FACULTAD DE MATEM´
ATICAS
DEPARTAMENTO DE ECUACIONES DIFERENCIALES Y AN´
ALISIS
NUM´
ERICO
TRABAJO FIN DE GRADO:
ECUACIONES DIFERENCIALES
ESTOC ´
ASTICAS CON
APLICACIONES EN FINANZAS
Luc´ıa Baquei o Vidal
Se illa, 2017-2018
Tu o : Ma ´ıa Jos´e Ga ido A ienza
´
Indice gene al
Resumen IV
In oducci´on VI
1. P elimina es 1
1.1. P obabilidad ............................... 1
1.1.1. Espacios L2y con e gencia en media cuad ´a ica . . . . . . . 2
1.2. P ocesos es oc´as icos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Mo imien o B owniano 5
2.1. In oducci´on his ´o ica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2. Mo imien o B owniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3. In eg ales de I ˆo 9
3.1. Ruido ................................... 9
3.2. In eg aldeI ˆo............................... 11
3.2.1. Cons ucci´on de la In eg al de I ˆo . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2.2. In eg al de S a ono ich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3. F´o muladeI ˆo .............................. 20
4. Ecuaciones Di e enciales Es oc´as icas 25
4.1. Exis encia y Unicidad de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5. Aplicaci´on a la Ma em´a ica Financie a 33
5.1. In oducci´on his ´o ica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2. Concep os inancie os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.3. Fo mulaci´on Ma em´a ica del p oblema P ecio Opci´on . . . . . . . . 39
5.4. F´o mula de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
ii
Resumen
En es e abajo amos a e como se compo a, a di e encia de una in eg al de
Riemann-S ieljes, una in eg al es oc´as ica. Desa olla emos el c´alculo es oc´as ico y
lo emplea emos pa a es udia las ecuaciones di e enciales es oc´as icas, dando un
eo ema de exis encia y unicidad de soluciones. Finalmen e, es udia emos c´omo se
aplican es as ecuaciones en Finanzas, exponiendo el modelo de Black&Scholes muy
ecu ido en el me cado inancie o. Modela emos un p oblema de me cado median e
ecuaciones di e enciales es oc´as icas y da emos una soluci´on expl´ıci a median e la
´o mula de Black-Scholes.
Abs ac
In his documen we a e going o discusse how i beha es, in con as o a Riemann-
S ieljes in eg al, a s ochas ic in eg al. We will de elop he s ochas ic calculus and we
will use i o s udy he s ochas ic di e en ial equa ions gi ing a heo em o exis ence
and uniqueness o solu ions. Finally, we will s udy how hese equa ions a e applied
in inance, exposing he Black&Scholes model e y eso ed in he inancial ma ke .
We will model a p oblem o ma ke h ough s ochas ic di e en ial equa ions, and
gi e an explici solu ion using he Black-Scholes o mula.
i

In oducci´on
La mo i aci´on pa a la ealizaci´on de es e abajo ha sido aden a me en el campo
de la Ma em´a ica Financie a, donde p e endo desa olla mi u u a ca e a labo al.
Ha sido un ´a duo abajo pe sonal, pe o a la ez muy en iquecedo . Empleando
los conocimien os adqui idos en el G ado en Ma em´a icas, he in es igado nue as
´a eas de la ma em´a ica que desconoc´ıa, bas´andome en los lib os [10] y [8] y com-
plemen ´andolo con la b´usqueda de a ´ıculos y esis doc o ales que me die an una
mayo isi´on del ema a a a .
El anscu so del abajo que se a a expone se ´a guiado po la b´usqueda de la
esoluci´on al siguien e p oblema:
P oblema 1 Supongamos que una pe sona iene un bien o ac i o. El p ecio X de
su ac i o en el iempo a ´ıa en el me cado de acue do a la siguien e ecuaci´on
di e encial es oc´as ica, dX
d =cX +σX ·“ uido” ,
donde cyσson cons an es. L´ogicamen e, esa pe sona es ´a in e esada en p edeci
el alo de su ac i o en un u u o, conociendo el compo amien o que es e ha enido
has a el p esen e, pa a oma las decisiones inancie as que m´as le con engan. Es a
ecuaci´on iene una pa e de e minis a, ´acil de in e p e a . El p oblema su ge con el
´e mino que in oduce la alea o iedad en la ecuaci´on, lo que llamamos uido.
Po an o, nues o obje i o se ´a in e p e a odos los ´e minos de la ecuaci´on y
busca posibles soluciones.
En el Cap´ı ulo 1 se enuncian concep os p e ios de p obabilidad que se ´an em-
pleados pos e io men e, as´ı como la exposici´on de p ocesos es oc´as icos, p esen es
en odo el abajo.
En el Cap´ı ulo 2 nos cen a emos en un p oceso es oc´as ico en pa icula , el
mo imien o b owniano. En es e cap´ı ulo se puede encon a una b e e in oducci´on
his ´o ica de c´omo ue descubie o, su de inici´on, ca ac e ´ıs icas y algunos esul ados
a des aca .
El Cap´ı ulo 3 es un bloque m´as ex enso donde se in e p e a el ´e mino que in-
oduce alea o iedad en la ecuaci´on es oc´as ica del p oblema plan eado, es deci , el
uido. Ha emos una p ime a ap oximaci´on in e p e ando el uido como un p oceso
es oc´as ico pe o e emos que no es su icien e, po lo que debemos exigi le el cumpli-
mien o de algunas condiciones m´as, de iniendo as´ı el p oceso de uido blanco. Aho a
bien, al sus i ui el uido po el p oceso de uido blanco en la ecuaci´on del p oblema
i
plan eado llega emos a o a enc ucijada: p oba la exis encia de la in eg al esul-
an e espec o al mo imien o b owniano, el cual iene a iaci´on no aco ada y es no
di e enciable en (casi) ning´un pun o po lo que no sigue el c´alculo in eg al cl´asico, y
como esol e dicha in eg al. La soluci´on a es e dilema la encon a emos median e
el c´alculo es oc´as ico con la cons ucci´on de la In eg al de I ˆo y la F´o mula o Lema
de I ˆo.
Una ez solucionado el p oblema de la in eg al de I ˆo, en el Cap´ı ulo 4 ya es amos
en disposici´on de es udia la Ecuaci´on Di e encial Es oc´as ica, pues conocemos odos
los ´e minos que la componen. Pe o aho a debemos da un esul ado pa a ga an iza
que enga soluci´on y es a sea ´unica, po lo que exponemos el Teo ema de Exis encia
y Unicidad de Soluciones.
Po ´ul imo, en el Cap´ı ulo 5 damos soluci´on al p oblema plan eado, aden ´ando-
nos en la Ma em´a ica Financie a. En es a ´ul ima pa e, empezamos dando una in o-
ducci´on his ´o ica pa a con ex ualiza de d´onde y po qu´e ha su gido es a nue a ´a ea
de la ma em´a ica. Pos e io men e, de ini emos unos concep os b´asicos en inanzas,
necesa ios pa a el buen en endimien o del p oblema que nos ocupa. Y, po ´ul imo,
e emos una aplicaci´on de odo lo es udiado en los cap´ı ulos an e io es median e el
modelado del p ecio de opciones en el me cado. Es o se ´a posible g acias a la F´o mu-
la p ecio opci´on de Black-Scholes descubie a po Fishche Black y My on Scholes
en 1973, g acias a la cual ue on gala donados con el P emio Nobel de Econom´ıa
en 1997, pues supuso una he amien a indispensable hoy d´ıa en las ansacciones de
opciones y o os de i ados inancie os.
ii
Cap´ı ulo 1
P elimina es
1.1. P obabilidad
Vamos a epasa unos concep os b´asicos de p obabilidad p esen es en es e a-
bajo.
