•
<(
o
~
>
z
<(
~
o:
u::
Ya
hemos
incidido
en
o as
publicaciones,
sob e
la
geome ía
necesa ia
pa a
esol e
los
p oblemas
que
se
le
han
plan eado
al
a qui ec o
a
lo
la go
de
la
his o ia
y
su
elación
con
la
ciencia
geomé ica'.
A
la
p ime a,
desde
la
an igüedad,
se
la
conoce
como
"geome ía
p ác ica"
o
ab o um
, a
la
segunda
como
"geome ía
eó ica",
dos
amas
que
ienen
un
mismo
o igen
y
un
desa ollo
dis in o.
José
An onio
Ruíz de la Rosa
Di ec o
del
Depa amen o
de
EGA
de
la
Uni e sidad
de
Se illa
Ca ed a ico
de
la
Uni e sidad
de
Se illa
1
o igen
de
la
geome ía
es
empí ico
y
no
se
sabe
si
es
an es
el
hue o
o
la
gallina,
si
son
los
o icios
quienes
demandan
el
desa ollo
geomé ico
o
si
es
la
geome ía
quien
pe mi e
a anza
en
los
o icios.
Pa ece
se
lo
p ime o
2,
la
necesidad
aguza
el
ingenio,
el
empi ismo
suple
la
ca encia
de
conocimien os,
y
al
necesidad,
esón
y
expe imen ación
inician
un
ece a io
de
soluciones
geomé icas,
e lexiones
in elec uales,
que
con
el
iempo
de ienen
en
ciencia.
Es
deci ,
las
necesidades
de
la
A qui ec u a,
Ag imensu a,
...
,
en
gene al
los
o icios,
cons i uyen
el
pun o
de
pa ida
de
una
H écnica
geomé ica
11
base
de
la
ciencia
geomé ica
que
hoy
conocemos,
cuyos
undamen os
descansan
en
el
ma e iql
clasi icado
po
Euclides
y
o os
abajos
p óximos.
Tal
écnica,
geome ía
p ác ica,
no
desapa ece
as
el
log o
alcanzado!
con inúa
su
camino
e olu i o
nu iéndose
del
hijo
engend ado,
que
es
el
que
apo a á
igo
en
la
nue a
e apa.
Es a
geome ía
pa a
los
o icios
segui á
siendo
necesa ia,
dado
que
el
conocimien o
de
la
ciencia,
de
la
geome ía
eó ica,
quedaba
ue a
del
alcance
de
los
a esanos,
que
con inua on
con
el
uso,
ap endizaje
y
desa ollo
de
la
geome ía
ab o-
um.
Desde
la
más
emo a
an igüedad
se
hizo
necesa-
ia
al
geome ía,
que
como
se
ha
dicho,
en
la
e apa
clásica
adquie e
el
ca ác e
de
co pus.
Ma e ia
que
no
se
ha
conside ado
11
cul a
11
po
los
in elec uales,
pe o
sí
esolu i a,
de
base
elemen al
(aunque
cien í-
ica),
su icien e
pa a
abo da
los
p oblemas
de
dise-
ño
y
cons ucción,
undamen o
de
la
A qui ec u a.
Segui
la
pis a
de
la
geome ía
eó ica
es
compli-
cado]
pe o
abo dable
documen almen e:
Hipias,
Nicomedes, Diocles, Apolonio, A químedes,
Apollina ,
Capella,
Boecio,
Casiodo o,
Gundisalíno,
Fibonaci,
o
los
nume osos
es udiosos
del
pe iodo
islámico,
son
algunos
pe sonajes
signi ica i os
de
cuyos
esc i os
puede
es i ui se
en
pa e
la
his o ia
de
al
geome ía.
:
•••
,
,,
y
¡·
, ,
as
mec;esiaaéles
ae
la
~ñgui eG mma
Gons i a¾en
el
P},an o
ae
PJ.a1 aJa
ae
uma
" éc;nic;a
geo né nic;a'
' y ' y I y
Po
con a!
la
geome ía
p ác ica,
la
que
a añe
a
la
o mación
del
a qui ec o,
es
mucho
más
compleja
de
acome e .
Se
sabe
muy
poco
de
épocas
emo as,
y
hay
que
llega
al
siglo
e ce o
pa a
ob ene
unas
p ime as
y
débiles
e e encias.
Papus
de
Alejand ía
3
es ablece
po
p ime a
ez
la
dis inción
en e
una
mecánica
eó ica
y
o a
p ác i-
ca
aludiendo
a
la
escuela
de
He ón
( inales
del
s.
11
aC)
4.
En
época
del
impe io,
Fa en ino
5
pa ece
segui
es a
línea,
más
p óxima
al
empi ismo,
a
la
que
pe de-
mos
la
pis a
du an e
la
al a
edad
media.
Apa ecen
e e encias
hacia
1125-30
con
Hugo
de
San
Víc o
6,
cuya
geome ía
p ác ica
es
un
a ado
de
la
medida,
la
que
in es iga
po
medio
de
los
ins umen os,
pe o
siendo
el
pe sonaje
un
eó ico,
su
dis inción
no
deja
de
se
un
eje cicio
académico.
El
la ín
e a
la
lengua
u ilizada
en
los
esc i os
sob e
a i mé ica
y
geome ía
po
las
gen es
cul as,
pe sonajes
o mados
en
las
a es
libe ales.
Las
len-
guas
e náculas
las
u ilizadas
po
los
a esanos,
en
los
o icios,
en
conc e o
en
la
Edad
Media,
y
hay
que
espe a
has a
el
siglo
XIII
pa a
encon a
es imonios
esc i os
que
se
ocupen
de
es as
ma e ias.
