La determinación de la distancia del sol en la Astronomía de Levi Ben Gerson

LA DETERMINACIÓN DE LA DISTANCIA DEL SOL EN LA ASTRONOMÍA DE LEVI BEN GERSON J.L. MANCHA l. INTRODUCCIÓN ... jus laying oj , o e idence, an o e coa o clay. Neugebaue (1957, 205-6) esc ibió que no hay mejo modo de con ence se de la cohe encia in e na de la as onomía an igua y medie al que coloca uno al lado de o o el Almages o, el Opus as onomicum de al-Ba ani y el De e olu ionibus de Copémico, y comp oba que capí ulo a capí ulo, eo ema a eo ema, y abla a abla, las es ob as discu en pa alelamen e. Una excepción al p edominio de la adición p olemaica la cons i uye la sección V de Se e M ilhamo Adonai (Libe bello um Dei), que con iene el sis ema a~ onómico de Le i ben Ge son (1288-1344) y es p obablemen e el ex o de as onomía más o iginal de cuan os ue on esc i os en e el Almages o de P olomeo (ca. 150) y la As onomia no a (1609) de Keple 1• En el ámbi o de la cosmología ma emá ica, lasH ipó esis de los plane as de P olomeo desempeña on el mismo papel undacional que el Almages o en el de la as onomía, y esboza on un modelo del cosmos -incluyendo una eo ía sob e amaños y dis ancias de los plane as- que se man u o p ác icamen e sin modi icaciones has a Copémico2• En el ex o de Le i, la eo ía sob e magni udes y dis ancias plane a ias cons i uye ambién uno de sus aspec os más adicalmen e no edosos. Como p ueba de ello bas e menciona los alo es p olemaicos pa a la dis ancia de la es e a de las es ellas ijas y pa a el diáme o de las es ellas de p ime a magni ud, 20.000 adios e es es y 4 + 1/2 + 1/25 1. Muchos aspec os impo an es de la ob a de Le i esul an ya conocidos: dos de sus modelos luna es y sus ablas as onómicas (Golds ein, 1972, 1974a, 1974b), su alo pa a la p ecesión (Golds ein, 1975), sus inno aciones en ins umen os de obse ación (Golds ein, 1977), sus cálculos y obse aciones de eclipses (Golds ein, 1979) y sus obse aciones plane a ias (Golds ein, 1988); Golds ein (1985) con iene una edición con aducción y comen a io de los 20 p ime os capí ulos de la e sión heb ea de la As onomía de Le i. 2. Unaexcepciónin e esan eenlaas onomíaislámicalacons i uyeMu'ayyadal-Dinal-'U di(m.1266); c . Golds ein & Swe dlow (1970-71) y Saliba (1979). 98 J. L. Mancha diáme os e es es, espec i amen e, y compa a los con los calculados po Le i en el capí ulo 134 de la As onomía pa a el supues o de que Me cu io y Venus es én si uados po encima del sol: 159 x 10 12 + 6.515 x 108 + 1.338 x 104 + 944 adios e es es y 328 x 108 diáme os e es es, espec i amen e3• La dis ancia ci ada de i a de es supues os: (1) la azón en e las dis ancias ela i as máxima y mínima ob enidas de los modelos plane a ios es la misma que la exis en e en e las dis ancias absolu as máxima y mínima, (2) en e la es e a o conjun o de o bes de un plane a y el conjun o del inmedia amen e an e io o pos e io exis e un luido elás ico de di e en e espeso cuya unción es impedi la ansmisión del mo imien o de uno a o o, y (3) un alo no p olemaico pa a la dis ancia del sol -2.140 adios e es es pa a la dis ancia media, en luga de los 1.210 de P olomeo-, que Le i de e mina en los capí ulos 90 y 91 de la As onomía a pa i de su obse ación del eclipse luna del 3 de oc ub e de 1335 y del alo de la excen icidad (2; 14 pa a un adio del de e en e de 60;0) in e ido en el capí ulo 56 de obse aciones ealizadas en 1334 de la a iación del diáme o sola apa en e. El obje o de es e a ículo es expone la de e minación de las dis ancias mínima y máxima sola y de las magni udes del sol y la luna que Le i lle a a cabo en los capí ulos 90, 91 y 92 de la As onomía. Pues o que es os capí ulos son inédi os an o en su e sión heb ea como la ina4, se añade una edición c í ica del ex o la ino (seguida de aducción), u ilizando pa a ello es de las cua o copias manusc i as conse adas: códices 3098 (A) y 3380 (B) de la Biblio eca Va icana, y 326 (L) de la Biblio eca Municipal de Lyon. La cua a, el manusc i o D 327 de la Biblio eca Amb osiana de Milán, de i a de L y he p escindido de sus a ian es en el apa a o c í ico5• A e ec os de acili a la compa ación con el ex o de Le i (dado que el p ocedimien- o de és e es di e en e del de P olomeo ), se esumen a con inuación las secciones del Almages o (V, 15-16: Toome , 1984, 255-7; Neugebaue , 1975, 109-10) dedicadas a la de i ación de la dis ancia sola y de los olúmenes del sol y la luna. 3. Golds ein (l 974a), 29. En el caso de que Me cu io y Venus es u ie an si uados po debajo del sol, Le i calcula que la conca idad de la es e a de las es ellas ijas se halla ía a 83.851; 18 . ., un alo que disc epa ambién de mane a conside able del p olemaico; c . Golds ein (1986), 294. 4. He p obado en o o luga (Mancha, 1992b) que la aducción la ina de la As onomía ue ealizada po Ped o de Alejand íao dinis a um he emi a um sanc i Augus ini (un pe sonaje ya conocido como aduc o de la P ognos ica io de Le i y ambién de una edi io de los capí ulos 4 a 11 de la As onomía dedicada al papa Clemen e VI en 1342, conocida como De sinibus y i ulada en las copias conse adas T ac a us ins umen i as onomie) p obablemen e en e 1339 y 1344 y, lo que es más in e esan e, que Le i colabo ó en la aducción, in oduciendo modi icaciones espec o al ex o heb eo conse ado; compa ada con és e, puede se conside ada po an o una úl ima e sión de la ob a más que una aducción. Con excepción del índice de capí ulos (Renan- Neubaue , 1893) y algunos pasajes ela i os al uso po Le i de la came a obscu a y a su de i ación de la excen icidad sola (Mancha, 1989; l 992a), la e sión la ina de es os manusc i os es á comple amen e inédi a. Dos capí ulos del De sinibus, en cambio, ue on edi ados po Cu ze (1989, 1901). 5. En el ex o p esen ado en la sección 5 de es e a ículo, las inse ciones edi o iales apa ecen en e co che es. Los í ulos de los capí ulos es án omados del índice de ma e ias al comienzo de la ob a (A, l a-2 b; B, 7l a-73 ; L, l -7 ). La de e minación de la dis ancia del sol ... 