Geometría Fabrorum para la estereotomía

• <( o ~ > z <( ~ o: u:: Ya hemos incidido en o as publicaciones, sob e la geome ía necesa ia pa a esol e los p oblemas que se le han plan eado al a qui ec o a lo la go de la his o ia y su elación con la ciencia geomé ica'. A la p ime a, desde la an igüedad, se la conoce como "geome ía p ác ica" o ab o um , a la segunda como "geome ía eó ica", dos amas que ienen un mismo o igen y un desa ollo dis in o. José An onio Ruíz de la Rosa Di ec o del Depa amen o de EGA de la Uni e sidad de Se illa Ca ed a ico de la Uni e sidad de Se illa 1 o igen de la geome ía es empí ico y no se sabe si es an es el hue o o la gallina, si son los o icios quienes demandan el desa ollo geomé ico o si es la geome ía quien pe mi e a anza en los o icios. Pa ece se lo p ime o 2, la necesidad aguza el ingenio, el empi ismo suple la ca encia de conocimien os, y al necesidad, esón y expe imen ación inician un ece a io de soluciones geomé icas, e lexiones in elec uales, que con el iempo de ienen en ciencia. Es deci , las necesidades de la A qui ec u a, Ag imensu a, ... , en gene al los o icios, cons i uyen el pun o de pa ida de una H écnica geomé ica 11 base de la ciencia geomé ica que hoy conocemos, cuyos undamen os descansan en el ma e iql clasi icado po Euclides y o os abajos p óximos. Tal écnica, geome ía p ác ica, no desapa ece as el log o alcanzado! con inúa su camino e olu i o nu iéndose del hijo engend ado, que es el que apo a á igo en la nue a e apa. Es a geome ía pa a los o icios segui á siendo necesa ia, dado que el conocimien o de la ciencia, de la geome ía eó ica, quedaba ue a del alcance de los a esanos, que con inua on con el uso, ap endizaje y desa ollo de la geome ía ab o- um. Desde la más emo a an igüedad se hizo necesa- ia al geome ía, que como se ha dicho, en la e apa clásica adquie e el ca ác e de co pus. Ma e ia que no se ha conside ado 11 cul a 11 po los in elec uales, pe o sí esolu i a, de base elemen al (aunque cien í- ica), su icien e pa a abo da los p oblemas de dise- ño y cons ucción, undamen o de la A qui ec u a. Segui la pis a de la geome ía eó ica es compli- cado] pe o abo dable documen almen e: Hipias, Nicomedes, Diocles, Apolonio, A químedes, Apollina , Capella, Boecio, Casiodo o, Gundisalíno, Fibonaci, o los nume osos es udiosos del pe iodo islámico, son algunos pe sonajes signi ica i os de cuyos esc i os puede es i ui se en pa e la his o ia de al geome ía. : ••• , ,, y ¡· , , as mec;esiaaéles ae la ~ñgui eG mma Gons i a¾en el P},an o ae PJ.a1 aJa ae uma " éc;nic;a geo né nic;a' ' y ' y I y Po con a! la geome ía p ác ica, la que a añe a la o mación del a qui ec o, es mucho más compleja de acome e . Se sabe muy poco de épocas emo as, y hay que llega al siglo e ce o pa a ob ene unas p ime as y débiles e e encias. Papus de Alejand ía 3 es ablece po p ime a ez la dis inción en e una mecánica eó ica y o a p ác i- ca aludiendo a la escuela de He ón ( inales del s. 11 aC) 4. En época del impe io, Fa en ino 5 pa ece segui es a línea, más p óxima al empi ismo, a la que pe de- mos la pis a du an e la al a edad media. Apa ecen e e encias hacia 1125-30 con Hugo de San Víc o 6, cuya geome ía p ác ica es un a ado de la medida, la que in es iga po medio de los ins umen os, pe o siendo el pe sonaje un eó ico, su dis inción no deja de se un eje cicio académico. El la ín e a la lengua u ilizada en los esc i os sob e a i mé ica y geome ía po las gen es cul as, pe sonajes o mados en las a es libe ales. Las len- guas e náculas las u ilizadas po los a esanos, en los o icios, en conc e o en la Edad Media, y hay que espe a has a el siglo XIII pa a encon a es imonios esc i os que se ocupen de es as ma e