Aplicación de los sistemas diferenciales al estudio de un modelo epidemiológico con reinfección

Uni e sidad de Se illa Facul ad de Ma em´a icas T abajo Fin de G ado: Aplicaci´on de los sis emas di e enciales al es udio de un modelo epidemiol´ogico con ein ecci´on G ado en Ma em´a icas Au o : Me cedes Lindes Col´on Tu o : Tom´as Ca aballo Ga ido ´ Indice gene al 1. Concep os p e ios ace ca de sis emas di e enciales o dina ios 9 1.1. Concep os b´asicos de ecuaciones di e enciales o dina ias . . . . . 9 1.2. Es abilidad de los pun os de equilib io . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3. Es abilidad de sis emas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Es abilidad pa a sis emas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5. M´e odo de es abilidad de Liapuno . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6. ´ O bi as de sis emas au ´onomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.7. Sis emas din´amicos au ´onomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.7.1. Sis emas din´amicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7.2. A ac o global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2. Modelo SIRI 23 2.1. Tama˜no de poblaci´on cons an e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1. Compo amien o asin ´o ico de las soluciones . . . . . . . . 26 2.1.2. Es udio de la es abilidad de los pun os de equilib io . . . 30 2.2. Tasa de na alidad dis in a de asa de mo alidad. Mue e na u al dis in a de mue e po en e medad . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3. Tama˜no de poblaci´on no cons an e . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3. Es udio conjun o de los modelos SIR y SIRI 45 3.1. ModeloSIR ............................. 45 3.1.1. Compo amien o asin ´o ico de las soluciones . . . . . . . 47 3.1.2. Es udio de la es abilidad de los pun os de equilib io . . 48 3.2. Compa a i a de los pun os de equilib io . . . . . . . . . . . . . . 50 3 Abs ac Ma hema ical modeling, cu en ly, is a e y impo an elemen in heal h sys- em, since i allows s udying he incidence, sp ead and pe sis ence o in ec ious diseases. This s udy is e y use ul o comba o con ol epidemiological diseases wi h ein ec ion. The objec i e o his pape is o s udy de e minis ic SIRI mo- dels, as well as o compa e hem wi h de e minis ic SIR models. The pu pose o his compa ison is o ind ela ionships and di e ences be ween hese models. Bo h models do no s udy he beha io o a single indi idual, bu a e based on he classi ica ion o hem in g oups. The SIRI models di ide he indi iduals in o ou classes: Suscep ible, In ec ious, Reco e ed and Rein ec ed. These mo- dels a e e y use ul o he desc ip ion o in ec ious diseases in which indi i- duals ha e ela i ely sho pe iods o in ec ion and ha e a empo a y immune esponse. The dynamics be ween hese g oups is e lec ed in a sys em o h ee di e en ial equa ions. In his pape we will s udy he case in which he SIRI model has a popula ion size ha emains cons an (au onomous di e en ial sys em), al hough we will men ion o he possible si ua ions, among which he size o he popula ion a ies o e ime (non-au onomous di e en ial sys em). We will also s udy he SIR model, which is used o analyze diseases wi hou ein ec ion, in i s simples e sion, he case in which he popula ion also emains cons an (au onomous di e en ial sys em). Fo bo h models we will s udy he local asymp o ic beha io o he esul ing sys em. Fo his analysis i will be necessa y o make a s udy o he scien i ic li e a u e abou he au onomous dynamic sys ems, in o de o apply hem o he SIRI and SIR models. 5 In oducci´on Las en e medades epidemiol´ogicas han sido y siguen siendo un g an p oblema pa a la salud p´ublica en odo el mundo. El modelado ma em´a ico de dichas en e medades es un elemen o muy im- po an e pa a comba i las. G acias al modelado de las en e medades podemos es ablece una se ie de p opiedades esenciales de la ansmisi´on de la en e medad que nos acili a su p opio an´alisis. Es e an´alisis iene como obje i o de e mina la incidencia de la en e medad, as´ı como ayuda a oma las medidas sani a ias opo unas pa a su con ol o eliminaci´on. Al no se posible expe imen a con la ealidad, es os modelos nos pe mi en p edeci las consecuencias que puede e- ne in oduci cambios espec´ı icos. Tambi´en nos pe mi en en ende la o ma de expansi´on de la en e medad a a ´es de la poblaci´on bajo di e en es condiciones o escena ios. El p ime a ´ıculo que se conoce de una aplicaci´on ma em´a ica a una en- e medad in ecciosa ( i uela) es en 1760 po Daniel Be nouilli. En el mismo siglo, el abajo de Be nouilli es con inuado po Rond d’Alembe , que adem´as ue la p ime a pe sona en desc ibi la p opagaci´on de en e medades in ecciosas median e un modelo. En es e abajo a a emos el modelo epidemiol´ogico con ein ecci´on, S→I→R→I. Da id Tudo public´o en 1990 uno de los p ime os modelos capaz de expli- ca las en e medades epidemiol´ogicas con eca´ıda, pa a una poblaci´on cons an e y con asa de incidencia bilineal. [5] desa olla y analiza cuali a i amen e un modelo pa a la p opagaci´on de una in ecci´on de ipo he p´e ico en poblaciones humanas o animales. Es a ex ensi´on, de la modelizaci´on de en e medades hu- manas a la epidemiolog´ıa e e ina ia, nos p opo ciona g an in o maci´on ace ca de la Pseudo abia en el ce do. [5] nos p opo ciona una comple a in o maci´on ace ca de la exis encia y es abilidad local de los equilib ios. Pos e io men e Mo ei a y Wang incluye on en [7] las unciones de incidencia no lineal. Blowe desa oll´o un modelo pa a el he pes geni al en [6], suponiendo la incidencia es ´anda pa a la ansmisi´on de la en e medad y la asa de eclu- amien o cons an e. Van den D iessche y Zou, [8], desa olla on un modelo SIRI en una poblaci´on cons an e con incidencia es ´anda y una dis ibuci´on gene al de eca´ıdas. Es e modelo ambi´en es ap opiado pa a el es udio de la ube culosis en humanos y bo inos, as´ı como pa a la din´amica del consumo de abaco y alcohol. En es e modelo se pueden clasi ica los indi iduos de la poblaci´on en cua- o clases: Suscep ible (Suscep ibles), si los indi iduos no es ´an expues os al pa ´ogeno in eccioso, In ec ed (In ecciosos), si es ´an in ec ados po el pa ´ogeno, yReco e ed (Recupe ados) si as su i la in ecci´on la han eliminado. Aunque 7 In oducci´on es posible as ecupe a se ol e a su i una eca´ıda, con i i´endose as´ı en indi iduo Rein ec ed (Rein ec ados). La din´amica de ansmisi´on (o din´amica en e es os g upos) es a ´a ep esen- ada po un sis ema de ecuaciones di e enciales, con 3 ecuaciones di e enciales. Los obje i os pe seguidos en es e abajo, den o del ma co gene al de Ecuacio- nes Di e enciales, son: 1. Hace una e isi´on de la li e a u a cien ´ı ica especializada en sis emas din´amicos au ´onomos. 