De aqu´ı en adelan e conside amos el espacio de p obabilidad que cons a de una
e na o denada (Ω,F,P).
Ω , llamado espacio mues al y cuyo elemen o ´ıpico es ω, es un conjun o a bi-
a io que en nues o caso ep esen a el conjun o de odos los posibles esul ados de
un expe imen o alea o io. F, llamada σ-´algeb a, es una colecci´on no acia de sub-
conjun os de Ω ce ada bajo las ope aciones de complemen os y uniones nume ables,
y cuyos elemen os se les llama e en os o conjun os medibles. La pa eja de es os dos
(Ω,F) se le denomina espacio medible (en pa icula , si B(R) es la σ-´algeb a m´as
peque˜na que con iene a odos los in e alos abie os de R, en onces se iene el espa-
cio medible (R,B(R)) y los elemen os de B(R) se denominan Bo elianos oconjun os
de Bo el medibles. Po ´ul imo, P, llamada medida de la p obabilidad, es una unci´on
P:F → [0,1] que cumple los siguien es axiomas (Kolmogo o , 1993):
P(Ω) = 1
σ-adi i a: si A1,A2,... es una sucesi´on de e en os, disjun os dos a dos =⇒
P(∪∞
n=1 An) = P∞
n=1 P(An).
Las medidas de p obablididad nos pe mi en ep esen a las leyes del aza . As´ı,
el n´ume o P(A) es una medida de la ecuencia con la que se obse a el e en o Aal
ealiza un expe imen o alea o io.
De inici´on 1.1.1 (Va iable alea o ia) Una a iable alea o ia es una unci´on X:
Ω→R al que pa a cualquie B∈ B(R), el conjun o
X−1B={ω∈Ω : X(ω)∈B}
es un elemen o de F.
AXse le denomina unci´on medible en e los espacios medibles (Ω,F)y(R,B(R))
o unci´on F-medible
1
8

Cap´ı ulo 3
In eg ales de I ˆo
Re omando nues o obje i o de in e p e a odos los ´e minos y es udia posibles
soluciones de las ecuaciones con o ma
dX
d =b( , X ) + σ( , X )·“ uido” ,(3.1)
donde byσson unciones dadas y amos aho a a busca una in e p e aci´on ma-
em´a ica pa a el “ uido”.
3.1. Ruido
Veamos b e emen e que es es o del “ uido”, que es u ilizado en odas las apli-
caciones de las ecuaciones di e enciales es oc´as icas pa a modela la din´amica del
sis ema some ido a in luencias ex e nas.
El uido es una se˜nal alea o ia que iene ca ac e ´ıs icas y p opiedades es ad´ıs i-
cas. Una de ellas, la densidad espec al (po encia y dis ibuci´on en el espec o de
ecuencia), es la que se u iliza pa a di e encia los ipos de uidos y su clasi icaci´on
se hace po colo es. Al ipo de p ocesos en los que la unci´on espec al no es una
cons an e se les denomina uido de colo , po el con a io, en los que s´ı lo son se les
denomina uido blanco. Es e ´ul imo es el ipo de uido que nos in e esa pa a nues o
p oblema.
Nos cen a emos en el caso del uido 1-dimensional. Es azonable pensa en un
p oceso es oc´as ico W pa a ep esen a el uido, quedando la ecuaci´on (3.1) de la
o ma, dX
d =b( , X ) + σ( , X )W .(3.2)
Adem´as, bas´andonos en si uaciones eales de di e sos campos como po ejemplo
en Ingenie ´ıa, W debe ia cumpli al menos las siguien es p opiedades:
i) Si 16= 2en onces W 1yW 2son independien es.
ii) {W }eses aciona io, es deci , la dis ibuci´on conjun a de {W 1+ ,··· , W k+ }
no depende de .
iii) E[W ] = 0 pa a odo .
9
P oblema:No exis e ning´un p oceso es oc´as ico “ azonable” que sa is aga las
condiciones i)yii), pues W no pod ´ıa ene ene ayec o ias con inuas. Si adem´as
le pedimos que E[W2
]=1, en onces la unci´on ( , w)→W (w) ampoco puede se
medible, con espec o a la σ-´algeb a B × F, donde Bes la σ-´algeb a de Bo el en
[0,∞].
Soluci´on: Rep esen amos W como un p oceso es oc´as ico llamado p oceso de
u´ıdo blanco.
De inici´on 3.1.1 (Ruido blanco) Es una se˜nal alea o ia (p oceso es oc´as ico) que
se ca ac e iza po la no co elaci´on es ad´ıs ica de sus alo es de se˜nal en dos iem-
pos di e en es y consecuen emen e, su densidad espec al de po encia es cons an e, es
deci , su g ´a ica es plana. Po an o, sus alo es son independien es e id´en icamen e
dis ibu´ıdos a lo la go del iempo y, adem´as, iene media nula.
No a 3.1.2 Desde un pun o de is a ma em´a ico, es e uido es una idealizaci´on de
una si uaci´on eal en la que, gene almen e, la densidad espec al no es cons an e
pues no malmen e los alo es de la se˜nal en un iempo dependen en cie a medida
de los que oma en o o iempo sdis in o de .
Po an o, amo a in en a eesc ibi la ecuaci´on (3.2) eemplazando W po un
p oceso es oc´as ico adecuado.
Sea 0 = 0< 1<··· < m= y cogiendo la e si´on disc e a de (3.2):
Xk+1 −Xk =b( k, Xk)∆ k+σ( k, Xk)Wk∆ k,(3.3)
donde
Xj=X( j), Wk=W k,∆ k= k+1 − k.
Adem´as, amos a eemplaza la no aci´on Wkpo V , donde {V } ≥0es un p oceso
es oc´as ico adecuado y consecuen emen e cambiamos Wk∆ kpo ∆Vk=V k+1 −V k.
Las p opiedades i), ii) y iii) que asumimos an es pa a W nos indican que aho a
V debe ia ene inc emen os independien es con media 0 y esul a que el ´unico
p oceso es oc´as ico con inc emen os es aciona ios independien es con media ce o y
ayec o ias con inuas es el mo imien o b owniano B ( e [6]). Po an o, asumien o
en la ecuaci´on (3.3) que V =B ob enemos:
Xk=X0+
k−1
X
j=0
b( j, Xj)∆ +
k−1
X
j=0
σ( j, Xj)∆Bj.
Se puede p oba que el l´ımi e del lado de echo de la ecuaci´on an e io exis e
cuando ∆ j→0 as´ı que, haciendo uso de la no aci´on habi ual de in eg aci´on ob e-
nemos,
X =X0+Z
0
b(s, Xs)ds + “ Z
0
σ(s, Xs)dBs” (3.4)
y asumimos en onces que en la ecuaci´on (3.1), X =X (ω) es un p oceso es oc´as ico
el cual sa is ace la ecuaci´on (3.4).
10
3.2. In eg al de I ˆo
Nues o obje i o aho a es p oba la exis encia de
“Z
0
(s, w)dBs(w)00 ,
donde B (w) es un mo imien o b owniano 1-dimensional y una clase de unciones
muy amplia : [0,∞]×Ω→R.