ias. Ob as como "p a ike de geome ie II en dialec o pica do, o el "cuade no de no as 11 de Villa d d1 Hónnecou , maes o can e o del XIII, o "géomé ie p a ique" ms del XIV, e c.7, cons i uyen desde dis in- os aspec os el co pus de la geome ía ab o um, la 11 écnica de las o masº, como ano a uno de los au o- es. Donde los conocimien os de geome ía no se oman como alo en sí, sino como ins umen o de con ol o mal, y cuyas cons ucciones se ealizan con egla y compás, únicos ins umen os necesa ios. Los a ados a dogó icos que han llegado a nues os días, publicados a inales del XV y du an e el XVI 8, a la pa que o os de con enido enacen is a, des elan g an pa e del p ocede de los maes os can e os y po an o de sus conocimien os. Se puede ap ecia que el papel de la geome ía ab o um esul~ a undamen al pa a a qui ec u a an compleja o mal- men e como la gó ica, a pesa de que los p incipios geomé icos necesa ios e an pocos y elemen ales. Pa e de es os p incipios geomé icos se publican en un abajo ealizado en Ra isbona en 1490, po un des acado p o esional de la a qui ec u a gó ica cen- oe u opea, Ma haus Ro icze , bajo el í ulo "Geome ia Deu sch' 9, un opúsculo con once ilus a- ciones donde el g an maes o pone po esc i o cie as ope aciones geomé icas a modo de consejos ú i- les 10. Todas las ilus aciones se esuel en con egla y compás, y cumplen su come ido con un g ado de p ecisión sob ado 11, especialmen e en el campo de la cons ucción. Llegamos al p incipio de la mode nidad con un nue o és ilo de p o esional, el a qui ec o enacen is- · o o } A pa i de -o~ colculo A pa i de ~y~ calculc ;,:/o • ~.. 1.2599 .. y X X CUBO OOOLAOO 3 Dibujo p opue'3 0 en ol. E o que se come e en ms. 2 x' w w X b o o o y P ocede p opues o en el ol. 22 , 1 d. Ou e o, Unde weisung, L.IV, ig. 16. ' opue11 o co ec o. a, más in elec ual, más cul o, con más medios, que expe imen a con 11 o mas 11 ( esul ado de una elección cul u al), que p oclama el alo p opio del 11 p oyec o 11 (en es os momen os y po p ime a ez en la his o ia independien e de la pos e io ejecución de las ob as). No obs an e la adición pesa, y son nume o- sos los conocimien os a eso ados du an e an os años que pe manecen igen es en el quehace a qui- ec ónico enacen is a. Como mues a, hemos elegido un p o esional excepcional, el a qui ec o He nán Ruiz 11 el jo en del que enemos cons ancia esc i a de sus conocimien- ios, su manusc i o, que ecoge con p o usión los igu a 1: Duplicación del cubo: p ime mé odo de ap oximación. P oposiciones del lib o VI de Euclides 1. Según Du e o, "Unde weisung", lib o IV. lg 16 2. Según ms de He nán Ruiz: o! 2 3. Compa ación de ambos y e o come ido Figu a 2: Duplicación del cubo: p ime mé odo de ap oximación. P oposiciones del lib o VI de Euclides Ms de He nán Ruiz: ol. 22 . • <( o ~ > z . ' ' 1 '' <( ~ a: u: i ~legamos al ninGi~io ae la moae niilaé/ Gon un nue o es i ¡o ae ~ o[esional. Figu a 3: Duplicación del cubo: p ime mé odo de ap oximación P oposiciones del lib o VI de Euclides Ms de He nán Ruiz: ol. 36 . (Va iación 1 ). s conocimien os de geome ía del momen o en e o as disciplinas p opias de es udio de un a qui ec o mode no: elojes de sol, ó denes clásicos, as e en- e, pe spec i a, p opo ciones, azas de edi icios, ana omía y o eb e ía. Sus ap endizajes del o icio y de la geome ía debie on comenza a emp ana edad, de la mano de su pad e He nán Ruiz 11 el iejo 11 , expe o maes o can e o de e iden e o mación medie al. Así, nues o au o se inició en el "a e de la geome ía en la acepción que acuña es e é mino en la baja edad media 12 , de cuya a qui ec u a conocemos hoy sob a- damen e que la base del diseño o mal e a esencial- men e geomé ica 1 3. Pe o, no sólo con aba