Algunos resultados sobre periodicidad global de ecuaciones en diferencias de orden dos y tres

XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones X Congreso de Matem´ atica Aplicada Sevilla, 24-28 septiembre 2007 (pp. 1–??) Algunos resultados sobre periodicidad global de ecuaciones en diferencias de orden dos y tres F. Balibrea1, A. Linero1 1Dpto. de Matem´aticas, Universidad de Murcia, E-30100 Murcia. E-mails: [email protected], [email protected]. Palabras clave: Ecuaciones en diferencias; periodicidad global; p-ciclo; ecuaciones funcionales Resumen En esta nota repasamos algunos resultados sobre periodicidad global en ecuaciones (aut´onomas) en diferencias finitas de ´ordenes dos y tres, y aportamos alg´un modesto avance en el tema. 1. Introducci´on Existe una gran cantidad de modelos biol´ogicos, econ´omicos, ... cuya evoluci´on se describe a partir de ecuaciones (aut´onomas) en diferencias. Un ejemplo paradigm´atico es la ecuaci´on log´ıstica xn+1 = (1 + a−bxn)xn, que modela c´omo evoluciona la densidad de poblaci´on xnde una cierta especie biol´ogica (insectos, ratones, ...), donde aes un valor positivo relacionado con la tasa m´axima de crecimiento en ausencia de factores negativos, mientras que bes una medida de la capacidad o resistencia del medio para albergar cantidades cada vez mayores de poblaci´on (v´ease [14]). El modelo anterior es una discretizaci´on del modelo log´ıstico continuo x0(t) = (a−bx(t))x(t). En [15], Volterra reemplaza la ecuaci´on diferencial anterior por esta otra, x0(t) = [a−Zt 0 b(t−τ)x(τ)dτ]x(t). Una ecuaci´on en diferencias de orden kparalela a la ecuaci´on diferencial anterior es xn+k+1 = (1+a−Pk j=0 αjxn+j)xn+k,conocida como funci´on log´ıstica generalizada, donde a > 0 y los coeficientes αjson no negativos (v´ease [12]). 1 F. Balibrea, A. Linero Hay casos particulares del modelo discreto anterior que se ajustan a ecuaciones de la forma xn+3 =xn+2f(xn+1, xn),donde fes una funci´on definida en (0,∞)2que toma valores positivos. El objeto de la presente comunicaci´on es considerar el t´opico de la periodicidad (global) en este tipo de ecuaciones de orden tres, as´ı como presentar nuevos resultados sobre periodicidad de algunas ecuaciones en diferencias de orden dos y sus generalizaciones. Los art´ıculos en que aparecen recogidos estos resultados son [4, 5, 6, 7, 8]. Pasamos a presentar las definiciones que permitir´an al lector entender sin dificultad los resultados rese˜nados en esta comunicaci´on. Sea Xun espacio m´etrico y Φ : Xk→Xuna funci´on continua, con k∈N.Consideramos la ecuaci´on (aut´onoma) en diferencias finitas xn+k= Φ(xn, xn+1,· · · , xn+k−1).(1) A partir de una condici´on inicial C0= (x1, x2,· · · , xk)∈Xkgeneramos de forma un´ıvoca la sucesi´on {xn}n≥1.Conocer la din´amica de la ecuaci´on en diferencias finitas consiste en averiguar el comportamiento cualitativo de todas las posibles sucesiones {xn}n≥1generadas a trav´es de la recurrencia que define a la ecuaci´on. Salvo en casos excepcionales, la soluci´on a este problema suele ser incompleta, y debemos contentarnos con conocer ciertos aspectos de la din´amica generada a trav´es de (1). La situaci´on m´as sencilla es el caso peri´odico, cuando se verifica que xn+p=xnpara alg´un p∈Ny para todo n∈N.El valor pm´as peque˜no para el que se verifica la condici´on anterior se denomina el periodo de {xn}n≥1. Denotamos por Peredf (Φ) al conjunto de todos los periodos de la ecuaci´on (1). Adem´as se dice que (1) es un k-ciclo cuando todas las sucesiones generadas por la ecuaci´on son peri´odicas, y kes el m´ınimo com´un m´ultiplo de los periodos de Peredf (Φ).Aparece entonces el fen´omeno de la periodicidad global. Por otra parte, debemos tener en cuenta que el estudio de la ecuaci´on en diferencias (1) es equivalente a conocer la din´amica del sistema discreto F:Xk→Xk, F(x1, ..., xk)=(x2, ..., xk,Φ(x1, x2, ..., xk)). Esta estrategia ha permitido, por ejemplo, conocer la estructura peri´odica de las ecuaciones del tipo xn+k=f(xn), k ≥2, donde f:I→I´o f:S1→S1es una funci´on continua (aqu´ı S1denota la circunferencia unidad). En [4], y como un simple corolario de los resultados aparecidos en [2] y [3], se ha demostrado que existe una relaci´on de forzamiento entre todos los periodos de Peredf (Φ), y, adem´as, viene heredada de la estructura peri´odica de la funci´on f. Otra estrategia para encontrar funciones Φ tales que la correspondiente ecuaci´on en diferencias (1) es un k-ciclo, consiste en trasladar el problema a una ecuaci´on funcional, cuya soluci´on nos determinar´a qu´e funciones Φ dan lugar a un k-ciclo en (1). Esta idea se ha desarrollado con ´exito en los art´ıculos [6], [7] y [8]. 2 Algunos resultados sobre periodicidad global 2. Resultados principales Desde hace mucho tiempo se ha tenido constancia de la existencia de ecuaciones en diferencias cuyas soluciones son siempre peri´odicas, y adem´as con un periodo m´ınimo com´un a todas ellas. El ejemplo paradigm´atico es el de la ecuaci´on de Lyness xn+1 =1 + xn xn−1 . Se trata de un 5-ciclo que aparece registrado por vez primera en la literatura en [13], en relaci´on con la b´usqueda de tres enteros cuyas sumas y diferencias son cuadrados perfectos, y que m´as tarde encontr´o una motivaci´on geom´etrica con los llamados patrones de friso (ver [11]). Una pregunta interesante es saber si este comportamiento din´amico de la periodicidad global se restringe a unas pocas ecuaciones aisladas, o si por el contrario, aun siendo un fen´omemo muy particular, es posible encontrar familias de ecuaciones con esta caracter´ıstica. En el caso ecuaciones en diferencias de primer orden xn+1 =f(xn) se sabe que los ´unicos k-ciclos aparecen cuando k= 1,2 (v´ease, por ejemplo, [1] ´o [9]). Para las ecuaciones aut´onomas de orden dos xn+1 =f(xn, xn−1),es f´acil deducir que el ´unico 2-ciclo viene dado por xn+2 =xn.Se sabe tambi´en, por ejemplo, que en el caso de funciones continuas f: (0,∞)→(0,∞) que separan las variables, es decir, tales que f(x, y) = f1(x)f2(y),los ´unicos 3-ciclos que encontramos atienden a la forma xn+1 =C xnxn−1 , donde Ces una constante positiva arbitraria (v´ease [6]). Teorema 1 Sea f: (0,∞)2→(0,∞)una funci´on continua de la forma f(x, y) = f1(x)f2(y).Entonces la ecuaci´on en diferencias asociada xn+2 =f1(xn)f2(xn+1) es