99 2. LA DISTANCIA SOLAR PTOLEMAICA El p ocedimien o de P olomeo6 supone que la dis ancia máxima luna , ob enida independien emen e a pa i de la pa alaje (Almages o, V, 13), es 64; 10 . ., que a esa dis ancia los diáme os apa en es de la luna y el sol son iguales y miden 0;31,20", que el adio angula del cono de somb a es 0;40,40°, i.e., ap oximadamen e 2;36 eces el adio apa en e de la luna (Almages o, V, 13-14), y que el adio luna es 0;17,33 . .. 2.1. En la igu a 1, E, M y S son, espec i amen e, los cen os de la ie a, la luna y el sol, s;' es el adio angula de la luna y del sol, s0' el adio angula de la somb a, y s0 = M'B el adio del cono de somb a de la ie a a una dis ancia de E igual a EM. Po an o, F s Fig. 1 EM = 64; 10 . ., s,' =O; 15,40º, MA = O; 17,33 . ., so'= 2;36 s;. Como los ángulos que in e ienen son pequeños se supone que -. M'B = s0 = 2;36 MA. Dado que EM = EM' y ED = 1 . ., ED = 1/2 (MC + s0 ), de donde MC = 2 ED - s0 = (2 -2;36 MA) ED, y AC = MC - MA = (2 -3;36 MA) ED = 0;56,49 . . 6. Sob e la de i ación en gene al y los p oblemas especí icos de la ó mula p olemaica éase Swe dlow (1968, 52-74). 100 J. L. Mancha De la igualdad de los diáme os apa en es se concluye que ED EF ES ES --=--=--=---- AC AF MS ES-EM Po lo an o, la dis ancia del sol en adios e es es es EM 64;10 ES =--- = ---- = 1.210 . . ED-AC 1-0;56,49 De ES = 1.21 O y s = 2;36 • O; 17 ,33 de i a a su ez el alo pa a la dis ancia en e el cen o de la ie a y el é ice del cono de somb a, pues o que Luego M'B • EM' OE= +EM'. ED -M'B 0;45,38. 64;10 OE = ------ + 64;10 = 268 . . 0;14,22 (exac amen e, 267;58,53 . .). P olomeo no especi ica en el Almages o si el alo de i ado pa a ES ep esen a la dis ancia sola máxima, media o mínima, aunque en las Hipó esis de los plane as (1, 2, 3) 1.210 . . co esponde a la dis ancia media. Pues o que en el modelo sola la excen icidad (e) es 2;30 pa a un adio del de e en e (R) igual a 60, en alo es absolu os e= 1.210/24 = 50;25 . .; de donde se deduce que la dis ancia mínima es 1.159;35 . . y la dis ancia máxima 1.260;25 . . Es os son los alo es de P olomeo pa a la dis ancia sola , acep ados con mínimas a iaciones a lo la go de la Edad Media (compá ense, po ejemplo, con los 1.108 y 1.142 adios e es es a ibuidos po al-Ba ani y Copémico, espec i amen e, a la dis ancia media). 2.2. La p opo ción en e los olúmenes de es os cue pos es la que exis e en e los cubos de sus diáme os. Pues o que MA = 0;17,33 . ., EM = 64; 10 . . y La de e minación de la dis ancia del sol ... EM MA = ES SF 0;17,33. 1.210 SF = ------ = 5;30 . . 64;10 101 (exac amen e,5;30,56)7• Si2MA= 1, 2ED= 3;24y 2SF= 18;48. Si V,, V1 yV 1 son, espec i amen e, los olúmenes del sol, la ie a y la luna, en onces, si V, = 1, V,= (3;24)3 = 39;15 (exac amen e, 39;18,14) y V,= (18;48)3 = 6.644;30 (exac amen e, 6.644;40,19). El olumen del sol es, po an o, unas 170 eces el de la ie a (exac amen e, 169;17,ll). 3. LA DISTANCIA DEL SOL SEGÚN LEVI 3.1. El p ime paso de Le i consis e en la de e minación del diáme o apa en e del sol en el momen o del eclipse luna del 3 de oc ub e de 1335, pa a lo que u iliza el modelo sola cuya excen icidad, 2; 14, ue de i ada en el capí ulo 56 de obse aciones ealizadas a lo la go de 1334 u ilizando la combinación de bas ón de J acob y came a obscu a ideada po él mismo (Mancha, l 992a, 289-98). De acue do con 90:28, 106;8º es en onces el alo de la anomalía sola media9• En la igu a 2 10 , Des el cen o del excén ico, E el cen o de la ie a, y Bel cen o del sol. A y C son, espec i amen e, apogeo y pe igeo. La excen icidad e= DE= 2; 14 7. In oduzco en e pa én esis p ecedida del ad e bio 'exac amen e' mi comp obación de cada paso del cálculo de Le i. Las disc epancias en e es e cálculo y el de Le i son meno es y, po lo gene al, sólo a ec an a la e ce a acción sexagesimal. Es p obable que esas disc epancias ue an aún más pequeñas de habe u ilizado la abla de senos de Le i (Golds ein, ! 974a, 153-5) e in e polación lineal. 8. Las e e encias al ex o la ino de los capí ulos 90, 91 y 92, se indican median e el núme o del capí ulo sepa ado po dos pun os del núme o co espondien e a la ase ci ada. La misma con ención se u iliza pa a las e e encias a la e sión heb ea, p ecedida en onces de la le a H. Pa a las e e encias a o os capí ulos de la e sión la ina se u iliza sólo el ms. Va . la . 3098 (A). 9. A la que co esponde, usando la abla 2 (Golds ein, 1974a, 156-7), una ecuación de 2;3,59°; su- poniendo de acue do con el capí ulo 57 (A, 45 a-46 b) que la longi ud del apogeo es 93°, la longi ud e dade a del sol es Lib a 17;4, 1 º.En H 61: 11 (A, 48 b) es a longi ud es Lib a 16;58,34º 2;25• después de la medianoche apa en e (Golds ein, 1975, 36) y en H 80: 134 (A, 66 b) Lib a 17;3,5º 3;38• después de la medianoche apa en e (Golds ein, 1979, 116). 10. Co esponde a la igu a 90.1 del ex o la ino edi ado en la sección 5 de es e a ículo, al como se encuen a en A, 77 , y B, 91 . 102 J.L. Mancha y EG = EC. Los ángulos DFE y EFB son ec os, y el ángulo ADB = 106;8º. En conse- cuencia, los ángulos EDF y DEF son 73;52º y 16;8º, espec i amen e. Si ED = R = 60, A e Fig. 2 EF = 60 •sen 73;52º = 57;38,10 (exac amen e, 57;38,13), y DF = 60 •sen 16;8º = 16;40,19 (exac amen e, 16;40,29). Si ED = 2;14, EF = 2;8,42 y DF = 0;37,14. Dado que DB = 60, FB = 59;22,46. Como EB2 = FB2 + FE 2, EB = 59;25,5. De acue do con el capí ulo 56 de la As onomía (Mancha, l 992a), el diáme o apa en e del sol en el pe igeo (2s'c) es 0;300. Po an o, su diáme o apa en e en el momen o del eclipse (2s'8) iene dado po 2s'8 = EC = 57;46 2s'c EB 59;25,5 De donde, 2s'8 = 0;29,9,58,48,24º (exac amen e, 0;29,9,58,23,13º). 3.2. A pa i de aquí Le i de i a median e ap oximaciones sucesi as la dis ancia del sol en el momen o del mencionado eclipse. La p ime a ap oximación se lle a a cabo en 90:42-62. En la igu a 3 11 , C, F y G son, espec i amen e, los cen os del sol,la ie a 11. Co esponde a la igu a 90.2 (A, 77 ; B, 91 ). La de e minación de la dis ancia del sol ... 103 Fig. 3 y la luna. G es ambién el cen o de la base del cono de somb a en ese pun o, que es un cí culo cuyo adio es GH. Los ángulos CAD y FDH son ec os y, po an o, CA es pa alela a FD. La línea GH, esc ibe Le i (90:32), es casi igual a la línea que pa iendo de G es pa alela a CA y FD y co a a DI (i.e. la línea GL en la igu a 4). Según 90:20, si FD = 0;54,57 ,32,47 12 , GH es 0;42. Si FD es igual a 1, GH es en onces 0;45,51,8, 11,8,52. Como GH es casi igual a GL ( ig. 4 ) 13 , y De donde, IF IG = FD GH IF GH = GF FD-GH GH 0;45,51,8,11,8,52 FD-GH 0;14,8,51,48,51,8 3; 14,27,28,15,51,33. 