação de
qualidade, g a ui a e inclusi a. É, a a és des e no ma i o, p opalada uma educação que p omo a o
desen ol imen o in eg al do indi íduo não apenas em e mos académicos, mas ambém nos alo es
é icos e sociais, que o me cidadãos pa icipa i os e solidá ios, com is a a uma sociedade mais
iguali á ia, que minimize as desigualdades económicas, sociais e cul u ais. Com a p oclamação des es
p incípios, ica e iden e o luga da jus iça na educação e, se dú idas pe sis issem, a Lei de Bases do
Sis ema Educa i o e o ça-o, sus en ando que é da esponsabilidade do Es ado ga an i o di ei o a uma
jus a e e e i a igualdade de opo unidades no acesso e sucesso escola es. No en an o, exis em
pala as que, de an o se em usadas, pe dem o seu signi icado o iginal pa a se con e e em em
exp essões azias (Mu illo & He nández-Cas illa, 2014). Pe an e es a união in isí el en e educação e
jus iça, é ine i á el su gi em algumas in e ogações, de en e as quais: é su icien e ga an i a igualdade
de opo unidades no acesso e sucesso escola es pa a que a escola seja uma escola jus a? A é que
pon o o Es ado de e in e i , sob e a o ma da educação, pa a mi iga as desigualdades económicas e
sociais? Pa a esponde a ques ões simila es, um conjun o as o de in es igações êm sido
desen ol idas e, pa a as quais, pa ece aze sen ido que a mi igação das desigualdades sociais se dê
a a és da mi igação das desigualdades escola es (Lopes e al., 2017; Pacheco, 2019; Rosa & Ama al,
2014), ou seja, a escola de e á ajuda na e adicação do de e minismo social à nascença (Bou dieu &
Passe on, 2008). A se e dade, ambém o pa ece se que o p imei o e o oi conseguido, uma ez
que, à da a, as desigualdades escola es de acesso es ão sua izadas p incipalmen e desde o
p olongamen o da escola idade ob iga ó ia. O mesmo não se pode á a i ma quan o ao sucesso
escola . Sabe-se que os p oje os implemen ados pelas á ias u elas, ao longo dos anos, pa a melho ia
dos esul ados escola es se ão acumulando. Con udo, os núme os indicam que, que nas a aliações
in e nas, que nas a aliações ex e nas dos alunos na disciplina de Ma emá ica, a a iação do ní el de
sucesso na úl ima década e meia é mínima (Cana a o e al., 2020). Sabe-se que a li e acia
ma emá ica é impo an e pa a odos os alunos, mas os alunos de meios socioeconómicos mais
des a o ecidos es ão desp opo cionalmen e ep esen ados no domínio da li e acia ma emá ica, o que
limi a signi ica i amen e a sua opo unidade de acede a uma as a gama de cu sos do ensino supe io
(Vi hal e al., 2024). Pe an e es e cená io, como pode o ensino da Ma emá ica con ibui pa a sai
des e labi in o que não pe mi e conc e iza a jus a igualdade de opo unidades no sucesso escola ?
Mais ainda, a pe pe uação do insucesso escola em Ma emá ica, ao con ibui pa a uma cli agem,
3
de ine-se, ambém, como esponsá el po ag a a a exclusão escola , qual i a de Möbius
ep esen ando um caminho cujo início já se desconhece e não se islumb a o seu im.
Numa análise de pe cu so ascenden e, o cu ículo su ge, ob iamen e, como o a ol, endo nos
p og amas das espe i as á eas disciplina es as suas ânco as. Um dos p incípios pa a a Ma emá ica
Escola é o p incípio pa a a equidade (NCTM, 2017), a a és do qual se di ulga que a isão de acesso
e equidade ob iga a e em con a os con ex os de o igem dos alunos, a sua expe iência e conhecimen o
quando se concebe, implemen a e a alia a e icácia de um p og ama de Ma emá ica. Nes e sen ido, as
adap ações cu icula es são cada ez mais exigidas sob e o mo e de o na as escolas mais inclusi as
e equi a i as (OECD, 2021). Uma e en e de cu ículo suge ida é um cu ículo baseado em
compe ências e con eúdos ans e sais, cujas expe iências de ap endizagem sejam mais en ol en es e
p á icas pa a odos os alunos, colocando o ónus no ac o de se di igido a odos os alunos e não
apenas a ce os g upos de alunos, ale ando pa a se uma medida de equidade e não de seg egação
(OECD, 2021).
Com a ga an ia da pa icipação, da disponibilização das mesmas opo unidades de
ap endizagem e do en ol imen o de odos os alunos, com um cu ículo comum, encon a-se
assegu ada a igualdade de opo unidade no acesso e no ensino. A se e dadei a es a p oposição, a
pe gun a que se coloca eside na exequibilidade do en ol imen o de odos os alunos. A é po que se
conside a que exis e uma ligação en e p opo ciona o en ol imen o de odos os alunos como um bem
básico, à semelhança do alo da au oes ima da eo ia de jus iça de Rawls (2013). Pa a es e au o , o
alo da au oes ima é um bem básico, associando às unções de um Es ado que p e ende se jus o o
de e de c ia condições pa a que odos os cidadãos se possam espei a a si p óp ios (Camps, 2022).
A pa des a ideia es á, ambém, a iabilidade na igualdade equi a i a de opo unidades quan o ao
sucesso, ou seja, ao conhecimen o. Nes e pon o, os esul ados dos alunos em Ma emá ica incluem não
somen e a pe sis ência no abalho escola como ambém a a i ude que possuem ace à Ma emá ica e
a capacidade pa a u iliza em a Ma emá ica em con ex os eais (Gu ié ez, 2012), sendo o mais
impo an e assegu a que, independen emen e dos con ex os de o igem, odos os alunos enham as
mesmas possibilidades de ob e em esul ados signi ica i os (Gu ié ez, 2018).
A eunião de ambas as conceções az eme gi a necessidade de encon a no as o mas de
es u u a o ensino da Ma emá ica, indo ao encon o de uma educação ma emá ica mais o ien ada
com a ealidade, como pos ulado em mui as posições didá icas, desde o im de século in e (Blum &
Niss, 2024). Nes e sen ido, um dos concei os mais es udados, nas úl imas décadas, na educação
ma emá ica, é a modelação como ambien e de ap endizagem, encon ando-se, assim, na modelação
4
ma emá ica a opo unidade de conjuga o cu ículo nacional com as ealidades sociais dos alunos po
o ma a que, po conseguin e, os alunos melho em as suas capacidades pa a u iliza as
ep esen ações ma emá icas em si uações do quo idiano (Gu s ein, 2006). De ac o, a necessidade de
“p opo ciona expe iências que pe mi am que os alunos comp eendam que a Ma emá ica possui
u ilizações pode osas na modelação e na p e isão de enómenos eais” (NCTM, 2007, p. 12) é,
ei e adamen e, in eg ada no cu ículo, mo men e no campo da Álgeb a e de modo ans e sal a odo o
pe cu so escola . Pa a esse im, é undamen al o e ece a possibilidade aos alunos de abalha em
com os modelos ma emá icos e a modelação de si uações inse idas em con ex o eal, assim como a
análise da a iação. No 3.º ciclo do ensino básico, o es udo de unções o e ece um dos cená ios pa a a
conc e ização des as conjugações. A escolha da aplicação da modelação ma emá ica na ap endizagem
de unções é anco ada, p imei amen e, no cu ículo, associada a uma solici ação das opo unidades,
dadas aos alunos, de modela ma ema icamen e uma as a gama de enómenos, em pa icula no
es udo de unções (NCTM, 2007), que nos documen os egulado es do ensino da Ma emá ica
in e nacionais, que nos p og amas nacionais ao longo dos anos. Um as o conjun o de in es igado es
in e nacionais em mos ado como é possí el conjuga assun os de jus iça social, no seio do cu ículo
de Ma emá ica, nomeadamen e na á ea da Álgeb a, seja conec ando a Ma emá ica à ealidade dos
alunos, seja ligando-a à sua cul u a e comunidade (Gu s ein & Pe e son, 2013). O p oje o Equações
adicais: li e acia ma emá ica e di ei os ci is, que du a há duas décadas, é um p oje o de Álgeb a,
des inado a alunos do 3.º Ciclo, cuja inalidade é auxilia es udan es a oame icanos a a ingi um ní el
mais ele ado de compe ências ma emá icas (Moses & Cobb, 2001). Ou o exemplo, mos a a
possibilidade de abalha o es udo de unções em alunos de 8.º ano, analisando as a iá eis,
eco endo às ep esen ações g á ica e algéb ica pa a calcula o salá io diá io e mensal de alguns
abalhos do se o de se iços, descob i os cus os associados à p ocu a de habi ação ou compa a
salá ios mínimos de abalhos (Dean, 2013).
Po sua ez, a pe inência da modelação ma emá ica, na a ualidade, pa ece se indiscu í el.
Ce os acon ecimen os e enómenos assim o êm mos ado, como du an e a pandemia da COVID-19,
em que o am mos ados os modelos epidemiológicos c iados pa a con ence o público da
necessidade de es ingi compo amen os, ou o in enso deba e ge ado em o no do aco do de Pa is
sob e o clima; acon ecimen os que mos am a necessidade de oma decisões in o madas e
undamen adas em ac os, que, po sua ez, se baseiam em modelos ma emá icos (Sille e al., 2024;
Sko smose, 2021). Po es es mesmos mo i os, a pa da modelação é ambém eque ida uma lei u a
c í ica dos dados (Rubel e al., 2021), undamen ada na c escen e p e alência das isualizações de
11
CAPÍTULO 2
A MODELAÇÃO MATEMÁTICA COMO CENÁRIO EDUCATIVO
O p esen e capí ulo é dedicado ao ap o undamen o de um cená io educa i o
1
que p io ize a
modelação ma emá ica como mo iz de ap endizagem, pelo que se encon a di idido em seis secções,
sendo a úl ima uma sín ese. Nes e caminho, são idos em conside ação alguns a o es que ajudam a
cla i ica a es a égia a segui , assim como as e apas cogni i as do p ocesso de modelação, o
desen ol imen o de compe ências de modelação ou a análise dos p ocessos cogni i os en ol idos nas
a i idades de modelação e na aplicação de esolução de p oblemas. Po es e mo i o inicia-se com uma
abo dagem à e minologia e a especi icação de alguns concei os, pa a passa à undamen ação da
modelação em con ex o educa i o. Seguem-se os e o es da sua inalidade pedagógica, segundo a
e en e do ensino, da ap endizagem e da impo ância da au en icidade nas a e as de modelação.
Analisam-se o mas e dinâmicas de implemen ação da modelação em con ex o educa i o, bem como a
sua conjugação com o ópico de unções de aco do com o cu ículo nacional. Po im, ealça-se a
dimensão socioc í ica da modelação, pa a e idencia , sob e udo, como é possí el cons ui um
ambien e educa i o que combine ação e e lexão.
2.1. Da gene alização à especi icidade da modelação ma emá ica
Nas úl imas décadas, à elação en e a Ma emá ica e o mundo eal oi a ibuída especial
impo ância, especialmen e no campo educa i o, median e o p ocesso denominado modelação
ma emá ica (Blum & Niss, 2024; Galb ai h, 2024; Smi h & Mo gan, 2016; S illman, 2019), cujos
p odu os académicos con ibuí am signi ica i amen e pa a as salas de aulas, nos mais di e sos ní eis e
con ex os educa i os.
A ele ância na de inição de e mos e concei os elacionados com o p ocesso de modelação
ma emá ica anspo a um ca á e p ecioso na cla i icação e desen ol imen o do ema em ques ão. A
sus en ação eó ica en ol e á uma dis inção en e modelação ma emá ica como mé odo cien í ico e
como abo dagem educa i a. No domínio cien í ico, su ge associada a uma es a égia de in es igação
ou a um mé odo de pesquisa (Ä lebäck & Doe , 2015; Bassanezi, 2002; Biembengu , 2009), assim
como apa ece numa dimensão pedagógica, sob a o ma de ambien e de ap endizagem (Ba bosa,
1
A ideia de cená io educa i o é p o enien e do in es igado Ole Sko smose (2007).

12
2008; Galb ai h, 2024; Sko smose, 2007) ou como um sis ema de ensino e ap endizagem (A oei a e
al., 2024).
2.1.1. Génese
Um modelo é uma desc ição simpli icada de uma si uação, seja ela eal ou imaginá ia (Pon e,
1992), indubi a elmen e associada à ep esen ação de um sis ema (Bassanezi, 2002) e de i ando,
pelo menos, em dois ipos de modelos: o modelo obje o, como ep esen ação de um obje o ou ac o
conc e o, e o modelo eó ico, conec ado com uma eo ia ge al exis en e. Tal de inição implica a i idade,
sen ido, conexão com a ealidade. Es a a i idade pode se ep esen ada po di e sas o mas, sejam
elas pala as, desenhos ou esboços, modelos ísicos ou ó mulas ma emá icas e di e en es linguagens,
englobando odo um p ocesso: o p ocesso de modelação. O p ocesso de modelação é a cons ução
dessas ep esen ações, como são elabo adas e de que o ma exp ime a in o mação ace ca do eal
(D’Amb osio, 2009).
O concei o de modelo ma emá ico igu a em inúme os es udos e in ade di e sas á eas de
in es igação que no domínio cien í ico (Blum & Niss, 2024) que numa pe spe i a educa i a (Almeida
& Fe uzzi, 2009; Ba bosa, 2001; Blum & Fe i, 2009; Niss, 2010; Pon e, 1992). Conc e amen e, um
modelo cien í ico o na-se num modelo ma emá ico se o modelo desc e e ou ep esen a uma
si uação do mundo eal, desde que a es u u a de cons ução en ol a concei os e e amen as
ma emá icas (Pollack, 2003). No sen ido la o, um modelo ma emá ico de um enómeno ou de uma
si uação p oblema “é um conjun o de símbolos e de elações ma emá icas que ep esen am, de
alguma manei a, o enómeno em ques ão” (Biembengu & Hein, 2007, p. 106). Nes e sen ido, os
modelos podem se is os como sis emas conce uais que são usados pa a cons ui , in e p e a ,
explica e, ma ema icamen e, desc e e uma si uação (English & Wa e s, 2005). Mais
especi icamen e, os modelos são sis emas conce uais signi ica i os que p omo em a comp eensão
conce ual e a ma ema ização (Lesh & Zawojewski, 2007). As si uações que se p e endem desc e e
êm semp e associadas a enómenos pa icula es do mundo eal.
Des e úl imo concei o – o mundo eal – imanam inúme as conside ações, no en an o, des aca-
se, de momen o, aquilo a que á ios au o es denominam como o domínio ex a-ma emá ico (Ä lebäck,
2009; Fe i, 2006; Niss, 2012). Desse mundo, o que se p e ende é u iliza a Ma emá ica pa a lida
com ca ac e ís icas, enómenos, es u u as, ques ões ou p op iedades. Seguidamen e, cada uma
dessas en idades em de se ep esen ada po en idades ma emá icas que sejam ele an es pa a o
con ex o. Em sín ese, a pe inência es á em mapea ou aduzi as en idades selecionadas do domínio
13
ex a-ma emá ico em en idades ma emá icas pe encen es ao domínio ma emá ico co esponden e.
Pa a conclui es a ans e ência e ob e conclusões ma emá icas, é, pa a Niss (2012), necessá io
aduzi-las de ol a ao domínio ex a-ma emá ico. Es e p ocesso é conhecido na li e a u a como ciclo de
modelação (Blum & Fe i, 2009; Galb ai h & S illman, 2006; S illman e al., 2013), no undo, uma
desc ição eó ica do que en ol e a modelação do mundo eal (S illman, 2019).
2.1.2. Fundamen os
Niss (2012) ap esen a a simbologia, que in i ula me á o a eó ica, segundo o iplo (D, ,M) a
que usualmen e é chamado ma ema ização. D é a ibuído ao domínio ex a-ma emá ico, M ep esen a
o domínio ma emá ico e uma adução de D pa a M ou uma ma ema ização de D po meio de M. De
no a que D e M são mais do que conjun os cons i uídos po elemen os singula es, englobando
ambém enómenos, elações ou ques ões. Não obs an e a ele ância des e p ocesso de
ma ema ização, a e dade é que é apenas uma e apa de um p ocesso bem mais ala gado e dinâmico,
conhecido como modelação ma emá ica e a que Blum e Fe i (2009) sucin amen e, desc e em como o
p ocesso de ansição en e o mundo eal e a Ma emá ica, em ambas as di eções. Is o po que, e como
e o ça Linge jä d (2006), o p ocesso de modelação en ol e obse a uma si uação, conje u a
elações, aplica análises ma emá icas, ob e esul ados ma emá icos e ein e p e a o modelo no
mundo eal. Do mesmo modo, Bassanezi (2002) expõe a modelação ma emá ica como uma dinâmica
c iada com is a à ob enção e alidação de modelos ma emá icos. A ligação com a ealidade nunca é
descu ada, uma ez que a modelação consis e, p ecisamen e, numa o ma de abs ação e
gene alização com o in ui o de ans o ma a ealidade em p oblemas ma emá icos.
O ac o de o p ocesso de modelação en ol e ciclicamen e a ealidade le a a que haja au o es
que a gumen em a necessidade de econhece o papel decisi o do sujei o na pe ceção dessa ealidade
e consequen e cons ução do modelo, na medida em que a ep esen ação é c iada po um dado
sujei o com dis in as conceções e in e p e ações da si uação eal (Ca ei a, 2001). No en an o,
Bassanezi (2002) ale a que “a modelação é e icien e a pa i do momen o que nos conscien izamos
que es amos semp e abalhando com ap oximações da ealidade” (p. 24).
Como esul ado des e ca ác e subje i o, D’Amb osio (2009) sus en a que os modelos apenas
o necem ap oximações do compo amen o eal e, po esse mo i o, podem se mais ou menos ú eis,
na medida em que es ão sujei os a e o mulações. Con udo, se em semp e pa a e o mula hipó eses
ou a é o mula ou as, podendo le a ao es abelecimen o de no as eo ias mais ap op iadas à ques ão
o iginal. A adução em modelo ma emá ico da ealidade “depende do conhecimen o dos ac os,
14
enómenos e do econhecimen o do compo amen o dos obje os ou sis emas eais” (D’Amb osio,
2009, p. 91). Ou a g ande an agem que apon a o au o é o ac o de a modelação ma emá ica se i
pa a aze p e isões sob e o compo amen o de um sis ema e, subsequen emen e, pode con ola o
sis ema.
Po ou as pala as, Fe uzzi e Almeida (2015) en endem a modelação ma emá ica como a
p ocu a de uma ep esen ação ma emá ica pa a um obje o ou enómeno que pode ou não se
ma emá ico. E, nes e sen ido, es es au o es conside am que “ a a-se de um p ocedimen o c ia i o e
in e p e a i o que es abelece uma es u u a ma emá ica que de e inco po a as ca ac e ís icas
essenciais do obje o ou enómeno que p e ende ep esen a ” (p. 378).
Blum (2015) chega mesmo a de ende que o p ocesso que ans o ma a si uação em modelo
c ia uma ealidade que depende do conhecimen o, das in enções e dos in e esses do sujei o da
esolução. Pa ece se consensual admi i que es e p ocesso eque do modelado habilidades
especí icas, como conhecimen o ma emá ico e capacidade de in e p e a o enómeno segundo uma
ó ica ma emá ica (Biembengu , 2014). Pa a além disso, encon a-se, equen emen e, na li e a u a a
desc ição des e p ocesso a a és de um esquema que ilus a como o p ocesso de modelação conec a
o mundo ex a-ma emá ico e o mundo ma emá ico, que de uma o ma i e a i a ou cíclica, o ciclo de
modelação. Um des es exemplos su ge com Fe i (2006), como ep esen ado na Figu a 1, que, ao
adap a o ciclo de modelação, nomeadamen e, de Blum e Leiss, den o de uma pe spe i a cogni i a,
desc e e o p ocesso de modelação em seis ases: si uação eal; ep esen ação men al da si uação;
modelo eal; modelo ma emá ico; esul ado ma emá ico; e esul ados eais. Na ansição en e essas
ases, a au o a e idencia as ases: en ende a a e a; simpli ica /es u u a a a e a; ma ema iza ;
abalha ma ema icamen e; in e p e a ; e alida .
Figu a 1
Ciclo de modelação adap ado po Fe i (2006, p. 92)
15
2.1.3. Abo dagens e pe spe i as
É nes e con ex o que su ge a en a i a de mediação en e a e olução da pesquisa ma emá ica
e a educação ma emá ica e que a implicação do concei o de aplicabilidade se es abelece como uma
pon e. Con o me ale am Bu kha d e Pollak (2006), é undamen al sabe mais sob e a melho o ma
de pe mi i que odos os p o esso es de Ma emá ica adqui am as habilidades ex a-ma emá icas
necessá ias pa a ensina modelação. Realce-se que as in luências in elec uais dominan es na
ma emá ica escola p o êm de ma emá icos. No undo, o que mais in e essa é que a modelação
ma emá ica, que es eja sob uma ó ica cien í ica, que segundo uma es a égia de ensino e
ap endizagem, seja en endida como a “a e de ans o ma p oblemas da ealidade em p oblemas
ma emá icos e esol ê-los in e p e ando as suas soluções na linguagem do mundo eal” (Bassanezi,
2002, p. 16).
Ao obse a a e olução no deba e ace ca da ca ego ização das pe spe i as de modelação,
dis ingue-se em Kaise -Messme (1991) duas pe spe i as: a p agmá ica e a cien í ica-humanís ica. A
p imei a, segunda es a au o a, consis e em es imula nos alunos habilidades ma emá icas pa a a
solução de p oblemas eais, mais ainda, endo em is a as u u as p o issões dos mesmos. Na
pe spe i a cien í ica-humanís ica, Kaise -Messme (1991) des aca que as a i idades de modelação
o necem apenas o con ex o pa a desen ol e os ópicos p e is os no p og ama, endo como obje i o
inal ap ende Ma emá ica. Po ou o lado, omando como e e ência as abo dagens p opos as po
Kaise e S i aman (2006), pode-se es abelece uma cla i icação na dis inção en e abo dagens
didá icas e pe spe i as de pesquisa cien í ica. Enquan o as abo dagens didá icas seguem uma condu a
no ma i a, em que as aplicações e modelação em educação ma emá ica são o ce ne, as pe spe i as
cien í icas ca ac e izam-se po se especializa em sob e aspe os especí icos das aplicações e da
modelação ma emá ica. A ca ego ização p opos a po es es au o es das di e en es abo dagens que
pode assumi a modelação ma emá ica não é um p odu o inal, senão um ins umen o de abalho que
em auxiliado pesquisado es e p o issionais, pe mi indo uma sis ema ização de concei os, noções,
p ocessos e dinâmicas. Des acam-se seis pe spe i as, denominadas ealis a, con ex ual, cogni i a,
educacional, epis emológica e socioc í ica.
T ês obje i os cen ais, e es idos de ca ác e u ili á io e p agmá ico, são ap esen ados pa a
ca ac e iza a modelação ma emá ica segundo a pe spe i a ealis a: esolução de p oblemas eais,
comp eensão do mundo eal e p omoção de compe ências de modelação. O p ocesso de modelação é
usado pa a analisa uma si uação ou p á ica da ida eal e o in ui o de in es igação p ende-se com a
e i icação das condições necessá ias pa a modela um de e minado p oblema conc e o. A u ilização
16
des a pe spe i a di unde-se po p o issionais de engenha ia, economia, ciência e ou as á eas em que a
ma emá ica seja um denominado comum. Na linha ei e ada po Haines e C ouch (2001), Kaise e
Schwa z (2006) ap esen am, como p incipal ca ac e ís ica des a pe spe i a, o ac o de a modelação
se en endida como uma a i idade a se u ilizada pa a esol e p oblemas au ên icos e não como
desen ol imen o de eo ias ma emá icas, especi icando que o p ocesso de modelação é execu ado
como um odo e não pa cialmen e. Na sua e en e pedagógica, a pe spe i a ealis a do a o p ocesso
de modelação de p agma ismo, con e gindo na aplicação de a i idades in e disciplina es de esolução
de p oblemas e, po isso, exemplos eais p o enien es de di e sas á eas de in es igação cien í ica são
u ilizados com o im de p opo ciona um ambien e de ap endizagem baseado na análise de p oblemas
do mundo eal ou na aplicação de si uações eais. Impo a econhece que oi Pollack (1969) que ab iu
caminho à abo dagem des a pe spe i a como ambien e de ap endizagem, de endendo a ideia de que a
na u eza “aplicada” da ma emá ica é mais ele an e pa a a sua ap endizagem do que a sua dual
“pu a”, endo icado conhecida como pe spe i a p agmá ica.
De uma o ma simpli icada, a pe spe i a con ex ual é sinónimo de esolução de p oblemas.
Baseia-se na in es igação que se desen ol eu em psicologia e em como mo o p omo e o ensino dos
con eúdos ma emá icos e o es udo das ap endizagens dos alunos.
Au o es como Kaise e al. (2007), enquad am a pe spe i a cogni i a como uma me a
pe spe i a. Ao cen a -se na in es igação da psicologia, em como obje i o analisa e comp eende os
p ocessos cogni i os que se p oduzem no deco e das a i idades de modelação. P e ende es imula os
p ocessos de pensamen o ma emá ico a a és do uso de modelos como imagens men ais ou imagens
ísicas. Além disso, ealça a modelação como um p ocesso men al como abs ação ou gene alização.
Di e enciam-se na ca ego ia da pe spe i a educacional a modelação didá ica e a modelação
concep ual, sendo que êm como obje i o a es u u ação do ensino e a sua p omoção e a
ap endizagem dos con eúdos ma emá icos. Têm uma e en e de p omoção da mo i ação e melho ia
das a i udes ace à ma emá ica e da comp eensão c í ica dos p ocessos de modelação e o
desen ol imen o de modelos.
Po sua ez, a pe spe i a epis emológica apoia-se na An opologia e na eo ia da Didá ica pa a
p omo e as conexões exis en es en e as a i idades de modelação e as a i idades ma emá icas. Ao
cen a -se nos con eúdos ma emá icos, en a desen ol e uma no a conce ualização e eo ganização
da Ma emá ica, do pon o de is a da modelação.
Po úl imo, pa a Ba bosa (2006), a discussão eó ica di igida po Kaise -Messme (1991)
e ela-se insu icien e no que diz espei o ao ipo de conhecimen o em que as di e en es abo dagens

17
ela i as ao p ocesso de modelação se cen am. De modo lacónico, elemb amos que es e au o
econhece que a abo dagem p agmá ica p io iza o conhecimen o écnico, enquan o a abo dagem
cien í ica az essal a o conhecimen o ma emá ico. Con udo, chama à a enção pa a um ou o
conhecimen o, que não é con emplado po nenhuma des as abo dagens, aquilo que Sko smose
(2007) de ine como conhecimen o e lexi o, ou seja, a capacidade de comp eende as implicações dos
esul ados ma emá icos, na p á ica social. O conhecimen o écnico e o ma emá ico não são disjun os
do conhecimen o e lexi o, apenas dependem do que se p e ende e idencia na p á ica de modelação.
Po es e mo i o, Ba bosa (2009) p opõe, na es ei a de uma abo dagem emancipa ó ia da modelação
ma emá ica, a pe spe i a socioc í ica. O conhecimen o e lexi o é o oco e o desen ol imen o do
pensamen o c í ico uma p io idade. Es a dimensão socioc í ica da modelação ma emá ica é
conside ada, segundo O ey e Rosa (2018), uma ex ensão da Teo ia C í ica do Conhecimen o.
2.2. A modelação ma emá ica em con ex o educa i o
Segundo Ba bosa (2006), é imp escindí el di e encia o abalho desen ol ido po modelado es
p o issionais das a i idades de modelação aplicadas em sala de aula, uma ez que a modelação na
educação ma emá ica assume con o nos especiais, dependendo do con ex o educa i o, dos
p o esso es en ol idos, do pe il dos alunos, en e ou os a o es (A aújo, 2009).
A in eg ação da modelação ma emá ica na sala de aula é ago a um cená io de endido po um
ex enso núme o de in es igado es (Almeida & Ka o, 2014; Blum 2015; Mad uga & Biembengu , 2016;
Niss & Blum, 2020), chegando mesmo a assumi -se como uma endência me odológica (Klübe ,
2016). A é po que, na pe spe i a da educação ma emá ica, a modelação ma emá ica, é de inida
gene icamen e como “a abo dagem de p oblemas da ealidade, u ilizando con eúdos ma emá icos”
(Souza & Ba bosa, 2014, p. 32). Ado ando como e e ência es a de inição, as ami icações pa a ou as
de inições pa ecem não e im. A modelação ma emá ica é omada como um ecu so, uma a i idade,
uma pe spe i a de ap endizagem, um ambien e de ap endizagem, uma e amen a, uma al e na i a
pedagógica. Con udo, os aspe os que de êm em comum e elam-se simples de enuncia : ma emá ica
e ealidade.
2.2.1. De inição e undamen ação
Impo a econhece que o papel desempenhado pelo ensino e ap endizagem da modelação
ma emá ica começa no séc. XIX com Felix Klein (Schukajlow e al., 2018), po ém, é apenas nos anos
oi en a do séc. XX que os in es igado es colocam ques ões elacionadas com os e ei os que e á nos
18
alunos a u ilização da modelação ma emá ica. Os es udos des a época e elam como p incipais
in e esses de in es igação a p omoção de habilidades e as compe ências de modelação. Nas úl imas
décadas, o oco de es udo ecaiu sob e os aspe os cogni i os. Nes e con ex o, impo a econhece o
con ibu o de cong essos e encon os in e nacionais que p omo em o deba e e a exposição de
esul ados de es udos empí icos no âmbi o da modelação ma emá ica como ambien e de
ap endizagem em odos os ní eis e ciclos de ensino. O p imei o des es encon os, ICMTE (In e na ional
Con e ence on he Teaching o Ma hema ical Modelling and Applica ions), su giu em 1983. Na mesma
linha de ação, são de ealça o Cong ess ICME (In e na ional Cong ess on Ma hema ical Educa ion) e
as con e ências CERME (Con e ences o Eu opean Socie y o Resea ch in Ma hema ics Educa ion).
Nos p imei os ês cong essos do ICTMA a p eocupação cen ou-se na c iação de no os exemplos e
emas ma emá icos de modelação a se em abo dados em con ex o educa i o e, especialmen e, em
no as o mas de p ojeção de cu sos de modelação (Blum & Niss, 1989). A pa i des a da a, o hia o
o na-se es ei o, podendo encon a -se na li e a u a um sem núme o de publicações com base em
es udos eó icos e in es igações empí icas.
No início da década de 90, Blum e Niss (1991) essal am que a u ilização da modelação
ma emá ica como ambien e de ap endizagem conduz a um cump imen o dinâmico do cu ículo,
desp omo endo o ensino adicional es anque po emas. Encon a-se, em Pon e (1992), um pedido de
alo ização da modelação ma emá ica na sua e en e educa i a como um un o a explo a pa a o
desen ol imen o da capacidade de comp eende , desen ol e , cons ui e analisa c i icamen e
modelos ma emá icos simples. Blum (2011) disco e sob e qua o a gumen os que conside a
essenciais no a o ecimen o da modelação na educação ma emá ica, sendo eles os a gumen os
p agmá ico, o ma i o, cul u al e psicológico. Pa a além des a sus en ação eó ica, o au o e ela que a
in eg ação da modelação no ensino e na ap endizagem da Ma emá ica pode con ibui ,
signi ica i amen e, pa a que os alunos deixem de enca a a mesma sob um pon o de is a mecânico
de me a manipulação de símbolos.
Ba bosa (2001) sublinha que a modelação é conside ada como um ambien e de ap endizagem
no qual os alunos são le ados a p oblema iza e in es iga , a a és da Ma emá ica, si uações com
e e ência na ealidade. Si uações essas que, a pa i dos anos 90, são equen emen e ap esen adas
nos cu ículos o iciais como á eas ex a-ma emá icas, ao que os in es igado es espondem que o
ensino da Ma emá ica não pode se eduzido apenas à aplicação de exemplos baseados na ealidade,
senão que es es exemplos da ealidade de em desempenha um papel cen al (Kaise & Schwa z,
2006). Pa alelamen e, a abo dagem de ques ões eais, p o enien es de um con ex o do in e esse dos
19
alunos, pode mo i a a comp eensão de con eúdos e p ocessos ma emá icos, pe mi indo,
simul aneamen e, a isibilidade da aplicação da Ma emá ica nou as á eas do conhecimen o (Almeida
& B i o, 2005).
Blum e Fe i (2009) especi icam que o uso da modelação e dos seus modelos, na sala de
aula, possibili a o desen ol imen o, nos alunos, de compe ências c í icas e a comp eensão dos seus
p óp ios con ex os e aspe os sociais, pa a além de con ibui pa a a o mação de cidadãos
esponsá eis e in e en i os numa sociedade que eque , cada ez mais, compe ências em
modelação.
Uma ez econhecido, pela comunidade cien í ica, o papel da modelação no campo
educacional (Ca ei a & Blum, 2021b; Galb ai h, 2024), os es udos di igem-se pa a os p ocessos
cogni i os que lhes são ine en es e uma das p imei as ques ões que su ge diz espei o à o ma como
de e se enca ada a modelação ma emá ica, se po uma p o iciência ou como uma compe ência na
ap endizagem da Ma emá ica (Ca ejo & Ma shall, 2007). T ans e salmen e, o oco da a enção ai
pa a os alunos e como se p ocessa a ap endizagem, sendo que “a modelação pode ealmen e se
ap endida se o ensino obedece a de e minados c i é ios de qualidade, em pa icula , man endo um
pe manen e equílib io en e a o ien ação do p o esso e a independência dos alunos” (Blum & Fe i,
2009, p. 45). Nes e mesmo sen ido p onunciam-se Rosa e O ey (2012), ao de ini em a modelação
como um “ambien e de ap endizagem que em como obje i o acili a a in es igação de uma si uação-
p oblema a a és da elabo ação de a i idades pedagógicas con ex ualizadas que auxiliem os alunos na
con e são e na u ilização dos conhecimen os ma emá icos pa a a esolução de si uações-p oblema”
(p. 264).
Mais conc e amen e, Viseu e Menezes (2014) ap esen am a modelação em sala de aula como
uma a i idade que cons a em in e p e a os elemen os e as elações de uma dada si uação, soluciona
a si uação com base na Ma emá ica, p ocede à análise dos esul ados, compa á-los com o enómeno
em es udo e, po im, ob e conclusões. Vis a como um p ocesso, a modelação ma emá ica implica
uma sé ie de ações ou ases que azem com que a cons ução ou in e p e ação de um modelo não se
e e ue de o ma ins an ânea na sala de aula, o que na li e a u a icou conhecido como ciclo de
modelação (Villa-Ochoa, 2015).
A ques ão que impo a, nes e momen o, e idencia é a seguin e: como se con e e o p ocesso
de modelação ma emá ica?
20
2.2.2. As e apas cogni i as do p ocesso de modelação
Kaise -Messme (1987) desc e eu o p ocesso de modelação como um ciclo que pa e do
mundo eal pa a o mundo ma emá ico e ol a pa a o eal. De aco do com Kaise e Schwa z (2006), o
pon o de pa ida do p ocesso de modelação é uma si uação do mundo eal. Pos e io men e, a
si uação é simpli icada e es u u ada pa a ob e um modelo do mundo eal. Esse modelo do mundo
eal é ma ema izado, is o é, aduzido em ma emá ica de al o ma que se ob enha um modelo
ma emá ico da si uação o iginal. As conside ações ma emá icas que esul am do modelo ma emá ico
p oduzem esul ados ma emá icos, que de em se ein e p e ados na si uação eal. A adequação
des es esul ados de e se e i icada e alidada.
Po sua ez, Almeida e Fe uzzi (2009) ap esen am um conjun o de p ocedimen os omados
ao desen ol e a i idades de modelação:
(…) a busca de in o mações, a iden i icação e seleção de a iá eis, a elabo ação de
hipó eses, a simpli icação, a ob enção de uma ep esen ação ma emá ica (modelo
ma emá ico), a esolução do p oblema po meio de p ocedimen os adequados e a
análise da solução que implica numa alidação, iden i icando a sua acei abilidade ou
não. (p. 121)
A p ocu a de um ciclo que desc e a as e apas g ada i as do p ocesso de modelação ez
ec udesce o en oque no papel do aluno e do p o esso . No en an o, dependendo do obje i o da
pesquisa, esses ciclos de modelação podem pa ece di e en es e des aca aspe os dis in os do
p ocesso de modelação (Haines & C ouch, 2013).
Pon e (1992) ap esen a um diag ama (Figu a 2) a a és do qual desc e e o p ocesso de
modelação a a és de um ciclo que em início na adução de uma si uação do mundo eal num
p oblema. Segue-se pa a a escolha de uma es u u a ma emá ica que ep esen e o p oblema e,
simul aneamen e, selecionam-se e es abelecem-se elações en e as a iá eis. U ilizando e amen as
ma emá icas, analisa-se o modelo ma emá ico p ocu ando ob e conclusões, onde, de seguida, se
u ilizam as conclusões pa a in e p e á-las à luz da si uação eal inicial. Nes e momen o, e i ica-se a
adequabilidade do modelo e, se o caso o nega i o, p ocu a-se ede ini o p oblema, encon a no as
a iá eis e eajus es. Se necessá io, e -se-á que epe i á ias ezes es e ciclo a é ob e um esul ado
que se pense sa is a ó io.
27
Jus i icada a dimensão pedagógica da modelação ma emá ica, impo a pe cebe que a
cons ução des a dinâmica em á ias ma izes, numa g adação sem hie a quias que passa an o pelo
aluno, como pelo p o esso , pelo con ex o, pelo ambien e de ap endizagem, pela a i idade, pelos ipos
de a e as e sua au en icidade, pelos ipos de ep esen ação, pela cons ução do conhecimen o, numa
enume ação di ícil de inaliza . Ao ap esen a -se como uma al e na i a me odológica que az pa a a
sala de aula os p oblemas da ida eal e da cul u a dos alunos (B and e al., 2016), o na-se
imp escindí el enquad a e coloca em e idência odos os elemen os que azem pa e des e p eâmbulo
educa i o, a pa i do qual pa ece se possí el al e a o umo de um ensino da Ma emá ica
descon ex ualizado e de ca ác e sele i o.
2.3.1. Conec a o ensino em con ex o de modelação ao papel do p o esso
Pa a o desen ol imen o de uma a i idade com modelação ma emá ica exis em, na li e a u a,
inume á eis p opos as de e apas e p ocedimen os, alguns deles já aqui e a ados. Independen emen e
daquelas que se elege em, pa a Bu ak (2016) essas e apas de em se conduzidas com base em dois
p essupos os. Em p imei o luga , o in e esse do g upo, em segundo, a ob enção de in o mações e
dados do con ex o onde se encon a o in e esse do g upo. Pa a ope acionaliza esse p ocesso, o papel
do p o esso é de e minan e na medida em que assume o papel de mediado , o ien ado e
p oblema izado (D’Amb osio, 2015; Lima & A aújo, 2021). No en an o, Ba bosa (2001) essal a que
“o ambien e de ap endizagem que o p o esso o ganiza pode apenas coloca o con i e. O en ol imen o
dos alunos oco e na medida em que seus in e esses se encon am com esse” (p. 6). Es a posição
le a di e amen e a um concei o designado conhecimen o do p o esso que e -se-á, em de alhe, mais
adian e. Pa a o au o em ques ão exis em ês o mas de o p o esso se posiciona em ace às
possí eis o ganizações cu icula es da modelação (Figu a 5).
Figu a 5
Esquema ep esen a i o da pa icipação do p o esso e do aluno em cada caso (Ba bosa, 2001, p. 9)

