Uni e sidad de Se illa
Facul ad de Ma em´a icas
T abajo Fin de G ado:
Aplicaci´on de los sis emas
di e enciales al es udio de
un modelo epidemiol´ogico
con ein ecci´on
G ado en Ma em´a icas
Au o : Me cedes Lindes Col´on
Tu o : Tom´as Ca aballo Ga ido
´
Indice gene al
1. Concep os p e ios ace ca de sis emas di e enciales o dina ios 9
1.1. Concep os b´asicos de ecuaciones di e enciales o dina ias . . . . . 9
1.2. Es abilidad de los pun os de equilib io . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. Es abilidad de sis emas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Es abilidad pa a sis emas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5. M´e odo de es abilidad de Liapuno . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6. ´
O bi as de sis emas au ´onomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7. Sis emas din´amicos au ´onomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7.1. Sis emas din´amicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7.2. A ac o global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2. Modelo SIRI 23
2.1. Tama˜no de poblaci´on cons an e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1. Compo amien o asin ´o ico de las soluciones . . . . . . . . 26
2.1.2. Es udio de la es abilidad de los pun os de equilib io . . . 30
2.2. Tasa de na alidad dis in a de asa de mo alidad. Mue e na u al
dis in a de mue e po en e medad . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3. Tama˜no de poblaci´on no cons an e . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3. Es udio conjun o de los modelos SIR y SIRI 45
3.1. ModeloSIR ............................. 45
3.1.1. Compo amien o asin ´o ico de las soluciones . . . . . . . 47
3.1.2. Es udio de la es abilidad de los pun os de equilib io . . 48
3.2. Compa a i a de los pun os de equilib io . . . . . . . . . . . . . . 50
3
Abs ac
Ma hema ical modeling, cu en ly, is a e y impo an elemen in heal h sys-
em, since i allows s udying he incidence, sp ead and pe sis ence o in ec ious
diseases. This s udy is e y use ul o comba o con ol epidemiological diseases
wi h ein ec ion. The objec i e o his pape is o s udy de e minis ic SIRI mo-
dels, as well as o compa e hem wi h de e minis ic SIR models. The pu pose o
his compa ison is o ind ela ionships and di e ences be ween hese models.
Bo h models do no s udy he beha io o a single indi idual, bu a e based
on he classi ica ion o hem in g oups. The SIRI models di ide he indi iduals
in o ou classes: Suscep ible, In ec ious, Reco e ed and Rein ec ed. These mo-
dels a e e y use ul o he desc ip ion o in ec ious diseases in which indi i-
duals ha e ela i ely sho pe iods o in ec ion and ha e a empo a y immune
esponse. The dynamics be ween hese g oups is e lec ed in a sys em o h ee
di e en ial equa ions.
In his pape we will s udy he case in which he SIRI model has a popula ion
size ha emains cons an (au onomous di e en ial sys em), al hough we will
men ion o he possible si ua ions, among which he size o he popula ion a ies
o e ime (non-au onomous di e en ial sys em). We will also s udy he SIR
model, which is used o analyze diseases wi hou ein ec ion, in i s simples
e sion, he case in which he popula ion also emains cons an (au onomous
di e en ial sys em). Fo bo h models we will s udy he local asymp o ic beha io
o he esul ing sys em. Fo his analysis i will be necessa y o make a s udy
o he scien i ic li e a u e abou he au onomous dynamic sys ems, in o de o
apply hem o he SIRI and SIR models.
5

In oducci´on
Las en e medades epidemiol´ogicas han sido y siguen siendo un g an p oblema
pa a la salud p´ublica en odo el mundo.
El modelado ma em´a ico de dichas en e medades es un elemen o muy im-
po an e pa a comba i las. G acias al modelado de las en e medades podemos
es ablece una se ie de p opiedades esenciales de la ansmisi´on de la en e medad
que nos acili a su p opio an´alisis. Es e an´alisis iene como obje i o de e mina
la incidencia de la en e medad, as´ı como ayuda a oma las medidas sani a ias
opo unas pa a su con ol o eliminaci´on. Al no se posible expe imen a con la
ealidad, es os modelos nos pe mi en p edeci las consecuencias que puede e-
ne in oduci cambios espec´ı icos. Tambi´en nos pe mi en en ende la o ma de
expansi´on de la en e medad a a ´es de la poblaci´on bajo di e en es condiciones
o escena ios.
El p ime a ´ıculo que se conoce de una aplicaci´on ma em´a ica a una en-
e medad in ecciosa ( i uela) es en 1760 po Daniel Be nouilli. En el mismo
siglo, el abajo de Be nouilli es con inuado po Rond d’Alembe , que adem´as
ue la p ime a pe sona en desc ibi la p opagaci´on de en e medades in ecciosas
median e un modelo.
En es e abajo a a emos el modelo epidemiol´ogico con ein ecci´on,
S→I→R→I.
Da id Tudo public´o en 1990 uno de los p ime os modelos capaz de expli-
ca las en e medades epidemiol´ogicas con eca´ıda, pa a una poblaci´on cons an e
y con asa de incidencia bilineal. [5] desa olla y analiza cuali a i amen e un
modelo pa a la p opagaci´on de una in ecci´on de ipo he p´e ico en poblaciones
humanas o animales. Es a ex ensi´on, de la modelizaci´on de en e medades hu-
manas a la epidemiolog´ıa e e ina ia, nos p opo ciona g an in o maci´on ace ca
de la Pseudo abia en el ce do. [5] nos p opo ciona una comple a in o maci´on
ace ca de la exis encia y es abilidad local de los equilib ios.
Pos e io men e Mo ei a y Wang incluye on en [7] las unciones de incidencia
no lineal. Blowe desa oll´o un modelo pa a el he pes geni al en [6], suponiendo
la incidencia es ´anda pa a la ansmisi´on de la en e medad y la asa de eclu-
amien o cons an e. Van den D iessche y Zou, [8], desa olla on un modelo SIRI
en una poblaci´on cons an e con incidencia es ´anda y una dis ibuci´on gene al
de eca´ıdas.
Es e modelo ambi´en es ap opiado pa a el es udio de la ube culosis en
humanos y bo inos, as´ı como pa a la din´amica del consumo de abaco y alcohol.
En es e modelo se pueden clasi ica los indi iduos de la poblaci´on en cua-
o clases: Suscep ible (Suscep ibles), si los indi iduos no es ´an expues os al
pa ´ogeno in eccioso, In ec ed (In ecciosos), si es ´an in ec ados po el pa ´ogeno,
yReco e ed (Recupe ados) si as su i la in ecci´on la han eliminado. Aunque
7
In oducci´on
es posible as ecupe a se ol e a su i una eca´ıda, con i i´endose as´ı en
indi iduo Rein ec ed (Rein ec ados).
La din´amica de ansmisi´on (o din´amica en e es os g upos) es a ´a ep esen-
ada po un sis ema de ecuaciones di e enciales, con 3 ecuaciones di e enciales.
Los obje i os pe seguidos en es e abajo, den o del ma co gene al de Ecuacio-
nes Di e enciales, son:
1. Hace una e isi´on de la li e a u a cien ´ı ica especializada en sis emas
din´amicos au ´onomos.
2. Es udia el compo amien o asin ´o ico local del modelo au ´onomo SIRI.
3. Es udia el compo amien o asin ´o ico local del modelo au ´onomo SIR.
4. Es udia las elaciones en es los compo amien os asin ´o icos de las solu-
ciones de los modelos au ´onomos SIR y SIRI.
Es e abajo lo componen 3 cap´ı ulos.
En el Cap´ı ulo 1 se mues an concep os y esul ados ya conocidos de asigna-
u as como Ecuaciones Di e enciales O dina ias (EDO) y Ampliaci´on de Ecua-
ciones Di e enciales (AED), que nos se ´an de g an u ilidad pa a analiza el
compo amien o asin ´o ico de las soluciones en cap´ı ulos pos e io es.
En el Cap´ı ulo 2 o mula emos el modelo SIRI au ´onomo, y es udia emos en
de alle el compo amien o asin ´o ico local de las soluciones del modelo hacien-
do uso de los esul ados del Cap´ı ulo 1. En las Secciones 2 y 3, comen a emos
a iaciones en el modelo SIRI conside ado en la Secci´on 1.Tambi´en mos a e-
mos esul ados ace ca del compo amien o asin ´o ico global de las soluciones de
dichos modelos.
En el Cap´ı ulo 3 nues o obje i o es es udia las elaciones y di e encias
en e los modelos SIR y SIRI au ´onomos. Pa a ello se uel e necesa io o mula
el modelo SIR au ´onomo, y es udia el compo amien o asin ´o ico local de sus
soluciones. Fij´andonos en el compo amien o asin ´o ico local de las soluciones
de ambos modelos ealiza emos la compa aci´on, iendo la elaci´on que gua dan
en e ambos.
8
Cap´ı ulo 1
Concep os p e ios ace ca de
sis emas di e enciales
o dina ios
El obje i o p incipal es es udia el compo amien o asin ´o ico local de las so-
luciones de un sis ema di e encial que lle ado a la p ´ac ica, nos pe mi a modela
cie os en´omenos epidemiol´ogicos. Pa a ello se uel e necesa io ealiza una e-
isi´on de la li e a u a cien ´ı ica cen ada en sis emas de ecuaciones di e enciales.
En es e cap´ı ulo amos a eco da algunos concep os ya es udiados en las asigna-
u as Ecuaciones Di e enciales O dina ias yAmpliaci´on de Ecuaciones
Di e enciales. En ambas asigna u as se es udia el compo amien o asin ´o ico
local pa a las soluciones del P oblema de Valo es Iniciales o P oblema de Cauchy
y0= ( , y),
y( 0) = y0,
donde Ω ⊆RN+1 es un abie o conexo,
: Ω 7−→ RN
es una unci´on que sa is ace ∈C0(Ω,RN)∩Liploc(y, Ω) y ( 0, y0)∈Ω. Siendo
Liploc(y, Ω) el espacio de unciones de inidas de Ω en RNque son localmen e
Lipschi zianas espec o de la a iable y en Ω.
Enuncia emos algunos esul ados como el Teo ema de LaSalle, que nos se ´an
de g an u ilidad pa a el an´alisis del compo amien o de las soluciones.
1.1. Concep os b´asicos de ecuaciones di e encia-
les o dina ias
Sea Ω ⊆RN+1, N ≥1 en e o, abie o conexo dis in o de ac´ıo. Sea am-
bi´en : Ω ⊆RN+1 →RN unci´on con inua en Ω, y ( 0, y0)∈Ω un pun o.
Conside amos el p oblema de Cauchy
y0= ( , y)
y( 0) = y0(1.1)
9
Cap´ı ulo 1. Concep os p e ios ace ca de sis emas di e enciales o dina ios
2. Se dice que V∈C1(Bρ)∩C0(Bρ)es una unci´on de Liapuno de Bρpa a
el sis ema au ´onomo (1.10) si V es de inida posi i a en Bρy·
V(y)≤0,
pa a odo y∈Bρ.
Teo ema 1.8 (Condiciones su icien es de es abilidad de Liapuno ).Sean ρ > 0,
al que Bρ⊂DyV∈C1(Bρ)una unci´on de Liapuno en Bρpa a el sis ema
(1.10). En onces:
1. La soluci´on ϕ0de (1.10) en Res uni o memen e es able.
2. Si adem´as ·
Ves de inida nega i a en Bρ, en onces la soluci´on ϕ0de (1.10)
en Res uni o memen e asin ´o icamen e es able.
3. Si exis en cons an es c1, c2, c3>0 ales que
c1|y|2≤V(y)≤c2|y|2, y ·
V(y)≤ −c3|y|2,∀y∈Bρ,(1.11)
en onces la soluci´on ϕ0de (1.10) en Res exponencialmen e asin ´o ica-
men e es able.
A con inuaci´on da emos una condici´on su icien e pa a es ablece la ines a-
bilidad de la soluci´on nula del sis ma di e encial o dina io au ´onomo.
Teo ema 1.9 (Teo ema de Tche ae ).Supongamos que exis en ρ > 0y
V∈C1(Bρ) ales que Bρ⊂Dy se cumple:
1. V(0) = 0.
2. ·
Ves de inida posi i a en Bρ.
3. Pa a cualquie σ∈(0, ρ)exis e yσ∈Bσ al que V(yσ)>0.
En onces, la soluci´on nula ϕ0de (1.10) es ines able.
1.6. ´
O bi as de sis emas au ´onomos
Pa a es a secci´on conside a emos el sis ema di e encial o dina io au ´onomo
y0=F(y) (1.12)
con F:D→RN, D ⊆RNun abie o conexo no ac´ıo y
F∈C0(D;RN)∩Liploc(D).
En es a secci´on ealiza emos un es udio cuali a i o de la soluci´on maximal
ϕ(·, 0, y0), con ( 0, y0)∈R×D.
P oposici´on 1.1. Conside amos el sis ema au ´onomo (1.12) con F∈Liploc(D).
Pa a 0∈Rey0∈D, sea ϕ(·; 0, y0)la soluci´on maximal del p oblema de
Cauchy asociado a (1.12). En onces:
1. I( 0, y0) = 0+I(0, y0)≡ 0+I(y0).
2. ϕ( ; 0, y0) = ϕ( − 0; 0, y0), pa a cualquie ∈I( 0, y0).
16

