E STUDIOS DE ECONOMÍA APLICADA VOL. 25-1, 2007. P ÁGS. 419-452
Es udio De La Es abilidad Y De Las Bi u caciones De Los
Equilib ios De Un Sis ema Dinámico. Aplicación Al Me cado
Ce ece o Español
VELASCO MORENTE, F.*, NADAL MORALES, P.*, GONZÁLEZ ABRIL, L.*, VÍLCHEZ LO-
BATO, M. L.**
*G upo COSDE. Uni e sidad de Se illa. Dp o. Economía Aplicada I. A da. Ramón y Cajal, 1.
41018 Se illa. **Uni e sidad de Huel a. Dp o. de Economía Gene al y Es adís ica. Plaza de la
Me ced, 11. 21071 Huel a.
E-mails: [email p o ec ed], [email p o ec ed], [email p o ec ed] - [email p o ec ed]
RESUMEN
En es e abajo es udiamos la exis encia de bi u caciones de codimensión uno en un modelo dinámico económico, en
iempo disc e o, que elaciona el me cado ac ual y po encial de una colec i idad cualquie a. En p ime luga , se es ablecen
condiciones necesa ias y su i cien es pa a la es abilidad del único equilib io del sis ema, en unción de los pa áme os eco-
nómicos del modelo. Es o nos pe mi e la clasi i cación de dicho equilib io en el espacio pa amé ico. En es e con ex o, la
es abilidad es uc u al es un pun o cla e a es udia , es o es, si las p opiedades dinámicas cuali a i as del sis ema pe sis en bajo
pequeñas pe u baciones en su es uc u a. Es e es el p ime paso en el análisis de bi u caciones. Los alo es de los pa áme os
pa a los cuales el sis ema no es es uc u almen e es able, eciben el nomb e de alo es de bi u cación. Es po ello que en
segundo luga se analizan los cambios en el núme o y/o la es abilidad de los equilib ios del sis ema, con o me a a iaciones
en los pa áme os del mismo, cen ando la a ención en las bi u caciones de codimensión 1 (Flip, Fold y Neima k-Sacke ).
Finalmen e, se es udia el caso del me cado ce ece o español, conside ando como e e encia la ma ca San Miguel. Se analiza
su e olución y se da la in e p e ación económica de los esul ados ob enidos.
Palab as cla es: Es abilidad, Bi u cación de codimensión 1, Me cado ce ece o español.
S abili y and bi u ca ions in a dynamical model o cu en and po en ial
ma ke . An applica ion o he Spanish bee ma ke
ABSTRACT
This pape deals wi h he heo y o codimension one bi u ca ions applied o a disc e e- ime economic dynamic model,
ha ela es he cu en and po en ial ma ke o a collec i e anyone. Fi s , some necessa y and su i cien condi ions a e es-
ablished o he s abili y o he only s a iona y s a e o he sys em, acco ding o he alues o he economic pa ame e s o
he model. This allow us o classi y he equilib ium poin in a pa ame ic space. In his con ex , s uc u al s abili y is a key
poin o s udy, ha is, i he quali a i e dynamic p ope ies o he sys em pe sis when i s s uc u e is pe u bed. The s udy
o he s uc u al s abili y is he i s s ep o ollow in he analysis o he bi u ca ions lying in he sys em. The alues o he
pa ame e s o which he sys em is no s uc u ally s able a e called bi u ca ion alues. So secondly, changes in he numbe
and/o he s abili y o s a ionay s a es a e analyzed, ocussing ou a en ion on codimension one bi u ca ions (Flip, Fold and
Neima k-Sacke bi u ca ions). Finally, a nume ical example is p esen ed whe e esul s a e applied o he Spanish bee ma ke .
A ime e olu ion analysis is made and we gi e economic sense o he ob ained esul s.
Keywo ds: S abili y, Codimension one bi u ca ion, Spanish b ewe ma ke .
A iculo ecibido en Sep iemb e de 2005 y acep ado pa a su publicación en Ene o de 2007.
A ículo disponible en e sión lec ónica en la página www. e is a-eea.ne , e .: -25112.
ISSN 1697-5731 (online) – ISSN 1133-3197 (p in )
Clasi i cación JEL: C61,C62, M39.
420 F. Velasco Mo en e, P. Nadal Mo ales, L. González Ab il, M.L. Vílchez Loba o
Es udios de Economía Aplicada, 2007: 419-452• Vol. 25-1
1. INTRODUCCIÓN
Si hacemos e e encia a una o ganización en cualquie sec o económico, encon-
amos que un de e minado p oduc o del me cado posee, en un ins an e de iempo
dado, una cuo a de pa icipación, o lo que es lo mismo, iene un de e minado ni el de
demanda, que es consecuencia de las comp as que ealizan sus clien es ac uales. A su
ez, exis e pa a es a o ganización un me cado de clien es po enciales, compues o po
aquellos que comp an a o ganizaciones compe ido as y po o os, que eó icamen e
pod ían se clien es del p oduc o pe o que no lo son.
El me cado ac ual de la o ganización, en cada ins an e de iempo, end á un de e -
minado ni el de las elaciones de in e cambio con el en o no y del p opio es ue zo
de ma ke ing que se ealice. Los e ec os posi i os pa a la o ganización se aducen
en un inc emen o de la demanda o lo que es lo mismo en un mayo ace camien o al
me cado po encial. Es e mo imien o en e me cado po encial y ac ual, en cada ins an e
de iempo, cons i uye un modelo dinámico de i nido básicamen e po las a iaciones
en el c ecimien o, posi i o o nega i o, de clien es ac uales y po enciales del p oduc o
del me cado y de la o ganización.
Po o o lado, es conocido que una pa e impo an e de la in o mación sob e la
disponibilidad, p ecio y calidad de un p oduc o iene dada po la in e acción con o os
indi iduos, más que po la in o mación di ec a y la pe suasión del endedo . La aci-
lidad con la que se pueden adqui i p oduc os o se icios nue os, que in e ac úan con
o os menos inno ado es, y la in o mación e bal pueden in l ui en la decisión que se
ome de la comp a. En o as palab as, los l ujos de in o mación pu os y la epu ación
juegan un papel muy impo an e en las en as ei e adas de p oduc os.
