LA DESIGUALDAD DE VON NEUMANN Y
LA TEOR´
IA DE DILATACI ´
ON
CARLOS CONSTANTINO OITAV´
EN
T abajo di igido po
Miguel Lac uz Ma ´ın y Luis Rod ´ıguez-Piazza
Uni e sidad de Se illa
Key wo ds and ph ases. Banach algeb as heo y, bounded linea ope a o s, dila ion heo y,
e godic heo em, unc ional calculus, ope a o heo y, spec al heo y, on Neumann
inequali y
Schopenhaue esc ibi´o que los sue˜nos y la igilia e an hojas de un mismo lib o y que lee las en
o den e a i i , y hojea las, so˜na .
J. L. Bo ges.

Abs ac . A amous inequali y by on Neumann s a es ha i Tis a con ac ion on a Hilbe
space and pis a polynomial, hen
kp(T)k ≤ sup{|p(z)|:z∈C,|z| ≤ 1}.
As ime wen on, his inequali y has gi en ise o a la ge a ie y o esul s es imula ing his
ques ion. The na u al way o gene alize his inequali y conce ns con ac ions T1, . . . , Tn ha
commu e on a common Hilbe space. Is i ue ha , o any polynomial p(z1, . . . , zn) in n
a iables,
kp(T1, . . . , Tn)k ≤ sup{|p(z1, . . . , zn)|:zi∈C,|zi| ≤ 1, i = 1, . . . , n}?
The answe is pa ial. The majo s eps in answe ing his ques ion a e due o T. Ando and
N. Va opoulos, as much in posi i e and nega i e cases, espec i ely.
The aim o his wo k is o p esen an elegan p oo using dila ion heo y, whose main
o e a he is Sz. Nagy, o he o iginal on Neumann’s inequali y, as well as desc ibing i s gene-
aliza ion o wo commu ing con ac ions, and some coun e examples on a ini e-dimensional
Hilbe space, emphasizing he M. J. C abb, A. M. Da ie and J. A. Holb ook coun e examples.
´
Indice gene al
In oducci´on 3
Cap´ı ulo 1. P elimina es 5
1. ´
Algeb as de Banach 5
2. Ope ado es lineales y con inuos en espacios de Hilbe . Ope ado es de mul iplicaci´on 7
3. El eo ema de Riesz 12
4. El eo ema de Weie s aß a pa i del eo ema de Fej´e 20
Cap´ı ulo 2. El eo ema espec al. C´alculo uncional pa a ope ado es 23
1. P esen aci´on y demos aci´on del esul ado 23
2. C´alculo uncional pa a ope ado es no males 27
Cap´ı ulo 3. Teo ´ıa de dila aci´on 37
1. Dila aciones uni a ias 37
2. Dila aciones po po encias 41
3. El eo ema e g´odico 44
4. La desigualdad de on Neumann 46
Cap´ı ulo 4. Gene alizaciones y con aejemplos de la desigualdad de on Neumann 49
1. La gene alizaci´on de T. Ando 49
2. El con aejemplo de M. J. C abb y A. M. Da ie 57
3. El con aejemplo de J. A. Holb ook 60
4. Con aejemplos minimales 62
Ag adecimien os 63
Bibliog a ´ıa 67
6 1. PRELIMINARES
pues o que al se {yn}n∈Nuna sucesi´on con e gen e, exis e una cons an e M > 0 al que
kynk ≤ Mpa a odo n∈N.
Obse aci´on 1.2. N´o ese que no se ha eque ido la conmu a i idad de A, y se p escindi ´a de
ella siemp e y cuando no sea p e iamen e es ablecido expl´ıci amen e.
En lo que sigue, se asumi ´a que Aposee elemen o unidad. Es o es, exis e un elemen o e∈A
al que
xe =ex =x,
pa a odo x∈A. A pa i de su de inici´on es ´acil e que ´es e es ´unico (e0=e0e=e) y que
kek ≥ 1, po (1.1). Adem´as, se asumi ´a que
kek= 1.
De inici´
on 1.3.En las condiciones p eceden es, se di ´a que un elemen o x∈Aes in e ible
si x iene un in e so en A, i.e., si exis e un elemen o x−1∈A al que
x−1x=xx−1=e.
Cabe des aca que los elemen os in e ibles poseen es uc u a de g upo espec o a la ope aci´on
de mul iplicaci´on. Si ue a necesa io, se deno a ´a po G(A) al conjun o de elemen os in e ibles
de A.
De inici´
on 1.4.Sea Aun ´algeb a de Banach con unidad e, y sea x∈A. El espec o de x,
deno ado po σ(x), es el conjun o de los n´ume os complejos λ ales que x−λe no es in e ible.
Es o es,
σ(x) = {λ∈C:x−λe no es in e ible}.
De inici´
on 1.5.Sea Aun ´algeb a de Banach. Pa a x∈A, se de ine su adio espec al,
ρ(x), como el adio del meno disco ce ado cen ado en el o igen que con iene a σ(x), i.e.,
ρ(x) = sup{|λ|:λ∈σ(x)}.
Teo ema 1.6.Sea Aun ´algeb a de Banach. Pa a cada x∈A, se e i ica:
i.Si λ∈σ(x), en onces |λ|≤kxk. Es o es, se sa is ace la inclusi´on
σ(x)⊆D(0,kxk).
ii.El conjun o σ(x)es compac o.
El siguien e esul ado es la ´o mula de Gel and, que asegu a la igualdad en e dos can idades
en e amen e dis in as: una algeb aica y o a opol´ogica.
Teo ema 1.7 (F´o mula del adio espec al de Gel and).Sea Aun ´algeb a de Banach con
unidad. Pa a cada x∈A, se e i ica que
ρ(x) = l´ım
n→∞ kxnk1/n.

2. OPERADORES EN ESPACIOS DE HILBERT. OPERADORES DE MULTIPLICACI ´
ON 7
De inici´
on 1.8.Sea Aun ´algeb a compleja. Un homomo ismo complejo en Aes una
aplicaci´on Λ: A→Clineal que e i ica
Λ(xy) = Λ(x)Λ(y)
pa a odos x, y ∈A. El conjun o de odos los homomo ismos no nulos de inidos en Ase deno a
po ∆(A).
Teo ema 1.9.Sea Aun ´algeb a de Banach. Si A iene unidad e, y Λ∈∆(A), en onces:
i. Λ ∈A∗ykΛk ≤ 1;
ii. Λ(e) = 1;
iii.si x∈G(A), en onces Λ(x)6= 0.
P oposici´
on 1.10.Sea Aun ´algeb a de Banach. Si A iene unidad, en onces ∆(A)es
compac o pa a la opolog´ıa ∗−d´ebil de A∗.
De inici´
on 1.11 (T ans o mada de Gel and).Sea Aun ´algeb a de Banach. Pa a cada
x∈A, se de ine ˆxcomo la unci´on
ˆx: ∆(A)−→ C
Λ7−→ ˆx(Λ) = Λ(x).
Si en ∆(A) se conside a la opolog´ıa inducida po la opolog´ıa ∗−d´ebil de A∗, en onces la aplica-
ci´on x7→ ˆxes un homomo ismo de ´algeb as en e AyC(∆(A)) que se denomina ans o mada
de Gel and.
Se cie a la secci´on con un esul ado ace ca de las p opiedades de la ans o mada de Gel and.
Teo ema 1.12 (P opiedades de la ans o mada de Gel and).Sean Aun ´algeb a de Banach
conmu a i a con unidad, y x∈A. Se ienen:
i.xes in e ible en Asi y s´olo si Λ(x)6= 0, pa a odo Λ∈∆(A);
ii.σ(x) = {Λ(x):Λ∈∆(A)};
iii.ρ(x) = kˆxk∞.
Es as p opiedades se ´an especialmen e ´u iles en la cons ucci´on de un c´alculo uncional pa a
una can idad ini a de ope ado es no males que conmu an.
∗∗∗
2. Ope ado es lineales y con inuos en espacios de Hilbe . Ope ado es de
mul iplicaci´on
2.1. Ope ado es lineales y con inuos en espacios de Hilbe . Si Xes un espacio
de Banach sob e el cue po complejo, es conocido que el espacio B(X) de ope ado es lineales y
aco ados de Xen Xes un espacio de Banach con la no ma
kTk= sup
x∈X {0}
kTxk
kxk= sup
x∈X
kxk=1 kTxk.
8 1. PRELIMINARES
Una mane a al e na i a y equi alen e de exp esa es a no ma es
kTk= m´ın{M≥0 : kTxk ≤ Mkxkpa a odo x∈X}.
El espacio B(X) posee es uc u a de ´algeb a de Banach. Po an o, odos los esul ados ace ca
de ´algeb as de Banach son ´alidos pa a el espacio de ope ado es lineales y aco ados de un
espacio de Banach en s´ı mismo. En lo que sigue, se conside a ´an ope ado es de inidos en e
espacios de Hilbe .
Sea Hespacio de Hilbe , y T∈ B(H). El ope ado adjun o de T, deno ado po T∗, es el
´unico ope ado lineal y con inuo T∗:H→Hque sa is ace
hTx, yi=hx, T∗yi,
pa a odos x, y ∈H. Si ocu e que TT∗=T∗T, se dice que el ope ado Tes no mal; se dice
que Tes he m´ı ico oau oadjun o si T∗=T. Las p opiedades elemen ales de es os ope ado es
se esumen en el siguien e esul ado.
P oposici´
on 1.13.Sea Hun espacio de Hilbe . Consid´e ense T, S ∈ B(H), y α∈C.
Se sa is acen:
i. (αT +S)∗=αT∗+S∗;
ii. (TS)∗=S∗T∗;
iii.kTk=kT∗k.
P ueba. Las dos p ime as asunciones son una me a comp obaci´on. Pa a la ´ul ima,
kT∗xk2=hT∗x, T∗xi=hx, TT∗xi≤kT∗k·kTk·kxk2,
pa a odo x∈H. Luego kT∗k≤kTk. An´alogamen e,
kTxk2=hTx, Txi=hx, T∗Ti ≤ kT∗k·kTk·kxk2,
pa a odo x∈H. Es o p opo ciona kTk≤kT∗k, y queda p obado el esul ado. 
Apa ece aho a el p ime esul ado que se usa ´a pa a p oba el eo ema espec al pa a
ope ado es he m´ı icos.
Teo ema 1.14.Si T∈ B(H)es he m´ı ico, en onces ρ(T) = kTk.
P ueba. La igualdad ρ(T)≤ kTkno depende del ca ´ac e he m´ı ico del ope ado ; una de-
mos aci´on o iginal, usando el eo ema del pun o ijo de Banach pa a aplicaciones con ac i as,
puede encon a se en [CO17].
En p ime luga , n´o ese que
kTk2=kT∗Tk.
En e ec o, se iene que
kT∗Tk≤kT∗k·kTk=kTk2
y
kTxk2=hTx, Txi=hx, T∗Txi≤kxk2·kT∗Tk,
pa a cada x.
2. OPERADORES EN ESPACIOS DE HILBERT. OPERADORES DE MULTIPLICACI ´
ON 9
Dado que Tes he m´ı ico,
kTxk2=hTx, Txi=x, T2x≤
T2
·kxk2
pa a cada x, y en onces kT2k=kTk2. Un a gumen o induc i o p ueba que 
T2n
=kTk2n.
Finalmen e, la ´o mula del adio espec al de Gel and concluye que
ρ(T) = l´ım
n→∞ 
T2n
1/2n=kTk,
y es o p ueba el esul ado. 
Uno puede ex ende el esul ado an e io pa a ope ado es no males.
Co ola io 1.15.Si T∈ B(X)es un ope ado no mal, en onces ρ(T) = kTk.
P ueba. Pa a p oba la a i maci´on, ec´ue dese que ya se hab´ıa p obado que kTk2=kT∗Tk;
adem´as, se e i ica que
kTk4=kT∗Tk2=kT∗TTT∗k=
(T∗T)2
.
En gene al,
kTk2n=