28
No p imei o caso, o p o esso coloca uma si uação, com e e ência na ealidade que enha po
base um p oblema a se esol ido, o necendo as in o mações necessá ias à sua esolução. Aos
alunos, cabe o p ocesso de esolução sob a o ien ação do p o esso . No segundo caso, o p o esso
ap esen a um p oblema inicial, sus en ado na ealidade, inci ando os alunos à p ocu a e simpli icação
de dados que sejam impo an es pa a a sua esolução. O e cei o caso ap oxima-se do abalho de
p oje o, uma ez que a si uação-p oblema de con ex o eal é o mulada pelo aluno, que pos e io men e
ecolhe in o mação e abalha os dados com is a à sua esolução. Qualque dos casos e ela um
conjun o de passos que o no eia, di e indo no oco dado ao p o esso : à medida que es e diminui,
endencialmen e aumen a á no aluno, segundo uma elação que se ilus a a a és do seguin e
esquema e que p e ende aduzi o en ol imen o de ambos.
2.3.2. O aluno in e p e ando o seu mundo
Uma das ques ões que se coloca mais p emen e é a seguin e: po que é que é ão impo an e
pa a o aluno a modelação? De aco do com Blum e Fe i (2009), uma das explicações pode pa i pelo
ac o de que os modelos ma emá icos, que a modelação es a em po odo o lado, inclusi amen e na
sua es ei a ligação com as e amen as ecnológicas, algo que é p óximo dos alunos. Mas es es
au o es assen am, essencialmen e, es a jus i icação em qua o p emissas que conside am se , em
simul âneo, p incípios subjacen es ao ensino da Ma emá ica. O p imei o a gumen o que ap esen am
pa a esponde à ques ão é o de que a modelação pode ajuda os alunos a melho comp eende em o
mundo, da mesma o ma que mune a ap endizagem da Ma emá ica de uma ede de supo e que
ab ange mo i ação, o mação de concei os, comp eensão e e enção, con ibui pa a o desen ol imen o
de ce as compe ências ma emá icas e, po im, do a a Ma emá ica de uma imagem mais posi i a na
medida em que p epa a os alunos pa a o seu uso em di e en es á eas ao mesmo empo que
inc emen a a comp eensão do seu papel sociocul u al. Segundo Pollack (2007), pe dem-se os alunos
quando apenas se lhes ensina ma emá ica ‘pu a’.
Na mesma linha posicionam-se Galb ai h e S illman (2006), ao ap esen a em como p opósi os
da in eg ação da modelação ma emá ica desen ol e habilidades dos alunos pa a aplica a Ma emá ica
no seu mundo, le a a Ma emá ica pa a além da sala de aula e usa o con ex o do mundo eal como
uma componen e cha e. Bu kha d (2018) compila odos es es a gumen os em apenas um, alegando
que modela si uações da ida quo idiana é o ce ne da al abe ização ma emá ica. Mais
pe emp o iamen e, pa a que a Ma emá ica seja signi ica i a e ele an e pa a os alunos, expe imen a
29
a i idades de modelação nos p imei os anos escola es é uma necessidade (Blum e al 2007; English,
2018), o que le an a di e amen e uma ou a ques ão: o que é a ma emá ica signi ica i a?
Indiscu i elmen e, o en ol imen o dos alunos, de inido em qualque uma das suas dimensões,
é um con ibu o undamen al pa a uma pa icipação a i a na ap endizagem. Ree e e Tseng (2011)
de endem que, pa a além de in luencia o desempenho académico, o en ol imen o é um a o que
pode auxilia na minimização da indisciplina e do abandono escola . Se a disciplina de Ma emá ica
pude des u a desse supo e à ap endizagem, isso é algo a não despe diça . A endendo a es e ac o,
as a i idades de modelação que êm po base a e as de modelação au ên icas são um aliado
inequí oco. Pa a além do mencionado, a modelação o nece, aos alunos, o mas e icazes pa a os
ajuda a melho soluciona em p oblemas e se em capazes de usa a Ma emá ica em si uações da ida
eal ex aescola es (Lesh & Zawojewski, 2007).
Pollack (2007) e e e que um dos bene ícios da in eg ação de a i idades de modelação em
sala de aula é, as mesmas exigi em pa a a sua esolução um maio desen ol imen o cogni i o do que
a adicional esolução de p oblemas. Tal jus i icação eside no ac o de que si uações au ên icas
p essupõem, da pa e dos alunos, uma maio in e p e ação e desc ição de o mas ma emá icas em ez
de uma simples de e minação da solução de um p oblema (Lesh & Hage , 2001), le ando ambém a
explo ações ma emá icas e gene alizações.
Como is o an e io men e, o pensamen o c í ico é uma compe ência que os alunos
desen ol em ao abalha em com modelação. De aco do com Lesh e Hage (2001), ao usa modelos
pa a in e p e a e explica sis emas complexos, ao desen ol e luência ep esen acional e ao
aciocina ma ema icamen e de di e sas o mas, os alunos es ão a ap imo a o pensamen o c í ico, na
medida em que es as e apas os ajudam a pensa no p oblema c i icamen e an es de en en á-lo. É de
ealça que as a i idades de modelação o e ecem opo unidades pa a que os alunos exp essem as
suas ideias e pensem em múl iplas ep esen ações ace ca de uma mesma si uação (English & Wa e s,
2005).
Em Asempapa (2015), encon a-se enquad amen o pa a aquilo que Pollack (2007) e e e
como sendo mais um bene ício das a i idades de modelação: o discu so de sala de aula. As
expe iências de modelação são ideais pa a p omo e comunicação, le ando à explo ação colabo a i a
e ao abalho em equipa a a és de expe iências sociais. Es udos demons am que os alunos deba em,
pa icipam em discussões e pa ilham ideias ao abalha em a pa i da c iação de modelos e a
ep esen ação dos seus dados, endo-se com eles concluído que os p ocessos de comunicação
ine en es às a i idades de modelação esul am em impo an es con ibuições no que diz espei o ao
30
desen ol imen o social e ma emá ico dos alunos. Es e mesmo au o e o ça que p opicia um
ambien e de ensino que p omo a nos alunos uma cidadania esponsá el e pa icipa i a exige que nele
assen e o desen ol imen o de compe ências de modelação. Bahmaein (2011) essal a que a esolução
de p oblemas é impo an e, mas a sua única aplicação não es imula adequadamen e o conhecimen o,
os p ocessos e os desen ol imen os sociais que são exigidos aos alunos pa a lida em com os sis emas
cada ez mais so is icados da nossa sociedade. Em con apa ida, as a i idades de modelação
pa ecem i ao encon o dessa ei indicação. Pa alelamen e, ao p opo ciona aos alunos si uações que
es ejam elacionadas com as suas p óp ias expe iências, é-lhes pe mi ido ap o unda e amplia a sua
comp eensão do alcance e u ilidade da Ma emá ica. Não obs an e, conjuga es es bene ícios da
modelação ma emá ica numa p á ica pode se um e dadei o desa io, como se oca á, mais adian e.
2.3.3. A au en icidade do con ex o e as a e as de modelação
Chegando a es e pon o, c ê-se impo an e não a ança sem an es disco e ace ca de ês
p essupos os ine en es à ca ac e ização das a e as de modelação: ealidade, con ex o e au en icidade,
uma ez que, se se oca a a enção nas dimensões p agmá ica e c í ica, os alunos de e ão en ol e -se
em si uações au ên icas da cul u a e sociedade a que pe encem e econhece as p á icas, usos e
papéis au ên icos que as comunidades azem da Ma emá ica e da modelação (Villa-Ochoa, 2017).
A o igem da pala a ealidade encon a-se no ocábulo la ino
eali as
, que co esponde a uma
qualidade do que é eal e desemboca no concei o de e dade. Real é, po an o, aquilo que em
exis ência e dadei a. Pa a além do seu signi icado e imológico, o e mo ealidade é con o e so sob o
pon o de is a ilosó ico e, gene icamen e, sinónimo de an agonismo en e um mundo com uma
exis ência independen e
e sus
a possibilidade de se um conjun o de ep esen ações do nosso
pensamen o
2
. Analogamen e, is o signi ica que um con ex o que aduza uma ep esen ação do
pensamen o dos alunos de e á se uma ap oximação do que é expe ienciado po eles p óp ios e que
implique si uações que comp eendem e a que a ibuem signi icado (F euden hal, 1991).
Com e ei o, uma das jus i icações pa a que sejam u ilizados modelos ma emá icos é os alunos
pode em e a aplicabilidade eal das ideias ma emá icas, podendo se esse um a o de mo i ação
(Zbiek & Conno , 2006), que é inc emen ada quando os p oblemas explo ados azem pa e das suas
p óp ias expe iências de ida ou se uma de e minada inalidade p á ica pudesse se iden i icada
di e amen e (Kaise & Schwa z, 2006). Con udo, quais os con ex os do mundo eal que ealmen e
in e essam aos alunos? O que se á necessá io pa a que um con ex o seja au ên ico? Nes e sen ido
2
Pa a Pla ão, a ealidade es á di idida em duas pa es: uma pa e é o mundo sensí el, a ou a pa e é o mundo in eligí el, o mundo das ideias.
31
p onunciam-se S ende e Kaise (2015), e e indo que os p oblemas de modelação não podem se
au ên icos apenas sob o pon o de is a dos in es igado es ou dos p o esso es, mas acima de udo dos
alunos, a é po que o p ocesso de modelação não pode i e in ei amen e na sala de aula de
Ma emá ica, uma ez que começa e e mina no mundo eal (S illman & Galb ai h, 2012). No
seguimen o des e ques ionamen o, su ge em Sko smose (2012a) a abo dagem, sob a e lexão ace ca
de ambien e de ap endizagem, ao concei o de “ e e ência”, sendo que o ap esen a como a p odução
de signi icado em educação ma emá ica e, na sua pe spe i a, as e e ências incluem o con ex o que
se em de mo i ação às ações. O au o a ança ês ipos de con ex os pa a auxilia na de inição e
cons i uição de um cená io educa i o – o de ma emá ica pu a, o de semi- ealidade e o de ealidade. O
p imei o em a e com ques ões e a i idades ma emá icas cuja e e ência apenas à Ma emá ica diz
espei o
3
. O segundo c i é io é uma es u u a in e média en e a Ma emá ica e a ealidade, a que
Sko smose designa po semi- ealidade. Pa a o au o , es e ipo de e e ência apenas o e ece supo e
aos alunos pa a a esolução de um p oblema, que é ge almen e dado sob a o ma de exe cício,
ex aído do manual escola , em que o único p opósi o é esol ê-lo e a a és do qual é es abelecido um
con a o en e o p o esso e o aluno, embo a de con o nos unila e ais. O con eúdo e a in o mação
con idos no exe cício acabam po se i ele an es e somen e as quan idades enume adas são al o de
a enção, o que acaba po se aduzi numa alsa ealidade, a i icial, eloquen emen e in i ulada po
Sko smose (2007) de um mundo sem imp essões dos sen idos, de uma me a ísica da semi- ealidade
4
.
Exemplo disso são, pa a o au o , ques ões e i adas dos manuais didá icos. O e cei o c i é io p ima
pela ausência de ca ac e ização, e elado da di iculdade, uma ez mais, de de ini a ealidade.
Con udo, o in es igado apon a que, uma ez que nes e ipo de cená io as e e ências são eais, se
o na possí el os alunos p oduzi em signi icados dis in os pa a as a i idades e não somen e os
concei os.
Mas a inal, pelas linhas seguidas, o que en obus ece a ca ac e ização de ealidade? Veleda e
Almeida (2009) apoiam-se em Bicudo pa a disco e ace ca da noção de ealidade, que se e e e a
qua o ma izes da ealidade: obje i a, pe cebida, cons uída e c iada. Es as au o as de inem a ealidade
obje i a como sendo uma ealidade independen e do conhecimen o que emos dela, enquan o a
ealidade pe cebida é es i a à pe ceção de cada obse ado . Es as duas e en es de ealidade
assemelham-se àquilo que ou o a Pla ão sus en ou como Fo mas. Po ou o lado, “as concepções de
3
Num ambien e de ap endizagem que enha po e e ência a ma emá ica pu a é na u al a adoção p a icamen e exclusi a do pa adigma do exe cício.
Como exemplo, Sko smose dá a esolução de uma exp essão numé ica. Se se p e ende in es iga com es e ipo de e e ência ma emá ica, o au o ilus a
com a anslação de igu as geomé icas numa abela de núme os.
4
Sko smose exempli ica a u ilização de exe cícios com e e ência à semi ealidade da seguin e o ma: “Um ei an e A ende maçãs a 0,85 € o kg. Po sua
ez, o ei an e B ende 1,2 kg po 1,00 €. (a) Que ei an e ende mais ba a o? (b) Qual é a di e ença en e os p eços cob ados pelos dois ei an es po 15
kg de maçãs?” (2000, p.8)
32
ealidade cons uída ou ealidade c iada negam a exis ência de uma única ealidade” (Veleda &
Almeida, 2009, p. 1054). Uma ez que a ealidade esul a da cons ução men al indi idual, cada
pessoa concebe a sua p óp ia ealidade. Em que é que a modelação ma emá ica pe mi e, en ão,
ala ga es a conceção?
Encon a-se, em Villa-Ochoa (2015), um es udo com p o esso es sob e o signi icado da
ealidade na modelação ma emá ica escola . O au o in es iga as c enças e pe ceções que os
p o esso es êm ace ca da ealidade e conclui que as di e enças que e elam ace ca das mesmas
condicionam e de e minam as si uações e os p oblemas que ap esen am e que,
a p io i
, impõem
i mos dis in os na implemen ação da modelação como ecu so em sala de aula.
No que diz espei o à abo dagem da ealidade em a i idades de modelação, Veleda e Almeida
(2009) baseiam-se em Neg elli pa a analisa em, numa a i idade, as ealidades que lhe es ão implíci as
e que ap esen am como ealidade inicial e in e mediá ia. A ealidade inicial em con o nos pla onis as e
con igu a-se pelos elemen os que são ex e io es ao sujei o. Po sua ez, a ealidade in e mediá ia é
es abelecida pela seleção dos obje os ap eendidos pelo sujei o, elabo ada com base na elação que é
es u u ada a a és dos elemen os possí eis de se em cap ados. A a és des e es udo, as au o as
concluem que as a i idades de modelação nem semp e es ão p óximas das i ências dos alunos.
Ainda que o modelo ma emá ico ep esen e bem a ealidade inicial, pode não p opo ciona uma ação
dos alunos nessa ealidade.
Maaβ (2010) desen ol eu um esquema de classi icação de a e as po ap oximação à
ealidade. Pa a sus en a o a gumen o de que exis em mui os ipos de a e as elacionadas com a
ealidade e a modelação, a au o a sin e izou um conjun o de ca ac e ís icas com base nas
classi icações já exis en es. Com es e esquema, Maaβ p e ende demons a uma isão ge al dos
di e en es ecu sos das a e as de modelação e o ien a nos p ocessos de seleção das a e as segundo
os g upos al o. Rela i amen e à ca ac e ís ica que in i ula como na u eza da elação com a ealidade, a
au o a classi ica as a e as em cinco ca ego ias: i) au ên ica; ii) p óxima da ealidade; iii) en ol ida de
ealidade; (i ) in encionalmen e a i icial; e ) an asiosa.
Na en a i a de ap imo a es a ca ego ização, Villa-Ochoa e al. (2017) ap esen am uma
classi icação al e na i a com o p opósi o de iden i ica o con ex o que az pa e dos enunciados que
compõem as a e as e nele econhece a e e ência que é ei a à ealidade. Pa a al, os au o es expõem
qua o ca ego ias que, em de alhe, jus i icam quais de i am em subca ego ias e as exempli ica: i)
enunciados e bais; ii) cons ução de ep esen ações; iii) modelação de p oje os; e i ) uso de análise de
modelos. Delas, ale a pena des aca a p imei a ca ego ia que diz espei o àquilo que Villa-Ochoa e al.

33
(2017) chamam enunciados e bais, mas que no pano ama nacional é amplamen e designado po
esolução de p oblemas
5
. Aqui, os in es igado es a gumen am sob e a necessidade de dis ingui o
con ex o dos p oblemas em ealis as e au ên icos. A p imei a subca ego ia e idencia que o ipo de
a e as de ca ác e ealis a pode “e oca aspe os ealis as ou imaginá ios sem necessa iamen e
incula con ex os p óximos da expe iência diá ia do aluno” (Villa-Ochoa e al., 2017, p. 230). Os
au o es salien am que nas pe spe i as p agmá icas e c í icas não se econhecem es es p oblemas
como a e as de modelação, na medida em que a p incipal ên ase é a ibuída ao econhecimen o da
es u u a ma emá ica que es á subjacen e no p oblema. Es e ipo de a e as é elabo ado pelos
p o esso es e a pa icipação do aluno apenas consis e em esol ê-las. No en an o, es as a e as podem
se in eg adas em ambien es que p omo am o diálogo sob e os usos e con ex os da a e a e o
ques ionamen o da si uação implíci a e das condições do con ex o eal. Apesa disso, es as a e as que
se eduzem a p oblema o inei os são, po ezes, o único ecu so que alguns p o esso es u ilizam pa a
exempli ica as conexões da Ma emá ica com a ealidade. Villa-Ochoa e al. (2017) ão mais longe ao
a ança que a esolução de p oblemas é mui as ezes u ilizada como “uma manei a de conse a o
s a us quo
em cu ículos com ca ac e ís icas ígidas e cen ados no desen ol imen o dos con eúdos”
(Villa-Ochoa e al., 2017, p. 232).
A segunda subca ego ia oca-se no papel da au en icidade do con ex o dos p oblemas. O au o
inspi a-se em Bono o (2007) pa a undamen a a impo ância de c ia p oblemas capazes de
es abelece ínculos mais o es en e a Ma emá ica e o conhecimen o ex aescola , e es indo a
cul u a escola de uma mudança com is a à c iação de no as no mas sócioma emá icas. Es es
p oblemas, chamados p oblemas au ên icos, êm di e en es con o nos no diz espei o à au en icidade,
podendo se , po exemplo, de au en icidade de con ex o, de a i idade, de impac o, ou mesmo de
au en en icidade do pessoal ou de alo . Es as ca ac e ís icas dis inguem-se en e si na medida em que
os p oblemas que e le em expe iências dos sujei os incluem-se em au en icidade pessoal. Quando os
esul ados de de e minado p oblema p oduzem um impac o na omada de decisão dos alunos, o
ca ác e de au en icidade é de impac o. Po sua ez, se as a e as ou p oje os espondem, de ce a
o ma, a pe gun as pessoais ou comuni á ias, a au en icidade designa-se de alo .
Os au o es Villa-Ochoa e al. (2017) obse am que, apesa de á ias pe spe i as da modelação
anspa ece em a p eocupação pa a com a elabo ação de a e as que possuam um con ex o au ên ico,
ep oduzindo um con ex o que embo a p óximo da ealidade não se ap oxima de aspe os sociais ou
cul u ais da ida dos alunos, as ca ac e ís icas de au en icidade pessoal, de impac o ou de alo
5
Pa a Ve scha ell, “os p oblemas e bais são ex os nos quais se desc e e uma si uação mais ou menos amilia e se coloca uma pe gun a quan i a i a
que se pode esol e com a ajuda da ma emá ica” (Villa-Ochoa 2017, p.229).
34
eque em p oje os mais p óximos da ealidade dos es udan es, desen ol endo, des a o ma, p ocessos
mais complexos de ap endizagem.
2.4. Implemen ação e dinâmicas em o no da modelação ma emá ica
En e as pesquisas que se êm e e uado em o no da modelação ma emá ica, a sua
implemen ação em con ex o educa i o em-se des acado. Em alguns casos, sob o pon o de is a das
es a égias e dinâmicas que se es abelecem, sob e quais os c i é ios a que o seu ensino de e á
obedece e qual o equilíb io a e em con a en e a o ien ação do p o esso e a independência dos
alunos (Blum, 2015). Nou os, p ocu ando de e a quais as di iculdades e cons angimen os a se
ul apassados.
Po sua ez, o pano ama nacional e le e os a anços e ecuos dados no sen ido de
implemen ação da modelação em con ex o escola . Apesa da modelação ma emá ica se e o nado a
base da es u u a ma emá ica no PISA 2015 e de e sido enquad ada nos cu ículos de sis emas de
ensino um pouco po odo o mundo (Ng & Lee, 2015), nem semp e as e o mas educa i as
po uguesas se aduzi am numa ên ase às p á icas de modelação e a sua inco po ação em sido
sub il.
2.4.1. P ocedimen os, es a égias e desa ios da modelação ma emá ica como ambien e
de ap endizagem
Um dos p ocedimen os que pa ece impo an e des aca em a e com a c iação de uma
cul u a em sala de aula que sus en e as a i idades de modelação. O conhecimen o do p o esso o na-
se, com equência, um dos p incipais desa ios encon ados quando se analisam es udos ealizados
nes e sen ido (Asempapa, 2018; Blum & Fe i, 2009). Is o po que, pa a modela enómenos do mundo
ex e io , é necessá io en ende esses enómenos e, po an o, o conhecimen o do mundo eal é
imp escindí el. Es a ideia le a, po consequência, à necessidade de um ensino mais abe o e, desde
logo, menos p e ísi el. Um ensino que dá a opo unidade ao aluno de exe ce um papel in es iga i o e,
po an o, que omen a a cul u a in es iga i a (Mendonça & Lopes, 2017).
Ou o desa io ealçado po Blum e Fe i (2009) em a e com a exigência cogni i a das a e as
de modelação na medida em que exis e um osso en e os p odu os da in es igação na á ea e a p á ica
educa i a que deixa anspa ece que a modelação é di ícil pa a g ande pa e dos p o esso es, o que
edunda em que os alunos ambém a achem di ícil. Bu kha d (2018) alega que um cu ículo em
35
mudança pede po um p og ama da Ma emá ica a ualizado que inclua aspe os que de ensino, que de
ap endizagem em modelação ma emá ica.
Pa a Blum e Niss (1991), o empo, o espaço e a necessidade do cump imen o in eg al do
p og ama são ba ei as que os p o esso es conside am exis i , no que diz espei o à implemen ação da
modelação. Po sua ez, A aud (2007) de ende que a al a de empo é um e és que em de se
ul apassado e, po an o, acul a mais empo de e á se uma p io idade pa a que a modelação possa
se uma ealidade conc e izá el nas salas de aula de Ma emá ica. Na isão de Jacobini (2004), ainda
que exis am p oje os educacionais, indi iduais, do p o esso ou ins i ucionais que ino am na en a i a
de alo iza em a ação pedagógica, mui as ezes endem a emba e em ques ões elacionadas com a
a aliação. Ou o dos desa ios ponde ados po es e au o em a e com o ac o de “ou po os alunos
es a em habi uados ao “pa adigma do exe cício” ou po en ende em que essa no a dinâmica de
abalho ai exigi deles mui a dedicação e es o ço, nem semp e es ão dispos os a acei a uma no a
dinâmica pedagógica” (Jacobini, 2004, p. 46). Aqui, a espos a pode á es a naquilo a que Sko smose
(2000) chama “con a o didá ico
6
” (p. 85).
Ul apassadas algumas das di iculdades que podem su gi na implemen ação de um ensino
que enha po base a modelação, impo a econhece que es a égias lhe es ão subjacen es. A
dinâmica c iada em como mo e uma sé ie de ações que se desencadeiam, de uma o ma gené ica e
dependendo do ciclo de modelação ado ado, que passam po “p ocu a de in o mação sob e o
enómeno a se es udado, iden i icação e seleção de a iá eis, elabo ação de hipó eses, simpli icação
do p oblema, ob enção e alidação de um modelo ma emá ico” (Fe uzi & Almeida, 2015, p. 379).
Nes e pon o, o que a é aqui exis e de no o po des aca é o papel undamen al das in e ações que se
es abelecem no seio das a i idades de modelação. Um g ande núme o de pesquisas e le e que es as
in e ações são de e minan es pa a a ap endizagem e, po an o, uma das p emissas é, p ecisamen e,
es as a i idades desen ol e em-se em g upo. Es e pon o de pa ida o nece pa a English e al. (2005)
uma opo unidade pa a a colabo ação social e o desen ol imen o de habilidades de comunicação, na
medida em que os alunos podem compa a e discu i concei os, explicações, jus i icações e
ep esen ações ma emá icas. Blum e Fe i (2009) pa ilham des a ideia, mas ão mais longe,
apoiando-se numa máxima mon esso iana
7
pa a jus i ica que a in e enção do p o esso na o ien ação
dos alunos de e se mínima e p opicia a máxima independência dos alunos. Es e equilíb io de e á se
6
Do pon o de is a de Sko smose (2000), um con a o didá ico de ine-se como um equilíb io no ambien e de ap endizagem, aduzindo-se numa ha monia
en e os elemen os do ambien e de ap endizagem como a o ganização das a e as, a es u u a do manual, o desen ol imen o da comunicação
p econizado pelos p incipais a o es: o p o esso e os alunos.
7
“
Ajuda-me a aze po mim”
é conside ada uma das p incipais ases que esume o mé odo pedagógico de Ma ia Mon esso i.
36
guiado a a és de um me aní el de in e enção po pa e do p o esso , que se oque essencialmen e
em in e enções es a égicas de o ien ação, semp e es imulando a maio au onomia do aluno.
Como esul ado das suas in es igações, Blum e Fe i (2009) de endem qua o implicações
pa a o ensino da modelação. A p imei a sus en a que um ensino de modelação de qualidade só pode á
e como base a e as de modelação de ap op iadas e cuja manipulação p emeiem um equilíb io en e
a independência máxima dos alunos e uma o ien ação mínima do p o esso . A segunda implicação em
a e com pe mi i que os alunos u ilizem as suas p óp ias o as de modelação e incen i a a á ias
soluções. Segundo Fe i (2007), uma o a de modelação é um p ocesso de modelação indi idual num
ní el in e no e ex e no, pe co endo as á ias ases do ciclo de modelação. O aluno começa com es e
p ocesso numa ce a ase, de aco do com as suas p e e ências, con inuando po di e en es ases
an as ezes quan as p e ende , ocando-se numa de e minada ase ou igno ando ou as. Uma e cei a
implicação é ela i a ao conhecimen o do p o esso no que diz espei o aos modos de in e enção,
pa icula men e, pedagógicos, es ando subjacen e, uma ez mais, o a o da mínima o ien ação. Po
im, o p o esso de e á domina o mas de le a os alunos a es a égias adequadas pa a esol e em
a e as de modelação, podendo muni -se de uma e amen a ú il como é o ciclo de modelação (Lima &
A aújo, 2021).
2.4.2. Desco ina possí eis bloqueios nas e apas de modelação
A ideia de esmiuça as di iculdades dos alunos não é no a em qualque campo da educação
ma emá ica assim como ambém não o é na ap endizagem da modelação ma emá ica. En e os seus
di ulgado es encon amos em Blum e Fe i (2009) es udos que pe mi em comp eende a o igem de
algumas di iculdades e eladas pelos alunos na ho a de abalha em com a e as de modelação e que
le am di e amen e à complexidade cogni i as dessas a e as. Os au o es elegem ês passos no ciclo
de modelação que u ilizam ( e ciclo de modelação Blum & Leiβ, 2007) pa a analisa di iculdades
especí icas dos alunos. P imei amen e, na ase de cons ução os alunos êm po hábi o abalha com
es a égias cujas soluções são supe iciais, uma ez que podem igno a o con ex o eal e ex ai do
con eúdo dos p oblemas apenas os núme os que pe mi am calcula algo de aco do com um esquema
mais ou menos amilia . Deduz-se que se a a e a exigi que a si uação do p oblema seja
comp eendida, aí esidi ão as di iculdades. Na ase de simpli icação, apesa de os alunos consegui em
cons ui um modelo ap op iado, não conseguem aze conje u as. Po im, o passo da alidação
pa ece se e dadei amen e p eocupan e. Ao não e i ica em se as soluções são azoá eis ou
ap op iadas, cabe ao p o esso se o esponsá el pela co eção das soluções. Po es e mo i o, o
43
mundo eal, no 9.º ano. Nas ações es a égicas co esponden es a es es obje i os especí icos, as AEM
(MEC, 2021) apon am pa a a dinamização de a i idades de modelação de enómenos eais, pela
de e minação de modelos adequados e ealizadas em g upo.
2.4.5. Impo ância das ep esen ações ma emá icas nas conexões ex e nas
A impo ância da ep esen ação na a i idade ma emá ica esul a, segundo Du al (2012), do
momen o em que o aluno é capaz de conjuga e domina dois egis os de ep esen ação pa a um
mesmo obje o e decla a que uma á ica ele an e pa a a comp eensão da Ma emá ica é a dis inção
en e um obje o e a sua ep esen ação. Re o çando es a ideia, pa a Mo e i e Thiel (2012), a a iedade
dos sis emas de ep esen ação é undamen al, pa a além da sua ap endizagem, pa a a cons ução de
no os concei os. Tais a gumen os c iam uma espécie de pa adoxo cogni i o do pensamen o
ma emá ico (Du al, 2012). Po um lado, a u ilização de ep esen ações semió icas pa a a ap eensão
de obje os ma emá icos é essencial, uma ez que a única o ma possí el pa a al que acon eça é
a a és da p odução de ep esen ações semió icas. Po ou o lado, a aquisição de conhecimen os
ma emá icos eque uma cla a di e enciação en e os obje os ma emá icos e suas ep esen ações e,
po an o, não pode se mais do que uma ap eensão conce ual.
Não é de descu a que o NCTM (2017), de ende que o uso de múl iplas ep esen ações,
omen a, nos alunos, a in e io ização e a comp eensão dos concei os ma emá icos. Assim, su gem,
ambém, nas AEM (MEC, 2021) ei indicações no sen ido de desen ol e a capacidade dos alunos
pa a u iliza em ep esen ações múl iplas. Espe a-se, com isso, que os alunos sejam capazes de
exp essa ideias e p ocedimen os ma emá icos a a és de linguagem na u al, simbólica, e bal, com
esquemas e diag amas, com a p esença ou não de ecnologias, ou combinando á ios ipos (Amado,
2022).
2.5. Ação e e lexão: A abo dagem socioc í ica
Se o econhecida a a gumen ação ami icada nas seguin es p emissas: a ap endizagem como
ação e um sujei o c í ico em que se um sujei o que age, en ão de e á acei a -se as ideias-cha e da
eo ia educa i a desen ol ida po Sko smose (2007). Não se á es anho, po isso, que Sko smose
(2007) con aponha ao pa adigma do exe cício ão na u alizado, nas salas de aula, pelo menos, do
mundo ociden al, uma abo dagem in es iga i a que con ibua pa a o en aquecimen o de á ias
au o idades exis en es na aula de ma emá ica adicional: a do monólogo exposi i o do p o esso , a da