Po odo ello en el diseño del sis ema dinámico, conside a emos una población
compues a de clien es ac uales y po enciales de un p oduc o o se icio. Se supone que
ningún comp ado po encial comp a á el p oduc o espon áneamen e y que la pobla-
ción es homogénea. La in ensidad de los con ac os del clien e po encial con comp as
an e io es in l uye en la ans o mación de un indi iduo de “comp ado po encial” a
“comp ado e ec i o”. Se conside a que hay una “comunicación sucesi a” en e un
clien e po encial y un usua io eal que suminis a un es ímulo ex a pa a ealiza una
buena comp a. Sin emba go, después de un pe iodo de iempo, algunos usua ios dejan
de comp a el p oduc o y se con ie en en pasi os, po ello, asumimos una “ley de
ealimen ación” de publicidad que esul a de un eo ema de Do man-S eine en el
que se a i ma que la azón de dóla de publicidad a dóla de en a es igual a la azón
de elas icidad de la demanda de publicidad a elas icidad nega i a del p ecio y de aquí,
se sigue que si las dos elas icidades son cons an es, la azón óp ima de publicidad a
en as pe manece cons an e.
En el es udio de la es abilidad en los sis emas dinámicos es de i al impo ancia
conoce cuál es la egión pa amé ica en la que dicho sis ema iene un compo amien-
o es able o ines able. En el ámbi o de la economía, los abajos de Tse e al.(1994),
421
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Es udios de Economía Aplicada, 2007: 419-452 • Vol. 25-1
Nagu ney e al. (1996), Dong e al (1996), Joos e (1996), Pe ings (1998), Bischi e
al (2001), Vílchez e al. (2004), Landa y Velasco (2004) y Mi a y Nishimu a (2005)
en e o os, son ejemplos al espec o.
Po o o lado, las o ganizaciones me can iles pueden man ene sus cuo as de me -
cado en equilib io du an e de e minados pe íodos de iempo. Sin emba go, es o no
signi i ca que es a si uación de equilib io sea pe manen e, ya que la es a egia de cada
o ganización compe i i a, en un me cado de e e encia y pa a cualquie p oduc o de
ese me cado, ha de i encaminada a consegui una cuo a de me cado lo más ele ada
posible. Aunque no es menos cie o que cualquie compo amien o compe i i o en-
caminado a consegui ese obje i o, se á espondido po las o ganizaciones compe-
ido as que de ende án sus espec i as posiciones de me cado. Po ello, un en o no
ag esi o, un es ue zo de ma ke ing mal o ien ado u o as causas desconocidas, hacen
que las posiciones conseguidas po cada o ganización compe i i a no pe manezcan,
necesa iamen e, en equilib io es able.
De lo an e io se deduce que pa a cualquie o ganización es impo an e conoce
con an elación si su de eni , en un en o no dado y pa a un de e minado p oduc o, a a
pasa po aumen os o disminuciones de su cuo a de me cado, de o ma cíclica o, en su
caso, si no a a se así. En los abajos de Velasco e al. (2002), Vilchez e al. (2002),
Vilchez e al (2003), Vilchez e al (2004) o Landa y Velasco (2004) se encuen an
ecogidos ejemplos en los que se es udian bi u caciones que p o ocan es os compo -
amien os cíclicos en modelos dinámicos económicos en iempo con inuo.
En es e abajo, se p esen a un modelo dinámico económico y se analiza bajo qué
condiciones, si se ealizan pequeñas a iaciones en los pa áme os del modelo, el
compo amien o de las ayec o ias a a se cuali a i amen e di e en e en un en o no
del pun o i jo o de equilib io. En pa icula , se es udian la es abilidad y bi u caciones
del modelo e e ido al me cado ce ece o español.
El es o del a ículo es á es uc u ado como sigue: en la sección segunda se p esen a
el modelo en iempo con inuo p opues o po Feich inge (1992) y ampliado po Landa
y Velasco (2004) y se lle a a cabo la disc e ización del mismo. A con inuación en la
sección e ce a, ob enemos condiciones necesa ias y su i cien es pa a la es abilidad
del único equilib io del sis ema, las cuales nos pe mi en de e mina la na u aleza del
mismo. En la sección cua a in oducimos el concep o de bi u cación y de codimen-
sión en un sis ema dinámico (Kuzne so 1998) y es udiamos las bi u caciones de
codimensión 1 p esen es en el modelo. Se i naliza con una sección de conclusiones
y abajo u u o.
2. EL MODELO
Según Feich inge (1992) el me cado de un de e minado p oduc o se di ide en
clien es po enciales y ac uales. Además, el núme o de clien es po enciales que comp a án
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el p oduc o y se ha án clien es en algún in e alo co o de iempo es p opo cional
al núme o ac ual de comp ado es po enciales, al núme o de clien es ac uales y a la
longi ud del in e alo conside ado. A es a cons an e de p opo cionalidad se le llama
asa de con ac o global y se puede inc emen a lle ando a cabo un aumen o en los
gas os de publicidad. Po es e mo i o se suele iden i i ca la asa de con ac o con los
gas os de publicidad en un momen o y se ep esen a po a( ).
Se asume, además, que los clien es ac uales cambian a una ma ca i al en una
p opo ción b (no dependien e del iempo), aunque es cie o que las subidas de en as
de a ículos semejan es de o as ma cas o i mas a i nes in l uyen sob e el alo del
pa áme o, ya que los indi iduos pueden ol e al p oduc o o iginal o pe manece en
el g upo de los clien es po enciales.
Po úl imo, se conside a que algunos clien es dejan el me cado pa a siemp e (po
ejemplo, po mue e o emig ación) a una asa cons an e e y que hay un l ujo con inuo
de nue os clien es que en an en el me cado desde alguna uen e, al po un aumen o
de ing esos, alguna o a o ma de publicidad o cambios demog á i cos. De es e modo,
los indi iduos l uyen den o del me cado a una asa de inpu k.
