EN TORNO A LA IDEA
HILBERTIANA DE VERDAD
CARMEN
HERNÁNDEZ
A la idea clásica de e dad como co espondencia con la ealidad se con a-
pone con especial én asis en unos de e minados años de nues o siglo la de e dad
me amen e sin ác ica o e dad o mal.
El posi i ismo lógico, con Camap en p ime plano, es ep esen an e pa adig-
má ico de es a pos u a. Los iejos é minos kan ianos analí ico y sin é ico cob an
en la iloso ía de la ciencia del posi i ismo lógico un ca ac e de o al oposición al
ep esen a a lo pu amen e o mal po un lado y a la co espondencia con los he-
chos po o o, sin da luga a ninguna o a al e na i a. Lo analí ico es ma e ia de
las ciencias o males, lo sin é ico de las ciencias empí icas.
El posi i ismo lógico, que comienza siendo á omo-logicis a1, se plan ea en
p ime luga la dico omía a ni el de p oposición. Una p oposición es analí ica cuan-
do su e dad eside en ella misma sin necesi a ealidad ex e na alguna, cuando es
e dade a po su o ma, cuando su negación la con ie e en con adic o ia. Una
p oposición es sin é ica cuando sólo desde el ex e io puede de e mina se su alo
de e dad. «Cualquie p oposición que se desea a cons ui y que no encaja a en
ninguna de es as clases de end ía au omá icamen e un sinsen ido»2•
La
aplicación de la iloso ía de la ma emá ica a la iloso ía de la ciencia
empí ica en es e ma co logicis a se desa olla, al menos en p incipio, sin p oble-
mas. Sólo hay que ma iza que en el p ime caso hablamos de e dades o males
y en el segundo de e dades-co espondencia; y que además en el segundo caso el
é mino « e dad« ha de se aducido a menudo po los de «p obabilidad al a» o
«al o g ado de con i mación».
Pa a la iloso ía de la ma emá ica logicis a el p oblema
de
la consis encia de
la eo ía es secunda io. Las p oposiciones
de
la ma emá ica son odas analí icas, los
e iden es axiomas y los de i ados eo emas, ya que las eglas de de i ación cons-
l.
Hemández Ma ín [1993].
2. Ca nap en Aye [1959], pag. 83 de la aducción cas ellana.
152 Ca men He nández
i uyen sólo una o ma ope a i a de lo analí ico. La consis encia es una consecuencia
de la e dad: un conjun o de p oposiciones e dade as no puede se sino consis en e.
El posi i ismo lógico poco a poco a dejando de se a omis a y enuncia a
habla del sen ido o la e dad de cada una de las p oposiciones pa a habla de la
e dad o el sen ido del sis ema3• Se a a ya de un esquema basado en una iloso-
ía de la ma emá ica o malis a en que « e dad« a se sus i uído po «consis en-
cia». En
la
iloso ía de la ciencia empí ica sigue siendo esencial la co esponden-
cia con los hechos. Pe o aho a no hablamos de co espondencia de cada p oposi-
ción sino de co espondencia del sis ema, lo que signi ica aquí algo muy di e en-
e. No se a a de co espondencia de uno a uno sino de una cie a in e p e ación
indi ec a del sis ema a a és de sus consecuencias. Y ello apoyado an es que nada
en
la
consis encia del sis ema. Según lo que se ha denominado eo ía de la e dad
como cohe encia, la e dad de cada enunciado «consis e
en
su conco dancia con el
sis ema de los demás enunciados»4• Es deci , pa ece que habla de e dad aho a es
llega a una especie de sín esis en e e dad o mal y e dad co espondencia.
Pe o ¿es consis encia lo mismo que e dad? No, e iden emen e, en el caso de
la
p oposición, que puede se consis en e y alsa. ¿ Y en
el
caso del sis ema?
En una ca a a F ege, Hilbe dice: «Si los axiomas a bi a iamen e es ableci-
dos, jun o con sus consecuencias, no se con adicen en e sí, en onces exis en las
cosas de inidas po los axiomas. Es e es pa a mi el c i e io de la e dad y de
la
exis encia»5•
¿Como puede en ende se es a ase de Hilbe ? Po que sabemos que se e ie e
a la e dad de las di e en es geome ías y nos inclinamos a es a de acue do con él.
En e ec o, nada sabemos de la e dad de cada una de las p oposiciones. Pe o
sí pa ece que podemos sabe que el sis ema es e dade o en el sen ido de
la
eno -
me p oposición que lo sin e iza: es deci , que dadas de e minadas p oposiciones
p imi i as o axiomá icas se sigue el conjun o de las eo emá icas. Es a p oposición
que plasma el sis ema es una implicación o mal o au ológica, ya que es á adu-
ciendo la elación de deducción. Si la negamos enemos una con adicción. Ve dad
o mal se ans o ma pues en consis encia; la consis encia de un sis ema ligado po
la ope ación de deducción.
Sin emba go es a solución se esqueb aja cuando seguimos pensando en ella.