Suponemos 0 ≤S < T y una unci´on ( , w) dada, la cual enemos que es udia
sus ca ac e ´ıs icas pa a de ini co ec amen e la in eg al
ZT
S
(s, w)dB (w).(3.5)
Vamos a empeza de inidiendo (3.5) pa a unciones simples y luego las ex ende-
mos po ap oximaci´on. Po an o, podemos empeza de iniendo de la o ma
φ( , ω) = X
j≥0
ej(ω)·χ[j2−n,(j+1)2−n)( ),
donde χes la uncion ca ´ac e ´ıs ica y nun n´ume o na u al.
Po an o, sus i uyendo en (3.5) end iamos
ZT
S
φ( , ω)dB (ω) = X
j≥0
ej(ω)B j+1 −B j(ω),(3.6)
donde
k= (n)
k=


k·2−nsi S≤k·2−n≤T
Ssi k·2−n<S
Tsi k·2−n> T 


P oblema 2 La a iaci´on de la ayec o ia del mo imien o b owniano es demasiado
g ande pa a pode de ini la ecuaci´on (3.5) en el sen ido de Riemann-S ieljes. De
hecho, el mo imien o b owniano no sa is ace los equisi os necesa ios del c´alculo
in ini esimal adicional y necesi amos de ini una nue a in eg al pa a pode in eg a
una unci´on no di e enciable en (casi) ning´un pun o y de a iaci´on in ini a en cada
in e alo de iempo.
Vamos a e un ejemplo donde podemos comp oba es e p oblema ´acilmen e.
Ejemplo 3.2.1 Conside amos dos unciones,
φ1( , ω) = Xj≥0Bj·2−n(ω)·χ[j·2−n,(j+1)2−n)( )
φ2( , ω) = Xj≥0B(j+1)·2−n(ω)·χ[j·2−n,(j+1)2−n)( )
luego,
EZT
0
φ1( , ω)dB (ω)=X
j≥0
EB j(B j+1 −B j)= 0 ,
11
ya que {B } iene inc emen os independien es. Pe o,
EZT
0
φ2( , ω)dB (ω)=X
j≥0
EB j+1 ·(B j+1 −B j)
=X
j≥0
E(B j+1 −B j)2=T ,
ya que E(B −Bs)2= ( −s)si ≥s.
Es e ejemplo pone de mani ies o que, aunque φ1yφ2son ap oximaciones de B (ω),
la in eg al no es ´a bien de inida. El mo i o p incipal es el dado en P oblema 2.
Pa a da soluci´on a es e p oblema amos a de ini una nue a o ma de in eg aci´on,
la In eg al de I ˆo.
3.2.1. Cons ucci´on de la In eg al de I ˆo
Vamos a de ini en onces la in eg al de I ˆo, p ime o pa a p ocesos simples y
despu´es, po ap oximaci´on, pa a p ocesos m´as gene ales.
En gene al, pa ece na u al ap oxima una unci´on dada ( , ω) po
X
j
( ∗
j, ω)·χ[ j, j+1) ( ) (3.7)
donde los pun os ∗
jpe enecen al in e alo [ j, j+1] y de inimos RT
S ( , ω)dB (ω)
como el l´ımi e de Pj ( ∗
j, ω)B j+1 −B j(ω) cuando n→ ∞.
Aunque los pun os ∗
jpueden se escogidos de di e sas o mas den o del in e alo
[ j, j+1], nos amos a cen a en el m´as ap opiado pa a de ini la in eg al de I ˆo que
es de la o ma, ∗
j= j(el pun o izquie do del in e alo).
El p oceso de ap oximaci´on que amos a lle a a cabo nos indica que iene la
p opiedad de que cada unci´on ω→ ( j, ω) solo depende del compo amien o de
Bs(ω) has a el iempo j.
Siguiendo es os equisi os, amos a de ini unos concep os p e ios an es de con-
ui la in eg al de I ˆo.
De inici´on 3.2.2 Sea B (ω)un mo imien o b owniano n-dimensional, de inimos
F =F(n)
como la σ-´algeb a gene ada po las a iables alea o ias {Bi(s)}1≤i≤n,0≤s≤ .
En o as palab as, F es la σ-´algeb a m´as peque˜na que con iene a odos los conjun os
de la o ma,
{ω;B 1(ω)∈F1,··· , B k(ω)∈Fk},
donde j≤ yFj⊂Rnson conjun os de Bo el, siendo j≤k= 1,2,··· (Asumiendo
que odos los conjun os de medida ce o es an inclu´ıdos en F ).
In e p e amos con enien emen e F como “la his o ia de Bshas a el impo ”.
Adem´as, como hemos is o an e io men e, una unci´on h(ω) se dice que es F -medible
si y solo si, hpuede esc ibi se como el l´ımi e de sumas pun o po pun o de unciones
de la o ma,
g1(B 1)g2(B 2)···gk(B k),
12
donde g1,··· , gkson unciones con inuas aco adas y j≤ pa a j≤k,k= 1,2,···.
In ui i amen e, que hsea F -medible signi ica que el alo de h(ω) puede se
de e minado de los alo es de Bs(ω) pa a s≤ . Po ejemplo,
h1(ω) = B /2(ω) es F -medible, mien as que h2(ω) = B2 (ω) no lo es.
Fij´emonos, adem´as, que Fs⊂ F pa a odo s< , es deci , F es c ecien e, y
F ⊂ F pa a odo .
De inici´on 3.2.3 Sea {N } ≥0una amilia c ecien e de σ-´algeb as de subconjun os
de Ω. Un p oceso g( , ω) : [0,∞)×Ω→Rnse dice que es N -adap ado si ∀ ≥0la
unci´on
ω→g( , ω)
es N -medible.
Po an o, el p oceso h1( , ω) = B /2es F -adap ado mien as que
h2( , ω) = B2 (ω) no lo es.
Aho a ya es amos en disposici´on de pode desc ibi la clase de unciones pa a
las cuales de ini emos la in eg al de I ˆo.
De inici´on 3.2.4 V=V(S, T)es la clase de unciones
( , ω) : [0,∞)×Ω→R
al que
1. ( , ω)→ ( , ω)es B ×F, donde Bdeno a la σ-´algeb a de Bo el en [0,∞).
2. ( , ω)es F -adap ado.
3. EhRT
S ( , ω)2d i<∞.
Vamos a e como de ini la in eg al de I ˆo pa a unciones ∈ V,
I[ ](ω) = ZT
S
( , ω)dB (ω),
donde B es el mo imien o b owniano 1-dimensional.
P ime o amos a de ini I[φ] pa a una clase de unciones simples φy despu´es,
demos ando que cada ∈ V puede se ap oximada po esas unciones simples,
de ini emos R dB como el l´ımi e de RφdB cuando φ→ .
Pa a ello amos a in oduci p e iamen e la de inici´on de unci´on elemen al y la
isome ia de I ˆo pa a es e ipo de unciones.
De inici´on 3.2.5 Una unci´on φ∈ V se dice que es elemen al si es de la o ma
φ( , ω) = X
j
ej(ω)·χ[ j, j+1)( ).(3.8)
13

Como φ∈ V, cada unci´on ej iene que se F -medible. Po an o, usando el mismo
ejemplo (3.2.1) an e io emos ´acilmen e que la unci´on φ1es elemen al mien as
que φ2no lo es, pues la espe anza de la in eg al espec o del mo imien o b owniano
es dis in a de ce o.
