La desigualdad de Von Neumann y la teoría de dilatación

LA DESIGUALDAD DE VON NEUMANN Y LA TEOR´ IA DE DILATACI ´ ON CARLOS CONSTANTINO OITAV´ EN Trabajo dirigido por Miguel Lacruz Mart´ın y Luis Rodr´ıguez-Piazza Universidad de Sevilla Key words and phrases. Banach algebras theory, bounded linear operators, dilation theory, ergodic theorem, functional calculus, operator theory, spectral theory, von Neumann inequality Schopenhauer escribi´o que los sue˜nos y la vigilia eran hojas de un mismo libro y que leerlas en orden era vivir, y hojearlas, so˜nar. J. L. Borges. Abstract. A famous inequality by von Neumann states that if Tis a contraction on a Hilbert space and pis a polynomial, then kp(T)k ≤ sup{|p(z)|:z∈C,|z| ≤ 1}. As time went on, this inequality has given rise to a large variety of results estimulating this question. The natural way to generalize this inequality concerns contractions T1, . . . , Tnthat commute on a common Hilbert space. Is it true that, for any polynomial p(z1, . . . , zn) in n variables, kp(T1, . . . , Tn)k ≤ sup{|p(z1, . . . , zn)|:zi∈C,|zi| ≤ 1, i = 1, . . . , n}? The answer is partial. The major steps in answering this question are due to T. Ando and N. Varopoulos, as much in positive and negative cases, respectively. The aim of this work is to present an elegant proof using dilation theory, whose main forefather is Sz. Nagy, of the original von Neumann’s inequality, as well as describing its generalization for two commuting contractions, and some counterexamples on a finite-dimensional Hilbert space, emphasizing the M. J. Crabb, A. M. Davie and J. A. Holbrook counterexamples. ´ Indice general Introducci´on 3 Cap´ıtulo 1. Preliminares 5 1. ´ Algebras de Banach 5 2. Operadores lineales y continuos en espacios de Hilbert. Operadores de multiplicaci´on 7 3. El teorema de Riesz 12 4. El teorema de Weierstraß a partir del teorema de Fej´er 20 Cap´ıtulo 2. El teorema espectral. C´alculo funcional para operadores 23 1. Presentaci´on y demostraci´on del resultado 23 2. C´alculo funcional para operadores normales 27 Cap´ıtulo 3. Teor´ıa de dilataci´on 37 1. Dilataciones unitarias 37 2. Dilataciones por potencias 41 3. El teorema erg´odico 44 4. La desigualdad de von Neumann 46 Cap´ıtulo 4. Generalizaciones y contraejemplos de la desigualdad de von Neumann 49 1. La generalizaci´on de T. Ando 49 2. El contraejemplo de M. J. Crabb y A. M. Davie 57 3. El contraejemplo de J. A. Holbrook 60 4. Contraejemplos minimales 62 Agradecimientos 63 Bibliograf´ıa 67 v 6 1. PRELIMINARES puesto que al ser {yn}n∈Nuna sucesi´on convergente, existe una constante M > 0 tal que kynk ≤ Mpara todo n∈N. Observaci´on 1.2. N´otese que no se ha requerido la conmutatividad de A, y se prescindir´a de ella siempre y cuando no sea previamente establecido expl´ıcitamente. En lo que sigue, se asumir´a que Aposee elemento unidad. Esto es, existe un elemento e∈A tal que xe =ex =x, para todo x∈A. A partir de su definici´on es f´acil ver que ´este es ´unico (e0=e0e=e) y que kek ≥ 1, por (1.1). Adem´as, se asumir´a que kek= 1. Definici´ on 1.3.En las condiciones precedentes, se dir´a que un elemento x∈Aes invertible si xtiene un inverso en A, i.e., si existe un elemento x−1∈Atal que x−1x=xx−1=e. Cabe destacar que los elementos invertibles poseen estructura de grupo respecto a la operaci´on de multiplicaci´on. Si fuera necesario, se denotar´a por G(A) al conjunto de elementos invertibles de A. Definici´ on 1.4.Sea Aun ´algebra de Banach con unidad e, y sea x∈A. El espectro de x, denotado por σ(x), es el conjunto de los n´umeros complejos λtales que x−λe no es invertible. Esto es, σ(x) = {λ∈C:x−λe no es invertible}. Definici´ on 1.5.Sea Aun ´algebra de Banach. Para x∈A, se define su radio espectral, ρ(x), como el radio del menor disco cerrado centrado en el origen que contiene a σ(x), i.e., ρ(x) = sup{|λ|:λ∈σ(x)}. Teorema 1.6.Sea Aun ´algebra de Banach. Para cada x∈A, se verifica: i.Si λ∈σ(x), entonces |λ|≤kxk. Esto es, se satisface la inclusi´on σ(x)⊆D(0,kxk). ii.El conjunto σ(x)es compacto. El siguiente resultado es la f´ormula de Gelfand, que asegura la igualdad entre dos cantidades enteramente distintas: una algebraica y otra topol´ogica. Teorema 1.7 (F´ormula del radio espectral de Gelfand).Sea Aun ´algebra de Banach con unidad. Para cada x∈A, se verifica que ρ(x) = l´ım n→∞ kxnk1/n. 2. OPERADORES EN ESPACIOS DE HILBERT. OPERADORES DE MULTIPLICACI ´ ON 7 Definici´ on 1.8.Sea Aun ´algebra compleja. Un homomorfismo complejo en Aes una aplicaci´on Λ: A→Clineal que verifica Λ(xy) = Λ(x)Λ(y) para todos x, y ∈A. El conjunto de todos los homomorfismos no nulos definidos en Ase denota por ∆(A). Teorema 1.9.Sea Aun ´algebra de Banach. Si Atiene unidad e, y Λ∈∆(A), entonces: i. Λ ∈A∗ykΛk ≤ 1; ii. Λ(e) = 1; iii.si x∈G(A), entonces Λ(x)6= 0. Proposici´ on 1.10.Sea Aun ´algebra de Banach. Si Atiene unidad, entonces ∆(A)es compacto para la topolog´ıa ∗−d´ebil de A∗. Definici´ on 1.11 (Transformada de Gelfand).Sea Aun ´algebra de Banach. Para cada x∈A, se define ˆxcomo la funci´on ˆx: ∆(A)−→ C Λ7−→ ˆx(Λ) = Λ(x). Si en ∆(A) se considera la topolog´ıa inducida por la topolog´ıa ∗−d´ebil de A∗, entonces la aplicaci´on x7→ ˆxes un homomorfismo de ´algebras entre AyC(∆(A)) que se denomina transformada de Gelfand. Se cierra la secci´on con un resultado acerca de las propiedades de la transformada de Gelfand. Teorema 1.12 (Propiedades de la transformada de Gelfand).Sean Aun ´algebra de Banach conmutativa con unidad, y x∈A. Se tienen: i.xes invertible en Asi y s´olo si Λ(x)6= 0, para todo Λ∈∆(A); ii.σ(x) = {Λ(x):Λ∈∆(A)}; iii.ρ(x) = kˆxk∞. Estas propiedades ser´an especialmente ´utiles en la construcci´on de un c´alculo funcional para una cantidad finita de operadores normales que conmutan. ∗∗∗ 2. Operadores lineales y continuos en espacios de Hilbert. Operadores de multiplicaci´on 2.1. Operadores lineales y continuos en espacios de Hilbert. Si Xes un espacio de Banach sobre el cuerpo complejo, es conocido que el espacio B(X) de operadores lineales y acotados de Xen Xes un espacio de Banach con la norma kTk= sup x∈X\{0} kTxk kxk= sup x∈X kxk=1 kTxk. 8 1. PRELIMINARES Una manera alternativa y equivalente de expresar esta norma es kTk= m´ın{M≥0 : kTxk ≤ Mkxkpara todo x∈X}. El espacio B(X) posee estructura de ´algebra de Banach. Por tanto, todos los resultados acerca de ´algebras de Banach son v´alidos para el espacio de operadores lineales y acotados de un espacio de Banach en s´ı mismo. En lo que sigue, se considerar´an operadores definidos entre espacios de Hilbert. Sea Hespacio de Hilbert, y T∈ B(H). El operador adjunto de T, denotado por T∗, es el ´unico operador lineal y continuo T∗:H→Hque satisface hTx, yi=hx, T∗yi, para todos x, y ∈H. Si ocurre que TT∗=T∗T, se dice que el operador Tes normal; se dice que Tes herm´ıtico oautoadjunto si T∗=T. Las propiedades elementales de estos operadores se resumen en el siguiente resultado. Proposici´ on 1.13.Sea Hun espacio de Hilbert. Consid´erense T, S ∈ B(H), y α∈C. Se satisfacen: i. (αT +S)∗=αT∗+S∗; ii. (TS)∗=S∗T∗; iii.kTk=kT∗k. Prueba. Las dos primeras asunciones son una mera comprobaci´on. Para la ´ultima, kT∗xk2=hT∗x, T∗xi=hx, TT∗xi≤kT∗k·kTk·kxk2, para todo x∈H. Luego kT∗k≤kTk. An´alogamente, kTxk2=hTx, Txi=hx, T∗Ti ≤ kT∗k·kTk·kxk2, para todo x∈H. Esto proporciona kTk≤kT∗k, y queda probado el resultado.  Aparece ahora el primer resultado que se usar´a para probar el teorema espectral para operadores herm´ıticos. Teorema 1.14.Si T∈ B(H)es herm´ıtico, entonces ρ(T) = kTk. Prueba. La igualdad ρ(T)≤ kTkno depende del car´acter herm´ıtico del operador; una demostraci´on original, usando el teorema del punto fijo de Banach para aplicaciones contractivas, puede encontrarse en [CO17]. En primer lugar, n´otese que kTk2=kT∗Tk. En efecto, se tiene que kT∗Tk≤kT∗k·kTk=kTk2 y kTxk2=hTx, Txi=hx, T∗Txi≤kxk2·kT∗Tk, para cada x. 2. OPERADORES EN ESPACIOS DE HILBERT. OPERADORES DE MULTIPLICACI ´ ON 9 Dado que Tes herm´ıtico, kTxk2=hTx, Txi=x, T2x≤ T2 ·kxk2 para cada x, y entonces kT2k=kTk2. Un argumento inductivo prueba que  T2n =kTk2n. Finalmente, la f´ormula del radio espectral de Gelfand concluye que ρ(T) = l´ım n→∞  T2n 1/2n=kTk, y esto prueba el resultado.  