La consis encia del sis ema en endida de es a o ma no coincide con la consis en-
cia de los axiomas. Los axiomas pod ían se con adic o ios y da o igen po an o
a cualquie eo ema y su con a io y sin emba go la p oposición que aduci ía el
bloque deduc i o segui ía siendo una implicación au ológica.
3.
He nández Ma ín [1993).
4.
Schlick en Aye [1959), pag. 220 de la . cas .
5.
Mos e ín [1984), pag 123. He nández Ma ín [1993).
En o no a la idea hilbe iana
de
e dad 153
Necesi amos po an o in oduci la acla ación de que la consis encia del sis-
ema descansa undamen almen e en la consis encia de los axiomas. Sólo si los
axiomas son consis en es se á e dade o el sis ema. Y si insis imos en conside a
a odo el sis ema como una p oposición analí ica de o ma condicional, end emos
que deci que es a p oposición se á e dade a sólo si su an eceden e es consis en-
e. Con lo que hab emos pasado a a i ma que sólo cie as p oposiciones analí icas
son e dade as. O bien, que hay dos ipos de e dades den o del ámbi o de lo
o mal.
En la dispu a Hilbe -F ege ace ca de la e dad de la geome ía se e idencia
que es os au o es es n usando la palab a « e dad» en sen idos muy di e en es. F ege
sos iene con a Hilbe que si la geome ía euclidiana es e dade a las o as geo-
me ías han de se alsas. Ambos au o es se e ie en a una e dad o mal o abs ac a,
a una e dad que no emi e a con ex o empí ico alguno. Pe o mien as pa a F ege
se a a de una e dad absolu a en que cada una de las p oposiciones que la in e-
g an se con ie e
en
una con adicción al se negada, pa a Hilbe la e dad de las
p oposiciones es ela i a al con ex o o al y descansa en
la
consis encia de és e.
Podemos nega p oposiciones sin que se p oduzca con adicción si ajus amos el
sis ema en o ma di e en e: las p oposiciones una a una no son analí icas.
Es a e dad hilbe iana, es como
la
e dad de F ege independien e de lo
empí ico, un a p io i. Pe o mien as
en
F ege pod íamos usa
la
exp esión de
Leibniz « e dade o en odos los mundos posibles» pa ece que Hilbe es á jus amen-
e apoyando la c eación de mundos di e en es. En Hilbe las dis in as geome ías
son dis in os juegos cuya e dad-consis encia es simila a la de la ob a de a e.
El concep o de e dad o mal como p opio de las ciencias o males se nos es á
ol iendo p oblemá ico. Ve dade o en odos los mundos posibles con i e aho a con
e dade o en un mundo, que no iene po que se el nues o pues puede se a i i-
cial, c eación a ís ica o ma emá ica. Y si de es e úl imo caso se a a, el adje i o
de o mal se nos sigue imponiendo.
Todo es o que se es á plan eando es p oblema del p ime e cio de nues o
siglo y su escla ecimien o subyace a una g an pa e de la eno me ac i idad lógico-
ilosó ica de es os años.
La p ime a cues ión de i ada de aquí es la de las elaciones en e implicación
y deducción. Ello nos emi e a una igu a cla e,
la
de Cla ence Lewis, y a su cál-
culo de la implicación es ic a6•
Lo p ime o que nos llama la a ención en la ob a de Lewis es su p o unda
e lexión y de allado análisis ace ca de odos los p oblemas esenciales del momen o,
poniendo el dedo en odos los pun os débiles, así como la calidad ecundan e de sus
esc i os que desencadenan una se ie de espues as, como
la
de Osea Becke de
6. Lewis (1932]. Hemández Ma ín (1994].
154 Ca men He nández
1930,
la
de GOdel de 1932, o las de Ru h
Ba can
ya en la década de los 40,
gene ado as odas de nue as pe spec i as y caminos7•
P incipia Ma hema ica había p e endido ca ac e iza exhaus i amen e la de-
ducción.
Pe o
lo
había
hecho
a a és de
la
implicación
ma e ial,
conec i a
e i a i o- uncional, cuyo alo depende de los alo es de sus p oposiciones in e-
g an es. Ello plan eaba una se ie de limi aciones que Lewis saca a la luz. Es cie o
que el p opio Russell esboza el concep o de implicación o mal, la implicación que
pa a
nada
depende
de los
alo es
de
e dad
de sus
componen es
po que
es
au ológica; y es cie o que a i ma que es es a implicación
la
que nos pe mi e co-
noce po deducción. Pe o la explicación es oscu a y los ejemplos desa o unados8•
Lo que Lewis hace es ecoge la explicación usselliana y escla ece la o al-
men e. El e dade o signi icado de la elación de deducción no queda exp esado po
la
implicación ma e ial, que es una elación me amen e ex ensional. Es a elación
sólo p ohibe el caso en que el an eceden e sea e dade o y el consecuen e also.
Sob e uela po an o el ámbi o deduc i o c eando las pa adojas de la implicación
ma e ial, es deci , las pa adojas que apa ecen cuando que emos aduci el signo
1-
po el signo
JE.