Ob as
como
"p a ike
de
geome ie
II
en
dialec o
pica do, o
el
"cuade no
de
no as
11
de
Villa d
d1
Hónnecou ,
maes o
can e o
del
XIII,
o
"géomé ie
p a ique"
ms
del
XIV,
e c.7,
cons i uyen
desde
dis in-
os
aspec os
el
co pus
de
la
geome ía
ab o um,
la
11
écnica
de
las
o masº,
como
ano a
uno
de
los
au o-
es.
Donde
los
conocimien os
de
geome ía
no
se
oman
como
alo
en
sí,
sino
como
ins umen o
de
con ol
o mal,
y
cuyas
cons ucciones
se
ealizan
con
egla
y
compás,
únicos
ins umen os
necesa ios.
Los
a ados a dogó icos
que
han
llegado
a
nues os
días,
publicados
a
inales
del
XV
y
du an e
el
XVI
8, a
la
pa
que
o os
de
con enido
enacen is a,
des elan
g an
pa e
del
p ocede
de
los
maes os
can e os
y
po
an o
de
sus
conocimien os.
Se
puede
ap ecia
que
el
papel
de
la
geome ía
ab o um
esul~
a
undamen al
pa a
a qui ec u a
an
compleja
o mal-
men e
como
la
gó ica,
a
pesa
de
que
los
p incipios
geomé icos
necesa ios
e an
pocos
y
elemen ales.
Pa e
de
es os
p incipios
geomé icos
se
publican
en
un
abajo
ealizado
en
Ra isbona
en
1490,
po
un
des acado
p o esional
de
la
a qui ec u a
gó ica
cen-
oe u opea, Ma haus Ro icze ,
bajo
el
í ulo
"Geome ia
Deu sch'
9,
un
opúsculo
con
once
ilus a-
ciones
donde
el
g an
maes o
pone
po
esc i o
cie as
ope aciones
geomé icas
a
modo
de
consejos
ú i-
les
10.
Todas
las
ilus aciones
se
esuel en
con
egla
y
compás,
y
cumplen
su
come ido
con
un
g ado
de
p ecisión
sob ado
11,
especialmen e
en
el
campo
de
la
cons ucción.
Llegamos
al
p incipio
de
la
mode nidad
con
un
nue o
és ilo
de
p o esional,
el
a qui ec o
enacen is-
·
o o }
A pa i
de
-o~
colculo
A
pa i
de
~y~
calculc
;,:/o
•
~..
1.2599 ..
y
X
X
CUBO
OOOLAOO
3
Dibujo p opue'3 0 en ol.
E o que
se
come e
en
ms.
2 x'
w
w
X
b
o o o y
P ocede
p opues o
en
el ol.
22 ,
1 d. Ou e o, Unde weisung,
L.IV,
ig.
16.
' opue11 o
co ec o.
a,
más
in elec ual,
más
cul o,
con
más
medios,
que
expe imen a
con
11
o mas
11
( esul ado
de
una
elección
cul u al),
que
p oclama
el
alo
p opio
del
11
p oyec o
11
(en
es os
momen os
y
po
p ime a
ez
en
la
his o ia
independien e
de
la
pos e io
ejecución
de
las
ob as).
No
obs an e
la
adición
pesa,
y
son
nume o-
sos
los
conocimien os
a eso ados
du an e
an os
años
que
pe manecen
igen es
en
el
quehace
a qui-
ec ónico
enacen is a.
Como
mues a,
hemos
elegido
un
p o esional
excepcional,
el
a qui ec o
He nán
Ruiz
11
el
jo en
del
que
enemos
cons ancia
esc i a
de
sus
conocimien-
ios,
su
manusc i o,
que
ecoge
con
p o usión
los
igu a
1:
Duplicación del
cubo: p ime
mé odo
de
ap oximación.
P oposiciones del
lib o
VI
de Euclides
1.
Según Du e o,
"Unde weisung",
lib o
IV.
lg
16
2.
Según
ms
de
He nán
Ruiz:
o!
2
3.
Compa ación de
ambos y
e o
come ido
Figu a
2:
Duplicación del
cubo: p ime
mé odo
de
ap oximación.
P oposiciones del
lib o
VI
de
Euclides
Ms
de He nán
Ruiz:
ol. 22 .
•
<(
o
~
>
z . ' ' 1
''
<(
~
a:
u:
i
~legamos
al
ninGi~io
ae
la
moae niilaé/
Gon
un
nue o
es i ¡o
ae
~ o[esional.
Figu a
3:
Duplicación del cubo:
p ime
mé odo
de
ap oximación
P oposiciones del
lib o
VI
de
Euclides
Ms
de He nán Ruiz:
ol.
36 .
(Va iación 1
).
s
conocimien os
de
geome ía
del
momen o
en e
o as
disciplinas
p opias
de
es udio
de
un
a qui ec o
mode no:
elojes
de
sol,
ó denes
clásicos,
as e en-
e,
pe spec i a,
p opo ciones,
azas
de
edi icios,
ana omía
y
o eb e ía.
Sus
ap endizajes
del
o icio
y
de
la
geome ía
debie on
comenza
a
emp ana
edad,
de
la
mano
de
su
pad e
He nán
Ruiz
11
el
iejo
11
,
expe o
maes o
can e o
de
e iden e
o mación
medie al.
Así,
nues o
au o
se
inició
en
el
"a e
de
la
geome ía
en
la
acepción
que
acuña
es e
é mino
en
la
baja
edad
media
12
,
de
cuya
a qui ec u a
conocemos
hoy
sob a-
damen e
que
la
base
del
diseño
o mal
e a
esencial-
men e
geomé ica
1
3.
Pe o,
no
sólo
con aba
con
esa
o mación
adicional.