(T∗T)2n−1

=

T2n−1


2
pa a cada nna u al. En consecuencia, se ob iene que kTk2n−1=

T2n−1

pa a odo n. De nue o,
la ´o mula de Gel and asegu a la igualdad
ρ(T) = l´ım
n→∞ 
T2n
1/2n=kTk.
Lo que p ueba la igualdad en e en adio espec al y la no ma de un ope ado no mal. 
2.2. Ope ado es de mul iplicaci´on. El obje i o de es e apa ado es p esen a los ope-
ado es de mul iplicaci´on inducidos po una unci´on de inida en un espacio de medida. Pa a
ello, es necesa io comenza con las de iniciones de los espacios L2(µ) y L∞(µ) inducidos po un
espacio de medida (X, Σ, µ), que se conside a ´a σ− ini o. Pos e io men e, se da ´a la de inici´on
de ope ado de mul iplicaci´on, pa a inaliza con algunas p opiedades de dichos ope ado es.
De inici´
on 1.16.Se de ine el espacio
L2(µ) =  :X→C: es medible,ZX| |2dµ < ∞.
As´ı,
L2(µ) = L2(µ)/∼,
donde ∼gsi y s´olo si (x) = g(x) en casi odo x∈X. Es e espacio es de Hilbe con el
p oduc o escala
h , gi=ZX
g dµ.
De mane a an´aloga, se de inen
L∞(µ) = { :X→C: es medible,∃C > 0 al que | (x)| ≤ Cen casi odo x∈X}
y
L∞(µ) = L∞(µ)/∼.
10 1. PRELIMINARES
Usualmen e, a las unciones que pe enecen a L∞(µ) se las denomina unciones esencialmen e
aco adas. Es e espacio es de Banach con la no ma
k k∞= m´ın{C > 0 : | (x)| ≤ Cen casi odo x∈X}.
Es e alo se conoce como el sup emo esencial de .
Obse aci´on 1.17 (Abuso de no aci´on). En lo que sigue, un elemen o ∈L2(µ) ep esen a a
la clase de odas las unciones de L2(µ) que son iguales a en casi odo pun o. De la misma
mane a pasa con los elemen os del espacio L∞(µ).
De inici´
on 1.18.Sea ϕ∈L∞(µ). Un ope ado Mϕde inido en el espacio de Hilbe L2(µ)
po
Mϕ =ϕ·
se denomina la mul iplicaci´on inducida po ϕ.
Teo ema 1.19.Si Mϕes el ope ado inducido po una unci´on ϕ∈L∞(µ), en onces
(1.2) kMϕk=kϕk∞.
P ueba. La p ueba a a ealiza se cons uc i amen e, de al modo que se e ´a has a d´onde
puede llega se sin asumi la σ− ini ud de la medida µ. Es o p oba ´a que es a asunci´on es
ine i able. Se iene,
kMϕ k2=ZX|ϕ· |2dµ ≤ kϕk2
∞·ZX| |2dµ =kϕk2
∞·k k2,
de donde se sigue que kMϕk≤kϕk∞. La p ueba de la desigualdad con a ia es la que posee
m´as di icul ad.
Una mane a sensible de comenza la p ueba es no a que, dado  > 0, en onces
|ϕ(x)|>kϕk∞−
en un conjun o, p´ongase M, de medida posi i a. Si, e.g., =χM, en onces
k k2=ZM
1dµ =µ(M),
y
kMϕ k2=ZM|ϕ|2dµ ≥(kϕk∞−)2µ(M)=(kϕk∞−)2k k2.
As´ı, se deduce que kMϕk≥kϕk∞−; y dado que es o es cie o pa a odo , se sigue que
kMϕk≥kϕk∞.
La p ueba es ´a acabada, pe o es e ´onea.
El p oblema es que el conjun o Mpuede se de medida in ini a. La objecci´on no pa ece muy
ue e. Desp´ues de odo, incluso si el conjun o
{x∈X:|ϕ(x)|>kϕk∞−}
iene medida in ini a, el azonamien o an e io unciona pe ec amen e si Mes omado como
un subconjun o de medida posi i a y ini a de ´es e. Es o es cie o. La di icul ad, sin emba go,
es que el espacio puede se lo su icien emen e pa ol´ogico como pa a que los conjun os medibles
2. OPERADORES EN ESPACIOS DE HILBERT. OPERADORES DE MULTIPLICACI ´
ON 11
de medida posi i a (de hecho de medida in ini a) engan la p opiedad de que cada uno de sus
subconjun os medibles enga medida 0 ´o ∞.
Sea X={x1, x2}con µ({x1}) = 1 y µ({x2}) = ∞. En onces, L2(µ) es el espacio
1−dimensional de las unciones de inidas en Xque son nulas en x2. Si ϕes la unci´on ca-
ac e ´ıs ica del conjun o {x2}, en onces kϕk∞= 1, pe o
kMϕ k2=Z{x2}| |2dµ =Z{x2}| (x2)|2dµ = 0.
Po an o, kMϕk= 0.
Conclusi´on: si la medida es localmen e ini a, i.e., odo conjun o medible de medida posi i a
iene un subconjun o de medida posi i a ini a, en onces, la no ma de cada ope ado mul ipli-
ca i o es el sup emo esencial de la unci´on que lo induce. Todo espacio de medida σ− ini o es
localmen e ini o, ya que en al caso exis e una colecci´on {An}n∈Ncon µ(Ai)<∞, pa a odo
na u al i, al que
X=[
n∈N
An.
Luego, dado B⊂Xmedible con µ(B)>0, exis e al menos Ai0 al que Ai0∩B6=∅y
µ(Ai0∩B)<∞.
As´ı, la mane a m´as p ´ac ica de elimina ales di icul ades es asumi que la medida es
σ− ini a. Si es o es asumido, el azonamien o an e io p ueba (1.2). 
Hay una g an elaci´on en e las p opiedades que he eda Mϕdel ca ´ac e de ϕ, un es udio
se e ela en [Hal82]. La siguien e p oposici´on esume alguna de sus p opiedades.
P oposici´
on 1.20.Sean MϕyMψdos ope ado es de mul iplicaci´on asociados a dos
unciones ϕyψde L∞(µ). Se e i ica:
i.M∗
ϕ=Mϕ,
ii.Mϕ·ψ=MϕMψ,
iii.Mϕes he m´ı ico si y s´olo si ϕes eal.
P ueba. Pa a el p ime apa ado, el ope ado M∗
ϕes ´unico ope ado que e i ica
hMϕ , gi=h , M∗
ϕgi,
pa a odo , g ∈L2(µ). Es o ocu e si y s´olo si
ZX
ϕ g dx =ZX
M∗
ϕg dx,
pa a odo , g ∈L2(µ). As´ı, o zosamen e
M∗
ϕg=ϕ·g
en casi odo pun o, lo que desemboca en que
M∗
ϕg=ϕ·g,
pa a oda g∈L2(µ).
Pa a el segundo apa ado, sea ∈L2(µ). Se iene,
Mϕ·ψ =ϕ·ψ· =Mϕ(ψ· ) = MϕMψ .

12 1. PRELIMINARES
Pa a el ´ul imo apa ado, g acias a la iden idad del p ime apa ado, Mϕes he m´ı ico si y s´olo
si Mϕ=Mϕ, es o es, ϕ=ϕ.
Co ola io 1.21.Los ope ado es de mul iplicaci´on son no males.
P ueba. Es inmedia o dedida a la segunda p opiedad de la P oposici´on 1.20. 
∗∗∗
3. El eo ema de Riesz
El siguien e esul ado que se necesi a pa a la p ueba que desc ibe Halmos [Hal63] es conocido
como el eo ema de ep esen aci´on de Riesz Riesz-Ma ko -Kaku ani [Rud87] pa a los conjun os
compac os en la ec a eal. ´
Es e a i ma que odo uncional lineal y posi i o1en C[a, b] se puede
ep esen a como una in eg al con espec o a una medida posi i a y ini a, i.e., la aplicaci´on
Υ: µ7−→ Υ(µ)( ) = Z[a,b]
dµ
es biyec i a en e las medidas posi i as y los uncionales posi i os.
En es e abajo se dispone a desa olla una e si´on m´as gene al, ap a pa a unciones de ini-
das en cualquie espacio de Hausdo localmen e compac o. A p op´osi o de es e in, ecu´e dense
aho a algunas de iniciones de ´ındole opol´ogica.
De inici´
on 1.22.Se con iene en deci que Xes de Hausdo si dados dos elemen os
cualesquie a xeyde Xcon x6=y, exis en dos en o nos UyVde xey, espec i amen e, ales
que U∩V=∅. Cualquie espacio m´e ico es de Hausdo .
De inici´
on 1.23.Un espacio Xde Hausdo es localmen e compac o si odo elemen o
x∈Xposee un en o no cuya clausu a es compac a. Po ejemplo, g acias al eo ema de Heine-
Bo el, los espacios Cnson localmen e compac os; y, ob iamen e, cualquie espacio compac o es
localmen e compac o.
Una discusi´on m´as de allada de es os concep os se e ela en [Rud87]. Po ´ul imo, es nece-
sa io un lema p e io al esul ado cen al de la secci´on.
Lema 1.24 (Lema de U ysohn).Sea Xun espacio de Hausdo localmen e compac o. Dado
K⊂Xcompac o y V⊂Xabie o con K⊂V, exis e una unci´on con inua de sopo e
compac o ( ∈Cc(X)) al que
(x) = 1,si x∈K,
(x)∈[0,1],si x∈X,
(x) = 0,si x∈X V,
dicho de o o modo,
χK≤ ≤χV.
1Un uncional se dice que es posi i o si Λ ≥0 siemp e que ≥0.
3. EL TEOREMA DE RIESZ 13
Obse aci´on 1.25. En el caso de espacios m´e icos, es e esul ado posee una demos aci´on
muy sencilla. Si (X, d) es un espacio m´e ico y C1, C2⊆Xdos subconjun os ce ados y disjun-
os, en onces la unci´on con inua
:X−→ R
x7−→ (x) = d(x, C1)
d(x, C1) + d(x, C2)
sa is ace que |C1≡0, |C2≡1 y 0 ≤ (x)≤1 pa a odo x∈X.
Teo ema 1.26 (Rep esen aci´on de Riesz).Sea Xun espacio de Hausdo localmen e com-
pac o, y sea Λ: Cc(X)→Run ope ado posi i o y lineal. En onces exis e una σ−´algeb a Σen
Xque con iene a odos los conjun os de Bo el de X, y exis e una ´unica medida posi i a µen
Σque ep esen a a Λ, es deci ,
(1.3) Λ =ZX
dµ
pa a oda unci´on ∈Cc(X). Adem´as, e i ica las siguien es p opiedades:
i.Si K⊂Xes un conjun o compac o, en onces µ(K)<∞.
ii.Pa a odo A∈Σ, se iene
µ(A) = ´ın {µ(V) : A⊂V, V es abie o}.
iii.Se e i ica la igualdad
µ(A) = sup{µ(K) : K⊂A, K es compac o}
pa a odo conjun o abie o A, y pa a odo A∈Σcon µ(A)<∞.
i .Si B∈Σ,A⊂B, y µ(B)=0; en onces A∈Σ. Es o es, el espacio de medida (X, Σ, µ)
es comple o.
La igualdad (1.3) es la m´as in e esan e. T as de ini Σ y µ, las p opiedades queda ´an p o-
badas si se demues a que Σ es una σ−´algeb a y que µes nume ablemen e adi i a.
P ueba. En lo que sigue, Kdeno a ´a un conjun o compac o de X, y Vun conjun o abie o
en X.
Se comienza po p oba la unicidad de µ. Si µsa is ace las p opiedades ii. yiii., es cla o que
µqueda de e minada en Σ po sus alo es en conjun os compac os de X. Po ello, es su icien e
p oba que si µ1yµ2son dos medidas que e i ican las hip´o esis del eo ema, en onces
µ1(K) = µ2(K),
pa a odo conjun o compac o K⊂X. F´ıjese K⊂Xun conjun o compac o y  > 0. Po ii. y
iii., exis e V⊃Kcon
µ2(V)< µ2(K) + .
El lema de U ysohn a i ma la exis encia de una unci´on ∈Cc(X) al que χK≤ ≤χV.
En onces,
µ1(K) = ZX
χKdµ1≤ZX
dµ1= Λ =ZX
dµ2≤ZX
χVdµ2=µ2(V)< µ2(K) + .
14 1. PRELIMINARES
Po an o, µ1(K)≤µ2(K). In e cambiendo aho a µ1po µ2se p ueba la desigualdad con a ia,
y po an o la unicidad de µqueda demos ada.
Cons ucci´on de µyΣ
Pa a cada abie o Ven X, de ´ınase
(1.4) µ(V) = sup{Λ : ∈Cc(X),0≤ ≤1,sop( )⊂V}.
A menudo se usa ´a la no aci´on ≺Vpa a indica que Ves abie o, ∈Cc(X), 0 ≤ ≤1
y sop( )⊂V. Tambi´en se ha ´a uso de la no aci´on K≺ pa a indica que Kes compac o,
que ∈Cc(X), que 0 ≤ ≤1 y que (x) = 1 siemp e que x∈K. As´ı, la de inici´on an e io
esul a ´ıa
µ(V) = sup{Λ : ≺V}.
Si V1⊂V2, en onces (1.4) implica que µ(V1)≤µ(V2). Po ello,
(1.5) µ(A) = ´ın {µ(V) : A⊂V, V abie o}
siemp e que Asea un conjun o abie o, y es consis en e con (1.4) de ini µ(A) po (1.5) pa a
cualquie A⊂X.
A pesa de habe de inido µ(A) pa a cualquie A⊂X, la nume abilidad adi i a de µs´olo
se p oba ´a en una σ−´algeb a pa icula Σ de X.
Sea ΣFel conjun o de odos los subconjun os A⊂Xque e i ican dos condiciones:
µ(A)<∞y
(1.6) µ(A) = sup{µ(K) : K⊂A, K compac o}.
Finalmen e, sea
Σ = {A⊂X:A∩K∈ΣFpa a odo Kcompac o}.
P ueba de que µyΣsa is acen dichas p opiedades
Es cla o que µes mon´o ona, i.e., si A⊂Ben onces µ(A)≤µ(B). Adem´as, si µ(A) = 0
en onces A∈ΣFy po ende A∈Σ. Po an o, i . se sa is ace y ambi´en ii., po de inici´on.
Con obje o de p oba cada una de las a i maciones es an es, es con enien e di idi la p ueba
en algunos pasos.
Obs´e ese que la posi i idad de Λ implica que Λ es mon´o ona, es o es, si ≤gen onces
Λ ≤Λg. Es a p opiedad se usa ´a en los pasos 2 y 10.
Paso 1.Si A1, A2, . . . son subconjun os a bi a ios de X, en onces
(1.7) µ ∞
[
i=1
Ai!≤
∞
X
i=1
µ(Ai).
P ueba. Se p ueba p ime o que
(1.8) µ(V1∪V2)≤µ(V1) + µ(V2)
si V1yV2son abie os. El´ıjase g∈Cc(X) al que 0 ≤g≤1 y sop(g)⊂V1∪V2. Po el Teo ema
2.13 en [Rud87], exis en unas unciones hi≺Vi ales que
h1(x) + h2(x) = 1
3. EL TEOREMA DE RIESZ 15
siemp e que x∈sop(g). De ah´ı, se deduce hig≺Vi. Po consiguien e, puede esc ibi se
g=h1g+h2gy as´ı
Λg= Λ(h1g) + Λ(h2g)≤µ(V1) + µ(V2).
Como la igualdad an e io es ´alida pa a oda g≺V1∪V2, omando el sup emo queda p obada
(1.8).
En el caso de que µ(Ai) = ∞pa a alg´un i, en onces (1.7) es i ialmen e cie a. Sup´ongase
en onces que µ(Ai)<∞pa a odo i. F´ıjese  > 0. Po (1.5), exis en unos conjun os abie os
Vi⊃Ai ales que
µ(Vi)< µ(Ai) + 
2i
pa a i≥1. Sea
V=
∞
[
i=1
Viy ≺V.
Dado que iene sopo e compac o, debe ocu i que ≺V1∪···∪Vnpa a alg´un n, ya que
de odo ecub imien o po abie os puede ex ae se un sub ecub imien o. Median e a gumen os
po inducci´on sob e (1.8), se ob iene que
Λ ≤µ(V1∪···∪Vn)≤µ(V1) + ···+µ(Vn)≤
∞
X
i=1
µ(Ai) +
∞
X
i=1

