LA
DETERMINACIÓN
DE
LA
DISTANCIA DEL SOL
EN
LA
ASTRONOMÍA
DE
LEVI
BEN
GERSON
J.L.
MANCHA
l.
INTRODUCCIÓN
... jus laying
oj , o
e idence,
an o e coa
o
clay.
Neugebaue (1957, 205-6) esc ibió que no hay mejo modo de con ence se de la
cohe encia in e na de la as onomía an igua y medie al que coloca uno al lado de o o
el Almages o, el Opus as onomicum de al-Ba ani y el
De
e olu ionibus de Copémico,
y comp oba que capí ulo a capí ulo, eo ema a eo ema, y abla a abla, las es ob as
discu en pa alelamen e. Una excepción al p edominio
de
la adición p olemaica la
cons i uye la sección V de Se e M ilhamo Adonai (Libe bello um Dei), que con iene el
sis ema
a~ onómico
de Le i ben Ge son (1288-1344) y es p obablemen e el ex o de
as onomía más o iginal de cuan os ue on esc i os en e el Almages o de P olomeo (ca.
150) y la As onomia no a (1609) de Keple 1•
En el ámbi o de la cosmología ma emá ica,
lasH
ipó esis de los plane as de P olomeo
desempeña on el mismo papel undacional que el Almages o en el de la as onomía, y
esboza on un modelo del cosmos -incluyendo una eo ía sob e amaños y dis ancias de
los plane as- que se man u o p ác icamen e sin modi icaciones has a Copémico2•
En el ex o de Le i, la eo ía sob e magni udes y dis ancias plane a ias cons i uye
ambién uno de sus aspec os más adicalmen e no edosos. Como p ueba de ello bas e
menciona los alo es p olemaicos pa a la dis ancia de la es e a de las es ellas ijas y pa a
el diáme o de las es ellas de p ime a magni ud, 20.000 adios e es es y 4 + 1/2 + 1/25
1.
Muchos aspec os impo an es de la ob a de Le i esul an ya conocidos: dos de sus modelos luna es
y sus ablas as onómicas (Golds ein, 1972, 1974a, 1974b), su alo pa a la p ecesión (Golds ein, 1975), sus
inno aciones en ins umen os de obse ación (Golds ein, 1977), sus cálculos y obse aciones de eclipses
(Golds ein, 1979) y sus obse aciones plane a ias (Golds ein, 1988); Golds ein (1985) con iene una edición
con aducción y comen a io de los 20 p ime os capí ulos de la e sión heb ea de la As onomía de Le i.
2.
Unaexcepciónin e esan eenlaas onomíaislámicalacons i uyeMu'ayyadal-Dinal-'U di(m.1266);
c . Golds ein & Swe dlow (1970-71) y Saliba (1979).
98
J.
L. Mancha
diáme os e es es, espec i amen e, y compa a los con los calculados po Le i
en
el
capí ulo 134 de la As onomía pa a el supues o de que Me cu io y Venus es én si uados
po encima del sol: 159 x 10
12
+ 6.515 x 108 + 1.338 x
104
+ 944 adios e es es y
328 x 108 diáme os e es es, espec i amen e3•
La
dis ancia ci ada de i a de es
supues os: (1) la azón en e las dis ancias ela i as máxima y mínima ob enidas de los
modelos plane a ios es la misma que la exis en e en e las dis ancias absolu as máxima
y mínima, (2) en e la es e a o conjun o de o bes de un plane a y el conjun o del
inmedia amen e an e io o pos e io exis e un luido elás ico de di e en e espeso cuya
unción es impedi la ansmisión del mo imien o de uno a o o, y (3) un alo no
p olemaico pa a la dis ancia del sol -2.140 adios e es es pa a la dis ancia media,
en
luga de los 1.210 de P olomeo-, que Le i de e mina en los capí ulos 90 y
91
de la
As onomía a pa i de su obse ación del eclipse luna del 3 de oc ub e de 1335 y del
alo de la excen icidad (2; 14 pa a
un
adio del de e en e de 60;0) in e ido en el capí ulo
56 de obse aciones ealizadas
en
1334 de la a iación del diáme o sola apa en e.
El obje o de es e a ículo es expone la de e minación de las dis ancias mínima y
máxima sola y de las magni udes del sol y la luna que Le i lle a a cabo en los capí ulos
90,
91
y 92 de la As onomía. Pues o que es os capí ulos son inédi os an o en su e sión
heb ea como la ina4, se añade una edición c í ica del ex o la ino (seguida de aducción),
u ilizando pa a ello es de las cua o copias manusc i as conse adas: códices 3098 (A)
y 3380 (B) de la Biblio eca Va icana, y 326
(L)
de la Biblio eca Municipal de Lyon.
La
cua a, el manusc i o D 327 de la Biblio eca Amb osiana de Milán, de i a de L y he
p escindido de sus a ian es
en
el apa a o c í ico5•
A e ec os de acili a la compa ación con el ex o de Le i (dado que el p ocedimien-
o de és e es di e en e del de P olomeo ), se esumen a con inuación las secciones del
Almages o (V, 15-16: Toome , 1984, 255-7; Neugebaue , 1975, 109-10) dedicadas a la
de i ación de la dis ancia sola y de los olúmenes del sol y la luna.
3. Golds ein
(l
974a), 29.
En
el caso de que Me cu io y Venus es u ie an si uados po debajo del sol,
Le i calcula que
la
conca idad de
la
es e a de las es ellas ijas se halla ía a 83.851;
18
. ., un alo que disc epa
ambién de mane a conside able del p olemaico; c . Golds ein (1986), 294.
4. He p obado
en
o o luga (Mancha, 1992b) que
la
aducción la ina de
la
As onomía ue ealizada
po
Ped o de Alejand íao dinis a um he emi a um sanc i Augus ini (un pe sonaje ya conocido como aduc o
de la P ognos ica io de Le i y ambién de una edi io de los capí ulos 4 a
11
de
la
As onomía dedicada al papa
Clemen e VI
en
1342, conocida como De sinibus y i ulada
en
las copias conse adas T ac a us ins umen i
as onomie) p obablemen e en e 1339 y 1344 y, lo que es más in e esan e, que Le i colabo ó
en
la
aducción,
in oduciendo modi icaciones espec o al ex o heb eo conse ado; compa ada con és e, puede se conside ada
po an o una úl ima e sión de la ob a más que
una
aducción. Con excepción del índice de capí ulos (Renan-
Neubaue , 1893) y algunos pasajes ela i os al uso po Le i de
la
came a obscu a y a su de i ación de
la
excen icidad sola (Mancha, 1989; l 992a),
la
e sión la ina de es os manusc i os es á comple amen e inédi a.
Dos capí ulos del De sinibus,
en
cambio, ue on edi ados po Cu ze (1989, 1901).
5.
En
el ex o p esen ado
en
la sección 5 de es e a ículo, las inse ciones edi o iales apa ecen en e
co che es. Los í ulos de los capí ulos es án omados del índice de ma e ias al comienzo de la ob a (A, l a-2 b;
B,
7l a-73 ;
L, l -7 ).
La de e minación de
la
dis ancia del sol ...
99
2. LA DISTANCIA SOLAR PTOLEMAICA
El p ocedimien o de P olomeo6 supone que la dis ancia máxima luna , ob enida
independien emen e a pa i de la pa alaje (Almages o, V, 13), es 64; 10 . ., que a esa
dis ancia los diáme os apa en es de la luna y el sol son iguales y miden 0;31,20", que el
adio angula del cono de somb a es 0;40,40°, i.e., ap oximadamen e 2;36 eces el adio
apa en e de la luna (Almages o, V, 13-14), y que el adio luna es 0;17,33 . ..
2.1.
En
la igu a
1,
E, M y S son, espec i amen e, los cen os de la ie a, la luna
y el sol, s;' es el adio angula de la luna y del sol, s0' el adio angula de la somb a, y s0
= M'B el adio del cono de somb a de la ie a a una dis ancia de E igual a EM. Po an o,
F
s
Fig. 1
EM
= 64; 10 . .,
s,'
=O; 15,40º,
MA
=
O;
17,33 . .,
so'= 2;36
s;.
