Re .
in .
mé odos
numé .
cálc.
diseño
ing.
2013;29(3):135–145
Re is a
In e nacional
de
Mé odos
Numé icos
pa a
Cálculo
y
Diseño
en
Ingenie ía
www.else ie .es/ imni
Cálculo
e icien e
de
las
ene gías
de
o mación
de
escalones
dobles
en
ma e iales
BCC
E.
Tellechea,
O.
Sab i
y
M.P.
A iza∗
Uni e sidad
de
Se illa,
Escuela
Técnica
Supe io
de
Ingenie ía
Camino
de
los
descub imien os,
s.n.,
41092
Se illa,
Espa˜
na
in o mación
del
a ículo
His o ia
del
a ículo:
Recibido
el
21
de
agos o
de
2011
Acep ado
el
10
de
ene o
de
2012
On-line
el
31
de
julio
de
2013
Palab as
cla e:
Dislocaciones
Plas icidad
Escalones
dobles
Me ales
BCC
e
s
u
m
e
n
En
ma e iales
con
es uc u a
c is alina
BCC
el
mo imien o
de
dislocaciones
de
ipo
o nillo
a
baja
em-
pe a u a
es á
asociado
con
la
o mación
y
el
c ecimien o
de
escalones
en
la
línea
de
la
dislocación.
Pa a
en ende
la
mo ilidad
de
dislocaciones
de
ipo
o nillo
en
es os
ma e iales
es
muy
impo an e
la
co ec a
p edicción
de
las
ene gías
de
nucleación
de
es os
escalones.
El
cálculo
a
ni el
a omís ico
de
la
mecánica
de
dislocaciones
cons i uye
un
p oblema
complicado
desde
el
pun o
de
is a
an o
numé ico
como
com-
pu acional.
Es e
abajo
se
cen a
en
el
cálculo
de
las
ene gías
de
o mación
de
dis in as
con igu aciones
de
escalones
dobles
en
c is ales
BCC
y
en
ausencia
de
ca gas
ex e io es.
En
nues o
modelo,
basado
en
la
eo ía
disc e a
de
dislocaciones
desa ollada
po
A iza
y
O iz,
la
ene gía
almacenada
se
calcula
de
o ma
e icien e
median e
un
algo i mo
de
p og amación
basado
en
NVIDIA
Compu e
Uni ied
De ice
A chi ec-
u e
(CUDA).
Los
esul ados
ob enidos
p esen an
un
buen
acue do
con
los
calculados
u ilizando
p ime os
p incipios
y
po enciales
a omís icos,
y
los
co espondien es
a
la
eo ía
elás ica
de
dislocaciones.
©
2011
CIMNE
(Uni e si a
Poli ècnica
de
Ca alunya).
Publicado
po
Else ie
España,
S.L.
Todos
los
de echos
ese ados.
E icien
calcula ion
o
o ma ion
ene gies
o
kink-pai s
in
BCC
c ys als
Keywo ds:
Disloca ions
Plas ici y
Double-kinks
BCC
me als
a
b
s
a
c
Mo ion
o
sc ew
disloca ions
in
BCC
ma e ials
a
low
empe a u e
is
belie ed
o
be
ela ed
o
he
o ma ion
o
mobile
kinks
on
he
disloca ion
line.
The e o e,
he
accu a e
p edic ion
o
kink
nuclea ion
ene gies
is
equi ed
o
ully
desc ibe
mobili y
o
sc ew
disloca ions
in
hese
ma e ials.
S udies
o
undamen al
disloca ion
p ocesses
a
a omic
leng h
scale
a e
nume ically
and
compu a ionally
in ensi e
p oblems.
This
wo k
s udies
he
calcula ion
o
ze o-s ess
o ma ion
ene gies
o
kink-pai
con igu a ions
o
BCC
c ys als.
Ou
model
o
s o ed
ene gy
associa ed
o
a
disloca ion
line
con igu a ion
is
based
on
he
heo y
o
disc e e
disloca ions
o
A iza
and
O iz.
I s
alue
is
compu ed
e icien ly
using
an
algo i hm
de eloped
on
he
NVIDIA
Compu e
Uni ied
De ice
A chi ec u e
(CUDA).
Resul s
con i m
hose
ob ained
using
a omis ic
po en ials
and
i s
p inciples
calcula ions,
and
hose
based
on
he
con inuum
heo y
o
disloca ions.
©
2011
CIMNE
(Uni e si a
Poli ècnica
de
Ca alunya).
Published
by
Else ie
España,
S.L.
All
igh s
ese ed.
1.
In oducción
Du an e
la
úl ima
década,
la
modelización
mul iescala
de
ma e-
iales
desde
el
ni el
a ómico
has a
el
ni el
mac oscópico,
pa a
consegui
desc ibi
mecanismos
de
de o mación
ales
como
la
plas icidad
en
c is ales,
ha
a aído
la
a ención
de
nume osos
in es-
igado es.
El
conocimien o
p o undo
de
p ocesos
de
de o mación
y
de
de ec os
en
la
escala
de
longi ud
a ómica
cons i uye
el
pun o
de
∗Au o
pa a
co espondencia.
Co eo
elec ónico:
[email p o ec ed]
(M.P.
A iza).
pa ida
básico
pa a
el
es udio
idimensional
de
la
dinámica
de
dis-
locaciones
a
mic oescala
[1]
y
o as
simulaciones
a
mayo es
escalas
de
longi ud
[2].
Es o
equie e
modelos
p ecisos
de
la
es uc u a
a omís ica,
del
mo imien o
e
in e acción
de
pun os
ele an es
y
de
los
de ec os,
incluyendo
acan es,
huecos
in e s iciales,
impu-
ezas,
dislocaciones
y
lími es
de
g ano.
Pa a
ello
es
p eciso
no
solo
en ende
los
mecanismos
cuali a i os
subyacen es
que
con olan
la
de o mación
plás ica,
sino
ambién
se
capaces
de
de e mina
los
pa áme os
cuan i a i os
que
pe mi an
una
desc ipción
p edic i a
de
las
p opiedades
plás icas
y
esis en es
en
ma e iales
eales
bajo
dis in as
condiciones
de
se icio.
Los
modelos
disc e os
de
dislocaciones
se
u ilizan
ampliamen e
como
mé odo
compu acional
pa a
es udia
el
compo amien o
0213-1315/$
–
see
on
ma e
©
2011
CIMNE
(Uni e si a
Poli ècnica
de
Ca alunya).
Publicado
po
Else ie
España,
S.L.
Todos
los
de echos
ese ados.
h p://dx.doi.o g/10.1016/j. imni.2013.06.002
136
E.
Tellechea
e
al
/
Re .
in .
mé odos
numé .
cálc.
diseño
ing.
2013;29(3):135–145
mecánico
de
ma e iales
con
es uc u a
c is alina.
La
mayo ía
de
es os
mé odos
se
basan
en
la
eo ía
elás ica
lineal
de
dislocaciones
[3].
A
pesa
de
su
sencillez
se
ha
conseguido
conoce
bas an e
sob e
los
mecanismos
de
de o mación
y
endu ecimien o
en
c is ales
g a-
cias
a
es os
mé odos.
Los
modelos
disc e os
de
dislocaciones
son
capaces
de
conside a
aspec os
que
son
inaccesibles
an o
pa a
la
eo ía
plás ica
de
medios
con inuos
aplicable
a
escalas
de
longi ud
mayo es,
como
pa a
los
cálculos
a omís icos,
debido
a
las
limi acio-
nes
de
cálculo.
En
gene al,
algunas
de
las
limi aciones
que
p esen an
es os
modelos
se
deben
p incipalmen e
a
que
es án
basados
en
la
eo ía
elás ica
lineal
de
dislocaciones
[4–7].
La
eo ía
desa ollada
po
A iza
y
O iz
[8],
en
la
que
se
basa
es e
abajo,
p e ende
en
g an
pa e
co egi
algunas
de
dichas
limi aciones.
Tene
en
cuen a
desde
el
p incipio
el
ca ác e
disc e o
de
las
edes
es
un
p ime
paso
pa a
do a
a
es a
eo ía
de
algunas
ca ac e ís icas
deseables.
El
modelo
iene
de
mane a
na u al
esolución
a omís ica,
que
elimina
de
o ma
au omá ica
las
di e gencias
asociadas
con
los
adios
de
co e
en
los
núcleos
de
las
dislocaciones
y
po
lo
an o
la
necesidad
de
in oduci
pa áme os
sin
signi icado
ísico.
La
elas icidad
de
las
edes
