Concep os b´asicos sob e isoc ip og a ´ıa siguiendo el
modelo MCIM
Falc´on Gan o nina, R.M. ∗N´u˜nez Vald´es, J. †
Resumen
Una de las aplicaciones p ´ac icas de la iso eo ´ıa de San illi que ha su gido
en los ´ul imos a˜nos se e ie e al campo de la c ip og a ´ıa. Gene alizando la
unidad u ilizada en los c ip og amas se o iginan una nue a clase de es os,
denominada isoc ip og amas. Se p esen a ´an las nociones b´asicas necesa ias
pa a o igina ales es uc u as, mos ando algunos ejemplos al espec o. Se
a a ´an haciendo uso de los ´ul imos modelos de cons ucci´on de iso op´ıas,
lo que pe mi i ´a es udia la isoc ip og a ´ıa de San illi como caso pa icula .
1 In oducci´on
En 1978, San illi p opuso una gene alizaci´on de la eo ´ıa con encional de Lie ha-
ciendo uso de iso op´ıas, dando luga a la iso eo ´ıa de Lie-San illi ( ´ease [3]). Pa a
ello conside ´o que la unidad b´asica Ide oda es uc u a ma em´a ica puede su i
dependencia en a ios ac o es ex e nos del sis ema en el que nos encon emos
(coo denadas, elocidad, iempo, densidad, empe a u a, e c.), dando luga a una
isounidad b
I=b
I(x, •
x,••
x, ..., µ, τ, ...).
Es a dependencia puede engloba a su ez el ca ´ac e no asocia i o o no lineal
de cie as aplicaciones ´ısicas (en Din´amica de pa iculas o Mec´anica Cu´an ica -
´ease [6]), que con encionalmen e han hecho uso de la eo ´ıa de Lie, de ca ´ac e
asocia i o y lineal. No obs an e, pa a que es a gene alizaci´on sea cohe en e,
∗Depa amen o de Geome ´ıa y Topolog´ıa (Facul ad de Ma em´a icas), Uni e sidad de Se illa,
e-mail: [email p o ec ed]
†Depa amen o de Geome ´ıa y Topolog´ıa (Facul ad de Ma em´a icas), Uni e sidad de Se illa,
e-mail: jn [email p o ec ed]
Ac as de las IV Jo nadas de Ma emá ica Disc e a y Algo í mica. Ce cedilla (Mad id), 2004, pp. 299 - 306.
ISBN: 84 - 86189 - 98 - 5.
San illi jun o a o os au o es han ealizado una cons ucci´on me ´odica que gene-
aliza las es uc u as ma em´a icas m´as impo an es, dando luga a las denomi-
nadas isoes uc u as ma em´a icas ( ´eanse [4], [5], [7])).
Pese a que la l´ınea de in es igaci´on p e e en e en iso eo ´ıa ha sido la ela i a
a sus aplicaciones p ´ac icas en F´ısica y Qu´ımica, ambi´en se han ido a ando
a su ez o os campos de es udio. En conc e o, en el Ap´endice 2C de la se-
gunda edici´on del monog ´a ico [6], se in oduce una nue a clase de c ip og a-
mas, cuya idea p incipal es u iliza iso op´ıas de ipo I, pa a gene aliza cualquie
c ip og ama num´e ico exis en e basado en la unidad con encional +1 o bien
I=diag(+1, ..., +1) y en el p oduc o usual asocia i o a×b, dando luga de
es a o ma a una nue a es uc u a basada en una isounidad b
Iy en el isop oduc o
ab
×b=a×T×b, donde b
Ipuede se cualquie n´ume o no nulo del conjun o de
pa ida.
