Ecuaciones diferenciales estocásticas con aplicaciones en finanzas

FACULTAD DE MATEM´ ATICAS DEPARTAMENTO DE ECUACIONES DIFERENCIALES Y AN´ ALISIS NUM´ ERICO TRABAJO FIN DE GRADO: ECUACIONES DIFERENCIALES ESTOC ´ ASTICAS CON APLICACIONES EN FINANZAS Luc´ıa Baquei o Vidal Se illa, 2017-2018 Tu o : Ma ´ıa Jos´e Ga ido A ienza ´ Indice gene al Resumen IV In oducci´on VI 1. P elimina es 1 1.1. P obabilidad ............................... 1 1.1.1. Espacios L2y con e gencia en media cuad ´a ica . . . . . . . 2 1.2. P ocesos es oc´as icos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2. Mo imien o B owniano 5 2.1. In oducci´on his ´o ica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2. Mo imien o B owniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3. In eg ales de I ˆo 9 3.1. Ruido ................................... 9 3.2. In eg aldeI ˆo............................... 11 3.2.1. Cons ucci´on de la In eg al de I ˆo . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.2.2. In eg al de S a ono ich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.3. F´o muladeI ˆo .............................. 20 4. Ecuaciones Di e enciales Es oc´as icas 25 4.1. Exis encia y Unicidad de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5. Aplicaci´on a la Ma em´a ica Financie a 33 5.1. In oducci´on his ´o ica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.2. Concep os inancie os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.3. Fo mulaci´on Ma em´a ica del p oblema P ecio Opci´on . . . . . . . . 39 5.4. F´o mula de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ii Resumen En es e abajo amos a e como se compo a, a di e encia de una in eg al de Riemann-S ieljes, una in eg al es oc´as ica. Desa olla emos el c´alculo es oc´as ico y lo emplea emos pa a es udia las ecuaciones di e enciales es oc´as icas, dando un eo ema de exis encia y unicidad de soluciones. Finalmen e, es udia emos c´omo se aplican es as ecuaciones en Finanzas, exponiendo el modelo de Black&Scholes muy ecu ido en el me cado inancie o. Modela emos un p oblema de me cado median e ecuaciones di e enciales es oc´as icas y da emos una soluci´on expl´ıci a median e la ´o mula de Black-Scholes. Abs ac In his documen we a e going o discusse how i beha es, in con as o a Riemann- S ieljes in eg al, a s ochas ic in eg al. We will de elop he s ochas ic calculus and we will use i o s udy he s ochas ic di e en ial equa ions gi ing a heo em o exis ence and uniqueness o solu ions. Finally, we will s udy how hese equa ions a e applied in inance, exposing he Black&Scholes model e y eso ed in he inancial ma ke . We will model a p oblem o ma ke h ough s ochas ic di e en ial equa ions, and gi e an explici solu ion using he Black-Scholes o mula. i In oducci´on La mo i aci´on pa a la ealizaci´on de es e abajo ha sido aden a me en el campo de la Ma em´a ica Financie a, donde p e endo desa olla mi u u a ca e a labo al. Ha sido un ´a duo abajo pe sonal, pe o a la ez muy en iquecedo . Empleando los conocimien os adqui idos en el G ado en Ma em´a icas, he in es igado nue as ´a eas de la ma em´a ica que desconoc´ıa, bas´andome en los lib os [10] y [8] y com- plemen ´andolo con la b´usqueda de a ´ıculos y esis doc o ales que me die an una mayo isi´on del ema a a a . El anscu so del abajo que se a a expone se ´a guiado po la b´usqueda de la esoluci´on al siguien e p oblema: P oblema 1 Supongamos que una pe sona iene un bien o ac i o. El p ecio X de su ac i o en el iempo a ´ıa en el me cado de acue do a la siguien e ecuaci´on di e encial es oc´as ica, dX d =cX +σX ·“ uido” , donde cyσson cons an es. L´ogicamen e, esa pe sona es ´a in e esada en p edeci el alo de su ac i o en un u u o, conociendo el compo amien o que es e ha enido has a el p esen e, pa a oma las decisiones inancie as que m´as le con engan. Es a ecuaci´on iene una pa e de e minis a, ´acil de in e p e a . El p oblema su ge con el ´e mino que in oduce la alea o iedad en la ecuaci´on, lo que llamamos uido. Po an o, nues o obje i o se ´a in e p e a odos los ´e minos de la ecuaci´on y busca posibles soluciones. En el Cap´ı ulo 1 se enuncian concep os p e ios de p obabilidad que se ´an em- pleados pos e io men e, as´ı como la exposici´on de p ocesos es oc´as icos, p esen es en odo el abajo. En el Cap´ı ulo 2 nos cen a emos en un p oceso es oc´as ico en pa icula , el mo imien o b owniano. En es e cap´ı ulo se puede encon a una b e e in oducci´on his ´o ica de c´omo ue descubie o, su de inici´on, ca ac e ´ıs icas y algunos esul ados a des aca . El Cap´ı ulo 3 es un bloque m´as ex enso donde se in e p e a el ´e mino que in- oduce alea o iedad en la ecuaci´on es oc´as ica del p oblema plan eado, es deci , el uido. Ha emos una p ime a ap oximaci´on in e p e ando el uido como un p oceso es oc´as ico pe o e emos que no es su icien e, po lo que debemos exigi le el cumpli- mien o de algunas condiciones m´as, de iniendo as´ı el p oceso de uido blanco. Aho a bien, al sus i ui el uido po el p oceso de uido blanco en la ecuaci´on del p oblema