Uno puede extender el resultado anterior para operadores normales. Corolario 1.15.Si T∈ B(X)es un operador normal, entonces ρ(T) = kTk. Prueba. Para probar la afirmaci´on, rec´uerdese que ya se hab´ıa probado que kTk2=kT∗Tk; adem´as, se verifica que kTk4=kT∗Tk2=kT∗TTT∗k= (T∗T)2 . En general, kTk2n=  (T∗T)2n−1  =  T2n−1   2 para cada nnatural. En consecuencia, se obtiene que kTk2n−1=  T2n−1  para todo n. De nuevo, la f´ormula de Gelfand asegura la igualdad ρ(T) = l´ım n→∞  T2n 1/2n=kTk. Lo que prueba la igualdad entre en radio espectral y la norma de un operador normal.  2.2. Operadores de multiplicaci´on. El objetivo de este apartado es presentar los operadores de multiplicaci´on inducidos por una funci´on definida en un espacio de medida. Para ello, es necesario comenzar con las definiciones de los espacios L2(µ) y L∞(µ) inducidos por un espacio de medida (X, Σ, µ), que se considerar´a σ−finito. Posteriormente, se dar´a la definici´on de operador de multiplicaci´on, para finalizar con algunas propiedades de dichos operadores. Definici´ on 1.16.Se define el espacio L2(µ) = f:X→C:fes medible,ZX|f|2dµ < ∞. As´ı, L2(µ) = L2(µ)/∼, donde f∼gsi y s´olo si f(x) = g(x) en casi todo x∈X. Este espacio es de Hilbert con el producto escalar hf, gi=ZX f g dµ. De manera an´aloga, se definen L∞(µ) = {f:X→C:fes medible,∃C > 0 tal que |f(x)| ≤ Cen casi todo x∈X} y L∞(µ) = L∞(µ)/∼. 10 1. PRELIMINARES Usualmente, a las funciones que pertenecen a L∞(µ) se las denomina funciones esencialmente acotadas. Este espacio es de Banach con la norma kfk∞= m´ın{C > 0 : |f(x)| ≤ Cen casi todo x∈X}. Este valor se conoce como el supremo esencial de f. Observaci´on 1.17 (Abuso de notaci´on). En lo que sigue, un elemento f∈L2(µ) representa a la clase de todas las funciones de L2(µ) que son iguales a fen casi todo punto. De la misma manera pasa con los elementos del espacio L∞(µ). Definici´ on 1.18.Sea ϕ∈L∞(µ). Un operador Mϕdefinido en el espacio de Hilbert L2(µ) por Mϕf=ϕ·f se denomina la multiplicaci´on inducida por ϕ. Teorema 1.19.Si Mϕes el operador inducido por una funci´on ϕ∈L∞(µ), entonces (1.2) kMϕk=kϕk∞. Prueba. La prueba va a realizarse constructivamente, de tal modo que se ver´a hasta d´onde puede llegarse sin asumir la σ−finitud de la medida µ. Esto probar´a que esta asunci´on es inevitable. Se tiene, kMϕfk2=ZX|ϕ·f|2dµ ≤ kϕk2 ∞·ZX|f|2dµ =kϕk2 ∞·kfk2, de donde se sigue que kMϕk≤kϕk∞. La prueba de la desigualdad contraria es la que posee m´as dificultad. Una manera sensible de comenzar la prueba es notar que, dado  > 0, entonces |ϕ(x)|>kϕk∞− en un conjunto, p´ongase M, de medida positiva. Si, e.g., f=χM, entonces kfk2=ZM 1dµ =µ(M), y kMϕfk2=ZM|ϕ|2dµ ≥(kϕk∞−)2µ(M)=(kϕk∞−)2kfk2. As´ı, se deduce que kMϕk≥kϕk∞−; y dado que esto es cierto para todo , se sigue que kMϕk≥kϕk∞. La prueba est´a acabada, pero es err´onea. El problema es que el conjunto Mpuede ser de medida infinita. La objecci´on no parece muy fuerte. Desp´ues de todo, incluso si el conjunto {x∈X:|ϕ(x)|>kϕk∞−} tiene medida infinita, el razonamiento anterior funciona perfectamente si Mes tomado como un subconjunto de medida positiva y finita de ´este. Esto es cierto. La dificultad, sin embargo, es que el espacio puede ser lo suficientemente patol´ogico como para que los conjuntos medibles 2. OPERADORES EN ESPACIOS DE HILBERT. OPERADORES DE MULTIPLICACI ´ ON 11 de medida positiva (de hecho de medida infinita) tengan la propiedad de que cada uno de sus subconjuntos medibles tenga medida 0 ´o ∞. Sea X={x1, x2}con µ({x1}) = 1 y µ({x2}) = ∞. Entonces, L2(µ) es el espacio 1−dimensional de las funciones definidas en Xque son nulas en x2. Si ϕes la funci´on caracter´ıstica del conjunto {x2}, entonces kϕk∞= 1, pero kMϕfk2=Z{x2}|f|2dµ =Z{x2}|f(x2)|2dµ = 0. Por tanto, kMϕk= 0. Conclusi´on: si la medida es localmente finita, i.e., todo conjunto medible de medida positiva tiene un subconjunto de medida positiva finita, entonces, la norma de cada operador multiplicativo es el supremo esencial de la funci´on que lo induce. Todo espacio de medida σ−finito es localmente finito, ya que en tal caso existe una colecci´on {An}n∈Ncon µ(Ai)<∞, para todo natural i, tal que X=[ n∈N An. Luego, dado B⊂Xmedible con µ(B)>0, existe al menos Ai0tal que Ai0∩B6=∅y µ(Ai0∩B)<∞. As´ı, la manera m´as pr´actica de eliminar tales dificultades es asumir que la medida es σ−finita. Si esto es asumido, el razonamiento anterior prueba (1.2).  Hay una gran relaci´on entre las propiedades que hereda Mϕdel car´acter de ϕ, un estudio se revela en [Hal82]. La siguiente proposici´on resume alguna de sus propiedades. Proposici´ on 1.20.Sean MϕyMψdos operadores de multiplicaci´on asociados a dos funciones ϕyψde L∞(µ). Se verifica: i.M∗ ϕ=Mϕ, ii.Mϕ·ψ=MϕMψ, iii.Mϕes herm´ıtico si y s´olo si ϕes real. Prueba. Para el primer apartado, el operador M∗ ϕes ´unico operador que verifica hMϕf, gi=hf, M∗ ϕgi, para todo f, g ∈L2(µ). Esto ocurre si y s´olo si ZX ϕ f g dx =ZX f M∗ ϕg dx, para todo f, g ∈L2(µ). As´ı, forzosamente M∗ ϕg=ϕ·g en casi todo punto, lo que desemboca en que M∗ ϕg=ϕ·g, para toda g∈L2(µ). Para el segundo apartado, sea f∈L2(µ). Se tiene, Mϕ·ψf=ϕ·ψ·f=Mϕ(ψ·f) = MϕMψf. 12 1. PRELIMINARES Para el ´ultimo apartado, gracias a la identidad del primer apartado, Mϕes herm´ıtico si y s´olo si Mϕ=Mϕ, esto es, ϕ=ϕ. Corolario 1.21.Los operadores de multiplicaci´on son normales. Prueba. Es inmediato dedida a la segunda propiedad de la Proposici´on 1.20.  ∗∗∗ 3. El teorema de Riesz El siguiente resultado que se necesita para la prueba que describe Halmos [Hal63] es conocido como el teorema de representaci´on de Riesz Riesz-Markov-Kakutani [Rud87] para los conjuntos compactos en la recta real. ´ Este afirma que todo funcional lineal y positivo1en C[a, b] se puede representar como una integral con respecto a una medida positiva y finita, i.e., la aplicaci´on Υ: µ7−→ Υ(µ)(f) = Z[a,b] f dµ es biyectiva entre las medidas positivas y los funcionales positivos. En este trabajo se dispone a desarrollar una versi´on m´as general, apta para funciones definidas en cualquier espacio de Hausdorff localmente compacto. A prop´osito de este fin, recu´erdense ahora algunas definiciones de ´ındole topol´ogica. Definici´ on 1.22.Se conviene en decir que Xes de Hausdorff si dados dos elementos cualesquiera xeyde Xcon x6=y, existen dos entornos UyVde xey, respectivamente, tales que U∩V=∅. Cualquier espacio m´etrico es de Hausdorff. Definici´ on 1.23.Un espacio Xde Hausdorff es localmente compacto si todo elemento x∈Xposee un entorno cuya clausura es compacta. Por ejemplo, gracias al teorema de HeineBorel, los espacios Cnson localmente compactos; y, obviamente, cualquier espacio compacto es localmente compacto. Una discusi´on m´as detallada de estos conceptos se revela en [Rud87]. Por ´ultimo, es necesario un lema previo al resultado central de la secci´on. Lema 1.24 (Lema de Urysohn).Sea Xun espacio de Hausdorff localmente compacto. Dado K⊂Xcompacto y V⊂Xabierto con K⊂V, existe una funci´on continua de soporte compacto (f∈Cc(X)) tal que f(x) = 1,si x∈K, f(x)∈[0,1],si x∈X, f(x) = 0,si x∈X\V, dicho de otro modo, χK≤f≤χV. 1Un funcional se dice que es positivo si Λf≥0 siempre que f≥0. 3. EL TEOREMA DE RIESZ 13 Observaci´on 1.25. En el caso de espacios m´etricos, este resultado posee una demostraci´on muy sencilla. Si (X, d) es un espacio m´etrico y C1, C2⊆Xdos subconjuntos cerrados y disjuntos, entonces la funci´on continua f:X−→ R x7−→ f(x) = d(x, C1) d(x, C1) + d(x, C2) satisface que f|C1≡0, f|C2≡1 y 0 ≤f(x)≤1 para todo x∈X. Teorema 1.26 (Representaci´on de Riesz).Sea Xun espacio de Hausdorff localmente compacto, y sea Λ: Cc(X)→Run operador positivo y lineal. Entonces existe una σ−´algebra Σen Xque contiene a todos los conjuntos de Borel de X, y existe una ´unica medida positiva µen Σque representa a Λ, es decir, (1.3) Λf=ZX f dµ para toda funci´on f∈Cc(X). Adem´as, verifica las siguientes propiedades: i.Si K⊂Xes un conjunto compacto, entonces µ(K)<∞. ii.Para todo A∈Σ, se tiene µ(A) = ´ınf{µ(V) : A⊂V, V es abierto}. iii.Se verifica la igualdad µ(A) = sup{µ(K) : K⊂A, K es compacto} para todo conjunto abierto A, y para todo A∈Σcon µ(A)<∞. iv.Si B∈Σ,A⊂B, y µ(B)=0; entonces A∈Σ. Esto es, el espacio de medida (X, Σ, µ) es completo. La igualdad (1.3) es la m´as interesante. Tras definir Σ y µ, las propiedades quedar´an probadas si se demuestra que Σ es una σ−´algebra y que µes numerablemente aditiva. Prueba. En lo que sigue, Kdenotar´a un conjunto compacto de X, y Vun conjunto abierto en X. Se comienza por probar la unicidad de µ. Si µsatisface las propiedades ii. yiii., es claro que µqueda determinada en Σ por sus valores en conjuntos compactos de X. Por ello, es suficiente probar que si µ1yµ2son dos medidas que verifican las hip´otesis del teorema, entonces µ1(K) = µ2(K), para todo conjunto compacto K⊂X. F´ıjese K⊂Xun conjunto compacto y  > 0. Por ii. y iii., existe V⊃Kcon µ2(V)< µ2(K) + . El lema de Urysohn afirma la existencia de una funci´on f∈Cc(X) tal que χK≤f≤χV. Entonces, µ1(K) = ZX χKdµ1≤ZX f dµ1= Λf=ZX f dµ2≤ZX χVdµ2=µ2(V)< µ2(K) + . 