Cap´ı ulo 1. Concep os p e ios ace ca de sis emas di e enciales o dina ios
P oposici´on 1.2. Conside emos el sis ema au ´onomo (1.12) con F∈Liploc(D).
Sean ∈Rey0∈D. En onces, si 1∈I( 0, y0)ey1=ϕ( ; 1, y1), se iene
I( 0, y0) = I( 1, y1)yϕ( ; 0, y0) = ϕ( ; 1, y1),∀ ∈I( 0, y0).
Co ola io 1.1. En las condiciones de la P oposici´on 1.1, sea 0∈R,y0∈D,
1∈I(y0)ey1=ϕ( 1; 0, y0). En onces, I(y0) = 1+I(y1)y
ϕ( ; 0, y1) = ϕ( + 1; 0, y0),∀ ∈I(y1).
No a 1.6.1. Equi alen emen e a lo an e io , ϕ( ; 0, y0) = ϕ( − 1; 0, y1)pa a
cualquie ∈I(y0).
Veamos aho a la de icinici´on de ´o bi a del sis ema (1.12) que pasa po un
pun o y0∈D.
De inici´on 1.13. Sea y0∈Dy deno emos I(y0) = I(0, y0). Se llama ´o bi a del
sis ema au ´onomo (1.12) asociada a y0al conjun o γ(y0)dado po
γ(y0) = {ϕ( ; 0, y0) : ∈I(y0)} ⊂ D.
A con inuaci´on p esen amos las de iniciones de semi´o bi a posi i a y nega i a
del sis ema (1.12) que pasa po y0.
De inici´on 1.14. Sea y0∈D,
1. De inimos la semi´o bi a posi i a del sis ema (1.12) asociada a y0como el
conjun o:
γ+(y0) = {ϕ( ; 0, y0) : ∈I(y0), ≥0}.
2. De inimos la semi´o bi a nega i a del sis ema (1.12) asociada a y0como el
conjun o:
γ−(y0) = {ϕ( ; 0, y0) : ∈I(y0), ≥0}.
Aho a se mues a la de inici´on de conjun o in a ian e pa a nues o sis ema.
De inici´on 1.15. Sea Γ⊆D.
1. Se dice que Γes un conjun o in a ian e pa a el sis ema au ´onomo (1.12)
si pa a cualquie y0∈Γse sa is ace γ(y0)⊆Γ.
2. Se dice que Γes un conjun o posi i amen e in a ian e ( esp., nega i a-
men e in a ian e) pa a el sis ema au ´onomo (1.12) si se iene γ+(y0)⊆Γ
( esp., γ−(y0)⊆Γ), pa a cualquie y0∈Γ.
De inici´on 1.16. 1. Se dice que p∈RNes un pun o l´ımi e posi i o ( esp.,
pun o l´ımi e nega i o) asociado al sis ema (1.12) y al pun o y0∈Dsi
exis e una sucesi´on { n}n∈N⊂I( 0) al que
(a) lim n=supI(y0)y n→ ∞ ( esp., lim n=in I(y0)y n→ −∞).
(b) l´ım
n→∞ ϕ( n; 0; y0) = p.
2. Dado y0∈D, se denomina conjun o l´ımi e posi i o asociado al sis ema
(1.12) y al pun o y0al conjun o
Λ+(y0) = {p∈RN:pes un pun o l´ımi e posi i o asociado a (1.12) y a y0},
y conjun o l´ımi e nega i o asociado al sis ema (1.12) y al pun o y0al
conjun o
Λ−(y0) = {p∈RN:pes un pun o l´ımi e nega i o asociado a (1.12) y a y0}.
17
Cap´ı ulo 1. Concep os p e ios ace ca de sis emas di e enciales o dina ios
El esul ado que damos a con inuaci´on nos asegu a que, bajo unas condi-
ciones espec´ı icas, exis en conjun os in a ian es espec o del sis ema au ´onomo
que a aen las ´o bi as del sis ema. Es e esul ado comple a el Teo ema de es a-
bilidad de Liapuno dando una condici´on que asegu a que la soluci´on nula del
sis ema es uni o memen e asin ´o icamen e es able.
Teo ema 1.10 (Teo ema de LaSalle).Conside emos el s.d.o. (1.12). Sea K⊂D
un conjun o compac o no ac´ıo y sea V∈C1(D) al que ·
V(y)≤0pa a cual-
quie y∈K. Sea y0∈K al que γ+(y0)⊆K. Deno emos po
E={y∈K:·
V(y)=0},
y sea Mel mayo subconjun o in a ian e pa a el sis ema (1.12) de E. En onces:
1. I(y0)⊃[0,∞).
2. Λ+(y0)⊆M(y po an o, M6=∅).
3. l´ım
→∞ dis (ϕ( ; 0, y0), M)=0.
Po ´ul imo en es a secci´on e emos el Teo ema de Poinca ´e-Bendixson que
nos ayuda ´a a de e mina el compo amien o asin ´o ico de las ´o bi as de los
sis emas au ´onomos planos. Es e eo ema s´olo es ´alido pa a dimensi´on 2, como
mucho.
Teo ema 1.11 (Teo ema de Poinca ´e-Bendixson).Conside emos el sis ema
au ´onomo (1.12) con F∈C1(D)yD⊆R2un abie o conexo no ac´ıo. Sea
y0∈K⊂Dcon Kun compac o al que γ+(y0)⊂K( esp., γ−(y0)⊂K).
Supongamos que Λ+(y0)( esp., Λ−(y0)) no con iene pun os c ´ı icos de (1.12).
En onces,
1. Λ+(y0)( esp., Λ−(y0)) es una ´o bi a c´ıclica no degene ada.
2. O bien γ(y0)es una ´o bi a c´ıclica (y en el caso γ(y0)=Λ+(y0)) ( esp.,
γ(y0)=Λ−(y0)), o bien γ+(y0)( esp., γ−(y0)) se ace ca en espi al hacia
Γ+(y0)( esp., Γ−(y0)), en cuyo caso se dice que Γ+(y0)( esp., Γ−(y0))
es un ciclo-l´ımi e.
1.7. Sis emas din´amicos au ´onomos
Conside amos el s.d.o. au ´onomo siguien e
y0=F(y),(1.13)
donde F:D→RN∈Liploc(D) y D⊆RNes un abie o conexo no ac´ıo.
No a 1.7.1. En es e caso los concep os de es abilidad, es abilidad uni o me,
a ac i idad, y a ac i idad uni o me son equi alen es.
18
Cap´ı ulo 1. Concep os p e ios ace ca de sis emas di e enciales o dina ios
1.7.1. Sis emas din´amicos
En es a subsecci´on mos amos un esumen de p opiedades y esul ados sob e
sis emas din´amicos au ´onomos.
De inici´on 1.17. Sea X un espacio m´e ico. Un sis ema din´amico con inuo es
una amilia de aplicaciones {S( ) : ∈R}de inidas como:
S( ) : X−→ X
x−→ S( )x
y que e i ican:
1. S(0)x=IdX(x).
2. (P opiedad de g upo) S( 1+ 2) = S( 1)◦S( 2), pa a cada 1, 2∈R.
3. S( ) : X→Xes una aplicaci´on con inua pa a odo ∈R.
4. La aplicaci´on ∈R→S( )xes una aplicaci´on con inua pa a cada x∈X.
De inici´on 1.18. Sea X un espacio m´e ico. Un sis ema semi-din´amico con i-
nuo o semig upo es una amilia de aplicaciones {S( ) : ≥0}de inidas como
S( ) : X−→ X
x−→ S( )x
y que e i ican:
1. S(0)x=IdX(x).
2. (P opiedad de semig upo) S( 1+ 2) = S( 1)◦S( 2), pa a cada 1, 2≥0.
3. S( ) : X→Xes una aplicaci´on con inua pa a odo ≥0.
4. La aplicaci´on ∈[0,∞)→S( )xes una aplicaci´on con inua pa a cada
x∈X.
Suponemos dado un sis ema semi-din´amico de la o ma {S( ) : ≥0}.
De inici´on 1.19. Sean X un espacio m´e ico y D⊂X.
1. Se dice que Des posi i amen e in a ian e si S( )D⊆D, pa a odo ≥0.
2. Se dice que Des nega i amen e in a ian e si S( )D⊇D, pa a odo ≥0.
3. Se dice que Des in a ian e si S( )D=D, pa a odo ≥0.
Pues o que en es e abajo nos cen a emos en los sis emas semi-din´amicos
con inuos, a pa i de aho a omi i emos la palab a con inuos.
Aho a eesc ibi emos algunas de iniciones de las secciones an e io es en ´e mi-
nos del siguien e sis ema semi-din´amico. Vamos a conside a , pa a el p op´osi o
de es e abajo, X=RN(dimensi´on ini a). De aho a en adelan e, conside a-
emos ambi´en el sis ema semi-din´amico {S( ) : ≥0}de inido como
S( )y0=ϕ( ; 0, y0)
donde ϕ( ; 0, y0) deno a la soluci´on maximal del sis ema (1.13) al que ϕ(0; 0, y0) = y0.
Se puede e que el sis ema de inido as´ı (pa a aquellos alo es de del in e alo
de de inici´on de la soluci´on maximal) es un sis ema semi-din´amico.
19
Cap´ı ulo 1. Concep os p e ios ace ca de sis emas di e enciales o dina ios
De inici´on 1.20. Dados un espacio m´e ico Xyu∈X, llamamos semi´o bi a
posi i a que pasa po u(o empieza en u) al conjun o:
γ+(u) = {S( )u: ≥0}.
De inici´on 1.21. Dados un espacio m´e ico Xyu∈X, llamamos semi´o bi a
nega i a que pasa po u(o e mina en u) al conjun o:
γ−(u) = {S(− )u: > 0}.
De inici´on 1.22. Dados un espacio m´e ico Xyu∈X, se llama ´o bi a que
pasa po ual conjun o γ(u)dado po :
γ(u) = γ+(u)∪γ−(u).
De inici´on 1.23. Sea y0∈X. Se dice que y0es un pun o c ´ı ico o pun o
es aciona io pa a el sis ema (1.13) si se e i ica S( )y0=y0, pa a odo ∈R.
No a 1.7.2. Tenemos que y0∈Xes un pun o c ´ı ico pa a el sis ema (1.13) si
y solo si
γ(y0) = {y0}.
De inici´on 1.24. Sean X un espacio m´e ico, u0∈XyD⊂X.
1. Llamamos conjun o w- l´ımi e asociado a u0∈Xy deno ado po w(u0)al
conjun o:
Λ(u0) = {u∈X:∃{ n}n∈N⊂R, n→ ∞, S( n)u0→u}.
2. Llamamos conjun o w- l´ımi e asociado a D⊂Xy deno ado po w(D)al
conjun o:
Λ(D) = {u∈X:∃{ n}n∈N⊂R, n→ ∞,∃{dn}n∈N⊆D, S( n)dn→u}.
Lema 1.1. Sean Xun espacio m´e ico, u0∈X, y D⊂X. Se e i ica:
1.
Λ(u0) =
≥0[
s≥
S(s)u0=
T≥0
γ+
T(u0),donde γ+
T(u0) = {S( )u0: ≥T}.
2.
Λ(D) =
≥0[
s≥
S(s)D=
T≥0
γ+
T(D),donde γ+
T(D) = [
u∈D
γ+
T(u).
No a 1.7.3. Los concep os de l´ımi e posi i o y w-l´ımi e coinciden si {S( ) : ≥0}
es un sis ema semi-din´amico de inido como sigue
S( )y0=ϕ( ; 0, y0),
con ϕ( ; 0, y0)como soluci´on maximal del sis ema (1.13).
20
Cap´ı ulo 1. Concep os p e ios ace ca de sis emas di e enciales o dina ios
1.7.2. A ac o global
De inici´on 1.25. Sean Xun espacio m´e ico y A⊂X. Se dice que Aes
abso ben e espec o del sis ema semi-din´amico {S( ) : ≥0}si pa a odo B⊂X
aco ado exis e T(B)≥0 al que:
S( )B⊂A, ∀ ≥T(B).
De inici´on 1.26. Sean AyBsubconjun os de X. Di emos que Aa ae a Bsi
dis (S( )B, A)→0,cuando → ∞,
es deci , si pa a cada  > 0exis e un iempo T=T() al que pa a odo ≥T
y pa a odo u∈Bse iene
dis (S( )u, A)< .
De inici´on 1.27. Di emos que Aes a ac o pun ual si a ae a cada pun o de
X.
No a 1.7.4. La dis ancia a la que se e ie e la de inici´on an e io es en ealidad
la semi-dis ancia de Hausdo ,
dis (A, B) = sup
a∈A
´ın
b∈B|a−b|.
Algunas p opiedades de es a semi-dis ancia son:
(a) dis (∅, Y )=0.
(b) dis (X, ∅)no es ´a de inida.
(c) dis (X, Y ) = dis (Y, X).
(d) Es a dis ancia no de ine una m´e ica debido a que dis (X, Y )=0s´olo
implica que X⊂¯
Y.
(e) Si Y1⊂Y2=⇒dis (X, Y1)≥dis (X, Y2).
( ) Si X1⊂X2=⇒dis (Y, X1)≤dis (Y, X2).
De inici´on 1.28. Sea (X, d)un espacio m´e ico y {S( ) : ≥0}un sis ema
semi-din´amico. Se dice que A⊂Xes un a ac o global pa a {S( ) : ≥0}si
e i ica:
1. Aes compac o.
2. Aes in a ian e.
3. Aa ae a odos los subconjun os aco ados de X.
21