Como los ángulos que in e ienen son pequeños se supone que
-.
M'B = s0 = 2;36 MA.
Dado que
EM
= EM' y
ED
= 1 . .,
ED = 1/2 (MC + s0
),
de donde
MC = 2
ED
- s0 = (2 -2;36 MA) ED, y
AC = MC -
MA
= (2 -3;36 MA)
ED
= 0;56,49 . .
6. Sob e la de i ación
en
gene al y los p oblemas especí icos de la ó mula p olemaica éase Swe dlow
(1968, 52-74).
100
J.
L. Mancha
De la igualdad de los diáme os apa en es se concluye que
ED
EF
ES
ES
--=--=--=----
AC
AF
MS
ES-EM
Po lo an o, la dis ancia del sol
en
adios e es es es
EM 64;10
ES
=---
=
----
= 1.210
.
.
ED-AC
1-0;56,49
De ES = 1.21 O y s = 2;36 •
O;
17
,33 de i a a su ez el alo pa a la dis ancia en e
el cen o de
la
ie a y el é ice del cono de somb a, pues o que
Luego
M'B • EM'
OE= +EM'.
ED
-M'B
0;45,38. 64;10
OE
=
------
+ 64;10 = 268
.
.
0;14,22
(exac amen e, 267;58,53 . .).
P olomeo no especi ica en el Almages o si el alo de i ado pa a ES ep esen a la
dis ancia sola máxima, media o mínima, aunque en las Hipó esis de los plane as
(1,
2,
3) 1.210 . . co esponde a la dis ancia media. Pues o que en el modelo sola la
excen icidad (e) es 2;30 pa a un adio del de e en e (R) igual a 60,
en
alo es absolu os
e=
1.210/24 = 50;25 . .; de donde se deduce que la dis ancia mínima es 1.159;35 . . y
la dis ancia máxima 1.260;25 . . Es os son los alo es de P olomeo pa a la dis ancia
sola , acep ados con mínimas a iaciones a lo la go de la Edad Media (compá ense, po
ejemplo, con los 1.108 y 1.142 adios e es es a ibuidos po al-Ba ani y Copémico,
espec i amen e, a la dis ancia media).
2.2. La p opo ción en e los olúmenes de es os cue pos es la que exis e en e los
cubos de sus diáme os. Pues o que MA = 0;17,33 . ., EM = 64;
10
. . y
La de e minación de la dis ancia del sol ...
EM
MA
=
ES
SF
0;17,33. 1.210
SF
=
------
= 5;30
.
.
64;10
101
(exac amen e,5;30,56)7•
Si2MA=
1,
2ED=
3;24y
2SF=
18;48. Si V,, V1
yV
1 son,
espec i amen e, los olúmenes del sol,
la
ie a y
la
luna, en onces, si
V,
= 1,
V,=
(3;24)3 = 39;15 (exac amen e, 39;18,14) y
V,=
(18;48)3 = 6.644;30 (exac amen e, 6.644;40,19). El olumen del sol es,
po
an o, unas 170 eces el
de
la
ie a (exac amen e,
169;17,ll).
3. LA DISTANCIA DEL SOL SEGÚN LEVI
3.1. El p ime paso de Le i consis e en
la
de e minación del diáme o apa en e del
sol
en
el momen o del eclipse luna del 3 de oc ub e de 1335, pa a lo que u iliza el modelo
sola cuya excen icidad, 2; 14, ue de i ada
en
el capí ulo
56
de obse aciones ealizadas
a lo la go de 1334 u ilizando la combinación de bas ón de J acob y came a obscu a ideada
po
él mismo (Mancha, l 992a, 289-98).
De
acue do con 90:28, 106;8º es en onces el alo
de la anomalía sola media9•
En
la igu a 2
10
,
Des
el cen o del excén ico, E el cen o de la ie a, y
Bel
cen o
del sol. A y C son, espec i amen e, apogeo y pe igeo.
La
excen icidad
e=
DE=
2;
14
7. In oduzco en e pa én esis p ecedida del ad e bio 'exac amen e' mi comp obación de cada paso del
cálculo de Le i. Las disc epancias en e es e cálculo y el de Le i son meno es
y,
po lo gene al, sólo a ec an
a la e ce a acción sexagesimal. Es p obable que esas disc epancias ue an aún más pequeñas de habe
u ilizado la abla de senos de Le i (Golds ein, ! 974a, 153-5) e in e polación lineal.
8. Las e e encias al ex o la ino de los capí ulos 90,
91
y 92, se indican median e el núme o del capí ulo
sepa ado po dos pun os del núme o co espondien e a
la
ase ci ada.
La
misma con ención se u iliza pa a las
e e encias a la e sión heb ea, p ecedida en onces de la le a H. Pa a las e e encias a o os capí ulos de
la
e sión la ina se u iliza sólo el ms. Va . la . 3098 (A).
9. A la que co esponde, usando
la
abla 2 (Golds ein, 1974a, 156-7), una ecuación de 2;3,59°; su-
poniendo de acue do con el capí ulo 57 (A, 45 a-46 b) que
la
longi ud del apogeo es 93°, la longi ud e dade a
del sol es Lib a 17;4, 1
º.En
H 61:
11
(A, 48 b) es a longi ud es Lib a 16;58,34º 2;25• después de
la
medianoche
apa en e (Golds ein, 1975, 36) y
en
H 80: 134 (A, 66 b) Lib a 17;3,5º 3;38• después de la medianoche apa en e
(Golds ein, 1979, 116).
10. Co esponde a la igu a 90.1 del ex o la ino edi ado
en
la
sección 5 de es e a ículo, al como se
encuen a
en
A, 77 , y B, 91 .

102
J.L.
Mancha
y
EG
= EC. Los ángulos DFE y EFB son ec os, y el ángulo ADB = 106;8º.
En
conse-
cuencia, los ángulos
EDF
y DEF son 73;52º y 16;8º, espec i amen e. Si ED = R = 60,
A
e
Fig. 2
EF
= 60
•sen
73;52º = 57;38,10 (exac amen e, 57;38,13), y
DF
= 60
•sen
16;8º = 16;40,19 (exac amen e, 16;40,29).
Si
ED = 2;14,
EF
= 2;8,42 y
DF
= 0;37,14.
Dado que DB = 60, FB = 59;22,46.
Como EB2 = FB2 +
FE
2, EB = 59;25,5.
De acue do con el capí ulo 56 de
la
As onomía (Mancha, l 992a), el diáme o
apa en e del sol en el pe igeo (2s'c) es 0;300. Po an o, su diáme o apa en e
en
el
momen o del eclipse (2s'8) iene dado po
2s'8 = EC =
57;46
2s'c EB 59;25,5
De donde, 2s'8 = 0;29,9,58,48,24º (exac amen e, 0;29,9,58,23,13º).
3.2. A pa i de aquí Le i de i a median e ap oximaciones sucesi as la dis ancia
del sol en el momen o del mencionado eclipse.
La
p ime a ap oximación se lle a a cabo
en 90:42-62.
En
la
igu a 3
11
, C, F y G son, espec i amen e, los cen os del sol,la ie a
11. Co esponde a
la
igu a 90.2 (A, 77 ; B,
91
).
La de e minación de la dis ancia del sol
...
103
Fig. 3
y la luna. G es ambién el cen o de
la
base del cono de somb a en ese pun o, que es un
cí culo cuyo adio es GH. Los ángulos CAD y FDH son ec os y, po an o, CA es pa alela
a FD.
La
línea GH, esc ibe Le i (90:32), es casi igual a
la
línea que pa iendo de G es
pa alela a
CA
y
FD
y co a a DI (i.e. la línea
GL
en la igu a 4). Según 90:20, si
FD
=
0;54,57 ,32,47
12
,
GH
es 0;42. Si
FD
es igual a
1,
GH
es en onces 0;45,51,8, 11,8,52. Como
GH
es casi igual a
GL
( ig. 4 )
13
,
y
De donde,
IF
IG
=
FD
GH
IF
GH
=
GF
FD-GH
GH
0;45,51,8,11,8,52
FD-GH
0;14,8,51,48,51,8 3; 14,27,28,15,51,33.