con esa o mación adicional. Su con ac o con la nue a a qui ec u a eme gen e y con publicaciones de an- gua dia (g acias a la imp en a), más un sólido apoyo eó ico es udiado en los a ados, incluido el ex o i u iano (que nues o pe sonaje aduce pa cial- men e), el in e és po la p opo ción, an o la que dimana de la u ilización de ó mulas geomé icas (a la usanza medie al) como la es ablecida po la con- co dancia de azones o elación en e núme os (más aco de con las nue as eo ías), lo si úa en p ime a línea del nue o ipo de p o esional. Una impo an e o mación como can e o, su inna- a capacidad pa a el eje cicio de la a qui ec u a, y sus ansias de conocimien o, a o ecida po el 1 " momen o his ó ico, cul u al y a ís ico, le lle ó a supe a la o mación pa e na, y con cie o ca ác e au odidac a, imbui se en la nue a a qui ec u a apo- yado en el quehace de a qui ec os con empo áneos como Riaño o Siloe; o bien en e a adis as como Albe i, Du e o, Se lio, Vi u io, e c, como demues a an o la elación de lib os en p opiedad e e ida en su es amen o y desg aciadamen e incomple a 14 , como algunos ex os y dibujos del p opio manusc i o, simi- la es o iguales que los de ales a ados. ¿Que geome ía ap endió? o mejo ¿qué conoci- mien os geomé icos se en endían necesa ios en la o mación de un a qui ec o de mediados el XVI?, ¿que pudo o ece el á ea geog á ica andaluza donde se localiza su ac i idad? Son p egun as que an ín imamen e ligadas al desa ollo social, econó- mico y cul u al del en o no: la Se illa del XVl1 5. El lib o de geome ía, así se llama el capí ulo de su manusc i o que abo da es a ma e ia, aunque es indiscu iblemen e un abajo de ocación enacen is- a, man iene un ue e débi o con el sabe del medie- o. Se nu e de nume osas uen es, especialmen e de las adiciones ope an es en a qui ec u a, y de ob as imp esas como las ci adas de Du e o16 y Se lio 17, aunque en su ms sólo ci a a Euclides (qui- zás la única uen e que no u ilizó di ec amen e, pe o de obligada e e encia po se ma iz). Pe o ales p és amos son analizados, asimilados y mejo ados en muchos de los casos, con apo acio- nes pe sonales lúcidas que implican un comp omiso más allá del me o coleccionismo. Los emas especí- icos de geome ía que en él se a an, cons i uyen la angua dia de es os conocimien os: concep os, ins- umen os, elemen os básicos (líneas, ángulos, polí- gonos, ... ), mé ica, cons ucción de igu as, p oposi- ciones de equi alencia y p opo ción, y ep esen a- ción de cue pos (polied os pla ónicos) con sus desa- ollos planos, incluso secciones planas de conos. La cu iosidad, capacidad e lexi a y analí ica de nues o au o , queda bien e lejada a lo la go de oda la ob a, y si bien no pa ece mucho su apo ación pe - sonal, si lo es el endimien o ob enido de su ap endi- zaje, apo ando pun os de is a, ap eciaciones y apli- caciones, den o de un igo cien í ico demos ado, que con ie en el abajo en un ico legado de g an in e és, es imonio único y alioso (a la angua dia de los conocimien os de la época). Nues o au o maneja ma e ial a anzado 1 di icul- oso, y a eces duda en sus azados, a eces come- e e o es, gene almen e con g an capacidad de co ección. Las p oposiciones geomé icas más com- plejas no se e lejan como me as ece as de con eni- do eó ico inalcanzable! al con a io, en la mayo ía de los casos los dibujos 18 demues an g an capaci- dad de comp ensión, in e p e ación, sis ema ización, y !plicación. Analicemos, po la b e edad p opia de es e a í- culo, an sólo algunas de las nume osas p opues as que se ecogen en el ms, seleccionada po mo e se en el lími e de la geome ía ab o um más a anzada de mediados el XVI. Nos e e imos a las soluciones geomé icas pa a el cálculo de aíces cúbicas 