Su
con ac o
con
la
nue a
a qui ec u a
eme gen e
y
con
publicaciones
de
an-
gua dia
(g acias
a
la
imp en a),
más
un
sólido
apoyo
eó ico
es udiado
en
los
a ados,
incluido
el
ex o
i u iano
(que
nues o
pe sonaje
aduce
pa cial-
men e),
el
in e és
po
la
p opo ción,
an o
la
que
dimana
de
la
u ilización
de
ó mulas
geomé icas
(a
la
usanza
medie al)
como
la
es ablecida
po
la
con-
co dancia
de
azones
o
elación
en e
núme os
(más
aco de
con
las
nue as
eo ías),
lo
si úa
en
p ime a
línea
del
nue o
ipo
de
p o esional.
Una
impo an e
o mación
como
can e o,
su
inna-
a
capacidad
pa a
el
eje cicio
de
la
a qui ec u a,
y
sus
ansias
de
conocimien o,
a o ecida
po
el
1 "
momen o
his ó ico,
cul u al
y
a ís ico,
le
lle ó
a
supe a
la
o mación
pa e na,
y
con
cie o
ca ác e
au odidac a,
imbui se
en
la
nue a
a qui ec u a
apo-
yado
en
el
quehace
de
a qui ec os
con empo áneos
como
Riaño
o
Siloe;
o
bien
en e
a adis as
como
Albe i,
Du e o,
Se lio,
Vi u io,
e c,
como
demues a
an o
la
elación
de
lib os
en
p opiedad
e e ida
en
su
es amen o
y
desg aciadamen e
incomple a
14
,
como
algunos
ex os
y
dibujos
del
p opio
manusc i o,
simi-
la es
o
iguales
que
los
de
ales
a ados.
¿Que
geome ía
ap endió?
o
mejo
¿qué
conoci-
mien os
geomé icos
se
en endían
necesa ios
en
la
o mación
de
un
a qui ec o
de
mediados
el
XVI?,
¿que
pudo
o ece
el
á ea
geog á ica
andaluza
donde
se
localiza
su
ac i idad?
Son
p egun as
que
an
ín imamen e
ligadas
al
desa ollo
social,
econó-
mico
y
cul u al
del
en o no:
la
Se illa
del
XVl1
5.
El
lib o
de
geome ía,
así
se
llama
el
capí ulo
de
su
manusc i o
que
abo da
es a
ma e ia,
aunque
es
indiscu iblemen e
un
abajo
de
ocación
enacen is-
a,
man iene
un
ue e
débi o
con
el
sabe
del
medie-
o.
Se
nu e
de
nume osas
uen es,
especialmen e
de
las
adiciones
ope an es
en
a qui ec u a,
y
de
ob as
imp esas
como
las
ci adas
de
Du e o16
y
Se lio
17,
aunque
en
su
ms
sólo
ci a
a
Euclides
(qui-
zás
la
única
uen e
que
no
u ilizó
di ec amen e,
pe o
de
obligada
e e encia
po
se
ma iz).
Pe o
ales
p és amos
son
analizados,
asimilados
y
mejo ados
en
muchos
de
los
casos,
con
apo acio-
nes
pe sonales
lúcidas
que
implican
un
comp omiso
más
allá
del
me o
coleccionismo.
Los
emas
especí-
icos
de
geome ía
que
en
él
se
a an,
cons i uyen
la
angua dia
de
es os
conocimien os:
concep os,
ins-
umen os,
elemen os
básicos
(líneas,
ángulos,
polí-
gonos,
...
),
mé ica,
cons ucción
de
igu as,
p oposi-
ciones
de
equi alencia
y
p opo ción,
y
ep esen a-
ción
de
cue pos
(polied os
pla ónicos)
con
sus
desa-
ollos
planos,
incluso
secciones
planas
de
conos.
La
cu iosidad,
capacidad
e lexi a
y
analí ica
de
nues o
au o ,
queda
bien
e lejada
a
lo
la go
de
oda
la
ob a,
y
si
bien
no
pa ece
mucho
su
apo ación
pe -
sonal,
si
lo
es
el
endimien o
ob enido
de
su
ap endi-
zaje,
apo ando
pun os
de
is a,
ap eciaciones
y
apli-
caciones,
den o
de
un
igo
cien í ico
demos ado,
que
con ie en
el
abajo
en
un
ico
legado
de
g an
in e és,
es imonio
único
y
alioso
(a
la
angua dia
de
los
conocimien os
de
la
época).
Nues o
au o
maneja
ma e ial
a anzado
1
di icul-
oso,
y a
eces
duda
en
sus
azados,
a
eces
come-
e
e o es,
gene almen e
con
g an
capacidad
de
co ección.
Las
p oposiciones
geomé icas
más
com-
plejas
no
se
e lejan
como
me as
ece as
de
con eni-
do
eó ico
inalcanzable!
al
con a io,
en
la
mayo ía
de
los
casos
los
dibujos
18
demues an
g an
capaci-
dad
de
comp ensión,
in e p e ación,
sis ema ización,
y
!plicación.
Analicemos,
po
la
b e edad
p opia
de
es e
a í-
culo,
an
sólo
algunas
de
las
nume osas
p opues as
que
se
ecogen
en
el
ms,
seleccionada
po
mo e se
en
el
lími e
de
la
geome ía
ab o um
más
a anzada
de
mediados
el
XVI.
Nos
e e imos
a
las
soluciones
geomé icas
pa a
el
cálculo
de
aíces
cúbicas
19
,
un
p oblema
complejo,
his ó ico
e
indispensables
en
el
campo
p o esional.