un 3-ciclo si, y s´olo si, f(x, y) = C xy para alguna constante positiva C. La estrategia para demostrar el teorema anterior se basa en estudiar la ecuaci´on funcional asociada x=f(f(y, x), y), y en analizar las funciones fibra f(·, z) y f(z, ·).A la vista de esta ecuaci´on funcional, es f´acil deducir que ambas fibras son funciones biyectivas estrictamente decrecientes definidas del intervalo (0,∞) en s´ı mismo. Apoy´andonos en ciertas relaciones de tipo funcional, se llega finalmente a que s´olo las ecuaciones de la forma xn+1 =C xnxn−1dan lugar a 3-ciclos formados a trav´es de una funci´on fque separa las variables. Cabe destacar que en [8] se ha generalizado el resultado anterior, y se han obtenido todos los k+ 1-ciclos de la ecuaci´on de orden k xn+k+1 =f1(xn+1)·f2(xn+2)·. . . ·fk(xn+k),(2) donde fj: (0,∞)→(0,∞) son funciones continuas. 3 F. Balibrea, A. Linero Teorema 2 Sea k∈N,k≥2.Supongamos que fi: (0,+∞)→(0,+∞)es continua para cada i∈ {1, . . . , k}.Entonces (2) es un (k+ 1)-ciclo si, y s´olo si, una de las siguientes alternativas ocurre: 1. kes par y xn+k+1 =C xn+1xn+2 · · · xn+k ,para alg´un C > 0; 2. kes impar, y o bien xn+k+1 =C xn+1xn+2 · · · xn+k ,para alg´un C > 0, o bien xn+k+1 = (k+1)/2 Q j=1 xn+2j−1 (k−1)/2 Q j=1 xn+2j . Queda como problema abierto determinar si para la ecuaci´on (2) se puede obtener un resultado similar para el caso de (k+ 2)-ciclos. Pasamos ahora a considerar ecuaciones en diferencias aut´onomas de orden tres, xn+1 = f(xn, xn−1, xn−2).Puesto que el caso general de detectar p-ciclos es muy dif´ıcil, nos restringimos a ecuaciones de tercer orden de la forma xn+3 =xif(xj, xk),(3) donde los ´ındices i, j, k ∈ {n, n + 1, n + 2}son distintos dos a dos, la funci´on f: (0,∞)× (0,∞)→(0,∞) es continua, y las condiciones iniciales x1, x2, x3son cantidades reales positivas. En [7] hemos obtenido todos los p-ciclos de la forma (3) para p= 3,4,5. Teorema 3 Se cumple: 1. La ecuaci´on (3) es un 3-ciclo si, y s´olo si, xn+3 =xn. 2. La ecuaci´on (3) es un 4-ciclo si, y s´olo si, xn+3 =xnxn+2 xn. 3. La ecuaci´on (3) es un 5-ciclo si, y s´olo si, xn+3 =xnxn+2 xn+1 Φ ´o xn+3 =xnxn+2 xn+1 φ , donde Φes el n´umero de oro, Φ = 1+√5 2,yφ=−1 Φ. Para demostrar el resultado anterior, b´asicamente utilizamos dos estrategias. Por un lado, para probar el caso p≤4 necesitamos simplemente hacer unos c´alculos directos de las sucesiones generadas por la ecuaci´on en diferencias (3). Por otra parte, el caso 4 Algunos resultados sobre periodicidad global p= 5 requiere un estudio m´as preciso que, en cierta forma, est´a estrechamente ligado a las ecuaciones funcionales. De hecho, resolver el problema de encontrar los 5-ciclos equivale a resolver la ecuaci´on funcional c=bf(c, af(b, c))f(a, b), a, b, c > 0. Por tanto, las soluciones de esta ecuaci´on funcional son f(x, y) = y xΦyf(x, y) = y xφ. 3. Algunos avances A continuaci´on, presentamos un par de modestos avances en relaci´on a los resultados expuestos en la secci´on anterior. El primero de ellos, a trav´es del empleo de la estrategia de la conjugaci´on topol´ogica, muy socorrida en el marco de los sistemas din´amicos discretos, nos hace comprender que el fen´omeno de la periodicidad global es m´as abundante de lo que en principio podr´ıamos suponer atendiendo a la din´amica tan exigente de dicho fen´omeno. La ilustraremos con ecuaciones en diferencias de segundo orden xn+2 =f(xn+1, xn).