19 , un p oblema complejo, his ó ico e indispensables en el campo p o esional. El p oblema del cálculo g á ico de la aíz cúbica de un núme o en e o, o dicho de o a o ma, la solución geomé ica pa a amplia n eces un cubo, es el an iguo p oblema de Delos, que se p esen a desde los p ime os es udios de es e eo- me ía, y que iene sus aíces en las p oposiciones del lib o VI de Euclides20, Nues o au o pa ece oma lo de un expe o geó- me a de la época, Du e o, cuya publicación 11 Unde weisung1 en edición la ina (1/ns i u ionum Geome ica um 11 ), p obablemen e enía en su pode , en cuyo 11 lib o IV 11 se abo dan ales cálculos, po ap oximación, de o ma expedi i a. Con la exp esión 11 dobla el quad o cúbicamen e", ex o que acompaña a la igu a del ms en el olio 22, se es á indicando el ob ene un cubo de olumen doble a uno dado (ap oximación al alo de aíz cúbica de dos). Dicho cubo se ep esen a en p oyección (una ca a cuad ada) pa a esol e en geome ía plana 1 siguiendo las di ec ices es ableci- das po Du e o bajo el epíg a e 11 ag anda p opo cio- na/men e el cubo 11 (que se asigna el papel de pione o en da a conoce en lengua ulga solución an so is- icada: 11 ••• cosas que, según c eo, nunca han sido desc i a has a aho a, a lo menos en lengua e nácu- la',. La p opues a es densa y labo iosa ( ig. 1.1) y a ella nos emi imos de o ma sin é ica: oma dos eces la a is a del cubo a dobla (lado a del cuad a- do) y desc ibi con al adio un semicí culo de cen o o, dibuja la ec a pe pendicula al diáme o po o, aza la ec a que une el ex emo del diáme o con el pun o b (que dis a de o la magni ud a, lado del cuad ado) 21 , desde el o o ex emo del diáme o a- za una ec as que co e a [ y ]y a [ y ci cun e en- cia] según dos segmen os iguales m (median e an- eo con una egla), oma la magni ud y desde el pun o de co e de [s- ] has a el cen o o de la ci cun- e encia, lle a sob e una ec a cualquie a la magni- ud [y + aj, y con al dimensión de diáme o aza una semici cun e encia, po el pun o de unión [y con a} le an a una pe pendicula al diáme o has a que co e a la ci cun e encia, dicha magni ud x es la a is- a del cubo buscado. Nues o au o in es iga a pa i de es a p opues- a, y en su ilus ación ( ig. 2) supe pone las dos ' ; ' 1 • • ~na/izamos las soluciones geo né ic as ~a a el Gákulo ae :aíc:es Gú ü~as. :. . • 1 1 s A po li de ·s· colculo o•. A pa i de ªa" calcula ·. s y ,egún ol. 22 . a xl o x1 l< 1 CUBO DOBLADO 2 3 segOn ol. J6 . segOn ol. 36 . hlp6 esls A. hip6 nl9 B. s x2 c2 a ______________ .. x2 o x2 cuao ooeLADO a CUBO OOBI.ADO 6 eo 1.8,C mayo 6 aa 7.B'il: mayo Figu a 4: Duplicación del cubo: p ime mé odo de ap oximación. P oposiciones del lib o IV de Euclides. 1 . Ms de He nán Ruiz: ol 36 (Va iación sob e el ol. 22 ) · 2. Hipó esis de A To na "a" como adio de la segunda semici cun e encia. 3. Hipó esis B. Toma "a" como a is a del cubo ampliado. .,_ ....... --- ....... Figu a 5: T iplicación del cubo: p íme mé odo de ap oximación P oposiciones del lib o VI de Euclides Ms de He nán Ruiz: ol. 36 bis. (Va iación 2). ~·" .. --· =-- _ ........ ~~ .... :,•' l Figu a 6: T ipli ica el cubo. Mé odo de ap oximación. P oposiciones del lib o VI de Euclides. ~ (Du e o, Unde weisung, : L.IV, ig 17). ; Ms de He nán Ruiz: ol. : 36 bis. (Va iaciones al :: ol 22 ). T azado a ~ pa i de "m" : Figu a 7:: Duplicación del cubo: i segundo mé odo de : ap oximación : P oposiciones del lib o : VI de Euclides 0 Ms de He nán Ruiz: : ol. 22 . : A pa i de ··o"' co culo "m". A pc i de "m" colculo "y" A pa i de "y" colcu o "• ". y ./o ~ l .4•109 o: ' ~ 1,4422 E o O.OOll". O h:H n on::o en e!l po -c'S iguale,, Du e o (L.l ~ ng.20). cons ucciones ( e ig. 1.2 donde se analiza la igu- a 