i plan eado llega emos a o a enc ucijada: p oba la exis encia de la in eg al esul- an e espec o al mo imien o b owniano, el cual iene a iaci´on no aco ada y es no di e enciable en (casi) ning´un pun o po lo que no sigue el c´alculo in eg al cl´asico, y como esol e dicha in eg al. La soluci´on a es e dilema la encon a emos median e el c´alculo es oc´as ico con la cons ucci´on de la In eg al de I ˆo y la F´o mula o Lema de I ˆo. Una ez solucionado el p oblema de la in eg al de I ˆo, en el Cap´ı ulo 4 ya es amos en disposici´on de es udia la Ecuaci´on Di e encial Es oc´as ica, pues conocemos odos los ´e minos que la componen. Pe o aho a debemos da un esul ado pa a ga an iza que enga soluci´on y es a sea ´unica, po lo que exponemos el Teo ema de Exis encia y Unicidad de Soluciones. Po ´ul imo, en el Cap´ı ulo 5 damos soluci´on al p oblema plan eado, aden ´ando- nos en la Ma em´a ica Financie a. En es a ´ul ima pa e, empezamos dando una in o- ducci´on his ´o ica pa a con ex ualiza de d´onde y po qu´e ha su gido es a nue a ´a ea de la ma em´a ica. Pos e io men e, de ini emos unos concep os b´asicos en inanzas, necesa ios pa a el buen en endimien o del p oblema que nos ocupa. Y, po ´ul imo, e emos una aplicaci´on de odo lo es udiado en los cap´ı ulos an e io es median e el modelado del p ecio de opciones en el me cado. Es o se ´a posible g acias a la F´o mu- la p ecio opci´on de Black-Scholes descubie a po Fishche Black y My on Scholes en 1973, g acias a la cual ue on gala donados con el P emio Nobel de Econom´ıa en 1997, pues supuso una he amien a indispensable hoy d´ıa en las ansacciones de opciones y o os de i ados inancie os. ii Cap´ı ulo 1 P elimina es 1.1. P obabilidad Vamos a epasa unos concep os b´asicos de p obabilidad p esen es en es e a- bajo. De aqu´ı en adelan e conside amos el espacio de p obabilidad que cons a de una e na o denada (Ω,F,P). Ω , llamado espacio mues al y cuyo elemen o ´ıpico es ω, es un conjun o a bi- a io que en nues o caso ep esen a el conjun o de odos los posibles esul ados de un expe imen o alea o io. F, llamada σ-´algeb a, es una colecci´on no acia de sub- conjun os de Ω ce ada bajo las ope aciones de complemen os y uniones nume ables, y cuyos elemen os se les llama e en os o conjun os medibles. La pa eja de es os dos (Ω,F) se le denomina espacio medible (en pa icula , si B(R) es la σ-´algeb a m´as peque˜na que con iene a odos los in e alos abie os de R, en onces se iene el espa- cio medible (R,B(R)) y los elemen os de B(R) se denominan Bo elianos oconjun os de Bo el medibles. Po ´ul imo, P, llamada medida de la p obabilidad, es una unci´on P:F → [0,1] que cumple los siguien es axiomas (Kolmogo o , 1993): P(Ω) = 1 σ-adi i a: si A1,A2,... es una sucesi´on de e en os, disjun os dos a dos =⇒ P(∪∞ n=1 An) = P∞ n=1 P(An). Las medidas de p obablididad nos pe mi en ep esen a las leyes del aza . As´ı, el n´ume o P(A) es una medida de la ecuencia con la que se obse a el e en o Aal ealiza un expe imen o alea o io. De inici´on 1.1.1 (Va iable alea o ia) Una a iable alea o ia es una unci´on X: Ω→R al que pa a cualquie B∈ B(R), el conjun o X−1B={ω∈Ω : X(ω)∈B} es un elemen o de F. AXse le denomina unci´on medible en e los espacios medibles (Ω,F)y(R,B(R)) o unci´on F-medible 1 8 Cap´ı ulo 3 In eg ales de I ˆo Re omando nues o obje i o de in e p e a odos los ´e minos y es udia posibles soluciones de las ecuaciones con o ma dX d =b( , X ) + σ( , X )·“ uido” ,(3.1) donde byσson unciones dadas y amos aho a a busca una in e p e aci´on ma- em´a ica pa a el “ uido”. 3.1. Ruido Veamos b e emen e que es es o del “ uido”, que es u ilizado en odas las apli- caciones de las ecuaciones di e enciales es oc´as icas pa a modela la din´amica del sis ema some ido a in luencias ex e nas. El uido es una se˜nal alea o ia que iene ca ac e ´ıs icas y p opiedades es ad´ıs i- cas. Una de ellas, la densidad espec al (po encia y dis ibuci´on en el espec o de ecuencia), es la que se u iliza pa a di e encia los ipos de uidos y su clasi icaci´on se hace po colo es. Al ipo de p ocesos en los que la unci´on espec al no es una cons an e se les denomina uido de colo , po el con a io, en los que s´ı lo son se les denomina uido blanco. Es e ´ul imo es el ipo de uido que nos in e esa pa a nues o p oblema. Nos cen a emos en el caso del uido 1-dimensional. Es azonable pensa en un p oceso es oc´as ico W pa a ep esen a el uido, quedando la ecuaci´on (3.1) de la o ma, dX d =b( , X ) + σ( , X )W .(3.2) Adem´as, bas´andonos en si uaciones eales de di e sos campos como po ejemplo en Ingenie ´ıa, W debe ia cumpli al menos las siguien es p opiedades: i) Si 16= 2en onces W 1yW 2son independien es. ii) {W }eses aciona io, es deci , la dis ibuci´on conjun a de {W 1+ ,··· , W k+ } no depende de . iii) E[W ] = 0 pa a odo . 