(4) Para hacer m´as comprensible la idea de la conjugaci´on topol´ogica, damos el siguiente resultado cuya versi´on general se encuentra en [10]. Proposici´on 1 Supongamos que (4) es un k-ciclo (k≥2) y sea α: (0,∞)→(0,∞)un homeomorfismo. Entonces xn+2 =αf[α−1(xn+1), α−1(xn)] es un nuevo k–ciclo. Demostraci´on. Sea F: (0,∞)2→(0,∞)2el sistema din´amico asociado a (4), F(x, y) = (y, f(y, x)). Entonces, de la periodicidad global de la ecuaci´on se deduce que Fk= Id|(0,∞)2. A continuaci´on, consideramos la aplicaci´on H: (0,∞)2→(0,∞)2dada por H(x, y) = (α(x), α(y)),y construimos la composici´on G:= H◦F◦H−1.Teniendo en cuenta que H−1(x, y) = (α−1(x), α−1(y)),es sencillo comprobar que G(x, y) = y, α(f[α−1(y), α−1(x)]). Adem´as, Gk=H◦Fk◦H−1= Id|(0,∞)l, de donde se deduce que xn+2 =α(fα−1(xn+1), α−1(xn)) es un nuevo k-ciclo. 5 F. Balibrea, A. Linero Ejemplo 1 Como consecuencia del resultado anterior, las siguientes ecuaciones de orden dos son 3-ciclos: xn+2 = exp c log(xn+ 1) log(xn+1 + 1)−1, c ∈(0,∞); xn+2 =−1+q1+ 4 xn+1 2−1+q1+ 4 xn2 4c4c+−1+q1+ 4 xn+1 −1+q1+ 4 xn, c ∈(0,∞). Ambas ecuaciones se obtienen a partir del 3–ciclo xn+2 =c xnxn+1 ,c∈(0,∞). Para la primera se toma α(x) = ex−1, y para la segunda se considera α(x) = 1 x(1+x). El segundo avance hace referencia al estudio de p-ciclos, p= 6,7,para la ecuaci´on en diferencias xn+3 =xnf(xn+1, xn+2),(5) donde, como en el resto de ecuaciones de orden 3 que se han analizado en esta nota, f: (0,∞)2→(0,∞) es una funci´on continua, y las condiciones iniciales x1, x2, x3son cantidades reales positivas arbitrarias. En el caso de 6-ciclos, empezamos buscando ciclos de la forma xn+3 =xnxα n+1xβ n+2, donde α, β son par´ametros reales que deberemos determinar. Si x, y, z son las condiciones iniciales, iterando obtendremos x4=xyαzβ, x5=yzαxyαzββ=xβy1+αβzα+β2, x6=zxyαzβαxβy1+αβzα+β2β=xα+β2yα2+β+αβ2z1+2αβ+β3, x7=x1+2αβ+β3y2α+2α2β+β2+αβ3z2β+α2+3αβ2+β4. Puesto que x7=x1=x, debemos resolver el sistema 1+2αβ +β3= 1,2α+ 2α2β+β2+αβ3= 0,2β+α2+ 3αβ2+β4= 0, cuyas soluciones son (α, β) = (0,0) y (α, β) = (−2,2) (compru´ebelo el lector). La primera pareja conduce a la ecuaci´on xn+3 =xn,que es un 3-ciclo. En cuanto a α=−2, β = 2,es rutinario comprobar que xn+3 =xnxn+2 xn2 es un 6-ciclo. Por tanto, hemos obtenido: Proposici´on 2 El ´unico 6-ciclo de la forma xn+3 =xnxα n+1xβ n+2viene dado a trav´es de xn+3 =xnxn+2 xn2 . 6 Algunos resultados sobre periodicidad global Como problema abierto, tenemos la cuesti´on de analizar si el ciclo anterior es el ´unico que existe de la forma (5). Creemos que las t´ecnicas de tipo funcional desarrolladas en [7] pueden aplicarse a este problema, aunque no se tratar´a en modo alguno de un simple ejercicio de extensi´on. Haciendo un estudio similar al comentado para el caso de 6-ciclos, en el caso de buscar 7-ciclos de la forma xn+3 =xnxα n+1xβ n+2se deja al lector que compruebe