2), encajando el diáme o de la segunda ci cun e• encia [y+ aj en e el ex emo in e io de echo de !a p ime a y el pun o in e sección de las dos ec as inclinadas [ y s] (pun os 1 y 2 en el dibujo); ello no es co ec o y al diáme o es más co o en la ealidad como puede comp oba se ( e ig. 1.3), aunque el e o que se come e no es excesi o. Con inúa su análisis a la búsqueda de soluciones más inmedia as (de mayo economía g á ica), y en el olio 36 ( ig. 3) o ece nue a e in e esan e a ian e 22 que po esca- sez de ex o explica i o a pie de igu a, "o o modo de dobla el quad o cúbicamen e 11 1 se puede in e - p e a según dos hipó esis ( ig. 4): la p ime a se apoya en cie a le a 11 a 11 (g a iada algo bo osa), que designa el segmen o de magni ud [ o in e sección -s] y pa ece indica en la ilus ación in e io que se oma como adio pa a el segundo semicí culo ( e ig. 4.2); la segunda hipó esis que plan eamos elimina la necesidad del segundo semicí culo, y ob iene la a is- a del cubo ampliado (x) di ec amen e del alo (la 1' ( ig. 4.3). Tan o en un caso como o o, el e o que se come e es pequeño al adop a dicha ap oximación, especialmen e en la p ime a hipó esis, cuyo e o es desp eciable. En el olio 36 bis ( ig. 5), se esuel e un ejemplo de iplica el cubo po la misma ó mula. La a is a del cubo a iplica , aco ada con "s 11 en el dibujo, se aplica es eces pa a de e mina el adio de la semi- ci cun e encia p ime a, y como es obligado, la ec a inclinada (más baja) pasa a 1/3 del adio e ical (que se·encuen a di idido en es pa es iguales po líneas incisas). Es a ilus ación ambién apo a una e lexión muy in e esan e que no se encuen a en la ilus ación de Du e o, el a co (supe io izquie da) limi ado en e la ec a inclinada más baja y el adio e ical, es á di idido en es pa es iguales, una de cuyas cue das se ha lle ado sob e el adio e ical (desde el ex emo más al o hacia abajo) pa a de e - mina el pun o de co e de !a o a ec a inclinada (hay una pequeña le a 11 8 11 que aco a ambos)i con ello se e i a el engo oso an eo pa a ob ene dicho pun o, aunque hay que esol e la con lic i a di isión de un a co en es pa es iguales 23 . El cuad ado pequeño que se ep esen a ( ig. 6) es la ca a del cubo de pa ida, el g ande, la del cubo buscado, además se han inco po ado unas líneas auxilia es que e lejan el p ocede , el e o come ido, y una posible solución a la di isión en es pa es del a co, omada igualmen e de Du e o (lib o 11), aunque la p opues a dibujada en el ms pa ece esol e po an- eo. O o modo de esol e el mismo p oblema se de i a igualmen e de Du e o (lib o IV) bajo el epíg a- e 11 mane a de encon a dos líneas p opo cionales a dos líneas impa es 11 (cuyo ex o explica en ex enso el a CUBO A DOBLAR o s x/o • V2 = 1.2599 .. Figu a 9: T iplicación del cubo: segundo mé odo de ap oximación P oposiciones del lib o VI de Euclides Ms de He nán Ruíz: ol. 22 . p oceso aludiendo a las p oposiciones 8 y 15 del lib o sex o de Euclides). Nues o au o nos o ece seis eje cicios sob e es a nue a ó mula pa a esol- e el p oblema! el p ime o en el olio 22 con el escue o comen a io 11 o o modo 11 ( ig. 7). De o ma ab e iada, la ope a i a es la siguien e: dado un cubo que se p e ende dobla , p oyec ado según un cua- .d ado, dibuja un ec ángulo o mado po dos de ales cuad ados ( ig. 8), p olonga dos de sus lados pe pendicula es ( ec as " " y "s 11 espec i as), po el é ice lib e del ec ángulo aza una ec a ''.( que co e a ' 1 y /{s 11 en dos pun os equidis an es del cen- o de dicho ec ángulo 11 0 11 (segmen os m), la dis an- cia 'x 11 en e el pun o de co e [s-y] y el é ice más p óximo del ec ángulo es la a is a del cubo busca- do. De la misma época enemos una ·p opues a simi- CUBO DOBLADO X X la de C is óbal de Rojas 24 , ambién acompañada de ex o, que incluso ci a a Euclides 11 como e p ueua po la 12.di iníció del 5.de Euclides, y po la 36.de/ undecimo, ... 