Si se ep esen an po ()x e ()y al núme o de comp ado es po enciales y al nú-
me o de clien es ac uales de una ma ca en el ins an e
, espec i amen e, la a iación
en el c ecimien o del me cado ac ual de clien es end á de i nida po aquellas pe sonas
que son a aídas al p oduc o del me cado de la o ganización, debido al e ec o que
p oduce el con ac o de las pe sonas que componen el me cado ac ual con aquellas
que cons i uyen el me cado po encial, es deci , () () ()a x y . Como es na u al, a
ese pode de a acción hab á que es a le el núme o de clien es ac uales que dejan
el me cado de la o ganización pa a pasa al me cado po encial ()by , más los que
dejan de se clien es ac uales po mue e o emig ación ()ey , ambos se conside an
p opo cionales al núme o de clien es ac uales.
Po o a pa e, la a iación en el c ecimien o del me cado po encial, iene dada
po el núme o de pe sonas que se inco po an al me cado po encial del p oduc o,
deno ado po
k
, más aquellos clien es ac uales que pasan a se clien es po enciales
de la misma, ()by , menos los clien es po enciales que pasan al me cado ac ual del
p oduc o () () ()a x y .
Si se deno an po
x
&
e y
&
las a iaciones en el c ecimien o del núme o de clien es
po enciales y ac uales espec i amen e, el dinamismo en e lo po encial y lo ac ual
se puede modeliza po el sis ema:
() () () ()
() () () () ().
xka x y by
ya x y by ey
=− +
⎧
⎨=−−
⎩
&
& (1)
x
.y
.
x
.
y
.
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Es udios de Economía Aplicada, 2007: 419-452 • Vol. 25-1
Aho a bien, se puede ealiza una segunda conside ación sob e es e modelo que
consis e en asumi un p ecio de en as cons an e pa a el p oduc o del me cado y una
asa epe ida de en as pa a el clien e ac ual. Bajo es as conside aciones, si se deno a
po a, a la asa de con ac o uno a uno, se iene que la asa de publicidad (que se ha-
bía iden i i cado con la asa de con ac o global) es p opo cional al núme o de clien es
ac uales. Deno ando a esa cons an e de p opo cionalidad po a, es a condición puede
esc ibi se como:
() ()a ay = (2)
y combinando el sis ema (1) con la ecuación (2), se ob iene el modelo no lineal con el
que Feich inge es ableció la elación dinámica en e el me cado po encial y ac ual:
2
2
() () ()
() () () ().
xkax y by
y ax y by ey
⎧=− +
⎨=−−
⎩
&
&
(3)
Landa y Velasco (2004) amplia on el modelo an e io al conside a la espues a
que se ob iene debido al es ue zo de publicidad, en o ma explíci a, ealizado po la
o ganización sob e el me cado po encial, en el caso gene al de que dicho es ue zo aya
encaminado a aumen a la demanda del p oduc o del me cado. Deno amos po c al
es ue zo de publicidad y enemos, po an o, que la in o mación en e clien es iene
dada po () () ()a x y . Además, ya que el es ue zo de publicidad a encaminado a
a ae hacia el me cado ac ual elemen os que pe enecen al me cado po encial, en la
ecuación que desc ibe la a iación del me cado po encial, debe es a se esa espues-
a. Po el con a io, en la ecuación que desc ibe la a iación del me cado ac ual, la
a acción del es ue zo de publicidad sob e el me cado po encial debe conside a se en
sen ido posi i o, ya que a di igido a inc emen a el núme o de clien es ac uales del
p oduc o. En de i ni i a, el modelo es ablecido po Landa y Velasco (2004) es:
2
2
() () () ()
() () () () ()
x k ax y by cx
y ax y by ey cx
⎧=− + −
⎨=−−+
⎩
&
&
,,,, 0abkec≥
.
En p oblemas eales se obse a que hay pocos enómenos de es e ipo que se p o-
ducen en iempo con inuo, y po lo an o, pensamos que los da os eales de en as se
ajus a án mejo si los cambios del me cado se ealizan en unidades de iempo disc e as
y no con inuas, es deci , si el modelo se a ase como un modelo dinámico en iempo
disc e o (ejemplos de modelos dinámicos con inuos se encuen an en las e e encias).
Po es e mo i o, hemos disc e izado el modelo an e io y ob enido el siguien e:
x
x
y
y
.
.
.
.

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2
1
2
1
xxkaxybycx
y y ax y by ey cx
+
+
⎧=+− + −
⎨=+ − − +
⎩
∈¢
,
,,,, 0abcke≥
. (4)
3. EQUILIBRIO Y ESTABILIDAD
El me cado ac ual y po encial de una colec i idad, cuando e olucionan a lo la go
del iempo ienden a encon a momen os en el que quedan a apados en unos de e -
minados ni eles, que hacen que pe manezcan cons an es o ap oximadamen e cons-
an es ce ca de esos ni eles, es lo que se denomina un en o no es able. Así, es no mal
encon a , en en o nos es ables, que las sociedades man engan sus cuo as de me cado
en equilib io, o casi en equilib io, du an e de e minados pe iodos de iempo y, de ahí,
que es emos in e esados en es udia bajo qué condiciones la elación dinámica, dada
en (4), exis en e en e los dos me cados alcanza algún equilib io.
P oposición 3.1 El sis ema (4) iene un único pun o i jo (o de equilib io) si odos
los pa áme os son posi i os.
Demos ación:
Los pun os i jos del sis ema (4) son las soluciones del sis ema de ecuaciones:
2
2
x x k axy by cx
y y axy by ey cx
⎧=+− + −
⎨=+ − − +
⎩ (5)
y se sigue que el único pun o que e i i ca es e sis ema iene dado po :
()22
()
*, * ,
eb ek k
xy ce ak e
+
⎛⎞
=⎜⎟
+
⎝⎠
. (6)
Además, dicha solución no p esen a ningún ipo de inconsis encia ya que odos
los pa áme os ep esen an can idades posi i as y las componen es *, *xy son no
nulas y posi i as, po lo que el equilib io, en p incipio, iene sen ido económico pa a
cualesquie a alo es (posi i os) asignados a los pa áme os.