se
incluye
en
la
eo ía
disc e a
u ilizando
po enciales
empí i-
cos,
que
a˜
naden
una
impo an e
mejo a
espec o
a
la
eo ía
elás ica
isó opa
y
p ese an
el
ca ác e
anisó opo
del
ma e ial.
En
nues-
o
modelo,
cada
línea
de
dislocación
posee
su
p opia
es uc u a
del
núcleo,
que
depende
del
po encial
in e a ómico,
y
las
ansiciones
opológicas
apa ecen
de
o ma
na u al
sin
necesidad
de
es able-
ce
eglas
de
in e acción
de
mane a
explíci a.
Los
aspec os
eó icos
ela i os
a
la
mecánica
disc e a
de
edes
c is alinas
pueden
e se
en
de alle
en
A iza
y
O iz
[8].
O o
elemen o
impo an e
en
nues-
o
modelo
es
el
uso
de
la
eo ía
de
au ode o maciones
de
Mu a
[9]
pa a
calcula
la
ene gía
almacenada
en
el
c is al,
dado
un
con-
jun o
de
dislocaciones.
La
ap oximación
disc e a
en
combinación
con
el
o malismo
de
la
ans o mada
de
Fou ie
nos
ha
pe mi ido
el
cálculo
a
g an
escala
de
una
dis ibución
de
deslizamien os
en
un
c is al
de
o ma
e icien e
[10].
Pa a
ma e iales
con
es uc u a
BCC,
el
mo imien o
de
dislocaciones
de
ipo
o nillo
a
baja
empe-
a u a
es á
con olado
po
la
nucleación
y
dinámica
de
escalones
y
escalones
dobles.
Dadas
las
es icciones
c is alog á icas
del
ma e-
ial,
y
g acias
al
complejo
de
ed
de inido
en
el
modelo
disc e o,
la
geome ía
de
los
de ec os
de
ipo
escalón
puede
de ini se
de
o ma
cla a
y
sencilla.
Con
independencia
del
modelo
empleado,
el
cálculo
a
ni el
a o-
mís ico
de
la
mecánica
de
dislocaciones
cons i uye
un
p oblema
complicado
desde
el
pun o
de
is a
an o
numé ico
como
compu a-
cional.
En
elación
con
es e
úl imo
aspec o,
una
o ma
de
agiliza
los
cálculos
y
gana
al
mismo
iempo
capacidad
de
cálculo
compu acio-
nal
es
median e
la
pa alelización
en
a qui ec u as
mul ip ocesado
en
unidades
de
p ocesado
g á ico
(G aphical
P ocessing
Uni s,
GPU).
Los
bene icios
del
uso
de
GPU
pa a
acele a
algo i mos
en
pa alelo
se
han
aplicado
a
a iedad
de
á eas,
desde
la
química
y
la
biología
compu acional,
has a
los
ideo-acele ado es.
El
desa ollo
de
apli-
caciones
en
GPU
equie e
el
uso
de
lenguajes
de
p og amación
de
al o
ni el.
En
es e
abajo
hemos
u ilizado
el
en o no
de
abajo
CUDA
(Compu e
Uni ied
De ice
A chi ec u e),
in oducido
po
NVIDIA
en
2006
[11,12].
Se
han
ob enido
las
ene gías
de
o mación
de
escalo-
nes
dobles
en
dislocaciones
de
ipo
o nillo
y
las
co espondien es
al
c ecimien o
de
es os
escalones
en
ma e iales
BCC.
Es os
cálculos
nos
han
pe mi ido
es ablece
las
longi udes
c í icas
en
las
que
la
ene gía
de
in e acción
en e
escalones
de inidos
sob e
la
misma
línea
de
dislocación
iende
a
ce o.
En
el
apa ado
2
se
desc ibe
b e emen e
el
complejo
simplicial
pa a
ma e iales
BCC,
y
en
el
apa ado
3,
algunos
elemen os
de
la
eo ía
disc e a
de
edes
nece-
sa ios
pa a
ilus a
el
modelo
de
cálculo.
Po
úl imo,
en
el
apa a-
do
4
hemos
ob enido
de
o ma
e ec i a
las
ene gías
asociadas
a
la
nucleación
y
c ecimien o
de
escalones
dobles
y
las
hemos
compa-
ado
con
esul ados
p e ios,
an o
los
basados
en
la
eo ía
elás ica
lineal
de
dislocaciones
[3],
como
los
ob enidos
median e
simula-
ciones
a omís icas
[13].
2.
Complejos
de
edes
pa a
c is ales
cúbicos
cen ados
en
el
cue po
(BCC)
En
es e
apa ado
p esen amos
de
o ma
esumida
el
complejo
de
ed
pa a
ma e iales
con
es uc u a
cúbica
cen ada
en
las
ca as
(BCC)
que
hemos
publicado
an e io men e
[8,10]
y
que
nos
a
a
pe mi i
in oduci
con
mayo
cla idad
la
ed
dual
co espondien e
a
es a
es uc u a
c is alina.
Los
mecanismos
de
dislocaciones
en
edes
c is alinas
pueden
exp esa se
en
é minos
de
campos
de i-
nidos
en
la
p opia
ed
(es o
es,
el
campo
de
desplazamien os
y
la
densidad
de
ene gía)
y
campos
que
se
de inen
en
edes
auxilia es,
como
los
de
au ode o maciones
que
desc iben
las
dislocaciones
y
los
campos
de
densidad
de
dislocaciones,
que
son
una
medida
del
g ado
de
las
au ode o maciones.
La
ed
de
B a ais
pa a
un
c is al
con
es uc u a
BCC
se
gene a
a
pa i
de
la
base
(-a/2,a/2,a/2),
(a/2,-a/2,a/2),
(a/2,a/2,-a/2).
En
nues-
o
modelo,
conside amos
la
ed
BCC
como
una
colección
de
celdas
C
de
dis in as
dimensiones,
do adas
con
ope ado es
di e enciales
disc e os
y
una
in eg al
disc e a.
El
complejo
simplicial
CW
pa a
es a
ed
( igs.
1-3)
cons a
de:
á omos
o
celdas-0,
enlaces
a ómicos
o
celdas-1,
ca as
elemen ales
o
celdas-2
y
olúmenes
elemen a-
les
o
celdas-3.
Todas
las
celdas
deben
ene
una
o ien ación
que
nos
pe mi a
de ini
los
ope ado es
di e enciales
disc e os
de
la
ed.
Supongamos
que
ω
es
una
o ma-0
de inida
en
los
á omos
de
la
ed
y
eab es
un
enlace
a ómico
de inido
en e
los
á omos
a
y
b
( ig.
4).
Además,
supongamos
que
eab es á
o ien ado
desde
a
has a
b.
De
es a
o ma,
el
di e encial
dω(eab)
de
ω
en
eab es:
dω(eab)
=
ω(ea)
−
ω(eb).
(1)
Supongamos
ambién
que
ω
es
una
o ma-1
de inida
en
los
enlaces
a ómicos
y
eabc una
celda
iangula
con
los
enlaces
a ómicos
eab,
ebc,
eca a
lo
la go
de
su
con o no
( ig.
4).
En onces,
el
di e encial
dω(eab)
de
ω
en
eabc es:
dω(eabc)
=
ω(eab)
+
ω(ebc)
+
ω(eca) (2)
Po
úl imo,
si
ω
es
una
o ma-2
de inida
en
las
celdas
iangula es,
en onces
su
di e encial
es
el
ec o :
dω
=
e2∈E2(C)
ω(e2)
(3)
Po
lo
an o,
el
ope ado
di e encial
ex iende:
o mas-0,
de ini-
das
en
los
á omos,
a
o mas-1,
de inidas
en
los
enlaces
a ómicos;
o mas-1,
de inidas
en
los
enlaces
a ómicos,
a
o mas-2,
de inidas
en
las
celdas
iangula es;
y
o mas-2,
de inidas
en
las
celdas
ian-
gula es,
a
ec o es.
Los
ope ado es
di e enciales
disc e os
pueden
en ende se
como
los
equi alen es
disc e os
del
g ad,
o
y
di
del
cálculo
ec o ial.
En
conc e o,
el
di e encial
de
o mas-0
es
el
equi-
alen e
disc e o
del
ope ado
g ad,
el
di e encial
de
o mas-1
es
el
equi alen e
disc e o
del
ope ado
o
y
el
di e encial
de
o mas-2
es
el
equi alen e
disc e o
del
ope ado
di
del
cálculo
ec o ial.
Puede
comp oba se
a
pa i
de
la
de inición
de
los
ope ado es
disc e os
[14]
que:
d2=
0
(4)
que
ep esen a
el
equi alen e
disc e o
de
las
iden idades
o
◦
g ad
=
