XX Cong eso de Ecuaciones Di e enciales y Aplicaciones
X Cong eso de Ma em´
a ica Aplicada
Se illa, 24-28 sep iemb e 2007
(pp. 1–??)
Algunos esul ados sob e pe iodicidad global de ecuaciones
en di e encias de o den dos y es
F. Balib ea1, A. Line o1
1Dp o. de Ma em´a icas, Uni e sidad de Mu cia, E-30100 Mu cia. E-mails: [email p o ec ed],
[email p o ec ed].
Palab as cla e: Ecuaciones en di e encias; pe iodicidad global; p-ciclo; ecuaciones uncionales
Resumen
En es a no a epasamos algunos esul ados sob e pe iodicidad global en ecuaciones
(au ´onomas) en di e encias ini as de ´o denes dos y es, y apo amos alg´un modes o
a ance en el ema.
1. In oducci´on
Exis e una g an can idad de modelos biol´ogicos, econ´omicos, ... cuya e oluci´on se
desc ibe a pa i de ecuaciones (au ´onomas) en di e encias. Un ejemplo pa adigm´a ico es
la ecuaci´on log´ıs ica
xn+1 = (1 + a−bxn)xn,
que modela c´omo e oluciona la densidad de poblaci´on xnde una cie a especie biol´ogica
(insec os, a ones, ...), donde aes un alo posi i o elacionado con la asa m´axima de
c ecimien o en ausencia de ac o es nega i os, mien as que bes una medida de la capacidad
o esis encia del medio pa a albe ga can idades cada ez mayo es de poblaci´on ( ´ease
[14]). El modelo an e io es una disc e izaci´on del modelo log´ıs ico con inuo
x0( ) = (a−bx( ))x( ).
En [15], Vol e a eemplaza la ecuaci´on di e encial an e io po es a o a,
x0( ) = [a−Z
0
b( −τ)x(τ)dτ]x( ).
Una ecuaci´on en di e encias de o den kpa alela a la ecuaci´on di e encial an e io es
xn+k+1 = (1+a−Pk
j=0 αjxn+j)xn+k,conocida como unci´on log´ıs ica gene alizada, donde
a > 0 y los coe icien es αjson no nega i os ( ´ease [12]).
1
F. Balib ea, A. Line o
Hay casos pa icula es del modelo disc e o an e io que se ajus an a ecuaciones de
la o ma xn+3 =xn+2 (xn+1, xn),donde es una unci´on de inida en (0,∞)2que oma
alo es posi i os.
El obje o de la p esen e comunicaci´on es conside a el ´opico de la pe iodicidad (glo-
bal) en es e ipo de ecuaciones de o den es, as´ı como p esen a nue os esul ados sob e
pe iodicidad de algunas ecuaciones en di e encias de o den dos y sus gene alizaciones. Los
a ´ıculos en que apa ecen ecogidos es os esul ados son [4, 5, 6, 7, 8].
Pasamos a p esen a las de iniciones que pe mi i ´an al lec o en ende sin di icul ad
los esul ados ese˜nados en es a comunicaci´on.
Sea Xun espacio m´e ico y Φ : Xk→Xuna unci´on con inua, con k∈N.Conside amos
la ecuaci´on (au ´onoma) en di e encias ini as
xn+k= Φ(xn, xn+1,· · · , xn+k−1).(1)
A pa i de una condici´on inicial C0= (x1, x2,· · · , xk)∈Xkgene amos de o ma un´ı oca
la sucesi´on {xn}n≥1.Conoce la din´amica de la ecuaci´on en di e encias ini as consis e en
a e igua el compo amien o cuali a i o de odas las posibles sucesiones {xn}n≥1gene adas
a a ´es de la ecu encia que de ine a la ecuaci´on. Sal o en casos excepcionales, la soluci´on
a es e p oblema suele se incomple a, y debemos con en a nos con conoce cie os aspec os
de la din´amica gene ada a a ´es de (1). La si uaci´on m´as sencilla es el caso pe i´odico,
cuando se e i ica que xn+p=xnpa a alg´un p∈Ny pa a odo n∈N.El alo pm´as
peque˜no pa a el que se e i ica la condici´on an e io se denomina el pe iodo de {xn}n≥1.