Si cualquie p oposición alsa implica a cualquie p oposición e -
dade a, es e «implica» iene un signi icado debili ado con espec o al del lenguaje
o dina io,
en
que no se da en absolu o dicha a i mación. La deducción iene más
que e con el signi icado del «implica» o dina io, que con el «implica» e i a i o-
uncional.
Pe o si pa ecía que es a dis inción en e implicación ma e ial e implicación
es ic a iba a esol e el p oblema de la e dad hilbe iana haciéndola equipa able
a la au ología, p on o se descub i ía su limi ación al opeza con las nue as pa a-
dojas: el cálculo de Lewis e idencia que de lo simplemen e also no se sigue es-
ic amen e cualquie p oposición, pe o no ha podido e i a que ello ocu a cuan-
do la alsedad es o mal, es deci cuando se a a de una con adicción; ampoco ha
podido e i a que una au ología se siga es ic amen e de cualquie p emisa9•
Hemos opezado de hecho con las limi aciones del plan eamien o pu amen e
sin ác ico pa a ca ac e iza a la e dad, incluso cuando se a a de e dad o mal.
Y ello ocu e en el momen o en que es amos ambién opezando con las di icul-
ades de ca ac e ización de la consis encia.
Y es aho a (1931) cuando apa ece Ta ski insis iendo en su ca ac e ización de
la e dad como co espondencia; y ello pa icula men e en el ámbi o de lo o mal.
Y es Ta ski
el
que
a a
con i ma nos
en
la
idea
apun ada
de
que
la
e dad
hilbe iana no coincide con la au ología, al dis ingui p ecisamen e en e e dade-
7. Pa a mayo abundancia en es e pun o de las epe cusiones de la ob a de Lewis, consúl ense
los diez p ime os años del Jou nal
o
Sy nbolic Logic.
8.
Russell & Whi ehead [1910-13], ol
1,
pg. 199.
9. Lewis [1932]. Hemández Ma ín [1994].
En o no a
la
idea hilbe iana
de
e dad 155
o en un ámbi o de e minado y e dade o en odo ámbi o posible. «En las in es i-
gaciones que es án en p og eso en es e momen o sob e la me odología de las cien-
cias deduc i as (en pa icula en el abajo de la escuela de Gü ingen ag upada en
omo a Hilbe ) o o concep o de ca ac e ela i o juega un papel mucho mayo que
el concep o absolu o de e dad y lo incluye como un caso especial. Es e es el con-
cep o de p oposición co ec a o e dade a en un dominio indi idual a»10•
Incluso en un ámbi o como el hilbe iano, en que, como ad ie e Ta ski en una
no a, no se manejan p oposiciones ealmen e sino unciones p oposicionales
-o
más
aún en él, p ecisamen e po
es o-,
« e dad» es un concep o semán ico, e dad es
co espondencia con un modelo. Y es consis encia, como Hilbe que ía, pues o que
ambién la consis encia descansa en el modelo.
En sus Elemen os
de
Lógica eó ica de 1928, Hilbe , con Acke mann, anali-
za el plan eamien o de Lewis y echaza sus pa adojas, sin acep a que los p oble-
mas de Lewis nacen de e e i se undamen almen e a la lógica clásica
11
• Una lógi-
ca que elimine es as pa adojas hab á de se necesa iamen e una lógica debili ada,
como di á Ta ski12• Ellos mismos ci an el cálculo in uicionis a mínimo de Johansson
con el que dicen es a de acue do. No puede ex añamos que Acke man, años más
a de, ecogie a es e p oblema, que no es sino el de una lógica deduc i a ele an-
e, impulsando oda una se ie de abajos que culmina án ya en nues os días en la
ob a de Ande son y Belnap.
Lo que es á saliendo a la luz es que la ma emá ica, como ciencia que cons-
uye, como ciencia que habla de en idades, aunque sean a i iciales o imaginadas,
iene los mismos p oblemas en sus elaciones con
la
lógica que los posi i is as
habían ido encon ando en las elaciones en e lógica y ciencia empí ica. Es nece-
sa ia una lógica modi icada, es ingida, pa a pode e e imos an o a la ciencia
empí ica
como
a
la
ma emá ica.
Una
lógica
que
sup ima
las
i ele ancias;
i ele ancias a eces simplemen e en o pecedo as y o as eces inadmisibles.
Y es á e idenciándose que la e dad ma emá ica es á más ce ca del plan ea-
mien o hilbe iano que del p ime logicismo. Como hemos is o en Ta ski, en el
ámbi o de lo o mal exis en dos ipos de e dades: una e dad absolu a, la au o-
logía o p oposición analí ica, que no dice ealmen e nada po que sólo ma ca los
lími es del lenguaje, y una e dad ela i a, la de la ma emá ica, que habla de un
mundo cons uído po noso os y de sus en idades.
10. Ta ski [1956), pag. 199.
11.
Hilbe & Acke mann [1928], pag. 49 de la . cas .
12. Ta ski [1944), pag. 67 de la
.
cas .

156 Ca men He nández
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