Pos e io men e en 2002, Jiang ha mos ado en [2] algunos undamen os b´asicos
de lo que se conoce ya como eo ´ıa isoc ip og ´a ica de San illi, a ando a ios
aspec os en isoc ip og a ´ıa de cla e sec e a y de cla e p´ublica, como ci ado en
bloque, exponenciaci´on o esquema RSA. Las en ajas que indica espec o a la
c ip og a ´ıa con encional son las siguien es:
a) Inc emen o en la di icul ad pa a esol e c ip og amas, al dispone de una
in inidad de unidades b´asicas a u iliza .
b) Capacidad de compu e iza el cambio de unidad sin necesidad de al e a
los c ip og amas de pa ida.
c) Disminuci´on de cos es en e a aumen o de segu idad, incluso en c ip og a-
mas simples.
Jiang se basa en el modelo de iso op´ıa de 1978. Aho a bien, en 2001, se
desa oll´o un modelo de cons ucci´on m´as gene al que en a iza las p opiedades de
las ope aciones que in e ienen en la gene alizaci´on de las es uc u as de pa ida.
Se a a del modelo de cons ucci´on del isop oduc o basado en la mul iplicaci´on
(m.c.i.m.) dado en [1].
Po odo es o pa ece ecomendable la e isi´on del es udio de Jiang a pa i
del m.c.i.m., analizando la posible gene alizaci´on de los esul ados ya ob enidos
sob e isoc ip og a ´ıa de San illi.
2 P elimina es
Se denomina iso op´ıa ole an amien o iso ´opico a oda co espondencia en e una
es uc u a ma em´a ica ijada y o a del mismo ipo, es o es, al que e i ique sus
mismas p opiedades. Obs´e ese que seg´un es a de inici´on, una iso op´ıa puede no
se una aplicaci´on. La nue a es uc u a ob enida se denomina isoes uc u a.
El modelo de iso op´ıa de San illi de 1978 se basa en la gene alizaci´on de la
unidad de pa ida: I→b
I=b
I(x, •
x,••
x, ..., µ, τ, ...). En pa icula , ijada una
es uc u a ma em´a ica cualquie a E, do ada de un p oduc o in e no ×, se con-
side a un conjun o V⊇E, do ado de una ope aci´on asocia i a ∗y al que exis en
I, b
I, T ∈V, donde I∈Ees la unidad de ∗en VyT=b
I−I. A V, T eb
Ise les
conoce espec i amen e como conjun o gene al, elemen o iso ´opico e isounidad de
la iso op´ıa en cues i´on. De es a o ma, se de inen los elemen os de la isoes uc u a
ma em´a ica b
Edo ada del isop oduc o b
×de unidad b
Icomo :
E→b
E:x→bx=x∗b
I , ab
×b=a∗T∗b, pa a odos a, b ∈b
E.
El m.c.i.m. de 2001 gene aliza la cons ucci´on an e io , haciendo uso de an as
isounidades y ope aciones simila es a ∗, como ope aciones enga la es uc u a de
pa ida. De una mane a esquem´a ica, oda iso op´ıa puede eni e lejada en onces
a pa i del siguien e diag ama:
Ni el con encional −−−−−−−−−−−−−−−−−→
Ni el gene al
(V, ∗, ⋆, ...)
∪
(E, +,×, ...) (E, ∗, ⋆, ...)
↓♯↓I
Ni el de P oyecci´on π
←−−−−−−−−−−−−−−−−−− Ni el iso ´opico
(b
E, b
+,b
×, ...) ( b
E, b
+,b
×, ...)
El m.c.i.m. impone que (E, ∗, ⋆, ...) sea una es uc u a del mismo ipo que
la inicial (E, +,×, ...), lo que pe mi e en conc e o de e mina expl´ıci amen e los
elemen os del conjun o gene al asociado a la iso op´ıa:
V=E∪b
E∪ {T} ∪ ET, donde ET=naT=a∗T:a∈b
Eo.
Adem´as, no ando po Fel conjun o de ac o es ex e nos de los que depende
la isounidad b
I, sal o aquellos que dependen del ac o coo denada (x, •
x,••
x, ...), la
ope aci´on b
×se de ine como:
³a∗b
I(a, Fa)´b
׳b∗b
I(b, Fb)´= (a∗b)∗b
I(a∗b, Φ×(Fa, Fb)) .