Deno amos po Pe ed (Φ) al conjun o de odos los pe iodos de la ecuaci´on (1). Adem´as
se dice que (1) es un k-ciclo cuando odas las sucesiones gene adas po la ecuaci´on son
pe i´odicas, y kes el m´ınimo com´un m´ul iplo de los pe iodos de Pe ed (Φ).Apa ece en onces
el en´omeno de la pe iodicidad global.
Po o a pa e, debemos ene en cuen a que el es udio de la ecuaci´on en di e encias
(1) es equi alen e a conoce la din´amica del sis ema disc e o
F:Xk→Xk,
F(x1, ..., xk)=(x2, ..., xk,Φ(x1, x2, ..., xk)).
Es a es a egia ha pe mi ido, po ejemplo, conoce la es uc u a pe i´odica de las ecuaciones
del ipo
xn+k= (xn), k ≥2,
donde :I→I´o :S1→S1es una unci´on con inua (aqu´ı S1deno a la ci cun e encia
unidad). En [4], y como un simple co ola io de los esul ados apa ecidos en [2] y [3], se ha
demos ado que exis e una elaci´on de o zamien o en e odos los pe iodos de Pe ed (Φ),
y, adem´as, iene he edada de la es uc u a pe i´odica de la unci´on .
O a es a egia pa a encon a unciones Φ ales que la co espondien e ecuaci´on en
di e encias (1) es un k-ciclo, consis e en aslada el p oblema a una ecuaci´on uncional,
cuya soluci´on nos de e mina ´a qu´e unciones Φ dan luga a un k-ciclo en (1). Es a idea se
ha desa ollado con ´exi o en los a ´ıculos [6], [7] y [8].
2
Algunos esul ados sob e pe iodicidad global
2. Resul ados p incipales
Desde hace mucho iempo se ha enido cons ancia de la exis encia de ecuaciones en
di e encias cuyas soluciones son siemp e pe i´odicas, y adem´as con un pe iodo m´ınimo
com´un a odas ellas. El ejemplo pa adigm´a ico es el de la ecuaci´on de Lyness
xn+1 =1 + xn
xn−1
.
Se a a de un 5-ciclo que apa ece egis ado po ez p ime a en la li e a u a en [13], en
elaci´on con la b´usqueda de es en e os cuyas sumas y di e encias son cuad ados pe ec os,
y que m´as a de encon ´o una mo i aci´on geom´e ica con los llamados pa ones de iso
( e [11]).
Una p egun a in e esan e es sabe si es e compo amien o din´amico de la pe iodicidad
global se es inge a unas pocas ecuaciones aisladas, o si po el con a io, aun siendo un
en´omemo muy pa icula , es posible encon a amilias de ecuaciones con es a ca ac e ´ıs i-
ca.
En el caso ecuaciones en di e encias de p ime o den xn+1 = (xn) se sabe que los
´unicos k-ciclos apa ecen cuando k= 1,2 ( ´ease, po ejemplo, [1] ´o [9]).
Pa a las ecuaciones au ´onomas de o den dos xn+1 = (xn, xn−1),es ´acil deduci que
el ´unico 2-ciclo iene dado po xn+2 =xn.Se sabe ambi´en, po ejemplo, que en el caso
de unciones con inuas : (0,∞)→(0,∞) que sepa an las a iables, es deci , ales que
(x, y) = 1(x) 2(y),los ´unicos 3-ciclos que encon amos a ienden a la o ma
xn+1 =C
xnxn−1
,
donde Ces una cons an e posi i a a bi a ia ( ´ease [6]).
Teo ema 1 Sea : (0,∞)2→(0,∞)una unci´on con inua de la o ma (x, y) =
1(x) 2(y).En onces la ecuaci´on en di e encias asociada
xn+2 = 1(xn) 2(xn+1)
es un 3-ciclo si, y s´olo si, (x, y) = C
xy pa a alguna cons an e posi i a C.