9 P oblema:No exis e ning´un p oceso es oc´as ico “ azonable” que sa is aga las condiciones i)yii), pues W no pod ´ıa ene ene ayec o ias con inuas. Si adem´as le pedimos que E[W2 ]=1, en onces la unci´on ( , w)→W (w) ampoco puede se medible, con espec o a la σ-´algeb a B × F, donde Bes la σ-´algeb a de Bo el en [0,∞]. Soluci´on: Rep esen amos W como un p oceso es oc´as ico llamado p oceso de u´ıdo blanco. De inici´on 3.1.1 (Ruido blanco) Es una se˜nal alea o ia (p oceso es oc´as ico) que se ca ac e iza po la no co elaci´on es ad´ıs ica de sus alo es de se˜nal en dos iem- pos di e en es y consecuen emen e, su densidad espec al de po encia es cons an e, es deci , su g ´a ica es plana. Po an o, sus alo es son independien es e id´en icamen e dis ibu´ıdos a lo la go del iempo y, adem´as, iene media nula. No a 3.1.2 Desde un pun o de is a ma em´a ico, es e uido es una idealizaci´on de una si uaci´on eal en la que, gene almen e, la densidad espec al no es cons an e pues no malmen e los alo es de la se˜nal en un iempo dependen en cie a medida de los que oma en o o iempo sdis in o de . Po an o, amo a in en a eesc ibi la ecuaci´on (3.2) eemplazando W po un p oceso es oc´as ico adecuado. Sea 0 = 0< 1<··· < m= y cogiendo la e si´on disc e a de (3.2): Xk+1 −Xk =b( k, Xk)∆ k+σ( k, Xk)Wk∆ k,(3.3) donde Xj=X( j), Wk=W k,∆ k= k+1 − k. Adem´as, amos a eemplaza la no aci´on Wkpo V , donde {V } ≥0es un p oceso es oc´as ico adecuado y consecuen emen e cambiamos Wk∆ kpo ∆Vk=V k+1 −V k. Las p opiedades i), ii) y iii) que asumimos an es pa a W nos indican que aho a V debe ia ene inc emen os independien es con media 0 y esul a que el ´unico p oceso es oc´as ico con inc emen os es aciona ios independien es con media ce o y ayec o ias con inuas es el mo imien o b owniano B ( e [6]). Po an o, asumien o en la ecuaci´on (3.3) que V =B ob enemos: Xk=X0+ k−1 X j=0 b( j, Xj)∆ + k−1 X j=0 σ( j, Xj)∆Bj. Se puede p oba que el l´ımi e del lado de echo de la ecuaci´on an e io exis e cuando ∆ j→0 as´ı que, haciendo uso de la no aci´on habi ual de in eg aci´on ob e- nemos, X =X0+Z 0 b(s, Xs)ds + “ Z 0 σ(s, Xs)dBs” (3.4) y asumimos en onces que en la ecuaci´on (3.1), X =X (ω) es un p oceso es oc´as ico el cual sa is ace la ecuaci´on (3.4). 10 3.2. In eg al de I ˆo Nues o obje i o aho a es p oba la exis encia de “Z 0 (s, w)dBs(w)00 , donde B (w) es un mo imien o b owniano 1-dimensional y una clase de unciones muy amplia : [0,∞]×Ω→R. Suponemos 0 ≤S < T y una unci´on ( , w) dada, la cual enemos que es udia sus ca ac e ´ıs icas pa a de ini co ec amen e la in eg al ZT S (s, w)dB (w).(3.5) Vamos a empeza de inidiendo (3.5) pa a unciones simples y luego las ex ende- mos po ap oximaci´on. Po an o, podemos empeza de iniendo de la o ma φ( , ω) = X j≥0 ej(ω)·χ[j2−n,(j+1)2−n)( ), donde χes la uncion ca ´ac e ´ıs ica y nun n´ume o na u al. Po an o, sus i uyendo en (3.5) end iamos ZT S φ( , ω)dB (ω) = X j≥0 ej(ω)B j+1 −B j(ω),(3.6) donde k= (n) k=   k·2−nsi S≤k·2−n≤T Ssi k·2−n<S Tsi k·2−n> T    P oblema 2 La a iaci´on de la ayec o ia del mo imien o b owniano es demasiado g ande pa a pode de ini la ecuaci´on (3.5) en el sen ido de Riemann-S ieljes. De hecho, el mo imien o b owniano no sa is ace los equisi os necesa ios del c´alculo in ini esimal adicional y necesi amos de ini una nue a in eg al pa a pode in eg a una unci´on no di e enciable en (casi) ning´un pun o y de a iaci´on in ini a en cada in e alo de iempo. Vamos a e un ejemplo donde podemos comp oba es e p oblema ´acilmen e. Ejemplo 3.2.1 Conside amos dos unciones, φ1( , ω) = Xj≥0Bj·2−n(ω)·χ[j·2−n,(j+1)2−n)( ) φ2( , ω) = Xj≥0B(j+1)·2−n(ω)·χ[j·2−n,(j+1)2−n)( ) luego, EZT 0 φ1( , ω)dB (ω)=X j≥0 EB j(B j+1 −B j)= 0 , 11 ya que {B } iene inc emen os independien es. Pe o, EZT 0 φ2( , ω)dB (ω)=X j≥0 EB j+1 ·(B j+1 −B j) =X j≥0 E(B j+1 −B j)2=T , ya que E(B −Bs)2= ( −s)si ≥s. Es e ejemplo pone de mani ies o que, aunque φ1yφ2son ap oximaciones de B (ω), la in eg al no es ´a bien de inida. El mo i o p incipal es el dado en P oblema 2. Pa a da soluci´on a es e p oblema amos a de ini una nue a o ma de in eg aci´on, la In eg al de I ˆo. 3.2.1. Cons ucci´on de la In eg al de I ˆo Vamos a de ini en onces la in eg al de I ˆo, p ime o pa a p ocesos simples y despu´es, po ap oximaci´on, pa a p ocesos m´as gene ales. En gene al, pa ece na u al ap oxima una unci´on dada ( , ω) po X j ( ∗ j, ω)·χ[ j, j+1) ( ) (3.7) donde los pun os ∗ jpe enecen al in e alo [ j, j+1] y de inimos RT S ( , ω)dB (ω) como el l´ımi e de Pj ( ∗ j, ω)B j+1 −B j(ω) cuando n→ ∞. Aunque los pun os ∗ jpueden se escogidos de di e sas o mas den o del in e alo [ j, j+1], nos amos a cen a en el m´as ap opiado pa a de ini la in eg al de I ˆo que es de la o ma, ∗ j= j(el pun o izquie do del in e alo). El p oceso de ap oximaci´on que amos a lle a a cabo nos indica que iene la p opiedad de que cada unci´on ω→ ( j, ω) solo depende del compo amien o de Bs(ω) has a el iempo j. Siguiendo es os equisi os, amos a de ini unos concep os p e ios an es de con- ui la in eg al de I ˆo. De inici´on 3.2.2 Sea B (ω)un mo imien o b owniano n-dimensional, de inimos F =F(n) como la σ-´algeb a gene ada po las a iables alea o ias {Bi(s)}1≤i≤n,0≤s≤ . En o as palab as, F es la σ-´algeb a m´as peque˜na que con iene a odos los conjun os de la o ma, {ω;B 