2. Es udia el compo amien o asin ´o ico local del modelo au ´onomo SIRI. 3. Es udia el compo amien o asin ´o ico local del modelo au ´onomo SIR. 4. Es udia las elaciones en es los compo amien os asin ´o icos de las solu- ciones de los modelos au ´onomos SIR y SIRI. Es e abajo lo componen 3 cap´ı ulos. En el Cap´ı ulo 1 se mues an concep os y esul ados ya conocidos de asigna- u as como Ecuaciones Di e enciales O dina ias (EDO) y Ampliaci´on de Ecua- ciones Di e enciales (AED), que nos se ´an de g an u ilidad pa a analiza el compo amien o asin ´o ico de las soluciones en cap´ı ulos pos e io es. En el Cap´ı ulo 2 o mula emos el modelo SIRI au ´onomo, y es udia emos en de alle el compo amien o asin ´o ico local de las soluciones del modelo hacien- do uso de los esul ados del Cap´ı ulo 1. En las Secciones 2 y 3, comen a emos a iaciones en el modelo SIRI conside ado en la Secci´on 1.Tambi´en mos a e- mos esul ados ace ca del compo amien o asin ´o ico global de las soluciones de dichos modelos. En el Cap´ı ulo 3 nues o obje i o es es udia las elaciones y di e encias en e los modelos SIR y SIRI au ´onomos. Pa a ello se uel e necesa io o mula el modelo SIR au ´onomo, y es udia el compo amien o asin ´o ico local de sus soluciones. Fij´andonos en el compo amien o asin ´o ico local de las soluciones de ambos modelos ealiza emos la compa aci´on, iendo la elaci´on que gua dan en e ambos. 8 Cap´ı ulo 1 Concep os p e ios ace ca de sis emas di e enciales o dina ios El obje i o p incipal es es udia el compo amien o asin ´o ico local de las so- luciones de un sis ema di e encial que lle ado a la p ´ac ica, nos pe mi a modela cie os en´omenos epidemiol´ogicos. Pa a ello se uel e necesa io ealiza una e- isi´on de la li e a u a cien ´ı ica cen ada en sis emas de ecuaciones di e enciales. En es e cap´ı ulo amos a eco da algunos concep os ya es udiados en las asigna- u as Ecuaciones Di e enciales O dina ias yAmpliaci´on de Ecuaciones Di e enciales. En ambas asigna u as se es udia el compo amien o asin ´o ico local pa a las soluciones del P oblema de Valo es Iniciales o P oblema de Cauchy y0= ( , y), y( 0) = y0, donde Ω ⊆RN+1 es un abie o conexo, : Ω 7−→ RN es una unci´on que sa is ace ∈C0(Ω,RN)∩Liploc(y, Ω) y ( 0, y0)∈Ω. Siendo Liploc(y, Ω) el espacio de unciones de inidas de Ω en RNque son localmen e Lipschi zianas espec o de la a iable y en Ω. Enuncia emos algunos esul ados como el Teo ema de LaSalle, que nos se ´an de g an u ilidad pa a el an´alisis del compo amien o de las soluciones. 1.1. Concep os b´asicos de ecuaciones di e encia- les o dina ias Sea Ω ⊆RN+1, N ≥1 en e o, abie o conexo dis in o de ac´ıo. Sea am- bi´en : Ω ⊆RN+1 →RN unci´on con inua en Ω, y ( 0, y0)∈Ω un pun o. Conside amos el p oblema de Cauchy y0= ( , y) y( 0) = y0(1.1) 9 Cap´ı ulo 1. Concep os p e ios ace ca de sis emas di e enciales o dina ios 2. Se dice que V∈C1(Bρ)∩C0(Bρ)es una unci´on de Liapuno de Bρpa a el sis ema au ´onomo (1.10) si V es de inida posi i a en Bρy· V(y)≤0, pa a odo y∈Bρ. Teo ema 1.8 (Condiciones su icien es de es abilidad de Liapuno ).Sean ρ > 0, al que Bρ⊂DyV∈C1(Bρ)una unci´on de Liapuno en Bρpa a el sis ema (1.10). En onces: 1. La soluci´on ϕ0de (1.10) en Res uni o memen e es able. 2. Si adem´as · Ves de inida nega i a en Bρ, en onces la soluci´on ϕ0de (1.10) en Res uni o memen e asin ´o icamen e es able. 3. Si exis en cons an es c1, c2, c3>0 ales que c1|y|2≤V(y)≤c2|y|2, y · V(y)≤ −c3|y|2,∀y∈Bρ,(1.11) en onces la soluci´on ϕ0de (1.10) en Res exponencialmen e asin ´o ica- men e es able. A con inuaci´on da emos una condici´on su icien e pa a es ablece la ines a- bilidad de la soluci´on nula del sis ma di e encial o dina io au ´onomo. Teo ema 1.9 (Teo ema de Tche ae ).Supongamos que exis en ρ > 0y V∈C1(Bρ) ales que Bρ⊂Dy se cumple: 1. V(0) = 0. 2. · Ves de inida posi i a en Bρ. 3. Pa a cualquie σ∈(0, ρ)exis e yσ∈Bσ al que V(yσ)>0. En onces, la soluci´on nula ϕ0de (1.10) es ines able. 1.6. ´ O bi as de sis emas au ´onomos Pa a es a secci´on conside a emos el sis ema di e encial o dina io au ´onomo y0=F(y) (1.12) con F:D→RN, D ⊆RNun abie o conexo no ac´ıo y F∈C0(D;RN)∩Liploc(D). En es a secci´on ealiza emos un es udio cuali a i o de la soluci´on maximal ϕ(·, 0, y0), con ( 0, y0)∈R×D. P oposici´on 1.1. Conside amos el sis ema au ´onomo (1.12) con F∈Liploc(D). Pa a 0∈Rey0∈D, sea ϕ(·; 0, y0)la soluci´on maximal del p oblema de Cauchy asociado a (1.12). En onces: 1. I( 0, y0) = 0+I(0, y0)≡ 0+I(y0). 2. ϕ( ; 0, y0) = ϕ( − 0; 0, y0), pa a cualquie ∈I( 0, y0). 16 Cap´ı ulo 1. Concep os p e ios ace ca de sis emas di e enciales o dina ios P oposici´on 1.2. Conside emos el sis ema au ´onomo (1.12) con F∈Liploc(D). Sean ∈Rey0∈D. En onces, si 1∈I( 0, y0)ey1=ϕ( ; 1, y1), se iene I( 0, y0) = I( 1, y1)yϕ( ; 0, y0) = ϕ( ; 1, y1),∀ ∈I( 0, y0). Co ola io 1.1. En las condiciones de la P oposici´on 1.1, sea 0∈R,y0∈D, 1∈I(y0)ey1=ϕ( 1; 0, y0). En onces, I(y0) = 1+I(y1)y ϕ( ; 0, y1) = ϕ( + 1; 0, y0),∀ ∈I(y1). No a 1.6.1. Equi alen emen e a lo an e io , ϕ( ; 0, y0) = ϕ( − 1; 0, y1)pa a cualquie ∈I(y0). Veamos aho a la de icinici´on de ´o bi a del sis ema (1.12) que pasa po un pun o y0∈D. De inici´on 1.13. Sea y0∈Dy deno emos I(y0) = I(0, y0). Se llama ´o bi a del sis ema au ´onomo (1.12) asociada a y0al conjun o γ(y0)dado po γ(y0) = {ϕ( ; 0, y0) : ∈I(y0)} ⊂ D. A con inuaci´on p esen amos las de iniciones de semi´o bi a posi i a y nega i a del sis ema (1.12) que pasa po y0. De inici´on 1.14. Sea y0∈D, 1. De inimos la semi´o bi a posi i a del sis ema (1.12) asociada a y0como el conjun o: γ+(y0) = {ϕ( ; 0, y0) : ∈I(y0), ≥0}. 