11 ( de iniciones que a an de p opo cio- nalidad en e ec as). En ealidad las cons ucciones de es as igu as es án basadas en p oposiciones del lib o VI de Euclides, como ya se ha indicado, espe- cialmen e la 8, 13, y 17. Figu a 8: Duplicación del cubo: segundo mé odo de ap oximación. P oposiciones del lib o IV de Euclides. (Du e o, lib o IV, ig 23). Ms de He nán Ruiz: ol 22 Figu a 10.1 y 10.2: Oc uplica el cubo: segundo mé odo de ap oximación P oposiciones del lib o VI de Euclides Ms de He nán Ruiz: ol. 22 y 36 bis. "P ueba". P ocedimien o exac o El mismo dibujo se o ece en el olio 36 con un ex o algo más dila ado, bas an e deso denado en las ideas has a el pun o de se con lic i o: 11 es a igu- a demues a dobla el quad o cúbycamen e y es dob/allo po la mis (sic) egla: si quie es esdobla o qua odobla poniendo es cuad os, si quie es esdo- bla poniendo el pun o en medio de los es quad os 11 • En un olio an e io (22 ) ya había ep esen ado un ejemplo de iplica el cubo ( ig. 9), lógicamen e a pa i de es cuad ados (cubos), como p ocedía e indicaba Du e o, y así lo exp esa en el ex o que acompaña la igu a 11 ... pone es os es quad os en uno cúbicamen e ... 11 • La misma igu a epi e en el olio 37 bajo el epíg a e ¡¡pa a esdobla el quad o cúbicamen e 11 , donde 11 esdobla 11 quie e indica i- plica . Una lec u a gene al de los ex os demues a ácilmen e que nues o au o u iliza el cali ica i o 11 dobla 11 po aumen a , an eponiendo el núme o de eces que debe hace se. Pa a ema a una aena de análisis y comp en- sión comple a, nues o au o nos o ece dos dibujos de un mismo ejemplo! a modo de comp obación de que la ó mula es co ec a y en casos conc e os su componen e ap oxima i a se con ie e en exac a. Ello ocu e cuando se p e ende ob ene la aíz cúbi- ca de un núme o en e o que admi e solución en e a¡ y nues o au o elige el más sencillo posible 1 el 8, cuya aíz cúbica es 2. El siguien e se ía el 27, pe o la ep esen ación g á ica se ía más ediosa e igual- men e demos a i a 25 . En el olio 22, bajo ex o p e- ciso "es a igu a baxa (léase úl ima del olio) es la p ueba del dobla un quad o cúbicamen e, po que los quad adicos son B y el quad ado mayo iene cua o po en e doblándolo qua o po dos son 8 11 1 el au o ep esen a la o ma de oc uplica el cubo - ;; ,. a :-, , ~ la "ge0 ne 1 :ía ~ é G11iGa" se, la GomaCEe GQA:JO a l om.1m Figu a 11:: Ampliación del cubo:: segundo mé odo de: ap oximación.: P oposiciones del lib o: IV de Euclides,: Ms de He nán Ruiz: ol: 22 .: "P ueba" de la: ampliación:: P ocedimien o exac o: " ' ' cuao A OCTIJPUCAR ( ig. 10.1) y lo llama 11 p ueba". La misma p opues a se epi e en el olio 36 bis con el mismo e o en el sin é ico ex o "la p ueba de duplica el quad o cúbi- camen e 11 ( ig. 10.2). Los ocho pequeños cubos es án alineados al como manda la no ma gene al, y el polied o esul a- do se ep esen a di idido en cua o pa es pa a indi- ca g á icamen e que su olumen ocupa jus amen e los 8 cubos de pa ida (dos en ondo po cua o, como indica el p opio ex o) ( ig. 11). La p opues a es elemen al po su lógica, pe o el ex o no explici a con cla idad el aumen o que se p e ende al indica 11 ••• p ueba del dobla un quad o cúbícamen e 11 • La palab a 11 dobla 11 , amplia dos eces, es inco ec a pa a exp esa oc uplica , o al menos ambigua si a endemos a la acepción más gené ica (amplia ) al como pa ece u iliza el au o , ya que en es e ejemplo queda cuan i icada !a ampliación e incluso los cua- d ados es án nume ados ( e ig. 10.1 ). He nán Ruiz 11, ambién llamado 11 el jo