Estudio de la estabilidad y de las bifurcaciones de los equilibrios de un sistema dinámico. Aplicación al mercado cervecero español

E STUDIOS DE ECONOMÍA APLICADA VOL. 25-1, 2007. P ÁGS. 419-452 Es udio De La Es abilidad Y De Las Bi u caciones De Los Equilib ios De Un Sis ema Dinámico. Aplicación Al Me cado Ce ece o Español VELASCO MORENTE, F.*, NADAL MORALES, P.*, GONZÁLEZ ABRIL, L.*, VÍLCHEZ LO- BATO, M. L.** *G upo COSDE. Uni e sidad de Se illa. Dp o. Economía Aplicada I. A da. Ramón y Cajal, 1. 41018 Se illa. **Uni e sidad de Huel a. Dp o. de Economía Gene al y Es adís ica. Plaza de la Me ced, 11. 21071 Huel a. E-mails: [email p o ec ed], [email p o ec ed], [email p o ec ed] - [email p o ec ed] RESUMEN En es e abajo es udiamos la exis encia de bi u caciones de codimensión uno en un modelo dinámico económico, en iempo disc e o, que elaciona el me cado ac ual y po encial de una colec i idad cualquie a. En p ime luga , se es ablecen condiciones necesa ias y su i cien es pa a la es abilidad del único equilib io del sis ema, en unción de los pa áme os eco- nómicos del modelo. Es o nos pe mi e la clasi i cación de dicho equilib io en el espacio pa amé ico. En es e con ex o, la es abilidad es uc u al es un pun o cla e a es udia , es o es, si las p opiedades dinámicas cuali a i as del sis ema pe sis en bajo pequeñas pe u baciones en su es uc u a. Es e es el p ime paso en el análisis de bi u caciones. Los alo es de los pa áme os pa a los cuales el sis ema no es es uc u almen e es able, eciben el nomb e de alo es de bi u cación. Es po ello que en segundo luga se analizan los cambios en el núme o y/o la es abilidad de los equilib ios del sis ema, con o me a a iaciones en los pa áme os del mismo, cen ando la a ención en las bi u caciones de codimensión 1 (Flip, Fold y Neima k-Sacke ). Finalmen e, se es udia el caso del me cado ce ece o español, conside ando como e e encia la ma ca San Miguel. Se analiza su e olución y se da la in e p e ación económica de los esul ados ob enidos. Palab as cla es: Es abilidad, Bi u cación de codimensión 1, Me cado ce ece o español. S abili y and bi u ca ions in a dynamical model o cu en and po en ial ma ke . An applica ion o he Spanish bee ma ke ABSTRACT This pape deals wi h he heo y o codimension one bi u ca ions applied o a disc e e- ime economic dynamic model, ha ela es he cu en and po en ial ma ke o a collec i e anyone. Fi s , some necessa y and su i cien condi ions a e es- ablished o he s abili y o he only s a iona y s a e o he sys em, acco ding o he alues o he economic pa ame e s o he model. This allow us o classi y he equilib ium poin in a pa ame ic space. In his con ex , s uc u al s abili y is a key poin o s udy, ha is, i he quali a i e dynamic p ope ies o he sys em pe sis when i s s uc u e is pe u bed. The s udy o he s uc u al s abili y is he i s s ep o ollow in he analysis o he bi u ca ions lying in he sys em. The alues o he pa ame e s o which he sys em is no s uc u ally s able a e called bi u ca ion alues. So secondly, changes in he numbe and/o he s abili y o s a ionay s a es a e analyzed, ocussing ou a en ion on codimension one bi u ca ions (Flip, Fold and Neima k-Sacke bi u ca ions). Finally, a nume ical example is p esen ed whe e esul s a e applied o he Spanish bee ma ke . A ime e olu ion analysis is made and we gi e economic sense o he ob ained esul s. Keywo ds: S abili y, Codimension one bi u ca ion, Spanish b ewe ma ke . A iculo ecibido en Sep iemb e de 2005 y acep ado pa a su publicación en Ene o de 2007. A ículo disponible en e sión lec ónica en la página www. e is a-eea.ne , e .: -25112. ISSN 1697-5731 (online) – ISSN 1133-3197 (p in ) Clasi i cación JEL: C61,C62, M39. 420 F. Velasco Mo en e, P. Nadal Mo ales, L. González Ab il, M.L. Vílchez Loba o Es udios de Economía Aplicada, 2007: 419-452• Vol. 25-1 1. INTRODUCCIÓN Si hacemos e e encia a una o ganización en cualquie sec o económico, encon- amos que un de e minado p oduc o del me cado posee, en un ins an e de iempo dado, una cuo a de pa icipación, o lo que es lo mismo, iene un de e minado ni el de demanda, que es consecuencia de las comp as que ealizan sus clien es ac uales. A su ez, exis e pa a es a o ganización un me cado de clien es po enciales, compues o po aquellos que comp an a o ganizaciones compe ido as y po o os, que eó icamen e pod ían se clien es del p oduc o pe o que no lo son. El me cado ac ual de la o ganización, en cada ins an e de iempo, end á un de e - minado ni el de las elaciones de in e cambio con el en o no y del p opio es ue zo de ma ke ing que se ealice. Los e ec os posi i os pa a la o ganización se aducen en un inc emen o de la demanda o lo que es lo mismo en un mayo ace camien o al me cado po encial. Es e mo imien o en e me cado po encial y ac ual, en cada ins an e de iempo, cons i uye un modelo dinámico de i nido básicamen e po las a iaciones en el c ecimien o, posi i o o nega i o, de clien es ac uales y po enciales del p oduc o del me cado y de la o ganización. Po o o lado, es conocido que una pa e impo an e de la in o mación sob e la disponibilidad, p ecio y calidad de un p oduc o iene dada po la in e acción con o os indi iduos, más que po la in o mación di