2i=
∞
X
i=1
µ(Ai) + .
Dado que es o ocu e pa a oda ≺V, y
∞
[
i=1
Ai⊂V,
se sigue que
µ ∞
[
i=1
Ai!≤µ(V)≤
∞
X
i=1
µ(Ai) + ,
lo que p ueba (1.7), ya que e a a bi a io. 
El siguien e paso p ueba la p ime a p opiedad.
Paso 2.ΣFcon iene a odos los conjun os compac os.
P ueba. Si K≺ , sea
V=x∈X: (x)>1
2
En onces K⊂V, ya que (x) = 1 cuando x∈K. Adem´as, g≤2 pa a oda g≺V. Po an o,
µ(K)≤µ(V) = sup{Λg:g≺V} ≤ Λ(2 )<∞.
Dado que Kcla amen e sa is ace (1.6), K∈ΣF, ya que e i ica las dos p opiedades
eque idas. 
Paso 3.Cada conjun o abie o sa is ace (1.6). En consecuencia, ΣFcon iene cada conjun o
abie o Vcon µ(V)<∞.
22 1. PRELIMINARES
donde Ij= (aj, bj). Aho a bas a de ini en cada Ijde mane a lineal. La aplicaci´on del
esul ado an e io implica que es l´ımi e uni o me de polinomios en odo [a, b], y en pa icula ,
en K.

Cap´ı ulo 2
El eo ema espec al. C´alculo uncional pa a ope ado es
El eo ema espec al pa a ope ado es he m´ı icos a i ma que odo ope ado The m´ı ico de inido
en un espacio de Hilbe sepa able es esencialmen e un ope ado de mul iplicaci´on de inido en
L2(µ) con una medida µde e minada. Es e esul ado ab i ´a la pue a a un c´alculo uncional
pa a es e ipo de ope ado es, y se ´a de e minan e a la ho a de p oba la desigualdad de on
Neumann (0.1) y el eo ema e g´odico. Como gene alizaci´on, con la ayuda de la eo ´ıa de ´algeb as
de Banach desc i a en el cap´ı ulo an e io , se cons ui ´a un c´alculo uncional pa a una can idad
ini a de ope ado es no males que conmu an en un espacio de Hilbe com´un.
1. P esen aci´on y demos aci´on del esul ado
Teo ema 2.1 (Teo ema espec al pa a ope ado es he m´ı icos).Todo ope ado he m´ı ico es
uni a iamen e equi alen e a un ope ado mul iplica i o.
En de alle, el eo ema a i ma que si Tes un ope ado he m´ı ico, i.e. al que T∗=T,
de inido en un espacio de Hilbe sepa able H, en onces exis e una unci´on ϕesencialmen e
aco ada de inida en un espacio de medida (X, Σ, µ), y exis e una isome ´ıa U:L2(µ)→H,
ales que U−1TU (x) = (Mϕ ) (x)
pa a odo x∈X, y pa a cada ∈L2(µ). Es e hecho ambi´en es ´alido pa a ope ado es
no males, pe o al con a io de la p ueba que a a ealiza se aqu´ı, no puede se demos ado
median e esul ados elemen ales.
De inici´
on 2.2.Sea Tun ope ado he m´ı ico en un espacio de Hilbe H. Un elemen o
ξ∈Hes un ec o c´ıclico pa a Tsi el conjun o o mando po odos los elemen os de la o ma
p(T)ξ, donde pes un polinomio con coe icien es complejos, es denso en H.
Los ec o es c´ıclicos pueden no exis i , pe o se conoce un a gumen o que asegu a que Hes
siemp e suma di ec a de amilias de subespacios ales que cada es icci´on de Ta cada uno de
ellas posea al menos un ec o c´ıclico. As´ı, p obado el esul ado en cada subespacio, se sigue
pa a H. Se p ocede a p oba al a i maci´on.
Sea T:H→Hun ope ado he m´ı ico, se desea una descomposici´on de H al que
H=M
i∈I
Hi
y e i ique las dos condiciones siguien es:
i.T(Hi)⊆Hipa a odo i∈I.
ii. Pa a cada i∈Iexis e un elemen o i∈Hi al que
(2.1) span{Tn i:n≥0}
23
24 2. EL TEOREMA ESPECTRAL. C ´
ALCULO FUNCIONAL PARA OPERADORES
es denso en Hiy adem´as Hi⊥Hjsi i6=j.
En p ime luga , obs´e ese que, pa a cada ∈H, el espacio de inido po (2.1)
M= span{Tn :n≥0}
educe a T, es deci , T(M)⊆MyT(M⊥)⊆M⊥. En e ec o, es cla o que T(M)⊆M; aho a,
si h∈M⊥yg∈M, en onces
hTh, gi=hh, Tgi= 0
ya que Tg ∈M. Po an o, T(M⊥)⊆M⊥. Cuando es o ocu e se dice que el subespacio M
educe a T.
Se p ocede a cons ui al descomposici´on. T´omese ∈H {0}, y esc ´ıbase
H = span{Tn :n≥0}.
Como Hes sepa able, exis e un conjun o D={ n}n∈Ndenso en H; y, sin p´e dida de gene ali-
dad, puede supone se que n6= 0 pa a odo n∈N.
Sea en onces H1=H 1yK1=H⊥
1. Si K1={0}la descomposici´on queda comple ada, pues
H1=H. En o o caso, ´omese
ym=PK1 m, m ≥2.
En onces, exis e un p ime m0 al que ym06= 0. Cuando es o ocu e, m0/∈H1, y
1, 2, . . . , m0−1∈H1.
De ´ınase en onces
H2=Hym0= span{TnPK1 m0:n≥0}.
As´ı, m0∈H1⊕H2. Aho a bien, ´omese K2=H⊥
2, y ep´ı ase el p oceso. Si K2={0}, la
descomposici´on queda comple ada. Es e m´e odo me gene a una sucesi´on de espacios {Hn}n∈N
al que
D⊆H1⊕H2⊕··· ,
y po densidad,
H=M
n∈N
Hn.
Adem´as, un eje cicio pe mi e comp oba que las p opiedades eque idas de la descomposici´on.
El hecho de que sea una can idad a lo sumo nume able es po cons ucci´on, pe o de hecho se
desp ende de la sepa abilidad del espacio de Hilbe H. El siguien e lema p ueba al a i maci´on.
Lema 2.3.Sea Hun espacio de Hilbe sepa able, y {Mi}i∈Iuna amilia de subespacios de
H ales que
i.Mi⊥Mjpa a odo i, j ∈Icon i6=j.
ii.Mi6={0}pa a odo i∈I.
En onces, Ies ini o o nume able.
1. PRESENTACI ´
ON Y DEMOSTRACI ´
ON DEL RESULTADO 25
P ueba. Sea ei∈Micon keik= 1. Dados eiyej, se e i ica que
kei−ejk=qkeik2+kejk2=√2,
siemp e que i6=j. Consid´e ese, g acias a la hip´o esis de sepa abilidad de H, un subespacio
denso y nume able Den H. Po ello, pa a odo i∈Iexis e un elemen o di∈D al que
kdi−eik<√2
3.
As´ı, dados diydjse e i ica que
(2.2) kdi−djk>√2
3,
y en onces o zosamen e i6=j. Po an o, se ha cons uido una aplicaci´on
Ξ: {ei}i∈I−→ D
ei7−→ Ξ(ei) = di
que es inyec i a, en i ud de (2.2); lo que inalmen e asegu a que
ca d(I)≤ ℵ0,
lo que concluye la demos aci´on. 
Po an o, sin p´e dida de gene alidad, sup´ongase que x∈Hes un ec o c´ıclico de T.
P ueba. [Teo ema espec al pa a ope ado es he m´ı icos]
Pa a cada polinomio p∈R[z], esc ´ıbase
Lp =hp(T)x, xi.
Es cla o que Les un ope ado lineal y con inuo, ya que
|Lp|≤kp(T)k·kxk2
=ρ(p(T)) ·kxk2
= sup{|λ|:λ∈σ(p(T))}·kxk2
= sup{|p(λ)|:λ∈σ(T)}·kxk2,
es deci , es ´a aco ado pa a polinomios. Aqu´ı se ha usado la elaci´on
(2.3) p(σ(T)) = σ(p(T)).
Pa a e la p ueba de es e hecho uno puede di igi se a [Hal51]. Se concluye po an o que, po
el eo ema de ap oximaci´on de Weie s aß, L iene una ex ensi´on aco ada, que se deno a ´a po
Lnue amen e, en el espacio de las unciones con inuas eales de inidas en σ(T).
Pa a p oba que Les posi i o, obs´e ese que si p∈R[z], en onces
(p(T))2x, x=hp(T)x, p(T)xi=kp(T)xk2≥0.
Si ∈C(σ(T)) es no nega i a, en onces ap ox´ımese √ uni o memen e po polinomios eales;
po ello, es o p ueba que L ≥0, pues es l´ımi e uni o me de los cuad ados de polinomios
26 2. EL TEOREMA ESPECTRAL. C ´
ALCULO FUNCIONAL PARA OPERADORES
eales. El eo ema de Riesz asegu a que exis e una ´unica medida ini a µde inida en los conjun os
de Bo el de σ(T) al que
Lp =hp(T)x, xi=Zσ(T)
p dµ
de inida pa a odo p∈R[z].
Pa a cada q∈C[z] esc ´ıbase
Uq =q(T)x.
Dado el ca ´ac e he m´ı ico de T,
(q(T))∗=q(T)
es un polinomio en T, y ambi´en
(q(T))∗·q(T) = |q|2(T).
Se iene as´ı que
Zσ(T)|q|2dµ =hq(T)q(T)x, xi=h(q(T))∗q(T)x, xi=kq(T)xk2=kUqk2.
Es o signi ica que el ope ado
U:C[z]⊂L2(µ)→H
es una isome ´ıa. Adem´as, dado que los polinomios son densos en L2(µ), en onces exis e una
´unica ex ensi´on isom´e ica de L2(µ) en H. La asunci´on de que xsea un ec o c´ıclico implica
que la imagen de Ues densa, y po an o igual, al espacio H.
S´olo es a p oba que la ans o maci´on de Tpo Ues e ec i amen e una mul iplicaci´on.
Esc ´ıbase id(λ) = λpa a odo λ∈σ(T). Dado un polinomio q∈C[z], de ´ınase
ˆq(λ) = λq(λ) = id(λ)q(λ).
En onces,
U−1TUq =U−1Tq(T)x=U−1ˆq(T)x=U−1Uˆq= ˆq= id ·q.
Po an o, U−1TU coincide con el ope ado de mul iplicaci´on Mid sob e el espacio de polinomios
con coe icien es complejos, y un a gumen o de densidad pe mi e conclui que U−1TU es igual
a una mul iplicaci´on.
Se ha p obado que el esul ado es cie o en cada subespacio Hnde Hque con iene a un
ec o c´ıclico, i.e., que Hnes isom´e icamen e isomo o a L2(µn), donde (Xn,Σn, µn) es un
espacio de medida ini o. Pa a alida es e esul ado en el espacio o al H, bas a no a que
H=M
n∈N
Hn
es isom´e icamen e isomo o a L2(µ). Aqu´ı (X, Σ, µ) es un espacio de medida (no necesa iamen e
ini o, pe o s´ı σ− ini o), o mado po
X=G
n∈N
Xn,
Σ una σ−´algeb a de X, y µuna medida que es ´a de inida como µnen cada Hn.
∗∗∗
2. C ´
ALCULO FUNCIONAL PARA OPERADORES NORMALES 27
2. C´alculo uncional pa a ope ado es no males
2.1. C´alculo uncional de ope ado es he m´ı icos. Una consecuencia del eo ema
espec al es la posiblidad de de ini un c´alculo uncional pa a ope ado es he m´ı icos.
Sea A∈Rn×ndiagonalizable con A=PDP−1, donde Pes una ma iz in e ible cuyos
ec o es columna son ec o es p opios de A, y Des una ma iz diagonal o mada po los
alo es p opios de A. Consid´e ese ambi´en :R→Runa unci´on con inua. Uno puede de ini
(A) = P




