ESTAD^STICA ESPAÑOLA
Núms. 112-113, 1986, p^gs. 21 a 29
Opo unidad de la polí ica de ec
^
i^icación en
p oducción con inua
po MIGUEL GUTIERREZ,
SEBASTIAN LOZANO,
LUIS ONIEVA
Escueia Supe io de Ingenie os Indus iales
Uni e sidad de Se ilia
RESU M EN
E1 p esen e abajo analiza las polí icas posibles pa a a a
los de ec os no c í icos p esen es en lo es de p oducción con inua
como modelo lineal de cos es en unción de la asa de ec i ica-
ción de e o es. Se adjun a el esul ado de una aplicación en el
supues o de que la calidad del lo e se dis ibuya según la ley
gamma-Poisson.
Pnlab ns cla •e:
Con ol es adis ico de calidad, Ingenie ía de p oducción.
1.
INTRODUCCION
La es imación de la calidad de un p oduc o cuando un ab ican e en e-
ga un conjun o de lo es a un consumido es uno de los p oblemas de deci-
sión que con más ecuencia se p esen an en la indus ia.
Cuando el p oduc o inal de un p oceso indus ial iene luga en o ma
con inua (como ocu e, po ejemplo en la ab icación de ex iles, alamb es o
linoleum) es di ícil de ini la «unidad de p oducción». En ales casos pa ece
más na u al con a el núme o de de ec os po «unidad de p oducción can i-
nua» (longi ud, á ea, olumen, peso, iempo, e c...). La calidad del lo e en
22
ESTADÍSTICA ESPAIVOI.^
^
es os casos se suele medi median e el núme o de de ec os po unidad. Lo
mismo puede deci se de los equipos indus iales complejos, compues os po
un g an núme o de componen es, ales como apa a os de adio y ele isión,
e ige ado es, e c...
El
modelo de Paisson se u iliza ecuen emen e cuando se conside a el
nú ne o de de ec os po unidad de ab icación.
Nues o in e és se cen a en el p oblema de con ola el
nú ie o
de de ee-
as
po «unidad de ab icación». Supongamos que enemos un lo e cons i ui-
do po N
unidades y que la unidad i iene x^ de ec as, x; = 0, l, ...,; i= 1, 2,
...,
N. A1 oma una mues a alea © ia de n unidades podemos p egun a nos
cuál es la p obabilidad de que el núme o o al de de ec os p esen es en la
mues a no exceda a una can idad p ede e minada e. Res ingi emos nues a
a ención al caso en que una se ie de lo es p oceden es de un p oceso indus-
ial en el que el núme o de de ec os po cada unidad de ab icación es una
a iable alea o ia que se dis ibuye según una ley Poisson con pa á ne o ^
(es deci , la xnedia del núme o de de ec os po unidad es ^,} y en el que el
núme o de de ee os de una unidad de e minada es independien e del núme o
de de ec os de cualquie o a unidad dis in a a la canside ada.
2.
ANTECEDENTES
E1 p oblema p elimina de la de e minación del amaño mues al y del
núme o de acep ación en 1©s planes de mues ea bayesianos ha sido abo da-
do básicamen e desde es ap oximaciones di e en es. En p ime luga cabe
ci a [8] la cons ucción de á boles de decisión bayesianos can lo que se
p e ende de e mina una solución óp ima exac a median e la enume ación
exhaus i a de odas las soluciones posibles, la cual iene e iden emen e el
incon enien e de la labo iosidad del cálculo necesa io ya que se equie e
e alua odas las amas del á bol decisional. En segundo luga , se han U lll-
zado
[ 1], [2], [3],
[8],
[ 12] y[
lo]
mé odos anali icos cuando la dis ibu-
ción de la acción de ec uosa del lo e es sucep ible de se ap oximada bien
median e una unción de p obabilidad o bien median e una unción de den-
sidad al com© la be a. Aunque es e p ocedimien o educe la labo de cálcu-
lo, al como ha demos ado Smi h [ 11 ] es e p ocedimien o puede conduci a
soluciones no-óp imas como consecuencia de las ap oximaciones empieadas.
La e ce a de las ap oxímacianes mencianadas u iliza écnicas de localiza-
ción di ec a ambién con la inalidad de educi el cálculo necesa io aunque
no necesa iamen e se log a así [9] la con e gencia a una solución
á
^
p ima.
En is a de la no ap imalidad de las dos úl imas ap oximaciones menciona-
das, algunas au o es [S] han p opues o una e sión modi icada de la p ime-
OPORTUNIDAD DE LA POLÍTICA DE RECTiFICACIÓN EN PRODUeCI ^N CONT NUA
^
23
a ap oximación consis en e en la eli ninación de al^unas amas
del á bol de
decisión bayesiano con an e io idad a la ealización
de los cálculos.