44
imposição ex e na dos exe cícios do manual, a da espos a única aos exe cícios. P opõe-se, pois, um
cená io de in es igação que alicie os alunos a pa icipa a i amen e nos seus p ocessos de
ap endizagem, pondo em p á ica um ambien e educa i o que combine ação e e lexão e que, dessa
o ma, a ibua à educação ma emá ica uma dimensão c í ica.
Tomando como e e ência os abalhos de D’Amb osio, de Sko smose e de Gu s ein, es a
dimensão c í ica es abelece-se com base na ca ac e ís ica comum de o na a Ma emá ica numa
linguagem de descons ução social, de aspi a a que a
ma emacia
seja pa a odos. O e mo
ma emacia
su ge associado ao mo imen o ‘Educação Ma emá ica C í ica’ e é c iado po Sko smose (1994),
aduzindo-o como uma compe ência pela qual nos o namos capazes de in e p e a e en ende as
ca ac e ís icas da nossa ealidade social. De igual o ma, Gu s ein (2006) de ende que a Ma emá ica
de e se um meio pa a os alunos ap o unda em a comp eensão dos con ex os sociopolí icos dos quais
azem pa e. A a és do p ocesso de es uda em as suas ealidades – usando a Ma emá ica – os alunos
o alecem a comp eensão conce ual e p ocedimen os ma emá icos. Impo a econhece D’Amb osio
(2009) como o pai da E noma emá ica, um concei o que o mesmo de ine como o econhecimen o de
que as ideias ma emá icas são in ínsecas à na u eza humana e que os p ocessos ma emá icos êm
o igem no ambien e na u al, social e cul u al onde se inse em os indi íduos. Tendo em conside ação o
e e ido a é aqui, des aca-se que a educação ma emá ica c í ica, o mo imen o ensina pa a a jus iça
social e a E noma emá ica êm em comum es abelece em-se sob e uma pedagogia c í ica, se em
eo ias cons uídas nas cul u as e expe iências e na en a i a de en ol e os alunos pa a usa a
Ma emá ica pa a pensa e agi sob e o mundo.
Na mesma linha dos au o es e e idos, Ba bosa (2009) undamen a as jus i icações da
pe spe i a socioc í ica da modelação ma emá ica, começando po elemb a a implicação da
Ma emá ica na ida quo idiana das pessoas e, com es a p emissa, desenha uma aje ó ia que conduz
a um exe cício pleno de cidadania, em que a p á ica de in e enção social passe pelo domínio de
habilidades e a gumen os ma emá icos que sejam necessá ios. Mais di e amen e in luenciado pela
educação ma emá ica c í ica, es e au o e o ça a ideia da necessidade de educa c i icamen e po
meio da Ma emá ica e p omo e o pensamen o c í ico a a és da aplicação da Ma emá ica em
si uações eais e não ic ícias.
Nes e mesmo p isma, e na senda de Sko smose (1994), A aújo (2009) sus en a que o uso dos
modelos ma emá icos na sociedade con ibui à comp eensão da Ma emá ica como uma linguagem de
pode , p opo cionando a o mação de cidadãos c í icos, au ónomos e pa icipa i os. A aújo (2009)
ale a pa a o ac o de pode mos es a a con ibui pa a a manu enção de uma sociedade injus a se
45
abalha mos com a modelação ma emá ica e “não discu i mos ques ões como o uso da ma emá ica
na sociedade, a ideologia da ce eza e o pode o ma ado na Ma emá ica” (p. 64). Daí que a au o a
de enda uma abo dagem da modelação ma emá ica que á mais além do que apenas o nece
ins umen os ma emá icos ou da exemplos das aplicações da ma emá ica na ealidade, mas sim uma
modelação que aça os alunos e le i sob e a p esença da Ma emá ica na sociedade e que eajam
c i icamen e em si uações que a Ma emá ica ambém ajude a cons ui . Não se pode nega es a
pe an e uma pe spe i a de modelação que se assume com p opósi os educacionais. É indiscu í el que
a sua in es igação caminha nesse sen ido, conjugando aspe os comuns ao conhecimen o e lexi o,
pensamen o c í ico e modelação. Des a iangulação de i a uma das de inições de modelação como
ambien e de ap endizagem, esul ando num “ambien e de ap endizagem no qual os alunos são
con idados a indaga em e in es iga em, a a és da Ma emá ica, si uações com e e ência à ealidade”
(Ba bosa, 2003, p. 230). O ey e Rosa (2007) pa em de duas ques ões pa a undamen a em o uso da
dimensão socioc í ica na abo dagem da modelação ma emá ica: i) “qual é o papel das escolas na
p omoção da e iciência socioc í ica dos alunos? ii) Como as p á icas pedagógicas a ualmen e usadas
no p ocesso de ensino e ap endizagem de ma emá ica a e am a e iciência socioc í ica dos alunos?” (p.
197).
Ba bosa (2009) jus i ica o papel c í ico da Ma emá ica no sen ido de que ela pode se usada de
di e sas manei as em que uma das mais isí eis é usa os esul ados ma emá icos pa a undamen a
conceções na sociedade. Daí que Ba bosa (2009) ap o ei e pa a escla ece a g ande di e ença, sob a
pe spe i a socioc í ica, ace ca das si uações que se em de base pa a exempli ica a aplicação da
Ma emá ica, em sala de aula. Es as si uações não de e ão se me as ans e ências do p oblema pa a
si uações do quo idiano, mas opo unidades que os alunos enham de en ol e em-se e e le i em sob e
si uações que, de ac o, acon ece am ou acon ecem na sociedade (Ba bosa, 2009). A é po que, como
ad oga Jacobini (2004), exis e uma maio p obabilidade de os p ocedimen os ma emá icos passa em a
se is os pelos alunos como algo ú il e p esen e no seu dia a dia se as si uações azidas pa a a aula
es i e em elacionadas com ques ões do in e esse da comunidade local ou da sociedade e aze em
pa e daquilo a que o au o compa a com o “mundo da ida” (p. 41). A sala de aula é assumida “um
espaço democ á ico, onde o diálogo, no sen ido de ação dialógica, é a o ma de comunicação en e os
pa icipan es” (Jacobini & Wodwo zki, 2006, p. 73).
Posicionando-se num sen ido opos o à u ilização de es ágios no ma i os pa a en ende as
ansições dos alunos no p ocesso de modelação, Ba bosa (2006) de ende que as cognições dos
alunos de e ão se an es analisadas sob o pon o de is a das condições da sua p odução, bem como a
46
possibilidade de cons i ui p á icas socioc í icas. Nes e sen ido, Ba bosa (2006) econhece o discu so
dos alunos como uma o ma de comp eende os aspe os cogni i os no p ocesso de modelação. Pa a
undamen a es a posição, o au o apoia-se na de inição de discu so como um odo, incluindo odos os
ipos de linguagem, sinais, ges os, pa indo de uma pe spe i a discu si a cul u al que e o ça que o
discu so cons i ui consciência e que é insepa á el da cognição. Pa a esse im, Ba bosa (2006)
ca ego iza os ipos de discussão: ma emá icas, e e em-se às ideias pe encen es ao campo da
ma emá ica pu a; ecnológicas, dizem espei o às écnicas de cons ução do modelo ma emá ico; e
e lexi as, e e em-se, pa a além da na u eza do modelo ma emá ico, aos c i é ios usados na sua
cons ução e às suas consequências.
A espaços de in e ação, Ba bosa (2006) cla i ica como os momen os em que alunos e
p o esso es in e agem e balmen e sob e uma a i idade de modelação, em que pa a além das
in o mações ace ca do que os alunos dizem, ambém se podem e i a in o mações sob e a pe spe i a
que usam e os signi icados que lhes a ibuem. Consequen emen e, Ba bosa (2006) sublinha que exis e
uma dinâmica co elacional pa a ep esen a as ansições que podem oco e com as ques ões
le an adas nas discussões. O peso dado a cada um dos ipos de discussão depende da pe spe i a do
p o esso . Pa a Ba bosa (2006), “na escola p agmá ica do pensamen o, as discussões ecnológicas
são p i ilegiadas; as discussões ma emá icas êm p io idade de uma pe spe i a cien í ica; e de aco do
com uma escola de pensamen o socioc í ico, o in e esse es á nas discussões e lexi as” (p. 6).
Ainda em Ba bosa (2008) encon amos a noção de o as de modelação pa a delinea os
discu sos p oduzidos com uma unção cla a de cons ui uma ep esen ação ma emá ica pa a a
si uação p oblema em es udo. No seguimen o, o au o pe sc u a ace ca de um ipo de discussões a
que chama discussões pa alelas e as quais de ine pelo seu con á io, sus en ando que são aquelas que
não são nem écnicas, nem ma emá icas, nem e lexi as. Es as discussões acon ecem nos espaços de
in e ação, no en an o, oco em pa alelamen e às o as de modelação. A sua impo ância eside no
ac o de se elaciona em com a con ex o social e cul u al e in luencia em, de ce a o ma, “o modo
como os alunos concebem a si uação p oblema, o e mo “pa alela” pa a es e ipo de discussão não
signi ica disjunção em elação às o as de modelação, mas apenas de ine um ipo de discussão a qual
é di e en e delas” (p. 56). Figu a em Jacobini (2004) uma enume ação de si uações que o au o
conside a pode em e a a aquilo a que Sko smose (2000) in i ula ambien e de ap endizagem com
e e ência à ealidade e que aqui já oi ilus ado. En e elas,
“ques ões elacionadas com as ele adas axas de desemp ego, a exis ência de
di e sos índices de a iação de p eço e suas composições, as medições da
47
popula idade do P esiden e da República ou de uma polí ica que es á sendo
implemen ada, a ma emá ica da ua ou a ma emá ica p esen e no dia-a-dia do
abalho”. (p. 42)
Po sua ez, O ey e Rosa (2007) conside am que exis em, pelo menos, ês p á icas
pedagógicas dis in as de modelação ma emá ica que podem se u ilizadas no cu ículo escola . No
p imei o caso expos o, po O ey e Rosa, e, no malmen e, aquele que su ge como um p imei o passo
pa a a in eg ação de a i idades de modelação, os p o esso es selecionam um p oblema ou uma
si uação, de aco do com o cu ículo a se desen ol ido, e desc e em-na aos alunos. Além disso,
ambém o necem aos alunos as e amen as ma emá icas pa a a elabo ação dos modelos. No
segundo caso ap esen ado pelos au o es, os p o esso es suge em e elabo am uma si uação inicial,
mas são os alunos que in es igam o p oblema, eúnem os dados e o mulam hipó eses. Assim, são os
alunos os esponsá eis po conduzi as a i idades pa a desen ol e o p ocesso de modelação. Naquilo
a que O ey e Rosa (2007) posicionam como caso ês, os p o esso es apenas acili am, o ien am e
mo i am as a i idades de modelação. Cabe aos alunos escolhe em os emas e desen ol e em p oje os
nos quais sejam os esponsá eis po odas as e apas do p ocesso de modelação, p essupondo um
en ol imen o socioc í ico. Em qualque um des es casos, os au o es des acam que o mais impo an e
é a análise c í ica dos esul ados ob idos e que é a mesma que de e se incen i ada e desen ol ida. Os
au o es sin e izam que o uso da modelação ma emá ica socioc í ica desen ol e as habilidades c í icas,
que de p o esso es, que de alunos, que pe mi em in e p e a dados, o ma e es a hipó eses e
e i ica a e icácia dos modelos ma emá icos.
Rosa e O ey (2015) ão mais longe e p opõem um ciclo de modelação ma emá ica de aco do
com a pe spe i a socioc í ica (Figu a 6), posicionando a Ma emá ica numa ó ica dinâmica e
humanizada. Segundo os au o es, uma o ma e icaz de in eg a a modelação é expo aos alunos uma
a iedade de p oblemas ou emas p o enien es da ealidade. Es as si uações êm aízes cul u ais,
económicas, polí icas, ambien ais e sociais que se mis u am e in e elacionam, azendo uma pon e
com o modo como os alunos as in e p e am. A conjugação das p óp ias expe iências dos alunos
(Indi idualidade) combinadas com a e lexão c í ica sob e essas expe iências (E iciência socioc í ica)
“podem ajudá-los a iden i ica p oblemas comuns e desen ol e cole i amen e es a égias pa a esol ê-
los” (Rosa, 2015, p. 234).
48
Figu a 6
Ciclo de Modelação segundo a abo dagem socioc í ica de Rosa e O ey (2015)
Como esul ado, e po meio de ações como aze hipó eses, es á-las, co igi-las, gene aliza ,
analisa , conclui e oma decisões sob e o obje o em es udo, o uso da modelação ma emá ica pode
se uma abo dagem pedagógica ans o mado a que em como ca ac e ís ica undamen al a “ên ase
na análise c í ica dos alunos sob e as es u u as de pode da sociedade” (Rosa & O ey, 2007, p. 198).
Pa a ence a os con ibu os, eco e-se a Sil a e Ka o (2012) e às suas p opos as pa a a
iden i icação de um conjun o de elemen os que ca ac e izam uma a i idade de modelação ma emá ica
na pe spe i a socioc í ica, às quais as au o as chegam à conclusão após analisa em e e enciais
eó icos publicados sob e o ema. En e elas, de inem um conjun o de qua o ca ego ias, como
p emissa i e ogá el pa a que uma a i idade de modelação possa se enquad ada à luz da pe spe i a
socioc í ica. A es as ca ac e ís icas, Sil a e Ka o (2012) designam ‘Ca ac e ís icas da Pe spe i a
Socioc í ica da Modelação Ma emá ica’. A p imei a ca ac e ís ica cons i ui um dos p incipais elemen os
no desen ol imen o de qualque a i idade de modelação, dado que elaciona o aluno e a sua
pa icipação a i a na cons ução do modelo. As in es igado as sin e izam que, pa a a elabo ação do
modelo ma emá ico, é impo an e que os alunos discu am ideias e con on em opiniões, daí a
ele ância que do abalho em g upo, que da escolha de um p oblema inicial que seja do in e esse de
odo o g upo, pa a que odos se sin am en ol idos nas p oblema izações e discussões. Só az sen ido,
sob a pe spe i a socioc í ica, as a i idades de modelação desen ol e em-se num espaço em que se
pa icipe igualmen e pa a que seja possí el que os alunos “obse em como a Ma emá ica e o modelo
ma emá ico cons uído podem se i pa a analisa e oma decisões sob e de e minado p oblema” (p.
830). Ou o elemen o que se inse e nas ca ego ias de análise é a pa icipação a i a do aluno na

49
sociedade. Segundo as au o as, é expe á el que as a i idades desen ol idas, a a és das soluções
encon adas, sejam in e p e adas no con ex o social que se lhes equipa a, o que pode le a a mudança
de a i udes ou, e en ualmen e, a omadas de posição na sociedade. Em úl ima ins ância, exemplos
disso são ações comuni á ias e, po an o, a comunidade su ge como uma ex ensão do espaço
democ á ico da sala de aula. A e cei a ca ego ia em, po sua ez, elação com a escolha do p oblema
não ma emá ico da ealidade, o que p essupõe que os alunos selecionem p oblemas sob e os quais
enham in e esse e que, desde logo, sejam eais. Es e pon o de pa ida conside a “a cul u a do g upo e
ambém da comunidade à qual pe encem, o que en ol e, igualmen e, os conhecimen os que já
possuem (ma emá icos ou não)” (Sil a & Ka o, 2012, p. 831). Po sua ez, ao e em con a a cul u a
dos alunos, é p eciso e noção que al ac o in luencia á as suas in e p e ações dos modelos
ma emá icos ob idos. Po úl imo, não é descu ado a a uação do p o esso como mediado . A ele cabe
se o elemen o p opiciado das ações a desen ol e nomeadamen e ao es imula o abalho em
conjun o e omen ando a exposição de a gumen os, o nando a sala de aula um espaço democ á ico
pa a além de auxilia a escolha do p oblema endo po base o conhecimen o da cul u a dos seus
alunos. O seu papel, numa dimensão c í ica, consis e ainda em enco aja os alunos a es abelece em
uma pon e en e a sala de aula e a sociedade.
2.6. Sín ese do capí ulo
In eg a a modelação ma emá ica como um ambien e de ap endizagem pa a in e se a o
ensino da Ma emá ica com a ealidade é uma p oposição álida pa a quem, sob uma pe spe i a
socioc í ica, p e ende o na as salas de aula de Ma emá ica em luga es democ á icos, incen i ando os
alunos a usa em a Ma emá ica pa a pensa e agi sob e o mundo. Nes e sen ido, undamen ou-se,
eo icamen e, ao p ecisa e minologia e desen ol e concei os in insecamen e conec ados ao longo
de odo o p ocesso de modelação. O concei o de modelo ma emá ico em es ado p esen e em mui as
das á eas onde a Ma emá ica é p eponde an e, p incipalmen e pa a a esolução de p oblemas. O seu
signi icado assume-se como uma desc ição ou ep esen ação de uma si uação do mundo eal, po
meio de ep esen ações cuja combinação co esponde ao p ocesso de modelação. Reconhecendo que
o concei o de ealidade é imp eciso, ap esen ou-se necessá io disco e , um pouco, sob e a
in es igação e e uada no campo da educação ma emá ica. Assim, o mundo eal é designado,
equen emen e, po domínio ex a-ma emá ico e a Ma emá ica é u ilizada pa a aduzi en idades do
domínio ex a-ma emá ico pa a en idades do domínio ma emá ico co esponden e, um p ocedimen o
conhecido como ma ema ização. Pa a alida esse p ocedimen o e ob e conclusões, é necessá io
50
ans e i as en idades de ol a ao domínio ex a-ma emá ico, num p ocesso denominado po ciclo de
modelação. Uma ez que a adução da ealidade em modelos ma emá icos é subje i a, dependendo
de a o es como o conhecimen o, pe ceções, in enções ou in e esses do sujei o que di ige esse
p ocesso, á ios au o es con inuam, ao longo de décadas, a p opo ciclos de modelação que
e idenciam ases ou e apas, que comp eendem de uma o ma global as seguin es e apas cogni i as:
comp eensão da a e a, simpli icação/es u u ação, ma ema ização, abalhando ma ema icamen e,
in e p e ação, alidação e, po úl imo, ap esen ação dos esul ados (Blum & Leiβ, 2007; Fe i, 2006).
As abo dagens e pe spe i as da modelação ma emá ica mul iplicam-se, o nando e iden e a
aplicabilidade da modelação ma emá ica que em con ex o cien í ico, que educa i o. A
ans e salidade da sua aplicação in e e-se po se uma es a égia que possibili a a comp eensão de
um concei o ma emá ico a a és das po encialidades do seu con ex o.
Quan o às inalidades da modelação como p á ica educa i a, conec ou-se o seu ensino ao
papel do p o esso , bem como se p e endeu deixa cla o a impo ância de usa o con ex o do mundo
eal nas a e as de modelação, de o ma a le a os alunos a in e p e a em o seu mundo. Pa a al,
o am e a adas es a égias e dinâmicas de implemen ação da modelação como ambien e de
ap endizagem, como sendo o posicionamen o do p o esso ace ao g au de en ol imen o do aluno e
consoan e cada uma das e apas do p ocesso (Ba bosa, 2001), num equilíb io que pe mi a que a
in e enção mínima do p o esso na o ien ação dos alunos (Blum, 2015). Po sua ez, as a e as de
modelação p opo cionam aos alunos inúme os bene ícios como uma ap endizagem signi ica i a, ajudá-
los a melho comp eende em o mundo (Blum, 2015), assim como a en ende em a aplicação da
Ma emá ica no mundo (Galb ai h & S illman, 2006), pa a e e i alguns. Em elação à au en icidade
das a e as, as mesmas de e ão e ca ac e ís icas de au en icidade pessoal, de impac o ou de alo ,
que sejam p óximas da ealidade dos alunos, omen ando, assim, p ocessos mais complexos de
ap endizagem (Villa-Ochoa, 2017). Ao longo des e capí ulo o am, ambém, analisados os bloqueios e
as di iculdades com que os alunos se podem depa a na esolução de a e as de modelação,
deduzindo que apesa de exis i em ases mais desa ian es como a ase de cons ução, a ase de
simpli icação e a ase de alidação (Blum & Fe i, 2009), os bloqueios podem oco e quando alguma
das a i idades i e que se ealizada (S illman e al., 2007). A conjugação das unções e da modelação
ma emá ica em á ias po encialidades pa a os alunos, azendo essal a a dualidade de desen ol e a
sensibilidade pa a en ende o uso de unções como modelos ma emá icos de si uações do mundo eal
(ME, 2001).
51
Po im, eme ge a pe spe i a socioc í ica associada ao pa ação/ e lexão. De o ma esumida,
com es a abo dagem a sala de aula é con igu ada pa a se um luga democ á ico, um espaço de
in e ação, de onde eme ge a ação dialógica, u o das discussões e lexi as o iginadas pelos alunos
(A aújo, 2009; Ba bosa, 2001).
52
CAPÍTULO 3
UMA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA PARA A JUSTIÇA SOCIAL
É p essupos o da p esen e in es igação que a adoção de uma educação ma emá ica (EM)
den o de uma p á ica educa i a que alo ize a jus iça social, p opo ciona aos alunos um meio pa a
desen ol e em ap idões pa a a in e p e ação da ealidade social, a enuando, simul aneamen e, a
pe pe uação na iden i icação da disciplina de Ma emá ica como um a o de e minan e de insucesso e
exclusão escola . O p opósi o do p esen e capí ulo é undamen a es a in encionalidade, es ando, pa a
isso, di idido em oi o secções, inalizando com uma sín ese. As ês p imei as secções pa em do
ques ionamen o de onde se si ua, hoje, a escola enquan o ins i uição, qual é o luga dos p o esso es e
o espaço deixado aos alunos. A espos a con a-hegemónica pa ece indicia uma necessidade de
adicalização axiológica e, po esse mo i o, segue-se a análise da plu alidade do concei o de jus iça
com a in enção de o aplica à educação. Assim, na qua a secção é ap esen ado o impe a i o é ico da
educação ma emá ica, pela que, na quin a pa e, se e idencia o pode emancipa ó io da mesma. Nes a
senda, a e iguam-se as po encialidades de uma educação ma emá ica pa a a jus iça social e pe sc u a-
se a sua p esença no ma i a, a ní el nacional. Po im, in e se a-se a educação ma emá ica pa a a
jus iça social e a modelação ma emá ica c í ica, azendo eme gi as po encialidades de ambas no
sen ido de mi igação e comba e às injus iças es u u ais.
3.1. A Escola como an ecâma a do mundo
14
: Um caminho pa a uma libe dade
emancipado a ou uma máquina ins i ucional de con olo?
A educação is a enquan o p ocesso global e pe manen e é, hoje, uma ealidade indubi á el
embo a uncione como um pêndulo di ícil de equilib a . Po um lado, ainda que seja equen e
encon a a ideia de uma educação global um pouco po oda a His ó ia, p incipalmen e conec ada
com o humanismo, ambém é epe ida a o ma como as es es ins i ucionalizadas des espei am a
iqueza das possibilidades humanas, eduzindo-as a uma única dimensão – a in elec ual, sob o aspe o
cogni i o (Mon ei o, 2017). Ao o na -se a escola uma ins i uição o e e p i ilegiada, c iou-se a
endência de iden i ica
educação
com
educação escola
. Numa e en e opos a, encon a-se obsole a
a ideia de educação como me a ansmissão de conhecimen os, endo indo, cada ez mais, a se
14
A end , H. A C ise na Educação
in
Pombo, O. (2000) Qua o ex os excên icos
59
Bowles e He be Gin is publica am
Schooling in Capi alis Ame ica
24
. In luenciada pela Escola de
F ank u e pelo concei o de eo ia c í ica po ela c iado, é ambém emoldu ada pelos seus
p oceden es
25
, como Jü gen Habe mas
26
ou Paulo F ei e
27
. A Escola de F ank u oi undada em 1922,
associada à Uni e sidade de F ank u , com o in ui o de eo iza ace ca dos mo imen os ope á ios na
Eu opa e endo como p incipais impulsionado es Max Ho kheime , Theodo Ado no, He be Ma cuse
(pa a e e i os p incipais). Es e úl imo au o e a um ilóso o alemão que assinalou a exis ência de um
massi o endou inamen o ideológico, p a icado nas sociedades a ançadas, que az com que o
indi íduo ique o a de jogo pa a decidi o seu des ino (Ma cuse, 2012). Tendo em is a que o oco da
eo ia C í ica é descons ui as elações de pode , a hegemonia e o
s a us quo,
é comp eensí el que,
pa a McLa en (2015), a pedagogia c í ica seja desmis i icado a, e, com a qual, os sis emas de sinais
dominan es são econhecidos e desna u alizados, o sen ido comum é his o iado e o signi icado é
en endido como uma p á ica polí ica e esponsá el dian e dos dilemas sociais. Reconhecendo a
na u eza dialé ica da Teo ia C í ica, McLa en (2015) desa ia o in es igado educacional a e a escola
pa a além de “uma a ena de endou inação ou socialização ou um local de ins ução, mas ambém
como um e eno cul u al que p omo a o empode amen o do aluno e a au o ans o mação” (p. 194).
Com F ei e (2018a), su ge o e mo
conscien ização
, o qual implica que que seja ul apassada
a es e a espon ânea de ap eensão da ealidade, pa a se chega a uma es e a c í ica na qual “a
ealidade se ap esen a como obje o cognoscí el e na qual o homem assume uma posição
epis emológica” (p. 26). Es a posição associa-se a uma consciência his ó ica, pe mi indo que se
desen ol a um no o ipo de conhecimen o que enha em con a a dialé ica das elações en e a cul u a
dominan e e a dominada (Gi oux, 2023).
F ei e (2010) insis e na necessidade de uma pe manen e a i ude c í ica com is a à supe ação
de uma a i ude de me a acomodação e como única ia de ap eensão de emas e a e as da sua época.
O concei o de
p axis,
nos abalhos de F ei e, p essupõe dois a o es: a adicalização
28
e o diálogo,
numa linha em que subme e semp e a ação à e lexão. E é nes a conjugação que eme ge a
consciência c í ica. Pelo con á io, qualque on e de dominação em da ação an idialógica (F ei e,
2018b) e an icomunica i a, a é po que somen e a p axis e olucioná ia se pode opo à p axis das eli es
24
Em
Schooling in Capi alism Ame ica: Educa ional Re o m and he Con adic ions o Economics Li e (1976)
, os au o es analisam as injus iças polí icas e
económicas p esen es na educação, in eg ando-se no que i ia, mais a de, a se designado po
eo ias da ep odução social e cul u al
.
25
Também Pie e Bou dieu e Jean-Claude Passe on (au o es de A Rep odução, 1977) ou Louis Al husse (1970) cimen a am a abo dagem eó ica da
Pedagogia C í ica.
26
Habe mas começou po conec a emancipação a uma c í ica ao posi i ismo da pesquisa em ciências sociais e à necessidade de as ciências sociais se
basea em na p ocu a e in e esse pela emancipação.
27
A ob a de Paulo F ei e,
Pedagogia do Op imido
(2018b), é conside ada uma ob a seminal da Pedagogia C í ica. “Ninguém libe a ninguém, ninguém se
libe a sozinho, os Homens libe am-se em comunhão” (p. 29) é uma das máximas p esen es nes a ob a e que ma ca oda a eo ia educa i a de F ei e.
28
Pa a F ei e (2003), a adicalização é posi i a, “po que p eponde an emen e c í ica (…) o homem adical na sua opção, não nega o ou o de op a . Não
p e ende impo a sua opção. Dialoga sob e ela” (p. 50).

60
dominado as que em como cons i uin es a “manipulação, a
sloganização
, o depósi o, a condução, a
p esc ição” (p. 71). Ao analisa a elação de educado e educando, sob a pe spe i a ei eana, depa a-
se com um concei o a que au o denomina po educação bancá ia. Es a elação é endencialmen e
na ado a, implicando um sujei o que na a e um ou in e es á ico, o nando-a, em po ência, es aziada
de ealidade, uma ez que o seu p incipal mo e é o depósi o desen eado de con eúdos. Es e ca ác e
deposi á io alo iza a memo ização mecânica dos con eúdos po pa e dos educandos, a que au o
ca ac e iza como “uma na ação que os ans o ma em asilhas, em ecipien es a se em enchidos pelo
educado ”. O au o concluiu en ão que “uma educação o na-se um a o de deposi a , em que os
educandos são os deposi á ios e o educado o deposi an e” (F ei e, 2018b, p. 33). Es a isão bancá ia
da educação aca e a em si mesma uma p á ica de dominação. Re es indo o sabe como uma doação
dos “que se julgam sábios aos que julgam nada sabe ” (p. 33), ins umen aliza-se como uma ideologia
da op essão. Como o ça an agónica a uma educação bancá ia, F ei e (2018b) ap esen a uma
educação p oblema izado a que enha aiz no diálogo e que si a à libe ação, onde não haja luga à
neu alidade e à apa ia e es ando bem segu os de que não exis e, em nenhum caso, ans o mação
sem ação.
Po sua ez, encon a-se uma as a abo dagem li e á ia, ilosó ica ou sociológica ela i amen e
à adoção de uma pos u a neu a em si uações c í icas (no sen ido de p essupo em ação). Nos seu
ensaio, Pensamen os e Conside ações Mo ais
29
, A end (2007) exempli ica-o a i mando que “a is e
e dade é que os maio es males são p a icados po pessoas que nunca se decidi am pelo bem ou pelo
mal” (p. 247). A ase de Zinn (2018) que dá í ulo a uma ob a de memó ias do his o iado e a i is a
ame icano “não podes se neu o num comboio em mo imen o”, anspo ada à educação, suge e que
a neu alidade não é uma opção, ou se é esis en e ou se é complacen e, e que a po encialidade
educa i a é, p ecisamen e, a ação. Na pe spe i a de F ei e (2010), “não há nem jamais hou e p á ica
educa i a em espaço- empo nenhum de al manei a neu a, comp ome ida apenas com ideias
p eponde an emen e abs a as e in ocá eis” (p. 78). Na es ei a des e pensamen o, Gi oux (2024a)
assegu a que as escolas não são locais neu os uma ez que inco po am dispu as o a de o mas de
au o idade o a de egulação mo al ou de ipos de conhecimen o. Daí que, se os p o esso es não
quise em se lançados do comboio em mo imen o, u ilizando o igu a i o de Zinn, não pode ão se
neu os. Subjacen e a es e p incípio o au o suge e que os p o esso es se a i mem como in elec uais
ans o mado es, p ocu ando, des a o ma, “ o na o pedagógico mais polí ico e o polí ico mais
pedagógico” (Gi oux, 2024a, p. 163), bem como esume es a úl ima implicação, ecomendando que
29
Es e ensaio az pa e da ob a de A end (2007)
Responsabilidade e Julgamen o
.
61
os p o esso es assumam a “necessidade de da aos es udan es oz a i a nas suas expe iências de
ap endizagem” (p. 163).
Cabe en ão ques iona , como e es i a educação com elemen o c í ico, elemen o es e ge ado
de ação? McLa en (2018) esponde, em om axiomá ico, econhecendo que, em p imei o luga , as
pedagogias de em assumi -se po encialmen e de c i icismo social e cul u al. Ac escen a-se a es e, que
odo o conhecimen o é es abelecido po elações linguís icas que são, na sua essência, cons i uídas
his ó ica e socialmen e. Além disso, odos os indi íduos es ão “sinc onamen e elacionados com a
sociedade em ge al a a és de elações de mediação ( amília, amigos, eligião, ensino o mal, cul u a
popula )” (p. 268), assim como é de sublinha que os ac os sociais nunca se podem dissocia dos
alo es dominan es nem sepa a das o mas ideológicas de p odução. É de elemb a que, pa a a
Teo ia C í ica, o pode é is o como “pa icipan e das elações en e as pessoas que es ão
di e enciadamen e capaci adas pa a a ua em i ude das opo unidades disponí eis em unção da sua
aça, e nia, classe, géne o e o ien ação sexual” (p. 269).
De modo lacónico, a pedagogia c í ica dá con a dos con ex os sociais, cul u ais e polí icos,
mas, essencialmen e, en a analisa e ambém deses abiliza essas mesmas con igu ações sociais. É
decisi o pa a a ação que os p o esso es e es udan es explo em a “ elação das suas p óp ias
expe iências quo idianas, as suas p á icas pedagógicas de sala de aula, os conhecimen os que
p oduzem, e as disposições sociais, cul u ais e económicas da o dem social em ge al” (McLa en,
2018, p. 270). Es e posicionamen o c í ico implica uma o ma de ap endizagem que omen a nos
alunos pode e con olo sob e a p óp ia ap endizagem, desma ginalizando-se, des a o ma, da
ap op iação do sabe (Es ê ão, 2012).
Se bem que a Pedagogia C í ica não o e ece ecei as milag osas, ambém é e dade que se
assume como uma p á ica da c í ica bem como uma c í ica da p á ica hegemónica (McLa en, 2018).
Um dos exemplos é a e e ência ao cu ículo ocul o (Apple, 2018; Gi oux, 2004), a a és do qual es á
implíci o um conjun o de no mas, alo es e c enças não decla ados que são ansmi idos aos alunos,
“adqui idos median e a pa icipação nos á ios p ocessos e in e ações que oco em nas o ganizações
educa i as” (Es ê ão, 2012, p. 102). Do pon o de is a de Gi oux (2004), o cu ículo ocul o é en endido
como uma e amen a pedagógica p on a pa a a i a uma pedagogia c í ica. Ainda que econheça a
exis ência de isões adicionalis as, libe ais e adicais
30
des e concei o, o au o analisa-as pa a ele
30
Segundo Gi oux (2004), o cu ículo ocul o, sob o enquad amen o adicionalis a, é ido como uma ep odução da es abilidade e coesão da sociedade
global aplicada ao sis ema de escola ização. Po sua ez, com o en oque libe al, é deixado de lado o es udo das es u u as sociais e apenas se analisa a
o ma de p odução e negociação dos signi icados oco idos em sala de aula. Po im, desde a pe spe i a adical, a p eocupação eside nas es u u as
sociais e na cons ução dos signi icados com is a à comp eensão do uncionamen o do “p ocesso de escola ização pa a ep oduzi e sus en a as
elações de dominação, explo ação e desigualdade en e as classes” (p. 83).
62
p óp io ap esen a uma econcep ualização de cu ículo ocul o, de endendo, em p imei o luga , que
es a noção e á de ocupa um luga cen al no desen ol imen o da eo ia cu icula . Nes e con ex o,
que a eo ia, que a p á ica cu icula e ão de in eg a na sua p oblemá ica uma noção de c í ica,
necessá ia ao ques ionamen o dos p essupos os no ma i os que es ão subjacen es na sua lógica e no
seu discu so. Gi oux (2004) en ende que o cu ículo ocul o de e á se usado não só pa a analisa as
elações sociais de sala de aula, mas ambém os “silêncios es u u ais e as mensagens ideológicas
que dão o ma e con eúdo ao conhecimen o da escola” (p. 89). É impo an e que uma ede inição de
cu ículo ocul o se associe a uma noção de libe ação, en aizada nos alo es de dignidade pessoal e de
jus iça social. A sua essência se ia es abelecida man endo o oco não só na ep odução como ambém
na ans o mação. Po im, na p opos a de Gi oux (2014), é impe a i o que se incluam nes a eo ia
abo dagens à consciência e ação humanas, bem como o mas de análise que explo em a o ma como
se conjugam.
Po es es aspe os, a pedagogia c í ica indica um caminho que se di eciona, undamen almen e,
num p ocesso ans o mado da educação, que guie na “cons ução de uma lu a emancipado a
an icapi alis a, an i acis a, an i-sexis a e p ó-democ á ica, ou seja, de endendo a jus iça social”
(McLa en, 2018, p. 54). Nes as ci cuns âncias, é, pois, de assinala que o a o pedagógico mais
impo an e, pa ilhado pela eo ia c í ica e pela pedagogia c í ica, é o de le a os educandos a si ua em-
se, a i amen e, no con ex o sociopolí ico, como agen es de uma
p axis
ans o mado a do discu so de
ep odução das es u u as de pode desde o cu ículo (Cáno as, 2014). Con udo, apesa da pedagogia
c í ica da pis as e es abelece á ios sen idos, a ques ão adical con inua no ce ne: que papel ou o ga
a educação na cons ução de uma sociedade mais jus a? Po sua ez, ambém é álido o seu
ecíp oco: qual o luga da jus iça na educação? Des es ques ionamen os eme ge uma elação explíci a
en e o concei o de jus iça social e pedagogia c í ica que é ine i á el in es iga .
3.2. Plu alidade do concei o de jus iça
O ca ác e ugaz, algo le iano, a que, mui as ezes, é ei a e e ência à exp essão
jus iça social
le a a uma pe da do seu sen ido o iginal, con e endo-se em pala as que de an o se em manuseadas
já nem se sabe o que signi icam (Mu illo & He nández-Cas illa, 2014). Não só po esse mo i o, o na-se
di ícil ap esen a uma de inição que aba que uma essência de aiz his ó ica cla a, que aduza o seu
eal obje i o con empo âneo.
Embo a o concei o de jus iça es eja embebido numa adição ilosó ica, pelo menos desde o
empo de A is ó eles, sendo sob e udo na á ea da iloso ia polí ica e mo al que encon ou o seu luga
63
de des aque, a o ça do seu pa adigma ab ange âmbi os de pesquisa que ão desde eo ia ju ídica e
económica, psicologia, ciência polí ica ou é ica médica, pa a e e i alguns exemplos. Po ém, o ac o de
mui os se e e i em a ques ões de jus iça não signi ica que odos alem do mesmo, a é po que
dependem do pon o de is a – axiológico, é ico – que lhes o a ibuído ou mesmo de um sen ido –
es i o ou ab angen e. Mais ainda, o seu ca ác e polissémico in oca a a iculação en e uma
di e sidade de ideias que ão desde libe dade, igualdade, lei, o dem, i udes mo ais e é icas. De igual
modo, a sua plu idimensionalidade – edis ibuição, econhecimen o, pa icipação – ul apassa a
es e a concep i a pa a se posiciona no plano da a uação. Pensa-se que um p eâmbulo que abo de, de
o ma ge al, a me ana a i a da jus iça pode á se ú il pa a econhece em que plano no ma i o e
analí ico se es á a p opo in es iga e e le i .
3.2.1. Re isi ação das eo ias de jus iça social
Na República, Pla ão (2007) pe sc u a ace ca das ideias de
jus o
e de
jus iça
, indagando se e
po que de emos se jus os, que ipo de bem cons i ui a jus iça e que azões p omo em a sua
aspi ação. A espos a que p ocu a da a es as ques ões, baseia-se na cons ução de uma sociedade
bem o denada, na qual impe a a ha monia e o espei o pelo equilíb io das classes sociais, e o jus o é
aquele que se compo a de aco do com a lei. A is ó eles (2011) a gumen ou que a jus iça é um
p incípio que ga an e a o dem social a a és da egulação da dis ibuição de bene ícios, com base
numa noção de igualdade co esponden e ao mé i o. No en an o, na sua isão, a igualdade e a jus iça
aplica am-se somen e a indi íduos que ocupassem o mesmo es a o social hie á quico. Segundo as
ideias a is o élicas de jus iça social, as desigualdades na hie a quia social e am pa a se a adas de
o ma desigual, não p e endendo que ossem mudadas as es u u as sociais, mas sim a ua den o
delas.
Os ilóso os mode nos canalizam a a enção pa a a jus i icação da, não só, ob igação polí ica,
mas ambém de um de e de odos, apenas di e gindo no modo como o azem. A ideia de
con a o
social
su ge com Thomas Hobbes e John Locke. Hobbes (2017), ilóso o mo al de adição
jusna u alis a, es abelece impo an es conexões en e sociedade, leis, di ei o e jus iça. A noção de
jus iça
hobbesiana segue a equação
jus iça igual a pac o
, sendo que não exis e pac o sem o Es ado e
as suas leis ci is. Po con a o, Hobbes cla i ica que, seguindo-se os p ecei os das leis na u ais
hobbesianas, o homem de e enuncia ou abdica de alguns dos seus di ei os a a és de uma
anslação, ou ans e ência mú ua de di ei os. A eo ia da jus iça de Hume (2002) p ima pela
cons ução de um modelo no ma i o onde a jus iça é assumida como uma i ude de sen ido na u al,
64
pois nenhuma i ude é mais na u al que a jus iça. Des aca-se a impo ância que dá à educação e à
ap endizagem mo al pa a o p ocesso de cons ução de no mas como ga an ia de es abilidade. Pa a
Rousseau (2011), a busca e a ealização de jus iça es ão ligadas à p ese ação da libe dade indi idual
e igualdade de opo unidades e di ei os, mas, acima de udo, sus en a a o ganização es u u al do
con a o social na ce eza de uma c iação cole i a das no mas de jus iça. Mais impo an e que a
p ocu a de es abilidade das ins i uições é a exis ência de um c i é io no ma i o independen e que
pe mi a a alia c i icamen e a jus iça de o dem social. Uma ez que as leis são a os p o enien es da
on ade ge al, nenhuma lei pode se injus a, pois ninguém é injus o pa a consigo mesmo.
Analogamen e, a máxima ousseauniana es ende-se de o ma in e sa, sublinhando que “a única
e dadei a lei undamen al que de i a imedia amen e do pac o social, é que cada um p e i a em odas
as coisas o maio bem de odos” (Rousseau, 2011, p. 124).
Na ob a de Kan , assis e-se a uma oscilação en e a eo ia mo al e a eo ia polí ica no que diz
espei o à en a i a de uma cons ução ca ego ial do sen ido de jus iça (Ma e one & Veca, 2005). Em
aços mui o ge ais, segundo a pe spe i a kan iana, a jus iça es á conec ada ao impe a i o ca egó ico
(en endendo como impe a i os, con o midades das ações à lei) e, nes e sen ido, implica o o malismo
da lei mo al
31
(Kan , 2011). Sendo es i amen e o mal, es e p incípio, que não em qualque in luência
empí ica nem depende das ci cuns âncias, é, po an o, álido uni e salmen e e em o igem na
libe dade da azão. Es a lei uni e sal é ambém um im em si mesmo e de e de i a da azão pu a. O
alo mo al da ação é ga an ido não pelo meio, mas pelo seu im. De aco do com a é ica kan iana, o
impe a i o ca egó ico su ge da on ade uni e salmen e legislado a, do sujei o acional que age
in encionalmen e po de e , egendo-se pela lei da on ade ou, simplesmen e, pela lei mo al, guiado
pela máxima sup ema “de o p ocede semp e de manei a que eu possa que e ambém que a minha
máxima se o ne uma lei uni e sal” (Kan , 2011, p. 209).
A pa i do início do século XIX, com a inclusão da ques ão social, começa-se a e o mula o
concei o de jus iça, p ocu ando sa is aze ins e expec a i as sociais, uma ez que pe sis em as
desigualdades e injus iças e se o na cada ez mais di ícil concilia a igualdade social e a p ese ação
das libe dades indi iduais. O cen o das ques ões es á nas coope ações sociais e nas elações sociais
de p odução, onde a jus iça é ein e p e ada como jus iça social (Ma e one & Veca, 2005). Abo da-se,
pela p imei a ez, a noção de
jus iça dis ibu i a
, que passa a es a no ce ne da eo ia polí ica
no ma i a. Na ob a de Je emy Ben ham,
F agmen os sob e o go e no
, su ge, pela p imei a ez, o
concei o de
u ilidade
como sinónimo do desejá el, como ins umen o pa a consegui e elicidade da
31
O impe a i o ca egó ico assume um papel cen al na ob a Fundamen ação da Me a ísica dos Cos umes.