(λ1)
...
(λn)




P−1.
Es o inspi a la gene alizaci´on de es a noci´on a o os espacios m´as gene ales.
Si Tes un ope ado lineal y aco ado en un espacio de Hilbe H, y p∈C[x] es un polinomio
p(x) =
n
X
k=0
akxk,
iene sen ido el ope ado p(T), de inido de mane a na u al po
p(T)x=
n
X
k=0
akTkx,
pa a cada x∈H. La descomposici´on de un ope ado he m´ı ico pe mi e da un paso m´as. Si
adem´as Tes he m´ı ico, ya se conoce que exis e ϕ∈L∞(µ) y una isome ´ıa U:L2(µ)→H al
que
T=UMϕU∗.
Si es una unci´on medible y aco ada, uno puede de ini
(T) = UM ◦ϕU∗.
Cabe des aca que la unci´on ◦ϕ∈L∞(µ), y po an o el ope ado mul iplica i o M ◦ϕ iene
sen ido.
2.2. El eo ema de Weie s aß en compac os de RN.Lo m´as so p enden e de los
esul ados de ap oximaci´on po polinomios de Weie s aß son su eno me u ilidad y el g an
n´ume o de p uebas que se han ido apo ando a lo la go de los a˜nos. A pa i del esul ado
cl´asico en una a iable eal ( ´ease el Teo ema 1.27) se puede p oba , usando el eo ema de
ex ensi´on de Tie ze, dicha gene alizaci´on pa a cualquie compac o de RN, y en gene al, de CN.
Teo ema 2.4 (Teo ema de Weie s aß en compac os de RN).Toda unci´on con inua de-
inida en un compac o de RNes l´ımi e uni o me de polinomios con coe icien es complejos.
P ime amen e, se a a de e que es ´alido pa a C[0,1]2. Es o s´e a su icien e pa a p oba
el esul ado gene al, ya que bas a ´a aplica el esul ado de Tie ze y un a gumen o induc i o.
En lo que sigue, dadas , g ∈C[0,1], se deno a ´a po ⊗ga la unci´on de C[0,1]2dada po
⊗g(x, y) = (x)g(y)∈C[0,1]2.

28 2. EL TEOREMA ESPECTRAL. C ´
ALCULO FUNCIONAL PARA OPERADORES
Teo ema 2.5.Si E={ ⊗g: , g ∈C[0,1]}, en onces
span(E) = C[0,1]2.
P ueba. Pa a cada n∈N, de ´ınanse las unciones n,k ∈C[0,1], pa a k∈ {0, . . . , n}, como
especi ica la siguien e igu a:
Figu a 1. Las unciones n,k, pa a k∈ {0, . . . , n}
Se iene que 0 ≤ n,k ≤1 y n,k k
n= 1, pa a odo k∈ {0, . . . , n}. Adem´as,
n
X
k=0
n,k(x) = 1,
pa a odo x∈[0,1]. Po ´ul imo, n,k(x) = 0 siemp e que
x−k
n≥1
n.
Dada G∈C[0,1]2, sea
Fn=
n
X
j,k=0
Gk
n,j
n n,k ⊗ n,j ∈span(E).
Se p ocede a p oba que Fn→Gen C[0,1]2. P e io a ello, ecu´e dese el eo ema de Heine, que
asegu a la con inuidad uni o me en cada a iable. Es o es, pa a odo  > 0, exis e δ > 0 al que
si |x−x0|< δ y|y−y0|< δ en onces
|G(x, y)−G(x0, y0)|< .
2. C ´
ALCULO FUNCIONAL PARA OPERADORES NORMALES 29
Sea n∈N al que 1
n< δ. En onces,
|Fn(x, y)−G(x, y)|=X
j,k
Gk
n,j
n n,k(x) n,j(y)−G(x, y)
≤X
j,k Gk
n,j
n−G(x, y) n,k(x) n,j(y)≤,
pues 
k
n−x<1
n< δ,
en caso con a io n,k(x) = 0; y an´alogamen e,

j
n−y<1
n< δ,
en caso con a io n,j(y) = 0. Es deci , se acaba de p oba que
kFn−GkC[0,1]2≤
pa a un n∈Nsu icien emen e g ande. 
Es o p ueba el eo ema de Weie s aß en el cuad ado. En gene al, median e un azonamien o
induc i o, uno puede gene aliza el esul ado a [0,1]N. Tambi´en, sin mucho es ue zo, se puede
adap a la p ueba pa a conjun os de la o ma [−M, M]N, siendo M > 0 y N≥1. A con inuaci´on
se p esen a el eo ema de ex ensi´on de Tie ze. G acias a ´el se pod ´a p oba el esul ado cen al
de es e apa ado.
Teo ema 2.6 (Teo ema de ex ensi´on de Tie ze).Sea (X, d)un espacio m´e ico, sea C⊂X
ce ado, y sea :C→Runa unci´on eal, con inua y aco ada. En onces, exis e una unci´on
con inua y aco ada F:X→R al que FC= ykFkX=k kC.
P ueba. Sea :C→Rcon inua al que | (x)| ≤ Mpa a odo x∈C. En onces, ˆ
:= /M
sa is ace que |ˆ
(x)| ≤ 1 pa a odo x∈C. Median e es e p ocedimien o, uno puede supone
sin p´e dida de gene alidad que desde un p incipio | (x)| ≤ 1 pa a odo x∈C. De ´ınanse los
conjun os
C1={x∈C: (x)≤ −1/3}y C2={x∈C: (x)≥1/3}.
Es ob io no a que son conjun os C1, C2⊆Xson ce ados y disjun os. El lema de U ysohn
( ´ease Lema 1.24) a i ma que exis e una unci´on con inua 1:X→[−1/3,1/3] al que
1|C1=−1
3y 1|C2=1
3.
Po cons ucci´on, se e i ica que
| (x)− 1(x)| ≤ 2
3
pa a odo x∈C. Aplicando el mismo p ocedimien o a la unci´on − 1, se ob iene una unci´on
con inua 2:X→[−2/32,2/32] al que
| (x)− 1(x)− 2(x)| ≤ 2
32
.
30 2. EL TEOREMA ESPECTRAL. C ´
ALCULO FUNCIONAL PARA OPERADORES
I e ando es e p oceso, se consigue una sucesi´on de unciones { n}n∈Ncon inuas en Xy ales
que
(2.4) | n(x)| ≤ 2n−1
3ny (x)−
n
X
j=1
j(x)≤2
3n
pa a odo x∈C. El c i e io de mayo aci´on de Weie s aß a i ma que la se ie de unciones
∞
X
n=1
n
con e ge uni o memen e hacia una unci´on con inua F:X→R, po la p ime a co a de (2.4),
y adem´as F|C= , po la segunda co a de (2.4). Finalmen e,
kFkX≤
∞
X
n=1 k nkX≤
∞
X
n=1
2n−1
3n= 1 = k kC.
Es o p ueba el esul ado. 
Sea K⊂RNcompac o. Sea M > 0 al que K⊆[−M, M]N. El eo ema de Tie ze ga an iza
que la aplicaci´on
C[−M, M]N−→ C(K)
7−→ |K
es sob eyec i a. Dado que en C[−M, M]Nel esul ado es ´alido, ambi´en se ´a cie o en C(K),
debido a la sob eyec i idad de la aplicaci´on an e io , ya que cualquie unci´on ∈C(K) puede
ex ende se has a C[−M, M]Nman eniendo su no ma.
2.3. C´alculo uncional pa a ope ado es no males. El obje i o de es e apa ado es
p opo ciona un c´alculo uncional pa a una can idad ini a de ope ado es no males que conmu-
en. M´as p ecisamen e, da sen ido a exp esiones del ipo (T1, . . . , Tn), donde es una unci´on
de inida en un subconjun o del plano complejo Cnque sa is ace de e minadas condiciones.
Consid´e ese Hun espacio de Hilbe , y T1, . . . , Tnuna can idad ini a de ope ado es ales
que:
i. (Lineales y con inuos) Ti∈ B(H);
ii. (No males) Ties no mal;
iii. (Conmu an) TiTj=TjTipa a odos i, j = 1, . . . , n.
De ´ınase Acomo cie e, en la opolog´ıa inducida po la no ma, del ´algeb a engend ada po la
can idad ini a de ope ado es T1, T∗
1, . . . , Tn, T∗
n, i.e.,
(2.5) A= alg{T1, T∗
1, . . . , Tn, T∗
n}.
Dicho de o o modo, Aes ´a cons i uida po el cie e de odas las combinaciones necesa ias pa a
que Asea un ´algeb a, de acue do con la De inici´on 1.1. Una de inici´on equi alen e es
A={p(T1, T∗
1, . . . , Tn, T∗
n) : p∈C[x1, y1, . . . , xn, yn]}k·kB(H).
La de inici´on de A iene sen ido pues TiT∗
j=T∗
jTi, consecuencia del esul ado que se p esen a
a con inuaci´on, conocido como el eo ema de Fuglede, cuya demos aci´on se ´a omi ida.
2. C ´
ALCULO FUNCIONAL PARA OPERADORES NORMALES 31
Lema 2.7 (Teo ema de Fuglede).Sea Hun espacio de Hilbe . Sean T, N ∈ B(H)con N
no mal. Si TN =NT, en onces TN∗=N∗T.
Obse aci´on 2.8. En ealidad el esul ado an e io se e i ica en condiciones m´as gene a-
les, al ex ensi´on es conocido como el eo ema de Cal in-Richa d-Pu nam ( ´ease [Rud91]).
´
Es e a i ma, que si M, N, S ∈ B(H), y M, N son no males; en onces, MS =SN implica que
M∗S=SN∗.
P oposici´
on 2.9.Aes un ´algeb a de Banach conmu a i a con unidad.
P ueba. Aes un ´algeb a es po de inici´on; adem´as, al se ce ada, es ambi´en de Banach,
po se lo B(H). Tambi´en iene unidad I, pues co esponde al polinomio id´en icamen e uno. Po
an o, s´olo es necesa io e que es conmu a i a.
Dado que odos los Ti’s conmu an en e s´ı, s´olo es necesa io comp oba lo siguien e: Si dos
ope ado es no males conmu an, en onces su p oduc o es no mal.
Sean T, S ∈ B(H) no males ales que TS =ST. El eo ema de Fuglede (Lema 2.7) a i ma
que ST∗=T∗S. En onces,
TS(TS)∗=TSS∗T∗= (TS∗)(ST∗) = (S∗T)(ST∗) = S∗(TT∗)S=S∗T∗TS = (TS)∗TS.
Es o p ueba que en e ec o Aes un ´algeb a de Banach conmu a i a con unidad. 
De ´ınase la aplicaci´on lineal
(2.6) Φ: ∆(A)−→ Cn
Λ7−→ Φ(Λ) = (Λ(T1),...,Λ(Tn)) .
Se equipa a ∆(A) con la opolog´ıa ∗−d´ebil de A∗; de es e modo, g acias a la
P oposici´on 1.10, ∆(A) es un espacio compac o. La opolog´ıa conside ada en Cnes la usual.
El obje i o es comp oba que es a aplicaci´on es un homeomo ismo sob e su imagen.
P ime amen e, es necesa io e que Φ es ´a bien de inida. En e ec o, si Λ ∈∆(A), es cla o
que
(Λ(T1),...,Λ(Tn)) ∈Cn,
pues Λ ∈A∗y cada Ti∈A. De hecho, se e i ica el siguien e esul ado:
Teo ema 2.10.La aplicaci´on Φde inida en (2.6) es con inua y inyec i a. M´as p ecisamen-
e, es a aplicaci´on es ablece un homeomo ismo en e ∆(A)y su imagen Φ(∆(A)).
P ueba. Pa a cada T∈A, se iene que la aplicaci´on
Λ7−→ Λ(T)
es con inua en ∆(A), po de inici´on de la opolog´ıa ∗−d´ebil. Es inmedia o en onces que Φ sea
con inua.
P u´ebese aho a que Φ es inyec i a. Pa a cada T∈A, es ´alida la igualdad
T=T+T∗
2+iT−T∗
2i.
38 3. TEOR´
IA DE DILATACI ´
ON
necesa ia y su icien e pa a que Ssea una dila aci´on de Tes que la ma iz de S enga la o ma