Donde la aplicaci´on Φ×:F×F→F: (Fα, Fβ)→Φ×(Fα, Fβ), debe es a
p e ijada de an emano.
3 Isoc ip osis emas
Fijemos un c ip osis ema (M, C, K, E, D), donde los espacios indicados se e ie en
espec i amen e a los espacios de mensajes, ex os ci ados o c ip og amas, cla es,
ans o maciones de ci ado y an o maciones de desci ado, co espondien es a
al c ip osis ema. Pa a simpli ica nues o es udio, conside a emos la equi alencia
num´e ica asociada a Men la o ma Z/Zndo ado de las ope aciones + y ×usuales,
en caso de es a asociado a un al abe o de nle as.
Basamos Mpo an o en el Z-m´odulo (Z,+,×), que es ´a incluido a su ez en el
cue po eal (R,+,×). De al o ma, que si ealizamos un le an amien o iso ´opico
del cue po se˜nalado, median e un cambio de unidad, es e hecho a ec a ´a a su ez
a la es uc u a de Zy po an o a M.
Pa a simpli ica , supond emos al iso op´ıa basada en un conjun o gene al
V⊇R, do ado de un pa de leyes in e nas asocia i as ⋆y∗, de elemen os
unidades espec i os S, I ∈Zy al que podemos elegi un elemen o T∈V,
con in e sa b
I=T−I∈V. Se de ine en onces el isoespacio de mensajes c
M=
nc
Mi=Mi∗b
I:Mi∈Mo⊆V, que es a ´a do ado del isop oduc o b
×, de inido
como Ab
×B=A∗T∗B, pa a odos A, B ∈c
M.
P oposici´on 3.1. El isoespacio de mensajes c
Mes de hecho un espacio de c ip-
og amas asociado a M.
Demos aci´on. Bas a ene en cuen a que ∗es asocia i a y que T=b
I−I. De es a
o ma enemos la ans o maci´on de ci ado Eb
I=π◦I:M→c
M:A→b
A=A∗b
I
y la ans o maci´on de desci ado DT:c
M→M:A→A∗T.
La cla e de ci ado end ´ıa dada en onces po el pa (b
I, ∗) y la de desci ado
po el pa (T, ∗).
Hay que ene en cuen a que la a i m´e ica del isoespacio de mensajes no es
ya la usual. Veamos un ejemplo al espec o:
Ejemplo 3.2. Sea la equi alencia num´e ica de un al abe o de 27 le as, M=
Z/Z27 y ijemos T∈Rno nulo, siendo b
I=T−1. Conside emos el le an amien o
iso ´opico del cue po eal (R,+,×) e e en e a los elemen os de iso op´ıa p incipales
∗|R≡ × eb
Iy secunda ios ⋆≡+ y b
S= 0. Es o es, (b
R,b
+,b
×) = (R,+,b
×), donde
ab
×b=a×T×b, pa a odos a, b ∈R.
La a i m´e ica modula cambia en onces. En pa icula , (Z,+,b
×) no iene
es uc u a de Z-m´odulo y debe emos abaja con (b
Z,+,b
×), que iene es uc u a
de b
Z-m´odulo.
Conside amos en onces ∗de inida de al o ma que pa a odo a∈Z:
(a+Z27)∗b
I=³a∗b
I´+b
Z27∗
b
I.
En es as condiciones, el isoespacio de mensajes esul a c
M=b
Z/b
Z27
b
I, que
cons a de 27 elemen os, pues ijados a, b ∈Z, se iene que a∗b
I+b
Z27
b
I=b∗b
I+b
Z27
b
I
si y s´olo si exis e k∗b
I∈b
Z al que a∗b
I=b∗b
I+(k∗b
I)b
×(27b
I). O equi alen emen e,
(a−b)b
I= 27kb
I.
No a emos po mod 27 y d
mod 27b
Ia la cong uencia usual en Zy la e e en e
ab
Z, espec i amen e. Di e encia emos con ello ambos concep os, esul ando
que el isop oduc o b
×de unidad b
I, es ´a de inido pa a odos a, b ∈Zcomo: a∗
b
I(d
mod 27b
I)b
×b∗b
I(d
mod 27b
I) = (a×b)∗b
I(d
mod 27b
I). Adem´as, se iene que
a∗b
I=b∗b
I(d
mod 27b
I) si y s´olo si a=b(mod 27).