65
humanidade. Ben ham (2018) conside a que o ca ác e u ili a is a da jus iça se sus en a na
maximização da u ilidade cole i a, ou seja, o concei o de
jus iça
é baseado no p incípio da u ilidade,
como bem-es a cole i o, oco a ela indi idual ou cole i amen e. Mill (2023) co obo a es a posição,
embo a á mais longe, ga an indo a dependência da jus iça em elação à u ilidade undamen ando-a no
ac o de se a ligação mais incula i a de oda a mo al, não sendo, po an o, de es anha e es a isão
icado conhecida como o p incípio da máxima elicidade. Po sua ez, Ma x (1971) de ine
jus iça
como
uma cons ução ideológica, c iada po uma o dem pa icula das elações sociais e da p odução. O seu
concei o assen a no p incípio de que a edis ibuição de e se ei a com base na necessidade e no
alo humanos, em oposição ao que um indi íduo me ece, com base no seu es a u o social ou
p odu i idade.
Em jei o conclusi o, as pe spe i as u ili a is as
32
de Ben ham e Mill seguem uma é ica
consequencialis a e desenham-se a pa i do momen o em que a delibe ação de uma ação a ealiza
enha em is a o maio alcance de esul ados. No undo, o que é supos o é agi de o ma a p oduzi a
maio quan idade de bem-es a , ainda que al possa se des an ajoso pa a uma mino ia.
É na con empo aneidade que se encon a o maio núme o de ex os consag ados à eo ia da
jus iça e os nomes dos seus au o es pa ecem não e mina . No en an o, pa a discu i com p op iedade,
sob e jus iça é imp escindí el le a ob a de Rawls (2013), ‘Uma Teo ia da Jus iça’. Com es a ob a,
lo escem as eses e pe spe i as ace ca do ema e, indiscu i elmen e, a é pa a os seus maio es
c í icos, Rawls (2013) p oduz uma das eo ias de maio ele ância no espei an e às soluções
p opos as quan o à jus iça como equidade
33
. Os modelos al e na i os de uma sociedade bem o denada
p oli e am e di idem-se, essencialmen e, de ido à di ícil conciliação en e dois ipos de alo es: o da
libe dade indi idual e o social comuni á io, po ou as pala as, os in e esses pa icula es e o bem
comum, dando o igem a pe spe i as libe alis as e comuni a is as. Po um lado, as posições libe alis as
ami icam-se em e sões libe á ias emp eendidas po Robe Nozick e em abo dagens iguali á ias,
endo com John Rawls o seu p incipal ep esen an e. Po ou o lado, nomes como Cha les Taylo ,
Michael Sandel, Alasdai MacIn y e e Michael Walze sus en am que a jus iça se encon a conec ada às
comunidades e que, po isso, es á associada a uma ideia de bem que pode se mui o a iá el
(Ma e one & Veca, 2005).
32
Também Hume e Adam Smi h azem pa e do ol dos g andes pensado es u ili a is as (Rawls, 2013).
33
Reacendido o deba e público e académico, di e en es pe spe i as su gem como espos a ou pa alelas à eo ia de Rawls. Uma delas é a de Robe Nozick,
de ez libe á ia, com a sua ob a
Ana quia, Es ado e U opia
. Su gem e o mulações do u ili a ismo com R.M. Ha e ou no con a ualismo de Da id Gau hie .,
Abo dagens comuni a is as com Taylo , Sandel e MacIn y e em des aque assim como posições plu alis as como Michael Walze com a sua ob a
Es e as da
Jus iça: em de esa do plu alismo e da igualdade
. A eo ia de democ acia delibe a i a de Habe mas assume g ande ele o na década de 70 (Ma e one &
Veca, 2005).
66
3.2.2. A eo ia awlsiana
Rawls (2013) começa po con es a os u ili a ismos dominan es nas sociedades libe ais
a gumen ando que, em mui os casos, se acaba po eco e ao in uicionismo como a ian e ao
p incípio da u ilidade. Ao azê-lo, jus i ica o po quê de en a ap esen a uma conceção que consiga
esponde a uma ce a lacuna deixada pelo u ili a ismo. Pa a isso, ai ao encon o da eo ia adicional
do con a o social de Locke, de Rousseau e de Kan , p ocu ando desen ol e uma análise sis emá ica
que a consiga ele a . Des a o ma, um dos g andes obje i os que lança Rawls (2013) na sua
eo ia da
jus iça como equidade
é des ina as suas ideias cen ais a uma implicação p á ica numa democ acia
cons i ucional. Ou a dis inção es á em que, enquan o o u ili a ismo se assume como uma eo ia
eleológica, a jus iça como equidade de ine-se como uma eo ia deon ológica, ou seja, “não in e p e a o
concei o de jus o como maximização do de bem” (Rawls, 2013, p. 46), an es coloca o concei o de
jus o como p io i á io ao de bem. A ideia cen al da dou ina deon ológica é a de que agi e icamen e é
cump i o de e , sejam quais o em as consequências que daí deco e em (Seiça, 2016).
A p opos a de jus iça de Rawls ap esen a-se como a es u u a básica da sociedade, ou po
ou as pala as, a a iculação das p incipais ins i uições
34
num sis ema único de coope ação. Com um
ideal mo al de índole é ica, es a eo ia em como i udes p imei as da a i idade humana, a e dade e
a jus iça. Aca e a a p oposição da in iolabilidade pessoal que deco e da jus iça, a qual, em nenhum
momen o, pode se pos a em causa, mesmo que isso implique um bene ício do bem-es a da
sociedade como um odo (c í ica ao u ili a ismo). De essência dis ibu i a, p essupõe a dis ibuição dos
di ei os e de e es undamen ais e a di isão dos bene ícios da coope ação em sociedade.
Pa a aden a na eo ia de jus iça como equidade, é undamen al comp eende os seus
p incípios, con udo, an es de os de ini há que acla a que o papel des es p incípios é o nece “um
c i é io pa a a a ibuição dos di ei os e de e es nas ins i uições básicas da sociedade” que aduzam “a
dis ibuição adequada dos enca gos e bene ícios da coope ação social” (Rawls, 2013, p. 28), bem
como, de ini alguns concei os imp escindí eis à sua exposição. O p imei o deles é o
de sociedade bem
o denada
, que o au o ap esen a como uma sociedade egulada po uma conceção pública de jus iça,
em que odos os elemen os acei am os mesmos p incípios de jus iça e na qual as ins i uições básicas
a endem a esses p incípios, exis indo esse econhecimen o na es e a pública. Mais ainda, numa
sociedade bem o denada, odos os elemen os que dela azem pa e pa ilham um en endimen o
comum sob e o que é jus o ou injus o. Em segundo luga , pa a se possí el chega aos p incípios que
34
Rawls (2013) de ine ins i uições “como sendo um sis ema público de eg as que de e mina unções e posições, ixando, po exemplo, os espe i os
di ei os e de e es, bem como pode es e imunidades” (p.63), ou, em sen ido mais ge al, como p á icas sociais.
67
cons i ui ão a jus iça como equidade é de e e i que a eo ia segue uma dou ina con a ualis a, na
medida em que se es abelece á um aco do cujo con eúdo implica a acei ação de ce os p incípios
mo ais, a que o au o designa po
posição o iginal
. A mesma cons i ui um
s a us quo
inicial que
ga an a que os “aco dos undamen ais es abelecidos em al si uação são equi a i os” (Rawls, 2013, p.
34). Es e aco do se ia i mado po indi íduos colocados numa si uação inicial semelhan e, cobe os po
um
éu de igno ância
que impossibili e sabe o seu luga na sociedade seja ele a sua ge ação, es a u o
social, o una, dis ibuição de alen os na u ais e capacidades, in eligência, e c. Nes a posição o iginal,
os sujei os delibe a iam sob e os p incípios que de e iam o ien a equi a i amen e a a ibuição dos
di ei os e de e es undamen ais e a dis ibuição dos bene ícios.
De e mina os p incípios de jus iça pa a a egulação de uma sociedade bem o denada é uma
das p incipais a e as ao desen ol e a conceção da jus iça como equidade, os quais só pode iam se
escolhidos na posição o iginal (a a és de um aco do o iginal o iginado em si uação de igualdade) e
sob a condição na u al de uma eo ia con a ualis a, que subjaz a condição que o conhecimen o seja
público. É nes e con ex o que Rawls lança uma conceção mais ge al – ela i amen e aos p incípios –
de
jus iça
: “Todos os alo es sociais – libe dade e opo unidade, enda e iqueza, e as bases sociais do
espei o p óp io – de em se dis ibuídos igualmen e, sal o se uma dis ibuição desigual de algum
desses alo es, ou de odos eles, edunde em bene ício de odos” (Rawls, 2013, p. 69). É impo an e
acla a , nes e momen o, que na base da dis ibuição es ão, aquilo a que o au o designa po
bens
p imá ios
. Nes es, são conside ados
bens sociais p imá ios
, os di ei os, libe dades e opo unidades,
endimen os e iqueza, bem como o espei o po si p óp io ou au oes ima. Quan o à saúde, in eligência
ou imaginação são denominados po bens na u ais, uma ez que não se encon am sob o con olo
di e o da es u u a básica.
Após o desenho do cená io que compõe os alice ces da eo ia e as suas inalidades, o na-se
impe a i o a ança com os dois p incípios que compõem a jus iça como equidade. O p imei o deles é o
p incípio da igual libe dade, “cada pessoa de e e um di ei o igual ao mais amplo sis ema o al de
libe dades básicas iguais que seja compa í el com um sis ema semelhan e de libe dades pa a odos”
(Rawls, 2013, p. 239). O segundo p incípio isa a dis ibuição das desigualdades económicas po
o ma a ga an i , em simul âneo: a) o p incípio da di e ença, pos ulando que “ edundem nos maio es
bene ícios possí eis pa a os menos bene iciados” e de o ma a que se alcance b) o p incípio da
igualdade equi a i a de opo unidades, “sejam a consequência do exe cício de ca gos e unções
abe os a odos em ci cuns âncias de igualdade equi a i a de opo unidades” (Rawls, 2013, p. 239).
Duas no as são de salien a , a p imei a em a e com a aplicação de uma eg a de p io idade que
68
es abelece uma o denação dos p incípios sendo que o p imei o em p io idade sob e o segundo, is o é,
“as iolações das libe dades básicas iguais p o egidas pelo p imei o p incípio não podem se
jus i icadas, ou compensadas, po maio es an agens económicas e sociais” (Rawls, 2013, p. 68). Po
sua ez, o p incípio da igualdade equi a i a de opo unidades em p io idade sob e o p incípio da
di e ença, ou seja, não se pode maximiza a soma dos bene ícios se al coloca em causa a igualdade
de opo unidades. A segunda no a diz espei o ao ca ác e o emen e iguali á io do p incípio da
di e ença, uma ez que só exis e ganho, na dis ibuição, quando o ou o sujei o melho a ambém a
sua posição, mais especi icamen e, a menos que haja uma dis ibuição que melho e a si uação dos
menos a o ecidos, uma dis ibuição igual é p e e í el. Po conseguin e, e, não obs an e os di ei os e
de e es dos indi íduos e das ins i uições, as unções do Es ado são cla as: se in e en i o de o ma a
epa a as desigualdades ime ecidas, sejam na u ais ou sociais, u o da lo a ia social e não da
esponsabilidade do indi íduo - P incípio da epa ação - e p ocede a uma edis ibuição da iqueza
a o ecendo os mais des a o ecidos - Jus iça dis ibu i a (San os, 2015).
3.2.3. Mul idimensionalidade da jus iça
Ao conside a insu icien e a noção dis ibu i a de jus iça, Young (2022)
35
sus en a que a
delibe ação de dis ibuição não se pode es ingi à iqueza ou bens ma e iais que se possuem e se
epa em, esquecendo aspe os de iden idade ou cul u a. A gumen a que, quando as sociedades se
o nam mul icul u ais, o signi icado polí ico das ques ões de dis ibuição ma e ial é edu o , pa a se
subs i uído po ques ões de econhecimen o cul u al que aduzem a jus iça como um concei o
mul idimensional
36
. Pa a além da c í ica ao pa adigma dis ibu i o, Young analisa a debilidade do ideal
de impa cialidade libe al que es á ine en e a es e p incípio (aquilo que em Rawls se designa po éu de
igno ância). Como salien a Valencia-Gu ié ez (2019), a ese de Young ad e e que, numa sociedade
he e ogénea, insis i na impa cialidade é uma en a i a de homogeneização dos g upos,
menosp ezando, po sua ez, as suas ca ac e ís icas dis in i as. Embebida de um discu so e lexi o, a
ilóso a de ende uma noção ampla de jus iça que consiga conca ena ês inalidades, “escla ece o
signi icado de concei os e ques ões, desc e e e explica as elações sociais e a icula e de ende
ideais e p incípios” (Young, 2022, p. 5).
A eo ia de jus iça youngiana é o emen e ma cada pela alo ização da di e ença cul u al, uma
ez que o seu con á io pe mi e a explo ação e a op essão dos g upos sociais. Young (2022) ale a que
35
Uma das ob as mais ci adas da ilóso a I is Ma ion Young,
Jus ice and he Poli ics o Di e ence,
da a de 1990.
36
As ei indicações dos mo imen os eminis as, LGBTIQ+, indígenas ou nacionalis as não se ci cunsc e em à edis ibuição de ecu sos, clamam po
espei o, econhecimen o e alo ização das di e enças cul u ais (Bela i & Mu illo, 2016).
75
índole edis ibu i a aca e a que o p ocesso de ensino se ocupe da au oes ima e da au o alo ização de
cada aluno. Tal pode se ei o endo p esen e que o ensino e a sua a aliação sejam adap ados à
di e sidade – às ca ac e ís icas, capacidades, si uação p é ia ou necessidades de cada es udan e -
es ando jus i icado sob a p oposição de que não há nada mais injus o que o mesmo a amen o pa a
pessoas di e en es. Com a a aliação há que e especial a enção ao modo como é e e uada, pelo ac o
de ao mesmo empo que e e enda ambém sanciona e, po an o, pode le a a pe pe ua as
desigualdades sociais.
Pa indo da dimensão de jus iça como econhecimen o, Mu illo e He nández-Cas illa (2014)
assegu am que uma escola jus a se empenha numa mudança cul u al na sociedade que demanda
uma ele ação das iden idades não espei adas. Imp e e i elmen e, são econhecidas, espei adas e
alo izadas odas as di e enças, sejam de o igem cul u al, e nia, aça, iden idade de géne o, exp essão
de géne o, o ien ação sexual. O e lexo educa i o passa po a escola e docen es conscien es da
impo ância da di e sidade, bem como da complexidade ela i a às suas ep esen ações. Ao abalha -
se pa a a cons ução de um cu ículo mul icul u al, es á-se a pa icipa na ans o mação das
condições cul u ais e sociais que ge am essas ep esen ações. Ainda de o ma cu icula , omen a-se o
pensamen o c í ico e o aciocínio é ico quando se dá con a das si uações de desigualdade a uais. Ao
exis i uma cul u a escola baseada no espei o e solida iedade na di e ença, c iam-se condições à
esponsabilidade indi idual e cole i a e ao empode amen o dos es udan es. É alo izada a bagagem (as
suas his ó ias, expe iências ou alo es) dos alunos e man ido um ínculo e dadei o com as amílias
baseado numa mú ua colabo ação.
Sob o espe o da jus iça como pa icipação, a na u eza o ganiza i a é que mais se des aca da
no ma i idade adicional. Is o po que, uma escola socialmen e jus a eque como p incípio básico a
pa icipação de oda a comunidade educa i a que em aspe os cu icula es, que de o ganização e
uncionamen o, e le indo-se em decisões e esponsabilidades que se compa em na omada de
decisões de odos em conjun o (docen es, alunos, amílias, pessoal não docen e). Face a es e cená io,
cuida-se a pa icipação in eg al, omando especial a enção ao en ol imen o e ep esen ação dos
g upos adicionalmen e ma ginalizados. Num campo mais especí ico, as aulas o ganizam-se
democ a icamen e, omando decisões conjun as que en ol am a ap endizagem, seja no que diz
espei o à o ma de o ganização, dos con eúdos a desen ol e , de es a égias didá icas ou da
a aliação.
A enume ação de odos os a o es o nece uma ideia de como se podem conjuga pedagogias
socialmen e jus as com p incípios de jus iça social. Ainda assim, é possí el elencá-los com seis ases,

76
suge idas pelos mesmos au o es, que se em pa a ajuda na conexão do cu ículo com o ensino da
jus iça social. Es e algo i mo começa com o incen i o ao au oconhecimen o e au oes ima, pela
alo ização da iden idade e his ó ia de cada um dos alunos, desmon ando es e eó ipos nega i os e
cuidando da dignidade den o da di e sidade. A segunda ase é o espei o pelos ou os, le ando os
alunos a escu a com in e esse e empa ia as expe iências dos seus colegas, ajudando a queb a mi os
es e eo ipados. Em e cei o luga , é impo an e abo da den o do cu ículo, aspe os sob e injus iça
social. Ao azê-lo pode-se ajuda os alunos a en ende em melho as o mas como a op essão ope a e,
consequen emen e, como alo iza as suas p óp ias expe iências pessoais. Uma ase pos e io se ia
c ia uma pon e com a ealidade, mos ando exemplos his ó icos de ações e lu as conc e as con a as
desigualdades le adas a cabo po pessoas emblemá icas ou po mo imen os sociais. A in enção é
despe a consciências e, com isso, coloca os p óp ios alunos a sensibiliza ou os memb os da
comunidade, sendo esse passo p ecu so pa a aquilo que se p opõe como úl ima ase – a passagem à
ação social – e que su ge como um apogeu nes e p ocesso. Colabo a a i amen e na lu a con a as
injus iças o na-se uma ideia conc e izá el se os alunos consegui em adqui i compe ências pa a
começa a ans o má-las.
Po im, ou o con ibu o in e essan e de Mu illo e He nández-Cas illa (2014) é a e lexão sob e
as capacidades que de e e um p o esso que educa pa a a jus iça social. Delas, des aca-se o domínio
dos con eúdos, pois apenas dessa o ma os docen es são capazes de ansmi i uma ealidade
baseada em ac os, con ex ualizá-la e analisa o con eúdo aos ní eis mac o e mic o. Es a e amen a é
insu icien e se não o apoiada pelo pensamen o c í ico e análise da op essão, assim como pela
capacidade de e lexão pessoal. Es a au o e lexão su ge no sen ido de o p o esso e -se, em si
mesmo, como podendo aze pa e do sis ema op essi o. A sensibilidade ace ca das dinâmicas dos
g upos mul icul u ais mos a-se uma po encialidade pa a c ia um ambien e de ap endizagem que
conside e as di e en es iden idades e pe spe i as mul icul u ais.
3.4. A educação ma emá ica como impe a i o é ico
Em om de, po um lado, ala me e, po ou o, de ei indicação, S inson (2014) le an a uma
sé ie de ques ões que azem ecai uma esponsabilidade mo al e é ica sob o educado de
ma emá ica. Exemplos disso são: “como pode um p o esso ajuda uma c iança a i além da
consciência das injus iças em di eção à análise das injus iças?” (S inson, 2014, p. 3) e, uma ez que,
e consciência de um p oblema só po si não é su icien e pa a esol e o p oblema, como pode um
p o esso p opicia um es udan e a ul apassa a análise da injus iça pa a passa a uma “ação de
77
au oempode amen o ace às injus iças” (S inson, 2014, p. 3)? A espos a que S inson (2014) a ibui a
es as indagações eme e pa a a sala de aula como um espaço p opício à aplicação dos p oblemas das
injus iças como um ca alisado pa a a ap endizagem das ciências e da Ma emá ica, no sen ido de que
a esolução de p oblemas eque aze ciência e agi . De aco do com Boylan e Woolsey (2015),
in es igação ecen e em iden i icado a necessidade de a icula um quad o eó ico que pe mi a guia
os p o esso es num ensino pa a a jus iça social, indo ao encon o dos p incípios desenhados pelas
dimensões de jus iça edis ibu i a, de econhecimen o e pa icipa i a. Po ém, assim como é essencial
a a iculação do quad o eó ico ambém o é de pedagogias que possibili em um ensino da Ma emá ica
pa a a jus iça social. Nes e âmbi o, o oco cen al é a impo ância do desen ol imen o da c í ica e o
en ol imen o pa a com pedagogias con a-hegemónicas e as elações de sala de aula.
Na isão de Mu illo e He nández-Cas illa (2014), a lu a con a as desigualdades sociais em de
se explíci a, caso con á io es a -se-á, p ecisamen e, a con ibui pa a a ep odução das mesmas.
Aquiescem Rosa e Ama al (2014) ao insis i em na mi igação das desigualdades sociais a a és da
minimização das desigualdades escola es e de endendo que a escola de e á ajuda na e adicação do
de e minismo social à nascença. Seguindo es es a gumen os, au o es como Gu ie éz (2008) explo am
o papel da Ma emá ica como esponsá el po eda o acesso a um ní el educacional mais ele ado,
assim como o seu papel na ep odução da desigualdade e hie a quização social. A é po que, como
eco dam Ju dak (2016), as p á icas u ilizadas pelos p o esso es pa a p omo e a equidade e uma
educação ma emá ica de qualidade são o emen e moldadas pelas polí icas escola es, as quais, po
sua ez, es ão condicionadas pelas polí icas go e namen ais. Há mesmo quem ad ogue que a é ica e a
jus iça social são os concei os-cha e pa a a comp eensão da equidade e da qualidade na educação
ma emá ica (A weh, 2010). Sko smose e Vale o (2002b) designam po “dissonância in ínseca” (p. 11)
ao a gumen o que o ensino em, his o icamen e e em mui os países, uma unção social de
di e enciação e exclusão. Pa icula men e, a disciplina de Ma emá ica desempenha um papel egulado
na sepa ação en e os ap os e os inap os da sociedade (Sko smose & Vale o, 2002b), decidindo quem
e olui e quem ica pa a ás.
Na linha des as conje u as in e e-se que o ensino da Ma emá ica ep oduz, de modo
sis emá ico, as di e enças sociais, sejam elas de ca iz sócio económico, de géne o ou e nia e, maio ia
das ezes, independen emen e das compe ências ma emá icas
a p io i
45
(Ju dak, 2016). Es as
45
Exemplos disso são encon ados a á ios ní eis. Ao ní el da linguagem, exis em em es udos que aplicam a eo ia de códigos de linguagem de Be ns ein
na p á ica pedagógica e que indicam que alunos com baixa si uação económica são excluídos do sucesso na Ma emá ica pelo uso gene alizado de uma
linguagem que é apenas comp eensí el pa a alunos com al o ní el socioeconómico. Também no campo na sociologia, Bou dieu es uda como a p epa ação
de manuais didá icos elabo ados pa a alunos de al o ní el socioeconómico é cuidadosa enquan o, pa a os es an es alunos, os manuais escola es
p omo em o econhecimen o submisso da supe io idade das abo dagens ma emá icas (Ju dak, 2016).
78
desigualdades sociais são ambém espelhadas nas condições ma e iais em que se p ocessa o ensino e
a ap endizagem da Ma emá ica, o iginando esul ados di e enciados. Es a di e ença ende a aumen a
à medida que aumen am as desigualdades iniciais, azendo eme gi uma “pe sis en e lacuna de
desempenho” (Ju dak, 2016, p. 19) que é me odicamen e iden i icada em es udos di igidos a g upos
de alunos p o enien es de con ex os des a o ecidos sejam eles de dimensão socioeconómica, e nia,
aça, géne o ou de idioma. Embo a udo o e e ido seja e dade, ambém é e dade, segundo a OECD
(2021), que alunos que e elam an agens ao ní el socioeconómico endem a supe a os seus colegas
p o enien es de la es ou con ex os com ca ência socioeconómica, em maio escala do que quando
compa ados com ou os g upos de alunos. Es e cená io e a a que o peso do es a u o económico e
social é mais signi ica i o pa a explica di e enças no desempenho ma emá ico em compa ação com
ou os a o es.
Colocando em des aque o peso do acasso escola no seio do ensino da Ma emá ica, Pais e
al. (2012) azem à luz que es e acasso é uma ques ão ideológica e não de mau uncionamen o do
sis ema. Jus i ica-o e idenciando que o desen ol imen o de compe ências ma emá icas az pa e de
um sis ema de c édi os na educação, que pode ou não con e e em êxi o escola . Po ou as pala as,
o insucesso a Ma emá ica aduz-se numa condição do p óp io sis ema que pe mi e a sepa ação cla a
de quem adqui e alo dos que edundam em des alo izados.
3.5. A p ocu a de uma educação ma emá ica que p opo cione empode amen o
46
A ligação da Ma emá ica e da educação ma emá ica à cul u a, democ acia, polí ica ou pode
começa a se in oduzida no início dos anos 80, do século passado, ge ando um sob essal o
académico, mas não só (Vale o e al., 2015). Desassocia a impo ância do desen ol imen o de
compe ências ma emá icas nos cidadãos como compe ências imp escindí eis “à mão de ob a
necessá ia pa a os me cados e o sis ema capi alis a” (Vale o e al., 2015, p. 291) oi um desa io nas
co en es educa i as à época. Exis em, desde en ão, mui as e e ências que indicam que educação
Ma emá ica pode simboliza empode amen o, mas que ambém pode signi ica sup essão. Pode ajuda
à inclusão ou, pelo con á io, le a à disc iminação e exclusão (Sko smose & Vale o, 2002a). Daí que
se possa conclui que os papéis sociopolí icos da ma emá ica não são nem ixos, nem de e minados,
embo a mui os sejam ques ioná eis (Sko smose, 2020). Com es e cená io, ap esen am-se concei os
como
ma emacia
ou
li e acia ma emá ica
pa a designa uma compe ência que inclui a lei u a c í ica de
46
Exis em di e en es e e ências que suge em a possí el elação en e ap endizagem Ma emá ica e empode amen o (Sko smose, 2020). Exemplos disso
se ão abo dados ao longo des e capí ulo.
79
um con ex o sociopolí ico (Al ø & Sko smose, 2021; F ankens ein, 2012), bem como se abo dam as
in luências da E noma emá ica pa a anscende uma pe spe i a educacional ma emá ica
eu ocen is a.
3.5.1. O pode emancipa ó io da educação ma emá ica
Tendo p esen e que exis e uma dis inção en e
ensina Ma emá ica
e
educa ma ema icamen e
(Ma os, 2005), á ios in es igado es dedicam-se a ap o unda es a dualidade que mui as ezes pode
se an agónica. Tomando como inspi ação os abalhos de Paulo F ei e, esg imem-se os p imei os
a gumen os no sen ido de acei a que a ap endizagem e o ensino da ma emá ica podem concebe -se
como uma al abe ização ma emá ica que pe mi e le o mundo c i icamen e com a Ma emá ica (Vale o
e al., 2015). Além disso, ambém é es endida a noção de
não-neu alidade à educação ma emá ica
,
econhecendo-se que a mesma cede, de alguma manei a, “a in e esses ideológicos, polí icos,
económicos ou cul u ais” (Gue e o, 2008, p. 3). Olhando c i icamen e pa a o conhecimen o
ma emá ico e a o ma como anscendeu a ciência e a ecnologia pa a se o na ins umen o das
es u u as de pode , az com que seja impossí el desconec a a Ma emá ica de uma pos u a é ica
(Sko smose e al., 2015).
Nes e sen ido, os mo imen os que su gi am como uma e lexão às dimensões cul u al, c í ica e
polí ica da educação ma emá ica, ize am-se essoa . Desen ol e am-se em á ias di eções, uns
chama am-lhe
ma emá ica c í ica
, ou os
ensina Ma emá ica pa a a jus iça social
e ou os ainda lhe
a ibuí am o e mo
E noma emá ica
. O p imei o pon o que êm, indiscu i elmen e, em comum é
econhece em que a EM é um domínio polí ico (F ankens ein, 2009; Gu s ein, 2018; Sko smose,
2023). É de ealça que o e e encial eó ico pelo qual se guiam aglome a os aspe os sociais e polí icos
da ap endizagem ma emá ica, embo a os con ex os geopolí icos a a és dos quais cada uma des as
posições se desen ol e am enham sido di e en es – ês abo dagens que pa ilham o p essupos o de
que a educação ma emá ica como p á ica social implica que não seja desconec ada de alo es
democ á icos, de equidade, jus iça social ou inclusão e, po an o, do am as compe ências ma emá icas
com um aço polí ico que ajuda a desmon a as es u u as de pode na sociedade (Vale o e al.,
2015). A se assim, eque le a a li e acia a um ní el mais al o do que apenas o desen ol imen o da
compe ência da lei u a e da esc i a. Mais conc e amen e, o pode emancipa ó io ine en e à li e acia
ma emá ica de e-se às suas dimensões c í ica e polí ica que, ao pe mi i em “empode a e o na as
pessoas conscien es da sua condição de classe, com o obje i o de pode em emancipa -se de ais
elações” (Vale o e al., 2015, p. 292), possibili am que se aça en e às injus iças sociais.
80
Na década de 70, D’Amb osio oi p ecu so do P og ama E noma emá ica, undamen ando-o
naquilo que a i ma se os dois p incipais obje i os da educação. P omo e a c ia i idade nas pessoas
ao mesmo empo que se ajuda a ele a , ao máximo, as suas capacidades, sal agua dando, con udo,
que não se incu a uma obediência cega e uma acei ação de eg as ou condu as que iolem a dignidade
humana. Pa alelamen e, omen a a cidadania a a és da ansmissão de alo es e mos ando di ei os
e esponsabilidades na sociedade, semp e com o oco numa c ia i idade esponsá el. O au o
exempli ica-o quase em om de i onia: “não que emos que os nossos alunos se o nem cien is as
b ilhan es, c iando a mamen os e ins umen os de op essão e desigualdade”, pa a e o ça as
dinâmicas do capi alismo (D’Amb osio, 2015) ou a uando “como
blade unne s
da classe dominan e”
(p. 26).
Numa dimensão é ica da educação ma emá ica, D’Amb osio (2015) p opõe um cu ículo que
condense ês e en es que conside a o nece em os ins umen os comunica i os, analí icos e
ecnológicos necessá ios pa a a ida do século XXI. “Um no o
i ium
, es u u ado pa a o nece
capacidades c í icas de comunicação, capacidade c í ica de lida e analisa símbolos e amilia idade
c í ica com a ecnologia” (p. 27), a que chama
Li e acia, Ma e acia e Tecno acia
47
. O P og ama
E noma emá ica su ge como espos a à c iação desse no o cu ículo, endo po base o ideal da
cons ução de “uma ci ilização que ejei e desigualdade, a ogância e in ole ância” sob uma ó ica
educa i a que p io ize o “empode amen o dos se o es excluídos das sociedades” (D’Amb osio, 2007,
p. 29). A E noma emá ica é, mui as ezes, denominada po
P og ama E noma emá ica
, po que eme ge
de pesquisas. Ca ac e iza-se, esumidamen e, po possui , de o ma in ínseca, a é ica da di e sidade,
uma ez que con ibui pa a ees abelece a dignidade cul u al e o e ece as e amen as in elec uais
pa a o exe cício da cidadania. É ambém, po sua ez, um sis ema de conhecimen o que omen a uma
elação mais ha moniosa en e humanos e en e humanos e a na u eza. Pa a en ende as suas
implicações pedagógicas, é necessá io cla i ica alguns concei os, nomeadamen e o de
cul u a
. Aqui, a
cul u a aba ca a a e, ciência, his ó ia, medicina, li e a u a, música, iloso ia, eligião, ciência ou
ecnologia, bem como é en endida pela pa ilha en e sis emas de conhecimen o, numa pe spe i a
anscul u al e ansdisciplina . Acima de udo, é undamen al, em E noma emá ica, econhece as
con ibuições de ou as cul u as e a impo ância da dinâmica dos encon os cul u ais. Tal p essupos o
aduz-se numa en a i a de en ende e explica á ios sis emas de conhecimen o
48
, em di e en es
47
No o iginal, “Li e acy, ma he acy and echno acy” (D’Amb osio, 2007, p. 28)
48
Como sis emas de conhecimen o, D’Amb osio exempli ica “ma emá ica, eligião, culiná ia, es i , u ebol e á ias ou as mani es ações p á icas e
abs a as da espécie humana” (2007, p. 30).