El
p oblema
del
cálculo
g á ico
de
la
aíz
cúbica
de
un
núme o
en e o,
o
dicho
de
o a
o ma,
la
solución
geomé ica
pa a
amplia
n
eces
un
cubo,
es
el
an iguo
p oblema
de
Delos,
que
se
p esen a
desde
los
p ime os
es udios
de
es e eo-
me ía,
y
que
iene
sus
aíces
en
las
p oposiciones
del
lib o
VI
de
Euclides20,
Nues o
au o
pa ece
oma lo
de
un
expe o
geó-
me a
de
la
época,
Du e o,
cuya
publicación
11
Unde weisung1
en
edición
la ina
(1/ns i u ionum
Geome ica um
11
),
p obablemen e
enía
en
su
pode ,
en
cuyo
11
lib o
IV
11
se
abo dan
ales
cálculos,
po
ap oximación,
de
o ma
expedi i a.
Con
la
exp esión
11
dobla el quad o
cúbicamen e",
ex o
que
acompaña
a
la
igu a
del
ms
en
el
olio
22,
se
es á
indicando
el
ob ene
un
cubo
de
olumen
doble
a
uno
dado
(ap oximación
al
alo
de
aíz
cúbica
de
dos).
Dicho
cubo
se
ep esen a
en
p oyección
(una
ca a
cuad ada)
pa a
esol e
en
geome ía
plana
1
siguiendo
las
di ec ices
es ableci-
das
po
Du e o
bajo
el
epíg a e
11
ag anda
p opo cio-
na/men e
el
cubo
11
(que
se
asigna
el
papel
de
pione o
en
da
a
conoce
en
lengua
ulga
solución
an
so is-
icada:
11
•••
cosas
que,
según
c eo,
nunca
han
sido
desc i a
has a
aho a,
a
lo
menos
en
lengua
e nácu-
la',.
La
p opues a
es
densa
y
labo iosa
( ig.
1.1)
y a
ella
nos
emi imos
de
o ma
sin é ica:
oma
dos
eces
la
a is a
del
cubo
a
dobla
(lado
a
del
cuad a-
do)
y
desc ibi
con
al
adio
un
semicí culo
de
cen o
o,
dibuja
la
ec a
pe pendicula
al
diáme o
po
o,
aza
la
ec a
que
une
el
ex emo
del
diáme o
con
el
pun o
b
(que
dis a
de
o
la
magni ud
a,
lado
del
cuad ado)
21
,
desde
el
o o
ex emo
del
diáme o
a-
za
una
ec as
que
co e
a [ y ]y a [ y
ci cun e en-
cia]
según
dos
segmen os
iguales
m
(median e
an-
eo
con
una
egla),
oma
la
magni ud
y
desde
el
pun o
de
co e
de
[s- ]
has a
el
cen o
o
de
la
ci cun-
e encia,
lle a
sob e
una
ec a
cualquie a
la
magni-
ud
[y
+
aj,
y
con
al
dimensión
de
diáme o
aza
una
semici cun e encia,
po
el
pun o
de
unión
[y
con
a}
le an a
una
pe pendicula
al
diáme o
has a
que
co e
a
la
ci cun e encia,
dicha
magni ud
x
es
la
a is-
a
del
cubo
buscado.
Nues o
au o
in es iga
a
pa i
de
es a
p opues-
a,
y
en
su
ilus ación
( ig.
2)
supe pone
las
dos
' ; ' 1 • •
~na/izamos
las
soluciones
geo né ic as
~a a
el
Gákulo
ae
:aíc:es
Gú ü~as.
:.
. • 1
1
s
A
po li
de
·s·
colculo
o•.
A pa i de ªa" calcula
·.
s
y
,egún ol. 22 .
a
xl
o
x1
l<
1
CUBO
DOBLADO
2 3
segOn ol. J6 .
segOn
ol.
36 .
hlp6 esls
A.
hip6 nl9
B.
s
x2
c2
a
______________
..
x2 o
x2
cuao
ooeLADO
a
CUBO
OOBI.ADO
6 eo 1.8,C mayo 6 aa
7.B'il:
mayo
Figu a
4:
Duplicación del cubo:
p ime
mé odo de
ap oximación.
P oposiciones del
lib o
IV
de
Euclides.
1 .
Ms
de
He nán
Ruiz: ol 36
(Va iación
sob e
el
ol. 22 ) ·
2.
Hipó esis de A
To na "a" como
adio
de
la
segunda
semici cun e encia.
3.
Hipó esis
B.
Toma
"a"
como a is a del
cubo ampliado.
.,_
.......
---
.......
Figu a
5:
T iplicación del cubo: p íme mé odo
de
ap oximación
P oposiciones
del
lib o
VI
de
Euclides
Ms
de
He nán
Ruiz:
ol.
36
bis.
(Va iación
2).
~·"
..
--·
=-- _
........
~~
....
:,•' l
Figu a
6:
T ipli ica
el
cubo.
Mé odo
de
ap oximación.
P oposiciones del lib o
VI
de
Euclides.
~
(Du e o, Unde weisung, :
L.IV,
ig
17).
;
Ms
de
He nán
Ruiz:
ol. :
36
bis.
(Va iaciones
al
::
ol
22 ). T azado a
~
pa i
de
"m"
:
Figu a
7::
Duplicación del cubo: i
segundo mé odo
de
:
ap oximación :
P oposiciones del lib o :
VI
de
Euclides 0
Ms
de
He nán
Ruiz:
:
ol. 22 . :
A
pa i
de
··o"' co culo
"m".
A
pc i
de
"m"
colculo
"y"
A
pa i
de
"y"
colcu o
"•
".
y
./o
~
l .4•109 o:
'
~
1,4422
E o
O.OOll".
O h:H
n
on::o
en
e!l po -c'S
iguale,,
Du e o (L.l ~ ng.20).
cons ucciones
( e
ig.
