En torno a la idea hilbertiana de verdad

EN TORNO A LA IDEA HILBERTIANA DE VERDAD CARMEN HERNÁNDEZ A la idea clásica de e dad como co espondencia con la ealidad se con a- pone con especial én asis en unos de e minados años de nues o siglo la de e dad me amen e sin ác ica o e dad o mal. El posi i ismo lógico, con Camap en p ime plano, es ep esen an e pa adig- má ico de es a pos u a. Los iejos é minos kan ianos analí ico y sin é ico cob an en la iloso ía de la ciencia del posi i ismo lógico un ca ac e de o al oposición al ep esen a a lo pu amen e o mal po un lado y a la co espondencia con los he- chos po o o, sin da luga a ninguna o a al e na i a. Lo analí ico es ma e ia de las ciencias o males, lo sin é ico de las ciencias empí icas. El posi i ismo lógico, que comienza siendo á omo-logicis a1, se plan ea en p ime luga la dico omía a ni el de p oposición. Una p oposición es analí ica cuan- do su e dad eside en ella misma sin necesi a ealidad ex e na alguna, cuando es e dade a po su o ma, cuando su negación la con ie e en con adic o ia. Una p oposición es sin é ica cuando sólo desde el ex e io puede de e mina se su alo de e dad. «Cualquie p oposición que se desea a cons ui y que no encaja a en ninguna de es as clases de end ía au omá icamen e un sinsen ido»2• La aplicación de la iloso ía de la ma emá ica a la iloso ía de la ciencia empí ica en es e ma co logicis a se desa olla, al menos en p incipio, sin p oble- mas. Sólo hay que ma iza que en el p ime caso hablamos de e dades o males y en el segundo de e dades-co espondencia; y que además en el segundo caso el é mino « e dad« ha de se aducido a menudo po los de «p obabilidad al a» o «al o g ado de con i mación». Pa a la iloso ía de la ma emá ica logicis a el p oblema de la consis encia de la eo ía es secunda io. Las p oposiciones de la ma emá ica son odas analí icas, los e iden es axiomas y los de i ados eo emas, ya que las eglas de de i ación cons- l. Hemández Ma ín [1993]. 2. Ca nap en Aye [1959], pag. 83 de la aducción cas ellana. 152 Ca men He nández i uyen sólo una o ma ope a i a de lo analí ico. La consis encia es una consecuencia de la e dad: un conjun o de p oposiciones e dade as no puede se sino consis en e. El posi i ismo lógico poco a poco a dejando de se a omis a y enuncia a habla del sen ido o la e dad de cada una de las p oposiciones pa a habla de la e dad o el sen ido del sis ema3• Se a a ya de un esquema basado en una iloso- ía de la ma emá ica o malis a en que « e dad« a se sus i uído po «consis en- cia». En la iloso ía de la ciencia empí ica sigue siendo esencial la co esponden- cia con los hechos. Pe o aho a no hablamos de co espondencia de cada p oposi- ción sino de co espondencia del sis ema, lo que signi ica aquí algo muy di e en- e. No se a a de co espondencia de uno a uno sino de una cie a in e p e ación indi ec a del sis ema a a és de sus consecuencias. Y ello apoyado an es que nada en la consis encia del sis ema. Según lo que se ha denominado eo ía de la e dad como cohe encia, la e dad de cada enunciado «consis e en su conco dancia con el sis ema de los demás enunciados»4• Es deci , pa ece que habla de e dad aho a es llega a una especie de sín esis en e e dad o mal y e dad co espondencia. Pe o ¿es consis encia lo mismo que e dad? No, e iden emen e, en el caso de la p oposición, que puede se consis en e y alsa. ¿ Y en el caso del sis ema? En una ca a a F ege, Hilbe dice: «Si los axiomas a bi a iamen e es ableci- dos, jun o con sus consecuencias, no se con adicen en e sí, en onces exis en las cosas de inidas po los axiomas. Es e es pa a mi el c i e io de la e dad y de la exis encia»5• ¿Como puede en ende se es a ase de Hilbe ? Po que sabemos que se e ie e a la e dad de las di e en es geome ías y nos inclinamos a es a de