81
ealidades con ex uais
49
. D’Amb osio a gumen a es a con ex ualidade descons uindo a Ma emá ica que
ai pa a além da ideia ociden alizada da ma emá ica académica, in ocando que “lida com o espaço, o
empo, classi ica , compa a ” bem como “os códigos e écnicas pa a exp essa e comunica as
e lexões sob e esses compo amen os são inega elmen e con ex uais” (p. 30). Não é po acaso que
F ançois e S a hopoulou (2012) ap esen am a ideia de que a E noma emá ica pode se is a como
uma eação ao eu ocen ismo. Des aca-se, po úl imo, que o e lexo des e p oje o nas salas de aula de
Ma emá ica é no ado quando se exige cla amen e que o pensamen o c í ico seja uma ação polí ica
(Appelbaum e al., 2022).
Na senda da ime são da educação c í ica a pa i da Teo ia C í ica, o igina-se, na Eu opa, o
ambien e p opício ao su gimen o da educação ma emá ica c í ica ainda nos anos 70, do século
passado. Uma sua e são es ende-se aos Es ados Unidos e, na década de 80, a p imei a pessoa a
publica a igos cien í icos sob e o ema oi Ma ilyn F ankens ein
50
. Os es udos des a au o a são
pa icula men e impo an es no que diz espei o à análise do uso da Ma emá ica escola como
possí eis sis emas de op essão de classe e de aça. Nes e sen ido, é de salien a que a EMC é
in luenciada pela dimensão polí ica da E noma emá ica, uma ez que p ocu a a “descolonização que
se dá em g upos sociais e o espei o pelas suas aízes e o igens sem des espei a o ou o” (Gue e o,
2008, p. 5)
F ankens ein (2012) usa a designação li e acia ma emá ica c í ica pa a e o ça a ideia de que
a li e acia ma emá ica é mais do que a capacidade pa a calcula , é a des eza de usa núme os pa a
cla i ica ce os assun os, sus en a ou e u a opiniões. Es as compe ências en ol em a análise c í ica
da o ma como os núme os e os p ocedimen os ma emá icos são u ilizados. Uma das máximas que
e le e os seus es udos é “p ecisamos sabe o signi icado dos núme os que desc e em a ealidade
pa a ap o unda a nossa comp eensão do mundo” (F ankens ein, 2012, p. 1). Mais do que isso,
especi ica que a Ma emá ica em de se abalhada ou i ida, ou ensinada, no con ex o eal, no
con ac o di e o com os p oblemas eais, uma ez que “a di e ença en e p oblemas ma emá icos da
ida eal são eais p oblemas ma emá icos da ida eal” (F ankens ein, 2009, p. 114)
49
Um dos exemplos de um p oje o no campo da E noma emá ica oi o p oje o F on ei as U banas (FU) que su giu em 2010 e oi desen ol ido po uma
equipa de in es igado es do Ins i u o de Educação da Uni e sidade de Lisboa. Ap esen ou-se como um mo imen o e nog á ico c í ico cen ado no
desen ol imen o de uma polí ica educa i a emancipa ó ia po meio de uma obse ação de conhecimen os p esen es em comunidades mul icul u ais.
Nes e caso, en ol ia a população das Comunidades Pisca ó ia e Bai o. Es as duas comunidades egis a am, ao longo de meio século, di e sos p oblemas
de inclusão como a inexis ência de água canalizada. A a és do desen ol imen o de a i idades do p oje o FU, p ocu ou-se a ende as necessidades
educacionais dessas populações
in si u
. E é com esses p oblemas do dia a dia que en a em ação a o ganização de pa âme os que supo am um
cu ículo de educação mul icul u al, baseada na ealidade sócio cul u al e económica dessas comunidades. Es e p oje o p opo cionou aos habi an es do
Bai o aulas de Al abe ização C í ica, Inglês, F ancês, C ioulo, Ma emá ica ou Ele icidade. O cu ículo p opos o baseou-se na li e acia, ma e acia e
ecnoc acia, assumindo-se como uma es a égia de ação educa i a que possibili a o domínio equi a i o de conhecimen os necessá ios pa a uma
sob e i ência a i a e pa icipa i a, que ai além do le , esc e e e con a .
50
Em
C i ical Ma hema ics Educa ion: An Applica ion o Paulo F ei e’s Epis emology,
F ankens ein (1987) analisa e aplica a eo ia da educação de Paulo
F ei e no con ex o de um cu ículo de Ma emá ica pa a a classe abalhado a adul a u bana.
82
Re o çando a ideia da não neu alidade na educação, F ankens ein (2009) ad oga que a
p óp ia esolução de p oblemas ma emá icos não é neu al, des acando a impo ância de pe cebe
quais os aspe os das e idências quan i a i as são ac os ma emá icos e quais são polí icos. Pa a o
jus i ica , sus en a-se no ac o de que mui os dados são ap esen ados, pelos go e nos, po exemplo,
como se ossem desc ições neu as da ealidade, o uscando, no en an o, as escolhas polí icas que
p oduzi am esses mesmos dados
51
.
Em solo eu opeu, Sko smose
52
oi pionei o em ag ega ês in luências dis in as e ep oduzi
es udos que o ja am as aízes da educação ma emá ica c í ica, a sabe : a já mencionada eo ia c í ica
da escola de F ank u , as ob as de Paulo F ei e, a pedagogia da libe ação e a educação bancá ia e a
E noma emá ica (Vale o e al., 2015). Sko smose inicia os seus abalhos na década de 1980, endo
publicado o seu p imei o li o em inglês, “
Towa ds a philosophy o c i ical ma hema ics educa ion
53
”,
em 1994. Nes a ob a, o au o disco e, p imei amen e, sob e a noção de c í ica, conec ando-a não só
com a sua o igem semân ica, c ise
54
, mas ambém com a sua aiz his ó ico- ilosó ica
55
. Nes a incu são,
Sko smose (1999) apon a caminhos in e p e a i os pa a chega a uma pon e em que analisa o ac o
de uma c ise pode desemboca numa si uação c í ica e daí ad i a necessidade de eação
56
(Sko smose, 1999, p. 16). E é nes a eação que eside a condição pa a o comp omisso é ico de
qualque ipo de c í ica (Sko smose, 1999, p. 20), bem como o obje i o de uma a i idade c í ica
pe spe i a uma emancipação. Adqui i libe dade con a es e eó ipos de pensamen o é en endido como
uma libe dade emancipa ó ia e esse de e se um p incípio subjacen e à educação. Des e pon o a é à
educação c í ica é um pequeno passo, dado que se á a p emissa pa a a espos a à ques ão colocada,
po Sko smose (1999, p. 22), “que ins i uições sociais de e ão eagi ace à na u eza c í ica da
sociedade”? Des a ideia de i a a seguin e ese: “se as p á icas e a in es igação educa i as são c í icas,
en ão de em abo da os con li os e as c ises na sociedade. A educação c í ica de e e ela as
desigualdades e a ep essão de qualque ipo” (p. 22). Imbuído nas ideias de Gi oux (que, po sua ez,
se inspi a nas ideias ei eanas) quan o à eo ia emancipa ó ia da al abe ização, que assinala um
51
Pa a exempli ica es e a gumen o, F ankens ein (2009) desc e e que, quando o Go e no dis ingue os abalhado es que pe encem à o ça de abalho
dos abalhado es que con am como desemp egados, eesc e e es a in o mação em pe cen agem é um algo i mo ma emá ico que em uma única
espos a e não le an a qualque ques ionamen o. A polí ica sob e a qual se de e ques iona em a e com a decisão do Go e no de con abiliza
abalhado es a
pa - ime
como abalhado es a empo in ei o e, simul aneamen e, não con abiliza abalhado es que p ocu a am abalho du an e mais
de um ano e não encon a am, como desemp egados (p.119).
52
Ole Sko smose é um in es igado de nacionalidade dinama quesa cujos abalhos o na am-se uma e e ência pa a mui os in es igado es. Vale o (1999)
desc e e-o como um “li e pensado mul i ace ado” (P e ácio, p. VIII).
53
Na e dade, es e li o ecolhe o abalho de mais de uma década do au o , eunindo a igos como
Ma hema ical educa ion e sus c i ical educa ion
de
1985,
Ma hema ical educa ion and democ acy
de 1990 ou
Democ a ic compe ence and e lec i e knowing in ma hema ics
de 1992.
54
Sko smose (2007) elaciona, e imologicamen e,
c ise
e
c í ica
, que de i am da pala a g ega
k inein
, e oluindo, mais a de pa a, espe i amen e,
k isis
e
k i ikos.
55
O au o pe co e os es udos da e a Iluminis a, ap o undando ob as de ilóso os como Kan ou Hume. Dá especial a enção à ob a de Ma x a é chega
Teo ia C í ica da Escola de F ank u (Sko smose, 1994).
56
Sko smose (2007) esc e e que “uma si uação c í ica ou uma c ise conduz a uma necessidade de ação e en ol imen o, is o é, uma necessidade de
c í ica” (p.73).
83
desen ol imen o de condições pa a que as pessoas se si uem na his ó ia e econheçam a sua posição
na sociedade, Sko smose (2007) o mula a hipó ese de se in oduzi o e mo
al abe ização ma emá ica
ao mesmo empo que ques iona se com ele se pode á ob e o p opósi o des a po enciação. Além disso,
qual se á a impo ância de uma educação ma emá ica como base pa a a pa icipação dos es udan es
numa ida democ á ica? Ao pa i pa a es e ques ionamen o, Sko smose (2007) inco e numa saga
c onológica à p ocu a de espos as pa a ideias democ á icas básicas e compe ências democ á icas a é
chega à ques ão ulc al “que ins i uições sociais podem assumi o abalho de desen ol e uma
compe ência democ á ica” (p. 45)?
Veja-se, en ão, como se quad am que a eo ia c í ica, que a ei eana pa a da o igem ao
e mo que Sko smose (2007) designa po
ma emacia
e que, no seu sen ido la o, se aduz po como
uma compe ência pela qual nos o namos capazes de in e p e a e en ende as ca ac e ís icas da
nossa ealidade social. No seu sen ido es i o, des aca-se o pa alelismo, na sua essência, com a noção
de ap idão li e á ia de F ei e, cuja in encionalidade com o seu p og ama de al abe ização oi i mais
além do que ensina pessoas anal abe as a le em e esc e e em, senão ambém c ia um supo e pa a
o desen ol imen o de cidadãos c í icos capazes de in e p e a em uma si uação social como es ando
abe a à mudança. De igual modo, pode -se-á pensa a ma emacia como uma compe ência que inclui
não apenas e e ências à Ma emá ica, como ambém sus en a uma base pa a a cidadania c í ica. A
ma emacia su ge como espos a à o mulação le an ada po Sko smose (2007) pa a ep esen a ,
essencialmen e, ês compe ências. A p imei a é lida com noções ma emá icas, a segunda aplica
essas noções em di e en es con ex os e, a e cei a, e le i sob e essas aplicações, não esquecendo
que a componen e e lexi a é essencial pa a “con e i à ma emacia um pode adicalizado”
(Sko smose, 2020, p. 41). Re omando a eo ia emancipa ó ia de Gi oux, Sko smose (2020) sin e iza,
eloquen emen e, que a li e acia ma emá ica, como cons uc o adical, em de se en aizada num
espí i o c í ico e num p oje o de possibilidades que pe mi a aos indi íduos o en endimen o e a
ans o mação da sua sociedade, o nando-se numa ped a basila pa a a emancipação social e cul u al
(Sko smose, 2020). Ou o pon o de is a, que ajuda à ca ac e ização des a noção, em a sua
inspi ação num dos concei os desen ol idos po Ado no, da Escola de F ank u ,
Mündigkei
57
,
cuja
essência es á conec ada que com a ideia de c í ica, que com a de democ acia. Po an o, a ligação
inculada en e a compe ência democ á ica e a capacidade c í ica, que se aduz num único e mo po
Mündigkei
,
é um obje i o essencial a uma educação c í ica. Daí que Sko smose (2007) salien e o
57
Es e concei o em um duplo sen ido, como explica Sko smose (1999). O p imei o e e e-se aos di ei os legais e esponsabilidades adqui idas po uma
pessoa ao a ingi a maio idade. O segundo sen ido em a e com e a capacidade de uma pessoa ala po si mesmo.
84
sen ido de educa pa a a
Mündigkei ,
elacionando-o com a posição que a al abe ização ma emá ica
pode oma nes e con ex o.
3.5.2. A inquie ação é ica da educação ma emá ica c í ica
Conside ando que a unção da educação ma emá ica não pode se de e minada pela me a
in odução de di e izes ge ais na elabo ação do cu ículo, Sko smose (2000) a e e-se assumi que a
g ande ince eza que ep esen a a na u eza c í ica da educação ma emá ica é o p imei o passo a é à
educação ma emá ica c í ica. Daí que o au o undamen e a educação ma emá ica cí ica (EMC) nos
desa ios ine en es a uma posição c í ica da educação ma emá ica e ejei e que a mesma possa se
en endida como um amo da educação ma emá ica, uma me odologia de sala de aula ou cons i uída
po um cu ículo especí ico. En e as á ias o mulações que Sko smose (2007) le an a, uma delas
su ge como ep esen a i a das inquie ações da EMC e em a e como o ensino da Ma emá ica é pa e
de um p ocesso de globalização e
gue o ização
. Po ou as pala as, quais são os papéis possí eis que
a educação ma emá ica pode desempenha endo em con a o con ex o sociopolí ico e que ipo de
opo unidades pode o e ece aos alunos. Nes e plano, Sko smose (2007) apon a o modo como a
Ma emá ica pode se legi imado a, simul aneamen e, de inclusões e exclusões. A EMC p e ende
analisa es e pa adoxo, p eocupando-se como se es abelecem as elações no seio das escolas sujei as
a um p ocesso de globalização, p incipalmen e, jun o dos po encialmen e excluídos.
O concei o de globalização pode-se e e i a odos os aspe os da ida, mas é, desde logo, uma
mis u a de endências polí icas, económicas, cul u ais e da comunicação. Como não podia deixa de
se , Sko smose (2007) sus en a-se em Baumann (1999) pa a e a a o ac o de a globalização de e
cono ações an o nega i as quan o posi i as, pa a alguns, a globalização é o que nos une quando
es amos elizes, pa a ou os é a causa da nossa in elicidade. Já a noção de gue o ização co elaciona-
se com exclusão social e a que Sko smose (2007) eco e a Cas ells pa a de ini como “o p ocesso
pelo qual ce os indi íduos e g upos são sis ema icamen e ba ados ao acesso às posições que
pode iam capaci á-los a uma ida au ónoma den o dos pad ões sociais delimi ados pelas ins i uições e
alo es num dado con ex o” (2007, p. 73). Sko smose (2007) ac escen a que o gue o mode no
unciona como “um depósi o de lixo pa a pessoas que não êm nenhum papel a desempenha na
economia in o macional” (p. 63), o que aduzindo na linguagem baumaniana, são pessoas
desca á eis
. Assim sendo, globalização implica inclusão ao conec a g upos, egiões, emp esas, mas
ambém signi ica exclusão uma ez que as conexões ei as são pa ciais e se em in e esses
pa icula es, pelo que se induz que globalização e gue o ização são aspe os do mesmo p ocesso. E,
91
pe iodicidade de dois a ês p oje os ou a i idades po pe íodo. Nes e âmbi o, pode á exis i uma lis a
quase in indá el. Gu s ein (2013)
62
desen ol eu um p oje o no qual os alunos analisa am os dados da
sepa ação ou disc iminação acial nas ope ações
s op
. Ao ní el ma emá ico es ão implíci os os
concei os de p opo cionalidade, p obabilidade, alea o iedade, amanho da amos a, a lei dos g andes
núme os e alo espe ado. Sem comp eende esses concei os, é di ícil pe cebe que são pa ados mais
mo o is as la inos e a oame icanos do que se ia de espe a . Den o do campo polí ico, económico e
social, Gu s ein (2006) p opõe a explo ação de assun os como os seguin es: pe cebe se as eleições
p esidenciais de 2004 dos EUA o am “ oubadas”, es uda o a as amen o geog á ico de populações de
mino ias, p ocede à análise de géne o dos depu ados de Assembleia (Municipal, Pa lamen a ), usa a
Ma emá ica pa a olha c i icamen e o modo como é de e minada a axa de desemp ego. Pe e son
(2013) ela a a o ma como inicia o ano le i o, pedindo aos seus alunos, do 5.º ano, que explo em o
modo como é usada a Ma emá ica nas suas casas e comunidades, aliciando-os a elabo a em uma
au obiog a ia. Como pon o de pa ida, os alunos esc e em um ensaio a que in i ulam de “o eu
numé ico” (p. 11) a a és do qual en am desc e e como os núme os es ão conec ados às suas idas.
Pos e io men e, cons oem algumas linhas c onológicas pa a ep esen a que da as de ani e sá ios,
que ep esen a as suas a i idades diá ias e c onologias de ida. Com es as a i idades os alunos
desen ol em compe ências de aciocínio lógico e c í ico, pa a en ende em as elações que se
es abelecem en e os núme os, dis ância, empo, ações, decimais. Além disso, Pe e son (2013)
implemen a á ios p oje os ao longo do ano, com os seus alunos, os quais incidem semp e na ligação
en e a Ma emá ica e assun os de jus iça social: pob eza e saúde mundial; desemp ego e endências
de abalho; salá io mínimo; assun os com os quais os alunos abalham pe cen agens, es abelecem
compa ações, desenham g á icos, i am conclusões. Ou o in e esse po pa e des e in es igado é
u iliza a Ma emá ica pa a en ende a His ó ia, pelo que le a os alunos a analisa as con ibuições de
á ias cul u as e ci ilizações não eu opeias pa a o pensamen o ma emá ico. Ainda com es e obje i o,
Pe e son (2013) conside a que é impo an e que os alunos comp eendam que os núme os não são
acessó ios pe manen es da nossa es u u a social, mas que podem a ia ao longo do empo como
esul ado dos mo imen os sociais, ais como os mo imen os dos di ei os ci is ou dos di ei os das
mulhe es. Sob o jugo “Vi e a álgeb a, i e o salá io”, Dean (2013, p. 67) ap esen a es e p oje o pa a
alunos do 8.º ano, a a és do qual os obje i os e am, p imei amen e, le a os alunos a aplica em as
compe ências ma emá icas, seguindo uma pos u a é ica, em assun os de jus iça social conec ados às
62
A es e p oje o Gu s ein (2013, p. 16) in i ulou de “
D i ing while black o B own
”.

92
suas idas como é o caso de um salá io decen e. Em segundo luga , mo i a os alunos pa a a
ap endizagem da Álgeb a, conc e amen e pa a o es udo de unções.
Be g e al. (2018) dedica am-se à usão pedagógica en e Es a ís ica e assun os de jus iça
social desen ol endo, nesse âmbi o, um p oje o que i esse po base a in e seção de ambos os
con eúdos. As a i idades que c ia am pa a esse im en ol e am cons ução e in e p e ação de g á icos
e i ados de a igos eais, a a és dos quais os alunos inham de compa a dis ibuição de iqueza em
de e minados países, analisa densidades de á ego numa cidade do B asil, pensa sob e a jus iça
implíci a no caso do julgamen o de um jo em neg o cons i uído po um jú i o almen e b anco.
Como a gumen ado po Gu s ein (2007) e Gu s ein e Pe e son (2013), os bene ícios de
in eg a assun os de jus iça social no cu ículo de Ma emá ica são múl iplos e signi ica i os, que pa a
os alunos, que pa a os p o esso es. Os alunos pode ão econhece o pode da Ma emá ica como uma
e amen a analí ica pa a pe cebe e po encializa a mudança do mundo, em ez de olha a
Ma emá ica me amen e como uma coleção de eg as desligadas pa a se memo izada; ap o unda o
seu conhecimen o de assun os locais, nacionais ou globais; o na em-se mais mo i ados pa a
desen ol e o pensamen o c í ico e a capacidade pa a esol e p oblemas. Pa a os p o esso es, as
po encialidades dessa in eg ação ão pa a além de di e encia o cu ículo ou a c iação de um cu ículo
in e disciplina . Ao desen ol e a ap endizagem de uma o ma con ex ualizada, os p o esso es pode ão
ap ende sob e os seus alunos e sob e as comunidades onde ensinam, acili ando e p omo endo,
des a o ma, o en ol imen o dos alunos. Nunca descu a que de ende os alo es da sociedade e
o nece pe spe i as sociais global au ên icas é ulc al pa a incen i a os alunos a pensa globalmen e e
a agi localmen e (Voss & Ricka ds, 2016).
3.6.3. Desa ios em ap ende a ensina ma emá ica pa a a jus iça social
Uma das implicações, segundo Kokka (2019), de pô em p á ica jus iça social e compe ências
pa a o século XXI como pensamen o c í ico, esolução de p oblemas, c ia i idade, ino ação, lide ança
ou comp eensão in e cul u al, eside em c ia salas de aula onde os alunos êm au onomia pa a
in es iga o seu mundo em comunidade. Pa a p o idencia essas salas de aula, é p io i á io elabo a e
adap a a e as nesse sen ido pa a os alunos, cons i uindo um aspe o da p á ica pedagógica que
eque o mação p o issional con ínua. Po conseguin e, Nicol e al. (2019) ques ionam ace ca das
possibilidades e dos desa ios en ol idos quando se ap ende a ensina Ma emá ica po meio da jus iça
social. Pa a esponde em a es a ques ão, os au o es emp eende am um es udo cen ado nessa
emá ica, endo chegado a ês p incipais conclusões. A p imei a delas em a e com na ega en e
93
ques ões locais e globais e en e a Ma emá ica e assun os in e disciplina es, bem como os desa ios
que são colocados aquando o desenho de a e as a desen ol e . Os esul ados demons am que,
enquan o uns c iam p oblemas começando com um concei o ma emá ico e só pos e io men e
desen ol em um con ex o, ou os há que dão o igem a um p oblema que enha po base uma ques ão
social, examinando,
a pos e io i
, quais os p ocedimen os ma emá icos que se ajus am à esolução da
ques ão. Além disso, e i icou-se que o obje i o de desen ol e p oblemas locais e conec ados com os
in e esses e ealidades dos alunos le ou a p i ilegia ques ões locais sob e ques ões globais. A segunda
conclusão p endeu-se com o papel da jus iça social ao longo dos ní eis de ensino. Nicol e al. (2019)
a e igua am que os p o esso es de Ma emá ica de ní el supe io mani es a am que as opo unidades
em compa ibiliza o cu ículo com ques ões sociais e am limi adas, assim como o empo pa a
cump imen o do mesmo. Po úl imo, os esul ados apon am que um dos desa ios é equilib a a
expe iência do educado com um possí el descon o o. Como elemb am os au o es, explo a a
Ma emá ica po meio de ques ões in e disciplina es e sociais eque aquilo que na ó ica ei eana se
designa po “cu iosidade epis emológica” (p. 1014) o que, nes e caso, se aduz em es a abe o pa a
ap ende a le e a esc e e o mundo com a Ma emá ica. A e en e de descon o o pode su gi quando
exis e um pêndulo a balança en e as possibilidades de ob e um ensino ma emá ico pa a a jus iça
social que se o na, simul aneamen e, “cu a i o e pe u bado ” (Nicol e al., 2019, p. 1014), no sen ido
de es a em diálogo e em con li o, como e e e Vi hal (2012). Is o po que uma pedagogia que p e enda
eesc e e o mundo pode ge a , ocasionalmen e, o mas con adi ó ias de o aze . Ao que Nicol e al.
(2019) acen uam, eco endo à máxima ei eana, que “não há ensino sem ap endizagem” (p. 1014),
pelo que os p o esso es inician es nes a pedagogia são, à ez, alunos e p o esso es.
De uma o ma ge al, Simic-Mulle (2019) ad e e pa a os ep os de ap ende e de ensina
Ma emá ica pa a a jus iça social, salien ando a necessidade de econhece os desa ios que, mui as
das ezes, obs aculizam es e abalho. Um deles é que a cons ução de a i idades baseadas em dados
do mundo eal consome empo e, po an o, mui o in es imen o po pa e do p o esso , endo p esen e
ambém que nem semp e é simples conec a ce os ópicos ma emá icos com as expe iências eais. O
a o empo é ainda des acado no que diz espei o ao empo necessá io pa a abo da os con ex os ou,
de modo in e so, o diálogo de sala de aula pode ica mui o ocado na ques ão do mundo eal e pouco
na Ma emá ica. Po im, pode su gi esis ência, po pa e dos alunos, em abo da con ex os eais,
pois conside am que a Ma emá ica de e se man ida a as ada das ques ões sociais.
Voss e Ricka ds (2016) ealiza am um es udo, com uma u ma de nono ano, com o in ui o de
analisa a aplicação de uma pedagogia de ensino da Ma emá ica, usando emá icas de jus iça social.
94
Sob e es a base, cons uiu-se um p oje o que consis ia em que os alunos compa assem os seus
es ilos de ida com amílias de ou os países e que usassem a Ma emá ica pa a in es iga sob e as
desigualdades. Os esul ados indica am que a pa de um maio en ol imen o dos alunos na sua
ap endizagem, melho ia do desempenho académico assim como capacidade de conexão da
Ma emá ica com a ealidade social, ambém su gi am alguns desa ios no que diz espei o à p es ação
dos p o esso es. En e eles, des acam-se ealiza o p oje o e, simul aneamen e, ab ange o cu ículo
bem como o empo ex a, necessá io pa a p epa a os ecu sos didá icos. No que diz espei o ao
empo disponí el pa a a ealização do p oje o, o depa amen o de Ma emá ica da escola apenas
concedeu um empo po semana. Po sua ez, es a condição ge ou nos alunos uma ce a con usão,
pois inham alguma di iculdade em incula os con eúdos de uma aula pa a a seguin e. Ainda assim,
como exis ia a p essão do cump imen o do p og ama pa a a p epa ação de um exame inal nacional, a
decisão do depa amen o oi i e ogá el. Os esul ados do es udo demons a am que, dado es e
cons angimen o, o p oje o oi concluído em ampli ude, mas não em p o undidade, a e indo-se que os
p o esso es podem encon a esis ência na implemen ação des a pedagogia, de ido a um cu ículo
sob eca egado, sendo ob igados a negocia e a aze concessões. Nou o plano, o empo eque ido
pa a a plani icação e p epa ação de ma e iais su ge como uma e en ual ad e sidade encon ada ao
ensina usando pedagogias de jus iça social, ha endo ela os que indicam que a quan idade de empo
dedicada à p epa ação des as aulas é ês ezes supe io às es an es.
3.7. A ma ca no ma i a da educação ma emá ica pa a a jus iça social nos documen os
nacionais
É inques ioná el que o e lexo no ma i o dos alo es de jus iça na educação em um pendo
eu opeís a, com os documen os de p imei a linha a se em p oduzidos pela União Eu opeia e pela
O ganização pa a a Coope ação e Desen ol imen o Económico (OCDE). Ambas as ins i uições lançam
publicações e ela ó ios que o a es abelecem me as e obje i os, o a analisam os esul ados e si uações
a uais dos di e sos Es ados-Memb os, sal agua dando, po ém, que “cada país da UE é esponsá el
pelos seus p óp ios sis emas de educação e o mação. A polí ica eu opeia nes e domínio isa apoia a
ação a ní el nacional e ajuda a aze ace a desa ios comuns” (OECD, 2024).
Passando, en ão, a e i ó io nacional, é p eciso não esquece que a o ien ação o icial máxima
pela qual se ege a democ acia po uguesa é a Cons i uição da República Po uguesa, na qual são
po meno izados di ei os educa i os inaliená eis, enume ados num as o ol de a igos. Nes a linha,
su ge a
Lei de Bases do Sis emas Educa i o Po uguês
, de 1986, de inindo, no seu pon o 2, do A igo
95
1.º, o di ei o à educação como um dos p incípios básicos pa a o p og esso social e a democ a ização
da sociedade, e ad ogando a ga an ia do di ei o a uma jus a e e e i a igualdades de opo unidades no
acesso e sucesso escola es. Da pa e dos sucessi os Minis é ios de Educação e Ciência (MEC), o
discu so educacional oi sendo inculado às o ien ações o iciais que iam sendo p oduzidas, ma izando,
mais ou menos indele elmen e, as ideologias pa idá ias. De subs a o comum, pelo menos a pa i de
década de 90, os di e en es Go e nos mani es a am esponsabilidade pela melho ia da qualidade da
educação, ainda que em e mos a alia i os, e p eocupação pelo comba e ao abandono escola p ecoce
e à exclusão escola (Seiça, 2016), no seio de um Es ado que con inuou a exe ce , de modo
cen alizado, as unções egulado a e dis ibu i a. Já em inícios do no o milénio, as polí icas educa i as
i am-se pa a uma en a i a de minimização do papel do Es ado e, a ac escen a à mode nização das
escolas e à ideologia da inclusão, e gue-se a bandei a da au onomia escola e da necessidade de maio
lexibilização do sis ema educa i o (Es ê ão, 2012). F u o des a conjun u a, sob essaem um conjun o
de p oje os de di e enciação pedagógica e medidas de p omoção do sucesso escola que ha monizam
o amalhe e compos o pelas o ien ações cu icula es e no ma i os legais. Um dos exemplos é a
implemen ação do p og ama Te i ó ios Educa i os de In e enção P io i á ia (TEIP), que su ge
inicialmen e em 1996, mas é g adualmen e es endido, em 2009, a odo o país (Despacho No ma i o
55/2008), des inado a comunidades educa i as pa icula men e des a o ecidas económica ou
socialmen e, e en ualmen e ma cadas pela pob eza e exclusão social, mais expos as a casos de
iolência, indisciplina ou insucesso escola . Na base encon a-se uma pe spe i a compensa ó ia e de
e i o ialização, di igida pa a uma a enuação das ulne abilidades sociais p esen es em ambien e
educa i o. Compensa ó ia, po que pa e da disc iminação posi i a pa a abalha no sen ido de
ins au a equidade na edis ibuição de ecu sos e da ga an ia de um mínimo de compe ências. O
p incípio de e i o ialização das polí icas educa i as eme e pa a a endência de descen alização do
pode do Es ado nas omadas de decisão das escolas, suble ando a ans e ência de compe ências
pa a o pode local – au a quias e ag upamen os –, pe mi indo a mobilização dos a o es locais numa
ação conjun a que dê sen ido a um p oje o comum (Roldão e al., 2011). A pa do p og ama TEIP,
su gi am ou as medidas de p omoção do sucesso educa i o como a me odologia Fénix, a me odologia
Tu mas Mais, ou o p oje o-pilo o de ino ação pedagógica, mecanismos es es que isa am omen a o
sucesso e a qualidade das ap endizagens dos alunos, endo como eículo p incipal a au onomia
escola .
Na á ea da Educação pa a a Cidadania, o MEC (2017a) ez anspa ece , po dec e o, a
p eocupação pa a com a exis ência de uma ans e salidade que en ol e di e en es dimensões da
96
educação pa a a cidadania, pa indo da ideia que, enquan o p ocesso educa i o, a educação pa a a
cidadania con ibui pa a a o mação de pessoas esponsá eis, au ónomas e solidá ias. O documen o
e o ça a impo ância de in oduzi as di e en es componen es da educação pa a a cidadania, que nas
á eas disciplina es, que nas a i idades e p oje os (San os, 2015).
Quan o ao e e encial educa i o mais ecen e, o
Pe il dos Alunos à Saída da Escola idade
Ob iga ó ia
(2017b) em como impe a i o assegu a a coe ência do sis ema educa i o, após e sido
ala gado o núme o de anos de escola idade ob iga ó ia. Es e quad o de e e ência undamen a-se em
oi o p incípios. Um deles é a sua base humanis a, de endendo que a “escola habili a os jo ens com
sabe es e alo es pa a a cons ução de uma sociedade mais jus a” (MEC, 2017b, p. 8). Des aca-se
ainda o p incípio da inclusão, ap esen ando a “escola ob iga ó ia como sendo de e pa a odos,
p omo o a da equidade e democ acia” (MEC, 2017b, p. 8). Com es e documen o dep eende-se a
necessidade de espelha os alo es e as compe ências que se p e ende ia que o jo em i esse, à saída
da escola idade ob iga ó ia, e a a és dos quais se o nasse um cidadão “munido de múl iplas
li e acias que lhe pe mi am analisa e ques iona c i icamen e a ealidade, a alia e seleciona a
in o mação, o mula hipó eses e oma decisões undamen adas no seu dia a dia” (MEC, 2017b,
p.10). Ve i ica-se, com es e documen o, que con inua a ha e p eocupação pa a com o
desen ol imen o de alo es de equidade, jus iça, democ acia, pensamen o c í ico. No en an o, es e
e e encial pa ece se mais e elado de uma sólida base humanis a, comp ome ido com o ideal de
cidadão li e, c í ico e au ónomo. Mais ainda, ap esen a aos p o esso es a esponsabilidade de
o na em os jo ens nesse cidadão ideal, enume ando um conjun o de ações de e minan es a esse
lo escimen o.
Po udo o p ecedido, pa a odos os p o esso es, que assumem uma pos u a é ica p econizada
pelo
Es a u o da Ca ei a Docen e
, se á um obje i o adequa uma pedagogia de equidade e jus iça
social ao cump imen o dos cu ículos nacionais (San os, 2014). Da mesma o ma que, como sublinha
Ba ell (2018), um dos obje i os da EMJS é o nece os con eúdos ob iga ó ios ab angidos pelo
cu ículo nacional. O a, es e p incípio ai ao encon o, p ecisamen e, do que é es abelecido pelo
Pe il
dos Alunos à Saída da Escola idade Ob iga ó ia (PASEO)
, quando ap esen a um conjun o de ações
elacionadas com a p á ica docen e que p essupõem uma mudança nas p á icas pedagógicas e
didá icas p esen emen e. Uma dessas ações é “abo da os con eúdos de cada á ea do sabe ,
associando-os a si uações e p oblemas p esen es no quo idiano da ida do aluno ou p esen es no meio
sociocul u al e geog á ico em que se inse e, eco endo a ma e iais e ecu sos di e si icados” (MEC,
2017b, p. 24). Des aca-se, de igual modo, a e e ência à o ganização do ensino, es imulando a