1.2
donde
se
analiza
la
igu-
a
2),
encajando
el
diáme o
de
la
segunda
ci cun e•
encia
[y+
aj
en e
el
ex emo
in e io
de echo
de
!a
p ime a
y
el
pun o
in e sección
de
las
dos
ec as
inclinadas
[ y
s]
(pun os
1 y 2
en
el
dibujo);
ello
no
es
co ec o
y
al
diáme o
es
más
co o
en
la
ealidad
como
puede
comp oba se
( e
ig.
1.3),
aunque
el
e o
que
se
come e
no
es
excesi o.
Con inúa
su
análisis
a
la
búsqueda
de
soluciones
más
inmedia as
(de
mayo
economía
g á ica),
y
en
el
olio
36
( ig.
3)
o ece
nue a
e
in e esan e
a ian e
22
que
po
esca-
sez
de
ex o
explica i o
a
pie
de
igu a,
"o o
modo
de
dobla
el
quad o
cúbicamen e
11
1
se
puede
in e -
p e a
según
dos
hipó esis
( ig.
4):
la
p ime a
se
apoya
en
cie a
le a
11
a
11
(g a iada
algo
bo osa),
que
designa
el
segmen o
de
magni ud
[ o
in e sección
-s]
y
pa ece
indica
en
la
ilus ación
in e io
que
se
oma
como
adio
pa a
el
segundo
semicí culo
( e
ig.
4.2);
la
segunda
hipó esis
que
plan eamos
elimina
la
necesidad
del
segundo
semicí culo,
y
ob iene
la
a is-
a
del
cubo
ampliado
(x)
di ec amen e
del
alo
(la
1'
( ig.
4.3).
Tan o
en
un
caso
como
o o,
el
e o
que
se
come e
es
pequeño
al
adop a
dicha
ap oximación,
especialmen e
en
la
p ime a
hipó esis,
cuyo
e o
es
desp eciable.
En
el
olio
36
bis
( ig.
5),
se
esuel e
un
ejemplo
de
iplica
el
cubo
po
la
misma
ó mula.
La
a is a
del
cubo
a
iplica ,
aco ada
con
"s
11
en
el
dibujo,
se
aplica
es
eces
pa a
de e mina
el
adio
de
la
semi-
ci cun e encia
p ime a,
y
como
es
obligado,
la
ec a
inclinada
(más
baja)
pasa
a 1/3
del
adio
e ical
(que
se·encuen a
di idido
en
es
pa es
iguales
po
líneas
incisas).
Es a
ilus ación
ambién
apo a
una
e lexión
muy
in e esan e
que
no
se
encuen a
en
la
ilus ación
de
Du e o,
el
a co
(supe io
izquie da)
limi ado
en e
la
ec a
inclinada
más
baja
y
el
adio
e ical,
es á
di idido
en
es
pa es
iguales,
una
de
cuyas
cue das
se
ha
lle ado
sob e
el
adio
e ical
(desde
el
ex emo
más
al o
hacia
abajo)
pa a
de e -
mina
el
pun o
de
co e
de
!a
o a
ec a
inclinada
(hay
una
pequeña
le a
11
8
11
que
aco a
ambos)i
con
ello
se
e i a
el
engo oso
an eo
pa a
ob ene
dicho
pun o,
aunque
hay
que
esol e
la
con lic i a
di isión
de
un
a co
en
es
pa es
iguales
23
.
El
cuad ado
pequeño
que
se
ep esen a
( ig.
6)
es
la
ca a
del
cubo
de
pa ida,
el
g ande,
la
del
cubo
buscado,
además
se
han
inco po ado
unas
líneas
auxilia es
que
e lejan
el
p ocede ,
el
e o
come ido,
y
una
posible
solución
a
la
di isión
en
es
pa es
del
a co,
omada
igualmen e
de
Du e o
(lib o
11),
aunque
la
p opues a
dibujada
en
el
ms
pa ece
esol e
po
an-
eo.
O o
modo
de
esol e
el
mismo
p oblema
se
de i a
igualmen e
de
Du e o
(lib o
IV)
bajo
el
epíg a-
e
11
mane a
de
encon a
dos
líneas
p opo cionales
a
dos
líneas
impa es
11
(cuyo
ex o
explica
en
ex enso
el

a
CUBO
A
DOBLAR
o s
x/o
•
V2
=
1.2599
..
Figu a
9:
T iplicación del cubo: segundo
mé odo
de
ap oximación
P oposiciones del
lib o
VI
de Euclides
Ms
de
He nán
Ruíz:
ol.
22 .
p oceso
aludiendo
a
las
p oposiciones
8 y
15
del
lib o
sex o
de
Euclides).
Nues o
au o
nos
o ece
seis
eje cicios
sob e
es a
nue a
ó mula
pa a
esol-
e
el
p oblema!
el
p ime o
en
el
olio
22
con
el
escue o
comen a io
11
o o
modo
11
( ig.
7).
De
o ma
ab e iada,
la
ope a i a
es
la
siguien e:
dado
un
cubo
que
se
p e ende
dobla ,
p oyec ado
según
un
cua-
.d ado,
dibuja
un
ec ángulo
o mado
po
dos
de
ales
cuad ados
( ig.
8),
p olonga
dos
de
sus
lados
pe pendicula es
( ec as
" "
y
"s
11
espec i as),
po
el
é ice
lib e
del
ec ángulo
aza
una
ec a
''.(
que
co e
a
'
1 y
/{s
11
en
dos
pun os
equidis an es
del
cen-
o
de
dicho
ec ángulo
11
0
11
(segmen os
m),
la
dis an-
cia
'x
11
en e
el
pun o
de
co e
[s-y]
y
el
é ice
más
p óximo
del
ec ángulo
es
la
a is a
del
cubo
busca-
do.
De
la
misma
época
enemos
una
·p opues a
simi-
CUBO
DOBLADO
X
X
la
de
C is óbal
de
Rojas
24
,
ambién
acompañada
de
ex o,
que
incluso
ci a
a
Euclides
11
como
e
p ueua
po
la
12.di iníció
del
5.de
Euclides,
y
po
la
36.de/
undecimo,
...