T B12
B21 B22 
.
Teo ema 3.1.Si kTk ≤ 1, en onces T iene una dila aci´on uni a ia.
Obse aci´on 3.2. i. N´o ese que la asunci´on sob e Tes cla amen e necesa ia. Si T iene
una dila aci´on Sque es uni a ia, en onces
kT k≤kPS k≤kS k≤k k,
pa a cada ∈H.
ii. Usualmen e, un ope ado Tlineal y aco ado con kTk ≤ 1 se denomina con acci´on.
El siguien e ejemplo ilus a el Teo ema 3.1 en un caso muy pa icula . Se decide inclui
an e io a la p ueba ya que ´es a se ´a una imi aci´on di ec a de la ´ecnica expues a a con inuaci´on.
Ejemplo 3.3.Consid´e ese H=R, y K=R2. En es e caso, la con acci´on Tse educe a
mul iplica po un escala α∈Rcon |α| ≤ 1, es o es, T=Mx7→αx. La siguien e imagen a a
desc i a la si uaci´on.
b
α
(α, √1−α2)
√1−α2
Figu a 1. Idea de c´omo cons ui la ma iz de o aci´on
En ´e minos geom´e icos, la a i maci´on es que la mul iplicaci´on Mx7→αx en la ec a puede
se log ada median e una o aci´on en el plano, y pos e io men e una p oyecci´on pa a ol e a
la ec a eal. La ma iz de es a o aci´on es
A=
α√1−α2
√1−α2−α

Uno puede comp oba que AA∗=A∗A=I, y, de hecho, que A2=IyA∗=A.
P ueba. La p ueba consis e en ex ende la idea expues a en el ejemplo an e io , pe o se
necesi an algunas comp obaciones. En e ellas, se necesi a e qu´e papel se desempe˜na en luga
de α2, ya que pod ´ıa se alidado po T2,TT∗, o T∗T. El esul ado se desc ibe al y como sigue.
Dado H, esc ´ıbase K=H⊕H, e iden i ´ıquese Hcon el p ime sumando. As´ı, cada ope ado
en Kes una ma iz de dos ilas de ope ado es en H. En pa icula , la p oyecci´on Psob e Hse
desc ibe al que
P=
I0
0 0 
.

1. DILATACIONES UNITARIAS 39
Dado T, el ope ado I−TT∗es he m´ı ico. En e ec o,
(3.2) (I−TT∗)∗=I∗−(TT∗)∗=I−TT∗.
Adem´as, es no nega i o ya que
(3.3) h(I−TT∗) , i=h , i−hTT∗ , i=k k2−kT∗ k2≥ k k2−k k2≥0,
pa a cada ∈H, donde se ha usado que kT∗k=kTk.
Aho a, debido a lo expues o en la Subsecci´on 2.1 del Cap´ı ulo 2, iene sen ido de ini el ope ado
S=√I−TT∗.
Del mismo modo, debido a que I−T∗Tes he m´ı ico, iene sen ido de ini
R=√I−T∗T.
La dila aci´on Upuede se de inida po
U=
T S
R−T∗
.
El hecho de que Udila e a Tes cla o. Dado que RySson he m´ı icos,
U∗=
T∗R
S−T
,
un c´alculo di ec o pe mi e esc ibi
U∗U=
T∗T+R2T∗S−RT∗
ST −TR S2+TT∗
=
I ST −TR
ST −TR I 
,
y
UU∗=
TT∗+S2TR −ST
RT∗−T∗S R2+T∗T
=
I TR −ST
RT∗−T∗S I 
.
S´olo es a p oba , en el p ime caso, que TR =ST. P ime amen e, n´o ese que TR2=S2T,
pues se deduce inmedia amen e de la de inici´on de SyR. Un a gumen o de inducci´on pe mi e
p oba ´acilmen e que
TR2n=S2nT,
pa a cada n∈N. En e ec o, pa a n= 1 es cie o, se supone cie o pa a ny pa a n+ 1 se
e i ica que
TR2(n+1) =TR2nR2=S2nTR2=S2nS2T=S2(n+1)T.
Aho a, la linealidad pe mi e asegu a que
Tp(R2) = p(S2)T,
pa a odo p∈C[z]. Es o implica que
TR =ST.
Raz´onese con p(R2). El miemb o de echo es an´alogo.
40 3. TEOR´
IA DE DILATACI ´
ON
Dado que R2es he m´ı ico, ya se ha p obado que
R2=UMϕU∗,
luego
p(R2) =
n
X
k=0
akR2n=
n
X
k=0
akUMϕkU∗=
n
X
k=0
UMakϕkU∗=UMp(ϕ)U∗.
As´ı, exis e una sucesi´on {pn}n∈Nde polinomios eales al que pn(x)→√xuni o memen e, y en
consecuencia pn(R2)→R. N´o ese que es a sucesi´on es la misma que e i ica que pn(S2)→S.
Segundamen e, RT∗=T∗S. En e ec o, se iene,
(3.4) R2T∗= (I−T∗T)T∗=T∗−T∗TT∗=T∗(T−T∗) = T∗S2.
Repi iendo el a gumen o an e io , pa a n= 1 es cie o que
R2nT∗=T∗S2n,
debido a la igualdad (3.4). Si se supone cie o pa a n, pa a n+ 1 se sa is ace
R2(n+1)T∗=R2nR2T∗=R2nT∗S2=T∗S2nS2=T∗S2(n+1).
Finalmen e, g acias a la linealidad se e i ica
p(R2)T∗=T∗p(S2),
pa a cualquie p∈C[z]. El mismo a gumen o que en el p ime caso pe mi e asegu a que
RT∗=T∗S, y es o concluye la demos aci´on. 
Co ola io 3.4.Todo ope ado posee una dila aci´on no mal.
P ueba. Sup´ongase T∈ B(H). La a ea consis e en c ea la dila aci´on S∈ B(K), i.e.,
de ini Sde mane a que
T =PS ,
pa a odo ∈K. Pa a ello, la cla e es ´a en compone Tcon λI, donde Ies la iden idad en
B(H), y λ∈Ces al que |λ| ≤ 1/kTk. As´ı, se consigue
kλTk=kTλIk≤kTk·kλIk=kTk·|λ| ≤ 1.
En onces, dado que λT ∈ B(H) es una con acci´on, el esul ado an e io ga an iza la exis encia
de un ope ado uni a io S al que
PλT =λPT =S.
Po an o, el ope ado
e
S=λ−1S∈ B(K)
dila a a T, y adem´as
2. DILATACIONES POR POTENCIAS 41
e
Se
S∗= (λ−1S)(λ−1S)∗=|λ|−2SS∗=|λ|−2S∗S= (λ−1S)∗(λ−1S) = e
S∗e
S.
Es o concluye la p ueba. 
∗∗∗
2. Dila aciones po po encias
El obje i o de es a secci´on es mos a el esul ado de Sz. Nagy, que se ´a la pieza undamen al
de la demos aci´on de la desigualdad de on Neumann. Un concep o esencial es una de inici´on
m´as ue e de dila aci´on, el concep o de dila aci´on po po encias.
De inici´
on 3.5.Sea Hes un subespacio de Hilbe de un espacio de Hilbe K, y sea P
la p oyecci´on o ogonal de Ksob e H. Sea dice que Tposee una dila aci´on po po encias si
exis e un ope ado S∈ B(K) al que
Tn =PSn ,
pa a cada ∈H, y pa a odo nna u al. En al caso se dice que Ses una dila aci´on po
po encias de T.
La con acci´on m´as sencilla es 0, y como el Teo ema 3.1 exhibe, una de ellas es

0 1
1 0 
.
Pe o es a cons ucci´on no posee ninguna p opiedad algeb aica in e esan e. Po ejemplo, no es
cie o que el cuad ado de una dila aci´on sea la dila aci´on del cuad ado; de hecho, un con a-
ejemplo es 
0 1
1 0 

2
=
1 0
0 1 
,
mien as que el cuad ado del ope ado nulo es el ope ado nulo. Pe o, ¿hay alguna dila aci´on
uni a ia de 0 que se “p ese e” con los cuad ados? La espues a es que s´ı:





0 0 1
1 0 1
0 1 0





es un ejemplo. El cuad ado de es a dila aci´on es





0 1 0
0 0 1
1 0 0




,
42 3. TEOR´
IA DE DILATACI ´
ON
que es una dila aci´on del cuad ado de 0. Desa o unadamen e, sin emba go, su cubo es





1 0 0
0 1 0
0 0 1




,
la cual es no una dila aci´on del cubo de 0. Es o puede se emediado con








0 0 0 1
1 0 1 0
0 1 0 0
0 0 1 0








,
pe o la cua a po encia uel e a causa p oblemas. No hay in en es e p oceso induc i o.
En ´e minos ma iciales, una p opiedad que debe posee una dila aci´on po po encias uni-
a ia del ope ado nulo es que sea una ma iz uni a ia con la p opiedad de que una de sus
en adas diagonales sea 0 y que, adem´as, la co espondien e en ada en odas sus po encias sea
ambi´en 0. El siguien e esul ado p opo ciona la cons ucci´on adecuada.
Teo ema 3.6 (Sz. Nagy, [SN53]).Toda con acci´on posee una dila aci´on po po encias
uni a ia.
P ueba. La p ueba es cons uc i a. Dado Hun espacio de Hilbe , de ´ınase
K=M
n∈Z
H.
En onces, cada ope ado de inido en Kes una ma iz in ini a de ope ado es, en pa icula , la
p oyecci´on de Ksob e Hes
P=












... ...
0 0 0
0 (I) 0
0 0 0
... ...