1(ω)∈F1,··· , B k(ω)∈Fk}, donde j≤ yFj⊂Rnson conjun os de Bo el, siendo j≤k= 1,2,··· (Asumiendo que odos los conjun os de medida ce o es an inclu´ıdos en F ). In e p e amos con enien emen e F como “la his o ia de Bshas a el impo ”. Adem´as, como hemos is o an e io men e, una unci´on h(ω) se dice que es F -medible si y solo si, hpuede esc ibi se como el l´ımi e de sumas pun o po pun o de unciones de la o ma, g1(B 1)g2(B 2)···gk(B k), 12 donde g1,··· , gkson unciones con inuas aco adas y j≤ pa a j≤k,k= 1,2,···. In ui i amen e, que hsea F -medible signi ica que el alo de h(ω) puede se de e minado de los alo es de Bs(ω) pa a s≤ . Po ejemplo, h1(ω) = B /2(ω) es F -medible, mien as que h2(ω) = B2 (ω) no lo es. Fij´emonos, adem´as, que Fs⊂ F pa a odo s< , es deci , F es c ecien e, y F ⊂ F pa a odo . De inici´on 3.2.3 Sea {N } ≥0una amilia c ecien e de σ-´algeb as de subconjun os de Ω. Un p oceso g( , ω) : [0,∞)×Ω→Rnse dice que es N -adap ado si ∀ ≥0la unci´on ω→g( , ω) es N -medible. Po an o, el p oceso h1( , ω) = B /2es F -adap ado mien as que h2( , ω) = B2 (ω) no lo es. Aho a ya es amos en disposici´on de pode desc ibi la clase de unciones pa a las cuales de ini emos la in eg al de I ˆo. De inici´on 3.2.4 V=V(S, T)es la clase de unciones ( , ω) : [0,∞)×Ω→R al que 1. ( , ω)→ ( , ω)es B ×F, donde Bdeno a la σ-´algeb a de Bo el en [0,∞). 2. ( , ω)es F -adap ado. 3. EhRT S ( , ω)2d i<∞. Vamos a e como de ini la in eg al de I ˆo pa a unciones ∈ V, I[ ](ω) = ZT S ( , ω)dB (ω), donde B es el mo imien o b owniano 1-dimensional. P ime o amos a de ini I[φ] pa a una clase de unciones simples φy despu´es, demos ando que cada ∈ V puede se ap oximada po esas unciones simples, de ini emos R dB como el l´ımi e de RφdB cuando φ→ . Pa a ello amos a in oduci p e iamen e la de inici´on de unci´on elemen al y la isome ia de I ˆo pa a es e ipo de unciones. De inici´on 3.2.5 Una unci´on φ∈ V se dice que es elemen al si es de la o ma φ( , ω) = X j ej(ω)·χ[ j, j+1)( ).(3.8) 13 Como φ∈ V, cada unci´on ej iene que se F -medible. Po an o, usando el mismo ejemplo (3.2.1) an e io emos ´acilmen e que la unci´on φ1es elemen al mien as que φ2no lo es, pues la espe anza de la in eg al espec o del mo imien o b owniano es dis in a de ce o. Po an o, de acue do a la ecuaci´on (3.6) de inida p e iamen e, de inimos la in eg al pa a unciones elemen ales φ( , ω) de la o ma ZT S φ( , ω)dB (ω) = X j≥0 ej(ω)[B j+1 −B j](ω). Lema 3.2.6 (Isome ´ıa de I ˆo) Si la unci´on φ( , ω)es aco ada y elemen al en- onces, E"ZT S φ( , ω)dB (ω)2#=EZT S φ( , ω)2d . Demos aci´on. Usando la siguien e no aci´on, ∆Bj=B j+1 −B j, enemos que E[eiej∆Bi∆Bj] = 0 si i6=j E[ej]2·( j+1 − j) si i=j pues eiej∆Biy ∆Bjson independien es si i<j. Po an o, E"ZT S φdB2#=X i,j E[eiej∆Bi∆Bj] = X j E[(ej)2(∆Bj)2] =X j E[e2 j]E[(B j+1 −B j)2] = X j E[e2 j]( j+1 − j) =EZT S φ2d . Lo que amos a hace es ex ende la de inici´on de unciones elemen ales a un- ciones en Ven 3 pasos, usando la Isome ´ıa de I ˆo 3.2.6 que acabamos de demos a : Paso 1. Sea g∈ V una unci´on aco ada y g(·, ω)con inua pa a cada ωen onces exis en unciones elemen ales φn∈ V al que EZT S (g−φn)2d −→ 0cuando n→ ∞ . Demos aci´on. Se de ine φn( , ω) = Pjg( j, ω)·χ[ j, j+1)( ). Po an o, φnes elemen al ya que g∈ V y ZT S (g−φn)2d −→ 0 cuando n→ ∞ ∀ω , ya que g(·, ω) es con inua ∀ω. Po consiguien e, EhRT S(g−φn)2d i−→ 0 cuando n→ ∞, po con e gencia aco ada. 14 Paso 2. Sea h∈ V una unci´on aco ada en onces exis en unciones aco adas gn∈ V al que gn(·, ω)es con inua pa a odo ωyn, y EZT S (h−gn)2d −→ 0. Demos aci´on. Suponemos |h( , ω)| ≤ Mpa a odo ( , ω). Pa a cada n, sea ψn una unci´on con inua no-nega i a en R al que 1. ψn(x) = 0 pa a X≤ −1 nyx≥0 2. R∞ −∞ ψn(x)dx = 1 se de ine gn( , ω) = Z 0 ψn(s− )h(s, ω)ds . En onces gn(·, ω) es con inua pa a cada ωy|gn( , ω)| ≤ M. Ya que h∈ V, podemos e que gn( , ·) es F -medible pa a odo . Adem´as, ZT S (gn(s, ω)−h(s, ω))2ds −→ 0 cuando n→ ∞,∀ω , ya que {ψn}ncons i uye una ap oximaci´on iden idad. Asi que, po con e gencia aco ada EZT S (h( , ω)−gn( , ω))2d −→ 0 cuando n→ ∞ . Paso 3. Sea ∈ V en onces exis e una sucesi´on {hn} ⊂ V al que cada unci´on hnes aco ada pa a cada ny EZT S ( −hn)2d −→ 0 cuando n→ ∞ . Demos aci´on. Cogiendo hn( , ω) =    −nsi ( , ω)<−n ( , ω) si −n≤ ( , ω)≤n nsi ( , ω)> n . En onces, po con e gencia dominada ya lo end ´ıamos demos ado. Ya hemos comple ado el p ocedimien o de ap oximaci´on, po lo que es amos en disposici´on de comple a la de inici´on de la in eg al de I ˆo ZT S ( , ω)dB (ω) pa a ∈ V . Si ∈ V, en onces escogemos, po los Pasos 1-3, unciones elemen ales φn∈ V ales que EZT S| −φn|2d −→ 0. 15 Po an o, de inimos I[ ](ω) := ZT S ( , ω)dB (ω) := l´ım n→∞ ZT S φn( , ω)dB (ω). El l´ımi e exis e como un elemen o de L2(P), ya que nRT Sφn( , ω)dB (ω)oes una se ie de Cauchy en L2(P), po la Isome ´ıa de I ˆo 3.2.6. Aho a que ya imos como se cons uye la In eg al de I ˆo podemos da una de i- nici´on bien jus i icada. De inici´on 3.2.7 (In eg al de I ˆo) Dada una unci´on ∈ V(S, T ), la in eg al de I ˆo de (de SaT) es ´a de inida po ZT S ( , ω)dB (ω) = l´ım n→∞ ZT S φn( , ω)dB (ω)(l´ımi e en L2(P))(3.9) donde {φn}es una sucesi´on de unciones elemen ales ales que l´ım n→∞ EZT S ( ( , ω)−φn( , ω))2d = 0 .