11
(
de iniciones
que
a an
de
p opo cio-
nalidad
en e
ec as).
En
ealidad
las
cons ucciones
de
es as
igu as
es án
basadas
en
p oposiciones
del
lib o
VI
de
Euclides,
como
ya
se
ha
indicado,
espe-
cialmen e
la
8,
13,
y
17.
Figu a
8:
Duplicación del
cubo: segundo
mé odo
de
ap oximación.
P oposiciones del
lib o
IV de
Euclides.
(Du e o,
lib o
IV,
ig 23).
Ms
de He nán
Ruiz:
ol
22
Figu a
10.1
y 10.2:
Oc uplica
el
cubo:
segundo
mé odo
de
ap oximación
P oposiciones del
lib o
VI
de Euclides
Ms
de
He nán
Ruiz:
ol. 22 y 36 bis.
"P ueba".
P ocedimien o
exac o
El
mismo
dibujo
se
o ece
en
el
olio
36
con
un
ex o
algo
más
dila ado,
bas an e
deso denado
en
las
ideas
has a
el
pun o
de
se
con lic i o:
11
es a
igu-
a
demues a
dobla
el
quad o
cúbycamen e
y
es
dob/allo
po
la
mis
(sic)
egla:
si
quie es
esdobla
o
qua odobla
poniendo
es
cuad os,
si
quie es
esdo-
bla
poniendo
el
pun o
en
medio
de
los
es
quad os
11
•
En
un
olio
an e io
(22 )
ya
había
ep esen ado
un
ejemplo
de
iplica
el
cubo
( ig.
9),
lógicamen e
a
pa i
de
es
cuad ados
(cubos),
como
p ocedía
e
indicaba
Du e o,
y
así
lo
exp esa
en
el
ex o
que
acompaña
la
igu a
11
...
pone
es os
es
quad os
en
uno
cúbicamen e
...
11
•
La
misma
igu a
epi e
en
el
olio
37
bajo
el
epíg a e
¡¡pa a
esdobla
el
quad o
cúbicamen e
11
,
donde
11
esdobla
11
quie e
indica
i-
plica .
Una
lec u a
gene al
de
los
ex os
demues a
ácilmen e
que
nues o
au o
u iliza
el
cali ica i o
11
dobla
11
po
aumen a ,
an eponiendo
el
núme o
de
eces
que
debe
hace se.
Pa a
ema a
una
aena
de
análisis
y
comp en-
sión
comple a,
nues o
au o
nos
o ece
dos
dibujos
de
un
mismo
ejemplo!
a
modo
de
comp obación
de
que
la
ó mula
es
co ec a
y
en
casos
conc e os
su
componen e
ap oxima i a
se
con ie e
en
exac a.
Ello
ocu e
cuando
se
p e ende
ob ene
la
aíz
cúbi-
ca
de
un
núme o
en e o
que
admi e
solución
en e a¡
y
nues o
au o
elige
el
más
sencillo
posible
1
el
8,
cuya
aíz
cúbica
es 2.
El
siguien e
se ía
el
27,
pe o
la
ep esen ación
g á ica
se ía
más
ediosa
e
igual-
men e
demos a i a
25
.
En
el
olio
22,
bajo
ex o
p e-
ciso
"es a
igu a
baxa
(léase
úl ima
del
olio)
es
la
p ueba
del
dobla
un
quad o
cúbicamen e,
po que
los
quad adicos
son
B y
el
quad ado
mayo
iene
cua o
po
en e
doblándolo
qua o
po
dos
son
8
11
1
el
au o
ep esen a
la
o ma
de
oc uplica
el
cubo
-
;;
,.
a :-,
,
~
la
"ge0 ne 1 :ía
~ é G11iGa"
se,
la
GomaCEe
GQA:JO
a l om.1m
Figu a
11::
Ampliación del cubo::
segundo mé odo de:
ap oximación.:
P oposiciones del lib o:
IV de Euclides,:
Ms
de
He nán Ruiz: ol:
22 .:
"P ueba"
de
la:
ampliación::
P ocedimien o exac o:
" ' '
cuao
A
OCTIJPUCAR
( ig.
10.1)
y
lo
llama
11
p ueba".
La
misma
p opues a
se
epi e
en
el
olio
36
bis
con
el
mismo
e o
en
el
sin é ico
ex o
"la
p ueba
de
duplica
el
quad o
cúbi-
camen e
11
( ig.
10.2).
Los
ocho
pequeños
cubos
es án
alineados
al
como
manda
la
no ma
gene al,
y
el
polied o
esul a-
do
se
ep esen a
di idido
en
cua o
pa es
pa a
indi-
ca
g á icamen e
que
su
olumen
ocupa
jus amen e
los
8
cubos
de
pa ida
(dos
en
ondo
po
cua o,
como
indica
el
p opio
ex o)
( ig.
11).
La
p opues a
es
elemen al
po
su
lógica,
pe o
el
ex o
no
explici a
con
cla idad
el
aumen o
que
se
p e ende
al
indica
11
•••
p ueba
del
dobla
un
quad o
cúbícamen e
11
•
La
palab a
11
dobla
11
,
amplia
dos
eces,
es
inco ec a
pa a
exp esa
oc uplica ,
o
al
menos
ambigua
si
a endemos
a
la
acepción
más
gené ica
(amplia )
al
como
pa ece
u iliza
el
au o ,
ya
que
en
es e
ejemplo
queda
cuan i icada
!a
ampliación
e
incluso
los
cua-
d ados
es án
nume ados
( e
ig.
10.1
).