12. De hecho, de acue do con el capi ulo 88
(A,
72 a), 0;54,57,32,47° es
la
suma de la pa alaje luna ,
0;53,200, y la pa alaje sola , que en ese mismo luga es 0;1,37,32,47º. Po an o,
FD
= sinR 0;54,57,32,47º =
0;57,33,15,50. Toma , pa a calcula el alo de
(FD-GH)
más adelan e (90:45-46), los alo es de los ángulos
en luga de los senos co espondien es no p oduce una di e encia ap eciable, al se los ángulos an pequeños.
Usando 0;54,57,32,47 y 0;42 Le i ob iene (90:46) 0;45,51,8,11,8,52; con los senos co espondien es,
0;57,33,15,50 y 0;43,58,52, se ob iene 0;45,50,59,50,39,11, i.e., un alo di e en e en sólo 0;0,0,8. La misma ·
obse ación se aplica a las ap oximaciones
en
90:68 y 90:87.
13.
Véase el inal de es a sección 3.2.
104
SiFD=
1,
Po an o,
60
FG
=
------
=
62;32,58,16,24,8,9.
0;57,33,15,30
GI =
FG
• 3;14,27,28,15,51,33 = 202;43,14,43,10,37 . ., y
FI = 265;16,12,59,34,45,29 . .
J.L.
Mancha
Si FI = 60,
FD
= 0;13,34,15,49,51(exac amen e,0;13,34,15,49,54). Po an o el
ángulo DIF es
O;
12,57 ,32,47 ,2º (exac amen e,
O;
12,57 ,33,59 ,32º), que es igual al ángulo
AIC. El 3 de oc ub e de 1335,elánguloCEB es, de acue do con 90:18,
O;
14,34,59,24,12º.
Po consiguien e, si
EC
= 60,
CB = 0;15,16,14,25,49 (exac amen e, 0;15,16,17,4,54). Si CI = 60,
CA=
0;13,34,15,49,55 (exac amen e, 0;13,34,14,33,55). Pe o an o CA como CB
son adios de la es e a del sol; luego
CE
CA
-----=
CI
CB
De donde
0;13,34,15,49,55
0;15,16,14,25,49
•
CE
El =
O;
13,34,15,49,55
O;
1,41,58,35,54
= 7;59,5,18,29,39.
Si FD, el adio de la ie a, es
1,
El=
266;16,12,59,34,45,29 . .,
EC = 2.126;7,1,9,12,15,43 . . (exac amen e, 2.126;7,1,9,10,15,41,58), y
CF = 2.127;7,1,9,12,15,42
.
14
•
Si CF = 60,
FD
= 0;1,41,32,45,13,30. Luego el ángulo DCF, la pa alaje sola , es,
de acue do con 90:62,
O;
1,36,57,58º (exac amen e,
O;
1,36,58,9º). Es e alo no coincide
con el supues o al comienzo de la de i ación (90:20), que e a
O;
1,37 ,32,47º, de acue do
con el capí ulo 88.
Como la pa alaje sola que se deduce al inal de la dis ancia ob enida debe coincidi
con la supues a al comienzo de la de i ación, Le i ob iene el alo adecuado de la
14. El cálculo no pe mi e, ob iamen e, decidi la disc epancia de los manusc i os (43
ó42)
pa a la sex a
acción sexagesimal.
j
La de e minación de la dis ancia del sol
...
105
pa alaje sola que debe supone se inicialmen e median e un a gumen um ingenij, que es
la aducción la ina del heb eo heqqesh ahbuli. Es a exp esión (uia a gumen o um ingenlj)
designa en Le i un mé odo de ap oximaciones sucesi as inspi ado,
en
mi opinión, en el
p ocedimien o usado po P olomeo en el Almages o (X, 6 - XI, 8) pa a de e mina la
excen icidad y la línea apsidal de los plane as supe io es
15
•
Le i da algunas indicaciones ace ca de su mé odo en el capí ulo 49 de la
As onomía
16
• Mi econs ucción es á basada
en
ese pasaje y concie ne a la ó mula
u ilizada
en
90:80-83. Supóngase l'x)
=y,
donde y es conocido. Si se iene (a) = n, y se
da que n
>y,
de
mane aquen
-y=
b (donde el signo de
bes
posi i o), y se iene ambién
que
(
e) =
p,
y se
dap
<y,
de modo que p -
y=
d (donde el signo de des nega i o), en onces
el alo del a gumen o x de la unción puede de i a se de
a-x
b
=
a-e
b+d
15.
Es e p ocedimien o, usado
po
Le i ecuen emen e enlaAs onomía, especialmen e
en
la de i ación
de pa áme os pa a los modelos plane a ios p elimina es a pa i de los alo es p olemaicos de las dis in as
ecuaciones, no
ha
sido has a aho a explicado sa is ac o iamen e. Golds ein, 1986, 279-81, con iene sin
emba go algunas in e esan es indicaciones sob e la elación en e el heb eo heqqesh ahbuli, los é minos de
P olomeo synk isis y pei a en Almages o, IX, 1, y la exp esión á abe
c¡¡m
al-hiyal
en
el Compendio de las
ciencias de al-Fa iibi (m. 950).
16.
Donde el p ocedimien o es desc i o del siguien e modo: ... ideo necesse es quod inquisi iones que
ad
inueniendum ue i a em nos di igun sin de gene e a gumen o um ingenij, que sun
ex
diuisione accep a
cum expe ien ia que paula im
ad
ue i a em accedi quousque pe uenia
ad
eam.
E
is a
me
a gumen a sun
de gene e a gumen o um co.ndicionalium.
E
ho um sun due species. Una qua um es
ex
plu i e paucio i
accep a; secunda es accep a
ex
duabus expe ien ijs de plu i diue so uel
ex
duabus de paucio i diue so. Ve bi
g a ia de specie p ima, quia dicemus:
si
quando ponebamus quan i a em p imam an am sequeba u equa io
maio quam uidemus in quan i a e secunda an a,
e
si quando ponebamus quan i a em e iam an am
sequeba u equa io mina quam uideamus in quan i a e qua a an a, es no um
ex
p opo ione quod necesse
es poni mediam unam in e p imam
e
e iam cuius di e en ia a p ima se habea
ad
di e en iam in e p imam
e e iam si cu se habe secunda
ad
esul ans
ex
secunda
e
qua a simul. Ve bi g a ia de secunda specie, quia
dicemus: si quando ponebamus quan i a em p imam an am sequeba u equa io maio quam uideamus in
quan i a e secunda an a,
e
si quando ponebamus quan i a em e iam an am sequeba u equa io maio quam
uideamus
in
quan i a e qua a an a, que es mina secunda, es no um
ex
p opo ione quod necesse es poni
quan i a em quin am ali e quod e ia si media in e p imam
e
ipsam
e
eius di e en ia a p ima se habea
ad
di e en iam in e p imam
e
e iam sicu se habe quan i as secunda
ad
di e en iam ín e secundam e
qua am. El pasaje es ejempli icado po una adición ma ginal, debida p obablemen e al mismo Le i (pe o
ausen e
en
los manusc i os heb eos: éase,
po
ejemplo, Pa is,
B.N.
Heb . 724, 94b; ag adezco a B.
R.
Golds ein habe pues o a mi disposición su aducción inédi a del ex o heb eo de es e capí ulo).
La
no a es
como sigue: Exemplum
explu i
e
paucio i. P ima
JO,
ualen 30, quod es
plus6,
secunda. Te ia 6, ualen J5,
quod es minus 9
,{
qua a]. Quin a8 ;24,ualen 24,quod uidemus. Exemplumde plu i diue so. P ima
JO
,ualen
36, quod es plus 12, secunda. Te ia 8, ualen 30, quod es plus 6, qua a. Quin a 6, ualen 24, quod uidemus.