14 1. PRELIMINARES Por tanto, µ1(K)≤µ2(K). Intercambiendo ahora µ1por µ2se prueba la desigualdad contraria, y por tanto la unicidad de µqueda demostrada. Construcci´on de µyΣ Para cada abierto Ven X, def´ınase (1.4) µ(V) = sup{Λf:f∈Cc(X),0≤f≤1,sop(f)⊂V}. A menudo se usar´a la notaci´on f≺Vpara indicar que Ves abierto, f∈Cc(X), 0 ≤f≤1 y sop(f)⊂V. Tambi´en se har´a uso de la notaci´on K≺fpara indicar que Kes compacto, que f∈Cc(X), que 0 ≤f≤1 y que f(x) = 1 siempre que x∈K. As´ı, la definici´on anterior resultar´ıa µ(V) = sup{Λf:f≺V}. Si V1⊂V2, entonces (1.4) implica que µ(V1)≤µ(V2). Por ello, (1.5) µ(A) = ´ınf{µ(V) : A⊂V, V abierto} siempre que Asea un conjunto abierto, y es consistente con (1.4) definir µ(A) por (1.5) para cualquier A⊂X. A pesar de haber definido µ(A) para cualquier A⊂X, la numerabilidad aditiva de µs´olo se probar´a en una σ−´algebra particular Σ de X. Sea ΣFel conjunto de todos los subconjuntos A⊂Xque verifican dos condiciones: µ(A)<∞y (1.6) µ(A) = sup{µ(K) : K⊂A, K compacto}. Finalmente, sea Σ = {A⊂X:A∩K∈ΣFpara todo Kcompacto}. Prueba de que µyΣsatisfacen dichas propiedades Es claro que µes mon´otona, i.e., si A⊂Bentonces µ(A)≤µ(B). Adem´as, si µ(A) = 0 entonces A∈ΣFy por ende A∈Σ. Por tanto, iv. se satisface y tambi´en ii., por definici´on. Con objeto de probar cada una de las afirmaciones restantes, es conveniente dividir la prueba en algunos pasos. Obs´ervese que la positividad de Λ implica que Λ es mon´otona, esto es, si f≤gentonces Λf≤Λg. Esta propiedad se usar´a en los pasos 2 y 10. Paso 1.Si A1, A2, . . . son subconjuntos arbitrarios de X, entonces (1.7) µ ∞ [ i=1 Ai!≤ ∞ X i=1 µ(Ai). Prueba. Se prueba primero que (1.8) µ(V1∪V2)≤µ(V1) + µ(V2) si V1yV2son abiertos. El´ıjase g∈Cc(X) tal que 0 ≤g≤1 y sop(g)⊂V1∪V2. Por el Teorema 2.13 en [Rud87], existen unas funciones hi≺Vitales que h1(x) + h2(x) = 1 3. EL TEOREMA DE RIESZ 15 siempre que x∈sop(g). De ah´ı, se deduce hig≺Vi. Por consiguiente, puede escribirse g=h1g+h2gy as´ı Λg= Λ(h1g) + Λ(h2g)≤µ(V1) + µ(V2). Como la igualdad anterior es v´alida para toda g≺V1∪V2, tomando el supremo queda probada (1.8). En el caso de que µ(Ai) = ∞para alg´un i, entonces (1.7) es trivialmente cierta. Sup´ongase entonces que µ(Ai)<∞para todo i. F´ıjese  > 0. Por (1.5), existen unos conjuntos abiertos Vi⊃Aitales que µ(Vi)< µ(Ai) +  2i para i≥1. Sea V= ∞ [ i=1 Viy f ≺V. Dado que ftiene soporte compacto, debe ocurrir que f≺V1∪···∪Vnpara alg´un n, ya que de todo recubrimiento por abiertos puede extraerse un subrecubrimiento. Mediante argumentos por inducci´on sobre (1.8), se obtiene que Λf≤µ(V1∪···∪Vn)≤µ(V1) + ···+µ(Vn)≤ ∞ X i=1 µ(Ai) + ∞ X i=1  2i= ∞ X i=1 µ(Ai) + . Dado que esto ocurre para toda f≺V, y ∞ [ i=1 Ai⊂V, se sigue que µ ∞ [ i=1 Ai!≤µ(V)≤ ∞ X i=1 µ(Ai) + , lo que prueba (1.7), ya que era arbitrario.  El siguiente paso prueba la primera propiedad. Paso 2.ΣFcontiene a todos los conjuntos compactos. Prueba. Si K≺f, sea V=x∈X:f(x)>1 2 Entonces K⊂V, ya que f(x) = 1 cuando x∈K. Adem´as, g≤2fpara toda g≺V. Por tanto, µ(K)≤µ(V) = sup{Λg:g≺V} ≤ Λ(2f)<∞. Dado que Kclaramente satisface (1.6), K∈ΣF, ya que verifica las dos propiedades requeridas.  Paso 3.Cada conjunto abierto satisface (1.6). En consecuencia, ΣFcontiene cada conjunto abierto Vcon µ(V)<∞. 22 1. PRELIMINARES donde Ij= (aj, bj). Ahora basta definir fen cada Ijde manera lineal. La aplicaci´on del resultado anterior implica que fes l´ımite uniforme de polinomios en todo [a, b], y en particular, en K. Cap´ıtulo 2 El teorema espectral. C´alculo funcional para operadores El teorema espectral para operadores herm´ıticos afirma que todo operador Therm´ıtico definido en un espacio de Hilbert separable es esencialmente un operador de multiplicaci´on definido en L2(µ) con una medida µdeterminada. Este resultado abrir´a la puerta a un c´alculo funcional para este tipo de operadores, y ser´a determinante a la hora de probar la desigualdad de von Neumann (0.1) y el teorema erg´odico. Como generalizaci´on, con la ayuda de la teor´ıa de ´algebras de Banach descrita en el cap´ıtulo anterior, se construir´a un c´alculo funcional para una cantidad finita de operadores normales que conmutan en un espacio de Hilbert com´un. 1. Presentaci´on y demostraci´on del resultado Teorema 2.1 (Teorema espectral para operadores herm´ıticos).Todo operador herm´ıtico es unitariamente equivalente a un operador multiplicativo. En detalle, el teorema afirma que si Tes un operador herm´ıtico, i.e. tal que T∗=T, definido en un espacio de Hilbert separable H, entonces existe una funci´on ϕesencialmente acotada definida en un espacio de medida (X, Σ, µ), y existe una isometr´ıa U:L2(µ)→H, tales que U−1TUf(x) = (Mϕf) (x) para todo x∈X, y para cada f∈L2(µ). Este hecho tambi´en es v´alido para operadores normales, pero al contrario de la prueba que va a realizarse aqu´ı, no puede ser demostrado mediante resultados elementales. Definici´ on 2.2.Sea Tun operador herm´ıtico en un espacio de Hilbert H. Un elemento ξ∈Hes un vector c´ıclico para Tsi el conjunto formando por todos los elementos de la forma p(T)ξ, donde pes un polinomio con coeficientes complejos, es denso en H. Los vectores c´ıclicos pueden no existir, pero se conoce un argumento que asegura que Hes siempre suma directa de familias de subespacios tales que cada restricci´on de Ta cada uno de ellas posea al menos un vector c´ıclico. As´ı, probado el resultado en cada subespacio, se sigue para H. Se procede a probar tal afirmaci´on. Sea T:H→Hun operador herm´ıtico, se desea una descomposici´on de Htal que H=M i∈I Hi y verifique las dos condiciones siguientes: i.T(Hi)⊆Hipara todo i∈I. ii. Para cada i∈Iexiste un elemento fi∈Hital que (2.1) span{Tnfi:n≥0} 23 24 2. EL TEOREMA ESPECTRAL. C ´ ALCULO FUNCIONAL PARA OPERADORES es denso en Hiy adem´as Hi⊥Hjsi i6=j. En primer lugar, obs´ervese que, para cada f∈H, el espacio definido por (2.1) M= span{Tnf:n≥0} reduce a T, es decir, T(M)⊆MyT(M⊥)⊆M⊥. En efecto, es claro que T(M)⊆M; ahora, si h∈M⊥yg∈M, entonces hTh, gi=hh, Tgi= 0 ya que Tg ∈M. Por tanto, T(M⊥)⊆M⊥. Cuando esto ocurre se dice que el subespacio M reduce a T. Se procede a construir tal descomposici´on. T´omese f∈H\{0}, y escr´ıbase Hf= span{Tnf:n≥0}. Como Hes separable, existe un conjunto D={fn}n∈Ndenso en H; y, sin p´erdida de generalidad, puede suponerse que fn6= 0 para todo n∈N. Sea entonces H1=Hf1yK1=H⊥ 1. Si K1={0}la descomposici´on queda completada, pues H1=H. En otro caso, t´omese ym=PK1fm, m ≥2. Entonces, existe un primer m0tal que ym06= 0. Cuando esto ocurre, fm0/∈H1, y f1, f2, . . . , fm0−1∈H1. Def´ınase entonces H2=Hym0= span{TnPK1fm0:n≥0}. As´ı, fm0∈H1⊕H2. Ahora bien, t´omese K2=H⊥ 2, y rep´ıtase el proceso. Si K2={0}, la descomposici´on queda completada. Este m´etodo me genera una sucesi´on de espacios {Hn}n∈N tal que D⊆H1⊕H2⊕··· , y por densidad, H=M n∈N Hn. Adem´as, un ejercicio permite comprobar que las propiedades requeridas de la descomposici´on. El hecho de que sea una cantidad a lo sumo numerable es por construcci´on, pero de hecho se desprende de la separabilidad del espacio de Hilbert H. El siguiente lema prueba tal afirmaci´on. Lema 2.3.Sea Hun espacio de Hilbert separable, y {Mi}i∈Iuna familia de subespacios de Htales que i.Mi⊥Mjpara todo i, j ∈Icon i6=j. ii.Mi6={0}para todo i∈I. Entonces, Ies finito o numerable. 1. PRESENTACI ´ ON Y DEMOSTRACI ´ ON DEL RESULTADO 25 Prueba. Sea ei∈Micon keik= 1. Dados eiyej, se verifica que kei−ejk=qkeik2+kejk2=√2, siempre que i6=j. Consid´erese, gracias a la hip´otesis de separabilidad de H, un subespacio denso y numerable Den H. Por ello, para todo i∈Iexiste un elemento di∈Dtal que kdi−eik<√2 3. As´ı, dados diydjse verifica que (2.2) kdi−djk>√2 3, y entonces forzosamente i6=j. Por tanto, se ha construido una aplicaci´on Ξ: {ei}i∈I−→ D ei7−→ Ξ(ei) = di que es inyectiva, en virtud de (2.2); lo que finalmente asegura que card(I)≤ ℵ0, lo que concluye la demostraci´on.  