Oportunidad de la política de rectificación en producción continua

ESTAD^STICA ESPAÑOLA Núms. 112-113, 1986, p^gs. 21 a 29 Oportunidad de la política de rec ^ ti^icación en producción continua por MIGUEL GUTIERREZ, SEBASTIAN LOZANO, LUIS ONIEVA Escueia Superior de Ingenieros Industriales Universidad de Sevilia RESU M EN E1 presente trabajo analiza las políticas posibles para tratar los defectos no críticos presentes en lotes de producción continua como modelo lineal de costes en función de la tasa de rectificación de errores. Se adjunta el resultado de una aplicación en el supuesto de que la calidad del lote se distribuya según la ley gamma-Poisson. Pnlabrns clat•e: Control estadistico de calidad, Ingeniería de producción. 1. INTRODUCCION La estimación de la calidad de un producto cuando un fabricante entrega un conjunto de lotes a un consumidor es uno de los problemas de decisión que con más frecuencia se presentan en la industria. Cuando el producto final de un proceso industrial tiene lugar en forma continua (como ocurre, por ejemplo en la fabricación de textiles, alambres o linoleum) es difícil definir la «unidad de producción». En tales casos parece más natural contar el número de defectos por «unidad de producción cantinua» (longitud, área, volumen, peso, tiempo, etc...). La calidad del lote en 22 ESTADÍSTICA ESPAIVOI.^ ^ estos casos se suele medir mediante el número de defectos por unidad. Lo mismo puede decirse de los equipos industriales complejos, compuestos por un gran número de componentes, tales como aparatos de radio y televisión, refrigeradores, etc... El modelo de Paisson se utiliza frecuentemente cuando se considera el núrnero de defectos por unidad de fabricación. Nuestro interés se centra en el problema de controlar el núrriero de defeetas por «unidad de fabricación». Supongamos que tenemos un lote constituido por N unidades y que la unidad i tiene x^ defectas, x; = 0, l, ...,; i= 1, 2, ..., N. A1 tomar una muestra aleat©ria de n unidades podemos preguntarnos cuál es la probabilidad de que el número total de defectos presentes en la muestra no exceda a una cantidad predeterminada e. Restringiremos nuestra atención al caso en que una serie de lotes procedentes de un proceso industrial en el que el número de defectos por cada unidad de fabricación es una variable aleatoria que se distribuye según una ley Poisson con parárnetro ^ (es decir, la xnedia del número de defectos por unidad es ^,} y en el que el número de defeetos de una unidad determinada es independiente del número de defectos de cualquier otra unidad distinta a la cansiderada. 2. ANTECEDENTES E1 problema preliminar de la determinación del tamaño muestral y del número de aceptación en 1©s planes de muestrea bayesianos ha sido abordado básicamente desde tres aproximaciones diferentes. En primer lugar cabe citar [8] la construcción de árboles de decisión bayesianos can lo que se pretende determinar una solución óptima exacta mediante la enumeración exhaustiva de todas las soluciones posibles, la cual tiene evidentemente el inconveniente de la laboriosidad del cálculo necesario ya que se requiere evaluar todas las ramas del árbol decisional. En segundo lugar, se han Utlllzado [ 1], [2], [3], [8], [ 12] y[ lo] métodos analiticos cuando la distribución de la fracción defectuosa del lote es suceptible de ser aproximada bien mediante una función de probabilidad o bien mediante una función de densidad tal com© la beta. Aunque este procedimiento reduce la labor de cálculo, tal como ha demostrado Smith [ 11 ] este procedimiento puede conducir a soluciones no-óptimas como consecuencia de las aproximaciones empieadas. La tercera de las aproxímacianes mencianadas utiliza técnicas de localización directa también con la finalidad de reducir el cálculo necesario aunque no necesariamente se logra así [9] la convergencia a una solución á ^ ptima. En vista de la no aptimalidad de las dos últimas aproximaciones mencionadas, algunas autores [S] han propuesto una versión modificada de la prime- OPORTUNIDAD DE LA POLÍTICA DE RECTiFICACIÓN EN PRODUeCIt^N CONTfNUA ^ 23 ra aproximación consistente en la elirninación de al^unas ramas del árbol de decisión