12. De hecho, de acue do con el capi ulo 88 (A, 72 a), 0;54,57,32,47° es la suma de la pa alaje luna , 0;53,200, y la pa alaje sola , que en ese mismo luga es 0;1,37,32,47º. Po an o, FD = sinR 0;54,57,32,47º = 0;57,33,15,50. Toma , pa a calcula el alo de (FD-GH) más adelan e (90:45-46), los alo es de los ángulos en luga de los senos co espondien es no p oduce una di e encia ap eciable, al se los ángulos an pequeños. Usando 0;54,57,32,47 y 0;42 Le i ob iene (90:46) 0;45,51,8,11,8,52; con los senos co espondien es, 0;57,33,15,50 y 0;43,58,52, se ob iene 0;45,50,59,50,39,11, i.e., un alo di e en e en sólo 0;0,0,8. La misma · obse ación se aplica a las ap oximaciones en 90:68 y 90:87. 13. Véase el inal de es a sección 3.2. 104 SiFD= 1, Po an o, 60 FG = ------ = 62;32,58,16,24,8,9. 0;57,33,15,30 GI = FG • 3;14,27,28,15,51,33 = 202;43,14,43,10,37 . ., y FI = 265;16,12,59,34,45,29 . . J.L. Mancha Si FI = 60, FD = 0;13,34,15,49,51(exac amen e,0;13,34,15,49,54). Po an o el ángulo DIF es O; 12,57 ,32,47 ,2º (exac amen e, O; 12,57 ,33,59 ,32º), que es igual al ángulo AIC. El 3 de oc ub e de 1335,elánguloCEB es, de acue do con 90:18, O; 14,34,59,24,12º. Po consiguien e, si EC = 60, CB = 0;15,16,14,25,49 (exac amen e, 0;15,16,17,4,54). Si CI = 60, CA= 0;13,34,15,49,55 (exac amen e, 0;13,34,14,33,55). Pe o an o CA como CB son adios de la es e a del sol; luego CE CA -----= CI CB De donde 0;13,34,15,49,55 0;15,16,14,25,49 • CE El = O; 13,34,15,49,55 O; 1,41,58,35,54 = 7;59,5,18,29,39. Si FD, el adio de la ie a, es 1, El= 266;16,12,59,34,45,29 . ., EC = 2.126;7,1,9,12,15,43 . . (exac amen e, 2.126;7,1,9,10,15,41,58), y CF = 2.127;7,1,9,12,15,42 . 14 • Si CF = 60, FD = 0;1,41,32,45,13,30. Luego el ángulo DCF, la pa alaje sola , es, de acue do con 90:62, O; 1,36,57,58º (exac amen e, O; 1,36,58,9º). Es e alo no coincide con el supues o al comienzo de la de i ación (90:20), que e a O; 1,37 ,32,47º, de acue do con el capí ulo 88. Como la pa alaje sola que se deduce al inal de la dis ancia ob enida debe coincidi con la supues a al comienzo de la de i ación, Le i ob iene el alo adecuado de la 14. El cálculo no pe mi e, ob iamen e, decidi la disc epancia de los manusc i os (43 ó42) pa a la sex a acción sexagesimal. j La de e minación de la dis ancia del sol ... 105 pa alaje sola que debe supone se inicialmen e median e un a gumen um ingenij, que es la aducción la ina del heb eo heqqesh ahbuli. Es a exp esión (uia a gumen o um ingenlj) designa en Le i un mé odo de ap oximaciones sucesi as inspi ado, en mi opinión, en el p ocedimien o usado po P olomeo en el Almages o (X, 6 - XI, 8) pa a de e mina la excen icidad y la línea apsidal de los plane as supe io es 15 • Le i da algunas indicaciones ace ca de su mé odo en el capí ulo 49 de la As onomía 16 • Mi econs ucción es á basada en ese pasaje y concie ne a la ó mula u ilizada en 90:80-83. Supóngase l'x) =y, donde y es conocido. Si se iene (a) = n, y se da que n >y, de mane aquen -y= b (donde el signo de bes posi i o), y se iene ambién que ( e) = p, y se dap <y, de modo que p - y= d (donde el signo de des nega i o), en onces el alo del a gumen o x de la unción puede de i a se de a-x b = a-e b+d 15. Es e p ocedimien o, usado po Le i ecuen emen e enlaAs onomía, especialmen e en la de i ación de pa áme os pa a los modelos plane a ios p elimina es a pa i de los alo es p olemaicos de las dis in as ecuaciones, no ha sido has a aho a explicado sa is ac o iamen e. Golds ein, 1986, 279-81, con iene sin emba go algunas in e esan es indicaciones sob e la elación en e el heb eo heqqesh ahbuli, los é minos de P olomeo synk isis y pei a en Almages o, IX, 1, y la exp esión á abe c¡¡m al-hiyal en el Compendio de las ciencias de al-Fa iibi (m. 950). 16. Donde el p ocedimien o es desc i o del siguien e modo: ... ideo necesse es quod inquisi iones que ad inueniendum ue i a em nos di igun sin de gene e a gumen o um ingenij, que sun ex diuisione accep a cum expe ien ia que paula im ad ue i a em accedi quousque pe uenia ad eam. E is a me a gumen a sun de gene e a gumen o um co.ndicionalium. E ho um sun due species. Una qua um es ex plu i e paucio i accep a; secunda es accep a ex duabus expe ien ijs de plu i diue so uel ex duabus de paucio i diue so. Ve bi g a ia de specie p ima, quia dicemus: si quando ponebamus quan i a em p imam an am sequeba u equa io maio quam uidemus in quan i a e secunda an a, e si quando ponebamus quan i a em e iam an am sequeba u equa io mina quam uideamus in quan i a e qua a an a, es no um ex p opo ione quod necesse es poni mediam unam in e p imam e e iam cuius di e en ia a p ima se habea ad di e en iam in e p imam e e iam si cu se habe secunda ad esul ans ex secunda e qua a simul. Ve bi g a ia de secunda specie, quia dicemus: si quando ponebamus quan i a em p imam an am sequeba u equa io maio quam uideamus in quan i a e secunda an a, e si quando ponebamus quan i a em e iam an am sequeba u equa io maio quam uideamus in quan i a e qua a an a, que es mina secunda, es no um ex p opo ione quod necesse es poni quan i a em quin am ali e quod e ia si media in e p imam e ipsam e eius di e en ia a p ima se habea ad di e en iam in e p imam e e iam sicu se habe quan i as secunda ad di e en iam ín e secundam e qua am. El pasaje es ejempli icado po una adición ma ginal, debida p obablemen e al mismo Le i (pe o ausen e en los manusc i os heb eos: éase, po ejemplo, Pa is, B.N. Heb . 724, 94b; ag adezco a B. R. Golds ein habe pues o a mi disposición su aducción inédi a del ex o heb eo de es e capí ulo). La no a es como sigue: Exemplum explu i e paucio i. P ima JO, ualen 30, quod es plus6, secunda. Te ia 6, ualen J5, quod es minus 9 ,{ qua a]. Quin a8 ;24,ualen 24,quod uidemus. Exemplumde plu i diue so. P ima JO ,ualen 36, quod es plus 12, secunda. Te ia 8, ualen 30, quod es plus 6, qua a. Quin a 6, ualen 24, quod uidemus. De paucio i diue so. P ima6, ualen 24, quod es minus 12, [secunda]. Te ia 8, ualen 30, quod es minus 6, qua a. Quin a JO, ualen 36, quod uidemus. A gumen a supe io a sun condi ionalia composi a; sequens ue o es simplex. P ima JO, ualen 30, que sun quan i as secunda que non conco da cum 24 que uidemus. que sun quan i as e ia; e go 8, que sun quan i as qua a e se habe ad JO sicu 24 ad 30, ualen 24 (A, 40 b- a). 