Por tanto, sin p´erdida de generalidad, sup´ongase que x∈Hes un vector c´ıclico de T. Prueba. [Teorema espectral para operadores herm´ıticos] Para cada polinomio p∈R[z], escr´ıbase Lp =hp(T)x, xi. Es claro que Les un operador lineal y continuo, ya que |Lp|≤kp(T)k·kxk2 =ρ(p(T)) ·kxk2 = sup{|λ|:λ∈σ(p(T))}·kxk2 = sup{|p(λ)|:λ∈σ(T)}·kxk2, es decir, est´a acotado para polinomios. Aqu´ı se ha usado la relaci´on (2.3) p(σ(T)) = σ(p(T)). Para ver la prueba de este hecho uno puede dirigirse a [Hal51]. Se concluye por tanto que, por el teorema de aproximaci´on de Weierstraß, Ltiene una extensi´on acotada, que se denotar´a por Lnuevamente, en el espacio de las funciones continuas reales definidas en σ(T). Para probar que Les positivo, obs´ervese que si p∈R[z], entonces (p(T))2x, x=hp(T)x, p(T)xi=kp(T)xk2≥0. Si f∈C(σ(T)) es no negativa, entonces aprox´ımese √funiformemente por polinomios reales; por ello, esto prueba que Lf ≥0, pues fes l´ımite uniforme de los cuadrados de polinomios 26 2. EL TEOREMA ESPECTRAL. C ´ ALCULO FUNCIONAL PARA OPERADORES reales. El teorema de Riesz asegura que existe una ´unica medida finita µdefinida en los conjuntos de Borel de σ(T) tal que Lp =hp(T)x, xi=Zσ(T) p dµ definida para todo p∈R[z]. Para cada q∈C[z] escr´ıbase Uq =q(T)x. Dado el car´acter herm´ıtico de T, (q(T))∗=q(T) es un polinomio en T, y tambi´en (q(T))∗·q(T) = |q|2(T). Se tiene as´ı que Zσ(T)|q|2dµ =hq(T)q(T)x, xi=h(q(T))∗q(T)x, xi=kq(T)xk2=kUqk2. Esto significa que el operador U:C[z]⊂L2(µ)→H es una isometr´ıa. Adem´as, dado que los polinomios son densos en L2(µ), entonces existe una ´unica extensi´on isom´etrica de L2(µ) en H. La asunci´on de que xsea un vector c´ıclico implica que la imagen de Ues densa, y por tanto igual, al espacio H. S´olo resta probar que la transformaci´on de Tpor Ues efectivamente una multiplicaci´on. Escr´ıbase id(λ) = λpara todo λ∈σ(T). Dado un polinomio q∈C[z], def´ınase ˆq(λ) = λq(λ) = id(λ)q(λ). Entonces, U−1TUq =U−1Tq(T)x=U−1ˆq(T)x=U−1Uˆq= ˆq= id ·q. Por tanto, U−1TU coincide con el operador de multiplicaci´on Mid sobre el espacio de polinomios con coeficientes complejos, y un argumento de densidad permite concluir que U−1TU es igual a una multiplicaci´on. Se ha probado que el resultado es cierto en cada subespacio Hnde Hque contiene a un vector c´ıclico, i.e., que Hnes isom´etricamente isomorfo a L2(µn), donde (Xn,Σn, µn) es un espacio de medida finito. Para validar este resultado en el espacio total H, basta notar que H=M n∈N Hn es isom´etricamente isomorfo a L2(µ). Aqu´ı (X, Σ, µ) es un espacio de medida (no necesariamente finito, pero s´ı σ−finito), formado por X=G n∈N Xn, Σ una σ−´algebra de X, y µuna medida que est´a definida como µnen cada Hn. ∗∗∗ 2. C ´ ALCULO FUNCIONAL PARA OPERADORES NORMALES 27 2. C´alculo funcional para operadores normales 2.1. C´alculo funcional de operadores herm´ıticos. Una consecuencia del teorema espectral es la posiblidad de definir un c´alculo funcional para operadores herm´ıticos. Sea A∈Rn×ndiagonalizable con A=PDP−1, donde Pes una matriz invertible cuyos vectores columna son vectores propios de A, y Des una matriz diagonal formada por los valores propios de A. Consid´erese tambi´en f:R→Runa funci´on continua. Uno puede definir f(A) = P     f(λ1) ... f(λn)     P−1. Esto inspira la generalizaci´on de esta noci´on a otros espacios m´as generales. Si Tes un operador lineal y acotado en un espacio de Hilbert H, y p∈C[x] es un polinomio p(x) = n X k=0 akxk, tiene sentido el operador p(T), definido de manera natural por p(T)x= n X k=0 akTkx, para cada x∈H. La descomposici´on de un operador herm´ıtico permite dar un paso m´as. Si adem´as Tes herm´ıtico, ya se conoce que existe ϕ∈L∞(µ) y una isometr´ıa U:L2(µ)→Htal que T=UMϕU∗. Si fes una funci´on medible y acotada, uno puede definir f(T) = UMf◦ϕU∗. Cabe destacar que la funci´on f◦ϕ∈L∞(µ), y por tanto el operador multiplicativo Mf◦ϕtiene sentido. 2.2. El teorema de Weierstraß en compactos de RN.Lo m´as sorprendente de los resultados de aproximaci´on por polinomios de Weierstraß son su enorme utilidad y el gran n´umero de pruebas que se han ido aportando a lo largo de los a˜nos. A partir del resultado cl´asico en una variable real (v´ease el Teorema 1.27) se puede probar, usando el teorema de extensi´on de Tietze, dicha generalizaci´on para cualquier compacto de RN, y en general, de CN. Teorema 2.4 (Teorema de Weierstraß en compactos de RN).Toda funci´on continua definida en un compacto de RNes l´ımite uniforme de polinomios con coeficientes complejos. Primeramente, se trata de ver que es v´alido para C[0,1]2. Esto s´era suficiente para probar el resultado general, ya que bastar´a aplicar el resultado de Tietze y un argumento inductivo. En lo que sigue, dadas f, g ∈C[0,1], se denotar´a por f⊗ga la funci´on de C[0,1]2dada por f⊗g(x, y) = f(x)g(y)∈C[0,1]2. 28 2. EL TEOREMA ESPECTRAL. C ´ ALCULO FUNCIONAL PARA OPERADORES Teorema 2.5.Si E={f⊗g:f, g ∈C[0,1]}, entonces span(E) = C[0,1]2. Prueba. Para cada n∈N, def´ınanse las funciones fn,k ∈C[0,1], para k∈ {0, . . . , n}, como especifica la siguiente figura: Figura 1. Las funciones fn,k, para k∈ {0, . . . , n} Se tiene que 0 ≤fn,k ≤1 y fn,k k n= 1, para todo k∈ {0, . . . , n}. Adem´as, n X k=0 fn,k(x) = 1, para todo x∈[0,1]. Por ´ultimo, fn,k(x) = 0 siempre que x−k n≥1 n. Dada G∈C[0,1]2, sea Fn= n X j,k=0 Gk n,j nfn,k ⊗fn,j ∈span(E). Se procede a probar que Fn→Gen C[0,1]2. Previo a ello, recu´erdese el teorema de Heine, que asegura la continuidad uniforme en cada variable. Esto es, para todo  > 0, existe δ > 0 tal que si |x−x0|< δ y|y−y0|< δ entonces |G(x, y)−G(x0, y0)|< . 2. C ´ ALCULO FUNCIONAL PARA OPERADORES NORMALES 29 Sea n∈Ntal que 1 n< δ. Entonces, |Fn(x, y)−G(x, y)|=X j,k Gk n,j nfn,k(x)fn,j(y)−G(x, y) ≤X j,k Gk n,j n−G(x, y)fn,k(x)fn,j(y)≤, pues  k n−x<1 n< δ, en caso contrario fn,k(x) = 0; y an´alogamente,  j n−y<1 n< δ, en caso contrario fn,j(y) = 0. Es decir, se acaba de probar que kFn−GkC[0,1]2≤ para un n∈Nsuficientemente grande.  Esto prueba el teorema de Weierstraß en el cuadrado. En general, mediante un razonamiento inductivo, uno puede generalizar el resultado a [0,1]N. Tambi´en, sin mucho esfuerzo, se puede adaptar la prueba para conjuntos de la forma [−M, M]N, siendo M > 0 y N≥1. A continuaci´on se presenta el teorema de extensi´on de Tietze. Gracias a ´el se podr´a probar el resultado central de este apartado. Teorema 2.6 (Teorema de extensi´on de Tietze).Sea (X, d)un espacio m´etrico, sea C⊂X cerrado, y sea f:C→Runa funci´on real, continua y acotada. Entonces, existe una funci´on continua y acotada F:X→Rtal que FC=fykFkX=kfkC. Prueba. Sea f:C→Rcontinua tal que |f(x)| ≤ Mpara todo x∈C. Entonces, ˆ f:= f/M satisface que |ˆ f(x)| ≤ 1 para todo x∈C. Mediante este procedimiento, uno puede suponer sin p´erdida de generalidad que desde un principio |f(x)| ≤ 1 para todo x∈C. Def´ınanse los conjuntos C1={x∈C:f(x)≤ −1/3}y C2={x∈C:f(x)≥1/3}. Es obvio notar que son conjuntos C1, C2⊆Xson cerrados y disjuntos. El lema de Urysohn (v´ease Lema 1.24) afirma que existe una funci´on continua f1:X→[−1/3,1/3] tal que f1|C1=−1 3yf1|C2=1 3. Por construcci´on, se verifica que |f(x)−f1(x)| ≤ 2 3 para todo x∈C. Aplicando el mismo procedimiento a la funci´on f−f1, se obtiene una funci´on continua f2:X→[−2/32,2/32] tal que |f(x)−f1(x)−f2(x)| ≤ 2 32 . 30 2. EL TEOREMA ESPECTRAL. C ´ ALCULO FUNCIONAL PARA OPERADORES Iterando este proceso, se consigue una sucesi´on de funciones {fn}n∈Ncontinuas en Xy tales que (2.4) |fn(x)| ≤ 2n−1 3nyf(x)− n X j=1 fj(x)≤2 3n para todo x∈C. El criterio de mayoraci´on de Weierstraß afirma que la serie de funciones ∞ X n=1 fn converge uniformemente hacia una funci´on continua F:X→R, por la primera cota de (2.4), y adem´as F|C=f, por la segunda cota de (2.4). Finalmente, kFkX≤ ∞ X n=1 kfnkX≤ ∞ X n=1 2n−1 3n= 1 = kfkC. Esto prueba el resultado.  Sea K⊂RNcompacto. Sea M > 0 tal que K⊆[−M, M]N. El teorema de Tietze garantiza que la aplicaci´on C[−M, M]N−→ C(K) f7−→ f|K es sobreyectiva. Dado que en C[−M, M]Nel resultado es v´alido, tambi´en ser´a cierto en C(K), debido a la sobreyectividad de la aplicaci´on anterior, ya que cualquier funci´on f∈C(K) puede extenderse hasta C[−M, M]Nmanteniendo su norma. 