A con inuación es udiamos la es abilidad local del pun o i jo, es deci , en qué
casos és e se compo a como un sumide o o como una uen e. Pa a ello analizamos
el alo del módulo de los mul iplicado es de la ma iz Jacobiana del sis ema (4) en
dicho pun o.
Ζ
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Conside amos el sis ema lineal asociado ( e Kuzne so (1998) o Guckenheime
y Holmes (1993))
xJx→
, donde
J
es la ma iz Jacobiana del sis ema (4) e aluada
en el pun o i jo (6). Dicha ma iz iene la exp esión gene al:
2
2
1* 2**
*1 2**
c ay b ax y
Jcay be axy
⎛⎞
−− −
=⎜⎟
+−−+
⎝⎠
y su polinomio ca ac e ís ico 2()Pμ iene dado po : 2
210
()Pddμμ μ=++ donde
22
1222
2( )
2ak a b e k
dbce
eceak
+
=− + + + + − + y
22 2
0222
2( )
1ak ak a b e k
d bcece eeceak
+
=−−−+ − + + +
Con el i n de simpli i ca las exp esiones lle amos a cabo el siguien e cambio de pa-
áme os:
22
222
2( ) 2
ak a b e k
Abce eceak
+
=+++ − −
+,
2
ak
Bce e
=+ , y se sigue que:
2
2() ( 1) 0PABAμμ μ≡++−−= (10)
y los mul iplicado es asociados son:
22
1 2
(2)4 (2)4
,
22
AA B AA B
μμ
−+ + − −− + −
==
(11)
P oposición 3.2 (Condición necesa ia y su i cien e de es abilidad) El pun o i jo (6)
del sis ema (4) es es able si y sólo si es á si uado en la egión del plano pa amé ico
AB , limi ada po las ec as
0B=
, 2BA= y 2BA=+ ( e Figu a 1).
Demos ación:
La condición de es abilidad de Schu ( e Gandol o (1997)) pa a el polinomio
ca ac e ís ico dado po 2
012
cccμμ++, asegu a que los mul iplicado es cumplen
que 1 1μ< y 2 1μ< si se e i i ca simul áneamen e:
012 012 02 02
0, 0, 0, 0ccc ccc cc cc++> −+> +> −>
y eniendo en cuen a las condiciones de nues o p oblema se sigue:
01 2
1, , 1.ccAcBA== =−− (12)
426 F. Velasco Mo en e, P. Nadal Mo ales, L. González Ab il, M.L. Vílchez Loba o
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Como se iene que Bes siemp e posi i o, se llega a que el pun o i jo es es able
si:
2 2; 0ABA B<<+ > (13)
-2 -1 1 2
1
2
3
4
21 12
1
2
3
4
B= 2 A
B= A+2
A
B
Figu a 1: Espacio pa amé ico de es abilidad del sis ema (4).
Po o o lado, pa a la clasi i cación del pun o i jo según los alo es de los pa áme os,
es necesa io además conoce si los mul iplicado es son eales (el pun o i jo es un nodo
o un pun o de silla), o complejos conjugados (el pun o i jo es un oco), y pa a ello
es udiamos el disc iminan e asociado al polinomio 2()Pμ:
2
(2)4ABΔ= + −
.
P oposición 3.3 Si el pun o i jo (6) del sis ema (4) e i i ca 2
1(2)
4
BA=+
en-
onces:
-Es un nodo es able si 22A−< < .
-Es un nodo ines able si 2A<− ó 2A>.
Demos ación:
El disc iminan e
2
(2)4ABΔ= + −
se anula sob e la pa ábola del espacio pa-
amé ico:
2
1(2)
4
BA=+
(14)
y en es os casos, los mul iplicado es asociados son: 1 2
2
A
μμ−
== y de ello la
p oposición.
427
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Es udios de Economía Aplicada, 2007: 419-452 • Vol. 25-1
P oposición 3.4 Si el pun o i jo (6) del sis ema (4) es á si uado en la egión del
plano pa amé ico 2
4(2)BA<+, en onces
i) Es un nodo es able si {}
22, 0ABA B<<+ > (Región Ι, Figu a 2 y 5).
ii) Es un nodo ines able si {}
0, 2BBA<< ó
{}
2, A 2BA>> ó {}
0, 2BA><−
(RegiónΙΙ, Figu a 3 y 5).
iii) Es un pun o de silla si {}
0, 2BBA>< ó {}
0, 2BBA<>(RegiónΙΙΙ,
Figu a 3 y 5).
Demos ación:
i) Si el pun o i jo pe enece a la egión del plano pa amé ico 2
4(2)BA<+, en on-
ces los mul iplicado es son eales, po lo que el se iene o bien un nodo o un pun o de
silla. Aplicando la condición necesa ia y su i cien e de es abilidad (13), enemos que si
2 2, B>0ABA<<+ , el pun o i jo es un nodo es able con lo que se cumple i).
Análogamen e se p ueban los apa ados ii), iii).
A
B
-2 -1 1 2
1
2
3
4
-2 -1 1 2
1
2
3
4
I
4 B= (A+2) 2
Figu a 2. Región pa amé ica de los nodos es ables.
434 F. Velasco Mo en e, P. Nadal Mo ales, L. González Ab il, M.L. Vílchez Loba o
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Po o o lado, un modelo de población que sigue una ley logís ica p esen a un
pun o i jo no nulo en el alo *Pαβ
= y de aquí se sigue que la población adul a
española p esen a un pun o de equilib io ( e Figu a (9.b)):
* 38.103.973P=
. (17)
Sus i uyendo es e alo en (15) y los alo es calib ados de los pa áme os dados
po (16) pa a la ma ca San Miguel, se iene que el me cado po encial y el ac ual pa a
dicha ma ca encuen a un equilib io en
* 12.766.700 , * 8.327.820xy==. (18)
Pa a clasi i ca el pun o i jo y analiza su es abilidad, calculamos los alo es de
A y B:
1.9910595 , 0.0059497171AB=− = (19)
y a pa i de la p oposición (3.5) se sigue que el pun o de equilib io (18) es un oco
es able ( egión IV de la Figu a 5), ya que e i i ca 2
4 ( 2) , 2BA BA>+ <+.