Cap´ı ulo 1. Concep os p e ios ace ca de sis emas di e enciales o dina ios
Exis encia de a ac o global
Ve emos aho a una condici´on su icien e de exis encia de a ac o global. Pa a
ello amos a hace uso del siguien e lema.
Lema 1.2. Sea B⊂X. Si pa a alg´un T > 0el conjun o
γ+
T(B) = [
≥T
S( )B
es compac o, en onces Λ(B)es no ac´ıo, compac o e in a ian e.
Teo ema 1.12 (Condici´on su icien e de exis encia de a ac o global).Sea
(X, d)un espacio m´e ico comple o. Supongamos que {S( ) : ≥0}es un sis e-
ma semi-din´amico en dicho espacio y que exis e B⊂Xabso ben e y compac o.
En onces exis e un a ac o global Ade inido po A= Λ(B). Adem´as, si Xes
conexo, en onces Aes conexo.
Lema 1.3. Si exis e un a ac o global, es e es ´unico.
22
Cap´ı ulo 2
Modelo SIRI
El modelo SIRI es un modelo capaz de desc ibi la din´amica de poblaciones
en la que se desa olla una in ecci´on. Pa a ello sabemos que exis en cua o ipos
de poblaci´on: Suscep ibles (Suscep ible), son aquellos indi iduos que no en an
en con ac o con el pa ´ogeno; In ecciosos (In ec ious), aquellos que es ´an in ec-
ados po el agen e pa ´ogeno; Recupe ados (Reco e ed), si se han ecupe ado
po comple o de la in ecci´on; y po ´ul imo Rein ec ados (Rein ec ed), los cuales
as es a ecupe ados de la in ecci´on uel en a en a en con ac o con el agen e
pa ´ogeno y pasan a se in ec ados po ´el de nue o, po lo que pasan a o ma
pa e, o a ez, del g upo de los in ec ados .
Deno a emos S( ), I( ) y R( ) al n´ume o de indi iduos suscep ibles, in ec-
ciosos y ecupe ados, espec i amen e, a lo la go del iempo , pa a cada ≥0.
Po la p opia na u aleza de la poblaci´on s´olo iene sen ido conside a soluciones
no nega i as, S( )≥0, I( )≥0 y R( )≥0, pa a cada ≥0. En es e cap´ı ulo
aba ca emos dis in as si uaciones. El caso en el que nos ex ende emos se ca-
ac e iza po man ene el n´ume o de indi iduos cons an e. Tambi´en e emos el
caso en que la asa de na alidad no coincide con la asa de mo alidad as´ı como
la mue e na u al no coincide con la mue e po en e medad, y po ´ul imo el
caso en que la poblaci´on no se man iene cons an e.
2.1. Tama˜no de poblaci´on cons an e
Como el n´ume o de indi iduos pe manece cons an e en cualquie ins an e de
iempo , podemos asumi que S( )+I( )+R( )=1,∀ ≥0. Es ob io que la asa
de na alidad es la misma que la asa de mo alidad, µ > 0, ya que la poblaci´on
se man iene cons an e. A la asa de con ac o en e suscep ibles e in ec ados y al
coe icien e de indi iduos que pasan de in ec ados a ecupe ados los llama emos,
espec i amen e, β > 0 y γ > 0. Tambi´en deno a emos po η > 0 al coe icien e
de indi iduos ein ec ados (aquellos que as ecupe a se pie den la inmunidad
en e al pa ´ogeno y uel en a in ec a se). Supond emos que la asa de mue e
po in ecci´on se ´a la misma que la asa de mue e na u al.
Conside amos las siguien es hip´o esis:
Un indi iduo pasa a o ma pa e del g upo de los suscep ibles, ´unicamen-
e, po nacimien o.
23
Cap´ı ulo 2. Modelo SIRI
Pa a que un indi iduo abandone el g upo de los suscep ibles ha de hace lo
po mue e na u al o po con e i se en indi iduo in eccioso.
Asumimos que cada indi iduo in ec ado iene un n´ume o ijo βde con-
ac os po d´ıa. Esos con ac os pueden ealiza se con indi iduos in ec ados
o indi iduos suscep ibles, lo cual se ´ıa su icien e pa a con agia se de la
en e medad.
Un indi iduo puede abandona el g upo de los in ec ados o bien po mue e
po in ecci´on, o bien po ecupe aci´on de la en e medad.
Asumimos que la p opo ci´on de indi iduos in ec ados que se ecupe an en
un d´ıa, γ, es ija.
Hay dos o mas de abandona el g upo de los ecupe ados: po mue e
na u al, o po con e i se en indi iduo in eccioso de nue o.
Asumimos que la p opo ci´on de indi iduos ecupe ados que se ein ec an
po d´ıa, η, es ija.
Rep esen aci´on esquem´a ica de la din´amica de ansmisi´on:
El sis ema esul an e iene de inido po el siguien e sis ema di e encial:



S0=µ−µS −βSI
I0=βSI −µI −γI +ηR
R0=γI −µR −ηR
(2.1)
El siguien e eo ema nos mos a ´a que el sis ema an e io posee una ´unica
soluci´on maximal.
Teo ema 2.1. Sea (S0, I0, R0)∈R3. En onces exis e una ´unica soluci´on ma-
ximal de (2.1). Adem´as si (S0, I0, R0)∈R3
+, en onces ϕ( ; 0, S0, I0, R0)∈R3
+.
24
Cap´ı ulo 2. Modelo SIRI
Demos aci´on. Sea :R3→R3,
(S, I, R) = "µ−µS −βSI
βSI −µI −γI +ηR
γI −µR −ηR #.
Como se puede obse a la unci´on es con inua en R3po a a se de polinomios.
Veamos que ambi´en se a a de una unci´on localmen e Lipschi ziana. Tomamos
1, 2, 3como las espec i as ilas de la ma iz .
∂ 1
∂S =−µ−βI
∂ 1
∂I =−βS
∂ 1
∂R = 0
∂ 2
∂S =βI
∂ 2
∂I =βS −µ
∂ 2
∂R =η
∂ 3
∂S = 0
∂ 3
∂I =γ
∂ 3
∂R =−µ−η
Todas ellas son con inuas en R3, po lo que es localmen e Lipschi ziana. Luego
aplicando el eo ema de exis encia y unicidad de soluci´on maximal (Teo ema
1.4), enemos que pa a cada (S0, I0, R0)∈R3exis e una ´unica soluci´on maximal,
ϕ(·; 0, S0, I0, R0), de (2.1). Tomamos aho a (S0, I0, R0)∈R3
+. Vemos que exis e
soluci´on posi i a.
dS
d S=0
=µ > 0
dI
d I=0
=γI0>0
dR
d R=0
=ηR0>0
Todas ellas son posi i as, luego ϕ( ; 0, S0, I0, R0)∈R3
+.
No a 2.1.1. A pa i de aho a oma emos S0=S(0), I0=I(0), R0=R(0).
Vol iendo a nues o sis ema (2.1), como la poblaci´on la hemos supues o que
pe manece cons an e (1 = S( )+I( )+R( )), dicho sis ema di e encial se puede
educi al siguien e:
S0=µ−µS −βSI
I0=βSI −µI −γI +η(1 −S−I)(2.2)
25
Cap´ı ulo 2. Modelo SIRI
Tomamos aho a a=µ, b = (β
σ)(σ−1), c = 4βη.
Tenemos que e el signo de los au o alo es de −a+b±p(a+b)2+c.
Sabemos que a, c > 0, ya que µ > 0 y βη > 0 po se β > 0 y η > 0.
Po lo an o s´olo enemos dos casos a conside a , uno que b > 0 y el o o
que b≤0.
1. b > 0 (σ > 1).
(a+b)2=a2+b2+ 2ab = (b−a)2+ 4ab −→ (a+b)2−4ac = (b−a)2
Es deci , p(a+b)2−4ac =| − a+b|.
Adem´as, p(a+b)2−4ac < p(a+b)2+c.
Luego llegamos a que 0 <| − a+b|<p(a+b)2+c.
Como enemos dos au o alo es eales y de dis in o signo, llegamos a la
conclusi´on de que el pun o de equilib io se a a de un pun o de silla
(ines able).
2. b≤0 (σ≤1).
Como pa imos de −a+b±p(a+b)2+c, enemos dos posibilidades:
(a) −a+b−p(a+b)2+c < 0 enemos un au o alo eal nega i o.
(b) −a+b+p(a+b)2+c > 0 si y solo s´ı p(a+b)2+c > a−b > 0 dado
que es la suma de dos can idades posi i as (−b > 0).
Luego de p(a+b)2+c > p(a+b)2−4ab =a−bllegamos a que
c > −4ab, es deci , −c
4a< b ≤0.
Con la no aci´on inicial se ´ıa β
σ(σ−1) >−ηβ
µ.
Como b≤0⇐⇒ σ≤1.
En onces β
σ(σ−1) >−ηβ
µ⇐⇒ σ−1
σ>−η
µ⇐⇒ σ > µ
µ+η.
En esumen, pa a el p ime pun o de equilib io enemos:
Si σ > 1, enemos que el pun o de equilib io es ines able. En el con ex o del
modelo SIRI, enemos que si el n´ume o inicial de indi iduos suscep ibles se
ace que al o al de la poblaci´on y el n´ume o inicial de indi iduos in ecciosos
se ace que a ce o, puede ocu i , que as un la go pe iodo de iempo,
la poblaci´on no uel a a ene un n´ume o de indi iduos suscep ibles e
in ecciosos ce canos a los alo es iniciales. Que el n´ume o de indi iduos
in ecciosos es e p ´oximo a ce o no implica que la en e medad se haya
ex inguido po comple o en la poblaci´on.
Si 0 <µ
µ+η< σ ≤1, enemos un au o alo eal nega i o y un au o a-
lo eal posi i o, luego se a a ´a de un pun o de silla (ines able). En el
con ex o del modelo SIRI, es o signi ica que en el caso de que el n´ume o
32