2. De inimos la semi´o bi a nega i a del sis ema (1.12) asociada a y0como el conjun o: γ−(y0) = {ϕ( ; 0, y0) : ∈I(y0), ≥0}. Aho a se mues a la de inici´on de conjun o in a ian e pa a nues o sis ema. De inici´on 1.15. Sea Γ⊆D. 1. Se dice que Γes un conjun o in a ian e pa a el sis ema au ´onomo (1.12) si pa a cualquie y0∈Γse sa is ace γ(y0)⊆Γ. 2. Se dice que Γes un conjun o posi i amen e in a ian e ( esp., nega i a- men e in a ian e) pa a el sis ema au ´onomo (1.12) si se iene γ+(y0)⊆Γ ( esp., γ−(y0)⊆Γ), pa a cualquie y0∈Γ. De inici´on 1.16. 1. Se dice que p∈RNes un pun o l´ımi e posi i o ( esp., pun o l´ımi e nega i o) asociado al sis ema (1.12) y al pun o y0∈Dsi exis e una sucesi´on { n}n∈N⊂I( 0) al que (a) lim n=supI(y0)y n→ ∞ ( esp., lim n=in I(y0)y n→ −∞). (b) l´ım n→∞ ϕ( n; 0; y0) = p. 2. Dado y0∈D, se denomina conjun o l´ımi e posi i o asociado al sis ema (1.12) y al pun o y0al conjun o Λ+(y0) = {p∈RN:pes un pun o l´ımi e posi i o asociado a (1.12) y a y0}, y conjun o l´ımi e nega i o asociado al sis ema (1.12) y al pun o y0al conjun o Λ−(y0) = {p∈RN:pes un pun o l´ımi e nega i o asociado a (1.12) y a y0}. 17 Cap´ı ulo 1. Concep os p e ios ace ca de sis emas di e enciales o dina ios El esul ado que damos a con inuaci´on nos asegu a que, bajo unas condi- ciones espec´ı icas, exis en conjun os in a ian es espec o del sis ema au ´onomo que a aen las ´o bi as del sis ema. Es e esul ado comple a el Teo ema de es a- bilidad de Liapuno dando una condici´on que asegu a que la soluci´on nula del sis ema es uni o memen e asin ´o icamen e es able. Teo ema 1.10 (Teo ema de LaSalle).Conside emos el s.d.o. (1.12). Sea K⊂D un conjun o compac o no ac´ıo y sea V∈C1(D) al que · V(y)≤0pa a cual- quie y∈K. Sea y0∈K al que γ+(y0)⊆K. Deno emos po E={y∈K:· V(y)=0}, y sea Mel mayo subconjun o in a ian e pa a el sis ema (1.12) de E. En onces: 1. I(y0)⊃[0,∞). 2. Λ+(y0)⊆M(y po an o, M6=∅). 3. l´ım →∞ dis (ϕ( ; 0, y0), M)=0. Po ´ul imo en es a secci´on e emos el Teo ema de Poinca ´e-Bendixson que nos ayuda ´a a de e mina el compo amien o asin ´o ico de las ´o bi as de los sis emas au ´onomos planos. Es e eo ema s´olo es ´alido pa a dimensi´on 2, como mucho. Teo ema 1.11 (Teo ema de Poinca ´e-Bendixson).Conside emos el sis ema au ´onomo (1.12) con F∈C1(D)yD⊆R2un abie o conexo no ac´ıo. Sea y0∈K⊂Dcon Kun compac o al que γ+(y0)⊂K( esp., γ−(y0)⊂K). Supongamos que Λ+(y0)( esp., Λ−(y0)) no con iene pun os c ´ı icos de (1.12). En onces, 1. Λ+(y0)( esp., Λ−(y0)) es una ´o bi a c´ıclica no degene ada. 2. O bien γ(y0)es una ´o bi a c´ıclica (y en el caso γ(y0)=Λ+(y0)) ( esp., γ(y0)=Λ−(y0)), o bien γ+(y0)( esp., γ−(y0)) se ace ca en espi al hacia Γ+(y0)( esp., Γ−(y0)), en cuyo caso se dice que Γ+(y0)( esp., Γ−(y0)) es un ciclo-l´ımi e. 1.7. Sis emas din´amicos au ´onomos Conside amos el s.d.o. au ´onomo siguien e y0=F(y),(1.13) donde F:D→RN∈Liploc(D) y D⊆RNes un abie o conexo no ac´ıo. No a 1.7.1. En es e caso los concep os de es abilidad, es abilidad uni o me, a ac i idad, y a ac i idad uni o me son equi alen es. 18 Cap´ı ulo 1. Concep os p e ios ace ca de sis emas di e enciales o dina ios 1.7.1. Sis emas din´amicos En es a subsecci´on mos amos un esumen de p opiedades y esul ados sob e sis emas din´amicos au ´onomos. De inici´on 1.17. Sea X un espacio m´e ico. Un sis ema din´amico con inuo es una amilia de aplicaciones {S( ) : ∈R}de inidas como: S( ) : X−→ X x−→ S( )x y que e i ican: 1. S(0)x=IdX(x). 2. (P opiedad de g upo) S( 1+ 2) = S( 1)◦S( 2), pa a cada 1, 2∈R. 3. S( ) : X→Xes una aplicaci´on con inua pa a odo ∈R. 4. La aplicaci´on ∈R→S( )xes una aplicaci´on con inua pa a cada x∈X. De inici´on 1.18. Sea X un espacio m´e ico. Un sis ema semi-din´amico con i- nuo o semig upo es una amilia de aplicaciones {S( ) : ≥0}de inidas como S( ) : X−→ X x−→ S( )x y que e i ican: 1. S(0)x=IdX(x). 2. (P opiedad de semig upo) S( 1+ 2) = S( 1)◦S( 2), pa a cada 1, 2≥0. 3. S( ) : X→Xes una aplicaci´on con inua pa a odo ≥0. 4. La aplicaci´on ∈[0,∞)→S( )xes una aplicaci´on con inua pa a cada x∈X. Suponemos dado un sis ema semi-din´amico de la o ma {S( ) : ≥0}. De inici´on 1.19. Sean X un espacio m´e ico y D⊂X. 1. Se dice que Des posi i amen e in a ian e si S( )D⊆D, pa a odo ≥0. 2. Se dice que Des nega i amen e in a ian e si S( )D⊇D, pa a odo ≥0. 3. Se dice que Des in a ian e si S( )D=D, pa a odo ≥0. Pues o que en es e abajo nos cen a emos en los sis emas semi-din´amicos con inuos, a pa i de aho a omi i emos la palab a con inuos. Aho a eesc ibi emos algunas de iniciones de las secciones an e io es en ´e mi- nos del siguien e sis ema semi-din´amico. Vamos a conside a , pa a el p op´osi o de es e abajo, X=RN(dimensi´on ini a). De aho a en adelan e, conside a- emos ambi´en el sis ema semi-din´amico {S( ) : ≥0}de inido como S( )y0=ϕ( ; 0, y0) donde ϕ( ; 0, y0) deno a la soluci´on maximal del sis ema (1.13) al que ϕ(0; 0, y0) = y0. Se puede e que el sis ema de inido as´ı (pa a aquellos alo es de del in e alo de de inici´on de la soluci´on maximal) es un sis ema semi-din´amico. 19 Cap´ı ulo 1. Concep os p e ios ace ca de sis emas di e enciales o dina ios De inici´on 1.20. Dados un espacio m´e ico Xyu∈X, llamamos semi´o bi a posi i a que pasa po u(o empieza en u) al conjun o: γ+(u) = {S( )u: ≥0}. De inici´on 1.21. Dados un espacio m´e ico Xyu∈X, llamamos semi´o bi a nega i a que pasa po u(o e mina en u) al conjun o: γ−(u) = {S(− )u: > 0}. De inici´on 1.22. Dados un espacio m´e ico Xyu∈X, se llama ´o bi a que pasa po ual conjun o γ(u)dado po : γ(u) = γ+(u)∪γ−(u). De inici´on 1.23. Sea y0∈X. Se dice que y0es un pun o c ´ı ico o pun o es aciona io pa a el sis ema (1.13) si se e i ica S( )y0=y0, pa a odo ∈R. No a 1.7.2. Tenemos que y0∈Xes un pun o c ´ı ico pa a el sis ema (1.13) si y solo si γ(y0) = {y0}. De inici´on 1.24. Sean X un espacio m´e ico, u0∈XyD⊂X. 1. Llamamos conjun o w- l´ımi e asociado a u0∈Xy deno ado po w(u0)al conjun o: Λ(u0) = {u∈X:∃{ n}n∈N⊂R, n→ ∞, S( n)u0→u}. 2. Llamamos conjun o w- l´ımi e asociado a D⊂Xy deno ado po w(D)al conjun o: Λ(D) = {u∈X:∃{ n}n∈N⊂R, n→ ∞,∃{dn}n∈N⊆D, S( n)dn→u}. Lema 1.1. Sean Xun espacio m´e ico, u0∈X, y D⊂X. Se e i ica: 1. Λ(u0) = ≥0[ s≥ S(s)u0= T≥0 γ+ T(u0),donde γ+ T(u0) = {S( )u0: ≥T}. 2. Λ(D) = ≥0[ s≥ S(s)D= T≥0 γ+ T(D),donde γ+ T(D) = [ u∈D γ+ T(u). No a 1.7.3. Los concep os de l´ımi e posi i o y w-l´ımi e coinciden si {S( ) : ≥0} es un sis ema semi-din´amico de inido como sigue S( )y0=ϕ( ; 0, y0), con ϕ( ; 0, y0)como soluci´on maximal del sis ema (1.13). 