97
u ilização c í ica de dis in as on es de in o mação. Po im, é de salien a , que uma das ações
suge idas é a de “p omo e de modo sis emá ico e in encional, na sala de aula e o a dela, a i idades
que pe mi am ao aluno aze escolhas, con on a pon os de is a, esol e p oblemas e oma decisões
com base em alo es” (MEC, 2017b, p. 24).
Nas Ap endizagens essenciais da Ma emá ica AEM (MEC, 2021) pa a o 3.º CEB, que en am
em igo no ano le i o 22/23, de inem-se uma mul iplicidade de obje i os de ap endizagem consoan e
seis ópicos de capacidades ma emá icas ans e sais. Nes e documen o, de inem-se qua o obje i os
elacionados com as conexões ma emá icas que pon uam pela alo ização dada à in e p e ação
ma emá ica do mundo eal e o seu pode pa a p e e e in e i sob e si uações do mundo eal.
3.8. In e seção en e a educação ma emá ica pa a a jus iça social e a modelação
ma emá ica c í ica
O i ine á io a é aqui pe co ido p e endia o na isí el a mul iplicidade de e en es e
in e secionalidades que se podem es abelece ao abalha no campo da EMJS, as quais só são
possí eis no seio de um quad o de diálogo en e in es igado es que, pa indo de di e en es si uações
de ma ginalização não só educa i as, con ibuem pa a a análise de o mas de mi igação e comba e às
injus iças es u u ais. Dado que os pon os de con ac o en e a EMJS e a modelação ma emá ica C í ica
não se podem nega , julga-se con enien e assinala qua o ca ac e ís icas que, indiscu i elmen e, as
conec am. Pa e-se da ideia de que ambas assen am na abo dagem de W igh (2016) que de ende que
o ensino da Ma emá ica de e o nece expe iências ele an es, signi ica i as e que en ol am os alunos
pa a a Ma emá ica, ao mesmo empo que possibili am maio es opo unidades pa a os alunos mais
des a o ecidos a pode em ealiza , em al e na i a a um ensino da Ma emá ica que con ibua pa a a
ep odução das desigualdades e pe pe uação dos p i ilégios na sociedade.
Uma das ca ac e ís icas que de êm em comum é inse i em-se numa pe spe i a sociopolí ica
que, como Ju dak (2016) põe em e idência, es abelece a elação en e Ma emá ica, discu so e pode .
Reco endo, uma ez mais, a Sko smose (2024), a ambição educa i a imp imida pelo e mo
ma emacia
é o na a Ma emá ica numa linguagem de descons ução social, encon ando-se em A aújo
(2009) que o uso dos modelos ma emá icos pode con ibui nesse sen ido. Como en a iza Simic-Mulle
(2019), a exp essão gu s einiana,
le o mundo com a Ma emá ica
não em com um manual de
ins uções, no en an o, a modelação ma emá ica pa ece se uma boa o ma de o abo da em sala de
aula, em ez de um conjun o de algo i mos p ede e minados. Ainda nes e sen ido, as pesquisas
indicam que, den o da pe spe i a de modelação socioc í ica, a in es igação ecai não sob e as
98
compe ências ma emá icas dos alunos, mas, p ecisamen e, nas capacidades dos mesmos pa a se em
modelado es c í icos e econhece em o seu p óp io pode (Abassian e al., 2019).
Inco po a as expe iências dos alunos pa a en a iza a ele ância cul u al da Ma emá ica
(W igh , 2015) é um dos obje i os de uma educação c í ica, assim como pe mi i que as suas ozes
sejam ou idas e as suas his ó ias sejam con adas ambém é jus iça (Simic-Mulle , 2019). A modelação
ma emá ica c í ica jun a-se a es a p emissa ao pos ula o desen ol imen o do pensamen o c í ico
a a és do uso da Ma emá ica em si uações eais e não ic ícias, p i ilegiando discussões e lexi as que
se dão em espaços de in e ação, em que p o esso es e alunos in e agem e balmen e sob e uma
a i idade de modelação. Na base des a po encialidade encon a-se aquilo que é desc i o, em pedagogia
p og essis a, como pedagogia cul u almen e ele an e (Rubel & Nicol, 2020), que se aduz po uma
pe spe i a cul u al de ap endizagem, subs anciada pelo p incípio de que o cu ículo e o ensino de em
basea -se nas expe iências sociocul u ais dos p óp ios alunos e não numa pad onização cul u al
b anca de classe média. Es a ação pedagógica p ocu a aze o
backg ound
dos alunos pa a a sala de
aula, cons uindo a i idades cu icula es o ien adas e induzidas a pa i do con ex o cul u al dos alunos,
conhecidos como undos de conhecimen o dos alunos (Oli ei a e al., 2016).
Um pendo c í ico associado a um ambien e educa i o p essupõe que o mesmo combine ação
e e lexão e, po esse mo i o, a educação ma emá ica pa a a jus iça social e a modelação ma emá ica
c í ica es ão assen es na ideia de agência c í ica. O e mo é usado po G ee e Sko smose (2012) pa a
designa o diálogo concomi an e en e a ação e a e lexão. O a, um dos obje i os da educação
ma emá ica pa a a jus iça social é u iliza o pode da Ma emá ica pa a econ igu a a sociedade,
o nando-a mais é ica e jus a. A mesma endência é assumida pela modelação ma emá ica c í ica ao
embandei a o p essupos o de que a Ma emá ica pode in luencia a i amen e a omada de decisões na
sociedade, endo como linha o ien ado a o papel social que a educação ma emá ica pode
desempenha . É p eocupação de ambas as e en es p opo ciona in es igações ma emá icas que
desen ol am a agência c í ica e pe mi am os alunos pa icipa de uma cidadania a i a. Num plano
mais e é eo, Sko smose (2007) conside a p oblemá ico quando a modelação e aplicações são
desc i as em e mos de ep esen ação, na medida em que a conceção de modelação ma emá ica
como ep esen ação es á elacionada com uma pe spe i a dual do mundo, na qual o modelo
ma emá ico apenas ep esen a uma pa e dessa ealidade. Ao in és disso, o au o de ende que a
modelação de e ia não só ca og a a a ealidade, mas es abelece -se como uma “Ma emá ica em
ação” (p. 116), uma Ma emá ica que aça pa e de uma omada eal de decisões. Os mo i os
99
assinalados e elam po encialidades comuns pa a a conjunção dialé ica onde Ma emá ica e pode
in e agem e de onde eme gem os concei os de en ol imen o, ação e mudança.
Po úl imo, ambas espondem à demanda de um enquad amen o no ma i o cujo e lexo
cu icula é a ei indicação do sucesso e qualidade das ap endizagens com base numa educação que
ga an a a igualdade de opo unidades. Em consonância com es a linha, de que o ma pode o ensino da
Ma emá ica a ende a es a chamada? Veja-se que o documen o
P incípios e No mas pa a a Ma emá ica
Escola
(NCTM, 2007) des aca que “os con ex os dos p oblemas pode ão a ia desde expe iências
amilia es dos alunos, ela i as às suas idas pessoais ou ao dia a dia escola , a é aplicações
en ol endo as ciências e o mundo do abalho” (p. 57). Não obs an e, ela ó ios nacionais, baseados
em es udos in e nacionais de a aliação de desempenho dos alunos, mos am que os esul ados dos
alunos po ugueses são pa icula men e acos em i ens que mobilizam a capacidade de encon a
es a égias pa a a esolução de p oblemas, como o são em i ens onde se solici a a cons ução de
ex os de ca ác e a gumen a i o (IAVE, 2015). No que diz espei o ao con ex o amilia , os dados
ecolhidos em es udos in e nacionais, mos am que e mais ecu sos disponí eis em casa aduz-se
em e ei os signi ica i os nos desempenhos dos alunos, bem como enca egados de educação mais
escola izados p oduz alunos com melho es desempenhos. Assim, a EMJS e a modelação ma emá ica
c í ica encon am-se necessa iamen e unidas na cons ução educa i a, mas ambém social, de um
caminho que mi igue as desigualdades iniciais e que esponda, e e i amen e, a uma maio igualdade
de opo unidades, ao mesmo empo que ap esen am uma saída pa a a descon ex ualização do ensino
da Ma emá ica.
3.9. Sín ese do capí ulo
Nas pala as de Gi oux (2014), a educação con empo ânea o nou-se um conjun o de polí icas
que des alo izam a ap endizagem, uma educação colapsada no eino. O au o é ca egó ico em
denuncia que o sis ema neolibe al p oduziu a ideia de que o cu ículo de e se o ganizado em o no
de es es, na c iação de alunos passi os e na aplicação de uma pedagogia de ep essão. Po seu lado,
Lima (2019) c i ica a subo dinação da educação à economia e à compe i i idade, mas ambém a
ci cunsc ição do p óp io concei o de cidadania a um me cado de libe dades económicas, o ien ado
pa a a cons i uição dos consumido es. Com es e cená io, le an a-se a ques ão: que elação educa i a
pode á exis i que não implique unicamen e o endou inamen o? P ocu ando pe cebe se exis e uma
espos a con a-hegemónica que á nesse sen ido, si uou-se a discussão no plano da pedagogia c í ica.
100
Na úl ima década, o e mo jus iça social popula izou-se en e o discu so mediá ico,
pe passando a sua habi ual es e a socio ilosó ica e degene ando, com equência, numa ulga ização
do seu concei o. Des e modo, lançou-se um pé iplo pelas eo ias de jus iça, pe spe i ando ob e uma
linha a iadniana que conseguisse aze à luz as con ibuições pa a o plano da educação. Des e modo,
endo sido analisada a mul idimensionalidade do alo de jus iça, econhece-se como sus en ação
undamen al à p á ica educa i a as suas e en es de edis ibuição e de econhecimen o. Di ecionando
o olha , p imei amen e, pa a a jus iça sob e a o ma de equidade, de Rawls ex aem-se ês pon os que
se conside am essenciais pa a a esponsabilidade educa i a, endo po base a igualdade de
opo unidades: i) igualdade no acesso; ii) igualdade no ensino; iii) igualdade no conhecimen o. Es as
igualdades só se ão possí eis segundo o P incípio da Di e ença, sob a dimensão de edis ibu i a. Da
jus iça econhecimen o (F ase , 2009) en endem-se os alunos como sujei os p incipais da
ap endizagem, num ambien e de sala de aula que omen e um sen ido de comunidade e iden idade
onde odos pa ilhem opiniões, com ecu so à esolução de p oblemas que alo izem di e en es
con ex os sociocul u ais.
Assim, en elaça-se o an e io desc i o com a especi icidade da educação ma emá ica (EM), no
seio de uma pe spe i a c í ica. Na e dade, nem oda a e e ência da EM como e amen a à cidadania
es á enquad ada de uma isão c í ica. Is o, po que es a in e p e ação c í ica consis e em mui o mais do
que a pa icipação cí ica na sociedade. O ep o es á em ques iona o uncionamen o do pode e da
u ilização da p óp ia Ma emá ica como elemen o de di e enciação, e, po an o, de seg egação de
alunos e pessoas que, po sua ez, cons i uem injus iça e exclusão (Vale o e al., 2015). Di e en es
nomes são dados ao es udo c í ico den o da EM: ma emá ica adical (F ankens ein, 1987); ma emacia
(Sko smose, 2020); li e acia ma emá ica (Gu s ein, 2006). Es es au o es conjugam-se no sen ido de
de ende que é possí el conec a o cu ículo com as ealidades sociais dos alunos e que, po
conseguin e, os alunos melho a em as suas capacidades pa a u iliza as ep esen ações ma emá icas
em si uações do quo idiano (Gu s ein, 2016), num caminho que espelhe, e dadei amen e, a
mul idimensionalidade da jus iça na educação.
107
man ido, a obse ação mais po meneno izada oi conseguida na escola ela i a à u ma de 9.º ano. A
pa des e mo i o, encon ou-se, aquando a análise dos dados, aquilo que Dooley (2002) e e e como a
p odução de um g ande olume de dados pa a análise, ac escen ado que a complexidade ine en e aos
es udos de caso pode le a a que coexis am á ios casos den o de um es udo. Pa a e i a es e con li o
seleciona am-se os casos de 8.º e 9.º anos. A decisão pa a man e es es casos em de imen o do caso
de 7.º ano, p endeu-se, p ecisamen e, com a mo i ação pa a a sua seleção. Is o po que, po análise
compa a i a, ambos podem se conside ados, a é ce o pon o, de ambien es con as an es, assim
como p i ilegiou-se, ambém, o caso de 9.º ano po pe ence a um ní el de inal de ciclo. Com a
p e oga i a des a escolha, en ende-se que, do a an e, os casos a se em ci ados se ão,
exclusi amen e, os casos das u mas de 8.º e 9.º anos.
4.2.1. Ca ac e ização das Escolas e Di e o es
O con ex o geog á ico e socioeconómico das duas escolas en ol idas na in es igação e o ça a
singula idade das u mas que lhe co espondem. A escola a que pe ence a u ma de 8.º ano,
designada, ic iciamen e, po Ag upamen o de Escolas Lídia Jo ge (LJ), localiza-se num meio u bano da
cos a li o al do ba la en o alga io, pe encendo a um concelho em c escimen o demog á ico, com
uma ele ada axa de C escimen o Na u al. Ainda que o Ag upamen o seja compos o po onze unidades
o gânicas, do p é-escola ao ensino secundá io, com alunos de a iados con ex os sociocul u ais, a
Escola Básica e Secundá ia Lídia Jo ge con ém jo ens cujos ag egados amilia es co espondem a
classes sociais médias al as em e mos económicos e académicos (P oje o Educa i o [PE], Escola LJ).
No desempenho do ca go de di e o a encon a-se Ana Ma ia, uma pessoa dinâmica que, no ano le i o
que e e luga o abalho de campo, con a a com 39 anos de se iço, dos quais 20 o am em di eções
de escolas. Do Ag upamen o de Escolas a que se epo a es e es udo de caso, é di e o a há 8 anos.
Ana Ma ia é licenciada em Química e não consegue apon a uma azão que a enha le ado a se
p o esso a. No en an o, desde que começou a da aulas sen iu que e a um abalho g a i ican e e
semp e gos ou da elação com os alunos (ED, LJ). Do seu discu so, essal a a impo ância que a ibui
às elações humanas e o con ac o que es abelece com odos os memb os da comunidade educa i a.
A escola que albe ga a u ma de 9.º ano, ep esen ada po Escola Secundá ia Ma iana
Alco o ado (MA), si ua-se no in e io do Baixo Alen ejo, num concelho ma cado pela u alidade, com
al a axa de desemp ego e mig ação sazonal, com pe da de população desde a década de 50 do
século XX (PE, MA), especialmen e acen uada nas úl imas duas décadas e en elhecida (PORDATA,
2023). Es e pano ama p o oca assime ias económicas, sociais e cul u ais em compa ação com o

108
es o do país. Nes e sen ido, a ins i uição escola coloca-se no cen o do deside a o po uma ida
melho , com núme os que egis am um aumen o subs ancial do núme o de anos médio da habili ação
escola , na úl ima década. A equipa de ges ão da Escola Ma iana Alco o ado é p esidida po João
A onso pelo segundo ano consecu i o, embo a o mesmo pe ença à equipa di e i a desde 2010, endo
passado po adjun o da di eção e exe cido o ca go de subdi e o . A sua á ea de o mação é Educação
Física e ap esen a a ligação à p á ica despo i a enquan o aluno de secundá io e o ac o de e
amilia es p o esso es de Educação Física como azões pa a o seu pe cu so o ma i o. Fez o es ágio
em 2000, possuindo dezoi o anos de se iço à da a do es udo. Da sua ca ei a p o issional o di e o
des aca dois momen os, o p imei o é ela i o à sua mudança pa a o Alen ejo, e e indo que oi a
mudança mais p o unda, ao ní el p o issional e pessoal; o segundo oi quando oi con idado pa a a
di eção.
4.2.2. Ca ac e ização do g upo disciplina de Ma emá ica
Os p o esso es que compõem o g upo disciplina de Ma emá ica da Escola Lídia Jo ge são
qua o, incluindo a p o esso a da u ma de 8.º ano, cujos nomes são ic ícios. Dois deles, Jo ge e
C is ina, e am p o esso es cuja si uação p o issional e a a de ‘Con a ados’, po sua ez as
p o esso as, Paula e Ma a, e am p o esso as de ‘Quad o de Escola’, encon ando-se Ma a em
si uação de ‘Mobilidade In e na’. Quan o ao empo de se iço docen e, C is ina e Jo ge possuíam 9 e
10 anos, espe i amen e, enquan o Ma a inha 16 anos e Paula comple a a 17 anos de se iço. Todas
as p o esso as e e idas abalha am semp e em escolas da ede pública de ensino, lecionando que o
ensino básico, que o ensino egula , bem como cu sos egula es e cu sos p o issionais. No âmbi o das
suas o mações académicas supe io es, algumas das azões que le a am es es p o esso es a op a em
pelo ensino da Ma emá ica epe em-se en e si, apesa de cada um deles suge i uma mo i ação
pessoal. Embo a nenhum e i a e sido uma opção
sine qua non
, odos acaba am po ilus a e en os
mu uamen e exclusi os, suge indo que uma coisa le ou à ou a e onde, desde logo, se sen i am
con o á eis com a decisão. A menção à in luência que exe ceu algum an igo p o esso de Ma emá ica
do ensino secundá io nas suas decisões é pa ilhada po dois p o esso es. No que diz espei o às
expe iências mais ele an es du an e o cu so de o mação de p o esso es, os p o esso es o am
unânimes em des aca em o ano de es ágio p o issional como a e dadei a p epa ação pedagógica,
co obo ando a ideia de que o es ágio oi o culmina da p epa ação pa a a docência, e ecem algumas
c í icas aos qua o anos que o p ecede am. Do pon o de is a de uma das docen es, o cu so p epa ou-
a cien i icamen e, no en an o, apenas o es ágio lhe o neceu a pa e pedagógica.
109
Quan o à p omoção do desen ol imen o p o issional, es es p o esso es eco em, em p imei o
luga , à pa icipação em ações de o mação, bem como iden i icam a impo ância de um abalho de
in e ajuda e pa ilha de expe iências en e docen es. Nes e âmbi o, os p o esso es Jo ge e C is ina são
os que mais ealçam o papel da au o o mação como sendo o mo o do seu desen ol imen o
p o issional que, na ó ica de C is ina, es á di e amen e elacionado com o empenho que coloca na
in es igação pessoal. Ainda no que conce ne ao desen ol imen o p o issional, e quando ques ionados
ace às azões que os le am a equen a em ações de o mação, são as p o esso as de ‘Quad o’ que
mais e idenciam os seus mo i os, os quais se encon am en e o ac o de se ob iga ó io pa a a
p og essão na ca ei a, a não es agnação dos conhecimen os ou a on ade de e su gi no as eo ias
pedagógicas que possam pô em p á ica com os seus alunos. Do pon o de is a de Ma a, ambém é
impo an e es a a ualizada ao ní el das e amen as digi ais, como as uncionalidades do quad o
in e a i o ou algumas das aplicações educa i as pa a disposi i os mó eis.
O g upo de docen es de Ma emá ica da Escola Ma iana Alco o ado é cons i uído po Isabel, a
p o esso a da u ma de 9.º ano, Ode e, Ma ga ida e Luís F ei e, nomes, uma ez mais, ic ícios. Nes e
g upo de docen es, essal a o aspe o e e en e às suas si uações p o issionais, na medida em que
odos possuem um ínculo com o Es ado. Isabel e Ma ga ida com a ca ego ia de p o esso as QZP e
Ode e e Luís êm a ca ego ia de p o esso es QE. Po sua ez, di e em no que diz espei o ao empo de
se iço docen e, endo Isabel 12 anos de se iço e Ma ga ida 14 anos. Já Luís a i ma e 32 anos de
docência e no caso de Ode e a p o esso a con essa se o seu 38.º ano. É ans e sal o ac o de a
expe iência p o issional des e g upo de p o esso es e sido semp e em escolas da ede pública e
quase em odos os ní eis de ensino. Ode e e Luís êm mais expe iência de secundá io, embo a desde
que a escola começou a e 3.º ciclo, passa am a e cumula i amen e u mas de 3.º ciclo. Isabel é a
docen e que con a com uma maio di e sidade de pe cu sos.
Em e mos de o mação académica, os qua o docen es coincidem no gos o pela disciplina que
lecionam e daí a mo i ação po es uda em Ma emá ica, embo a no caso de Luís a sua o mação
supe io seja em Engenha ia Mecânica. Já as azões que le a am es es p o esso es pa a a docência
di e em. Dos qua o, apenas Ode e ela a que ainda enquan o aluna de Secundá io que ia se
p o esso a de Ma emá ica. A i ência de Luís é, segundo a sua na a i a, comum a mui os da sua
época, uma ez que começou po exe ce Engenha ia e como ha ia al a de p o esso es, começou a
da aulas, op ando po es a p o issão. Especi icamen e, no caso de Ma ga ida exis iu a mo i ação de
e o seu pai como p o esso de Ma emá ica, embo a admi a que no 1.º ano da Faculdade ainda
110
pensou em desis i . Pa a Isabel, pendeu unicamen e o gos o pela Ma emá ica e a acilidade à disciplina
du an e o Secundá io, sendo que o ensino oi uma escolha alea ó ia.
Da e lexão e e uada pelo g upo de p o esso es ace ca do modo como se desen ol em
p o issionalmen e, nomeadamen e no que diz espei o à dimensão cien í ico-pedagógica, os docen es
des acam ês o mas em comum, a oca de expe iências, as coadju ações e as ações de o mação.
Isabel esmiúça o assun o e sepa a cla amen e a pa e cien í ica da pedagógica.
Todos os docen es conec am a mo i ação pa a equen a ações de o mação com a espe i a
ob iga o iedade pa a a p og essão na ca ei a, em simul âneo com o ac o de se uma o ma de
a ualização das p á icas docen es. Ode e explica que, pa a muda de escalão, são semp e necessá ios
c édi os de o mação e, po isso, quase odos os anos az o mação. Po sua ez, Isabel escla ece que,
ao se em de ca ác e ob iga ó io, en a seleciona as ações que ão de encon o aos seus in e esses.
4.2.3. Ca ac e ização dos alunos
A u ma de 8.º ano é cons i uída po in e e dois alunos, dos quais oi o são apa igas e ca o ze
são apazes. A idade média dos alunos é de 12 anos e a ia en e os 12 e os 14. Todos os alunos êm
nacionalidade po uguesa e em e mos de ação social escola , doze alunos bene iciam de um dos ês
ipos de escalão. Nenhum dos alunos é epe en e, bem como nenhum em acompanhamen o po
necessidades educa i as especí icas. Des e g upo, se e equen am o ensino in eg ado e um o ensino
a iculado de Música. A maio ia dos alunos possui como enca egado de educação a mãe, cujas
o mações académicas a iam en e o 3.º Ciclo do Ensino Básico, Ensino Secundá io, Licencia u a,
Mes ado e Dou o amen o e as si uações p o issionais e elam um g ande núme o de abalhado as
po con a de ou em.
No que diz espei o ao ap o ei amen o escola , onze alunos não ob i e am qualque ní el
in e io a ês no ano ansa o, no en an o, se e alunos i e am uma nega i a, dois alunos ob i e am
duas nega i as e dois alunos i e am ês ní eis in e io es a ês. As disciplinas que mais con ibuí am
pa a es e cená io o am Ma emá ica e Inglês.
Quan o ao modo como enca am a escola, es e g upo de alunos mos a-se desanimado,
imp imindo na elação escola um hábi o e um meio pa a o con í io social. Da ob iga o iedade da
equência escola espe am colhe os u os pa a um u u o bom. O g au de mo i ação pa a
ap ende em Ma emá ica é baixo, dado que oi o alunos a i mam se a disciplina que êm mais
di iculdades e apenas ês alunos e elam se a disciplina p e e ida.
111
No que diz espei o aos alunos de 9.º ano, a u ma compõe-se po in e e no e alunos, en e
os quais dezasse e apa igas e doze apazes. As idades a iam en e os 13 e os 17 anos, sendo que a
idade média é de 14,3. Des e g upo, qua o alunos não êm nacionalidade po uguesa e doze deles
bene iciam de Ação Social Escola . No plano académico, a u ma em dois alunos epe en es e seis
alunos que ap esen am uma e enção no seu pe cu so escola . Nenhum dos alunos ob ém
acompanhamen o po Necessidades Educa i as Especí icas. Quan o aos Enca egados de Educação
são, maio i a iamen e, as espe i as mães, as quais ap esen am como o mação académica o 2.º Ciclo
do EB, 3.º Ciclo do EB, o Ensino Secundá io e Licencia u a e possuem como si uação p o issional
con a os po con a de ou em, po con a p óp ia, desemp egadas e domés icas.
No âmbi o do sucesso escola , apenas doze alunos não ap esen am qualque ní el in e io a
ês no inal do ano le i o an e io . Dos es an es, oi o alunos ob i e am uma nega i a, seis i e am
duas nega i as e ês alunos ob i e am ês ní eis in e io es a ês. Das disciplinas que mais se
e idencia am nes e leque o am Ma emá ica, Inglês e Físico-Química.
O posicionamen o des e g upo de alunos ace à escola é, em ge al, de con o o. Dizem-se bem
acolhidos e, apesa desse bem-es a nem semp e se ala gado à sala de aula e à elação com alguns
dos p o esso es, o sen imen o da necessidade de es uda em é quase ans e sal. Rela i amen e à
disciplina de Ma emá ica sen em-se mo i ados, deposi ando na elação de abe u a com a p o esso a
con iança pa a sup i em as suas di iculdades.
4.3. P ocedimen os e écnicas de ecolha de dados
Pa a aseando Cohen e al. (2018), um dos aspe os essenciais do es udo de caso é a seleção
da in o mação, o ien ado pela possibilidade da u ilização de á ias on es de e idência (Yin, 2017), que
de em es a em consonância com o caso e o seu con ex o. Vá ios au o es (po exemplo, Bogdan &
Biklen, 2013; Denzin & Lincoln, 2018; McMillan & Schumache , 2014; Yin, 2017) disco em sob e a
mul iplicidade de mé odos de ecolha de dados na in es igação quali a i a, pa ilhando a isão comum
do es abelecimen o de limi es pa a o es udo e elencando os seguin es elemen os de ecolha de dados:
obse ação; en e is as; e documen os. A endendo a es as di e izes e após es abelecidos os
p o ocolos que de i a am nas escolas en ol idas e na seleção das u mas que cons i uem a
singula idade dos casos, o desen ol imen o da in es igação empí ica oco eu em qua o ases
(Tabela1).
112
Tabela 1
Fases do P ocesso Empí ico e dos Ins umen os de ecolha de dados
Fases
A i idade
Ins umen os de Recolha de Dados
1
Enquad amen o do Con ex o Educa i o
En e is a a p o esso es
Documen os in e nos da Escola
Elabo ação das a e as de modelação
Obse ação de momen os de abalho;
No as de Campo;
2
Ca ac e ização dos alunos
En e is a a alunos; Documen os
3
Momen os de ap endizagem
Obse ação de aulas
No as de Campo
P oduções dos alunos
4
Pe spe i as inais dos Pa icipan es
En e is a a alunos e a p o esso as
Numa p imei a ase, p ocu ou-se, a a és de en e is as, auscul a as expe iências e p á icas
habi uais dos p o esso es de Ma emá ica, bem como econhece a pos u a do ep esen an e do ó gão
de ges ão ace à missão e à esponsabilidade educa i a do Ag upamen o e undamen a o
enquad amen o do con ex o educa i o. Pos e io men e, en e as p o esso as e a in es igado a, o am
codesen ol idas a e as que conjugam a unidade emá ica de unções e assun os de jus iça social.
Es as a e as assumi am di e en es con o nos como sendo p oje os sob e ópicos de unções que
inse iam o ema, se iam de apoio ao seu desen ol imen o ou a p opos a de p oje os nos quais
i e am como au o ia os p óp ios alunos.
Numa segunda ase, p ocedeu-se à ca ac e ização dos alunos da u ma ela i os a cada um
dos es udos de caso. P e endeu-se com es e le an amen o pe cebe o desempenho escola de cada
um dos alunos, não só na Ma emá ica como ambém nas es an es disciplinas. A a és de en e is as
em g upo indaga am-se os alunos ace ca das inalidades de ap ende Ma emá ica, en ando ambém,
des a o ma, pe cebe o que sabem de jus iça social.
A ase ês des a in es igação encon ou-se ese ada à obse ação das aulas e a a és das
quais se p ocedeu à ecolha de dados empí icos que, pa a além da obse ação di e a não pa icipan e,
engloba am en e is as (a p o esso es e a alunos) em di e en es momen os da componen e empí ica
(início, du an e e no inal), g a ações áudio e ídeo desses egis os.
Numa ase inal, e e uou-se uma análise documen al com a qual se encionou e i ica a
pe ceção dos alunos ela i amen e a odo o abalho desen ol ido. Es a análise in eg ou as p oduções
dos alunos, os egis os das p o esso as pa icipan es e os egis os, sob e a o ma de no as de campo,
e e uados pela in es igado a, bem como odos os documen os ele an es que azem pa e da escola
(P oje o Educa i o, Plano de A i idades, Regulamen o In e no).

113
Em sín ese, os ins umen os de ecolha de dados u ilizados nes e es udo en ol e am: (i) a
ealização de en e is as; (ii) a obse ação de aulas; (iii) documen os (das escolas e esoluções dos
alunos); e, po úl imo, (i ) no as de campo.
4.3.1. En e is as
Nos es udos quali a i os, as en e is as podem assumi uma es a égia dominan e no decu so
da in es igação ou podem se combinadas com ou as écnicas de ecolha de dados (Bodgan &
Bicklen, 2013). Es e mé odo é e es ido como um banco de dados desc i i o que cons i ui um eículo
di e o à linguagem e bal dos p óp ios in e enien es, possibili ando-os exp essa as suas pe spe i as e
modos de enca a si uações e, acima de udo, assume como cen al a in e ação humana na p odução
do conhecimen o (Bodgan & Bicklen, 2013; Cohen e al., 2018). Ado ando es a abo dagem, u ilizou-se
a en e is a em p o undidade, cujo ca ác e de pe gun as de espos a abe a (McMillan & Schumache ,
2014; Yin, 2017) pe mi iu ecolhe dados sob e o signi icado que os alunos e p o esso es a ibuem a
dois aspe os ans e sais ao ema em es udo, a sabe : (i) modelação ma emá ica e unções; e (ii) papel
da Ma emá ica na in e p e ação de enómenos sociais. Com es e lineamen o, o am ealizadas, ao
longo des e es udo, en e is as a odos os pa icipan es – alunos, docen es do g upo de Ma emá ica e
di e o es dos Ag upamen os.
A na u eza das en e is as depende, segundo McMillan e Schumache (2014), da sua
es u u ação, p o undidade, abe u a de ques ões e ex ensão. Nes a in es igação, o am elabo adas
en e is as com ecu so a um guião o ien ado cons i uído po ques ões abe as, endo em is a
ga an i a abo dagem dos emas mais ele an es, ao mesmo empo que se p io iza ia as e lexões
pessoais de cada um dos sujei os ace ca dos emas em análise. Conc e amen e, ealiza am-se duas
en e is as a cada um dos alunos, uma inicial e uma inal, uma en e is a a cada um dos docen es
pa icipan es, assim como a cada um dos di e o es das escolas e, po im, uma en e is a inal a cada
umas das docen es das u mas. É de e e i que os espe i os guiões o am al o de e isão e alidação
po pa e de dois especialis as em Educação (Bodgan & Bicklen, 2013).
As p imei as en e is as a se em ealizadas o am aos docen es de Ma emá ica de cada umas
das escolas. Oco e am, no dealba do abalho de campo, com o in ui o de es abelece uma elação
de maio p oximidade com os in e enien es, naquilo que Bodgan e Bicklen (2013) desc e em como
“in es igado e sujei o passa em a conhece -se e o in es igado pô o sujei o à on ade” (p. 135).
Des e modo, o am en e is ados, indi idualmen e, qua o p o esso es de Ma emá ica po escola. No
guião (Apêndice 17) que o ien ou as con e sas encon am-se ques ões que p e endiam cap a
114
in o mações, en endimen os e e lexões ace ca da o mação, p á ica p o issional, ensino de unções,
ensino da Ma emá ica e a sua conexão com a jus iça social.
Quan o às en e is as iniciais ei as aos alunos, o guião (Apêndice 14) que lhes se iu de base
con empla dois eixos o ien ado es – pe cu so escola e ap endizagem na disciplina de Ma emá ica.
Nes e sen ido, as ques ões que p opõem um i ine á io lexí el, p e endem cap a a elação que os
alunos de êm com a escola, bem como as mo i ações, in e esses, obje i os de u u o e p incipais
di iculdades sen idas na globalidade dos seus pe cu sos escola es. No que diz espei o à ap endizagem
da Ma emá ica, o guião incide sob e a impo ância da Ma emá ica na ealidade, con eúdos p i ilegiados
e que êm mais di iculdades, ipos de a e as p e e enciadas, ap endizagem de unções e a sua elação
com o mundo eal, noções que possuem de jus iça social e ele ância da Ma emá ica pa a es a
comp eensão. É de e e i que es as en e is as o am e e uadas em pequenos g upos pa a enco aja
os alunos a ala em sob e os emas (Bodgan & Bicklen, 2013), e i ando, assim, um possí el peso
inquisi i o.
O ela o e bal ob ido dos di e o es dos Ag upamen os oi conseguido com ecu so a uma
en e is a semies u u a cujo guião (Apêndice 16) ecai sob e a expe iência p o issional dos mesmos, a
ca ac e ização gené ica do co po docen e do Ag upamen o, nomeadamen e, quan o à iden i icação do
g au de mo i ação p o issional e os cons angimen os que se sen em na a i idade p o issional desses
docen es. Os p incípios e alo es que o ien am a ação do Ag upamen o são pos os em ele o de modo
a conhece de que o ma o co po di e i o ope acionaliza um ensino de qualidade, assen e na igualdade
de opo unidades, pau ado po alo es é icos e socialmen e esponsá eis e, ambém, que a i idades
desen ol e no domínio da in e enção social. Nes e o ei o, são idas em con a a isão sob e o
desempenho dos alunos na disciplina de Ma emá ica e que p opos as a di eção da escola em pa a
comba e o insucesso. Po úl imo, num bloco de pe gun as sob e o ema ‘Ma emá ica e Jus iça Social’,
são le an adas ques ões de como conec a a Ma emá ica à ealidade e como comba e a pe pe uação
na iden i icação da disciplina de Ma emá ica como um a o de e minan e de desigualdade e exclusão
escola .
A condução das en e is as inais às docen es de Ma emá ica das u mas dos casos assen ou
num lineamen o (Apêndice 18) em o no de dois aspe os: ‘Modelação ma emá ica no ensino de
unções’ e ‘In eg ação de assun os de jus iça social, na p á ica de ensino’. O p imei o bloco de
pe gun as p ocu a pe sc u a , essencialmen e, sob e as p incipais di e enças em abalha os
con eúdos ma emá icos a a és de a e as de modelação, os cons angimen os que oco e am na
aplicação das a e as ou como o am ge idos os momen os de aula, bem como as dinâmicas. Num
115
plano ocal no aluno, que p ocessos p i ilegia am os alunos no seguimen o das aulas com ecu so à
modelação, quais as maio es di iculdades que os alunos e idencia am na ap endizagem do ópico de
unções a a és da modelação, que con ibu o e e a ealização de a e as de modelação pa a a
a aliação dos alunos e, em jei o de sín ese, o que des aca en e a aplicação de esolução de
p oblemas e as a e as de modelação e, ainda, quais o am os pon os o es da in eg ação da
modelação ma emá ica, na p á ica de ensino. O segundo bloco de ques ões, ecai sob e a isão das
p o esso as ace ca das a e as de modelação p opos as que lhes pa eceu que os alunos mais enham
gos ado, em que medida o abalho em g upo a o eceu o deba e c í ico, se a ealização de a e as
com base no quo idiano pe mi iu uma maio conexão dos concei os ma emá icos com a ealidade e se
oi ao encon o dos in e esses dos alunos. Em suma, se sen i am que os alunos desen ol e am o
pensamen o c í ico e se hou e alguma mudança de a i ude ele an e ace à disciplina de Ma emá ica,
bem como quais os desa ios que se colocam na con inuidade da in eg ação de a e as de modelação
no ensino do ópico de unções em alunos do 3.º CEB.
As pe spe i as inais dos alunos (Apêndice 15) o am, no amen e, ou idas, em g upo,
concen adas em ês eixos: modelação ma emá ica; modelação na ap endizagem de unções; e jus iça
social e ap endizagem de unções a a és da modelação ma emá ica. P imei amen e, as ques ões
a en a am nas p incipais di e enças em abalha os con eúdos ma emá icos a a és da modelação, as
an agens do abalho em g upo, o isionamen o de uma conexão dos concei os ma emá icos com a
ida eal a a és da esolução de a e as com si uações da ida eal. Mais conc e amen e, de que
o ma in luenciou a u ilização da modelação ma emá ica pa a a ap endizagem do ópico de unções e à
in e p e ação dos con eúdos em si uações do quo idiano, bem como as p incipais di iculdades sen idas
du an e o p ocesso de modelação. Po úl imo, indaga-se qual a a e a que mais signi icado a ibuí am,
assim como o maio con ibu o da esolução e deba e de ques ões do quo idiano associadas a
enómenos sociais pa a a ap endizagem de unções.
Todas as en e is as, an o as iniciais como as inais, i e am luga nas espe i as escolas em
momen os p e iamen e combinados com os pa icipan es. Sal agua dando a dimensão é ica das
en e is as (Cohen e al., 2018) é de ealça que, no caso dos alunos, oi p imei amen e, solici ada a
pe missão (Apêndice 19) de pa icipação, po esc i o, aos enca egados de educação. Nes e âmbi o,
o am expos as a inalidade das en e is as e da pa icipação dos educandos no es udo, sublinhando a
con idencialidade e a ga an ia de anonima o. Des e modo, odos os alunos e docen es con ac ados se
mos a am coope an es à colabo ação. As en e is as aos docen es o am odas áudio g a adas,
enquan o as dos alunos, uma ez que deco e am em g upo, o am egis adas em audio isual. As
116
p imei as i e am uma du ação en e 50 e 90 minu os. Nas segundas, a sua du abilidade oscilou en e
45 e 90 minu os, po g upo, sendo no ó io que as en e is as inais se ap oxima am mais do ex emo
supe io do in e alo.
4.3.2. Obse ação
Em qualque es udo quali a i o, os in es igado es in oduzem-se nos con ex os, dado que a
on e di e a dos dados é o ambien e na u al (Bodgan & Bicklen, 2013), daí que, pa a a iangulação
dos mé odos de ecolha de dados, a obse ação su ge, in a ia elmen e, como um ins umen o
p i ilegiado, ou nas pala as de McMillan e Shumacke (2015), “é o es eio da in es igação quali a i a”
(p. 376). De ido à na u eza des a in es igação, a obse ação assume-se como a écnica em ele o
pa a ca og a a os cená ios de ap endizagem de unções que se desen ol em com a aplicação de
a e as de modelação con ex ualizadas po enómenos sociais. A endendo a es a especi icidade, es e
es udo não se ia conc e izá el se não deco essem na sala aula e idências de ap endizagem.
O g au de en ol imen o do in es igado na obse ação é conside ado uma das ês dimensões
des e ipo de in e enção. Apesa de odas as pesquisas e em alguma o ma de obse ação
pa icipan e, as mesmas di e em pelo posicionamen o do obse ado numa escala que a ia en e uma
pa icipação comple a e o seu opos o que é um me o obse ado (Cohen e al., 2018). A obse ação é
ca ac e izada po não in e encionis a (Cohen e al., 2018) na medida em que, com ela, não se
p e ende ‘manipula ’ a si uação ou os acon ecimen os nem es imula os sujei os. Po sua ez, uma
obse ação pa icipan e implica um en ol imen o do in es igado de o ma a ob e “as pe ceções das
pessoas sob e e en os e p ocessos exp essos em ações, sen imen os, pensamen os e c enças”
(McMillan & Schumache , 2014, p. 378). To na-se, pois, impo an e, es abelece um equilíb io
obse acional que es abeleça alidade e iabilidade ao es udo.
Nes a in es igação, a obse ação deco eu no seu con ex o, de inindo-a como na u alis a,
obse ando os a o es a in e agi no p ocesso na u al do quo idiano (Cohen e al., 2018). Pa a isso, os
cená ios selecionados o am as aulas e os momen os de abalho com as docen es das u mas. O
papel assumido pela in es igado a a iou en e a obse ação pa icipan e e a não pa icipan e, den o
de um ca ác e lexí el e abe o. Es a opção encon a-se undamen ada pelas ca ac e ís icas de um
es udo quali a i o que aba ca di e sos ní eis de en ol imen o do in es igado em unção das si uações
a obse a . Po es es mo i os, eco eu-se a uma obse ação pa icipan e em sessões de abalho
conjun o com as p o esso as e à obse ação não pa icipan e nas aulas.
123
Tabela 4
Ta e as de modelação de 9.º ano de aco do com as AEM
Ta e as de 9º Ano
Tema e Tópicos
Obje i os de ap endizagem
O abalho e as Mulhe es
Álgeb a
- Funções a ins
- Funções de
p opo cionalidade in e sa
- Funções quad á icas
- Resolução de equações de
2.º g au a uma incógni a
In e p e a e esol e p oblemas que
en ol am p opo cionalidade in e sa;
Iden i ica a iá eis in e samen e
p opo cionais e calcula cons an e de
p opo cionalidade;
Rep esen a e econhece uma unção
de p opo cionalidade in e sa a a és de
ep esen ações múl iplas e es abelece
conexões en e es as;
Resol e p oblemas com ecu so a
unções de p opo cionalidade in e sa;
In e p e a e modela si uações de ou as
á eas do sabe que en ol am a
p opo cionalidade in e sa;
Reconhece unções quad á icas no
mundo eal;
Resol e p oblemas que en ol am
equações do 2.º g au, em di e sos
con ex os.
O abalho e a conquis a
das 8 ho as
As mu ações do abalho
Re a os da ida de
abalho
Redis ibuição da iqueza
A ube ização do abalho
A a e a ‘T abalhado as de on em e de hoje’ (Apêndice 7) em po obje i o in oduzi o ema,
le ando os alunos e le i sob e as p incipais di e enças exis en es no Mundo Labo al, sendo, po an o,
uma a e a in odu ó ia.
A p imei a a e a de modelação de 9.º ano ‘O abalho e as mulhe es: Desigualdade sala ial de
géne o’ (Apêndice 8) assinala as desigualdades sala iais exis en es en e géne o, exempli icando-o
a a és da ins i uição, na União Eu opeia, do dia da Igualdade Sala ial. É solici ado aos alunos que
de e minem um modelo ma emá ico que pe mi a p e e quan os anos se ão p ecisos pa a a ingi
igualdade de géne o económica a ní el mundial.
Na a e a ‘O abalho e a conquis a das 8 ho as’ (Apêndice 9) mos a a e olução da edução do
núme o de ho as de abalho semanal a pa i do séc. XIX. Os alunos e ão de desc e e
ma ema icamen e a si uação e aze in e ências ace ca da possí el exis ência de uma elação de
p opo cionalidade.
Na a e a seguin e, ‘As mu ações do abalho’ (Apêndice 10), abo da a indús ia êx il da egião
do Vale do A e, pano ama que se u iliza pa a c ia um modelo que desc e a o núme o de
abalhado es necessá ios à p odução do olume de encomendas, desde o ano de 1850, azendo
a ia o núme o de ho as semanal.