Cap´ı ulo 2. Modelo SIRI
inicial de indi iduos suscep ibles se ace que al n´ume o o al poblacional y
el n´ume o inicial de indi iduos in ecciosos se ace que a ce o, puede suce-
de , que as un la go pe iodo de iempo, la poblaci´on no uel a a ene
un n´ume o de indi iduos suscep ibles e in ecciosos ce canos a los alo es
iniciales. Hay que ene en cuen a que, que el n´ume o de indi iduos in ec-
ciosos es e p ´oximo a ce o no implica que la en e medad se haya ex inguido
en la poblaci´on.
Si 0 < σ < µ
µ+η≤1, enemos dos au o alo es eales nega i os, luego se
a a ´a de un pun o de equilib io asin ´o icamen e es able. En el con ex o
del modelo SIRI, es o signi ica que en el caso de que el n´ume o inicial de
indi iduos suscep ibles se ace que al n´ume o o al poblacional y el n´ume o
inicial de indi iduos in ecciosos se ace que a ce o, en onces, as un la go
pe iodo de iempo, el n´ume o de indi iduos suscep ibles en la poblaci´on
iende a es abiliza se en el ama˜no de la poblaci´on y el n´ume o de indi-
iduos in ecciosos iende a ce o, es deci , la en e medad se ex ingui ´a po
comple o.
Si 0 <µ
µ+η=σ≤1, enemos un au o alo igual a 0 y o o au o alo
eal nega i o, luego se a a ´a de un pun o de equilib io es able. En el
con ex o del modelo SIRI, es o signi ica que en el caso de que el n´ume o
inicial de indi iduos suscep ibles se ace que al n´ume o o al poblacional y
el n´ume o inicial de indi iduos in ecciosos se ace que a ce o, en onces an o
el n´ume o de indi iduos suscep ibles como el n´ume o de indi iduos in ec-
ciosos pe manece ´an lo su icien emen e p ´oximos a sus alo es iniciales,
espec i amen e, pa a siemp e.
Veamos aho a la es abilidad del pun o (S∗
2, I∗
2) = µ
(µ+η)σ,µ+η
βσ−µ
µ+η.
La ma iz jacobiana co espondien e a es e pun o se ´ıa
J(S∗
2,I∗
2)=



−µ−(µ+η)(σ−µ
µ+η)−βµ
(µ+η)σ
(µ+η)(σ−µ
µ+η)−ηβµ
(µ+η)σ−(µ+γ+η)




.
Simpli icando la ma iz an e io nos queda ´ıa
J(S∗
2,I∗
2)=



−(µ+η)σ−βµ
(µ+η)σ
(µ+η)σ−µ−ηβµ
(µ+η)σ−(µ+γ+η)




.
Calculamos el de e minan e y la aza de la ma iz an e io .
33
Cap´ı ulo 2. Modelo SIRI
(J(S∗
2,I∗
2)) = −(µ+η)σ+β
σ(µ
µ+η−1)
de (J(S∗
2,I∗
2)) = β
σ(µ+η)(σ−µ
µ+η)
La ecuaci´on ca ac e ´ıs ica co espondien e es
2+ [(µ+η)σ−β
σ(µ
µ+η−1)] +β
σ(µ+η)(σ−µ
µ+η)=0.
El disc iminan e,
(µ+η)σ−β
σ(µ
µ+η−1)2
−4β
σ(µ+η)(σ−µ
µ+η),
al eag upa los ´e minos nos queda
(µ+η)σ+β
σµ
µ+η−12
+ 4µβ1−σ
σ.
Es e disc iminan e se ´a posi i o cuando σ≤1. Luego cuando σ≤1 la ma iz
end ´a dos au o alo es eales.
Pa a e el signo de es os au o alo es amos a oma
a= (µ+η)σ
b=β
σµ
µ+η−1
c= 4µβ1−σ
σ.
Es cla o que a > 0, b > 0 y c≤0. Los au o alo es son de la o ma
−a+b±p(a+b)2+c.
1. σ≤1. En es e caso siemp e se iene que −a+b−p(a+b)2+c < 0. Con
espec o al o o au o alo −a+b+p(a+b)2+c > 0 si y solo s´ı −c
4a≤b,
adem´as −c
4a≤bsi y solo s´ı σ≤µ
µ+η. Po lo an o, si σ≤µ
µ+η, el
pun o de equilib io es un pun o de silla, y si µ
µ+η< σ ≤1, el pun o de
equilib io es es able.
2. σ > 1(c < 0). Tenemos dos casos:
(a+b)2+c≥0. En onces −a+b−p(a+b)2+c < 0, y el o o
au o alo −a+b+p(a+b)2+c > 0 si y solo s´ı −c
4a≤b, adem´as
−c
4a≤bsi y solo s´ı (β
σ)µ
(µ+η)−1≥βµ(σ−1)(σ)
(µ+η)σ. Pe o es o no
es posible pa a η6= 0 ya que nos queda ´ıa β
σµ
(µ+η)−1<0, y a
34
Cap´ı ulo 2. Modelo SIRI
su ez es o no es posible dado que el lado de echo de la inecuaci´on es
posi i o. Po lo an o, el segundo au o alo es nega i o, y en onces
el pun o de equilib io es asin ´o icamen e es able.
(a+b)2+c < 0. Como las a´ıces son complejas conjugadas con pa e
eal nega i a, el pun o de equilib io es asin ´o icamen e es able, en
ealidad, es able espi almen e.
En esumen, pa a el segundo pun o de equilib io nos queda que si:
σ≤µ
µ+η≤1, en onces se a a de un pun o de silla. En el con ex o
del modelo SIRI, es o signi ica que en el caso de que el n´ume o inicial
de indi iduos suscep ibles e in ecciosos se ace quen al pun o de equilib io,
puede sucede , que as un la go pe iodo de iempo, la poblaci´on no uel a
a ene un n´ume o de indi iduos suscep ibles e in ecciosos ce canos a los
alo es iniciales.
µ
µ+η< σ ≤1, en onces se a a de un pun o de equilib io es able. En el
con ex o del modelo SIRI, es o signi ica que en el caso de que el n´ume o
inicial de indi iduos suscep ibles e in ecciosos se ace quen al pun o de equi-
lib io, en onces an o el n´ume o de indi iduos suscep ibles como el n´ume o
de indi iduos in ecciosos pe manece ´an lo su icien emen e p ´oximos a sus
alo es iniciales, espec i amen e, pa a siemp e.
σ > 1 y (a+b)2+c≥0, en onces se a a de un pun o de equilib io
asin ´o icamen e es able. En el con ex o del modelo SIRI, es o signi ica
que en el caso de que el n´ume o inicial de indi iduos suscep ibles e in ec-
ciosos se ace quen al pun o de equilib io, en onces, as un la go pe iodo
de iempo, el n´ume o de indi iduos suscep ibles e in ecciosos ienden a
es abiliza se en el pun o de equilib io.
σ > 1 y (a+b)2+c < 0, en onces se a a de un pun o de equilib io
asin ´o icamen e es able, en ealidad, es able espi almen e. En el con ex o
del modelo SIRI, es o signi ica que en el caso de que el n´ume o inicial
de indi iduos suscep ibles e in ecciosos se ace quen al pun o de equili-
b io, en onces, as un la go pe iodo de iempo, el n´ume o de indi iduos
suscep ibles e in ecciosos ienden a es abiliza se en el pun o de equilib io.
35
Cap´ı ulo 2. Modelo SIRI
2.2. Tasa de na alidad dis in a de asa de mo -
alidad. Mue e na u al dis in a de mue e
po en e medad
En es e caso el n´ume o de indi iduos pe manece ambi´en cons an e en cual-
quie ins an e de iempo , luego ambi´en pod emos acep a que S( ) + I( ) +
R( ) = 1,∀ ≥0. Es e caso iene de pa icula con espec o al an e io que
la asa de na alidad, µ≥0, y la asa de mo alidad no es la misma. En es e
caso ambi´en end emos que di e encia en e mue e na u al, α, y mue e po
en e medad, κ, ambas mayo es o iguales que 0. Como an e io men e end emos
asa de con ac o en e suscep ibles e in ec ados, β≥0, coe icien e de indi i-
duos que pasan de in ec ados a ecupe ados, γ≥0, y coe icien e de indi iduos
ein ec ados, η≥0.
Las hip´o esis en es e caso se ´an las mismas que en el caso an e io , sal o po
el hecho de que pa a que un indi iduo abandone el g upo de in ec ados ha de
hace lo po mue e na u al, po mue e po en e medad o po ecupe aci´on de
la en e medad.
Rep esen aci´on esquem´a ica de la din´amica de ansmisi´on:
Del paso del diag ama an e io a sis ema, llegamos al siguien e sis ema di-
e encial: 