0
y
di
◦
o
=
0.
Ag upando
po
ipos
las
celdas
C
de
la
ed
BCC,
podemos
e
que
den o
de
un
mismo
ipo
las
celdas
son
aslaciones
unas
de
o as
y
ienen
los
mismos
ecinos,
po
lo
an o
o man
edes
de
B a ais
simples
[8].
Los
ma e iales
BCC
ienen
un
ipo
de
á omos
y
7
ipos
de
enlaces
a ómicos
( ig.
1),
12
ipos
de
celdas
iangula es
( ig.
2)
y
6
ipos
de
celdas
e aéd icas
( ig.
3),
siendo
1=
(1,
0,
0),
2=
(0,
1,
0),
3=
(0,
0,
1),
4=
(1,
1,
1),
E.
Tellechea
e
al
/
Re .
in .
mé odos
numé .
cálc.
diseño
ing.
2013;29(3):135–145
137
l
l+ 1
l+ 2
l+ 3
l+ 7
l- 1
l- 2
l- 3
l- 7
l+ 4
l- 4
l+ 6
l- 6
l+ 5
l- 5
l
(l,1)
(l- 4,4)
(l,6)
(l- 6,6)
(l-
5
,5)
(l- 1,1)
(l,7)
(l-
7
,7)
(l,5)
(l,2) (l-
2
,2)
(l,4)
(l,3)
(l-
3
,3)
(b)(a)
Figu a
1.
Rep esen ación
del
complejo
de
ed
cúbica
cen ada
en
el
cue po.
a)
Vé ices.
b)
G upo
de
a is as
elemen ales.
32
416
7
5
810
11
12 9
(a)
(b)
(c)
Figu a
2.
Rep esen ación
del
complejo
de
ed
cúbica
cen ada
en
el
cue po.
G upo
de
á eas
elemen ales.
5=
(0,
1,
1),
6=
(1,
0,
1)
y
7=
(1,
1,
0).
Consecuen emen e,
es
posible
aplica
al
es udio
de
las
o mas
disc e as
que
hemos
des-
c i o
an e io men e
la
ans o mada
disc e a
de
Fou ie
(TDF)
y
sus
p opiedades,
que
incluyen
la
iden idad
de
Pa se al
disc e a
y
un
eo ema
de
con olución
disc e o
( éanse
pa a
más
de alles
[8,15]).
La
es uc u a
di e encial
pa a
la
ed
BCC
de inida
en
las
ecuaciones
(1)
y
(2)
puede
e se
en
de alle
en
Ramasub amaniam
e
al.
[10].
El
complejo
se
escoge
de
o ma
que
con iene
las
di ecciones
de
deslizamien o 1
2111
y
los
planos
de
deslizamien o
{110}.
Como
e e encia,
en
la
abla
1
se
p esen an
los
p incipales
sis emas
de
deslizamien o
de
las
edes
BCC.
Puede
e se
ácilmen e
que
los
Tabla
1
Sis emas
de
deslizamien o
en
c is ales
BCC
en
no ación
de
Schmid
y
Boas.
m
es
la
no mal
uni a ia
al
plano
de
deslizamien o
y
s
el
ec o
uni a io
en
la
di ección
del
ec o
Bu ge s.
Nó ese
que
los
ec o es
se
exp esan
en
coo denadas
ca esianas
y
no
en
la
base
del
c is al
S.
D.
A2
A3
A6
B2
B4
B5
√3s
[111]
[111]
[111]
[111]
[111]
[111]
√2m
(011)
(101)
(110)
(011)
(101)
(110)
S.
D.
C1
C3
C5
D1
D4
D6
S.
D.
C1
C3
C5
D1
D4
D6
√3s
[111]
[111]
[111]
[111]
[111]
[111]
√2m
(011)
(101)
(110)
(011)
(101)
(110)
conjun os
elemen ales
de
a is as
y
ca as
ienen
en
cuen a
es os
sis emas.
2.1.
Red
dual
de
edes
BCC
p ima ias
La
geome ía
de
las
dislocaciones
se
comp ende
con
más
cla i-
dad
cuando
de inimos
el
conjun o
dual
de
nues o
g upo
de
celdas
p ima ias
C
[14].
Dado
un
complejo
idimensional,
el
dual
de
cada
celda-3
de
C
a
a
se
su
ba icen o,
es
deci ,
elemen os
de
o den-0.
El
conjun o
dual
de
las
celdas-2
de
C
a
a
es a
o mado
po
segmen os
o
elemen os
de
o den-1
y
consis e,
pa a
cada
celda
iangula ,
en
un
pa
de
segmen os
que
unen
el
ba icen o
de
la
ca a
elemen al
con
los
ba icen os
de
los
e aed os
que
ienen
en
común
( igs.
5
y
6).
El
conjun o
dual
de
las
celdas-1
de
C
a
a
se
en
gene al
una
supe -
icie
en
su
conjun o
no
plana
y
de
con o no
ec o.
Nues o
in e és
ecae
en
el
segundo
de
es os
conjun os,
ya
que
nos
a
a
pe mi i
de ini
las
líneas
de
dislocación
a
ni el
a omís ico
con
o al
p eci-
sión,
conca enando
segmen os
duales
elemen ales.
Es os
pa es
de
segmen os
duales
o man
ambién
edes
de
B a ais
simples.
Hay
12
ipos
en
o al.
3.
Ene gía
almacenada
en
dislocaciones
disc e as
Vamos
a
comenza
es e
apa ado
exponiendo
algunos
elemen-
os
de
la
eo ía
disc e a
[8]
que
necesi a emos
pa a
ob ene
más
adelan e
la
exp esión
de
la
ene gía
de
o mación
de
de ec os
ipo
138
E.
Tellechea
e
al
/
Re .
in .
mé odos
numé .
cálc.
diseño
ing.
2013;29(3):135–145
Figu a
3.
Rep esen ación
del
complejo
de
ed
cúbica
cen ada
en
el
cue po.
G upo
de
olúmenes
elemen ales.
ba
c
ba
Figu a
4.
Diag ama
pa a
la
de inición
de
los
ope ado es
di e enciales
disc e os
en
a is as
y
ca as
del
complejo
de
ed.
escalón
en
una
línea
de
dislocación.
Discu i emos
b e emen e
la
ob ención
del
modelo
de
cons an es
de
ue za
a
pa i
de
po en-
ciales
in e a ómicos
[16,17]
y,
po
úl imo,
p esen a emos
algunos
de alles
de
la
implemen ación
del
cálculo
de
la
ene gía
en
CUDA.
En
el
con ex o
de
los
ope ado es
disc e os
y
dada
la
in a iancia
de
la
ene gía
de
un
c is al
en e
a
aslaciones,
la
ene gía
de
una
ed
pe ec a
puede
esc ibi se
desde
el
pun o
de
is a
del
di e encial
del
campo
de
desplazamien os
du
y
unas
cons an es
de
ue za
en e
enlaces
a ómicos
B,
en
luga
de
la
ep esen ación
clásica
en
é mi-
nos
del
campo
de
desplazamien os
u
y
unas
cons an es
de
ue zas
en e
á omos
A.
De
es a
o ma
enemos:
E(u)
=
e1∈E1
e′
1∈E1
1
2Bij(e1,
e′
1)dui(e1)duj(e′
1)
≡1
2Bdu,
du
(5)
Figu a
5.
Pa
de
segmen os
elemen ales
duales
a
la
celda-2
ipo
4
del
complejo
p ima io
BCC.
Figu a
6.
Rep esen ación
de
segmen os
elemen ales
de
la
ed
dual
pa a
algunas
celdas
de
o den
2.
E.
Tellechea
e
al
/
Re .
in .
mé odos
numé .
cálc.
diseño
ing.
2013;29(3):135–145
139
donde
Bij(e1,
e′
1)
ep esen a
la
ene gía
de
in e acción
dado
un
di e-
encial
de
desplazamien o
unidad
en
la
di ección
de
la
coo denada
j
en
el
enlace
e′
1y
un
di e encial
de
desplazamien o
unidad
en
la
di ección
de
la
coo denada
i
en
el
enlace
e1.
Dado
que
el
ope ado
di e encial
es
lineal,
la
ene gía
(5)
puede
esc ibi se
al e na i a-
men e
como:
E(u)
=
e0∈E0
e′
0∈E0
1
2Aij(e0,
e′
0)ui(e0)uj(e′
0)
≡1
2Au,
u
(6)
donde
Aij(e0,
e′
0)
ep esen a
la
ene gía
de
in e acción
dado
un
des-
plazamien o
unidad
en
la
di ección
de
la
coo denada
j
en
el
á omo
e′
0y
un
desplazamien o
unidad
en
la
di ección
de
la
coo denada
i
en
el
á omo
e0.
Además,
po
la
in a iancia
an e
aslaciones
de
la
ed,
podemos
esc ibi
Bdu
y
Au
en
o ma
de
con olució
y
as
aplica
la
inden i-
dad
de
Pa se al
podemos
ob ene
la
ep esen ación
de
la
TDF
de
la
ene gía
a mónica
como:
E(u)
=1
(2)2[−,]2
1
2ˆ
()
du(),
du∗()
d2
(7a)
E(u)
=1
(2)2[−,]2
1
2ˆ
˚()ˆ
u(),ˆ
u∗()
d2
(7b)
Las
ep esen aciones
an e io es
indican
que
los
campos
de
cons an-
es
de
ue zas
en e
enlaces
a ómicos,