acue do con él. En e ec o, nada sabemos de la e dad de cada una de las p oposiciones. Pe o sí pa ece que podemos sabe que el sis ema es e dade o en el sen ido de la eno - me p oposición que lo sin e iza: es deci , que dadas de e minadas p oposiciones p imi i as o axiomá icas se sigue el conjun o de las eo emá icas. Es a p oposición que plasma el sis ema es una implicación o mal o au ológica, ya que es á adu- ciendo la elación de deducción. Si la negamos enemos una con adicción. Ve dad o mal se ans o ma pues en consis encia; la consis encia de un sis ema ligado po la ope ación de deducción. Sin emba go es a solución se esqueb aja cuando seguimos pensando en ella. La consis encia del sis ema en endida de es a o ma no coincide con la consis en- cia de los axiomas. Los axiomas pod ían se con adic o ios y da o igen po an o a cualquie eo ema y su con a io y sin emba go la p oposición que aduci ía el bloque deduc i o segui ía siendo una implicación au ológica. 3. He nández Ma ín [1993). 4. Schlick en Aye [1959), pag. 220 de la . cas . 5. Mos e ín [1984), pag 123. He nández Ma ín [1993). En o no a la idea hilbe iana de e dad 153 Necesi amos po an o in oduci la acla ación de que la consis encia del sis- ema descansa undamen almen e en la consis encia de los axiomas. Sólo si los axiomas son consis en es se á e dade o el sis ema. Y si insis imos en conside a a odo el sis ema como una p oposición analí ica de o ma condicional, end emos que deci que es a p oposición se á e dade a sólo si su an eceden e es consis en- e. Con lo que hab emos pasado a a i ma que sólo cie as p oposiciones analí icas son e dade as. O bien, que hay dos ipos de e dades den o del ámbi o de lo o mal. En la dispu a Hilbe -F ege ace ca de la e dad de la geome ía se e idencia que es os au o es es n usando la palab a « e dad» en sen idos muy di e en es. F ege sos iene con a Hilbe que si la geome ía euclidiana es e dade a las o as geo- me ías han de se alsas. Ambos au o es se e ie en a una e dad o mal o abs ac a, a una e dad que no emi e a con ex o empí ico alguno. Pe o mien as pa a F ege se a a de una e dad absolu a en que cada una de las p oposiciones que la in e- g an se con ie e en una con adicción al se negada, pa a Hilbe la e dad de las p oposiciones es ela i a al con ex o o al y descansa en la consis encia de és e. Podemos nega p oposiciones sin que se p oduzca con adicción si ajus amos el sis ema en o ma di e en e: las p oposiciones una a una no son analí icas. Es a e dad hilbe iana, es como la e dad de F ege independien e de lo empí ico, un a p io i. Pe o mien as en F ege pod íamos usa la exp esión de Leibniz « e dade o en odos los mundos posibles» pa ece que Hilbe es á jus amen- e apoyando la c eación de mundos di e en es. En Hilbe las dis in as geome ías son dis in os juegos cuya e dad-consis encia es simila a la de la ob a de a e. El concep o de e dad o mal como p opio de las ciencias o males se nos es á ol iendo p oblemá ico. Ve dade o en odos los mundos posibles con i e aho a con e dade o en un mundo, que no iene po que se el nues o pues puede se a i i- cial, c eación a ís ica o ma emá ica. Y si de es e úl imo caso se a a, el adje i o de o mal se nos sigue imponiendo. Todo es o que se es á plan eando es p oblema del p ime e cio de nues o siglo y su escla ecimien o subyace a una g an pa e de la eno me ac i idad lógico- ilosó ica de es os años. La p ime a cues ión de i ada de aquí es la de las elaciones en e implicación y deducción. Ello nos emi e a una igu a cla e, la de Cla ence Lewis, y a su cál- culo de la implicación es ic a6• Lo p ime o que nos llama la a ención en la ob a de Lewis es su p o unda e lexión y de allado análisis ace ca de odos los p oblemas esenciales del momen o, poniendo el dedo en odos los pun os débiles, así como la calidad ecundan e de sus esc i os que desencadenan una se ie de espues as, como la de Osea Becke de 6. Lewis (1932]. Hemández Ma ín (1994]. 