Con lo an e io queda p obado que c
Mpuede conside a se como ci ado de
M, habiendo cambiado pa a ello s´olamen e la unidad del espacio de pa ida.
Obs´e ese que en caso de no a ende al p oduc o b
×, lo que se ha ealizado es una
ans o maci´on a ´ın. No obs an e, una de las en ajas que iene la cons ucci´on
de isoc ip og amas es que la isounidad b
Ipuede su i dependencia en ac o es

ex e nos a la es uc u a ma em´a ica en s´ı. En pa icula , podemos impone una
dependencia en el ac o iempo. As´ı po ejemplo podemos conside a el isocue po
asociado a (R,+,×) a pa i de una iso op´ıa asociada a b
S= 0, ⋆ ≡+,∗|R≡ × e
b
I=b
I(x, ). Log a emos de es a o ma que el isoespacio de mensajes a ´ıe en el
iempo, al igual que las cla es co espondien es (b
I(x, ),∗) y (T(x, ),∗), lo que
aumen a conside ablemen e la di icul ad en esol e isoc ip osis emas asociados
a es e ipo de iso op´ıas, en caso de no posee ninguna de ales cla es. Veamos un
ejemplo conc e o:
Ejemplo 3.3. Supongamos que en el le an amien o iso ´opico del cue po eal
(R,+,×) u ilizamos como isounidad a b
I=b
I(x, ) = x2+5
x, con el iempo
∈F=N, como ac o ex e no. Supond emos adem´as ∗|R≡ ×,⋆≡+ y b
S= 0.
Se ´a en onces T=b
I−1=T(x, ) = (x−5 )1/3
x.
Pa a e i a singula idades, conside a emos que el p oduc o b
×se de ine en
iempos pa alelos, usando pa a ello la aplicaci´on Φ×( 0, 0) = 0. Resul a en onces
como es uc u a ma em´a ica la e na (b
R,b
+,b
×) = (R,+,b
×), donde ijado un
ins an e 0, se de ine el p oduc o ab
×b= (a−5 0)1/3×b, pa a odos a, b ∈R.
A la ho a de ob ene el isoc ip og ama asociado a es a iso op´ıa, debe emos
abaja con la ans o maci´on de ci ado Eb
I:x→bx=x3+ 5 , donde x∈M(el
espacio de mensajes co espondien e) y se ´a a ado como el iempo pasado a
pa i del ins an e inicial p e ijado 0en el que se manda el mensaje , ob eni´endose
de es a mane a un ci ado cuyo con enido a ´ıa en el iempo. A a ´es de un
canal segu o, el ecep o del mensaje debe ob ene po an o la cla e (b
I, ∗). De
es a o ma, ob end ´a como ans o maci´on de desci ado DT:x→DT(x) =
(x−5 )1/3.