,
y
en e
á omos,
˚,
es án
elacionados
po :
ˆ
ij =
QT
1ˆ
ijQ∗
1(8)
donde
Q1 ep esen a
el
ope ado
di e encial
en e
celdas-0
y
celdas-
1
exp esado
en
el
dominio
de
Fou ie
[10].
En
es e
pun o,
es
ácil
dispone
de
la
ene gía
de
un
c is al
con
dislocaciones
solo
con
inclui
en
la
exp esión
(5)
las
au ode o maciones
co espondien es
a
deslizamien os
en
el
c is al
[9].
Dada
una
de o mación
homogénea
in a ian e
de
la
ed
de
la
o ma:
F
=
I
+
db
⊗
m
(9)
donde
m
es
la
no mal
uni a ia
al
plano
de
deslizamien o,
b
el
ec-
o
de
Bu ge s,
d
la
dis ancia
en e
planos
y

∈
Z
la
magni ud
del
deslizamien o,
las
au ode o maciones
ˇ
son:
ˇ
=
(F
−
I)dx(e1)
=
(dx(e1)
·
m)
db.
(10)
El
p oduc o
(dx(e1)
·
m)
es
ce o
cuando
la
a is a
co espondien e
es á
con enida
en
el
plano
de
deslizamien o
y
es
igual
a
la
dis ancia
en e
planos
d
en
caso
con a io.
Podemos
supone
que
las
au ode-
o maciones
exac as
o
compa ibles
de
es e
ipo
no
cues an
ene gía
al
c is al.
Po
lo
an o,
la
ene gía
elás ica
puede
esc ibi se
como:
E(u,
)
=1
2B(du
−
ˇ),
du
−
ˇ
(11)
que
sus i uye
la
ecuación
(5)
cuando
exis e
deslizamien o
c is alo-
g á ico.
Suponiendo
una
dis ibución
de
ue zas
:
E0→
Rnac uando
sob e
el
c is al,
la
ene gía
po encial
o al
de
la
ed
iene
dada
po :
F(u,
)
=
E(u,
)
−
 ,
u
(12)
Minimizando
F(u,
)
con
espec o
a
u,
ob enemos
la
ecuación
de
equilib io:
Au
=
+
ıBˇ
(13)
donde
ıB␤
puede
conside a se
la
dis ibución
de
au o ue zas
co espondien e
a
la
au ode o mación
ˇ.
La
ene gía
almacenada
en
el
c is al
en
é mino
del
campo
de
deslizamien o
se
esc ibe
como:
E()
=1
2H,