La es a egia pa a demos a el eo ema an e io se basa en es udia la ecuaci´on un-
cional asociada
x= ( (y, x), y),
y en analiza las unciones ib a (·, z) y (z, ·).A la is a de es a ecuaci´on uncional, es
´acil deduci que ambas ib as son unciones biyec i as es ic amen e dec ecien es de inidas
del in e alo (0,∞) en s´ı mismo. Apoy´andonos en cie as elaciones de ipo uncional, se
llega inalmen e a que s´olo las ecuaciones de la o ma xn+1 =C
xnxn−1dan luga a 3-ciclos
o mados a a ´es de una unci´on que sepa a las a iables.
Cabe des aca que en [8] se ha gene alizado el esul ado an e io , y se han ob enido
odos los k+ 1-ciclos de la ecuaci´on de o den k
xn+k+1 = 1(xn+1)· 2(xn+2)·. . . · k(xn+k),(2)
donde j: (0,∞)→(0,∞) son unciones con inuas.
3
F. Balib ea, A. Line o
Teo ema 2 Sea k∈N,k≥2.Supongamos que i: (0,+∞)→(0,+∞)es con inua pa a
cada i∈ {1, . . . , k}.En onces (2) es un (k+ 1)-ciclo si, y s´olo si, una de las siguien es
al e na i as ocu e:
1. kes pa y
xn+k+1 =C
xn+1xn+2 · · · xn+k
,pa a alg´un C > 0;
2. kes impa , y o bien
xn+k+1 =C
xn+1xn+2 · · · xn+k
,pa a alg´un C > 0,
o bien
xn+k+1 =
(k+1)/2
Q
j=1
xn+2j−1
(k−1)/2
Q
j=1
xn+2j
.
Queda como p oblema abie o de e mina si pa a la ecuaci´on (2) se puede ob ene un
esul ado simila pa a el caso de (k+ 2)-ciclos.
Pasamos aho a a conside a ecuaciones en di e encias au ´onomas de o den es, xn+1 =
(xn, xn−1, xn−2).Pues o que el caso gene al de de ec a p-ciclos es muy di ´ıcil, nos es-
ingimos a ecuaciones de e ce o den de la o ma
xn+3 =xi (xj, xk),(3)
donde los ´ındices i, j, k ∈ {n, n + 1, n + 2}son dis in os dos a dos, la unci´on : (0,∞)×
(0,∞)→(0,∞) es con inua, y las condiciones iniciales x1, x2, x3son can idades eales
posi i as. En [7] hemos ob enido odos los p-ciclos de la o ma (3) pa a p= 3,4,5.
Teo ema 3 Se cumple:
1. La ecuaci´on (3) es un 3-ciclo si, y s´olo si, xn+3 =xn.
2. La ecuaci´on (3) es un 4-ciclo si, y s´olo si, xn+3 =xnxn+2
xn.
3. La ecuaci´on (3) es un 5-ciclo si, y s´olo si,
xn+3 =xnxn+2
xn+1 Φ
´o xn+3 =xnxn+2
xn+1 φ
,
donde Φes el n´ume o de o o, Φ = 1+√5
2,yφ=−1
Φ.
Pa a demos a el esul ado an e io , b´asicamen e u ilizamos dos es a egias. Po un
lado, pa a p oba el caso p≤4 necesi amos simplemen e hace unos c´alculos di ec os
de las sucesiones gene adas po la ecuaci´on en di e encias (3). Po o a pa e, el caso
4
Algunos esul ados sob e pe iodicidad global
p= 5 equie e un es udio m´as p eciso que, en cie a o ma, es ´a es echamen e ligado a las
ecuaciones uncionales. De hecho, esol e el p oblema de encon a los 5-ciclos equi ale a
esol e la ecuaci´on uncional
c=b (c, a (b, c)) (a, b), a, b, c > 0.
Po an o, las soluciones de es a ecuaci´on uncional son (x, y) = y
xΦy (x, y) = y
xφ.
3. Algunos a ances
A con inuaci´on, p esen amos un pa de modes os a ances en elaci´on a los esul ados
expues os en la secci´on an e io .
El p ime o de ellos, a a ´es del empleo de la es a egia de la conjugaci´on opol´ogica,
muy soco ida en el ma co de los sis emas din´amicos disc e os, nos hace comp ende que
el en´omeno de la pe iodicidad global es m´as abundan e de lo que en p incipio pod ´ıamos
supone a endiendo a la din´amica an exigen e de dicho en´omeno. La ilus a emos con
ecuaciones en di e encias de segundo o den
xn+2 = (xn+1, xn).(4)
Pa a hace m´as comp ensible la idea de la conjugaci´on opol´ogica, damos el siguien e
esul ado cuya e si´on gene al se encuen a en [10].