bayesiano con anterioridad a la realización de los cálculos. La solución asintótica del problema ha sido abordada en [7], encontránd©se interesantes ejemplos numéricos de una aproximación secuencial en [6]. La consideración de la aversión al riesgo por parte del decisor ha sido estudiada en [4]. La mayoría de los trabajos citados que se han ocupado de planes de muestreo bayesianos lo han hecho en relación con productos propios de una fabricación diferenciada, en la que el principal objetivo consiste en controlar la fracción defectuosa. Por el contrario, nuestro principal interés se centra en la denominada «producción continua». 3. CURVA OC RESPECTO A LA CALIDAD DEL PROC'ESO Rechazamos el lote cuando se observen demasiados defectos en la muestra. Más concretamente, si se observa una muestra aleatoria simple de n unidades de fabricación entonces dispondremos de los correspondientes númen ros de defectos x 1, x2, ..., x„ . E1 número total y=^ x; . Parece razonable i= I aceptar el lote si se verifica y< c, rechazándolo en caso contrario. Puesto que cada Xi sigue una distribución de Poisson con rnedia ^,, debido a la propiedad reproductiva de dicha distribución, podemos decir que el número de defectos de una muestra de n de tales unidades es una variable aleatoria y que distribuye según una ley Poisson de media n^,. Por tanto e-^.^x Pr [1^C = x;/,^] _ ` x^f e -n^t(n^).v Pr [ Y= yl^] _ . 9 (.Yln) _ ^ - v• La probabilidad de aceptación del lote (condicionada por la calidad del proceso, ^,) es c c P (^) = G (cln^) _ ^ 9 (Yln^) _ ^ y=o y=o ^ - n:t(Yl /^,^y ecuación que representa la curva OC respecto a la calidad del proceso. Si ^, representa el número medio de defectos por unidad, supondremos que ^, varía de lote según la ley gamma 24 E.STAD ^ iS i7CA F...SPAÑ04A e ^ T^t.^T^)s _ 1 ^ Z ^` ^^):-_ r .S {) E(i^)=s/t Var(^,)-sJT2 Por tanto,, la calidad de lote (expresada como el número de defectos de sus 1^l unidades) se distribuye según la ley gamma-Poisson {binomial negativa) z^r(s+2) e^ 1-e =^ s- ^+z s^_^ ^ 9( } ^ s f } s_1 ( ) .v ( ) E{,^)^s/i; a.^ x s s+NE(.^) s+Ns/t z+N y por tanto, la función de probabilidad del número de defectos presentes en muestras aleatorias de n unidades de fabricación es: r(S+y^ , y_^S-i+yl ^ T ls ^ n ly 9^Y)= y ^^ s ^ S(1 - S) s - 1 1 T+ n J i+n^ siendo S = s s s+nE(•^) s+ns/^r i+n Por tanto la probabilidad media de aceptación del lote es: ` s-l+y ^e ^ n y G (c/na^) n (^,)d^, _ ^ _ + y=o s 1 z+n i n 4. ANALISIS DE LAS POLITICAS A SEGUIR Nos planteamos ahora la cuestión de qué hacer con los lotes rechazados, es decir, con aquéllos en los que el número de defectos encontrados de Ias n unidades de produccibn de la rnuestra sea superior al valor c. Y más concretamente, queremos ver cómo influye en la decisión de si rectificar o no los lotes rechazados, la «tasa de rectificación de errores» (TRE} entendiendo por rectificación del lote la inspección al loo ^. Dicha tasa se puede definir como el número de defectos presentes en un lote rectificado (bien por que se hayan pasado sin corregir o bien porque se hayan introducido durante la rectiflcación) dividido por el número de defectos en el lote antes de la rectificación. La TRE es una medida de la eficlencia del proceso de rectificación. Así, una TRE nula corresponde al caso ideal de rectificación perfecta mien- OPORTUNIDAD DF I^.A POLÍTICA DE RECTIFICACIÓN E N PRODUCCI(5N CONTINl1A 2S tras que si la TRE es la unidad ent^nces no tient sc;ntido rectificar los lotes rechazados porque con ello no disminuirnos el números de defectos. Supuestos conocidos los castes de inspección preliminar de una unidad (C^ ), el coste de inspeccionar una unidad durante la rectificación ( C'^ ^, así como el asociado a la presencia de un defecto en un late aceptado ( C'^, ) podemos establecer los costes de las posibles políticas suponiendo un rnodela lineal de costes. 1. °) Inspección sin ánimo de rectificar . Cc^(^^)=nC,+^+^ • N • C^ 2.°) Inspección con intención de rectificar: a) Si el lote es aceptado: C',(^)=n•C;+^+^NCd b) Si el lote es rechazada ( y rectificado): C2(^.)