O o aspec o a des aca en el uso de isoc ip og amas es la u ilizaci´on de una
nue a a i m´e ica en cada caso conc e o, al cambia la es uc u a del cue po base
con el que se abaja usualmen e. Es o puede ap o echa se si al isoespacio de
mensajes c
Mse le aplica a su ez cla es de K, que con inua ´ıan el p oceso de
ci ado del mensaje inicial, si bien a endiendo a la de inici´on de b
×. As´ı po
ejemplo podemos conside a :
a) Ci ado en lujo: En pa icula , cualquie ci ado po sus i uci´on que se
pueda usa en Z/Z27 e e en e a ×, puede usa se ambi´en en b
Z/b
Z27
b
I es-
pec o a b
×. As´ı, ijado b∈Z al que 0 < b < 27, end emos espec i amen e
las ans o maciones de ci ado y desci ado siguien es:
Mi∈M→Ci= (Mi+b)∗b
I(d
mod 27b
I)
Ci∈C→Mi= (Ci−b∗b
I)∗T(mod 27)
b) Ci ado en bloque: Puede abaja se en es e caso con ma ices no sin-
gula es como isounidad, b
I∈Mn(R), eniendo p esen e la a iaci´on que se
p oduci ´a en la de inici´on del p oduc o usual en e ma ices:
Ab
×B=A∗T∗B, A−I=b
I∗A−1∗b
I, Ab
÷B=A∗B−1∗b
I, b
In=b
I, b
I∗T=I
c) Ci ado exponencial: T´engase en cuen a que pa a es e ipo de ci ado
hace al a abaja con el concep o de p imo en el nue o cue po base y
po an o debe es udia se la di isibilidad a endiendo a b
×. Aho a bien,
obs´e ese que en b
Z,ba=a∗b
Idi ide a b
b=b∗b
Isi y s´olo si exis e k∈Z,
al que b∗b
I= (k∗a)∗b
I. En pa icula , en caso de que el le an amien o
iso ´opico u ilizado sea inyec i o, la di isibilidad (y con ello el concep o de
se p imo) en b
Zes equi alen e a la de Z.
A endiendo a la cla e p i ada (b
I, ∗) del emiso , siendo p∗b
Ip imo en b
Z, las
ans o maciones de ci ado y desci ado exponencial ienen dadas po :
Mi∈M→Ci=M
b
I
i(d
mod p ∗b
I)
Ci∈C→Mi=CT
i(d
mod p ∗b
I)
Indica po ´ul imo que el es udio de le an amien os iso ´opicos no inyec i os
en los que se u ilizan isounidades dependien es de ac o es ex e nos, siendo Fno
ac´ıo, esul a in e esan e a la ho a de es udia posibles gene alizaciones de esul-
ados e e en es a a i m´e ica modula . As´ı po ejemplo, el ci ado exponencial
gen´e ico de ipo RSA, se e in luido, pues en es e caso se oma el p oduc o de
dos p imos en b
Z,bn=bpb
×bq=d
p∗q. Es necesa io po an o analiza esul ados
como la unci´on de Eule en b
Zy las consecuencias que conlle a la u ilizaci´on de
la isounidad b
Ien es e ipo de iso op´ıas.
Ag adecimien os
Los au o es quie en exp esa su ag adecimien o al p o eso Rugge o Ma ia San illi
po la ´u il ayuda apo ada.
Re e encias
[1] R. M. Falc´on Gan o nina, J. N. Vald´es, La iso eo ´ıa de San illi, Ma hema ical
Se ies, In e na ional Academic P ess, Ame ica - Eu ope - Asia, ISBN 1-57485-
055-5 (2001).
[2] C. X. Jiang, Founda ions o San illi’s Isonumbe Theo y. Wi h Applica ions
o New C yp og ams, Fe ma ’s Theo em and Goldbach’s Conjec u e, In e -
na ional Academic P ess, Ame ica-Eu ope-Asia, ISBN 1-58485-056-3 (2002)
[3] R. M. San illi, On a possible Lie-admissible co e ing o he Galilei Rela i i y in
New onian Mechanics o nonconse a i e and Galilei nonin a ian sys ems,
Had onic J. 1(1978), 223-423. Addendum, ibid, 1(1978), 1279-1342.
[4] R. M. San illi, Iso opic li ings o con empo a y ma hema ical s uc u es,
Had onic Jou nal Suppl. 4A (1988), 155-266.
[5] R. M. San illi, Iso opies o con empo a y ma hema ical s uc u es, I: Iso opies
o ields, ec o spaces, ans o ma ion heo y, Lie algeb as, analy ic mechan-
ics ans space- ime symme ies, Algeb as, G oups and Geome ies 8(1991),
169-266.
[6] R. M. San illi, Elemen s o Had onic Mechanics, Vol. I, Ma hema ical Foun-
da ions Second Edi ion, Kie , 1995.
[7] G. T. Tsagas and D. S. Sou las, Ma hema ical Founda ions o he Lie-San illi
Theo y, Had onic P ess (1993).
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