ec a y la pe suasión del endedo . La aci- lidad con la que se pueden adqui i p oduc os o se icios nue os, que in e ac úan con o os menos inno ado es, y la in o mación e bal pueden in l ui en la decisión que se ome de la comp a. En o as palab as, los l ujos de in o mación pu os y la epu ación juegan un papel muy impo an e en las en as ei e adas de p oduc os. Po odo ello en el diseño del sis ema dinámico, conside a emos una población compues a de clien es ac uales y po enciales de un p oduc o o se icio. Se supone que ningún comp ado po encial comp a á el p oduc o espon áneamen e y que la pobla- ción es homogénea. La in ensidad de los con ac os del clien e po encial con comp as an e io es in l uye en la ans o mación de un indi iduo de “comp ado po encial” a “comp ado e ec i o”. Se conside a que hay una “comunicación sucesi a” en e un clien e po encial y un usua io eal que suminis a un es ímulo ex a pa a ealiza una buena comp a. Sin emba go, después de un pe iodo de iempo, algunos usua ios dejan de comp a el p oduc o y se con ie en en pasi os, po ello, asumimos una “ley de ealimen ación” de publicidad que esul a de un eo ema de Do man-S eine en el que se a i ma que la azón de dóla de publicidad a dóla de en a es igual a la azón de elas icidad de la demanda de publicidad a elas icidad nega i a del p ecio y de aquí, se sigue que si las dos elas icidades son cons an es, la azón óp ima de publicidad a en as pe manece cons an e. En el es udio de la es abilidad en los sis emas dinámicos es de i al impo ancia conoce cuál es la egión pa amé ica en la que dicho sis ema iene un compo amien- o es able o ines able. En el ámbi o de la economía, los abajos de Tse e al.(1994), 421 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD Y DE LAS BIFURCACIONES DE LOS EQUILIBRIOS... Es udios de Economía Aplicada, 2007: 419-452 • Vol. 25-1 Nagu ney e al. (1996), Dong e al (1996), Joos e (1996), Pe ings (1998), Bischi e al (2001), Vílchez e al. (2004), Landa y Velasco (2004) y Mi a y Nishimu a (2005) en e o os, son ejemplos al espec o. Po o o lado, las o ganizaciones me can iles pueden man ene sus cuo as de me - cado en equilib io du an e de e minados pe íodos de iempo. Sin emba go, es o no signi i ca que es a si uación de equilib io sea pe manen e, ya que la es a egia de cada o ganización compe i i a, en un me cado de e e encia y pa a cualquie p oduc o de ese me cado, ha de i encaminada a consegui una cuo a de me cado lo más ele ada posible. Aunque no es menos cie o que cualquie compo amien o compe i i o en- caminado a consegui ese obje i o, se á espondido po las o ganizaciones compe- ido as que de ende án sus espec i as posiciones de me cado. Po ello, un en o no ag esi o, un es ue zo de ma ke ing mal o ien ado u o as causas desconocidas, hacen que las posiciones conseguidas po cada o ganización compe i i a no pe manezcan, necesa iamen e, en equilib io es able. De lo an e io se deduce que pa a cualquie o ganización es impo an e conoce con an elación si su de eni , en un en o no dado y pa a un de e minado p oduc o, a a pasa po aumen os o disminuciones de su cuo a de me cado, de o ma cíclica o, en su caso, si no a a se así. En los abajos de Velasco e al. (2002), Vilchez e al. (2002), Vilchez e al (2003), Vilchez e al (2004) o Landa y Velasco (2004) se encuen an ecogidos ejemplos en los que se es udian bi u caciones que p o ocan es os compo - amien os cíclicos en modelos dinámicos económicos en iempo con inuo. En es e abajo, se p esen a un modelo dinámico económico y se analiza bajo qué condiciones, si se ealizan pequeñas a iaciones en los pa áme os del modelo, el compo amien o de las ayec o ias a a se cuali a i amen e di e en e en un en o no del pun o i jo o de equilib io. En pa icula , se es udian la es abilidad y bi u caciones del modelo e e ido al me cado ce ece o español. El es o del a ículo es á es uc u ado como sigue: en la sección segunda se p esen a el modelo en iempo con inuo p opues o po Feich inge (1992) y ampliado po Landa y Velasco (2004) y se lle a a cabo la disc e ización del mismo. A con inuación en la sección e ce a, ob enemos condiciones necesa ias y su i cien es pa a la es abilidad del único equilib io del sis ema, las cuales nos pe mi en de e mina la na u aleza del mismo. En la sección cua a in oducimos el concep o de bi u cación y de codimen- sión en un sis ema dinámico (Kuzne so 1998) y es udiamos las bi u caciones de codimensión 1 p esen es en el modelo. Se i naliza con una sección de conclusiones y abajo u u o. 2. EL MODELO Según Feich inge (1992) el me cado de un de e minado p oduc o se di ide en clien es po enciales y ac uales. Además, el núme o de clien es po enciales que comp a án 422 F. Velasco Mo en e, P. Nadal Mo ales, L. González Ab il, M.L. Vílchez Loba o Es udios de Economía Aplicada, 2007: 419-452• Vol. 25-1 el p oduc o y se ha án clien es en algún in e alo co o de iempo es p opo cional al núme o ac ual de comp ado es po enciales, al núme o de clien es ac uales y a la longi ud del in e alo conside ado. A es a cons an e de p opo cionalidad se le llama asa de con ac o global y se puede inc emen a lle ando a cabo un aumen o en los gas os de publicidad. Po es e mo i o se suele