=n C^+N ' C"r+N^.r ' Cd donde r . =TRE. Como suponemos conocida a priori la distribución del número medio de defectos en cada unidad de fabricación y hernos calculado antes la probabilidad condicionada de aceptación del lote P(^^), podemas evaluar los valores incondicionales de ^estos costes. Así, tenemos: 1.°} Inspección sin rectificación: x co ^ co (^.) rt (a^) d^ = n• C, + NC'd • E(í^) ^ 2. °) Inspección con rectificación ( si es necesaria): r ^3 = ^^^ ^ (^) • P (^) + C^ (^^) • (1 - P (^^))^ n (^^)dí^ = ^^ f. =n • C^+N • C^ • (1 --r) ^.P(it) ^r(^,)d^.+N • Cr{1 -P) c^ +N•C^,•r•E(í^) 26 habiendo denominado: x ^ E{^,} = ^^ (^.^ d^ P= P(^.) n(^.) d^. o c^ ESTADfSTICA ESPAÑOLA E1 punto de indiferencia de las dos palltlcas se ©btiene al igualar ambos costes medios y nos permite calcular el valor límite del coste C^ , asociado a facturar lates can defectos ( pérdida de imagen, etc.), Para valores de C'^ > Cá es aconse^able la política de rectif^cación de lotes rechazados mientras que para Cd < Cd es preferible la politica no rectificativa. Por eso a C^ podemos llamarlo coste unitario crítico de aceptación Gá r E^^ 1 -- P l ---1_rKCr x, - ^. • P ( ^.) • n (^,} d^, 0 siendo K - = 1-P ^ E {^,) -- ^.P (^,) n (^,) d^, 0 Obsérvese que el coste unitario de indiferencia Cá es independiente del tamaño del lote {1,l ) así como del coste unitaria de inspección (C^ }. En cambio, sí depende de la calidad del proceso (K), de la ehciencia de la rectificaclón (TRE) y del coste unitario de rectibcación (C, ). 5. APLICACION A cantinuación se presenta un resultado ilustrativo del programa que calcuia y representa C d/C,. en función de la TRE para ei caso en que la calidad del lote se distribuya según una ley gamma - Poisson. La aplicación se refiere al caso particular en que los parámetros de la ley a priori gamma valen s= 3, ^= b0, para un plan en el que N= 100, n= 25, C = S. Como puede observarse, la figura ilustra lo que ya indicaba la expresión de C d: cuanto mayor es la TRE, mayor es la razón C á/ C„ que nosproporciona el punto de indiferencia entre las políticas alternativas de rectificar o no recti^car. Más concretamente, puesto que la curva de la figura delimita las zonas de RECTIFICACION y NO RECTIFICACION, para dos puntos ^i y B de ordenada (C d/C'r) constante el deteriora de la función de rectificación (es decir, el aumento del TRE} nos puede hacer preferible adoptar la decisión de no rectificar el lote siendo indiferente tai decisión en e1 punt© C, intersección de la recta AB con la curva mencionada. r^CO^t^tV^Q^t^Or^^^t^O^nc^-^r`-^^taoO--^G7cTr^^D--x^O^;•o ..^ ..-, .... ^.. r^ r^ $^D oC^ --^ ^t l'^- f` J^D --^ t^ r1 00 ^^b ^.D rx^ rJ ^!-^ r^ C^. ^O ^n^p roo CT ---^ r`^ e^t v> ^G oo Q+ ---^ N^ t^- cT ..r r^, v^ t^ `..- C C C^.... ._.. ._.. ^^.C^ ^G ^O ^C ^U [^- t^ r^- t^- c^ r^ t^- ^ o0 00 ^O o0 00 0o O^ U^ O^ J^ .,^ _-.. .,, .._. ^: ._.: _...; ^ ^ ^ ^ .^ ^ ^w ^ ^. ^.r w.r ^ ^ w ^ ^ ^ ^.. ^ .^ ^ ^ r ^.. r .OOp ^ x .O 15 ^ ^ .030 ^ ; .145 I ^ .060 I ^ .075 I t . 090 ^ _ .105 ^ z .120 ^ ^ .135 Y .150 ^ t . l ó5 ^ ^ .180 I ^ .195 ^ Y .210 Y .225 ^ 1 .240 f .255 ^ _ .170 ^ 1 .285 ^ Y .300 ^ ^ .315 x .330 ^ Y .345 ^ ^ .360 I X .37s ^ Y .390 X .405 ^ ^ .420 ^ ^ . 435 ^ x .450 ^ ^ .465 x .480 I r .495 ^ x .sio r . s2s i r .540 ^ ^t .555 ^ 1^ .570 X .585 ^ r .600 I Y a .ó^s ^ ^ ^ .ó30 ^ x ^ .ó45 .ó60 ^ ,xt .ó75 I ^c I .ó90 ^ ^ ^t ^ .705 ^ ^ r .720 I t^ t ^ .735 ( ^ ^ ^ .750 ..., ^ r .765 ^ ,^ Y .780 ^ ^ t .795 ^ ^ ^ # .810 .825 ^ ^ ^ .840 ^ ^ ^ .855 ^ r .870 ^ X ^ .885 I ^ .._, ^.CO^C^f ^, c^- O ^^ ^ r•'^r^^:^_^: ...,. .^ d ^ Z^ ESTAD^STiCA ESPAIVULA BIB[.IUC:E2A1•'IA [1] C;c^E^N"i`}i}-R. 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OPORTUNIDAD DE LA POL^TiCA DE RECTIFICACIÓN EN PRC)DUCCIÓN CONTINUA Z9 SUMMARY ADVISABILITY OF A REC'TIFIC^ATIDN POLIC,Y IN CONTINU©S PRODUCTION The present analyzes the policies liable to treat the noncritical dehciencies which exists in portions of continuous production with a linear model of costs in terms of the rate of rectification of errors. The paper encloses the result of an application for the case in wich the quality of the portion is distributed according to the gamma- Poisson Iaw. Key^ words: Statistical Quality Control, Productian Engineering. AMS 1980 Subject classification 62 Nr O5.