P oposici´on 1 Supongamos que (4) es un k-ciclo (k≥2) y sea α: (0,∞)→(0,∞)un
homeomo ismo. En onces
xn+2 =α [α−1(xn+1), α−1(xn)]
es un nue o k–ciclo.
Demos aci´on. Sea F: (0,∞)2→(0,∞)2el sis ema din´amico asociado a (4),
F(x, y) = (y, (y, x)).
En onces, de la pe iodicidad global de la ecuaci´on se deduce que Fk= Id|(0,∞)2. A
con inuaci´on, conside amos la aplicaci´on H: (0,∞)2→(0,∞)2dada po H(x, y) =
(α(x), α(y)),y cons uimos la composici´on G:= H◦F◦H−1.Teniendo en cuen a que
H−1(x, y) = (α−1(x), α−1(y)),es sencillo comp oba que
G(x, y) = y, α( [α−1(y), α−1(x)]).
Adem´as,
Gk=H◦Fk◦H−1= Id|(0,∞)l,
de donde se deduce que
xn+2 =α( α−1(xn+1), α−1(xn))
es un nue o k-ciclo.
5

F. Balib ea, A. Line o
Ejemplo 1 Como consecuencia del esul ado an e io , las siguien es ecuaciones de o den
dos son 3-ciclos:
xn+2 = exp c
log(xn+ 1) log(xn+1 + 1)−1, c ∈(0,∞);
xn+2 =−1+q1+ 4
xn+1 2−1+q1+ 4
xn2
4c4c+−1+q1+ 4
xn+1 −1+q1+ 4
xn, c ∈(0,∞).
Ambas ecuaciones se ob ienen a pa i del 3–ciclo xn+2 =c
xnxn+1 ,c∈(0,∞). Pa a la
p ime a se oma α(x) = ex−1, y pa a la segunda se conside a α(x) = 1
x(1+x).
El segundo a ance hace e e encia al es udio de p-ciclos, p= 6,7,pa a la ecuaci´on en
di e encias
xn+3 =xn (xn+1, xn+2),(5)
donde, como en el es o de ecuaciones de o den 3 que se han analizado en es a no a,
: (0,∞)2→(0,∞) es una unci´on con inua, y las condiciones iniciales x1, x2, x3son
can idades eales posi i as a bi a ias.
En el caso de 6-ciclos, empezamos buscando ciclos de la o ma
xn+3 =xnxα
n+1xβ
n+2,
donde α, β son pa ´ame os eales que debe emos de e mina . Si x, y, z son las condiciones
iniciales, i e ando ob end emos
x4=xyαzβ, x5=yzαxyαzββ=xβy1+αβzα+β2,
x6=zxyαzβαxβy1+αβzα+β2β=xα+β2yα2+β+αβ2z1+2αβ+β3,
x7=x1+2αβ+β3y2α+2α2β+β2+αβ3z2β+α2+3αβ2+β4.
Pues o que x7=x1=x, debemos esol e el sis ema
1+2αβ +β3= 1,2α+ 2α2β+β2+αβ3= 0,2β+α2+ 3αβ2+β4= 0,
cuyas soluciones son (α, β) = (0,0) y (α, β) = (−2,2) (comp u´ebelo el lec o ). La p ime a
pa eja conduce a la ecuaci´on xn+3 =xn,que es un 3-ciclo. En cuan o a α=−2, β = 2,es
u ina io comp oba que
xn+3 =xnxn+2
xn2
es un 6-ciclo. Po an o, hemos ob enido:
P oposici´on 2 El ´unico 6-ciclo de la o ma xn+3 =xnxα
n+1xβ
n+2 iene dado a a ´es
de
xn+3 =xnxn+2
xn2
.
6
Algunos esul ados sob e pe iodicidad global
Como p oblema abie o, enemos la cues i´on de analiza si el ciclo an e io es el ´unico
que exis e de la o ma (5). C eemos que las ´ecnicas de ipo uncional desa olladas en
[7] pueden aplica se a es e p oblema, aunque no se a a ´a en modo alguno de un simple
eje cicio de ex ensi´on.
