Oportunidad de la política de rectificación en producción continua

ESTAD^STICA ESPAÑOLA Núms. 112-113, 1986, p^gs. 21 a 29 Opo unidad de la polí ica de ec ^ i^icación en p oducción con inua po MIGUEL GUTIERREZ, SEBASTIAN LOZANO, LUIS ONIEVA Escueia Supe io de Ingenie os Indus iales Uni e sidad de Se ilia RESU M EN E1 p esen e abajo analiza las polí icas posibles pa a a a los de ec os no c í icos p esen es en lo es de p oducción con inua como modelo lineal de cos es en unción de la asa de ec i ica- ción de e o es. Se adjun a el esul ado de una aplicación en el supues o de que la calidad del lo e se dis ibuya según la ley gamma-Poisson. Pnlab ns cla •e: Con ol es adis ico de calidad, Ingenie ía de p oducción. 1. INTRODUCCION La es imación de la calidad de un p oduc o cuando un ab ican e en e- ga un conjun o de lo es a un consumido es uno de los p oblemas de deci- sión que con más ecuencia se p esen an en la indus ia. Cuando el p oduc o inal de un p oceso indus ial iene luga en o ma con inua (como ocu e, po ejemplo en la ab icación de ex iles, alamb es o linoleum) es di ícil de ini la «unidad de p oducción». En ales casos pa ece más na u al con a el núme o de de ec os po «unidad de p oducción can i- nua» (longi ud, á ea, olumen, peso, iempo, e c...). La calidad del lo e en 22 ESTADÍSTICA ESPAIVOI.^ ^ es os casos se suele medi median e el núme o de de ec os po unidad. Lo mismo puede deci se de los equipos indus iales complejos, compues os po un g an núme o de componen es, ales como apa a os de adio y ele isión, e ige ado es, e c... El modelo de Paisson se u iliza ecuen emen e cuando se conside a el nú ne o de de ec os po unidad de ab icación. Nues o in e és se cen a en el p oblema de con ola el nú ie o de de ee- as po «unidad de ab icación». Supongamos que enemos un lo e cons i ui- do po N unidades y que la unidad i iene x^ de ec as, x; = 0, l, ...,; i= 1, 2, ..., N. A1 oma una mues a alea © ia de n unidades podemos p egun a nos cuál es la p obabilidad de que el núme o o al de de ec os p esen es en la mues a no exceda a una can idad p ede e minada e. Res ingi emos nues a a ención al caso en que una se ie de lo es p oceden es de un p oceso indus- ial en el que el núme o de de ec os po cada unidad de ab icación es una a iable alea o ia que se dis ibuye según una ley Poisson con pa á ne o ^ (es deci , la xnedia del núme o de de ec os po unidad es ^,} y en el que el núme o de de ee os de una unidad de e minada es independien e del núme o de de ec os de cualquie o a unidad dis in a a la canside ada. 2. ANTECEDENTES E1 p oblema p elimina de la de e minación del amaño mues al y del núme o de acep ación en 1©s planes de mues ea bayesianos ha sido abo da- do básicamen e desde es ap oximaciones di e en es. En p ime luga cabe ci a [8] la cons ucción de á boles de decisión bayesianos can lo que se p e ende de e mina una solución óp ima exac a median e la enume ación exhaus i a de odas las soluciones posibles, la cual iene e iden emen e el incon enien e de la labo iosidad del cálculo necesa io ya que se equie e e alua odas las amas del á bol decisional. En segundo luga , se han U lll- zado [ 1], [2], [3], [8], [ 12] y[ lo] mé odos anali icos cuando la dis ibu- ción de la acción de ec uosa del lo e es sucep ible de se ap oximada bien median e una unción de p obabilidad o bien median e una unción de den- sidad al com© la be a. Aunque es e p ocedimien o educe la labo de cálcu- lo, al como ha demos ado Smi h [ 11 ] es e p ocedimien o puede conduci a soluciones