2.3. C´alculo funcional para operadores normales. El objetivo de este apartado es proporcionar un c´alculo funcional para una cantidad finita de operadores normales que conmuten. M´as precisamente, dar sentido a expresiones del tipo f(T1, . . . , Tn), donde fes una funci´on definida en un subconjunto del plano complejo Cnque satisface determinadas condiciones. Consid´erese Hun espacio de Hilbert, y T1, . . . , Tnuna cantidad finita de operadores tales que: i. (Lineales y continuos) Ti∈ B(H); ii. (Normales) Ties normal; iii. (Conmutan) TiTj=TjTipara todos i, j = 1, . . . , n. Def´ınase Acomo cierre, en la topolog´ıa inducida por la norma, del ´algebra engendrada por la cantidad finita de operadores T1, T∗ 1, . . . , Tn, T∗ n, i.e., (2.5) A= alg{T1, T∗ 1, . . . , Tn, T∗ n}. Dicho de otro modo, Aest´a constituida por el cierre de todas las combinaciones necesarias para que Asea un ´algebra, de acuerdo con la Definici´on 1.1. Una definici´on equivalente es A={p(T1, T∗ 1, . . . , Tn, T∗ n) : p∈C[x1, y1, . . . , xn, yn]}k·kB(H). La definici´on de Atiene sentido pues TiT∗ j=T∗ jTi, consecuencia del resultado que se presenta a continuaci´on, conocido como el teorema de Fuglede, cuya demostraci´on ser´a omitida. 2. C ´ ALCULO FUNCIONAL PARA OPERADORES NORMALES 31 Lema 2.7 (Teorema de Fuglede).Sea Hun espacio de Hilbert. Sean T, N ∈ B(H)con N normal. Si TN =NT, entonces TN∗=N∗T. Observaci´on 2.8. En realidad el resultado anterior se verifica en condiciones m´as generales, tal extensi´on es conocido como el teorema de Calvin-Richard-Putnam (v´ease [Rud91]). ´ Este afirma, que si M, N, S ∈ B(H), y M, N son normales; entonces, MS =SN implica que M∗S=SN∗. Proposici´ on 2.9.Aes un ´algebra de Banach conmutativa con unidad. Prueba. Aes un ´algebra es por definici´on; adem´as, al ser cerrada, es tambi´en de Banach, por serlo B(H). Tambi´en tiene unidad I, pues corresponde al polinomio id´enticamente uno. Por tanto, s´olo es necesario ver que es conmutativa. Dado que todos los Ti’s conmutan entre s´ı, s´olo es necesario comprobar lo siguiente: Si dos operadores normales conmutan, entonces su producto es normal. Sean T, S ∈ B(H) normales tales que TS =ST. El teorema de Fuglede (Lema 2.7) afirma que ST∗=T∗S. Entonces, TS(TS)∗=TSS∗T∗= (TS∗)(ST∗) = (S∗T)(ST∗) = S∗(TT∗)S=S∗T∗TS = (TS)∗TS. Esto prueba que en efecto Aes un ´algebra de Banach conmutativa con unidad.  Def´ınase la aplicaci´on lineal (2.6) Φ: ∆(A)−→ Cn Λ7−→ Φ(Λ) = (Λ(T1),...,Λ(Tn)) . Se equipa a ∆(A) con la topolog´ıa ∗−d´ebil de A∗; de este modo, gracias a la Proposici´on 1.10, ∆(A) es un espacio compacto. La topolog´ıa considerada en Cnes la usual. El objetivo es comprobar que esta aplicaci´on es un homeomorfismo sobre su imagen. Primeramente, es necesario ver que Φ est´a bien definida. En efecto, si Λ ∈∆(A), es claro que (Λ(T1),...,Λ(Tn)) ∈Cn, pues Λ ∈A∗y cada Ti∈A. De hecho, se verifica el siguiente resultado: Teorema 2.10.La aplicaci´on Φdefinida en (2.6) es continua y inyectiva. M´as precisamente, esta aplicaci´on establece un homeomorfismo entre ∆(A)y su imagen Φ(∆(A)). Prueba. Para cada T∈A, se tiene que la aplicaci´on Λ7−→ Λ(T) es continua en ∆(A), por definici´on de la topolog´ıa ∗−d´ebil. Es inmediato entonces que Φ sea continua. Pru´ebese ahora que Φ es inyectiva. Para cada T∈A, es v´alida la igualdad T=T+T∗ 2+iT−T∗ 2i. 38 3. TEOR´ IA DE DILATACI ´ ON necesaria y suficiente para que Ssea una dilataci´on de Tes que la matriz de Stenga la forma  T B12 B21 B22  . Teorema 3.1.Si kTk ≤ 1, entonces Ttiene una dilataci´on unitaria. Observaci´on 3.2. i. N´otese que la asunci´on sobre Tes claramente necesaria. Si Ttiene una dilataci´on Sque es unitaria, entonces kTfk≤kPSfk≤kSfk≤kfk, para cada f∈H. ii. Usualmente, un operador Tlineal y acotado con kTk ≤ 1 se denomina contracci´on. El siguiente ejemplo ilustra el Teorema 3.1 en un caso muy particular. Se decide incluir anterior a la prueba ya que ´esta ser´a una imitaci´on directa de la t´ecnica expuesta a continuaci´on. Ejemplo 3.3.Consid´erese H=R, y K=R2. En este caso, la contracci´on Tse reduce a multiplicar por un escalar α∈Rcon |α| ≤ 1, esto es, T=Mx7→αx. La siguiente imagen trata descrifrar la situaci´on. b α (α, √1−α2) √1−α2 Figura 1. Idea de c´omo construir la matriz de rotaci´on En t´erminos geom´etricos, la afirmaci´on es que la multiplicaci´on Mx7→αx en la recta puede ser lograda mediante una rotaci´on en el plano, y posteriormente una proyecci´on para volver a la recta real. La matriz de esta rotaci´on es A= α√1−α2 √1−α2−α  Uno puede comprobar que AA∗=A∗A=I, y, de hecho, que A2=IyA∗=A. Prueba. La prueba consiste en extender la idea expuesta en el ejemplo anterior, pero se necesitan algunas comprobaciones. Entre ellas, se necesita ver qu´e papel se desempe˜na en lugar de α2, ya que podr´ıa ser validado por T2,TT∗, o T∗T. El resultado se describe tal y como sigue. Dado H, escr´ıbase K=H⊕H, e identif´ıquese Hcon el primer sumando. As´ı, cada operador en Kes una matriz de dos filas de operadores en H. En particular, la proyecci´on Psobre Hse describe tal que P= I0 0 0  . 1. DILATACIONES UNITARIAS 39 Dado T, el operador I−TT∗es herm´ıtico. En efecto, (3.2) (I−TT∗)∗=I∗−(TT∗)∗=I−TT∗. Adem´as, es no negativo ya que (3.3) h(I−TT∗)f, fi=hf, fi−hTT∗f, fi=kfk2−kT∗fk2≥ kfk2−kfk2≥0, para cada f∈H, donde se ha usado que kT∗k=kTk. Ahora, debido a lo expuesto en la Subsecci´on 2.1 del Cap´ıtulo 2, tiene sentido definir el operador S=√I−TT∗. Del mismo modo, debido a que I−T∗Tes herm´ıtico, tiene sentido definir R=√I−T∗T. La dilataci´on Upuede ser definida por U= T S R−T∗ . El hecho de que Udilate a Tes claro. Dado que RySson herm´ıticos, U∗= T∗R S−T , un c´alculo directo permite escribir U∗U= T∗T+R2T∗S−RT∗ ST −TR S2+TT∗ = I ST −TR ST −TR I  , y UU∗= TT∗+S2TR −ST RT∗−T∗S R2+T∗T = I TR −ST RT∗−T∗S I  . S´olo resta probar, en el primer caso, que TR =ST. Primeramente, n´otese que TR2=S2T, pues se deduce inmediatamente de la definici´on de SyR. Un argumento de inducci´on permite probar f´acilmente que TR2n=S2nT, para cada n∈N. En efecto, para n= 1 es cierto, se supone cierto para ny para n+ 1 se verifica que TR2(n+1) =TR2nR2=S2nTR2=S2nS2T=S2(n+1)T. Ahora, la linealidad permite asegurar que Tp(R2) = p(S2)T, para todo p∈C[z]. Esto implica que TR =ST. Raz´onese con p(R2). El miembro derecho es an´alogo. 40 3. TEOR´ IA DE DILATACI ´ ON Dado que R2es herm´ıtico, ya se ha probado que R2=UMϕU∗, luego p(R2) = n X k=0 akR2n= n X k=0 akUMϕkU∗= n X k=0 UMakϕkU∗=UMp(ϕ)U∗. As´ı, existe una sucesi´on {pn}n∈Nde polinomios reales tal que pn(x)→√xuniformemente, y en consecuencia pn(R2)→R. N´otese que esta sucesi´on es la misma que verifica que pn(S2)→S. Segundamente, RT∗=T∗S. En efecto, se tiene, (3.4) R2T∗= (I−T∗T)T∗=T∗−T∗TT∗=T∗(T−T∗) = T∗S2. Repitiendo el argumento anterior, para n= 1 es cierto que R2nT∗=T∗S2n, debido a la igualdad (3.4). Si se supone cierto para n, para n+ 1 se satisface R2(n+1)T∗=R2nR2T∗=R2nT∗S2=T∗S2nS2=T∗S2(n+1). Finalmente, gracias a la linealidad se verifica p(R2)T∗=T∗p(S2), para cualquier p∈C[z]. El mismo argumento que en el primer caso permite asegurar que RT∗=T∗S, y esto concluye la demostraci´on.  Corolario 3.4.Todo operador posee una dilataci´on normal. Prueba. Sup´ongase T∈ B(H). La tarea consiste en crear la dilataci´on S∈ B(K), i.e., definir Sde manera que Tf =PSf, para todo f∈K. Para ello, la clave est´a en componer Tcon λI, donde Ies la identidad en B(H), y λ∈Ces tal que |λ| ≤ 1/kTk. As´ı, se consigue kλTk=kTλIk≤kTk·kλIk=kTk·|λ| ≤ 1. Entonces, dado que λT ∈ B(H) es una contracci´on, el resultado anterior garantiza la existencia de un operador unitario Stal que PλT =λPT =S. Por tanto, el operador e S=λ−1S∈ B(K) dilata a T, y adem´as 2. DILATACIONES POR POTENCIAS 41 e Se S∗= (λ−1S)(λ−1S)∗=|λ|−2SS∗=|λ|−2S∗S= (λ−1S)∗(λ−1S) = e S∗e S. Esto concluye la prueba.  ∗∗∗ 2. Dilataciones por potencias El objetivo de esta secci´on es mostrar el resultado de Sz. Nagy, que ser´a la pieza fundamental de la demostraci´on de la desigualdad de von Neumann. Un concepto esencial es una definici´on m´as fuerte de dilataci´on, el concepto de dilataci´on por potencias. Definici´ on 3.5.Sea Hes un subespacio de Hilbert de un espacio de Hilbert K, y sea P la proyecci´on ortogonal de Ksobre H. Sea dice que Tposee una dilataci´on por potencias si existe un operador S∈ B(K) tal que Tnf=PSnf, para cada f∈H, y para todo nnatural. En tal caso se dice que Ses una dilataci´on por potencias de T. La contracci´on m´as sencilla es 0, y como el Teorema 3.1 exhibe, una de ellas es  0 1 1 0  . Pero esta construcci´on no posee ninguna propiedad algebraica interesante. Por ejemplo, no es cierto que el cuadrado de una dilataci´on sea la dilataci´on del cuadrado; de hecho, un contraejemplo es  0 1 1 0   2 = 1 0 0 1  , mientras que el cuadrado del operador nulo es el operador nulo. Pero, ¿hay alguna dilataci´on unitaria de 0 que se “preserve” con los cuadrados? La respuesta es que s´ı:      0 0 1 1 0 1 0 1 0      es un ejemplo. El cuadrado de esta dilataci´on es      0 1 0 0 0 1 1 0 0     , 42 3. TEOR´ IA DE DILATACI ´ ON que es una dilataci´on del cuadrado de 0. Desafortunadamente, sin embargo, su cubo es      1 0 0 0 1 0 0 0 1     , la cual es no una dilataci´on del cubo de 0. Esto puede ser remediado con         0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0         , pero la cuarta potencia vuelve a causar problemas. No hay fin en este proceso inductivo. En t´erminos matriciales, una propiedad que debe poseer una dilataci´on por potencias unitaria del operador nulo es que sea una matriz unitaria con la propiedad de que una de sus entradas diagonales sea 0 y que, adem´as, la correspondiente entrada en todas sus potencias sea tambi´en 0. El siguiente resultado proporciona la construcci´on adecuada. Teorema 3.6 (Sz. Nagy, [SN53]).Toda contracci´on posee una dilataci´on por potencias unitaria. Prueba. La prueba es constructiva. Dado Hun espacio de Hilbert, def´ınase K=M n∈Z H. Entonces, cada operador definido en Kes una matriz infinita de operadores, en particular, la proyecci´on de Ksobre Hes P=             ... ... 0 0 0 0 (I) 0 0 0 0 ... ...             . Aqu´ı (I) indica que en la posici´on (0,0) de la matriz es el operador identidad. 2. DILATACIONES POR POTENCIAS 43 Dado T, def´ınase S=                         ... ... 0 0 0 0 0 0 0 I0 0 0 0 0 0 0I0 0 0 0 0 0 0 √I−TT∗(T) 0 0 0 0 0 −T∗√I−T∗T0 0 0 0 0 0 0 I0 0 0 0 0 0 0 I0 ... ...                         Dado que Ses triangular superior, sus potencias tambi´en poseer´an esta propiedad, y los elementos diagonales de las potencias corresponden a las potencias de los elementos diagonales de S. Nuevamente, un simple c´alculo permite demostrar estas afirmaciones. Se tiene que S∗=                         ... ... 0I0 0 0 0 0 0 0 I0 0 0 0 0 0 0 √I−TT∗−T0 0 0 0 0 (T∗)√I−T∗T0 0 0 0 0 0 0 I0 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 ... ...                         . La ´unica comprobaci´on es que el operador √I−TT∗ es autoadjunto. Esto es debido a que I−TT∗es un operador herm´ıtico y no negativo, por (3.2) y (3.3), por tanto el teorema espectral asegura que es unitariamente equivalente a un operador de multiplicaci´on inducido por una funci´on compleja esencialmente acotada. De hecho, al ser herm´ıtico, dicha funci´on, p´ongase ϕ, debe ser real (v´ease la Proposici´on 1.20 del Cap´ıtulo 1). Por tanto, debido a la definici´on del operador √I−TT∗dada en la Subsecci´on 2.1, es un operador herm´ıtico. De manera an´aloga, este argumento funciona para √I−T∗T. Esto concluye que U∗U=U∗U=I. Esta demostraci´on no es la m´as reveladora del resultado, pero s´ı es la m´as corta; se debe a [Sch55]. Este resultado fue probado por primera vez por Nagy [SN53]. El tema ha recibido 44 3. TEOR´ IA DE DILATACI ´ ON bastante atenci´on desde entonces, unos buenos res´umenes de resultados en torno a la teor´ıa de dilataci´on y dem´as se encuentran en [SN60] y [Mla65]. Un aspecto interesante esta teor´ıa concierne a las dilataciones unitarias por potencias minimales. Definici´ on 3.7.Se dice que S(sobre K) es una dilataci´on por potencias minimal de T (sobre H) si es una dilataci´on por potencias de Ty adem´as no hay ning´un subespacio de K que reduzca a Sentre HyK, i.e., si Mreduce a S(tanto Mcomo M⊥son invariantes por S) yH⊂M, entonces M=K. Un hecho curioso es que conocer la dilataci´on unitaria por potencias minimal de un operador no es tan ´util como uno puede pensar. Schreiber [Sch56] prob´o que todas las contracciones estrictas (v´ease Problema 153 en [Hal82]) en los espacios de Hilbert separables tienen la misma dilataci´on por potencias unitaria minimal, denominada como el desplazamiento bilateral (bilateral shift en ingl´es). Posteriormente, Nagy [SN57] extendi´o el resultado hacia los espacios de Hilbert no separables. Observaci´on 3.8. Una propiedad interesante, en el sentido algebraico, que s´ı que poseen todas las dilataciones, es que si Ses una dilataci´on de T, entonces S∗es una dilataci´on de T∗. Una manera r´apida de probar este hecho es notar que si hTf, fi=hSf, fi para cada fen el dominio de T, entonces, hT∗f, fi=hf, Tfi=hTf, fi=hSf, fi=hf, Si=hS∗f, fi para cada fen el dominio de T. Por tanto, una consecuencia de esto es que si Ses una dilataci´on por potencias de T, entonces S∗es una dilataci´on por potencias de T∗. ∗∗∗ 3. El teorema erg´odico Sea zun n´umero complejo con |z|= 1. La sucesi´on de medias 1 n+ 1 n X k=0 zk es una sucesi´on convergente. Esto es un resultado conocido del an´alisis cl´asico, cuya generalizaci´on es extensamente aplicable. Con objeto de probar el resultado, consid´erense separadamente los casos z= 1 y z6= 1. Si z= 1, la media es igual a 1, y su l´ımite es, trivialmente, tambi´en 1. Fijado z6= 1, entonces  1 n+ 1 n X k=0 zk−0= 1−zn (n+ 1)(1 −z)≤2 (n+ 1)|1−z|−−−→ n→∞ 0, La generalizaci´on m´as esperable de este resultado es el cl´asico teorema erg´odico, pero antes es necesario recordar la definici´on de la noci´on de convergencia de la topolog´ıa fuerte de operadores. 3. EL TEOREMA ERG ´ ODICO 45 Definici´ on 3.9.Sea Hun espacio de Hilbert. Consid´erense {Sn}n∈NySoperadores lineales y continuos definidos en H. Se dice que {Sn}n∈Nconverge a Sen la topolog´ıa fuerte de operadores si kSnx−Sxk −→ 0 para cada x∈H. Teorema 3.10 (Teorema erg´odico).Si Tes un operador lineal y acotado en un espacio de Hilbert Htal que kTk ≤ 1, entonces la sucesi´on de medias aritm´eticas (3.5) (1 n+ 1 n X k=0 Tk)n∈N converge en la topolog´ıa fuerte de operadores. Prueba. Si Ues un operador unitario en H, entonces el teorema espectral permite justificar la afirmaci´on de que H=L2(µ) para alguna medida µ, en alg´un espacio de medidad adecuado, en el cual Ues la multiplicaci´on inducida por una funci´on medible ϕ∈L∞(µ) con |ϕ|= 1. Esto se debe a que si U=Mϕes unitario, entonces se satisface MϕMϕ=MϕMϕ=I si y s´olo si |ϕ|= 1. Si f∈H, entonces 1 n+ 1 n X k=0 Ukf= 1 n+ 1 n X k=0 ϕk!f. Dado que |ϕ|= 1, se sigue que (3.6)  1 n+ 1 n X k=0 ϕk≤1. Se trata de verificar las hip´otesis del teorema de convergencia dominada de Lebesgue. La primera se deduce de que las medias 1 n+ 1 n X k=0 ϕk forman una sucesi´on convergente cuyo l´ımite es χ{ϕ=1}, gracias al argumento expuesto al comienzo de la secci´on, debido a la asunci´on de que |ϕ|= 1. Para la siguiente, basta notar que  1 n+ 1 n X k=0 ϕk!f≤ |f| y|f| ∈ L2(µ), gracias a (3.6). Si Tes una contracci´on en H, entonces sea Uuna dilataci´on unitaria por potencias de T en un espacio de Hilbert K, y sea Pla proyecci´on de Ksobre H; gracias al Teorema 3.6. Esto significa que si f∈Hyn≥0, Tnf=PUnf. Se sigue de ah´ı que 1 n+ 1 n X k=0 Tkf=P 1 n+ 1 n X k=0 Ukf!. 46 3. TEOR´ IA DE DILATACI ´ ON Anteriormente se ha probado que 1 n+ 1 n X k=0 Ukf tiene l´ımite cuando n→ ∞, para cada f∈H; y puesto que Pes continuo, se sigue que 1 n+ 1 n X k=0 Tkf tiene l´ımite a medida que n→ ∞, para cada f∈H. Observaci´on 3.11. El caso especial cuando Tes un operador unitario tambi´en se debe a von Neumann. En tal caso, el l´ımite de la sucesi´on (3.5) es la proyecci´on ortogonal sobre el subespacio {f∈H:Tf =f}. En efecto, si T:H→Hes unitario, es conocido que existe una isometr´ıa S:H→L2(X, Σ, µ) y una funci´on esencialmente acotada g:X→Ttal que T=S−1MgS. Sean ahora hn=1 + g+···+gn n+ 1 yP=MχA, donde A={g= 1} ⊆ X. Entonces, dada f∈L2(µ), kMhnf−Pfk2 L2=ZX|hn−χA|2·|f|2dµ −−−→ n→∞ 0, pues puede aplicarse el teorema de la convergencia dominada debido a que |hn−χA|2·|f|2∈L1(µ) y |hn−χA|2·|f|2≤4|f|2∈L1(µ). Esto prueba la afirmaci´on. En la siguiente secci´on se procede a probar la esperada desigualdad de von Neumann, otra consecuencia del resultado de Sz. Nagy. ∗∗∗ 4. La desigualdad de von Neumann Una consecuencia directa de la teor´ıa de Sz. Nagy es la desigualdad de von Neumann. Teorema 3.12 (Desigualdad de von Neumann, [vN51]).Si Tes una contracci´on, i.e. kTk ≤ 1, se verifica que (3.7) kp(T)k ≤ sup{|p(z)|:z∈C,|z| ≤ 1} para todo polinomio p∈C[z]. Prueba. Sup´ongase que Tes una contracci´on en un espacio de Hilbert H. El teorema de Sz. Nagy (Teorema 3.6) asegura la existencia de un espacio de Hilbert Ky un operador unitario Udefinido en Ktal que Tn=PUn 4. LA DESIGUALDAD DE VON NEUMANN 47 para n≥0, siendo Pla proyecci´on de Ksobre H. Por esta definici´on, y la linealidad de P, si p∈C[z] es tal que p(z) = n X k=0 akzk, entonces p(T) = Pp(U). Dado que Ues unitario (en particular es normal), el teorema espectral afirma que existe un espacio de medida (X, Σ, µ), una funci´on compleja ϕ∈L∞(µ) y un operador unitario V:K→L2(µ) tales que U=V∗MϕV. N´otese que el hecho de que UU∗=U∗U=Iimplica que |ϕ|= 1, pues debe darse que ϕ=ϕ−1. Esto ser´a de utilidad a la hora de obtener la estimaci´on final. Adem´as, como Un= (V∗MϕV)(V∗MϕV) nveces z}|{ ··· (V∗MϕV) = V∗MϕnV, se deduce de la linealidad que p(U) = p(V∗MϕV) = n X k=0 akV∗MϕV=V∗ n X k=0 akMϕk!V=V∗Mp(ϕ)V. Entonces, kp(U)k=kV∗Mp(ϕ)Vk≤kMp(ϕ)k=kp◦ϕk∞≤sup{|p(z)|:z∈C,|z| ≤ 1}. Por tanto, kp(T)k=kPp(U)k≤kp(U)k ≤ sup{|p(z)|:z∈C,|z| ≤ 1}, lo que prueba la desigualdad (3.7).  