La solución asin ó ica del p oblema ha sido abo dada
en [7],
encon án-
d©se in e esan es ejemplos numé icos de una ap oximación secuencial en
[6].
La conside ación de la a e sión al iesgo po pa e del deciso ha sido
es udiada en [4].
La mayo ía de los abajos ci ados que se han
ocupado
de planes de
mues eo bayesianos lo han hecho en elación con p oduc os p opios de una
ab icación di e enciada, en la que el p incipal
obje i o
consis e en con ola
la acción de ec uosa. Po el con a io, nues o p incipal in e és se cen a en
la denominada
«p oducción
con inua».
3.
CURVA OC RESPECTO A LA CALIDAD DEL PROC'ESO
Rechazamos el lo e cuando se obse en demasiados de ec os en la mues-
a.
Más conc e amen e, si se obse a una mues a alea o ia simple de n uni-
dades de ab icación en onces dispond emos de los co espondien es núme-
n
os de de ec os
x 1, x2,
...,
x„
.
E1 núme o o al
y=^ x; . Pa ece
azonable
i= I
acep a el lo e si se e i ica
y< c, echazándolo
en caso con a io.
Pues o
que cada Xi
sigue una dis ibución de Poisson con nedia
^,,
debi-
do a la p opiedad ep oduc i a de dicha dis ibución, podemos deci que el
núme o de de ec os de una mues a de n de ales unidades es una a iable
alea o ia
y que dis ibuye
según una ley Poisson de media n^,. Po an o
e-^.^x
P [1^C = x;/,^] _
`
x^
e -n^ (n^).
P
[ Y= yl^] _ .
9 (.Yln) _
^
-
•
La p obabilidad de acep ación del lo e (condicionada po la calidad del
p oceso, ^,) es
c
c
P (^) = G (cln^) _ ^ 9 (Yln^) _ ^
y=o
y=o
^ - n: (Yl
/^,^y
ecuación que ep esen a la cu a OC espec o a la calidad del p oceso.
Si ^, ep esen a el núme o medio de de ec os po unidad, supond emos
que ^, a ía de lo e según la ley gamma
24
E.STAD
^
iS i7CA F...SPAÑ04A
e ^ T^ .^T^)s _ 1 ^ Z
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^^):-_
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{)
E(i^)=s/
Va (^,)-sJT2
Po an o,, la calidad de lo e (exp esada como el núme o de de ec os de
sus
1^l
unidades) se dis ibuye según la ley gamma-Poisson {binomial nega i-
a)
z^ (s+2) e^ 1-e =^ s- ^+z s^_^ ^
9( }
^
s
}
s_1
(
)
.
( )
E{,^)^s/i;
a.^
x
s
s+NE(.^) s+Ns/ z+N
y po an o, la unción de p obabilidad del núme o de de ec os p esen es en
mues as alea o ias de n unidades de ab icación es:
(S+y^ ,
y_^S-i+yl ^ T ls ^ n ly
9^Y)=
y
^^
s
^
S(1
-
S)
s
-
1
1
T+
n
J
i+n^
siendo S =
s
s
s+nE(•^)
s+ns/^
i+n
Po an o la p obabilidad media de acep ación del lo e es:
`
s-l+y
^e
^
n
y
G (c/na^)
n (^,)d^, _
^
_
+
y=o s
1
z+n
i
n
4.
ANALISIS DE LAS POLITICAS A SEGUIR
Nos plan eamos aho a la cues ión de qué hace con los lo es echazados,
es deci , con aquéllos en los que el núme o de de ec os encon ados de Ias n
unidades de p oduccibn de la nues a sea supe io al alo c. Y más conc e-
amen e, que emos e cómo in luye en la decisión de si ec i ica o no los
lo es echazados, la « asa de ec i icación de e o es» (TRE} en endiendo po
ec i icación del lo e la inspección al loo ^. Dicha asa se puede de ini co-
mo el núme o de de ec os p esen es en un lo e ec i icado (bien po que se
hayan pasado sin co egi o bien po que se hayan in oducido du an e la
ec i lcación) di idido po el núme o de de ec os en el lo e an es de la ec i i-
cación. La TRE es una medida de la e iclencia del p oceso de ec i icación.
Así, una TRE nula co esponde al caso ideal de ec i icación pe ec a mien-
OPORTUNIDAD DF I^.A POLÍTICA DE RECTIFICACIÓN E N PRODUCCI(5N CONTINl1A
2S
as que si la TRE es la unidad en ^nces no ien sc;n ido ec i ica los lo es
echazados po que con ello no disminui nos el núme os de de ec os.
Supues os conocidos los cas es de inspección p elimina de una unidad
(C^ ), el cos e de inspecciona una unidad du an e la ec i icación ( C'^ ^, así co-
mo el asociado a la p esencia de un de ec o en un la e acep ado ( C'^, ) pode-
mos es ablece los cos es de las posibles polí icas suponiendo un nodela li-
neal de cos es.