.
Aqu´ı (I) indica que en la posici´on (0,0) de la ma iz es el ope ado iden idad.
2. DILATACIONES POR POTENCIAS 43
Dado T, de ´ınase
S=
























... ...
0 0 0 0 0 0 0
I0 0 0 0 0 0
0I0 0 0 0 0
0 0 √I−TT∗(T) 0 0 0
0 0 −T∗√I−T∗T0 0 0
0 0 0 0 I0 0
0 0 0 0 0 I0
... ...
























Dado que Ses iangula supe io , sus po encias ambi´en posee ´an es a p opiedad, y los ele-
men os diagonales de las po encias co esponden a las po encias de los elemen os diagonales de
S. Nue amen e, un simple c´alculo pe mi e demos a es as a i maciones. Se iene que
S∗=
























... ...
0I0 0 0 0 0
0 0 I0 0 0 0
0 0 0 √I−TT∗−T0 0
0 0 0 (T∗)√I−T∗T0 0
0 0 0 0 0 I0
0 0 0 0 0 0 I
0 0 0 0 0 0 0
... ...
























.
La ´unica comp obaci´on es que el ope ado
√I−TT∗
es au oadjun o. Es o es debido a que I−TT∗es un ope ado he m´ı ico y no nega i o, po (3.2)
y (3.3), po an o el eo ema espec al asegu a que es uni a iamen e equi alen e a un ope ado
de mul iplicaci´on inducido po una unci´on compleja esencialmen e aco ada. De hecho, al se
he m´ı ico, dicha unci´on, p´ongase ϕ, debe se eal ( ´ease la P oposici´on 1.20 del Cap´ı ulo 1).
Po an o, debido a la de inici´on del ope ado √I−TT∗dada en la Subsecci´on 2.1, es un
ope ado he m´ı ico. De mane a an´aloga, es e a gumen o unciona pa a
√I−T∗T.
Es o concluye que U∗U=U∗U=I.
Es a demos aci´on no es la m´as e elado a del esul ado, pe o s´ı es la m´as co a; se debe
a [Sch55]. Es e esul ado ue p obado po p ime a ez po Nagy [SN53]. El ema ha ecibido

44 3. TEOR´
IA DE DILATACI ´
ON
bas an e a enci´on desde en onces, unos buenos es´umenes de esul ados en o no a la eo ´ıa de
dila aci´on y dem´as se encuen an en [SN60] y [Mla65].
Un aspec o in e esan e es a eo ´ıa concie ne a las dila aciones uni a ias po po encias mi-
nimales.
De inici´
on 3.7.Se dice que S(sob e K) es una dila aci´on po po encias minimal de T
(sob e H) si es una dila aci´on po po encias de Ty adem´as no hay ning´un subespacio de K
que eduzca a Sen e HyK, i.e., si M educe a S( an o Mcomo M⊥son in a ian es po S)
yH⊂M, en onces M=K.
Un hecho cu ioso es que conoce la dila aci´on uni a ia po po encias minimal de un ope a-
do no es an ´u il como uno puede pensa . Sch eibe [Sch56] p ob´o que odas las con acciones
es ic as ( ´ease P oblema 153 en [Hal82]) en los espacios de Hilbe sepa ables ienen la mis-
ma dila aci´on po po encias uni a ia minimal, denominada como el desplazamien o bila e al
(bila e al shi en ingl´es). Pos e io men e, Nagy [SN57] ex endi´o el esul ado hacia los espacios
de Hilbe no sepa ables.
Obse aci´on 3.8. Una p opiedad in e esan e, en el sen ido algeb aico, que s´ı que poseen odas
las dila aciones, es que si Ses una dila aci´on de T, en onces S∗es una dila aci´on de T∗. Una
mane a ´apida de p oba es e hecho es no a que si
hT , i=hS , i
pa a cada en el dominio de T, en onces,
hT∗ , i=h , T i=hT , i=hS , i=h , Si=hS∗ , i
pa a cada en el dominio de T. Po an o, una consecuencia de es o es que si Ses una dila aci´on
po po encias de T, en onces S∗es una dila aci´on po po encias de T∗.
∗∗∗
3. El eo ema e g´odico
Sea zun n´ume o complejo con |z|= 1. La sucesi´on de medias
1
n+ 1
n
X
k=0
zk
es una sucesi´on con e gen e. Es o es un esul ado conocido del an´alisis cl´asico, cuya gene aliza-
ci´on es ex ensamen e aplicable. Con obje o de p oba el esul ado, consid´e ense sepa adamen e
los casos z= 1 y z6= 1. Si z= 1, la media es igual a 1, y su l´ımi e es, i ialmen e, ambi´en 1.
Fijado z6= 1, en onces

1
n+ 1
n
X
k=0
zk−0=
1−zn
(n+ 1)(1 −z)≤2
(n+ 1)|1−z|−−−→
n→∞ 0,
La gene alizaci´on m´as espe able de es e esul ado es el cl´asico eo ema e g´odico, pe o an es es
necesa io eco da la de inici´on de la noci´on de con e gencia de la opolog´ıa ue e de ope ado es.
3. EL TEOREMA ERG ´
ODICO 45
De inici´
on 3.9.Sea Hun espacio de Hilbe . Consid´e ense {Sn}n∈NySope ado es lineales
y con inuos de inidos en H. Se dice que {Sn}n∈Ncon e ge a Sen la opolog´ıa ue e de ope ado es
si
kSnx−Sxk −→ 0
pa a cada x∈H.
Teo ema 3.10 (Teo ema e g´odico).Si Tes un ope ado lineal y aco ado en un espacio de
Hilbe H al que kTk ≤ 1, en onces la sucesi´on de medias a i m´e icas
(3.5) (1
n+ 1
n
X
k=0
Tk)n∈N
con e ge en la opolog´ıa ue e de ope ado es.
P ueba. Si Ues un ope ado uni a io en H, en onces el eo ema espec al pe mi e jus i ica
la a i maci´on de que H=L2(µ) pa a alguna medida µ, en alg´un espacio de medidad adecuado,
en el cual Ues la mul iplicaci´on inducida po una unci´on medible ϕ∈L∞(µ) con |ϕ|= 1.
Es o se debe a que si U=Mϕes uni a io, en onces se sa is ace
MϕMϕ=MϕMϕ=I
si y s´olo si |ϕ|= 1. Si ∈H, en onces
1
n+ 1
n
X
k=0
Uk = 1
n+ 1
n
X
k=0
ϕk! .
Dado que |ϕ|= 1, se sigue que
(3.6) 
1
n+ 1
n
X
k=0
ϕk≤1.
Se a a de e i ica las hip´o esis del eo ema de con e gencia dominada de Lebesgue. La p ime a
se deduce de que las medias
1
n+ 1
n
X
k=0
ϕk
o man una sucesi´on con e gen e cuyo l´ımi e es χ{ϕ=1}, g acias al a gumen o expues o al co-
mienzo de la secci´on, debido a la asunci´on de que |ϕ|= 1. Pa a la siguien e, bas a no a
que  1
n+ 1
n
X
k=0
ϕk! ≤ | |
y| | ∈ L2(µ), g acias a (3.6).
Si Tes una con acci´on en H, en onces sea Uuna dila aci´on uni a ia po po encias de T
en un espacio de Hilbe K, y sea Pla p oyecci´on de Ksob e H; g acias al Teo ema 3.6. Es o
signi ica que si ∈Hyn≥0,
Tn =PUn .
Se sigue de ah´ı que
1
n+ 1
n
X
k=0
Tk =P 1
n+ 1
n
X
k=0
Uk !.
46 3. TEOR´
IA DE DILATACI ´
ON
An e io men e se ha p obado que
1
n+ 1
n
X
k=0
Uk
iene l´ımi e cuando n→ ∞, pa a cada ∈H; y pues o que Pes con inuo, se sigue que
1
n+ 1
n
X
k=0
Tk
iene l´ımi e a medida que n→ ∞, pa a cada ∈H.
Obse aci´on 3.11. El caso especial cuando Tes un ope ado uni a io ambi´en se debe a
on Neumann. En al caso, el l´ımi e de la sucesi´on (3.5) es la p oyecci´on o ogonal sob e el
subespacio { ∈H:T = }. En e ec o, si T:H→Hes uni a io, es conocido que exis e
una isome ´ıa S:H→L2(X, Σ, µ) y una unci´on esencialmen e aco ada g:X→T al que
T=S−1MgS. Sean aho a
hn=1 + g+···+gn
n+ 1
yP=MχA, donde A={g= 1} ⊆ X. En onces, dada ∈L2(µ),
kMhn −P k2
L2=ZX|hn−χA|2·| |2dµ −−−→
n→∞ 0,
pues puede aplica se el eo ema de la con e gencia dominada debido a que
|hn−χA|2·| |2∈L1(µ)
y
|hn−χA|2·| |2≤4| |2∈L1(µ).
Es o p ueba la a i maci´on.
En la siguien e secci´on se p ocede a p oba la espe ada desigualdad de on Neumann, o a
consecuencia del esul ado de Sz. Nagy.
∗∗∗
4. La desigualdad de on Neumann
Una consecuencia di ec a de la eo ´ıa de Sz. Nagy es la desigualdad de on Neumann.
Teo ema 3.12 (Desigualdad de on Neumann, [ N51]).Si Tes una con acci´on, i.e.
kTk ≤ 1, se e i ica que
(3.7) kp(T)k ≤ sup{|p(z)|:z∈C,|z| ≤ 1}
pa a odo polinomio p∈C[z].
P ueba. Sup´ongase que Tes una con acci´on en un espacio de Hilbe H. El eo ema de
Sz. Nagy (Teo ema 3.6) asegu a la exis encia de un espacio de Hilbe Ky un ope ado uni a io
Ude inido en K al que
Tn=PUn
4. LA DESIGUALDAD DE VON NEUMANN 47
pa a n≥0, siendo Pla p oyecci´on de Ksob e H. Po es a de inici´on, y la linealidad de P, si
p∈C[z] es al que
p(z) =
n
X
k=0
akzk,
en onces
p(T) = Pp(U).
Dado que Ues uni a io (en pa icula es no mal), el eo ema espec al a i ma que exis e
un espacio de medida (X, Σ, µ), una unci´on compleja ϕ∈L∞(µ) y un ope ado uni a io
V:K→L2(µ) ales que
U=V∗MϕV.
N´o ese que el hecho de que UU∗=U∗U=Iimplica que |ϕ|= 1, pues debe da se que ϕ=ϕ−1.
Es o se ´a de u ilidad a la ho a de ob ene la es imaci´on inal. Adem´as, como
Un= (V∗MϕV)(V∗MϕV)
n eces
z}|{
··· (V∗MϕV) = V∗MϕnV,
se deduce de la linealidad que
p(U) = p(V∗MϕV) =
n
X
k=0
akV∗MϕV=V∗ n
X
k=0
akMϕk!V=V∗Mp(ϕ)V.
En onces,
kp(U)k=kV∗Mp(ϕ)Vk≤kMp(ϕ)k=kp◦ϕk∞≤sup{|p(z)|:z∈C,|z| ≤ 1}.
Po an o,
kp(T)k=kPp(U)k≤kp(U)k ≤ sup{|p(z)|:z∈C,|z| ≤ 1},
lo que p ueba la desigualdad (3.7). 
Obse aci´on 3.13. Es in e esan e no a que la desigualdad de on Neumann puede demos-
a se a pa i de un esul ado elemen al en eo ´ıa de ope ado es, como es la igualdad (2.3).
No obs an e, el camino ´ıa eo ´ıa de dila aci´on no s´olo es elegan e, sino que adem´as impone la
idea pa a el desa ollo de su gene alizaci´on. La demos aci´on al e na i a es la siguien e:
Se iene que p(T) = Pp(U), y po ello kp(T)k≤kp(U)k. Adem´as, como p(U) es no mal (al
se Uuni a io), en onces,
kp(T)k≤kp(U)k=ρ(p(U)) = sup{|p(λ)|:λ∈σ(U)} ≤ sup{|p(λ)|:λ∈C,|λ| ≤ 1}.
Aqu´ı se ha usado, en o den: la igualdad (2.3) y el Co ola io 1.15.
54 4. GENERALIZACIONES Y CONTRAEJEMPLOS DE LA DESIGUALDAD DE VON NEUMANN
Teo ema 4.6 (T. Ando).Sean T1yT2con acciones que conmu an en un espacio de
Hilbe H.
i.En onces exis en dos isome ´ıas V1yV2de inidas en un espacio de Hilbe K, que
con iene a H, ales que
Tn1
1Tn2
2=PHVn1
1Vn2
2
pa a cualquie elecci´on de n1, n2∈N. Es o es, T={T1, T2}admi e un sis ema con-
mu a i o de dila aciones isom´e icas V={V1, V2}.
ii.T={T1, T2}admi e un sis ema conmu a i o de dila aciones uni a ias U={U1, U2}.
P ueba. La cons ucci´on es una modi icaci´on del a gumen o de Scha e [Sch55] que se us´o
en la demos aci´on del esul ado de Sz. Nagy (Teo ema 3.6).
Sea
K=`2(H) = ((x1, x2, . . . ) : xn∈H,
∞
X
n=1 kxnk2<∞)
con la inme si´on na u al H ,→Kdada po
H3x7→ (x, 0,0, . . . )∈K.
En lo que sigue se deno a ´a po DT= (I−T∗T)1/2al ope ado de ec o de T. Se de inen
W1, W2∈ B(K) median e
W1(x1, x2, . . . )=(T1x1, DT1x1,0, x2, x3, . . . )
y
W2(x1, x2, . . . )=(T2x1, DT2x1,0, x2, x3, . . . ).
De hecho, los ope ado es Wi(x1, x2, . . . ) son isom´e icos. Es o se debe a que
kxk2=kTjxk2+kDTjxk2,
pa a x∈H,j= 1,2. En e ec o,
kTjxk2+kDTjxk2=hTjx, Tjxi+h(I−T∗
jTj)x, xi=hT∗
jTjx, xi+hx, xi−hT∗
jTjx, xi=kxk2.
N´o ese que es o ha sido posible g acias a que los ope ado es DTjson he m´ı icos. Es o p ueba que
Wison isom´e icos, pe o en gene al es os no conmu an. Pa a ello se ´a necesa io un e inamien o
en su de inici´on, i.e., compone con alg´un ope ado pa a ob ene la conmu a i idad.
Consid´e ese el espacio de Hilbe L=H4y la iden i icaci´on na u al
K=H⊕L⊕L⊕···
dada po
(x1, x2, x3, x4, . . . )=(x1,(x2, x3, x4, x5),(x6, x7, x8, x9), . . . )
Sup´ongase que Ges un ope ado uni a io de inido en L, a´un po de e mina . De ´ınase Uen K
median e
U(x1, x2, x3, x4, . . . )=(x1, G(x2, x3, x4, x5), G(x6, x7, x8, x9), . . . ),
y n´o ese que U∈ B(K) es uni a io. En e ec o,