De paucio i diue so. P ima6, ualen 24, quod es minus 12, [secunda]. Te ia 8, ualen 30, quod es minus 6,
qua a. Quin a
JO,
ualen 36, quod uidemus. A gumen a supe io a sun condi ionalia composi a; sequens ue o
es simplex. P ima
JO,
ualen 30, que sun quan i as secunda que non conco da cum 24 que uidemus. que sun
quan i as e ia; e go 8, que sun quan i as qua a e se habe
ad
JO
sicu 24
ad
30, ualen 24 (A, 40 b- a).
112
J.
L. Mancha
el espeso de los dos o bes más p óximos a la ie a, los del mo imien o diu no y de los
nodos, que son concén icos (92:29-32).
El adio de la luna es, de acue do con 92:25, 0;15,9,32 . .
23
Po consiguien e, la
dis ancia de la con exidad de la es e a de la luna es 62;48,42,36 . . 24
En
el modelo luna
111
de Le i25, en unidades de las que R = 60, el espeso máximo de los o bes del
mo imien o medio y del apogeo es, espec i amen e, 8;0 y 2;32.
La
dis ancia mínima
(i.e., con ando con que el espeso de los dos o bes más ce canos a la ie a sea nulo) de
la conca idad de la es e a luna , d, es en onces 65; 16 -
(8
+ 2;32) = 54;4426• Así pues,
y
d = 52;27,46 . .
54;44
65;16
d
=
~~~~~~~~~~
62;48,42,46-0;15,9,32
El espeso de la es e a de la luna es, po an o,
62;48,42 -52;27,46 = 10;20,56 . .
4.2. A pa i de lo an e io es posible de i a algunos alo es que no son dados
explici amen e en el ex o de Le i: a) las dis ancias máxima y mínima en adios e es es
en e el cen o de la luna y el de la ie a, y b) la a iación de diáme o apa en e
co espondien e a esas dis ancias, a cuya de e minación empí ica Le i pa ece, de
acue do con el ex o, habe dedicado mucho iempo, aunque en ningún luga o ezca al
lec o los alo es obse ados.
Es con enien e señala ,
en
p ime luga , que las dis ancias mencionadas más a iba
-62;48,42 . . y 52;27,46 . .- no co esponden a las dis ancias máxima y mínima de la
luna. Las equi alencias p olemaicas 'con exidad del o be supe io = dis ancia máxima
del plane a' y 'conca idad del o be in e io = dis ancia mínima del plane a' no se
man ienen
en
los modelos de Le i, que e i an las conocidas objeciones a los de P olomeo
23.
En
ealidad, de acue do con 92:20,
s, s,
= l/4;0,38,9,10, y es o es igual a 0;14,57,37 ( éase no a
an e io ). El alo
O;
15,9,32 es, sin emba go, consis en e con los cálculos que siguen.
24. Es o es 62;33,33,4 + 0;15,9,32.
La
sus i ución del alo 62;48,42,46 de los manusc i os po
62;48,42,36 se jus i ica po que 62;48,42,46 -
O;
15,9,32=62;33,33,14, mien as que en 90:86 es a dis ancia es
62;33,33,4,28,33,
18.
El alo 62;48,42,36 es á con i mado además po el ex o
enH
131
:8 (Golds ein, 1986, 289).
25. C . Golds ein, 1972.
En
el capí ulo
71
del ex o la ino de la As onomía Le i desc ibe es modelos
luna es
(1,
11y111),
de los cuales sólo el p ime o y el e ce o han sido es udiados ( éanse Golds ein, l 974b, y
Golds ein, 1972, espec i amen e). Las azones que conduje on a Le i a echaza ese modelo
111
son
mencionadas
en
el capí ulo 100, y al nue o modelo IV, que Le i no u o iempo de e mina , es án dedicados
los dos capí ulos siguien es (incomple o el 102 an o en la e sión heb ea como
en
la
la ina).
26. C el capí ulo
71
(A,
62 a).

La de e minación de
la
dis ancia del sol...
113
basadas en las disc epadas en e las a iaciones de diáme o apa en e obse adas y las
deducidas de la eo ía.
En
unidades ela i as y usando el modelo luna III (capí ulos 71,
A, 62 a, y 88, A, 72 a), las dis ancias luna es máxima y mínima son 65;16 y 62;44. La
dis ancia mínima absolu a es en onces
d . -
62;33,33,4
•
62;44
lllln
-=
60;7,51,23
. .
65;16
Si el diáme o apa en e luna en las syzygias es 0;27
,51
º,
su alo en las cuad a u as es
61;33,33,4.
0;27,51
= 0;28,59,37º
59;7,51,23
5.
TEXTO
LA
TINO
DE
LOS
CAPÍTULOS 90, 91 Y 92 DE
LA
ASTRONOMÍA.
A:
Va . La . 3098, . 77 a-78 a.
B:
Va . La . 3380, . 191 a-193 b.
L:
Lyon, Biblio heque Municipale 326, . 190 -193 .
Capi ulum 90
[In 90º inqui emus quan i a em medij diame i umb e e e in loco in quo e a luna
ipsa cuiusdam eclipsis· empo e de qua expe ien iam ce am habuimus e quan i a em
longi udinis umb e e quan i a em dis an ie lune a e a e quan i a em dis an ie solis a
e a.]
[l]
Nunc au em necesse es decla a e quan i a em semidiame i solis in empo e
eclipsis quam eci auimus anno Ch is i 1335 die 3ª mensis oc ub is uisse,
[2]
quia ídem
possumus di igí ad sciendum dis an ie cen i so lis a cen o e e, supponendo decla a um
esse supe ius quod sol une e a pos augem 106º e ci ca 0;8º.
[3]
Decla a io hec es . [4] Pona u ABC ci cum e en ia quam sol in spe a sua
desc ibi , cuius cen um si punc us D, e cen um e e punc us E [Fig. 90.1
].
[5]
E linea
ADEC si linea ansiens pe hec cen a. [6] E es no um quod punc us A es punc us
augis e punc us C eius sephel, quod es ipsius opposi um. [7] E si angulus ADB 106;8º.
[8]
E
emane angulus EDB complemen um 180º, quod es 73;52º.
[9]
E p o aha u
linea EF pe pendicula is supe lineam DB. [
10]
E
quia quan i as anguli EDF es 73;52º,
emane angulus DEF complemen um 90º, quod es 16;8º. [11] E ideo es no um quod
in quan i a e in qua linea ED es 60;0, es
lineaEF
57;38,10 e linea DF es 16;40,
19.
[12]
E in quan i a e in qua linea
ED
es
2;
14, u decla a um es sup a, es linea EF 2;8,42 e
114
J.
L. Mancha
lineaDF0;37,14. [13]
E emane lineaFB
complemen um60;0,quodes 59;22,46. [14]
E
quia linea EB es in po en ia maio
ea
in quan i a e quad a i linee EF, sequi u quod
linea EB si 59;25,5. [15]
E
au e a u a linea EB linea
EG
equalis dis an ie solis
a e a
in sephel. [16]
E
es no um ex decla a o supe ius quod si cen um solis esse in punc o
G quan i as diame i eius uise esse 0;30º ci cum e en ia quam une ci ca cen um e e
desc ibi . [ 17]
E
es no um quod p opo io quan i a is diame i so lis uise ipso s an e in
punc o G [ad quan i a em diame i so lis uise ipso s an e in punc o B] es quasi alis qualis
es p opo io linee
EG
ad lineam EB, que p opo io es alis qualis es p opo io 57;46 ad
59;25 ,5. [18] Sequi u quod quan i as diame i so lis uise in is a eclipsi ui 0;29
,9
,58,48º
e ci ca 24 quin a.
[ 19]
E
ex quo hoc es seda um possumus di igi ad decla andum quan i a em
longi udinis umb e e e in is a eclipsi a cen o e e usque ad punc um in quo e mina u
e ad sciendum dis an iam cen i solis a cen o e e, [20] quia iam es supposi um sup a
quod semidiame e e e es 0;54,57,32,47º espec u ci cum e en ie quam luna empo e
opposi ionis ci ca cen um e e desc ibi e quod semidiame e umb e ui in eadem
eclipsi espec u eiusdem ci cum e en ie 0;42°.