iden i i ca la asa de con ac o con los gas os de publicidad en un momen o y se ep esen a po a( ). Se asume, además, que los clien es ac uales cambian a una ma ca i al en una p opo ción b (no dependien e del iempo), aunque es cie o que las subidas de en as de a ículos semejan es de o as ma cas o i mas a i nes in l uyen sob e el alo del pa áme o, ya que los indi iduos pueden ol e al p oduc o o iginal o pe manece en el g upo de los clien es po enciales. Po úl imo, se conside a que algunos clien es dejan el me cado pa a siemp e (po ejemplo, po mue e o emig ación) a una asa cons an e e y que hay un l ujo con inuo de nue os clien es que en an en el me cado desde alguna uen e, al po un aumen o de ing esos, alguna o a o ma de publicidad o cambios demog á i cos. De es e modo, los indi iduos l uyen den o del me cado a una asa de inpu k. Si se ep esen an po ()x e ()y al núme o de comp ado es po enciales y al nú- me o de clien es ac uales de una ma ca en el ins an e , espec i amen e, la a iación en el c ecimien o del me cado ac ual de clien es end á de i nida po aquellas pe sonas que son a aídas al p oduc o del me cado de la o ganización, debido al e ec o que p oduce el con ac o de las pe sonas que componen el me cado ac ual con aquellas que cons i uyen el me cado po encial, es deci , () () ()a x y . Como es na u al, a ese pode de a acción hab á que es a le el núme o de clien es ac uales que dejan el me cado de la o ganización pa a pasa al me cado po encial ()by , más los que dejan de se clien es ac uales po mue e o emig ación ()ey , ambos se conside an p opo cionales al núme o de clien es ac uales. Po o a pa e, la a iación en el c ecimien o del me cado po encial, iene dada po el núme o de pe sonas que se inco po an al me cado po encial del p oduc o, deno ado po k , más aquellos clien es ac uales que pasan a se clien es po enciales de la misma, ()by , menos los clien es po enciales que pasan al me cado ac ual del p oduc o () () ()a x y . Si se deno an po x & e y & las a iaciones en el c ecimien o del núme o de clien es po enciales y ac uales espec i amen e, el dinamismo en e lo po encial y lo ac ual se puede modeliza po el sis ema: () () () () () () () () (). xka x y by ya x y by ey =− + ⎧ ⎨=−− ⎩ & & (1) x .y . x . y . 423 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD Y DE LAS BIFURCACIONES DE LOS EQUILIBRIOS... Es udios de Economía Aplicada, 2007: 419-452 • Vol. 25-1 Aho a bien, se puede ealiza una segunda conside ación sob e es e modelo que consis e en asumi un p ecio de en as cons an e pa a el p oduc o del me cado y una asa epe ida de en as pa a el clien e ac ual. Bajo es as conside aciones, si se deno a po a, a la asa de con ac o uno a uno, se iene que la asa de publicidad (que se ha- bía iden i i cado con la asa de con ac o global) es p opo cional al núme o de clien es ac uales. Deno ando a esa cons an e de p opo cionalidad po a, es a condición puede esc ibi se como: () ()a ay = (2) y combinando el sis ema (1) con la ecuación (2), se ob iene el modelo no lineal con el que Feich inge es ableció la elación dinámica en e el me cado po encial y ac ual: 2 2 () () () () () () (). xkax y by y ax y by ey ⎧=− + ⎨=−− ⎩ & & (3) Landa y Velasco (2004) amplia on el modelo an e io al conside a la espues a que se ob iene debido al es ue zo de publicidad, en o ma explíci a, ealizado po la o ganización sob e el me cado po encial, en el caso gene al de que dicho es ue zo aya encaminado a aumen a la demanda del p oduc o del me cado. Deno amos po c al es ue zo de publicidad y enemos, po an o, que la in o mación en e clien es iene dada po () () ()a x y . Además, ya que el es ue zo de publicidad a encaminado a a ae hacia el me cado ac ual elemen os que pe enecen al me cado po encial, en la ecuación que desc ibe la a iación del me cado po encial, debe es a se esa espues- a. Po el con a io, en la ecuación que desc ibe la a iación del me cado ac ual, la a acción del es ue zo de publicidad sob e el me cado po encial debe conside a se en sen ido posi i o, ya que a di igido a inc emen a el núme o de clien es ac uales del p oduc o. En de i ni i a, el modelo es ablecido po Landa y Velasco (2004) es: 2 2 () () () () () () () () () x k ax y by cx y ax y by ey cx ⎧=− + − ⎨=−−+ ⎩ & & ,,,, 0abkec≥ . En p oblemas eales se obse a que hay pocos enómenos de es e ipo que se p o- ducen en iempo con inuo, y po lo an o, pensamos que los da os eales de en as se ajus a án mejo si los cambios del me cado se ealizan en unidades de iempo disc e as y no con inuas, es deci , si el modelo se a ase como un modelo dinámico en iempo disc e o (ejemplos de modelos dinámicos con inuos se encuen an en las e e encias). Po es e mo i o, hemos disc e izado el modelo an e io y ob enido el siguien e: x x y y . . . . 