que el sistema de ecuaciones que se debe resolver es el siguiente    (i) : 2β+α2+ 3αβ2+β4= 1, (ii) : 1 + 4αβ + 3α2β2+β3+α3+αβ4= 0, (iii) : 2α+ 3β2+ 3α2β+ 4αβ3+β5= 0. Multiplicando (i) por α, y rest´andole la segunda se llega a β3+ 2αβ =−1−α, es decir, (iv) : α=−1−β3 1+2β. Seg´un esta ´ultima igualdad, se tendr´a α=−βsi, y s´olo si, βcumple β3−2β2−β+ 1 = 0. Si ahora multiplicamos la primera ecuaci´on por β, y le restamos (iii),obtenemos (v) : 2α+β2+ 2α2β+αβ3=−β. Sustituyendo (iv) en (v) se consigue β6−2β4−5β3−5β2+β+ 2 = 0.Esta ecuaci´on se factoriza como sigue (vi) : (β+ 1)(β2+β+ 2)(β3−2β2−β+ 1) = 0. Para β=−1,por (iv) se tiene que α= 0,pero entonces la correspondiente ecuaci´on en diferencias xn+3 =xn1 xn+2 no es un 7-ciclo, como puede comprobarse sin dificultad. Las ra´ıces de β2+β+2 son complejas, y en cuanto a las ra´ıces de β3−2β2−β+1 = 0, son β1=−,8019..., β2= 0,5549..., β3= 2,2470... Observemos que los correspondientes valores αjasociados a βjverifican que αj=−βj, j= 1,2,3.En ese caso, es rutinario comprobar, teniendo presente la relaci´on β3−2β2− β+ 1 = 0,que las ecuaciones en diferencias asociadas son, en efecto, 7-ciclos. Todo el estudio hecho se resume as´ı: Proposici´on 3 Sea βuna de las ra´ıces de β3−2β2−β+ 1 = 0.Entonces xn+3 =xnxn+2 xnβ es un 7-ciclo. De hecho, son los ´unicos 7-ciclos de la forma xn+3 =xnxα n+1xβ n+2. Al igual que en el caso de los 6-ciclos, queda pendiente averiguar si la ecuaci´on rese˜nada en el ´ultimo resultado es el ´unico 7-ciclo de la forma xn+3 =xnf(xn+1, xn+2), f : (0,∞)→ (0,∞) continua. 7 F. Balibrea, A. Linero Cabe destacar que en las Proposiciones 2 y 3 los valores α, β verifican que α=−β. Adem´as, si, en la l´ınea de las cuentas efectuadas en dichas proposiciones, buscamos 8-ciclos del tipo xn+3 =xnxα n+1xβ n+2,se obtiene que xn+3 =xnxn+2 xn+1 1+√2 yxn+3 =xnxn+2 xn+1 1−√2 son los ´unicos 8-ciclos con esa morfolog´ıa. Las operaciones no son triviales, pero preferimos no cansar al lector con m´as relaciones algebraicas. Con el desarrollo efectuado en las Proposiciones 2 y 3 se puede hacer una idea del procedimiento seguido. Lo que s´ı merece destacarse es que, de nuevo, α=−β. Esto da pie a plantear el problema de averiguar si, en el caso en que xn+3 =xnxα n+1xβ n+2produzca un k-ciclo, deber´a cumplirse forzosamente que α=−β. Agradecimientos Este trabajo ha sido financiado parcialmente por los proyectos 00684/PI/04 (Fundaci´on S´eneca, Comunidad Aut´onoma de la Regi´on de Murcia ), y MTM 2005-03868 (Ministerio de Educaci´on y Ciencia, Espa˜na, y Fondos Europeos FEDER). Referencias [1] R. M. Abu–Saris. A self–invertibility condition for global periodicity of difference equations. Applied Math. Letters 19 (2006), 1078–1082. [2] F. Balibrea, A. Linero. Periodic structure of σ-permutation maps on In. Aequationes Math. 62 (2001), 265–279. [3] F. Balibrea, A. Linero. Periodic structure of σ-permutation maps. II. The case Tn. Aequationes Math. 64 (2002), 34-52. [4] F. Balibrea, A. Linero. On the periodic structure of delayed difference equations of the form xn= f(xn−k)on Iand S1. J. Difference Equ. 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