Conceptos básicos sobre isocriptografía siguiendo el modelo MCIM

Conceptos b´asicos sobre isocriptograf´ıa siguiendo el modelo MCIM Falc´on Ganfornina, R.M. ∗N´u˜nez Vald´es, J. † Resumen Una de las aplicaciones pr´acticas de la isoteor´ıa de Santilli que ha surgido en los ´ultimos a˜nos se refiere al campo de la criptograf´ıa. Generalizando la unidad utilizada en los criptogramas se originan una nueva clase de estos, denominada isocriptogramas. Se presentar´an las nociones b´asicas necesarias para originar tales estructuras, mostrando algunos ejemplos al respecto. Se tratar´an haciendo uso de los ´ultimos modelos de construcci´on de isotop´ıas, lo que permitir´a estudiar la isocriptograf´ıa de Santilli como caso particular. 1 Introducci´on En 1978, Santilli propuso una generalizaci´on de la teor´ıa convencional de Lie haciendo uso de isotop´ıas, dando lugar a la isoteor´ıa de Lie-Santilli (v´ease [3]). Para ello consider´o que la unidad b´asica Ide toda estructura matem´atica puede sufrir dependencia en varios factores externos del sistema en el que nos encontremos (coordenadas, velocidad, tiempo, densidad, temperatura, etc.), dando lugar a una isounidad b I=b I(x, • x,•• x, ..., µ, τ, ...). Esta dependencia puede englobar a su vez el car´acter no asociativo o no lineal de ciertas aplicaciones f´ısicas (en Din´amica de particulas o Mec´anica Cu´antica - v´ease [6]), que convencionalmente han hecho uso de la teor´ıa de Lie, de car´acter asociativo y lineal. No obstante, para que esta generalizaci´on sea coherente, ∗Departamento de Geometr´ıa y Topolog´ıa (Facultad de Matem´aticas), Universidad de Sevilla, e-mail: [email protected] †Departamento de Geometr´ıa y Topolog´ıa (Facultad de Matem´aticas), Universidad de Sevilla, e-mail: jnv[email protected] Actas de las IV Jornadas de Matemática Discreta y Algorítmica. Cercedilla (Madrid), 2004, pp. 299 - 306. ISBN: 84 - 86189 - 98 - 5. Santilli junto a otros autores han realizado una construcci´on met´odica que generaliza las estructuras matem´aticas m´as importantes, dando lugar a las denominadas isoestructuras matem´aticas (v´eanse [4], [5], [7])). Pese a que la l´ınea de investigaci´on preferente en isoteor´ıa ha sido la relativa a sus aplicaciones pr´acticas en F´ısica y Qu´ımica, tambi´en se han ido tratando a su vez otros campos de estudio. En concreto, en el Ap´endice 2C de la segunda edici´on del monogr´afico [6], se introduce una nueva clase de criptogramas, cuya idea principal es utilizar isotop´ıas de tipo I, para generalizar cualquier criptograma num´erico existente basado en la unidad convencional +1 o bien I=diag(+1, ..., +1) y en el producto usual asociativo a×b, dando lugar de esta forma a una nueva estructura basada en una isounidad b Iy en el isoproducto ab ×b=a×T×b, donde b Ipuede ser cualquier n´umero no nulo del conjunto de partida. Posteriormente en 2002, Jiang ha mostrado en [2] algunos fundamentos b´asicos de lo que se conoce ya como teor´ıa isocriptogr´afica de Santilli, tratando varios aspectos en isocriptograf´ıa de clave secreta y de clave p´ublica, como cifrado en bloque, exponenciaci´on o esquema RSA. Las ventajas que indica respecto a la criptograf´ıa convencional son las siguientes: a) Incremento en la dificultad para resolver criptogramas, al disponer de una infinidad de unidades b´asicas a utilizar. b) Capacidad de computerizar el cambio de unidad sin necesidad de alterar los criptogramas de partida. c) Disminuci´on de costes frente a aumento de seguridad, incluso en criptogramas simples. Jiang se basa en el modelo de isotop´ıa de 1978. Ahora bien, en 2001, se desarroll´o un modelo de construcci´on m´as general que enfatiza las propiedades de las operaciones que intervienen en la generalizaci´on de las estructuras de partida. Se trata del modelo de construcci´on del isoproducto basado en la multiplicaci´on (m.c.i.m.) dado en [1]. Por todo esto parece recomendable la revisi´on del estudio de Jiang a partir del m.c.i.m., analizando la posible generalizaci´on de los resultados ya obtenidos sobre isocriptograf´ıa de Santilli. 