20 Cap´ı ulo 1. Concep os p e ios ace ca de sis emas di e enciales o dina ios 1.7.2. A ac o global De inici´on 1.25. Sean Xun espacio m´e ico y A⊂X. Se dice que Aes abso ben e espec o del sis ema semi-din´amico {S( ) : ≥0}si pa a odo B⊂X aco ado exis e T(B)≥0 al que: S( )B⊂A, ∀ ≥T(B). De inici´on 1.26. Sean AyBsubconjun os de X. Di emos que Aa ae a Bsi dis (S( )B, A)→0,cuando → ∞, es deci , si pa a cada  > 0exis e un iempo T=T() al que pa a odo ≥T y pa a odo u∈Bse iene dis (S( )u, A)< . De inici´on 1.27. Di emos que Aes a ac o pun ual si a ae a cada pun o de X. No a 1.7.4. La dis ancia a la que se e ie e la de inici´on an e io es en ealidad la semi-dis ancia de Hausdo , dis (A, B) = sup a∈A ´ın b∈B|a−b|. Algunas p opiedades de es a semi-dis ancia son: (a) dis (∅, Y )=0. (b) dis (X, ∅)no es ´a de inida. (c) dis (X, Y ) = dis (Y, X). (d) Es a dis ancia no de ine una m´e ica debido a que dis (X, Y )=0s´olo implica que X⊂¯ Y. (e) Si Y1⊂Y2=⇒dis (X, Y1)≥dis (X, Y2). ( ) Si X1⊂X2=⇒dis (Y, X1)≤dis (Y, X2). De inici´on 1.28. Sea (X, d)un espacio m´e ico y {S( ) : ≥0}un sis ema semi-din´amico. Se dice que A⊂Xes un a ac o global pa a {S( ) : ≥0}si e i ica: 1. Aes compac o. 2. Aes in a ian e. 3. Aa ae a odos los subconjun os aco ados de X. 21 Cap´ı ulo 1. Concep os p e ios ace ca de sis emas di e enciales o dina ios Exis encia de a ac o global Ve emos aho a una condici´on su icien e de exis encia de a ac o global. Pa a ello amos a hace uso del siguien e lema. Lema 1.2. Sea B⊂X. Si pa a alg´un T > 0el conjun o γ+ T(B) = [ ≥T S( )B es compac o, en onces Λ(B)es no ac´ıo, compac o e in a ian e. Teo ema 1.12 (Condici´on su icien e de exis encia de a ac o global).Sea (X, d)un espacio m´e ico comple o. Supongamos que {S( ) : ≥0}es un sis e- ma semi-din´amico en dicho espacio y que exis e B⊂Xabso ben e y compac o. En onces exis e un a ac o global Ade inido po A= Λ(B). Adem´as, si Xes conexo, en onces Aes conexo. Lema 1.3. Si exis e un a ac o global, es e es ´unico. 22 Cap´ı ulo 2 Modelo SIRI El modelo SIRI es un modelo capaz de desc ibi la din´amica de poblaciones en la que se desa olla una in ecci´on. Pa a ello sabemos que exis en cua o ipos de poblaci´on: Suscep ibles (Suscep ible), son aquellos indi iduos que no en an en con ac o con el pa ´ogeno; In ecciosos (In ec ious), aquellos que es ´an in ec- ados po el agen e pa ´ogeno; Recupe ados (Reco e ed), si se han ecupe ado po comple o de la in ecci´on; y po ´ul imo Rein ec ados (Rein ec ed), los cuales as es a ecupe ados de la in ecci´on uel en a en a en con ac o con el agen e pa ´ogeno y pasan a se in ec ados po ´el de nue o, po lo que pasan a o ma pa e, o a ez, del g upo de los in ec ados . Deno a emos S( ), I( ) y R( ) al n´ume o de indi iduos suscep ibles, in ec- ciosos y ecupe ados, espec i amen e, a lo la go del iempo , pa a cada ≥0. Po la p opia na u aleza de la poblaci´on s´olo iene sen ido conside a soluciones no nega i as, S( )≥0, I( )≥0 y R( )≥0, pa a cada ≥0. En es e cap´ı ulo aba ca emos dis in as si uaciones. El caso en el que nos ex ende emos se ca- ac e iza po man ene el n´ume o de indi iduos cons an e. Tambi´en e emos el caso en que la asa de na alidad no coincide con la asa de mo alidad as´ı como la mue e na u al no coincide con la mue e po en e medad, y po ´ul imo el caso en que la poblaci´on no se man iene cons an e. 2.1. Tama˜no de poblaci´on cons an e Como el n´ume o de indi iduos pe manece cons an e en cualquie ins an e de iempo , podemos asumi que S( )+I( )+R( )=1,∀ ≥0. Es ob io que la asa de na alidad es la misma que la asa de mo alidad, µ > 0, ya que la poblaci´on se man iene cons an e. A la asa de con ac o en e suscep ibles e in ec ados y al coe icien e de indi iduos que pasan de in ec ados a ecupe ados los llama emos, espec i amen e, β > 0 y γ > 0. Tambi´en deno a emos po η > 0 al coe icien e de indi iduos ein ec ados (aquellos que as ecupe a se pie den la inmunidad en e al pa ´ogeno y uel en a in ec a se). Supond emos que la asa de mue e po in ecci´on se ´a la misma que la asa de mue e na u al. Conside amos las siguien es hip´o esis: Un indi iduo pasa a o ma pa e del g upo de los suscep ibles, ´unicamen- e, po nacimien o. 23 Cap´ı ulo 2. Modelo SIRI Pa a que un indi iduo abandone el g upo de los suscep ibles ha de hace lo po mue e na u al o po con e i se en indi iduo in eccioso. Asumimos que cada indi iduo in ec ado iene un n´ume o ijo βde con- ac os po d´ıa. Esos con ac os pueden ealiza se con indi iduos in ec ados o indi iduos suscep ibles, lo cual se ´ıa su icien e pa a con agia se de la en e medad. Un indi iduo puede abandona el g upo de los in ec ados o bien po mue e po in ecci´on, o bien po ecupe aci´on de la en e medad. Asumimos que la p opo ci´on de indi iduos in ec ados que se ecupe an en un d´ıa, γ, es ija. Hay dos o mas de abandona el g upo de los ecupe ados: po mue e na u al, o po con e i se en indi iduo in eccioso de nue o. Asumimos que la p opo ci´on de indi iduos ecupe ados que se ein ec an po d´ıa, η, es ija. Rep esen aci´on esquem´a ica de la din´amica de ansmisi´on: El sis ema esul an e iene de inido po el siguien e sis ema di e encial:    S0=µ−µS −βSI I0=βSI −µI −γI +ηR R0=γI −µR −ηR (2.1) El siguien e eo ema nos mos a ´a que el sis ema an e io posee una ´unica soluci´on maximal. Teo ema 2.1. Sea (S0, I0, R0)∈R3. En onces exis e una ´unica soluci´on ma- ximal de (2.1). Adem´as si (S0, I0, R0)∈R3 +, en onces ϕ( ; 0, S0, I0, R0)∈R3 +. 