Po an o, de acue do a la ecuaci´on (3.6) de inida p e iamen e, de inimos la
in eg al pa a unciones elemen ales φ( , ω) de la o ma
ZT
S
φ( , ω)dB (ω) = X
j≥0
ej(ω)[B j+1 −B j](ω).
Lema 3.2.6 (Isome ´ıa de I ˆo) Si la unci´on φ( , ω)es aco ada y elemen al en-
onces,
E"ZT
S
φ( , ω)dB (ω)2#=EZT
S
φ( , ω)2d .
Demos aci´on. Usando la siguien e no aci´on, ∆Bj=B j+1 −B j, enemos que
E[eiej∆Bi∆Bj] = 0 si i6=j
E[ej]2·( j+1 − j) si i=j
pues eiej∆Biy ∆Bjson independien es si i<j. Po an o,
E"ZT
S
φdB2#=X
i,j
E[eiej∆Bi∆Bj] = X
j
E[(ej)2(∆Bj)2]
=X
j
E[e2
j]E[(B j+1 −B j)2] = X
j
E[e2
j]( j+1 − j)
=EZT
S
φ2d .
Lo que amos a hace es ex ende la de inici´on de unciones elemen ales a un-
ciones en Ven 3 pasos, usando la Isome ´ıa de I ˆo 3.2.6 que acabamos de demos a :
Paso 1. Sea g∈ V una unci´on aco ada y g(·, ω)con inua pa a cada ωen onces
exis en unciones elemen ales φn∈ V al que
EZT
S
(g−φn)2d −→ 0cuando n→ ∞ .
Demos aci´on. Se de ine φn( , ω) = Pjg( j, ω)·χ[ j, j+1)( ). Po an o, φnes
elemen al ya que g∈ V y
ZT
S
(g−φn)2d −→ 0 cuando n→ ∞ ∀ω ,
ya que g(·, ω) es con inua ∀ω. Po consiguien e, EhRT
S(g−φn)2d i−→ 0 cuando
n→ ∞, po con e gencia aco ada.
14
Paso 2. Sea h∈ V una unci´on aco ada en onces exis en unciones aco adas
gn∈ V al que gn(·, ω)es con inua pa a odo ωyn, y
EZT
S
(h−gn)2d −→ 0.
Demos aci´on. Suponemos |h( , ω)| ≤ Mpa a odo ( , ω). Pa a cada n, sea ψn
una unci´on con inua no-nega i a en R al que
1. ψn(x) = 0 pa a X≤ −1
nyx≥0
2. R∞
−∞ ψn(x)dx = 1
se de ine
gn( , ω) = Z
0
ψn(s− )h(s, ω)ds .
En onces gn(·, ω) es con inua pa a cada ωy|gn( , ω)| ≤ M. Ya que h∈ V, podemos
e que gn( , ·) es F -medible pa a odo . Adem´as,
ZT
S
(gn(s, ω)−h(s, ω))2ds −→ 0 cuando n→ ∞,∀ω ,
ya que {ψn}ncons i uye una ap oximaci´on iden idad. Asi que, po con e gencia
aco ada
EZT
S
(h( , ω)−gn( , ω))2d −→ 0 cuando n→ ∞ .
Paso 3. Sea ∈ V en onces exis e una sucesi´on {hn} ⊂ V al que cada unci´on
hnes aco ada pa a cada ny
EZT
S
( −hn)2d −→ 0 cuando n→ ∞ .
Demos aci´on. Cogiendo
hn( , ω) = 


−nsi ( , ω)<−n
( , ω) si −n≤ ( , ω)≤n
nsi ( , ω)> n .
En onces, po con e gencia dominada ya lo end ´ıamos demos ado.
Ya hemos comple ado el p ocedimien o de ap oximaci´on, po lo que es amos en
disposici´on de comple a la de inici´on de la in eg al de I ˆo
ZT
S
( , ω)dB (ω) pa a ∈ V .
Si ∈ V, en onces escogemos, po los Pasos 1-3, unciones elemen ales φn∈ V ales
que
EZT
S| −φn|2d −→ 0.
15
Po an o, de inimos
I[ ](ω) := ZT
S
( , ω)dB (ω) := l´ım
n→∞ ZT
S
φn( , ω)dB (ω).
El l´ımi e exis e como un elemen o de L2(P), ya que nRT
Sφn( , ω)dB (ω)oes una
se ie de Cauchy en L2(P), po la Isome ´ıa de I ˆo 3.2.6.
Aho a que ya imos como se cons uye la In eg al de I ˆo podemos da una de i-
nici´on bien jus i icada.
De inici´on 3.2.7 (In eg al de I ˆo) Dada una unci´on ∈ V(S, T ), la in eg al de
I ˆo de (de SaT) es ´a de inida po
ZT
S
( , ω)dB (ω) = l´ım
n→∞ ZT
S
φn( , ω)dB (ω)(l´ımi e en L2(P))(3.9)
donde {φn}es una sucesi´on de unciones elemen ales ales que
l´ım
n→∞ EZT
S
( ( , ω)−φn( , ω))2d = 0 .(3.10)
Sabemos que exis e una sucesi´on {φn}que sa is ace (3.10) po los Pasos 1-3
an e io es. Adem´as, po la Isome ´ıa de I ˆo 3.2.6 el l´ımi e en (3.9) exis e y no depende
de la sucesi´on {φn}escogida mien as se siga cumpliendo (3.10).
Co ola io 3.2.8 (Isome ´ıa de I ˆo pa a p ocesos gene ales) Pa a oda
unci´on ∈ V(S, T)se cumple,
E"ZT
S
( , ω)dB 2#=EZT
S
2( , ω)d .
Tenemos la In eg al de I ˆo de inida pa a un in e alo ijo [S, T]. Aho a amos a
e la, no como una a iable alea o ia sino como un p oceso es oc´as ico, que es lo
que que emos ep esen a . Tal p oceso no es necesa iamen e con inuo, sin emba go
exis e una e si´on con inua que esul a se una ma ingala espec o a la il aci´on
na u al del mo imien o b owniano.
Teo ema 3.2.9 Sea ∈ V(0, T ), pa a ∈[0, T]exis e una e sion -con inua de
Z
0
(s, ω)dBs(ω),
es deci , exis e un p oceso es oc´as ico -con inuo J en (Ω,F, P) al que
PJ =Z
0
dB= 1 ∀ , 0≤ ≤T .
16
Demos aci´on: (Ve [10], Teo ema 3.2.5, p´ag 32))
Co ola io 3.2.10 Sea ( , ω)∈ V(0, T)pa a odo T, en onces
M (ω) = Z
0
(s, ω)dBs
es una ma ingala con espec o a F y
P"sup
0≤ ≤T|M | ≥ λ#≤1
λ2EZT
0
(s, ω)2dssiendo λ, T > 0.
Demos aci´on: (Ve [10], Co ola io 3.2.6, p´ag 33))
Co ola io 3.2.11 Si ( , ω)∈ V(S, T), n( , ω)∈ V(S, T)pa a n= 1,2,··· y
EhRT
S( n( , ω)− ( , ω))2d i−→ 0cuando n→ ∞, en onces
l´ım
n→∞ ZT
S
n( , ω)dB (ω) = ZT
S
( , ω)dB (ω)en L2(P).
Vamos a e un ejemplo de como a on a ´ıamos la In eg al de I ˆo
Ejemplo 3.2.12 Asumiendo que B0= 0, en onces
Z
0
BsdBS=1
2B2
−1
2 .