He nán
Ruiz
11,
ambién
llamado
11
el
jo en°,
a qui-
ec o
signi ica i o
de
una
saga
amilia
muy
ligada
al
e i o io
andaluz,
especialmen e
a
Se illa,
en
una
época
do ada
pa a
la
ciudad,
de
angua dia
cul u al
y
cien í ica,
no
sólo
es aba
ins uido
en
lo
más
a an-
zado
de
la
a qui ec u a
del
momen o,
no
sólo
dispo-
nía
de
una
biblio eca
en idiable,
quizás
no
nume o-
sa
pe o
sí
selec a,
no
sólo
acumulaba
y
es udiaba
in o mación
de
angua dia,
...
,
ca gado
de
cu iosi-
dad
cien í ica,
in ui i o,
buen
obse ado
y
e icaz
analis a,
nos
o ece
en
su
manusc i o
unas
inno a-
do as
p opues as,
que
con
mayo
o
meno
exac i ud
(pe o
con
e o
admisible
en
el
campo
de
la
cons-
ucción),
demues an
has a
que
pun o
los
p o esio-
nales
impulsa on
la
geome ía
ab o um
lle ándola
al
lími e
de
sus
posibilidades
como
geome ía
p ác i-
ca,
haciendo
con e ge
dos
caminos
pa alelos
1
el
de
la
eo ía
y
la
p ác ica,
undiéndolos
desde
es e
momen o
en
un
mismo
onco,
al
como
ha
llegado
a
nues os
días.
•
CUBO
OCTUPLICADO
2o
1.-
RUIZ,
J.
A.
T aza
y
sime ía
de
la
A qui ec u a,
Uni e sidad
de
Se illa,
1987,
195
ss
2.-
C .
REY,
A.
La
Ciencia
O ien al
an es
de
los
g iegos,
México,
1959.
3.- PAPPUS, Sinagoge mazema ique.
C
G.
DOWNEY,
ºByzan ine A chi ec s:
hei
aining and me hods",
Byzan ion,
18,
1946-48,
106
ss.
4.- HUL TSCH.
He onis
Alexand ini
geome ico um
e
s e eome ico um
eliquiae,
Be lin,
1864.
5.- FAVENTINO, M.C.
Compendio
de
A qui ec u a,
Pa ís,
1540.
6.- SAN VICTOR,
H.
Geome ía
P ac icae,
ms, Pa ís. C .
R.
BARON, "Su l'in oduc ion
en
Occiden
des
e mes
1
geome ia
heo ica
e
p ac ica
111
,
Re ue
d'His oi e
des
Sciences
e
de
/eu s
applica ions,
VIII,
1955,
298
ss.
7.-
Los o iginales
de
las publicaciones e e idas
se
encuen an
en
la
BN
de
Pa ís. Alguno
como
el
de
Villa d
es á
su icien emen e di undido
en
publicaciones ecien es,
la
más
mode na
en
Fuen es
de
A e
9
de
la
Ed.
Akal,
Mad id,
1991.
8.- RORICZER,
Büchlein
an
de
ialen
ge ech igkei ,
ms en
Colonia, Ra isbona,
1486.
O
Wimpe gbüchlein,
ms ambién
en
Colonia. SCHMUTTERMA
YER,
Fialenbüchlein,
incunable
de
1498
en
Nu embe g.
LECHLER,
Un e weisung,
ms
en
Colonia
de
15
16.
O los
a ados
menos
conocidos
de
RITXNER (
1445-151
S);
STROMER, (
1561-1614)
e c. Un
es udio
ecien e,
SHELBY,
L.R.
Go hic
design
echniques,
Sou he n
lllinois U.P. 1977.
9.- RORICZER,
M.
Geome ia
Deu ch,
ed. o g.
Wü zbu g,
Ra isbona,
1490.
C . Shelby,
op
ci .
10.-
En
sín esis
se
desa olla:
a)
la
de e minación
de
dos
ec as
pe pendicula es
en e
sí;
b,
c,
d)
azado
de
un
pen ágono,
hep ágono
y
oc ógono
egula ; e) cálculo
g á ico del desa ollo
de
una ci cun e encia;
)
de e mina
el
cen o
de
un a co; g)
ob ene
un iángulo
de
á ea
igual
a
la
de
un
cuad ado
dado
o ice e sa.
1
1.-
Un
some o
análisis bas a pa a
comp oba
que
es
cons ucciones
son
exac as
{apa ados a,d, ) y
cua o
esuel en
po
ap oximación (apa ados b,c,e,g).
En
la
de e minación g á ica del desa ollo
de
la
ci cun e encia
(apa ado
e)
se
ob iene
un alo
de
8=22/7=3,
1428
(ap oximación
de
milésima).
En
la
igualdad
de
á eas
en e
cuad ado
y iángulo
(apa ado
g),
el
alo
de
/3 = 16/9 =
1,777
{ap oximación
de
cen ésima).
12.-
Po
los
es imonios
esc i os
que
nos
han llegado,
se
sabe
que
la
Geome ía
e a
la ciencia undamen al
en
A qui ec u a. Son
elocuen es
ases
como:
11
La
masone ía
es el
a e
de i ado
de
la geome ía, y es
la
más noble
de
las
a es
11
(MS
Regius, XIV).
"La
geome ía
es el p incipio
de
odas
las .demás
ciencias
y
no
puede
ealiza se
ob a
alguna
que
no
enga
su
azón y causa
en
la
geome ía. Del
mismo
modo
la
ma,sone ía
es
la
más
impo an e
de
odas
las
a es,
pues
no
es
sino
la
aplicación
de
la
geome ía"
(MS
Cooke,
1430~40).
l ~á.
geome ía
es
la
cienda
undamen al·
pa a
el•
can e o"
:(G denanza
de
1347).
11
EI
a e
sin•cienda·n9,E!s na.~~!'.(Ac~s
de!,•,MJlán,
·1400).