Observaci´on 3.13. Es interesante notar que la desigualdad de von Neumann puede demostrarse a partir de un resultado elemental en teor´ıa de operadores, como es la igualdad (2.3). No obstante, el camino v´ıa teor´ıa de dilataci´on no s´olo es elegante, sino que adem´as impone la idea para el desarrollo de su generalizaci´on. La demostraci´on alternativa es la siguiente: Se tiene que p(T) = Pp(U), y por ello kp(T)k≤kp(U)k. Adem´as, como p(U) es normal (al ser Uunitario), entonces, kp(T)k≤kp(U)k=ρ(p(U)) = sup{|p(λ)|:λ∈σ(U)} ≤ sup{|p(λ)|:λ∈C,|λ| ≤ 1}. Aqu´ı se ha usado, en orden: la igualdad (2.3) y el Corolario 1.15. 54 4. GENERALIZACIONES Y CONTRAEJEMPLOS DE LA DESIGUALDAD DE VON NEUMANN Teorema 4.6 (T. Ando).Sean T1yT2contracciones que conmutan en un espacio de Hilbert H. i.Entonces existen dos isometr´ıas V1yV2definidas en un espacio de Hilbert K, que contiene a H, tales que Tn1 1Tn2 2=PHVn1 1Vn2 2 para cualquier elecci´on de n1, n2∈N. Esto es, T={T1, T2}admite un sistema conmutativo de dilataciones isom´etricas V={V1, V2}. ii.T={T1, T2}admite un sistema conmutativo de dilataciones unitarias U={U1, U2}. Prueba. La construcci´on es una modificaci´on del argumento de Schaffer [Sch55] que se us´o en la demostraci´on del resultado de Sz. Nagy (Teorema 3.6). Sea K=`2(H) = ((x1, x2, . . . ) : xn∈H, ∞ X n=1 kxnk2<∞) con la inmersi´on natural H ,→Kdada por H3x7→ (x, 0,0, . . . )∈K. En lo que sigue se denotar´a por DT= (I−T∗T)1/2al operador defecto de T. Se definen W1, W2∈ B(K) mediante W1(x1, x2, . . . )=(T1x1, DT1x1,0, x2, x3, . . . ) y W2(x1, x2, . . . )=(T2x1, DT2x1,0, x2, x3, . . . ). De hecho, los operadores Wi(x1, x2, . . . ) son isom´etricos. Esto se debe a que kxk2=kTjxk2+kDTjxk2, para x∈H,j= 1,2. En efecto, kTjxk2+kDTjxk2=hTjx, Tjxi+h(I−T∗ jTj)x, xi=hT∗ jTjx, xi+hx, xi−hT∗ jTjx, xi=kxk2. N´otese que esto ha sido posible gracias a que los operadores DTjson herm´ıticos. Esto prueba que Wison isom´etricos, pero en general estos no conmutan. Para ello ser´a necesario un refinamiento en su definici´on, i.e., componer con alg´un operador para obtener la conmutatividad. Consid´erese el espacio de Hilbert L=H4y la identificaci´on natural K=H⊕L⊕L⊕··· dada por (x1, x2, x3, x4, . . . )=(x1,(x2, x3, x4, x5),(x6, x7, x8, x9), . . . ) Sup´ongase que Ges un operador unitario definido en L, a´un por determinar. Def´ınase Uen K mediante U(x1, x2, x3, x4, . . . )=(x1, G(x2, x3, x4, x5), G(x6, x7, x8, x9), . . . ), y n´otese que U∈ B(K) es unitario. En efecto, 1. LA GENERALIZACI ´ ON DE T. ANDO 55 U∈ B(K), pues kUxk2=kx1k2+kG(x2, x3, x4, x5)k2+··· ≤ kx1k2+Mk(x2, x3, x4, x5)k2+··· =kx1k2+Mkx2k2+Mkx3k2+Mkx4k2+Mkx5k2+··· ≤ ˜ Mkxk2. Ues unitario con U−1x= (x1, G−1(x2, x3, x4, x5), G−1(x6, x7, x8, x9), . . . ). Esto se tiene, pues si x= (x1, x2, x3, x4, . . . )∈K, entonces U−1U=UU−1=I si y s´olo si U−1x= (x1, G−1(x2, x3, x4, x5), G−1(x6, x7, x8, x9), . . . ). Entonces, los operadores V1=UW1yV2=W2U−1son isometr´ıas en K. Esto se debe a que si x∈K, kV1xk=kUW1xk=kW1xk=kxk y kV2xk=kW2U−1xk=kU−1xk=kxk. Se desea hallar el operador Gde manera que V1yV2conmuten. En tal caso, ya se tendr´ıa el sistema (formado por dos operadores) conmutativo de dilataciones isom´etricas, y as´ı quedar´ıa probada la primera parte. Pero no es tan f´acil; para ello, el primer paso es calcular V1V2yV2V1 y comparar los resultados. V1V2(x1, x2, x3, . . . ) = UW1W2U−1(x1, x2, x3, . . . ) =UW1W2(x1, G−1(x2, x3, x4, x5), G−1(x6, x7, x8, x9), . . . ) =UW1(T2x1, DT2x1,0, G−1(x2, x3, x4, x5), G−1(x6, x7, x8, x9), . . . ) =U(T1T2x1, DT1T2x1,0, DT2x1,0, G−1(x2, x3, x4, x5), G−1(x6, x7, x8, x9), . . . ) = (T1T2x1, G(DT1T2x1,0, DT2x1,0), x2, x3, x4, x5, . . . ). El c´alculo restante es menos tedioso, V2V1(x1, x2, x3, x4, . . . ) = W2U−1UW1(x1, x2, x3, x4, . . . ) =W2W1(x1, x2, x3, x4, . . . ) =W2(T1x1, DT1x1,0, x2, x3, x4, . . . ) = (T2T1x1, DT2T1x1,0, DT1x1,0, x2, x3, x4, . . . ). Dado que T1yT2conmutan por hip´otesis, V1yV2conmutar´an si y s´olo si el operador Gsatisface (4.5) G(DT1T2x, 0, DT2x, 0) = (DT2T1x, 0, DT1x, 0), para todo x∈H. El objetivo es construir tal operador. Sea X⊆LyY⊆Llos subespacios vectoriales X={(DT1T2x, 0, DT2x, 0) : x∈H} ⊆ L y Y={(DT2T1x, 0, DT1x, 0) : x∈H} ⊆ L. 56 4. GENERALIZACIONES Y CONTRAEJEMPLOS DE LA DESIGUALDAD DE VON NEUMANN Def´ınase G0la aplicaci´on definida de Xen Yde acuerdo con (4.5), esto es, G0(DT1T2x, 0, DT2x, 0) = (DT2T1x, 0, DT1x, 0), para cada x∈H. Ahora bien, usando las propiedades de conmutatividad de T1con T2, es f´acil ver G0es una isometr´ıa. En efecto, si x∈H, k(DT1T2x, 0, DT2x, 0)k2 L=kDT1T2xk2+kDT2xk2 =kT2xk2−kT1T2xk2+kxk2−kT2xk2 =kxk2−kT1T2xk2, y k(DT2T1x, 0, DT1x, 0)k2 L=kDT2T1xk2+kDT1xk2 =kT1xk2−kT2T1xk2+kxk2−kT1xk2 =kxk2−kT2T1xk2. Luego, G0es un operador lineal, isom´etrico y sobreyectivo definido de Xen Y. Extendendiendo G0por continuidad hasta el cierre, se obtiene un operador unitario G1:X→Y. Resta probar que G1puede extenderse a un operador unitario G:L→L. Para ello, es suficiente ver que los complementos ortogonales X⊥eY⊥tienen la misma dimensi´on1. Pues en tal caso, X⊥eY⊥ son isom´etricamente isomorfos (esto s´olo ocurre entre espacios de Hilbert). En tal caso, bastar´ıa definir la extensi´on de este operador G:L→Lmediante G=G1⊕J, donde Jes la isometr´ıa entre X⊥eY⊥que establece el isomorfismo. Se distinguen dos casos: i. Si dim H < ∞, se tiene que dim L < ∞, y por tanto se tiene dim X⊥= dim L−dim X= dim L−dim Y= dim Y⊥. ii. Si dim H=∞, entonces dim H= dim G. Adem´as, si se considera el subespacio J= 0 ⊕H⊕0⊕0⊆X⊥, que tiene la misma dimensi´on que H, se tiene que dim H= dim L≥dim X⊥≥dim J= dim H. Similarmente, dim H= dim L≥dim Y⊥≥dim J= dim H. Por tanto, dim X⊥= dim Y⊥. Se tiene entonces el operador unitario G∈ B(L) que satisface la condici´on (4.5), y en consecuencia V1yV2conmutan. Finalmente, para cualquier elecci´on n1, n2∈N, las deficiones de V1yV2proporcionan Tn1 1Tn2 2x1=PHVn1 1Vn2 2(x1, x2, x3, x4, . . . ), para cualquier x= (x1, x2, x3, x4, . . . )∈H⊕L⊕L⊕··· =K. La segunda parte del teorema es f´acil, pues basta aplicar el Corolario (4.4) para pasar de tener un sistema conmutativo de dilataciones isom´etricas {V1, V2}a un sistema conmutativo de dilataciones unitarias.  1Hay varias definiciones de dimensi´on de un espacio. En el contexto de espacios de Hilbert, se refiere al cardinal de cualquiera de sus bases ortonormales. 2. EL CONTRAEJEMPLO DE M. J. CRABB Y A. M. DAVIE 57 Teorema 4.7 (Desigualdad de von Neumann bidimensional).Sea T1yT2dos contracciones que conmutan en un espacio de Hilbert H. Si p∈C[z1, z2], entonces (4.6) kp(T1, T2)k ≤ sup{|p(z1, z2)|:zi∈C,|zi| ≤ 1, i = 1,2}. Prueba. Se deduce del resultado de T. Ando (Teorema 4.6) y de la desigualdad (4.4).  Las secciones restantes est´an dedicadas a los casos desfavorables de la desigualdad de von Neumann. ∗∗∗ 2. El contraejemplo de M. J. Crabb y A. M. Davie Se procede a desarrollar aqu´ı la idea que desarrollaron Crabb y Davie [CD75]. Esto es, probar que para K= 1 la desigualdad (4.2) es cierta para n= 3. Sea Hun espacio de Hilbert 8−dimensional con base ortonormal {e1, e2, . . . , e8}. Se definen los operadores T1, T2yT3como sigue: (4.7) T1e1=e2, T2e1=e3, T3e1=e4, T1e2=−e5, T2e2=e7, T3e2=e6, T1e3=e7, T2e3=−e6, T3e3=e5, T1e4=e6, T2e4=e5, T3e4=−e7, T1e5=e8, T2e6=e8, T3e7=e8, T1ei= 0, i = 6,7,8; T2ei= 0, i = 5,7,8; T3ei= 0, i = 5,6,8. ´ Estos disponen de una descripci´on en t´erminos matriciales T1=                     0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0−1000000 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0                     , 58 4. GENERALIZACIONES Y CONTRAEJEMPLOS DE LA DESIGUALDAD DE VON NEUMANN T2=                     0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0                     y T3=                     0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −10000 0 0 0 0 0 0 1 0                     . Una mera comprobaci´on rutinaria exhibe que T1, T2yT3conmutan. El siguiente paso es comprobar que son contracciones. Lema 4.8.Los operadores T1, T2yT3definidos anteriormente son contracciones. Prueba. En primer, conc´entrese en el operador T1; el resto se deduce de manera an´aloga. Un leve c´alculo matricial permite afirmar que T∗ 1T1es la proyecci´on del espacio Hsobre span{e1, e2, e3, e4, e5}. As´ı, si f= 8 X i=1 αieientonces kT1fk2=hT1f, T1fi=hf, T∗ 1T1fi= 5 X i=1 |αi|2≤ 8 X i=1 |αi|2=kfk2. Por tanto, kT1k ≤ 1.  