424 F. Velasco Mo en e, P. Nadal Mo ales, L. González Ab il, M.L. Vílchez Loba o Es udios de Economía Aplicada, 2007: 419-452• Vol. 25-1 2 1 2 1 xxkaxybycx y y ax y by ey cx + + ⎧=+− + − ⎨=+ − − + ⎩ ∈¢ , ,,,, 0abcke≥ . (4) 3. EQUILIBRIO Y ESTABILIDAD El me cado ac ual y po encial de una colec i idad, cuando e olucionan a lo la go del iempo ienden a encon a momen os en el que quedan a apados en unos de e - minados ni eles, que hacen que pe manezcan cons an es o ap oximadamen e cons- an es ce ca de esos ni eles, es lo que se denomina un en o no es able. Así, es no mal encon a , en en o nos es ables, que las sociedades man engan sus cuo as de me cado en equilib io, o casi en equilib io, du an e de e minados pe iodos de iempo y, de ahí, que es emos in e esados en es udia bajo qué condiciones la elación dinámica, dada en (4), exis en e en e los dos me cados alcanza algún equilib io. P oposición 3.1 El sis ema (4) iene un único pun o i jo (o de equilib io) si odos los pa áme os son posi i os. Demos ación: Los pun os i jos del sis ema (4) son las soluciones del sis ema de ecuaciones: 2 2 x x k axy by cx y y axy by ey cx ⎧=+− + − ⎨=+ − − + ⎩ (5) y se sigue que el único pun o que e i i ca es e sis ema iene dado po : ()22 () *, * , eb ek k xy ce ak e + ⎛⎞ =⎜⎟ + ⎝⎠ . (6) Además, dicha solución no p esen a ningún ipo de inconsis encia ya que odos los pa áme os ep esen an can idades posi i as y las componen es *, *xy son no nulas y posi i as, po lo que el equilib io, en p incipio, iene sen ido económico pa a cualesquie a alo es (posi i os) asignados a los pa áme os. A con inuación es udiamos la es abilidad local del pun o i jo, es deci , en qué casos és e se compo a como un sumide o o como una uen e. Pa a ello analizamos el alo del módulo de los mul iplicado es de la ma iz Jacobiana del sis ema (4) en dicho pun o. Ζ 425 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD Y DE LAS BIFURCACIONES DE LOS EQUILIBRIOS... Es udios de Economía Aplicada, 2007: 419-452 • Vol. 25-1 Conside amos el sis ema lineal asociado ( e Kuzne so (1998) o Guckenheime y Holmes (1993)) xJx→ , donde J es la ma iz Jacobiana del sis ema (4) e aluada en el pun o i jo (6). Dicha ma iz iene la exp esión gene al: 2 2 1* 2** *1 2** c ay b ax y Jcay be axy ⎛⎞ −− − =⎜⎟ +−−+ ⎝⎠ y su polinomio ca ac e ís ico 2()Pμ iene dado po : 2 210 ()Pddμμ μ=++ donde 22 1222 2( ) 2ak a b e k dbce eceak + =− + + + + − + y 22 2 0222 2( ) 1ak ak a b e k d bcece eeceak + =−−−+ − + + + Con el i n de simpli i ca las exp esiones lle amos a cabo el siguien e cambio de pa- áme os: 22 222 2( ) 2 ak a b e k Abce eceak + =+++ − − +, 2 ak Bce e =+ , y se sigue que: 2 2() ( 1) 0PABAμμ μ≡++−−= (10) y los mul iplicado es asociados son: 22 1 2 (2)4 (2)4 , 22 AA B AA B μμ −+ + − −− + − == (11) P oposición 3.2 (Condición necesa ia y su i cien e de es abilidad) El pun o i jo (6) del sis ema (4) es es able si y sólo si es á si uado en la egión del plano pa amé ico AB , limi ada po las ec as 0B= , 2BA= y 2BA=+ ( e Figu a 1). Demos ación: La condición de es abilidad de Schu ( e Gandol o (1997)) pa a el polinomio ca ac e ís ico dado po 2 012 cccμμ++, asegu a que los mul iplicado es cumplen que 1 1μ< y 2 1μ< si se e i i ca simul áneamen e: 012 012 02 02 0, 0, 0, 0ccc ccc cc cc++> −+> +> −> y eniendo en cuen a las condiciones de nues o p oblema se sigue: 01 2 1, , 1.ccAcBA== =−− (12) 426 F. Velasco Mo en e, P. Nadal Mo ales, L. González Ab il, M.L. Vílchez Loba o Es udios de Economía Aplicada, 2007: 419-452• Vol. 25-1 Como se iene que Bes siemp e posi i o, se llega a que el pun o i jo es es able si: 2 2; 0ABA B<<+ > (13) -2 -1 1 2 1 2 3 4 21 12 1 2 3 4 B= 2 A B= A+2 A B Figu a 1: Espacio pa amé ico de es abilidad del sis ema (4). Po o o lado, pa a la clasi i cación del pun o i jo según los alo es de los pa áme os, es necesa io además conoce si los mul iplicado es son eales (el pun o i jo es un nodo o un pun o de silla), o complejos conjugados (el pun o i jo es un oco), y pa a ello es udiamos el disc iminan e asociado al polinomio 2()Pμ: 2 (2)4ABΔ= + − . P oposición 3.3 Si el pun o i jo (6) del sis ema (4) e i i ca 2 1(2) 4 BA=+ en- onces: -Es un nodo es able si 22A−< < . -Es un nodo ines able si 2A<− ó 2A>. Demos ación: El disc iminan e 2 (2)4ABΔ= + − se anula sob e la pa ábola del espacio pa- amé ico: 2 1(2) 4 BA=+ (14) y en es os casos, los mul iplicado es asociados son: 1 2 2 A μμ− == y de ello la p oposición. 427 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD Y DE LAS BIFURCACIONES DE LOS EQUILIBRIOS... Es udios de Economía Aplicada, 2007: 419-452 • Vol. 25-1 P oposición 3.4 Si el pun o i jo (6) del sis ema (4) es á si uado en la egión del plano pa amé ico 2 4(2)BA<+, en onces i) Es un nodo es able si {} 22, 0ABA B<<+ > (Región Ι, Figu a 2 y 5). ii) Es un nodo ines able si {} 0, 2BBA<< ó {} 2, A 2BA>> ó {} 0, 2BA><− (RegiónΙΙ, Figu a 3 y 5). iii) Es un pun o de silla si {} 0, 2BBA>< ó {} 0, 2BBA<>(RegiónΙΙΙ, Figu a 3 y 5). Demos ación: i) Si el pun o i jo pe enece a la egión del plano pa amé ico 2 4(2)BA<+, en on- ces los mul iplicado es son eales, po lo que el se iene o bien un nodo o un pun o de silla. Aplicando la condición necesa ia y su i cien e de es abilidad (13), enemos que si 2 2, B>0ABA<<+ , el pun o i jo es un nodo es able con lo que se cumple i). Análogamen e se p ueban los apa ados ii), iii). A B -2 -1 1 2 1 2 3 4 -2 -1 1 2 1 2 3 4 I 4 B= (A+2) 2 Figu a 2. Región pa amé ica de los nodos es ables. 