(3.10) Sabemos que exis e una sucesi´on {φn}que sa is ace (3.10) po los Pasos 1-3 an e io es. Adem´as, po la Isome ´ıa de I ˆo 3.2.6 el l´ımi e en (3.9) exis e y no depende de la sucesi´on {φn}escogida mien as se siga cumpliendo (3.10). Co ola io 3.2.8 (Isome ´ıa de I ˆo pa a p ocesos gene ales) Pa a oda unci´on ∈ V(S, T)se cumple, E"ZT S ( , ω)dB 2#=EZT S 2( , ω)d . Tenemos la In eg al de I ˆo de inida pa a un in e alo ijo [S, T]. Aho a amos a e la, no como una a iable alea o ia sino como un p oceso es oc´as ico, que es lo que que emos ep esen a . Tal p oceso no es necesa iamen e con inuo, sin emba go exis e una e si´on con inua que esul a se una ma ingala espec o a la il aci´on na u al del mo imien o b owniano. Teo ema 3.2.9 Sea ∈ V(0, T ), pa a ∈[0, T]exis e una e sion -con inua de Z 0 (s, ω)dBs(ω), es deci , exis e un p oceso es oc´as ico -con inuo J en (Ω,F, P) al que PJ =Z 0 dB= 1 ∀ , 0≤ ≤T . 16 Demos aci´on: (Ve [10], Teo ema 3.2.5, p´ag 32)) Co ola io 3.2.10 Sea ( , ω)∈ V(0, T)pa a odo T, en onces M (ω) = Z 0 (s, ω)dBs es una ma ingala con espec o a F y P"sup 0≤ ≤T|M | ≥ λ#≤1 λ2EZT 0 (s, ω)2dssiendo λ, T > 0. Demos aci´on: (Ve [10], Co ola io 3.2.6, p´ag 33)) Co ola io 3.2.11 Si ( , ω)∈ V(S, T), n( , ω)∈ V(S, T)pa a n= 1,2,··· y EhRT S( n( , ω)− ( , ω))2d i−→ 0cuando n→ ∞, en onces l´ım n→∞ ZT S n( , ω)dB (ω) = ZT S ( , ω)dB (ω)en L2(P). Vamos a e un ejemplo de como a on a ´ıamos la In eg al de I ˆo Ejemplo 3.2.12 Asumiendo que B0= 0, en onces Z 0 BsdBS=1 2B2 −1 2 . Demos aci´on: Cogiendo φn(s, ω) = PBj(ω)·χ[ j, j+1](s), donde Bj=B j, en onces EZ 0 (φn−Bs)2ds=E X jZ j+1 j (Bj−Bs)2ds  =X jZ j+1 j (s− j)ds =X j 1 2( j+1 − j)2−→ 0 cuando ∆ j→0. Po el Co ola io 3.2.11, Z 0 BsdBs= l´ım ∆ j→0Z 0 φndBs= l´ım ∆ j→0X j Bj∆Bj. Aho a, ∆(B2 j) = B2 j+1 −B2 j= (Bj+1 −Bj)2+ 2Bj(Bj+1 −Bj) = (∆B2 j)+2Bj∆Bj. 17 Aplicando la ´o mula de I ˆo, dY =∂g ∂ d +∂g ∂xdB +1 2 ∂2g ∂x2(dB )2=B dB +1 2(dB )2=B dB +1 2d . Po an o d(1 2B2 ) = B dB +1 2d . En o as palab as, Z 0 BsdBs=1 2B2 −1 2 , lo que ya hab´ıamos is o en el Ejemplo 3.2.12. Ejemplo 3.3.8 Analiza emos aho a la in eg al Z 0 sdBs. Del c´alculo cl´asico pa ece azonable que debe apa ece el ´e mino B , asi que cogemos g( , x) = x y Y =g( , B ) = B . Aplicando la ´o mula de I ˆo, dY =B d + dB + 0 es deci , d( B ) = B d + dB . Lo que ambien podemos exp esa como, B =Z 0 Bsds +Z 0 sdBs o, Z 0 sdBs= B −Z 0 Bsds . Es a es la ´o mula cl´asica de la in eg aci´on po pa es ( ´engase en cuen a que B0= 0). 24 Cap´ı ulo 4 Ecuaciones Di e enciales Es oc´as icas En es e cap´ı ulo amos a analiza la exis encia y unicidad de soluciones de ecua- ciones di e enciales es oc´as icas del ipo dX d =b( , X ) + σ( , X )W , b( , x)∈R, σ( , x)∈R(4.1) donde W ep esen a el uido blanco 1-dimensional. Como hemos is o en el cap´ı ulo an e io , la in e p e aci´on de I ˆo de la ecuaci´on (4.1) es que X e i ique la ecuaci´on X =X0+Z 0 b(s, X )ds +Z 0 σ(s, Xs)dBs o en o ma di e encial, dX =b( , X )d +σ( , X )dB .(4.2) Po lo an o, de (4.1) a (4.2) solo hemos eemplazado o malmen e el uido blanco W po dB d en (4.1) y lo hemos mul iplicado po d . Es na u al p egun a se c´omo esol e una ecuaci´on de es e ipo y la F´o mula de I ˆo nos a a ayuda mucho en es e menes e , como amos a e en el siguien e ejemplo. Ejemplo 4.0.9 Conside amos el modelo de c ecimien o poblacional dN d =a N , N0dado donde a = +αW ,W = uido blanco, α=cons an e. Asumimos que = =con an e. Po la in e p e aci´on de I ˆo (4.2), es a ecuaci´on es equi alen e a dN = N d +αN dB (4.3) odN N = d +αdB . 25 Po an o, Z 0 dNs Ns = +αB (B0= 0) .(4.4) Pa a e alua la in eg al de la pa e izquie da de la igualdad an e io usamos con e- nien emen e la ´o mula de I ˆo pa a la unci´on g( , x) = ln x;x > 0 y ob enemos d(ln N ) = 1 N dN +1 2−1 N2 (dN )2 =dN N −1 2N2 α2N2 d =dN N −1 2α2d . Po an o dN N =d(ln N ) + 1 2α2d as´ı que de (4.4) conclu´ımos que ln N N0 = ( −1 2α2) +αB o N =N0·e(( −1 2α2) +αB ) Po compa aci´on, la in e p e aci´on de S a ono ich de (4.3), dN = N d +αN ◦dB hab ´ıa enido la soluci´on N =N0·e( +αB ). Ambas soluciones N yN son p ocesos del ipo X =X0·e(µ +αB )(µ, α cons an es). Es os p ocesos son llamados mo imien os b ownianos geom´e icos y son muy impo an es pa a modela p ecios alea o ios en econom´ıa. 4.1. Exis encia y Unicidad de soluciones Aho a que ya imos como se esol e ´ıan algunas Ecuaciones Di e enciales Es- oc´as icas es na u al p egun a se, ¿exis e alg´un esul ado que nos ga an ice la exis- encia y unicidad de ales soluciones? La espues a en s´ı, medien e los eo emas de exis encia y unicidad que amos a e . Teo ema 4.1.1 Sea T > 0yb(·,·) : [0, T]×Rn→Rn,σ(·,·) : [0, T ]×Rn×m unciones con inuas medibles ales que |b( , x)−b( , y)| ≤ L|x−y| |σ( , x)−σ( , y)| ≤ ˆ L|x−y| 0≤ ≤T x, y ∈Rn 26 pa a algunas cons an es ap opiadas L, ˆ Ly |b( , x)| ≤ C(1 + |x|) |σ( , x)| ≤ ˆ C(1 + |x|) 