124
A a e a ‘Re a os da ida de abalho’ (Apêndice 11) é emoldu ada pela compa ação sala ial
en e os abalhado es de uma emp esa in e nacional sediada em Po ugal, e idenciando, a a és de
modelos ma emá icos, as desigualdades sociais p o ocadas pelas di e enças sala iais.
Na a e a ‘Redis ibuição da iqueza’ (Apêndice 12) os alunos são le ados a c ia modelos que
ensaiem possí eis edis ibuições de luc os de dadas emp esas, de aco do com dois modelos
económicos.
Po im, a a e a ‘A ube ização do abalho’ (Apêndice 13) en oca a p eca iedade associada ao
abalho na á ea do anspo e p i ado u bano, associado a emp esas mul inacionais. A cons ução do
modelo possibili a de e mina o ganho diá io de um mo o is a des a pla a o ma ele ónica e in e i
algumas si uações associadas a essa emune ação.
4.5. P ocedimen os e écnicas de análise dos dados
Os dados ecolhidos o am sujei os a uma análise, o que p essupôs abalha com o ma e ial
que oi acumulado seguindo uma es u u a c onológica que en ol eu “a sua o ganização, di isão em
unidades manipulá eis, sín ese, p ocu a de pad ões, descobe a de aspe os impo an es e do que de e
se ap eendido” (Bodgan & Biklen, 2013, p. 205). Di o de ou a o ma, começou po se ealiza um
p ocesso de amilia ização com os dados de modo a p ocede -se ao econhecimen o de pad ões endo,
com es e p opósi o, sido ado ada a análise de con eúdo (Ba din, 2016). Pa a se p ocede a essa
ca ego ização o am obje o de análise as aulas obse adas, as no as de campo elabo adas ao longo
dos momen os de abalho, o con eúdo das en e is as, as p oduções dos alunos e os documen os
in e nos e egulado es das escolas. De modo equi alen e, Miles e al. (2020) suge em que a análise de
con eúdo se di ide numa sequência de ês passos: edução dos dados; ap esen ação dos dados; e
conclusões. Nes e mesmo sen ido, Ba din (2016) p opõe a análise emá ica como um dos modelos da
análise de con eúdo, a qual en ol e, pelo menos, ês ases, a sabe : i) P é-análise; ii) Explo ação do
ma e ial; e iii) In e ência e in e p e ação. O ien ando a análise segundo es as di e izes, começou-se
po se es u u a o
co pus
documen al e e uando, p imei amen e, uma chamada lei u a lu uan e com
o in ui o de que a escolha dos documen os que o compo iam ossem ao encon o de espos as
signi ica i as aos obje i os de in es igação. Com e ei o, os ins umen os eunidos pa a cons i ui o
co pus
da pesquisa de inem-se po egis os o ais como sendo as en e is as e e uadas aos
pa icipan es do es udo, egis os o ais das aulas obse adas que passam po g a ações áudio e ídeo,
egis os esc i os das a e as elabo adas pelos alunos e documen os o iciais dos Ag upamen os de
Escolas ais como ‘P oje os Educa i os’ e ‘Planos Anuais de A i idades’.
125
É de salien a que an o os egis os de obse ação de aulas como as ansc ições das
en e is as o am al o de lei u as a en as, com is a à iden i icação de exce os e segmen os que se
coadunassem com uma ca ego ização e e en e às dimensões do es udo numa pe spe i a dedu i a ou,
e en ualmen e, indo ao encon o de ca ac e ís icas que se islumb assem apenas na sua análise,
segundo uma pe spe i a indu i a.
Numa segunda ase do p ocesso, que co esponde à explo ação do ma e ial, pa iu-se pa a o
ap o undamen o do es udo do
co pus
documen al com is a à sis ema ização das decisões
p e iamen e omadas (Ba din, 2016), começando po de ini como unidade de egis o o ema. No que
diz espei o a essa análise, a p ocu a na iden i icação de egula idades incidiu, em o no de qua o
unidades de análise: (i) posicionamen o dos alunos, p o esso es, di e o es e documen os in e nos dos
Ag upamen os ace à emá ica da modelação ma emá ica e da Jus iça Social; (ii) ap endizagem de
unções com a e as de modelação; (iii) ap endizagem de unções com a e as con ex ualizadas po
ques ões sociais; e, po im, (i ) con ibu os da ap endizagem de unções com a e as de modelação
com emá icas de jus iça social. Es e enquad amen o pe spe i ou-se
a p io i
em o no da u ilização de
assun os de jus iça social e da modelação ma emá ica na p á ica le i a, mas oco eu, essencialmen e,
a pos e io i
, a pa i dos p óp ios dados ob idos, segundo uma na u eza in e p e a i a.
De o ma a ope acionaliza os p ocedimen os de análise, impõe-se uma p epa ação que dos
ex os a a a , que dos es an es ins umen os ecolhidos (Ba din, 2016), su gindo, assim, a
codi icação que lhes co esponde. Na Tabela 5 encon am-se desc iminados os signi icados ela i os a
cada um dos códigos cons uídos.
Tabela 5
Signi icado dos códigos a ibuídos aos ma e iais da ecolha de dados
Código
Signi icado
ED_LJ/MA
E_Nome_LJ/MA
EI/F_Nome_LJ/MA
EI/F_Aluno,Gx_LJ/MA
EI/F_Gx_LJ/MA
GOAx
GOAx_Gx
GOAx_P o esso a
GOAx_Aluno,Gx
RE_Aluno,Gx
NCEI/F_da a
NCOA_da a
NCMT_da a
En e is a a(o) di e o (a) Escola Lídia Jo ge/Ma iana Alco o ado
En e is a p o esso (a) ) Escola Lídia Jo ge/Ma iana Alco o ado
En e is a Inicial/Final p o esso a u ma Escola Lídia Jo ge/Ma iana
Alco o ado
En e is a Inicial/Final alunos, G upo x, Escola Lídia Jo ge/Ma iana Alco o ado
En e is a Inicial/Final G upo x, Escola Lídia Jo ge/Ma iana Alco o ado
G a ação de obse ação de aula núme o x
G a ação de obse ação de aula núme o x, ela i a ao G upo x
G a ação de obse ação de aula núme o x, p o esso a
G a ação de obse ação de aula núme o x, ela i a aoAluno/a G upo x
Regis o Esc i o aluno, G upo x
No a de campo de en e is a inicial/ inal, alunos/p o esso es, da a
No a de campo obse ação de aula, da a
No a de campo momen os de abalho, da a
No a: A le a x con empla á ios alo es: No que espei a ao núme o de g upos em que se o ganiza am os alunos, na Escola
Lídia Jo ge a ia en e 1 – 5 e na Escola Ma iana Alco o ado a ia en e 1 – 7. Quan o ao núme o de aulas obse adas, na
Escola Lídia Jo ge a ia en e 1 – 32 e na Escola Ma iana Alco o ado a ia en e 1 – 26.
126
P o undamen e ligado ao p ocesso de codi icação, encon a-se a ca ego ização dos dados que
pe mi e ope acionaliza a co espondência en e um de e minado código e a ca ego ia em que se
conside a incluí-lo (Amado, 2017). Pa a es a cons i uição o am idos em con a alguns c i é ios e eg as
suge idos po Ba din (2016), como oi o caso de ag upa as unidades po emas, cump indo o c i é io
semân ico; a eg a da exaus i idade que impele a, uma ez de inido o
co pus
, e em con a odos os
elemen os desse co pus, algo que se e i icou; a eg a da homogeneidade uma ez que oi u ilizado um
único p incípio de ca ego ização; a eg a da pe inência na medida em que as dimensões analisadas
pe encem ao quad o eó ico; a eg a da obje i idade e idelidade, pois as ca ego ias e es em-se de
cla eza na sua de inição e u ilização; e, po im, a eg a da p odu i idade uma ez que a pa i das
ca ego ias ob i e am-se esul ados p o ícuos e in e i am-se conclusões ele an es.
Impo a econhece que a úl ima e apa su ge com o abalho minucioso do a amen o dos
dados, in e ência e in e p e ação (Gibbs, 2018). Nes a ó ica essencialmen e in e p e a i a, oi c iado o
diálogo compa a i o en e as ca ego ias já de inidas e, no amen e, e isi ada a li e a u a. Salien a-se
que pa a cada ema oi eelabo ado um sis ema de ca ego ias, após o e inamen o dos dados. Nes a
ees u u ação assen a a o ma como es ão elabo ados os casos.
Quan o ao p imei o ema, ‘Ca ac e ização do con ex o escola ’ (Tabela 6), de ini am-se ês
ca ego ias: i) ho izon e escola ; p á icas p o issionais dos docen es e aje ó ias e i ências escola es
dos alunos; ii) pe spe i as sob e modelação ma emá ica; e iii) noções de educação e jus iça social.
Tabela 6
Ca ego ias e dimensões ela i as ao ema Ca ac e ização do con ex o escola
Ca ego ias
Subca ego ias
Dimensões
Ho izon e escola
Missão escola
Responsabilidade social
P incípios
P á icas O ganiza i as e
Ges ão
Visões e desa ios
In e enção na Comunidade
Posicionamen o ace à Ma emá ica
P á ica Docen e
P á ica p o issional
Ensino de unções
P á icas de modelação
T aje ó ias escola es dos
alunos
Mo i ações escola es
Con a iedades
Relação com a Ma emá ica
Pe spe i as de
Modelação
Ma emá ica
Ma emá ica e Realidade
Ta e as de Modelação
Con ex o das a e as
Noções de Jus iça
social
Implicações da Ma emá ica na exclusão escola
e desigualdade social
Valo ização dos di e en es con ex os de pa ida
A aliação das desigualdades exis en es
127
As subca ego ias ela i as à ca ego ia ‘Ho izon e escola ’ eme gi am dos dados, numa
pe spe i a indu i a, u o da análise dos documen os o ien ado es dos Ag upamen os e do egis o das
en e is as.
A ca ego ia ‘Pe spe i as de modelação ma emá ica’ é dimensionada a ês unidades de análise
com in luências da li e a u a (Ba bosa 2006; B and e al., 2016; Maaβ, 2010).
De igual modo, a ca ego ia ‘Noções de jus iça social’ é analisada, segundo o enquad amen o
eó ico, p io izando as implicações da Ma emá ica na exclusão escola e desigualdade social (Rawls,
2013; Sko smose, 2021; Young, 2022); a alo ização dos di e en es con ex os de pa ida (Vale o,
2023; F ase , 2022) e a a aliação das desigualdades exis en es (Gu ié ez, 2018).
No que diz espei o ao ema ‘Momen o de Ap endizagem’ (Tabela 7) de ini am-se ês
ca ego ias: i) na a i a da in e enção; ii) p ocessos em o no das a e as de modelação; e iii)
ap endizagem ma emá ica con ex ualizada po enómenos sociais.
Tabela 7
Ca ego ias e dimensões ela i as a Momen os de ap endizagem
Ca ego ias
Subca ego ias
Dimensões
Na a i as da
In e enção
Pano ama c onológico
Mo i ação
T abalho em g upo
Au onomia de abalho
Ta e as de
modelação
P ocessos es abelecidos nas e apas
de modelação
comp eensão, simpli icação e
es u u ação da a e a
ma ema ização e abalho com o
modelo
in e p e ação dos esul ados e
alidação do modelo
Ba ei as cogni i as
Tipos de ep esen ação
Ap endizagem de
unções
con ex ualizada po
enómenos sociais
Conhecimen o e lexi o
Impo ância dos esul ados pa a a
in e p e ação
Espaços de in e ação
Deba e c í ico
A ca ego ia ‘Na a i as de In e enção’ é ela ada numa isão c onológica e analisada nas
e en es da mo i ação, abalho em g upo e au onomia de abalho, indicado es p o enien es da
in es igação sob e implemen ação da modelação ma emá ica em con ex o educa i o (Blum & Fe i,
2009; Blum, 2015).
128
Com a inalidade de analisa a subca ego ia ‘P ocesso es abelecidas nas e apas de modelação’
é seguido o modelo de Ve scha ell e al. (2000) e o ciclo de modelação de Blum e Leiss (2007), a pa i
dos quais se desc e em as e apas do p ocesso de modelação, guiadas pela análise das a i idades dos
alunos na esolução de a e as de modelação, ao longo de um conjun o de ações que se condensam
em ês e apas: (1) comp eensão, simpli icação e es u u ação da a e a; (2) ma ema ização e abalho
com o modelo ma emá ico; e (3) in e p e ação dos esul ados e alidação do modelo ma emá ico. A
pa des a análise, elencam-se as a i idades cogni i as associadas às ansições en e as di e en es
ases do p ocesso de modelação de S illman e Galb aigh (2012), bem como as ep esen ações
p i ilegiadas pelos alunos (Amado, 2022).
A ca ego ia ‘Ap endizagem de unções con ex ualizada po enómenos sociais’ é di idida em
duas subca ego ias de análise: o conhecimen o e lexi o; e espaços de in e ação. Po sua ez, es as
subca ego ias são pe cecionadas po elemen os da li e a u a que conduzem à impo ância que os
alunos a ibuem à aplicação da Ma emá ica pa a a esolução da a e a (Gu s ein, 2018; Rubel e al.,
2021; Sko smose, 2023); e o deba e c í ico que é ge ado (Ba bosa, 2006; Simic-Mulle , 2019).
Rela i amen e ao ema ‘Con ibu os das a e as de Modelação’ (Tabela 8), ci cunsc e e-se a
análise às ca ego ias: i) pe spe i as dos alunos; e ii) pe spe i as das p o esso as da u ma.
Tabela 8
Ca ego ias e dimensões ela i as a Con ibu os das a e as de modelação
Ca ego ias
Dimensões
Pe spe i as dos alunos
Impo ância das Pesquisas
T abalho em g upo
Bene ícios das a e as
Di iculdades
Con ibu o do deba e das ques ões sociais
Ma emá ica como e amen a de apoio à in e p e ação das
desigualdades
Pe spe i as da p o esso a da
u ma
Mudança de a i udes nos alunos
Di iculdades no p ocesso de modelação
Mo i ação e au onomia dos alunos
Cons angimen os
As duas ca ego ias ela i as ao ema Con ibu os das a e as de modelação o am analisadas
segundo dimensões que eme gi am dos dados, como o ma de balanço dos p odu os inais.

129
CAPÍTULO 5
ESTUDO DE CASO SOBRE A TURMA DE 8º ANO
O capí ulo do caso de uma u ma de 8.º ano encon a-se o ganizado em qua o secções. Na
p imei a, p ocede-se a uma desc ição do con ex o escola e a um e a o p eambula dos
in e enien es, que p e ende si ua o caso no seu ambien e. Ainda nes a secção é dada a conhece a
oz dos alunos (assim como da di e o a e dos docen es do g upo de Ma emá ica) sob e o sen ido que
a ibuem à impo ância de ap ende em Ma emá ica e às si uações de ensino que lhes são inculcadas
com esse im, p ocu ando, des a o ma, analisa as condições de pa ida e o g au de ece i idade dos
alunos à indução de a i idade de modelação ma emá ica, bem como as suas pe spe i as sob e uma
Educação Ma emá ica pa a a Jus iça Social. Na segunda secção é desc i a a a i idade dos alunos
e e enciada às a e as de modelação ma emá ica baseadas em ques ões sociais. De seguida, é
pe cecionado o bene ício da in odução de a i idades de modelação que elacionem o ema de unções
com emas ex aescola es do mundo eal, p imei amen e, sob o pon o de is a dos alunos, seguido da
posição da p o esso a. Po im, é ap esen ada uma sín ese do capí ulo com o p opósi o de e ina as
dinâmicas es abelecidas em o no das a e as de modelação ci cuns anciadas ao ambien e em que se
desen ol e am e aos p odu os que o igina am.
5.1. O ho izon e escola e as ozes de in e enien es da comunidade educa i a
O enquad amen o do ambien e educa i o i ido pelos alunos que são o oco in es iga i o é
aqui ap esen ado, em p imei o luga , pelo modo o ganiza i o da escola e pelos seus p incipais eixos de
ação, eme gen es que dos seus p incipais documen os, que do discu so da ep esen an e do ó gão
de ges ão. A escola compos a po di e en es agen es educa i os é um dado adqui ido desde a
democ a ização da mesma. Julga-se, po an o, incon o ná el da a conhece a pe ceção dos seus
p incipais in e enien es, pela mão da ep esen an e do ó gão de ges ão da ins i uição, pelos
p o esso es do g upo de Ma emá ica e pelos alunos da u ma de 8.º ano.
O obje i o des a abo dagem é conhece algumas das inquie ações é icas e das p á icas
ela i as à p o issão, no caso da di e o a e dos p o esso es de Ma emá ica. No caso dos alunos, en a-
se comp eende como equacionam e i em as p á icas educa i as, a pa das noções que de êm sob e
Ma emá ica e a ealidade bem como o en oque dado à disciplina ela i amen e a assun os de ca ác e
social.
130
5.1.1. A escola e a sua missão
O Ag upamen o de Escolas da u ma que in eg a es e es udo de caso, do a an e designado po
Ag upamen o de Escolas Flo bela Espanca, si ua-se num dos concelhos do Ba la en o alga io e
ab ange ês das suas eguesias. Embo a a escola sede da e do ano le i o 2010 2011, as es an es
escolas que a compõem êm décadas. Con a, no momen o, com ce ca de 1900 alunos, dis ibuídos
po onze es abelecimen os, desde o ensino p é-escola ao ensino secundá io. A escola a que se epo a
o p esen e es udo é a escola sede, escola de Ensino Básico de 2.º e 3.º ciclos e Ensino Secundá io,
localizando-se em meio u bano o que, desde já, a az dis ingui das ou as duas escolas simila es do
Ag upamen o, uma ez que uma delas se si ua num meio pisca ó io e a ou a num meio u al. Cada
uma das escolas ap esen a ealidades singula es não só pela sua dispe são geog á ica como ambém
pelo ac o de a população escola que a equen a de i a de di e en es con ex os socioeconómicos
(P oje o de In e enção
2019-2023, p. 7). Quan o à espos a educa i a, o Ag upamen o de Escolas
apos a no Ensino Básico, pa a além dos cu ículos egula es, na p omoção da inclusão social com a
o e a do P og ama In eg ado de Fo mação e Educação (PIEF) numa das suas escolas, endo ambém
na escola sede u mas de ensino in eg ado de Música. O Ensino Secundá io unciona apenas na escola
sede e encon a-se o almen e dedicado ao Ensino P o issional nas á eas da Música e A es do
Espe áculo. O Ag upamen o possui uma unidade de apoio especializado à educação de alunos com
mul ide iciência. Em e mos gené icos, a missão do Ag upamen o incide na p omoção do sucesso
indi idual dos alunos, al como é p econizado no seu P oje o Educa i o (PE), bem como, p e ende que
o ensino seja de qualidade, assen e na igualdade de opo unidades, pau ado po alo es é icos e
socialmen e esponsá eis. Pa a ope acionaliza es es p incípios o co po di e i o apoia-se numa o e a
educa i a di e enciada, como explici a a di e o a:
Ao ní el do ag upamen o, nós o e ecemos den o do 1.º, 2.º e 3.º ciclos, no
secundá io, di e en es opo unidades. Po exemplo, numa das escolas do ag upamen o
emos PIEF que é uma opo unidade que con ibui de ac o pa a a inclusão, is o é,
aqueles alunos que es a am no im de linha o ag upamen o dá-lhes espos as e com o
empo em indo a unciona mui o bem, a da as espos as adequadas. Nós
conseguimos da aos nossos alunos que êm um pe cu so mais i egula esse
encaminhamen o, que lhes pe mi e conclui o 3.º ciclo com sucesso e que lhes
pe mi e depois segui o seu pe cu so educa i o. (ED)
Pa a além do já e e ido, um dos obje i os da escola é assumi -se como um espaço de
in e enção social (PE), e, nes e sen ido, o Ag upamen o desen ol e um conjun o de a i idades que se
possam insc e e nes e domínio; nomeadamen e, na in e ação dos alunos com ins i uições de
131
solida iedade, que seja no campo da ecolha e doação de bens ma e iais: “ago a, po exemplo, não
a da, ão ealiza uma a i idade que em a e com os animais, udo aquilo que consegui em anga ia
ão en ega à associação dos animais” (ED), que seja numa ó ica de pa ilha de sabe es: “ ambém,
po exemplo, os alunos ão aos la es de idosos, ão abalha com eles, oca , can a …” (ED).
Em e mos di e i os, o ó gão de ges ão da escola é o mado po uma equipa coesa e com
expe iência de abalho conjun o, que dá início ao uncionamen o da escola sede no ano le i o
2010 2011, empenhado em cons ui o Ag upamen o com base na “di e sidade de odos quan os o
in eg am, com a a enção e acompanhamen o de idos, no espei o pelas especi icidades e p ese ação
de cada iden idade” (P oje o de In e enção 2011-2015, p. 3).
Nas pala as da di e o a, co obo adas pelo PE, o co po docen e é es á el, e i icando-se,
ecen emen e, um aumen o signi ica i o de p o esso es pe encen es aos Quad os. As idades dos
p o esso es concen am-se en e os 35 e os 50 anos, o que, segundo a di e o a, se ca ac e iza po um
co po docen e jo em.
Não emos mui as pessoas em idade de aposen ação, emos mui as pessoas jo ens.
Ainda ou o dia es i e a consul a os escalões e não há mui as pessoas no 8.º ou 9.º
escalão. Há uma g ande quan idade de p o esso es con a ados, em indo a diminui ,
mas especialmen e na escola sede, que em ca ac e ís icas di e en es, que é o ac o de
e ensino a ís ico especializado, nomeadamen e nos cu sos p o issionais po que
emos cu sos de jazz e ea o e aí le a-nos a e um conjun o de p o esso es
con a ados jo ens. Fo a isso, é um co po minimamen e es á el, com as mudanças
na u ais. (ED)
No que se e e e ao ambien e da escola em e mos p o issionais, a di e o a de ine-o como
“ag adá el, as pessoas sen em-se bem, acho que se sen em li es, con o á eis” (ED). Já no que diz
espei o à mo i ação do co po docen e, apesa de não sen i que exis a mais desmo i ação que há uns
anos, econhece que os p o esso es e elam desgas e e cansaço e apon a uma possí el azão: “o que
eu acho que são exigidas mui as a e as o a de sala de aula. Enquan o di e o a en o, den o dos
no ma i os legais, ao ab igo do a igo 79, po exemplo, e i a o excesso, udo o que si a pa a
apazigua ” (ED).
Rela i amen e aos esul ados do desempenho escola dos alunos, an o na a aliação in e na
como na a aliação ex e na p o enien e dos exames nacionais às disciplinas de Po uguês e
Ma emá ica, a di e o a, Ana Ma ia, mos a-se o gulhosa:
132
Na a aliação ex e na que i emos omos a aliados com Mui o Bom nessa á ea, como,
aliás em odas as ou as á eas. Nós, nes e
anking
que saiu, endo eu mui as
e icências em elação aos
ankings
po que eles dependem exa amen e dos con ex os,
icamos em p imei o luga no concelho. Em elação à média nacional ambém julgo
que es amos bem. (ED)
Com es a a i mação dep eende-se uma ce a p eocupação com a a aliação ex e na e posicionamen o
nos
ankings
escola es que acaba po i ao encon o da missão do ag upamen o que incide na
p omoção do sucesso indi idual dos alunos (PE).
No que diz espei o aos esul ados alcançados pelos alunos do Ag upamen o à disciplina de
Ma emá ica na a aliação ex e na, Ana Ma ia eme e pa a o Mui o Bom ob ido na a aliação ex e na do
p óp io Ag upamen o, no que se e e e a esse indicado , e ac escen a que a escola icou em p imei o
luga ela i amen e às ou as escolas do concelho. Ainda assim, salien a que, den o do Ag upamen o,
os esul ados das ês escolas o am dis in os po que os con ex os ambém o são, ale ando, po isso,
pa a o cuidado a e na lei u a des e ipo de es udos, explici ando:
Eu enho mui as e icências em elação aos
ankings
, po que eles dependem
exa amen e dos con ex os. Po exemplo, os p o esso es que nós emos aqui são os
mesmos que emos em B e C, e lá os esul ados são di e en es. Eu não posso
compa a a escola A com a B ou a C po que o es a o social a ní el socioeconómico e
cul u al dos pais é di e en e. (ED)
Nos co edo es da escola, o ambien e é anquilo, onde a e e be ação do som de alguns
ins umen os c ia uma a mos e a in imis a. As pa edes cob em-se de desenhos, pin u as e inúme os
abalhos são expos os um pouco po odo o lado, deno ando uma pa icipação a i a dos alunos na
comunidade escola . Num dos acessos à sala dos p o esso es, em luga de des aque, encon a-se uma
pla a o ma de exposição dedicada à lo es a, sendo a mesma p eenchida po abalhos de á ios
alunos e cujo ema cen al é a impo ância de de ende a lo es a
63
(NC_ e 2018).
5.1.2. A di e o a do Ag upamen o
Nes a subsecção é dado luga ao posicionamen o indi idual da ep esen an e do ó gão de
ges ão no que diz espei o às ep esen ações que es abelece quan o a um possí el impe a i o é ico da
disciplina de Ma emá ica, azões do seu insucesso e p opos as de eo ien ações cu icula es.
63
No ano de 2017 de lag a am, em dois momen os dis in os, incêndios de as ado es, sob e udo, na egião cen o de Po ugal.
235
No e e en e à qualidade das ap endizagens ela i as ao 1.º pe íodo do ano le i o em cu so,
cons a ou-se que os ní eis in e io es a ês o am signi ica i os a g ande pa e das disciplinas
cu icula es, embo a enham con as ado com os esul ados à disciplina de Ma emá ica onde somen e
6 alunos i e am ní el in e io a ês. A es e p opósi o in ui-se uma di e gência la en e no discu so dos
p o esso es do Conselho de Tu ma e na p o esso a de Ma emá ica. Po um lado, o conselho de u ma
conside a que os alunos, de uma o ma ge al, e elam baixos ní eis de a enção em sala de aula, não
ap esen am hábi os, mé odos e o ganização de abalho, nem semp e ealizam as a e as p opos as
pa a casa e mani es am pouco empenho na ealização das a i idades escola es. Como es a égia de
supe ação, o conselho de u ma e e iu que i á con inua a incen i a a pa icipação em sala de aula,
alo iza os hábi os e mé odos de abalho e aumen a o con olo sob e os cade nos diá ios e abalho
de casa, o ien ando os alunos pa a o es udo. A di e o a de u ma, po sua ez, con inua á a solici a
aos espe i os enca egados de educação a consul a dos egis os de índole compo amen al (A a de
A aliação 1.º P., 9.º Y). Po ou o lado, a docen e de Ma emá ica disco da da a aliação que os seus
colegas azem da u ma, e elando que, na sua opinião, a u ma em bom i mo e capacidade de
abalho na aula, são pa icipa i os, embo a deso ganizados e ade em com acilidade às a i idades
p opos as em con ex o sala de aula. O g ande p oblema da maio ia dos alunos é a al a de hábi os de
es udo em casa, o que, segundo a docen e, se de e à al a de e e en es e do pouco incen i o que
ecebem o a da escola da impo ância do abalho e da pe sis ência (NCMT _jan 2019).
Ainda nes a análise, essal a o ele ado núme o de a i idades agendadas no Plano de Tu ma,
oco am elas no seio escola ou em isi as de es udo, an e sais à maio ia das disciplinas (PT). In e e-
se que es e cená io ai ao encon o do p econizado no P oje o Educa i o da Escola e na sua apos a em
p oje os educa i os.
A elação que os alunos es abelecem com as escolas que equen am é de e minan e nos
p ocessos de ap endizagem que desen ol em ao longo de odo o seu pe cu so, ainda assim os alunos
êm endência a analisa em-na apenas com base no ínculo a ual. Os esul ados (n= 22), ap esen ados
na Tabela 30, não deixam dú idas à in e ência de que os alunos des a u ma de 9.º ano encon am-se
sa is ei os com a sua escola, jus i icando-o com aspe os que ão desde os ecu sos ísicos, aos p oje os
escola es, à exis ência de bons p o esso es, como exempli icam as a i mações de Ana, Ma im e
Leono : “Gos o da escola, é um luga acolhedo e as ins alações são no as” (EI_G3); “Temos mui as
a i idades pa a aze pa a além das aulas e os espaços são ag adá eis” (EI_G6); “ emos p o esso es
mui o po ei os e que nos comp eendem” (EI_G4). Ainda assim há alguns alunos (n=7) que quali icam
o seu gos o pela escola como “mais ou menos”, sendo o caso de Gab iel: “quando anda a na p imá ia

236
gos a a inha os meus amigos e di e sões, ago a quando im pa a es a escola já não é assim, p e i o
es a em casa, é mais as aulas e a seca de e de es uda mui o, na p imá ia ínhamos mais libe dade”
(EI_G1).
Tabela 30
F equências ela i as ao pe cu so e mo i ação escola es dos alunos de 9.º ano
Subca ego ias
Pe ceções
F equência
Relação com a escola
Boa
22
Mais ou menos
7
Mo i ação pa a a escola
Es a com os amigos
25
Aulas in e a i as e p á icas
8
Ap ende um pouco mais
2
Te uma o ina
3
Fa o es de desmo i ação
Aulas abo ecidas
20
Maus p o esso es
12
Mui os es es jun os
15
Aulas inicia em mui o cedo
8
Pouco diálogo com os p o esso es
6
Disciplinas p e e idas
Ciências Na u ais
9
Ma emá ica
5
Educação Visual
4
Po uguês
4
Inglês
4
Educação Física
3
Espanhol
2
Disciplinas menos apela i as
Físico-Química
9
His ó ia
9
Inglês
5
Geog a ia
3
Ma emá ica
3
Disciplinas que e elam mais di iculdades
Inglês
8
Físico-Química
8
His ó ia
4
Ma emá ica
4
Ciências Na u ais
2
Educação Visual
2
Po uguês
2
Á ea que gos a iam de es uda no u u o
Ges ão/Con abilidade
4
Engenha ia In o má ica
5
P o issional de Saúde
7
Educação In an il
2
Designe
2
Ve e iná ia
2
Assis en e de bo do
1
Ag icul u a
1
Não Sabe
5
237
Na es e a mo i acional à equência escola encon a-se, em p imei o luga , o con í io com os
pa es ( ), como no caso de Raquel: “o que mais me mo i a em i pa a a escola é sabe que
ou es a com os meus amigos” (EI_G6), seguida da e e ência a aulas in e a i as e p á icas assim
como a impo ância de e em uma o ina. Apenas um aluno alude ao ac o de pode “ap ende um
pouco mais” (EI_Gonçalo, G7).
O que mais desmo i a os alunos são aulas que in i ulam “abo ecidas” ( ), mui as das
ezes sinónimas de “ eó icas” ( ), como a gumen am as seguin es alunas:
“Há p o esso es que não nos deixam espi a , le am udo mui o a sé io e não c iam
qualque ligação connosco. Há uma g ande dis ância” (EI_ Ma ia, G4);
“Gos o de i à escola quando sei que ou e aulas in e essan es. Quando sei que
naquele dia só ou e aulas abo ecidas, só me ape ece ica em casa”
(EI_Raquel,G6).
Deduz-se do discu so dominan e que á ios são os alunos que gos am do ecin o escola e de
udo o que isso p opo ciona, mas das aulas em si sen em bas an e elu ância, como a i ma Miguel:
“gos o de i pa a a escola não gos o é de e aulas” (EI_G5). Alguns alunos ( ) ambém e e em,
como a o nega i o, a en ada ma inal na escola oco e mui o cedo, p incipalmen e quem em de
pe co e mui os quilóme os a é chega ao ecin o, como a i ma Inês, “quem é das aldeias em de
aco da mui o cedo pa a chega à escola a ho as, eu aco do odos os dias às 5 e meia da manhã”
(EI_G4).
Do leque de disciplinas p e e idas, Ciências Na u ais su ge como a elei a ( ), sendo que
os a gumen os mais usados pa a es a escolha o am o gos o pelo conhecimen o do co po humano e
da na u eza ( ). Quem escolheu a disciplina de Ma emá ica ( ), ê-lo jus i icando a
p e e ência pela p o esso a, como oi o caso de Ma ia, “sem dú ida que a p o esso a em uma g ande
in luência nes a escola, es á semp e dispos a a ou i -nos e as aulas são mui o in e a i as” (EI_G4). Po
sua ez, quem elege como disciplina a o i a Inglês ou Espanhol, jus i ica-o com a impo ância na
comunicação uni e sal, como exempli icam as a i mações de Ma im e Isabel: “É o Inglês pelo ac o de
se uma língua que odos de emos ala e ap ende ” (EI_G6); “Pa a mim são o Inglês e Espanhol, pois
ado o ap ende ou os idiomas pa a pode comunica sem se na minha língua ma e na” (EI_G5).
Na e en e opos a, os alunos ap esen am a disciplina de Físico-química como a que lhes
despe a meno in e esse ( ), associando-o, essencialmen e, com dois aspe os, a di iculdade em
en ende em os con eúdos e a elação de pouco à on ade com a p o esso a, como se in e e da
seguin e a i mação “não gos o de Físico-química po que não en endo como a p o esso a az e explica
238
os exe cícios. Mas ambém não me sin o nada à on ade pa a pe gun a ” (EI_Ve a, G2). Inglês su ge
como a disciplina mais e e enciada, a pa de Físico-química, no que diz espei o às disciplinas que
sen em mais di iculdades ( ), sendo que os mo i os se epe em en e o não comp eende em e a
pouca empa ia com as p o esso es, como indica Ma ia: “semp e achei Inglês mui o di ícil po que
nunca i e as bases necessá ias, mas com es a p o esso a ambém sin o que nem ale a pena o
es o ço, não ou consegui ” (EI_G4).
No amo dos obje i os u u os, as p o issões ligadas à Saúde ( ) são as mais desejadas,
seguidas de Engenha ia In o má ica e a á ea de Ges ão. Não sendo de es anha , dado a conexão ao
meio u al, ainda são mencionadas á eas como Ag icul u a ou Ve e iná ia. Um núme o signi ica i o de
alunos ( ) apon am as disciplinas de Ma emá ica e Biologia como de e minan es pa a o seu
u u o.
Ao pe sc u a sob e as pe ceções dos alunos ela i as a alguns aspe os das suas
ap endizagens da Ma emá ica, e i icou-se, em p imei o luga , que a u ma de 9.º ano indica a
ealização de exe cícios e a esolução de p oblemas como a e as p e e enciais. É, de ac o, es a usão,
como se pode le na Tabela 31, que p edomina no discu so dos discen es na ho a de a gumen a em a
escolha e que eme ge das seguin es a i mações:
Gos o de esol e exe cícios, pois gos o de i aumen ando o g au de di iculdade, e
quando já pe cebo gos o de esol e p oblemas (EI_ The esa, G7);
Exe cícios e p oblemas, pois ap endemos a ma é ia e depois p a icámo-la
(EI_Madalena,G5);
Exe cícios, po que são o que pe cebo melho (EI_ Daniela,G3);
Gos o mais de exe cícios po que são mais áceis de pe cebe (EI_ Inês, G4);
P oblemas, po que isso az pensa (EI_ Rica do, G2).
Des as decla ações, in e e-se que a dualidade exe cício-p oblema an o pode e um ca ác e
complemen a , como pelo con á io, se excluden e.
Tabela 31
F equências ela i as à ap endizagem da Ma emá ica dos alunos de 9.º ano
Subca ego ias
Pe ceções
F equência
Ta e as
Exe cícios
22
P oblemas
10
T abalhos em g upo
2
Con eúdos ma emá icos mais
in e essan es
Funções Quad á icas
1
Equações
10
Inequações
8
239
Teo ema de Pi ágo as
2
Funções
4
Con eúdos ma emá icos com mais
di iculdades
Inequações
3
Geome ia
6
Equações
5
Exp essões algéb icas
1
Funções
7
Resolução de P oblemas
6
Dos con eúdos ma emá icos que, à da a, mais os mo i a am, nomeiam as equações (n=10),
seguidas das inequações. Iden i ica-se das ap eciações ei as pelos alunos que se e e em às equações
de 2.º g au, como exempli icam as seguin es a i mações:
As equações po que gos o de usa a ó mula esol en e (EI_ The esa, G7);
A ó mula esol en e po que é mui o ácil de ap ende e simples de aplica
(EI_Lúcia,G6).
Deduz-se des as escolhas que o ac o dos p ocedimen os ma emá icos implica em eg as
p á icas e/ou aplicação de ó mulas são, em ge al, mais acei es po es e g upo. No en an o, e apesa
de pa ece que os alunos são capazes de econhece e p oduzi o mas equi alen es de exp essões,
equações e desigualdades, o mesmo não é ce o que consigam u iliza a da álgeb a simbólica de modo
a, po exemplo, esc e e em exp essões algéb icas pa a exp essa em unções. A é po que, as emá icas
em que os alunos admi i am sen i mais di iculdades são as Funções ( ), bem como a Geome ia
( ), sendo que, nes a úl ima, não especi icam os ópicos. No domínio das unções, o g upo
especi ica as di iculdades na comp eensão e u ilização dos concei os algéb icos, como se egis a com
as a i mações: “ i e di iculdade na in e p e ação das exp essões algéb icas” (EI_ Rica do, G2); “de
unções em ge al não pe cebo nada, p incipalmen e, na passagem do g á ico pa a a exp essão”
(EI_Nídia,G3). É de des aca que um núme o signi ica i o ( ) ap esen ou a esolução de
p oblemas como um obs áculo na ap endizagem da Ma emá ica, embo a não conc e izem a sua
e e ência.
P ocu ando pe cebe a o ma como enca am a impo ância da Ma emá ica nas suas idas,
suge e-se que os alunos da u ma exponham es a elação. Das espos as dadas é la en e a pe ceção
de que a Ma emá ica e á um luga p i ilegiado nos seus u u os dependendo da p o issão que i e em,
como egis ado na Tabela 32, e sendo exemplo das a i mações dadas nesse sen ido a de Ma im: “o
básico é semp e necessá io, mas além disso, ai depende da p o issão que i e mos” (EI_G6). Ainda
240
assim, mui os são os alunos que espondem, pe en o iamen e, que a Ma emá ica é impo an e pa a os
seus u u os ( ), embo a enham di iculdade na sua a gumen ação, edundando na escolha da
p o issão, como exempli icam as seguin es a i mações: “pa a aquilo que eu que o se é mui o
necessá io que é segui Ges ão” (EI_ Lúcia, G6); “na e dade, eu acho que na maio ia das p o issões é
p ecisa a Ma emá ica” (EI_ Ana, G3).
Tabela 32
F equências do e lexo das ap endizagens escola es na ida quo idiana dos alunos de 9.º ano
Subca ego ias
Pe ceções
F equência
A ibuição impo ância à Ma emá ica pa a os seus
u u os
Sim
12
Depende da p o issão
14
U ilidade da ma emá ica na ida quo idiana
Pa a ou as disciplinas
6
Comp as
9
Saúde
2
Culiná ia
3
Despo o
1
Ges ão amilia
8
Vida dos adul os
1
Temá icas de a e as que a am de si uações do dia a
dia
Á eas e pe íme os de e enos
3
T aje ó ia de uma bola
6
Descon os e saldos
8
Con eúdos que eco dam de unções
Linguagem de unções
9
P opo cionalidade Di e a
12
P opo cionalidade In e sa
14
Função A im
5
Di iculdades em unções
Exp essão algéb ica
15
Em udo
7
Sem di iculdades
6
No que diz espei o ao modo como u ilizam a Ma emá ica dia iamen e, es e g upo de alunos dá
exemplos daquilo a que um deles chama “a Ma emá ica es á mais ligada à ida dos adul os”
(EI_Gab iel, G1). Nessa lis a su gem: “pa a pagamen os e aze a ges ão amilia ” (EI_ Madalena, G5);
“no u ebol usa-se a Geome ia” (EI_ Ca olina, G1); “nos ho á ios, pa a calcula o empo necessá io”
(EI_ Ma im, G6); “usa-se a p opo cionalidade di e a pa a aze um bolo” (EI_ Inês,G4); “quando
amos às comp as, p ecisámos semp e da Ma emá ica, em quan idades, p omoções” (EI_ Nídia, G3);
“ em de se calcula as medidas de líquido quando omamos um an ibió ico” (EI_ Guilhe me, G2). É de
no a que alguns alunos ac escen am que, dos con eúdos que ap endem no 9.º ano, as aplicações no
quo idiano são inexis en es e eme em a sua aplicabilidade apenas pa a ou as disciplinas,
p incipalmen e, Físico-química, como é o caso de Diogo “since amen e a Ma emá ica que es amos a