154 Ca men He nández 1930, la de GOdel de 1932, o las de Ru h Ba can ya en la década de los 40, gene ado as odas de nue as pe spec i as y caminos7• P incipia Ma hema ica había p e endido ca ac e iza exhaus i amen e la de- ducción. Pe o lo había hecho a a és de la implicación ma e ial, conec i a e i a i o- uncional, cuyo alo depende de los alo es de sus p oposiciones in e- g an es. Ello plan eaba una se ie de limi aciones que Lewis saca a la luz. Es cie o que el p opio Russell esboza el concep o de implicación o mal, la implicación que pa a nada depende de los alo es de e dad de sus componen es po que es au ológica; y es cie o que a i ma que es es a implicación la que nos pe mi e co- noce po deducción. Pe o la explicación es oscu a y los ejemplos desa o unados8• Lo que Lewis hace es ecoge la explicación usselliana y escla ece la o al- men e. El e dade o signi icado de la elación de deducción no queda exp esado po la implicación ma e ial, que es una elación me amen e ex ensional. Es a elación sólo p ohibe el caso en que el an eceden e sea e dade o y el consecuen e also. Sob e uela po an o el ámbi o deduc i o c eando las pa adojas de la implicación ma e ial, es deci , las pa adojas que apa ecen cuando que emos aduci el signo 1- po el signo JE. Si cualquie p oposición alsa implica a cualquie p oposición e - dade a, es e «implica» iene un signi icado debili ado con espec o al del lenguaje o dina io, en que no se da en absolu o dicha a i mación. La deducción iene más que e con el signi icado del «implica» o dina io, que con el «implica» e i a i o- uncional. Pe o si pa ecía que es a dis inción en e implicación ma e ial e implicación es ic a iba a esol e el p oblema de la e dad hilbe iana haciéndola equipa able a la au ología, p on o se descub i ía su limi ación al opeza con las nue as pa a- dojas: el cálculo de Lewis e idencia que de lo simplemen e also no se sigue es- ic amen e cualquie p oposición, pe o no ha podido e i a que ello ocu a cuan- do la alsedad es o mal, es deci cuando se a a de una con adicción; ampoco ha podido e i a que una au ología se siga es ic amen e de cualquie p emisa9• Hemos opezado de hecho con las limi aciones del plan eamien o pu amen e sin ác ico pa a ca ac e iza a la e dad, incluso cuando se a a de e dad o mal. Y ello ocu e en el momen o en que es amos ambién opezando con las di icul- ades de ca ac e ización de la consis encia. Y es aho a (1931) cuando apa ece Ta ski insis iendo en su ca ac e ización de la e dad como co espondencia; y ello pa icula men e en el ámbi o de lo o mal. Y es Ta ski el que a a con i ma nos en la idea apun ada de que la e dad hilbe iana no coincide con la au ología, al dis ingui p ecisamen e en e e dade- 7. Pa a mayo abundancia en es e pun o de las epe cusiones de la ob a de Lewis, consúl ense los diez p ime os años del Jou nal o Sy nbolic Logic. 8. Russell & Whi ehead [1910-13], ol 1, pg. 199. 9. Lewis [1932]. Hemández Ma ín [1994]. En o no a la idea hilbe iana de e dad 155 o en un ámbi o de e minado y e dade o en odo ámbi o posible. «En las in es i- gaciones que es án en p og eso en es e momen o sob e la me odología de las cien- cias deduc i as (en pa icula en el abajo de la escuela de Gü ingen ag upada en omo a Hilbe ) o o concep o de ca ac e ela i o juega un papel mucho mayo que el concep o absolu o de e dad y lo incluye como un caso especial. Es e es el con- cep o de p oposición co ec a o e dade a en un dominio indi idual a»10• Incluso en un ámbi o como el hilbe iano, en que, como ad ie e Ta ski en una no a, no se manejan p oposiciones ealmen e sino unciones p oposicionales -o más aún