Demos aci´on: Cogiendo φn(s, ω) = PBj(ω)·χ[ j, j+1](s), donde Bj=B j, en onces
EZ
0
(φn−Bs)2ds=E
X
jZ j+1
j
(Bj−Bs)2ds

=X
jZ j+1
j
(s− j)ds =X
j
1
2( j+1 − j)2−→ 0 cuando ∆ j→0.
Po el Co ola io 3.2.11,
Z
0
BsdBs= l´ım
∆ j→0Z
0
φndBs= l´ım
∆ j→0X
j
Bj∆Bj.
Aho a,
∆(B2
j) = B2
j+1 −B2
j= (Bj+1 −Bj)2+ 2Bj(Bj+1 −Bj)
= (∆B2
j)+2Bj∆Bj.
17
Aplicando la ´o mula de I ˆo,
dY =∂g
∂ d +∂g
∂xdB +1
2
∂2g
∂x2(dB )2=B dB +1
2(dB )2=B dB +1
2d .
Po an o
d(1
2B2
) = B dB +1
2d .
En o as palab as, Z
0
BsdBs=1
2B2
−1
2 ,
lo que ya hab´ıamos is o en el Ejemplo 3.2.12.
Ejemplo 3.3.8 Analiza emos aho a la in eg al
Z
0
sdBs.
Del c´alculo cl´asico pa ece azonable que debe apa ece el ´e mino B , asi que cogemos
g( , x) = x
y
Y =g( , B ) = B .
Aplicando la ´o mula de I ˆo,
dY =B d + dB + 0
es deci ,
d( B ) = B d + dB .
Lo que ambien podemos exp esa como,
B =Z
0
Bsds +Z
0
sdBs
o, Z
0
sdBs= B −Z
0
Bsds .
Es a es la ´o mula cl´asica de la in eg aci´on po pa es ( ´engase en cuen a que
B0= 0).
24

Cap´ı ulo 4
Ecuaciones Di e enciales
Es oc´as icas
En es e cap´ı ulo amos a analiza la exis encia y unicidad de soluciones de ecua-
ciones di e enciales es oc´as icas del ipo
dX
d =b( , X ) + σ( , X )W , b( , x)∈R, σ( , x)∈R(4.1)
donde W ep esen a el uido blanco 1-dimensional. Como hemos is o en el cap´ı ulo
an e io , la in e p e aci´on de I ˆo de la ecuaci´on (4.1) es que X e i ique la ecuaci´on
X =X0+Z
0
b(s, X )ds +Z
0
σ(s, Xs)dBs
o en o ma di e encial,
dX =b( , X )d +σ( , X )dB .(4.2)
Po lo an o, de (4.1) a (4.2) solo hemos eemplazado o malmen e el uido blanco
W po dB
d en (4.1) y lo hemos mul iplicado po d .
Es na u al p egun a se c´omo esol e una ecuaci´on de es e ipo y la F´o mula
de I ˆo nos a a ayuda mucho en es e menes e , como amos a e en el siguien e
ejemplo.
Ejemplo 4.0.9 Conside amos el modelo de c ecimien o poblacional
dN
d =a N , N0dado
donde a = +αW ,W = uido blanco, α=cons an e.
Asumimos que = =con an e. Po la in e p e aci´on de I ˆo (4.2), es a ecuaci´on
es equi alen e a
dN = N d +αN dB (4.3)
odN
N
= d +αdB .
25
Po an o, Z
0
dNs
Ns
= +αB (B0= 0) .(4.4)
Pa a e alua la in eg al de la pa e izquie da de la igualdad an e io usamos con e-
nien emen e la ´o mula de I ˆo pa a la unci´on
g( , x) = ln x;x > 0
y ob enemos
d(ln N ) = 1
N
dN +1
2−1
N2
(dN )2
=dN
N −1
2N2
α2N2
d =dN
N −1
2α2d .
Po an o dN
N
=d(ln N ) + 1
2α2d
as´ı que de (4.4) conclu´ımos que
ln N
N0
= ( −1
2α2) +αB
o
N =N0·e(( −1
2α2) +αB )
Po compa aci´on, la in e p e aci´on de S a ono ich de (4.3),
dN = N d +αN ◦dB
hab ´ıa enido la soluci´on
N =N0·e( +αB ).
Ambas soluciones N yN son p ocesos del ipo
X =X0·e(µ +αB )(µ, α cons an es).
Es os p ocesos son llamados mo imien os b ownianos geom´e icos y son muy
impo an es pa a modela p ecios alea o ios en econom´ıa.
4.1. Exis encia y Unicidad de soluciones
Aho a que ya imos como se esol e ´ıan algunas Ecuaciones Di e enciales Es-
oc´as icas es na u al p egun a se, ¿exis e alg´un esul ado que nos ga an ice la exis-
encia y unicidad de ales soluciones? La espues a en s´ı, medien e los eo emas de
exis encia y unicidad que amos a e .
Teo ema 4.1.1 Sea T > 0yb(·,·) : [0, T]×Rn→Rn,σ(·,·) : [0, T ]×Rn×m
unciones con inuas medibles ales que
|b( , x)−b( , y)| ≤ L|x−y|
|σ( , x)−σ( , y)| ≤ ˆ
L|x−y|
0≤ ≤T x, y ∈Rn
26
pa a algunas cons an es ap opiadas L, ˆ
Ly
|b( , x)| ≤ C(1 + |x|)
|σ( , x)| ≤ ˆ
C(1 + |x|)
0≤ ≤T x ∈Rn
pa a algunas con an es ap opiadas C, ˆ
C(donde |σ|2=P|σij|2y|·|deno a la no ma
eucl´ıdea). Sea Zuna a iable alea o ia independien e de la σ-´algeb a F(m)
∞gene ada
po Bs(·), s ≥0y al que
E[|Z|2]<∞, Z =Z(ω).
En onces la ecuaci´on di e encial es oc´as ica
dX =b( , X )d +σ( , X )dB ,0≤ ≤T , X0=Z
iene una ´unica soluci´on -con inua, X (ω), siendo es a adap ada a la il aci´on FZ
gene ada po ZyBs(·)con s≤ , y cumpliendo
EZT
0|X |2d <∞.
Demos aci´on:
Exis encia:
1o) Como en el caso de e minis a, la exis encia de una soluci´on se ´a p obada
u ilizando una sucesi´on ecu en e,
X(0)( ) = Z
X(k+1)( ) = Z+R
0b(s, X(k)
s)ds +R
0σ(s, X(k)
s)dBs.
Veamos que X(k)es ´a bien de inida y que X(k)∈L2([0, T]×Ω). Usando inducci´on,
pa a k= 0 es i ial pues Z∈L2([0, T]×Ω). Supongamos que se cumple pa a k,
como X(k)∈L2([0, T]×Ω) y |σ( , X(k)
)|2≤ˆ
C2(1 + |X(k)
|)2en onces σ( , X(k)
)∈
L2([0, T]×Ω). An´alogamen e, como ambien
X(k)∈L([0, T]×Ω) y |b( , X(k)
)| ≤ C(1 + |X(k)
|) en onces
b( , X(k)
)∈L([0, T]×Ω). Po an o, X(k+1)
es ´a bien de inido.
Pa a odo ∈[0, T], eamos que X(k+1)
∈L2(Ω).
E|X(k)
|2≤3E|Z|2+ 3E|Z
0
b(s, X(k)
s)ds|2
+ 3EZ
0
σ(s, X(k)
x)dBs|2.