1. LA GENERALIZACI ´
ON DE T. ANDO 55
U∈ B(K), pues
kUxk2=kx1k2+kG(x2, x3, x4, x5)k2+···
≤ kx1k2+Mk(x2, x3, x4, x5)k2+···
=kx1k2+Mkx2k2+Mkx3k2+Mkx4k2+Mkx5k2+··· ≤ ˜
Mkxk2.
Ues uni a io con U−1x= (x1, G−1(x2, x3, x4, x5), G−1(x6, x7, x8, x9), . . . ). Es o se iene,
pues si x= (x1, x2, x3, x4, . . . )∈K, en onces
U−1U=UU−1=I
si y s´olo si
U−1x= (x1, G−1(x2, x3, x4, x5), G−1(x6, x7, x8, x9), . . . ).
En onces, los ope ado es V1=UW1yV2=W2U−1son isome ´ıas en K. Es o se debe a que si
x∈K,
kV1xk=kUW1xk=kW1xk=kxk
y
kV2xk=kW2U−1xk=kU−1xk=kxk.
Se desea halla el ope ado Gde mane a que V1yV2conmu en. En al caso, ya se end ´ıa el
sis ema ( o mado po dos ope ado es) conmu a i o de dila aciones isom´e icas, y as´ı queda ´ıa
p obada la p ime a pa e. Pe o no es an ´acil; pa a ello, el p ime paso es calcula V1V2yV2V1
y compa a los esul ados.
V1V2(x1, x2, x3, . . . ) = UW1W2U−1(x1, x2, x3, . . . )
=UW1W2(x1, G−1(x2, x3, x4, x5), G−1(x6, x7, x8, x9), . . . )
=UW1(T2x1, DT2x1,0, G−1(x2, x3, x4, x5), G−1(x6, x7, x8, x9), . . . )
=U(T1T2x1, DT1T2x1,0, DT2x1,0, G−1(x2, x3, x4, x5), G−1(x6, x7, x8, x9), . . . )
= (T1T2x1, G(DT1T2x1,0, DT2x1,0), x2, x3, x4, x5, . . . ).
El c´alculo es an e es menos edioso,
V2V1(x1, x2, x3, x4, . . . ) = W2U−1UW1(x1, x2, x3, x4, . . . )
=W2W1(x1, x2, x3, x4, . . . )
=W2(T1x1, DT1x1,0, x2, x3, x4, . . . )
= (T2T1x1, DT2T1x1,0, DT1x1,0, x2, x3, x4, . . . ).
Dado que T1yT2conmu an po hip´o esis, V1yV2conmu a ´an si y s´olo si el ope ado Gsa is ace
(4.5) G(DT1T2x, 0, DT2x, 0) = (DT2T1x, 0, DT1x, 0),
pa a odo x∈H. El obje i o es cons ui al ope ado .
Sea X⊆LyY⊆Llos subespacios ec o iales
X={(DT1T2x, 0, DT2x, 0) : x∈H} ⊆ L
y
Y={(DT2T1x, 0, DT1x, 0) : x∈H} ⊆ L.
56 4. GENERALIZACIONES Y CONTRAEJEMPLOS DE LA DESIGUALDAD DE VON NEUMANN
De ´ınase G0la aplicaci´on de inida de Xen Yde acue do con (4.5), es o es,
G0(DT1T2x, 0, DT2x, 0) = (DT2T1x, 0, DT1x, 0),
pa a cada x∈H. Aho a bien, usando las p opiedades de conmu a i idad de T1con T2, es ´acil
e G0es una isome ´ıa. En e ec o, si x∈H,
k(DT1T2x, 0, DT2x, 0)k2
L=kDT1T2xk2+kDT2xk2
=kT2xk2−kT1T2xk2+kxk2−kT2xk2
=kxk2−kT1T2xk2,
y
k(DT2T1x, 0, DT1x, 0)k2
L=kDT2T1xk2+kDT1xk2
=kT1xk2−kT2T1xk2+kxk2−kT1xk2
=kxk2−kT2T1xk2.
Luego, G0es un ope ado lineal, isom´e ico y sob eyec i o de inido de Xen Y. Ex endendiendo
G0po con inuidad has a el cie e, se ob iene un ope ado uni a io G1:X→Y. Res a p oba
que G1puede ex ende se a un ope ado uni a io G:L→L. Pa a ello, es su icien e e que los
complemen os o ogonales X⊥eY⊥ ienen la misma dimensi´on1. Pues en al caso, X⊥eY⊥
son isom´e icamen e isomo os (es o s´olo ocu e en e espacios de Hilbe ). En al caso, bas a ´ıa
de ini la ex ensi´on de es e ope ado G:L→Lmedian e G=G1⊕J, donde Jes la isome ´ıa
en e X⊥eY⊥que es ablece el isomo ismo. Se dis inguen dos casos:
i. Si dim H < ∞, se iene que dim L < ∞, y po an o se iene
dim X⊥= dim L−dim X= dim L−dim Y= dim Y⊥.
ii. Si dim H=∞, en onces dim H= dim G. Adem´as, si se conside a el subespacio
J= 0 ⊕H⊕0⊕0⊆X⊥,
que iene la misma dimensi´on que H, se iene que
dim H= dim L≥dim X⊥≥dim J= dim H.
Simila men e,
dim H= dim L≥dim Y⊥≥dim J= dim H.
Po an o, dim X⊥= dim Y⊥. Se iene en onces el ope ado uni a io G∈ B(L) que sa is ace la
condici´on (4.5), y en consecuencia V1yV2conmu an.
Finalmen e, pa a cualquie elecci´on n1, n2∈N, las de iciones de V1yV2p opo cionan
Tn1
1Tn2
2x1=PHVn1
1Vn2
2(x1, x2, x3, x4, . . . ),
pa a cualquie x= (x1, x2, x3, x4, . . . )∈H⊕L⊕L⊕··· =K.
La segunda pa e del eo ema es ´acil, pues bas a aplica el Co ola io (4.4) pa a pasa de
ene un sis ema conmu a i o de dila aciones isom´e icas {V1, V2}a un sis ema conmu a i o de
dila aciones uni a ias. 
1Hay a ias de iniciones de dimensi´on de un espacio. En el con ex o de espacios de Hilbe , se e ie e al
ca dinal de cualquie a de sus bases o ono males.
2. EL CONTRAEJEMPLO DE M. J. CRABB Y A. M. DAVIE 57
Teo ema 4.7 (Desigualdad de on Neumann bidimensional).Sea T1yT2dos con acciones
que conmu an en un espacio de Hilbe H. Si p∈C[z1, z2], en onces
(4.6) kp(T1, T2)k ≤ sup{|p(z1, z2)|:zi∈C,|zi| ≤ 1, i = 1,2}.
P ueba. Se deduce del esul ado de T. Ando (Teo ema 4.6) y de la desigualdad (4.4). 
Las secciones es an es es ´an dedicadas a los casos des a o ables de la desigualdad de on
Neumann.
∗∗∗
2. El con aejemplo de M. J. C abb y A. M. Da ie
Se p ocede a desa olla aqu´ı la idea que desa olla on C abb y Da ie [CD75]. Es o es,
p oba que pa a K= 1 la desigualdad (4.2) es cie a pa a n= 3.
Sea Hun espacio de Hilbe 8−dimensional con base o ono mal {e1, e2, . . . , e8}. Se de inen
los ope ado es T1, T2yT3como sigue:
(4.7)
T1e1=e2, T2e1=e3, T3e1=e4,
T1e2=−e5, T2e2=e7, T3e2=e6,
T1e3=e7, T2e3=−e6, T3e3=e5,
T1e4=e6, T2e4=e5, T3e4=−e7,
T1e5=e8, T2e6=e8, T3e7=e8,
T1ei= 0, i = 6,7,8; T2ei= 0, i = 5,7,8; T3ei= 0, i = 5,6,8.
´
Es os disponen de una desc ipci´on en ´e minos ma iciales
T1=




