Pa a es udia la con inuación del pun o de equilib io debemos encon a la cu -
a de pun os de equilib io en unción de un pa áme o de e minado. Po o o lado,
algunos de los pa áme os de ajus e pueden p esen a un alo , en cada momen o,
que aza el lími e en e los alo es de los pa áme os que hacen que los me cados
de un de e minado sis ema me can il pe manezcan cons an es (los me cados ienden
a alcanza un equilib io), y los que hacen que el sis ema ienda hacia o a si uación
dis in a. Aho a bien, los alo es de los pa áme os se al e an debido a cambios en el
en o no que odea al me cado o cambios del me cado en sí mismo, pudiendo apa e-
ce nue as si uaciones donde el me cado ac ual p esen a aumen os pe iódicos, en e
a disminuciones pe iódicas del me cado po encial y ice e sa (es deci , el sis ema
me can il iende a un compo amien o cíclico). Hay dos pode osas azones pa a que
nos plan eemos es a úl ima hipó esis:
1. Es e ipo de compo amien o puede obse a se en la Figu a 10, que e l ejan el
compo amien o de los me cados ac ual y po encial pa a la ma ca San Miguel cuan-
do a iamos lige amen e uno de los alo es de los pa áme os de ajus e. Además, si
conside amos los alo es de A y B dados en (19), podemos e g á i camen e que
el pun o
(,)AB
es á muy p óximo a la ec a 2BA=+ en el plano pa amé ico, y
además de la p oposición (4.3) se sigue que la condición de que el pun o
(,)AB
es é
sob e la ec a 2BA=+, en la egión 22A−< < , es la condición necesa ia pa a la
exis encia de la bi u cación de Neima k-Sacke .
2. Del cálculo de los mul iplicado es de la ma iz jacobiana en el pun-
o de equilib io, y u ilizando las elaciones pa a 1
μ y 2
μ, ob enemos:

435
ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD Y DE LAS BIFURCACIONES DE LOS EQUILIBRIOS...
Es udios de Economía Aplicada, 2007: 419-452 • Vol. 25-1
1 2
0.995529 0.077004 , 0.995529 0.077004 iiμμ=+ =− , con
1 2
μμ==
0.998503
, es deci , el módulo de los mul iplicado es en el pun o de equilib io es á
muy p óximo a la unidad, con lo que al a ia lige amen e los alo es de los pa áme os
de ajus e en un en o no del pun o de equilib io, uno o ambos mul iplicado es pueden
en a en el cí culo unidad, con lo cual se a a cumpli la condición necesa ia pa a la
exis encia de bi u caciones de codimensión
1
.
Figu a 10. Oscilaciones de los clien es ac uales y po enciales.
De las dos azones an e io es se sigue que es necesa io ealiza el es udio de la
exis encia de bi u caciones de codimensión
1
, pa iendo de los alo es de los pa áme-
os encon ados al ajus a el sis ema a los da os ob enidos pa a la ma ca de ce eza
San Miguel.
El pun o de equilib io del me cado ce ece o pa a la ma ca San Miguel dado po
(18) implica una cuo a de me cado del 39.5%, y el análisis de las bi u caciones puede
se en ocado de las siguien es dos mane as:
i. Analí icamen e: es amos in e esados en: a) ob ene los alo es de las a ia-
bles y los pa áme os de ajus e en el pun o c í ico, b) calcula los mul iplicado es de
436 F. Velasco Mo en e, P. Nadal Mo ales, L. González Ab il, M.L. Vílchez Loba o
Es udios de Economía Aplicada, 2007: 419-452• Vol. 25-1
la ma iz Jacobiana en el pun o c í ico pa a pode es ablece el ipo de bi u cación,
c) es udia si se e i i can las condiciones de no degene ación pa a pode asegu a
que es amos an e una bi u cación de codimensión
1
, y d) encon a la o ma no mal
asociada a la bi u cación en es udio
ii. Económicamen e: el in e és adica en: a) conside a si los alo es de los pa-
áme os de ajus e en el pun o c í ico es án incluidos en los in e alos exigidos pa a
la aplicación al me cado ac ual y po encial al me cado ce ece o español, b) analiza
las cuo as de me cado an o pa a el me cado po encial como pa a el ac ual en el pun o
c í ico pa a comp oba si el compo amien o de dichos me cados es á in eg ado den o
de lo que se pudie a conside a como un p oceso lógico y habi ual de los mismos, y
c) es udia la e olución del me cado ce ece o español, analizando si la conduc a de
esos me cados iende hacia un compo amien o cíclico es able o ines able.
Pa a la ealización de es e es udio amos a i a iando uno a uno los pa áme os
de ajus e del modelo siguiendo un o den dec ecien e a la sensibilidad que p esen a
el modelo a dichos cambios. Conside a emos p ime o los pa áme os que no ienen
in l uencia sob e el equilib io del me cado ac ual (el es ue zo de publicidad, el paso a
una ma ca i al y la asa de con ac o) y p osegui emos con los que ienen una in l uencia
ac i a sob e el equilib io de dicho me cado (la asa de en ada y de salida). Se u iliza
el p og ama de simulación pa a sis emas dinámicos CONTENT (Kuzne so y Le i in
2004), y se lle an a cabo una simulación numé ica donde pa a cada pun o c í ico se
encuen an: i) El alo del pa áme o, los alo es de ambos me cados y los alo es
de los mul iplicado es, ii) si la bi u cación es Neima k-Sacke , el coe i cien e (0)a,
necesa io pa a es ablece la apa ición de la cu a ce ada in a ian e que acompaña
a es e ipo de bi u cación y el ángulo θ de la o ma no mal asociada a la es icción
a la a iedad cen o. Si la bi u cación es Flip, se iene en cuen a el coe i cien e del
é mino cúbico de la o ma no mal asociada a la es icción a la a iedad cen o
(Kuzne so (1998)).