434 F. Velasco Mo en e, P. Nadal Mo ales, L. González Ab il, M.L. Vílchez Loba o Es udios de Economía Aplicada, 2007: 419-452• Vol. 25-1 Po o o lado, un modelo de población que sigue una ley logís ica p esen a un pun o i jo no nulo en el alo *Pαβ = y de aquí se sigue que la población adul a española p esen a un pun o de equilib io ( e Figu a (9.b)): * 38.103.973P= . (17) Sus i uyendo es e alo en (15) y los alo es calib ados de los pa áme os dados po (16) pa a la ma ca San Miguel, se iene que el me cado po encial y el ac ual pa a dicha ma ca encuen a un equilib io en * 12.766.700 , * 8.327.820xy==. (18) Pa a clasi i ca el pun o i jo y analiza su es abilidad, calculamos los alo es de A y B: 1.9910595 , 0.0059497171AB=− = (19) y a pa i de la p oposición (3.5) se sigue que el pun o de equilib io (18) es un oco es able ( egión IV de la Figu a 5), ya que e i i ca 2 4 ( 2) , 2BA BA>+ <+. Pa a es udia la con inuación del pun o de equilib io debemos encon a la cu - a de pun os de equilib io en unción de un pa áme o de e minado. Po o o lado, algunos de los pa áme os de ajus e pueden p esen a un alo , en cada momen o, que aza el lími e en e los alo es de los pa áme os que hacen que los me cados de un de e minado sis ema me can il pe manezcan cons an es (los me cados ienden a alcanza un equilib io), y los que hacen que el sis ema ienda hacia o a si uación dis in a. Aho a bien, los alo es de los pa áme os se al e an debido a cambios en el en o no que odea al me cado o cambios del me cado en sí mismo, pudiendo apa e- ce nue as si uaciones donde el me cado ac ual p esen a aumen os pe iódicos, en e a disminuciones pe iódicas del me cado po encial y ice e sa (es deci , el sis ema me can il iende a un compo amien o cíclico). Hay dos pode osas azones pa a que nos plan eemos es a úl ima hipó esis: 1. Es e ipo de compo amien o puede obse a se en la Figu a 10, que e l ejan el compo amien o de los me cados ac ual y po encial pa a la ma ca San Miguel cuan- do a iamos lige amen e uno de los alo es de los pa áme os de ajus e. Además, si conside amos los alo es de A y B dados en (19), podemos e g á i camen e que el pun o (,)AB es á muy p óximo a la ec a 2BA=+ en el plano pa amé ico, y además de la p oposición (4.3) se sigue que la condición de que el pun o (,)AB es é sob e la ec a 2BA=+, en la egión 22A−< < , es la condición necesa ia pa a la exis encia de la bi u cación de Neima k-Sacke . 2. Del cálculo de los mul iplicado es de la ma iz jacobiana en el pun- o de equilib io, y u ilizando las elaciones pa a 1 μ y 2 μ, ob enemos: 435 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD Y DE LAS BIFURCACIONES DE LOS EQUILIBRIOS... Es udios de Economía Aplicada, 2007: 419-452 • Vol. 25-1 1 2 0.995529 0.077004 , 0.995529 0.077004 iiμμ=+ =− , con 1 2 μμ== 0.998503 , es deci , el módulo de los mul iplicado es en el pun o de equilib io es á muy p óximo a la unidad, con lo que al a ia lige amen e los alo es de los pa áme os de ajus e en un en o no del pun o de equilib io, uno o ambos mul iplicado es pueden en a en el cí culo unidad, con lo cual se a a cumpli la condición necesa ia pa a la exis encia de bi u caciones de codimensión 1 . Figu a 10. Oscilaciones de los clien es ac uales y po enciales. De las dos azones an e io es se sigue que es necesa io ealiza el es udio de la exis encia de bi u caciones de codimensión 1 , pa iendo de los alo es de los pa áme- os encon ados al ajus a el sis ema a los da os ob enidos pa a la ma ca de ce eza San Miguel. El pun o de equilib io del me cado ce ece o pa a la ma ca San Miguel dado po (18) implica una cuo a de me cado del 39.5%, y el análisis de las bi u caciones puede se en ocado de las siguien es dos mane as: i. Analí icamen e: es amos in e esados en: a) ob ene los alo es de las a ia- bles y los pa áme os de ajus e en el pun o c í ico, b) calcula los mul iplicado es de 436 F. Velasco Mo en e, P. Nadal Mo ales, L. González Ab il, M.L. Vílchez Loba o Es udios de Economía Aplicada, 2007: 419-452• Vol. 25-1 la ma iz Jacobiana en el pun o c í ico pa a pode es ablece el ipo de bi u cación, c) es udia si se e i i can las condiciones de no degene ación pa a pode asegu a que es amos an e una bi u cación de codimensión 1 , y d) encon a la o ma no mal asociada a la bi u cación en es udio ii. Económicamen e: el in e és adica en: a) conside a si los alo es de los pa- áme os de ajus e en el pun o c í ico es án incluidos en los in e alos exigidos pa a la aplicación al me cado ac ual y po encial al me cado ce ece o español, b) analiza las cuo as de me cado an o pa a el me cado po encial como pa a el ac ual en el pun o c í ico pa a comp oba si el compo amien o de dichos me cados es á in eg ado den o de lo que se pudie a conside a como un p oceso lógico y habi ual de los mismos, y c) es udia la e olución del me cado ce ece o español, analizando si la conduc a de esos me cados iende hacia un compo amien o cíclico es able o ines able. Pa a la ealización de es e es udio amos a i a iando uno a uno los pa áme os de ajus e del modelo siguiendo un o den dec ecien e a la sensibilidad que p esen a el modelo a dichos cambios. Conside a emos p ime o los pa áme os que no ienen in l uencia sob e el equilib io del me cado ac ual (el es ue zo de publicidad, el paso a una ma ca i al y la asa de con ac o) y p osegui emos con los que ienen una in l uencia ac i a sob e el equilib io de dicho me cado (la asa de en ada y de salida). Se u iliza el p og ama de simulación pa a sis emas dinámicos CONTENT (Kuzne so y Le i in 2004), y se lle an a cabo una simulación numé ica donde pa a cada pun o c í ico se encuen an: i) El alo del pa áme o, los alo es de ambos me cados y los alo es de los mul iplicado es, ii) si la bi u cación es Neima k-Sacke , el coe i cien e (0)a, necesa io pa a es ablece la apa ición de la cu a ce ada in a ian e que acompaña a es e ipo de bi u cación y el ángulo θ de la o ma no mal asociada a la es icción a la a iedad cen o. Si la bi u cación es Flip, se iene en cuen a el coe i cien e del é mino cúbico de la o ma no mal asociada a la es icción a la a iedad cen o (Kuzne so (1998)). 