0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0−1000000
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0




















,
58 4. GENERALIZACIONES Y CONTRAEJEMPLOS DE LA DESIGUALDAD DE VON NEUMANN
T2=




















0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 −1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0




















y
T3=




















0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 −10000
0 0 0 0 0 0 1 0




















.
Una me a comp obaci´on u ina ia exhibe que T1, T2yT3conmu an. El siguien e paso es com-
p oba que son con acciones.
Lema 4.8.Los ope ado es T1, T2yT3de inidos an e io men e son con acciones.
P ueba. En p ime , conc´en ese en el ope ado T1; el es o se deduce de mane a an´aloga.
Un le e c´alculo ma icial pe mi e a i ma que T∗
1T1es la p oyecci´on del espacio Hsob e
span{e1, e2, e3, e4, e5}. As´ı, si =
8
X
i=1
αieien onces
kT1 k2=hT1 , T1 i=h , T∗
1T1 i=
5
X
i=1 |αi|2≤
8
X
i=1 |αi|2=k k2.
Po an o, kT1k ≤ 1. 
El siguien e lema decla a cu´al es el polinomio p∈C[z1, z2, z3] que a a elegi se pa a el
con aejemplo de C abb y Da ie.
Lema 4.9.Sea p∈C[z1, z2, z3]de inido po
p(z1, z2, z3) = z1z2z3−z3
1−z3
2−z3
3.
Se e i ica que
(4.8) sup{|p(z1, z2, z3)|:|zi| ≤ 1, i = 1,2,3}<4.
2. EL CONTRAEJEMPLO DE M. J. CRABB Y A. M. DAVIE 59
P ueba. P ime amen e, n´o ese que, en i ud del p incipio del m´odulo m´aximo, es su icien e
p oba que
sup{|p(z1, z2, z3)|:|zi|= 1, i = 1,2,3}<4.
Se p ocede a ac ua po educci´on al absu do. Sup´ongase que kpk∞= 4.
El polinomio pes homog´eneo de g ado 3, es o es,
p(λz1, λz2, λz3) = λ3p(z1, z2, z3),
pa a odo λ∈C. Es o implica que debe exis i (z1, z2, z3)∈T3 al que p(z1, z2, z3) = 4. En
e ec o, si kpk∞= 4, en onces
p(z1, z2, z3) = 4w,
con |w|= 1. La homogeneidad de pimplica que
pz1
w1/3,z2
w1/3,z3
w1/3= 4.
Esc ´ıbase zj=eiθj, donde θj∈(−π, π]; pa a j= 1,2,3. En onces,
(4.9) p(eiθ1, eiθ2, eiθ3)=ei(θ1+θ2+θ3)−ei3θ1−ei3θ2−ei3θ3.
Aho a bien, po (4.9), al alo debe alcanza se en
z1z2z3= 1,y−z3
j= 1, j = 1,2,3.
Dicho de o o modo, debe ocu i que
θj∈n−π
3, π, π
3o, j = 1,2,3;
y en consecuencia θ1+θ2+θ3es un m´ul iplo impa de π/3. Es o es imposible, pues en al caso
ei(θ1+θ2+θ3)6= 1. Es o p ueba (4.8). 
Teo ema 4.10 (C abb y Da ie).La desigualdad de on Neumann no es cie a pa a es
con acciones que conmu an, i.e., exis en es con acciones T1, T2yT3que conmu an y un
polinomio p∈C[z1, z2, z3] ales que
kp(T1, T2, T3)k>sup{|p(z1, z2, z3)|:|zi| ≤ 1, i = 1,2,3}.
P ueba. El´ıjanse las con acciones T1, T2yT3como se han de inido p e iamen e, debido al
Lema 1.1. Po el Lema 1.2, el polinomio
p(z1, z2, z3) = z1z2z3−z3
1−z3
2−z3
3
sa is ace que
sup{|p(z1, z2, z3)|:|zi| ≤ 1, i = 1,2,3}<4.
Po o o lado, g acias a (4.7), uno puede comp oba que
p(T1, T2, T3)e1=T1T2T3e1−T3
1e1−T3e1−T3e1=e8−(−e8)−(−e8)−(−e8)=4e8.
Po an o,
kp(T1, T2, T3)k= sup
k k≤1kp(T1, T2, T3) k≥kp(T1, T2, T3)e1k= 4.
Es o p opo ciona el con ajemplo deseado. 
∗∗∗

60 4. GENERALIZACIONES Y CONTRAEJEMPLOS DE LA DESIGUALDAD DE VON NEUMANN
3. El con aejemplo de J. A. Holb ook
Los con aejemplos de Kaijse -Va opoulos [Va 74] hacen uso del polinomio cuad ´a ico
(4.10) p(z1, z2, z3) = z2
1+z2
2+z2
3−2(z1z2+z2z3+z3z1).
En es e caso, el espacio de Hilbe es donde es ´an de inidos los ope ado es es de dimensi´on 4,
lo que simpli ica el con aejemplo de J. C abb y A. M. Da ie ( ´ease Secci´on 2). Holb ook en
[Hol01] mejo a a´un m´as el con aejemplo de Kaijse -Va opoulos, en el sen ido de que la no ma
del ope ado es un 20 % mayo que la del polinomio, mien as que en [Va 74] no llega al 4 %.
Adem´as, el a amien o de ese pun o en [Va 74] es elusi o; como al e na i a, en [Hol01] se
p esen a es a p oposici´on.
P oposici´
on 4.11.Si pes el polinomio de (4.10), en onces kpk∞= 5.
P ueba. Po el p incipio del m´odulo m´aximo, se puede asumi que |zk|= 1. De iniendo
sk=√zkcomo una a´ız cuad ada, se iene que
p(z1, z2, z3) = z1z2 s1
s2
+s2
s1−z3
s1s22
−4!.
As´ı, con es a modi icaci´on, el c´alculo se educe a
kpk∞= m´ax z2−4:z= −w, ∈[−2,2],|w|= 1,
donde
=s1
s2
+s2
s1
=s1s2+s2s1= 2 Re(s1s2)∈[−2,2].
La egi´on d´onde debe analiza se el alo de pla indica la siguien e igu a.
*
*
A B
b
*
C
2
3
-2 0
i
Figu a 1. Regi´on bacilo o me
Nue amen e, po el p incipio del m´odulo m´aximo, s´olo es necesa io es udia la on e a de
es a egi´on. Adem´as, po sime ´ıa, es su icien e es udia la pa e de la on e a que aba ca desde
el pun o Ahas a el pun o C, pasando po B.
En el caso del segmen o que a desde Ahas a B, los pun os son de la o ma i+ con
∈[−2,2]. En onces, se iene que
|(i+ )2−4|2= ( 2−5)2+ 4 2≤25,
pa a odo ∈[−2,2]. Luego |(i+ )2−4| ≤ 5. De hecho, se alcanza la igualdad pa a = 0.
3. EL CONTRAEJEMPLO DE J. A. HOLBROOK 61
En el caso de la semici cun e encia que a desde Bhas a C, los pun os son de la o ma
2 + ei con ∈[−π/2, π/2]. En onces, se iene que
|(2 + ei )2−4|=|4ei +e2i |=|4 + ei | ≤ 5.
La igualdad en es e caso se alcanza ambi´en en = 0. 
Se pasa aho a a de ini los ope ado es. Consid´e ese un espacio de Hilbe de dimensi´on 4
gene ado po
H= span{e1, e2, e3, e4, e5},
donde keik= 1, e1ye5son o ono males. Consid´e ese Fde dimensi´on 2 dado po
F= (span{e1, e5})⊥,
ye2, e3, e4que e i ican
(4.11) ek·ej=−1
2, k 6=j.
Es a condici´on, de alg´un modo, quie e deci que los es elemen os o man un i´angulo
equil´a e o. N´o ese que es a elecci´on es posible. En e ec o, si { 1, 2}es una base o ono mal de
F, una elecci´on posible de los ek’s es
ek= cos θk 1+ sen θk 2,
pa a k∈ {2,3,4}, donde
θ2= 0, θ3=2π
3,yθ4=4π
3.
Pa a cualquie elemen o en el espacio H(4−dimensional) se de ine
Tk =h , e1iek+1 +h , ek+1ie5,
pa a k= 1,2,3. ´
Es os admi en una desc ipci´on de la siguien e o ma:
(4.12)
T1e1=e2, T2e1=e3, T3e1=e4,
T1e2=e5, T2e2=−e5
2, T3e2=−e5
2,
T1e3=−e5
2, T2e3=e5, T3e3=−e5
2,
T1e4=−e5
2, T2e4=−e5
2, T3e4=e5,
T1e5= 0, T2e5= 0, T3e5= 0.
Una me a comp obaci´on exhibe que es os ope ado es conmu an. En e ec o, si ∈H, se iene
TkTj =Tk(h , e1iej+1 +h , ej+1ie5) = −h , e1i
2e5,
pa a j, k = 1,2,3. Adem´as,
kp(T1, T2, T3)k≥kp(T1, T2, T3)e1k
=kT2
1e1+T2
2e1+T2
3e1−2T1T2e1−2T2T3e1−2T1T3e1k
=k6e5k= 6.
62 4. GENERALIZACIONES Y CONTRAEJEMPLOS DE LA DESIGUALDAD DE VON NEUMANN
Pa a p oba que son con acciones, n´o ese que kTk k=kPk k, donde Pkes la p oyecci´on
o ogonal sob e el espacio span{e1, ek+1}. Po an o, cada Tkes una con acci´on. Finalmen e,
se ha p obado el siguien e esul ado:
Teo ema 4.12.Exis en es con acciones que conmu an T1, T2yT3en un espacio de
Hilbe de dimensi´on 4 ales que
kp(T1, T2, T3)k ≥ 6
5kpk∞.
En [Hol01] ambi´en se analizan una clase de ma ices que engloban a los ejemplos de
Kaijse -Va opoulos, y se ealiza un an´alisis en ´e minos de no mas de Schu y ac o izaciones
de Haage up.
∗∗∗
4. Con aejemplos minimales
A lo la go de es e abajo la palab a minimal no ha sido u ilizada como cali ica i o de los
con aejemplos desa ollados, y es o se debe a que el caso de ma ices 3 ×3 no es ´a a´un
esuel o. La e idencia sugie e que la desigualdad (4.1) es cie a cuando las con acciones que
conmu an son 3×3. Hoolb ook y o os lo iene cla o, han comp obado una g an a iedad de casos
especiales. Adem´as, g acias a expe imen os compu acionales, no se han hallado con aejemplos
pa a el caso 3×3. Adem´as, en [Hol92] plan ea una cues i´on ace ca de ma ices 2×2 la cual, si
se halla a la espues a, conlle a ´ıa a con aejemplos 4 ×4 de (4.1) o e i ica ´ıa (4.1) en el caso
3×3.
Choi y Zhong han encon ado una clase de con aejemplos que gene an una g an dis inci´on
en e los casos 2×2y3×3. Ellos p ueban que cualquie amilia ini a de con acciones 2×2 que
conmu en puede se exp esada en ´e minos de unciones con ac i as (anal´ı icas) de una sola
con acci´on, se dice en onces que la amilia es dila able; po an o se ´ıa una mane a de alida
(4.1). En con as e, los mismos au o es han encon ado ejemplos de cua o con acciones 3 ×3
que conmu an que no son dila ables. Si una amilia ini a de con acciones puede se ep e-
sen ada median e unciones con ac i as de dos con acciones ijas que conmu an, en onces el
eo ema de dila aci´on de Ando (Teo ema 4.6) pe mi i ´ıa p oba (4.1). Es os ejemplos mues an
que esa ep esen aci´on no es siemp e posible en el caso 3 ×3, pese a que (4.1) sea cie a, y
cualquie subconjun o de es con acciones sea dila able.
∗∗∗
Ag adecimien os
En es as pocas l´ıneas quie o exp esa mi g a i ud a los di ec o es de es e abajo, Luis y Miguel.
G acias a su dedicaci´on y p o esionalidad, es e abajo ha sido di igido de mane a ejempla .
Les doy las g acias ambi´en po su apoyo y compa˜n´ıa. Adem´as de se magn´ı icos p o esionales
son excelen es pe sonas.
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