112 J. L. Mancha el espeso de los dos o bes más p óximos a la ie a, los del mo imien o diu no y de los nodos, que son concén icos (92:29-32). El adio de la luna es, de acue do con 92:25, 0;15,9,32 . . 23 Po consiguien e, la dis ancia de la con exidad de la es e a de la luna es 62;48,42,36 . . 24 En el modelo luna 111 de Le i25, en unidades de las que R = 60, el espeso máximo de los o bes del mo imien o medio y del apogeo es, espec i amen e, 8;0 y 2;32. La dis ancia mínima (i.e., con ando con que el espeso de los dos o bes más ce canos a la ie a sea nulo) de la conca idad de la es e a luna , d, es en onces 65; 16 - (8 + 2;32) = 54;4426• Así pues, y d = 52;27,46 . . 54;44 65;16 d = ~~~~~~~~~~ 62;48,42,46-0;15,9,32 El espeso de la es e a de la luna es, po an o, 62;48,42 -52;27,46 = 10;20,56 . . 4.2. A pa i de lo an e io es posible de i a algunos alo es que no son dados explici amen e en el ex o de Le i: a) las dis ancias máxima y mínima en adios e es es en e el cen o de la luna y el de la ie a, y b) la a iación de diáme o apa en e co espondien e a esas dis ancias, a cuya de e minación empí ica Le i pa ece, de acue do con el ex o, habe dedicado mucho iempo, aunque en ningún luga o ezca al lec o los alo es obse ados. Es con enien e señala , en p ime luga , que las dis ancias mencionadas más a iba -62;48,42 . . y 52;27,46 . .- no co esponden a las dis ancias máxima y mínima de la luna. Las equi alencias p olemaicas 'con exidad del o be supe io = dis ancia máxima del plane a' y 'conca idad del o be in e io = dis ancia mínima del plane a' no se man ienen en los modelos de Le i, que e i an las conocidas objeciones a los de P olomeo 23. En ealidad, de acue do con 92:20, s, s, = l/4;0,38,9,10, y es o es igual a 0;14,57,37 ( éase no a an e io ). El alo O; 15,9,32 es, sin emba go, consis en e con los cálculos que siguen. 24. Es o es 62;33,33,4 + 0;15,9,32. La sus i ución del alo 62;48,42,46 de los manusc i os po 62;48,42,36 se jus i ica po que 62;48,42,46 - O; 15,9,32=62;33,33,14, mien as que en 90:86 es a dis ancia es 62;33,33,4,28,33, 18. El alo 62;48,42,36 es á con i mado además po el ex o enH 131 :8 (Golds ein, 1986, 289). 25. C . Golds ein, 1972. En el capí ulo 71 del ex o la ino de la As onomía Le i desc ibe es modelos luna es (1, 11y111), de los cuales sólo el p ime o y el e ce o han sido es udiados ( éanse Golds ein, l 974b, y Golds ein, 1972, espec i amen e). Las azones que conduje on a Le i a echaza ese modelo 111 son mencionadas en el capí ulo 100, y al nue o modelo IV, que Le i no u o iempo de e mina , es án dedicados los dos capí ulos siguien es (incomple o el 102 an o en la e sión heb ea como en la la ina). 26. C el capí ulo 71 (A, 62 a). La de e minación de la dis ancia del sol... 113 basadas en las disc epadas en e las a iaciones de diáme o apa en e obse adas y las deducidas de la eo ía. En unidades ela i as y usando el modelo luna III (capí ulos 71, A, 62 a, y 88, A, 72 a), las dis ancias luna es máxima y mínima son 65;16 y 62;44. La dis ancia mínima absolu a es en onces d . - 62;33,33,4 • 62;44 lllln -= 60;7,51,23 . . 65;16 Si el diáme o apa en e luna en las syzygias es 0;27 ,51 º, su alo en las cuad a u as es 61;33,33,4. 0;27,51 = 0;28,59,37º 59;7,51,23 5. TEXTO LA TINO DE LOS CAPÍTULOS 90, 91 Y 92 DE LA ASTRONOMÍA. A: Va . La . 3098, . 77 a-78 a. B: Va . La . 3380, . 191 a-193 b. L: Lyon, Biblio heque Municipale 326, . 190 -193 . Capi ulum 90 [In 90º inqui emus quan i a em medij diame i umb e e e in loco in quo e a luna ipsa cuiusdam eclipsis· empo e de qua expe ien iam ce am habuimus e quan i a em longi udinis umb e e quan i a em dis an ie lune a e a e quan i a em dis an ie solis a e a.] [l] Nunc au em necesse es decla a e quan i a em semidiame i solis in empo e eclipsis quam eci auimus anno Ch is i 1335 die 3ª mensis oc ub is uisse, [2] quia ídem possumus di igí ad sciendum dis an ie cen i so lis a cen o e e, supponendo decla a um esse supe ius quod sol une e a pos augem 106º e ci ca 0;8º. [3] Decla a io hec es . [4] Pona u ABC ci cum e en ia quam sol in spe a sua desc ibi , cuius cen um si punc us D, e cen um e e punc us E [Fig. 90.1 ]. [5] E linea ADEC si linea ansiens pe hec cen a. [6] E es no um quod punc us A es punc us augis e punc us C eius sephel, quod es ipsius opposi um. [7] E si angulus ADB 106;8º. [8] E emane angulus EDB complemen um 180º, quod es 73;52º. [9] E p o aha u linea EF pe pendicula is supe lineam DB. [ 10] E quia quan i as anguli EDF es 73;52º, emane angulus DEF complemen um 90º, quod es 16;8º. [11] E ideo es no um quod in quan i a e in qua linea ED es 60;0, es lineaEF 57;38,10 e linea DF es 16;40, 19. [12] E in quan i a e in qua linea ED es 2; 14, u decla a um es sup a, es linea EF 2;8,42 e 114 J. L. Mancha lineaDF0;37,14. [13] E emane lineaFB complemen um60;0,quodes 59;22,46. [14] E quia linea EB es in po en ia maio ea in quan i a e quad a i linee EF, sequi u quod linea EB si 59;25,5. [15] E au e a u a linea EB linea EG equalis dis an ie solis a e a in sephel. [16] E es no um ex decla a o supe ius quod si cen um solis esse in punc o G quan i as diame i eius uise esse 0;30º ci cum e en ia quam une ci ca cen um e e desc ibi . [ 17] E es no um quod p opo io quan i a is diame i so lis uise ipso s an e in punc o G [ad quan i a em diame i so lis uise ipso s an e in punc o B] es quasi alis qualis es p opo io linee EG ad lineam EB, que p opo io es alis qualis es p opo io 57;46 ad 59;25 ,5. [18] Sequi u quod quan i as diame i so lis uise in is a eclipsi ui 0;29 ,9 ,58,48º e ci ca 24 quin a. [ 19] E ex quo hoc es seda um possumus di igi ad decla andum quan i a em longi udinis umb e e e in is a eclipsi a cen o e e usque ad punc um in quo e mina u e ad sciendum dis an iam cen i solis a cen o e e, [20] quia iam es supposi um sup a quod