24 Cap´ı ulo 2. Modelo SIRI Demos aci´on. Sea :R3→R3, (S, I, R) = "µ−µS −βSI βSI −µI −γI +ηR γI −µR −ηR #. Como se puede obse a la unci´on es con inua en R3po a a se de polinomios. Veamos que ambi´en se a a de una unci´on localmen e Lipschi ziana. Tomamos 1, 2, 3como las espec i as ilas de la ma iz . ∂ 1 ∂S =−µ−βI ∂ 1 ∂I =−βS ∂ 1 ∂R = 0 ∂ 2 ∂S =βI ∂ 2 ∂I =βS −µ ∂ 2 ∂R =η ∂ 3 ∂S = 0 ∂ 3 ∂I =γ ∂ 3 ∂R =−µ−η Todas ellas son con inuas en R3, po lo que es localmen e Lipschi ziana. Luego aplicando el eo ema de exis encia y unicidad de soluci´on maximal (Teo ema 1.4), enemos que pa a cada (S0, I0, R0)∈R3exis e una ´unica soluci´on maximal, ϕ(·; 0, S0, I0, R0), de (2.1). Tomamos aho a (S0, I0, R0)∈R3 +. Vemos que exis e soluci´on posi i a. dS d S=0 =µ > 0 dI d I=0 =γI0>0 dR d R=0 =ηR0>0 Todas ellas son posi i as, luego ϕ( ; 0, S0, I0, R0)∈R3 +. No a 2.1.1. A pa i de aho a oma emos S0=S(0), I0=I(0), R0=R(0). Vol iendo a nues o sis ema (2.1), como la poblaci´on la hemos supues o que pe manece cons an e (1 = S( )+I( )+R( )), dicho sis ema di e encial se puede educi al siguien e: S0=µ−µS −βSI I0=βSI −µI −γI +η(1 −S−I)(2.2) 25 Cap´ı ulo 2. Modelo SIRI Tomamos aho a a=µ, b = (β σ)(σ−1), c = 4βη. Tenemos que e el signo de los au o alo es de −a+b±p(a+b)2+c. Sabemos que a, c > 0, ya que µ > 0 y βη > 0 po se β > 0 y η > 0. Po lo an o s´olo enemos dos casos a conside a , uno que b > 0 y el o o que b≤0. 1. b > 0 (σ > 1). (a+b)2=a2+b2+ 2ab = (b−a)2+ 4ab −→ (a+b)2−4ac = (b−a)2 Es deci , p(a+b)2−4ac =| − a+b|. Adem´as, p(a+b)2−4ac < p(a+b)2+c. Luego llegamos a que 0 <| − a+b|<p(a+b)2+c. Como enemos dos au o alo es eales y de dis in o signo, llegamos a la conclusi´on de que el pun o de equilib io se a a de un pun o de silla (ines able). 2. b≤0 (σ≤1). Como pa imos de −a+b±p(a+b)2+c, enemos dos posibilidades: (a) −a+b−p(a+b)2+c < 0 enemos un au o alo eal nega i o. (b) −a+b+p(a+b)2+c > 0 si y solo s´ı p(a+b)2+c > a−b > 0 dado que es la suma de dos can idades posi i as (−b > 0). Luego de p(a+b)2+c > p(a+b)2−4ab =a−bllegamos a que c > −4ab, es deci , −c 4a< b ≤0. Con la no aci´on inicial se ´ıa β σ(σ−1) >−ηβ µ. Como b≤0⇐⇒ σ≤1. En onces β σ(σ−1) >−ηβ µ⇐⇒ σ−1 σ>−η µ⇐⇒ σ > µ µ+η. En esumen, pa a el p ime pun o de equilib io enemos: Si σ > 1, enemos que el pun o de equilib io es ines able. En el con ex o del modelo SIRI, enemos que si el n´ume o inicial de indi iduos suscep ibles se ace que al o al de la poblaci´on y el n´ume o inicial de indi iduos in ecciosos se ace que a ce o, puede ocu i , que as un la go pe iodo de iempo, la poblaci´on no uel a a ene un n´ume o de indi iduos suscep ibles e in ecciosos ce canos a los alo es iniciales. Que el n´ume o de indi iduos in ecciosos es e p ´oximo a ce o no implica que la en e medad se haya ex inguido po comple o en la poblaci´on. Si 0 <µ µ+η< σ ≤1, enemos un au o alo eal nega i o y un au o a- lo eal posi i o, luego se a a ´a de un pun o de silla (ines able). En el con ex o del modelo SIRI, es o signi ica que en el caso de que el n´ume o 32 Cap´ı ulo 2. Modelo SIRI inicial de indi iduos suscep ibles se ace que al n´ume o o al poblacional y el n´ume o inicial de indi iduos in ecciosos se ace que a ce o, puede suce- de , que as un la go pe iodo de iempo, la poblaci´on no uel a a ene un n´ume o de indi iduos suscep ibles e in ecciosos ce canos a los alo es iniciales. Hay que ene en cuen a que, que el n´ume o de indi iduos in ec- ciosos es e p ´oximo a ce o no implica que la en e medad se haya ex inguido en la poblaci´on. Si 0 < σ < µ µ+η≤1, enemos dos au o alo es eales nega i os, luego se a a ´a de un pun o de equilib io asin ´o icamen e es able. En el con ex o del modelo SIRI, es o signi ica que en el caso de que el n´ume o inicial de indi iduos suscep ibles se ace que al n´ume o o al poblacional y el n´ume o inicial de indi iduos in ecciosos se ace que a ce o, en onces, as un la go pe iodo de iempo, el n´ume o de indi iduos suscep ibles en la poblaci´on iende a es abiliza se en el ama˜no de la poblaci´on y el n´ume o de indi- iduos in ecciosos iende a ce o, es deci , la en e medad se ex ingui ´a po comple o. Si 0 <µ µ+η=σ≤1, enemos un au o alo igual a 0 y o o au o alo eal nega i o, luego se a a ´a de un pun o de equilib io es able. En el con ex o del modelo SIRI, es o signi ica que en el caso de que el n´ume o inicial de indi iduos suscep ibles se ace que al n´ume o o al poblacional y el n´ume o inicial de indi iduos in ecciosos se ace que a ce o, en onces an o el n´ume o de indi iduos suscep ibles como el n´ume o de indi iduos in ec- ciosos pe manece ´an lo su icien emen e p ´oximos a sus alo es iniciales, espec i amen e, pa a siemp e. Veamos aho a la es abilidad del pun o (S∗ 2, I∗ 2) = µ (µ+η)σ,µ+η βσ−µ µ+η. La ma iz jacobiana co espondien e a es e pun o se ´ıa J(S∗ 2,I∗ 2)=    −µ−(µ+η)(σ−µ µ+η)−βµ (µ+η)σ (µ+η)(σ−µ µ+η)−ηβµ (µ+η)σ−(µ+γ+η)     . Simpli icando la ma iz an e io nos queda ´ıa J(S∗ 2,I∗ 2)=    −(µ+η)σ−βµ (µ+η)σ (µ+η)σ−µ−ηβµ (µ+η)σ−(µ+γ+η)     . Calculamos el de e minan e y la aza de la ma iz an e io . 33 Cap´ı ulo 2. Modelo SIRI (J(S∗ 2,I∗ 2)) = −(µ+η)σ+β σ(µ µ+η−1) de (J(S∗ 2,I∗ 2)) = β σ(µ+η)(σ−µ µ+η) La ecuaci´on ca ac e ´ıs ica co espondien e es 2+ [(µ+η)σ−β σ(µ µ+η−1)] +β σ(µ+η)(σ−µ µ+η)=0. El disc iminan e, (µ+η)σ−β σ(µ µ+η−1)2 −4β σ(µ+η)(σ−µ µ+η), al eag upa los ´e minos nos queda (µ+η)σ+β σµ µ+η−12 + 4µβ1−σ σ. Es e disc iminan e se ´a posi i o cuando σ≤1. Luego cuando σ≤1 la ma iz end ´a dos au o alo es eales. Pa a e el signo de es os au o alo es amos a oma a= (µ+η)σ b=β σµ µ+η−1 c= 4µβ1−σ σ. Es cla o que a > 0, b > 0 y c≤0. Los au o alo es son de la o ma −a+b±p(a+b)2+c. 1. σ≤1. En es e caso siemp e se iene que −a+b−p(a+b)2+c < 0. Con espec o al o o au o alo −a+b+p(a+b)2+c > 0 si y solo s´ı −c 4a≤b, adem´as −c 4a≤bsi y solo s´ı σ≤µ µ+η. Po lo an o, si σ≤µ µ+η, el pun o de equilib io es un pun o de silla, y si µ µ+η< σ ≤1, el pun o de equilib io es es able. 2. σ > 1(c < 0). Tenemos dos casos: (a+b)2+c≥0. En onces −a+b−p(a+b)2+c < 0, y el o o au o alo −a+b+p(a+b)2+c > 0 si y solo s´ı −c 4a≤b, adem´as −c 4a≤bsi y solo s´ı (β σ)µ (µ+η)−1≥βµ(σ−1)(σ) (µ+η)σ. Pe o es o no es posible pa a η6= 0 ya que nos queda ´ıa β σµ (µ+η)−1<0, y a 34 Cap´ı ulo 2. Modelo SIRI su ez es o no es posible dado que el lado de echo de la inecuaci´on es posi i o. Po lo an o, el segundo au o alo es nega i o, y en onces el pun o de equilib io es asin ´o icamen e es able. (a+b)2+c < 0. Como las a´ıces son complejas conjugadas con pa e eal nega i a, el pun o de equilib io es asin ´o icamen e es able, en ealidad, es able espi almen e. En esumen, pa a el segundo pun o de equilib io nos queda que si: σ≤µ µ+η≤1, en onces se a a de un pun o de silla. En el con ex o del modelo SIRI, es o signi ica que en el caso de que el n´ume o inicial de indi iduos suscep ibles e in ecciosos se ace quen al pun o de equilib io, puede sucede , que as un la go pe iodo de iempo, la poblaci´on no