Haciendo un es udio simila al comen ado pa a el caso de 6-ciclos, en el caso de busca
7-ciclos de la o ma xn+3 =xnxα
n+1xβ
n+2se deja al lec o que comp uebe que el sis ema
de ecuaciones que se debe esol e es el siguien e



(i) : 2β+α2+ 3αβ2+β4= 1,
(ii) : 1 + 4αβ + 3α2β2+β3+α3+αβ4= 0,
(iii) : 2α+ 3β2+ 3α2β+ 4αβ3+β5= 0.
Mul iplicando (i) po α, y es ´andole la segunda se llega a β3+ 2αβ =−1−α, es deci ,
(i ) : α=−1−β3
1+2β.
Seg´un es a ´ul ima igualdad, se end ´a α=−βsi, y s´olo si, βcumple β3−2β2−β+ 1 = 0.
Si aho a mul iplicamos la p ime a ecuaci´on po β, y le es amos (iii),ob enemos
( ) : 2α+β2+ 2α2β+αβ3=−β.
Sus i uyendo (i ) en ( ) se consigue β6−2β4−5β3−5β2+β+ 2 = 0.Es a ecuaci´on se
ac o iza como sigue
( i) : (β+ 1)(β2+β+ 2)(β3−2β2−β+ 1) = 0.
Pa a β=−1,po (i ) se iene que α= 0,pe o en onces la co espondien e ecuaci´on
en di e encias xn+3 =xn1
xn+2 no es un 7-ciclo, como puede comp oba se sin di icul ad.
Las a´ıces de β2+β+2 son complejas, y en cuan o a las a´ıces de β3−2β2−β+1 = 0,
son
β1=−,8019..., β2= 0,5549..., β3= 2,2470...
Obse emos que los co espondien es alo es αjasociados a βj e i ican que αj=−βj,
j= 1,2,3.En ese caso, es u ina io comp oba , eniendo p esen e la elaci´on β3−2β2−
β+ 1 = 0,que las ecuaciones en di e encias asociadas son, en e ec o, 7-ciclos. Todo el
es udio hecho se esume as´ı:
P oposici´on 3 Sea βuna de las a´ıces de β3−2β2−β+ 1 = 0.En onces
xn+3 =xnxn+2
xnβ
es un 7-ciclo. De hecho, son los ´unicos 7-ciclos de la o ma xn+3 =xnxα
n+1xβ
n+2.
Al igual que en el caso de los 6-ciclos, queda pendien e a e igua si la ecuaci´on ese˜nada
en el ´ul imo esul ado es el ´unico 7-ciclo de la o ma xn+3 =xn (xn+1, xn+2), : (0,∞)→
(0,∞) con inua.
7
F. Balib ea, A. Line o
Cabe des aca que en las P oposiciones 2 y 3 los alo es α, β e i ican que α=−β.
Adem´as, si, en la l´ınea de las cuen as e ec uadas en dichas p oposiciones, buscamos 8-ciclos
del ipo xn+3 =xnxα
n+1xβ
n+2,se ob iene que
xn+3 =xnxn+2
xn+1 1+√2
yxn+3 =xnxn+2
xn+1 1−√2
son los ´unicos 8-ciclos con esa mo olog´ıa. Las ope aciones no son i iales, pe o p e e imos
no cansa al lec o con m´as elaciones algeb aicas. Con el desa ollo e ec uado en las
P oposiciones 2 y 3 se puede hace una idea del p ocedimien o seguido. Lo que s´ı me ece
des aca se es que, de nue o, α=−β. Es o da pie a plan ea el p oblema de a e igua si, en
el caso en que xn+3 =xnxα
n+1xβ
n+2p oduzca un k-ciclo, debe ´a cumpli se o zosamen e
que α=−β.
Ag adecimien os
Es e abajo ha sido inanciado pa cialmen e po los p oyec os 00684/PI/04 (Fundaci´on
S´eneca, Comunidad Au ´onoma de la Regi´on de Mu cia ), y MTM 2005-03868 (Minis e io
de Educaci´on y Ciencia, Espa˜na, y Fondos Eu opeos FEDER).
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