5.1. Con inuación del equilib io pa a el es ue zo de publicidad
Iniciamos nues o análisis iendo cómo se compo an los me cados espec o a es e
pa áme o c y encon amos dos pun os c í icos. Uno es un pun o de bi u cación de
Neima k-Sacke (N. S.) cuyos da os ienen dado po :
Tipo Valo de c Clien es Po . Clien es Ac . (0)aθ
N. S. 0.019101486 12.882.066 8.327.820 -0.000582054 0.0768072
437
ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD Y DE LAS BIFURCACIONES DE LOS EQUILIBRIOS...
Es udios de Economía Aplicada, 2007: 419-452 • Vol. 25-1
El o o pun o c í ico ob enido es una bi u cación Flip (o duplicación de pe iodo
(D. P.)) cuyos da os ienen dados po :
Tipo Valo de c Clien es Po enciales Clien es Ac uales Fo . No mal
D. P. 1.8417928 652.694 8.327.820 -0.000489545
En la Figu a 11, se mues a una con inuación del equilib io del pa áme o
c ob eniendo el pun o de equilib io (x*, y*), supues os i jos el es o de los pa áme-
os. En la simulación numé ica con CONTENT, cuando pa a un alo del pa áme o
exis e una bi u cación, el desa ollo de la g á i ca se de iene y, en el caso de una
bi u cación de Neima k-Sacke las le as NS sob e la g á i ca indican el alo de la
bi u cación. Análogamen e ocu e con la bi u cación de duplicación de pe iodo pe o
aho a apa ecen las le as PD sob e la g á i ca. Veamos a con inuación un análisis algo
más de allado de es a i gu a.
Figu a 11. Pun o de bi u cación N-S pa a el es ue zo de publicidad.
1. Pa a el pun o de bi u cación Neima k-Sacke :
- El pun o c í ico se ob iene pa a
0.019101488c=
, es deci ha disminuido lige-
amen e el alo de es e pa áme o (menos de nue e diezmilésimas). Es o signi i ca
que aunque los consumido es ac uales siguen i eles a la ma ca San Miguel (ya que el
equilib io encon ado pa a esa ma ca no se e a ec ado po el compo amien o de es e
pa áme o), se p oduce un le e descenso, del
0.2
po cien o de la cuo a de me cado
pa a la ma ca en es udio. Es a disminución es abso bida po el me cado po encial que
su e un aumen o de su cuo a en la misma p opo ción. Po lo que podemos conclui
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Es udios de Economía Aplicada, 2007: 419-452• Vol. 25-1
que el es ue zo de ma ke ing ealizado po la ma ca San Miguel sob e el me cado
ce ece o, has a ese momen o, e a su i cien e.
- Analizamos, aho a, qué le ocu e a los me cados cuando se aspasa el alo
c í ico, es deci , si su equilib io se ha á ines able, endiendo su compo amien o a
se cíclico (la bi u cación de Neima k-Sacke es supe c í ica), o po el con a io, los
me cados abandonan un compo amien o cíclico pa a ende a un equilib io es able
(la bi u cación de Neima k-Sacke es subc í ica). En es e caso, como el coe i cien e
(0)a es nega i o y además se iene la condición de no degene ación 0.0712892 1
i
e≠
, es amos an e el caso supe c í ico, es deci , después de la bi u cación se p oduce un
cambio en la es abilidad del equilib io y los me cados ende án hacia un compo a-
mien o cíclico es able.
- La ma iz Jacobiana del sis ema lineal asociado iene dos mul iplicado es complejos con-
jugados de módulo uni a io, 1 4.4007292 2 4.4007292
1 , 1μμ
−
==. Además, el modelo lle a aso-
ciada la o ma no mal: ()()
24
0.0712892 1 0.000582054 ,
i
we w w Ow w=− +∈
%C
2. Respec o al pun o de bi u cación de Flip, és e se p esen a cuando
1.8417928c=
y se obse a que:
- El alo del pa áme o en el pun o c í ico no e i i ca las condiciones que impu-
simos pa a ealiza el ajus e del modelo al me cado ce ece o español, es o es, no se
encuen an en e
0
y
1
.
- El alo del pa áme o encon ado implica la caída del me cado po encial pa a
la ma ca San Miguel, mien as se conse a el me cado ac ual pa a dicha ma ca. Po
an o, no es á in eg ado en un p oceso habi ual de los me cados.
- Aho a bien, desde el pun o de is a analí ico, podemos añadi que la ma iz Ja-
cobiana p esen a dos mul iplicado es eales, 1 2 0
1 , 0.94181181
π
μμ== , es deci ,
se cumple la condición necesa ia pa a la exis encia de dicha bi u cación y su o ma
no mal asociada iene dada po ()
34
0.000489545 , Oξξ ξ ξ ξ=− − + ∈
%R.
5.2. Con inuación del equilib io pa a el paso a una ma ca i al
Pa a es e es udio se ha ob enido un único pun o de bi u cación de Neima k-Sacke
( e Figu a 12) con alo es:
Tipo Valo de b Clien es Po . Clien es Ac . (0)aθ
N.S. 0.094908204 13.194.706 8.327.820 -0.000597801 0.0771535
w
ξ
C
439
ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD Y DE LAS BIFURCACIONES DE LOS EQUILIBRIOS...
Es udios de Economía Aplicada, 2007: 419-452 • Vol. 25-1
Figu a 12. Pun os de bi u cación pa a el paso a una ma ca i al.