no-óp imas como consecuencia de las ap oximaciones empieadas. La e ce a de las ap oxímacianes mencianadas u iliza écnicas de localiza- ción di ec a ambién con la inalidad de educi el cálculo necesa io aunque no necesa iamen e se log a así [9] la con e gencia a una solución á ^ p ima. En is a de la no ap imalidad de las dos úl imas ap oximaciones menciona- das, algunas au o es [S] han p opues o una e sión modi icada de la p ime- OPORTUNIDAD DE LA POLÍTICA DE RECTiFICACIÓN EN PRODUeCI ^N CONT NUA ^ 23 a ap oximación consis en e en la eli ninación de al^unas amas del á bol de decisión bayesiano con an e io idad a la ealización de los cálculos. La solución asin ó ica del p oblema ha sido abo dada en [7], encon án- d©se in e esan es ejemplos numé icos de una ap oximación secuencial en [6]. La conside ación de la a e sión al iesgo po pa e del deciso ha sido es udiada en [4]. La mayo ía de los abajos ci ados que se han ocupado de planes de mues eo bayesianos lo han hecho en elación con p oduc os p opios de una ab icación di e enciada, en la que el p incipal obje i o consis e en con ola la acción de ec uosa. Po el con a io, nues o p incipal in e és se cen a en la denominada «p oducción con inua». 3. CURVA OC RESPECTO A LA CALIDAD DEL PROC'ESO Rechazamos el lo e cuando se obse en demasiados de ec os en la mues- a. Más conc e amen e, si se obse a una mues a alea o ia simple de n uni- dades de ab icación en onces dispond emos de los co espondien es núme- n os de de ec os x 1, x2, ..., x„ . E1 núme o o al y=^ x; . Pa ece azonable i= I acep a el lo e si se e i ica y< c, echazándolo en caso con a io. Pues o que cada Xi sigue una dis ibución de Poisson con nedia ^,, debi- do a la p opiedad ep oduc i a de dicha dis ibución, podemos deci que el núme o de de ec os de una mues a de n de ales unidades es una a iable alea o ia y que dis ibuye según una ley Poisson de media n^,. Po an o e-^.^x P [1^C = x;/,^] _ ` x^ e -n^ (n^). P [ Y= yl^] _ . 9 (.Yln) _ ^ - • La p obabilidad de acep ación del lo e (condicionada po la calidad del p oceso, ^,) es c c P (^) = G (cln^) _ ^ 9 (Yln^) _ ^ y=o y=o ^ - n: (Yl /^,^y ecuación que ep esen a la cu a OC espec o a la calidad del p oceso. Si ^, ep esen a el núme o medio de de ec os po unidad, supond emos que ^, a ía de lo e según la ley gamma 24 E.STAD ^ iS i7CA F...SPAÑ04A e ^ T^ .^T^)s _ 1 ^ Z ^` ^^):-_ .S {) E(i^)=s/ Va (^,)-sJT2 Po an o,, la calidad de lo e (exp esada como el núme o de de ec os de sus 1^l unidades) se dis ibuye según la ley gamma-Poisson {binomial nega i- a) z^ (s+2) e^ 1-e =^ s- ^+z s^_^ ^ 9( } ^ s } s_1 ( ) . ( ) E{,^)^s/i; a.^ x s s+NE(.^) s+Ns/ z+N y po an o, la unción de p obabilidad del núme o de de ec os p esen es en mues as alea o ias de n unidades de ab icación es: (S+y^ , y_^S-i+yl ^ T ls ^ n ly 9^Y)= y ^^ s ^ S(1 - S) s - 1 1 T+ n J i+n^ siendo S = s s s+nE(•^) s+ns/^ i+n Po an o la p obabilidad media de acep ación del lo e es: ` s-l+y ^e ^ n y G (c/na^) n (^,)d^, _ ^ _ + y=o s 1 z+n i n 4. ANALISIS DE LAS POLITICAS A SEGUIR Nos plan eamos aho a la cues ión de qué hace con los lo es echazados, es deci , con aquéllos en los que el núme o de de ec os encon ados de Ias n unidades de p oduccibn de la nues a sea supe io al alo c. Y más conc e- amen e, que emos e cómo in luye en la decisión de si ec i ica o no los lo es echazados, la « asa de ec i icación de e o es» (TRE} en endiendo po ec i icación del lo e la inspección al loo ^. Dicha asa se puede de ini co- mo el núme o de de ec os p esen es en