Es imando las desigualdades,
E|Z
0
b(s, X(k)
s)ds|2≤ETZT
0|b(s, X(k)
s)|2ds
≤TC2EZT
0
(1 + |X(k)
s|)2ds
≤2TC2(T+||X(k)||2
L2([0,T]×Ω))
27
y, usando la Isome ´ıa de I ˆo,
E|Z
0
σ(s, X(k)
x)dBs|2≤EZ
0|σ(s, X(k)
s)|2ds
≤ˆ
C2EZT
0
(1 + |X(k)
x|2ds
≤2ˆ
C2(T+||X(k)||2
L2([0,T]×Ω)).
Po an o, pa a odo ∈[0, T]
E|X(k+1)
|2≤3E(|Z|2) + 3(2TC2+ 2 ˆ
C2)(T+||X(k)||2
L2([0,T]×Ω))
| {z }
D
.
In eg ando con espec o a , conlu´ımos que X(k+1) ∈L2([0, T]×Ω) como
que ´ıamos e , es deci ,
EZT
0|X(k+1)
|2d ≤DT < ∞.
2o) Veamos que X(k)con e ge a la soluci´on de la ecuaci´on es oc´as ica. Empe-
cemos p obando que,
dk( ) := E|X(k)
−X(k−1)
|2≤(M )k
k!∀k≥1
donde M=M(C, ˆ
C, L, ˆ
L, T, E|Z|2). Usamos nue amen e inducci´on. Pa a k= 1,
d1( ) = E|x(1)
−Z|2
≤2E|Z
0
b(s, Z)ds|2+ 2E|Z
0
σ(s, Z)dBs|2
≤2TE Z
0|b(s, Z)|2ds+ 2EZ
0|σ(s, Z)|2ds
≤(2TC2+ 2 ˆ
C2)EZ
0
(1 + |Z|2)ds≤2(TC2+ˆ
C2)(1 + E[|Z|2])
=M .
28
Suponiendo que se cumple pa a ken onces,
dk+1( ) = E|X(k+1)
−X(k)
|2
≤2E|Z
0
b(s, X(k)
s)−b(s, X(k−1)
s)ds|2
+ 2E|Z
0
σ(s, X(k)
s)−σ(s, X(k−1)
s)dBs|2
≤2TE Z
0|b(s, X(k)
s)−b(s, X(k−1)
s)|2ds
+ 2EZ
0|σ(s, X(k)
s)−σ(s, X(k−1)
s)|2ds
≤(2TL2+ 2ˆ
L2)EZ
0|X(k)
s−X(k−1)
s|2ds
≤2(TL2+ˆ
L2)Z
0
Mksk
k!ds
≤Mk+1 k+1
(k+ 1)! .
como que ´ıamos p oba .
3o) G acias a es a aco aci´on enemos que, ∀0≤ ≤T,nX(k)
oes una sucesi´on de
Cauchy en L2(Ω,F , P). Po an o, {X ,F } ∈[0,T ]es un p oceso es oc´as ico. Aho a
amos a e que X iene una modi icaci´on ˜
X al que X(k)
→˜
X uni o memen e en
[0, T] casi segu o. Pa a ello p oba emos que X(k)
es uni o memen e de Cauchy casi
segu o de la siguien e o ma:
|X(k)
−X(k−1)
|2≤2TL2ZT
0|X(k−1)
s−X(k−2)
s|2ds
+ 2|Z
0
σ(s, X(k−1)
s)−σ(s, X(k−2)
s)dBs|2.
Po an o,
Em´ax
0≤ ≤T|X(k)
−X(k−1)
|2≤2TL2EZT
0|X(k−1)
s−X(k−2)
s|2ds+
+ 2Em´ax
0≤ ≤T|Z
0
σ(s, X(k−1)
s)−σ(s, X(k−2)
s)dBs|2.
29

Usando la desigualdad ma ingala enemos que,
Em´ax
0≤ ≤T|Z
0
σ(s, X(k−1)
s)−σ(s, X(k−2)
s)dBs|2
≤
n
X
i=1
E




m´ax
0≤ ≤T|Z
0
σi(s, X(k−1)
s)−σi(s, X(k−2)
s)dBs
| {z }
ma ingala
|2




≤X
i=1
n4E|ZT
0
σi(s, X(k−1)
s)−σi(s, X(k−2)
s)dBs|2
= 4EZT
0
σ(s, X(k−1)
s)−σ(s, X(k−2)
s)dBs|2
≤4ˆ
L2EZT
0|X(k−1)
s−X(k−2)
s|2ds.
Luego,
Em´ax
0≤ ≤T|X(k)
−X(k−1)
|2≤(2TL2+ 8ˆ
L2)EZT
0|X(k−1)
s−X(k−2)
s|2ds
≤(2TL2+ 8ˆ
L2)ZT
0
Mk−1sk−1
(k−1)! ds ≤CMkTk
k!, C =C(T, L, ˆ
L).
Po an o,
Pm´ax
0≤ ≤T|X(k)
−X(k−1)
| ≥ 1
k2=P|m´ax
0≤ ≤T|X(k)
−X(k−1)
|2≥1
k4
≤k4Em´ax
0≤ ≤T|X(k)
−X(k+1)
|2≤Ck4MkTk
k!,
y como Pk=1 ∞k4MkTk
k!<∞conclu´ımos po el Lema de Bo el Can elli que pa a
casi odo ω
m´ax
0≤ ≤T|X(k)
−X(k−1)
|<1
k2pa a k≥k0(ω).
Luego, X(k)
→˜
X uni o memen e en [0, T] casi segu o y po an o ˜
X iene ayec-
o ias con inuas casi segu o. Como ∀0≤ ≤T , X(k)
→˜
X casi segu o enemos
que X =˜
X casi segu o como que ´ıamos e .
Supongamos adecuadamen e que X =˜
X . En onces X e i ica se con inuo
y po an o p og esi amen e medible. Como X(k)
→X casi segu o ∀ ∈[0, ]
conclu´ımos que X(k)( , ω)→X( , ω) casi segu o en L2(λ×P), siendo λla medida
de Lebesgue en [0, T].
4o)Veamos aho a que X∈L2([0, T]×Ω). Pa a ello amos a e que X(k)→X
en L2([0, T]×Ω):
||X(k)−X(k−1)||L2([0,T]×Ω) =EZT
0|X(k)
s−X(k−1)
s|2ds≤Z
0
MkTk+1
(k+ 1)! .
30
Tenemos en onces que X(k)es una sucesi´on de Cauchy en L2([0, T]×Ω). Sea ˜
X
su l´ımi e en L2([0, T]×Ω), como X(k)( , ω)→X( , ω) casi segu o en L2(λ×P)
conclu´ımos que X( , ω) = ˜
X( , ω) casi segu o en L2(λ×P).
5o) Veamos que X e i ica la ecuaci´on di e encial es oc´as ica. Sea
Y := Z+Z
0
b(s, Xs)ds +Z
0
σ(s, Xs)dBs.
Y es ´a bien de inida pues X∈L2([0, T]×Ω), |σ( , X )|2≤˜
C2(1 + |X |2) y
X∈L([0, T]×Ω), |b( , X )| ≤ C(1 + |X |).
Veamos que X(k+1)
→Y en L2(Ω) ∀0≤ ≤T:
E|Y −X(k+1)
|2≤2EZ
0
b(s, Xs)−b(s, X(k)
s)|2
+ 2E|Z
0
σ(s, X)−σ(s, X(k)
s)dBs|2
≤(2TL2+ 2ˆ
L2)EZ
0|Xs−X(k)
s|2ds
≤2(TL2+ˆ
L2)||X−X(k)||L2([0,T]×Ω) −→ 0.