S0=µ−αS −βSI
I0=βSI −(κ+γ+α)I+ηR
R0=γI −(α+η)R
(2.5)
La ecuaci´on di e encial del o al de la poblaci´on de (2.5) es:
d
d (S+I+R) = µ−α(S+I+R)−κI. (2.6)
Pa a nues o caso el conjun o que end ´ıamos que e que se a a de un con-
jun o abso ben e y posi i amen e in a ian e, u ilizando el mismo p ocedimien o
36
Cap´ı ulo 2. Modelo SIRI
que pa a el caso an e io , es:
∧={(S, I, R)∈R3
+:S≥0, I ≥0, R ≥0, S +I+R≤µ
α}.
Encon a emos es os dos posibles pun os de equilib io en el oc an e no ne-
ga i o R3
+, ealizando c´alculos como an e io men e:
E0= (µ
α,0,0), E∗= ( µ
αR0
,α
β(R0−1),γα
β(η+α)(R0−1)).
Con R0=(α+η)βµ
α(γα + (α+η)(κ+α)).
No a 2.2.1. A pa i de aho a deno a emos po (S0, I0, R0)a sus co espon-
dien es coo denadas de E0y an´alogamen e pa a (S∗, I∗, R∗)con sus co espon-
dien es coo denadas de E∗.
A con inuaci´on, es udia emos el compo amien o asin ´o ico global de los
pun os de equilib io.
Pa a el p ime pun o, u ilizando unciones de Liapuno lineales y cuad ´a i-
cas, y el Teo ema de LaSalle, end emos que, si R0≤1, el pun o es globalmen e
asin ´o icamen e es able en ∧.
Teo ema 2.3. Si R0≤1en onces el pun o de equilib io E0de (2.5) es global-
men e asin ´o icamen e es able en ∧.
Demos aci´on. Sea V:{(S, I, R)∈R3:S > 0} → Rcon
V(S, I, R) = (α+η)
2S0(S−S0)2+ (α+η)I+ηR. (2.7)
Es cla o que en el pun o de equilib io la unci´on V(S, I, R) alcanza su m´ınimo
global en R3. Po lo an o, V(S, I, R) es una unci´on de Liapuno . La de i ada
de (2.7) espec o a lo la go de las cu as de soluci´on de (2.5) es
V0(S, I, R) = (α+η)
S0(S−S0)dS
d + (α+η)dI
d +ηdR
d =
=(α+η)
S0(S−S0)(αS0−αS −βSI)
+ (α+η)βSI −(γα + (κ+α)(α+η))I.
Usando la exp esi´on
βSI (S−S0)
S0=βI (S−S0)2
S0+βI(S−S0),
ob enemos
V0(S, I, R) = −(α+η)(α+βI)(S−S0)2
S0−(γα + (α+η)(κ+α))I(1 −R0).
Po lo an o, si R0≤1 enemos que V0(S, I, R)≤0 pa a odo S, I, R > 0,
y que V0(S, I, R) = 0 si S=S0eI= 0, o si R0= 1 y S=S0. Es ´acil
comp oba que el pun o de equilib io E0es el mayo in a ian e es ablecido en
{(S, I, R)∈ ∧ :V0(S, I, R) = 0}, y aplicando el Teo ema de LaSalle (Teo ema
1.10) se llega a que E0es globalmen e asin ´o icamen e es able.
37

Cap´ı ulo 2. Modelo SIRI
Pa a el segundo pun o, cons uyendo una unci´on global de Liapuno a pa -
i de una combinaci´on adecuada en e unciones cuad ´a icas y de Vol e a,
end emos que, si R0>1, el pun o es asin ´o icamen e es able en el in e io de
∧.
Teo ema 2.4. Si R0>1, el pun o de equilib io E∗de (2.5) es globalmen e
asin ´o icamen e es able en el in e io de ∧.
Demos aci´on. Sea L:{(S, I, R)∈ ∧ :S, I, R > 0} → Rcon
L(S, I, R) = (S−S∗)2
2S∗+I−I∗−I∗ln I
I∗+ηR∗
γI∗R−R∗−R∗ln R
R∗.
Es a unci´on es con inua y de inida posi i a pa a odo S, I, R > 0. Se puede
comp oba que la unci´on L(S, I, R) = 0 en E∗, y po lo an o el m´ınimo global
de L(S, I, R) se alcanza en E∗. Como E∗es un pun o de equilib io de (2.5)
enemos:
Λ = βS∗I∗+αS∗,
(κ+γ+α) = βS∗+ηR∗
I∗,
(α+η) = γI∗
R∗.
Haciendo la de i ada de L(S, I, R) a lo la go de las soluciones del sis ema
(2.5), ob enemos
L0(S, I, R) = (S−S∗)
S∗(Λ −βSI −αS)
+ (I−I∗)βS −(κ+γ+α) + ηR
I)
+ηR∗
γI∗1−R∗
R(γI −(α+η)R).
U ilizando (2.4) llegamos a
L0(S, I, R) = −(S−S∗)
S∗(α(S−S∗) + β(SI −S∗I∗))
+ (I−I∗)β(S−S∗) + ηR
I−R∗
I∗
+ηR∗
γI∗1−R∗
RγI −γI∗R
R∗.
Es cla o que
SI −S∗I∗=S∗(I−I∗) + I(S−S∗).
Po lo que haciendo c´alculos llegamos a que
L0(S, I, R) = −(α+βI)(S−S∗)2
S∗−ηR∗ I∗R
IR∗− IR∗
I∗R2
.
38
Cap´ı ulo 2. Modelo SIRI
Luego, L0(S, I, R)≤0 pa a odo S, I > 0, y L0(S, I, R) = 0 cuando S=S∗
yIR∗=I∗R. Es ´acil comp oba que E∗es el mayo in a ian e es ablecido en
{(S, I, R)∈ ∧ :L0(S, I, R)=0}. Aplicando el Teo ema de LaSalle (Teo ema
1.10) llegamos a que E∗es globalmen e asin ´o icamen e es able en el in e io de
∧.
No a 2.2.2. Como sabemos las unciones de Liapuno no son ´unicas. Se pue-
den p oba los mismos esul ados de es abilidad u ilizando o as unciones de
Liapuno pa a el sis ema (2.5).
2.3. Tama˜no de poblaci´on no cons an e
En es a secci´on e emos una combinaci´on de los casos de la Secci´on 2.1
y de la Secci´on 2.2. Se a a del caso en el que el n´ume o de indi iduos no
pe manece cons an e a lo la go del iempo, luego oma emos que S( ) + I( ) +
R( ) = N, ∀ ≥0. En es e caso conse a emos que la asa de na alidad, µ≥0
y la asa de mo alidad no es la misma, adem´as de que ambi´en end emos
que di e encia en e mue e na u al, α, y mue e po en e medad, κ, ambas
mayo es o iguales que 0. Como en ambos casos, end emos asa de con ac o
en e suscep ibles e in ec ados, β≥0, coe icien e de indi iduos que pasan de
in ec ados a ecupe ados, γ≥0, y coe icien e de indi iduos ein ec ados, η≥0.
Las hip´o esis en es e caso se ´an las mismas que el caso de la Secci´on 2.2.
Rep esen aci´on esquem´a ica de la din´amica de ansmisi´on:
Pasando la in o maci´on que nos apo a el diag ama a modo de sis ema di e-
encial llegamos a:









S0=µ−αS −βSI
N
I0=βSI
N−(κ+γ+α)I+ηR
R0=γI −(α+η)R
(2.8)
39
Cap´ı ulo 2. Modelo SIRI
La ecuaci´on di e encial del o al de la poblaci´on de (2.8) es:
d
d (S+I+R) = µ−α(S+I+R)−κI. (2.9)
El conjun o que end ´ıamos que e que se a a de un conjun o abso ben e
y posi i amen e in a ian e, u ilizando p ocedimien os an´alogos a los dos casos
an e io es, es:
∧={(S, I, R)∈R3
+:S≥0, I ≥0, R ≥0, S +I+R≤µ
α}.
Encon a emos es os dos posibles pun os de equilib io ealizando c´alculos
simila es a los ealizados en las secciones an e io es: El p ime pun o se ´ıa
E0= (µ
α,0,0), y el segundo pun o se ´ıa E∗= (S∗, I∗, R∗) con
S∗=µ(κ+γ+α)R0
αR0(κ+γ+α) + β(κ+α)(R0−1)
I∗=µ(κ+α)(R0−1)R0
αR0(κ+γ+α) + β(κ+α)(R0−1)
R∗=µγ(R0−1)R0
αR0(κ+γ+α) + α(κ+α)(R0−1).
Con R0=(α+η)β
γα + (α+η)(κ+α).
No a 2.3.1. A pa i de aho a de aho a deno a emos po (S0, I0, R0)a sus
co espondien es coo denadas de E0.
A con inuaci´on, es udia emos el compo amien o asin ´o ico global de los
pun os de equilib io.
Pa a el p ime pun o, u ilizando unciones de Liapuno lineales, end emos
que, si R0≤1, el pun o es globalmen e asin ´o icamen e es able en ∧.
Teo ema 2.5. Si R0≤1en onces el pun o de equilib io E0de (2.8) es global-
men e asin ´o icamen e es able en ∧.
Demos aci´on. Sea U:{(S, I, R)∈ ∧ :S > 0} → Rcon
U(S, I, R)=(α+η)I+ηR.
Luego, si R0≤1
U0(S, I, R) = −(γα + (α+η)(κ+α))I
S+I+R((1 −R0)S+I+R)≤0.
Si U0(S, I, R) = 0 en onces I= 0, o I=R= 0 y R0= 1. Po lo an o,
U(S, I, R) es una unci´on de Liapuno en ∧. En consecuencia, (I, R)→(0,0)
cuando → ∞. Usando I=R= 0 en la p ime a y la ´ul ima ecuaci´on de (2.8)
llegamos a que S→µ
αyR→0 cuando → ∞. Po an o, u ilizando el Teo ema
de LaSalle (Teo ema 1.10) se ob iene que es un pun o de equilib io globalmen e
asin ´o icamen e es able en ∧.
40
Cap´ı ulo 2. Modelo SIRI
Pa a el segundo pun o, cons uyendo una unci´on global de Liapuno a pa i
de una combinaci´on adecuada en e unciones cuad ´a icas y de Vol e a, en-
d emos que, si R0>1, el pun o es globalmen e asin ´o icamen e es able en el
in e io de ∧.
Teo ema 2.6. Supongamos que 2η+α≥κ. Si R0>1en onces el pun o de
equilib io E∗de (2.8) es globalmen e asin ´o icamen e es able en el in e io de
∧.
Demos aci´on. De inimos W:{(S, I, R)∈ ∧ :S, I, R > 0} → Rcon
W(S, I, R) = (S−S∗)+(I−I∗)+(R−R∗)−(S∗+I∗+R∗)ln (S+I+R)
(S∗+I∗+R∗)
+(κ+ 2α)(S∗+I∗+R∗)
β(I∗+ ∗)I−I∗−I∗ln I
I∗
+η(κ+ 2α)R∗(S∗+I∗+R∗)
γβI∗(I∗+R∗)R−R∗−R∗ln R
R∗
+(κ+ 2α)
2γ1 + S∗
I∗+R∗(R−R∗)2
S+I+R.
Cuando W(S, I, R)∈C1en el in e io de ∧,E∗es el m´ınimo global de W(S, I, R)
en ∧, y W(S∗, I∗, R∗) = 0. Como E∗es un pun o de equilib io de (2.8) enemos
Λ = α(S∗+I∗+R∗) + κI∗,
(κ+γ+α) = βS∗
S∗+I∗+R∗+ηR∗
I∗,
(α+η) = γI∗
R∗,
0 = (α+η)R∗−γI∗.
De i ando W(S, I, R) espec o a lo la go de las soluciones de (2.8) enemos
W0(S, I, R) = [(S−S∗)+(I−I∗)+(R−R∗)]
S+I+R(µ−α(S+I+R)−κI)
+(κ+ 2α)(S∗+I∗+R∗)
β(I∗+R∗)(I−I∗)βS
S+I+R−(κ+γ+α) + ηR
I
+η(κ+ 2α)R∗(S∗+I∗+R∗)
γβI∗(I∗+R∗)1−R∗
R(γI −(α+η)R)
+(κ+ 2α)
γ1 + S∗
I∗+R∗(R−R∗)
S+I+R(γI −(α+η)R)
−(κ+ 2α)
2γ1 + S∗
I∗+R∗(R−R∗)2
(S+I+R)2
d
d (S+I+R).
41
Cap´ı ulo 3. Es udio conjun o de los modelos SIR y SIRI
3.1.2. Es udio de la es abilidad de los pun os de equilib io
Pa a analiza la es abilidad de los pun os de equilib io u iliza emos los e-
sul ados de las Secciones 1.3. y 1.4., ya que el sis ema au ´onomo conside ado es
no lineal. El sis ema (3.2) puede eesc ibi se como
S0
I0=−µ0
0−µ−γ S
I+µ−βSI
βSI 
Sea
g:R+×R2→R2,
( , S, I)→g( , S, I),
al que
g( , S, I) = (µ−βSI, βSI),
que cumple g( , 0,0) = (µ, 0). No podemos aplica el Teo ema de es abilidad
en p ime a ap oximaci´on (Teo ema 1.6) ya que no es amos en las condiciones
iniciales. Es udia emos la es abilidad de los pun os de equilib io del sis ema
(3.2) bas´andonos en la linealizaci´on del mismo.
La ma iz jacobiana del sis ema au ´onomo SIR queda
J=

−µ−βI −βS
βI βS −µ−γ
.
Como hemos dicho an e io men e enemos dos casos a es udia .
El p ime caso que es udia emos es β≤µ+γ.
En es e caso el ´unico pun o de equilib io al que le podemos e su es abilidad
es (S∗
1, I∗
1) = (1,0).
Ma iz jacobiana co espondien e:
J(S∗
1,I∗
1)=

−µ−β
0β−µ−γ
.
Vamos aho a a calcula los au o alo es.

−µ−λ−β
0β−µ−γ−λ
= (−µ−λ)(β−µ−γ−λ)
(−µ−λ)(β−µ−γ−λ) = 0
Luego los au o alo es son
λ1=−µ
λ2=β−(µ+γ).
Como µ > 0, end emos que λ1<0, y como es amos en el caso β≤µ+γ
end emos que λ2<0. Po lo an o el pun o de equilib io es uni o memen e
48

Cap´ı ulo 3. Es udio conjun o de los modelos SIR y SIRI
asin ´o icamen e es able. En el con ex o del modelo SIR, es o signi ica que en el
caso en que el n´ume o inicial de indi iduos suscep ibles se ace que al n´ume o
o al poblacional y el n´ume o inicial de indi iduos in ecciosos se ace que a ce o,
en onces el n´ume o de indi iduos suscep ibles iende a es abiliza se en el ama˜no
de la poblaci´on, y el n´ume o de indi uos in ecciosos iende a 0 as un la go
pe iodo de iempo (la en e medad se ex ingui ´a).
Aho a es udia emos el caso β > µ +γ.
Tend emos que e la es abilidad de
(S∗
1, I∗
1) = (1,0),y,(S∗
2, I∗
2) = µ+γ
β, µ−1
β+1
µ+γ.
Pa a (S∗
1, I∗
1) = (1,0).
Como los au o alo es e an
λ1=−µ
λ2=β−(µ+γ)
el pun o de equilib io es un pun o de silla, ya que λ1>0, po se µ < 0,
yλ2<0, po es a en el caso β > µ +γ. En el con ex o del modelo
SIR, es o signi ica, que si el n´ume o inicial de indi iduos suscep ibles se
ace ca al o al poblacional y el n´ume o inicial de indi iduos in ecciosos se
ap oxima a ce o, en onces puede ocu i que dicha poblaci´on no uel a a
ene alo es, de indi iduos suscep ibles e in ec ados, ce canos a los alo es
iniciales as un la go pe iodo de iempo. Que el n´ume o de indi iduos
in ecciosos es e ce ca de ce o no implica que la en e medad se ex inga.
Pa a (S∗
2, I∗
2) = µ+γ
β, µ−1
β+1
µ+γ.
Su ma iz jacobiana co espondien e es
J(S∗
2,I∗
2)=



−βµ
µ+γ−(µ+γ)
−µ+βµ
µ+γ0




.
Calculamos sus au o alo es.