[21] Cuius decla a io hec es . [22] Pona u AB ci cum e en ia co po is solis
ansiens pe cen um ipsius, quod es C [Fig. 90.2]. [23]
E
ED
pona u ci cum e en ia
co po is e e ci ca cen um ipsius, quod es F. [24]
E
dic e ambe ci cum e en ie in
eadem supe icie ponan u . [25] E pona u punc us G cen um lune empo e eclipsis
luna is luna s an e in capi e uel cauda D aconis, quod G es e iam cen um ci cum e en ie
umb e, e linea GH si quan i as semidiame i ci cum e en ie umb e in hoc loco. [26] E
si linea CFG ec a ansiens pe omnes dic as diame os. [27]
E
sin punc us A co po is
solis e punc us D co po is e e e punc us H diame i umb e in eadem linea ec a. [28]
E
es no um quod is a linea angi co po a solis e e e, non ea in e secans. [29]
E
signen u linee AC, DF. [30]
E
es no um quod angulus CAD es ec us e e iam angulus
FDH. [31] Sequi u quod linee AC, DF, sin pa alelle. [32] E es no um modico s udio
quod linea GH es quasi equalis linee que exi e de punc o G ad lineam ADH pa alelle
lineis AC, DF. [33]
E
ideo es no um quod linea que exi e de punc o G ad lineam ADH,
pa alella lineis AC, DF, es b euio quam linea DF; [34] quia decla a um es quod
semidiame e umb e es mino semidiame o e e ci ca 0;13º. [35]
E
ideo es no um
modico s udio quod si p o ahan u linee AH, CG, ad in ini um concu en . [36]
E
pona u quod concu an in punc o
1,
u
i
in is a igu a. [37] E pona u quod linea CF
in e sece co pus e e in punc o E. [38] E p o aha u linea EB angens ci cum e en iam
co po is solis in punc o B. [39]
E
p o aha u linea CB. [40] E expedi quod ex hoc
decla emus quan i a em cuiuslibe pa is linee CFI, e inde deueniemus in scien iam
quan i a um co po um solis e lune [e eo um] p opo ionem ad co pus e e.
[ 41] E p imo que imus decla a e quan i a em linee FI in quan i a e in qua linea FD
es 1
;O,
que es semidiame e e e. [ 42] E iam es decla a um quod in quan i a e in qua linea
FD es 1
;O
es linea FG 62;32,58, 16,24,8 e ci ca 29 sex a. [ 43] E quia in quan i a e in qua
La de e minación de la dis ancia del sol
...
115
linea DF es 0;54,57
,32,47
es linea GH 0;42, no um es quod
in
quan i a e
in
qua linea DF es
1;0,
es lineaGH0;45,51,8,l l,5 e ci ca52
sex a.
[44]
E quialineaGHes quasi equalis linee
pa alelle linee FD que exi e
de
punc o G
ad
lineam
DI,
no um es quod p opo io linee IF
ad
lineam
IG
es quasi alis qualis es p opo io linee DF
ad
l uea n
GH.
[45]
Sequi u quod
p opo io linee
IG
ad
linea n GF si quasi alis qualis es p opo io linee
GH
ad
excessum linee
DF supe lineam
GH.
[46]
Se is a p opo io, u es decla a um, es
alis
qualis es p opo io
0;45,51,8,l l,8,52adcomplemen um
1;0;
quodes O; 14,8,51,48,51,8.
[47]
E is ap opo ioes
quasi
alisqualises p opo io
3;
14,27
,28,15,51,33ad1
;O.
[
48]
Se lineaGF es 62;32,58,
16,24,8
e ci ca
29
sex a in quan i a e
in
qua semidia ne e
e e
es 1
;O.
[
49]
E es no um
ex
hoc
quod
linea
GI
es
in
is a quan i a e 202;43,14,43,
10
e ci ca
37
quin a.
[50]
E bine es
no um
quod
linea FI es
in
is a quan i a e
265;
16,
12,59
,34,45
e ci ca
29
sex a.
[
51]
E
in
quan i a e
in
qua
linea FI es 60;0, es linea DF
O;
13,34,15,49,51.
[52]
Ex
quo sequi u quod angulus DIF si
O;
12,57
,32,47º
e ci ca 2quin a,
qui
es angulus AIC
me .
[53]
Se angulus
CEB
in
dic aeclipsi
e ie die oc ub is ui
O;
14,34,59
,24º
e ci ca
12
quin a, u decla a um es
sup a.
[
54]
Sequi u
quod
in
quan i a e
in
qua linea
EC
es 60;0, si linea
CB
O;
15, 16,
14,25,49,
que
es
sinus
anguli
CEB,
[55]
e
in
quan i a e
in
qua linea a es
60;0,
es
linea
CA
O;
13,34,15,49,55,
que
es
sinus
anguli
CIA.
[56]
E quia linea
CA
es
equalis
linee
CB,
quia quelibe es semidia ne e
co po is
solis,
e es no um quod p opo io
linee
CE
ad
lineam
a es
alis
qualis
es
p opo io
O;
13,34,15,49,55
ad
0;15,16,14,25,49.
[57]
E
si
diuida nus,
es no um
quod
p opo io
linee
EC
ad
lineam
El es
alis
qualis
es
p opo io
0;13,34,15,49,55
ad
0;1,41,58,35,54.
[58]
E is a
p opo io es
al!s
qualis es 7;59,5,18,29,39 ad
1;0.
[59]
Se quan i as linee El es
266;
16,
12,59
,34,45,29
in
quan i a e
in
qua
semidia ne e e e es 1
;O,
u
decla a um
es
sup a.
[60]
Sequi u quodlineaEC si inis aquan i a e
2126;7
,l,9,12,15 e ci ca43
sex a.
[61]
Sequi u
quodlineaCEFsi inis aquan i a e2127;7,l,9,12,15e ci ca42sex a,e inquan i a einquaCF
es 60;0,
FDO;
1,41,32,45,
13,30.
[62]
Sequi u quodex is a
posi ione
angulusdiue si a isaspec us
si
O;
1,36,57º
e ci ca
58
qua a.
[63]
E hoc aliquali e elonga u ab eo quod supposue amus supe ius de quan i a e
diue si a is aspec us solis.
[64]
Ideo necesse es quod inqui endo uia a gumen o um
ingenij quan i a em diue si a is aspec us solis ali e supponamus quod non con adica
sibi ipsi dic e supposi io quan i a is, u
ex
hoc deueniamus in quan i a um p edic a um
no i iam p ou nos a possibili as
se
ex endi .
[65]
E ideo nunc supponimus uia
a gumen o um ingenij quod quan i as inalis diue si a is aspec us si 1;37º.
[66]
Ex quo sequi u decla ando u p ius quod in quan i a e in qua semidiame e
ci cum e en ie quam luna ci ca cen um e e empo e coniunc ionis e opposi ionis
desc ibi es 60;0, si [semi]diame e e e 0;57,32,26,0,53.
[67]
E in quan i a e in qua
semidiame e e e es 1
;O,
que es linea
FD
in is a igu a, es semidia ne e ci cum e en ie
an edic e
62;
3 3
,5
2,25
,43
,29, que es linea FG in is a igu a. [ 68] E quia
in
is
a quan i a e
es semidiame e umb e, que es linea
GH
in
is
a igu a, 0;45,51,35,33,35, e i mani es um
modo p edic o quod p opo io linee GH ad excessum semidiame i e e supe dic am ·
lineam
GH
es alis qualis p opo io 3;14,35,40,52,13,26
ad
1;0.
[69]
E ideo es no um
116
J.L.