(14)
donde
el
ope ado
H
se
de ine
po
H,

=
Bˇ,
ˇ
−
A−1ıBˇ,
ıBˇ
(15)
en
la
que
ˇ
y

se
elacionan
median e
ˇ
=
M

s=1
e1∈E1(ms)
s(e1)bse1.
(16)
Po
in a iancia
en e
a
aslaciones
debemos
ene
H
=

∗

(17)
pa a
un
módulo
de
endu ecimien o
disc e o

,
el
cual
queda
o al-
men e
de inido
a
pa i
de
las
cons an es
de
ue za
del
ma e ial.
En
la
eo ía
elás ica
de
dislocaciones
[9]
se
demues a
que
la
ene gía
(14)
puede
exp esa se
en
unción
de
la
densidad
de
dis-
locaciones
˛
y
que
dicha
ene gía,
E(˛),
es
independien e
de
la
dis ibución
de
dislocaciones
u ilizada
pa a
induci
˛.
Po
lo
an o,
2
dis ibuciones
que
di ie en
de
o ma
exac a
y
que,
en
con-
secuencia,
ep esen an
la
misma
densidad
de
dislocaciones
son
ene gé icamen e
iguales.
El
análogo
disc e o
se
puede
ob ene
usando
la
descomposición
de
Hodge-Helmhol z
pa a
edes
pe ec-
as:
ˇ
=
d
+
ı−1˛
(18)
donde
=
−1ıˇ.
Sus i uyendo
es a
exp esión
po
(11)
y
minimi-
zando
la
ene gía
po encial
F(u,
˛)
con
espec o
a
u,
se
ob iene:
F(˛)
=
E(˛)
−
Bı−1˛,
dA−1 
−1
2 ,
A−1 
(19)
Po
lo
an o,
de
o ma
análoga
a
la
eo ía
con inua,
hemos
de i ado
la
exp esión
de
la
ene gía
almacenada
en
é minos
de
densidad
de
dislocaciones
a
pa i
de
la
ene gía
co espondien e
a
una
dis ibu-
ción
de
dislocaciones.
Vemos
a
con inuación
la
o ma
de allada
de
la
ene gía
almacenada
E(˛).
3.1.
Ene gía
asociada
a
la
nucleación
y
mo imien o
de
escalones
En
la
mayo ía
de
los
ma e iales
con
es uc u a
c is alina
no
exis en
las
dislocaciones
ec as.
En
gene al,
las
dislocaciones
con-
ienen
escalones
y
quieb os;
los
segmen os
co espondien es
a
los
p ime os
es án
con enidos
en
el
plano
de
deslizamien o
de
la
dis-
locación
mad e,
mien as
que
los
segmen os
co espondien es
a
los
segundos
son
pe pendicula es
a
es e
plano
de
deslizamien o.
Los
escalones
son
bas an e
mó iles
en
compa ación
con
los
quie-
b os,
que
son
incapaces
de
desliza
en
los
planos
c is alog á icos
del
ma e ial
y
equie en
pa a
mo e se
la
di usión
de
de ec os
en
la
ed,
ales
como
acan es
o
á omos
in e s iciales.
Aquí
nos
cen amos
en
la
de e minación
de
las
ene gías
asocia-
das
a
la
nucleación
y
al
c ecimien o
de
escalones
en
dislocaciones
de
ipo
o nillo.
A
baja
empe a u a,
cuando
la
densidad
de
dis-
locaciones
es
baja
y
puede
po
an o
cali ica se
como
diluida,
el
compo amien o
plás ico
de
ma e iales
BCC
es
unción
de
la
mo i-
lidad
de
es os
escalones.
Hay
2
ipos
de
escalones:
los
aislados,
o
escalones
geomé icos,
y
los
escalones
dobles.
Es os
úl imos
ienen
una
ene gía
de
o mación
ela i amen e
baja,
se
o man
y
desa-
pa ecen
espon áneamen e
si
hay
ene gía
é mica
su icien e
y
su
concen ación
esponde
a
una
dis ibución
de
Bol zmann.
Una
ez
o mado
el
doble
escalón,
cada
escalón
puede
aleja se
del
o o

140
E.
Tellechea
e
al
/
Re .
in .
mé odos
numé .
cálc.
diseño
ing.
2013;29(3):135–145
dando
luga
a
una
nue a
línea
de
dislocación
y
2
escalones
ais-
lados.
La
epe ición
del
p oceso
desc i o
no
es
sino
el
mo imien o
de
dislocaciones
de
ipo
o nillo.
En
i ud
de
la
descomposición
disc e a
de
Hodge-Helmhol z
pa a
edes
pe ec as
[8],
la
ene gía
almacenada
en
unción
de
la
densidad
de
dislocaciones
˛
se
esc ibe
como:
E(˛)=1
2Bı−1˛,
ı−1˛
−1
2A−1ıBı−1˛,
ıBı−1˛
≡1
2
∗
˛,
˛
(20)
donde

ep esen a
la
ene gía
de
in e acción
en e
2
segmen os
de
dislocación
uni a ios.
En
las
aplicaciones
que
amos
a
e
en
es e
abajo
u iliza emos
la
ep esen ación
de
la
TDF
pa a
la
exp esión
an e io :
E(˛)
=1
(2)3[−,]3
1
2ˆ
Ŵ()ˆ
˛(),ˆ
˛∗()d1d2d3(21)
donde
ˆ
Ŵ
=ˆ
−T
2Q∗
2(ˆ

−ˆ
Q∗
1ˆ
−1QT
1ˆ
)QT
2ˆ
−1
2(22)
y
2 ep esen a
el
ope ado
laplaciano
disc e o
y
se
ob iene
a
pa i
de
los
ope ado es
di e enciales
Qi[8].
Vamos
a
es udia
las
siguien es
con igu aciones
( ig.
7):
•Caso
A:
nucleación
de
un
escalón
doble
en
un
pun o
a bi a io
sob e
una
línea
de
dislocación
in ini a
y
pos e io
sepa ación
de
los
escalones
en
la
di ección
de
la
línea
in ini a.
•Caso
B:
nucleación
de
un
escalón
doble
en
un
pun o
a bi a io
sob e
una
línea
in ini a
en
la
que
exis e
un
escalón
doble
a
una
dis ancia
LB.
•Caso
C:
nucleación
de
un
escalón
doble
en
un
pun o
a bi a io
sob e
una
línea
in ini a
en
la
que
exis e
un
escalón
aislado
a
una
dis ancia
LC.
En
odos
los
casos,
el
inc emen o
de
ene gía
asociado
al
cambio
de
con igu ación
iene
dado
po
E
=
Ek+1−
Ek
=1
(2)3[−,]3
1
2ˆ
Ŵ()
ˆ˛k+1(),
ˆ˛∗
k+1()d1d2d3
−1
(2)3[−,]3
1
2ˆ
Ŵ()
ˆ˛k(),
ˆ˛∗
k()d1d2d3
=1
(2)3[−,]3ˆ
Ŵ()
ˆ˛k(),

ˆ˛∗()d1d2d3
+1
(2)3[−,]3
1
2ˆ
Ŵ()
ˆ˛(),

ˆ˛∗()d1d2d3
(23)
y
puede
esc ibi se
ambién
como
E
=
Ein e acción+
Ebucle (24)
Caso A Caso A
LA
LB
LC
Caso B
Caso C
Figu a
7.
Esquema
de
las
3
con igu aciones
que
es udiamos
en
es e
abajo.
siendo
˛
=
˛k+1−
˛k(25)
la
di e encia
de
la
densidad
de
dislocación
de
las
con igu aciones
k
+
1
y
k.
En
pa icula ,
la
mínima
di e encia
en e
2
con igu aciones
consis e
en
aplica
un
deslizamien o

en
una
a is a
elemen al.
Cada
deslizamien o
uni a io
en
una
a is a
da
luga
a
una
densidad
de
dis-
locación
uni a ia
en
las
ca as
que
ienen
esa
a is a
en
común
y
se
co esponde
en
la
ed
dual
con
un
g upo
de
segmen os
elemen ales
( ig.
6)
que
o man
bucles
elemen ales
o
líneas
de
dislocación
ele-
men ales.
Cuando
la
a is a
elemen al
es
de
ipo
ca esiano,
el
bucle
es á
o mado
po
cua o
pa es
de
segmen os
elemen ales
( ig.
8a),
mien as
que
si
el
bucle
es
de
ipo
diagonal,
el
bucle
es á
o mado
po
6
pa es
de
segmen os
elemen ales
( ig.
8b).
Los
deslizamien os

en
a is as
con iguas
o iginan
líneas
de
dis-
locación
que
se
o man
po
supe posición
de
bucles
de
dislocación
elemen ales.
En
la
igu a
9
puede
e se
un
ejemplo
co espondien e
a
la
línea
de
dislocación
pa a
un
deslizamien o
uni a io
en
2
a is as
con iguas,
una
ca esiana
y
o a
diagonal.
En
nues o
modelo
disc e o
podemos
de ini
una
línea
de
dis-
locación
in ini a
a
pa i
de
segmen os
de
dislocación
elemen ales,
solo
con
elegi
adecuadamen e
las
ca as
o
celdas-2
que
ienen
un
campo
de
densidad
de
dislocación
˛
dis in o
de
ce o.
A
modo
de
ejemplo,
la
línea
de
dislocación
in ini a
en
la
di ección
(111)
que
se
mues a
en
la
igu a
10
ep esen a
densidades
de
dislocación
dis-
in as
de
ce o
en
la
ca as
e2(i,
l)
que
siguen
la
secuencia
{e2(6,
l),
e2(12,
l),
e2(2,
l)}
(u ilizamos
la
nume ación
de
las
ca as
mos ada
(a)
(b)
Figu a
8.
Bucles
de
dislocación
elemen ales
en
ma e iales
BCC.
a)
Bucle
ipo
ca e-
siano.
b)
Bucle
ipo
diagonal.
Figu a
9.
Línea
de
dislocación
pa a
un
deslizamien o
uni a io
en
2
a is as
con iguas.
E.
Tellechea
e
al
/
Re .
in .
mé odos
numé .
cálc.
diseño
ing.
2013;29(3):135–145
141
Figu a
10.
Geome ía
de
una
línea
de
dislocación
in ini a
en
la
que
se
nuclea
y
c ece
un
escalón
doble.
en
la
ig.
2),
siendo
l
el
índice
de
la
ed
de
B a ais
[8].
Su
de inición
en
el
espacio
eal
iene
dada
po
˛(e2(2,
l))
=
ı(x
−
a3),
−∞
≤