2 Preliminares Se denomina isotop´ıa olevantamiento isot´opico a toda correspondencia entre una estructura matem´atica fijada y otra del mismo tipo, esto es, tal que verifique sus mismas propiedades. Obs´ervese que seg´un esta definici´on, una isotop´ıa puede no ser una aplicaci´on. La nueva estructura obtenida se denomina isoestructura. El modelo de isotop´ıa de Santilli de 1978 se basa en la generalizaci´on de la unidad de partida: I→b I=b I(x, • x,•• x, ..., µ, τ, ...). En particular, fijada una estructura matem´atica cualquiera E, dotada de un producto interno ×, se considera un conjunto V⊇E, dotado de una operaci´on asociativa ∗y tal que existen I, b I, T ∈V, donde I∈Ees la unidad de ∗en VyT=b I−I. A V, T eb Ise les conoce respectivamente como conjunto general, elemento isot´opico e isounidad de la isotop´ıa en cuesti´on. De esta forma, se definen los elementos de la isoestructura matem´atica b Edotada del isoproducto b ×de unidad b Icomo : E→b E:x→bx=x∗b I , ab ×b=a∗T∗b, para todos a, b ∈b E. El m.c.i.m. de 2001 generaliza la construcci´on anterior, haciendo uso de tantas isounidades y operaciones similares a ∗, como operaciones tenga la estructura de partida. De una manera esquem´atica, toda isotop´ıa puede venir reflejada entonces a partir del siguiente diagrama: Nivel convencional −−−−−−−−−−−−−−−−−→ Nivel general (V, ∗, ⋆, ...) ∪ (E, +,×, ...) (E, ∗, ⋆, ...) ↓♯↓I Nivel de Proyecci´on π ←−−−−−−−−−−−−−−−−−− Nivel isot´opico (b E, b +,b ×, ...) ( b E, b +,b ×, ...) El m.c.i.m. impone que (E, ∗, ⋆, ...) sea una estructura del mismo tipo que la inicial (E, +,×, ...), lo que permite en concreto determinar expl´ıcitamente los elementos del conjunto general asociado a la isotop´ıa: V=E∪b E∪ {T} ∪ ET, donde ET=naT=a∗T:a∈b Eo. Adem´as, notando por Fel conjunto de factores externos de los que depende la isounidad b I, salvo aquellos que dependen del factor coordenada (x, • x,•• x, ...), la operaci´on b ×se define como: ³a∗b I(a, Fa)´b ׳b∗b I(b, Fb)´= (a∗b)∗b I(a∗b, Φ×(Fa, Fb)) . Donde la aplicaci´on Φ×:F×F→F: (Fα, Fβ)→Φ×(Fα, Fβ), debe estar prefijada de antemano. 3 Isocriptosistemas Fijemos un criptosistema (M, C, K, E, D), donde los espacios indicados se refieren respectivamente a los espacios de mensajes, textos cifrados o criptogramas, claves, transformaciones de cifrado y tranformaciones de descifrado, correspondientes a tal criptosistema. Para simplificar nuestro estudio, consideraremos la equivalencia num´erica asociada a Men la forma Z/Zndotado de las operaciones + y ×usuales, en caso de estar asociado a un alfabeto de nletras. Basamos Mpor tanto en el Z-m´odulo (Z,+,×), que est´a incluido a su vez en el cuerpo real (R,+,×). De tal forma, que si realizamos un levantamiento isot´opico del cuerpo se˜nalado, mediante un cambio de unidad, este hecho afectar´a a su vez a la estructura de Zy por tanto a M. Para simplificar, supondremos tal isotop´ıa basada en un conjunto general V⊇R, dotado de un par de leyes internas asociativas ⋆y∗, de elementos unidades respectivos S, I ∈Zy tal que podemos elegir un elemento T∈V, con inversa b I=T−I∈V. Se define entonces el isoespacio de mensajes c M= nc Mi=Mi∗b I:Mi∈Mo⊆V, que estar´a dotado del isoproducto b ×, definido como Ab ×B=A∗T∗B, para todos A, B ∈c M. Proposici´on 3.1. El isoespacio de mensajes c Mes de hecho un espacio de criptogramas asociado a M. Demostraci´on. Basta tener en cuenta que ∗es asociativa y que T=b