0≤ ≤T x ∈Rn pa a algunas con an es ap opiadas C, ˆ C(donde |σ|2=P|σij|2y|·|deno a la no ma eucl´ıdea). Sea Zuna a iable alea o ia independien e de la σ-´algeb a F(m) ∞gene ada po Bs(·), s ≥0y al que E[|Z|2]<∞, Z =Z(ω). En onces la ecuaci´on di e encial es oc´as ica dX =b( , X )d +σ( , X )dB ,0≤ ≤T , X0=Z iene una ´unica soluci´on -con inua, X (ω), siendo es a adap ada a la il aci´on FZ gene ada po ZyBs(·)con s≤ , y cumpliendo EZT 0|X |2d <∞. Demos aci´on: Exis encia: 1o) Como en el caso de e minis a, la exis encia de una soluci´on se ´a p obada u ilizando una sucesi´on ecu en e, X(0)( ) = Z X(k+1)( ) = Z+R 0b(s, X(k) s)ds +R 0σ(s, X(k) s)dBs. Veamos que X(k)es ´a bien de inida y que X(k)∈L2([0, T]×Ω). Usando inducci´on, pa a k= 0 es i ial pues Z∈L2([0, T]×Ω). Supongamos que se cumple pa a k, como X(k)∈L2([0, T]×Ω) y |σ( , X(k) )|2≤ˆ C2(1 + |X(k) |)2en onces σ( , X(k) )∈ L2([0, T]×Ω). An´alogamen e, como ambien X(k)∈L([0, T]×Ω) y |b( , X(k) )| ≤ C(1 + |X(k) |) en onces b( , X(k) )∈L([0, T]×Ω). Po an o, X(k+1) es ´a bien de inido. Pa a odo ∈[0, T], eamos que X(k+1) ∈L2(Ω). E|X(k) |2≤3E|Z|2+ 3E|Z 0 b(s, X(k) s)ds|2 + 3EZ 0 σ(s, X(k) x)dBs|2. Es imando las desigualdades, E|Z 0 b(s, X(k) s)ds|2≤ETZT 0|b(s, X(k) s)|2ds ≤TC2EZT 0 (1 + |X(k) s|)2ds ≤2TC2(T+||X(k)||2 L2([0,T]×Ω)) 27 y, usando la Isome ´ıa de I ˆo, E|Z 0 σ(s, X(k) x)dBs|2≤EZ 0|σ(s, X(k) s)|2ds ≤ˆ C2EZT 0 (1 + |X(k) x|2ds ≤2ˆ C2(T+||X(k)||2 L2([0,T]×Ω)). Po an o, pa a odo ∈[0, T] E|X(k+1) |2≤3E(|Z|2) + 3(2TC2+ 2 ˆ C2)(T+||X(k)||2 L2([0,T]×Ω)) | {z } D . In eg ando con espec o a , conlu´ımos que X(k+1) ∈L2([0, T]×Ω) como que ´ıamos e , es deci , EZT 0|X(k+1) |2d ≤DT < ∞. 2o) Veamos que X(k)con e ge a la soluci´on de la ecuaci´on es oc´as ica. Empe- cemos p obando que, dk( ) := E|X(k) −X(k−1) |2≤(M )k k!∀k≥1 donde M=M(C, ˆ C, L, ˆ L, T, E|Z|2). Usamos nue amen e inducci´on. Pa a k= 1, d1( ) = E|x(1) −Z|2 ≤2E|Z 0 b(s, Z)ds|2+ 2E|Z 0 σ(s, Z)dBs|2 ≤2TE Z 0|b(s, Z)|2ds+ 2EZ 0|σ(s, Z)|2ds ≤(2TC2+ 2 ˆ C2)EZ 0 (1 + |Z|2)ds≤2(TC2+ˆ C2)(1 + E[|Z|2]) =M . 28 Suponiendo que se cumple pa a ken onces, dk+1( ) = E|X(k+1) −X(k) |2 ≤2E|Z 0 b(s, X(k) s)−b(s, X(k−1) s)ds|2 + 2E|Z 0 σ(s, X(k) s)−σ(s, X(k−1) s)dBs|2 ≤2TE Z 0|b(s, X(k) s)−b(s, X(k−1) s)|2ds + 2EZ 0|σ(s, X(k) s)−σ(s, X(k−1) s)|2ds ≤(2TL2+ 2ˆ L2)EZ 0|X(k) s−X(k−1) s|2ds ≤2(TL2+ˆ L2)Z 0 Mksk k!ds ≤Mk+1 k+1 (k+ 1)! . como que ´ıamos p oba . 3o) G acias a es a aco aci´on enemos que, ∀0≤ ≤T,nX(k) oes una sucesi´on de Cauchy en L2(Ω,F , P). Po an o, {X ,F } ∈[0,T ]es un p oceso es oc´as ico. Aho a amos a e que X iene una modi icaci´on ˜ X al que X(k) →˜ X uni o memen e en [0, T] casi segu o. Pa a ello p oba emos que X(k) es uni o memen e de Cauchy casi segu o de la siguien e o ma: |X(k) −X(k−1) |2≤2TL2ZT 0|X(k−1) s−X(k−2) s|2ds + 2|Z 0 σ(s, X(k−1) s)−σ(s, X(k−2) s)dBs|2. Po an o, Em´ax 0≤ ≤T|X(k) −X(k−1) |2≤2TL2EZT 0|X(k−1) s−X(k−2) s|2ds+ + 2Em´ax 0≤ ≤T|Z 0 σ(s, X(k−1) s)−σ(s, X(k−2) s)dBs|2. 29 Usando la desigualdad ma ingala enemos que, Em´ax 0≤ ≤T|Z 0 σ(s, X(k−1) s)−σ(s, X(k−2) s)dBs|2 ≤ n X i=1 E     m´ax 0≤ ≤T|Z 0 σi(s, X(k−1) s)−σi(s, X(k−2) s)dBs | {z } ma ingala |2     ≤X i=1 n4E|ZT 0 σi(s, X(k−1) s)−σi(s, X(k−2) s)dBs|2 = 4EZT 0 σ(s, X(k−1) s)−σ(s, X(k−2) s)dBs|2 ≤4ˆ L2EZT 0|X(k−1) s−X(k−2) s|2ds. Luego, Em´ax 0≤ ≤T|X(k) −X(k−1) |2≤(2TL2+ 8ˆ L2)EZT 0|X(k−1) s−X(k−2) s|2ds ≤(2TL2+ 8ˆ L2)ZT 0 Mk−1sk−1 (k−1)! ds ≤CMkTk k!, C =C(T, L, ˆ L). Po an o, Pm´ax 0≤ ≤T|X(k) −X(k−1) | ≥ 1 k2=P|m´ax 0≤ ≤T|X(k) −X(k−1) |2≥1 k4 ≤k4Em´ax 0≤ ≤T|X(k) −X(k+1) |2≤Ck4MkTk k!, y como Pk=1 ∞k4MkTk k!<∞conclu´ımos po el Lema de Bo el Can elli que pa a casi odo ω m´ax 0≤ ≤T|X(k) −X(k−1) |<1 k2pa a k≥k0(ω). Luego, X(k) →˜ X uni o memen e en [0, T] casi segu o y po an o ˜ X iene ayec- o ias con inuas casi segu o. Como ∀0≤ ≤T , X(k) →˜ X casi segu o enemos que X =˜ X casi segu o como que ´ıamos e . Supongamos adecuadamen e que X =˜ X . En onces X e i ica se con inuo y po an o p og esi amen e medible. Como X(k) →X casi segu o ∀ ∈[0, ] conclu´ımos que X(k)( , ω)→X( , ω) casi segu o en L2(λ×P), siendo λla medida de Lebesgue en [0, T]. 4o)Veamos aho a que X∈L2([0, T]×Ω). Pa a ello amos a e que X(k)→X en L2([0, T]×Ω): ||X(k)−X(k−1)||L2([0,T]×Ω) =EZT 0|X(k) s−X(k−1) s|2ds≤Z 0 MkTk+1 (k+ 1)! . 30 Tenemos en onces que X(k)es una sucesi´on de Cauchy en L2([0, T]×Ω). Sea ˜ X su l´ımi e en L2([0, T]×Ω), como X(k)( , ω)→X( , ω) casi segu o en L2(λ×P) conclu´ımos que X( , ω) = ˜ X( , ω) casi segu o en L2(λ×P). 5o) Veamos que X e i ica la ecuaci´on di e encial es oc´as ica. Sea Y := Z+Z 0 b(s, Xs)ds +Z 0 σ(s, Xs)dBs. Y es ´a bien de inida pues X∈L2([0, T]×Ω), |σ( , X )|2≤˜ C2(1 + |X |2) y X∈L([0, T]×Ω), |b( , X )| ≤ C(1 + |X |). Veamos que X(k+1) →Y en L2(Ω) ∀0≤ ≤T: E|Y −X(k+1) |2≤2EZ 0 b(s, Xs)−b(s, X(k) s)|2 + 2E|Z 0 σ(s, X)−σ(s, X(k) s)dBs|2 ≤(2TL2+ 2ˆ L2)EZ 0|Xs−X(k) s|2ds ≤2(TL2+ˆ L2)||X−X(k)||L2([0,T]×Ω) −→ 0. Como X(k+1) −→ X en L2(Ω) enemos que X =Y casi segu o ∀0≤ ≤T, o sea que, X =Z+Z 0 b(s, Xs)ds +Z 0 σ(s, Xs)dBscasi segu o ∀0≤ ≤T como que ´ıamos demos a . Unicidad: Supongamos X, ˜ X∈L2([0, T]×Ω) dos soluciones de una misma ecua- ci´on di e encial es oc´as ica. En onces, X −˜ X =Z 0 b(s, Xs)−b(s, ˜ Xs)ds +Z 0 σ(s, Xs)−σ(s, ˜ Xs)dBs En onces, E|X −˜ X |2≤2E|Z 0 b(s, Xs)−b(s, ˜ Xs)ds|2 + 2E|Z 0 σ(s, Xs)−σ(s, ˜ Xs)dBs|2 ≤(2TL2+ 2ˆ L2)Z 0 E(|Xs−˜ Xs|2)ds . Tomando φ( ) := E|X −˜ X |2yC:= 2TL2+2ˆ L2 enemos que φ( )≤CR 0φ(s)ds. Po el Lema de G onwall enemos que φ≡0, en onces ˜ Xes una modi icaci´on de Xpe o como ambos p ocesos son con inuos casi segu o, conclu´ımos que ˜ XyXson indis inguibles, como que ´ıamos demos a . 