El siguiente lema declara cu´al es el polinomio p∈C[z1, z2, z3] que va a elegirse para el contraejemplo de Crabb y Davie. Lema 4.9.Sea p∈C[z1, z2, z3]definido por p(z1, z2, z3) = z1z2z3−z3 1−z3 2−z3 3. Se verifica que (4.8) sup{|p(z1, z2, z3)|:|zi| ≤ 1, i = 1,2,3}<4. 2. EL CONTRAEJEMPLO DE M. J. CRABB Y A. M. DAVIE 59 Prueba. Primeramente, n´otese que, en virtud del principio del m´odulo m´aximo, es suficiente probar que sup{|p(z1, z2, z3)|:|zi|= 1, i = 1,2,3}<4. Se procede a actuar por reducci´on al absurdo. Sup´ongase que kpk∞= 4. El polinomio pes homog´eneo de grado 3, esto es, p(λz1, λz2, λz3) = λ3p(z1, z2, z3), para todo λ∈C. Esto implica que debe existir (z1, z2, z3)∈T3tal que p(z1, z2, z3) = 4. En efecto, si kpk∞= 4, entonces p(z1, z2, z3) = 4w, con |w|= 1. La homogeneidad de pimplica que pz1 w1/3,z2 w1/3,z3 w1/3= 4. Escr´ıbase zj=eiθj, donde θj∈(−π, π]; para j= 1,2,3. Entonces, (4.9) p(eiθ1, eiθ2, eiθ3)=ei(θ1+θ2+θ3)−ei3θ1−ei3θ2−ei3θ3. Ahora bien, por (4.9), tal valor debe alcanzarse en z1z2z3= 1,y−z3 j= 1, j = 1,2,3. Dicho de otro modo, debe ocurrir que θj∈n−π 3, π, π 3o, j = 1,2,3; y en consecuencia θ1+θ2+θ3es un m´ultiplo impar de π/3. Esto es imposible, pues en tal caso ei(θ1+θ2+θ3)6= 1. Esto prueba (4.8).  Teorema 4.10 (Crabb y Davie).La desigualdad de von Neumann no es cierta para tres contracciones que conmutan, i.e., existen tres contracciones T1, T2yT3que conmutan y un polinomio p∈C[z1, z2, z3]tales que kp(T1, T2, T3)k>sup{|p(z1, z2, z3)|:|zi| ≤ 1, i = 1,2,3}. Prueba. El´ıjanse las contracciones T1, T2yT3como se han definido previamente, debido al Lema 1.1. Por el Lema 1.2, el polinomio p(z1, z2, z3) = z1z2z3−z3 1−z3 2−z3 3 satisface que sup{|p(z1, z2, z3)|:|zi| ≤ 1, i = 1,2,3}<4. Por otro lado, gracias a (4.7), uno puede comprobar que p(T1, T2, T3)e1=T1T2T3e1−T3 1e1−T3e1−T3e1=e8−(−e8)−(−e8)−(−e8)=4e8. Por tanto, kp(T1, T2, T3)k= sup kfk≤1kp(T1, T2, T3)fk≥kp(T1, T2, T3)e1k= 4. Esto proporciona el contrajemplo deseado.  ∗∗∗ 60 4. GENERALIZACIONES Y CONTRAEJEMPLOS DE LA DESIGUALDAD DE VON NEUMANN 3. El contraejemplo de J. A. Holbrook Los contraejemplos de Kaijser-Varopoulos [Var74] hacen uso del polinomio cuadr´atico (4.10) p(z1, z2, z3) = z2 1+z2 2+z2 3−2(z1z2+z2z3+z3z1). En este caso, el espacio de Hilbert es donde est´an definidos los operadores es de dimensi´on 4, lo que simplifica el contraejemplo de J. Crabb y A. M. Davie (v´ease Secci´on 2). Holbrook en [Hol01] mejora a´un m´as el contraejemplo de Kaijser-Varopoulos, en el sentido de que la norma del operador es un 20 % mayor que la del polinomio, mientras que en [Var74] no llega al 4 %. Adem´as, el tratamiento de ese punto en [Var74] es elusivo; como alternativa, en [Hol01] se presenta esta proposici´on. Proposici´ on 4.11.Si pes el polinomio de (4.10), entonces kpk∞= 5. Prueba. Por el principio del m´odulo m´aximo, se puede asumir que |zk|= 1. Definiendo sk=√zkcomo una ra´ız cuadrada, se tiene que p(z1, z2, z3) = z1z2 s1 s2 +s2 s1−z3 s1s22 −4!. As´ı, con esta modificaci´on, el c´alculo se reduce a kpk∞= m´ax z2−4:z=t−w, t ∈[−2,2],|w|= 1, donde t=s1 s2 +s2 s1 =s1s2+s2s1= 2 Re(s1s2)∈[−2,2]. La regi´on d´onde debe analizarse el valor de pla indica la siguiente figura. * * A B b * C 2 3 -2 0 i Figura 1. Regi´on baciloforme Nuevamente, por el principio del m´odulo m´aximo, s´olo es necesario estudiar la frontera de esta regi´on. Adem´as, por simetr´ıa, es suficiente estudiar la parte de la frontera que abarca desde el punto Ahasta el punto C, pasando por B. En el caso del segmento que va desde Ahasta B, los puntos son de la forma i+tcon t∈[−2,2]. Entonces, se tiene que |(i+t)2−4|2= (t2−5)2+ 4t2≤25, para todo t∈[−2,2]. Luego |(i+t)2−4| ≤ 5. De hecho, se alcanza la igualdad para t= 0. 3. EL CONTRAEJEMPLO DE J. A. HOLBROOK 61 En el caso de la semicircunferencia que va desde Bhasta C, los puntos son de la forma 2 + eit con t∈[−π/2, π/2]. Entonces, se tiene que |(2 + eit)2−4|=|4eit +e2it|=|4 + eit| ≤ 5. La igualdad en este caso se alcanza tambi´en en t= 0.  Se pasa ahora a definir los operadores. Consid´erese un espacio de Hilbert de dimensi´on 4 generado por H= span{e1, e2, e3, e4, e5}, donde keik= 1, e1ye5son ortonormales. Consid´erese Fde dimensi´on 2 dado por F= (span{e1, e5})⊥, ye2, e3, e4que verifican (4.11) ek·ej=−1 2, k 6=j. Esta condici´on, de alg´un modo, quiere decir que los tres elementos forman un tri´angulo equil´atero. N´otese que esta elecci´on es posible. En efecto, si {f1, f2}es una base ortonormal de F, una elecci´on posible de los ek’s es ek= cos θkf1+ sen θkf2, para k∈ {2,3,4}, donde θ2= 0, θ3=2π 3,yθ4=4π 3. Para cualquier elemento ven el espacio H(4−dimensional) se define Tkv=hv, e1iek+1 +hv, ek+1ie5, para k= 1,2,3. ´ Estos admiten una descripci´on de la siguiente forma: (4.12) T1e1=e2, T2e1=e3, T3e1=e4, T1e2=e5, T2e2=−e5 2, T3e2=−e5 2, T1e3=−e5 2, T2e3=e5, T3e3=−e5 2, T1e4=−e5 2, T2e4=−e5 2, T3e4=e5, T1e5= 0, T2e5= 0, T3e5= 0. Una mera comprobaci´on exhibe que estos operadores conmutan. En efecto, si v∈H, se tiene TkTjv=Tk(hv, e1iej+1 +hv, ej+1ie5) = −hv, e1i 2e5, para j, k = 1,2,3. Adem´as, kp(T1, T2, T3)k≥kp(T1, T2, T3)e1k =kT2 1e1+T2 2e1+T2 3e1−2T1T2e1−2T2T3e1−2T1T3e1k =k6e5k= 6. 62 4. GENERALIZACIONES Y CONTRAEJEMPLOS DE LA DESIGUALDAD DE VON NEUMANN Para probar que son contracciones, n´otese que kTkvk=kPkvk, donde Pkes la proyecci´on ortogonal sobre el espacio span{e1, ek+1}. Por tanto, cada Tkes una contracci´on. Finalmente, se ha probado el siguiente resultado: Teorema 4.12.Existen tres contracciones que conmutan T1, T2yT3en un espacio de Hilbert de dimensi´on 4tales que kp(T1, T2, T3)k ≥ 6 5kpk∞. En [Hol01] tambi´en se analizan una clase de matrices que engloban a los ejemplos de Kaijser-Varopoulos, y se realiza un an´alisis en t´erminos de normas de Schur y factorizaciones de Haagerup. ∗∗∗ 4. Contraejemplos minimales A lo largo de este trabajo la palabra minimal no ha sido utilizada como calificativo de los contraejemplos desarrollados, y esto se debe a que el caso de matrices 3 ×3 no est´a a´un resuelto. La evidencia sugiere que la desigualdad (4.1) es cierta cuando las contracciones que conmutan son 3×3. Hoolbrook y otros lo tiene claro, han comprobado una gran variedad de casos especiales. Adem´as, gracias a experimentos computacionales, no se han hallado contraejemplos para el caso 3×3. Adem´as, en [Hol92] plantea una cuesti´on acerca de matrices 2×2 la cual, si se hallara la respuesta, conllevar´ıa a contraejemplos 4 ×4 de (4.1) o verificar´ıa (4.1) en el caso 3×3. Choi y Zhong han encontrado una clase de contraejemplos que generan una gran distinci´on entre los casos 2×2y3×3. Ellos prueban que cualquier familia finita de contracciones 2×2 que conmuten puede ser expresada en t´erminos de funciones contractivas (anal´ıticas) de una sola contracci´on, se dice entonces que la familia es dilatable; por tanto ser´ıa una manera de validar (4.1). En contraste, los mismos autores han encontrado ejemplos de cuatro contracciones 3 ×3 que conmutan que no son dilatables. Si una familia finita de contracciones puede ser representada mediante funciones contractivas de dos contracciones fijas que conmutan, entonces el teorema de dilataci´on de Ando (Teorema 4.6) permitir´ıa probar (4.1). Estos ejemplos muestran que esa representaci´on no es siempre posible en el caso 3 ×3, pese a que (4.1) sea cierta, y cualquier subconjunto de tres contracciones sea dilatable. ∗∗∗ Agradecimientos En estas pocas l´ıneas quiero expresar mi gratitud a los directores de este trabajo, Luis y Miguel. Gracias a su dedicaci´on y profesionalidad, este trabajo ha sido dirigido de manera ejemplar. Les doy las gracias tambi´en por su apoyo y compa˜n´ıa. Adem´as de ser magn´ıficos profesionales son excelentes personas. 63