Como X(k+1)
−→ X en L2(Ω) enemos que X =Y casi segu o ∀0≤ ≤T, o sea
que,
X =Z+Z
0
b(s, Xs)ds +Z
0
σ(s, Xs)dBscasi segu o ∀0≤ ≤T
como que ´ıamos demos a .
Unicidad: Supongamos X, ˜
X∈L2([0, T]×Ω) dos soluciones de una misma ecua-
ci´on di e encial es oc´as ica. En onces,
X −˜
X =Z
0
b(s, Xs)−b(s, ˜
Xs)ds +Z
0
σ(s, Xs)−σ(s, ˜
Xs)dBs
En onces,
E|X −˜
X |2≤2E|Z
0
b(s, Xs)−b(s, ˜
Xs)ds|2
+ 2E|Z
0
σ(s, Xs)−σ(s, ˜
Xs)dBs|2
≤(2TL2+ 2ˆ
L2)Z
0
E(|Xs−˜
Xs|2)ds .
Tomando φ( ) := E|X −˜
X |2yC:= 2TL2+2ˆ
L2 enemos que φ( )≤CR
0φ(s)ds.
Po el Lema de G onwall enemos que φ≡0, en onces ˜
Xes una modi icaci´on de
Xpe o como ambos p ocesos son con inuos casi segu o, conclu´ımos que ˜
XyXson
indis inguibles, como que ´ıamos demos a .
31
32
Cap´ı ulo 5
Aplicaci´on a la Ma em´a ica
Financie a
5.1. In oducci´on his ´o ica
Figu a 5.1: A la izquie da Fische Black (1938-1995). En el cen o: My on Scholes
(1941). A la de echa: Robe Me on (1941).
Desde que las ci ilizaciones han enido in e eses econ´omicos y sociol´ogicos se
han p eocupado po el conocimien o y desa ollo e´o ico ace ca de cues iones i-
nancie as, apa eciendo documen ado en uen es como el C´odigo de Hammu abi y el
An iguo Tes amen o. A pa i de lo que conocemos como banca mode na, la cual
u o sus inicios en I alia a inales del pe iodo medie al y p incipios del Renacimien-
o (s.XV), se desa ollan los aspec os b´asicos de las inanzas aunque los elemen os
ma em´a icos in oluc ados e an oda ´ıa muy udimen a ios. En 1973 Fische Black
y My on Scholes publican un a ´ıculo que se conoce popula men e como el ac a de
nacimien o de la eo ´ıa mode na de las inanzas ma ema icas ([2]), donde incluyen
una ´o mula expl´ıci a pa a la aluaci´on de opciones de comp a eu opeas. G acias
a sus apo aciones, jun o con Me on, al C´alculo Es oc´as ico elemen al, nume osos
ma em´a icos y economis as comienzan a ealiza un no able desa ollo ma em´a ico
en es e ´ambi o ca ac e izado po su apidez, p o undidad y so is icaci´on de los con-
cep os ma em´a icos empleados. En los a˜nos no en a la p o undidad ma em´a ica en
las inanzas e´o icas da o o sal o cuan i a i o ubic´andose al ni el de la in es igaci´on
ma em´a ica m´as demandan e ´ecnicamen e y ue cuando nume oso ma em´a icos de
33
es esa unci´on u( , x). Ya que el alo VTdel po a olio al iempo de madu aci´on T
se ´a φ1(XT), enemos la condici´on inal
VT=u(0, XT) = φ1(XT) = m´ax {0, XT−K}.(5.5)
Vamos a aplica la o mula de I ˆo al p oceso de alo es V =u(T− , X ). Esc ibimos
( , x) = u(T− , x) y po an o,
1( , x) = −u1(T− , x), 2( , x) = u2(T− , x), 22( , x) = u22(T− , x).
Adem´as, eco demos que Xsa is ace la ecuaci´on in eg al de I ˆo
X =X0+cZ
0
Xsds +σZ
0
XsdBs.
As´ı que, aplicando la exp esi´on equi alen e de la ´o mula de I ˆo (3.17) enemos
V −V0= ( , X )− (0, X0)
=Z
0
[ 1(s, Xs) + cXs 2(s, Xs) + 1
2σ2X2
s 22(s, Xs)]ds
+Z
0
[σXs 2(s, Xs)]dBs
=Z
0
[−u1(T−s, Xs) + cXsu2(T−s, Xs)
+1
2σ2X2
su22(T−s, Xs)]ds
+Z
0
[σXsu2(T−s, Xs)]dBs.
(5.6)
Po o a pa e, (a , b ) es au o inanciada, es deci ,
V −V0=Z
0
asdXs+Z
0
bsdβs.(5.7)
Adem´as, β =β0e en onces
dβ = β0e d = β d ,
y como V =a X +b β se ob iene
b =V −a X
β
.(5.8)
Combinando (5.7) y (5.8) jun o con (5.4) ob enemos o a exp esion pa a V −V0que
es,
V −V0=Z
0
asdXs+Z
0
Vs−asXs
βs
βsds
=Z
0
asdXs+Z
0
(Vs−asXs)ds
=Z
0
casXsds +Z
0
σasXsdBs+Z
0
(Vs−asXs)ds
=Z
0
[(c− )asXs+ Vs]ds +Z
0
σasXsdBs.
(5.9)
40

Compa ando (5.6) y (5.9), como los coe icien es de las unciones de los p ocesos de
I ˆo ienen que se iguales, podemos iden i ica o malmen e los in eg andos de las
in eg ales de I ˆo y Riemann de al mane a que
a =u2(T− , x)
(c− )a X + u(T− , X ) =(c− )u2(T− , X )X + u(T− , X )
=−u1(T− , X ) + cX u2(T− , X )
+1
2σ2X2
u22(T− , X ).
Como X puede oma cualquie alo posi i o, podemos esc ibi la ´ul ima igualdad
como una ecuaci´on di e encial pa cial de la o ma
u1( , x) = 1
2σ2x2u22( , x) + xu2( , x)− u( , x)x > 0 ∈[0, T].(5.10)
Po ´ul imo, eco dando nues a condici´on inal (5.5) enemos la condici´on inal de-
e minis a
u(0, x) = m´ax {x−K, 0}x > 0.(5.11)
5.4. F´o mula de Black-Scholes
En gene al, aunque sabemos que exis e una ´unica soluci´on pa a las ecuaciones
di e enciales pa ciales, es d´ı icil esol e las expl´ıci amen e. Po ello, esul a so p en-
den e pode da una soluci´on a la ecuaci´on (5.10) y de ah´ı la popula idad del plan-
eamien o ideado po Black, Scholes y Me on. La ecuaci´on (5.10) con la condicion
inal (5.11) ha sido es udiada en p o undidad ( e [14], p´ag.174) y iene la soluci´on
expl´ıci a
u( , x) = xφ(g( , x)) −Ke− φ(h( , x)) ,(5.12)
donde
g( , x) = ln(x/K)+( +1
2σ2)
σ 1/2,
h( , x) = g( , x)−σ 1/2,
y
φ(x) = 1
2π1/2Zx
−∞
e−y2
2dy , x ∈R,
es la unci´on de dis ibuci´on no mal es ´anda .