uel a a ene un n´ume o de indi iduos suscep ibles e in ecciosos ce canos a los alo es iniciales. µ µ+η< σ ≤1, en onces se a a de un pun o de equilib io es able. En el con ex o del modelo SIRI, es o signi ica que en el caso de que el n´ume o inicial de indi iduos suscep ibles e in ecciosos se ace quen al pun o de equi- lib io, en onces an o el n´ume o de indi iduos suscep ibles como el n´ume o de indi iduos in ecciosos pe manece ´an lo su icien emen e p ´oximos a sus alo es iniciales, espec i amen e, pa a siemp e. σ > 1 y (a+b)2+c≥0, en onces se a a de un pun o de equilib io asin ´o icamen e es able. En el con ex o del modelo SIRI, es o signi ica que en el caso de que el n´ume o inicial de indi iduos suscep ibles e in ec- ciosos se ace quen al pun o de equilib io, en onces, as un la go pe iodo de iempo, el n´ume o de indi iduos suscep ibles e in ecciosos ienden a es abiliza se en el pun o de equilib io. σ > 1 y (a+b)2+c < 0, en onces se a a de un pun o de equilib io asin ´o icamen e es able, en ealidad, es able espi almen e. En el con ex o del modelo SIRI, es o signi ica que en el caso de que el n´ume o inicial de indi iduos suscep ibles e in ecciosos se ace quen al pun o de equili- b io, en onces, as un la go pe iodo de iempo, el n´ume o de indi iduos suscep ibles e in ecciosos ienden a es abiliza se en el pun o de equilib io. 35 Cap´ı ulo 2. Modelo SIRI 2.2. Tasa de na alidad dis in a de asa de mo - alidad. Mue e na u al dis in a de mue e po en e medad En es e caso el n´ume o de indi iduos pe manece ambi´en cons an e en cual- quie ins an e de iempo , luego ambi´en pod emos acep a que S( ) + I( ) + R( ) = 1,∀ ≥0. Es e caso iene de pa icula con espec o al an e io que la asa de na alidad, µ≥0, y la asa de mo alidad no es la misma. En es e caso ambi´en end emos que di e encia en e mue e na u al, α, y mue e po en e medad, κ, ambas mayo es o iguales que 0. Como an e io men e end emos asa de con ac o en e suscep ibles e in ec ados, β≥0, coe icien e de indi i- duos que pasan de in ec ados a ecupe ados, γ≥0, y coe icien e de indi iduos ein ec ados, η≥0. Las hip´o esis en es e caso se ´an las mismas que en el caso an e io , sal o po el hecho de que pa a que un indi iduo abandone el g upo de in ec ados ha de hace lo po mue e na u al, po mue e po en e medad o po ecupe aci´on de la en e medad. Rep esen aci´on esquem´a ica de la din´amica de ansmisi´on: Del paso del diag ama an e io a sis ema, llegamos al siguien e sis ema di- e encial:    S0=µ−αS −βSI I0=βSI −(κ+γ+α)I+ηR R0=γI −(α+η)R (2.5) La ecuaci´on di e encial del o al de la poblaci´on de (2.5) es: d d (S+I+R) = µ−α(S+I+R)−κI. (2.6) Pa a nues o caso el conjun o que end ´ıamos que e que se a a de un con- jun o abso ben e y posi i amen e in a ian e, u ilizando el mismo p ocedimien o 36 Cap´ı ulo 2. Modelo SIRI que pa a el caso an e io , es: ∧={(S, I, R)∈R3 +:S≥0, I ≥0, R ≥0, S +I+R≤µ α}. Encon a emos es os dos posibles pun os de equilib io en el oc an e no ne- ga i o R3 +, ealizando c´alculos como an e io men e: E0= (µ α,0,0), E∗= ( µ αR0 ,α β(R0−1),γα β(η+α)(R0−1)). Con R0=(α+η)βµ α(γα + (α+η)(κ+α)). No a 2.2.1. A pa i de aho a deno a emos po (S0, I0, R0)a sus co espon- dien es coo denadas de E0y an´alogamen e pa a (S∗, I∗, R∗)con sus co espon- dien es coo denadas de E∗. A con inuaci´on, es udia emos el compo amien o asin ´o ico global de los pun os de equilib io. Pa a el p ime pun o, u ilizando unciones de Liapuno lineales y cuad ´a i- cas, y el Teo ema de LaSalle, end emos que, si R0≤1, el pun o es globalmen e asin ´o icamen e es able en ∧. Teo ema 2.3. Si R0≤1en onces el pun o de equilib io E0de (2.5) es global- men e asin ´o icamen e es able en ∧. Demos aci´on. Sea V:{(S, I, R)∈R3:S > 0} → Rcon V(S, I, R) = (α+η) 2S0(S−S0)2+ (α+η)I+ηR. (2.7) Es cla o que en el pun o de equilib io la unci´on V(S, I, R) alcanza su m´ınimo global en R3. Po lo an o, V(S, I, R) es una unci´on de Liapuno . La de i ada de (2.7) espec o a lo la go de las cu as de soluci´on de (2.5) es V0(S, I, R) = (α+η) S0(S−S0)dS d + (α+η)dI d +ηdR d = =(α+η) S0(S−S0)(αS0−αS −βSI) + (α+η)βSI −(γα + (κ+α)(α+η))I. Usando la exp esi´on βSI (S−S0) S0=βI (S−S0)2 S0+βI(S−S0), ob enemos V0(S, I, R) = −(α+η)(α+βI)(S−S0)2 S0−(γα + (α+η)(κ+α))I(1 −R0). Po lo an o, si R0≤1 enemos que V0(S, I, R)≤0 pa a odo S, I, R > 0, y que V0(S, I, R) = 0 si S=S0eI= 0, o si R0= 1 y S=S0. Es ´acil comp oba que el pun o de equilib io E0es el mayo in a ian e es ablecido en {(S, I, R)∈ ∧ :V0(S, I, R) = 0}, y aplicando el Teo ema de LaSalle (Teo ema 1.10) se llega a que E0es globalmen e asin ´o icamen e es able. 37 Cap´ı ulo 2. Modelo SIRI Pa a el segundo pun o, cons uyendo una unci´on global de Liapuno a pa - i de una combinaci´on adecuada en e unciones cuad ´a icas y de Vol e a, end emos que, si R0>1, el pun o es asin ´o icamen e es able en el in e io de ∧. Teo ema 2.4. Si R0>1, el pun o de equilib io E∗de (2.5) es globalmen e asin ´o icamen e es able en el in e io de ∧. Demos aci´on. Sea L:{(S, I, R)∈ ∧ :S, I, R > 0} → Rcon L(S, I, R) = (S−S∗)2 2S∗+I−I∗−I∗ln I I∗+ηR∗ γI∗R−R∗−R∗ln R R∗. Es a unci´on es con inua y de inida posi i a pa a odo S, I, R > 0. Se puede comp oba que la unci´on L(S, I, R) = 0 en E∗, y po lo an o el m´ınimo global de L(S, I, R) se alcanza en E∗. Como E∗es un pun o de equilib io de (2.5) enemos: Λ = βS∗I∗+αS∗, (κ+γ+α) = βS∗+ηR∗ I∗, (α+η) = γI∗ R∗. Haciendo la de i ada de L(S, I, R) a lo la go de las soluciones del sis ema (2.5), ob enemos L0(S, I, R) = (S−S∗) S∗(Λ −βSI −αS) + (I−I∗)βS −(κ+γ+α) + ηR I) +ηR∗ γI∗1−R∗ R(γI −(α+η)R). U ilizando (2.4) llegamos a L0(S, I, R) = −(S−S∗) S∗(α(S−S∗) + β(SI −S∗I∗)) + (I−I∗)β(S−S∗) + ηR I−R∗ I∗ +ηR∗ γI∗1−R∗ RγI −γI∗R R∗. Es cla o que SI −S∗I∗=S∗(I−I∗) + I(S−S∗). Po lo que haciendo c´alculos llegamos a que L0(S, I, R) = −(α+βI)(S−S∗)2 S∗−ηR∗ I∗R IR∗− IR∗ I∗R2 . 38 Cap´ı ulo 2. Modelo SIRI Luego, L0(S, I, R)≤0 pa a odo S, I > 0, y L0(S, I, R) = 0 cuando S=S∗ yIR∗=I∗R. Es ´acil comp oba que E∗es el mayo in a ian e es ablecido en {(S, I, R)∈ ∧ :L0(S, I, R)=0}. Aplicando el Teo ema de LaSalle (Teo ema 1.10) llegamos a que E∗es globalmen e asin ´o icamen e es able en el in e io de ∧. No a 2.2.2. Como sabemos las unciones de Liapuno no son ´unicas. Se pue- den p oba los mismos esul ados de es abilidad u ilizando o as unciones de Liapuno pa a el sis ema (2.5). 