en él, p ecisamen e po es o-, « e dad» es un concep o semán ico, e dad es co espondencia con un modelo. Y es consis encia, como Hilbe que ía, pues o que ambién la consis encia descansa en el modelo. En sus Elemen os de Lógica eó ica de 1928, Hilbe , con Acke mann, anali- za el plan eamien o de Lewis y echaza sus pa adojas, sin acep a que los p oble- mas de Lewis nacen de e e i se undamen almen e a la lógica clásica 11 • Una lógi- ca que elimine es as pa adojas hab á de se necesa iamen e una lógica debili ada, como di á Ta ski12• Ellos mismos ci an el cálculo in uicionis a mínimo de Johansson con el que dicen es a de acue do. No puede ex añamos que Acke man, años más a de, ecogie a es e p oblema, que no es sino el de una lógica deduc i a ele an- e, impulsando oda una se ie de abajos que culmina án ya en nues os días en la ob a de Ande son y Belnap. Lo que es á saliendo a la luz es que la ma emá ica, como ciencia que cons- uye, como ciencia que habla de en idades, aunque sean a i iciales o imaginadas, iene los mismos p oblemas en sus elaciones con la lógica que los posi i is as habían ido encon ando en las elaciones en e lógica y ciencia empí ica. Es nece- sa ia una lógica modi icada, es ingida, pa a pode e e imos an o a la ciencia empí ica como a la ma emá ica. Una lógica que sup ima las i ele ancias; i ele ancias a eces simplemen e en o pecedo as y o as eces inadmisibles. Y es á e idenciándose que la e dad ma emá ica es á más ce ca del plan ea- mien o hilbe iano que del p ime logicismo. Como hemos is o en Ta ski, en el ámbi o de lo o mal exis en dos ipos de e dades: una e dad absolu a, la au o- logía o p oposición analí ica, que no dice ealmen e nada po que sólo ma ca los lími es del lenguaje, y una e dad ela i a, la de la ma emá ica, que habla de un mundo cons uído po noso os y de sus en idades. 10. Ta ski [1956), pag. 199. 11. Hilbe & Acke mann [1928], pag. 49 de la . cas . 12. Ta ski [1944), pag. 67 de la . cas . 156 Ca men He nández REFERENCIAS Acke mann, W. «Beg ündung eine s engen Implika ion» en J ou nal o Symbolic Logic, ol. 21, 1956, pp. 113-128. Aye , A.J. El Posi i ismo lógico, Chicago, 1959 ( . cas . México, Mad id, 1965.). Camap, R. «La supe ación de la Me a ísica median e el análisis lógico del lengua- je» , en E kenn nis, ol. Il, 1932; en Aye [1959). F ege, G. Die G undlagen de A i hme ik, B eslau, 1884, ( . cas . México, 1972). Hemández Ma ín, M.C. «Filoso ías de la ma emá ica y e olución del posi i ismo lógico» en F agmen os de iloso ía, ol. 3, 1993, pp. 71-75. Hemández Ma ín, M.C. «El cálculo de la implicación es ic a de C.I. Lewis», Ac as del X Cong eso de Lenguajes Na u ales y Lenguajes Fo males (Se illa, Ba - celona, 1994). Hilbe , D. G undlagen de Geome ie, 1899, ( . cas . Mad id, 1991; incluye 10 apéndices). Hilbe , D. & Acke mann, W. Elemen os de lógica eó ica, 1928 ( . cas . Mad id, 1962). Lewis, C.I. A Su ey o Symbolic Logic, Uni . o Cali o nia, 1918. Lewis, C.I. & Lang o d, C.H. Symbolic Logic, New Yo k, 1932. Mos e ín, J. «La polémica en e F ege y Hilbe ace ca del mé odo axiomá ico» en Concep os y eo ías en la ciencia, Mad id, 1984. Nepomuceno, A. & Hemández Ma ín M.C. «Lógica e His o ia en la in es igación de undamen os», Ac as del IX Cong eso de Lenguajes Na u ales y Lengua- jes Fo males, Reos, Ba celona, 1993. Russell, B. & Whi ehead, A.N. P incipia ma hema ica, Camb idge, 1910-13. Schlick, M. «Sob e el undamen o del conocimien o» en Aye [1959). Ta ski, A. «The concep o u h in o malized languages», en Ruch Filozo iczny, XII, 1930-31, en S udia philosophica, ol. I, 1936 y en Logic, Seman ics, Me ama hema ics, Ox o d, 1956, pp. 152-277. Ta ski, A. «The seman ic concep ion o u h» en Philosophy and phenomenological esea ch, ol. 4, 1944, ( . cas . Buenos Ai es, 1972).