≤
+∞
˛(e2(6,
l))
=
ı(x
−
a3−
a1−
a2),
−∞
≤

≤
+∞
˛(e2(12,
l))
=
−ı(x
−
a3−
a1),
−∞
≤

≤
+∞
(26)
y
aplicando
la
TDF
[18],
los
ˆ˛()
se
de inen
de
la
siguien e
o ma
ˆ˛(2,
)
=
2ı(
−
)
ˆ˛(6,
)
=
2ı(
−
)e−i1e−i2
ˆ˛(12,
)
=
−2ı(
−
)e−i1
(27)
Cuando
sob e
es a
línea
se
nuclea
un
escalón
doble
y
es e
aumen a
su
longi ud
inicial,
se
gene a
una
nue a
línea
de
disloca-
ción
de
longi ud
ini a
y
pa alela
a
la
línea
in ini a
o iginal
( ig.
10).
Podemos
ob ene
ácilmen e
los
nue os
alo es
de
ˆ˛()
pa a
los
2
escalones,
las
2
líneas
semi-in ini as
y
la
línea
ini a.
Po
ejemplo,
pa a
el
nue o
segmen o
que
sigue
la
secuencia
de
celdas
elemen-
ales
{e2(4,
l),
e2(8,
l),
e2(10,
l)},
ob enemos
ˆ˛(4,
)
=
e−i(21+2)
N

k=1
e−ik3
ˆ˛(8,
)
=
e−i1
N

k=1
e−ik3
ˆ˛(10,
)
=
−e−i(1+2)
N

k=1
e−ik3
(28)
Dado
el
ca ác e
oscila o io
de
los
in eg andos
en
la
ecuación
(23)
y
las
unciones
ı
que
apa ecen
en

ˆ˛(),
el
cálculo
de
los
inc emen os
de
ene gía
E
iene
un
cos e
compu acional
ele ado.
3.2.
Po enciales
in e a ómicos
La
modelización
a
ni el
a omís ico
de
de ec os
en
ma e iales
no malmen e
implica
el
uso
de
po enciales
empí icos
o
semiempí-
icos.
Exis e
una
g an
a iedad
de
dichos
po enciales,
po
ejemplo,
en e
pa es
de
á omos
como
el
clásico
de
Lenna d-Jones,
o
po en-
ciales
que
hacen
uso
de
unciones
de inidas
en e
á omos
como
el
mé odo
de
los
á omos
embebidos
(EAM)
pa a
me ales
FCC,
el
mé odo
de
los
á omos
embebidos
modi icados
(MEAM)
pa a
me a-
les
BCC,
el
po encial
de
Finnis-Sinclai
(FS)
[16]
o
el
más
ecien e
po encial
de
Finnis-Sinclai
ex endido
[17]
pa a
ma e iales
de
an-
sición.
Es e
úl imo,
basado
en
el
po encial
de
Finnis-Sinclai ,
pe o
incluyendo
polinomios
de
mayo
g ado,
e alúa
más
adecuada-
men e
la
ene gía
del
c is al
en
condiciones
lejanas
al
equilib io
pa a
ma e iales
BCC
y
ex iende
el
po encial
a
ma e iales
con
es uc u a
FCC.
La
ene gía
de
un
c is al,
según
el
po encial
de
Finnis-Sinclai ,
puede
exp esa se
como
E
=1
2
i,j
Vij( ij)
+
i
Fi(i)
(29)

=
j
ij( ij)
donde
ij son
las
dis ancias
in e a ómicas,
V
y

los
po enciales
en e
pa es
de
á omos,

la
densidad
elec ónica
y
F
la
unción
de
embebido.
El
po encial
ex endido
de
Finnis-Sinclai
[17]
se
di e en-
cia
del
clásico
[16]
en
el
é mino
V( ),
que
incluye
un
polinomio
de
sex o
g ado,
es o
es
V( )
=(
−
c)2(c0+
c1
+
c2 2+
c3 3+
c4 4)
,
≤
c
0
,
>
c
donde
c
es
el
pa áme o
de
co e
conside ado
en e
segundos
y
e ce os
ecinos.
Los
pa áme os
c0,
c1,
c2,
c3y
c4se
ajus an
pa a
cada
ma e ial.
Además,
es e
po encial
ex endido
a˜
nade
un
segundo
é mino
en
la
unción
de
densidad
elec ónica
,
que
oma
un
alo
nulo
pa a
es uc u as
c is alinas
ipo
BCC.
Adap ando
es e
po encial
a
nues o
modelo
disc e o
de
edes,
la
ene gía
puede
esc ibi se
como
E
=1
2E1
V(|dx(e1)|)
+E0
F()
(30)