semidiame e e e es 0;54,57,32,47º espec u ci cum e en ie quam luna empo e opposi ionis ci ca cen um e e desc ibi e quod semidiame e umb e ui in eadem eclipsi espec u eiusdem ci cum e en ie 0;42°. [21] Cuius decla a io hec es . [22] Pona u AB ci cum e en ia co po is solis ansiens pe cen um ipsius, quod es C [Fig. 90.2]. [23] E ED pona u ci cum e en ia co po is e e ci ca cen um ipsius, quod es F. [24] E dic e ambe ci cum e en ie in eadem supe icie ponan u . [25] E pona u punc us G cen um lune empo e eclipsis luna is luna s an e in capi e uel cauda D aconis, quod G es e iam cen um ci cum e en ie umb e, e linea GH si quan i as semidiame i ci cum e en ie umb e in hoc loco. [26] E si linea CFG ec a ansiens pe omnes dic as diame os. [27] E sin punc us A co po is solis e punc us D co po is e e e punc us H diame i umb e in eadem linea ec a. [28] E es no um quod is a linea angi co po a solis e e e, non ea in e secans. [29] E signen u linee AC, DF. [30] E es no um quod angulus CAD es ec us e e iam angulus FDH. [31] Sequi u quod linee AC, DF, sin pa alelle. [32] E es no um modico s udio quod linea GH es quasi equalis linee que exi e de punc o G ad lineam ADH pa alelle lineis AC, DF. [33] E ideo es no um quod linea que exi e de punc o G ad lineam ADH, pa alella lineis AC, DF, es b euio quam linea DF; [34] quia decla a um es quod semidiame e umb e es mino semidiame o e e ci ca 0;13º. [35] E ideo es no um modico s udio quod si p o ahan u linee AH, CG, ad in ini um concu en . [36] E pona u quod concu an in punc o 1, u i in is a igu a. [37] E pona u quod linea CF in e sece co pus e e in punc o E. [38] E p o aha u linea EB angens ci cum e en iam co po is solis in punc o B. [39] E p o aha u linea CB. [40] E expedi quod ex hoc decla emus quan i a em cuiuslibe pa is linee CFI, e inde deueniemus in scien iam quan i a um co po um solis e lune [e eo um] p opo ionem ad co pus e e. [ 41] E p imo que imus decla a e quan i a em linee FI in quan i a e in qua linea FD es 1 ;O, que es semidiame e e e. [ 42] E iam es decla a um quod in quan i a e in qua linea FD es 1 ;O es linea FG 62;32,58, 16,24,8 e ci ca 29 sex a. [ 43] E quia in quan i a e in qua La de e minación de la dis ancia del sol ... 115 linea DF es 0;54,57 ,32,47 es linea GH 0;42, no um es quod in quan i a e in qua linea DF es 1;0, es lineaGH0;45,51,8,l l,5 e ci ca52 sex a. [44] E quialineaGHes quasi equalis linee pa alelle linee FD que exi e de punc o G ad lineam DI, no um es quod p opo io linee IF ad lineam IG es quasi alis qualis es p opo io linee DF ad l uea n GH. [45] Sequi u quod p opo io linee IG ad linea n GF si quasi alis qualis es p opo io linee GH ad excessum linee DF supe lineam GH. [46] Se is a p opo io, u es decla a um, es alis qualis es p opo io 0;45,51,8,l l,8,52adcomplemen um 1;0; quodes O; 14,8,51,48,51,8. [47] E is ap opo ioes quasi alisqualises p opo io 3; 14,27 ,28,15,51,33ad1 ;O. [ 48] Se lineaGF es 62;32,58, 16,24,8 e ci ca 29 sex a in quan i a e in qua semidia ne e e e es 1 ;O. [ 49] E es no um ex hoc quod linea GI es in is a quan i a e 202;43,14,43, 10 e ci ca 37 quin a. [50] E bine es no um quod linea FI es in is a quan i a e 265; 16, 12,59 ,34,45 e ci ca 29 sex a. [ 51] E in quan i a e in qua linea FI es 60;0, es linea DF O; 13,34,15,49,51. [52] Ex quo sequi u quod angulus DIF si O; 12,57 ,32,47º e ci ca 2quin a, qui es angulus AIC me . [53] Se angulus CEB in dic aeclipsi e ie die oc ub is ui O; 14,34,59 ,24º e ci ca 12 quin a, u decla a um es sup a. [ 54] Sequi u quod in quan i a e in qua linea EC es 60;0, si linea CB O; 15, 16, 14,25,49, que es sinus anguli CEB, [55] e in quan i a e in qua linea a es 60;0, es linea CA O; 13,34,15,49,55, que es sinus anguli CIA. [56] E quia linea CA es equalis linee CB, quia quelibe es semidia ne e co po is solis, e es no um quod p opo io linee CE ad lineam a es alis qualis es p opo io O; 13,34,15,49,55 ad 0;15,16,14,25,49. [57] E si diuida nus, es no um quod p opo io linee EC ad lineam El es alis qualis es p opo io 0;13,34,15,49,55 ad 0;1,41,58,35,54. [58] E is a p opo io es al!s qualis es 7;59,5,18,29,39 ad 1;0. [59] Se quan i as linee El es 266; 16, 12,59 ,34,45,29 in quan i a e in qua semidia ne e e e es 1 ;O, u decla a um es sup a. [60] Sequi u quodlineaEC si inis aquan i a e 2126;7 ,l,9,12,15 e ci ca43 sex a. [61] Sequi u quodlineaCEFsi inis aquan i a e2127;7,l,9,12,15e ci ca42sex a,e inquan i a einquaCF es 60;0, FDO; 1,41,32,45, 13,30. [62] Sequi u quodex is a posi ione angulusdiue si a isaspec us si O; 1,36,57º e ci ca 58 qua a. [63] E hoc aliquali e elonga u ab eo quod supposue amus supe ius de quan i a e diue si a is aspec us solis. [64] Ideo necesse es quod inqui endo uia a gumen o um ingenij quan i a em diue si a is aspec us solis ali e supponamus quod non con adica sibi ipsi dic e supposi io quan i a is, u ex hoc deueniamus in quan i a um p edic a um no i iam p ou nos a possibili as se ex endi . [65] E ideo nunc supponimus uia a gumen o um ingenij quod quan i as inalis diue si a is aspec us si 1;37º. [66] Ex quo sequi u decla ando u p ius quod in quan i a e in qua semidiame e ci cum e en ie quam luna ci ca cen um e e empo e coniunc ionis e opposi ionis desc ibi es 60;0, si [semi]diame e e e 0;57,32,26,0,53. [67] E in quan i a e in qua semidiame e e e es 1 ;O, que es linea FD in is a igu a, es semidia ne e ci cum e en ie an edic e 62; 3 3 ,5 2,25 ,43 ,29, que es linea FG in is a igu a. [ 68] E quia in is a quan i a e es semidiame e umb e, que es linea GH in is a igu a, 0;45,51,35,33,35, e i mani es um modo p edic o quod p opo io linee GH ad excessum semidiame i e e supe dic am · lineam GH es alis qualis p opo io 3;14,35,40,52,13,26 ad 1;0. [69] E ideo es no um 116 J.L. Mancha modo p edic o quod linea GI in is a igu a es in is a quan i a e 202;54,43,53,47 ,58. [70) Sequi u quod linea FI in is a igu a si in is a quan i a e 265;28,36,19,31,27,5. [71) E in quan i a e in qua linea FI es 60;0 es linea DFO; 13,33,37,49,58,55. [72) E e i no um quod p opo io linee CE ad lineam CI es alis qualis es p opo io 0;13,33,37,49,58,55 ad O; 15, 16, 14,25,49. [73] E quando diuidemus e i p opo io linee CE ad lineam El alis qualis es p opo io 