Mancha
modo p edic o quod linea GI in is a igu a es in is a quan i a e 202;54,43,53,47 ,58. [70)
Sequi u quod linea FI in is a igu a si in is a quan i a e 265;28,36,19,31,27,5. [71)
E
in quan i a e in qua linea FI es 60;0 es linea DFO; 13,33,37,49,58,55. [72) E e i no um
quod p opo io linee CE ad lineam CI es alis qualis es p opo io 0;13,33,37,49,58,55
ad
O;
15, 16, 14,25,49. [73]
E
quando diuidemus e i p opo io linee
CE
ad lineam
El
alis
qualis es p opo io 0;13,33,37,49,58,55 ad 0;1,42,36,35,50,5. [74)
E
is a p opo io es
alis qualis es p opo io 7;55,45,40,15,17,5 ad 1;0. [75) Se quan i as linee
El
es
secundum is am posi ionem 266;28,36,
19
,31,27. [76) Sequi u quod quan i as linee EC
si in is a quan i a e 2113;59,17,48,47 ,25. [77) Sequi u quod linea CF in is a igu a si
in is a quan i a e 2114;59, 17,48,4 7 e ci ca 25 quin a. [78)
E
in quan i a e in qua linea
CF es 60;0 es linea FD
O;
1,42,
17
,4,37. [79) Sequi u quod quan i as inalis diue si as
aspec us so lis si
O;
1,37,31,19° e ci ca 36 quin a.
[80)
E
hoc es maius supposi o 0;0,0,31,19,36°. [81) Se quando supposuimus
angulum diue si a is inalis aspec us solis
O;
1,37 ,32,4 7º, e a consequens minus supposi o
0;0,0,34,49º. [82) E ex hoc seque e u uia a gumen o um ingenij quod debe emus
accipe e de is is 0;0,0,32,47º secundum p opo ionem an um quod deueni emus ad
aliquam quan i a em que non con adice e sibi ipsi. [83] E quando hoc modo p ocessimus
andem inuenimus quod expedi suppone e angulum inalis diue si a is aspec us solis
O;
1,37, 17º, quia une consequens huius is i supposi ioni mul um conco da .
[84)
E
sequi u ex hoc modo p edic o quod quan i as inalis diue si a is aspec us
lune coniunc ionis e opposi ionis empo ibus si 0;54,57, 17º. [85]
E
ex hoc es no um
modo p edic o quod in quan i a e in qua semidiame e ci cum e en ie quam ci ca
cen um e e luna desc ibi coniunc ionis e opposi ionis empo ibus es 60;0, es
semidiame e e e 0;57 ,32,43,48,58,26. [86)
E
in quan i a e in qua semidiame e e e
es 1
;O,
que es linea FD in is a igu a, es semidiame e ci cum e en ie p edic e desc ip e
a luna, que es in p edic a igu a linea FG, 62;33,33,4,28,33,18. [87)
E
in is a quan i a e
es semidiame e umb e, que [es ] linea GH, 0;45,51,21,21,17,28. [88) E e iam e i
no um modo p edic o quod p opo io semidiame i umb e, que es linea GH, ad
excessum semidiame i e e supe semidiame um umb e es alis qualis es p opo io
3;14,31,25,10,51ad1;0. [89)
E
es no um modo p edic o quod quan i as linee [GI] in
is a igu a es in is a quan i a e 202;49,14,31,53,16,26. [90) Sequi u ex hoc quod linea
FI si 265;22,47,36,21,49,44. [91) E in quan i a e in qua linea FI es 60;0 es linea
DF
O;
13,33,55,25,6,22. [92) E es no um modo p edic o quod p opo io linee CE ad lineam
El
es alis qualis es p opo io 0;13,33,55,25,6,22 ad 0;1,42,19,0,42,38. [93) E is a
p opo io es alis qualis es p opo io 7;57 ,17,45,12,53 ad
l.
[94) Se quan i as linee El,
u decla a um es sup a, es in quan i a e p edic a 266;22,4 7 ,36,21,49 ,44. [95) Sequi u
quod linea EC si in quan i a e p edic a 2119;2,1,39,52,24 e ci ca 30 sex a. [96) E in
quan i a e in qua linea CF es 60;0 es linea FD 0;1,41,53,6 e ci ca 36 quin a. [97]
Sequi u quod inalis diue si as aspec us so lis si
O;
1,37,
17
e ci ca 22 qua a. [98)
E
hoc
mul um consen i ei quod supposuimus sup a.
La de e minación de la dis ancia del sol... 117
[99] Nunc au em expedi decla a i quod linea
GH
es quasi equalis linee pa alelle
linee
FD
que exi e de punc o G
ad
lineam DI, quod supposuimus sup a. [100]
E
ne
igu a u be u expedi quod aciamus igu am ianguli DIF modo quo sup a dimi endo
co pus sola e [Fig. 90.3 ]. [
1O1]
E
si linea
GH
semidiame e umb e sup a
e
p o aha u
de punc o H linea
HK
pa alella linea
GF
in e secans lineam
DF
in punc o
K.
[102]
E
p o aha u
de
punc o G linea
GL
pe pendicula is supe lineam DI. [103] E es no um
quod angulus
DHK
es equalis angulo DIF. [ 104] E quia linea
FD
es
O;
13,33,55,25,6,22
in quan i a e in qua linea FI [ es ] 60;0,
u
es supe ius decla a um, no um es quod angulus
DIF es
O;
12,57, 13,
17°.
[ 105] Sequi u quod angulus
DHK
si quan i a is eiusdem. [ 106]
E iam quia a cus semidiame i umb e es 0;42º sequi u quod angulus
HFG
si 0;42º. [ 107]
E
quia iangulus
HFG
habe c u a equalia, quia quelibe linea um FH, FG, es dis an ia
une a cen o, sequi u quod angulus
FHG
si 89;39º, quia es equalis angulo FGH. [ 108]
E
es no um quod angulus
FHK
es equalis angulo HFG. [109] Sequi u quod angulus
KHG si 90;21 º, cui addi o angulo DHK sequi u quod angulus
DHG
si 90;33,57,13,17º.
[110] E emane angulus
GHL
complemen um 180º, quod es 89;26,2,46,43°. [111] E
quia iangulus
HGL
habe unum angulum ec um, es no um quod in quan i a e in qua
linea
HG
es 60;0 es linea
GL
59;59,50. [112]
E
in quan i a e in
qua
linea
GH
es 0;42
es linea
GL
0;41,59,53. [113]
E
hoc quasi consen i quan i a i linee GH, quia ea um
di e en ia non posse aliquo ins umen o um quibus expe ien ie capiun cognosci; [ 114]
quibus ins umen is deuenimus in no i iam semidiame i umb e in is a eclipsi. [115] Ideo
de is a di e en ia modicum es cu andum.
l.
oc ob is BL.
7.
206;8
L.
12.
0;39,14 ABL. 17. 57;46: 0:46
A.
18.
0;29,9,58,48: ABL 0;29,9,50,40.
25. ci cum e en ie: ci cum e en ia AL. 30. CAD: ABL CAB. 34. pos semidiame um AL add. umb e e A
del. 42. 62;32,18,16,24,8 ABL. 43. 0;45,51,8,11,8: ABL 0;45,51,8,11,5. 49. 37 quin a: ABL 34 quin a. 52.
0;14,57,32,47 ABL. 53. oc ob is BL. 54. B 266;16,12,59,34,55,29. 56. e 2 om.
B;
es 3
om.
A.
60. 43: 42
B.
61. sequi u .
..
ex a: om.B. 65. uia: uiamABLe A co . 68.
3;
l4,35,42,52,l3,26ABL. 69. 202;54,42,53,47,58
ABL. 70. 265; 22,26,16,31,27,5 AL, 265;22,26,16,31,26,5
B.
71. 60;0: 6;0 L. 72. qualis ep. A. 74.
7;55,45,30,15,17,5 ABL. 75. 266;28,36,14,31,27 ABL. 82. hoc om. AL. 87. e : ABL es e L co .;
0;45,51,21,21,17,28: 0;45,51,21,22,17,28
L.
88. semidiame um: diame um L. 89. in2
om.
A.
91.
O;l3,33,35,25,6,22ABL. 92. 0;13,33,55,25,6,26ABL; O;l,42,19,42,l8ABL. 95. p edic a+ si AL. 109. si .
..
DHG add.
a.m.
mg.
B.
ll
l.
GL + es AL.
ll4.
deueniemus L.
Capi ulum
91
[In
91
º inqui emus dis an iam que
es a
so le ad cen um e e quando es in auge uel
in opposi o augis.]