31 32 Cap´ı ulo 5 Aplicaci´on a la Ma em´a ica Financie a 5.1. In oducci´on his ´o ica Figu a 5.1: A la izquie da Fische Black (1938-1995). En el cen o: My on Scholes (1941). A la de echa: Robe Me on (1941). Desde que las ci ilizaciones han enido in e eses econ´omicos y sociol´ogicos se han p eocupado po el conocimien o y desa ollo e´o ico ace ca de cues iones i- nancie as, apa eciendo documen ado en uen es como el C´odigo de Hammu abi y el An iguo Tes amen o. A pa i de lo que conocemos como banca mode na, la cual u o sus inicios en I alia a inales del pe iodo medie al y p incipios del Renacimien- o (s.XV), se desa ollan los aspec os b´asicos de las inanzas aunque los elemen os ma em´a icos in oluc ados e an oda ´ıa muy udimen a ios. En 1973 Fische Black y My on Scholes publican un a ´ıculo que se conoce popula men e como el ac a de nacimien o de la eo ´ıa mode na de las inanzas ma ema icas ([2]), donde incluyen una ´o mula expl´ıci a pa a la aluaci´on de opciones de comp a eu opeas. G acias a sus apo aciones, jun o con Me on, al C´alculo Es oc´as ico elemen al, nume osos ma em´a icos y economis as comienzan a ealiza un no able desa ollo ma em´a ico en es e ´ambi o ca ac e izado po su apidez, p o undidad y so is icaci´on de los con- cep os ma em´a icos empleados. En los a˜nos no en a la p o undidad ma em´a ica en las inanzas e´o icas da o o sal o cuan i a i o ubic´andose al ni el de la in es igaci´on ma em´a ica m´as demandan e ´ecnicamen e y ue cuando nume oso ma em´a icos de 33 es esa unci´on u( , x). Ya que el alo VTdel po a olio al iempo de madu aci´on T se ´a φ1(XT), enemos la condici´on inal VT=u(0, XT) = φ1(XT) = m´ax {0, XT−K}.(5.5) Vamos a aplica la o mula de I ˆo al p oceso de alo es V =u(T− , X ). Esc ibimos ( , x) = u(T− , x) y po an o, 1( , x) = −u1(T− , x), 2( , x) = u2(T− , x), 22( , x) = u22(T− , x). Adem´as, eco demos que Xsa is ace la ecuaci´on in eg al de I ˆo X =X0+cZ 0 Xsds +σZ 0 XsdBs. As´ı que, aplicando la exp esi´on equi alen e de la ´o mula de I ˆo (3.17) enemos V −V0= ( , X )− (0, X0) =Z 0 [ 1(s, Xs) + cXs 2(s, Xs) + 1 2σ2X2 s 22(s, Xs)]ds +Z 0 [σXs 2(s, Xs)]dBs =Z 0 [−u1(T−s, Xs) + cXsu2(T−s, Xs) +1 2σ2X2 su22(T−s, Xs)]ds +Z 0 [σXsu2(T−s, Xs)]dBs. (5.6) Po o a pa e, (a , b ) es au o inanciada, es deci , V −V0=Z 0 asdXs+Z 0 bsdβs.(5.7) Adem´as, β =β0e en onces dβ = β0e d = β d , y como V =a X +b β se ob iene b =V −a X β .(5.8) Combinando (5.7) y (5.8) jun o con (5.4) ob enemos o a exp esion pa a V −V0que es, V −V0=Z 0 asdXs+Z 0 Vs−asXs βs βsds =Z 0 asdXs+Z 0 (Vs−asXs)ds =Z 0 casXsds +Z 0 σasXsdBs+Z 0 (Vs−asXs)ds =Z 0 [(c− )asXs+ Vs]ds +Z 0 σasXsdBs. (5.9) 40 Compa ando (5.6) y (5.9), como los coe icien es de las unciones de los p ocesos de I ˆo ienen que se iguales, podemos iden i ica o malmen e los in eg andos de las in eg ales de I ˆo y Riemann de al mane a que a =u2(T− , x) (c− )a X + u(T− , X ) =(c− )u2(T− , X )X + u(T− , X ) =−u1(T− , X ) + cX u2(T− , X ) +1 2σ2X2 u22(T− , X ). Como X puede oma cualquie alo posi i o, podemos esc ibi la ´ul ima igualdad como una ecuaci´on di e encial pa cial de la o ma u1( , x) = 1 2σ2x2u22( , x) + xu2( , x)− u( , x)x > 0 ∈[0, T].(5.10) Po ´ul imo, eco dando nues a condici´on inal (5.5) enemos la condici´on inal de- e minis a u(0, x) = m´ax {x−K, 0}x > 0.(5.11) 5.4. F´o mula de Black-Scholes En gene al, aunque sabemos que exis e una ´unica soluci´on pa a las ecuaciones di e enciales pa ciales, es d´ı icil esol e las expl´ıci amen e. Po ello, esul a so p en- den e pode da una soluci´on a la ecuaci´on (5.10) y de ah´ı la popula idad del plan- eamien o ideado po Black, Scholes y Me on. La ecuaci´on (5.10) con la condicion inal (5.11) ha sido es udiada en p o undidad ( e [14], p´ag.174) y iene la soluci´on expl´ıci a u( , x) = xφ(g( , x)) −Ke− φ(h( , x)) ,(5.12) donde g( , x) = ln(x/K)+( +1 2σ2) σ 1/2, h( , x) = g( , x)−σ 1/2, y φ(x) = 1 2π1/2Zx −∞ e−y2 2dy , x ∈R, es la unci´on de dis ibuci´on no mal es ´anda . Po an o, esol iendo el p oblema plan eado de encon a un p ecio azonable a paga po la opci´on donde se cub a el iesgo que asume el endedo end ´ıamos la amosa F´o mula de Black-Scholes V0=u(T, X0) = X0φ(g(T, X0)) −Ke− φ(h(T, X0)) (5.13) que es el p ecio acional pa a la opci´on de comp a eu opea en el iempo = 0 con p ecio de eje cicio K. 41 El p oceso es oc´as ico V =u(T− , X ) es el alo del po a olio au o inanciado en el iempo ∈[0, T] y la es a egia de au o inanciamien o (a , b ) iene dada po , a =u2(T− , X ) y b =u(T− , X )−a X β .