I−I. De esta forma tenemos la transformaci´on de cifrado Eb I=π◦I:M→c M:A→b A=A∗b I y la transformaci´on de descifrado DT:c M→M:A→A∗T. La clave de cifrado vendr´ıa dada entonces por el par (b I, ∗) y la de descifrado por el par (T, ∗). Hay que tener en cuenta que la aritm´etica del isoespacio de mensajes no es ya la usual. Veamos un ejemplo al respecto: Ejemplo 3.2. Sea la equivalencia num´erica de un alfabeto de 27 letras, M= Z/Z27 y fijemos T∈Rno nulo, siendo b I=T−1. Consideremos el levantamiento isot´opico del cuerpo real (R,+,×) referente a los elementos de isotop´ıa principales ∗|R≡ × eb Iy secundarios ⋆≡+ y b S= 0. Esto es, (b R,b +,b ×) = (R,+,b ×), donde ab ×b=a×T×b, para todos a, b ∈R. La aritm´etica modular cambia entonces. En particular, (Z,+,b ×) no tiene estructura de Z-m´odulo y deberemos trabajar con (b Z,+,b ×), que tiene estructura de b Z-m´odulo. Consideramos entonces ∗definida de tal forma que para todo a∈Z: (a+Z27)∗b I=³a∗b I´+b Z27∗ b I. En estas condiciones, el isoespacio de mensajes resulta c M=b Z/b Z27 b I, que consta de 27 elementos, pues fijados a, b ∈Z, se tiene que a∗b I+b Z27 b I=b∗b I+b Z27 b I si y s´olo si existe k∗b I∈b Ztal que a∗b I=b∗b I+(k∗b I)b ×(27b I). O equivalentemente, (a−b)b I= 27kb I. Notaremos por mod 27 y d mod 27b Ia la congruencia usual en Zy la referente ab Z, respectivamente. Diferenciaremos con ello ambos conceptos, resultando que el isoproducto b ×de unidad b I, est´a definido para todos a, b ∈Zcomo: a∗ b I(d mod 27b I)b ×b∗b I(d mod 27b I) = (a×b)∗b I(d mod 27b I). Adem´as, se tiene que a∗b I=b∗b I(d mod 27b I) si y s´olo si a=b(mod 27). Con lo anterior queda probado que c Mpuede considerarse como cifrado de M, habiendo cambiado para ello s´olamente la unidad del espacio de partida. Obs´ervese que en caso de no atender al producto b ×, lo que se ha realizado es una transformaci´on af´ın. No obstante, una de las ventajas que tiene la construcci´on de isocriptogramas es que la isounidad b Ipuede sufrir dependencia en factores externos a la estructura matem´atica en s´ı. En particular, podemos imponer una dependencia en el factor tiempo. As´ı por ejemplo podemos considerar el isocuerpo asociado a (R,+,×) a partir de una isotop´ıa asociada a b S= 0, ⋆ ≡+,∗|R≡ × e b I=b I(x, t). Lograremos de esta forma que el isoespacio de mensajes var´ıe en el tiempo, al igual que las claves correspondientes (b I(x, t),∗) y (T(x, t),∗), lo que aumenta considerablemente la dificultad en resolver isocriptosistemas asociados a este tipo de isotop´ıas, en caso de no poseer ninguna de tales claves. Veamos un ejemplo concreto: Ejemplo 3.3. Supongamos que en el levantamiento isot´opico del cuerpo real (R,+,×) utilizamos como isounidad a b I=b I(x, t) = x2+5t x, con el tiempo t∈F=N, como factor externo. Supondremos adem´as ∗|R≡ ×,⋆≡+ y b S= 0. Ser´a entonces T=b I−1=T(x, t) = (x−5t)1/3 x. Para evitar singularidades, consideraremos que el producto b ×se define en tiempos paralelos, usando para ello la aplicaci´on Φ×(t0, t0) = t0. Resulta entonces como estructura matem´atica la terna (b R,b +,b ×) = (R,+,b ×), donde fijado un instante t0, se define el producto ab ×b= (a−5t0)1/3×b, para todos a, b ∈R. A la hora de obtener el isocriptograma asociado a esta isotop´ıa, deberemos trabajar con la transformaci´on de cifrado Eb I:x→bx=x3+ 5t, donde x∈M(el espacio de mensajes correspondiente) y tser´a tratado como el tiempo pasado a partir del instante inicial prefijado t0en el que se manda el mensaje , obteni´endose de esta manera un cifrado cuyo contenido var´ıa en el tiempo. A trav´es de un canal seguro, el receptor del mensaje debe obtener por tanto la clave (b I, ∗). De esta forma, obtendr´a como transformaci´on de descifrado DT:x→DT(x) = (x−5t)1/3. Otro