A pa i de los alo es de la abla se sigue que:
- Exis e un pun o de bi u cación pa a el alo c í ico
0.094908204b=
lo que
signi i ca que el paso a una ma ca i al ha aumen ado en ap oximadamen e cinco
milésimas. Dicho aumen o lle a a un inc emen o de la población consumido a que,
como e a de espe a , no se aduce a o ablemen e en un aumen o de la cuo a de
me cado. En e ec o, comp obamos que el me cado ac ual pie de (aún man eniendo el
núme o de sus consumido es habi uales), un
0.8
po cien o de la cuo a de me cado,
es deci , el aumen o de la población consumido a sólo e ie e a o ablemen e pa a
las ma cas compe ido as que uel en a bene i cia se de es a pe dida de me cado al
e cómo aumen an el núme o de sus clien es habi uales.
- Po o a pa e, el coe i cien e (0)a es nega i o y se sigue e i i cando la condición
de no degene ación, con lo cual podemos indica que los me cados pa a la ma ca San
Miguel pie den la es abilidad del equilib io y ienden a compo a se de una o ma
cíclica.
- Po úl imo, señala que el alo de los mul iplicado es en el pun o c í ico es:
1 4.205724
1μ= , 2 4.205724
1μ−
= y que el modelo lle a asociada la o ma no mal:
()()
24
0.0771535 1 0.000597801 ,
i
we w w Ow w=− +∈
%C.
wC

440 F. Velasco Mo en e, P. Nadal Mo ales, L. González Ab il, M.L. Vílchez Loba o
Es udios de Economía Aplicada, 2007: 419-452• Vol. 25-1
5.3. Con inuación del equilib io pa a la asa de con ac o.
En es e caso se encuen an los pun os de bi u cación ( e Figu a 13) que e l ejamos
en la siguien e abla:
Tipo Valo de a Cl. Po . Cl. Ac . (0)aθ
N.S. 0.000920348 14.952.463 8.327.820 -0.000537833 0.0712892
N.S. 0.000813196 16.407.228 8.327.820 -0.00051007 0.068054
Tipo Valo de a Cl. Po . Cl. Ac . Fo . No mal
D.P. 0.0316482510 5.678.826 8.327820 -0.0462343
Figu a 13. Pun os de bi u cación pa a la asa de con ac o.
Del análisis de los esul ados se sigue que pa a el p ime pun o de bi u cación:
- La asa de con ac o alcanza el alo c í ico en
0.00092034816a=
, es deci , ha
disminuido ap oximadamen e en dos diezmilésimas. Es a disminución en el pode del
ma ke ing e bal que ealizan los consumido es habi uales de la ma ca San Miguel,
se aduce, nue amen e, en una pé dida de la cuo a de me cado del
3.7
% pa a dicha
ma ca (aunque el núme o de consumido es habi uales de la ma ca no su e al e ación).
El aumen o, que en consecuencia, se p oduce en el núme o de los consumido es de
o as ma cas i ales, lle a al me cado po encial de la ma ca en es udio a oza la ci a
de quince millones de pe sonas adul as.
441
ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD Y DE LAS BIFURCACIONES DE LOS EQUILIBRIOS...
Es udios de Economía Aplicada, 2007: 419-452 • Vol. 25-1
- Análogamen e a lo que ocu e en las an e io es bi u caciones de Neima k-Sacke
pa a los o os pa áme os, los me cados po encial y ac ual ienden a abandona su
posición de equilib io y a compo a se de o ma cíclica.
- Analí icamen e, la ma iz Jacobiana del sis ema lineal asociado iene dos mul i-
plicado es complejos conjugados de módulo uni a io: 1 4.0845693 2 4.0845693
1 , 1μμ
−
==
y el modelo lle a asociada la o ma no mal:
()()
24
0.0712892 1 0.000537833 ,
i
we w w Ow w=− +∈
%C.
Si seguimos disminuyendo el alo de la asa de con ac o en e clien es, encon a-
mos o o pun o c í ico pa a el cual:
- El alo del pa áme o pa a el que se p oduce la bi u cación es
0.00081319635a=
, es deci , los clien es po enciales alcanzan un alo que onda los dieciséis millones
y medio de posibles consumido es, lo que indica, que aún conse ando el núme o
de clien es i eles a la ma ca, se p oduce una pé dida de cuo a de me cado pa a San
Miguel del
5.8
%. La in e p e ación de los hechos es análoga al caso an e io .
- Como e a de espe a , el compo amien o de ambos me cados ambién ende á a
se cíclico, al ob ene el mismo signo nega i o en el coe i cien e (0)a y cumpli se la
condición de no degene ación.
- En es e caso enemos 1 3.8992055 2 3.8992055
1 , 1μμ
−
== y la o ma no mal del
modelo es:
()()
24
0.068054 1 0.00051007 ,
i
we w w Ow w=− + ∈
%C
.
En el caso de la bi u cación de duplicación de pe iodo que encon amos, emos
que:
- El pun o c í ico se alcanza pa a un alo de la asa de con ac o
0.031648251a=
que es acep able (es á en e los alo es
0
y
1
) y signi i ca un aumen o de, ap oxima-
damen e, dos cen ésimas.
- Se p oduce el desplome de los clien es po enciales del me cado, mien as se
man ienen los clien es ac uales pa a la ma ca San Miguel. Es e compo amien o no
se man iene den o de la lógica del sis ema de me cados.
- Desde el pun o de is a analí ico, podemos añadi que los mul iplicado es en el
pun o c í ico son 1 2 0
1 , 0.9328735
π
μμ== y el modelo lle a asociada la o ma
no mal:
()
34
0.000462344 , Oξξ ξ ξ ξ=− − + ∈
%R.
w
w
ξ
C
C
R
442 F. Velasco Mo en e, P. Nadal Mo ales, L. González Ab il, M.L. Vílchez Loba o
Es udios de Economía Aplicada, 2007: 419-452• Vol. 25-1
Pasamos aho a a es udia el compo amien o del sis ema espec o a los cambios
en los pa áme os que nos indican la en ada y la salida del me cado ce ece o y que
in l uyen ac i amen e sob e el equilib io an o del me cado po encial como del me cado
ac ual pa a la ma ca en es udio.