[1]
E
expedi decla a e in hoc loco solis s an is in auge e in sephel a cen o e e
dis an iam, [2] quia ex diue si a e is ius dis an ie sequi u in semidiame o umb e
diue si as desc ip a in luna empo e eclipsium. [3] E dico quod iam es decla a um

118
J.
L. Mancha
dis an iam cen i solis a cen o e e in eclipsi que ui anno Ch is i 1335 die 3ª oc ub is
uisse 59;25,5 in quan i a e in qua es semidiame e spe e solis 60;0.
[4]
E
une, u
decla a um es , e a dis an ia p eliba a 2120 e ci ca 0;2 in quan i a e in qua es
semidiame e e e l;O. [5]
E
quia dic a dis an ia ipso s an e in sepbel es 57;46 in
quan i a e in qua semidiame e spe e solis es 60;0, e ipso s an e in auge es 62; 14,
[6]
no um es quod p opo io dis an ie solis
a e a
ipso s an e in sepbel ad dis an iam quam
babeba
a e a
empo e eclipsis p edic e es alis qualis es p opo io 57;46 ad 59;25,5,
[7]
e quod p opo io dic e dis an ie ipso s an e in auge ad dis an iam eius empo e dic e
eclipsis es alis qualis es p opo io 62; 14 ad 59;25,5. [8]
E
bine es no um quod dic a
dis an ia sole s an e in sepbel es 2061;4,25,40,7 e ci ca 55 quin a in quan i a e in qua
semidiame e e e es 1;0 e ipso s an e in auge es 2220;28,59,3,37 e ci ca 39 quin a.
[9]
E
boc es quod uolebamus p oba e.
2.
diue si as: diue si a is AL; desc ip a: desc ip e ABL.
3.
oc ob is BL.
7.
habea B.
Capi ulum 92
[In 92º inqui emus p opo ionem que es ín e quan i a em co po is solis e lune e
e e ad inuicem.]
[1]
Nunc au em ex decla a is p opo ionem co po um solis e lune ad co pus e e
possumus decla a e acili e .
[2]
E quia decla a um es quod semidiame e solis in is o loco
empo e p edic e eclipsis e a an a quod eius angulus e a 0;14,34,59,24,12º e angulus
semidiame i e e uisus espec u spe e solis, u decla a um es , e a
O;
1,37°
e ci ca
17
e ia,
[3]
e quia p opo io co de ad co dam in is is angulis pa uis es quasi alis qualis es p opo io
a cus ad a cum, u P olomeus decla a e e iam es no um modico s udio ex nos o se mone
a cuum e co da um, [
4]
no um es quod p opo io semidiame i
so
lis ad semidiame um e e
es alis qualis es p opo io
O;
14,34,59 ,24,12º ad
O;
1,3
7º
e ci ca
17
e ia. [
5]
E is a p opo io
es alis qualis es p opo io 8;59,39,16,45 ad
1;0.
[6]
E quia p opo io spe e ad spe am es
alis qualis es p opo io ea um diame o um in p opo ione ipla a, no um es quod in
quan i a e in qua co pus e e es 1
;O,
co pus solis es 727;36 e ci ca 0;0,8.
[7]
E
bine es nobis no a quan i as spissi udinis spe a um solis ad minus quo
possun poni secundum is am posi ionem; [8] quia si quan i a em semidiame i solis
maio i dis an ie solis a cen o e e addamus e eam a mino i dis an ia sub ahamus,
sequi u quod maio dis an ia conuexi dic a um spe a um si al io mino i dis an ia
concaui ea undem ad minus quo possun poni 177 e ci ca 0;24.
[9]
E bic non
compu amus spissi udines spe a um baben ium supe icies pa alellas, quia non babemus
uiam ad scien iam ea um spissi udinum nos ducen em. [10]
E
posse esse quod
spissi udo ea um si
O;
1 e po es es se maio uel mino . [
11]
E expedi quod c edamus
La de e minación de la dis ancia del sol
...
119
quod spissi udo ea u n non es magna, quia sine spissi udine magna su iciun ad illud
ad quod sun ins u nen u n
e
in
ebus na u alibus nichil in uanu n asse i u . [12] E
eade n a ione non expedi quod spissi udo spe e de e en is co pus sola e pona u nisi in
quan i a e dia ne i co po is p eliba i.
[ 13] E eode n modo quo decla aui nus p opo ione n co po is so lis ad co pus e e
e i no a p opo io co po is lune
ad
co pus e e. [14] E bine deuenie nus ad scien ia n
p opo ionis co po is lune ad co pus solis.
[15] Cuius decla a io hec es . [16] Na n decla a u n es quod angulus se nidia ne i
e e uisus espec o lune e npo e eclipsiu n es 0;54,57º
e
ci ca
17
e ia. [ 17] E quia
uide nus angulu n se nidia ne i lune
O;
13
,55 ,30º, no u n es nodico s udio, u decla a u n
es ex dis an ia cen i co po is lune eclipsiu n e npo e a cen o e e, quod dic us angulus
esse in p opo ione n ad cen u n spe e lune eclipsiu n e npo e 0;13,42,8º e ci ca 33
qua a.
(181
Sequi u quod p opo io semidiame i co po is lune ad semidiame um
co p.o is e e es quasi alis qualis es p opo io anguli ad angulum, u dic um es sup a;
[19] in endo dice e
u
es p opo io
O;
13,42,8,33º
ad
0;54,57º e ci ca
17
e ia. [20] E
is a p opo io es alis qualis es p opo io 1;0 ad 4;0,38,9,10. [21] E e i no u n modo
p edic o quod p opo io co po is lune ad co pus e e es alis qualis es p opo io l
;O
ad
64;30,36,
11
e ci ca 22 qua a. [22]
E
in quan i a e in qua co pus e e es 1
;O,
es co pus
lune 0;0,55,48 e ci ca 19 qua a. [23] E bine es no u n quod in quan i a e in qua co pus
[lune] es 1
;O,
co pus solis es 46937 e ci ca 0;40.
[24] E bine e ia n no a es quan i as spissi udinis spe a u n lune ad ninus quo poni
possun . [25] Na n maio i dis an ie cen i lune a e a quan i a e n semidia ne i lune
· adde nus, que es 0;15,9,32. [26] Supponendo semidia ne um e e 1;0, sequi u quod
maio dis an ia conuexi supe io is spe e lune a cen o e e es 62;48,42 e ci ca 0;36 e ia.
[27]
E
quia p opo io mino is dis an ie is a um spe a u n ad naio em, a dic a maio i
sub ac a semidia ne o co po is lune, es alis qualis es p opo io 54;44 ad 65;
16,
no u n
es quod dis an ia in e io is spe a u n lune a cen o e e non es maio 52;27 e ci ca 0;0,46.
[28] E bine es no um quod spissi udo spe a u n lune non po es esse nino 10;20 e ci ca
0;0,56 in quan i a e p edic a. [29] E bene posse esse maio a ione spissi udinis dua um
spe a u n in e io um haben iu n supe icies pa alellas. [30] Se nos non possumus
ce i udinali e sci e quan i a em ea um, se uide u quod debea esse pa ua quia na u a
nichil aci in uanum. [31] E quicquid si non habe nos po am nos ducen em in punc ale n
quan i a e n ea um. [32] E no um es quod cuilibe scien i ico expedi seceme e illud quod
es decla abile in sua scien ia ab eo quod in ea decla a i non po es .
[33] E hic es decla a um quodque eba nus de p opo ionibus co po u n p edic o um
ad inuice n e de spissi udinibus spe a um so lis e lune p ou nos a possibili as se ex endi .
l.
e 1 om. B. 5. 8;59,29,16,45 ABL. 8. maio i: maio is AL; dis an ia, om.
B;
spe a um om. B.
10.
possi
L. 13. co po is2 om. B. 20-21. ad ... ad2: om. B. 22. 1
;O:
21;0 B. 23. 46937: 5537 ABL. 26. 0;36 e ia: ABL 0;46
e ia. 27. a dic a: ad eam L. 31. punc ualem
B.
32.
eo
+e
B.