0;13,33,37,49,58,55 ad 0;1,42,36,35,50,5. [74) E is a p opo io es alis qualis es p opo io 7;55,45,40,15,17,5 ad 1;0. [75) Se quan i as linee El es secundum is am posi ionem 266;28,36, 19 ,31,27. [76) Sequi u quod quan i as linee EC si in is a quan i a e 2113;59,17,48,47 ,25. [77) Sequi u quod linea CF in is a igu a si in is a quan i a e 2114;59, 17,48,4 7 e ci ca 25 quin a. [78) E in quan i a e in qua linea CF es 60;0 es linea FD O; 1,42, 17 ,4,37. [79) Sequi u quod quan i as inalis diue si as aspec us so lis si O; 1,37,31,19° e ci ca 36 quin a. [80) E hoc es maius supposi o 0;0,0,31,19,36°. [81) Se quando supposuimus angulum diue si a is inalis aspec us solis O; 1,37 ,32,4 7º, e a consequens minus supposi o 0;0,0,34,49º. [82) E ex hoc seque e u uia a gumen o um ingenij quod debe emus accipe e de is is 0;0,0,32,47º secundum p opo ionem an um quod deueni emus ad aliquam quan i a em que non con adice e sibi ipsi. [83] E quando hoc modo p ocessimus andem inuenimus quod expedi suppone e angulum inalis diue si a is aspec us solis O; 1,37, 17º, quia une consequens huius is i supposi ioni mul um conco da . [84) E sequi u ex hoc modo p edic o quod quan i as inalis diue si a is aspec us lune coniunc ionis e opposi ionis empo ibus si 0;54,57, 17º. [85] E ex hoc es no um modo p edic o quod in quan i a e in qua semidiame e ci cum e en ie quam ci ca cen um e e luna desc ibi coniunc ionis e opposi ionis empo ibus es 60;0, es semidiame e e e 0;57 ,32,43,48,58,26. [86) E in quan i a e in qua semidiame e e e es 1 ;O, que es linea FD in is a igu a, es semidiame e ci cum e en ie p edic e desc ip e a luna, que es in p edic a igu a linea FG, 62;33,33,4,28,33,18. [87) E in is a quan i a e es semidiame e umb e, que [es ] linea GH, 0;45,51,21,21,17,28. [88) E e iam e i no um modo p edic o quod p opo io semidiame i umb e, que es linea GH, ad excessum semidiame i e e supe semidiame um umb e es alis qualis es p opo io 3;14,31,25,10,51ad1;0. [89) E es no um modo p edic o quod quan i as linee [GI] in is a igu a es in is a quan i a e 202;49,14,31,53,16,26. [90) Sequi u ex hoc quod linea FI si 265;22,47,36,21,49,44. [91) E in quan i a e in qua linea FI es 60;0 es linea DF O; 13,33,55,25,6,22. [92) E es no um modo p edic o quod p opo io linee CE ad lineam El es alis qualis es p opo io 0;13,33,55,25,6,22 ad 0;1,42,19,0,42,38. [93) E is a p opo io es alis qualis es p opo io 7;57 ,17,45,12,53 ad l. [94) Se quan i as linee El, u decla a um es sup a, es in quan i a e p edic a 266;22,4 7 ,36,21,49 ,44. [95) Sequi u quod linea EC si in quan i a e p edic a 2119;2,1,39,52,24 e ci ca 30 sex a. [96) E in quan i a e in qua linea CF es 60;0 es linea FD 0;1,41,53,6 e ci ca 36 quin a. [97] Sequi u quod inalis diue si as aspec us so lis si O; 1,37, 17 e ci ca 22 qua a. [98) E hoc mul um consen i ei quod supposuimus sup a. La de e minación de la dis ancia del sol... 117 [99] Nunc au em expedi decla a i quod linea GH es quasi equalis linee pa alelle linee FD que exi e de punc o G ad lineam DI, quod supposuimus sup a. [100] E ne igu a u be u expedi quod aciamus igu am ianguli DIF modo quo sup a dimi endo co pus sola e [Fig. 90.3 ]. [ 1O1] E si linea GH semidiame e umb e sup a e p o aha u de punc o H linea HK pa alella linea GF in e secans lineam DF in punc o K. [102] E p o aha u de punc o G linea GL pe pendicula is supe lineam DI. [103] E es no um quod angulus DHK es equalis angulo DIF. [ 104] E quia linea FD es O; 13,33,55,25,6,22 in quan i a e in qua linea FI [ es ] 60;0, u es supe ius decla a um, no um es quod angulus DIF es O; 12,57, 13, 17°. [ 105] Sequi u quod angulus DHK si quan i a is eiusdem. [ 106] E iam quia a cus semidiame i umb e es 0;42º sequi u quod angulus HFG si 0;42º. [ 107] E quia iangulus HFG habe c u a equalia, quia quelibe linea um FH, FG, es dis an ia une a cen o, sequi u quod angulus FHG si 89;39º, quia es equalis angulo FGH. [ 108] E es no um quod angulus FHK es equalis angulo HFG. [109] Sequi u quod angulus KHG si 90;21 º, cui addi o angulo DHK sequi u quod angulus DHG si 90;33,57,13,17º. [110] E emane angulus GHL complemen um 180º, quod es 89;26,2,46,43°. [111] E quia iangulus HGL habe unum angulum ec um, es no um quod in quan i a e in qua linea HG es 60;0 es linea GL 59;59,50. [112] E in quan i a e in qua linea GH es 0;42 es linea GL 0;41,59,53. [113] E hoc quasi consen i quan i a i linee GH, quia ea um di e en ia non posse aliquo ins umen o um quibus expe ien ie capiun cognosci; [ 114] quibus ins umen is deuenimus in no i iam semidiame i umb e in is a eclipsi. [115] Ideo de is a di e en ia modicum es cu andum. l. oc ob is BL. 7. 206;8 L. 12. 0;39,14 ABL. 17. 57;46: 0:46 A. 18. 0;29,9,58,48: ABL 0;29,9,50,40. 25. ci cum e en ie: ci cum e en ia AL. 30. CAD: ABL CAB. 34. pos semidiame um AL add. umb e e A del. 42. 62;32,18,16,24,8 ABL. 43. 0;45,51,8,11,8: ABL 0;45,51,8,11,5. 49. 37 quin a: ABL 34 quin a. 52. 0;14,57,32,47 ABL. 53. oc ob is BL. 54. B 266;16,12,59,34,55,29. 56. e 2 om. B; es 3 om. A. 60. 43: 42 B. 61. sequi u . .. ex a: om.B. 65. uia: uiamABLe A co . 68. 3; l4,35,42,52,l3,26ABL. 69. 202;54,42,53,47,58 ABL. 70. 265; 22,26,16,31,27,5 AL, 265;22,26,16,31,26,5 B. 71. 60;0: 6;0 L. 72. qualis ep. A. 74. 7;55,45,30,15,17,5 ABL. 75. 266;28,36,14,31,27 ABL. 82. hoc om. AL. 87. e : ABL es e L co .; 0;45,51,21,21,17,28: 0;45,51,21,22,17,28 L. 88. semidiame um: diame um L. 89. in2 om. A. 91. O;l3,33,35,25,6,22ABL. 92. 