=E1S (e0)
(|dx(e1)|)
Si
se
linealiza
la
ene gía,
las
cons an es
de
ue za
en e
a is as
se
ob ienen
como
B(e1,
e1)
=
PI
+
Qdx(e1)
⊗
dx(e1)
|dx(e1)|2
B(e1,
e′
1)
=
Rdx(e1)
⊗
dx(e′
1)
|dx(e1)||dx(e′
1)|
(31)
si
{e1,
e′
1}
ienen
un
é ice
en
común
B(e1,
e′
1)
=
0
o o
caso
donde
P,
Q
y
R
son
combinaciones
de
las
de i adas
de
V,
F
y
.
Pa a
compa a
las
di e encias,
al
usa
los
po enciales
de
Finnis-
Sinclai
y
Finnis-Sinclai
ex endido
en
nues o
modelo
disc e o
se
han
calculado
las
cons an es
elás icas,
c11,
c12 y
c44,
a
pa i
de
dichos
po enciales
median e
la
ma iz
dinámica
de
la
ed
cijkl +
cilkj =ı2Dik
ıkjıkl
(0)
(32)
donde
Dik es
la
ma iz
dinámica
ob enida
a
pa i
de
las
cons an es
de
ue za
in e a ómicas
(31).
El
alo
de
las
cons an es
elás icas
pa a
di e en es
ma e iales,
calculadas
a
pa i
de
ambos
po enciales
y
su
alo
expe imen al,
puede
e se
en
la
abla
2.
3.3.
Implemen ación
en
CUDA
En
es e
apa ado
desc ibimos
b e emen e
cómo
hemos
u ili-
zado
la
ecnología
CUDA
de
NVIDIA
pa a
in eg a
el
modelo
de
142
E.
Tellechea
e
al
/
Re .
in .
mé odos
numé .
cálc.
diseño
ing.
2013;29(3):135–145
Tabla
2
Cons an es
elás icas
(Mba )
pa a
dis in os
ma e iales
Expe imen al
Finnis-Sinclai
Finnis-Sinclai
ex endido
c11 c12 c44 c11 c12 c44 c11 c12 c44
Mo
4,637
1,578
1,092
4,641
1,613
1,088
-
-
-
Ta
2,663
1,582
0,874
2,656
1,610
0,823
2,522
1,629
0,857
V
2,29
1,21
0,444
2,276
1,185
0,425
2,240
1,177
0,446
W
5,32
2,049
1,631
5,218
2,044
1,602
5,301
2,056
1,624
p og amación
GPGPU
en
el
cálculo
de
las
in eg ales
en
la
ecua-
ción
(23).
Es a
ecnología
se
basa
en
ap o echa
la
pa alelización
en
la
ejecución
de
los
p ocesos
en
la
GPU
y,
además,
se
bene icia
del
hecho
de
que
las
a je as
g á icas,
usadas
como
disposi i os
de
cálculo,
son
a
su
ez
compa ibles
con
equipos
in o má icos
con-
encionales.
Pa a
calcula
el
inc emen o
de
ene gía
(23)
hemos
codi icado
en
lenguaje
C
el
mé odo
de
Simpson
pa a
la
in eg ación
numé ica.
El
dominio
de
in eg ación
es
en
gene al
idimensional,
po
lo
an o
enemos
un
bucle
iple
anidado
que,
codi icado
en
C,
adop a
la
o ma
básica:
o
(i
=
0;
i
<
pun os;
i
+
+)
o
(j
=
0;
j
<
pun os;
j
+
+)
o
(k
=
0;
k
<
pun os;
k
+
+)
(33)
La
mani ies a
pa alelización
de
es e
código
hace
que
su
adap ación
a
CUDA
C
sea
muy
in ui i a
y
po
consiguien e
inmedia a.
Se
obse a
que
si
omamos
como
índice
p incipal
i,
las
ope aciones
es an es
que
se
ealizan
median e
el
bucle
doble
son
independien es
en e
sí.
Es o
pe mi e
aslada
el
p oblema
de
una
ejecución
secuencial
en
CPU
a
una
ejecución
en
pa alelo
en
la
GPU,
es ableciendo
una
co espondencia
en e
los
é minos
del
índice
i
y
los
hilos
de
eje-
cución.
De
es a
o ma,
se
log an
lanza
en
pa alelo
an os
bucles
dobles
en
la
GPU
como
sean
necesa ios.
La
en aja
que
o ece
es e
algo i mo
es
su
inmedia a
adap a-
ción
a
CUDA,
que
esul a
muy
in ui i a
y
po
consiguien e
sencilla.
Sin
emba go,
no
debe
ol ida se
la
limi ación
de
la
capacidad
de
almacenamien o
del
disposi i o.
En
el
caso
que
hemos
analizado,
las
es uc u as
de
memo ia
oluminosas
se
han
c eado
y
almace-
nado
en
la
memo ia
global,
asignando
a
cada
hilo
unas
posiciones
pa a
almacena
los
esul ados
ese adas
a
p io i.
Con
ello
hemos
e i ado
posibles
p oblemas
de
colisión
en e
hilos.
Una
ez
con-
cluido
el
p oceso
de
e aluación
y
e minada
la
ejecución
de
odos
los
hilos,
se
han
sumado
los
esul ados
en
la
CPU,
de
mane a
ápida
y
e icien e.
O o
aspec o
di e enciado
en e
ambos
algo i mos
que
con iene
des aca
es
la
es uc u a
de
almacenamien o
de
da os.
En
gene al,
en
el
algo i mo
o iginal
los
da os
es án
almacenados
en
enso es
de
o den
n,
mien as
que
en
su
e sión
en
CUDA
se
alma-
cenan
en
o ma
de
ec o es
ubicados
an o
en
la
memo ia
global
de
la
GPU,
pa a
los
da os
de
en ada,
como
en
los
egis os,
pa a
los
da os
auxilia es
p opios
de
los
hilos
que
no
compa en
in o mación
en e
ellos.
El
código
CUDA
C
emplea
p ecisión
loa
sencilla.
Sin
emba go,
es
impo an e
ene
p esen e
que
los
é minos
de
los
in eg andos
son
complejos
y,
po
an o,
cada
da o
ocupa
8
By es
de
memo ia
en
o al.
Los
cálculos
se
han
ealizado
en
un
equipo
con encional
In el
Quadco e
@2.33
GHz
con
4
GB
de
memo ia
RAM.
El
disposi i o
GPU
es
una
a je a
NVIDIA
265GTX
con
1
GB
de
memo ia
global,
16
kB
de
memo ia
local,
64
kB
de
memo ia
compa ida
y
96
núcleos.
Hemos
u ilizado
las
biblio ecas
y
los
pilo os
pa a
el
sis ema
ope-
a i o
OpenSuse
10.4
y
el
compilado
n cc
que
inco po a
NVIDIA.
Pa a
la
compilación
del
código
en
CUDA,
hemos
usado
las
bande as
n cc
−
lcublas
∗
.cu
−
o
ile
(34)
La
ejecución
del
código
implica
la
de inición
de
2
pa áme os,
es o
es,
el
núme o
de
bloques
y
el
núme o
de
hilos
po
bloque.
Hemos
podido
comp oba
que
la
elocidad
de
ejecución
en
GPU
es
sensible
al
núme o
de
bloques
Nb,
y
que
se
ob ienen
las
máximas
elocidades
cuando
se
u iliza
un
núme o
de
bloques
múl iplo
de
64.
Es e
hecho
es
independien e
del
núme o
de
hilos
Nhque
de i-
namos
en
cada
bloque
y
de
la
u ilización
comple a
o
no
del
o al
de
hilos
que
esul a
del
p oduc o
Nb×
Nh.
En
segundo
luga ,
hemos
pues o
a
pun o
la
he amien a
de
cálculo
median e
un
es udio
de
sensibilidad
espec o
del
núme o
de
pun os
de
in eg ación
nece-
sa ios
pa a
alcanza
una
con e gencia
acep able
en
los
esul ados
pa a
el
p oblema
que
que emos
abo da .
En
la
abla
3
incluimos
los
iempos
de
ejecución
y
alo es
de
ene gía
pa a
una
con igu ación
conc e a
( ig.
11),
en
unción
del
núme o
de
pun os
de
in eg ación
en
cada
dimensión,
N,
y
del
en o no
de
ejecución:
GPU,
CPU
sis-
ema
ope a i o
Windows
y
CPU
sis ema
ope a i o
Linux.
Dado
que
la
mejo a
alcanzable
en
los
iempos
de
ejecución
en
la
CPU
es
una
cues ión
ex ensamen e
es udiada
pa a
algo i mos
an
sencillos
en
su
es uc u a
como
el
u ilizado
en
es e
abajo,
haciendo
o
no
uso
de
lib e ías
OpenMP
y
MPI,
nues o
obje i o
ha
sido
compa a
los
iempos
de
ejecución
en
CPU,
sin
ges ión
e icien e
de
los
mic o-
p ocesado es,
y
en
GPU.
Los
iempos
de
ejecución
en
GPU
ienen
un
compo amien o
del
ipo
N2,
consis en e
con
la
u ilización
de
un
bucle
doble
en
luga
del
bucle
iple
anidado
inicial,
g acias
a
la
pa alelización
de
uno
de
los
bucles
anidados.
A
la
is a
de
los
esul ados
p esen ados
en
la
abla
3
podemos
conclui
que
pa a
N
=
100
se
alcanza
la
máxima
con e gencia.
Sin
emba go,
la
u ilización
de
64
pun os
de
in eg ación
implica
una
educción
de
iempo
conside able,
con
una
di e encia
en
el
alo
de
la
ene gía
o almen e
acep able.
Po
o o
lado,
es
in e esan e
des aca
que,
cuando
el
núme o
de
pun os
de
in eg ación
N
eque-
ido
pa a
alcanza
la
con e gencia
es
mayo
de
100,
el
iempo
de
cálculo
en
CPU
se
dispa a,
mien as
que
pa a
alo es
mayo es
de
200
esul a
simplemen e
inabo dable.
4.
Resul ados
numé icos
Como
hemos
desc i o
en
el
apa ado
3,
es amos
in e esados
en
el
cálculo
de
la
ene gía
de
o mación
de
de ec os
en
3
si uaciones
dis in as
( ig.
7),
que
se
co esponden
con
algunos
de
los
mecanis-
mos
de
mo imien o
de
dislocaciones
de
ipo
o nillo
en
ma e iales
BCC
a
baja
empe a u a.
En
pa icula ,
amos
a
ob ene
es as
ene -
gías
pa a
3
ma e iales:
molibdeno
(Mo),
wol amio
(W)
y
án alo
(Ta),
g acias
al
modelo
de
cons an es
de
ue za
ob enido
median e
la
linealización
del
po encial
ipo
Finnis-Sinclai
[17],
alidado
en
el
apa ado
3.2.
4.1.
Caso
A
Pa a
calcula
la
ene gía
de
nucleación
de
un
escalón
doble,
pa -
imos
de
una
con igu ación
con
un
de ec o
de inido
po
˛k,
es o
es,
una
línea
de
dislocación
in ini a,
y
a˜
nadimos
un
de ec o
de inido
po
˛,
el
meno
bucle
de
dislocación
que
se
pueda
gene a
espon á-
neamen e
sob e
la
dislocación
inicial.
La
al u a
del
escalón
doble
de
meno
ama˜
no
es
la
dis ancia
en e
dos
mínimos
del
po encial
de
Peie ls
[3]
y
se
co esponde
con
el
módulo
del
ec o
de
Bu ge s
del
ma e ial.
En
nues o
modelo,
es e
bucle,
que
denomina emos
en
adelan e
bucle
básico,
esul a
de
la
supe posición
de
4
bucles
elemen ales:
dos
de
ipo
ca esiano
y
2
de
ipo
diagonal
( ig.
11).
E.
Tellechea
e
al
/
Re .
in .
mé odos
numé .
cálc.
diseño
ing.
2013;29(3):135–145
143
Tabla
3
Compa ación
de
los
alo es
de
la
ene gía
de
in e acción
pa a
el
caso
0
cuando
LA=
20a,
pa a
dis in o
núme o
de
pun os
de
in eg ación
N.
La
columnas
CPU/GPU
ep esen an
la
acele ación
del
iempo
de
ejecución
GPU
espec o
CPU.
GPU
CPUwindows CPU/GPU
CPUlinux CPU/GPU
N
Tiempo
(s)
Ene gía
(eV)
Tiempo
(s)
Ene gía
(eV)
Tiempo
(s)
Ene gía
(eV)
20
111
−6.236E+00
140
−6.236E+00
1,26
100
−6.236E+00
0,90
50
703
−8.052E-01 3100
−8.052E-01
4,41
1250
−8.052E-01
1,78
60
1026
−8.059E-01
5340
−8.059E-01
5,20
2160
−8.059E-01
2,10
64
1175
−8.060E-01
6463
−8.060E-01
5,49
3008
−8.060E-01
2,56
100
2905
−8.061E-01
16400
−8.061E-01
5,64
11400
−8.061E-01
3,92
200
12180
−8.061E-01
130800
−8.061E-01
10,73
103400
−8.061E-01
8,48
300
30170
−8.061E-01
–
–
–
–
–
–
400
61690
−8.061E-01 –
–
–
–
–
–
Hemos
conside ado
una
línea
de
dislocación
in ini a
inicial
( ig.
11)
con
ac i idad
en
el
sis ema
de
deslizamien o
C5
( abla
1)
y
de inida
po
la
secuencia
{e2(4,
l),
e2(8,
l),
e2(10,
l)},
con
ec o
de
Bu ge s 1
2a0111.
En
el
espacio
de
Fou ie
ˆ˛()
se
de ine
como
ˆ˛(8,
)
=
2ı(
−
)ei2
ˆ˛(4,
)
=
−2ı(
−
)e−i1
ˆ˛(10,
)
=
2ı(
−
)
(35)
Mien as
que