un lo e ec i icado (bien po que se hayan pasado sin co egi o bien po que se hayan in oducido du an e la ec i lcación) di idido po el núme o de de ec os en el lo e an es de la ec i i- cación. La TRE es una medida de la e iclencia del p oceso de ec i icación. Así, una TRE nula co esponde al caso ideal de ec i icación pe ec a mien- OPORTUNIDAD DF I^.A POLÍTICA DE RECTIFICACIÓN E N PRODUCCI(5N CONTINl1A 2S as que si la TRE es la unidad en ^nces no ien sc;n ido ec i ica los lo es echazados po que con ello no disminui nos el núme os de de ec os. Supues os conocidos los cas es de inspección p elimina de una unidad (C^ ), el cos e de inspecciona una unidad du an e la ec i icación ( C'^ ^, así co- mo el asociado a la p esencia de un de ec o en un la e acep ado ( C'^, ) pode- mos es ablece los cos es de las posibles polí icas suponiendo un nodela li- neal de cos es. 1. °) Inspección sin ánimo de ec i ica . Cc^(^^)=nC,+^+^ • N • C^ 2.°) Inspección con in ención de ec i ica : a) Si el lo e es acep ado: C',(^)=n•C;+^+^NCd b) Si el lo e es echazada ( y ec i icado): C2(^.)=n C^+N ' C" +N^. ' Cd donde . =TRE. Como suponemos conocida a p io i la dis ibución del núme o medio de de ec os en cada unidad de ab icación y he nos calculado an es la p obabili- dad condicionada de acep ación del lo e P(^^), podemas e alua los alo es incondicionales de ^es os cos es. Así, enemos: 1.°} Inspección sin ec i icación: x co ^ co (^.) (a^) d^ = n• C, + NC'd • E(í^) ^ 2. °) Inspección con ec i icación ( si es necesa ia): ^3 = ^^^ ^ (^) • P (^) + C^ (^^) • (1 - P (^^))^ n (^^)dí^ = ^^ . =n • C^+N • C^ • (1 -- ) ^.P(i ) ^ (^,)d^.+N • C {1 -P) c^ +N•C^,• •E(í^) 26 habiendo denominado: x ^ E{^,} = ^^ (^.^ d^ P= P(^.) n(^.) d^. o c^ ESTAD STICA ESPAÑOLA E1 pun o de indi e encia de las dos pall lcas se ©b iene al iguala ambos cos es medios y nos pe mi e calcula el alo lími e del cos e C^ , asociado a ac u a la es can de ec os ( pé dida de imagen, e c.), Pa a alo es de C'^ > Cá es aconse^able la polí ica de ec i ^cación de lo es echazados mien as que pa a Cd < Cd es p e e ible la poli ica no ec i ica i a. Po eso a C^ podemos llama lo cos e uni a io c í ico de acep ación Gá E^^ 1 -- P l ---1_ KC x, - ^. • P ( ^.) • n (^,} d^, 0 siendo K - = 1-P ^ E {^,) -- ^.P (^,) n (^,) d^, 0 Obsé ese que el cos e uni a io de indi e encia Cá es independien e del amaño del lo e {1,l ) así como del cos e uni a ia de inspección (C^ }. En cam- bio, sí depende de la calidad del p oceso (K), de la ehciencia de la ec i ica- clón (TRE) y del cos e uni a io de ec ibcación (C, ). 5. APLICACION A can inuación se p esen a un esul ado ilus a i o del p og ama que calcuia y ep esen a C d/C,. en unción de la TRE pa a ei caso en que la calidad del lo e se dis ibuya según una ley gamma - Poisson. La aplicación se e ie e al caso pa icula en que los pa áme os de la ley a p io i gamma alen s= 3, ^= b0, pa a un plan en el que N= 100, n= 25, C = S. Como puede obse a se, la igu a ilus a lo que ya indicaba la exp e- sión de C d: cuan o mayo es la TRE, mayo es la azón C á/ C„ que nos- p opo ciona el pun o de indi e encia en e las polí icas al e na i as de ec i i- ca o no ec i^ca . Más conc e amen e, pues o que la cu a de la igu a deli- mi a las zonas de RECTIFICACION y NO RECTIFICACION, pa a dos pun os ^i y B de o denada (C d/C' ) cons an e el de e io a de la unción de ec i icación (es deci , el aumen o del TRE} nos puede hace p e e ible adop- a la decisión de no ec i ica el lo e siendo indi e en e ai decisión en e1 pun © C, in e sección de la ec a AB con la cu a mencionada. ^CO^ ^ V^Q^ ^O ^^^ ^O^nc^-^ `-^^ aoO--^G7cT ^^D--x^O^;•o ..