en°, a qui- ec o signi ica i o de una saga amilia muy ligada al e i o io andaluz, especialmen e a Se illa, en una época do ada pa a la ciudad, de angua dia cul u al y cien í ica, no sólo es aba ins uido en lo más a an- zado de la a qui ec u a del momen o, no sólo dispo- nía de una biblio eca en idiable, quizás no nume o- sa pe o sí selec a, no sólo acumulaba y es udiaba in o mación de angua dia, ... , ca gado de cu iosi- dad cien í ica, in ui i o, buen obse ado y e icaz analis a, nos o ece en su manusc i o unas inno a- do as p opues as, que con mayo o meno exac i ud (pe o con e o admisible en el campo de la cons- ucción), demues an has a que pun o los p o esio- nales impulsa on la geome ía ab o um lle ándola al lími e de sus posibilidades como geome ía p ác i- ca, haciendo con e ge dos caminos pa alelos 1 el de la eo ía y la p ác ica, undiéndolos desde es e momen o en un mismo onco, al como ha llegado a nues os días. • CUBO OCTUPLICADO 2o 1.- RUIZ, J. A. T aza y sime ía de la A qui ec u a, Uni e sidad de Se illa, 1987, 195 ss 2.- C . REY, A. La Ciencia O ien al an es de los g iegos, México, 1959. 3.- PAPPUS, Sinagoge mazema ique. C G. DOWNEY, ºByzan ine A chi ec s: hei aining and me hods", Byzan ion, 18, 1946-48, 106 ss. 4.- HUL TSCH. He onis Alexand ini geome ico um e s e eome ico um eliquiae, Be lin, 1864. 5.- FAVENTINO, M.C. Compendio de A qui ec u a, Pa ís, 1540. 6.- SAN VICTOR, H. Geome ía P ac icae, ms, Pa ís. C . R. BARON, "Su l'in oduc ion en Occiden des e mes 1 geome ia heo ica e p ac ica 111 , Re ue d'His oi e des Sciences e de /eu s applica ions, VIII, 1955, 298 ss. 7.- Los o iginales de las publicaciones e e idas se encuen an en la BN de Pa ís. Alguno como el de Villa d es á su icien emen e di undido en publicaciones ecien es, la más mode na en Fuen es de A e 9 de la Ed. Akal, Mad id, 1991. 8.- RORICZER, Büchlein an de ialen ge ech igkei , ms en Colonia, Ra isbona, 1486. O Wimpe gbüchlein, ms ambién en Colonia. SCHMUTTERMA YER, Fialenbüchlein, incunable de 1498 en Nu embe g. LECHLER, Un e weisung, ms en Colonia de 15 16. O los a ados menos conocidos de RITXNER ( 1445-151 S); STROMER, ( 1561-1614) e c. Un es udio ecien e, SHELBY, L.R. Go hic design echniques, Sou he n lllinois U.P. 1977. 9.- RORICZER, M. Geome ia Deu ch, ed. o g. Wü zbu g, Ra isbona, 1490. C . Shelby, op ci . 10.- En sín esis se desa olla: a) la de e minación de dos ec as pe pendicula es en e sí; b, c, d) azado de un pen ágono, hep ágono y oc ógono egula ; e) cálculo g á ico del desa ollo de una ci cun e encia; ) de e mina el cen o de un a co; g) ob ene un iángulo de á ea igual a la de un cuad ado dado o ice e sa. 1 1.- Un some o análisis bas a pa a comp oba que es cons ucciones son exac as {apa ados a,d, ) y cua o esuel en po ap oximación (apa ados b,c,e,g). En la de e minación g á ica del desa ollo de la ci cun e encia (apa ado e) se ob iene un alo de 8=22/7=3, 1428 (ap oximación de milésima). En la igualdad de á eas en e cuad ado y iángulo (apa ado g), el alo de /3 = 16/9 = 1,777 {ap oximación de cen ésima). 12.- Po los es imonios esc i os que nos han llegado, se sabe que la Geome ía e a la ciencia undamen al en A qui ec u a. Son elocuen es ases como: 11 La masone ía es el a e de i ado de la geome ía, y es la más noble de las a es 11 (MS Regius, XIV). "La geome ía es el p incipio de odas las .demás ciencias y no puede ealiza se ob a alguna que no enga su azón y causa en la geome ía. Del mismo modo la ma,sone ía es la más impo an e de odas las a es, pues no es sino la aplicación de la geome ía" (MS Cooke, 1430~40). l ~á. geome ía es la cienda undamen al· pa a el• can e o" :(G denanza de 1347). 11 EI a e sin•cienda·n9,E!s na.~~!'.