aspecto a destacar en el uso de isocriptogramas es la utilizaci´on de una nueva aritm´etica en cada caso concreto, al cambiar la estructura del cuerpo base con el que se trabaja usualmente. Esto puede aprovecharse si al isoespacio de mensajes c Mse le aplica a su vez claves de K, que continuar´ıan el proceso de cifrado del mensaje inicial, si bien atendiendo a la definici´on de b ×. As´ı por ejemplo podemos considerar: a) Cifrado en flujo: En particular, cualquier cifrador por sustituci´on que se pueda usar en Z/Z27 referente a ×, puede usarse tambi´en en b Z/b Z27 b Ires- pecto a b ×. As´ı, fijado b∈Ztal que 0 < b < 27, tendremos respectivamente las transformaciones de cifrado y descifrado siguientes: Mi∈M→Ci= (Mi+b)∗b I(d mod 27b I) Ci∈C→Mi= (Ci−b∗b I)∗T(mod 27) b) Cifrado en bloque: Puede trabajarse en este caso con matrices no singulares como isounidad, b I∈Mn(R), teniendo presente la variaci´on que se producir´a en la definici´on del producto usual entre matrices: Ab ×B=A∗T∗B, A−I=b I∗A−1∗b I, Ab ÷B=A∗B−1∗b I, b In=b I, b I∗T=I c) Cifrado exponencial: T´engase en cuenta que para este tipo de cifrado hace falta trabajar con el concepto de primo en el nuevo cuerpo base y por tanto debe estudiarse la divisibilidad atendiendo a b ×. Ahora bien, obs´ervese que en b Z,ba=a∗b Idivide a b b=b∗b Isi y s´olo si existe k∈Z, tal que b∗b I= (k∗a)∗b I. En particular, en caso de que el levantamiento isot´opico utilizado sea inyectivo, la divisibilidad (y con ello el concepto de ser primo) en b Zes equivalente a la de Z. Atendiendo a la clave privada (b I, ∗) del emisor, siendo p∗b Iprimo en b Z, las transformaciones de cifrado y descifrado exponencial vienen dadas por: Mi∈M→Ci=M b I i(d mod p ∗b I) Ci∈C→Mi=CT i(d mod p ∗b I) Indicar por ´ultimo que el estudio de levantamientos isot´opicos no inyectivos en los que se utilizan isounidades dependientes de factores externos, siendo Fno vac´ıo, resulta interesante a la hora de estudiar posibles generalizaciones de resultados referentes a aritm´etica modular. As´ı por ejemplo, el cifrado exponencial gen´erico de tipo RSA, se ve influido, pues en este caso se toma el producto de dos primos en b Z,bn=bpb ×bq=d p∗q. Es necesario por tanto analizar resultados como la funci´on de Euler en b Zy las consecuencias que conlleva la utilizaci´on de la isounidad b Ien este tipo de isotop´ıas. Agradecimientos Los autores quieren expresar su agradecimiento al profesor Ruggero Maria Santilli por la ´util ayuda aportada. Referencias [1] R. M. Falc´on Ganfornina, J. N. Vald´es, La isoteor´ıa de Santilli, Mathematical Series, International Academic Press, America - Europe - Asia, ISBN 1-57485055-5 (2001). [2] C. X. Jiang, Foundations of Santilli’s Isonumber Theory. With Applications to New Cryptograms, Fermat’s Theorem and Goldbach’s Conjecture, International Academic Press, America-Europe-Asia, ISBN 1-58485-056-3 (2002) [3] R. M. Santilli, On a possible Lie-admissible covering of the Galilei Relativity in Newtonian Mechanics for nonconservative and Galilei noninvariant systems, Hadronic J. 1(1978), 223-423. Addendum, ibid, 1(1978), 1279-1342. [4] R. M. Santilli, Isotopic liftings of contemporary mathematical structures, Hadronic Journal Suppl. 4A (1988), 155-266. [5] R. M. Santilli, Isotopies of contemporary mathematical structures, I: Isotopies of fields, vector spaces, transformation theory, Lie algebras, analytic mechanics ans space-time symmetries, Algebras, Groups and Geometries 8(1991), 169-266. [6] R. M. Santilli, Elements of Hadronic Mechanics, Vol. I, Mathematical Foundations Second Edition, Kiev, 1995. [7] G. T. Tsagas and D. S. Sourlas, Mathematical Foundations of the Lie-Santilli Theory, Hadronic Press (1993). View publication statsView publication stats