(5.14) Vemos que al iempo de madu aci´on T, la F´o mula de Black-Scholes (5.13) nos p opo ciona el alo ne o del po a olio, φ1= m´ax {XT−K, 0}. Adem´as, podemos obse a que a >0 pa a odo ∈[0, T] pe o b puede oma alo es nega i os, po an o no hay en as co as de acciones pe o si puede se necesa io pe de dine o a una asa de in e ´es cons an e de bonos > 0. Es deci , la opci´on no depende del endimien o del ac i o subyacen e a la opci´on, c. Los pa ´ame os que apa ecen en la ´o mula son que se ob iene de los bonos, p e e iblemen e en la misma unidad mone a ia, con encimien o Ty la ola ilidad σque no es obse able y se calcula gene almen e una es imaci´on del iesgo que los in e so es es ´an an icipando cuando co izan p ecios pa a las opciones, lo que se denomina ola ilidad impl´ıci a. Habi- ualmen e la ola ilidad impl´ıci a es suminis ada po el me cado, aunque se puede es ima empleando la ´o mula de Black-Scholes al e ´es, de e minando cu´al end ´ıa que se la ola ilidad pa a que la p ima p onos icada po la ´o mula sea igual a la co izada. Si quisi´e amos conside a q=u(T, X0), suponiendo que la opci´on de p ecio inicial p6=q, como un alo acional en ´e minos de a bi aje, si p>qaplica ´ıamos la siguien e es a egia: En el iempo = 0 endemos la opci´on al p ecio pe in e imos qen bonos y acciones siguiendo la es a egia de au o inanciamien o (5.14). Pa a acaba amos a e en un ejemplo de como se aplica ´ıa el modelo de Black y Scholes en el me cado ( e [12]). Ejemplo 5.4.1 : Que emos calcula el alo e´o ico de una call eu opea con p ecio de eje cicio 1000eden o de nue e meses, sob e un cie o ac i o subyacen e que ac ualmen e co iza a 800ey cuya ola ilidad se es ima en σ= 30 %.´ Unicamen e a e ec os de c´alculo emplea emos una asa sin iesgo del 1 % anual. Pa a aplica la ´o mula de Black-Scholes, calculamos p ime o g( , x)yh( , x): g(T, X0) =ln 800 1000+ (0,01 + 1 2·0,32)·0,75 0,3·√0,75 =−0,7003 h(T, X0) = −0,7003 −0,3·p0,75 = −0,9601 po an o, la es imaci´on de la p ima, aplicando la ´o mula (5.12) es V0=u(0,75,800) = 800φ(−0,7003) −1000 ·e−0,01·0,75φ(−0,9601) = 26,24e. 42 Obse aci´on 5.4.2 En la modelizaci´on o iginal la ´o mula de Black-Scholes no pe mi e calcula opciones de en a. Sin emba go, podemos adap a el modelo en unci´on de elaciones de equilib io basadas en el a bi aje del me cado o podemos ecu i a la pa idad pu -call, es o es P=V0−X0+K·e− , siendo Pla es imaci´on de la p ima de la opci´on de en a eu opea. Po an o, en las condiciones del ejemplo que acabamos de e , la p ima e´o ica de la opci´on de en a eu opa se ´ıa P=V0−X0+K·e− = 26,24 −800 + 1000 ·e−0,01·0,75 = 218,81e. 43 44 Bibliog a ´ıa [1] BACHELIER L. Th´eo ie de la sp´ecula ion [ esis doc o al]. Facul ad de Ciencias de Pa ´ıs; 1900 o Ann. ` Ecole No m. Sup. 17; 1900, 21–86. [2] BLACK F., SCHOLES M. The p icing o op ions and co po a e liabili ies. J. Poli ical Economy. 81; 1973, 635-654. [3] CARMONA A. Ecuaciones Di e enciales Es oc´as icas[ esis de licencia u a]. Buenos Ai es: Uni e sidad de Buenos Ai es, Facul ad de Ciencias Exac as y Na u ales, Depa amen o de Ma em´a icas; 2009. [4] GAVIL´ AN RUIZ J.M. Modelizaci´on de los me cados inancie os median e ecua- ciones di e enciales es oc´as icas. Aplicaci´on de T´ecnicas no pa am´e icas al caso de los ipos de in e ´es a co o plazo en Espa˜na [ esis doc o al]. Se illa: Uni e - sidad de Se illa, Depa amen o de Econom´ıa Aplicada I; 2007. [5] JAIRO LE ´ ON J., MESA F., C´ ARDENAS P.P. Modelizaci´on Ma em´a ica en la aluaci´on de opciones sob e acciones. Scien ia e Technica A˜no XV 41; 2009. [6] KNIGHT F.B. Essen ials o B ownian Mo ion. Ame ican Ma h. Soc; 1981 [7] MARGALEF-ROIG J., MIRET-ARTES S. C´alculo es oc´as ico aplicado a las inanzas: P ecio de las opciones seg´un el modelo Black-Scholes-Me on y algu- nas gene alizaciones. Mad id: Ins i u o de Ma em´a icas y F´ısica Fundamen al (IMAFF), Consejo Supe io de In es igaciones Cien ´ı icas (CSIC); 2000. [8] MIKOSCH T. Elemen a y Es ochas ic Calculus wi h Finance in View (Vol. 6). 2aed. Singapo e: Wo ld Scien i ic; 1999. [9] MORO EGIDO E. Es udio anal´ı ico y num´e ico de ecuaciones di e enciales es- oc´as icas: Aplicaci´on a la Mec´anica Es ad´ıs ica [ esis doc o al]. Legan´es: Uni- e sidad Ca los III, Depa amen o de Ma em´a icas; 1999. [10] OKSENDAL B. S ochas ic Di e en ial Equa ions. An In oduc ion wi h Appli- ca ions. 6aed. Blinde n: Sp inge ; 2002. [11] OLEAGA G. Sob e la ecuaci´on de Black-Scholes. Bol. Ma 18 (1); 2011, 85-104. [12] PI˜ NEIRO C. Oikonomicon. Un iaje i ual a la l´ogica de la di ecci´on inancie- a de la emp esa. A Co u˜na: Uni e sidade da Co u˜na, Depa amen o de Em- p esa, G upo de In es igaci´on en Finanzas y Sis emas de In o maci´on ( ysig); 2017. Recupe ado de h ps://www.udc.es/g upos/ ysig/ca los/oikonomicon/la mula de black scholes.h ml 45 [13] WILMOTT P., HOWINSON S., DEWYNNE J. The Ma hema ics o Financial De i a i es. Camb idge Uni e si y P ess. 1995. [14] ZAUDERER E. Pa ial Di e en ial Equa ions o Applied Ma hema ics. 2aed. Singapo e: Wiley; 1989. 46