Po an o, esol iendo el p oblema plan eado de encon a un p ecio azonable
a paga po la opci´on donde se cub a el iesgo que asume el endedo end ´ıamos la
amosa F´o mula de Black-Scholes
V0=u(T, X0) = X0φ(g(T, X0)) −Ke− φ(h(T, X0)) (5.13)
que es el p ecio acional pa a la opci´on de comp a eu opea en el iempo = 0 con
p ecio de eje cicio K.
41
El p oceso es oc´as ico V =u(T− , X ) es el alo del po a olio au o inanciado
en el iempo ∈[0, T] y la es a egia de au o inanciamien o (a , b ) iene dada po ,
a =u2(T− , X ) y b =u(T− , X )−a X
β
.(5.14)
Vemos que al iempo de madu aci´on T, la F´o mula de Black-Scholes (5.13) nos
p opo ciona el alo ne o del po a olio, φ1= m´ax {XT−K, 0}. Adem´as, podemos
obse a que a >0 pa a odo ∈[0, T] pe o b puede oma alo es nega i os, po
an o no hay en as co as de acciones pe o si puede se necesa io pe de dine o a
una asa de in e ´es cons an e de bonos > 0. Es deci , la opci´on no depende del
endimien o del ac i o subyacen e a la opci´on, c. Los pa ´ame os que apa ecen en
la ´o mula son que se ob iene de los bonos, p e e iblemen e en la misma unidad
mone a ia, con encimien o Ty la ola ilidad σque no es obse able y se calcula
gene almen e una es imaci´on del iesgo que los in e so es es ´an an icipando cuando
co izan p ecios pa a las opciones, lo que se denomina ola ilidad impl´ıci a. Habi-
ualmen e la ola ilidad impl´ıci a es suminis ada po el me cado, aunque se puede
es ima empleando la ´o mula de Black-Scholes al e ´es, de e minando cu´al end ´ıa
que se la ola ilidad pa a que la p ima p onos icada po la ´o mula sea igual a la
co izada.
Si quisi´e amos conside a q=u(T, X0), suponiendo que la opci´on de p ecio
inicial p6=q, como un alo acional en ´e minos de a bi aje, si p>qaplica ´ıamos
la siguien e es a egia: En el iempo = 0
endemos la opci´on al p ecio pe
in e imos qen bonos y acciones siguiendo la es a egia de au o inanciamien o
(5.14).
Pa a acaba amos a e en un ejemplo de como se aplica ´ıa el modelo de Black
y Scholes en el me cado ( e [12]).
Ejemplo 5.4.1 : Que emos calcula el alo e´o ico de una call eu opea con p ecio
de eje cicio 1000eden o de nue e meses, sob e un cie o ac i o subyacen e que
ac ualmen e co iza a 800ey cuya ola ilidad se es ima en σ= 30 %.´
Unicamen e
a e ec os de c´alculo emplea emos una asa sin iesgo del 1 % anual. Pa a aplica la
´o mula de Black-Scholes, calculamos p ime o g( , x)yh( , x):
g(T, X0) =ln 800
1000+ (0,01 + 1
2·0,32)·0,75
0,3·√0,75 =−0,7003
h(T, X0) = −0,7003 −0,3·p0,75 = −0,9601
po an o, la es imaci´on de la p ima, aplicando la ´o mula (5.12) es
V0=u(0,75,800) = 800φ(−0,7003) −1000 ·e−0,01·0,75φ(−0,9601) = 26,24e.
42
Obse aci´on 5.4.2 En la modelizaci´on o iginal la ´o mula de Black-Scholes no
pe mi e calcula opciones de en a. Sin emba go, podemos adap a el modelo en
unci´on de elaciones de equilib io basadas en el a bi aje del me cado o podemos
ecu i a la pa idad pu -call, es o es
P=V0−X0+K·e− ,
siendo Pla es imaci´on de la p ima de la opci´on de en a eu opea.
Po an o, en las condiciones del ejemplo que acabamos de e , la p ima e´o ica de
la opci´on de en a eu opa se ´ıa
P=V0−X0+K·e− = 26,24 −800 + 1000 ·e−0,01·0,75 = 218,81e.
43
44
Bibliog a ´ıa
[1] BACHELIER L. Th´eo ie de la sp´ecula ion [ esis doc o al]. Facul ad de Ciencias
de Pa ´ıs; 1900 o Ann. `
Ecole No m. Sup. 17; 1900, 21–86.
[2] BLACK F., SCHOLES M. The p icing o op ions and co po a e liabili ies. J.
Poli ical Economy. 81; 1973, 635-654.
[3] CARMONA A. Ecuaciones Di e enciales Es oc´as icas[ esis de licencia u a].
Buenos Ai es: Uni e sidad de Buenos Ai es, Facul ad de Ciencias Exac as y
Na u ales, Depa amen o de Ma em´a icas; 2009.
[4] GAVIL´
AN RUIZ J.M. Modelizaci´on de los me cados inancie os median e ecua-
ciones di e enciales es oc´as icas. Aplicaci´on de T´ecnicas no pa am´e icas al caso
de los ipos de in e ´es a co o plazo en Espa˜na [ esis doc o al]. Se illa: Uni e -
sidad de Se illa, Depa amen o de Econom´ıa Aplicada I; 2007.
[5] JAIRO LE ´
ON J., MESA F., C´
ARDENAS P.P. Modelizaci´on Ma em´a ica en la
aluaci´on de opciones sob e acciones. Scien ia e Technica A˜no XV 41; 2009.
[6] KNIGHT F.B. Essen ials o B ownian Mo ion. Ame ican Ma h. Soc; 1981
[7] MARGALEF-ROIG J., MIRET-ARTES S. C´alculo es oc´as ico aplicado a las
inanzas: P ecio de las opciones seg´un el modelo Black-Scholes-Me on y algu-
nas gene alizaciones. Mad id: Ins i u o de Ma em´a icas y F´ısica Fundamen al
(IMAFF), Consejo Supe io de In es igaciones Cien ´ı icas (CSIC); 2000.
[8] MIKOSCH T. Elemen a y Es ochas ic Calculus wi h Finance in View (Vol. 6).
2aed. Singapo e: Wo ld Scien i ic; 1999.
[9] MORO EGIDO E. Es udio anal´ı ico y num´e ico de ecuaciones di e enciales es-
oc´as icas: Aplicaci´on a la Mec´anica Es ad´ıs ica [ esis doc o al]. Legan´es: Uni-
e sidad Ca los III, Depa amen o de Ma em´a icas; 1999.
[10] OKSENDAL B. S ochas ic Di e en ial Equa ions. An In oduc ion wi h Appli-
ca ions. 6aed. Blinde n: Sp inge ; 2002.
[11] OLEAGA G. Sob e la ecuaci´on de Black-Scholes. Bol. Ma 18 (1); 2011, 85-104.
[12] PI˜
NEIRO C. Oikonomicon. Un iaje i ual a la l´ogica de la di ecci´on inancie-
a de la emp esa. A Co u˜na: Uni e sidade da Co u˜na, Depa amen o de Em-
p esa, G upo de In es igaci´on en Finanzas y Sis emas de In o maci´on ( ysig);
2017. Recupe ado de h ps://www.udc.es/g upos/ ysig/ca los/oikonomicon/la
mula de black scholes.h ml
45

[13] WILMOTT P., HOWINSON S., DEWYNNE J. The Ma hema ics o Financial
De i a i es. Camb idge Uni e si y P ess. 1995.
[14] ZAUDERER E. Pa ial Di e en ial Equa ions o Applied Ma hema ics. 2aed.
Singapo e: Wiley; 1989.
46