2.3. Tama˜no de poblaci´on no cons an e En es a secci´on e emos una combinaci´on de los casos de la Secci´on 2.1 y de la Secci´on 2.2. Se a a del caso en el que el n´ume o de indi iduos no pe manece cons an e a lo la go del iempo, luego oma emos que S( ) + I( ) + R( ) = N, ∀ ≥0. En es e caso conse a emos que la asa de na alidad, µ≥0 y la asa de mo alidad no es la misma, adem´as de que ambi´en end emos que di e encia en e mue e na u al, α, y mue e po en e medad, κ, ambas mayo es o iguales que 0. Como en ambos casos, end emos asa de con ac o en e suscep ibles e in ec ados, β≥0, coe icien e de indi iduos que pasan de in ec ados a ecupe ados, γ≥0, y coe icien e de indi iduos ein ec ados, η≥0. Las hip´o esis en es e caso se ´an las mismas que el caso de la Secci´on 2.2. Rep esen aci´on esquem´a ica de la din´amica de ansmisi´on: Pasando la in o maci´on que nos apo a el diag ama a modo de sis ema di e- encial llegamos a:          S0=µ−αS −βSI N I0=βSI N−(κ+γ+α)I+ηR R0=γI −(α+η)R (2.8) 39 Cap´ı ulo 2. Modelo SIRI La ecuaci´on di e encial del o al de la poblaci´on de (2.8) es: d d (S+I+R) = µ−α(S+I+R)−κI. (2.9) El conjun o que end ´ıamos que e que se a a de un conjun o abso ben e y posi i amen e in a ian e, u ilizando p ocedimien os an´alogos a los dos casos an e io es, es: ∧={(S, I, R)∈R3 +:S≥0, I ≥0, R ≥0, S +I+R≤µ α}. Encon a emos es os dos posibles pun os de equilib io ealizando c´alculos simila es a los ealizados en las secciones an e io es: El p ime pun o se ´ıa E0= (µ α,0,0), y el segundo pun o se ´ıa E∗= (S∗, I∗, R∗) con S∗=µ(κ+γ+α)R0 αR0(κ+γ+α) + β(κ+α)(R0−1) I∗=µ(κ+α)(R0−1)R0 αR0(κ+γ+α) + β(κ+α)(R0−1) R∗=µγ(R0−1)R0 αR0(κ+γ+α) + α(κ+α)(R0−1). Con R0=(α+η)β γα + (α+η)(κ+α). No a 2.3.1. A pa i de aho a de aho a deno a emos po (S0, I0, R0)a sus co espondien es coo denadas de E0. A con inuaci´on, es udia emos el compo amien o asin ´o ico global de los pun os de equilib io. Pa a el p ime pun o, u ilizando unciones de Liapuno lineales, end emos que, si R0≤1, el pun o es globalmen e asin ´o icamen e es able en ∧. Teo ema 2.5. Si R0≤1en onces el pun o de equilib io E0de (2.8) es global- men e asin ´o icamen e es able en ∧. Demos aci´on. Sea U:{(S, I, R)∈ ∧ :S > 0} → Rcon U(S, I, R)=(α+η)I+ηR. Luego, si R0≤1 U0(S, I, R) = −(γα + (α+η)(κ+α))I S+I+R((1 −R0)S+I+R)≤0. Si U0(S, I, R) = 0 en onces I= 0, o I=R= 0 y R0= 1. Po lo an o, U(S, I, R) es una unci´on de Liapuno en ∧. En consecuencia, (I, R)→(0,0) cuando → ∞. Usando I=R= 0 en la p ime a y la ´ul ima ecuaci´on de (2.8) llegamos a que S→µ αyR→0 cuando → ∞. Po an o, u ilizando el Teo ema de LaSalle (Teo ema 1.10) se ob iene que es un pun o de equilib io globalmen e asin ´o icamen e es able en ∧. 40 Cap´ı ulo 2. Modelo SIRI Pa a el segundo pun o, cons uyendo una unci´on global de Liapuno a pa i de una combinaci´on adecuada en e unciones cuad ´a icas y de Vol e a, en- d emos que, si R0>1, el pun o es globalmen e asin ´o icamen e es able en el in e io de ∧. Teo ema 2.6. Supongamos que 2η+α≥κ. Si R0>1en onces el pun o de equilib io E∗de (2.8) es globalmen e asin ´o icamen e es able en el in e io de ∧. Demos aci´on. De inimos W:{(S, I, R)∈ ∧ :S, I, R > 0} → Rcon W(S, I, R) = (S−S∗)+(I−I∗)+(R−R∗)−(S∗+I∗+R∗)ln (S+I+R) (S∗+I∗+R∗) +(κ+ 2α)(S∗+I∗+R∗) β(I∗+ ∗)I−I∗−I∗ln I I∗ +η(κ+ 2α)R∗(S∗+I∗+R∗) γβI∗(I∗+R∗)R−R∗−R∗ln R R∗ +(κ+ 2α) 2γ1 + S∗ I∗+R∗(R−R∗)2 S+I+R. Cuando W(S, I, R)∈C1en el in e io de ∧,E∗es el m´ınimo global de W(S, I, R) en ∧, y W(S∗, I∗, R∗) = 0. Como E∗es un pun o de equilib io de (2.8) enemos Λ = α(S∗+I∗+R∗) + κI∗, (κ+γ+α) = βS∗ S∗+I∗+R∗+ηR∗ I∗, (α+η) = γI∗ R∗, 0 = (α+η)R∗−γI∗. De i ando W(S, I, R) espec o a lo la go de las soluciones de (2.8) enemos W0(S, I, R) = [(S−S∗)+(I−I∗)+(R−R∗)] S+I+R(µ−α(S+I+R)−κI) +(κ+ 2α)(S∗+I∗+R∗) β(I∗+R∗)(I−I∗)βS S+I+R−(κ+γ+α) + ηR I +η(κ+ 2α)R∗(S∗+I∗+R∗) γβI∗(I∗+R∗)1−R∗ R(γI −(α+η)R) +(κ+ 2α) γ1 + S∗ I∗+R∗(R−R∗) S+I+R(γI −(α+η)R) −(κ+ 2α) 2γ1 + S∗ I∗+R∗(R−R∗)2 (S+I+R)2 d d (S+I+R). 41 Cap´ı ulo 3. Es udio conjun o de los modelos SIR y SIRI 3.1.2. Es udio de la es abilidad de los pun os de equilib io Pa a analiza la es abilidad de los pun os de equilib io u iliza emos los e- sul ados de las Secciones 1.3. y 1.4., ya que el sis ema au ´onomo conside ado es no lineal. El sis ema (3.2) puede eesc ibi se como S0 I0=−µ0 0−µ−γ S I+µ−βSI βSI  Sea g:R+×R2→R2, ( , S, I)→g( , S, I), al que g( , S, I) = (µ−βSI, βSI), que cumple g( , 0,0) = (µ, 0). No podemos aplica el Teo ema de es abilidad en p ime a ap oximaci´on (Teo ema 1.6) ya que no es amos en las condiciones iniciales. Es udia emos la es abilidad de los pun os de equilib io del sis ema (3.2) bas´andonos en la linealizaci´on del mismo. La ma iz jacobiana del sis ema au ´onomo SIR queda J=  −µ−βI −βS βI βS −µ−γ . Como hemos dicho an e io men e enemos dos casos a es udia . El p ime caso que es udia emos es β≤µ+γ. En es e caso el ´unico pun o de equilib io al que le podemos e su es abilidad es (S∗ 1, I∗ 1) = (1,0). Ma iz jacobiana co espondien e: J(S∗ 1,I∗ 1)=  −µ−β 0β−µ−γ . Vamos aho a a calcula los au o alo es.  −µ−λ−β 0β−µ−γ−λ = (−µ−λ)(β−µ−γ−λ) (−µ−λ)(β−µ−γ−λ) = 0 Luego los au o alo es son λ1=−µ λ2=β−(µ+γ). Como µ > 0, end emos que λ1<0, y como es amos en el caso β≤µ+γ end emos que λ2<0. Po lo an o el pun o de equilib io es uni o memen e 48 Cap´ı ulo 3. Es udio conjun o de los modelos SIR y SIRI asin ´o icamen e es able. En el con ex o del modelo SIR, es o signi ica que en el caso en que el n´ume o inicial de indi iduos suscep ibles se ace que al n´ume o o al poblacional y el n´ume o inicial de indi iduos in ecciosos se ace que a ce o, en onces el n´ume o de indi iduos suscep ibles iende a es abiliza se en el ama˜no de la poblaci´on, y el n´ume o de indi uos in ecciosos iende a 0 as un la go pe iodo de iempo (la en e medad se ex ingui ´a). Aho a es udia emos el caso β > µ +γ. Tend emos que e la es abilidad de (S∗ 1, I∗ 1) = (1,0),y,(S∗ 2, I∗ 2) = µ+γ β, µ−1 β+1 µ+γ. Pa a (S∗ 1, I∗ 1) = (1,0). Como los au o alo es e an λ1=−µ λ2=β−(µ+γ) el pun o de equilib io es un pun o de silla, ya que λ1>0, po se µ < 0, yλ2<0, po es a en el caso β > µ +γ. En el con ex o del modelo SIR, es o signi ica, que si el n´ume o inicial de indi iduos suscep ibles se ace ca al o al poblacional y el n´ume o inicial de indi iduos in ecciosos se ap oxima a ce o, en onces puede ocu i que dicha poblaci´on no uel a a ene alo es, de indi iduos suscep ibles e in ec ados, ce canos a los alo es iniciales as un la go pe iodo de iempo. Que el n´ume o de indi iduos in ecciosos es e ce ca de ce o no implica que la en e medad se ex inga. Pa a (S∗ 2, I∗ 2) = µ+γ β, µ−1 β+1 µ+γ. Su ma iz jacobiana co espondien e es J(S∗ 2,I∗ 2)=    −βµ µ+γ−(µ+γ) −µ+βµ µ+γ0     . Calculamos sus au o alo es.  −βµ µ+γ−λ−(µ+γ) −µ+βµ µ+γ−λ =λ2+βµ µ+γλ−µ(γ+µ) + βµ λ2+βµ µ+γλ−µ(γ+µ) + βµ = 0 49 Cap´ı ulo 3. Es udio conjun o de los modelos SIR y SIRI λ= −βµ µ+γ±sβµ µ+γ2 −4µ(β−γ−µ) 2 Como β≥γ+µ, en onces −4µ(β−γ−µ)<0. Luego sβµ µ+γ2 −4µ(β−γ−µ)<βµ µ+γ. Como enemos dos au o alo es con pa e eal nega i a, se a a de un pun o de equilib io exponencialmen e asin ´o icamen e es able. 3.2. Compa a i a de los pun os de equilib io Veamos p ime o un esumen ace ca de la es abilidad po modelos. Es abilidad modelo SIR Si β≤µ+γs´olo encon amos un pun o de equilib io, en conc e o el (S∗ 1, I∗ 1) = (1,0), el cual es uni o memen e asin ´o icamen e es able. Si β > µ +γencon amos como pun os de equilib io a (S∗ 1, I∗ 1) = (1,0) →Ines able (S∗ 2, I∗ 2) = µ+γ β, µ−1 β+1 µ+γ →Exponencialmen e asin ´o icamen e es able . Es abilidad modelo SIRI Si σ≤µ µ+ηs´olo encon amos un pun o de equilib io, el (S∗ 1, I∗ 1) = (1,0), el cual es asin ´o icamen e es able. Si σ > µ µ+ηencon amos como dos pun os de equilib io a (S∗ 1, I∗ 1) = (1,0) →Ines able (S∗ 2, I∗ 2) = µ (µ+η)σ,µ+η βσ−µ µ+η →Asin ´o icamen e es able . Si u ilizamos la misma no aci´on en ambos modelos nos queda que pa a la es abilidad del modelo SIRI: Si β≤µ(µ+γ+η) µ+ηs´olo encon amos un pun o de equilib io, el (S∗ 1, I∗ 1) = (1,0), el cual es A.E. Si β > µ(µ+γ+η) µ+ηencon amos como dos pun os de equilib io a (S∗ 1, I∗ 1) = (1,0) →Ines able (S∗ 2, I∗ 2) = µ(µ+γ+η) (µ+η)β,µ+η µ+γ+η−µ β →Asin ´o icamen e es able . 50 Cap´ı ulo 3. Es udio conjun o de los modelos SIR y SIRI G ´a icamen e, y de mane a conjun a, las supe icies β=µ(µ+γ+η) µ+ηy β=µ+γque ob enemos son las siguien es. FIG. 5: supe icies gene adas omando η= 1. FIG. 6: Supe icies gene adas omando η= 10. Ambos modelos compa en uno de los pun os de equilib io, (S∗ 1, I∗ 1) = (1,0). Pa a e que ocu e en ese pun o enemos dos casos a es udia con dos condi- ciones cada uno. β≤µ(µ+γ+η) µ+ηyβ≤µ+γ(3.3) 51 Cap´ı ulo 3. Es udio conjun o de los modelos SIR y SIRI β > µ(µ+γ+η) µ+ηyβ > µ +γ(3.4) Pa a si ua los en la ec a eamos que desigualdad es m´as peque˜na y cual es m´as g ande, µ(µ+γ+η) µ+ηQµ+γ µ(µ+γ+η)Q(µ+γ)(µ+η) µ2+µγ +µη Qµ2+µη +µγ +ηγ 0Qηγ. Luego el lado izquie do es meno que el lado de echo de la desigualdad, es deci , µ(µ+γ+η) µ+η≤µ+γ. La igualdad se da cuando η= 0. Es o iene sen ido ya que, que η= 0 signi ica que el po cen aje de indi iduos que pasan de es a ecupe ados a ein ec a se es ce o, luego el modelo SIRI es en ealidad el modelo SIR. Po lo an o el pun o de equilib io se compo a ´ıa como en el modelo SIR. Condici´on (3.3) Tenemos que β oma un mayo ango de alo es pa a el modelo SIR. Cuan- do η= 0 el ango de alo es que oma βse ´a el mismo. Si β≤µ(µ+γ+η) µ+η el pun o de equilib io se ´a es able pa a los modelos SIR y SIRI, y si β > µ(µ+γ+η) µ+ηel pun o de equilib io se ´a es able pa a el modelo SIR, pe o ines able pa a el modelo SIRI. 52 Cap´ı ulo 3. Es udio conjun o de los modelos SIR y SIRI Condici´on (3.4) Tenemos que β oma un mayo ango de alo es pa a el modelo SIRI. Cuando η= 0 el ango de alo es que oma βse ´a el mismo. Si β < µ +γ el pun o de equilib io se ´a es able pa a el modelo SIR, pe o ines able pa a el modelo SIRI, y si β > µ +γel pun o de equilib io se ´a ines able pa a ambos modelos. Veamos qu´e ocu e con los pun os de equilib io µ+γ β, µ−1 β+1 µ+γ yµ(µ+γ+η) (µ+η)β,µ+η µ+γ+η−µ β. Cuando η→0 ambos pun os de equilib io son iguales. Es l´ogico po que no exis e po cen aje de indi iduos que pasan de es a ecupe ados a ein ec a se, luego el modelo SIRI se con e i ´ıa en SIR. El pun o de equilib io en es e caso, se compo a ´ıa como en el modelo SIR, es deci , E.A.E. Pa a el caso en que η6= 0 end ´ıamos una condici´on pa a cada pun o de equilib io. Pa a µ+γ β, µ−1 β+1 µ+γ enemos β > µ +γ. Pa a µ(µ+γ+η) (µ+η)β,µ+η µ+γ+η−µ β enemos β > µ(µ+γ+η) µ+η. Ambas desigualdades si uadas en la ec a nos queda ´ıan 53 Cap´ı ulo 3. Es udio conjun o de los modelos SIR y SIRI Tenemos que β oma un mayo ango de alo es pa a el modelo SIRI. Cuando η= 0 el ango de alo es que oma βse ´a el mismo. Si β < µ +γel pun o de equilib io se ´a es able pa a el modelo SIRI, pe o ines able pa a el modelo SIR, y si β > µ +γel pun o de equilib io se ´a es able pa a ambos modelos. Conclusi´on. En la ac ualidad ambos modelos son de g an u ilidad, ya que nos pe mi en e c´omo ac ´uan las en e medades, as´ı como la p opagaci´on y pe - sis encia de ellas mismas. La p incipal di e encia en e ambos modelos es que el modelo SIR nos pe mi e desc ibi en e medades in ecciosas en las cuales as un pe iodo ela i amen e co o de in ecci´on, exis e una espues a inmune, a di e en- cia del modelo SIRI en el que exis e una espues a inmune empo al. Es deci , cuando el coe icien e de indi iduos ein ec ados ale ce o en el modelo SIRI, en ealidad se a a del modelo SIR, pues o que los indi iduos no p esen an una eca´ıda en la en e medad. En cuan o a las di e encias y simili udes con espec o al compo amien o asin ´o ico de las soluciones de ambos modelos enemos: Pa a el pun o de equilib io (1,0) (es el mismo en ambos modelos). Si es amos en la Condici´on (3.3): si β≤µ(µ+γ+η) µ+ηlos pun os de equilib io de ambos modelos se compo an de la misma o ma, y si β > µ(µ+γ+η) µ+ηdichos pun os se compo an de o mas dis in as. Si es amos en la Condici´on (3.4): si β < µ +γlos pun os de equilib io de se compo an de o ma dis in a en ambos modelos, pe o si β > µ +γse compo an de la misma o ma. Pa a los o os pun os de equilib io se end ´a que si β < µ +γlos pun os de equilib io de ambos modelos se compo an de o ma dis in a, pe o si β > µ +γ en onces los pun os de equilib io se compo an de la misma o ma. 54 Bibliog a ´ıa [1] S. 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