241
da não me se e pa a nada do dia a dia a não se , po exemplo, em Físico-química, ajuda nas
ó mulas” (EI_G3).
Das a e as que ealizam nas aulas de Ma emá ica e que e a am si uações do dia a dia, os
alunos na am as seguin es:
po exemplo, naqueles exe cícios que pedem pa a calcula a edação a coloca num
e eno” (EI_ Guilhe me, G2);
ainda ago a quando demos a unção quad á ica ínhamos de de e mina a aje ó ia
de um ogue e, e de uma bola (EI_ Ma ia, G4);
pelo menos desde o 7.º ano que azemos exe cícios pa a calcula o alo do
descon o, num ce o p odu o (EI_ Olex, G3).
Em elação aos con eúdos de unções que es uda am a é à da a e que mais p esen es es ão, a
u ma e ela homogeneidade nas e e ências, nomeadamen e, os obje i os que en ol em linguagem de
unções, sendo que mui os mencionam a p opo cionalidade di e a ( ) e ou os a
p opo cionalidade in e sa ( ). Quan o às di iculdades mais sen idas no es udo de unções, a
maio ia dos esponden es indica as exp essões algéb icas ( ), cla i icando que é de odos os
con eúdos o que menos dominam, como é o caso de Leono :
De udo o que demos em Ma emá ica é mesmo aquilo que não en a, en ão na
unção a im é ho í el, mas ambém aqueles exe cícios de passa da unção de
p opo cionalidade in e sa pa a a quad á ica não pe cebo. Os g á icos sim, mas
depois passa pa a a exp essão não consigo (EI_G4);
Es a a i mação indicia as di iculdades co obo adas po g ande pa e da u ma. Dos es an es
alunos, uma pa e ( ) diz sen i di iculdades em odos os con eúdos de unções e a ou a ( )
decla a não e qualque di iculdade no es udo de unções.
No seguimen o, as ozes dos alunos da u ma de 9.º ano são ou idas, em p imei o luga ,
quan o à pe ceção que êm sob e o concei o de jus iça (Tabela 33). Nes e caminho, encon a am-se
opiniões que ecaem, na sua maio ia, em e mos como igualdade ( ) ou di ei os iguais ( ).
Alguns alunos pa icula izam “ odos e em di ei os iguais, independen emen e do géne o, da espécie,
da aça ou da es abilidade económica” (EI_ Inês, G4). Cu iosamen e, mui os o am os casos ( )
em que os alunos aplica am o
con a iu sensus
pa a disse a sob e jus iça social, de endendo que a
mesma não exis e, o que exis e é desigualdade.
242
Tabela 33
F equências ela i as à noção de jus iça social dos alunos de 9.º ano
Subca ego ias
Pe ceções
F equência
Noção de jus iça social
Igualdade
14
Di ei os iguais
12
Não exis e
8
Desigualdade na dis ibuição de ecu sos
Necessidades básicas
10
Di e enças de géne o
4
Económica
5
No acesso à cul u a
2
Ma emá ica pe mi e deba e p oblemas
sociais
En ende os núme os
5
Cálculo de pe cen agens
8
Es a ís icas
6
Sem elação
10
Con ibu o das unções
Lei u a de G á icos
6
O ganiza in o mação
4
Não espondem
19
Na es e a da desigualdade na dis ibuição dos ecu sos, uma das unidades compa a i as
u ilizada pelos alunos é o Con inen e, sendo que ealçam os Con inen es a icano e asiá ico como
í imas da al a de ecusos básicos ( ). Especi icam que as desigualdades se encon am
associadas no acesso à saúde e educação, como os seguin es alunos: “Mui as c ianças em países
a icanos ou asiá icos não ão à escola po que êm de abalha ” (EI_ The esa, G7); “quando azem
aqueles pedi ó ios pa a o Banco Alimen a eu e os meus pais damos semp e, po que há pessoas em
Á ica que não êm o que come ” (EI_ Miguel, G5). Ou a compa ação que es abelecem pa a
exempli ica a exis ência de desigualdade é a de géne o. Um dos esponden es apon a es a si uação da
seguin e o ma: “Em Po ugal, i emos uma di adu a du an e 40 anos, onde Salaza aplicou aquele
modelo da mulhe ica em casa e o homem abalha pa a se o sus en o da casa, isso in luenciou a
sociedade que emos hoje, ainda machis a” (EI_ Ma im, G6). Uma das alunas desaba a sob e a sua
si uação amilia : “somos dois i mãos, eu sou apa iga e ele é apaz. Eu ajudo a minha mãe em udo o
que posso, ele se la a a loiça já acha que az mui o” (EI_ Ma ia, G4). Na con inuidade des e ema há
quem abo de a exis ência de desigualdade no acesso à cul u a, pondo a ques ão na di e enciação dos
ecu sos nacionais ao ní el e i o ial, como se e i ica no seguin e comen á io: “Se quise mos e
acesso a uma peça de ea o ou a um conce o, emos de i a Lisboa, a é pa a i ao cinema
p ecisamos de aze 120 km, no o al, isso não é igualdade!” (EI_ Ma ilde, G7).
243
Na e en e da Ma emá ica pode ajuda a pe cebe es as di e enças, a maio ia do g upo
conside a que não exis e qualque elação ( ). De en e os alunos que encon am na
Ma emá ica um pon o de con ac o que os le a a melho en ende as p oblemá icas sociais, nomeiam o
en endimen o dos núme os, o cálculo de pe cen agens e a Es a ís ica. Há a é quem sugi a a e as
como no caso de Ma im e Madalena: “es e ano exis e uma ce a pe cen agem de c ianças que não
ão à escola e no ano seguin e pode-se i e i ica se hou e uma e olução (EI_G6); “A é podemos i e
se há um pad ão e se sim quan o empo le a á a é que odas as c ianças consigam i à escola. E o
que podemos aze pa a melho a essa pe cen agem” (EI_G5). Dos alunos que ejei am que a
Ma emá ica pudesse ajuda a en ende e deba e as desigualdades ( ), as jus i icações eme em
pa a ou as á eas disciplina es, como o caso de Diogo: “acho que não, acho que aí se ia mais a
a gumen ação com o Po uguês, ou en ão com a Geog a ia.” (EI, G4). No campo pa icula das
unções, p essen e-se pela ausência de espos as ( ), que os alunos o am con on ados com
uma ques ão que sen em con usa (NCEI_jan2019). Dos que encon am pa alelismo, mencionam,
como exemplos, a lei u a de g á icos e o ganização de in o mação, con ibu os ú eis pa a
es abelece em p e isões, como indica a aluna: “se em pa a compa a coisas passadas com o
p esen e, pa a es uda os alo es, pô em abelas e em g á icos” (EI_ Joana, G2).
Sín ese
A u ma de 9.º ano posiciona-se num ambien e educa i o en a izado pela ca ência social e
económica do meio em que es á inse ida. Quan o à análise do pe cu so e mo i ações escola es,
des aca-se que os alunos se sen em sa is ei os com a escola e a p incipal mo i ação pa a a equência
escola é a con i ência com os amigos. Dos a o es de desmo i ação sob essaem as aulas abo ecidas
e o aglome a da ealização dos es es de a aliação. Do conjun o de disciplinas, Ciências Na u ais e
Ma emá ica su gem como as a o i as, a gumen ando-o com o gos o pelos con eúdos no espei an e à
p imei a e com a elação es abelecida pela p o esso a no que conce ne à segunda. Es e úl imo
a gumen o é no amen e u ilizado, embo a em sen ido opos o, quando os alunos elencam as disciplinas
menos apela i as, Físico-Química e His ó ia. Como á eas a segui no u u o dis inguem-se as á eas de
Saúde e Engenha ia In o má ica como as mais e e enciadas.
No plano da ap endizagem ma emá ica, o g upo de alunos e idencia a esolução de exe cícios
como o ipo de a e as que p e e em esol e , ainda que haja um núme o não despiciendo de alunos
que p i ilegiam a esolução de p oblemas. Os con eúdos ma emá icos que conside am mais
244
in e essan es são as Equações, seguido pelas Inequações. Dos con eúdos onde sen em mais
di iculdades, são apon ados a Geome ia, as Equações e a esolução de p oblemas.
Uma pa e signi ica i a dos alunos a ibui uma impo ância ela i a à Ma emá ica pa a os seus
u u os, na medida em que a azem depende da p o issão que desempenha em. Ve i icam a u ilidade
da Ma emá ica no quo idiano, nas comp as e ges ão amilia , des acando ambém a sua unção
nou as disciplinas, exempli icando como emá icas de a e as que a am de si uações do dia-a-dia,
descon os e saldos ou a aje ó ia de uma bola. Em especí ico no campo das unções, eco dam a
p opo cionalidade di e a e in e sa e a linguagem de unções, ap esen ando as exp essões algéb icas
como o sub ópico onde i e am mais di iculdades.
Es a u ma de inal de ciclo, associa jus iça a igualdade e di ei os iguais, enume ando as
di e enças nas necessidades básicas; económicas; e de géne o como exemplos de desigualdades
exis en es. G ande pa e dos alunos não conside a que a Ma emá ica pe mi a deba e p oblemas
sociais, ainda que alguns e i am a Es a ís ica e o cálculo de pe cen agens como elemen os-cha e no
deba e. Em concomi ância, o con ibu o das unções não é ponde ado pela maio ia, não obs an e, um
núme o eduzido de alunos menciona a lei u a de g á icos como um auxílio à comp eensão de
emá icas sociais.
6.1.5. In e seccionalidade das ozes
Ao en elaça a imagem da escola, e le ida nos seus p incipais documen os, e o discu so dos
in e enien es no es udo, ap esen a-se um mapeamen o desse diagnós ico (Figu a 48).
Figu a 48
Mapa Conce ual do discu so dos in e enien es da u ma de 9.º ano
251
Figu a 52
Aluna ap esen a a sua esolução, no quad o
De seguida, a docen e in e oga a u ma se os cálculos que e e ua am são su icien es pa a
in e i conclusões, ao que os alunos espondem a i ma i amen e e ac escen am que ão ao encon o
da ase que cons a na alínea a) (Figu a 53).
Figu a 53
Exce o da a e a ‘O abalho e as mulhe es’, Alíneas a), b) e c)
O es an e empo da aula oi passado com os alunos a desen ol e em a a e a em g upo
(NCOA_ e 2019).
A qua a aula obse ada oi dedicada à con inuidade da a e a, especialmen e à alínea que
p essupõe a aplicação de um modelo ma emá ico. P e iamen e, a p o esso a Isabel solici ou a
ap esen ação das espos as às alíneas b) e c). Nes e âmbi o, o G upo 3 pede pa a expo o que
pesquisa am e concluí am, como exempli ica a seguin e con e sação:
Ana: Na alínea b) deu-nos que pa a consegui em ganha o mesmo que os
homens, as mulhe es, em Po ugal, e iam de abalha mais 65 dias, ou
seja, a é dia 6 de ma ço.
Nídia: E que, ao in és, os homens pode iam começa a abalha apenas nesse
dia pa a ha e igualdade sala ial.

252
P o esso a: Mui o bem! E na alínea c), que pe gun a como se pode in e e es a
si uação? Alguma ideia?
Daniela: Posso, p o esso a? A e dade é que pesquisamos e encon ámos algo que
nos pa eceu uma boa ideia.
P o esso a: Fo ça!
Daniela: Na Islândia ob iga am as emp esas com mais de 25 abalhado es a pô
im com as di e enças de salá io en e homens e mulhe es, e oi mesmo
es e ano que ago a es as emp esas êm de p o a que pagam salá ios
iguais a homens e mulhe es que enham as mesmas unções. (GOA4_G3)
Pa alelamen e, ou i am-se comen á ios de ap o ação pe an e o expos o que da pa e dos
alunos (NCOA_ e 2019). Es e ac o ajudou a man e em o in e esse e a deposi a em a enção na lei u a
do p oblema eal, que cons a a da alínea d) e que se i ia como uma p imei a abo dagem à
modelação ma emá ica. Nes e caso, p e endia-se c ia um modelo de p e isão ela i o ao núme o de
anos necessá io pa a a ingi a igualdade de géne o económica a ní el mundial.
Os alunos abalha am em g upo enquan o a p o esso a ci cula a pelos luga es e auxilia a
naquilo que se ia a cons ução do modelo. Es a dinâmica du ou ce ca de in a minu os, en e os quais
um in e alo de dez minu os, ao qual os alunos op a am po não i , deno ando-se, en e os g upos,
oca de ideias e abalho conjun o. Te minado es e empo, a docen e impeliu à discussão da esolução
da a e a em g upo u ma, indicando que “daquilo que me ui ape cebendo enquan o ocês esol e am
é que gos a ia que dois dos g upos ap esen assem as ossas esoluções po que o am duas o mas
dis in as de esol e , já e emos o po quê” (GOA5_P o esso a). Uma das alunas do G upo 1
demons a, no quad o, a sua esolução, como indicado na Figu a 54.
Figu a 54
Docen e e aluna dialogam sob e a esolução
No seguimen o, a p o esso a usa-a pa a es abelece o pon o da si uação e ins iga à discussão
ma emá ica, como exempli ica o seguin e exce o:
253
P o esso a: P imei o passo impo an e. O ganiza os nossos dados, e i ando os que
são impo an es do ex o e o ganizá-los. Po an o, diz-me, Ca olina, po
onde começas e?
Ca olina: Coloquei, nes a abela, os anos do ex o, 2008 e 2016 e depois
ans o mei-os em núme o de anos, ao que iz co esponde a axa de
igualdade económica.
P o esso a: Mui o bem! Mas aqui em um dado que não es á na abela, qual se á?
Ca olina: É o 68%?
P o esso a: Esse é necessá io?
Ca olina: Não! Ah, a igualdade económica aumen a odos os anos, em igual
p opo ção. Isso oi p eciso pa a o que em a segui . Es á aqui, 2%.
P o esso a: Mui o bem! E es a di isão po 8?
Ca olina: Isso é pa a e qual é o aumen o anual. Po que 2% oi em 8 anos, qual
deu 0,25%.
P o esso a: E a segui ? Es a equação aqui em baixo, que signi ica? O que é es e ?
Ca olina: A segui pe cebemos que ínhamos de aplica a unção E
es e 57 é o alo inicial. O é o núme o de anos.
P o esso a: Em ge al, es á pe ei o! Fal am aqui alguns passos que gos a a de pa a a
p óxima i essem em a enção, como a iden i icação das a iá eis. An es
de e mina mos, amos só egis a no cade no os passos que de emos
segui quando es amos a modela uma si uação, sim? (GOA5)
To na-se e iden e com es e diálogo que a p o esso a p e endeu sis ema iza , em g upo u ma,
os p ocessos de modelação, abo dando-os de o ma cla a e pausada, na medida em que e a o
p imei o con ac o o mal que os alunos inham com a modelação. Des a o ma, os alunos egis a am
no cade no, à medida que a p o esso a ia enume ando, seis ases de modelação:
En ão, êm que, p imei o, in e p e a a si uação, depois o ganiza os dados seja
numa abela ou num g á ico, como quise em, de seguida, iden i ica as a iá eis e
is o é impo an e, pa a depois chega em ao modelo. Depois, abalham com o
modelo, cla o e, po im, in e p e am os esul ados, es á en endido?
(GOA5_P o esso a)
Pa a inaliza a a e a, a aluna con inuou a expô a esolução do seu g upo no quad o
(Figu a55), ao que a p o esso a ap o ei ou pa a ques iona os es an es alunos sob e a unção que
se iu como modelo: “como se chama es a unção? E po que escolhemos es a? Já ago a, como é o
g á ico des a unção? Qual o seu decli e, e o denada na o igem?” (GOA6). Alguns alunos o am
espondendo, ece i os e pa icipa i os ao ques ionamen o (NCOA_ e 2019).
254
Figu a 55
Ap esen ação da esolução, no quad o, da alínea d)
No momen o em que a aluna chegou ao esul ado, a p o esso a pediu à u ma que o
comen assem. De en e eles, apenas su gi am “ainda emos mui o que so e a é se consegui chega
lá” (GOA6_Raquel, G6); “só com o es o ço de odas consegui íamos muda um pouco is o”
(GOA6_The esa, G7). Po im, a p o esso a chama à a enção da esolução ap esen ada po um dos
alunos, e e indo que o mesmo a ingiu os mesmos esul ados, mas sem o ca ác e o mal p e endido
nes e ní el de ensino. Com es e exemplo (Figu a 56), a docen e e idencia a capacidade de sín ese do
aluno, mas salien a a al a dos passos de modelação.
Figu a 56
P o esso a comen a a esolução de um aluno
Nas duas aulas seguin es, oi abalhada a a e a T2.1 ‘O T abalho e a conquis a das 8 ho as’.
Foi iniciada pela lei u a do ex o em g ande g upo, du an e a qual a p o esso a ajudou a comp eende
algumas das ideias nele con idas, en e as quais “G ande Dep essão e sua elação com a queda de
Wall S ee , modelo Keynesiano” assim como eceu alguns comen á ios pa alelos: “Em países como a
Dinama ca abalha-se, a ualmen e, 27 ho as semanais, po isso, pode se , e e i amen e, uma
ealidade” (GOA6_P o esso a).
A dinâmica de abalho é suge ida pela p o esso a que apon a in a minu os pa a a esolução,
em g upo, da a e a (Figu a 57). De ac o, é nesse empo que os alunos se concen am a in e p e a ,
analisa e discu i , du an e o qual a docen e se mos a semp e disponí el pa a auxilia . Des a
o ien ação obse a am-se suges ões e apon amen os como: “es ou a e aí um amo de hipé bole
255
desenhada, o que signi ica um amo de hipé bole?; ens de aze à escala senão pa ece uma e a”
(GOA6_P o esso a).
Figu a 57
Exce o da Ta e a 2.1., Alíneas a) a d)
Ao mobiliza os alunos pa a a ap esen ação, à u ma, dos esul ados, a docen e começou po
le as duas pe gun as do ex o a que se e e e a alínea a): “como escapa à di adu a do empo e se
se ia possí el cump i -se, em Po ugal, a p o ecia das seis ho as de abalho” (GOA7_P o esso a). A
in e enção oi ei a po uma aluna do G upo 5 que espondeu:
Começa a abalha menos pa a ugi à di adu a do empo e uma das o mas de
muda men alidades, p incipalmen e, dos go e nan es e a aze com que es es
issem que as pessoas que abalham o dia in ei o não êm nenhum empo pa a
descansa ou a é es a com a amília. (GOA7_Madalena, G5)
Dos es an es con ibu os pe cebe-se que es i e am p esen es as ideias de “mudança de
men alidades”, “g e es e mani es ações pa a eduzi o ho á io de abalho” (GOA_7). Apesa de
conco da em com a edução do núme o de ho as de abalho, nem odos os alunos a con abiliza am
pa a a o ma da dis ibuição do empo labo al, de descanso e laze (NCOA_ e 2019). Um dos g upos
ap esen ou a dis ibuição do dia em 6 ho as de abalho, 8 ho as de descanso e 10 ho as de laze ,
ac escen ando que nes a úl ima po ção es a ia: le um li o, e um ilme, passea , aze despo o,
es a com a amília. No que diz espei o à ep esen ação g á ica dos dados con idos no ex o e i icou-
se uma g ande di iculdade na mesma, que ez eme gi eixos ca esianos não iden i icados,
ep esen ações de his og amas/g á icos de ba as jus apos as e de amos de uma hipo é ica hipé bole.
256
Com es es egis os a p o esso a ap o ei ou pa a indica que pode iam usa calculado as
g á icas pa a as p óximas a e as. A a e a e minou com o econhecimen o de que não ha ia
e idências de p opo cionalidade, quando analisado o g á ico (GOA7).
A oi a a aula iniciou-se com a dis ibuição da a e a 2.2 ‘As mu ações do abalho’, momen o
em que su giu o comen á io de um aluno que p o ocou um iso cole i o incluindo da p o esso a:
“en ão, p o esso a, es amos nós aqui a ala em eduzi o ho á io de abalho e a p o esso a dá-nos
cada ez mais?” (GOA8). Le am, uma ez mais, o ex o em conjun o, p á ica que pe mi iu alguns
comen á ios e escla ecimen os po pa e da docen e, que oi seguida de 40 minu os de abalho
au ónomo. No empo seguin e, os alunos e i a am dú idas com a p o esso a onde a mesma, ao
deno a as di iculdades sen idas pelos g upos, suge iu que u ilizassem o compu ado da sua sec e á ia
pa a abalha em com o Excel. Nas duas aulas que se segui am, a a e a oi analisada, discu ida e
ap esen adas as esoluções de cada g upo.
A explo ação da a e a 3, ‘Re a os da ida de abalho’, oi começada na 12.ª aula obse ada.
Começou-se a no a uma ce a na u alidade na iniciação do abalho de o ma au ónoma, que
co espondia à eceção da a e a, lei u a em g upo do ex o nela con ido, seguida de diálogo in ag upal
(Figu a 58).
Figu a 58
G upos em abalho au ónomo
Após essa dinâmica, a p o esso a pediu silêncio pa a le em a a e a pa a o g upo u ma e
ap o ei ou pa a elemb a ( al ez po se ape cebe de alguns alunos menos ocados) o in e esse
ma emá ico das a e as, mas não só, usando as seguin es pala as:
A semana passada is o co eu mui o bem, amos lá e se con inua. Is o são emas
impo an es pa a ocês ambém, é pa a is o que se e a Ma emá ica, não é só pa a
aze con as e não se i pa a mais nada, é pa a is o, e em sen ido c í ico e sabe em
in e p e a os dados que os dão. (GOA11_P o esso a)

257
Sensibilizados com a chamada de a enção, a lei u a do ex o deco eu em silêncio, o qual
consis ia no ela o de duas si uações das condições labo ais de dois abalhado es de uma cadeia de
supe me cados: a p imei a de uma uncioná ia de base, a segundo do p esiden e execu i o da
emp esa de en o a da cadeia.
Seguidamen e, a p o esso a lançou algumas ques ões: “po que se á que oi escolhida es a
cadeia de supe me cados e não ou a? Se á que az mais sen ido ala des a?” (GOA11_P o esso a).
Um dos alunos adian a que é po se a que êm ali na cidade (GOA11_Diogo, G3) e ou o a e e-se a
esponde que é po se o supe me cado que ap esen a maio disc epância de salá ios
(GOA11_Gonçalo, G7). A p o esso a anui e ac escen a que pa a além dos salá ios ambém é e dade a
p á ica de abuso de ho á ios sob e os abalhado es, ao que se ou e “p o esso a, explo ação labo al,
não é?” (GOA11_Ma ilde, G7), e de uma aluna “po isso é que os icos es ão cada ez mais icos e os
pob es cada ez mais pob es” (GOA11_Ma ia, G4).
Após o deba e inicial, seguiu-se a lei u a das ques ões (Figu a 59) que se concen a am,
p imei amen e, nas duas p imei as alíneas, na medida em que, al como a p o esso a indicou, “é só
aze umas pequenas eg as de ês simples, ce o? Vou deixa - os abalha comple amen e sozinhos”
(GOA12_p o esso a). O que, de ac o, sucedeu du an e mais dois empos le i os.
Figu a 59
Exce o da a e a ‘Re a os de idas de abalho’, alíneas a), b), c) d), e)
Na aula obse ada núme o 14, o am co igidas essas alíneas e abalhado a cons ução de
um modelo que pe mi isse ep esen a o salá io mínimo mensal de um abalhado do Pingo Doce
pa a, pos e io men e, compa á-lo com o do seu di e o -ge al. De no a que es a p á ica de modelação
deco eu com luidez, não endo sido necessá io in e enções de maio po pa e da docen e. Os
258
esul ados ob idos o am ap esen ados em g upo u ma na aula 15, des acando-se que a maio ia dos
g upos conseguiu segui as indicações an e io es da p o esso a Isabel, em elação às ases de
modelação. A aluna que p ocedeu à esolução no quad o ê-lo seguindo as ases de modelação que
inham sido suge idas pela p o esso a, ao mesmo empo que ia ques ionando a u ma: “en ão es ão
aqui as duas a á eis?”; “que unção é es a?” “como amos aplica nes e modelo a alínea d)?”
(GOA15_p o esso a). A maio ia dos alunos ai acompanhando e pa icipando a é chega em aos
esul ados inais, ma cados pelos comen á ios pa alelos: “como é possí el? En ão um abalhado em
de abalha me ade da ida de abalho pa a ganha o que o di e o ganha num mês?!”
(GOA15_Ca los, G7); “231 anos pa a ganha o que o CEO ganha num ano, uii!” (GOA15_Lúcia, G6).
Pa a a esolução da Ta e a 4, ‘Redis ibuição da iqueza’, o am u ilizados qua o empos
le i os, os quais se dis ibuí am en e abalho au ónomo, ap esen ação e discussão dos esul ados.
Das dinâmicas desen ol idas essal am uma maio agilidade na execução da a e a, a pa de uma
maio desen ol u a na u ilização de mecanismo auxilia es, como oi o caso do p og ama Excel. Na
Ta e a 4 são pos as, no amen e, duas si uações que os alunos êm de modela e compa a , cuja
si uação eal são, uma ez mais, as dispa idades sala iais exis en es no seio emp esa ial,
nomeadamen e, na emp esa Pingo Doce, num o al de qua o alíneas (Figu a 60).
Figu a 60
Exce o da Ta e a ‘Redis ibuição da iqueza’, alíneas a), b), c), d)
259
As esoluções o am ap esen adas em g upo u ma no inal da 18.ª e da 19.ª aulas
obse adas. No deco e des a p á ica oi e iden e que su gi am algumas di iculdades em algum pon o
da a e a, com especial oco na alínea c). As p imei as duas alíneas o am ap esen adas pelo mesmo
aluno, embo a i essem uma ap esen ação o mal dis in a. Na di ulgação dos esul ados ob idos pelos
g upos da a e a de modelação da alínea c) a docen e suge iu que dois g upos ap esen assem as suas
esoluções, na medida em que inham usado ep esen ações dis in as e alguns a ingido di e en es
esul ados. O momen o dedicado à alínea d) deu luga a ce ca de 40 minu os de deba e de ideias,
“ empo no qual sob essaem uma o en e de opiniões, azendo lemb a um mic o one abe o numa
assembleia” (NCOA_ e 2019). A maio ia dos alunos quis da o seu con ibu o e a discussão deco eu
com luência.
A 21.ª aula iniciou-se com a lei u a do ex o da Ta e a 5, ‘A ube ização do abalho’. As
p imei as eações dos alunos suge i am uma iden i icação com o ema, como indiciam os seguin es
comen á ios:
Gab iel: Ando a e uma sé ie na Ne lix que eles andam semp e de Ube .
Ve a: Mas aqui não há.
Lúcia: Quando ou a casa dos meus p imos em Lisboa pedimos mui as ezes
comida pela Ube Ea s.
Raquel: Ó p o esso a, acha que isso ai chega aqui?
P o esso a: Não sei, mas, olha, espe o bem que não.
Raquel: En ão, po quê p o esso a?
P o esso a: Já amos e , com es a a e a, acho que ai ica cla o po quê.(GOA20)
Deno ou-se que ao longo das qua o aulas em que oi explo ada es a a e a a solici ação da
in e enção da p o esso a oi, no o iamen e, meno , ainda que o g au de di iculdade enha aumen ado.
A si uação eal da a e a oca a-se na p eca iedade labo al associada aos mo o is as da pla a o ma
Ube , e os modelos ma emá icos com que se p e endia que abalhassem e am a unção a im e a
unção quad á ica. De ac o, é p ecisamen e na aplicação do modelo da unção quad á ica elacionado
com a alínea b) da a e a (Figu a 61) que os alunos mais pedi am a ajuda da p o esso a.
Figu a 61
Exce o da a e a ‘A ube ização do abalho’, alíneas a), b), c)
260
Nes e sen ido, a p o esso a acabou po expo (Figu a 62), ao g upo u ma, o aciocínio no qual
se pode iam apoia pa a de ini o modelo. Ainda nes e escla ecimen o, chamou à a enção que os
dados iniciais ela i os à a iá el dependen e encon am-se em cên imos, ques ionando os alunos se
não se ia melho e e ua em a passagem pa a eu os (NCOA_ma 2019).
Figu a 62
A docen e p es a alguns escla ecimen os
É de ealça que, à semelhança da a e a an e io , os alunos eco e am à calculado a g á ica,
bem como usa am o elemó el pa a acede à In e ne a im de pesquisa em o que conside assem
necessá io.
Ao e mina em a a e a na aula 24, a docen e p opôs que os á ios g upos pensassem em
c ia uma a e a, pa a ap esen a em à u ma, no p azo de uma semana, em que ab angessem os
concei os ma emá icos en ol idos, modelação ma emá ica e um ema do o o social que
conside assem pe inen e.
Des a o ma, na úl ima aula obse ada, os g upos p ocede am à di ulgação dos seus
abalhos. Duas das si uações eais a que os alunos se epo a am consis i am na análise das
condições de abalho, uma de abalhado es de uma emp esa e ou a oca a o abalho não
emune ado. Um dos emas abo dados oi o consumo excessi o, enquan o ou o g upo es udou o
p ocesso de ab icação da boneca Ba bie. Na ó ica ambien al, um dos g upos deb uçou-se sob e a
p oblemá ica dos incêndios em Po ugal (Figu a 63), ou o g upo in es igou sob e a dispa idade do
consumo mundial de água (Figu a 64), enquan o ou o se deb uçou sob e a di e enciação na al a de
abas ecimen o alimen a que le a à desnu ição.
Figu a 63
G upo e a a incêndios de Ped ogão
267
(2) Ma ema ização e abalho com o modelo ma emá ico
Após a expe iência mencionada, a u ma conseguiu iden i ica um pad ão, como exempli ica o
seguin e diálogo:
P o esso a: Ainda ninguém me disse de que o ma se compo am es as a iá eis.
Miguel: Es ão a dec esce , menos ho as de abalho são p ecisos mais
abalhado es.
P o esso a: E isso é alea ó io?
Miguel: Não, pa ece uma p opo cionalidade in e sa. (GOA9)
Po sua ez, nas espos as esc i as ( ), os alunos começa am po ma ema iza a
si uação ao iden i ica em as a iá eis com simbologia o mal. Com essa iden i icação, os alunos
consegui am e i ica a exis ência de duas a iá eis, como se e i ica na Figu a 71.
Figu a 71
Iden i icação das a iá eis na esolução de Ve a (G2)
Dep eende-se, inclusi amen e, na esolução de Raquel, que p essupôs a dependência das
a iá eis, quando as esquema izou e es abeleceu elações en e ambas, como indicado na Figu a 72:
Figu a 72
Regis o de Raquel (G6)
É, ambém possí el, in ui a a és das con e sações g upais, a passagem pa a um o ma o
ma emá ico, de ep esen ação simbólica, em que os alunos azem a co espondência en e o núme o
de ho as de abalho semanal e o núme o de abalhado es necessá ios pa a a ingi o núme o de ho as
do olume de encomendas, e, pela p imei a ez, indicam que o alo 4000 é a cons an e de
p opo cionalidade in e sa.

[Document text truncated for crawler view.]