1. °)
Inspección sin ánimo de ec i ica
.
Cc^(^^)=nC,+^+^ • N • C^
2.°)
Inspección con in ención de ec i ica :
a)
Si el lo e es acep ado:
C',(^)=n•C;+^+^NCd
b)
Si el lo e es echazada
(
y ec i icado):
C2(^.)=n C^+N ' C" +N^. ' Cd
donde . =TRE.
Como suponemos conocida a p io i la dis ibución del núme o medio de
de ec os en cada unidad de ab icación y he nos calculado an es la p obabili-
dad condicionada de acep ación del lo e P(^^), podemas e alua los alo es
incondicionales de ^es os cos es.
Así,
enemos:
1.°}
Inspección sin ec i icación:
x
co ^
co (^.)
(a^) d^ = n• C, + NC'd • E(í^)
^
2. °)
Inspección con ec i icación
(
si
es necesa ia):
^3 =
^^^ ^
(^) •
P (^) +
C^ (^^)
• (1
- P
(^^))^
n (^^)dí^ =
^^
.
=n • C^+N • C^ • (1 -- )
^.P(i ) ^ (^,)d^.+N • C {1 -P)
c^
+N•C^,• •E(í^)

26
habiendo denominado:
x
^
E{^,} =
^^ (^.^ d^
P=
P(^.) n(^.) d^.
o
c^
ESTAD STICA ESPAÑOLA
E1 pun o de indi e encia de las dos pall lcas se ©b iene al iguala ambos
cos es medios y nos pe mi e calcula el alo lími e del cos e C^ , asociado a
ac u a la es can de ec os
(
pé dida de imagen, e c.), Pa a alo es
de C'^ > Cá
es aconse^able la polí ica de ec i ^cación de lo es echazados mien as que
pa a
Cd < Cd
es p e e ible la poli ica no ec i ica i a. Po eso a
C^ podemos
llama lo cos e uni a io c í ico de acep ación
Gá
E^^
1
-- P
l
---1_ KC
x,
-
^. •
P ( ^.) • n (^,} d^,
0
siendo K - =
1-P
^
E {^,) --
^.P (^,)
n (^,) d^,
0
Obsé ese
que el cos e uni a io de indi e encia
Cá es
independien e del
amaño del lo e
{1,l
)
así como del cos e uni a ia de inspección
(C^ }.
En cam-
bio, sí depende de la calidad del p oceso
(K), de
la ehciencia de la ec i ica-
clón (TRE)
y del cos e uni a io
de ec ibcación (C, ).
5.
APLICACION
A can inuación se p esen a un esul ado ilus a i o del p og ama que
calcuia y ep esen a C d/C,. en unción de la TRE pa a ei caso en que la
calidad del lo e se dis ibuya según una ley gamma - Poisson.
La aplicación se e ie e al caso pa icula en que los pa áme os de la ley
a p io i gamma alen s= 3, ^= b0, pa a un plan en el que
N=
100,
n= 25, C
= S. Como puede obse a se, la igu a ilus a lo que ya indicaba la exp e-
sión de
C d:
cuan o mayo es la TRE, mayo es la azón
C á/ C„
que nos-
p opo ciona el pun o de indi e encia en e las polí icas al e na i as de ec i i-
ca o no ec i^ca . Más conc e amen e, pues o que la cu a de la igu a deli-
mi a las zonas de RECTIFICACION y NO RECTIFICACION, pa a dos
pun os ^i y
B
de o denada
(C d/C' )
cons an e el de e io a de la unción de
ec i icación (es deci , el aumen o del TRE} nos puede hace p e e ible adop-
a la decisión de no ec i ica el lo e siendo indi e en e ai decisión en e1
pun © C, in e sección de la ec a AB con la cu a mencionada.
^CO^ ^ V^Q^ ^O ^^^ ^O^nc^-^ `-^^ aoO--^G7cT ^^D--x^O^;•o
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OPORTUNIDAD DE LA
POL^TiCA
DE RECTIFICACIÓN EN PRC)DUCCIÓN
CONTINUA
Z9
SUMMARY
ADVISABILITY OF A REC'TIFIC^ATIDN POLIC,Y IN
CONTINU©S PRODUCTION
The p esen analyzes he policies liable o ea he nonc i ical
dehciencies
which exis s in po ions o con inuous p oduc ion
wi h a linea model o cos s in e ms o he a e o ec i ica ion o
e o s. The pape encloses he esul o an applica ion o he ca-
se in wich he quali y o he po ion is dis ibu ed acco ding o
he gamma- Poisson Iaw.
Key^ wo ds:
S a is ical
Quali y Con ol, P oduc ian
Enginee ing.
AMS 1980 Subjec
classi ica ion
62 N O5.