−βµ
µ+γ−λ−(µ+γ)
−µ+βµ
µ+γ−λ
=λ2+βµ
µ+γλ−µ(γ+µ) + βµ
λ2+βµ
µ+γλ−µ(γ+µ) + βµ = 0
49
Cap´ı ulo 3. Es udio conjun o de los modelos SIR y SIRI
λ=
−βµ
µ+γ±sβµ
µ+γ2
−4µ(β−γ−µ)
2
Como β≥γ+µ, en onces −4µ(β−γ−µ)<0.
Luego sβµ
µ+γ2
−4µ(β−γ−µ)<βµ
µ+γ.
Como enemos dos au o alo es con pa e eal nega i a, se a a de un
pun o de equilib io exponencialmen e asin ´o icamen e es able.
3.2. Compa a i a de los pun os de equilib io
Veamos p ime o un esumen ace ca de la es abilidad po modelos.
Es abilidad modelo SIR
Si β≤µ+γs´olo encon amos un pun o de equilib io, en conc e o el
(S∗
1, I∗
1) = (1,0), el cual es uni o memen e asin ´o icamen e es able.
Si β > µ +γencon amos como pun os de equilib io a
(S∗
1, I∗
1) = (1,0) →Ines able
(S∗
2, I∗
2) = µ+γ
β, µ−1
β+1
µ+γ →Exponencialmen e asin ´o icamen e es able .
Es abilidad modelo SIRI
Si σ≤µ
µ+ηs´olo encon amos un pun o de equilib io, el (S∗
1, I∗
1) = (1,0),
el cual es asin ´o icamen e es able.
Si σ > µ
µ+ηencon amos como dos pun os de equilib io a
(S∗
1, I∗
1) = (1,0) →Ines able
(S∗
2, I∗
2) = µ
(µ+η)σ,µ+η
βσ−µ
µ+η →Asin ´o icamen e es able .
Si u ilizamos la misma no aci´on en ambos modelos nos queda que pa a la
es abilidad del modelo SIRI:
Si β≤µ(µ+γ+η)
µ+ηs´olo encon amos un pun o de equilib io, el (S∗
1, I∗
1) =
(1,0), el cual es A.E.
Si β > µ(µ+γ+η)
µ+ηencon amos como dos pun os de equilib io a
(S∗
1, I∗
1) = (1,0) →Ines able
(S∗
2, I∗
2) = µ(µ+γ+η)
(µ+η)β,µ+η
µ+γ+η−µ
β →Asin ´o icamen e es able .
50
Cap´ı ulo 3. Es udio conjun o de los modelos SIR y SIRI
G ´a icamen e, y de mane a conjun a, las supe icies β=µ(µ+γ+η)
µ+ηy
β=µ+γque ob enemos son las siguien es.
FIG. 5: supe icies gene adas omando η= 1.
FIG. 6: Supe icies gene adas omando η= 10.
Ambos modelos compa en uno de los pun os de equilib io, (S∗
1, I∗
1) = (1,0).
Pa a e que ocu e en ese pun o enemos dos casos a es udia con dos condi-
ciones cada uno.
β≤µ(µ+γ+η)
µ+ηyβ≤µ+γ(3.3)
51
Cap´ı ulo 3. Es udio conjun o de los modelos SIR y SIRI
β > µ(µ+γ+η)
µ+ηyβ > µ +γ(3.4)
Pa a si ua los en la ec a eamos que desigualdad es m´as peque˜na y cual es
m´as g ande,
µ(µ+γ+η)
µ+ηQµ+γ
µ(µ+γ+η)Q(µ+γ)(µ+η)
µ2+µγ +µη Qµ2+µη +µγ +ηγ
0Qηγ.
Luego el lado izquie do es meno que el lado de echo de la desigualdad, es
deci ,
µ(µ+γ+η)
µ+η≤µ+γ.
La igualdad se da cuando η= 0. Es o iene sen ido ya que, que η= 0 signi ica
que el po cen aje de indi iduos que pasan de es a ecupe ados a ein ec a se es
ce o, luego el modelo SIRI es en ealidad el modelo SIR. Po lo an o el pun o
de equilib io se compo a ´ıa como en el modelo SIR.
Condici´on (3.3)
Tenemos que β oma un mayo ango de alo es pa a el modelo SIR. Cuan-
do η= 0 el ango de alo es que oma βse ´a el mismo. Si β≤µ(µ+γ+η)
µ+η
el pun o de equilib io se ´a es able pa a los modelos SIR y SIRI, y si
β > µ(µ+γ+η)
µ+ηel pun o de equilib io se ´a es able pa a el modelo SIR,
pe o ines able pa a el modelo SIRI.
52
Cap´ı ulo 3. Es udio conjun o de los modelos SIR y SIRI
Condici´on (3.4)
Tenemos que β oma un mayo ango de alo es pa a el modelo SIRI.
Cuando η= 0 el ango de alo es que oma βse ´a el mismo. Si β < µ +γ
el pun o de equilib io se ´a es able pa a el modelo SIR, pe o ines able pa a
el modelo SIRI, y si β > µ +γel pun o de equilib io se ´a ines able pa a
ambos modelos.
Veamos qu´e ocu e con los pun os de equilib io µ+γ
β, µ−1
β+1
µ+γ
yµ(µ+γ+η)
(µ+η)β,µ+η
µ+γ+η−µ
β.
Cuando η→0 ambos pun os de equilib io son iguales. Es l´ogico po que no
exis e po cen aje de indi iduos que pasan de es a ecupe ados a ein ec a se,
luego el modelo SIRI se con e i ´ıa en SIR. El pun o de equilib io en es e caso,
se compo a ´ıa como en el modelo SIR, es deci , E.A.E.
Pa a el caso en que η6= 0 end ´ıamos una condici´on pa a cada pun o de
equilib io.
Pa a µ+γ
β, µ−1
β+1
µ+γ enemos β > µ +γ.
Pa a µ(µ+γ+η)
(µ+η)β,µ+η
µ+γ+η−µ
β enemos β > µ(µ+γ+η)
µ+η.
Ambas desigualdades si uadas en la ec a nos queda ´ıan
53

Cap´ı ulo 3. Es udio conjun o de los modelos SIR y SIRI
Tenemos que β oma un mayo ango de alo es pa a el modelo SIRI. Cuando
η= 0 el ango de alo es que oma βse ´a el mismo. Si β < µ +γel pun o de
equilib io se ´a es able pa a el modelo SIRI, pe o ines able pa a el modelo SIR,
y si β > µ +γel pun o de equilib io se ´a es able pa a ambos modelos.
Conclusi´on. En la ac ualidad ambos modelos son de g an u ilidad, ya que
nos pe mi en e c´omo ac ´uan las en e medades, as´ı como la p opagaci´on y pe -
sis encia de ellas mismas. La p incipal di e encia en e ambos modelos es que el
modelo SIR nos pe mi e desc ibi en e medades in ecciosas en las cuales as un
pe iodo ela i amen e co o de in ecci´on, exis e una espues a inmune, a di e en-
cia del modelo SIRI en el que exis e una espues a inmune empo al. Es deci ,
cuando el coe icien e de indi iduos ein ec ados ale ce o en el modelo SIRI, en
ealidad se a a del modelo SIR, pues o que los indi iduos no p esen an una
eca´ıda en la en e medad. En cuan o a las di e encias y simili udes con espec o
al compo amien o asin ´o ico de las soluciones de ambos modelos enemos:
Pa a el pun o de equilib io (1,0) (es el mismo en ambos modelos).
Si es amos en la Condici´on (3.3): si β≤µ(µ+γ+η)
µ+ηlos pun os de
equilib io de ambos modelos se compo an de la misma o ma, y si β >
µ(µ+γ+η)
µ+ηdichos pun os se compo an de o mas dis in as.
Si es amos en la Condici´on (3.4): si β < µ +γlos pun os de equilib io de
se compo an de o ma dis in a en ambos modelos, pe o si β > µ +γse
compo an de la misma o ma.
Pa a los o os pun os de equilib io se end ´a que si β < µ +γlos pun os de
equilib io de ambos modelos se compo an de o ma dis in a, pe o si β > µ +γ
en onces los pun os de equilib io se compo an de la misma o ma.
54
Bibliog a ´ıa
[1] S. Sas y,Nonlinea Sys ems: Analysis, S abili y, and Con ol, Sp inge
(2013).
[2] T. Ca aballo, X. Han,Applied Nonau onomous and Random Dynami-
cal Sys ems, Sp inge (2016).
[3] C. Ma ´
ınez, M.A. Sanz,In oducci´on a las Ecuaciones Di e enciales
O dina ias, Re e ´e (1991).
[4] R.K. Mille , A.N. Michel,O dina y Di e en ial Equa ions, Academic
P ess (1982).
[5] D. Tudo ,A De e minis ic Model o He pes In ec ions in Human and
Animal Popula ions, SIAM Re ., 32 (1990), pp. 136-139.
[6] S. Blowe ,Modelling he geni al he pes epidemic, He pes 11 (Suppl. 3)
(2004) 138 A.
[7] H. N. Mo ei a, Y. Wang,Global s abili y in an S→I→R→Imodel
, SIAM Re ., 39 (1997), pp. 496-502.
[8] P. an den D iessche, X. Zou,Modelling elapse in in ec ious diseases,
Ma h. Biosci., 207 (2007), pp. 89-103.
[9] P. an den D iessche, L. Wang, X. Zou,Modelling diseases wi h la-
ency and elapse, Ma h. Biosci. Eng., 4 (2007), pp. 205-219.
[10] C. Va gas-De-Le´
on,On he global s abili y o in ec ious diseases models
wi h elapse, Abs ac ion & Applica ion, 9 (2013), pp.50-61.
[11] O. Diekmann, J.A.P. Hees e beek,Ma hema ical Epidemiology o In-
ec ious Diseases: Model Building, Analysis and In e p e a ion, Wiley Se ies
in Ma hema ical & Compu a ional Biology (2000).
[12] M.J. Keeling, P. Rohani,Modeling in ec ious diseases in human and
animals, P ince on Uni e si y P ess (2008).
[13] D.J. Daley, J. Gani,Epidemic Modelling: An In oduc ion, Camb idge
Uni e si y P ess (1999).
55