^ ..-, .... ^.. ^ ^ $^D oC^ --^ ^ l'^- ` J^D --^ ^ 1 00 ^^b ^.D - x^ J ^!-^ ^ C^. ^O ^n^p - oo CT ---^ `^ e^ > ^G oo Q+ ---^ N^ ^- cT .. ^, ^ ^ `..- C C C^.... ._.. ._.. ^^.C^ ^G ^O ^C ^U [^- ^ ^- ^- c^ ^ ^- ^ o0 00 ^O o0 00 0o O^ U^ O^ J^ .,^ _-.. .,, .._. ^: ._.: _...; ^ ^ ^ ^ .^ ^ ^w ^ ^. ^. w. ^ ^ w ^ ^ ^ ^.. ^ .^ ^ ^ ^.. .OOp ^ x .O 15 ^ ^ .030 ^ ; .145 I ^ .060 I ^ .075 I . 090 ^ _ .105 ^ z .120 ^ ^ .135 Y .150 ^ . l ó5 ^ ^ .180 I ^ .195 ^ Y .210 Y .225 ^ 1 .240 .255 ^ _ .170 ^ 1 .285 ^ Y .300 ^ ^ .315 x .330 ^ Y .345 ^ ^ .360 I X .37s ^ Y .390 X .405 ^ ^ .420 ^ ^ . 435 ^ x .450 ^ ^ .465 x .480 I .495 ^ x .sio . s2s i .540 ^ ^ .555 ^ 1^ .570 X .585 ^ .600 I Y a .ó^s ^ ^ ^ .ó30 ^ x ^ .ó45 .ó60 ^ ,x .ó75 I ^c I .ó90 ^ ^ ^ ^ .705 ^ ^ .720 I ^ ^ .735 ( ^ ^ ^ .750 ..., ^ .765 ^ ,^ Y .780 ^ ^ .795 ^ ^ ^ # .810 .825 ^ ^ ^ .840 ^ ^ ^ .855 ^ .870 ^ X ^ .885 I ^ .._, ^.CO^C^ ^, c^- O ^^ ^ •'^ ^^:^_^: ...,. .^ d ^ Z^ ESTAD^STiCA ESPAIVULA BIB[.IUC:E2A1•'IA [1] C;c^E^N"i`}i}-R. W. ('. «nn he ^e e mina ion o Single Sampling A ibu e Plans Based upon a Linea C'os Miodel and a P io Dis ibu ion, Technome ics, 13, p. 483-498, 1971. [2] HALD, A. «Oh he heo y o Single Sampling [nspec ion by A ibu es Based an Two Quali y Le els», Re iew o he In e na ional S a is ical Ins i u e, 35, p. 1-29, 1967. [J] J ENNEY, B. W, y J USSEIN, S. «Accep ance Sampling by A ibu es: The Bayesian App oa- ch» Uni e si y o Bi mingham, England (1973). [4] M USKC)WIT7.., H. y PLANTE, R. «E Tec o Risk A e sion on Single Sample A ibu e Ins- pec ion Plans», Managemen e Science, ol. 30, núm. 10, oc ub e 1984. CS] MOSKC)WITZ_, H. y BERRY, W. L. «A Bayesian Algo i hm o De e mining Op imal Single Sample Accep ance Plans o P ociuc o A ibu es», Managemen e Science, ol. 22, núm. í 1, 197 ^. [b] PFAN"I_AGL, J. y Sc'H ^LLER, W. «The e hciency o seyuen ial sampling plans based on p io dis ibu ion and cas s», Technome ics, l2, p. 299-310. [?] [8] Cg] STACY, H us^NC;ER y PR cE <^De e mining ecunomic samplin^* plans», IBM Sys ems Jou - nai, 18, p. 220-244, 1979. RAIF^F^A, H. y ScHLAIF^ER, R. «Applied S a is ical Dec^isi^^n Tl^c^^^ ^ », Di ision o Resea ch, G adua e School o Business Adminis a ion, Ha ^•a ^i l`. ^ ni c^ si ^, Bos on, 196 i. SM1TH, J. W., y BENNFT, G. K. «Economic Mul ia ih^i ^^ ,Acc^^p ance Sampling», AIIE T ansac ions, ol. 4, núm. 3 p. ? 14-2 2, 197 ^. [l0] SMiTH, B. E. «The Economic o Sampling Insp^^c i^^ii», l^lciu, ial Quali y Con ol, 17, p. 433-458, 1975. [11] SM}TN,B. E. «Some Economic Aspec s o Qu^ili ^ C^e^n ^^l» Tc^l^ni^al Repo n. 76-53, Ap- plied Ma hema ics and S a is ics L.abo a u ies, S an ^^ ^i Uni si y {1976). [ 12] W E THERILL, G. B., j/ CAM PLINCi, G. E. C^. «Thc Dc,^^isi^^n Theo y App oach o Sampling Inspec ion» Jou nal o he Royal S a is i^.•al Sc^cie y, Se ie B, núm. 28, p. 3K1-416, 19óó. OPORTUNIDAD DE LA POL^TiCA DE RECTIFICACIÓN EN PRC)DUCCIÓN CONTINUA Z9 SUMMARY ADVISABILITY OF A REC'TIFIC^ATIDN POLIC,Y IN CONTINU©S PRODUCTION The p esen analyzes he policies liable o ea he nonc i ical dehciencies which exis s in po ions o con inuous p oduc ion wi h a linea model o cos s in e ms o he a e o ec i ica ion o e o s. The pape encloses he esul o an applica ion o he ca- se in wich he quali y o he po ion is dis ibu ed acco ding o he gamma- Poisson Iaw. Key^ wo ds: S a is ical Quali y Con ol, P oduc ian Enginee ing. AMS 1980 Subjec classi ica ion 62 N O5.