5.4. Con inuación del equilib io pa a la asa de en ada en el me cado.
Al ealiza la simulación numé ica, encon amos ( e Figu a 14) dos pun os de
bi u cación de Neima k-Sacke y un pun o de bi u cación de duplicación de pe iodo
cuyos da os apa ecen en la abla siguien e:
Tipo Valo de k Cl. Po . Cl. Ac . (0)aθ
N.S. 0.011970261 13.510.783 7.524.900 -0.000658525 0.0712892
N.S. 0.011251839 13.935.617 7.073.302 -0.000706987 0.068054
Tipo Valo de k Cl. Po . Cl. Ac . Fo . No mal
D.P. 0.070194209 2.987.919 44.126.557 -0.0462343
Figu a 14. Pun os de bi u cación pa a la asa de en ada.
Respec o a es os pun os de bi u cación podemos hace las siguien es e l exio-
nes:
1) Respec o al p ime pun o de bi u cación de Neima k-Sacke obse amos que:
- La lige a disminución (ap oximadamen e una milésima) de la asa de en ada en
443
ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD Y DE LAS BIFURCACIONES DE LOS EQUILIBRIOS...
Es udios de Economía Aplicada, 2007: 419-452 • Vol. 25-1
el me cado has a alcanza el alo c í ico
0.011970261k=
in l uye di ec amen e
sob e el equilib io alcanzado en los consumido es habi uales de la ma ca San Mi-
guel, haciendo que su núme o baje has a ap oximadamen e sie e millones y medio
de clien es ac uales. Es a pé dida de cuo a de me cado, que uel e a se del
3.8
%,
se ans o ma en un aumen o de la cuo a de me cado de las ma cas i ales, lo que
se aduce en un aumen o del núme o de los clien es po enciales has a alcanza los
ece millones y medio de pe sonas adul as. Debemos señala que al disminui la asa
de en ada en el me cado, la población consumido a su e, como e a p e isible, una
le e disminución.
- El compo amien o de los me cados cuando se aspasa es e alo c í ico uel e
a se cíclico, endiendo las ayec o ias a o ma una cu a in a ian e ce ada.
- Po o o lado, la ma iz Jacobiana del sis ema lineal asociado iene dos mul iplicado-
es complejos conjugados de módulo uni a io: 1 4.0845705 2 4.0845705
1 , 1μμ
−
== y la o ma
no mal del modelo es: ()()
24
0.0712892 1 0.000658525 ,
i
we w w Ow w=− +∈
%C
.
2) Pa a el segundo pun o de bi u cación de Neima k-Sacke concluimos que:
- Si seguimos disminuyendo el alo de la asa de en ada encon amos o o pun o
c í ico en
0.011251839k=
. En es e caso la in e p e ación de los da os es simila
al caso an e io y an solo indica que, aho a, la pé dida de cuo a de me cado de la
ma ca San Miguel es más signi i ca i a, el
5.8
%, ya que sus clien es ac uales bajan
has a los sie e millones de usua ios. Po con a, el me cado po encial abso be es a
pé dida y, como esul ado, oza los ca o ce millones de pe sonas adul as. Como en el
caso an e io , la población consumido a ambién acusa la nue a pe dida de en ada
en el me cado.
- Como e a de espe a , po la analogía con el caso an e io , el compo amien o de
ambos me cados ambién ende á a se cíclico.
- En es e caso, enemos que: 1 3.8992058 2 3.8992058
1 , 1μμ
−
== y el modelo lle a aso-
ciado la o ma no mal: ()()
24
0.068054 1 0.000706987 ,
i
we w w Ow w=− + ∈
%C
.
3) Analizamos el pun o de bi u cación de duplicación de pe iodo:
- La bi u cación iene luga pa a el alo c í ico
0.070194209k=
y se ha p odu-
cido, po an o, un aumen o de la asa de en ada, aunque el alo c í ico del pa áme o
sigue es ando en e los alo es exigidos pa a el ajus e.
w
w
C
C
450 F. Velasco Mo en e, P. Nadal Mo ales, L. González Ab il, M.L. Vílchez Loba o
Es udios de Economía Aplicada, 2007: 419-452• Vol. 25-1
(, ()uBuguVu
C
+
⎛⎞ ⎛ ⎞
→
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
. (A.3)
La p ime a de las dos ecuaciones es la es icción del sis ema (A.2) sob e la a-
iedad cen o. La dinámica del sis ema (A.2) es á de e minada po es a es icción,
ya que la segunda ecuación es lineal y iene soluciones exponencialmen e c ecien es
o dec ecien es.
Bi u caciones de codimensión1:
La apa ición de un e a o ase no equi alen e opológicamen e con espec o a la
a iación de los pa áme os se denomina bi u cación. Es deci , una bi u cación es
un cambio opológico del sis ema cuando sus pa áme os pasan a a és de un alo
c í ico llamado alo de bi u cación. La codimensión de una bi u cación es el núme o
de condiciones independien es que de e minan la bi u cación.
Bi u cación l ip: La es icción a la a iedad cen o unidimensional iene la o -
ma:
4
3(), cOξξξ ξξ→− + + ∈¡.
Si
0c≠
y el sis ema depende gené icamen e sob e el pa áme o, en onces se
bi u ca un ciclo de pe íodo 2 desde el pun o de equilib io 0
xel alo c í ico del pa-
áme o 0
α, mien as el pun o i jo cambia su es abilidad. Su ep esen ación g á i ca
es la siguien e:
Bi u cación de Neima k-Sacke . La es icción a la a iedad cen o unidimensional
iene la o ma:
024
0
(1 ( ) ) ( ), w
i
wew d w Ow
θα→+ + ∈£.
R

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ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD Y DE LAS BIFURCACIONES DE LOS EQUILIBRIOS...
Es udios de Economía Aplicada, 2007: 419-452 • Vol. 25-1
En es e caso se bi u ca una única cu a ce ada in a ian e y es able si
00
() Re(()) 0adαα=<
y la ep esen ación g á i ca es la siguien e.
Bi u cación de Neima k-Sacke supe c í ica.
Si
0
() 0aα>
, en onces la ep esen ación g á i ca de la bi u cación es:
Bi u cación de Neima k-Sacke subc í ica.