0;13,33,55,25,6,26ABL; O;l,42,19,42,l8ABL. 95. p edic a+ si AL. 109. si . .. DHG add. a.m. mg. B. ll l. GL + es AL. ll4. deueniemus L. Capi ulum 91 [In 91 º inqui emus dis an iam que es a so le ad cen um e e quando es in auge uel in opposi o augis.] [1] E expedi decla a e in hoc loco solis s an is in auge e in sephel a cen o e e dis an iam, [2] quia ex diue si a e is ius dis an ie sequi u in semidiame o umb e diue si as desc ip a in luna empo e eclipsium. [3] E dico quod iam es decla a um 118 J. L. Mancha dis an iam cen i solis a cen o e e in eclipsi que ui anno Ch is i 1335 die 3ª oc ub is uisse 59;25,5 in quan i a e in qua es semidiame e spe e solis 60;0. [4] E une, u decla a um es , e a dis an ia p eliba a 2120 e ci ca 0;2 in quan i a e in qua es semidiame e e e l;O. [5] E quia dic a dis an ia ipso s an e in sepbel es 57;46 in quan i a e in qua semidiame e spe e solis es 60;0, e ipso s an e in auge es 62; 14, [6] no um es quod p opo io dis an ie solis a e a ipso s an e in sepbel ad dis an iam quam babeba a e a empo e eclipsis p edic e es alis qualis es p opo io 57;46 ad 59;25,5, [7] e quod p opo io dic e dis an ie ipso s an e in auge ad dis an iam eius empo e dic e eclipsis es alis qualis es p opo io 62; 14 ad 59;25,5. [8] E bine es no um quod dic a dis an ia sole s an e in sepbel es 2061;4,25,40,7 e ci ca 55 quin a in quan i a e in qua semidiame e e e es 1;0 e ipso s an e in auge es 2220;28,59,3,37 e ci ca 39 quin a. [9] E boc es quod uolebamus p oba e. 2. diue si as: diue si a is AL; desc ip a: desc ip e ABL. 3. oc ob is BL. 7. habea B. Capi ulum 92 [In 92º inqui emus p opo ionem que es ín e quan i a em co po is solis e lune e e e ad inuicem.] [1] Nunc au em ex decla a is p opo ionem co po um solis e lune ad co pus e e possumus decla a e acili e . [2] E quia decla a um es quod semidiame e solis in is o loco empo e p edic e eclipsis e a an a quod eius angulus e a 0;14,34,59,24,12º e angulus semidiame i e e uisus espec u spe e solis, u decla a um es , e a O; 1,37° e ci ca 17 e ia, [3] e quia p opo io co de ad co dam in is is angulis pa uis es quasi alis qualis es p opo io a cus ad a cum, u P olomeus decla a e e iam es no um modico s udio ex nos o se mone a cuum e co da um, [ 4] no um es quod p opo io semidiame i so lis ad semidiame um e e es alis qualis es p opo io O; 14,34,59 ,24,12º ad O; 1,3 7º e ci ca 17 e ia. [ 5] E is a p opo io es alis qualis es p opo io 8;59,39,16,45 ad 1;0. [6] E quia p opo io spe e ad spe am es alis qualis es p opo io ea um diame o um in p opo ione ipla a, no um es quod in quan i a e in qua co pus e e es 1 ;O, co pus solis es 727;36 e ci ca 0;0,8. [7] E bine es nobis no a quan i as spissi udinis spe a um solis ad minus quo possun poni secundum is am posi ionem; [8] quia si quan i a em semidiame i solis maio i dis an ie solis a cen o e e addamus e eam a mino i dis an ia sub ahamus, sequi u quod maio dis an ia conuexi dic a um spe a um si al io mino i dis an ia concaui ea undem ad minus quo possun poni 177 e ci ca 0;24. [9] E bic non compu amus spissi udines spe a um baben ium supe icies pa alellas, quia non babemus uiam ad scien iam ea um spissi udinum nos ducen em. [10] E posse esse quod spissi udo ea um si O; 1 e po es es se maio uel mino . [ 11] E expedi quod c edamus La de e minación de la dis ancia del sol ... 119 quod spissi udo ea u n non es magna, quia sine spissi udine magna su iciun ad illud ad quod sun ins u nen u n e in ebus na u alibus nichil in uanu n asse i u . [12] E eade n a ione non expedi quod spissi udo spe e de e en is co pus sola e pona u nisi in quan i a e dia ne i co po is p eliba i. [ 13] E eode n modo quo decla aui nus p opo ione n co po is so lis ad co pus e e e i no a p opo io co po is lune ad co pus e e. [14] E bine deuenie nus ad scien ia n p opo ionis co po is lune ad co pus solis. [15] Cuius decla a io hec es . [16] Na n decla a u n es quod angulus se nidia ne i e e uisus espec o lune e npo e eclipsiu n es 0;54,57º e ci ca 17 e ia. [ 17] E quia uide nus angulu n se nidia ne i lune O; 13 ,55 ,30º, no u n es nodico s udio, u decla a u n es ex dis an ia cen i co po is lune eclipsiu n e npo e a cen o e e, quod dic us angulus esse in p opo ione n ad cen u n spe e lune eclipsiu n e npo e 0;13,42,8º e ci ca 33 qua a. (181 Sequi u quod p opo io semidiame i co po is lune ad semidiame um co p.o is e e es quasi alis qualis es p opo io anguli ad angulum, u dic um es sup a; [19] in endo dice e u es p opo io O; 13,42,8,33º ad 0;54,57º e ci ca 17 e ia. [20] E is a p opo io es alis qualis es p opo io 1;0 ad 4;0,38,9,10. [21] E e i no u n modo p edic o quod p opo io co po is lune ad co pus e e es alis qualis es p opo io l ;O ad 64;30,36, 11 e ci ca 22 qua a. [22] E in quan i a e in qua co pus e e es 1 ;O, es co pus lune 0;0,55,48 e ci ca 19 qua a. [23] E bine es no u n quod in quan i a e in qua co pus [lune] es 1 ;O, co pus solis es 46937 e ci ca 0;40. [24] E bine e ia n no a es quan i as spissi udinis spe a u n lune ad ninus quo poni possun . [25] Na n maio i dis an ie cen i lune a e a quan i a e n semidia ne i lune · adde nus, que es 0;15,9,32. [26] Supponendo semidia ne um e e 1;0, sequi u quod maio dis an ia conuexi supe io is spe e lune a cen o e e es 62;48,42 e ci ca 0;36 e ia. [27] E quia p opo io mino is dis an ie is a um spe a u n ad naio em, a dic a maio i sub ac a semidia ne o co po is lune, es alis qualis es p opo io 54;44 ad 65; 16, no u n es quod dis an ia in e io is spe a u n lune a cen o e e non es maio 52;27 e ci ca 0;0,46. [28] E bine es no um quod spissi udo spe a u n lune non po es esse nino 10;20 e ci ca 0;0,56 in quan i a e p edic a. [29] E bene posse esse maio a ione spissi udinis dua um spe a u n in e io um haben iu n supe icies pa alellas. [30] Se nos non possumus ce i udinali e sci e quan i a em ea um, se uide u quod debea esse pa ua quia na u a nichil aci in uanum. [31] E quicquid si non habe nos po am nos ducen em in punc ale n quan i a e n ea um. [32] E no um es quod cuilibe scien i ico expedi seceme e illud quod es decla abile in sua scien ia ab eo quod in ea decla a i non po es . [33] E hic es decla a um quodque eba nus de p opo ionibus co po u n p edic o um ad inuice n e de spissi udinibus spe a um so lis e lune p ou nos a possibili as se ex endi . l. e 1 om. B. 5. 8;59,29,16,45 ABL. 8. maio i: maio is AL; dis an ia, om. B; spe a um om. B. 10. possi L. 13. co po is2 om. B. 20-21. ad ... ad2: om. B. 22. 1 ;O: 21;0 B. 23. 46937: 5537 ABL. 26. 