5.1. Con inuación del equilib io pa a el es ue zo de publicidad Iniciamos nues o análisis iendo cómo se compo an los me cados espec o a es e pa áme o c y encon amos dos pun os c í icos. Uno es un pun o de bi u cación de Neima k-Sacke (N. S.) cuyos da os ienen dado po : Tipo Valo de c Clien es Po . Clien es Ac . (0)aθ N. S. 0.019101486 12.882.066 8.327.820 -0.000582054 0.0768072 437 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD Y DE LAS BIFURCACIONES DE LOS EQUILIBRIOS... Es udios de Economía Aplicada, 2007: 419-452 • Vol. 25-1 El o o pun o c í ico ob enido es una bi u cación Flip (o duplicación de pe iodo (D. P.)) cuyos da os ienen dados po : Tipo Valo de c Clien es Po enciales Clien es Ac uales Fo . No mal D. P. 1.8417928 652.694 8.327.820 -0.000489545 En la Figu a 11, se mues a una con inuación del equilib io del pa áme o c ob eniendo el pun o de equilib io (x*, y*), supues os i jos el es o de los pa áme- os. En la simulación numé ica con CONTENT, cuando pa a un alo del pa áme o exis e una bi u cación, el desa ollo de la g á i ca se de iene y, en el caso de una bi u cación de Neima k-Sacke las le as NS sob e la g á i ca indican el alo de la bi u cación. Análogamen e ocu e con la bi u cación de duplicación de pe iodo pe o aho a apa ecen las le as PD sob e la g á i ca. Veamos a con inuación un análisis algo más de allado de es a i gu a. Figu a 11. Pun o de bi u cación N-S pa a el es ue zo de publicidad. 1. Pa a el pun o de bi u cación Neima k-Sacke : - El pun o c í ico se ob iene pa a 0.019101488c= , es deci ha disminuido lige- amen e el alo de es e pa áme o (menos de nue e diezmilésimas). Es o signi i ca que aunque los consumido es ac uales siguen i eles a la ma ca San Miguel (ya que el equilib io encon ado pa a esa ma ca no se e a ec ado po el compo amien o de es e pa áme o), se p oduce un le e descenso, del 0.2 po cien o de la cuo a de me cado pa a la ma ca en es udio. Es a disminución es abso bida po el me cado po encial que su e un aumen o de su cuo a en la misma p opo ción. Po lo que podemos conclui 438 F. Velasco Mo en e, P. Nadal Mo ales, L. González Ab il, M.L. Vílchez Loba o Es udios de Economía Aplicada, 2007: 419-452• Vol. 25-1 que el es ue zo de ma ke ing ealizado po la ma ca San Miguel sob e el me cado ce ece o, has a ese momen o, e a su i cien e. - Analizamos, aho a, qué le ocu e a los me cados cuando se aspasa el alo c í ico, es deci , si su equilib io se ha á ines able, endiendo su compo amien o a se cíclico (la bi u cación de Neima k-Sacke es supe c í ica), o po el con a io, los me cados abandonan un compo amien o cíclico pa a ende a un equilib io es able (la bi u cación de Neima k-Sacke es subc í ica). En es e caso, como el coe i cien e (0)a es nega i o y además se iene la condición de no degene ación 0.0712892 1 i e≠ , es amos an e el caso supe c í ico, es deci , después de la bi u cación se p oduce un cambio en la es abilidad del equilib io y los me cados ende án hacia un compo a- mien o cíclico es able. - La ma iz Jacobiana del sis ema lineal asociado iene dos mul iplicado es complejos con- jugados de módulo uni a io, 1 4.4007292 2 4.4007292 1 , 1μμ − ==. Además, el modelo lle a aso- ciada la o ma no mal: ()() 24 0.0712892 1 0.000582054 , i we w w Ow w=− +∈ %C 2. Respec o al pun o de bi u cación de Flip, és e se p esen a cuando 1.8417928c= y se obse a que: - El alo del pa áme o en el pun o c í ico no e i i ca las condiciones que impu- simos pa a ealiza el ajus e del modelo al me cado ce ece o español, es o es, no se encuen an en e 0 y 1 . - El alo del pa áme o encon ado implica la caída del me cado po encial pa a la ma ca San Miguel, mien as se conse a el me cado ac ual pa a dicha ma ca. Po an o, no es á in eg ado en un p oceso habi ual de los me cados. - Aho a bien, desde el pun o de is a analí ico, podemos añadi que la ma iz Ja- cobiana p esen a dos mul iplicado es eales, 1 2 0 1 , 0.94181181 π μμ== , es deci , se cumple la condición necesa ia pa a la exis encia de dicha bi u cación y su o ma no mal asociada iene dada po () 34 0.000489545 , Oξξ ξ ξ ξ=− − + ∈ %R. 5.2. Con inuación del equilib io pa a el paso a una ma ca i al Pa a es e es udio se ha ob enido un único pun o de bi u cación de Neima k-Sacke ( e Figu a 12) con alo es: Tipo Valo de b Clien es Po . Clien es Ac . (0)aθ N.S. 0.094908204 13.194.706 8.327.820 -0.000597801 0.0771535 w ξ C 439 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD Y DE LAS BIFURCACIONES DE LOS