ˆ˛()
pa a
el
bucle
básico
iene
dado
po
ˆ˛(3,
)
=
e−i(1+3)−
e−i(1+23)
ˆ˛(4,
)
=
e−i(21+2+23)−
e−i(1+3)
ˆ˛(5,
)
=
e−i1−
e−i(1+3)
(36)
ˆ˛(8,
)
=
e−i(1+3)−
ei2
ˆ˛(10,
)
=
e−i(1+2+3)−
e−i3
(37)
La
ene gía
de
o mación
de
un
escalón
doble
de
longi ud
LA,
según
la
eo ía
clásica
de
dislocaciones
[3],
puede
exp esa se
como
E o =
2E o +
Ein (38)
donde
E o es
la
au oene gía
asociada
a
un
escalón
aislado
y
el
é -
mino
Ein co esponde
a
la
ene gía
de
in e acción
en e
escalones.
Dado
que
es e
é mino
es
in e samen e
p opo cional
a
la
longi-
ud
de
sepa ación
en e
escalones
LA,
su
alo
iende
a
ce o
cuando
los
escalones
es án
su icien emen e
alejados.
Cuando
es o
sucede,
podemos
deci
que
es amos
en
la
condición
de
escalones
simples
aislados.
Los
esul ados
ob enidos
pa a
los
3
ma e iales
es udia-
dos
se
han
ep esen ado
en
la
igu a
12
jun o
con
los
alo es
de
la
ene gía
de
o mación
co espondien es
a
la
eo ía
elás ica
lineal
de
dislocaciones.
La
compa ación
es
buena,
pe o
dado
que
la
ene gía
(38)
se
exp esa
en
é minos
de
un
pa áme o

sin
signi icado
ísico,
Figu a
11.
Geome ía
de
un
bucle
de
dislocación
básico
nucleado
en
una
línea
de
dislocación
in ini a
de
di ección
(111).
su
alidez
es
más
cuali a i a
que
cuan i a i a.
Nues os
esul ados
pa a
la
ene gía
de
o mación
de
un
escalón
aislado
en
Ta
concue dan
con
los
ob enidos
po
Mo ia y
e
al.
[13]
pa a
16
posibles
con igu-
aciones
de
escalones.
En
la
igu a
12
puede
e se
que
pa a
án alo
ob enemos
una
ene gía
po
escalón
de
ap oximadamen e
0.9
eV,
mien as
que
los
alo es
calculados
en
Mo ia y
e
al.
[13]
oscilan
en e
0.67
y
1.84
eV,
dependiendo
de
la
con igu ación.
La
ene gía
de
nucleación
del
escalón
doble
se
co esponde
con
el
p ime
alo
en
las
cu as
(LA=
b)
en
la
igu a
12.
4.2.
Caso
B
Que emos
de e mina
en
es e
caso
la
posición
en
la
que
la
ene gía
de
nucleación
de
un
escalón
doble
es
independien e
de
la
exis encia
de
o o
escalón
doble
en
la
línea
de
dislocación
in ini a
( ig.
13).
Pa a
án alo,
hemos
ob enido
que
la
dis ancia
LAen e
el
escalón
doble
inicial
y
el
nue o
es
ap oximadamen e
10a,
siendo
a
el
pa áme o
de
ed
del
ma e ial.
El
inc emen o
de
ene gía
nece-
sa io
pa a
nuclea
el
doble
escalón
a
dis ancias
mayo es
es
igual
al
calculado
en
el
caso
an e io
( ig.
14).
4.3.
Caso
C
Po
úl imo,
hemos
de e minado
la
dis ancia
LCen
la
que
la
nucleación
de
un
nue o
escalón
doble
en
una
línea
de
dislocación
en
la
que
exis e
inicialmen e
un
escalón
aislado
( ig.
15)
pod ía
ase-
meja se
al
caso
0,
es o
es,
a
la
nucleación
de
un
escalón
doble
en
una
línea
de
dislocación
ec a
in ini a.
Los
esul ados
ob enidos
indican
( ig.
16)
que
cuando
la
dis ancia
de
sepa ación
LCen
án alo
es
≈10a,
el
inc emen o
de
ene gía
necesa io
pa a
nuclea
un
doble
escalón
en
una
línea
de
dislocación
in ini a
con
un
escalón
aislado
iende
a
0.8
eV,
el
mismo
que
ob u imos
en
el
caso
0
pa a
es e
ma e ial.
A
Figu a
12.
Ene gía
de
o mación
co espondien e
al
c ecimien o
de
un
escalón
doble
pa a
di e sos
ma e iales
BCC.