120 J. L. Mancha
6. TRADUCCIÓN Capí ulo 90
[En el capí ulo 90 in es iga emos el alo del adio de
la
somb a de la ie a
en
el
momen o de cie o eclipse del que u imos expe iencia cie a, y el alo de
la
longi ud
de
la
somb a, y el de
la
dis ancia de
la
luna a la ie a y el de la dis ancia del sol a la ie a.]
[
1]
Aho a es necesa io es ablece el alo del adio sola en el momen o del eclipse
que hemos dicho que ocu ió el día 3 del mes de oc ub e del año 1335 de la e a c is iana,
[2] po que podemos u iliza lo pa a conoce
la
dis ancia en e el cen o del sol y el de la
ie a, suponiendo es ablecido p e iamen e que el sol dis aba en onces del apogeo [de su
excén ico] ap oximadamen e 106;8º.
[3] Lo hacemos del siguien e modo. [4] Sea ABC la ci cum e encia que el sol
desc ibe en su es e a, con cen o en el pun o D, y sea E el cen o de
la
ie a [Fig. 90.1].
[5] Sea ADEC
la
línea que pasa po esos cen os. [ 6] Es sabido que el pun o A es el apogeo
y
el
punc o C su sephel, que es su opues o. [7] Sea el ángulo ADB 106;8º. [8] Queda
el
ángulo EDB, su suplemen a io, que es 73;52º. [8] T ácese la línea
EF
pe pendicula a
la
línea DB. [10] Pues o que el alo del ángulo EDF es 73;52º, el ángulo DEF, su com-
plemen a io, es 16;8º. [ 11] Sabemos po an o que
en
unidades en las que la línea
ED
es
60, la línea
EF
es 57;38,10 y la línea
DF
16;40,19. [12] En unidades en las que
la
línea
EDes
2;
14, como se
ha
es ablecido an es,
lalíneaEF
es 2;8,42 y la línea DF0;37,14. [13]
La línea FB, su complemen o sob e 60, es po an o 59;22,46. [
14]
Y pues o que EB2 =
FB2 +
EF
2, se sigue que
la
línea EB es 59;25,5. [15] Señálese en la línea EB la línea EG,
igual a
la
dis ancia del sol en su sephel a la ie a. [16] A pa i de lo es ablecido más a iba
sabemos que, si
el
cen o del sol es u iese
en
el
pun o G, su diáme o apa en e se ía 0;300
de la ci cun e encia cuyo adio es la dis ancia en e el cen o de la ie a y G. [17] Se sabe
ambién que la azón en e los diáme os apa en es del sol
en
los pun os G y
Bes
casi igual
a
la
exis en e en e las líneas
EG
y EB, que es idén ica a la que hay en e 57;46 y 59;25,5.
[
18]
Se sigue de ello que el diáme o apa en e del sol
en
ese eclipse ue ap oximadamen e
0;29,9,58,48,24º.
[19] Una ez conseguido es o podemos encamina nos a es ablece el alo de
la
longi ud de
la
somb a de
la
ie a, desde su cen o has a el pun o donde e mina, du an e
ese eclipse, y a conoce la dis ancia del cen o del sol al cen o de la ie a, [20] po que
ya se ha supues o más a iba que el adio e es e es 0;54,57 ,32,47º de la ci cun e encia
cuyo adio es
la
dis ancia en e el cen o de la ie a y la luna en el momen o de la
oposición, y que el adio de la somb a e a en ese eclipse 0;42° de
la
misma ci cun e encia.
[21] Lo es ablecemos así. [22] Sea AB un cí culo máximo
en
el sol, cuyo cen o
es C [Fig. 90.2]. [23] Y sea ED un cí culo máximo en la ie a, cuyo cen o es F. [24]
Colóquense ambos cí culos
en
la misma supe icie. [25] Sea el pun o G el cen o de la
luna si uada
en
uno de los nodos en el momen o del eclipse, siendo a la ez el cen o de
la sección del cono de somb a, y sea
la
línea GH el adio de la somb a
en
ese luga . [26]
La de e minación de la dis ancia del sol ...
121
T ácese la ec a CFG pasando po los diáme os de esos cí culos. [27] Si úense los pun os
A del sol, D de la ie a y H del diáme o de la somb a en la misma ec a. [28] Se sabe
que es a línea es angen e al sol y la ie a, no secan e. [29] T ácense las líneas AC, DF.
[30] Sabemos que los ángulos CAD y FDH son ec os. [31] Se sigue de ello que las líneas
AC, DF, son pa alelas. [32] Puede e se sin di icul ad que la línea GH es casi igual a la
línea que, pa alela a AC y DF, pod ía aza se desde el pun o G has a la línea ADH. [33]
Se sabe po an o que la línea que, pa alela a AC y DF, i ía de G has a la línea ADH se ía
meno que DF;
[34]
po que ya se ha dicho que el adio de
la
somb a es meno que el adio
de la ie a ap oximadamen e
O;
13º. [35] Se sabe po an o sin di icul ad que las líneas
AH, CG, se co an si se p olongan al in ini o. [36] Supóngase que se co an en el pun o
1,
como en la igu a. [37] Supóngase que la línea CF oque a la ie a en el pun o
E.
[38]
T ácese la línea EB angen e a la es e a sola
en
el pun o B. [39] T ácese la línea CB. [40]
Con iene que a pa i de es o es ablezcamos el alo de las dis in as pa es de la línea CFI,
y a pa i de ahí de i emos el alo de los olúmenes del sol y de la luna y su azón
espec o al de la ie a.
[41] P ocu emos p ime o es ablece el alo de la línea FI
en
unidades
en
las que
la línea FD, el adio e es e, ale
1.
[ 42] Ya se ha dicho que en unidades en las que
FD
es l la línea FG es ap oximadamen e 62;32,58, 16,24,8,29. [ 43] Y pues o que en unidades
de las que la línea
DF
con iene 0;54,57,32,47 la línea
GH
ale 0;42, si
DF
mide
1,
GH
mide ap oximadamen e 0;45,51,8,11,5,52. [44] Dado que la línea GH es casi igual a la
pa alela a FD azada desde el pun o G has a DI, se sabe que la azón en e las líneas
IF
e IG es casi la que exis e en e
DF
y GH. [45] Como consecuencia, la azón en e IG y
GF es casj la misma que en e
GH
y la di e encia en e
DF
y GH. [46] Pe o, como se ha
dicho, es a azón es igual a la que exis e en e 0;45,51,8, 11,8,52 y su complemen o sob e
1,
que es 0;14,8,51,48,51,8. [47] Y es a azón es casi igual a la de 3;14,27,28,15,51,33
espec o a
1.
[ 48] Pe o en unidades en las que el adio e es e mide
1,
la línea
GF
mide
ap oximadamen e 62;32,58,16,24,8,29. [49] De lo que se de i a que
en
las mismas
unidades la línea GI mide ap oximadamen e 202;43,14,43,10,37. [50] A pa i de ahí
sabemos
que
en
las
mismas
unidades
la
línea
FI
es
ap oximadamen e
265;16,12,59,34,45,29. [51] Y
silalíneaFimide
60, lalíneaDFmide0;13,34,15,49,51.
[52] De donde se de i a que el ángulo DIF es ap oximadamen e 0;12,57,32,47,2º, que
es ambién el alo del ángulo AIC. [53] Pe o du an e el mencionado eclipse del 3 de
oc ub e el ángulo CEB e a, como se ha dicho, ap oximadamen e
O;
14,34,59,24,12º. [54]
De
donde en unidades en las que la línea EC mide 60, la línea CB -que es el seno del
ángulo CEB- ale
O;
15,16,14,25,49, [55] y si la línea CI es 60, la línea
CA-que
es el seno
del ángulo CIA- es 0;13,34,15,49,55. [56] Y pues o que las líneas CA y CB son iguales,
po que ambas son adios del sol, se sabe ambién que la azón en e CE y CI es igual que
la azón en e
O;
13,34,15,49,55 y 0;15,16,14,25,49. [57] Y si di idimos, sabemos que la
azón en e EC y
El
es igual a la azón en e 0;13,34,15,49,55yO;1,41,58,35,54. [57] Y
es a azón es idén ica a la de 7;59,5,18,29,39 espec o a
l.
[59] Pe o, como se dijo más