EQUILIBRIOS... Es udios de Economía Aplicada, 2007: 419-452 • Vol. 25-1 Figu a 12. Pun os de bi u cación pa a el paso a una ma ca i al. A pa i de los alo es de la abla se sigue que: - Exis e un pun o de bi u cación pa a el alo c í ico 0.094908204b= lo que signi i ca que el paso a una ma ca i al ha aumen ado en ap oximadamen e cinco milésimas. Dicho aumen o lle a a un inc emen o de la población consumido a que, como e a de espe a , no se aduce a o ablemen e en un aumen o de la cuo a de me cado. En e ec o, comp obamos que el me cado ac ual pie de (aún man eniendo el núme o de sus consumido es habi uales), un 0.8 po cien o de la cuo a de me cado, es deci , el aumen o de la población consumido a sólo e ie e a o ablemen e pa a las ma cas compe ido as que uel en a bene i cia se de es a pe dida de me cado al e cómo aumen an el núme o de sus clien es habi uales. - Po o a pa e, el coe i cien e (0)a es nega i o y se sigue e i i cando la condición de no degene ación, con lo cual podemos indica que los me cados pa a la ma ca San Miguel pie den la es abilidad del equilib io y ienden a compo a se de una o ma cíclica. - Po úl imo, señala que el alo de los mul iplicado es en el pun o c í ico es: 1 4.205724 1μ= , 2 4.205724 1μ− = y que el modelo lle a asociada la o ma no mal: ()() 24 0.0771535 1 0.000597801 , i we w w Ow w=− +∈ %C. wC 440 F. Velasco Mo en e, P. Nadal Mo ales, L. González Ab il, M.L. Vílchez Loba o Es udios de Economía Aplicada, 2007: 419-452• Vol. 25-1 5.3. Con inuación del equilib io pa a la asa de con ac o. En es e caso se encuen an los pun os de bi u cación ( e Figu a 13) que e l ejamos en la siguien e abla: Tipo Valo de a Cl. Po . Cl. Ac . (0)aθ N.S. 0.000920348 14.952.463 8.327.820 -0.000537833 0.0712892 N.S. 0.000813196 16.407.228 8.327.820 -0.00051007 0.068054 Tipo Valo de a Cl. Po . Cl. Ac . Fo . No mal D.P. 0.0316482510 5.678.826 8.327820 -0.0462343 Figu a 13. Pun os de bi u cación pa a la asa de con ac o. Del análisis de los esul ados se sigue que pa a el p ime pun o de bi u cación: - La asa de con ac o alcanza el alo c í ico en 0.00092034816a= , es deci , ha disminuido ap oximadamen e en dos diezmilésimas. Es a disminución en el pode del ma ke ing e bal que ealizan los consumido es habi uales de la ma ca San Miguel, se aduce, nue amen e, en una pé dida de la cuo a de me cado del 3.7 % pa a dicha ma ca (aunque el núme o de consumido es habi uales de la ma ca no su e al e ación). El aumen o, que en consecuencia, se p oduce en el núme o de los consumido es de o as ma cas i ales, lle a al me cado po encial de la ma ca en es udio a oza la ci a de quince millones de pe sonas adul as. 441 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD Y DE LAS BIFURCACIONES DE LOS EQUILIBRIOS... Es udios de Economía Aplicada, 2007: 419-452 • Vol. 25-1 - Análogamen e a lo que ocu e en las an e io es bi u caciones de Neima k-Sacke pa a los o os pa áme os, los me cados po encial y ac ual ienden a abandona su posición de equilib io y a compo a se de o ma cíclica. - Analí icamen e, la ma iz Jacobiana del sis ema lineal asociado iene dos mul i- plicado es complejos conjugados de módulo uni a io: 1 4.0845693 2 4.0845693 1 , 1μμ − == y el modelo lle a asociada la o ma no mal: ()() 24 0.0712892 1 0.000537833 , i we w w Ow w=− +∈ %C. Si seguimos disminuyendo el alo de la asa de con ac o en e clien es, encon a- mos o o pun o c í ico pa a el cual: - El alo del pa áme o pa a el que se p oduce la bi u cación es 0.00081319635a= , es deci , los clien es po enciales alcanzan un alo que onda los dieciséis millones y medio de posibles consumido es, lo que indica, que aún conse ando el núme o de clien es i eles a la ma ca, se p oduce una pé dida de cuo a de me cado pa a San Miguel del 5.8 %. La in e p e ación de los hechos es análoga al caso an e io . - Como e a de espe a , el compo amien o de ambos me cados ambién ende á a se cíclico, al ob ene el mismo signo nega i o en el coe i cien e (0)a y cumpli se la condición de no degene ación. - En es e caso enemos 1 3.8992055 2 3.8992055 1 , 1μμ − == y la o ma no mal del modelo es: ()() 24 0.068054 1 0.00051007 , i we w w Ow w=− + ∈ %C . En el caso de la bi u cación de duplicación de pe iodo que encon amos, emos que: - El pun o c í ico se alcanza pa a un alo de la asa de con ac o 0.031648251a= que es acep able (es á en e los alo es 0 y 1 ) y signi i ca un aumen o de, ap oxima- damen e, dos cen ésimas. - Se p oduce el desplome de los clien es po enciales del me cado, mien as se man ienen los clien es ac uales pa a la ma ca San Miguel. Es e compo amien o no se man iene den o de la lógica del sis ema de me cados. - Desde el pun o de is a analí ico, podemos añadi que los mul iplicado es en el pun o c í ico son 1 2 0 1 , 0.9328735 π μμ== y el modelo lle a asociada la o ma no mal: () 34 0.000462344 , Oξξ ξ ξ ξ=− − + ∈ %R. w w ξ C C R 442 F. Velasco Mo en e, P. Nadal Mo ales, L. González Ab il, M.L. Vílchez Loba o Es udios de Economía Aplicada, 2007: 419-452• Vol. 25-1 Pasamos aho a a es udia el compo amien o del sis ema espec o a los cambios en los pa áme os que nos indican la en ada y la salida del me cado ce ece o y que in l uyen ac i amen e sob e el equilib io an o del me