0;36 e ia: ABL 0;46 e ia. 27. a dic a: ad eam L. 31. punc ualem B. 32. eo +e B. 120 J. L. Mancha 6. TRADUCCIÓN Capí ulo 90 [En el capí ulo 90 in es iga emos el alo del adio de la somb a de la ie a en el momen o de cie o eclipse del que u imos expe iencia cie a, y el alo de la longi ud de la somb a, y el de la dis ancia de la luna a la ie a y el de la dis ancia del sol a la ie a.] [ 1] Aho a es necesa io es ablece el alo del adio sola en el momen o del eclipse que hemos dicho que ocu ió el día 3 del mes de oc ub e del año 1335 de la e a c is iana, [2] po que podemos u iliza lo pa a conoce la dis ancia en e el cen o del sol y el de la ie a, suponiendo es ablecido p e iamen e que el sol dis aba en onces del apogeo [de su excén ico] ap oximadamen e 106;8º. [3] Lo hacemos del siguien e modo. [4] Sea ABC la ci cum e encia que el sol desc ibe en su es e a, con cen o en el pun o D, y sea E el cen o de la ie a [Fig. 90.1]. [5] Sea ADEC la línea que pasa po esos cen os. [ 6] Es sabido que el pun o A es el apogeo y el punc o C su sephel, que es su opues o. [7] Sea el ángulo ADB 106;8º. [8] Queda el ángulo EDB, su suplemen a io, que es 73;52º. [8] T ácese la línea EF pe pendicula a la línea DB. [10] Pues o que el alo del ángulo EDF es 73;52º, el ángulo DEF, su com- plemen a io, es 16;8º. [ 11] Sabemos po an o que en unidades en las que la línea ED es 60, la línea EF es 57;38,10 y la línea DF 16;40,19. [12] En unidades en las que la línea EDes 2; 14, como se ha es ablecido an es, lalíneaEF es 2;8,42 y la línea DF0;37,14. [13] La línea FB, su complemen o sob e 60, es po an o 59;22,46. [ 14] Y pues o que EB2 = FB2 + EF 2, se sigue que la línea EB es 59;25,5. [15] Señálese en la línea EB la línea EG, igual a la dis ancia del sol en su sephel a la ie a. [16] A pa i de lo es ablecido más a iba sabemos que, si el cen o del sol es u iese en el pun o G, su diáme o apa en e se ía 0;300 de la ci cun e encia cuyo adio es la dis ancia en e el cen o de la ie a y G. [17] Se sabe ambién que la azón en e los diáme os apa en es del sol en los pun os G y Bes casi igual a la exis en e en e las líneas EG y EB, que es idén ica a la que hay en e 57;46 y 59;25,5. [ 18] Se sigue de ello que el diáme o apa en e del sol en ese eclipse ue ap oximadamen e 0;29,9,58,48,24º. [19] Una ez conseguido es o podemos encamina nos a es ablece el alo de la longi ud de la somb a de la ie a, desde su cen o has a el pun o donde e mina, du an e ese eclipse, y a conoce la dis ancia del cen o del sol al cen o de la ie a, [20] po que ya se ha supues o más a iba que el adio e es e es 0;54,57 ,32,47º de la ci cun e encia cuyo adio es la dis ancia en e el cen o de la ie a y la luna en el momen o de la oposición, y que el adio de la somb a e a en ese eclipse 0;42° de la misma ci cun e encia. [21] Lo es ablecemos así. [22] Sea AB un cí culo máximo en el sol, cuyo cen o es C [Fig. 90.2]. [23] Y sea ED un cí culo máximo en la ie a, cuyo cen o es F. [24] Colóquense ambos cí culos en la misma supe icie. [25] Sea el pun o G el cen o de la luna si uada en uno de los nodos en el momen o del eclipse, siendo a la ez el cen o de la sección del cono de somb a, y sea la línea GH el adio de la somb a en ese luga . [26] La de e minación de la dis ancia del sol ... 121 T ácese la ec a CFG pasando po los diáme os de esos cí culos. [27] Si úense los pun os A del sol, D de la ie a y H del diáme o de la somb a en la misma ec a. [28] Se sabe que es a línea es angen e al sol y la ie a, no secan e. [29] T ácense las líneas AC, DF. [30] Sabemos que los ángulos CAD y FDH son ec os. [31] Se sigue de ello que las líneas AC, DF, son pa alelas. [32] Puede e se sin di icul ad que la línea GH es casi igual a la línea que, pa alela a AC y DF, pod ía aza se desde el pun o G has a la línea ADH. [33] Se sabe po an o que la línea que, pa alela a AC y DF, i ía de G has a la línea ADH se ía meno que DF; [34] po que ya se ha dicho que el adio de la somb a es meno que el adio de la ie a ap oximadamen e O; 13º. [35] Se sabe po an o sin di icul ad que las líneas AH, CG, se co an si se p olongan al in ini o. [36] Supóngase que se co an en el pun o 1, como en la igu a. [37] Supóngase que la línea CF oque a la ie a en el pun o E. [38] T ácese la línea EB angen e a la es e a sola en el pun o B. [39] T ácese la línea CB. [40] Con iene que a pa i de es o es ablezcamos el alo de las dis in as pa es de la línea CFI, y a pa i de ahí de i emos el alo de los olúmenes del sol y de la luna y su azón espec o al de la ie a. [41] P ocu emos p ime o es ablece el alo de la línea FI en unidades en las que la línea FD, el adio e es e, ale 1. [ 42] Ya se ha dicho que en unidades en las que FD es l la línea FG es ap oximadamen e 62;32,58, 16,24,8,29. [ 43] Y pues o que en unidades de las que la línea DF con iene 0;54,57,32,47 la línea GH ale 0;42, si DF mide 1, GH mide ap oximadamen e 0;45,51,8,11,5,52. [44] Dado que la línea GH es casi igual a la pa alela a FD azada desde el pun o G has a DI, se sabe que la azón en e las líneas IF e IG es casi la que exis e en e DF y GH. [45] Como consecuencia, la azón en e IG y GF es casj la misma que en e GH y la di e encia en e DF y GH. [46] Pe o, como se ha dicho, es a azón es igual a la que exis e en e 0;45,51,8, 11,8,52 y su complemen o sob e 1, que es 0;14,8,51,48,51,8. [47] Y es a azón es casi igual a la de 3;14,27,28,15,51,33 espec o a 1. [ 48] Pe o en unidades en las que el adio e es e mide 1, la línea GF mide ap oximadamen e 62;32,58,16,24,8,29. [49] De lo que se de i a que en las mismas unidades la línea GI mide ap oximadamen e 202;43,14,43,10,37. [50] A pa i de ahí sabemos que en las mismas unidades la línea FI es ap oximadamen e 265;16,12,59,34,45,29. [51] Y silalíneaFimide 60, lalíneaDFmide0;13,34,15,49,51. [52] De donde se de i a que el ángulo DIF es ap oximadamen e 0;12,57,32,47,2º, que es ambién el alo del ángulo AIC. [53] Pe o du an e el mencionado eclipse del 3 de oc ub e el ángulo CEB e a, como se ha dicho, ap oximadamen e O; 14,34,59,24,12º. [54] De donde en unidades en las que la línea EC mide 60, la línea CB -que es el seno del ángulo CEB- ale O; 15,16,14,25,49, [55] y si la línea CI es 60, la línea CA-que es el seno del ángulo CIA- es 0;13,34,15,49,55. [56] Y pues o que las líneas CA y CB son iguales, po que ambas son adios del sol, se sabe ambién que la azón en e CE y CI es igual que la azón en e O; 13,34,15,49,55 y 0;15,16,14,25,49. [57] Y si di idimos, sabemos que la azón en e EC y El es igual a la azón en e 0;13,34,15,49,55yO;1,41,58,35,54. [57] Y es a azón es idén ica a la de 7;59,5,18,29,39 espec o a l. [59] Pe o, como se dijo más