(Ac~s de!,•,MJlán, ·1400). ·"Aquí. comienza: lá0 impoR1?cia .de(; a ado Mla igu a, así como de la geome ía,.~ue,:~nse y::i a, ::1.baj~ la con. mayo sol u a ... ". (Cuade ~°,de.:•.~ula d,.XIII). "E c. 13.~ C .RlJl~ 1 a~/.)26Jss~ •. : . 14.- LOPEZ :~ ART!N . has a Ma ínez Mon dñ 15.- En es a á'l de. a aigo' neij · .. '.'; ')4 ··un,·debá e e;: ,aél iéi del ··•· la ín a lengua e nácula los sabe es de geome ía, pues al deci de los sesudos que ,monopolizaban la ciencia "el anda las cien ias en lengua ulga es haze las Mechanicas". <:AMORANO, R. Los seis lib os p ime os de la geome ía de Euclides, Se illa, 1576, 7 . Es o es indica i o de que aún pe du aban las dos amas de la geome ía, la eó ica y la p ác ica, y aquel que p ocedie a del mundo de los o icios end ía que aplica se a conciencia pa a ins ui se en la aún sec e ísima ciencia. 16.- " ... geome ía, sin la cual ninguno puede hace se o se un a is a pe ec o ... Pues o que la misma es el e dade o undamen o de odo el a e del dibujo, me pa eció con enien e esc ibi pa a los alumnos es udiosos cie os udimen os, con lo cual les p opo ciona é ocasión de usa el compás y la egla y, consiguien emen e, de pe cibi la e dad ... En que g ado de hono y dignidad haya sido enido en e los g iegos y los omanos es e a e, los lib os an iguos lo a es iguan su icien emen e, a 1nque después se haya casi pe dido y pé ma iédóbcul é: nas de mil años y aho a inalmen e, ... haya. salido a la luz g a.c::ias a algunos i alianos. Pues las a es ácilmen e se pie den y pe ecen po comple o; po el con a io.se> ecüpe an di ícilmen e y después de la go iempo". DÜRER, A.· Unde weysung de messung, Nu embe g, 1525. (Ed. Jacsí nil Collegium G aphicum, Po land, O egon, 1972). l DURERUS, A ln n u ionum Geome ica um, Pa is, .1535. (Ed. ad. español, Uni . Nac. Au . de México, 1987! xxii). 17.- SERLIO, S. D'A chi e u a, e P ospe i a, Pa is, 1545. _ 18.- Tan o los incisos con punzón que cons i uyen la ama y plani icación p e ia de los dibujos, como el esul ado inal g a iado con in a. 19 .- Es as p opues as se ilus an en los olios: 22, · 22 , 36 , 36bis, y 37 del ms. 20.- Pa a la ob a de Euclides se ha consul ado la aducción al cas ellano de los Elemen os ealizada po Pue as Cas año, M.L., Mad id, 1991-96, que sigue el ex o g iego ijado po Heibe g, Eudidis ope a omniá, Leipzig 1883-86, y la e isión hecha po S ama is, Euclides Elemen a, Leipzig, 1969-73. 21.- En es e caso que él adio de la s~ niói cú 1JE! eh iª> ' ale 2a, el pun o b es el cen ~ {l /2) d~I ~T~~7~(c:, ~elg e ical. Si se iplica a el cubo, come> el l"ªd,i~;~~ '1.,3?•:.e.1 pun o b es a ía a 1 /3 del cen o o, si se cuad üplica a, a 1/4, e c. 22.- La au o ía de es a p opues a es una hipó esis, aunque es admisible pensa an o que se a a de una e lexión pe sonal _del au o , como de un débi o a alguna uen e desconocida. 23.- Supongo que po p ocedimien os de an eo simila es al u ilizado po Du e o (lib o 11, ig. 20), solución p ác ica, po ap oximación, muy en la línea de la geome ia ab o um an as eces comen ada. 24.- DE ROJAS, C. Teó ica y p ác ica de Fo i icaciones, Mad id, 1598, 79 ss. Nos e e imos a la segunda pa e, cap. XXI, "que en eña una egla de Geome ía, pa a duplica y pa i cue po cubicas, y haze el calibo". El dibujo que adjun a es simila al del ms. (El é mino "calibo 11 quie e deci 11 calib o 11 , calib a , de uso en a ille ía pa a las balas, según se desp ende del ex o). 25.- La ó mula g á ica pa a calcula po ap oximación la , aíz cúbica de n siendo n cualquie núme o en e o ( es deci , amplia 2, 3, 4, ... el olumen de un cubo), se con ie e en un p oceso g á ico exac o cuando el núme o de eces a amplia (8, 27, 64, ... ) iene po aíz cúbica un núme o en e o (2, 3, 4, ... ). •