·"Aquí.
comienza: lá0
impoR1?cia
.de(; a ado
Mla
igu a,
así
como
de
la
geome ía,.~ue,:~nse y::i
a, ::1.baj~ la
con.
mayo
sol u a
...
".
(Cuade ~°,de.:•.~ula d,.XIII).
"E c.
13.~
C .RlJl~ 1 a~/.)26Jss~
•.
: .
14.-
LOPEZ
:~ ART!N
.
has a
Ma ínez
Mon dñ
15.-
En
es a á'l
de. a aigo' neij
·
..
'.';
')4 ··un,·debá e
e;: ,aél iéi
del
··•·
la ín a lengua e nácula los
sabe es
de
geome ía,
pues al
deci
de
los
sesudos
que
,monopolizaban
la
ciencia "el
anda
las
cien ias
en
lengua ulga
es
haze las
Mechanicas". <:AMORANO,
R.
Los
seis
lib os
p ime os
de
la
geome ía
de
Euclides,
Se illa,
1576,
7 . Es o es indica i o
de
que
aún pe du aban
las
dos
amas
de
la
geome ía,
la
eó ica
y
la
p ác ica, y aquel
que
p ocedie a
del
mundo
de
los o icios
end ía
que
aplica se a conciencia pa a
ins ui se
en
la aún sec e ísima ciencia.
16.-
"
...
geome ía, sin
la
cual ninguno
puede
hace se
o
se
un
a is a
pe ec o
...
Pues o
que
la
misma
es
el
e dade o
undamen o
de
odo
el
a e
del dibujo,
me
pa eció
con enien e
esc ibi pa a los alumnos
es udiosos
cie os
udimen os, con lo cual les
p opo ciona é
ocasión
de
usa
el compás y
la
egla
y,
consiguien emen e,
de
pe cibi
la
e dad
...
En
que
g ado
de
hono
y dignidad haya sido
enido
en e
los g iegos y los
omanos
es e
a e,
los
lib os an iguos lo a es iguan su icien emen e, a 1nque
después
se
haya casi
pe dido
y
pé ma iédóbcul é: nas
de
mil
años y
aho a
inalmen e, ... haya. salido a
la
luz
g a.c::ias
a
algunos i alianos. Pues las
a es
ácilmen e
se
pie den y
pe ecen
po
comple o;
po
el con a io.se> ecüpe an
di ícilmen e y
después
de
la go iempo". DÜRER,
A.·
Unde weysung
de
messung,
Nu embe g,
1525.
(Ed. Jacsí nil
Collegium G aphicum, Po land,
O egon,
1972).
l
DURERUS, A
ln n u ionum
Geome ica um,
Pa is,
.1535.
(Ed.
ad.
español, Uni . Nac. Au .
de
México,
1987!
xxii).
17.-
SERLIO,
S.
D'A chi e u a,
e
P ospe i a,
Pa is,
1545.
_
18.-
Tan o
los incisos
con
punzón
que
cons i uyen
la
ama
y plani icación p e ia
de
los dibujos,
como
el
esul ado inal g a iado
con
in a.
19
.-
Es as
p opues as
se
ilus an
en
los olios:
22,
· 22 ,
36 ,
36bis, y 37 del ms.
20.- Pa a
la
ob a
de
Euclides
se
ha
consul ado
la
aducción
al
cas ellano
de
los
Elemen os
ealizada
po
Pue as Cas año,
M.L.,
Mad id, 1991-96, que sigue el
ex o
g iego ijado
po
Heibe g,
Eudidis
ope a
omniá,
Leipzig
1883-86, y
la
e isión
hecha
po
S ama is,
Euclides
Elemen a,
Leipzig, 1969-73.
21.-
En
es e
caso
que
él
adio
de
la
s~ niói cú 1JE! eh iª>
'
ale 2a,
el
pun o
b
es
el
cen ~
{l
/2)
d~I
~T~~7~(c:,
~elg
e ical.
Si
se
iplica a
el
cubo,
come>
el
l"ªd,i~;~~ '1.,3?•:.e.1
pun o
b es a ía a 1
/3
del
cen o
o,
si
se
cuad üplica a, a
1/4,
e c.
22.-
La
au o ía
de
es a
p opues a
es una hipó esis,
aunque
es
admisible
pensa
an o
que
se
a a
de
una e lexión
pe sonal
_del
au o ,
como
de
un
débi o
a alguna uen e
desconocida.
23.- Supongo
que
po
p ocedimien os
de
an eo
simila es
al
u ilizado
po
Du e o
(lib o
11,
ig.
20),
solución p ác ica,
po
ap oximación, muy
en
la
línea
de
la
geome ia
ab o um
an as
eces comen ada.
24.- DE ROJAS,
C.
Teó ica
y
p ác ica
de
Fo i icaciones,
Mad id,
1598,
79
ss.
Nos
e e imos a
la
segunda pa e,
cap. XXI, "que en eña una egla
de
Geome ía,
pa a
duplica y
pa i
cue po
cubicas, y
haze
el
calibo".
El
dibujo
que
adjun a
es
simila
al
del ms.
(El
é mino
"calibo
11
quie e
deci
11
calib o
11
, calib a ,
de
uso
en
a ille ía
pa a
las balas, según
se
desp ende
del
ex o).
25.-
La
ó mula g á ica pa a calcula
po
ap oximación
la
,
aíz cúbica
de
n
siendo
n cualquie
núme o
en e o
( es
deci , amplia 2, 3, 4,
...
el olumen
de
un cubo),
se
con ie e
en
un
p oceso
g á ico
exac o
cuando
el
núme o
de
eces
a amplia (8, 27, 64,
...
)
iene
po
aíz cúbica un
núme o
en e o
(2, 3, 4,
...
).
•