cado po encial como del me cado ac ual pa a la ma ca en es udio. 5.4. Con inuación del equilib io pa a la asa de en ada en el me cado. Al ealiza la simulación numé ica, encon amos ( e Figu a 14) dos pun os de bi u cación de Neima k-Sacke y un pun o de bi u cación de duplicación de pe iodo cuyos da os apa ecen en la abla siguien e: Tipo Valo de k Cl. Po . Cl. Ac . (0)aθ N.S. 0.011970261 13.510.783 7.524.900 -0.000658525 0.0712892 N.S. 0.011251839 13.935.617 7.073.302 -0.000706987 0.068054 Tipo Valo de k Cl. Po . Cl. Ac . Fo . No mal D.P. 0.070194209 2.987.919 44.126.557 -0.0462343 Figu a 14. Pun os de bi u cación pa a la asa de en ada. Respec o a es os pun os de bi u cación podemos hace las siguien es e l exio- nes: 1) Respec o al p ime pun o de bi u cación de Neima k-Sacke obse amos que: - La lige a disminución (ap oximadamen e una milésima) de la asa de en ada en 443 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD Y DE LAS BIFURCACIONES DE LOS EQUILIBRIOS... Es udios de Economía Aplicada, 2007: 419-452 • Vol. 25-1 el me cado has a alcanza el alo c í ico 0.011970261k= in l uye di ec amen e sob e el equilib io alcanzado en los consumido es habi uales de la ma ca San Mi- guel, haciendo que su núme o baje has a ap oximadamen e sie e millones y medio de clien es ac uales. Es a pé dida de cuo a de me cado, que uel e a se del 3.8 %, se ans o ma en un aumen o de la cuo a de me cado de las ma cas i ales, lo que se aduce en un aumen o del núme o de los clien es po enciales has a alcanza los ece millones y medio de pe sonas adul as. Debemos señala que al disminui la asa de en ada en el me cado, la población consumido a su e, como e a p e isible, una le e disminución. - El compo amien o de los me cados cuando se aspasa es e alo c í ico uel e a se cíclico, endiendo las ayec o ias a o ma una cu a in a ian e ce ada. - Po o o lado, la ma iz Jacobiana del sis ema lineal asociado iene dos mul iplicado- es complejos conjugados de módulo uni a io: 1 4.0845705 2 4.0845705 1 , 1μμ − == y la o ma no mal del modelo es: ()() 24 0.0712892 1 0.000658525 , i we w w Ow w=− +∈ %C . 2) Pa a el segundo pun o de bi u cación de Neima k-Sacke concluimos que: - Si seguimos disminuyendo el alo de la asa de en ada encon amos o o pun o c í ico en 0.011251839k= . En es e caso la in e p e ación de los da os es simila al caso an e io y an solo indica que, aho a, la pé dida de cuo a de me cado de la ma ca San Miguel es más signi i ca i a, el 5.8 %, ya que sus clien es ac uales bajan has a los sie e millones de usua ios. Po con a, el me cado po encial abso be es a pé dida y, como esul ado, oza los ca o ce millones de pe sonas adul as. Como en el caso an e io , la población consumido a ambién acusa la nue a pe dida de en ada en el me cado. - Como e a de espe a , po la analogía con el caso an e io , el compo amien o de ambos me cados ambién ende á a se cíclico. - En es e caso, enemos que: 1 3.8992058 2 3.8992058 1 , 1μμ − == y el modelo lle a aso- ciado la o ma no mal: ()() 24 0.068054 1 0.000706987 , i we w w Ow w=− + ∈ %C . 3) Analizamos el pun o de bi u cación de duplicación de pe iodo: - La bi u cación iene luga pa a el alo c í ico 0.070194209k= y se ha p odu- cido, po an o, un aumen o de la asa de en ada, aunque el alo c í ico del pa áme o sigue es ando en e los alo es exigidos pa a el ajus e. w w C C 450 F. Velasco Mo en e, P. Nadal Mo ales, L. González Ab il, M.L. Vílchez Loba o Es udios de Economía Aplicada, 2007: 419-452• Vol. 25-1 (, ()uBuguVu C + ⎛⎞ ⎛ ⎞ → ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ ⎝ ⎠ . (A.3) La p ime a de las dos ecuaciones es la es icción del sis ema (A.2) sob e la a- iedad cen o. La dinámica del sis ema (A.2) es á de e minada po es a es icción, ya que la segunda ecuación es lineal y iene soluciones exponencialmen e c ecien es o dec ecien es. Bi u caciones de codimensión1: La apa ición de un e a o ase no equi alen e opológicamen e con espec o a la a iación de los pa áme os se denomina bi u cación. Es deci , una bi u cación es un cambio opológico del sis ema cuando sus pa áme os pasan a a és de un alo c í ico llamado alo de bi u cación. La codimensión de una bi u cación es el núme o de condiciones independien es que de e minan la bi u cación. Bi u cación l ip: La es icción a la a iedad cen o unidimensional iene la o - ma: 4 3(), cOξξξ ξξ→− + + ∈¡. Si 0c≠ y el sis ema depende gené icamen e sob e el pa áme o, en onces se bi u ca un ciclo de pe íodo 2 desde el pun o de equilib io 0 xel alo c í ico del pa- áme o 0 α, mien as el pun o i jo cambia su es abilidad. Su ep esen ación g á i ca es la siguien e: Bi u cación de Neima k-Sacke . La es icción a la a iedad cen o unidimensional iene la o ma: 024 0 (1 ( ) ) ( ), w i wew d w Ow θα→+ + ∈£. R 451 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD Y DE LAS BIFURCACIONES DE LOS EQUILIBRIOS... Es udios de Economía Aplicada, 2007: 419-452 • Vol. 25-1 En es e caso se bi u ca una única cu a ce ada in a ian e y es able si 00 () Re(()) 0adαα=< y la ep esen ación g á i ca es la siguien e. Bi u cación de Neima k-Sacke supe c í ica. Si 0 () 0aα> , en onces la ep esen ación g á i ca de la bi u cación es: Bi u cación de Neima k-Sacke subc í ica.